Toán học - Chương 0: Giải tích kết hợp

pdf

91 trang vanle 2070

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Chương 0: Giải tích kết hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_hoc_chuong_0_giai_tich_ket_hop.pdf

Nội dung text: Toán học - Chương 0: Giải tích kết hợp

LI NĨI ðU Lý thuy t xác su t là b mơn tốn h c nghiên c u tính qui lu t c a các hi n tưng ng u nhiên. Các khái ni m đ u tiên c a xác su t do các nhà tốn h c tên tu i Pierre Fermat (1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xây d ng vào gi a th k 17, d a trên vi c nghiên c u các qui lu t trong các trị ch ơi may r i. Do s h n ch c a trình đ tốn h c đươ ng th i, nên su t m t th i gian dài các trị ch ơi may r i v n là c ơ s duy nh t cho các khái ni m và ph ươ ng pháp c a lí thuy t xác su t v i cơng c ch y u là phép tính t h p và s h c s ơ c p. Hi n nay, tuy lí thuy t xác su t đã cĩ n n t ng tốn h c đ s , nh ưng các ph ươ ng pháp "ngây th ơ" ban đu đĩ v n cịn tác d ng, đ c bi t đ i v i các ngành khoa h c th c nghi m. Vi c gi i quy t các bài tốn n y sinh trong lí thuy t sai s và đo l ưng đã đem li b ưc phát tri n m i cho lí thuy t xác su t. Các nhà tốn h c Jacob Bernoulli (1654- 1705), A.Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840) đã cĩ cơng lao x ng đáng phát tri n lí thuy t xác su t b ng ph ươ ng pháp gi i tích. T gi a th k 19 đ n đ u th k 20, s phát tri n c a lí thuy t xác su t g n li n vi tên tu i các nhà tốn h c Nga nh ư Bunhiac pxki (1804-1889), Treb ưsep (1821- 1894), Markov (1856-1922) và Liapunov (1857-1918). Trong quá trình phát tri n m nh m c a c a lí thuy t xác su t, v n đ xây d ng mt c ơ s tốn h c ch t ch tr thành c p thi t. S ra đ i c a lí thuy t t p h p và đ đo đã cung c p cơng c tốn h c gi i quy t v n đ này, và vinh quang xây d ng lí thuy t xác su t tiên đ thu c v nhà tốn h c Nga Kolmogorov (1929). S ra đ i c a th ng kê tốn h c b t ngu n t các v n đ th c ti n và d a trên nh ng thành t u c a lí thuy t xác su t. Các thí nghi m trong các ngành khoa h c khác nhau nh ư v t lý, hĩa h c, sinh hc, y h c, ph thu c vào nhi u y u t ng u nhiên nh ư con ng ưi, mơi tr ưng, Do đĩ k t qu th c nghi m th ưng là các đi l ưng ng u nhiên. Cĩ th đ nh ngh ĩa th ng kê tốn h c là ngành khoa h c v các ph ươ ng pháp tng quát x lý các k t qu th c nghi m. Cùng v i s phát tri n c a lí thuy t xác su t, th ng kê tốn h c đã cĩ b ưc ti n nhanh, v i s đĩng gĩp c a các nhà tốn h c nh ư Gant ơn (1822-1911), Pi cx ơn (1857-1936), Cramer, Fisher, Von Neuman, Th ng kê tốn h c đã cĩ các ng d ng hi u qu trong nhi u l ĩnh v c khoa h c, cơng ngh , kinh t và xã h i khác nhau nh ư v t lí, hĩa h c, c ơ h c, sinh v t, y h c, d báo, khí t ưng, th y v ăn, vơ tuy n, đin t , ngơn ng h c, xã h i h c, Cĩ th nĩi lí thuy t xác su t và th ng kê tốn h c đã tr thành ki n th c c ơ s khơng th thi u c a m i k s ư t ươ ng lai. Giáo trình đưc biên so n l n đ u nên ch c ch n cịn nhi u khi m khuy t. Tác gi chân thành c m ơn nh ng ý ki n đĩng gĩp quý báu c a đ c gi đ giáo trình ngày mt hồn thi n. Xin chúc các b n thành cơng! ðà n ng 1/2005 Tác gi .
CH ƯƠ NG 0 GI I TÍCH K T H P I. T P H P 1. CÁC KHÁI NI M C Ơ B N • ðnh ngh ĩa: Khái ni m tp h p là khái ni m n n t ng cho tốn h c c ũng nh ư ng dng c a nĩ. Tp hp là khái ni m nguyên thu khơng đnh ngh ĩa chính xác d a trên các khái ni m khác. Tp h p đưc coi là k t h p các đ i t ưng cĩ cùng b n ch t (thu c tính, d u hi u ) chung nào đĩ. Tp h p th ưng đưc ký hi u b ng các ch cái A, B, C , Các ph n t c a tp h p ký hi u b ng các ch th ưng a, b, c, ð ch x là ph n t c a t p h p X ta vi t : x ∈ X ( đc : x thu c X ) ð ch x khơng ph i là ph n t c a X ta vi t : x ∉ X ( đc : x khơng thu c X ) Tp khơng cĩ ph n t g i là t p r ng và ký hi u ∅. • Bi u di n t p h p: Cĩ hai cách bi u di n t p h p nh ư sau (i) Li t kê các ph n t : + Ví d A = { a, b, c } X = { x 1, x 2, , x n } (ii) Bi u di n t p h p b ng cách mơ t tính ch t : + Ví d C = { n | n là s ch n } Y = { x | x là nghi m ph ươ ng trình x 2 + 2x - 5 = 0 } • Lc l ưng t p h p: S ph n t c a tp A, ký hi u là |A|, g i là lc l ưng c a t p A. Nu |A| < ∞∞∞ , ta nĩi A là t p h u h n, n u |A| = ∞∞∞ , ta nĩi A là t p vơ h n. Trong ch ươ ng trình này ta gi thi t các t p h p là h u h n. • Quan h bao hàm : Cho hai tp A, B. Nu m i ph n t thu c A c ũng thu c B ta nĩi A là t p con c a B và ký hi u A ⊂ B Nu A khơng ph i t p con c a B ta ký hi u A ⊄ B Nu A ⊂ B và B ⊂ A ta nĩi A b ng B và ký hi u A = B Nu A ⊂ B , A ≠ ∅ và B ≠ A, thì ta nĩi A là tp con th c s c a B.
+ Ví d (i) T p r ng ∅ cĩ l c l ưng b ng 0, | ∅| = 0. V i m i t p A, ∅ ⊂ A. (ii) Cho đa th c P(x). Ký hi u S = {x | P(x) = 0}. S là t p h u h n. (iii) Ký hi u N là t p s t nhiên, N = {0, 1, 2, }; Q là t p s h u t ; R là t p sĩ th c. Ta cĩ N ⊂⊂⊂ Q ⊂⊂⊂ R. Bây gi ta xét t p h u h n A. Ký hi u t p t t c t p con c a A là P(A) • ðnh lý 1 . N u |A| = n , thì | P(A)| = 2 n Ch ng minh . Quy n p theo n. 2. CÁC PHÉP TỐN T P H P Cho các t p A, B, X1, X 2, , X n ( n ∈ N ) là các t p con c a t p “v ũ tr ” U nào đĩ. Ta đnh ngh ĩa các phép tốn sau. + Phép hi u: Hi u c a A và B, ký hi u A \ B là t p: A \ B = { x  x ∈ A & x ∉ B } + Ph n bù: Ph n bù c a A (trong U ) là t p A = U \ A + Phép h p: H p c a A và B, ký hi u A ∪ B là t p A ∪ B = { x | x ∈ A ho c x ∈ B } Tươ ng t , h p c a X1, X 2, , X n là t p n = ∃ ≤ ≤ ∈ ∪ X i {x | k,1 k n, x X k } i=1 + Phép giao: Giao c a A và B, ký hi u A ∩ B là t p A ∩ B = { x  x ∈ A & x ∈ B } Tươ ng t , giao c a X1, X 2, , X n là t p n = ∀ ≤ ≤ ∈ ∩ X i {x | k,1 k n, x X k } i=1
+ Tích ð-các - Tích ð-các c a hai t p A, B là t p A x B = { (a,b) a ∈ A & b ∈ B } - Tích ð-các c a các t p X 1, X 2, , X n là t p X1x X2 x x X n = { (x 1, x 2, , x n)  x 1∈ X 1 & x 2 ∈ X 2 & & x n ∈ X n } + Phân ho ch : - N u A ∩ B = ∅, ta nĩi A và B ri nhau . - N u các t p X 1, X 2, , X n tho A = X 1 ∪ X 2 ∪ ∪ X n và chúng r i nhau t ng đơi m t, ta nĩi { X 1, X 2, , X n } là m t phân ho ch c a t p hp A. • ðnh lý 1 . Gi s { X 1, X 2, , X n } là m t phân ho ch c a t p S. Khi đĩ S= X1+ X2 + + Xn  Ch ng minh . Hi n nhiên. • ðnh lý 2 . Cho các t p A, B, C trong t p v ũ tr U, khi đĩ ta cĩ : (i) Lu t k t h p : ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (ii) Lu t giao hốn : A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A (iii) Lu t phân b : A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (iv) Lu t đi ng u De Morgan : A ∪ B = A ∩ B & A ∩ B = A ∪ B n n n n = = ∪ X i ∩ X i & ∩ X i ∪ X i i=1 i=1 i=1 i=1 Ch ng minh . (bài t p).
• ðnh lý 3 (v l c l ưng t p h p). (i) Lc l ưng t p con: A ⊂ B ⇒ |A| ≤ |B| (ii) Lc l ưng c a h p A ∪ B = A+ B − A ∩ B  (iii) Nguyên lý bù tr Poincaré: n n   = ()− m−1 ∩ ∩ ∩ ∪ Ak ∑ 1 ∑ Ai Ai Ai  1 2 m = =≤ ≤ ≤ ≤ ≤ k 1 m1 1 i1 i2 im n  (iv) L c l ưng tích ð-các X1x X 2 x x X n = X1. X2 . . Xn  (v) L c l ưng t ươ ng đươ ng: |A| = |B| ⇔ Tn t i song ánh t A vào B. Ch ng minh . (bài t p).
II. GI I TÍCH K T H P 1. BÀI TỐN GI I TÍCH K T H P Trong th c t ta th ưng g p bài tốn sau: Cho m t t p h u h n X. Các ph n t c a X đưc ch n và ghép theo quy lu t nào đĩ. Hãy tính s nhĩm t o thành. Ngành tốn h c nghiên c u các bài tốn lo i này g i là Gi i tích k t h p. • Ví d : Cơng ty phát hành sách bán sách thơng qua h th ng hi u sách. Gi s cĩ 12 đu sách và các đu sách ký hi u là 1, 2, , 12. Cĩ 3 khách hàng đn hi u sách đt mua, m i ng ưi 1 quy n. G i x 1, x 2, x 3 l n l ưt là quy n sách mà khách hàng th nh t, th hai, th ba đt mua ( x 1, x 2, x 3 ∈ {1, 2, , 12 } ). Hi cĩ bao nhiêu b ( x 1, x 2, x 3 ) ? Kt qu bài tốn đm này ph thu c vào vi c ai giao sách: hi u sách hay cơng ty. (i) Tr ưng h p 1: Ng ưi giao sách là hi u sách và các khách hàng đt mua các đ u sách khác nhau . Khi đĩ hi u sách c n bi t th t c a b ( x 1, x 2, x 3 ). S b ( x 1, x 2, x 3 ) s là 12.11.10 = 1320 (ii) Tr ưng h p 2: Ng ưi giao sách là hi u sách và các khách hàng cĩ th đt mua các đ u sách gi ng nhau . Khi đĩ hi u sách c n bi t th t c a b ( x 1, x 2, x 3 ) và x 1, x 2, x 3 cĩ th gi ng nhau . S b ( x 1, x 2, x 3 ) s là 12 3 = 1728 (iii) Tr ưng h p 3: Ng ưi giao sách là cơng ty và các khách hàng đt mua các đ u sách khác nhau . Khi đĩ cơng ty khơng c n bi t th t c a b ( x 1, x 2, x 3 ). S b ( x 1, x 2, x 3 ) s là 12.11.10 / 1.2.3 = 1320 / 6 = 220 (iv) Tr ưng h p 4: Ng ưi giao sách là cơng ty và các khách hàng cĩ th đt mua các đ u sách gi ng nhau . Khi đĩ cơng ty khơng c n bi t th t c a b (x 1, x 2, x 3 ) và x 1, x 2, x 3 cĩ th gi ng nhau. S b ( x 1, x 2, x 3 ) s g m các tr ưng h p sau: + Tr ưng h p 3 ng ưi cùng đt mua 1 đu sách: cĩ 12 kh n ăng. + Tr ưng h p 3 ng ưi cùng đt mua 2 đu sách: cĩ C(12,2). 2 = 132 kh n ăng ( C(n, k) là s t h p ch p k c a n ph n t).
+ Tr ưng h p 3 ng ưi cùng đt mua 3 đu sách: cĩ 220 kh n ăng. Tng c ng s b (x 1, x 2, x 3 ) là 12 + 132 + 220 = 364 2. CÁC K T H P C Ơ B N a) Nguyên lý nhân: Xét bài tốn gi i tích kt h p trên. Ta gi s m i nhĩm k t h p các ph n t ca t p X đưc xây d ng qua k b ưc: Bưc 1 cĩ n 1 kh n ăng Bưc 2 cĩ n 2 kh n ăng . . . Bưc k cĩ n k kh n ăng Khi đĩ s nhĩm k t h p là n1.n 2. . . . . n k b) Ch nh h p + ðnh ngh ĩa: M t ch nh h p ch p k c a n ph n t là m t b cĩ th t g m k thành ph n l y t n ph n t đã cho. Các thành ph n khơng đưc l p l i. Mt ch nh h p ch p k c a n cĩ th đưc xây d ng qua k b ưc k ti p nh ư sau : Ch n thành ph n đu : cĩ n kh n ăng. Ch n thành ph n th hai : cĩ n - 1 kh n ăng. Ch n thành ph n th k : cĩ n - k + 1 kh n ăng. Nh ư v y, theo nguyên lý nhân, s t t c ch nh h p khơng l p ch p k c a n ph n t là n! A(n, k) = n(n −1) ( n − k + )1 = (n − k)! + Ví d 1 : Tính s hàm đơ n ánh t t p X cĩ k ph n t đ n t p Y cĩ n ph n t . Gi i : M i hàm đơ n ánh t X vào Y t ươ ng ng v i m t ch nh h p khơng lp ch p k c a n ph n t c a Y. Nh ư v y s c n tìm là A(n, k) = n.(n-1) (n-k+1).
+ Ví d 2 : Quay l i ví d m c tr ưc. Trong tr ưng h p 1, m i b (x 1, x 2, x 3) là m t ch nh h p ch p 3 c a 12. V y s b là A(12, 3) = 12.11.10 = 1320 c) Ch nh h p l p + ðnh ngh ĩa: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t b cĩ th t g m k thành ph n l y t n ph n t đã cho. Các thành ph n cĩ th đưc l p l i. Mt ch nh h p l p ch p k c a n cĩ th xem nh ư m t ph n t c a tích ð -các Xk, vi X là t p n ph n t . Nh ư v y s t t c các ch nh h p l p ch p k c a n là: nk + Ví d 1: Tính s hàm t t p X cĩ k ph n t đ n t p Y cĩ n ph n t . Mi hàm t X vào Y t ươ ng ng v i m t b cĩ th t k thành ph n c a n ph n t c a Y, các ph n t cĩ th l p l i . Nh ư v y s hàm t X vào Y là nk . + Ví d 2 : Quay l i ví d m c tr ưc. Trong tr ưng h p 2, m i b (x 1, x 2, x 3) là m t ch nh h p lp ch p 3 c a 12. V y s b là 12 3 = 1728 d) Hốn v + ðnh ngh ĩa : M t hốn v c a n ph n t là m t cách s p x p th t các ph n t đĩ. Hốn v cĩ th coi nh ư tr ưng h p riêng c a ch nh h p khơng l p ch p k c a n trong đĩ k = n. Ta cĩ s hốn v là P(n) = n! + Ví d : Cĩ 6 ng ưi x p thành hàng ngang đ ch p nh. H i cĩ th b trí bao nhiêu ki u khác nhau ? Gi i: M i ki u nh là m t hốn v c a 6 ng ưi. V y s ki u nh là 6! = 720. e) T h p + ðnh ngh ĩa: M t t h p ch p k c a n ph n t là m t b khơng k th t g m k thành ph n khác nhau l y t n ph n t đã cho. Nĩi cách khác ta cĩ th coi m t t hp ch p k c a n ph n t là m t t p con cĩ k ph n t c a n ph n t đĩ. Gi s t h p ch p k c a n ph n t là C(n,k) ta cĩ : A(n,k) = C(n,k) * k! Suy ra n! C(n,k) = k!.( n − k)! + Ví d 1: Cĩ n đi bĩng thi đ u vịng trịn. Ph i t ch c bao nhiêu tr n đ u bĩng tt c ? Gi i : M i tr n ng v i m t t h p ch p 2 c a n. V y cĩ C(n,2) tr n đ u.
