Toán cao cấp A3 - Hàm số nhiều biến

pdf

43 trang vanle 3010

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp A3 - Hàm số nhiều biến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_cao_cap_a3_ham_so_nhieu_bien.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp A3 - Hàm số nhiều biến

TỐN CAO CP A3 ĐI HC Chương 2. Tích phân bi PHÂN PHI CHƯƠNG TRÌNH 1. Tích phân bi hai (kép) 2. Tích phân bi ba S tit hc: 30 3. ng dng ca tích phân bi GV: ThS. Đồn Vương Nguyên Chương 3. Tích phân đưng Chương 1. Hàm s nhiu bin Tích phân mt 1. Đi cương v hàm s nhiu bin 1. Tích phân đưng loi 1 2. Đo hàm – Vi phân 2. Tích phân đưng loi 2 3. Tích phân mt loi 1 3. Cc tr ca hàm s nhiu bin 4. Tích phân mt loi 2 Chương 4 Tài liu tham kho Phương trình vi phân 1. Giáo trình Tốn cao cấp A3 – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP. HCM . H phương trình vi phân cp 1 2. Ngân hàng câu hỏi Tốn cao cấp 1. Khái nim cơ bn v PTVP – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP.HCM . 2. Phương trình vi phân cp 1 3. Giải tích hàm nhiều biến (Tốn 3) – Đỗ Cơng Khanh (chủ biên) 3. Phương trình vi phân cp 2 – XBĐHQG TP. HCM . 4. H phương trình vi phân cp 1 4. Giải tích hàm nhiều biến (Tốn 4) – Đỗ Cơng Khanh (chủ biên) – XBĐHQG TP. HCM . Chương 1. Hàm s nhiu bin 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – XB Giáo dục . §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến 1.1. Định nghĩa – guyễn Đình Trí (chủ biên) – XBG D. 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục §2. ĐẠO HÀM RIÊG – VI PHÂ 7. Tích phân hàm nhiều biến 2.1. Đạo hàm riêng – Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh 2.2. Vi phân – XB KH và Kỹ thuật . 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp 2.4. Đạo hàm của hàm số n 8. Bài tập Giải tích (tập 2) §3. CỰC TRN CỦA HÀM HAI BIẾ SỐ – guyễn Thủy Thanh – XB Giáo dục . 3.1. Định nghĩa 3.2. Định lý điều kiện cần và đủ Download Slide bài ging Tốn A3 ti 3.3. Cực trị tự do dvntailieu.wordpress.com 3.4. Cực trị cĩ điều kiện
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 1.1. Định nghĩa • Cho D ⊂ ℝ2 . Tương ứng f : D → ℝ, (x,y)֏ z= f(x,y) – Trừ trường hợp D = ℝ2 , D thường được giới hạn bởi 1 duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y. đường cong kín ∂D (biên) hoặc khơng. Miền liên thơng D • Tập D được gọi là MXĐ của hàm số và là đơn liên nếu D được giới hạn bởi 1 đường cong kín; đa liên nếu được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau f(D)=∈= zℝ z f(x,y), ∀ (x,y) ∈ D là miền giá trị. { } từng đơi một. – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong ℝ2 sao cho f(M) cĩ nghĩa. Miền D thường là miền liên thơng, nghĩa là nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N nằm hồn tồn trong D thì D là liên thơng. Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin – D là miền đĩng nếu M∈∂ D ⇒ MD ∈ , VD 4. Hàm số z= f(x,y) = ln(2x +− y 3) cĩ MXĐ là nửa miền mở nếu M∈∂ D ⇒ MD ∉ . mp mở biên d: 2x + y – 3 khơng chứa O(0; 0). Chú ý 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Khi cho hàm số f(x, y) mà khơng nĩi gì thêm thì ta hiểu • Dãy điểm M (x ; y ) dần đến điểm M (x ; y ) trong ℝ2 , ký MXĐ D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) cĩ nghĩa. n n n 0 0 0 hiệu Mn→ M 0 hay (x;y)nn→ (x;y) 00 , khi n → +∞ nếu • Hàm số n biến f(x1, x 2, , x n) được định nghĩa tương tự. 2 2 limdM,M( n0) = lim (x n0 −+−= x) (y n0 y) 0 . VD 1. n→∞ n →∞ 3 2 2 Hàm số z = f(x, y) = x y + 2xy – 1 xác định trên ℝ . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D (cĩ thể khơng VD 2. Hàm số z= f(x,y) =−− 4 x2 y 2 cĩ MXĐ là hình chứa M 0), ta nĩi L là giới hạn của f(x, y) khi điểm M(x, y) dần đến M nếu mọi dãy điểm M (M khác M ) thuộc D trịn đĩng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. 0 n n 0 dần đến M 0 thì limf(xn ,y n )= L . VD 3. Hàm số z= f(x,y) = ln(4 −− x2 y) 2 cĩ MXĐ là hình n→∞ Ký hiệu: lim f(x,y)= lim f(M) = L . trịn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2. (x,y)→ (x,y)0 0 M → M 0 Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin hận xét 3xy VD 7. Cho hàm số f (x,y) = 2 2 . • Nếu khi Mn→ M 0 trên 2 đường khác nhau mà dãy x+ y Chứng tỏ lim f(x,y) khơng tồn tại. {f(x n, y n)} cĩ hai giới hạn khác nhau thì ∃ lim f (M) . (x,y)→ (0,0) M→ M 0 2xy2 − 3x − 1 3 Giải VD 5. lim 2 = − . Xét dãy điểm M x ; y . (x,y)→ (1, − 1) xy+ 3 2 { n( n n )} xy Khi M→ O(0; 0) trên đường y = x thì VD 6. Cho f (x,y) = , tính lim f(x,y) . n 2 2 (x,y)→ (0,0) 3x2 3 x+ y lim f (x,y)= lim = . Giải (x,y)→ (0,0) (x,y) → (0,0) 2x2 2 x→ 0 Khi Mn → O(0; 0) trên đường y = 2x thì xy xy y→ 0 Ta cĩ: 0f(x,y)≤ = ≤ = x → 0 . 6x2 6 x2+ y 2 y 2 lim f (x,y)= lim = . (x,y)→ (0,0) (x,y) → (0,0) 5x2 5 Vậy lim f(x,y)= 0 . (x,y)→ (0,0) Vậy lim f(x,y) khơng tồn tại. (x,y)→ (0,0)
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin Hàm số liên tục VD 8. Xét tính liên tục của hàm số:  xy • Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M 0, ta nĩi f(x, y)  2 2 , (x,y)≠ (0,0) f (x,y) = x+ y . liên tục tại M 0 nếu tồn tại lim f(x,y) và (x,y)→ (x0 ,y 0 )   0, (x,y)= (0,0) lim f(x,y)= f(x0 ,y 0 ) . (x,y)→ (x0 ,y 0 ) • Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi điểm Giải M thuộc D. Với (x,y)≠ (0,0) thì f(x, y) xác định nên liên tục. Tại (0,0) ta cĩ lim f(x,y) khơng tồn tại (xem VD7). (x,y)→ (0,0) • Hàm số f(x, y) liên tục trong miền đĩng giới nội D thì đạt Vậy f(x, y) liên tục trên ℝ2 \{(0,0)} . giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D. Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin §2. ĐẠO HÀM RIÊG – VI PHÂ • Tương tự ta cĩ đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0, y 0) là: 2.1. Đạo hàm riêng / fxy(,00 + y ) − fxy (,) 00 fy ( x0 , y 0 )= lim . a) Đạo hàm riêng cấp 1 y → 0 y ∂f • Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M (x , y ). Nếu • Tại (x, y) tùy ý ta dùng ký hiệu: f hay f / hay . 0 0 0 x x ∂x hàm số 1 biến f(x, y 0) (y 0 là hằng số) cĩ đạo hàm tại x = x 0 thì ta gọi đạo hàm đĩ là đạo hàm riêng theo biến x của hàm VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm 4 3 2 3 số f(x, y) tại (x 0, y 0). f(x, y ) = x – 3x y + 2y – 3xy tại ( –1; 2). / ∂f Ký hiệu: fx (x 0 ,y 0 ) hay fx (x 0 ,y 0 ) hay (x0 ,y 0 ). Giải. Ta cĩ: ∂x / 322 / fx =4 x − 9 xy −⇒− 3 y f x (1;2) =− 46 . / f(x0+ x, y) 0 − f(x,y) 00 Vậy f(x,y)limx 0 0 = . /32 / x → 0 x fy =−6 xyy + 6 −⇒ 3 xf y (1;2)39 − = . Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin y VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm z = x ( x > 0). Chú ý Gii • Vi hàm n bin ta cĩ đnh nghĩa tương t. / y /y− 1 2 z= xln x . x y zx = yx , y VD 4. Tính các đạo hàm riêng của fxyz( , , )= e sin z . x VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos tại (π ; 4) . Giải y / 2 / xy2 xy 2 Giải fx=( xye ) x sin z = 2 xye sin z 2 2 / f/2/=( xye )xy sin zxe = 2 xy sin z / x  x1 x / 2 y y z=−sin =− sin ⇒ z (π ;4) =− , 2 x   x f/ = ex y cos z . y  x y yy 8 z / / x  xx x / π 2 zy =−  sin =2 sin ⇒ z y (;4)π = . y  y yy y 32
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin b) Đo hàm riêng cp cao VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của 3y 23 4 • Các hàm số fx, f y cĩ các đạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x fxy( , ) = xe + xy − y tại (− 1; 1) . được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f. Giải Ký hiệu: 2 // ∂ ∂f  ∂ f ()fx=== f xx f 2   = 2 , x x ∂x ∂ x  ∂ x ∂ ∂f  ∂ 2 f f=== f f // = , ()y yy y2   2 y ∂y ∂ y  ∂ y 2 // ∂ ∂f  ∂ f ()fx=== f xy f xy   = , y ∂y ∂ x  ∂∂ yx 2 // ∂ ∂f  ∂ f ()fy=== f yx f yx   = . x ∂x ∂ y  ∂∂ xy Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin 2.2. Vi phân a) Vi phân cp 1 • Các đo hàm riêng cp hai ca hàm n bin và đo hàm riêng cp cao hơn đưc đnh nghĩa tương t. • Cho hàm số f(x, y ) xác định trong D ⊂ ℝ2 và Mxy0( 0 , 0 ) ∈ D , Mx(0+ xy , 0 + y ) ∈ D . Nếu số gia fxy(, ) = fx ( + xy , +− y ) fxy (, ) cĩ Đnh lý (Schwarz) 00 0 0 00 thể biểu diễn dưới dạng: • Nu hàm s f(x, y ) cĩ các đo hàm riêng fxy và fyx fxy(, ) =+++ AxBy . . α x β y liên tc trong min D thì fxy = fyx . 0 0 trong đĩ A, B là những số khơng phụ thuộc x, y và α, β → 0 khi (x , y ) → (0,0) , ta nĩi f khả vi tại M 0. Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin • Từ fxy(, ) =+++ AxBy . . α x β y , ta suy ra: • Biểu thức A. x + B . y được gọi là vi phân cấp 1 (tồn 0 0 fx(0+ xy , 0) − fxy (, 00 ) =+ Ax . α x phần) của f(x, y ) tại M0(x0, y 0) ứng với x, y . fx(+ xy , ) − fxy (, ) ⇒lim 0 0 00 = A. Ký hiệu df (x0, y 0). x → 0 x fxy(,00 + y ) − fxy (, 00 ) • Hàm số f(x, y ) khả vi trên miền D nếu f(x, y ) khả vi tại mọi Tương tự lim = B. y → 0 y (x, y ) thuộc D. / / Vậy dfxy(,00 )= fxyx (, 00 ). + xfxy y (, 00 ). y hận xét / / hay dfx(,00 y)= fx (, x 00 ydx) + f y (, x 00 ydy) . • Nếu f(x, y ) khả vi tại M0 thì f(x, y ) liên tục tại M0. Tổng quát: / / dfxy(, )= fx (, xydx ) + f y (, xydy ) , (,) xy ∈ D .
