Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 4: Xác suất của biến cố

Nội dung text: Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 4: Xác suất của biến cố

1. Chương 4 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ (Probability of Events) 1 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
2. Nội dung  Không gian mẫu và biến cố  Định nghĩa xác suất  Xác suất có điều kiện  Công thức nhân xác suất  Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 2 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
3. Không gian mẫu và biến cố Trong thực tế, các hiện tượng được chia thành 2 loại: hiện tượng tất nhiên và hiện tượng ngẫu nhiên. • Phép thử (trial) là một khái niệm cơ bản không định nghĩa. Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào đó. • Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà kết quả của nó không dự đoán chắc chắn được. 3 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
4. Không gian mẫu và biến cố • Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Ký hiệu: . • Mỗi tập con của  được gọi là biến cố. Ký hiệu: A, B, C, • Phần tử   còn được gọi là biến cố sơ cấp. 4 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
5. Không gian mẫu và biến cố Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền xu gồm hai mặt số, hình 1 lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ 2: Gieo một đồng tiền xu 2 lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ 3: Gieo một con súc sắc một lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ 4: Gieo một con súc sắc liên tiếp hai lần. Xác định không gian mẫu. 5 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
6. Không gian mẫu và biến cố Ví dụ 5: Từ một lớp học có 100 sinh viên, ta chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Hãy xác định không gian mẫu. 6 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
7. Không gian mẫu và biến cố • Cho phép thử có không gian mẫu  và biến cố A. Biến cố A được gọi là xảy ra nếu có một kết quả nào đó của A xảy ra. • Khi sự xảy ra của một biến cố không thể được dự đoán chính xác thì ta gọi biến cố tương ứng là biến cố ngẫu nhiên. • Biến cố chắc chắn là biến cố bao giờ cũng xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: . 7 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
8. Không gian mẫu và biến cố • Biến cố rỗng là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu:  Ví dụ 6: Một nhóm có 6 nam, 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 người. Gọi A: “Chọn được ít nhất 1 nam”, B: “Chọn được 5 nữ”, C: “Chọn được 3 nam”. Biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên; là biến cố rỗng; là biến cố chắc chắn? 8 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
9. Không gian mẫu và biến cố • Quan hệ kéo theo: AB AB • Quan hệ tương đương: AB BA • Tổng: AB • Tích: A B, AB • Xung khắc: AB  • Đối lập: A  \ A, A B A B, ABAB 9 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
10. Không gian mẫu và biến cố 10 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
11. Không gian mẫu và biến cố Ví dụ 7: Một hộp có 10 bi gồm: 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Gọi các biến cố A: “Lấy được ít nhất 1 bi đỏ”, B: “Lấy được 3 bi đỏ”, C: “Lấy được tối đa 2 bi đỏ”. Xác định quan hệ của A và B; của A và C. 11 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
12. Không gian mẫu và biến cố Ví dụ 8: Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp học. Gọi A: “Sinh viên được chọn giỏi Tiếng Anh”, B: “Sinh viên được chọn giỏi Toán”. Hãy diễn ta các biến cố: AUB; AB. 12 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
13. Định nghĩa cổ điển của xác suất Xét một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu gồm hữu hạn biến cố sơ cấp,  1,,,,  2  n trong đó các biến cố sơ cấp là đồng khả năng xuất hiện. Cho biến cố A có n(A) biến cố sơ cấp. Khi đó, xác suất của A được ký hiệu và cho bởi công thức nA PA. n  13 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
14. Định nghĩa cổ điển của xác suất Ví dụ 9: Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 1 lần. Tính xác suất để mặt trên con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện. ĐS: 0,5. 14 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
15. Định nghĩa cổ điển của xác suất Ví dụ 10: Một hộp chứa 25 sản phẩm, trong đó có 20 chính phẩm và 5 phế phẩm. 1. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 phế phẩm. 2. Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 phế phẩm. ĐS: 1) 0,0334; 2) 0,04. 15 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
16. Định nghĩa thống kê của xác suất Giả sử khi ta thực hiện n lần một phép thử, biến cố A xuất hiện k lần. Ta gọi tỷ số k f (A) n n là tần suất xuất hiện của biến cố A. • Với n đủ lớn, ta coi: P(A) fn (A) 16 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
17. Định nghĩa thống kê của xác suất Ví dụ 11: Liên quan đến bài toán xác định xác suất nhận được mặt ngửa khi thảy một đồng xu cân đối đồng chất, một số nhà khoa học đã tiến hành thực nghiệm như sau: Người thực Số lần thảy Số lần mặt Tần suất hiện ngửa Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 và khi đó, ta nói xác suất nhận được mặt ngửa 0,5. 17 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
18. Các tính chất của xác suất 1. P( ) 0, P  1. 2. 0 P(A) 1,  A   . 3. ABPAPB. 18 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
19. Công thức cộng xác suất Cho A, B là hai biến cố tùy ý liên quan đến một phép thử ngẫu nhiên. Ta có P(A B) P(A) P(B) P(A B). (1) Hệ quả 1: Nếu A và B xung khắc, thì xungkhac P(A B) P(A) P(B). (2) Hệ quả 2: Với A là biến cố bất kỳ, ta có P A 1 P A (3) 19 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
20. Công thức cộng xác suất Ví dụ 12: Một lớp có 100 sinh viên (SV) trong đó có 50 SV thích xem bóng đá, 20 SV thích nghe nhạc, 10 SV thích xem bóng đá và nghe nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 SV của lớp. Tính xác suất SV này thích xem bóng đá hay thích nghe nhạc. ĐS: 0,6. 20 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