+ Ví d 2 : Quay l i ví d m c tr ưc. Trong tr ưng h p 3, m i b (x 1, x 2, x 3) là m t t hp ch p 3 c a 12. V y s b là 12 ! 12 .11.10 C(12, 3) = = = 220 3!.(12 − 3)! 3.2.1 + H qu : Tích k s t nhiên liên ti p chia h t k! Ch ng minh. Vì C(n,k) = (n-k+1).(n-k+2) n / k! là s nguyên. 3. CÁC K T H P NÂNG CAO a) Hốn v l p + Ví d : Cĩ 3 viên bi đ, 2 viên bi xanh và 4 viên bi tr ng. H i cĩ bao nhiêu cách sp các viên bi trên theo hàng ngang. Ta cĩ t t c 9 ch tr ng đ x p các viên bi. Ta cĩ C(9,3) kh n ăng x p 3 viên bi đ, C(6,2) kh n ăng x p 2 viên bi xanh, cịn l i 1 kh n ăng x p các viên bi tr ng. Theo nguyên lý nhân ta cĩ !9 !6 !9 C(9,3).C(6,2) = . = 3!. 6! 2!. 4! 3!. 2!. 4! cách x p. + ðnh ngh ĩa: Hốn v l p là hốn v trong đĩ m i ph n t đưc n đnh mt s l n lp l i cho tr ưc. + ðnh lý : Gi s t p S cĩ n ph n t , trong đĩ cĩ n 1 ph n t ki u 1, n 2 ph n t ki u 2, , n k ph n t ki u k. Khi đĩ s các hốn v n ph n t c a S là () = n! Cn n1 ,n2 , , nk n1!. n2! nk ! b) T h p l p + Ví d : Gi s ta cĩ 3 đu sách : Tốn, Tin, Lý và m i đu sách cĩ ít nh t 6 b n photocopy. H i cĩ bao nhiêu cách ch n ra 6 quy n. Gi i: Bài tốn đt ra là ch n 6 ph n t , khơng k th t và cho phép l p l i. Mi cách ch n đưc xác đ nh duy nh t b i s l ưng c a m i lo i sách. Nh ư v y ta cĩ th bi u di n m i cách ch n nh ư sau Tốn Tin Lý x x x | x x | x trong đĩ 6 d u x ch quy n sách ch n và 2 d u | ch phân cách gi a các lo i sách. Nh ư v y m i cách ch n t ươ ng đươ ng v i t h p ch p 2 (d u |) t 8 ph n t. Ta cĩ s cách ch n là C(8,2) = 28. + ðnh ngh ĩa: T h p l p ch p k t n ph n t là m t nhĩm khơng phân bi t th t gm k ph n t trích t n ph n t đã cho, trong đĩ các ph n t cĩ th đưc l p l i.
+ ðnh lý : Gi s X cĩ n ph n t . Khi đĩ s t h p l p ch p k t n ph n t ca X là: C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k). + Ví d : Quay l i ví d m c 1. Trong tr ưng h p 4, m i b (x 1, x 2, x 3) là m t t h p ch p 3 c a 12. V y s b là C(3 + 12 − 1, 3) = C(14, 3) = 14.13.12 / 1.2.3 = 364 + Ví d : Ph ươ ng trình: x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10 cĩ bao nhiêu b nghi m nguyên khơng âm ? Gi i : M i b i nghi m nguyên khơng âm c a ph ươ ng trình t ươ ng ng 1-1 vi m t cách ch n 10 ph n t , trong đĩ ph n t ki u i l p l i x i l n, i=1, ,4. V y s b nghi m là s t h p l p ch p 10 c a 4. V y ta cĩ s nghi m là C(10 + 4 -1 , 4 - 1) = C(13, 3) = 286 c) T h p l p t ng quát + ðnh ngh ĩa: T h p l p t ng quát ch p k t n ph n t là nhĩm khơng phân bi t th t g m k ph n t trích t n ph n t đã cho, trong đĩ ph n t th i l p l i khơng quá k i l n (i=1, ,n), v i k 1 + + k n ≥ k. + Cơng th c: G i Ω là t p h p t t c các t h p l p ch p k t n ph n t . Ta cĩ |Ω| = C(k + n − 1, k). Ký hi u A i , i = 1, n, là s t h p l p trong Ω cĩ ph n t th i l p l i h ơn k i ln. Nh ư v y t p h p t h p l p t ng quát là n Ω \ ∪ Ai i=1 Suy ra s t h p l p t ng quát là n   k = + − + ()− m ∩ ∩ Cn (k1, , kn ) C(k n ,1 k) ∑ 1 ∑ Ai Ai  1 m =≤ ≤ ≤ ≤ m1 1 i1 im n  Mt khác m i ph n t c a A ∩ ∩ A sau khi lo i k +1 ph n t th i 1, , i1 im i1 k +1 ph n t th i m, là m t t h p l p ch p k− ( k + k + + k + m). im i1 i2 im Nh ư v y ta cĩ A ∩ ∩ A = C(n −1+ k − (k + + k + m), n −1)) i1 im i1 im Suy ra
n   k = + − + − m − + − + + + − Cn (k1, , k n) C(k n ,1 k) ∑( )1 ∑C(n 1 k (ki ki m), n 1)) 1 m =≤ ≤ ≤ ≤ m1 1 i1 im n  + Ví d : Cho 1 bi đ, 2 bi xanh và 3 bi vàng. Tính s t h p chp 3 c a các viên bi trên. Mi t h p là m t t h p l p ch p 3 c a 3 ph n t bi đ, bi xanh và bi vàng, trong đĩ bi đ l p khơng quá 1 l n, bi xanh l p khơng quá 2 l n, bi vàng l p khơng quá 3 l n. V y s t h p là 3 = − + − − C3 )3,2,1( C 3( 1 3,3 )1 [C 3( −1+ 3( −1−1),3 − )1 + C 3( −1+ 3( − 2 − ),1 3 − )1 + C 3( −1+ 3( − 3 −1),3 − )1 ]+ 0 = C )2,5( − C )2,3( − C )2,2( − C )2,1( = 10 − 3 −1 = 6 4. H S NH TH C a) Các tính ch t c ơ b n Vi m i n, k ∈ N, k ≤ n. (i) C(n,k) = C(n,n-k) C(n,0) = C(n,n) = 1 (ii) Cơng th c tam giác Pascal C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) (iii) Cơng th c gi m b c k.C(n,k) = n.C(n-1,k-1) b) Nh th c Newton Vi n ∈ N, x, y ∈ C ta cĩ (x+y) n = C(n,0).x n + C(n,1).x n-1.y + + C(n,n-1).x.y n-1 + C(n,n).y n + H qu nh th c Newton: (i) C(n,0) + C(n,1) + + C(n,n) = 2 n (s các t p con c a n ph n t là 2 n ) (ii) C(n,0) - C(n,1) + + (-1) nC(n,n) = 0 [n ] [n−1 ] 2 2 (iii) ∑C(n 2, j) = ∑C(n 2, j + )1 = 2 n-1 j =0 j =0 (s t p con ch n b ng s t p con l ). c) Cơng th c Vandermonde Cho a,b,n ∈ N. Ta cĩ
n ∑C(a,k). C(b,n − k) = C(a + b,n) k =0 CM. G i E là t p cĩ a+b ph n t , A, B ⊂ E r i nhau, A cĩ a ph n t và B cĩ b ph n t . Khi đĩ m i t h p ch p n c a các ph n t trong E là m t k t h p c a m t t h p ch p k c a các ph n t trong A và t h p ch p n−k c a các ph n t trong B. T đĩ suy ra cơng th c. Áp d ng cơng th c cho a = b = n suy ra • H qu : V i n ∈ N ta cĩ n ∑C(n,k)2 = C 2( n,n) k =0
CH ƯƠ NG I S KI N VÀ XÁC SU T I. PHÉP TH VÀ S KI N 1. ðnh ngh ĩa • Phép th là s th c hi n m t b điu ki n xác đ nh, cĩ th là m t thí nghi m c th , quan sát đo đ c hay thu th p d li u v m t hi n t ưng nào đĩ. • S ki n c a phép th là m t k t c c x y ra nào đĩ c a phép th . M t phép th cĩ th cĩ nhi u s ki n. + Ví d (i) Gieo m t đ ng ti n là phép th . Hai s ki n cĩ th x y ra là xu t hi n m t sp, ho c xu t hi n m t ng a. (ii) Gieo m t con xúc s c là phép th . Các k t c c sau là các s ki n c a phép th : - Xu t hi n m t 1 ch m - Xu t hi n m t 2 ch m - Xu t hi n m t 3 ch m - Xu t hi n m t 4 ch m - Xu t hi n m t 5 ch m - Xu t hi n m t 6 ch m - Xu t hi n m t cĩ s ch m l - Xu t hi n m t cĩ s ch m ch n (iii) Quan sát ghi nh n tu i th c a m t chi ti t máy, hay c a m t lo i bĩng đèn, là m t phép th . S ki n c a nĩ cĩ th là giá tr b t k ỳ trong kho ng [0,+ ∞), ho c m t kho ng (a,b) ⊂ [0,+ ∞) nào đĩ mà tu i th r ơi vào. • S ki n s ơ c p Trong các s ki n ta th y, cĩ s ki n là k t h p c a các s ki n khác, ch ng hn nh ư s ki n xu t hi n m t cĩ s ch m l ví d (ii) là h p c a ba s ki n xu t hi n m t 1 ch m, m t 3 ch m và m t 5 ch m. Nh ng s ki n khơng th phân chia ra các s ki n nh h ơn g i là s ki n s ơ cp, ví d nh ư s ki n xu t hi n m t 1 ch m, 2 ch m, , m t 6 ch m ví d (ii). • Khơng gian các s ki n s ơ c p c a phép th là t p h p t t c các s ki n s ơ c p ca phép th đĩ, th ưng ký hi u là Ω. + Ví d . Khơng gian các s ki n s ơ c p c a phép th gieo con xúc s c là Ω = { ωi  i = 1, 2, . . . , 6 } vi ωi , i=1, ,6, là s ki n xu t hi n m t cĩ i ch m. Bây gi ta cho Ω là khơng gian s ki n s ơ c p c a phép th α. D th y r ng, mi s ki n A ca phép th α là tp con c a Ω.
Các s ki n c a phép th t o thành khơng gian s ki n, đưc đnh ngh ĩa chính xác nh ư sau. • Khơng gian s ki n. Cho khơng gian s ki n s ơ c p Ω c a phép th α. Cho B là σ−đi s trên Ω, t c B tho Ω ⊂ ∈ ∈ ∈ ∈ (i) B; (ii) A B ⇒ A B; (iii) A i B ⇒ ∪ Ai B i Khi đĩ B g i là m t khơng gian s ki n c a phép th α. S ki n ∅ khơng bao gi x y ra, g i là s ki n b t kh . S ki n Ω luơn x y ra, g i là s ki n t t y u. S ki n ng u nhiên là s ki n khác ∅ và Ω. 2. Quan h và phép tính s ki n Cho phép th α v i khơng gian s ki n B, A, B ∈ B. • S ki n A g i là s ki n riêng c a s ki n B, ký hi u A ⊂ B, n u s ki n A xu t hi n kéo theo s ki n B c ũng xu t hi n. • S ki n A g i là tươ ng đươ ng s ki n B, ký hi u A = B, n u A ⊂ B và B ⊂ A. • S ki n t ng c a s ki n A và s ki n B, ký hi u A ∪ B, là s ki n x y ra khi và ch khi x y ra s ki n A ho c s ki n B. • S ki n tích c a s ki n A và s ki n B, ký hi u A ∩ B hay A.B, là s ki n x y ra khi và ch khi x y ra s ki n A và s ki n B. Tươ ng t ta đnh ngh ĩa s ki n t ng và s ki n tích c a nhi u s ki n n n ∪ Ai , ∩ Ai i=1 i=1 • S ki n hi u c a s ki n A đi v i s ki n B, ký hi u A \ B , là s ki n x y ra khi và ch khi x y ra s ki n A và khơng x y ra s ki n B. • S ki n đ i l p c a s ki n A là s ki n A = Ω \ A. • A và B g i là xung kh c n u A ∩ B = ∅. • T p h p các s ki n { A 1, . . . , A n } g i là nhĩm đy đ các s ki n n u chúng xung kh c t ng c p m t và t ng c a chúng là s ki n t t y u Ω. + Ví d . Xét phép th gieo con xúc x c. Các s ki n xu t hi n m t i ch m ωi , i=1, ,6, t o thành nhĩm đy đ các s ki n. Nu ta ký hi u A là s ki n xu t hi n m t l và B là s ki n xu t hi n m t ch n thì {A, B} c ũng là nhĩm đy đ các s ki n.
II. XÁC SU T 1. Khái ni m xác su t Quan sát các s ki n ng u nhiên ta th y kh n ăng xu t hi n c a chúng khơng gi ng nhau. T đĩ n y sinh v n đ đo l ưng kh n ăng xu t hi n c a s ki n ng u nhiên. M i s ki n A đưc gán m t s khơng âm P(A) đ đo kh n ăng xu t hi n đưc g i là xác su t c a s ki n. • ðnh ngh ĩa. Cho khơng gian s ki n B c a phép th α. Ánh x P : B → [0; 1] g i là xác su t trên B, n u (i) P( Ω) = 1 (ii) V i m i t p s ki n {A i | i ∈ I } ⊂ B , I là t p ch s h u h n ho c vơ h n, t ng đơi mt xung kh c ta cĩ     = () P∪ Ai  ∑ P Ai  i∈I  i∈I Khi đĩ ( Ω, B, P) g i là khơng gian xác su t. • Tr ưng h p Ω = { ω1, . . . , ωn } là khơng gian s ki n r i r c h u h n. + Mnh đ. Tp h p t t c t p con c a Ω, ký hi u P(Ω), là khơng gian s ki n. + ðnh lý . Cho Ω là khơng gian s ki n s ơ c p h u h n. Cho P là xác su t trên P(Ω). Ký hi u p i = P( ωi), ∀i=1, ,n. Khi đĩ ta cĩ (i) pi ≥ 0, ∀ i = 1, , n n = (ii) ∑ pi 1 i=1 Ng ưc l i, M i t p { p i | i = 1, . . . , n } tho (i), (ii) xác đnh m t xác su t trên P(Ω) v i = ∀ ∈ Ω P(A) ∑pi , A P( ) ω∈ i A + Ví d : Cho Ω = { ωi | i = 1, , 6 } là khơng gian s ki n s ơ c p c a phép th gieo xúc x c, trong đĩ ωi là s ki n xu t hi n m t i. Khi đĩ t p { p i = 1/6 | i=1, ,6} xác đnh m t xác su t trên P(Ω). 2. Các tính ch t c a xác su t Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P) c a phép th nào đĩ. Khi đĩ (i) P( ∅) = 0 (ii) P( A ) = 1 − P(A) (iii) A ⊂ B ⇒ P( B \ A ) = P(B) − P(A) (iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P( A ∩ B)
 n  n = ()− m−1 ∩ ∩ ∩ (v) P∪ Ak  ∑1 ∑ P(Ai Ai Ai )   1 2 m =≤ ≤ ≤ ≤ ≤  k=1  m11 i1 i2 im n Ch ng minh. Các tính ch t (1)-(iv) suy ra t đnh ngh ĩa. Tính ch t (v) ch ng minh b ng quy n p. 3. Cách tính xác su t trong tr ưng h p đ ng kh n ăng a) Tr ưng h p s ki n s ơ c p h u h n • ðnh ngh ĩa. Cho khơng gian s ki n s ơ c p Ω = { ω1, . . . , ωn } c a phép th nào đĩ. Ta nĩi Ω đng kh n ăng n u các s ki n s ơ c p cĩ xác su t nh ư nhau: P( ωi) = P( ωj) , ∀i, j = 1, , n Khi đĩ, t tính ch t xác su t, ta cĩ: (i) P( ωi) = 1/n ∀i = 1, . . . , n (ii) P(A) = |A|/n ∀A ⊂ Ω trong đĩ |A| là l c l ưng c a t p A. Nĩi cách khác S k t c c thu n l i s ki n A P(A) = S k t c c đng kh n ăng + Ví d (i) Gieo m t xúc x c hồn tồn đi x ng. Tính xác su t (a) xu t hi n m t 6 ch m (b) xu t hi n m t b i c a 3 Gi i Gi A là s ki n xu t hi n m t 6 ch m, B là s ki n xu t hi n m t b i c a 3. S s ki n s ơ c p đng kh n ăng là 6, s k t c c thu n l i s ki n A là 1, s kt c c thu n l i s ki n B là 2. V y P(A) = 1/6 và P(B) = 2/6 = 1/3 (ii) Trong thùng cĩ a qu c u tr ng, b qu c u đen gi ng h t nhau. L y ng u nhiên n qu ( n ≤ a + b). Tính xác su t rút đưc k qu c u tr ng. Gi i. Mi k t c c c a phép th (rút n qu c u) là m t t h p ch p n c a (a+b) ph n t. Nh ư v y s k t c c đng kh n ăng là C(a+b, n). Gi A k là s ki n rút đưc k qu c u tr ng. Nh ư v y nh ng k t c c rút đưc k qu c u tr ng và n − k qu c u đen là thu n l i cho s ki n A k. S k t c c này là C(a,k)*C(b,n-k). Vy xác su t c a s ki n rút k qu c u tr ng là C(a,k). C(b,n − k) P(A k) = C(a + b,n) n = T tính ch t ∑ P(Ak ) 1 suy ra k =0 H qu : cơng th c de Vandermonde
n ∑C(a,k). C(b,n − k) = C(a + b,n) k =0 (iii) Gi thi t gi ng ví d (ii). Tính xác su t rút đưc ít nh t 1 qu c u tr ng. Gi i. Gi A là s ki n rút đưc ít nh t 1 qu cu tr ng. Khi đĩ s ki n bù c a A, t c A , là s ki n c n qu c u đưc rút đu đen. S k t c c thu n l i A là C(b, n), nên xác su t s ki n A là C(b,n)/C(a+b,n). Suy ra xác su t s ki n A là P(A) = 1 − P( A ) = 1 − C(b,n)/C(a+b,n). b) Tr ưng h p s ki n s ơ c p vơ h n • ðnh ngh ĩa. Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P), | Ω| = ∞. Gi thi t m: B→R+ là ánh x đnh ngh ĩa trên B tho (i) 0 < m( Ω) < ∞ (ii) V i m i t p s ki n {A i | i ∈ I } ⊂ B , I là t p ch s h u h n ho c vơ h n, t ng đơi mt xung kh c ta cĩ     = () m∪ Ai  ∑ m Ai  i∈I  i∈I Ánh x m g i là đ đo trên B. Ta nĩi Ω đng kh n ăng n u xác su t c a m i s ki n trong B t l v i đ đo c a nĩ. Khi đĩ, t tính ch t xác su t, ta cĩ: P(A) = m(A)/m( Ω) ∀A ⊂ Ω Nĩi cách khác ð đo mi n k t c c thu n l i s ki n A P(A) = ð đo mi n k t c c đng kh n ăng • ð đo hình h c. - ð đo c a đon th ng hay đưng cong là đ dài. - ð đo c a mi n ph ng hay mi n cong là di n tích. - ð đo c a v t th là th tích. + Ví d : (i) ðưng dây đin tho i ng m n i ba tr m A, B và C (xem hình). B ng nhiên liên l c gi a A và C b ng t do đt dây. Hãy tính xác su t dây đt trong đon dây t A đn B. Bi t r ng dây đng ch t, đon AB dài 400 m và đon BC dài 600m. A 400m B 600m C Gi i. Rõ ràng kh n ăng dây đt t i m i đim b t k ỳ là nh ư nhau. Nh ư v y xác su t dây đt trong m t đon t l v i đ dài c a đon dây đĩ. Suy ra xác su t dây đt trong đon AC là
400/(400 + 600) = 0.4 (ii) Hai ng ưi A và B h n g p nhau t i m t đa đim xác đnh trong kho ng t 0 đn 1 gi . Ng ưi đn tr ưc s ch t i đa 20 phút, n u ng ưi kia ch ưa đn thì s b đi. Tính xác su t h g p nhau. Bi t r ng m i ng ưi cĩ th đn ch h n vào th i đim bt k ỳ trong kho ng th i gian trên v i kh n ăng nh ư nhau. Gi i. Gi x là th i đim đn ch h n c a A và y là th i đim đn ch h n c a B (tính ra phút). M i k t c c đng kh n ăng là m t c p (x,y), 0 ≤ x,y ≤ 60. Tp khơng gian s ki n s ơ c p Ω s là hình vuơng y Ω = {(x,y) | 0 ≤ x, y ≤ 60} 60 Mi n k t c c thu n l i cho hai ng ưi g p nhau là ph n hình vuơng ch n gi a hai đưng th ng B y=x+20 và y=x−20 (xem hình bên) 20 B = {(x,y) | 0 ≤ x, y ≤ 60 và |x−y| ≤ 20} 0 20 60 x Suy ra xác su t hai ng ưi g p nhau là di n tích B chia cho di n tích Ω, t c là (60 2 − 40 2)/60 2 = 5/9 4. T n su t Trong th c t cĩ nh ng phép th khơng cĩ s s ki n s ơ c p đng kh n ăng. Ch ng h n nh ư phép th b n m t viên đn vào bia. Khi đĩ s ki n b n trúng bia và s ki n b n khơng trúng bia khơng th coi là đng kh n ăng. Trong nh ng tr ưng h p nh ư th này ng ưi ta s d ng khái ni m tn su t. • ðnh ngh ĩa. Cho A là s ki n c a phép th . Gi s phép th đưc l p l i n l n và s ki n A xu t hi n m l n. T s m/n g i là t n su t xu t hi n s ki n A trong lo t n phép th . Ng ưi ta đã ch ng minh m  → P(A) n n→∞ Vì v y trong th c t , khi n đ l n, ng ưi ta coi P(A) = m/n. + Ví d . Nhà tốn h c Laplace đã th ng kê tn su t sinh con trai các thành ph l n châu Âu là 22/43 = 0.512.