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin 2 VD 7. VD 8. Tính vi phân cấp 1 của fxy( , )= ex− y sin( xy 2 ) . 2x− y 3 5 Tính vi phân cấp 1 của z= xe + xy − y tại (–1; 1). Giải Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin Định lý VD 9. Tính vi phân cấp 2 của 23 2 35 • Nếu hàm số f(x, y ) cĩ các đạo hàm riêng liên tục tại M0 fxy(,)= xy + xy − 3 xy tại (2; –1). trong miền D chứa M0 thì f(x, y ) khả vi tại M0. Giải b) Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: dfxy2 (, )= ddfxy( (, ) ) =f// (, xydx ) 2 + 2 f // (, xydxdy ) + f // (, xydy ) 2 . x2 xy y 2 • Vi phân cấp n: n dfxyn(, )= d n−1 dfxy (, ) = Cf kn ( ) (,) xydxdy knk− . () ∑ n xk y n− k k=0 Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin VD 10. Tính vi phân cấp 2 của fxy( , )= ln( xy 2 ) . VD 11. Tính vi phân cấp 3 của z= x3 y 2 . Giải Giải
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin 2.3. ð o hàm c a hàm s hp VD 12. Cho fuv(,)=−+ u2 uv 2, vue 2 =− x , v = sin x . df • Cho hàm số f(u, v ), trong đĩ u = u (x) và v = v (x) là những Tính . hàm số của biến x. Nếu f(u, v ) là hàm khả vi của biến u, v và dx u(x), v(x) các hàm khả vi của x thì : df du dv =f/. + f / . dxu dx v dx Trong đĩ df du dv , , là các đạo hàm tồn phần theo x. dx dx dx Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin • Nếu hàm số f(x, y ) khả vi của biến x, y và y = y (x) là hàm 2.4. ð o hàm c a hàm s n khả vi của biến x thì: df dy • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y ) = 0 (*). =f/ + f / . dxx y dx Nếu y = y (x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đĩ sao cho khi thế y(x) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y = y (x) df VD 13. Cho fxy(,)= ln( xyy2 + 2 ), = sin 2 x . Tính . là hàm số n xác định bởi (*). dx • Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được: / / Fx(,) xy+ F y (,). xyy ′ = 0 F/ ( x , y ) ′ x / ⇒ y = − / , Fy (, x y )≠ 0 . Fy (x , y ) Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin VD 14. VD 15. Cho xy− ex + e y = 0. Tính y′( x ) . Xác định hàm số Nn y(x) trong phương trình x2 + y 2 – 4 = 0 .
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin 3 2 4 y VD 16. Cho y+( x + 1) yx + = 0 . Tính y′. VD 17. Cho ln x2+ y 2 = arctg . Tính y′. x Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin Tương t : đi v i hàm n hai bi n VD 18. Cho hàm Nn z(x, y ) thỏa phương trình: xyz=cos( x + y + z ) . Tính z/, z / . • Cho hàm số Nn hai biến z = f (x, y ) xác định bởi phương x y / trình F(x, y, z ) = 0, với Fz (, xyz ,)≠ 0 ta cĩ: / / / Fx(,,) xyz+ F z (,,).(,) xyzz x xy = 0 / / Fx (, xyz , ) ⇒ zx ( x , y ) = − / . Fz (, xyz , ) / / / Fy(,,) xyz+ F z (,,). xyzz y (,) xy = 0 / / Fy (, xyz , ) ⇒ zy ( x, y ) = − / . Fz ( xyz, , ) Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin VD 19. Cho hàm Nn z(x, y ) thỏa phương trình mặt cầu: §3. C C TR CA HÀM HAI BI N S xyz2+ 2 +− 2 2 x + 4 yz − 6 −= 20 . Tính z/ . y 3.1. Định nghĩa • Hàm số z = f (x, y ) đạt cực trị ( địa phương ) tại điểm M0(x0; y0) nếu với mọi điểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f(M) – f(M0) cĩ dấu khơng đổi. • N ếu hiệu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là điểm cực tiểu của z. • N ếu hiệu f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực đại và M0 là điểm cực đại của z. Cc đ i và cc ti u g i chung là cc tr . VD 1. Hàm số f(x, y ) = x 2 + y 2 – xy đạt cực tiểu tại O(0; 0).
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin b) Điều kiện đủ 3.2. Định lý a) Điều kiện cần • Giả sử f(x, y ) cĩ điểm dừng là M0 và cĩ đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận điểm M0. • N ếu hàm số z = f (x, y ) đạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại đĩ Đặt Afxy=//(,), Bfxy = // (,), Cfxy = // (,) . hàm số cĩ đạo hàm riêng thì: x2 00xy 00y 2 00 / / Khi đĩ: fxyx(,)00= fxy y (,)0. 00 = N ếu AC – B 2 > 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm M0; Chú ý 2 AC – B > 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại / / • Điểm M0 thỏa fxyx(,)00= fxy y (,)0 00 = được gọi là tại điểm M0. 2 điểm dừng , M0 cĩ thể khơng là điểm cực trị của z. N ếu AC – B < 0 thì hàm số khơng cĩ cực trị (điểm M0 được gọi là điểm yên ngựa ). N ếu AC – B 2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số cĩ cực trị hay khơng ( ta dùng định nghĩa để xét). Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin 3.3. Cực trị tự do VD 2. • Cho hàm số z = f (x, y ). Để tìm cực trị của hàm f(x, y ) trên Tìm điểm dừng của hàm số z = xy (1 – x – y ). MXĐ D, ta thực hiện các bước sau: Bước 1 . Tìm điểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ: /  fx ( x0 , y 0 )= 0 .  /  fy ( x0 , y 0 )= 0 Bước 2 . Tính Af=//(,), xy B = f // (,) xy , x2 00xy 00 Cfxy=//( , ) ⇒= ACB − 2 . y2 0 0 Bước 3 . Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin VD 4. VD 3. 3 3 Tìm cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8. Tìm cực trị của hàm số z = x + y – 3xy – 2.
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin VD 5. Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y 3 – 3x2 – 3y2 + 2. 3.4. C c tr cĩ đi u ki n • Cho hàm số z = f (x, y ) xác định trên lân cận của điểm M0(x0; y0) thuộc đường cong ϕ(,x y )= 0 . N ếu tại điểm M0 hàm số f(x, y ) đạt cực trị thì ta nĩi điểm M0 là điểm cực trị của f(x, y ) với điều kiện ϕ(,x y )= 0 . • Để tìm cực trị cĩ điều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange . Phương pháp khử • Từ phương trình ϕ(,x y )= 0 , ta rút x hoặc y thế vào f(x, y ) và tìm cực trị của hàm 1 biến. Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin VD 6. Tìm cực trị của hàm số: 2 2 Phương pháp nhân tử Lagrange f(x, y ) = x + y – xy + x + y với điều kiện x + y + 3 = 0. • Bước 1 . Lập hàm Lagrange: VD 7. Tìm cực trị của hàm số: Lxy(,,)λ= fxy (,) + λϕ (,) xy , λ là nhân tử Lagrange . f(x, y ) = xy với điều kiện 2x + 3y – 5 = 0. / / / • Bước 2. Giải hệ: Lx=0, L y = 0, L λ = 0 ⇒ điểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0. • Bước 3. Tính vi phân cấp hai tại M0(x0; y0) ứng với λ0: 2 '' 2 '' '' 2 dLM()= L2 () Mdx + 2() L Mdxdy + L2 () Mdy . 00x xy 0y 0 Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 1. Hàm s nhiu bin Điều kiện ràng buộc: VD 8. Tìm cực trị của hàm số f(x, y ) = 2x + y 2 2 / / với điều kiện x + y = 5. dxyϕ(,)000=⇒ ϕx (,) xydx 00 + ϕ y (,) xydy 00 = 0 (1) và (dx )2 + ( dy )2 > 0 (2). • Bước 4 . Từ điều kiện (1) và (2), ta cĩ: 2 N ếu dLx(0 , y 0 )> 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại M0. 2 N ếu dLx(0 , y 0 )< 0 thì hàm số đạt cực đại tại M0. 2 N ếu dLx(0 , y 0 )= 0 thì điểm M0 khơng là điểm cực trị.