21. Công thức cộng xác suất Ví dụ 13: Một hộp đựng 20 bi, trong đó có 10 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 8 bi từ hộp. Tính xác suất có ít nhất 2 bi đỏ trong 8 bi được chọn. ĐS: 0,9901. 21 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
22. Xác suất có điều kiện Giả sử A và B là hai biến cố và P(B) 0. Xác suất để A xảy ra khi biết B đã xảy ra được ký hiệu và cho bởi công thức: P(A B) P A | B . P(B) 22 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
23. Xác suất có điều kiện Ví dụ 14: Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ một bộ bài gồm 52 lá. Tính xác suất để rút được con “át”, biết rằng lá bài rút ra có màu đen. ĐS: 0,0769. 23 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
24. Xác suất có điều kiện Ví dụ 15: Một hộp chứa 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Từ hộp này, lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi và lấy không hoàn lại. Tính xác suất để nhận được bi xanh ở lần lấy thứ hai, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ. ĐS: 0,4286. 24 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
25. Xác suất có điều kiện  Tính chất 1) 0 P A B 1. 2) P B B 1. 3) P A B 1 P A B . 25 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
26. Công thức nhân xác suất • Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) P(A)P(B|A) P B P A|B • Cho n biến cố A 1 ,A 2 , ,A n. Khi đó, ta có P(A1 A 2 A n ) P(A 1 )P A 2 | A 1 P A n | A 1 A n 1 26 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
27. Công thức nhân xác suất Ví dụ 16: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Một người lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm cho tới khi gặp phế phẩm thì dừng. Tính xác suất để việc lấy sản phẩm của người này dừng lại ở lần lấy thứ ba. ĐS: 0,1556. 27 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
28. Công thức nhân xác suất • Ta nói hai biến cố A và B là độc lập nếu P(A | B) P(A). Nói khác đi, hai biến cố là độc lập nhau nếu biến cố này xảy ra hay không xảy ra thì cũng không ảnh hưởng đến cơ may xảy ra của biến cố còn lại. 28 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
29. Công thức nhân xác suất Ví dụ 17: Tung 2 đồng xu. Gọi các biến cố: A : “đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt số”, B : “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt hình”, C : “có ít nhất một mặt số xuất hiện”. Hỏi A và B có độc lập? A và C có độc lập? 29 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
30. Công thức nhân xác suất Mệnh đề: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi P AB P A .P B Mệnh đề: A, B độc lập A,B độc lập A,B độc lập A,B độc lập. 30 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
31. Công thức nhân xác suất Ví dụ 18: Có hai hộp bi. Hộp bi thứ nhất có 30 bi trong đó có 17 bi đỏ, 13 bi đen; Hộp bi thứ hai có 35 bi trong đó có 16 bi đỏ, 19 bi đen. Ta chọn ra một bi từ mỗi hộp. Tính xác suất để: 1. nhận được 2 bi đỏ. 2. nhận được 1 bi đỏ. ĐS: 1) 0,259; 2) 0,506. 31 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
32. Công thức nhân xác suất Định nghĩa: Các biến cố A 1 ,A 2 , ,A n được gọi là độc lập nếu: mỗi biến cố bất kỳ trong họ độc lập với tất cả các tích hữu hạn của những biến cố còn lại. Mệnh đề: Nếu các biến cố độc lập thì P A1 A 2 A n P A 1 P A 2 P A n 32 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
33. Công thức nhân xác suất Ví dụ 19: Một phân xưởng có ba máy hoạt động độc lập nhau. Xác suất để các máy bị hỏng trong một ngày làm việc lần lượt là 0,02; 0,01; 0,015. Tính xác suất để có nhiều nhất một máy hỏng trong ngày. ĐS: 9,41.10-4. 33 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
34. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes • Hệ các biến cố A 1 ,A 2 , ,A n  được gọi là đầy đủ nếu có duy nhất một biến cố trong hệ xảy ra khi thực hiện phép thử. Nói khác đi, hệ A là đầy đủ nếu ii 1, ,n A1 A 2 A n  , A A , i j. ij   34 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
35. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Cho hệ đầy đủ các biến cố A kk 1, ,n và A là một biến cố bất kỳ trong phép thử. Khi đó n (1) P A  P(Akk ).P(A | A ) k1 P A .P A | A P(A | A) kk , k. (2) k PA (1): công thức XS đầy đủ; (2): công thức Bayes. 35 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
36. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes B AB1 AB2 ABn1 ABn A A A1 A2 n1 n 36 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
37. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Ví dụ 20: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng A và B. Phân xưởng A sản xuất gấp 2 lần phân xưởng B. Tỷ lệ bóng hư của phân xưởng A là 1,5%, của phân xưởng B là 1%. Mua một bóng đèn do nhà máy sản xuất. 1) Tính xác suất để mua được bóng đèn tốt. 2) Biết rằng đã mua được bóng đèn tốt, tính xác suất để bóng đèn này do phân xưởng A sản xuất. ĐS: 1) 0,987; 2) 0,665. 37 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
38. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Ví dụ 21: Có hai chuồng thỏ. Chuồng thứ nhất có 10 thỏ trắng và 5 thỏ đen. Chuồng thứ hai có 3 thỏ trắng và 7 thỏ đen. Từ chuồng thứ hai, người ta bắt ngẫu nhiên một con thỏ cho vào chuồng thứ nhất. Sau đó lại bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng thứ nhất ra ngoài. Tính xác suất để con thỏ được bắt ra ở chuồng thứ nhất là con thỏ trắng. ĐS: 0,64375. 38 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016
39. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Ví dụ 22: Một thùng phiếu đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 2 người lần lượt rút thăm không hoàn lại, mỗi người rút 1 phiếu. Tính xác suất rút được phiếu trúng thưởng của người thứ hai. ĐS: 0,2. 39 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31/5/2016