›
›

Toán học - Tích phân đường

pdf 135 trang vanle 2570
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Tích phân đường", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_hoc_tich_phan_duong.pdf

Nội dung text: Toán học - Tích phân đường

  1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CBGD. Lê Hoài Nhân Ngày 12 tháng 4 năm 2013 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 1 / 33
  2. 1 Tích phân đường loại 1 Định nghĩa - Cách tính Ứng dụng 2 Trường vector 3 Tích phân đường loại 2 Định nghĩa - Cách tính Tích phân trên đường cong kín Tích phân của trường bảo toàn Ứng dụng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 2 / 33
  3. Định nghĩa CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  4. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  5. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  6. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là ∆si . CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  7. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là ∆si . Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân n In = f (Mi ).∆si . Xi=1 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  8. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là ∆si . Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân n In = f (Mi ).∆si . Xi=1 Cho n →∞ sao cho max ∆si → 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  9. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là ∆si . Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân n In = f (Mi ).∆si . Xi=1 Cho n →∞ sao cho max ∆si → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn Mi thì I được gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  10. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là ∆si . Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân n In = f (Mi ).∆si . Xi=1 Cho n →∞ sao cho max ∆si → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn Mi thì I được gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB. Ký hiệu I = f (x, y, z).ds. Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
  11. Cách tính CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
  12. Cách tính Tùy thuộc vào phương trình của đường cong L mà ta chuyển tích phân đường loại 1 về tích phân xác định. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
  13. Cách tính Tùy thuộc vào phương trình của đường cong L mà ta chuyển tích phân đường loại 1 về tích phân xác định. Ta xét hai trường hợp lớn: L là đường cong phẳng và L là đường cong trong không gian. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
  14. Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
  15. Cách tính - L là đường cong phẳng x = x(t) Phương trình của L : với t ∈ [a, b] thì  y = y(t) ds = x02(t)+ y 02(t)dt q CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
  16. Cách tính - L là đường cong phẳng x = x(t) Phương trình của L : với t ∈ [a, b] thì  y = y(t) ds = x02(t)+ y 02(t)dt q Công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
  17. Cách tính - L là đường cong phẳng x = x(t) Phương trình của L : với t ∈ [a, b] thì  y = y(t) ds = x02(t)+ y 02(t)dt q Công thức b f (x, y).ds = f (x(t), y(t)) x02(t)+ y 02(t)dt Z Z q L a CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
  18. Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
  19. Cách tính - L là đường cong phẳng 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = x ds với L là phần tư thứ nhất của Z L đường tròn x2 + y 2 = 4. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
  20. Cách tính - L là đường cong phẳng 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = x ds với L là phần tư thứ nhất của Z L đường tròn x2 + y 2 = 4. 4 4 2 2 2 Ví dụ 2. Tính tích phân I = (x 3 + y 3 )ds với L là x 3 + y 3 = a 3 . Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
  21. Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
  22. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) với x ∈ [a, b] thì ds = 1 + y 02(x)dx q CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
  23. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) với x ∈ [a, b] thì ds = 1 + y 02(x)dx q Công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
  24. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) với x ∈ [a, b] thì ds = 1 + y 02(x)dx q Công thức b f (x, y).ds = f (x, y(x)) 1 + y 02(x)dx Z Z q L a CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
  25. Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 8 / 33
  26. Cách tính - L là đường cong phẳng x2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = xds với L là phần parabol y = từ Z 2 L x = 0 đến x = 2. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 8 / 33