III. XÁC SU T CĨ ðIU KI N 1. Khái ni m xác su t cĩ điu ki n Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P), B ∈ B cĩ P(B) > 0. V i m i s ki n A ∈ B, xác su t đ A xu t hi n v i gi thi t s ki n B x y ra g i là xác su t cĩ điu ki n c a s ki n A v i điu ki n B. + Ví d . Ng ưi ta điu tra các gia đình cĩ hai con thì th y t l sinh con trai con gái bng nhau. Vì v y 4 kh n ăng sau cĩ xác su t b ng ¼: (T,T), (T,G), (G,T), (G,G) trong đĩ T ký hi u con trai, G ký hi u con gái và trong các c p trên anh ho c chi đng tr ưc, em đng sau. Gi s ng ưi ta gõ c a m t nhà cĩ hai con, và cĩ bé gái ra m c a (t c gia đình cĩ bé gái). Hãy tính xác su t đ đa bé cịn l i là con trai. Khơng gian s ki n s ơ c p là Ω = { (T,T), (T,G), (G,T), (G,G) } Gi A là s ki n gia đình cĩ 1 trai và 1 gái. Ta cĩ P(A) = ½. Nh ưng v i điu ki n gia đình cĩ bé gái thì các s ki n s ơ c p đng kh n ăng là Ω’ = { (T,G), (G,T), (G,G) } và cĩ 2 k t c c thu n l i cho A là (T,G) và (G,T). V y v i điu ki n gia đình cĩ bé gái thì xác su t c n tìm c a A là P’(A) = 2/3. Bây gi ta ký hi u B là s ki n gia đình cĩ con gái. Ta nĩi P’(A) là xác su t cĩ điu ki n c a A đi v i B và ký hi u là P(A/B). Ký hi u n là s k t cc đng kh n ăng nX là s k t c c thu n l i s ki n X, X ∈ B. Ta cĩ n A.B n A.B : n P(A.B) P(A/ B) = = = nB nB : n P(B) T đĩ ta đi đn đnh ngh ĩa sau • ðnh ngh ĩa. Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P), B ∈ B cĩ P(B) > 0. V i m i s ki n A ∈ B, ta đnh ngh ĩa xác su t cĩ điu kin c a s ki n A v i điu ki n B là đi l ưng P(A.B) P(A/ B) = P(B) Ta d dàng th y r ng đnh ngh ĩa này tho mãn các tiên đ xác su t và ánh x . Vy
P( •, B) : A P(A/B) c ũng là xác su t trên khơng gian s ki n B. Bng qui n p ta d dàng ch ng minh đnh lý sau • ðnh lý nhân xác su t. Cho các s ki n A 1, , A n. Khi đĩ P(A 1.A 2 A n) = P(A 1).P(A 2/A 1).P(A 3/A 1.A 2) P(A n/A 1 A n-1) 2. S ki n đ c l p Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P), A, B ∈ B. • S ki n A g i là đc l p v i s ki n B n u k t qu c a s ki n B khơng nh h ưng đn xác su t c a s ki n A. Hi n nhiên là n u P(A)=0 ho c P(B)=0 thì s ki n A đc l p v i B và B c ũng đc l p v i A. Nu P(A) ≠ 0 và P(B) ≠ 0 thì, theo đnh ngh ĩa, A đc l p v i B ⇔ P(A/B) = P(A) ⇔ P(A.B) = P(A).P(B) và B đc l p v i A ⇔ P(B/A) = P(B) ⇔ P(A.B) = P(A).P(B) Kt h p các k t qu trên ta cĩ Tính đc l p cĩ tính ch t t ươ ng h , t c là A đc l p v i B thì B c ũng đc l p vi A và A và B đc l p v i nhau ⇔ P(A.B) = P(A).P(B) Bây gi ta cho các s ki n A i ∈ B, i=1, ,n. • Các s ki n A 1, , A n g i là đc l p t ng đơi , n u ∀ i,j ∈ {1, ,n}, i ≠j ⇒ Ai, A j đc l p • Các s ki n A 1, , A n g i là đc l p t ươ ng h , n u m i s ki n A k, k=1, ,n, đc lp v i tích nhĩm b t k ỳ các s ki n cịn l i. T đnh lý nhân xác su t suy ra • ðnh lý. Các s ki n A 1, , A n đc l p t ươ ng h khi và ch khi   ∀ ⊂   = I {1, ,n}, P∩ Ai  ∏ P(Ai )  i∈I  i∈I + Ghi chú. V i n>2, khái ni m đc l p t ương h m nh h ơn đc l p t ng đơi. Xét ví d điu tra gia đình hai con trên. G i A là s ki n gia đình cĩ 1 trai, 1 gái. B là s ki n gia đình cĩ con gái đu C là s ki n gia đình cĩ con trai th Ta cĩ: P(A) = P(B) = P(C) = ½ Và: P(A.B) = P(B.C) = P(C.A) = ¼ Vy A, B, C đ c l p t ng đơi.
Nh ưng A, B, C khơng đc l p t ươ ng h vì P(A.B.C) = ¼ ≠ P(A).P(B).P(C) = 1/8 • ðnh lý . N u A, B đc l p thì các c p s ki n (A, B ), ( A ,B) và ( A , B ) c ũng đc lp. Ch ng minh . Ta cĩ P(A, B ) = P(A \ A.B) = P(A) − P(A.B) = P(A) − P(A).P(B) = P(A).(1 − P(B)) = P(A).P( B ) ⇒ A và B đc l p. ði v i các c p cịn l i c ũng ch ng minh t ươ ng t . T đnh lý trên và b ng qui n p suy ra • ðnh lý . Cho A1, , A n là các s ki n đc l p t ươ ng h . Khi đĩ các s ki n B 1, , ∀ Bn , trong đĩ B i là A i ho c Ai i=1, ,n, c ũng đc l p t ươ ng h + Ví d . (i) M t thùng đng n s n ph m, trong đĩ cĩ m ph ph m (m<n). Rút ng u nhiên 1 sn ph m, sau đĩ rút ti p 1 s n ph m n a (s n ph m rút l n đu khơng b l i vào thùng). Tính xác su t s n ph m rút đu là ph ph m và s n ph m rút sau là chính ph m. Gi i. G i A là s ki n s n ph m rút đu là ph ph m. B là s ki n s n ph m rút sau là chính ph m. Khi đĩ xác su t c n tìm là m n − m P(A.B) = P(A).P(B/A) = . n n −1 (ii) M t cơng nhân đng 3 máy, các máy ho t đng đc l p v i nhau. Xác su t đ trong th i gian T máy 1, 2, 3 khơng b h ng t ươ ng ng là 0.9 ; 0.8 ; 0.7. Tính xác su t cĩ ít nh t 1 máy b h ng trong th i gian T. Gi i. G i A là s ki n máy 1 khơng b h ng trong th i gian T. B là s ki n máy 2 khơng b h ng trong th i gian T. C là s ki n máy 3 khơng b h ng trong th i gian T. Xác su t đ c ba máy khơng b h ng trong th i gian T là P(A.B.C) = P(A).P(B).P(C) = 0.9 * 0.8 * 0.7 = 0.504 S ki n cĩ ít nh t 1 máy h ng đi l p v i s ki n A.B.C. V y xác su t c n tìm là: 1 − P(A.B.C) = 1 − 0.504 = 0.496
IV. CƠNG TH C XÁC SU T TỒN PH N và CƠNG TH C BAYES 1. Cơng th c xác su t tồn ph n Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P). Gi s A 1, , A n là nhĩm đy đ s ki n và B là s ki n b t k ỳ trong B. Bài tốn đt ra là: bi t xác su t P(A i) và P(B/A i), i=1, ,n, tính xác su t P(B). Ta cĩ B = B.(A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n) = B.A 1 ∪ B.A 2 ∪ ∪ B.A n Vì các s ki n A 1, , A n xung kh c t ng đơi nên các s ki n B.A 1, . . . , B.A n c ũng xung kh c t ng đơi. Suy ra n P(B) = ∑ P(B.Ai ) i=1 Mt khác ta cĩ P(B.A i) = P(A i).P(B/A i) ∀ i =1, , n T đĩ ta cĩ • Cơng th c xác su t tồn ph n n P(B) = ∑ P(Ai ). P(B / Ai ) i=1 + Ví d . (i) M t nhà máy s n xu t bĩng đèn g m ba phân x ưng. Phân x ưng 1 s n xu t 50%, phân x ưng 2 s n xu t 20% và phân x ưng 3 s n xu t 30% s bĩng đèn. T l ph ph m c a phân x ưng 1, 2 và 3 t ương ng là 2%, 3% và 4%. Hãy tính t l ph ph m chung c a nhà máy. Gi i. T l ph ph m chung c a nhà máy là xác su t m t bĩng đèn ch n ng u nhiên là ph ph m. Ta g i Ai là s ki n bĩng đèn ch n ra thu c phân x ưng i, i=1,2,3. B là s ki n bĩng đèn ch n ra là ph ph m. Theo cơng th c xác su t tồn ph n ta cĩ P(B) = P(A 1).P(B/A 1) + P(A 2).P(B/A 2) + P(A 3).P(B/A 3) = 50%.2% + 20%.3% + 30%.4% = 1% + 0.6% + 1.2% = 2.8% (ii) Bi t xác su t trong kho ng th i gian t cĩ k cu c g i đn t ng đài là p t(k). Gi thi t rng s các cu c g i trong các kho ng th i gian r i nhau là các s ki n đc l p. Hãy tính xác su t p 2t (n). Gi i. Gi B là s ki n cĩ n cu c g i trong kho ng th i gian 2t Ak , k=0, 1, ,n, là s ki n cĩ k cu c g i trong n a đu th i gian t. Ta cĩ P(A k) = p t(k) và P(B/A k) = p t(n−k) ∀k=0,1, , n
Theo cơng th c xác su t tồn ph n suy ra n − P(B) = p 2t (n) = ∑ pt (k). pt (n k) k =0 2. Cơng th c Bayes. Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P). Gi s A 1, , A n là nhĩm đy đ s ki n và B là s ki n b t k ỳ trong B. Bi t xác su t P(A i) và P(B/A i) ∀i=1, ,n. Gi thi t phép th đưc th c hi n và s ki n B x y ra. Hãy tính xác su t P(A i/B) ∀i=1, ,n. T cơng th c nhân xác su t P(A i.B) = P(A i).P(B/A i) = P(B).P(A i/B) ∀i=1, ,n suy ra P(Ai ). P(B / Ai ) P(A i/B) = ∀i=1, ,n P(B) Th P(B) theo cơng th c xác su t tồn ph n ta đưc • Cơng th c Bayes P(Ai ). P(B / Ai ) ∀ P(A i/B) = n i=1, ,n ∑ P(Ak ). P(B / Ak ) k =1 Xác su t P(A i/B) g i là xác su t h u nghi m, cịn xác su t P(A i) g i là xác su t tiên nghi m. + Ví d. (i) M t thi t b g m ba lo i linh ki n, lo i 1 chi m 35%, lo i 2 chi m 25%, lo i 3 chi m 40% t ng s linh ki n c a thi t b . Xác su t h ư h ng sau kho ng th i gian ho t đng T c a t ng lo i t ươ ng ng là 15%, 25% và 5%. Thi t b đang ho t đng b ng b h ng. Hãy tính xác su t h ư h ng c a t ng lo i linh ki n. Gi i. Gi B là s ki n thi t b b h ng Ak là s ki n linh ki n h ng thu c lo i k, k=1,2,3. Theo cơng th c xác su t tồn ph n, ta cĩ P(B) = P(A 1).P(B/A 1) + P(A 2).P(B/A 2) + P(A 3).P(B/A3) = 35%.15% + 25%.25% + 40%.5% = 5.25% + 6.25% + 2% = 13.5% ⇒ P(A 1 / B) = 5.25% / 13.5% = 7 / 18 P(A 2 / B) = 6.25% / 13.5% = 25 / 54 P(A 3 / B) = 2% / 13.5% = 4 / 27 (ii) Gi s m t h th ng truy n tin cĩ 1 máy phát và 1 máy thu. Ti máy phát cĩ th x y ra hai s ki n: phát tín hi u (s ki n B) và khơng phát tín hi u (s ki n B ).
Ti máy thu cĩ th x y ra hai s ki n: nh n tín hi u (s ki n A) và khơng nh n tín hi u (s ki n A ). Vì nh h ưng nhi u nên cĩ th x y ra hi n t ưng máy thu khơng nh n đưc tín hi u c a máy phát, ho c ng ưc l i máy phát khơng phát tín hi u nh ưng máy thu vn nh n tín hi u gi do t p âm. Gi s bi t xác su t P(B), P(A/B) và P(A/ B ). ð xác đnh đ tin c y c a h th ng, hãy tính xác su t P(B/A) và P( B / A ). Gi i. Theo cơng th c Bayes ta cĩ P(B). P(A/ B) P(B/A) = P(B). P(A/ B) + P()B .P()A/ B P(B).P(A/ B) P( B / A ) = P()B .P()A/ B + P()B .P()A/ B trong đĩ các xác su t P( B ), P( A /B), P( A / B ) tính nh ư sau P( B ) = 1 − P(B), P( A /B) = 1 − P(A/B), P( A / B ) = 1 − P(A/ B ) Ch ng h n, cho P(B) = 5/8, P(A/B) = 3/5 và P(A/ B ) = 1/3 ta cĩ: P( B ) = 1 − P(B) = 3/8, P( A /B) = 1 − P(A/B) = 2/5, P( A / B ) = 1 − P(A/ B ) = 2/3 Suy ra 5 . 3 3 3 3 . 2 2 1 P(B/A) = 8 5 = 8 = & P( B / A ) = 8 3 = 8 = 5 3 + 3 1 4 3 2 + 5 2 4 8 . 5 8 . 3 8 4 8 . 3 8 . 5 8 4
CH ƯƠ NG 2 BI N NG U NHIÊN I. KHÁI NI M BI N NG U NHIÊN 1. Ví d (i) Mt x th b n ba phát đn vào bia v i xác su t trúng bia m i phát là p. G i X là tn su t b n trúng bia. X cĩ th nh n các giá tr 0, 1/3, 2/3, 1. Ta th y X cĩ hai tính ch t: bi n thiên và ng u nhiên. Tính bi n thiên là hi n nhiên vì X cĩ th nh n các giá tr khác nhau. Tính ng u nhiên th hi n ch giá tr ca X ph thu c vào k t c c c a phép th b n ba phát đn. Phép th cĩ các k t c c s ơ c p sau: ω1 = (0, 0, 0); ω2 = (0, 0, 1); ω3 = (0, 1, 0); ω4 = (0, 1, 1) ω5 = (1, 0, 0); ω6 = (1, 0, 1); ω7 = (1, 1, 0); ω8 = (1, 1, 1) trong đĩ b ba (b 1, b 2, b 3) v i b i = 0 ho c 1 t ươ ng ng v i l n b n th i tr ưt ho c trúng đích. Ch ng h n, n u ω2 x y ra thì X = 1/3. Nh ư v y cĩ th coi X là hàm t Ω = { ωi | i=1, , 8} vào R. (ii) Tu i th trung bình c a chi ti t là a. Tuy nhiên th i gian làm vi c c a các chi ti t khơng gi ng nhau. Ký hi u X là đ l ch c a tu i th chi ti t so v i tu i th trung bình: X = | t − a |. trong đĩ t là tu i th chi ti t. Nh ư v y X c ũng là đi l ưng ng u nhiên. đây khơng gian s ki n s ơ c p là Ω = [0; + ∞). 2. ðnh ngh ĩa. Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P). Ánh x X : Ω R gi là bi n ng u nhiên , n u ∀ x ∈ R, { ω ∈ Ω | X( ω) ≤ x } ∈ B. • Bi n ng u nhiên X g i là bi n ng u nhiên ri r c, n u X( Ω) là h u h n ho c vơ hn đm đưc. Ch ng h n, bin ng u nhiên ví d (i) là bin ng u nhiên r i r c. • Bi n ng u nhiên X g i là bi n ng u nhiên liên t c, n u X( Ω) l p đy m t kho ng nào đy trên tr c s . Ch ng h n, bin ng u nhiên ví d (ii) là bin ng u nhiên liên t c.
