Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 5: Không gian mẫu và thống kê trên không gian mẫu

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 5: Không gian mẫu và thống kê trên không gian mẫu

1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN HỌC Phan Văn Tân Bộ mơ Khí tượng
2. CHƯƠNG 5. KHƠNG GIAN MẪU VÀ THỐNG KÊ TRÊN KHƠNG GIAN MẪU 5.1 Khơng gian mẫu •Mẫu là gì? –Làtập hợp hữu hạn các phần tử lấy từ tập tất cả các phần tử cĩ thể cĩ nào đĩ •Tại sao phải lấy mẫu? – Để nghiên cứu một hiện tượng, một sự kiện nào đĩta khơng thể xem xét tất cả các thành phần cấu thành nĩ, vì số thành phần là vơ hạn hoặc quá nhiều –Vídụ: • Nghiên cứu tâm lý lứa tuổi • Điều tra xã hội học về một chính sách nào đĩ • Đánh giá chất lượng sản phNm của nhà máy •
3. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.1 Khơng gian mẫu •Tập tổng thể: Tập hợp tất cả các thành phần cĩ thể cĩ –Tập tồn bộ, tập chính qui •Tập mẫu: Tập hợp các thành phần được lấy ra để thí nghiệm, kiểm tra –Số thành phần được chọn: Dung lượng mẫu –Tập hợp tất cả các mẫu cĩ thể lấy được gọi là khơng gian mẫu –Mỗi mẫu lấy ra là một điểm trong khơng gian mẫu • Khơng gian mẫu ứng với khơng gian các sự kiện sơ cấp •Mỗi mẫu ứng với một sự kiện sơ cấp trong lý thuyết xác suất •Cĩhai loại mẫu: –Mẫu cĩ lặp –Mẫu khơng lặp
4. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.1 Khơng gian mẫu •Giả sử tập tổng thể gồm N phần tử, tập mẫu gồm n phần tử (n<N ) –Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n lần, mỗi lần một phần tử từ tập tổng thể rồi trả lại tập tổng thể sau khi đã ghi nhận kết quả ¾ Đĩ là cách lấy mẫu cĩ lặp: Một phần tử cĩ thể được lấy nhiều lần –Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n phần tử từ tập tổng thể, sau mỗi lần lấy ghi nhận kết quả nhưng khơng trả lại tập tổng thể ¾ Đĩ là cách lấy mẫu khơng lặp: Mỗi phần tử chỉ cĩ thể được chọn một lần duy nhất
5. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.1 Khơng gian mẫu • Đối với cách lấy mẫu lặp: –Mỗi phần tử trong số n phần tử của mẫu cĩ N cách chọn, vì mỗi phần tử sau khi chọn được trả lại tập ban đầu – Ỵ Cĩ tất cả N n cách lấy mẫu khác nhau • Đối với các lấy mẫu khơng lặp: –CĩN cách chọn phần tử thứ nhất của tập mẫu –Cĩ(N –1) cách chọn phần tử thứ hai, vì phần tử thứ nhất khơng được trả lại tập ban đầu – –Cĩ(N –n+1) cách chọn phần tử thứ n của tập mẫu n – Ỵ Cĩ tất cả N (N –1) (N –n+1)=AN cách lấy mẫu
6. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.1 Khơng gian mẫu n AN • N hận thấy: Khi n << N thì n ~ 1 Ỵ hai cách lấy mẫu tương đương nhau N • Để cĩ kết luận tương đối chính xác về tập tổng thể thì tập mẫu n phải tiêu biểu •Mẫu được coi là tiêu biểu nếu nĩ được lấy một cách ngẫu nhiên, tức mọi phần tử của tập tổng thể phải cĩ xác suất được chọn như nhau • N ếu mẫu được lấy để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X thì tập mẫu (X1, X2, , Xn) được coi là mẫu của X •Mỗi Xi, i=1,2, ,n, đều được chọn từ tập giá trị của X nên các Xi là những đại lượng ngẫu nhiên cĩ cùng phân bố với X
7. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.1 Khơng gian mẫu •Vídụ: Giả sử X={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ỵ N =9 • N ếu n=3, với cách lấy mẫu cĩ lặp ta cĩ thể cĩ các mẫu: –(X1, X2, X3) = (1,4,6) X3 –(X1, X2, X3) = (2,3,8) –(X1, X2, X3) = (9,1,7) –(X1, X2, X3) = (4,2,1) – • Ỵ X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} i X2 X1
8. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác •Giả sử cĩ mẫu (X1, X2, , Xn) của đại lượng ngẫu nhiên X cĩ phân bố F(x) (F(x) được gọi là phân bố chính xác của X) • Vì F(x) chưa biết nên cần tìm F(x) trên cơ sở tập mẫu lấy được •Từ tập mẫu (X1, X2, , Xn) ta lập hàm Fn(x): ⎧ nx ⎪Fn (x) = ⎨ n ⎪ ⎩nx = Sè phÇn tư cđa (X 1, X 2 , , X n ) tháa m·n X i 0 ta cĩ lim P(| Fn (x) − F(x) |< ε ) = 1 n→∞
9. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác nx 1 •Từ hệ thức Fn (x) = suy ra P(X = X ) = , i = 1,2, ,n n i n • N hư vậy, cĩ thể xem mẫu (X1, X2, , Xn) như là tập các giá trị cĩ thể của biến ngẫu nhiên rời rạc X’, trong đĩxác suất để X’ nhận các giá trị cĩ thể của nĩ là như nhau và bằng 1/n • Để nghiên cứu X ta dựa vào tập mẫu (X1, X2, , Xn), điều đĩ tương đương với việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên rời rạc X’ •Sự khác biệt cơ bản là: – Phân bố của X là phân bố chính xác, các đặc trưng của X là các đặc trưng chính xác – Phân bố của X’ là phân bố mẫu, các đặc trưng của X’ là các đặc trưng mẫu
10. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên • Xét biến ngẫu nhiên X với mẫu lấy được X’={X1, X2, , Xn} • Ký hiệu các đặc trưng chính xác của X là: – Hàm phân bố F(x)=P(X<x) –Kỳ vọng: μ=M[X], phương sai: σ2=D[X]=M[(X–μ)2] k – Mơmen gốc bậc k: mk=M[X ] k – Mơmen trung tâm bậc k: μk=M[(X–μ) ] •Cần xác định các đặc trưng mẫu của X •Từ mục trước: n F (x) = x n n 1 P(X = X ) = , i = 1,2, ,n i n
11. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên n 1 n •Kỳ vọng mẫu: ′ ′ X = M[X ] = ∑ X i P(X = X i ) = ∑ X i i=1 n i=1 •Phương sai mẫu: n n ~ 1 1 2 2 2 ′ 2 2 2 Dx = sx = D[X ] = ∑(X i − X ) = ∑ X i − X ≡ X − −X n i=1 n i=1 • Mơmen gốc mẫu bậc k: 1 n ~ ′k k mk = M[X ] = ∑ X i n i=1 • Mơmen trung tâm mẫu bậc k: 1 n ~ ′ k k μk = M[(X − X ) ] = ∑(X i − X ) n i=1
12. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Xét biến ngẫu nhiên X cĩ mật độ xác suất f(x) và mẫu (X1, X2, , Xn) là mẫu cĩ lặp của X • Vì các Xi là độc lập và cĩ cùng phân bố với X nên f(xi)≡f(x) X •Cĩthể xét (X1, X2, , Xn) như là 3 hệ n đại lượng ngẫu nhiên hay (x , x , x ) vector ngẫu nhiên n chiều nhận 1 2 3 các giá trị cĩ thể (x1, x2, , xn) •Các (x1, x2, , xn) là các hằng số ứng với một mẫu đã được chọn X2 •(X1, X2, , Xn) cĩ mật độ f(x1)×f(x2)× ×f(xn) X1
13. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Định nghĩa: Một hàm số g(X1, X2, , Xn) bất kỳ với các biến là (X1, X2, , Xn) được gọi là một đại lượng thống kê hay một đặc trưng thống kê trên khơng gian mẫu •Vì(X1, X2, , Xn) là một hệ các đại lượng ngẫu nhiên nên g(X1, X2, , Xn) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên n •Vídụ: Kỳ vọng mẫu: 1 X = ∑ X i n i=1 n ~ 2 1 2 •Phương sai mẫu: Dx = sx = ∑(X i − X ) n i=1 • Các mơmen gốc, mơmen trung tâm mẫu đều là những đại lượng thống kê trên khơng gian mẫu
14. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Cho Y=g(X1, X2, , Xn) là một đại lượng thống kê và f(x1)×f(x2)× ×f(xn) là mật độ xác suất của (X1, X2, , Xn) • Cần xác định phân bố Fy(y) của Y •Về nguyên tắc ta cĩ: F ( y) = f (x ) f (x )dx dx , y ∫ 1 n 1 n G G = {(x1, , xn ) : g(x1, , xn ) < y} •Sau đây sẽ xét phân bố của một số đặc trưng thống kê thơng dụng
15. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 1: N ếu mẫu (X1, X2, , Xn) được lấy từ đại lượng ngẫu nhiên X cĩ phân bố chuNn N (μ,σ) thì 1 n X = X 2 ∑ i σ n cĩ phân bố chuNn N(μ, ) i=1 n • Định nghĩa: N ếu (X1, X2, , Xn) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cĩ cùng phân bố chuNn N (0,1) thì đại lượng ngẫu nhiên n 2 U = ∑ X i i=1 cĩ phân bố χ2 (khi bình phương) với n bậc tự do, ký hiệu U∈χ2(n)
16. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 2: N ếu X cĩ phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2, , Xn) là mẫu của X thì n −1 2 U = s* σ 2 x cĩ phân bố χ2 với (n–1) bậc tự do, U∈χ2(n–1), với n n *2 1 2 1 sx = ∑(X i − X ) , X = ∑ X i n −1 i=1 n i=1 • Định nghĩa: N ếu Z cĩ phân bố chuNn N (0,1), U cĩ phân bố χ2 với n bậc tự do, χ2(n), thì Z Z t = = n U / n U cĩ phân bố Student với n bậc tự do, ký hiệu t∈St(n)
17. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 3: N ếu X cĩ phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2, , Xn) là mẫu của X thì X − μ t = * sx / n cĩ phân bố Student với (n–1) bậc tự do, t∈St(n–1), với n n *2 1 2 1 sx = ∑(X i − X ) , X = ∑ X i n −1 i=1 n i=1 2 • Định nghĩa: N ếu U1 và U2 độc lập cĩ phân bố χ với n1 và n2 bậc tự do, U ∈χ2(n ), U ∈χ2(n )thì U / n 1 1 2 2 F = 1 1 U2 / n2 cĩ phân bố Fisher (phân bố F) với n1 và n2 bậc tự do, ký hiệu F∈F(n1,n2) hoặc F∈Fn1,n2
18. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê • Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp • Định lý 4: N ếu X và Y đều cĩ phân bố chuNn và cĩ cùng phương 2 sai, D[X]=D[Y]=σ , (X1, X2, , Xn1)làmẫu của X, (Y1, Y2, , 2 Yn2) là mẫu của Y, thì s* f = x *2 sy cĩ phân bố F với (n1–1) và (n2–1) bậc tự do, f∈F(n1–1,n2–1), với n1 n1 *2 1 2 1 sx = ∑(X i − X ) , X = ∑ X i n1 −1 i=1 n1 i=1 n2 n2 *2 1 2 1 sy = ∑(Yi −Y ) , Y = ∑Yi n2 −1 i=1 n2 i=1
19. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU Những điều cần chú ý • Khi xét đại lượng ngẫu nhiên X với mẫu (X1, X2, , Xn): –Các Xi nhận các giá trị trong tập các giá trị cĩ thể của X nên các Xi cĩ cùng phân bố với X, f(xi)=f(x) –Các Xi là độc lập với nhau –Cĩthể xét (X1, X2, , Xn) như là một hệ n đại lượng ngẫu nhiên, phân bố của hệ: f(x1, ,xn)=f(x1)× ×f(xn) –Bộ giá trị (x1, ,xn) là những hằng số cụ thể, và là kết quả của một lần chọn nào đĩ Ỵ Khái niệm mẫu (X1, X2, , Xn) là một khái niệm trừu tượng n n • Phân biệt: 1 1 M[X ] ≠ X = ∑ X i ≠ x = ∑ xi n i=1 n i=1 •Tương tự, với các đặc trưng khác: Phương sai, mơmen,
20. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) với mẫu lấy được (X1,Y1), (X2,Y2), , (Xn,Yn) • Khi đĩ, ngồi các đặc trưng riêng như kỳ vọng, phương sai, mơmen gốc, mơmen trung tâm của từng đại lượng ngẫu nhiên, các đặc trưng quan trọng cần được xem xét là mơmen tương quan và hệ số tương quan • Mơmen tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên được xác n định bởi ~ 1 μxy = ∑(X i − X )(Yi −Y ) n i=1 n n • Trong đĩ 1 1 tương ứng là kỳ vọng X = ∑ X i , Y = ∑Yi n i=1 n i=1 mẫu của X và Y Do tính ứng dụng phổ biến của mơmen tương quan mẫu nên để ~ thuận tiện ta sẽ sử dụng ký hiệu Rxy thay cho μxy
21. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Hệ số tương quan mẫu giữa X và Y được xác định bởi 1 n ~ ~ ∑(X i − X )(Yi −Y ) μxy μxy n r = = = i=1 xy ~ ~ s s n n Dx Dy x y 1 2 1 2 ∑(X i − X ) ∑(Yi −Y ) n i=1 n i=1 1 n 1 n • Trong đĩ ~ 2 2 ~ 2 2 Dx = sx = ∑(X i − X ) , Dy = sy = ∑(Yi −Y ) n i=1 n i=1 tương ứng là phương sai mẫu của X và Y
22. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Đối với hệ m đại lượng ngẫu nhiên (X1,X2, ,Xm) với mẫu lấy được (X11,X21, ,Xn1), , (X1m,X22, ,Xnm) •Cĩthể sắp xếp mẫu thành ma trận n hàng (dung lượng mẫu) và m cột (tương ứng với m đại lượng ngẫu nhiên) •Các đặc trưng mẫu được xác định như sau n •Các kỳ vọng mẫu: 1 X j = ∑ X ij , j = 1,2, ,m n i=1 ~ 1 n •Các phương sai mẫu: D = s2 = (X − X )2 , j = 1,2, ,m x j x j ∑ ij j n i=1 ~ • Trong nhiều trường hợp để đơn giản ta sử dụng ký hiệu D , s2 ~ j j thay cho ký hiệu D , s2 x j x j
23. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Các mơmen tương quan mẫu: 1 n μ~ = (X − X )(X − X ), j,k = 1,2, ,m x j xk ∑ ij j ik k n i=1 •Tập hợp các mơmen tương quan mẫu lập thành ma trận tương quan mẫu: •Sử dụng ký hiệu R jk ~ ~ ~ thay cho ký hiệu μ~ ⎛ μ μ μ ⎞ x j xk ⎜ x1x1 x1x2 x1xm ⎟ μ~ μ~ μ~ ⎜ x2 x1 x2 x2 x2 xm ⎟ R R R R = ⎛ 11 12 1m ⎞ xx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ R21 R22 R2m ⎟ ⎜ ⎟ R = ⎜ μ~ μ~ μ~ ⎟ xx ⎜ ⎟ ⎝ xm x1 xm x2 xm xm ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ Rm1 Rm2 Rmm ⎠
24. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • N hận thấy: 1 n 1 n μ~ = (X − X )(X − X ) = (X − X )(X − X ) = μ~ , x j xk ∑ ij j ik k ∑ ik k ij j xk x j n i=1 n i=1 ( j,k = 1,2, ,m) •Ma trận tương quan mẫu là ma trận đối xứng 1 n 1 n ~ • Khi j≡k: μ~ = (X − X )(X − X ) = (X − X )2 = D , x j x j ∑ ij j ij j ∑ ij j x j n i=1 n i=1 ( j = 1,2, ,m) •Các phần tử trên đường chéo chính là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần
25. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Các hệ số tương quan mẫu: μ~ μ~ R r = x j xk = x j xk ≡ jk , j,k = 1,2, ,m x j xk ~ ~ D D sx sx s j sk x j xk j k •Tập hợp các hệ số tương quan mẫu lập thành ma trận tương quan mẫu chuNn hĩa: •Sử dụng ký hiệu rjk thay cho ký hiệu r ⎛ r r r ⎞ x j xk ⎜ x1x1 x1x2 x1xm ⎟ r r r ⎜ x2 x1 x2 x2 x2 xm ⎟ ⎛ r r r ⎞ P = ⎜ 11 12 1m ⎟ xx ⎜ ⎟ ⎜ r21 r22 r2m ⎟ ⎜ ⎟ P = ⎜r r r ⎟ xx ⎜ ⎟ ⎝ xm x1 xm x2 xm xm ⎠ ⎜ ⎟ ⎝rm1 rm2 rmm ⎠
26. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • N hận thấy: μ~ μ~ r = x j xk = xk x j = r , j,k = 1,2, ,m x j xk ~ ~ ~ ~ xk x j D D D D x j xk xk x j •Ma trận tương quan mẫu chuNn hĩa cũng là ma trận đối xứng ~ ~ • Khi j≡k: μx x Dx r = j j = j = 1, j = 1,2, ,m x j x j ~ ~ ~ D D Dx x j x j j •Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1
27. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Cĩthể viết lại: ⎛ D R R ⎞ ⎜ 1 12 1m ⎟ ⎜ R21 D2 R2m ⎟ R = xx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 r12 r1m ⎞ ⎝ Rm1 Rm2 Dm ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ r21 1 r2m ⎟ P = xx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝rm1 rm2 1 ⎠
28. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU 5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Chú ý: Sử dụng một số phép biến đổi đơn giản ta cĩ thể nhận được các hệ thức tương đương sau n n 1 1 2 •Phương sai mẫu: ~ 2 2 Dx = ∑(X i − X ) = ∑(X i − 2X X i + X ) = n i=1 n i=1 n n n 1 2 2 1 2 2 2 2 = ∑ X i − ∑ X X i + ∑ X = X − 2X + X n i=1 n i=1 n i=1 2 = X 2 − X •Tương tự cho mơmen tương quan: n n ~ 1 1 μxy = ∑(X i − X )(Yi −Y ) = ∑ X iYi − XY = XY − XY n i=1 n i=1 •Tổng quát hơn: 1 n μ~ ≡ R = (X − X )(X − X ) = X X − X X x j xk jk ∑ ij j ik k j k j k n i=1
29. CHƯƠN G 5. KHƠN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHƠN G GIAN MẪU HẾT CHƯƠN G 5