Chương 1. Hàm s nhiu bin Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 9. Tìm cực trị của hàm số z = xy §1. TÍCH PHÂ BỘI HAI (KÉP) x2 y 2 1.1. Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) với điều kiện + = 1. 1.2. Định nghĩa 8 2 1.3. Tính chất của tích phân kép 1.4. Phương pháp tính tích phân kép §2. TÍCH PHÂ BỘI BA 2.1. Bài tốn mở đầu (khối lượng vật thể) 2.2. Định nghĩa 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba §3. ỨG DỤG CỦA TÍCH PHÂ BỘI 3.1. Diện tích, thể tích 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đĩng 3.3. Khối lượng 3.4. Momen tĩnh 3.5. Trọng tâm 3.6. Momen quán tính Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI §1. Tích phân bội hai (kép) Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần khơng dẫm nhau, diện tích mỗi phần là S i n . 1.1. Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) i ( = 1, ) N hư vậy khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ. • Xét hàm s z = f (x,y ) Trong mỗi Si ta lấy điểm Mi(xi; yi) tùy ý. liên t c, khơng âm và mt m t tr cĩ các Ta cĩ thể tích Vi của khối trụ nhỏ là: đư ng sinh song song n . vi Oz , đáy là mi n ≈Vi fxy(;) iii ⇒≈ S V∑ fxy (,) iii S ph ng đĩng D trong i=1 mt ph ng Oxy . Gọi di =max{ dABAB (, ) , ∈ S i } là đường kính của Si . Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Ta cĩ: 1.2. Định nghĩa n n V=lim fxyS (i , i ) i . d ∑ • N ếu I=lim fxyS (,)i i i tồn tại hữu hạn, maxi → 0 maxd → 0 ∑ i=1 i i=1 Khi đĩ khơng phụ thuộc vào phân hoạch Si và cách chọn n điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai In=∑ fxy( iii , ) S được gọi là tổng tích phân của f(x, y ) trên D. i=1 của hàm f(x, y ) trên D Ký hiệu (ứng với phân hoạch Si và các điểm Mi). I= ∫∫ fxydS( , ) D
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chú ý 1.3. Tính chất của tích phân kép 1) N ếu chia D bởi các đường thẳng song song với các • Tính chất 1 trục tọa độ thì Si = xi.yi hay dS = dxdy . Hàm số f(x, y ) liên tục trên D thì f(x, y ) khả tích trên D. Vậy I=∫∫ fxydS(,) = ∫∫ fxydxdy (,) . • Tính chất 2 (tính tuyến tính) D D ∫∫[(,)fxy± gxydxdy (,)] = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; 2) ∫∫fxydxdy(,)= ∫∫ fuvdudv (,) . D D D D D kfxydxdy k fxydxdy k ℝ. hận xét ∫∫(,)= ∫∫ (,) , ∈ D D 1) dxdy= S( D ) (diện tích miền D). ∫∫ • Tính chất 3 D N ếu chia D thành D 1 và D 2 bởi đường cong cĩ diện 2) f(x, y ) > 0, liên tục ∀(x, y ) ∈ D thì ∫∫ f( x , y ) dxdy tích bằng 0 thì: D là thể tích hình trụ cĩ các đường sinh song song với ∫∫fxydxdy(,)= ∫∫ fxydxdy (,) + ∫∫ fxydxdy (,) D D D Oz, hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f (x, y ). 1 2 Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Khi đĩ : 1.4. Phương pháp tính tích phân kép b y2( x )    f(,) x y dxdy=  f (,) x y dy dx 1.4.1. Đưa về tích phân lặp ∫∫ ∫∫  D ayx ( )  1  b y2( x ) Định lý ( Fubini ) = ∫dx ∫ f ( x , y ) dy . a y( x ) • Giả sử tích phân f( x , y ) dxdy tồn tại, với Tương tự, 1 ∫∫ D D xyxy x xycyd ={(,):()1 ≤≤ 2 (), ≤≤ } , D={(,): xya ≤≤ x byx , 1() ≤≤ yyx 2 ()} x( y ) y( x ) d 2  2   fxydxdy(,)=  fxydxdy (,)  và với mỗi x∈ [ a ; b ] cố định f( x , y ) dy tồn tại. ∫∫ ∫∫  ∫ D cxy ( )  1  y( x ) 1 d x2( y ) = ∫dy ∫ fxydx ( , ) . c x1( y ) Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chú ý Tương tự, nếu 1) Khi D là hình chữ nhật D={(,):() xyxy1 ≤≤ x xycyd 2 (), ≤≤ } D={(,): xya ≤≤≤≤= x bc , y d }[,][,] ab × cd thì: thì: bd db x y d 2( ) ∫∫fxydxdy(,) = ∫∫ dx fxydy (,)= ∫∫ dy fxydx (,). fxydxdy(,)= vydy () uxdx (). D ac ca ∫∫ ∫ ∫ D c xy1( ) 2) N ếu D={(,): xya ≤≤ x byx , 1() ≤≤ yyx 2 ()} và f(x, y ) = u(x). v(y) thì: 3) N ếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những y( x ) b 2 miền đơn giản . ∫∫fxydxdy(,)= ∫ uxdx () ∫ vydy (). D a yx1( )
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 2 VD 1. Xác định cận ở tích phân lặp khi tính tích phân 2) D giới hạn bởi các đường y = x và x + y = 2. I= ∫∫ f( x , y ) dxdy trong các trường hợp sau: D 1) D giới hạn bởi các đường y = 0, y = x và x = a > 0. Gi i Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 2. Tính I= ∫∫ xydxdy với D giới hạn bởi Đổi thứ tự lấy tích phân D y = x – 4, y2 = 2 x. Gi ải b y2( x ) d x2( y ) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) I= ∫ dy ∫ fxydx( , ) a y1( x ) c x1( y ) Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 1x 3 1 1 2 −x 2 1) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) 2) I=∫∫ dx fxydy(,) + ∫∫ dx fxydy (,) . 2 2 0 x 0x 1 x 9 9
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 1.4.2. Phương pháp đổi biến Trong đĩ: a) Cơng thức đổi biến tổng quát / / ∂(,)x y x x 1 1 Định lý J = =u v = = ∂(,)uvy/ y / ∂ (,) uv / / • Giả sử x = x (u, v ), y = y (u, v ) là hai hàm số cĩ các u v ux u y đạo hàm riêng liên tục trên miền đĩng giới nội Duv ∂(x , y ) v/ v / trong mp Ouv . x y Gọi VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), Dxy ={(,): xy x = xuvy (,), = yuv (,),(,) uv ∈ D uv } . B(0;2) trong mp Ouv . Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua 2 N ếu hàm f(x, y ) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi phép biến hình g: ( x, y ) = g(u, v ) = ( u + v, u – v). ∂(x , y ) 1 J = ≠ 0 trong Duv thì: ∂(u , v ) Tính tích phân của hàm f( x , y ) = trên 1+ 4x + 4 y fxydxdy(,)= fxuv ((,),(,)) yuv Jdudv ∫∫ ∫∫ miền biến hình Dxy = g(Duv ). Dxy D uv Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình trịn đơn vị trong VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 2 2 2 2 mp Ouv . Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến parapol: y = x , y = 2x , x = y và x = 3 y . hình g: ( x, y ) = g (u, v ) = ( u2 – v2, 2 uv ). Tính tích phân 1 của hàm f( x , y ) = trên miền biến hình Dxy . x2+ y 2 Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI b) Đổi biến trong tọa độ cực / / ∂(x , y ) x xcosϕ − r sin ϕ ⇒==J r ϕ = = r . x= r cos ϕ ∂(r , ϕ ) y/ y / sinϕr cos ϕ • Đổi biến:  r ϕ y= r sin ϕ  với Vậy ta cĩ: r ≥0, 0 ≤ϕ≤π 2 hoặc r ≥0, −π≤ϕ≤π ∫∫fxydxdy(,)= ∫∫ fr (cos,sin) ϕϕϕ r rdrd Dxy D r ϕ ϕ2r 2 ( ϕ ) Khi đĩ, miền Dxy trở thành: =ϕ∫d ∫ fr ( cos ϕϕ , r sin ) rdr . Dr rrr . ϕr ( ϕ ) rϕ ={(,): ϕ ϕ≤ϕ≤ϕ1 21 , () ϕ≤≤ 2 ()} ϕ 1 1
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chú ý 4) N ếu cực O nằm trên biên D thì: 1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên ϕ2 r(ϕ ) D là đường trịn hoặc elip. I=ϕ∫ d ∫ fr( cos ϕϕ , r sin ) rdr .  ϕ 0 x= r cos ϕ 1 2) Để tìm r(ϕ ), r ( ϕ ) ta thay   1 2 y= r sin ϕ x= r a cos ϕ  5) N ếu biên D là elip thì đặt:  y= r b sin ϕ vào phương trình của biên D.  3) N ếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên ⇒D ={(,):0 r ϕ ≤ϕ≤π 2, 0 ≤≤ r 1}, D tại 1 điểm thì: rϕ 2π 1 2π r(ϕ ) J=⇒=ϕ abr I d fra( cos ϕ , rb sin ϕ ) abrdr . I=ϕ d fr( cos ϕϕ , r sin ) rdr . ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0 Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 7. x2 y 2 VD 8. Tính diện tích hình ellip: + ≤ 1. Biểu diễn tích phân ∫∫ f( x , y ) dxdy trong tọa độ cực. a2 b 2 D Biết miền D là miền phẳng nằm ngồi 2 2 2 2 (C1): ( x – 1) + y = 1 và trong ( C2): ( x – 2) + y = 4. Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 2 2 VD 9. Tính tích phân I= ∫∫ e−(x + y ) dxdy với D là VD 10. Tính diện tích miền D (cắt tia O y) giới hạn D bởi: y = –x, xy22+=3 xy 22 +− 3 x và y ≥ 0. hình trịn x2+ y 2 ≤ R 2 .