II. BI N NG U NHIÊN R I R C 1. Lu t phân ph i xác su t ri r c • ðnh ngh ĩa. Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P) và bi n ng u nhiên r i r c X. Gi s t p các giá tr c a X là X( Ω) = { x i | i ∈ I } trong đĩ I là t p ch s hu h n ho c vơ h n đm đưc. Ta g i lu t phân ph i xác su t c a X là t p { p k | k ∈ I } trong đĩ p k , k ∈ I, là xác su t s ki n X = x k : pk = P(X = x k) = P( ω ∈ Ω | X( ω) = x k) Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên ri r c X đưc bi u din d ng dãy X = { (x i, p i) | i ∈ I } ho c d ng b ng X x1 x2 . . . xk . . . P p1 p2 . . . pk . . . Vì x k, k ∈ I , khác nhau t ng đơi nên các s ki n X = x k, k ∈ I xung kh c t ng đơi. Suy ra   =  ω ∈ Ω ω =  = Ω = ∑ pk P∪ { | X ( ) xk }  P( ) 1 k∈I  k∈I  + Ví d . (i) Lu t phân ph i xác su t nh th c B(n,p) . Gi s s ki n A c a phép rh α cĩ xác su t là p. Th c hi n phép th α n (n ∈N) l n m t cách đc l p. G i X là bi n ng u nhiên cĩ giá tr là t n s xu t hi n s ki n A. Hãy tìm lu t xác su t c a X. Gi i. X cĩ th nh n các giá tr 0, 1, 2, , n. ð tính xác su t p k = P(X=k) ta làm nh ư sau: Ký hi u A i là s ki n A phép th l n th i , i=1, , n. ð X=k thì trong n l n th c hi n phép th α, ph i cĩ đúng k l n s ki n A xy ra. Nh ư v y , đ X=k thì trong dãy s ki n (A 1, , A n) cĩ đúng k s ki n x y ra và n−k s ki n khơng x y ra. M i kh n ăng nh ư v y cĩ xác su t là pk.(1−p) n−k
Mt khác m i kh n ăng trên ng v i m t t h p ch p k c a n ph n t . V y ta nh n đưc cơng th c Bernoulli k n−k pk = C(n,k).p .(1−p) , ∀k=0, 1, , n Lu t phân ph i xác su t {(k, C(n,k).p k.(1−p) n−k | k=0, 1, , n} gi là lu t phân ph i xác su t nh th c B(n,p) . Xác su t đ s l n xu t hi n A n m trong kho ng t k 1 đn k 2 là k2 () = k − n−k Pn k1 , k2 ∑C(n,k). p 1( p) = k k1 (ii) Cĩ n x th b n bia. Xác su t b n trúng đích c a x th k là p k , k=1, , n. G i X là s x th b n trúng đích. Tìm lu t phân ph i xác su t c a X. Gi i. Lp lu n t ươ ng t nh ư trên ta th y cĩ C(n,k) kh n ăng k x th b n trúng đích và n−k x th b n tr ưt. Tuy nhiên xác su t m i kh n ăng khơng gi ng nhau. Vì v y xác su t P(X=k) là t ng c a C(n,k) s h ng, m i s h ng là tích c a k xác su t p i và n−k xác su t q j = 1−p j d ng p .p p .q .q q i1 i2 ik j1 j2 jn−k Nh ư v y k − P(X=k) = ∑ ∏ pi ∏ 1( p j ) h ≤ < < < ≤ = ∉ 1 i1 i2 ik n h 1 j {i 1 , , ik } trong đĩ m i b {i 1, , i k } là t h p ch p k ca n ph n t {1, 2, , n}. Ch ng h n, v i n = 4, p 1 = 0.1 ; p 2 = 0.2 ; p 3 = 0.3 ; p 4 = 0.4 ta cĩ P(X=2) = 0.1 x 0.2 x 0.7 x 0.6 + 0.1 x 0.8 x 0.3 x 0.6 + 0.1 x 0.8 x 0.7 x 0.4 + 0.9 x 0.2 x 0.3 x 0.6 + 0.9 x 0.2 x 0.7 x 0.4 + 0.9 x 0.8 x 0.3 x 0.4 = 0.2144 Ta cĩ th tính xác su t b ng hàm sinh : n ()+ n n−1 k ϕ(z) = ∏ qi pi .z = a nz + a n−1 z + + a kz + + a 1z + a 0 i=1
Khi đĩ P(X=k) = a k , ∀k=0, 1, , n Quay l i s li u trên ta cĩ ϕ(z) = (0.9 + 0.1z)(0.8 + 0.2z)(0.7 + 0.3z)(0.6 + 0.4z) = = 0.302 + 0.440z + 0.215z 2 + 0.040z 3 + 0.002z 4 Suy ra P(X=0) = 0.302 ; P(X=1) = 0.440 ; P(X=2) = 0.215 ; P(X=3) = 0.040 ; P(X=4) = 0.002 (iii) Gi s m t phép th cĩ m s ki n A 1, , A m h p thành nhĩm đy đ các s ki n. Xác su t s ki n A i là p i, i=1, ,m, khơng ph thu c vào l n th . Phép th đưc th c hi n n l n. Tính xác su t A i xu t hi n k i l n, i=1, ,m, trong đĩ k1 + + k m = n Gi i. Mi k t c c: A i xu t hi n k i l n, i=1, ,m, là m t hốn v lap và cĩ xác su t là k1 k2 km p1 .p2 pm Vy xác su t c n tìm là n! k1 k2 km Pn(k 1, , k m) = p1 .p2 pm k1!. k2! km! (iv) M t h p kín cĩ a qu c u tr ng và b qu c u đen. L y ng u nhiên n qu c u (n ≤ a+b). Gi X là s qu c u tr ng đưc l y ra. Tìm lu t phân ph i xác su t c a X. Gi i. Theo ví d ch ươ ng tr ưc, C(a,k). C(b,n − k) p = P(X = k) = , ∀k=0,1, ,n. k C(a + b,n) ðây là lu t phân ph i xác su t siêu hình h c H(a+b, n, a/(a+b)). (v) Trong m t s ng d ng k thu t, ta th ưng g p bi n ng u nhiên r i r c vơ h n cĩ lu t xác su t λk -λ {(k, e . | k = 2,1,0 , } k! trong đĩ λ > 0 là h ng s . Lu t này g i là lu t phân ph i xác su t Poisson , ký hi u là P( λ). • Bin ng u nhiên đc l p. Hai bi n ng u nhiên X và Y trên cùng khơng gian xác su t gi là đc l p, n u lu t phân ph i c a X khơng ph thu c giá tr c a Y và ng ưc l i.
2. Hàm phân ph i xác su t • ðnh ngh ĩa. Cho bi n ng u nhiên X (r i r c ho c liên t c) trên khơng gian xác su t (Ω, B, P). Hàm phân ph i xác su t c a X là hàm F(x) = P( X ≤ x), ∀x∈R Ta xét tr ưng h p bi n ng u nhiên ri r c. • Cho bi n ngu nhiên ri r c X cĩ lu t xác su t {(x i , p i) | i=1, , n} T đnh ngh ĩa suy ra hàm phân ph i F(x) đưc xác đnh theo cơng th c sau F(x) = P( X ≤ x ) = ∑ pi ≤ xi x Nh ư v y hàm phân ph i là hàm gián đon b c thang cĩ b ưc nh y p k t i x=x k , k=1, ,n, và là hàm liên t c ph i. + Ví d : Xét lu t nh th c B(3, ½). Ta cĩ p0 = 1/8 , p 1 = p 2 = 3/8 , p 3 = 1/8 Vy hàm phân ph i là 0 , x < 0  1 0, ≤ x < 1  8 F(x) =  1 1, ≤ x < 2 2  7 2 ≤ x < 3  8 1 3 ≤ x ð th c a hàm phân ph i nh ư sau 1 7/8 ½ 1/8 0 1 2 3
• Tính ch t. Cho hàm phân ph i F(x) c a bi n ng u nhiên X. Khi đĩ (i) F(x) khơng gi m trên R (ii) lìm F(x) = 1 và lìm F(x) = 0 x→+∞ x→−∞ (iii) F(x) liên t c ph i trên R (iv) N u X là bi n ng u nhiên r i r c v i lu t xác su t {(x i , p i) | i=1, , n} thì hàm phân ph i F(x) đưc xác đnh theo cơng th c sau F(x) = ∑ pi ≤ xi x và P( X=x ) = F(x) − lìm F(t) → t x−0 Ghi chú: T (i) và (ii) suy ra 0 ≤ F(x) ≤ 1 , ∀ x ∈ R 3. Các tham s đc tr ưng a) K ỳ v ng . Cho bi n ng u nhiên ri r c X v i lu t xác su t {(x i , p i) | i ∈ I} Kỳ v ng c a X, ký hi u E(X), là giá tr xác đnh b i cơng th c E(X) = ∑ xi pi i∈I Trong tr ưng h p t p ch s I vơ h n thì chu i ph i h i t tuy t đi. + Ví d . (i) Phân ph i Bernoulli. Cho A là s ki n c a phép th α cĩ xác su t P(A) = p. G i X là bi n ng u nhiên ch s l n xu t hi n s ki n A trong 1 l n th c hi n phép th α. Lu t phân ph i ca X là {(1,p), (0,1−p)} Vy E(X) = 1.p + 0.(1−p) = p (ii) Cho X là bi n ng u nhiên cĩ lu t phân ph i nh th c B(n,p)
{(k, C(n,k).p k.(1−p) n−k | k=0, 1, , n} S d ng đng th c k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1), ∀n,k ∈N, n ≥ k ta cĩ n n − − E(X) = ∑kC (n,k). pk 1( − p)n k = ∑kC (n,k). pk 1( − p)n k = k =0 k =1 n n−1 − − − = ∑n.C(n − ,1 k − ).1 pk 1( − p)n k = n.p.∑C(n − ,1 h). ph 1( − p)n 1 h = n.p k =1 h=0 (iii) Cho bi n ng u nhiên X cĩ lu t phân ph i xác su t Poisson P( λ) λk -λ {(k, e . | k = 2,1,0 , } k! Ta cĩ ∞ k ∞ k −1 ∞ h −λ λ −λ λ −λ λ −λ λ E(X) = k.e . = λ.e . = λ.e = λ.e .e = λ ∑ ∑ − ∑ k =0 k! k =1 (k 1)! h=0 h! (iv) Cho X là bi n ng u nhiên cĩ lu t phân ph i xác su t ri r c vơ h n  1   k,  k = 2,1 ,   k.(k +1)   Ta cĩ ∞ 1 ∞  1 1  =  −  = 1 ∑ + ∑ + k =1 k(k )1 k =1  k k 1 nh ưng ∞ 1 ∞ 1 k = = +∞ ∑ + ∑ + k =1 k(k )1 k =1 k 1 Chu i trên phân k ỳ nên X khơng cĩ k ỳ v ng. • ðnh lý . Cho X là bi n ng u nhiên ri r c c a phép th α cĩ lu t phân ph i xác su t {(x i , p i) | i ∈ I} Gi s X cĩ k ỳ v ng E(X) và ánh x ϕ:R R . Khi đĩ ϕ(X) c ũng là bi n ng u nhiên c a phép th α. N u ϕ(X) cĩ k ỳ v ng thì
ϕ E[ ϕ(X)] = ∑ (xi ). pi i∈I CM. Suy ra tr c ti p t đnh ngh ĩa. • Tính ch t. Cho X, Y là các bi n ng u nhiên, C là h ng. Khi đĩ (i) E(C) = C (ii) E(C.X) = C.E(X) (iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y) (iv) N u X, Y là các bi n ng u nhiên đc l p, thì E(X.Y) = E(X).E(Y) b) Mode . • ðnh ngh ĩa. Cho bi n ng u nhiên X v i lu t phân ph i xác su t {(x i , p i) | i ∈ I} Mode ca X là tr c a X cĩ xác su t c c đi, ký hi u M(X). + Ví d . Cho bi n ng u nhiên X cĩ lu t phân phi xác su t nh th c B(n,p). Ký hi u k n−k Pn(k) = P(X=k) = C(n,k).p .q (q=1−p) Ta cĩ P (k + )1 C(n,k +1).pk +1.qn−k −1 n! k!.( n − k)! p n − k p n = = = k n−k + − − + Pn (k) C(n,k). p .q (k 1)!.( n k 1)! n! q k 1 q T đĩ suy ra Pn(k+1) > P n(k) ⇔ (n−k).p > (k+1).q ⇔ n.p − k.p > (k+1)(1−p) ⇔ n.p − k.p > −k.p −p + k + 1 ⇔ k n.p − q Ta th y khi k t ăng t 0 đn n, hàm P n(k) t ăng đn c c đi r i gi m d n. V y Nu n.p − q ≥ 0 là s nguyên thì P n(k) đt c c đi t i k0 = n.p − q và k0 + 1 = np − q + 1 = n.p + p Nu n.p − q > 0 khơng nguyên thì P n(k) đt c c đi t i k0 = n.p − q  (x là s nguyên nh nh t l n h ơn x) Nu n.p − q < 0 thì P n(k) đt c c đi t i k 0 = 0. c) Ph ươ ng sai và đ l ch quân ph ươ ng . • ðnh ngh ĩa. Cho bi n ng u nhiên X v i lu t phân ph i xác su t
{(x i , p i) | i ∈ I} ( − )2 và k ỳ v ng E(X) = a. Gi thi t chu i ∑ xi a .pi h i t . Khi đĩ t ng c a chu i g i i∈I là ph ươ ng sai c a X và ký hi u là D(X), t c là ( − )2 2 D(X) = ∑ xi a .pi = E(X−a) i∈I Nu X cĩ ph ươ ng sai D(X) thì đi l ưng σ (X ) = D(X ) gi là đ l ch quân ph ươ ng ca bi n ng u nhiên X. • Cơng th c Koenig−Huyghens . D(X) = E(X 2) − [E(X)] 2 CM. D(X) = E(X−a) 2 = E(X 2 − 2.a.X + a 2) = E(X 2) −2E(X).E(X) + E(X) 2 = E(X 2) − [E(X)] 2 + Ví d . (i) Tính ph ươ ng sai ca bi n ng u nhiên X cĩ lu t phân ph i nh th c B(n,p) (q=1−p). Ta cĩ n 2 k n−k E(X 2) = ∑k .C(n,k). p .q k =0 n − − − − = ∑k n p.C(n − ,1 k − ).1 pk 1.q(n )1 (k )1 (áp d ng k.C(n,k) = k=1 n.C(n−1,k−1)) n−1 − − = n.p.∑(h + ).1 C(n − ,1 h). ph.q(n )1 h (h = k − 1) h=0 n−1 n−1 − − − − = n.p.∑h.C(n − ,1 h). ph.q(n )1 h + n.p.∑C(n − ,1 h). ph.q(n )1 h h=0 h=0 = n.p.E(X’) + n.p.1 trong đĩ X’ cĩ lu t nh th c B(n−1,p). V y E(X 2) = n.p.(n−1).p + n.p = n.(n−1).p 2 + n.p
Theo cơng th c Koenig−Huyghens suy ra D(X) = n.(n−1).p 2 + n.p − (n.p) 2 = n.p.q ð l ch quân ph ươ ng cu X là σ (X ) = n.p.q (ii) Tính ph ươ ng sai ca bi n ng u nhiên X cĩ lu t phân ph i Poisson tham s λ > 0, P( λ). Ta cĩ ∞ λk ∞ λk −1 ∞ λh E(X 2) = k 2.e−λ = e−λ .λ. k = e−λ .λ. (h + )1 (h=k−1) ∑ ∑ − ∑ k =1 k! k =1 (k 1)! h=0 h! = ∞ λh ∞ λh λ.∑h.e−λ + λ.e−λ .∑ = λ.E(X ) + λ.e−λ .eλ = λ.λ + λ = λ2 + λ h=0 h! h=0 h! Theo cơng th c Koenig−Huyghen suy ra D(X) = λ2 + λ − λ2 = λ ð l ch quân ph ươ ng cu X là σ (X ) = λ • Tính ch t. Cho X, Y là các bi n ng u nhiên, C là h ng. Khi đĩ (i) D(C) = 0 (ii) D(C.X) = C 2.D(X) (iii) σ(C.X) = |C|. σ(X) (iv) N u X, Y là các bi n ng u nhiên đc l p, thì D(X + Y) = D(X) + D(Y) CM (iv) D(X + Y) = E(X + Y) 2 − [E(X + Y)] 2 = E(X 2 + 2X.Y + Y 2) − [E(X) + E(Y)] 2 = E(X 2) − [E(X)] 2 + E(Y 2) − [E(Y)] 2 + 2.E(X.Y) − 2.E(X).E(Y) = D(X) + D(Y) (vì E(X.Y) = E(X).E(Y)) • H qu . Cho X 1, , X n là các bi n ng u nhiên đc l p cĩ cùng ph ươ ng sai D. Ký hi u n = 1 X ∑ X i n i=1 Khi đĩ