  27. Cách tính - L là đường cong trong không gian CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
  28. Cách tính - L là đường cong trong không gian x = x(t) Phương trình của L :  y = y(t) với t ∈ [a, b] thì  z = z(t)  ds = x02(t)+ y 02(t)+ z02(t)dt q CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
  29. Cách tính - L là đường cong trong không gian x = x(t) Phương trình của L :  y = y(t) với t ∈ [a, b] thì  z = z(t)  ds = x02(t)+ y 02(t)+ z02(t)dt q Công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
  30. Cách tính - L là đường cong trong không gian x = x(t) Phương trình của L :  y = y(t) với t ∈ [a, b] thì  z = z(t)  ds = x02(t)+ y 02(t)+ z02(t)dt q Công thức b f (x, y, z).ds = f (x(t), y(t), z(t)) x02(t)+ y 02(t)+ z02(t)dt Z Z q L a CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
  31. Cách tính - L là đường cong trong không gian CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 10 / 33
  32. Cách tính - L là đường cong trong không gian 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = x ds với L là đường giao tuyến của Z L hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm (3, 1, −2). CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 10 / 33
  33. Cách tính - L là đường cong trong không gian 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = x ds với L là đường giao tuyến của Z L hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm (3, 1, −2). Ví dụ 2. Tính tích phân I = 2y 2 + z2ds với L là đường giao Z L p tuyến của mặt cầu x2 + y 2 + z2 = a2 và mặt phẳng y = x. Đs: πa2 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 10 / 33
  34. Ứng dụng hình học CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
  35. Ứng dụng hình học Độ dài cung L = ds. Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
  36. Ứng dụng hình học Độ dài cung L = ds. Z L Ví dụ 1. Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid x = a.(t − sint), y = a.(1 − cos t) với t ∈ [0, 2π]. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
  37. Ứng dụng hình học Độ dài cung L = ds. Z L Ví dụ 1. Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid x = a.(t − sint), y = a.(1 − cos t) với t ∈ [0, 2π]. Ví dụ 2. Tính độ dài một nhịp của đường lò xo x = a. cos t, y = a. sin t, z = b.t với t ∈ [0, 2π]. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
  38. Ứng dụng cơ học CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
  39. Ứng dụng cơ học Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M là δ(M) có khối lượng là: CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
  40. Ứng dụng cơ học Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M là δ(M) có khối lượng là: m = δ(M)ds. Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
  41. Ứng dụng cơ học Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M là δ(M) có khối lượng là: m = δ(M)ds. Z L Moment tĩnh. Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ xy, xz, yz là: Mxy = zδ(M)ds; LR CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
  42. Ứng dụng cơ học Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M là δ(M) có khối lượng là: m = δ(M)ds. Z L Moment tĩnh. Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ xy, xz, yz là: Mxy = zδ(M)ds; Mxz = yδ(M)ds; LR LR CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
  43. Ứng dụng cơ học Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M là δ(M) có khối lượng là: m = δ(M)ds. Z L Moment tĩnh. Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ xy, xz, yz là: Mxy = zδ(M)ds; Mxz = yδ(M)ds; Myz = xδ(M)ds LR LR LR CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
  44. Ứng dụng cơ học CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
  45. Ứng dụng cơ học Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L Myz x = c m CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
  46. Ứng dụng cơ học Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L Myz M x = y = xz c m c m CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
  47. Ứng dụng cơ học Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L Myz M Mxy x = y = xz z = c m c m c m CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
  48. Ứng dụng cơ học Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L Myz M Mxy x = y = xz z = c m c m c m Ví dụ 1. Tìm khối lượng và tâm khối của dây có dạng đường đinh ốc x = cos t, y = sin t, z = t với 0 ≤ t ≤ π) biết rằng δ(x, y, z)= z. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
