Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Ước lượng tham số thống kê

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Ước lượng tham số thống kê

1. CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ NỘI DUNG: I. LÝ THUYẾT MẪU II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ IV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ CỦA TỔNG THỂ V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ
2. I. LÝ THUYẾT MẪU 1. Tổng thể và mẫu p Tổng thể: ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu. Tập hợp M gồm tất cả những phần tử mang đặc tính X của một vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi là tổng thể. Ta gọi N là số phần tử của tổng thể. p Ví dụ - Số cử tri trong một cuộc bầu cử. - Thu nhập của các hộ gia đình ở một địa phương - Điểm trung bình các tất cả sinh viên trong một trường đại học. - Trọng lượng một loại cá dưới hồ. -
3. I. LÝ THUYẾT MẪU 1. Tổng thể và mẫu p Thông thường, N rất lớn nên ta không thể lấy hết những phần tử của M để thực hiện thí nghiệm vì những lý do sau: n N quá lớn. n Thời gian và kinh phí không cho phép. n Có thể làm hư hại hết các phần tử của M.
4. I. LÝ THUYẾT MẪU 1. Tổng thể và mẫu p Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử của M để nghiên cứu, các phần tử này gọi là mẫu lấy từ M. Số phần tử của mẫu gọi là cỡ mẫu, ký hiệu là n. p Ví dụ n Thăm dò 2000 cử tri. n Khảo sát 300 gia đình. n Cân trọng lượng 500 con cá. n
5. I. LÝ THUYẾT MẪU 2. Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể p Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên (X1, , Xn) gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M. p Tính chất mẫu: n Các Xi có cùng phân phối như X. n Các Xi độc lập với nhau. p Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu (x1, , xn) gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X.
6. I. LÝ THUYẾT MẪU 3. Phương pháp chọn mẫu Theo xác suất Phi xác suất (Probability sampling) (Non-probability sampling) p Ngẫu nhiên đơn giản p Thuận tiện (convenience sampling) (simple random sampling) p Phán đoán (judgment sampling) p Hệ thống p Phát triển mầm (systematic sampling) (snowball sampling) p Phân tầng (theo tỷ lệ, p Định mức/Hạn ngạch không theo tỷ lệ) (quota sampling) (stratified sampling) p Theo nhóm (một bước, hai bước ) (cluster sampling)
7. I. LÝ THUYẾT MẪU Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm p Bảng thống kê đơn giản Thứ tự (i) 1 2 3 n-1 n Giá trị của X x1 x2 x3 xn-1 xn hoặc: x1 x2 x3 xn-1 xn p Ví dụ. Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp (cm) Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155 Thứ tự 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Chiều 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155 cao(cm)
8. I. LÝ THUYẾT MẪU Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm p Bảng tần số X x1 x2 x3 xk-1 xk ni n1 n2 n3 nk-1 nk Với n1 + n2 + + nk = n p Ví dụ. Khảo sát điểm của 50 bài thi môn toán. điểm của bài thi 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Số bài 14 12 8 6 4 4 2
9. I. LÝ THUYẾT MẪU Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm p Bảng tần số chia khoảng X (a1,b1] (a2,b2] (ak,bk] ni n1 n2 nk Với n1 + n2 + + nk = n Chú ý: khi tính các tham số thống kê các khoảng giá trị của X được lấy bằng giá trị trung tâm của khoảng: xi = (ai + bi)/2, thu được bảng sau: X x1 x2 x3 xk-1 xk ni n1 n2 n3 nk-1 nk
10. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu p Trung bình p Phương sai – Độ lệch chuẩn p Trung vị p Mode
11. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu p Xét mẫu cỡ n: (X1, , Xn) n Trung bình mẫu:
12. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu n Phương sai mẫu: Với
13. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu n Phương sai mẫu hiệu chỉnh n Độ lệch chuẩn:
14. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu p Xét mẫu cỡ n: (X1, , Xn) được biểu diễn theo bảng tần số X X1 X2 X3 Xk-1 Xk ni n1 n2 n3 nk-1 nk n Trung bình mẫu:
15. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu n Phương sai mẫu: Với
16. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu n Phương sai mẫu hiệu chỉnh n Độ lệch chuẩn:
17. I. LÝ THUYẾT MẪU 4. Các tham số đặc trưng của mẫu p Ví dụ 1. Khảo sát chiều cao của 15 sv trong một lớp học: 160,165,155,162,167,145,158,170,165,155 158,160,170,175,169 Tính các tham số mẫu. p Ví dụ 2. Thời gian tự học của 100 sinh viên cho bởi bảng sau Thời gian tự học 1 2 3 4 5 Số sinh viên 10 20 40 20 10 Tính các tham số mẫu
18. II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 1. Ước lượng điểm p Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f(x,);  là tham số chưa biết của hàm mật độ, ta cần đi tìm . Xét mẫu ngẫu nhiên cỡ n: (X1, X2, , Xn) được lấy từ X. Một thống kê gọi là một ước lượng điểm của . Bài toán đi tìm gọi là bài toán ước lượng điểm. Và giá trị là một ước lượng điểm cụ thể cho .