D D(X )= n CM  1 n  1 n 1 D ()=   = () = = D X D ∑ X i 2 ∑ D X i 2 n.D  n i=1  n i=1 n n d) Mơmen Cho bi n ng u nhiên X, a ∈ R, k ∈ N. • Mơmen c p k đi v i a c a X là giá tr k νk(a) = E[(X − a) ] • Mơmen g c c p k c a X là giá tr k νk = νk(0) = E(X ) Mơmen g c c p 1 c a X là k ỳ v ng E(X) (n u t n t i). • Mơmen trung tâm c p k c a X, v i điu ki n X cĩ k ỳ v ng, là giá tr k µk = νk(E(X)) = E[(X − E(X)) ] Mơmen trung tâm c p 2 c a X là ph ươ ng sai D(X) (n u t n t i). • ðnh lý . Cho r, s ∈ N , r ≤ s, và bi n ng u nhiên ri r c X. Khi đĩ, n u t n t i mơmen g c c p s c a X, thì t n t i mơmen g c c p r c a X. CM Gi s lu t phân ph i xác su t c a X là {(x i , p i) | i ∈ I} ν s Vì s t n t i nên chu i ∑ xi pi h i t . Ta cĩ i∈I r ≤ r ≤ ( + s ) ∑ xi .pi ∑ xi pi ∑ 1 xi .pi i∈I i∈I i∈I r ≤ s r ≤ (vì xi xi , n u |x i| ≥ 1 và xi 1 , n u |x i| ≤ 1 ). Suy ra r ≤ + s < ∞ ∑ xi .pi ∑ pi ∑ xi .pi i∈I i∈I i i∈I r Cu i cùng ta suy ra ∑ xi pi h i t tuy t đi. i∈I ðpcm
• H qu . Cho r, s ∈ N , r ≤ s, và bi n ng u nhiên ri r c X. Khi đĩ, n u t n t i mơmen g c c p s c a X, thì t n t i mơmen c p r t i a ∈ R b t k ỳ c a X. CM S d ng đnh lý và đng th c sau  n  r γ = r = i-r r −i i = i-r r −i i k (a) E[(X - a) ] E∑C(n, k).(-1) .a x  ∑C(n, k).(-1) .a .E(X )  i=0  i=0 • Mơmen trung tâm c p 3 . 3 3 2 2 3 µ3 = E[X − E(X)] = E[X − 3.X .E(X) + 3.X.E(X) − E(X) ] = 3 3 3 = ν3 − 3. ν1ν2 + 3. ν1 − ν1 = ν3 − 3. ν1ν2 + 2. ν1 Bây gi ta gi thi t r ng X đi x ng qua E(X), t c X cĩ lu t phân ph i {(x i, p i) | i = −∞ , , −2, −1, 1, 2, , + ∞ } trong đĩ pi = p −i và x i − ν1 = −(x −i − ν1) , ∀i = 1, 2, , ∞ Khi đĩ m i mơmen trung tâm c p l đu b ng 0. Mơmen µ 3 đc tr ưng cho tính b t đi x ng c a bi n ng u nhiên đi v i k ỳ vng. N u µ 3 > 0 thì phân ph i l ch v bên ph i k ỳ v ng, n u µ 3 < 0 thì phân ph i lch v bên trái k ỳ v ng. ði l ưng µ s = 3 3 σ 3 gi là h s b t đ i x ng c a bi n ng u nhiên X. • Mơmen trung tâm c p 4 . 4 4 3 2 2 3 4 µ3 = E[X − E(X)] = E[X − 4.X .E(X) + 6.X .E(X) − 4.X.E(X) + E(X) ] = 2 3 4 2 4 = ν4 − 4. ν3ν1 + 6. ν1 .ν2 − 4. ν1 .ν1 + ν1 = ν4 − 4. ν3ν1 + 6. ν1 .ν2 − 3. ν1 4. M t s lu t phân ph i quan tr ng a) Lu t phân ph i đu r i r c U(1,n). • ðnh ngh ĩa. Bin ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i đu U(1,n) n u cĩ phân ph i {(k, 1/n) | k =1, 2, , n} • K ỳ v ng và ph ươ ng sai: n +1 n2 −1 E(X) = & D(X) = 2 12 CM
n 1 1 n 1 n(n + )1 n +1 E(X) = ∑k. = ∑k = = k =1 n n k =1 n 2 2 1 n (n + )1 2 1 n(n +1)( .2 n + )1 (n + )1 2 n2 −1 D(X) = E(X 2) − E(X) 2 = ∑k 2 − = − = n k =1 4 n 6 4 12 + Ví d . Trong thùng cĩ n qu c u, trong đĩ cĩ 1 qu c u đen. Ng ưi ta l y ng u nhiên t ng qu c u ra kh i thùng (khơng b l i vào thùng) cho đn khi l y đưc qu cu đen. G i X là bi n ng u nhiên cĩ giá tr b ng s qu c u l y ra. Xác đnh lu t phân ph i c a X. Gi i. Mi n giá tr c a X là 1, 2, , n. Gi A i là s ki n qu c u đen đưc rút ra l n th i, i=1,2, ,n. V i m i k=1,2, ,n ta cĩ ( ) P(X=k) = P A1.A2 Ak −1.Ak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P A1 P A2 / A1 P A3 / A1 A2 P Ak−1 / A1 A2 Ak−2 P Ak / A1 A2 Ak−1 n −1 n − 2 n − k +1 1 1 = = n n −1 n − k + 2 n − k +1 n Vy X cĩ phân ph i đu U(1,n). b) Phân ph i Bernoulli B(1,p). • ðnh ngh ĩa. bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i Bernoulli B(1,p), 0<p<1, n u X cĩ phân ph i xác su t {(1,p), (0,1−p)} • K ỳ v ng và ph ươ ng sai: E(X) = p & D(X) = p.(1−p) + Ví d . Hai đi th ngang s c ch ơi 2.n ván c , v i điu ki n m i ván ph i cĩ ng ưi th ng. G i X n là bi n ng u nhiên, Xn = 1, n u tr n đu hồ, ng ưc l i X n = 0. Xác đnh lu t phân ph i c a X n. Gi i. S ki n X n = 1 x y ra n u ng ưi th nh t th ng n tr n. Xác su t m t kh năng nh ư v y là (½) n.(½) 2n−n = (½) 2n và m i kh n ăng ng v i m t t h p ch p n c a 2n. V y xác su t 2n pn = P(X n=1) = C(2n,n).(½)
và X n cĩ phân ph i B(1,p n). * Ghi chú. bi n ng u nhiên X1 + X 2 + + X n là s th i đim hai ng ưi cĩ s ván th ng thua b ng nhau. c) Phân ph i nh th c B(n,p). • ðnh ngh ĩa. bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i nh th c B(n,p), n ∈N, 0<p<1, n u X cĩ phân ph i xác su t {(k,C(n,k).p k.(1−p) n−k ) | k=0,1,2, ,n} • K ỳ v ng và ph ươ ng sai: E(X) = n.p & D(X) = n.p.(1−p) + Ví d . Cĩ n khách hàng và m qu y hàng. M i khách hàng ch n ng u nhiên m t qu y hàng v i xác su t gi ng nhau và hồn tồn đc l p v i nhau. G i X là s khách hàng ch n qu y s 1. Xác đnh lu t phân ph i c a bi n ng u nhiên X. Gi i. Mi khách hàng ch n qu y s 1 v i xác su t p = 1/m . Suy ra xác su t P(X=k) = C(n,k).(1/m) k.(1−1/m) n−k Nh ư v y X cĩ lu t phân ph i B(n,1/m). d) Phân ph i hình h c G(p). • ðnh ngh ĩa. bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i hình h c G(p), 0<p<1, n u X cĩ phân ph i xác su t {(k, p.(1−p) k−1 ) | k = 1, 2, ,n, , + ∞ } • K ỳ v ng và ph ươ ng sai: Ký hi u q = 1 − p, ta cĩ E(X) = 1/p & D(X) = q/p 2 CM.  ∞   1  k   ∞ d∑ q  d  = 1− q − k −1 =  k 1  =   = p = 1 (i) E(X) = p∑ k.( 1 p) p. p. 2 k =1 dq dq 1( − q) p (ii) Ta cĩ ∞ 2 k −1 − 1 D(X) = p.∑k .q 2 k =1 p (1) Theo (i) ta cĩ
 ∞   q   k    ∞ ∞ d ∑k.q d 2  − 1 q  =   1( − q)  k.qk 1 = ⇒ k.qk = ⇒ k 1 = ∑ − 2 ∑ − 2 k =1 1( q) k =1 1( q) dq dq ∞ 2 2 − 1( − q) + 2.q .(1− q) p + .2 p.q p + .2 q ==> k 2.qk 1 = = = ∑ − 4 4 3 k =1 1( q) p p Th vào (1) ta cĩ p + .2 q 1 q D(X) = p − = p3 p2 p2 + Ví d . Ba ng ưi ch ơi trị ch ơi gieo xúc s c. M i ván m i ng ưi gieo m t l n, n u cĩ ng ưi gieo đưc m t 6 ch m thì ng ưi đĩ th ng. Trị ch ơi k t thúc n u cĩ ng ưi th ng. G i X là s ván ch ơi. Xác đnh lu t phân ph i c a bi n ng u nhiên X. Gi i. (i) Tr ưng h p cĩ th cĩ nhi u ng ưi th ng trong m t ván. S ki n X = k x y ra n u trong k − 1 ván: 1,2, ,k−1 khơng cĩ ai gieo đưc 6 ch m và đn ván th k thì cĩ ng ưi gieo đưc 6 ch m. Gi A là s ki n khơng cĩ ai th ng trong m t ván. Ta cĩ 3  5   5 3 P(A) =   & P()A = 1−    6   6  Vy −   5 3  5 3.(k )1 P(X=k) = 1−     , k=1,2, , + ∞   6   6   5 3 216 −125 91 tc X cĩ lu t phân ph i hình h c G(p), v i p = 1−   = =  6  216 216 (ii) Tr ưng h p ch cho phép m t ng ưi th ng trong m t ván. S ki n X = k x y ra n u ván th k cĩ đúng 1 ng ưi gieo đưc 6 ch m và trong m i ván: 1,2, ,k−1 ho c khơng cĩ ai gieo đưc 6 ch m ho c cĩ ít nh t 2 ng ưi gieo đưc 6 ch m. Gi A là s ki n cĩ đúng 1 ng ưi th ng trong m t ván. Ta cĩ 2 1  5  25 25 P(A) = .3   = & P(A)= 1− 6  6  72 72 Vy − 25  25 (k )1 P(X=k) = 1−  , k=1,2, , + ∞ 72  72 
25 tc X cĩ lu t phân ph i hình h c G(p), v i p = 72 e) Phân ph i siêu hình h c H(N,n,p). • ðnh ngh ĩa. bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i siêu hình h c H(N,n,p) (N, n ∈ N, 0<p<1, q=1−p, N.p ∈ N), n u X cĩ phân ph i xác su t C(N.p,k). C(N q,. n − k) {(k, ) | k= 0,1, 2, ,n } C(N,n) • K ỳ v ng và ph ươ ng sai: N − n E(X) = n.p & D(X) = n.p.q. N −1 CM. (i) K ỳ v ng: Ta cĩ n C(N.p,k). C(N q,. n − k) E(X) = ∑k. k =0 C(N,n) S d ng đng th c k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1), 1 ≤ k≤ n, suy ra n C(Np − ,1 k − ).1 C(Nq ,n − k) E(X) = ∑ N.p. k=0 C(N,n) Ti p theo, áp d ng cơng th c Vandermonde, ta cĩ C(N.p + N.q − ,1 n − )1 C(N − ,1 n − )1 E(X) = N.p. = N.p C(N,n) C(N,n) (N −1)! n (! N − n)! n ⇒ E(X) = N.p = N.p = n.p (n −1)!(N − n)! N! N (ii) Phươ ng sai. Áp d ng hai l n cơng th c gi m b c, ta cĩ n C(N.p,k). C(N.q,n − k) E[X.(X−1)] = ∑k(k − )1 k =1 C(N,n) n C(N.p − ,2 k − 2).C(N q,. n − k) = N.p.(N.p − 1). ∑ k =2 C(N,n) Ti p theo, áp d ng cơng th c Vandermonde, ta cĩ E[X.(X−1)] = N.p.(N.p − 1).C(N.p + N.q −2, n − 2) / C(N,n) = N.p.(N.p − 1).C(N −2, n − 2) / C(N,n) (N − 2)! n (! N − n)! = N.p.(N.p − 1). (n − 2)!(N − n)! N! n.( n − )1 = N.p.(N.p − 1). N.( N − )1
T trên suy ra D(X) = E[X(X−1)] + E(X) − E(X) 2 n.( n − )1 = N.p.(N.p − 1). + n.p − (n.p) 2 N.( N − )1 (N.p −1).( n − )1  = n.p. +1− n.p  N −1   N + n.p − n − n.p N − n = n.p. = n.p.q  N −1  N −1 + Ví d . Trong thùng cĩ a qu c u tr ng, b qu c u đen. L y ng u nhiên n qu c u (n ≤ a+b). Ký hi u X là bi n ng u nhiên ch s qu c u tr ng đưc l y ra. Xác đnh lu t phân ph i c a X. Gi i. X nh n giá tr nguyên k trong kho ng [max(0, n−b), min(n,a)] và xác su t C(a,k). C(b,n − k) P(X = k) = C(a + b,n) Nh ư v y X cĩ phân ph i siêu hình h c H(a+b, n, a/(a+b)) v i k ỳ v ng E(X) = n.a/(a+b) Và ph ươ ng sai a b a + b − n D(X) = n a + b a + b a + b −1 f) Phân ph i Poisson P( λ) ( λ>0). • ðnh ngh ĩa. bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i Poisson P( λ), 0< λ, nu X cĩ phân ph i xác su t k −λ λ {(k, e . ) | k= 0, 1, 2, ,n, , + ∞ } k! • K ỳ v ng và ph ươ ng sai: E(X) = λ & D(X) = λ + Ví d . Lu t phân ph i Poisson là lu t gi i h n. Cho dãy thùng (U n)n≥ 1 , trong đĩ thùng U n , n ≥ 1, ch a các qu c u tr ng và cu đen theo t l p n . V i n=1,2, ta l n l ưt l y n qu c u , cĩ tr l i, t thùng U n . Ký hi u X n là s qu c u tr ng l y ra t thùng U n.
Gi thi t n.p n →λ khi n →∞. Ta nghiên c u xác su t P(X n =k) khi n→∞. Ký hi u 1 − p n = q n , ta cĩ − n(n −1) ( n − k + )1 − () P(X = k) = C(n,k). pk .qn k = pk e(n k ) ln qn n n n k! n Vì n.p n →λ khi n →∞, nên p n →0. Suy ra − ( ) = − ( − ) = − − = −λ lim (n k)ln qn lim (n k)ln 1 pn lim (n k) pn n→∞ n→∞ n→∞ kéo theo  k  λk ()= =  n k −λ  = −λ lim P X n k lim  pn e  e n→∞ n→∞ k!  k! Nh ư v y phân ph i c a X n ti m c n đn phân ph i Poisson P( λ).