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 11. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi Cơng thức Walliss phần hình trụ x2+ y 2 −2 y = 0 nằm trong π π  (n − 1)!! hình cầu x2 y 2 z 2 và .  , n lẻ + + = 4 z ≥ 0 2 2  n n  n !! sinxdx= cos xdx =  . ∫ ∫ π(n − 1)!! 0 0  . , n chẵn 2n !!  Trong đĩ: 0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TROG KHƠG GIA O xyz Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI §2. TÍCH PHÂ BỘI BA 2.1. Bài tốn mở đầu (khối lượng vật thể) Khối lượng V xấp xỉ: n n • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V khơng m PV xyzV . ≈ρ=ρ∑()i i ∑ (,,) iii i đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z ) i=1 i = 1 là ρ=ρ()P =ρ (,,) xyz . n N ếu tồn tại limρ (,,)xyziii V i thì: maxd → 0 ∑ Ta chia V tùy ý thành n phần khơng dẫm nhau, thể tích i i=1 n mỗi phần là Vi ( i= 1,2, , n). Trong mỗi Vi ta lấy m=lim ρ ( xyzViii , , ) i . điểm P (x ; y ; z ) và đường kính của V là d . maxd → 0 ∑ i i i i i i i i=1
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 2.2. Định nghĩa Ký hiệu • Cho hàm số f(x, y, z ) xác định trong miền đo được V I=∫∫∫ fxyzdV(,,) = ∫∫∫ fxyzdxdydz (,,) . của khơng gian O xyz . V V Chia miền V (bài tốn mở đầu) và lập tổng tích phân: hận xét n I fxyz V 1) N ếu f ≥ 0 trên V thì I= fxyzdxdydz(, , ) là n:=∑ (,,) iii i . ∫∫∫ i=1 V n khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất N ếu I=lim fxyzV (,,)iii i tồn tại hữu hạn, chiếm thể tích V là f(x, y, z ). maxd → 0 ∑ i i=1 Đặc biệt, nếu f(x, y, z ) = 1 thì I là thể tích V. khơng phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn điểm Pi thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của hàm số 2) Tích phân bội ba cĩ các tính chất như tích phân kép. f(x, y, z ) trên V. Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpO xz . Giả sử miền 2.3.1. Đưa về tích phân lặp V cĩ giới hạn (theo chiều ngược với tia O y) bởi hai a) Giả sử miền V cĩ giới hạn trên bởi mặt z = z (x, y ), 2 mặt y = y 2(x, z ) và mặt y = y 1(x, z ), giới hạn xung giới hạn dưới bởi z = z 1(x, y ), giới hạn xung quanh quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song O y. bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song với trục O z. Khi đĩ: Gọi D là hình chiếu của V trên mpO xy . y2( x , z )    Khi đĩ: fxyzdxdydz(,,)=  fxyzdydxdz (,,)  ∫∫∫ ∫∫ ∫  z( x , y )  V Dyxz ( , )   2  1    y x z fxyzdxdydz(,,)=  fxyzdzdxdy (,,)  2( , ) ∫∫∫ ∫∫ ∫  V Dzxy ( , )   = dxdz fxyzdy (, , ) . 1 ∫∫ ∫ z2( x , y ) D yxz1( , ) = ∫∫dxdy ∫ fxyzdz (, , ) . D zxy1( , ) Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Đặc biệt c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpO yz . Giả sử miền V cĩ giới hạn (theo chiều ngược với tia O x) bởi hai • N ếu D là hình hộp chữ nhật D={(,,): xyzaxb ≤≤ , c ≤≤ yd , e ≤≤ zf } mặt x = x 2(y, z ) và mặt x = x 1(y, z ), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song O x. = [,ab ] × [, cd ] × [, ef ] Khi đĩ: thì: b d f x2( y , z )    fxyzdxdydz(,,)=  fxyzdxdydz (,,)  fxyzdxdydz(,,)= dx dy fxyzdz (,,). ∫∫∫ ∫∫ ∫  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ V Dxyz ( , )  V ace 1  x2( y , z ) = ∫∫dydz ∫ fxyzdx (, , ) . VD 1. Tính tích phân I= ∫∫∫ 8 xyzdxdydz với V D xyz1( , ) V = [1, 2] ×[–1, 3] ×[0, 2].
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 1 1 2 VD 3. Tính tích phân I= ydxdydz với V giới VD 2. Tính tích phân lặp I= dxdy(1 + 2 zdz ) ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ V −1x 2 0 hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa độ. và dựng miền lấy tích phân V. Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 2.3.2. Đổi biến tổng quát Giả sử các hàm x, y, z cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền đĩng, giới nội đo được Vuvw trong khơng gian Ouvw và J ≠ 0 thì: x= xuvw(,, )  • Đặt y= yuvw(, , ) , ta cĩ Jacobien:  ∫∫∫ f(, x y , z ) dxdydz z= zuvw(,, )  V = fxuvw ((,,),(,,),(,,)). yuvw zuvw J . dudvdw . x/ x / x / ∫∫∫ u v w V ∂(,x y , z ) uvw J= = yyy/ / / . ∂(,,u v w ) u v w / / / VD 4. Tính tích phân I=( x + y + zdxdydz ) với zu z v z w ∫∫∫ V V: −+++ xyz xyz −+ + xyz +− ≤ 2 . Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ x2 y 2 z 2 V: + + ≤ R 2. a2 b 2 c 2 x= r cos ϕ  Đặt y= r sin ϕ ,  z= z  với r ≥0, 0 ≤ϕ≤π 2 hoặc r ≥0, −π≤ϕ≤π .
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 6. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt Jacobien: 2 2 2 2 / / / x+ y =4 − z , x+ y ≥ 2 và z = 0. xr xϕ x z cosϕ −r sin ϕ 0 / / / Jyyy=rϕ z =ϕsin r cos ϕ= 0 r . / / / 0 0 1 zr zϕ z z Khi đĩ ta cĩ: ∫∫∫ f (,,) x y z dxdydz V =∫∫∫ fr(cos ϕϕ , r sin ,) zrdrddz ϕ . Vrϕ z Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 2 2 2 VD 7. Tính tích phân I=∫∫∫ zx2 + ydxdydz 2 VD 8. Tính tích phân I=∫∫∫ ( x + y + zdxdydz ) V V với V là miền hình trụ giới hạn bởi: với V là miền hình nĩn giới hạn bởi các mặt: 2 2 2 x2+ y 2 = 2 y , z = 0 và z = 1. x+ y = z và z = 1. Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu Jacobien: / / / xr xϕ x θ x y z x= r sin θ cos ϕ ∂(, , ) / / / 2  J= = yyyrr ϕ θ =θsin .  ∂(,r ϕ , θ ) Đặt y= r sin θ sin ϕ , z/ z / z /  r ϕ θ z= r cos θ  với Khi đĩ ta cĩ: r ≥0, 0 ≤ϕ≤ 2 π ,0 ≤θ≤π ∫∫∫fxyzdxdydz(,,)= ∫∫∫ fr .sin.2 θϕθ drdd . V V rϕθ
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 9. I x2 y 2 dxdydz 1 VD 10. Tính tích phân =∫∫∫ ( + ) với Tính tích phân I= dxdydz V ∫∫∫ 2 2 2 V x+ y + z V là miền giới hạn bởi: x2+ y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0. với V là miền giới hạn bởi các mặt cầu: x2+ y 2 + z 2 = 1 và x2+ y 2 + z 2 = 4. Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI VD 11. Tính tích phân §3. ỨG DỤG CỦA TÍCH PHÂ BỘI I=∫∫∫ x2 + y 2 + zdxdydz 2 (tham khảo) V 3.1. Diện tích, thể tích (xem nhận xét tích phân bội hai, ba). với V là miền giới hạn bởi: x2+ y 2 + z 2 −≤ z 0. 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đĩng • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y ) trên miền đĩng 1 D là: f= fxydxdy(,) . S( D ) ∫∫ D • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y, z) trên miền 1 đĩng là: f= fxyzdxdydz(,,) . V( ) ∫∫∫ Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 3.3. Khối lượng 3.4. Momen tĩnh • Cho một bản phẳng chiếm miền D đĩng trong Oxy cĩ Định nghĩa khối lượng riêng (mật độ khối lượng) tại điểm M(x, y ) • Momen tĩnh của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt thuộc D là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D. Khối lượng của tại điểm M(x, y ) trong Oxy đối với trục Ox, Oy theo thứ bản phẳng là: tự là: m= ρ ( xydxdy , ) . My=0 = my , Mx= 0 = mx . ∫∫ • Momen tĩnh của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt D • Cho một vật thể chiếm miền V đĩng trong Oxyz cĩ tại điểm M(x, y, z ) trong Oxyz đối với các mặt phẳng khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z ) thuộc V là hàm tọa độ Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là: ρ(,x y , z ) liên tục trên V. Khối lượng của vật thể là: Mz= 0 = mz, M x= 0 = mx, M y= 0 = my. m=∫∫∫ ρ (, xyzdxdydz , ) . V
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Cơng thức tính 3.5. Trọng tâm • Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy cĩ khối Oxy cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y ) là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D là: lượng riêng tại điểm M(x, y ) là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D. Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của bản phẳng là: M=ρ y(,) x y dxdy , M =ρ x (,) x y dxdy . y=0∫∫ x = 0 ∫∫ D D ∫∫ xρ( x , y ) dxdy • Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz cĩ 1 xD x x y dxdy khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z ) là hàm ρ(,x y , z ) G = = ρ (,) , ρ(x , y ) dxdy m ∫∫ liên tục trên V là: ∫∫ D D M= zxyzdxdydz ρ (,,) , z=0 ∫∫∫ yρ( x , y ) dxdy V ∫∫ 1 M=x ρ (,,) x y z dxdydz , y=D =y ρ (,). x y dxdy x =0 ∫∫∫ G ∫∫ V x y dxdy m ∫∫ ρ( , ) D M=y ρ (,,) x y z dxdydz . y=0 ∫∫∫ D V Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI Khi bản phẳng đồng chất thì ρ(x , y ) là hằng số nên: Khi vật thể đồng chất thì ρ(,x y , z ) là hằng số nên: 1 1 xG= xdxdy, y G = ydxdy . 1 SD()∫∫ SD () ∫∫ x= xdxdydz , D D G V ∫∫∫ • Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz cĩ khối V lượng riêng tại điểm M(x, y, z ) là hàm ρ(,x y , z ) liên tục 1 y= ydxdydz , trên V. Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của vật thể là: G V ∫∫∫ 1 V xG = xxyzdxdydz ρ (,,) , 1 m ∫∫∫ z= zdxdydz . V G ∫∫∫ 1 V y=y ρ (,,) x y z dxdydz , V G m ∫∫∫ V 1 z= z ρ (,,) x y z dxdydz . G m ∫∫∫ V Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI 3.6. Momen quán tính Định nghĩa Cơng thức tính • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong mpOxy cĩ m đặt tại điểm M(x, y ) đối với trục Ox, Oy và gốc tọa khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ρ(x , y ) liên độ O theo thứ tự là: 2 2 2 2 tục trên D. Khi đĩ: Ix = my , I y = mx và I O = I x + I y = m (x + y ). • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng I= y2 ρ (,) x y dxdy , x ∫∫ m đặt tại điểm M(x, y, z ) đối với trục Ox, Oy, Oz và D gốc tọa độ O theo thứ tự là: 2 2 2 2 2 2 2 Iy = x ρ (,) x y dxdy , Ix = m (y + z ), I y = m (x + z ), I z = m (x + y ) ∫∫ 2 2 2 D và IO = I x + I y + I z = m (x + y + z ). I= x2 + y 2 ρ (,) x y dxdy . • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng O ∫∫ () m đặt tại điểm M(x, y, z ) đối với các mặt phẳng tọa độ D Oxy, Oyz, Oxz thứ tự là: 2 2 2 Iz= 0 = mz , I x= 0 = mx , I y= 0 = my .
