Toán học - Chương 5: Vi phân hàm một biến, sơ lược lý thuyết chuỗi số

Nội dung text: Toán học - Chương 5: Vi phân hàm một biến, sơ lược lý thuyết chuỗi số

1. Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chớ Minh Ngày 19 thỏng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
2. ễn tập Giới hạn Xem Calculus in 20 minutes". Hàm lượng giỏc ngược Xem trang 2 giỏo trỡnh. Danh sỏch hàm sơ cấp cơ bản Xem trang 1 giỏo trỡnh. Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nú là một sự kết hợp của cỏc hàm cơ bản. Lưu ý trường hợp dựng phộp chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xỏc định của hàm số Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
3. ễn tập (tt) Tớnh liờn tục của hàm số Định nghĩa: lim f pxq  f paq xẹa Hỡnh ảnh: Hàm liờn tục cú đồ thị được vẽ từ một nột bỳt. Mọi hàm sơ cấp đều liờn tục trờn miền xỏc định của nú. Đạo hàm Định nghĩa: p q Ă p q 1p q  f x f x0 f x0 limẹ x x0 x Ă x0 1 í nghĩa hỡnh học: f px0q chớnh là hệ số gúc của đường tiếp tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cỏch tớnh đạo hàm: Tự ụn Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
4. ễn tập (tt) Vi phõn dy  y 1pxqdx í nghĩa: Tớnh xấp xỉ. Đạo hàm và vi phõn bậc cao y 2  py 1q1, y 3  y 2 v.v í nghĩa: Xấp xỉ bậc cao hơn (Khai triển Taylor) Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
5. Tỡm cực trị một hàm số Vớ dụ Tỡm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu cú) của hàm số f pxq  Ă2x 3 3x 2 12x Ă 5 Lời giải: Bước 1f 1pxq  Ă6x 2 6x 12 Bước 2 Giải f 1pxq  0 ta được cỏc điểm dừng x  Ă1 hay x  2 Bước 3 Tại x  Ă1, f 1pxq đổi dấu từ - sang + nờn -1 là cực tiểu địa phương, cũn tại x  2, f 1pxq đổi dấu từ + sang - nờn 2 là cực đại địa phương. Lưu ý: Thay vỡ xột dấu f 1 gần điểm dừng, ta cú thể xột dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xỏc định cực trị địa phương. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
6. Đạo hàm của ẩn hàm Định nghĩa Hàm y  f pxq nhưng ta khụng biết f là gỡ, chỉ cú phương trỡnh tham số " x  xptq y  yptq trong đú t là một tham số. Trong cỏc bài dễ, ta cú thể khử biến t để cú cụng thức hàm f . Tuy nhiờn, trong phần lớn bài tập điều này khụng thực hiện được và ta sẽ thực hiện toàn bộ tớnh toỏn dựa vào phương trỡnh tham số. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
7. Đạo hàm của ẩn hàm (tt) Đạo hàm Cấp 1 dy y 1ptq y 1pxq   , @t P D dx x 1ptq Cấp 2 Â d y 1ptq dt x 1ptq y 2pxq  x 1ptq Vớ dụ Tớnh đạo hàm cấp 1 và 2 của " y  cos t t P r0, 2πs x  2 sin t Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
8. Một số hàm dựng trong Kinh tế Hàm cung - hàm cầu Cho mụ hỡnh một hàng húa độc lập. Gọi P là giỏ của hàng húa Hàm cung (supply function): Hàm tăng theo theo giỏ P: Qs  SpPq. Hàm cầu (demand function): Hàm giảm theo theo giỏ P: Qs  SpPq. Trong điều kiện lý tưởng, ta cú cõn bằng cung - cầu Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
9. Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố Vốn (capital) K Lượng lao động (labor) L Xem vớ dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K khụng đổi, khi đú hàm sản xuất chỉ cũn phụ thuộc L Q  QpLq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
10. Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Doanh thu - Chi phớ - Lợi nhuận Gọi Q là sản lượng. Khi đú Hàm doanh thu (Total revenue) TR  TRpQq. Hàm chi phớ (Total cost) TC  TCpQq Hàm lợi nhuận (profit) π  TRpQq Ă TCpQq Hàm tiờu dựng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập Hàm tiờu dựng (consumption): C  CpY q Hàm tiết kiệm (savings): S  SpY q Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
11. í nghĩa của đạo hàm Nhắc lại Đạo hàm bắt nguồn từ bài toỏn tỡm vận tốc tức thời (instantaneous velocity) của một vật chuyển động. Vận tốc này (đạo hàm của hàm khoảng cỏch) là giới hạn của vận tốc trung bỡnh (average velocity) í nghĩa hỡnh học: Đường tiếp tuyến (tangent line) là giới hạn của cỏt tuyến (secant line) khi 2 giao điểm tiến sỏt nhau dọc đồ thị. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