  49. Ứng dụng cơ học Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L Myz M Mxy x = y = xz z = c m c m c m Ví dụ 1. Tìm khối lượng và tâm khối của dây có dạng đường đinh ốc x = cos t, y = sin t, z = t với 0 ≤ t ≤ π) biết rằng δ(x, y, z)= z. a x − x Ví dụ 2. Tìm khối lượng và tâm khối của dây y = (e a + e a ) với 2 1 0 ≤ x ≤ a biết rằng δ(x, y)= . y CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
  50. Ứng dụng cơ học CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
  51. Ứng dụng cơ học Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được tính theo công thức: 1 xc = xds L Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
  52. Ứng dụng cơ học Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được tính theo công thức: 1 1 xc = xds yc = yds L Z L Z L L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
  53. Ứng dụng cơ học Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được tính theo công thức: 1 1 1 xc = xds yc = yds zc = zds L Z L Z L Z L L L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
  54. Ứng dụng cơ học Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được tính theo công thức: 1 1 1 xc = xds yc = yds zc = zds L Z L Z L Z L L L Ví dụ 1. Tìm tọa độ trọng tâm của nửa trên đường tròn tâm O bán kính R. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
  55. Định nghĩa CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 15 / 33
  56. Định nghĩa −→ Trường vector xác định trên miền Ω là một hàm vector F (x, y, z) với (x, y, z) ∈ Ω. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 15 / 33
  57. Định nghĩa −→ Trường vector xác định trên miền Ω là một hàm vector F (x, y, z) với (x, y, z) ∈ Ω. Ta có, −→ −→ −→ −→ F (x, y, z)= Fx (x, y, z) i + Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z) k CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 15 / 33
  58. Đường cong tích phân CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 16 / 33
  59. Đường cong tích phân Định nghĩa. Đường cong tích phân của trường vector là đường cong mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường đi qua điểm đó. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 16 / 33
  60. Đường cong tích phân Định nghĩa. Đường cong tích phân của trường vector là đường cong mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường đi qua điểm đó. −→ Đường cong tích phân của trường vector F thỏa mãn hệ phương trình vi phân: dx dy dz = = Fx Fy Fz CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 16 / 33
  61. Trường bảo toàn CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 17 / 33
  62. Trường bảo toàn −→ Định nghĩa. Trường vector F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm số φ(x, y, z) sao cho −→ ∂φ−→ ∂φ−→ ∂φ−→ F (x, y, z)= ∇φ(x, y, , z)= i + j + k ∂x ∂y ∂y CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 17 / 33
  63. Trường bảo toàn −→ Định nghĩa. Trường vector F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm số φ(x, y, z) sao cho −→ ∂φ−→ ∂φ−→ ∂φ−→ F (x, y, z)= ∇φ(x, y, , z)= i + j + k ∂x ∂y ∂y −→ Hàm φ(x, y, z) được gọi là hàm thế vị của trường bảo toàn F . Mặt −→ mức của φ(x, y, z) được gọi là mặt đẳng thế. Nếu F là trường vector phẳng thì đường mức của hàm thế vị được gọi là đường đẳng thế. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 17 / 33
  64. Định nghĩa CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  65. Định nghĩa −→ Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với t ∈ [a, b]. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  66. Định nghĩa −→ Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với t ∈ [a, b]. Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0, A1, , An ≡ B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  67. Định nghĩa −→ Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với t ∈ [a, b]. Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0, A1, , A ≡ B. Ta ký −−−−→ −→ n hiệu, Ai−1Ai = ∆ri , i = 1, 2, , n. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  68. Định nghĩa −→ Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với t ∈ [a, b]. Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0, A1, , A ≡ B. Ta ký −−−−→ −→ n hiệu, Ai−1Ai = ∆ri , i = 1, 2, , n. Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  69. Định nghĩa −→ Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với t ∈ [a, b]. Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0, A1, , A ≡ B. Ta ký −−−−→ −→ n hiệu, Ai−1Ai = ∆ri , i = 1, 2, , n. Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân n −→ −→ In = F (Mi ).∆ri Xi=1 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  70. Định nghĩa −→ Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với t ∈ [a, b]. Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0, A1, , A ≡ B. Ta ký −−−−→ −→ n hiệu, Ai−1Ai = ∆ri , i = 1, 2, , n. Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân n −→ −→ In = F (Mi ).∆ri Xi=1 −→ Cho n →∞ sao cho max |∆ri |→ 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn Mi thì I được gọi là tích phân đường loại 2 trên cung AB. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  71. Định nghĩa −→ Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với t ∈ [a, b]. Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0, A1, , A ≡ B. Ta ký −−−−→ −→ n hiệu, Ai−1Ai = ∆ri , i = 1, 2, , n. Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân n −→ −→ In = F (Mi ).∆ri Xi=1 −→ Cho n →∞ sao cho max |∆ri |→ 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn Mi thì I được gọi là tích phân đường loại 2 trên cung AB. −→ Ta ký hiệu tích phân đường loại 2 như sau: I = F .d−→r Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
  72. Định nghĩa CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
  73. Định nghĩa Nếu −→r = (x, y, z) thì d−→r = (dx, dy, dz) CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
  74. Định nghĩa Nếu −→r = (x, y, z) thì d−→r = (dx, dy, dz) và giả sử rằng −→ F (x, y, z) = (P, Q, R) thì −→ F .d−→r = Pdx + Qdy + Rdz. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
  75. Định nghĩa Nếu −→r = (x, y, z) thì d−→r = (dx, dy, dz) và giả sử rằng −→ F (x, y, z) = (P, Q, R) thì −→ F .d−→r = Pdx + Qdy + Rdz. Do đó người ta còn ký hiệu tích phân đường loại 2 ở dạng: I = Pdx + Qdy + Rdz. Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
  76. Cách tính tích phân đường loại 2 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 20 / 33
  77. Cách tính tích phân đường loại 2 Giống như tích phân đường loại 1, ta tính tích phân đường loại 2 bằng cách chuyển về tích phân xác định. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 20 / 33
  78. Cách tính tích phân đường loại 2 Giống như tích phân đường loại 1, ta tính tích phân đường loại 2 bằng cách chuyển về tích phân xác định. Tùy thuộc vào phương trình đường cong L mà ta có công thức tính tích phân đường loại 2. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 20 / 33
  79. Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
  80. Cách tính - L là đường cong phẳng x = x(t) Phương trình của L : ứng với t = a đến t = b.  y = y(t) CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
  81. Cách tính - L là đường cong phẳng x = x(t) Phương trình của L : ứng với t = a đến t = b. Ta có  y = y(t) công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
  82. Cách tính - L là đường cong phẳng x = x(t) Phương trình của L : ứng với t = a đến t = b. Ta có  y = y(t) b 0 0 công thức Pdx + Qdy = (P.x (t)+ Q.y (t))dt Z Z L a CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
  83. Cách tính - L là đường cong phẳng x = x(t) Phương trình của L : ứng với t = a đến t = b. Ta có  y = y(t) b 0 0 công thức Pdx + Qdy = (P.x (t)+ Q.y (t))dt Z Z L a Ví dụ. Hãy tính tích phân I = xdy − ydx với L là đường hình sao Z L x = a cos3 t, y = a sin3 t từ điểm A(a, 0) đến B(0, a). CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
  84. Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
  85. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
  86. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
  87. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công thức b 0 Pdx + Qdy = (P + Q.y (x))dx Z Z L a CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
  88. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công thức b 0 Pdx + Qdy = (P + Q.y (x))dx Z Z L a 2 2 Ví dụ. Hãy tính tích phân I = x dx + y dy với Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
  89. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công thức b 0 Pdx + Qdy = (P + Q.y (x))dx Z Z L a 2 2 Ví dụ. Hãy tính tích phân I = x dx + y dy với Z L a) L : y = x, A(0, 0), B(1, 1), tích phân lấy từ A đến B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
  90. Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công thức b 0 Pdx + Qdy = (P + Q.y (x))dx Z Z L a 2 2 Ví dụ. Hãy tính tích phân I = x dx + y dy với Z L a) L : y = x, A(0, 0), B(1, 1), tích phân lấy từ A đến B. b) L : y = x2, tích phân lấy từ A đến B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
  91. Cách tính - L là đường cong trong không gian CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
  92. Cách tính - L là đường cong trong không gian x = x(t) Phương trình của L :  y = y(t) ứng với t = a đến t = b.  z = z(t)  CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