Chương 2. TÍCH PHÂN BI Chương 2. TÍCH PHÂN BI • Cho vật thể chiếm miền V trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z ) là hàm ρ(,x y , z ) liên tục trên I= z2 ρ (,,) xyzdxdydz , V. Khi đĩ: z=0 ∫∫∫ I= y2 + z 2 ρ (,,) xyzdxdydz , V x ∫∫∫ ( ) và I= x2 ρ (,,) xyzdxdydz , V x=0 ∫∫∫ I= x2 + z 2 ρ (,,) xyzdxdydz , V y ∫∫∫ () I= y2 ρ (,,) xyzdxdydz . V y=0 ∫∫∫ I= x2 + y 2 ρ (,,) xyzdxdydz , V z ∫∫∫ () V I= x2 ++ρ y 2 z 2 (, xyzdxdydz , ) O ∫∫∫ () V Chương 3. Tích phân đưng Chương 3. Tích phân đưng Tích phân mt Tích phân mt §1. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI I §3. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI I 1.1. Định nghĩa 3.1. Định nghĩa 1.2. Phương pháp tính 3.2. Phương pháp tính 1.3. Ứng dụng 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 §2. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI II §4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II 2.1. Bài tốn mở đầu 4.1. Định nghĩa 2.2. Định nghĩa 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 2.3. Phương pháp tính 4.3. Phương pháp tính 2.4. Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép) 4.4. Cơng thức Stokes 2.5. Điều kiện tích phân đường khơng phụ thuộc 4.5. Cơng thức Gauss – Ostrogradski đường lấy tích phân Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt §1. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI I Gọi độ dài cung thứ i là si . Trên cung thứ i lấy 1.1. Định nghĩa n điểm M( x , y ) . Tổng I= fxy( , ) s được • Giả sử đường cong L trong mặt phẳng O xy cĩ i i i n∑ iii i=1 phương trình tham số: gọi là tổng tích phân đường (loại 1) của hàm f(x, y ) x= x( t ), y= y( t ) với a≤ t ≤ b trên đường cong L. và f(x, y ) là hàm số xác định trên L. n • Giới hạn limfxy (i , i ) s i tồn tại được gọi là max s →0 ∑ • Chia L thành n cung khơng dẫm lên nhau bởi các i i=1 điểm chia ứng với att=0 < 1 < < tbn = . tích phân đường loại 1 của f(x, y ) trên đường cong L. Ký hiệu là ∫ f(, x y ) ds . L
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 1.2. Phương pháp tính hận xét a) Đường cong L cĩ phương trình tham số 1) Tích phân đường loại 1 cĩ tất cả các tính chất của • N ếu L cĩ phương trình tích phân xác định. x= x( t ) , y= y( t ) với a≤ t ≤ b thì: b 2) Tích phân đường loại 1 khơng phụ thuộc vào chiều 2 2 fxyds(,)= fxtyt ((),()) x/ + y / dt . của L: fxyds(,)= fxyds (,). ∫ ∫ ( t) ( t ) ∫ ∫ L a AB BA • N ếu L trong khơng gian cĩ phương trình x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) với a≤ t ≤ b thì: b 2 2 2 fxyzds(,,)= f . x/ + y / + zdt / . ∫ ∫ ()()()t t t L a Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt b) Đường cong L cĩ phương trình tổng quát Đặc biệt • N ếu L cĩ phương trình y= y( x ) với a≤ x ≤ b thì: • N ếu L cĩ phương trình y = α ∈ ℝ với a≤ x ≤ b thì: b 2 b fxyds(,)= fxyx (,())1 + y/ dx . fxyds fx dx ∫ ∫ ( x ) ∫(,)= ∫ (,). α L a L a • N ếu L cĩ phương trình x= x( y ) với a≤ y ≤ b thì: • N ếu L cĩ phương trình x = α ∈ ℝ với a≤ y ≤ b thì: b b 2 fxyds(,)= fxyy ((),) x/ + 1. dy fxyds(,)= f (,). α ydy ∫ ∫ ()y ∫ ∫ L a L a Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt • N ếu L được cho trong tọa độ cực r= r ( ϕ ) với VD 1. Tính ∫ zds với L là đường xoắn ốc trụ trịn α ≤ϕ ≤β thì ta xem ϕ là tham số. L xoay cĩ phương trình: Khi đĩ, phương trình của L là: x a t , y a t , z bt , t . x= r ( ϕ )cos ϕ , y= r ( ϕ )sin ϕ , α ≤ϕ ≤β . = cos = sin = 0≤ ≤ 2 π Ta cĩ: β 2 fxyds(,)= fr (()cos,()sin ϕϕϕϕ+ r ) r2 rd / ϕ ∫ ∫ ( ϕ ) L α
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt y VD 2. Tính (x+ y ) ds với L là tam giác cĩ các đỉnh: VD 3. Tính dl với C là phần giao ∫ ∫ 2 4 L C 1+ 4x − 4 x O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). tuyến giữa mặt z=2 − x2 − 2 y 2 và z= x 2 nằm trong gĩc phần 8 thứ nhất từ điểm A(0; 1; 0) đến B(1; 0; 1). Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 1.3. Ứng dụng 3) N ếu dây vật dẫn cĩ hình dạng L và hàm mật độ khối 1) Độ dài cung L là ∫ ds , với f ≡ 1. lượng ρ(,x y , z ) phụ thuộc vào điểm M(x, y, z ) trên L L thì khối lượng của dây dẫn là m=∫ ρ (,,) xyzds . 2) N ếu dây vật dẫn cĩ hình dạng L và hàm mật độ khối L lượng ρ(x , y ) phụ thuộc vào điểm M(x, y ) trên L thì • Trọng tâm G của L là: 1 1 khối lượng của dây vật dẫn là m= ρ (, xyds ) . x= xxyzds ρ (, , ) , y= yxyzds ρ (, , ) , ∫ G m ∫ G m ∫ L L L • Trọng tâm G của L là: 1 z= zxyzds ρ (, , ) . 1 1 G m ∫ x= xxyds ρ ( , ) , y= y ρ ( x , y ) ds . L G m ∫ G m ∫ L L Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt VD 4. Tính độ dài cung trịn x2+ y 2 −2 x = 0 nằm VD 5. Cho một dây thép dạng nửa đường trịn trong   mp Oyz với phương trình y2+ z 2 = 1, z ≥ 0. 1 3  trong gĩc thứ nhất từ A(2; 0) đến B  ; . Biết mật độ khối lượng ρ(,,)xyz = 2 − z . 2 2    Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt Chiếu F( M ) và A A lên trục Ox , Oy ta được: §2. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI II i i−1 i 2.1. Bài tốn mở đầu FM( )= P (,). ξη iQ + (,). ξη j i ii ii Tính cơng sinh ra do lực F= F( M ) tác dụng lên và AAii−1 = xi i. + yj i . . chất điểm M(x, y ) di chuyển dọc theo đường cong L. Khi đĩ, cơng W sinh ra: • N ếu L là đoạn thẳng AB thì cơng sinh ra là: n n W W FMAA ≈∑i = ∑ ( iii ) −1 W= FAB. = FAB cos, FAB . i=1 i = 1 ( ) n =P (ξη , ) xQ + ( ξη , ) y  . • N ếu L là đường cong thì ta chia L thành n cung nhỏ ∑ ii i ii i  i=1 bởi các điểm chia A0, A1, , An. Vậy n Trên mỗi cung A A lấy điểm Mi(xi, y i) tùy ý. W=lim PxQy (,) ξη+ξη (,)  . i−1 i ∑ ii i ii i  max Ai−1 A i →0 i=1 Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 2.2. Định nghĩa • Cho hai hàm P(x, y ), Q(x, y ) xác định trên đường Giới hạn lim In tồn tại được gọi là max A A →0 cong L. Chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia i−1 i A , A , , A . Trên mỗi cung A A lấy điểm M (x , y ) tích phân đường loại 2 của P(x, y ) và Q(x, y ) trên 0 1 n i−1 i i i i đường cong L. tùy ý. Gọi AAii−1 =( x ii, y ). Ký hiệu là: n Tổng I= P(,) ξη+ xQ (,) ξη y  được gọi Pxydx(,)+ Qxydy (,). n∑  iii iii  ∫ i=1 L là tổng tích phân đường loại 2 của P(x, y ) và Q(x, y ) trên đường cong L. Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt hận xét 3) Từ định nghĩa tổng tích phân, ta cĩ thể viết: 1) Tích phân đường loại 2 cĩ tất cả các tính chất như ∫Pdx+ Qdy = ∫ Pxydx(,) + ∫ Qxydy (,). tích phân xác định. AB AB AB 2) Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L Chú ý vì khi thay đổi chiều thì AA=( x, y ) đổi • N ếu L là đường cong phẳng, kín lấy theo chiều ii−1 ii dương (ngược chiều kim đồng hồ) thì ta dùng ký hiệu: dấu, do đĩ khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối: ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,). L ∫Pxydx(,)+ Qxydy (,) =− ∫ Pdx + Qdy . • Định nghĩa tương tự: AB BA ∫ Pxyzdx(,,)+ Qxyzdy (,,) + Rxyzdz (,,) . L
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 2.3. Phương pháp tính b) Đường cong L cĩ phương trình tổng quát a) Đường cong L cĩ phương trình tham số • N ếu L cĩ phương trình x= x( t ) , y= y( t ) thì: • N ếu L cĩ phương trình y= y( x ) thì: x Pxydx(,)+ Qxydy (,) B ∫ /  Pdx+ Qdy = Pxyx( , ( )) + Qxyx ( , ( )). y dx . AB ∫ ∫ x  x tB AB A / /  =Pxt((),()) yt xt + Qxt ((),()) yt y t  dt . ∫   • N ếu L cĩ phương trình x= x( y ) thì: tA y • N ếu L cĩ pt x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) thì: B /  t Pdx+ Qdy = Pxy((),). yx + Qxyydy ((),) . B ∫ ∫ y  / / / y Pdx++= Qdy Rdz Px. ++ Qy . Rz dt AB A ∫ ∫ ()t t t AB tA Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt Đặc biệt x2 y 2 VD 1. Tính xdy− ydx với L là elip + = 1 ∫ 2 2 • N ếu L cĩ phương trình y = α (hằng số) thì: L a b xB lấy theo chiều dương. ∫Pxydx(,)+ Qxydy (,) = ∫ Px (,). α dx AB xA • N ếu L cĩ phương trình x = α (hằng số) thì: yB ∫Pxydx(,)+ Qxydy (,) = ∫ Q (,). α ydy AB yA Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt VD 2. Tính I=∫ ( x − ydx ) ++ ( x ydy ) với L là VD 3. Tính I=∫ dx − ydy + dz với L là đường xoắn L L đường nối O(0; 0) với A(1; 1) trong các trường hợp: ốc trụ trịn xoay cĩ phương trình x= cos t , y= sin t , 2 a) đường thẳng y = x ; b) đường y = x ; z= 2 t từ điểm A(1; 0; 0) đến B(0; 1; π ) . c) đường y= x .
