Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 2: Sự kiện và xác suất

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 2: Sự kiện và xác suất

1. LÝLÝ THUYTHUYTT XXÁÁCC SUSUTT VVÀÀ THTHNGNG KÊKÊ TOTOÁÁNN HHCC PhanPhan VVnn TânTân BB mômô KhKhíí ttngng 10:07:29
2. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.1 Phép th, s kin và xác sut s kin • Các khái nim c gp u tiên trong lý thuyt xác sut là “phép th”và“s kin” • “phép th” c hiu là mt b iu kin xác nh, nó có th là o mt thí nghim c th o mt ln quan sát (quan trc) s xut hin mt hin tng nào ó • Mt phép th có th có nhiu kt cc khác nhau, o các kt cc này là các “s kin” có th xy ra o S kin thng c ký hiu bi các ch in A,B,C, v.v ôi khi có kèm theo ch s. 10:07:29
3. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.1 Phép th, s kin và xác sut s kin • Ví d: o Khi gieo mt ng tin tc là ta ã tin hành mt phép th. • Kt qu nhn c là hai kt cc: ng tin xut hin mt sp hoc xut hin mt nga • Nu nhn c mt sp ta nói “s kin” ng tin xut hin mt sp ã xy ra o Gieo mt con xúc xc (tin hành mt phép th) • Phép th này có 6 kt cc n: xut hin mt 1 chm, 2 chm, 3 chm, 4 chm, 5 chm, 6 chm • Các kt cc này cng có th cu thành kt cc phc hp: xut hin mt có s chm là chn, xut hin mt có s chm bi 3 v.v • Nu mt trong các kt cc xut hin ta nói “s kin”(nào ó) ã xy ra 10:07:29
4. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.1 Phép th, s kin và xác sut s kin • Ví d: o Ma là mt hin tng khí tng. Vic quan trc hin tng này cng là mt phép th. • S kt cc ca phép th này có th là o 2 kt cc: “không ma” hoc “có ma” o 3 kt cc: “không ma”, “ma dng lng” hoc “ma hn hp” (lng và rn) • Nói chung cn phân bit rõ ba khái nim: “Phép th”, “kt cc” và “s kin” 10:07:29
5. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.1 Phép th, s kin và xác sut s kin • Tu theo tính cht xut hin ca các s kin trong phép th mà ta có th chia chúng ra ba loi: o S kin tt yu (hay s kin chc chn) là s kin nht thit xy ra khi phép th c thc hin o S kin bt kh (hay s kin không th có) là s kin nht thit không xy ra khi thc hin phép th o S kin ngu nhiên là s kin có th xy ra nhng cng có th không xy ra khi thc hin phép th • Ký hiu: o U là s kin tt yu o V là s kin bt kh o A là s kin ngu nhiên 10:07:29
6. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.1 Phép th, s kin và xác sut s kin • Ví d: o Gieo mt im ngu nhiên lên mt phng, khi ó: • im ónm trong mt phng là s kin tt yu • im ókhông nm trong mt phng là s kin bt kh • im ó ri vào mt min hình ch nht cho trc trên mt phng là s kin ngu nhiên o Tin hành o nhit Hà Ni vào mt ngày mùa hè: • Nhit o c có giá tr >0oC là s kin tt yu • Nhit o c có giá tr <0oC là s kin bt kh • Nhit o c nm trong khong 25-30oC là s kin ngu nhiên 10:07:29
7. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.1 Phép th, s kin và xác sut s kin • Quan sát các s kin ngu nhiên ta thy: o kh nng xut hin ca chúng nói chung không ng u, o mt s s kin thng hay xy ra, o mt s khác thng ít xy ra. • Ví d, v mùa ông khu vc vùng núi phía Bc “nhit thng di 15 ”, nhng “rt ít khi xut hin sng mui” • ny sinh vn tìm cách o lng “ chc chn” ca mt s kin o Tìm cách gán cho mi s kin mt s P(A) không âm. o S này c gi là xác sut ca s kin A. 10:07:29
8. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.1 Phép th, s kin và xác sut s kin • phù hp vi ni dung thc o “ chc chn” ca s kin, xác sut P(A) phi c xây dng sao cho tho mãn các òi hi hp lý sau: o Xác sut ca s kin tt yu U bng 1: P(U) = 1 (vì s kin chc chn 100% xy ra). o Xác sut ca s kin bt kh V bng 0: P(V) = 0 (chc chn 100% không xy ra). o Xác sut ca s kin ngu nhiên A b kp gia 0 và 1: 0P(A) 1 10:07:29
9. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.2 Cách tính xác sut theo quan nim ng kh nng • Xét ví d: o Trong mt thùng kín ng n qu cu ging nhau v mi mt và ch khác nhau v màu sc, trong ócóm qu trng và n-m qu en. Thc hin phép th: rút hú ho 1 qu. Hi xác sut rút c qu trng là bao nhiêu? o Nhn thy: Khi tin hành rút hú ha mt qu, mi qu cu bt k trong s n qu u có th c rút trúng, không phân bit màu sc o Nói cách khác: Do tính i xng hoàn toàn ca các qu cu nên mi qu u có cùng kh nng c rút nh nhau 10:07:29
10. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.2 Cách tính xác sut theo quan nim ng kh nng o Nu gi A là s kin rút c qu có màu trng thì trong s n kt thúc ng kh nng ca phép th có m kt cc thun li cho A m o Khi ó xác sut P(A) ca s kin A s c tính bi: P(A) n • nh ngha: Gi s mt phép th có tt c n kt cc ng kh nng, trong ócóm két cc thun li cho s kin A. Khi óxác sut ca A là t s gia s kt cc thun li cho A trên tng s kt cc ng kh nng ca phép th m(Sô kêt cucthuânloi cho A) m P(A) n(Tông sô kêt cuc ông kha nn) n o Ngi ta gi ây là nh ngha xác sut theo quan nim ng kh nng, hay “nh ngha c in” ca xác sut vì nó rt thông dng trong thi k ra i ca lý thuyt xác sut 10:07:29
11. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.2 Cách tính xác sut theo quan nim ng kh nng o Nu A là s kin chc chn U thì mi kt cc ng kh nng ca n P(U ) 1 phép th u thích hp cho A nên m = n, do ó n o Nu A là s kin bt kh V thì không có kt cc thích hp nào 0 cho A nên m = 0, do ó P(V ) 0 n o Nu A là s kin bt k thì 0 m n nên 0 P(A) 1 o Cách tính xác sut theo công thc c in có u im là n gin và trc quan o Tuy nhiên phm vi áp dng rt hn ch vì công thc này ch dùng c cho loi phép th gm mt s hu hn kt cc và mi kt cc ng kh nng xut hin. o Khi vn dng tính m và n, tr các trng hp gin n, thng phi dùng công c gii tích t hp 10:07:29
12. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.2 Cách tính xác sut theo quan nim ng kh nng Mt s ví d: • VD1: Gieo mt con xúc xc. Hi xác sut xut hin: a). Mt 6 chm; b). Mt bi ca 3 o Gii: Gi A là s kin xut hin mt 6 chm, B là s kin xut hin mt bi ca 3, o S kt cc kh nng n = 6, o s kt cc thun li cho A là m = 1, s kt cc thun li cho B là m = 2 (mt 3 và mt 6). o Do ó P(A) = 1/6; P(B) = 2/6 =1/3 10:07:29
13. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.2 Cách tính xác sut theo quan nim ng kh nng • VD 2: Trong mt thùng có 3 qu cu trng và 5 qu cu en ging ht nhau v kính thc. Rút hú ho 2 qu t thùng ó. Tính xác sut xut hin: a) 2 qu trng; b) 1 qu trng và 1 qu en o Gii: Gi A là s kin xut hin 2 qu trng, B là s kin xut hin mt qu trng và mt qu en o Tng s qu cu trong thùng là: 3+5 = 8. Coi các qu cu này nh 8 phn t ã cho. o Mi cách rút 2 qu cu ng vi vic chn mt t hp chp 2 t 8 phn t. 2 Vy có tt c n = C8 kt cc ng kh nng. o S kt cc thun li cho A là nhng cách chn 2 trong s 3 qu trng. Vì vy 2 2 2 mA = C3 . T ó P(A) = mA/n = C3 /C8 = 3/28 1 1 o S cách chn qu trng là C3 , s cách chn qu en là C5 . Do ós kt cc 1 1 1 1 2 thun li cho B là mB = C3 .C5 . Vy P(B) = mB/n = C3 .C5 /C8 = 15/28 10:07:29
14. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.2 Cách tính xác sut theo quan nim ng kh nng • VD 3: Trong s N bài thi có M bài t t im khá tr lên. Rút ngu nhiên n bài nhp im. Tính xác sut trong n bài c rút có m (m<n) bài t t im khá tr lên. o Gii: Gi A là s kin trong s n bài c rút có m bài t t im khá tr lên. n o S kt cc ng kh nng chính là s cách chn n t N bài: CN o S kt cc thun li cho A chính là tích ca s cách chn m (bài t im khá tr lên) t M kt hp vi s cách chn n-m (bài m n-m không t im khá) t N-M tc CM .CN-M m n-m n o Vy P(A) = CM .CN-M / CN 10:07:29
15. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo tn sut • nh ngha c in ca xác sut ch áp dng c khi phép th có mt s hu hn kt cc ng kh nng • Thc t thng gp nhng phép th không có tính cht ó • Chng hn phép th bn mt phát n vào bia thì các kt cc trúng bia hay trt không th coi là ng kh nng xut hin • khc phc hn ch óca nh ngha c in và tính c xác sut ca s kin cho mt phép th rng ln, ngi ta a vào nh ngha xác sut theo quan im thng kê • Khái nim c bn a ti nh ngha này là khái nim tn sut 10:07:29
16. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo tn sut • Gi s tin hành N phép th cùng loi, trong mi phép th có th xut hin s kin A, • Gi M là s các phép th quan sát thy A xut hin • Khi ót s M/N c gi là tn sut xut hin s kin A trong lot phép th ã c tin hành M P(A) N • Ví d: ánh giá cht lng sn phNm ca mt phân xng, ngi ta ly hú ha t kho 100 sn phNm và tin hành kim tra. Kt qu là có 7 sn phNm không t tiêu chuNn cht lng. Vy tn sut xut hin ph phNm ca phân xng là p(A) = 7/100 = 0.7 10:07:29
17. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo tn sut • Tính cht: o Tr s ca tn sut nói chung ph thuc vào s lng N phép th c tin hành. o Khi N bé, tn sut thay i rõ rt nu ta chuyn t lot N phép th này sang lot N phép th khác. o Tuy nhiên thc nghim chng t rng, tn sut có tính n nh, ngha là khi s phép th N khá ln thì tr s ca tn sut bin thiên rt ít xung quanh mt hng s xác nh nào ó o i vi các phép th thuc mu “thùng kín”, hng s này trùng vi xác sut tính theo công thc c in • nh ngha thng kê ca xác sut: Xác sut ca s kin là tr s n nh ca tn sut khi s phép th tng lên vô hn 10:07:29
18. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo tn sut • Tính n nh ca tn sut khi s phép th ln c xác minh bng nhiu thí nghim công phu ca các nhà nghiên cu: o Laplace (th k XVIII) theo dõi các bng thng kê toàn nc Pháp và các thành ph London, Peterbur, Berlin, ã tìm thy tn sut sinh con trai bng 22/430,542 o n th k XX, nhà toán hc Thu in Crame cng nhn thy tr s này rt gn vi tn sut sinh con trai nm 1935 ti Thu in • ng dng: o Xác nh kích c qun áo may sn hoc các dùng gia ình o Xác nh qui lut hot ng ca ti phm trong iu tra hình s o Chn thi im phát sóng truyn tin qua các tng in ly o N ghiên cu công hiu ca thuc men cha bnh o Trong Khí tng Thy vn ? 10:07:29
19. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo hình hc • nh ngha thng kê ca xác sut ã khc phc c mt s hn ch ca nh ngha xác sut c in: o Các kt cc không ng kh nng xut hin o S kt cc quá ln • Tuy vy trong trng hp s kt cc là vô hn thì nh ngha này cng không phù hp • Bi vy, ngi ta a vào nh ngha xác sut theo hình hc 10:07:29
20. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo hình hc • Xét phép th có vô hn kt cc ng kh nng • Gi s có th biu th tp hp kt cc này bi mt min hình hc G nào ó: o mt on thng mt min phng, o mt mnh mt cong hay mt khi không gian v.v ; • Gi s có th biu th nhng kt cc thun li cho s kin A bi các im thuc min g G • Khi ó, xác sut ca s kin A c tính nh sau: P(A) = (Kích thc ca min g)/(Kích thc ca min G) 10:07:29
21. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo hình hc • Ví d (Bài toán gp g): Hai ngi hn gp nhau ti mt a im xác nh trong khong t 0 gi n 1 gi và qui c vi nhau rng ngi n trc ch ngi kia quá 20 phút thì s b i. Tính xác sut h gp nhau, bit rng mi ngi có th n ch hn vào mt thi im bt k trong khong thi gian trên. o Gii: Gi A là s kin hai ngi gp nhau o Gi x và y (phút) tng ng là thi im n im hn ca ngi th nht và ngi th hai o S kt cc ng kh nng chính là mi cp s (x,y) mà 0 x 60, 0 y 60 o Tp hp này c biu din bi mt hình vuông có cnh bng 60 o Các kt cc thun li cho A là nhng cp (x,y) sao cho |x-y|20, hay y x 20 20 x y 20 y x 20 o Tp hp này ng vi min con ca hình vuông gm gia các ng thng y = x + 20 và y = x - 20 10:07:29
22. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo hình hc R J Q S P(A) OHIQJK 20 x y 20 S OPQR I 60 60 40 40 P(A) K 60 60 y x 20 3600 1600 2000 5 OP 3600 3600 9 H y x 20 10:07:29
23. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.3 nh ngha xác sut theo hình hc Chú ý: • Vi nh ngha xác sut này, mt s kin có xác sut bng 0 vn có th xy ra • Ví d: Trên mt phng ngang v mt vòng tròn trong ó ánh du mt im M. ng t xa phóng lao vào min vòng tròn. Tính xác sut lao phóng trúng im M. o Trong trng hp này, din tích ca min g bng 0, do óxác sut tính c s bng 0. N hng trên thc t vn có th phóng trúng im M ã cho, tc s kin vn có th xy ra. 10:07:29
24. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.4 Quan h gia các s kin • Các s kin trong mt phép th thng liên quan vi nhau bi các quan h sau ây: A B o Quan h kéo theo: S kin A xut hin nht thit s kin B xut hin. Trong trng hp này ta nói s kin A kéo theo s kin B, hoc A là trng hp riêng ca B. Ký hiu A B, hay A là tp con ca B o Quan h tng ng: ng thi s kin A kéo theo s kin B và B kéo theo A, tc AB và BA. Ta nói A B A và B là các s kin tng ng. Ký hiu A=B o Tng ca hai s kin: Tng ca hai s kin A và B là mt s kin c ký hiu là AB (hay A + B), sao A+B cho (A+B) xy ra khi và ch khi hoc A xy ra hoc B xy ra (nói cách khác: khi và ch khi ít nht mt trong hai s kin A và B xy ra) A o Tích ca hai s kin: Tích ca hai s kin A và B là AB B mt s kin c ký hiu là AB (hay AB), sao cho s kin tích AB xy ra khi và ch khi c A và B cùng xy ra 10:07:29
25. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.4 Quan h gia các s kin o Hai s kin xung khc: A và B c gi là xung khc nu A xut hin thì B không xut hin và ngc li, A B hay AB = V o Hiu ca hai s kin: Hiu ca s kin A và s kin B, ký hiu là A\B, là s kin xy ra khi A xy ra nhng B không xy ra A B o S kin i lp: Trong trng hp hiu ca hai s kin A và B, nu A là s kin chc chn, A=U thì s kin A\B=U\B c gi là s kin i lp ca s kin B, ký hiu là B A\B B U \ B • N hn xét: Ta có th m rng các khái nim trên cho trng hp nhiu s kin, chng hn tng ca nhiu s kin, tích ca nhiu s kin, 10:07:29
26. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.4 Quan h gia các s kin o Các s kin A1, A2, A3, An c gi là hp thành nhóm y nu chúng xung khc tng ôi mt và nht thit mt trong chúng phi xy ra (tc tng ca chúng là s kin chc chn): AiAj = V, ij A1+A2+ +An = U • Ví d: o Gi Ei là s kin xut hin mt i trong phép th gieo mt con xúc xc (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Khi ócác s kin Ei (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) hp thành nhóm y các s kin o Hai ngi cùng bn vào mt mc tiêu, mi ngi bn mt phát. Gi Ai là s kin ngi th i bn trúng mc tiêu, ta có: - S kin ch ngi th nht bn trúng: A1 A2 - S kin có mt ngi bn trúng: A1 A2 A1A2 - S kin có ít nht mt ngi bn trúng: A1 A2 - S kin c hai ngi bn trúng: A1A2 - S kin không có ai bn trúng: A1 A2 10:07:29
27. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.5 Xác sut ca tng các s kin (Công thc cng XS) A+B o nh lý: Xác sut ca tng hai s kin A và B c xác nh bi: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A AB B o Chng minh: S dng nh ngha xác sut c in. • Gi s s kt cc ng kh nng (s trng hp có th có ca phép th) là n. • S kt cc thun li cho A là nA • S kt cc thun li cho B là nB • S kt cc thun li cho AB là nAB • S kt cc thun li cho A+B s là nA+nB-nAB • Vy n n n n n n P(A B) A B AB A B AB P(A) P(B) P(AB) n n n n P(A B) P(A) P(B) P(AB) 10:07:29
28. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.5 Xác sut ca tng các s kin (Công thc cng XS) o N u A và B xung khc vi nhau: AB=V, do óP(AB)=P(V)=0 P(A+B) = P(A) + P(B) P(A A) P(A) P(A) P(U ) 1 o i vi hai s kin i lp: P(A) 1 P(A) o Trong trng hp tng ca ba s kin: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) o N u các s kin A, B, C xung khc vi nhau tng ôi mt: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) 10:07:29
29. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.5 Xác sut ca tng các s kin (Công thc cng XS) • Ví d: Mt kho v khí ca ch gm 3 nhà: nhà s 1 cha bom, nhà s 2 cha xng và nhà s 3 cha các v khí không gây cháy. Xác sut bn trúng nhà s 1, 2, 3 ca mt phát n pháo tng ng là 10%, 15%, 20%. Tính xác sut phá hu toàn kho bi phát n pháo ó, bit rng mun phá hu toàn b kho ch cn bn trúng vào nhà s 1 hoc nhà s 2. • Gii: Gi Ai là s kin bn trúng nhà s i (i = 1, 2, 3, ). - Theo u bài, s kin A1 + A2 là s kin phá hu toàn b kho bi phát n. - Vì A1, A2 xung khc nên: P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) = 0,10 + 0,15 =0,25 10:07:29
30. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.6 Xác sut có iu kin. Công thc nhân XS • Ví d dn: o Mt b vé s gm 5 vé, trong ó có 2 vé trúng thng. Hai ngi mua ln lt rút mi ngi mt vé. Xác sut trúng thng ca mi ngi? - Xác sut ngi thú nht trúng thng: P(A) = 2/5 - Xác sut ngi th hai: Ph thuc vào kt qu ca ngi th nht: - N u ngi th nht không trúng thng: Xác sut = 2/4 - N u ngi th nht trúng thng: Xác sut = 1/4 • nh ngha. Xác sut ca s kin A c tính vi gi thit s kin B ã xy ra c gi là xác sut có iu kin ca A vi iu kin B, ký hiu là P(A/B) - Các xác sut P(A), P(B) c gi là xác sut không iu kin 10:07:29
31. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.6 Xác sut có iu kin. Công thc nhân XS • Ví d: o Mt b vé s gm 5 vé, trong ó có 2 vé trúng thng. Hai ngi mua ln lt rút mi ngi mt vé. Xác sut trúng thng ca mi ngi? - Gi s kin ngi th nht trúng thng là A, ngi th hai là B - Xác sut ngi th nht trúng thng: P(A) = 2/5 - Xác sut ngi th hai: P(B / A) 1/ 4 P(B / A) 2 / 4 1/ 2 10:07:29
32. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.6 Xác sut có iu kin. Công thc nhân XS • nh lý nhân xác sut: Xác sut ca tích hai s kin bng tích xác sut ca mt trong chúng nhân vi xác sut có iu kin, vi gi thit s kin kia ã xy ra P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) o Chng minh: Gi • S kt cc ng kh nng là n • S kt cc thun li cho B là nB • S kt cc thun li cho c A và B (s kin AB) là nAB • Vì B ã xy ra nên s kt cc ng kh nng ca s kin A/B s là nB, do ó: n n / n P(AB) P(A/ B) AB AB nB nB / n P(B) o P(AB) P(B)P(A/ B) P(AB) P(A)P(B / A) 10:07:29
33. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.6 Xác sut có iu kin. Công thc nhân XS • Tính cht ca xác sut có iu kin o 0 P(A/B) 1 o P(B/B) = 1 o Nu AC = V thì P(A+C/B) = P(A/B) + P(C/B) o P(A/ B) 1 P(A/ B) • Các s kin c lp: Hai s kin A và B c gi là c lp vi nhau nu s xut hin ca s kin A không nh hng n xác sut xut hin ca s kin B và ngc li P(A/B) = P(A) hoc P(B/A) = P(B) • H qu: Xác sut ca tích hai s kin c lp bng tích xác sut ca chúng: P(AB) = P(A).P(B) 10:07:29
34. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.6 Xác sut có iu kin. Công thc nhân XS • Tng quát: o nh ngha 1. Các s kin A1, A2, An c gi là c lp tng ôi mt nu P(Ai/Aj) = P(Ai) (i, j = 1,2,3, n; i j), nói cách khác, nu mi cp s kin trong chúng là c lp o nh ngha 2. Các s kin A1,A2, An c gi là c lp trên toàn th (c lp tng h) nu mi s kin trong chúng c lp vi tích ca mt s bt k trong các s kin còn li, tc là: P(Ak/Ai1 Ai2, Air) = P(Ak) trong óAi1, , Air là r s kin khác Ak trong s n s kin ã cho o Xác sut ca tích n s kin: P(A1A2 An) = P(A1)P(A2/A1) P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An-1) o Khi các s kin Ai (i = 1,2, n) c lp tng h P(A1A2 An) = P(A1)P(A2) P(An) 10:07:29
35. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.6 Xác sut có iu kin. Công thc nhân XS • Ví d 1. Trong thùng có 10 qu cu, trong ó 3 qu màu trng, 7 qu màu en. Bc hú ho hai ln, mi ln mt qu. Tính xác sut ln th nht bc c qu trng, ln th hai c qu en. o Gii: Gi A là s kin ln th nht bc c qu trng, B là s kin ln th hai bc c qu en. Ta phi tính xác sut P(AB). Ta có P(AB) = P(A)P(B/A) = 3/10 x 7/9 = 7/30 • Ví d 2. Hai ngi cùng bn vào mt mc tiêu. Xác sut ngi th nht bn trúng ích là 0.7, ngi th hai là 0.8. Tính xác sut ít nht có mt ngi bn trúng ích. o Gii: Gi A là s kin ngi th nht bn trúng ích, B là s kin ngi th hai bn trúng ích. S kin có ít nht mt ngi bn trúng ích s là A+B. Ta phi tính xác sut P(A+B). -Ta có: P(A+B) = P(A) + P(B) -P(AB). Theo gi thit, P(A)=0.7, P(B)=0.8, mt khác vì A và B là hai s kin c lp nên P(AB)=P(A).P(B)=0.56. -Vy: P(A+B) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94 10:07:29
36. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.6 Xác sut có iu kin. Công thc nhân XS • Ví d 2. Hai ngi cùng bn vào mt mc tiêu. Xác sut ngi th nht bn trúng ích là 0.7, ngi th hai là 0.8. Tính xác sut ít nht có mt ngi bn trúng ích. o Mt cách gii khác: S kin “ít nht có mt ngi bn trúng ích” là i lp vi s kin “c hai ngi u bn trt”. N gha là A B U \ AB hay P(A B) 1 P(AB) o Mt khác: P(AB) P(A)P(B) (1 P(A))(1 P(B)) P(AB) 0.3 0.2 0.06 o Vy P(A+B) = 1-0.06 = 0.94 10:07:29
37. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.7 Công thc xác sut toàn phn và công thc Bayes • Gi s A1, A2, ,An là mt nhóm y các kin kin xung khc và B là mt s kin bt k nào ó xy ra trên nn các s kin Ai, nói cách khác B xy ra ch khi mt trong các Ai xy ra. • Cho bit các xác sut P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2 n). Khi ó xác sut ca s kin B c xác nh bi: n P(B) P(Ai )P(B / Ai ) i1 o Ta gi ây là công thc xác sut toàn phn hay công thc xác sut y o Công thc xác sut toàn phn cho phép tính xác sut ca B theo các xác sut không iu kin P(Ai) và các xác sut có iu kin P(B/Ai) (i = 1,2, n) • Có th chng minh công thc này nh sau 10:07:29
38. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.7 Công thc xác sut toàn phn và công thc Bayes • A1, A2, ,An là nhóm y các kin kin xung khc nên Ai = U • B xy ra ch khi mt trong các Ai xy ra nên B=BU, hay B = B(AB( 1+A2+ +An) = BA1+BA2+ +BAn • Vì các A1, A2, ,An xung khc nên các BA1, BA2, , BAn cng là nhóm y các s kin xung khc n • Do ó: A P(B) P(BA ) 2 A3 i A i1 1 BA2 B BA3 BA • Mt khác: P(BAi ) P(Ai )P(B / Ai ) 1 BA4 BA5 n n A4 A5 • Vy P(B) P(BAi ) P(Ai )P(B / Ai ) i1 i1 10:07:29
39. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.7 Công thc xác sut toàn phn và công thc Bayes • Ví d: S liu khí tng ca trm X c o c bi ba quan trc viên QTV1, QTV2 và QTV3. Do tính cht công vic, QTV1 ch m nhn 20% khi lng công vic, QTV2 m nhn 30% khi lng công vic, 50% còn li do QTV3 m nhn. Xác sut xy ra sai s do QTV1, QTV2 và QTV3 o c tng ng là 0.4%, 0.3% và 0.1%. Tính xác sut xy ra sai s chung ca s liu cung cp bi trm X. • Gii: o Gi A1, A2, A3 tng ng là các s kin s liu c tin hành kim tra do QTV1, QTV2, QTV3 o c. o Gi B là s kin s liu c kim tra có cha sai s o Ta có: P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.3, PA3) = 0.5, o P(B/A1) = 0.004, P(B/A2) = 0.003, P(B/A3) = 0.001, o Vy P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) = 0.2x0.004 + 0.3x0.003 + 0.5x0.001 = 0.0008+0.0009+0.0005=0.0022 = 0.22% 10:07:29
40. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.7 Công thc xác sut toàn phn và công thc Bayes • Gi s A1, A2, ,An là mt nhóm y các kin kin xung khc và B là mt s kin bt k nào ó xy ra trên nn các s kin Ai, nói cách khác B xy ra ch khi mt trong các Ai xy ra. • Cho bit các xác sut P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2 n). Khi ó xác sut có iu kin ca s kin Ai vi iu kin B c xác nh bi: P(Ai )P(B / Ai ) P(Ai / B) n P(Ai )P(B / Ai ) i1 o ây c gi là công thc Bayes • Có th chng minh công thc này nh sau: P(Ai )P(B / Ai ) P(Ai )P(B / Ai ) P(Ai / B) n P(Ai )P(B / Ai ) P(B)P(Ai / B) P(B) P(Ai )P(B / Ai ) i1 10:07:29
41. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.7 Công thc xác sut toàn phn và công thc Bayes • Công thc Bayes c ng dng rt nhiu trong khí tng thy vn • Có th phát biu dng bài toán tng quát nh sau: • Gi s A1, A2, ,An là mt nhóm y các kin kin xung khc và B là mt s kin nào ó xy ra trên nn các s kin Ai. Bit rng B ã xy ra. Cho bit các xác sut P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1, 2, , n). • Hãy xác nh: Trong s các s kin A1, A2, ,An, s kin nào có kh nng xy ra nhiu nht. o Gii bài toán này ng ngha vi vic tính các xác sut có iu kin P(Ai/B) và tìm giá tr ln nht ca chúng o Li gii cui cùng s là MAX {P(Ai/B), i=1,2, , n} 10:07:29
42. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.7 Công thc xác sut toàn phn và công thc Bayes • Ví d: Tr li vi bài toán ng dng công thc xác sut toàn phn • S liu khí tng ca trm X c o c bi ba quan trc viên QTV1, QTV2 và QTV3. Do tính cht công vic, QTV1 ch m nhn 20% khi lng công vic, QTV2 m nhn 30% khi lng công vic, 50% còn li do QTV3 m nhn. Xác sut xy ra sai s do QTV1, QTV2 và QTV3 o c tng ng là 0.4%, 0.3% và 0.1%. Tin hành kim tra ngu nhiên mt tp s liu ngi ta phát hin thy trong tp này có cha sai s. Hi kh nng tp s liu này do ai quan trc? • Gii: o Tr li câu hi có ngha là phi tính c các xác sut P(A1/B), P(A2/B), P(A3/B). 10:07:29
43. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.7 Công thc xác sut toàn phn và công thc Bayes o Gi A1, A2, A3 tng ng là các s kin s liu c tin hành kim tra do QTV1, QTV2, QTV3 o c. o Gi B là s kin s liu c kim tra có cha sai s o Ta có: P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.3, PA3) = 0.5, o P(B/A1) = 0.004, P(B/A2) = 0.003, P(B/A3) = 0.001, o P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) = 0.2x0.004 + 0.3x0.003 + 0.5x0.001 = 0.0008+0.0009+0.0005=0.0022 = 0.22% o P(A1/B) = P(A1)P(B/A1)/P(B) = 0.2x0.004/0.0022 = 0.0008/0.0022= 8/22 o P(A2/B) = P(A2)P(B/A2)/P(B) = 0.3x0.003/0.0022 = 0.0009/0.0022= 9/22 o P(A3/B) = P(A3)P(B/A3)/P(B) = 0.5x0.001/0.0022 = 0.0005/0.0022= 5/22 o Vy P(A2/B) = MAX {P(Ai/B), i=1,2,3} = 9/22 Kt lun: • Kh nng ln nht tp s liu có cha sai s là do QTV2 o c 10:07:29
44. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.8 Dãy phép th c lp (Dãy phép th Bernoulli) • nh ngha: Tin hành n phép th c lp. Dãy phép th này c gi là dãy phép th Bernoulli (hoc lc Bernoulli) nu nó tha mãn các iu kin: o Mi phép th ch có hai kt cc là A và A o Xác sut xut hin A mi phép th không i, bng P(A)=p, và không ph thuc vào ch s phép th • Ví d: o Gieo ng tin 100 ln vi cách thc nh nhau. ólàmt dãy phép th Bernoulli (n=100, A là s kin xut hin mt sp) o Mt ngi bn ln lt 20 viên n vào mt mc tiêu bng mt khNu súng (n=20, A là s kin bn trúng mc tiêu) o Quan trc hin tng ma phùn tng ngày trong mt tháng giêng (n=31, A là s kin ma phùn xut hin trong ngày) 10:07:29
45. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.8 Dãy phép th c lp (Dãy phép th Bernoulli) • Bài toán: Tin hành dãy n phép th Bernoulli. Tính xác sut trong n ln th ós kin A xut hin k ln. • Gii: o N u ln th th i nào óA xut hin ta ghi ch A, còn A không xut hin ta ghi ch A o N h vy, kt qu có th có ca n ln th là mt dãy gm k ch A và (n-k) ch A AA AA k lân A,(nk )lân A o Do tính c lp ca các phép th, nên vi 1 cách sp xp c nh k ch A và (n-k) ch A ta có xác sut tng ng là pk.(1-p)n-k o Vì s cách sp xp k ch A trong n v trí chính bng t hp chp k ca n, nên xác sut cn tìm s là: k k nk Pn (k) Cn p (1 p) Ngi ta gi ây là công thc Bernoulli 10:07:29
46. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.8 Dãy phép th c lp (Dãy phép th Bernoulli) • S ln xut hin chc chn nht (s có kh nng nht): Ví d dn: Ta xét ví d sau o Gieo mt ng tin 5 ln. Gi A là s kin ng tin xut hin mt sp. Vy P(A) = 0.5 o S ln xut hin mt sp trong 5 ln gieo có th là k=0,1,2,3,4,5 o Áp dng công thc k k nk Pn (k) Cn p (1 p) o ta c k 0 1 2 3 4 5 P5(k) 0.0313 0.1563 0.3125 0.3125 0.1563 0.0313 o N hn xét: Trong các trng hp trên, xác sut xut hin mt sp 2 ln và 3 ln là ln nht o Các s ó c gi là s ln xut hin chc chn nht, hay s có kh nng nht 10:07:29
47. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.8 Dãy phép th c lp (Dãy phép th Bernoulli) • S ln xut hin chc chn nht (s có kh nng nht): o Trong dãy phép th Bernpulli, khi n c nh, tr s ca xác sut Pn(k) nói chung ph thuc vào k o Trong tt c các tr s ca k có nhng giá tr k = k0 mà ng vi nó xác sut Pn(k) t giá tr ln nht o S k0 ó c gi là s ln xut hin chc chn nht (hay s có kh nng nht) ca s kin A trong dãy n phép th ã cho o xác nh giá tr k0 ta xem Pn(k) nh là hàm ca i s t nhiên k và xét dáng hiu bin thiên ca Pn(k) ri t ótìm ra k0 o Lp t s: k1 k1 nk1 Pn (k 1) Cn p (1 p) k k nk Pn (k) Cn p (1 p) n! k!(n k)! p (n k) p (k 1)!(n k 1)! n! (1 p) (k 1)(1 p) 10:07:29
48. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.8 Dãy phép th c lp (Dãy phép th Bernoulli) • S ln xut hin chc chn nht (s có kh nng nht): P (k 1) (n k) p n Pn (k) (k 1)(1 p) o T ó: o Pn(k + 1) > Pn(k) khi (n-k)p>(k+1)(p-1), tc là khi k np+p-1 o Khi k tng t 0 n n, hàm Pn(k) lúc u tng theo k, sau ó t cc i ri gim dn o N u np+p-1 là mt s nguyên thì Pn(k) t hai cc i k0=np+p-1 và k0=np+p o N u np-q không phi là s nguyên thì Pn(k) t cc i ti k0 là s nguyên bé nht ln hn (np+p-1), ngha là phn nguyên ca s np+p = p(n+1) 10:07:29
49. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.8 Dãy phép th c lp (Dãy phép th Bernoulli) • M rng ng dng ca công thc Bernoulli: o ng dng công thc Bernoulli trên ây ta tính c xác sut xut hin k ln trong n ln th, Pn(k) o Trong nhiu trng hp ngoài xác sut Pn(k) ta còn phi tính xác sut sao cho trong n phép th c lp, s kin A xut hin mt s bt k gm gia k1 và k2 (0 k1 k k2 n) o Ký hiu xác sut này là Pn(k1,k2) ta s xác nh công thc tính nh sau o Gi Bk là s kin trong n ln th A xut hin k ln o Gi H là s kin trong n ln th A xut hin trong khong k1 n k2 ln o Ta có k2 H Bk kk1 k2 k2 k k nk o Vì các Bk là xung khc nên: P(k1,k2 ) P(H ) P(Bk ) Cn p (1 p) kk1 kk1 10:07:29
50. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.8 Dãy phép th c lp (Dãy phép th Bernoulli) • M rng ng dng ca công thc Bernoulli: o Ví d: Bn 5 phát súng vào mt mc tiêu, xác sut trúng ích ca mi phát bng 0,2. phá hu mc tiêu phi cn t 3 phát tr lên trúng ích. Tính xác sut mc tiêu b phá hy. o Gii: S kin A: bn trúng mc tiêu, P(A)=p=0.2 o S kin H, mc tiêu b phá hy, chính là s kin có hoc 3, hoc 4, hoc 5 phát bn trúng mc tiêu, tc là hoc B3 hoc B4 hoc B5 xy ra (k1=3, k2=5) o H = B3 + B4 + B5 o Do ó 5 5 k k nk P(H ) P(3,5) P(Bk ) C5 p (1 p) k3 k3 3 3 2 4 4 1 5 5 0 P(H ) C5 (0.2) (0.8) C5 (0.2) (0.8) C5 (0.2) (0.8) 0.0579 10:07:29
51. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.9 Các nh lý gii hn • nh lý gii hn a phng Moivres–Laplace • N u trong mi phép th Bernoulli s kin A xut hin vi xác sut p (0<p<1) thì khi n ta có (knp)2 1 2npq limPn (k) e 0 n 2npq 1 N gha là khi n ln ta có P (k) (x ) n npq 0 1 1 x2 knp Vi (x) e 2 x 2 0 npq 10:07:29
52. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.9 Các nh lý gii hn • nh lý gii hn a phng Moivres–Laplace • Ví d: Thc hin 400 phép th Bernoulli. Xác sut xut hin s kin A trong mi phép th p=0.2. Tính xác sut A xuât hin 80 ln • Gii: N hn thy rng nu s dng công thc Bernoulli s không th tính c bng phng pháp thông thng. ây n khá ln do óta áp dng nh lý Moivres–Lapcae 1 knp 804000.2 P (80) (x ) x 0 400 400 0.2 0.8 0 0 npq 4000.20.8 1 (x ) (0) 0.3989 0 2 0.3989 0.3989 P (80) 0.0499 400 400 0.2 0.8 8 10:07:29
53. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.9 Các nh lý gii hn • nh lý gii hn trung tâm • N u trong mi phép th Bernoulli s kin A xut hin vi xác sut p (0<p<1) thì khi n ta có x 1 2 t2 1 2 limPn (k1,k2 ) e dt 0 n 2 x1 k1np k2 np Vi x , x 1 npq 2 npq x 1 1 2 t2 N gha là khi n ln ta có P (k ,k ) e 2 dt (x ) (x ) n 1 2 2 2 1 x1 x 1 1 t2 Trong ó (x) e 2 dt là hàm Laplace 2 0 10:07:29
54. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.9 Các nh lý gii hn • nh lý gii hn trung tâm • Ví d: Xác sut bn trúng ích ca mt x th là p=0.75. Tính xác sut vi 100 phát có 81 phát tr lên trúng ích. Gii: n 100,k 81 P100 (81,100) (x2 ) (x1) 811000.75 1001000.75 x 1.38, x 5.77 1 1000.750.25 2 1000.750.25 (1.38) 0.4162, (5.77) 0.5 P100 (81,100) (5.77) (1.38) 0.5 0.4162 0.0838 10:07:29
55. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.9 Các nh lý gii hn • nh lý Poisson • N u trong mi phép th Bernoulli s kin A xut hin vi xác sut p (0<p<1) thì khi n mà p0 sao cho np==const ta có: ek lim Pn (k) n k! k k nk • Chng minh: T công thc Bernoulli Pn (k) Cn p (1 p) k nk n(n 1) (n k 1) np p Pn (k) 1 n k! n n nk k n n 1 n 2 n (k 1) 1 k! n n n n n nk k 1 2 k 1 11 1 1 1 k! n n n n 10:07:29
56. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.9 Các nh lý gii hn • nh lý Poisson nk k 1 2 k 1 Pn (k) 11 1 1 1 k! n n n n • Ly gii hn khi n nk k 1 2 k 1 P (k) 1 1 1 1 1 lim n lim n k! n n n n n k nk k k e lim1 e k! n k! k! n ke Tham s c gi là P (k) P(k) n k! trung bình s ln xut hin 10:07:29
57. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT 2.9 Các nh lý gii hn • nh lý Poisson • Ví d: Sau khi kim tra cun sách 1000 trang ngi ta phát hin c 20 li chính t. Tính xác sut sao cho khi gi mt trang bt k s phát hin c o Có úng 2 li chính t o Có không ít hn hai li chính t 20 • Gii: S li trung bình trên mt trang sách là: 0.02 1000 e0.02 0.022 0.9802 0.0004 P(k 2) P(k) 0.000196 2! 2 P(k 2) 1 (P(k 0) P(k 1)) 1 P(0) P(1) e0.02 0.020 e0.02 0.021 1 1 e0.02 e0.02 0.02 0! 1! 1 0.9802 0.9802 0.02 0.000197 10:07:29
58. ChChngng 2.2. S KIN VÀ XÁC SUT HT CHN G 2 Which one would you like? 10:07:29