  93. Cách tính - L là đường cong trong không gian x = x(t) Phương trình của L :  y = y(t) ứng với t = a đến t = b. Ta có  z = z(t) công thức  CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
  94. Cách tính - L là đường cong trong không gian x = x(t) Phương trình của L :  y = y(t) ứng với t = a đến t = b. Ta có  z = z(t) công thức  b 0 0 0 Pdx + Qdy + Rdz = (P.x (t)+ Q.y (t)+ R.z (t))dt Z Z L a CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
  95. Cách tính - L là đường cong trong không gian x = x(t) Phương trình của L :  y = y(t) ứng với t = a đến t = b. Ta có  z = z(t) công thức  b 0 0 0 Pdx + Qdy + Rdz = (P.x (t)+ Q.y (t)+ R.z (t))dt Z Z L a Ví dụ. Tìm công sản sinh bởi lực −→ −→ −→ −→ F = (x + y) i + (x − z) j + (z − y) k di chuyển vật từ điểm A(1, 0, −1) đến điểm B(0, −2, 3) dọc theo đường thẳng AB. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
  96. Định lý Green CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
  97. Định lý Green Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, ta có CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
  98. Định lý Green Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, ta có ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy I ZZ  ∂x ∂y  L D CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
  99. Định lý Green Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, ta có ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy I ZZ  ∂x ∂y  L D với L là biên của miền D và tích phân đường lấy theo chiều dương. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
  100. Định lý Green CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
  101. Định lý Green 2 2 Ví dụ 1. Cho I = (1 − x )ydx + x(1 + y )dy với L là đường tròn I L x2 + y 2 = R2 bằng hai cách CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
  102. Định lý Green 2 2 Ví dụ 1. Cho I = (1 − x )ydx + x(1 + y )dy với L là đường tròn I L x2 + y 2 = R2 bằng hai cách a) Tính trực tiếp. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
  103. Định lý Green 2 2 Ví dụ 1. Cho I = (1 − x )ydx + x(1 + y )dy với L là đường tròn I L x2 + y 2 = R2 bằng hai cách a) Tính trực tiếp. b) Dùng công thức Green. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
  104. Định lý Green CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 26 / 33
  105. Định lý Green Ví dụ 2. Tính tích phân I = (ex sin y − ky)dx + (ex cos y − k)dy Z L với L là nửa trên hình tròn x2 + y 2 = ax, tích phân lấy từ điểm A(a, 0) đến gốc O(0, 0). CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 26 / 33
  106. Định lý bốn mệnh đề tương đương CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
  107. Định lý bốn mệnh đề tương đương Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương nhau: CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
  108. Định lý bốn mệnh đề tương đương Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương nhau: 1 Tồn tại hàm φ(x, y) sao cho dφ(x, y)= Pdx + Qdy, ∀(x, y) ∈ D. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
  109. Định lý bốn mệnh đề tương đương Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương nhau: 1 Tồn tại hàm φ(x, y) sao cho dφ(x, y)= Pdx + Qdy, ∀(x, y) ∈ D. ∂Q ∂P 2 = , ∀(x, y) ∈ D. ∂x ∂y CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
  110. Định lý bốn mệnh đề tương đương Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương nhau: 1 Tồn tại hàm φ(x, y) sao cho dφ(x, y)= Pdx + Qdy, ∀(x, y) ∈ D. ∂Q ∂P 2 = , ∀(x, y) ∈ D. ∂x ∂y 3 Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong kín L nằm hoàn toàn trong D. I L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
  111. Định lý bốn mệnh đề tương đương Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương nhau: 1 Tồn tại hàm φ(x, y) sao cho dφ(x, y)= Pdx + Qdy, ∀(x, y) ∈ D. ∂Q ∂P 2 = , ∀(x, y) ∈ D. ∂x ∂y 3 Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong kín L nằm hoàn toàn trong D. I L 4 Pdx + Qdy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân mà chỉ phụ Z AB thuộc vào A và B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
  112. Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 28 / 33
  113. Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ (3,2) (x + 2y)dx + ydy Ví dụ 1. Tính tích phân . Z (x + y)2 (1,1) CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 28 / 33
  114. Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ (3,2) (x + 2y)dx + ydy Ví dụ 1. Tính tích phân . Z (x + y)2 (1,1) Ví dụ 2. Tìm các hằng số a, b sao cho tích phân y(1 − x2 + ay 2)dx + x(1 − y 2 + bx2)dy I = Z (1 + x2 + y 2)2 L không phụ thuộc vào đường lấy tích phân. Hãy tính tích phân trên với a, b vừa tìm trong trường hợp L có điểm đầu là O(0, 0) và điểm cuối A(1, 1). CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 28 / 33