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 2.4. Cơng thức Gre en (liên hệ với tích phân kép) Hệ quả 1 • Cho miền D là miền SD( )= xdy − ydx . liên thơng, bị chặn, cĩ 2 ∫ ∂D biên L Jordan kín trơn x2 y 2 từng khúc. Chiều dương VD 4. Tính xdy− ydx với L là ():E + = 1 ∫ 2 2 của L là chiều mà khi L a b di chuyển ta thấy miền lấy theo chiều dương. D nằm về phía tay trái. • N ếu các hàm số P(x, y ) và Q(x, y ) cĩ các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D thì: Q/− P / dxdy = Pxydx(,) + Qxydy (,). ∫∫( x y ) ∫ D L Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt xdy− ydx VD 5. Tính tích phân VD 6. Tính I = trong các trường hợp: 2 2 −y ∫ x2+ y 2 I=∫ ( xarctgx + ydx )(2 +++ x xy ye ) dy L L a) L là đường cong kín khơng bao quanh gốc O; với L là đường trịn x2+ y 2 −2 y = 0 . b) L là đường cong kín bao quanh gốc O. Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 2.5. Điều kiện tích phân đường khơng phụ thuộc Khi đĩ, bốn mệnh đề sau tương đương: vào đường lấy tích phân 1) P/= Q / , ∀ ( xy , ) ∈ D . Định lý y x • Giả sử các hàm số P(x, y ), Q(x, y ) và các đạo hàm 2) ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 dọc theo mọi đường riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền đơn liên D. L Khi đĩ, bốn mệnh đề sau tương đương: cong kín L nằm trong D. / / 3) Pxydx Qxydy , trong đĩ AB nằm trong 1) P= Q, ∀ ( xy , ) ∈ D . ∫ (,)+ (,) y x AB 2) ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 dọc theo mọi đường D, chỉ phụ thuộc vào hai mút A, B L mà khơng phụ thuộc vào đường nối A với B. cong kín L nằm trong D. 4) Biểu thức P(x, y )dx + Q(x, y )dy là vi phân tồn phần của hàm u(x, y ) nào đĩ trong miền D.
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt Hệ quả VD 8 . Tích phân đường nào sau đây khơng phụ thuộc • N ếu P(x, y )dx + Q(x, y )dy là vi phân tồn phần của vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm A và B? hàm u(x, y ) nào đĩ trong miền đơn liên D, nghĩa là A. I=(4 xy3 + 2) x dx ++− ( y 4 2 y x ) dy . / / ∫ AB Py= Q x , ∀ ( xy , ) ∈ D 3 422 thì: B. I=∫ (4 xy +−++ 2 x 1) dx ( y 6 xy − 1) dy . Pxydx(,)+ Qxydy (,) = uB () − uA (). AB ∫ 3 4 C. I=(4 xy + 2) xdx −+− ( y 2 yxdy ) . AB ∫ AB xy− xy + VD 7. Tính I= dx + dy với L là D. I=(4 xy3 +−−+ 2 x 1) dxy ( 422 6 xy − 1) dy . ∫ xy22 xy 22 ∫ L + + AB đường trơn từng khúc nối A(–1; –1) và B(–2; –2) nằm trong miền D khơng chứa gốc tọa độ O. Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt (3,2) VD 9. Cho biết hàm uxy(,)= xey − ye x + 21 x + (x+ 2 ydx ) + ydy VD 10. Tính I = theo một cĩ vi phân tồn phần là: ∫ 2 (1,1) (x+ y ) du=−( eyx ye + 2) dx + ( xe yx − edy ) đường trơn từng khúc khơng cắt x+ y = 0. (1,0) Tính I=∫ ( eyx −+ ye 2) dx + ( xe yx − edy ) . (1,1) A. I = − 1; B. I = − 2; C. I = 1; D. I = 2. Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt §3. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI I n N ếu I=lim f (,,) ξηζiii S i tồn tại hữu 3.1. Định nghĩa maxd ( S ) → 0 ∑ i i=1 • Cho hàm số f(x, y, z ) xác định trên mặt S. Chia S một hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn cách tùy ý thành n phần khơng dẫm nhau, diện tích điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân mặt loại 1 mỗi phần là Si ( i =1, 2, , n). Trong mỗi Si ta lấy của hàm f(x, y, z ) trên S. điểm Mi(,ξ i η i , ζ i ) tùy ý và lập tổng tích phân: n Ký hiệu I= fxyzdS(,,) . In= f(, ξηζ iiii , ) S . ∫∫ ∑ S i=1
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 3.2. Phương pháp tính c) Chiếu S lên Oyz a) Chiếu S lên Oxy • N ếu S cĩ phương trình x = x (y, z ) và S cĩ hình chiếu • N ếu S cĩ phương trình z = z (x, y ) và S cĩ hình chiếu trên Oyz là D thì: trên Oxy là D thì: 2 2 / / 2 2 I= fxyzyz((,),,)1 + xy + x z dydz . / / ∫∫ ( ) ( ) I= f(,,(,))1 x y z x y + z + z dxdy . D ∫∫ ( x) ( y ) D VD 1. b) Chiếu S lên Oxz Tính I=( x2 + y 2 ) dS • N ếu S cĩ phương trình y = y (x, z ) và S cĩ hình chiếu ∫∫ S trên Oxz là D thì: trong đĩ S là phần mặt nĩn 2 2 2 2 2 I= fxyxyz(,(,),)1 + y/ + ydxdz / . z= x + y với 0≤z ≤ 1 . ∫∫ ( x) ( z ) D Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt VD 2. Tính I= zdS , trong đĩ S là phần Cách khác ∫∫ S Chiếu S lên Oxy ta được mặt cầu x2+ y 2 + z 2 = 4 với x ≥ 0, y ≥ 0. 1 hình trịn D: x2+ y 2 ≤ 4 4 ∪ và S= S1 S 2 . Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt VD 3. Tính I= ∫∫ xyzdS , trong đĩ S là 6 mặt của 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 S 1) Diện tích mặt S là ∫∫ dS . hình hộp chữ nhật 0≤x ≤ 1 , 0≤y ≤ 2 , 0≤z ≤ 3 . S 2) N ếu mặt S cĩ hàm mật độ khối lượng là ρ(,x y , z ) thì khối lượng của mặt S là: m=∫∫ ρ (,,) xyzdS . S Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của mặt S là: 1 1 x=ρ xxyzdS(,,), y =ρ yxyzdS (,,), Gm∫∫ G m ∫∫ S S 1 z= zxyzdS ρ (,,) . G m ∫∫ S
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt §4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II 4.1. Định nghĩa • Hướng của biên S là hướng ngược chiều kim đồng hồ 4.1.1. Mặt định hướng khi nhìn từ ngọn của n. • Mặt trơn S được gọi là mặt định hướng nếu pháp • Khi mặt S khơng kín, ta gọi phía trên là phía mà n vector đơn vị n xác định tại mọi điểm M thuộc S (cĩ lập với tia Oz gĩc nhọn, ngược là là phía dưới . thể trừ biên S) biến đổi liên tục khi M chạy trên S. • Khi mặt S kín ta gọi phía trong và phía ngồi . Mặt định hướng cĩ hai phía, phía mà nếu đứng trên đĩ thì • Mặt trơn từng khúc S là định hướng được nếu hai phần trơn bất kỳ của S nối với nhau bởi đường biên C n hướng từ chân lên đầu là cĩ định hướng ngược nhau. phía dương, ngược lại là phía âm. Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 4.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2 n I f SD • Cho hàm số f(x, y, z ) xác định trên mặt định hướng, Lập tổng tích phân n=∑ ( ξηζ iii , , ). () i . trơn từng khúc S. Chia S một cách tùy ý thành n phần i=1 n khơng dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là Si N ếu I=lim f ( ξηζiii , , ). SD() i tồn tại hữu maxd ( S ) → 0 ∑ (i= 1,2, , n). Trong mỗi Si ta lấy điểm Mi(,ξ i η i , ζ i ) i i=1 tùy ý. Gọi Di là hình chiếu của Si lên Oxy kèm theo hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm M thì số I được gọi là tích phân mặt loại 2 của dấu dương nếu Si cĩ định hướng trên , ngược lại là i dấu âm . hàm f(x, y, z ) trên mặt định hướng S. Ký hiệu ∫∫ f(,,) x y z dxdy . S Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt • Tương tự, khi chiếu S lên Ozx và Oyz ta cĩ: 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 ∫∫ f(, x y , z ) dzdx và ∫∫ f(, x y , z ) dydz . • Cho mặt định hướng trơn từng khúc S cĩ pháp vector S S n. Gọi α, β , γ lần lượt là gĩc hợp bởi n với các tia • Kết hợp cả 3 dạng trên ta được tích phân mặt loại 2 Ox, Oy, Oz . Khi đĩ: của các hàm P(x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z ) trên S: P(,,) x y z dydz+ Q (,,) x y z dzdx + R (,,) x y z dxdy . ∫∫ Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy S ∫∫ hận xét S • N ếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu. =∫∫ (P cos α+ Q cos β+ R cos γ ) dS . • N ếu S kín thì tích phân cịn được ký hiệu là: S ∫∫ Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy . S