III. BI N NG U NHIÊN LIÊN T C 1. Hàm m t đ phân ph i • ðnh ngh ĩa. Bin ng u nhiên X trên khơng gian xác su t ( Ω, B, P) g i là liên t c khi và ch khi t n t i hàm f:R →R tho (i) f(x) ≥ 0 ∀x∈R (ii) S đim gián đon c a f là h u h n (iii) Ti các đim gián đon, f cĩ gi i h n ph i và gi i hn trái, h u h n ho c vơ hn (iv) Tích phân +∞ ∫ f (t)dt =1 −∞ (v) Hàm phân ph i F(x) tho x F(x) = P(X ≤ x) = ∫ f (t)dt −∞ Hàm f(t) g i là hàm m t đ phân ph i c a bi n ng u nhiên X. Ng ưc l i, hàm f(t) tho (i)−(iv) là hàm mt đ ca bi n ng u nhiên nào đĩ. T đnh ngh ĩa suy ra h qu • H qu . Cho bi n ng u nhiên liên t c X v i hàm mt đ f(t). Khi đĩ (i) P(X=a) = 0 ∀a∈R b (ii) P(a<X<b) = P(a ≤ X≤ b) = P(a<X ≤ b) = P(a ≤ X<b) = ∫ f (t)dt ∀a,b ∈R, a a<b (iii) Hàm phân ph i F(x) liên t c trên R và kh vi t i các đim liên t c c a f và F’(t) = f(t) ∀t là đim liên t c c a f + Ví d . (i) Cho a,b ∈R, a<b, và X là đim ng u nhiên ch n trong đon [a,b]. Gi thi t rng xác su t X r ơi vào các kho ng b ng nhau trong [a,b] là gi ng nhau. Xác đnh hàm mt đ c a X. Gi i. Vì xác su t P(a<X ≤ b) = 1, ta cĩ β −α P( α< X ≤ β) = ∀[α,β] ⊂ [a,b] b − a Vy hàm phân ph i c a X là 0 , x ≤ a  x − a F(x) =  ,a < x ≤ b b − a 1 ,b < x
Suy ra hàm mt đ f(t) c a X:  1  ∀a ≤ t ≤ b f (t) = F (' t) = b − a 0 ∀t b ð th c a hàm phân ph i và hàm mt đ nh ư sau 1 1/(b−a) a b a b hàm phân ph i F(x) hàm mt đ f(t) Bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i đu trên [a,b], U([a,b]). (ii) M t ch t phĩng x phân rã. Tu i th T c a ch t phĩng x t i th i đim b t k ỳ khơng ph thu c vào th i gian s ng tr ưc đĩ c a nĩ. Xác đnh hàm mt đ c a T. Gi i. Theo gi thi t ta cĩ P(T ≥ t+u / T≥ t) = P(T ≥ u) ∀t,u > 0 Suy ra P(T ≥ t + u &T ≥ t) = P(T ≥ u) P(T ≥ t) ⇒ P(T ≥ t+u) = P(T ≥ t).P(T ≥ u) ∀t,u > 0 Ký hi u F là hàm phân ph i c a T và H = 1 − F. Theo trên ta cĩ H(t+u) = H(t).H(u) ∀t,u > 0 ⇒ H(x) = e a.x ⇒ F(x) = 1 − e a.x ∀x > 0 Vì F(x) →1 khi x →+∞, nên a<0. ðt λ = −a, ta cĩ F(x) = 1 − e −λ.x ⇒ f(x) = F’(x) = λ.e −λ.x ∀x ≥ 0
ð th c a hàm phân ph i và hàm mt đ nh ư sau: 1 λ hàm phân ph i F(x) hàm mt đ f(t) T g i là tuân theo lu t phân ph i m ũ tham s λ , E( λ). (iii) Bin ng u nhiên X cĩ hàm mt đ π π  − ≤ ≤ k.cos x x = 2 2 f (x)  π 0 x >  2 a) Tìm k b) Tìm hàm phân ph i F(x). c) Tính xác su t P(0 < X < π/4). Gi i. a) Tìm k. π 2 ∫ k.cos tdt = 1 ⇒ k.2 = 1 ⇒ k = ½ π − 2 b) Tìm hàm phân ph i F(x). Vi x ∈[−π/2, π/2] ta cĩ x 1 1 F(x) = ∫ .cos tdt = (sin x + )1 π 2 2 − 2 Suy ra hàm phân ph i  π 0 , x ≤ −  2 1 π π F(x) =  (sin x + )1 ,− < x ≤ + 2 2 2  π 1 ,+ < x  2
c) Tính xác su t P(0 < X < π/4). 1  1  1 1 P(0 < X < π/4) = F( π/4) − F(0) =  +1 − = 2  2  2 2 2 (iv) Tìm k đ hàm  1 k. 0, < t < 1 f (t) =  t 1( − t) 0 ,t ∉ )1,0( là hàm mt đ c a bi n ng u nhiên Gi i. −1/2 −1/2 Ta cĩ f(t) ~ t khi t →0+ và f(t) ~ (1−t) khi t →1− kéo theo tích phân 1 ∫ f (t)dt h i t . 0 ði bi n t = sin 2(u) ta cĩ π π 1 1 1 2 2.sin u.cos u 2 f (t)dt = k dt = k du = k 2du = kπ ∫ ∫ − ∫ 2 2 ∫ 0 0 t 1( t) 0 sin u ()1. − sin u 0 ⇒ k. π = 1 ⇒ k = 1/ π. Vy f(t) là hàm mt đ c a bi n ng u nhiên khi và ch khi k = 1/ π. 2. Các tham s đc tr ưng a) K ỳ v ng. Cho bi n ng u nhiên X liên t c, v i hàm mt đ f(t), trên khơng gian xác su t (Ω,B,P). • ðnh ngh ĩa. K ỳ v ng c a bi n ng u nhiên liên t c X là đi l ưng ∞ E(X) = ∫tf (t)dt −∞ vi điu ki n tích phân h i t tuy t đi. + Ví d . Cho X là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i đu trên [a,b]. Ta cĩ b b t  1 t 2  a + b E(X) = dt = = ∫ −  −  a b a b a 2 t =a 2 • ðnh lý . Cho X là bi n ng u nhiên v i hàm mt đ f(t), ϕ:R →R là hàm sao cho ϕ(X) cũng là bi n ng u nhiên. Khi đĩ ∞ E[ ϕ(X)] = ∫ϕ(t). f (t)dt −∞
nu tích phân h i t tuy t đi. CM. Xem ph n Hàm bi n ng u nhiên. • Tính ch t. Cho X, Y là các bi n ng u nhiên liên t c, C là h ng. Khi đĩ (i) E(C) = C (ii) E(C.X) = C.E(X) (iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y) (iv) N u X, Y là các bi n ng u nhiên đc l p, thì E(X.Y) = E(X).E(Y) b) Mode và trung v . • ðnh ngh ĩa. Cho bi n ng u nhiên X v i hàm mt đ f(t). Mode c a X là đim M(X) mà t i đĩ f(t) đt c c đi. Trung v c a X là đim m(X) tho P(X m(X)) = ½ + Ví d . Cho X tuân theo lu t phân ph i đu trên [a,b]. Khi đĩ mi đim x ∈[a,b] là mode c a X và trung v m(X) = (a+b)/2 c) Ph ươ ng sai và đ l ch quân ph ươ ng . • ðnh ngh ĩa. Cho bi n ng u nhiên X v i hàm mt đ f(t) cĩ k ỳ v ng E(X) = a. Phươ ng sai c a X và ký hi u là D(X) là ∞ D(X) = E(X−a) 2 = ∫()t − a 2. f (t)dt −∞ nu tích phân h i t . Nu X cĩ ph ươ ng sai D(X) thì đi l ưng σ (X ) = D(X ) gi là đ l ch quân ph ươ ng ca bi n ng u nhiên X. • Cơng th c Koenig−Huyghens . D(X) = E(X 2) − [E(X)] 2 CM. D(X) = E(X−a) 2 = E(X 2 − 2.a.X + a 2) = E(X 2) −2E(X).E(X) + E(X) 2 = E(X 2) − [E(X)] 2 + Ví d . Cho X tuân theo lu t phân ph i đu trên [a,b]. Ta cĩ b b t 2  1 t3   a + b 2 b3 − a3 a2 + 2ab + b2 (b − a)2 D(X) = dt − E(X )2 = −   = − = ∫ −  −  − a b a b a 3 t =a  2  (3 b a) 4 12
Suy ra b − a σ (X ) = D(X ) = 2 3 • Tính ch t. Cho X, Y là các bi n ng u nhiên liên t c, C là h ng. Khi đĩ (i) D(C) = 0 (ii) D(C.X) = C 2.D(X) (iii) σ(C.X) = |C|. σ(X) (iv) N u X, Y là các bi n ng u nhiên đc l p, thì D(X + Y) = D(X) + D(Y) d) Mơmen Cho bi n ng u nhiên liên t c X v i hàm mt đ f(t), a ∈ R, k ∈ N. • Mơmen c p k đi v i a c a X là giá tr ∞ ν k − k k(a) = E[(X − a) ] = ∫(t a .) f (t)dt −∞ • Mơmen g c c p k c a X là giá tr k νk = νk(0) = E(X ) Mơmen g c c p 1 c a X là k ỳ v ng E(X) (n u t n t i). • Mơmen trung tâm c p k c a X, v i điu ki n X cĩ k ỳ v ng, là giá tr k µk = νk(E(X)) = E[(X − E(X)) ] Mơmen trung tâm c p 2 c a X là ph ươ ng sai D(X) (n u t n t i). • ðnh lý . Cho r, s ∈ N , r ≤ s, và bi n ng u nhiên liên t c X. Khi đĩ, n u t n t i mơmen g c c p s c a X, thì t n t i mơmen g c c p r c a X. CM Vi |t| ≤ 1, ta cĩ |t| r ≤ 1, và v i |t| > 1, ta cĩ |t| r ≤ |t| s. Suy ra |t| r ≤ 1 + |t| s ∀t∈R. ∞ ∞ T đĩ s h i t c a tích phân ∫ f (t)dt và ∫| t |s f (t)dt kéo theo s h i tu −∞ −∞ ∞ r =ν ca tích phân ∫| t | f (t)dt r −∞ • H qu . Cho r, s ∈ N , r ≤ s, và bi n ng u nhiên liên t c X. Khi đĩ, n u t n t i mơmen g c c p s c a X, thì t n t i mơmen c p r t i a ∈ R b t k ỳ c a X. CM
S d ng đnh lý và đng th c sau  n  r γ = r = i-r r −i i = i-r r −i i k (a) E[(X - a) ] E∑C(n, k).(-1) .a x  ∑C(n, k).(-1) .a .E(X )  i=0  i=0 • Mơmen trung tâm c p 3 . 3 3 2 2 3 µ3 = E[X − E(X)] = E[X − 3.X .E(X) + 3.X.E(X) − E(X) ] = 3 3 3 = ν3 − 3. ν1ν2 + 3. ν1 − ν1 = ν3 − 3. ν1ν2 + 2. ν1 Bây gi ta gi thi t r ng f(t) đi x ng qua E(X). Khi đĩ m i mơmen trung tâm cp l đu b ng 0. • H s b t đi x ng . ði l ưng µ s = 3 3 σ 3 đc tr ưng cho tính b t đi x ng c a X, g i là h s bt đ i x ng c a bi n ng u nhiên X. • Mơmen trung tâm c p 4 . 4 4 3 2 2 3 4 µ3 = E[X − E(X)] = E[X − 4.X .E(X) + 6.X .E(X) − 4.X.E(X) + E(X) ] = 2 3 4 2 4 = ν4 − 4. ν3ν1 + 6. ν1 .ν2 − 4. ν1 .ν1 + ν1 = ν4 − 4. ν3ν1 + 6. ν1 .ν2 − 3. ν1 • H s nh n. ði l ưng µ N = 4 − 3 4 σ 4 đc tr ưng cho đ nh n c a đ th hàm mt đ f(t) so v i phân ph i chính qui, g i là h s nh n c a bi n ng u nhiên X. Phân ph i chính qui cĩ đ nh n N 4 = 0. Các đưng cong nh n h ơn phân ph i chính qui cĩ N 4 > 0, và tù h ơn phân ph i chính qui cĩ N 4 0, n u nĩ cĩ hàm mt đ d ng − 2 − (t a) 1 2 f(t) = e 2σ ∀t∈R σ 2π Ghi chú: ð ch ng minh f(t) là hàm m t đ, ta s d ng tích phân Euler ∞ 2 − t ∫e 2 dt = 2π −∞ + K ỳ v ng:
− 2 ∞ − (t a) 1 2 E(X) = ∫ t e 2σ dt −∞ σ 2π ∞ 2 1 − u = ∫σ (a + σu)e 2 du (đi bi n σ 2π −∞ u=(t−a)/ σ) ∞ 2 ∞ 2 a − u σ − u = ∫e 2 du + ∫u.e 2 du 2π −∞ 2π −∞ a σ = 2π + 0. = a 2π 2π + Phươ ng sai: Ta cĩ − 2 ∞ − (t a) 2 1 2 E(X 2) = ∫ t e 2σ dt −∞ σ 2π ∞ 2 1 − u = ∫σ (a + σ.u)2 e 2 du (đi bi n σ 2π −∞ u=(t−a)/ σ) = ∞ 2 ∞ 2 ∞ 2 a2 − u a 2 σ − u σ 2 − u ∫e 2 du + ∫u.e 2 du + ∫e 2 du 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ a2 a 2 σ σ 2 = 2π + 0. + 2π = a2 + σ 2 2π 2π 2π Suy ra D(X) = E(X 2) − E(X) 2 = a2 + σ2 − a 2 = σ2 + ð l ch quân ph ươ ng: σ(X) = D(X ) = σ + Mode: M(X) = a + Trung v : m(X) = a + ð th c a hàm f(t) g i là đưng cong phân ph i chính qui. ðưng cong cĩ d ng 1 hình chuơng đi x ng qua đưng x=a, đt c c đi y max = t i x=a, đt giá tr σ 2π 1 yu = t i 2 đim u n t i x=a−σ và x=a+ σ. σ 2πe ymax
yu a−σ a a+ σ x Khi a thay đi, đưng cong d ch chuy n song song v i tr c Ox cịn d ng thì gi nguyên. Khi σ t ăng thì đưng cong d p xu ng, khi σ gi m thì đưng cong l i lên. ðiu này hồn tồn phù h p v i ý ngh ĩa c a tham s σ là đ l ch quân ph ươ ng, th ưc đo đ t n mát c a giá tr c a bi n ng u nhiên. • ðnh lý 1 . M i bi n ng u nhiên X cĩ phân ph i chính qui N(a, σ) cĩ th bi u di n dưi d ng X = a + σ.Z trong đĩ Z là bi n ng u nhiên cĩ phân ph i chu n N(0,1). CM. ðt Z = (X − a)/ σ. Hi n nhiên Z là bi n ng u nhiên và hàm phân ph i Φ(z), z∈ R, cĩ d ng +σ − 2 a .z − (t a) 1 2 Φ(z) = P(Z ≤ z) = P(X ≤ a + σ.z) = ∫ e 2σ dt −∞ σ 2π 2 1 z− u = ∫e 2 du (đi bi n 2π −∞ u=(t−a)/ σ) Suy ra hàm mt đ c a Z là 2 1 − z ϕ(z) = Φ’(z) = e 2 2π Vy Z tuân theo lu t phân ph i chu n N(0,1). đpcm. • ðnh lý 2 . Bin ng u nhiên Z cĩ phân ph i chu n N(0,1) khi và ch khi bi n ng u nhiên −Z cĩ phân ph i chu n N(0,1). CM. Gi s Z cĩ phân ph i chu n N(0,1) v i hàm phân ph i Φ(z) và hàm mt đ ϕ(z). Ta tính hàm phân ph i F(z), z ∈ R, c a bi n ng u nhiên −Z F(z) = P(−Z ≤ z) = P(Z ≥ −z) = 1 − Φ(−z) Suy ra hàm mt đ f(z) c a −Z là
f(z) = F’(z) = [1 − Φ(−z)]’ = ϕ(−z) Mt khác, ϕ(t) là hàm đi x ng qua x=0, t c là hàm ch n. Vì v y ta cĩ f(z) = ϕ(z) ∀z ∈ R, tc −Z cĩ phân ph i chu n N(0,1). đpcm. • ðnh lý 3 . Cho bin ng u nhiên X cĩ phân ph i chính qui N(a, σ). Khi đĩ v i m i A,B ∈ R (B ≠0), bi n ng u nhiên Y = B.X + A cĩ phân ph i chu n N(B.a + A, |B|. σ). CM. Theo đnh lý 1 ta cĩ th vi t X = σ.Z + a, v i Z cĩ phân ph i chu n N(0,1). Suy ra Y = B.X + A = B. σ.Z + (B.a + A) Tr ưng h p B > 0: theo đnh lý 1, Y cĩ phân ph i chu n N(B.a + A, B. σ). Tr ưng h p B < 0: Ta đt Y = |B|. σ.(−Z) + (B.a + A) Theo đnh lý 2, −Z cĩ phân ph i chu n N(0,1) và theo đnh lý 1, Y cĩ phân ph i chu n N(B.a + A, |B|. σ). đpcm • ðnh lý 4 . Cho bin ng u nhiên X cĩ phân ph i chính qui N(a, σ). Khi đĩ v i m i α,β∈R, α<β, xác su t X r ơi vào kho ng ( α,β) là  β − a  α − a  P( α < X < β) = φ  −φ   σ   σ  Trong đĩ 2 1 z− u Φ(z) = ∫e 2 du ∀z ∈ R 2π −∞ CM. Suy ra t đnh lý 1. • Ph ươ ng pháp tra b ng tính xác su t c a phân ph i chu n N(0,1) Cho X là bi n ng u nhiên cĩ lu t phân ph i chu n N(0,1). Khi đĩ X cĩ - Hàm mt đ: 2 1 − z ϕ(z) = e 2 ∀z ∈ R 2π - Hàm phân ph i:
2 1 z− u Φ(z) = ∫e 2 du ∀z ∈ R 2π −∞ do ϕ(z) là hàm ch n nên ta cĩ Φ(−z) = 1 − Φ(z) ∀z > 0 - Hàm Laplace: 2 1 z− u Φ (z) = e 2 du ∀z ∈ R + L π ∫ 2 0 L ưu ý: Ta cĩ Φ(z) = 0.5 + ΦL(z) và ΦL(z) = Φ(z) − 0.5 ∀z ≥ 0 (i) Cho x, tra b ng Φ(x): + Tr ưng h p x ≥ 0: − N u ∃x0 ∈ B ng, x = x 0 , thì ta cĩ ngay Φ(x) = Φ(x 0) − N u x khơng cĩ trong B ng, thì ta tìm c n x 1, x 2 trong b ng g n x nh t, x1 < x < x 2 và tính Φ(x) theo cơng th c n i suy tuy n tính x − x Φ(x) = Φ(x ) + [ Φ(x ) − Φ(x )] 1 1 2 1 − x2 x1 L ưu ý: N u ch cĩ b ng giá tr hàm Laplace ΦL(x), thì ta tra hàm ΦL(x) , sau đĩ đt Φ(x) = ΦL(x) + 0.5. + Tr ưng h p x < 0: Theo trên ta tra b ng tìm Φ(−x). Sau đĩ ta cĩ Φ(x) = 1 − Φ(−x). (ii) Cho y ∈ (0, 1), tra b ng tìm x tho Φ(x) = y. + Tr ưng h p y ≥ 0.5: − N u ∃x0 ∈ B ng, Φ(x 0) = y, thì ta cĩ ngay x = x 0. − N u y khơng cĩ trong b ng, thì ta tìm c n y 1, y 2 trong b ng g n y nh t, y1 < y < y 2 và cĩ Φ(x 1) = y 1, Φ(x 2) = y 2 . Ta tính x theo cơng th c n i suy tuy n tính y − y x = x + (x − x ) 1 1 2 1 − y2 y1 L ưu ý: N u ch cĩ b ng giá tr hàm Laplace ΦL, thì ta cĩ
−1 x = ΦL (y − 0.5) + Tr ưng h p y 0, ta cĩ xác su t P(|X − a| < α) = 2. Φ(α/σ) − 1 = 2. ΦL(α/σ) CM. Ta cĩ P(|X − a| < α) = P(−α/σ < (X − a)/ σ < α/σ) = Φ(α/σ) − Φ(−α/σ) = 2. Φ(α/σ) − 1 = 2. ΦL(α/σ) + Ví d . Ng ưi ta ti n m t lo i chi ti t cĩ đ dài a. Bi t đ dài X c a chi ti t tuân theo lu t phân ph i N(a, σ) v i σ = 0.2cm. (i) Hãy tính xác su t đ đ dài chi ti t khơng l ch quá a dung sai là 0.3cm. (ii) Mu n đm b o t l ph ph m khơng quá 5% thì ph i ch n dung sai α b ng bao nhiêu ? Gi i. (i) Xác su t c n tính là P(|X − a| < 0.3) = 2. ΦL(0.3/0.2) = 2. ΦL(1.5) = 2 x 0.4332 = 0.8664 Nh ư v y t l ph ph m là 1 − 0.8664 = 13%. (ii) Dung sai α ph i tho P(|X − a| < α) ≥ 0.95 ⇔ 2. ΦL(α/0.2) ≥ 0.95 ⇔ ΦL(α/0.2) ≥ 0.475 ⇔ α ≥ 0.2 * −1 ΦL (0.475)