  115. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
  116. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú Hàm φ(x, y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường −→ −→ −→ F = P i + Q j . CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
  117. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú Hàm φ(x, y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường −→ −→ −→ F = P i + Q j . Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau: CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
  118. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú Hàm φ(x, y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường −→ −→ −→ F = P i + Q j . Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau: x y φ(x, y)= P(x, y0)dx + P(x, y)dy + C Z Z x0 y0 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
  119. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú Hàm φ(x, y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường −→ −→ −→ F = P i + Q j . Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau: x y φ(x, y)= P(x, y0)dx + P(x, y)dy + C Z Z x0 y0 hoặc CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
  120. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú Hàm φ(x, y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường −→ −→ −→ F = P i + Q j . Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau: x y φ(x, y)= P(x, y0)dx + P(x, y)dy + C Z Z x0 y0 hoặc x y φ(x, y)= P(x, y)dx + P(x0, y)dy + C Z Z x0 y0 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
  121. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú Hàm φ(x, y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường −→ −→ −→ F = P i + Q j . Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau: x y φ(x, y)= P(x, y0)dx + P(x, y)dy + C Z Z x0 y0 hoặc x y φ(x, y)= P(x, y)dx + P(x0, y)dy + C Z Z x0 y0 trong đó (x0, y0) ∈ D. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
  122. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 30 / 33
  123. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú −→ −→ −→ Nếu φ(x, y) là hàm thế vị của trường bảo toàn F = P i + Q j thì CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 30 / 33
  124. Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú −→ −→ −→ Nếu φ(x, y) là hàm thế vị của trường bảo toàn F = P i + Q j thì Pdx + Qdy = φ(x, y)|B = φ(B) − φ(A) Z A AB CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 30 / 33
  125. Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 31 / 33
  126. Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ (1,1) Ví dụ 3. Tính tích phân (x + y)dx + (x + y)dy. Z (0,0) CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 31 / 33
  127. Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ (1,1) Ví dụ 3. Tính tích phân (x + y)dx + (x + y)dy. Z (0,0) (1,1) Ví dụ 4. Tính tích phân xdx + ydy. Z (0,0) CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 31 / 33
  128. Diện tích hình phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
  129. Diện tích hình phẳng Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích được tính bởi công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
  130. Diện tích hình phẳng Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích được tính bởi công thức 1 S(D)= xdy − ydx 2 I L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
  131. Diện tích hình phẳng Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích được tính bởi công thức 1 S(D)= xdy − ydx 2 I L Ví dụ. Dùng tích phân đường loại 2 tìm diện tích hình tròn bán kính R. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
  132. Tính công của lực CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33
  133. Tính công của lực −→ −→ −→ −→ Một lực F = P i + Q j + R k là di chuyển chất điểm từ A đến B theo quỹ đạo L có công được tính theo công thức CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33
  134. Tính công của lực −→ −→ −→ −→ Một lực F = P i + Q j + R k là di chuyển chất điểm từ A đến B theo quỹ đạo L có công được tính theo công thức W = Pdx + Qdy + Rdz Z L CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33
  135. Tính công của lực −→ −→ −→ −→ Một lực F = P i + Q j + R k là di chuyển chất điểm từ A đến B theo quỹ đạo L có công được tính theo công thức W = Pdx + Qdy + Rdz Z L −→ −→ −→ −→ Ví dụ. Hãy tính công của lực F = −y i + x j + z k là di chuyển chất điểm trên cung lò xo x = cos t, y = sin t, z = t từ điểm ứng với t = 0 đến điểm ứng với t = 2π. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33