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt 4.3. Phương pháp tính • N ếu S cĩ pháp vector đơn vị n= (, abc , ) thì: Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy a) N ếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oxy là miền Dxy và ∫∫ cĩ phương trình z = z(x, y ) thì: S =∫∫ (Pa .+ Qb . + RcdS . ) . ∫∫R(,,) x y z dxdy= ± ∫∫ R (,,(,)) x y z x y dxdy . S S D xy (dấu + hay – tùy thuộc vào mặt ở phía trên hay dưới) . VD 1. Tính I=∫∫ dydz + dzdx + dxdy , với S là S b) N ếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền Dxz và tam giác giao của mặt phẳng x+ y + z = 1 với 3 mặt cĩ phương trình y = y(x, z ) thì: phẳng tọa độ (lấy phía trên) . ∫∫Qxyzdzdx(,,)= ± ∫∫ Qxyxz (,(,),) zdzdx . S D xz Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt c) N ếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền Dyz và 4.4. Cơng thức Stokes cĩ phương trình x = x(y, z ) thì: • Cho S là mặt định hướng trơn từng khúc cĩ biên ∂S ∫∫Pxyzdydz(,,)= ± ∫∫ Pxyz ((,),,) yzdydz . trơn từng khúc và khơng tự cắt. Giả sử P, Q, R là các S D yz hàm cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S. Khi đĩ: Pdx+ Qdy + Rdz VD 2. Tính I= zdxdy , với S là phía ngồi của ∫ ∫∫ ∂S S R// Q dydz P // R dzdx  2 2 2 2 ()()yz− + zx −  mặt cầu x+ y + z = R . =   . ∫∫  +Q/ − P / dxdy  S ( x y )  (Hướng của ∂S là hướng dương phù hợp với hướng của S). Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt VD 3. Tính ydx+ zdy + xdz , với C là đường trịn 4.5. Cơng thức Gauss – Ostrogradski ∫ C • Cho V là một khối giới nội với biên S trơn từng khúc. giao của mặt cầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 và mặt phẳng Giả sử P, Q, R là các hàm cĩ đạo hàm riêng liên tục x+ y + z = 0 và hướng tích phân trên C là hướng trong miền mở chứa V. Khi đĩ: dương khi nhìn từ ngọn tia Oz . ∫∫ Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy S =P/ + Q / + R / dxdydz . ∫∫∫ ()x y z V (Tích phân ∫∫ lấy theo phía ngồi của S). S
Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt VD 4. Tính I=∫∫ xdydz3 + ydzdx 3 + zdxdy 3 , với S VD 5. Tính I= ∫∫ dxdy , với S là mặt dưới của mặt S S 2 2 2 2 y2 là phía ngồi của mặt cầu x+ y + z = R . x2 + ≤1, z = 2 . 9 A. I = −3 π ; B. I =3 π ; C. I = −9 π ; D. I =9 π . Chương 3. Tích phân đưng – mt Chương 3. Tích phân đưng – mt VD 6. Tính I= ∫∫ zdxdy , với S là mặt trên của mặt VD 7. Tính I=∫∫ 3 xdxdy + 2 xdydz − ydzdx , với S S S z = 2 được giới hạn bởi xy+≤1, x ≥ 0, 0 ≤≤ y 1 2 2 2 y z với pháp vector theo chiều dương. là mặt biên ngồi của elipsoid :x + + ≤ 1 . 4 9 A. I = 1; B. I = 2; C. I = 3; D. I = 4. A. I =144 π ; B. I =32 π ; C. I =8 π ; D. I =36 π . Chương 3. Tích phân đưng – mt Gii nhanh tích phân tng phn VD 8. Tính I=∫∫ xdydz +2 zdzdx + dxdy VD 1. I= exx (3 − 2 x 2 + 3) dx S ∫ với S là mặt ngồi của mặt cầu: 3 2 x 2 2 2 x−2 x + 3 e xyz+ + −2 z = 0, z ≤ 1 . 2 x 2π 3x− 4 x e A. I = − ; 3 6x − 4 ex 2π B. I = − ; 6 ex 3 π x C. I = ; 0 e 3 π x 3 2 D. I = − . Vậy Iex=( − 5 x + 10 x −+ 7) C . 3
Gii nhanh tích phân tng phn Gii nhanh tích phân tng phn 2x VD 2. I= ∫ xln xdx VD 3. I= ∫ esin 3 xdx sin 3 x e2x ln x x 1 2x 2 3 cos 3 x e 1 x 2 x 2 1 2x −9 sin 3 x e 2 2 2 4 x1 x x   Vậy I=ln x − xdx = ln x −+ C . 2x 1 3 9 2 2∫ 2 4 Vậy Ie= sin3 x − cos3 xI − 2 4  4   132x 1 3  ⇒=Ie sin3 x − cos3 xC + . 4 2 4   Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân §3. PHƯƠG TRÌH VI PHÂ CẤP CAO §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản §2. PHƯƠG TRÌH VI PHÂ CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ 3.1.2. Phương trình khuyết y 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 3.1.3. Phương trình khuyết x 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 3.2. Pt vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 2.2.3. Phương trình vi phân tồn phần 3.2.1. Phương trình thuần nhất 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3.2.2. Phương trình khơng thuần nhất 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli 3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính với hệ số hằng Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ Giải 1. Bài tốn 1 Giả sử Ixy(,)∈ ( C ) , hệ số gĩc tiếp tuyến tại I là: PI PI y • Tìm phương trình đường yxtg′()=α=− =− ⇒ yx ′ () =− (*). cong ():C y= fx () đi qua PA OP x điểm M(2; 3) sao cho mọi C đoạn của tiếp tuyến với (C ) N hận thấy hàm y=, C ∈ ℝ thỏa (*). nằm giữa hai trục tọa độ x C 6 đều bị tiếp điểm chia thành Thay tọa độ M vào y = ta được y = . hai phần bằng nhau ? x x
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân 2. Bài tốn 2 Phương trình chuyển động của vật là: • Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phĩng 1 vật theo dr2 Mm dr 2 M phương thẳng đứng sao cho vật khơng rơi trở lại trái m.=− k . ⇔ =− k . (1). dt2 r 2 dt 2 r 2 đất ? Biết lực cản của khơng khí khơng đáng kể. dr2 dv dvdr dv Giải Mặt khác, = =. = v nên: Gọi khối lượng của trái đất và vật phĩng là M, m . dt 2 dt drdt dr Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật dv M kM phĩng là r. Theo định luật hấp dẫn N ewton, lực hút tác (1)⇔v =− k . ⇔ vdv =− dr dr r2 r 2 Mm dụng lên vật là f= k . , k là hằng số hấp dẫn. kM v2 kM r 2 ⇒vdv =− dr ⇒=+ C (2). ∫ ∫ r 2 2 r 1 Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân 3. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân Tại t = 0 thì r= R (BK trái đất), v= v 0 nên: • Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân . 2 2  vkM v2 kM v kM  C 0 0  (2) ⇒=−1 ⇒= + −  (3). 2R 2 r 2 R  • Cấp cao nhất của đạo hàm chứa trong phương trình   vi phân được gọi là cấp của p hương trình vi phân đĩ. 2 v kM v 2 2kM • Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là: Khi r → +∞ thì 0 − = ≥ 0 ⇒v ≥ . 2R 2 0 R Fxyy( , ,′ , , y (n ) )= 0 (*) (n) Vậy v0 ≈ 11,2 kms / . nếu từ (*) ta giải được theo y thì ptvp cĩ dạng: y(n )= fxyy( , ,′ , , y ( n − 1) ) . Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân §2. PHƯƠG TRÌH VI PHÂ CẤP 1 • N ghiệm của (*) trên khoảng K là hàm số y = φ (x) xác định trên K sao cho khi thay y = φ (x) vào (*) ta được 2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1 đồng nhất thức trên K. • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình cĩ dạng • Phương trình vi phân nếu cĩ nghiệm thì cĩ vơ số tổng quát F(,, x y y ′ )= 0 (*), nếu từ (*) ta giải được nghiệm sai khác hằng số C. theo y′ thì (*) trở thành y′ = fxy( , ) . • Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm • Giải ptvp cấp 1 với điều kiện đầu y(x0) = y 0 là đi tìm của nĩ. nghiệm thỏa điều kiện đầu , hay tìm 1 đường cong • Đồ thị của nghiệm y = φ (x) được gọi là đường cong tích phân của ptvp đi qua điểm M0(x0; y0). tích phân. • N ghiệm chứa hằng số C là nghiệm tổng quát , nghiệm chứa hằng số C0 cụ thể là nghiệm riêng và nghiệm khơng nhận được từ nghiệm tổng quát là nghiệm kỳ dị .
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân VD 1. Giải ptvp y′ − x = 0, biết đường cong tích phân VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp y′ =1 − y 2 . đi qua điểm M(2; 1). Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân 2 VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong y = Cx . 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly • Phương trình vi phân với biến phân ly cĩ dạng: f( xdx )+ gydy ( ) = 0 (1). Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) ta được nghiệm tổng quát: ∫fxdx()+ ∫ gydy () = C . Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân xdx ydy VD 4. Giải ptvp + = 0. 2 2 Chú ý 1+x 1 + y 1) Ptvp f11()() xg ydx+ f 22 ()() xg ydy = 0 (1’) được đưa về dạng (1) như sau: • N ếu g1(y0) = 0 thì y = y 0 là nghiệm của (1). • N ếu f2(x0) = 0 thì x = x 0 là nghiệm của (1). • N ếu gy1()≠ 0, fx 2 () ≠ 0 thì: fx() gy () (1')⇒1dx + 2 dy = 0 (dạng (1)). fx2() gy 1 () 2) Từ đây về sau ta khơng xét nghiệm kỳ dị.