−1 Tra b ng ta cĩ ΦL (0.475) = 1.96. V y α ≥ 0.2 * 1.96 ⇔ α ≥ 0.392 • Qui t c 3 σ. Trong cơng th c P(|X − a| 0, n u nĩ cĩ hàm mt đ f(x) = λ.e −λ.x vi x ≥ 0 0 vi x < 0 + Hàm phân ph i: F(x) = 1 − e −λ.x vi x ≥ 0 0 vi x < 0 + K ỳ v ng và ph ươ ng sai : 1 1 1 E(X) = và D(X) = , σ(X) = λ λ2 λ CM. ∞ ∞ ∞ −λ −λ ∞ −λ  1 −λ  1 E(X) = t.λ.e .t dt = []− .et .t + e .t dt = − e .t = ∫ t =0 ∫  λ  λ 0 0  t =0 ∞ ∞ −λ −λ ∞ −λ 2 2 E(X 2) = t 2.λ.e .tdt = []− t 2.e .t + 2 .et .tdt = 0 + E(X ) = ∫ t =0 ∫ λ λ2 0 0
1 ⇒ D(X) = E(X 2) − E(X) 2 = λ2 + ð th : 1 λ hàm phân ph i F(x) hàm mt đ f(t) + Ví d . Th i gian ho t đng T c a m t lo i bĩng đèn đin t tuân theo lu t phân ph i m ũ E( λ) v i k ỳ v ng E(T) = 400 gi . Tính xác su t sao cho th i gian ho t đng ca bĩng đèn khơng d ưi 600 gi . Gi i. Ta cĩ 1 E(T) = 400 = ⇒ λ = 1/400 λ Suy ra P(T ≥ 600) = 1 − P(T ≤ 600) = 1 − F(600) = 1 − (1 − e −600/400 ) = e −3/2 = 0.2231 Ghi chú: Phân ph i m ũ là tr ưng h p riêng c a phân ph i Vâybun V( λ, n), λ > 0 và n ∈ N : f(x) = n. λ.x n−1 .e −λ.x vi x ≥ 0 0 vi x < 0
CH ƯƠ NG 3 BI N NG U NHIÊN NHI U CHI U I. BI N NG U NHIÊN 2 CHI U 1. Khái ni m. T tr ưc đn nay ta m i ch xét đn các bi n ng u nhiên 1 chi u, t c là các bi n ng u nhiên cĩ các giá tr th c. Tuy nhiên trong th c t chúng ta ph i xét đn các h th ng cĩ ni u bi n ng u nhiên. + Ví d 1 . M t thùng cĩ a qu c u tr ng và b qu c u đen. Rút liên ti p 2 qu c u (khơng tr l i vào thùng). Ký hi u X i, i=1,2, là các bi n ng u nhiên nh n giá tr 1 n u ln rút i đưc qu c u tr ng, nh n giá tr 0 n u l n rút i đưc qu c u đen. Khi đĩ cp (X 1, X 2) t o thành bi n ng u nhiên 2 chi u. + Ví d 2 . G i X, Y, Z t ươ ng ng là chi u dài , chi u r ng, chi u cao c a m t lo i thùng hình h p ch nh t. N u X, Y, Z là các bi n ng u nhiên thì b ba (X, Y, Z) t o thành m t bi n ng u nhiên ba chi u. • ðnh ngh ĩa. Cho khơng gian xác su t ( Ω, B, P), n ∈ N, n > 1. Ánh x n X: Ω→R , X( ω) = (X 1(ω), X 2(ω), , X n(ω) ) gi là bi n ng u nhiên n chi u hay vect ơ ng u nhiên n chi u , n u X 1, X 2, , X n là các bi n ng u nhiên trên khơng gian ( Ω, B, P). Ký hi u X = ( X1, X 2, , X n ) ð đơ n gi n ta ch c n xét k các bi n ng u nhiên 2 chi u, sau đĩ m r ng cho bi n ng u nhiên n chi u. 2. Lu t phân ph i c a c p bi n ng u nhiên r i r c. • ðnh ngh ĩa. Cho bi n ng u nhiên Z = (X, Y), trong đĩ (X, Y) nh n các c p giá tr (x i, y j), i ∈ I, j ∈ J vi I, J là các t p ch s d ng h u h n {1,2, ,n} ho c vơ h n {1,2, , ∞}. Khi đĩ lu t phân ph i c a Z là dãy {[(x i, y j), p ij ] | i ∈ I, j ∈ J } trong đĩ pij = P(X = x i , Y = y j ) , i ∈ I, j ∈ J Nu Z h u h n, t c I = {1, 2, , m} và J = {1, 2, , n} , ta cĩ th bi u di n lu t phân ph i c a Z d ng b ng nh ư sau:
Y y y y y X 1 2 j n x1 p11 p12 p1j p1n x2 p21 p22 p2j p2n : : : : : xi pi1 pi2 pij pin : : : : : xm pm1 pm2 pmj pmn • ðnh lý . = (i) ∑∑ pij 1 i∈I j ∈ J (ii) Bin ng u nhiên ri r c X cĩ lu t phân ph i {(x i, p i) | i ∈ I} trong đĩ ∀ ∈ pi = ∑ pij i I j∈J (iii) Bin ng u nhiên ri r c Y cĩ lu t phân ph i {(y j, q j) | j ∈ J} trong đĩ ∀ ∈ qj = ∑ pij j J i∈I CM. (i) Tp {(x i, y j), i ∈ I, j ∈ J} to thành nhĩm đy đ các s ki n, vì v y = ∑∑ pij 1 i∈I j ∈ J (ii) Ta cĩ = = ∀ ∈ pi = P(X = x i) = ∑ P(X xi ,Y y j ) = ∑ pij i I j∈J j∈J (iii) Ta cĩ = = ∀ ∈ qj = P(Y = y j) = ∑ P(X xi ,Y y j ) = ∑ pij j J i∈I i∈I + Ví d 1 . Tr l i ví d 1 m c 1. Mt thùng cĩ a qu c u tr ng và b qu c u đen. Rút liên ti p 2 qu c u (khơng tr l i vào thùng). Ký hi u X i, i=1,2, là các bi n ng u nhiên
nh n giá tr 1 n u l n rút i đưc qu c u tr ng, nh n giá tr 0 n u l n rút i đưc qu cu đen. Khi đĩ c p (X 1, X 2) t o thành bi n ng u nhiên 2 chi u. a a −1 p11 = P(X 1 = 1; X 2 = 1) = P(X 1 = 1).P(X 2 = 1/X 1 = 1) = a + b a + b −1 a b p10 = P(X 1 = 1; X 2 = 0) = P(X 1 = 1).P(X 2 = 0/X 1 = 1) = a + b a + b −1 b a p01 = P(X 1 = 0; X 2 = 1) = P(X 1 = 0).P(X 2 = 1/X 1 = 0) = a + b a + b −1 b b −1 p00 = P(X 1 = 0; X 2 = 0) = P(X 1 = 0).P(X 2 = 0/X 1 = 0) = a + b a + b −1 ⇒ B ng phân ph i c a vect ơ ng u nhiên (X 1, X 2) cĩ d ng X 2 1 0 X1 a a −1 a b 1 a + b a + b −1 a + b a + b −1 b a b b −1 0 a + b a + b −1 a + b a + b −1 T đĩ suy ra lu t phân ph i c a X 1 và X 2 a p1 = P(X 1 = 1) = p 11 + p 10 = a + b b p0 = P(X 1 = 0) = p 01 + p 00 = a + b a q1 = P(X 2 = 1) = p 11 + p 01 = a + b b q0 = P(X 2 = 0) = p 10 + p 00 = a + b + Ví d 2 . M t thùng cĩ n qu c u đánh s t 1 đn n , n ∈ N, n > 0. Rút liên ti p (cĩ tr l i) 2 qu c u. G i X là s nh , Y là s l n trong 2 s rút đưc. Xác đnh lu t phân ph i c a vect ơ ng u nhiên (X,Y), các bi n ng u nhiên X và Y. Gi i. Các c p giá tr c a (X,Y) là {(i,j) | i,j = 1,2, ,n}. Ta cĩ - Tr ưng h p i > j : P(X = i; Y = j) = 0 - Tr ưng h p i = j : P(X = i; Y = j) = 1/n 2 - Tr ưng h p i < j : G i Ai , A j t ươ ng ng là s ki n l n rút th nh t đưc s i, s j Bi , B j t ươ ng ng là s ki n l n rút th hai đưc s i, s j Ta cĩ
2 2 2 P(X = i; Y = j) = P(A i.B j) + P(A j.B i) = 1/n + 1/n = 2/n Suy ra b ng phân ph i xác su t c a (X,Y) nh ư sau Y 1 2 i n X 2 2 2 2 1 1/n 2/n 2/n 2/n 2 2 2 2 0 1/n 2/n 2/n : : : : : 2 2 i 0 0 1/n 2/n : : : : : 2 n 0 0 0 1/n T đĩ suy ra lu t phân ph i xác su t c a X và Y nh ư sau: (2 n − i) +1 pi = P(X = i) = ∀ i=1, 2, , n n2 (2 i − )1 +1 2i −1 qi = P(Y = i) = = ∀ i=1, 2, , n n2 n2 3. Hàm phân ph i xác su t • ðnh ngh ĩa. Hàm phân ph i xác su t c a vect ơ ng u nhiên (X,Y) là hàm 2 bi n F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) ∀ (x,y) ∈ R 2 • Tính ch t. (i) Ký hi u F X và F Y t ươ ng ng là các hàm phân ph i c a bi n ng u nhiên X và Y. Ta cĩ FX(x) = lim F(x, y) = F(x, + ∞) ∀ x ∈ R y→+∞ FY(y) = lim F(x, y) = F(+ ∞, y) ∀ y ∈ R x→+∞ (ii) lim F(x, y) = 1 x→+∞ y→+∞ (iii) lim F(x, y) = lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0 x→−∞ y→−∞ x→−∞ y→−∞ (iv) Hàm F(x,y) khơng gi m theo t ng đi s 2 F(x 1, y 1) ≤ F(x2, y 2) ∀ (x 1, y 1), (x2, y 2) ∈ R , x 1 ≤ x 2 & y 1 ≤ y 2
(v) Cho a, b, c, d ∈ R, a < b, c < d. Ta cĩ P(a < X ≤ b; c < Y ≤ d) = F(b, d) − F(a, d) − F(b, c) + F(a, c) CM. Các tính ch t (i) − (iv) suy ra t đnh ngh ĩa. ð ch ng minh tính ch t (v) ta bi u di n s ki n (a < X ≤ b; c < Y ≤ d) = (X ≤ b ; Y ≤ d) − (X ≤ a ; Y ≤ d) ∪(X ≤ b ; Y ≤ c) và t đĩ, áp d ng cơng th c tính xác su t c a s ki n t ng, suy ra P(a < X ≤ b; c < Y ≤ d) = F(b, d) − [F(a, d) + F(b, c) − F(a, c)] = F(b, d) − F(a, d) − F(b, c) + F(a, c) đpcm 4. Hàm m t đ phân ph i xác su t • ðnh ngh ĩa. Hàm mt đ phân ph i xác su t c a vect ơ ng u nhiên liên t c (X,Y) là đo hàm h n h p c p 2 c a hàm phân ph i F(x,y) ∂2F(x, y) f(x,y) = ∀ (x,y) ∈ R 2 ∂x∂y • Tính ch t. (i) Hàm mt đ khơng âm f(x,y) ≥ 0 ∀ (x,y) ∈ R 2 (ii) Hàm phân ph i x y F(x,y) = ∫ ∫ f (u,v)dudv ∀ (x,y) ∈ R 2 −∞ − ∞ (iii) Tích phân kép +∞ +∞ ∫ ∫ f (x, y)dxdy = 1 −∞ −∞ (iv) Vi m i mi n D ⊂ R 2, xác su t P((x,y) ∈ D) = ∫∫ f (x, y)dxdy D CM. (i) hi n nhiên (ii) ðt x y G(x,y) = ∫ ∫ f (u,v)dudv ∀ (x,y) ∈ R 2 −∞ − ∞ Suy ra ∂2G(x, y) = f(x,y) ∀ (x,y) ∈ R 2 ∂x∂y và
lim G(x, y) = 0 x→−∞ y→−∞ Vy F(x,y) = G(x,y) ∀ (x,y) ∈ R 2 (iii) suy ra t (ii). (iv) N u D là mi n ch nh t thì (iv) suy ra t (ii). N u D là mi n b t k ỳ ta chia D thành các hình ch nh t nh , và b ng ph ươ ng pháp gi i h n ta suy ra (iv). + Ví d . Cho vect ơ ng u nhiên (X,Y) cĩ mt đ 1 f(x,y) = ∀ (x,y) ∈ R 2 π 2 (1+ x2 )(1+ y2 ) Ta cĩ  π  π  y arctan x + arctan y +  x 1  2  2  F(x,y) = dudv = ∫ ∫ π 2 (+ 2 )(+ 2 ) π 2 −∞ − ∞ 1 u 1 v Cho mi n ch nh t D = {(x,y) | 1 < x < 3 & 0 < y < 1} ta tính xác su t (X,Y) r ơi vào D: P((x,y) ∈ D) = F( 3 ,1) − F(1,1) − F( 3 ,0) + F(1,0) = 1  π π  π π   π π 2  π π π  π π  π   +  +  −  +  −  +  +  +   π 2  3 2  4 2   4 2   3 2  2  4 2  2  = 1 π 2 3.5. π 2 9. π 2 5. π 2 3.  30 − 27 − 20 +18 1  − − +  = = π 2  4.6 16 2.6 2`4  48 48 • Hàm mt đ c a các to đ. Cho hàm mt đ f(x,y) c a vect ơ ng u nhiên (X,Y). Ta xác đnh hàm mt đ f X và f Y c a các bi n ng u nhiên X và Y. T m c 2, 3 ta suy ra các hàm phân ph i F X và F Y c a X và Y nh ư sau x +∞  FX(x) = F(x, +∞) = ∫ ∫ f (u,v)dv du −∞ −∞  y +∞  FY(y) = F(+ ∞, y) = ∫ ∫ f (u,v)du dv −∞ −∞  Vy
+∞ ' fX(x) = FX (x) = ∫ f (x, y)dy −∞ và +∞ ' fY(y) = FY (y) = ∫ f (x, y)dx −∞ + Ví d . Cho vect ơ ng u nhiên (X,Y) cĩ hàm mt đ sau  1 x2 y2 , + ≤ 1  π f(x,y) = 6 9 4 x2 y2  0 , + > 1  9 4 Tìm hàm mt đ f X và f Y c a X và Y. Gi i. Khi |x| ≤ 3 ta cĩ x 2 2 1− 9 1 2 2 fX(x) = dy = 9 − x 6π ∫ 9π x 2 −2 1− 9 cịn n u |x| > 3 thì hi n nhiên f X(x) = 0. Vy  2  9 − x2 |, x |≤ 3 fX(x) = 9π 0 |, x |> 3 Tươ ng t ta cĩ  1  4 − y2 |, y |≤ 2 fY(y) = 2π 0 |, y |> 2 5. Hi p ph ươ ng sai và h s t ươ ng quan. Cho vect ơ ng u nhiên (X,Y). Gi s t n t i k ỳ v ng a = E(X) và b = E(Y). • Hi p ph ươ ng sai c a X và Y , ký hi u µ X,Y , là tr µX,Y = cov(X,Y) = E[(X − a).(Y − b)] nu k ỳ v ng v ph i t n t i. • Tr ưng h p (X,Y) là vect ơ ng u nhiên ri r c v i lu t phân ph i: {[(x i, y j), p ij ] | i ∈ I, j ∈ J }
ta cĩ µ = ( − )( − ) X ,Y ∑∑ xi a y j b pij i∈I j ∈ J • Tr ưng h p (X,Y) là vect ơ ng u nhiên liên t c v i hàm mt đ f(x,y) ta cĩ +∞ +∞ µ = (− )(− ) X ,Y ∫ ∫ x a y b f (x, y)dxdy −∞ −∞ Ghi chú: xem bài Hàm bi n ng u nhiên. • Cơng th c Koenig−Huyghens: µX,Y = E(X.Y) − E(X).E(Y) CM. µX,Y = E[(X − a).(Y − b)] = E(X.Y) − bE(X) − aE(Y) + a.b = E(X.Y) − E(X).E(Y) • B đ. Cho bi n ng u nhiên X và Y cĩ đ l ch quân ph ươ ng σX và σY . Khi đĩ hi p ph ươ ng sai µ X,Y t n t i và |µ X,Y | ≤ σX.σY CM. S d ng b t đng th c x2 + y2 x.y ≤ 2 và các cơng th c tính hi p ph ươ ng sai trên ta suy ra s t n t i c a µ X,Y . Bây gi ta xét bi u th c khơng âm 2 2 2 0 ≤ g( λ ) = D( λ .X + Y) = cov( λ .X + Y, λ .X + Y) = λ σX + 2. λ.µ X,Y + σY - Tr ưng h p σX = 0: 2 g( λ) = 2. λ.µ X,Y + σY ≥ 0 ∀λ ⇒ µX,Y = 0 ⇒ |µ X,Y | ≤ σX.σY - Tr ưng h p σX > 0: Tam th c g( λ) ≥ 0 ∀λ nên ∆ µ 2 −σ 2 σ 2 ≤ σ σ ’ = X ,Y X Y 0 ⇒ |µ X,Y | ≤ X. Y • H s t ươ ng quan c a X và Y , ký hi u ρX,Y , là tr µ ρ = X ,Y X,Y σ σ X Y trong đĩ σX và σY ( ≠ 0) là đ l ch quân ph ươ ng c a X và Y. T b đ suy ra
|ρX,Y | ≤ 1 Hai bi n ng u nhiên X và Y g i là tươ ng quan n u ρX,Y ≠ 0, ng ưc l i, n u ρX,Y =0 ta nĩi X và Y khơng t ươ ng quan. Nu ρX,Y > 0 thì bi n này “t ăng” kéo theo bi n kia “t ăng”. Nu ρX,Y < 0 thì bi n này “t ăng” kéo theo bi n kia “gi m”. Ta xét tr ưng h p σX ≠ 0 và |µ X,Y | = σX.σY . Khi đĩ, theo ch ng minh b đ, ∆’ = 0, t c g( λ) cĩ nghi m kép λ0. Nh ư v y bi n ng u nhiên λ0X + Y cĩ ph ươ ng sai b ng 0. T đĩ suy ra λ0X + Y = C (h ng) hu nh ư kh p n ơi (tr vùng cĩ xác su t b ng 0). V y cĩ th vi t Y = −λ0.X + C tc Y là hàm tuy n tính c a X. Nh ư v y, σX ≠ 0, σY ≠ 0 và |ρX,Y | = 1 thì ta nĩi X và Y tươ ng quan tuy n tính . + Ví d 1 . Tr l i ví d 1 m c 1. Mt thùng cĩ a qu c u tr ng và b qu c u đen. Rút liên ti p 2 qu c u (khơng tr l i vào thùng). Ký hi u X i, i=1,2, là các bi n ng u nhiên nh n giá tr 1 n u l n rút i đưc qu c u tr ng, nh n giá tr 0 n u l n rút i đưc qu cu đen. Khi đĩ c p (X 1, X 2) t o thành bi n ng u nhiên 2 chi u. Ta cĩ a a a(a − )1 E(X 1) = , E(X 2) = , E(X 1.X 2) = a + b a + b (a + b)( a + b − )1 a(a − )1 ⇒ µ = E(X 1.X 2) − E(X 1).E(X 2) = − X 1 , X 2 (a + b)( a + b − )1  a 2    a + b  a(a −1)(a + b) − a2 (a + b − )1 ab = = − (a + b)2 (a + b − )1 (a + b)2 (a + b − )1 Mt khác ab D(X 1) = D(X 2) = (a + b)2 µ 1 ⇒ ρ = X1 , X 2 = − X 1 , X 2 σ .σ a + b −1 X1 X 2 + Ví d 2 . Lu t phân ph i chính qui hai chi u. Vect ơ ng u nhiên (X,Y) g i là tuân theo lu t phân ph i chính qui 2 chi u n u cĩ hàm mt đ d ng  2 2  1  x−a   y−b  (x−a)( y −b) −   +  − .2 ρ  2  σ   σ  σ σ 1 1(2 −ρ )  X   Y  X Y  f(x,y) = .e   πσ σ − ρ 2 2 X Y 1 trong đĩ a, b là k ỳ v ng c a X, Y σX , σY là đ l ch quân ph ươ ng c a X, Y ρ là h s t ươ ng quan c a X và Y
Ghi chú: N u ρ = 0 thì  − 2  − 2 − 1  x a  − 1  y b  1  σ  1  σ  f(x,y) = .e 2  X  . .e 2 Y  = f (x).f (y) π σ π σ X Y 2 . X 2 . Y vi fX , f Y là các hàm m t đ c a X, Y cĩ phân ph i chu n N(a, σX), N(b, σY).