19. II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 1. Ước lượng điểm p Ví dụ: - Xét X là bnn có phân phối chuẩn X ~ N(μ, 2). - Thì hai tham số cần tìm ở đây là - Hai ước lượng cho a và 2 là:
20. II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC) p Giả sử  là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X. Dựa vào mẫu (X1, X2, , Xn) cần tìm hai đại lượng 1(X1, , Xn) và 2(X1, , Xn) sao cho (*) p Với  đủ lớn cho trước, thường =95% hoặc 99%. Xác suất  gọi là Độ tin cậy (ĐTC) của ước lượng. Khoảng [1, 2] gọi là khoảng tin cậy của ước lượng.
21. II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC) p Ý nghĩa của (*): Có 100% số lần lấy cỡ mẫu n thì  [1, 2]. Có (1-)100% số lần lấy cỡ mẫu n thì  [1, 2].
22. III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH biết trước phương sai q Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Với  cho trước, cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – ). q Lấy mẫu (X1, X2, , Xn). q Đặt q Khi đó Z ~ N(0,1).
23. III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH biết trước phương sai p Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) : với : phân vị của phân phối chuẩn, tra bảng phụ lục 3 ε gọi là sai số, độ chính xác, bán kính ước lượng.
24. III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH chưa biết phương sai, n ≥ 30 q Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – ). q Lấy mẫu (X1, X2, , Xn). q Đặt q Khi đó Z ~ N(0,1). q Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) : với
25. III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH chưa biết phương sai, n < 30 q Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – ). q Lấy mẫu (X1, X2, , Xn). q Đặt q Khi đó Z ~ (phân phối student, tra bảng phụ lục 4) q Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) : với
26. III. ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG p Ví dụ Biết lương của công nhân trong nhà máy là bnn X ~ N((, 2) (triệu đồng/năm). Khảo sát 96 công nhân Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54 Số công nhân 8 20 26 24 12 6 a. Biết  = 8, lập khoảng ước lượng cho  với ĐTC 96% b.  không biết, tìm khoảng ước lượng cho  với ĐTC 99%. c. Để có sai số ε 0,8 triệu đồng thì cỡ mẫu ta chọn bé nhất là bao nhiêu.
27. IV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ p Giả sử p là tỷ lệ phần tử của tổng thể (có đặc điểm đang xem xét tỷ lệ). Cần tìm khoảng ước lượng cho p với ĐTC (1 - ). p Lấy mẫu (X1, X2, , Xn). p Đặt p Z có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N(0,1). q Khoảng ước lượng của tỷ lệ p với ĐTC (1 – ) : với
28. IV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ p Ví dụ. Biết lương của công nhân trong nhà máy là bnn X ~ N((, 2) (triệu đồng/năm). Khảo sát 96 công nhân Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54 Số công nhân 8 20 26 24 12 6 Công nhân gọi là thu nhập thấp nếu lương dưới 24 triệu đồng/năm. a. Tìm KTC 95% cho tỷ lệ công nhân có thu nhập thấp. b. Để có sai số bằng 0,04 và ĐTC là 95% thì cỡ mẫu cần lấy là bao nhiêu?
29. V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TH đã biết trung bình q Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Giả sử đã biết μ, cần tìm khoảng ước lượng cho phương sai 2 với ĐTC (1 – ). q Lấy mẫu (X1, X2, , Xn). q Đặt q Khi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5 q Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) : với
30. V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TH chưa biết trung bình q Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho phương sai 2 với ĐTC (1 – ). q Lấy mẫu (X1, X2, , Xn). q Đặt q Khi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5 q Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) : với
31. V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI p Ví dụ. Biết lương của một loại sản phẩm là bnn X ~ N((, 2) (gram). Khảo sát 25 sản phẩm, có số liệu: Trọng lượng 195 200 205 Số sản phẩm 5 18 2 a. Cho biết trọng lượng trung bình μ = 200g. Hãy ước lượng phương sai trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 90%. b. Trung bình μ chưa biết, hãy ước lượng phương sai trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 95%