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân VD 5. Giải phương trình vi phân y′ = xyy( + 2) . VD 6. Giải ptvp xy2(+ 1) dx +− ( x 3 1)( y − 1) dy = 0 . Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân 1 VD 7. Giải ptvp xy′ + y = y 2 thỏa điều kiện y(1) = . 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 2 • Hàm hai biến f(x, y ) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi k > 0 thì f(kx, ky ) = knf(x, y ). Chẳng hạn các hàm x− y f( x , y ) = , 2x+ 3 y x2 − xy f( x , y ) = , 2x+ 3 y f(x, y ) = x 2 + xy là đẳng cấp bậc 0, 1, 2 tương ứng. Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân   2 2 y  x− xy + y • Cho hàm f(x, y ) đẳng cấp bậc 0 hay f( x , y ) = ϕ  . VD 8. Giải phương trình vi phân y′ = . x   xy Khi đĩ, phương trình vi phân đẳng cấp cĩ dạng: y′ = fxy( , ) (2). Phương pháp giải y • Đặt u= ⇒ y′ = u + xu ′ . x du dx • (2)⇒+u xu′ =ϕ⇒ ( u ) = ϕ(u ) − u x (ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) (ptvp cĩ biến phân ly).
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân x+ y VD 9. Giải phương trình vi phân y′ = với 2.2.3. Phương trình vi phân tồn phần x− y điều kiện đầu y(1) = 0. • Cho phương trình vi phân cĩ dạng: Pxydx( , )+ Qxydy ( , ) = 0 (3) / / với điều kiện Qx= P y trong miền phẳng D. N ếu tồn tại hàm u(x, y ) sao cho: du(x, y ) = P (x, y )dx + Q (x, y )dy thì (3) được gọi là phương trình vi phân tồn phần. • N ghiệm tổng quát của (3) là u(x, y ) = C . Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải VD 10. Cho phương trình vi phân: 2 2 Bước 1. Từ (3) ta cĩ u/ = P (3 a) và u/ = Q (3 b). (3y++ 2 xy 2) xdx +++ ( x 6 xy 3) dy = 0 (*). x y a) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân tồn phần. Bước 2. Lấy tích phân (3 a) theo x: b) Giải p hương trình (*). uxy(,)=∫ Pxydx (,) =ϕ (,) xy + Cy () (3 c), với C(y) là hàm theo biến y. Bước 3. Đạo hàm (3 c) theo y: / / ′ uy= ϕ y + C( y ) (3 d). Bước 4. So sánh (3 b) và (3 d) ta tìm được C(y), thay vào (3 c) ta được u(x, y ). Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân VD 11. Giải ptvp x y dx ey xdy . 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 (+− 1) + ( + ) = 0 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 cĩ dạng: y′ + pxy( ) = qx ( ) (4). • Khi q(x) = 0 thì (4) được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất . Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ) − p( x ) dx Bước 1. Tìm biểu thức A( x ) = e ∫ . p( x ) dx Bước 2. Tìm biểu thức Bx( )= ∫ qxe ( ). ∫ dx . Bước 3. N ghiệm tổng quát là y AxBx C  . =() () + 
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân VD 12. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm Chú ý nghiệm tổng quát của phương trình • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. y y′ +2 = 4 x ln x dưới dạng: • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm x C( x ) C( x ) tổng quát của (4) dưới dạng: A. y = ; B. y = ; 2 3 − p( x ) dx x x y= Cxe( )∫ . C( x ) C( x ) C. y = ; D. y = − . p( x ) dx q( x ) x x • Tìm nhanh Bx( )= qxe ( ).∫ dx = dx . ∫ ∫ A( x ) Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân VD 13. Giải phương trình vi phân y′ − x2 y = 0 VD 14. Giải phương trình y′ + ycos x = e −sin x . thỏa điều kiện x = 3, y = – e 9. Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân VD 15. Giải phương trình yx′(+ y2 ) = y . 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli cĩ dạng: y′ + pxy( ) = qxy ( )α (5). • Khi α = 0 hoặc α = 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi p(x) = q (x) = 1 thì (5) là pt cĩ biến phân ly.
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) y VD 16. Giải phương trình vi phân y′ + = xy 2 Với y ≠ 0, chia hai vế cho yα: x y′ y với điều kiện x = 1, y = 1. (5)⇒ +px ( ) = qx ( ) yα y α ⇒yy′ −α + pxy()1 −α = qx () . Đặt zy=1−α ⇒ z′ =(1 −α ) yy ′ −α thì: (5)⇒z′ +−α (1 ) pxz ( ) = (1 −α ) qx ( ) (p hương trình tuyến tính cấp 1). Chú ý • Pt vp Bernoulli luơn cĩ nghiệm kỳ dị là y = 0. Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân VD 17. Giải ptvp y′ −2 xy = xy3 4 . dy dy VD 18. Giải ptvp x3 sin y+ 2 yx = . dx dx Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân ′′ 2 §3. PHƯƠG TRÌH VI PHÂ CẤP CAO VD 1. Giải phương trình vi phân y= x . 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Dạng phương trình: y′′ = f( x ) (1). Phương pháp giải • L ấy tích phân hai vế (1) hai lần .
Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân 7 3 VD 2. Giải ptvp y′′ = e 2x với y(0)= − , y ′ (0) = . 3.1.2. Phương trình khuyết y 4 2 • Dạng phương trình: y′′= fxy( , ′ ) (2). Phương pháp giải • Đặt z= y ′ đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân y′ y′ VD 3. Giải phương trình vi phân y′′ = x − . VD 4. Giải ptvp y′′ − − x( x −= 1) 0 x x −1 với y(2)= 1, y ′ (2) = − 1 . Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân 3.1.3. Phương trình khuyết x 2 VD 5. Giải phương trình vi phân 2yy′′=( y ′ ) + 1 . • Dạng phương trình: y′′= fyy( , ′ ) (3). Phương pháp giải • Đặt z= y ′ ta cĩ: dz dz dy dz y′′=== z ′ . = z . dx dy dx dy Khi đĩ, (3) trở thành pt vp với biến số phân ly.
Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân VD 6. Giải phương trình vi phân y′′+2 y ′ (1 − 2 y ) = 0 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính 1 với hệ số hằng với điều kiện y(0)= 0, y ′ (0) = . 2 3.2.1. Phương trình thuần nhất • Dạng phương trình: ′′ ′ y+ ay1 + ay 2 = 0 (4) (a1, a2 là các hằng số). Phương pháp giải • Xét phương trình đặc trưng của (4): 2 k+ ak1 + a 2 = 0 (5). Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân 1) Trường hợp 1 3) Trường hợp 3 Phương trình (5) cĩ hai nghiệm thực phân biệt k1, k2. Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng: Phương trình (5) cĩ hai nghiệm phức liên hợp kx kx y= e1, y = e 2 k=α± i β . 1 2 kx kx và nghiệm tổng quát là y= Ce1 + Ce 2 . Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng: 1 2 αx α x ye1=cos β= xye , 2 sin β x 2) Trường hợp 2 Phương trình (5) cĩ nghiệm kép thực k. và nghiệm tổng quát: Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng: yeC=αx cos β+ xC sin β x . kx kx ( 1 2 ) y1= e, y 2 = xe kx kx và nghiệm tổng quát là y= Ce1 + Cxe 2 . Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân: VD 8. Giải phương trình vi phân: y′′+2 y ′ − 3 y = 0 . y′′−6 y ′ + 9 y = 0 .
Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân VD 9. Giải phương trình vi phân y′′ +16 y = 0 . VD 10. Giải phương trình vi phân y′′+2 y ′ + 7 y = 0 . Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 3.2.2. Phương trình khơng thuần nhất y′′− y ′ + y = 0. • Dạng phương trình: ′′ ′ y+ ay1 + ay 2 = fx( ) (6) (a1, a2 là các hằng số). Phương pháp giải • N ếu (4) cĩ hai nghiệm riêng y1(x), y2(x) thì (6) cĩ nghiệm tổng quát là y= Cxyx11()() + Cxyx 22 ()(). • Để tìm C1(x) và C2(x), ta giải hệ Wronsky : Cxyx′ C ′ xyx  11()()+ 22 ()() = 0  Cxyx′′()() + Cxyx ′′ ()() = fx ().  11 22 Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân: Định lý 1 y′′ + y = ( a). • N ghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng cos x quát của (4) với 1 nghiệm riêng của (6). VD 13. Cho phương trình vi phân: y′′−2 y ′ + 2 y = (2 + xe2 ) x (*). a) Chứng tỏ (*) cĩ 1 nghiệm riêng là y= x2 e x . b) Tìm nghiệm tổng quát của (*).
Chương 4. Phương tr ình vi phân Chương 4. Phương tr ình vi phân VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: Định lý (nguyên lý chồng nghiệm) ′′ ′ yy′′+ ′ =2sin2 x + 4cos2 x • Cho ptvp y+ ay1 + ay 2 = fx 1( ) + fx 2 ( ) (7) . biết 1 nghiệm riêng là y x . = − cos 2 Giả sử y1( x ) và y2( x ) lần lượt là nghiệm riêng của ′′ ′ ′′ ′ y+ ay1 + ay 2 = fx 1 ( ) , y+ ay1 + ay 2 = fx 2 ( ) thì y= yx1() + yx 2 () là nghiệm riêng của (7). VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y′′− y ′ = 2 cos 2 x . Cho biết: y′′ y ′ − = 1 cĩ nghiệm riêng y1 = − x , 2 1 y′′− y ′ = cos 2 x cĩ N R y= −cos 2 x − sin 2 x . 2 10 10 3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính Chương 4. Phương tr ình vi phân với hệ số hằng VD 16. Giải phương trình vi phân: Định lý y′′′ yy ′′ ′ y . • Cho phương trình: −2 −+ 2 = 0 ()n (1) n− (2) n − ′ y+ ay1 + ay 2 + + ayayn− 1 + n = 0(8). N ếu phương trình đặc trưng: n n−1 n − 2 kak+1 + ak 2 ++ akan− 1 += n 0 cĩ n nghiệm thực đơn kk1, 2 , , kn− 1 , k n thì (8) cĩ kx1 kx 2 kxn− 1 kx n n N R yeye1==, 2 , , yn− 1 = e , ye n = . và nghiệm tổng quát là: kx1 kx 2 kxn− 1 kx n yCe=1 + Ce 2 ++ Cen− 1 + Ce n .