II. PHÂN PH I CĨ ðIU KI N - BI N NG U NHIÊN ðC L P 1. Tr ưng h p vect ơ ng u nhiên ri r c. Cho vect ơ ng u nhiên ri r c (X,Y) v i lu t phân ph i {[(x i, y j), p ij ] | i ∈ I, j ∈ J } Vi m i x i, y j , i ∈ I và j ∈ J, xác su t đ X = x i v i gi thi t Y = y j g i là xác su t cĩ điu ki n điu ki n P(x i / y j). Xác su t đ Y = y j v i gi thi t X = x i g i là xác su t cĩ điu ki n điu ki n P(y j / x i). C đnh y j , j ∈ J, phân ph i {(x i, P(x i / y j)) | i ∈ I} gi là phân ph i cĩ điu ki n c a bi n ng u nhiên X v i điu ki n Y = y j. C đnh x i , i ∈ I, phân ph i {(y j, P(y j / x i)) | j ∈ J} gi là phân ph i cĩ điu ki n c a bi n ng u nhiên Y v i điu ki n X = x i. Ta cĩ P(X = x ;Y = y ) p P(x / y ) = i j = ij i j = P(Y y j ) ∑ pij i∈I P(X = x ;Y = y ) p P(y / x ) = i j = ij j i = P(X xi ) ∑ pij j∈J Ghi chú: Hi n nhiên ta cĩ ∑ pij = i∈I = ∑ P(xi / y j ) 1 i∈I ∑ pij i∈I ∑ pij = j∈J = ∑ P(y j / xi ) 1 j∈J ∑ pij j∈J • Kỳ v ng cĩ điu ki n Kỳ v ng cĩ điu ki n ca X v i điu ki n Y = y j, j ∈ J, là đi l ưng E(X / yj) = ∑ xi P(xi / y j ) i∈I Kỳ v ng cĩ điu ki n ca Y v i điu ki n X = x i, i ∈ I, là đi l ưng
E(Y / x i) = ∑ y j P(y j / xi ) j∈J • Bin ng u nhiên đc l p. Hai bi n ng u nhiên X và Y g i là đc l p v i nhau n u lu t phân ph i cĩ điu ki n c a m i bi n trùng v i lu t phân ph i (khơng điu ki n) c a nĩ, t c là P(x i / y j ) = P(X = x i) = p i ∀i ∈ I, j ∈ J P(y j / x i ) = P(Y = y j) = q j ∀i ∈ I, j ∈ J T đnh ngh ĩa ta th y bi n ng u nhiên X và Y đc l p khi và ch khi pij = p i.q j ∀ i ∈ I, j ∈ J + Ví d 1 . Mt thùng cĩ a qu c u tr ng và b qu c u đen. Rút ng u nhiên 1 qu cu, tr l i vào thùng, sau đĩ rút 1 qu n a. Ký hi u X i, i=1,2, là các bi n ng u nhiên nh n giá tr 1 n u l n rút i đưc qu c u tr ng, nh n giá tr 0 n u l n rút i đưc qu cu đen. Khi đĩ c p (X 1, X 2) t o thành bi n ng u nhiên 2 chi u và ta d dàng th y rng X 1 và X 2 đc l p v i nhau. + Ví d 2 . Tr l i ví d 1 m c 1. Mt thùng cĩ a qu c u tr ng và b qu c u đen. Rút liên ti p 2 qu c u (khơng tr l i vào thùng). Ký hi u Xi, i=1,2, là các bi n ng u nhiên nh n giá tr 1 n u l n rút i đưc qu c u tr ng, nh n giá tr 0 n u l n rút i đưc qu cu đen. Khi đĩ c p (X 1, X 2) t o thành bi n ng u nhiên 2 chi u. Hãy xác đnh lu t phân ph i cĩ điu ki n c a X 2 đi v i X 1 =1. Ta cĩ a(a − )1 p (a + b)( a + b − )1 a −1 P(X = 1 / X = 1) = 11 = = 2 1 a + − p1 a b 1 a + b a.b p (a + b)( a + b − )1 b P(X = 0 / X = 1) = 01 = = 2 1 a + − p1 a b 1 a + b Ta th y phân ph i cĩ điu ki n c a X 2 đi v i X 1 = 1 khác phân ph i khơng điu ki n c a X 2. V y X 1 và X 2 khơng đc l p. Kỳ v ng cĩ điu ki n c a X 2 đi vơi X 1 = 1 là a −1 E(X 2 / X 1 = 1) = a + b −1 Trong khi đĩ a E(X 2) = a + b
2. Tr ưng h p vect ơ ng u nhiên liên t c Cho vect ơ ng u nhiên liên t c (X, Y) cĩ mt đ f(x,y). Vi m i y ∈ R tho f Y(y) ≠ 0, hàm f (x, y) fX(x/y) = , x ∈ R, fY (y) gi là hàm mt đ phân ph i cĩ điu ki n c a X v i điu ki n Y = y. Tươ ng t , v i m i x ∈ R tho f X(x) ≠ 0, hàm f (x, y) fY(y/x) = , y ∈ R, f X (x) gi là hàm mt đ phân ph i cĩ điu ki n c a Y v i điu ki n X = x. Hi n nhiên ta cĩ +∞ ∀ ∈ = fX(x/y) ≥ 0 x R , ∫ f X (t / y)dt 1 −∞ +∞ ∀ ∈ = fY(y/x) ≥ 0 y R , ∫ fY (t / x)dt 1 −∞ • Bin ng u nhiên X và Y g i là đc l p v i nhau n u fX(x/y) = f X(x) ∀ y ∈ R , f Y(y) ≠ 0, ∀ x ∈ R ho c fY(y/x) = f Y(y) ∀ x ∈ R , f X(x) ≠ 0, ∀ y ∈ R Suy ra X và Y g i là đc l p v i nhau n u f(x,y) = f X(x).f Y(y) ∀ (x, y) ∈ R • Kỳ v ng cĩ điu ki n c a X v i điu ki n Y = y, f Y(y) ≠ 0 , là giá tr +∞ E(X / y) = ∫ . ft X (t / y)dt −∞ Và k ỳ v ng cĩ điu ki n c a Y v i điu ki n X = x, f X(x) ≠ 0 , là giá tr +∞ E(Y / x) = ∫ . ft Y (t / x)dt −∞ + Ví d . Cho r > 0 và vect ơ ng u nhiên (X,Y) cĩ mt đ  1  , x2 + y2 ≤ r 2 f(x,y) = π.r 2  0 , x2 + y2 > r 2 Vi |y| < r ta cĩ
+∞ + 2 − 2 1 r y 2 r 2 − y 2 fY(y) = f (x, y)dx = dx = ∫ π.r 2 ∫ π.r 2 −∞ − r2 −y2 Vi |y| ≥ r ta cĩ f Y(y) = 0. Vy, v i |y| r − y Suy ra f X(./y) ≠ f X(.), v y X và Y khơng đc l p v i nhau. Vì hàm mt đ ch n, nên k ỳ v ng cĩ điu ki n + r 2 − y 2 E(X / y) = ∫ x.dx = 0 − r 2 − y 2
III. HÀM ðI S NG U NHIÊN 1. Hàm 1 đi s ng u nhiên. Y = ϕ(X) a) Tr ưng h p X là bi n ng u nhiên ri r c. Cho X cĩ lu t phân ph i {(x i, p i) | i ∈ I} Ký hi u {y j | j ∈ J } là t p h p các tr khác nhau c a ϕ(x i), i ∈ I. ðt ∀ ∈ qj = ∑ pi j J ϕ = (xi ) y j Khi đĩ bi n ng u nhiên Y = ϕ(X) cĩ lu t phân ph i {(y j, q j) | j ∈ J} + Ví d . Cho n ∈ N, n > 0, X là bi n ng u nhiên cĩ phân ph i  k 1    ,  k = −n,−(n −1), , − 1,0,1 , , (n −1),n  n 2n +1  Khi đĩ bi n ng u nhiên Y = |X| cĩ phân ph i    k  = −  , pk  k 1,0 , , (n ),1 n  n   vi p0 = 1/(2n+1) và p k = 2/(2n+1) ∀k = 1, 2, , n b) Tr ưng h p X là bi n ng u nhiên liên t c. Cho X cĩ hàm mt đ f(x). (i) Gi thi t ϕ(x) kh vi đơ n điu t ăng trong (a,b) ch a các giá tr c a X. Ta cĩ −1 −1 FY(y) = P(Y ≤ y) = P( ϕ(X) ≤ y) = P(X ≤ ϕ (y)) = F X(ϕ (y)) Suy ra −1 −1 −1 dF (y) dF (ϕ (y)) dϕ (y) − dϕ (y) Y = X . = f (ϕ 1(y)). dy dx dy X dy ⇒ −1 − dϕ (y) f (y) = f (ϕ 1(y)). Y X dy (ii) Gi thi t ϕ(x) kh vi, đơ n điu gi m trong (a,b) ch a các giá tr c a X. Ta cĩ
−1 −1 FY(y) = P(Y ≤ y) = P( ϕ(X) ≤ y) = P(X ≥ ϕ (y)) = 1 − F X(ϕ (y)) Suy ra −1 −1 −1 dF (y) dF (ϕ (y)) dϕ (y) − dϕ (y) Y = − X . = − f (ϕ 1(y)). dy dx dy X dy ⇒ −1 − dϕ (y) f (y) = f (ϕ 1(y)). Y X dy Hp nh t c hai tr ưng h p ta cĩ −1 − dϕ (y) f (y) = f (ϕ 1(y)). Y X dy + Ví d 1 . Cho bi n ng u nhiên X cĩ phân ph i chu n N(0,1). Tìm lu t phân ph i c a Y = X 3. Gi i. Hàm mt đ phân ph i c a X là 1 1 − x 2 f(x) = e 2 2π Hàm y = ϕ(x) = x 3 là hàm đơ n điu t ăng và kh vi trong (−∞, + ∞). Ta cĩ dx dϕ −1(y) 1 x = ϕ−1 (y) = 3 y ⇒ = = dy dy 33 y2 Vy hàm mt đ c a Y là 1 1 1 − 3 y 2 1 1 1 − 3 y 2 g(y) = e 2 . = e 2 . 2π 33 y2 3 2π 3 y2 + Ví d 2 . Cho bi n ng u nhiên X cĩ hàm mt đ f(x). Tìm hàm mt đ c a bi n ng u nhiên Y = a.X + b, a, b ∈ R, a ≠ 0. Gi i. Hàm y = ϕ(x) = a.x + b đơn điu. Ta cĩ y − b dx dϕ −1(y) 1 x = ϕ−1 (y) = ⇒ = = a dy dy a Vy hàm mt đ c a Y là  y − b  1 g(y) = f  .  a  | a | (iii) Tr ưng h p hàm ϕ(x) khơng đơ n điu. Gi s bi n ng u nhiên X l y giá tr thu c kho ng (a,b), cịn ϕ(x) đơ n điu tng khúc trên (a,b), ngh ĩa là cĩ th chia (a,b) thành n kho ng con J i, i=1, 2, ,n, r i nhau sao cho ϕ(x) đơ n điu trên m i kho ng con đĩ. Ký hi u ϕi : J i → (a,b), ϕi(x) = ϕ(x) ∀ x ∈ J i , i=1, 2, ,n. Cho kho ng (y,y+ ∆y) ⊂ (a,b). Ký hi u −1 (x i, x i + ∆xi) = ϕi ((y,y+ ∆y)) ∀ i = 1, 2, , n.
(cĩ th ∆xi cĩ d u b t k ỳ). Ta cĩ n ∈ + ∆ P(y 0 2π 2 y 2π 2 y 2π.y 2. Hàm nhi u đi s ng u nhiên ri r c. a) Cho (X, Y) là vect ơ ng u nhiên v i lu t phân ph i {((x i,y j), p ij ) | i ∈ I, j ∈ J } Cho ϕ(x,y) là hàm hai bi n. Xét bi n ng u nhiên Z = ϕ(X,Y). Ký hi u { z k | k ∈ K }
là t p h p các giá tr khác nhau c a t p {ϕ(x i,y j) | i ∈ I, j ∈ J } Vi m i k ∈ K, ký hi u rk = ∑ pij ∈ ϕ = i,( j) IxJ , (xi , y j ) zk Khi đĩ Z cĩ lu t phân ph i {(z k, r k) | k ∈ K } Cho X và Y cĩ lu t phân ph i t ươ ng ng {(x i, p i) | i ∈ I } và {(y j, q j) | j ∈ J } Nu X và Y đc l p v i nhau thì rk = ∑ piq j ∈ ϕ = (i, j) IxJ , (xi , y j ) zk + Ví d . M t thùng ch a n qu c u đánh s t 1 đn n. Rút ng u nhiên qu c u th nh t, khơng b l i thùng, sau đĩ rút qu th hai. G i X và Y là s c a qu c u th nh t và s c a qu c u th hai. Hãy tìm lu t phân ph i c a X+Y. Gi i. Ta d dàng tính đưc xác su t  0 ,i = j  p = P(X = i, Y = j) = 1 ij  ,i ≠ j n(n − )1 Hi n nhiên là X+Y nh n các giá tr t 3 đn 2n−1. Cho k ∈ {3, 4, , 2n−1}. Xét các tr ưng h p sau: (i) 3 ≤ k ≤ n và k l . Ta cĩ k −1 k −1 P(X+Y = k) = p = p = ∑ ij ∑ i,k −i − i+ j =k i=1 n(n )1 (vì k l nên khơng th x y ra i=k−i ⇒ p i,k−1 = 1/n(n−1) ∀ i = 1, 2, , k−1) (ii) 3 ≤ k ≤ n và k ch n. Ta cĩ k −1 k − 2 P(X+Y = k) = p = p = ∑ ij ∑ i,k −i − i+ j =k i=1 n(n )1 (vì k ch n nên p i,k−1 = 1/n(n−1) ∀ i = 1, 2, , k−1 & i ≠ k/2)
(iii) n + 1 ≤ k ≤ 2n − 1 và k l . Xét c p (i, j), i + j = k. Ta cĩ j = k − i , và 1 ≤ i ≤ n & 1 ≤ k − i ≤ n ⇒ k − n ≤ i ≤ n T đĩ suy ra n 2n − k +1 P(X+Y = k) = p = p = ∑ ij ∑ i,k −i − i+ j =k i=k −n n(n )1 (iv) n + 1 ≤ k ≤ 2n − 1 và k ch n. Vi i = k/2, p i,k−i = 0. Suy ra n 2n − k P(X+Y = k) = p = p = ∑ ij ∑ i,k −i − i+ j =k i=k −n n(n )1 b) Tính n đnh c a phân ph i nh th c và phân ph i Poisson . • ðnh lý 1 . Cho các bi n ng u nhiên X và Y đc l p, tuân theo lu t phân ph i nh th c B(m,p) và B(n,p), 0 0 và µ>0. Khi đĩ t ng X+Y cĩ phân ph i Poisson P( λ+µ). CM. Mi n giá tr c a X+Y là N. Cho n ∈ N, ta cĩ n λi µ n−i P(X+Y = n) = P(X = i). P(Y = j) = e−λ e−µ ∑ ∑ − i+ j =n i=0 i! (n i)! −(λ +µ ) n n e n! − − λ +µ (λ + µ) = λi.µ n i = e ( ). ∑ − n! i=0 i!.( n i)! n! Vy X+Y cĩ phân ph i Poisson P( λ+µ). 3. Hàm nhi u đi s ng u nhiên liên t c. a) T ng hai bi n ng u nhiên .
Cho vect ơ ng u nhiên (X,Y) cĩ hàm mt đ f(x,y). Xét bi n ng u nhiên Z = X+Y. Gi G(z) là hàm phân ph i c a Z. Ký hi u Dz = {(x,y) | x+y ≤ z }. Ta cĩ G(z) = P(Z ≤ z) = P(X+Y ≤ z) = P((X,Y) ∈ D z ) ∞ z − x  = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ ∫ f (x, y)dy dx ∀ z −∞ −∞ Dz   ∈ R Ly đo hàm G(z) ta nh n đưc hàm mt đ g(z) c a Z. ∞ g(z) = G’(z) = ∫ f (x, z − x)dx −∞ Tươ ng t ta cĩ ∞ g(z) = ∫ f (z − y, y)dy −∞ • Tr ưng h p X và Y đc l p ta cĩ ∞ ∞ − = − g(z) = ∫ f X (x). fY (z x)dx ∫ f X (z y). fY (y)dy −∞ −∞ trong đĩ f X và f Y là các hàm mt đ c a X và Y. Ghi chú: Các phép tốn v i f X và f Y nh ư trên g i là tích ch p và ký hi u là fX * f Y + Ví d 1 . Cho X và Y là các bi n ng u nhiên đc l p, phân ph i đu trên [0, 1]. Tìm phân ph i c a X+Y. Gi i. Hàm mt đ f X và f Y c a X và Y nh ư sau: 1 ,t ∈[ 1;0 ] fX(t) = f Y(t) =  0 ,t ∉[]1;0 Suy ra hàm mt đ g(z) , z ∈R, theo cơng th c ∞ 1 − = − g(z) = ∫ f X (x). fY (z x)dx ∫ fY (z x)dx −∞ 0 Ta xét các tr ưng h p sau. (i) z ≤ 0: Ta cĩ z - x < 0 ∀x∈(0; 1) ⇒ f Y(z-x) = 0 ∀x∈(0; 1) ⇒ g(z) = 0