12. í nghĩa của đạo hàm (tt) Trong kinh tế Cho f pxq là một đại lượng thay đổi theo x. Khi đú, ∆f  f px ∆xq Ă f pxq là sự thay đổi của f khi x thay đổi một lượng ∆x. Tỉ số f px ∆xq Ă f pxq ∆x là tốc độ thay đổi trung bỡnh (average rate of change) của f so với x Khi ∆x rất nhỏ (∆x ẹ 0) thỡ tốc độ này tiến đến tốc độ thay đổi tức thời (instantaneous rate of change) của f so với x. f px ∆xq Ă f pxq f 1pxq  lim ∆xẹ0 ∆x Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
13. Giỏ trị cận biờn Trong Kinh tế, khi ∆x  1 thỡ sự thay đổi của y  f pxq cú thể được xấp xỉ bằng 1 1 ∆y  y px0q∆x  y px0q ∆y trong trường hợp này được gọi là giỏ trị cõn biờn (marginal value) của y Áp dụng vào cỏc hàm thường dựng ta cú marginal revenue, cost, production, consumption, savings etc. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
14. Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần Trong kinh tế, Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần (Law of diminishing returns) núi rằng trong quỏ trỡnh sản xuất phụ thuộc nhiều yếu tố, nếu ta chỉ tăng một yếu tố đầu vào trong khi cỏc yếu tố cũn lại khụng đổi thỡ đến một lỳc nào đú sản lượng cận biờn đầu ra sẽ giảm dần. Dưới gúc nhỡn của toỏn, sản lượng đầu ra y  f pxq cú đạo hàm bậc 2 thỏa y 2  f 2pxq Ô 0. í nghĩa hỡnh học: Tại vị trớ xảy ra hiện tượng này, hàm f lồi. Lưu ý: Đừng nhầm lẫn với tăng trưởng õm (negative returns) khi y 1  f 1pxq Ô 0 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
15. Hệ số co gión Độ thay đổi tuyệt đối - tương đối Cho một đại lượng x ∆x: Độ thay đổi tuyệt đối ∆x : Độ thay đổi tương đối (relative) thường tớnh bằng %. x Hệ số co gión (Elasticity) Cho y là một hàm theo x. Hệ số co gión của y là dy 1p q p q  dx  y x yx x0 y y x x Hệ số co gión cũng thường được tớnh bằng % Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
16. Hệ số co gión (tt) Phõn loại hệ số co gión Nếu |yx pxq| Ă 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión mạnh (elastic) Nếu |yx pxq|  1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión đơn vị (of unit elasticity) hay điểm đẳng co. Nếu |yx pxq| 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión yếu (inelastic) Lưu ý: Trong cụng thức cú dấu || vỡ cú nhiều trường hợp hệ số co gión õm. Cõu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bỏn laptop và đang cõn nhắc việc tăng giỏ sản phẩm. Giả sử bạn tớnh được hệ số co gión của hàm cầu QpPq. Hóy cho cõu trả lời trong từng trường hợp xem bạn cú tăng giỏ hay khụng biết rằng mục tiờu của bạn là doanh thu? Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
17. Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Xem thờm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
18. Sơ lược về chuỗi số Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes) Định nghĩa á8 un n1 Tổng riờng Sn  u1 Ô Ô Ô un Nếu Sn cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S  limnẹ8 Sn. Nếu Sn khụng cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
19. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi cấp số nhõn á8 qn  q q2 n1 Tớnh lim của tổng riờng dựng cụng thức Newton, ta dễ dàng cú kết quả sau: Nếu |q| 1 thỡ chuỗi hội tụ 8 á q qn  1 Ă q n1 Nếu |q| Ơ 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
20. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi điều hũa tổng quỏt 8 á 1 1 1  1 pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi hội tụ khi α Ă 1. phõn kỳ khi α Ô 1 Chuỗi điều hũa đan dấu 8 á pĂ1qn 1 1  Ă1 Ă pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi luụn hội tụ với α Ă 0 tựy ý. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
21. Tớnh chất chuỗi số Tớnh chất cơ bản Thờm hay bớt một số hữu hạn cỏc số hạng vào chuỗi số sẽ khụng làm thay đổi tớnh chất hội tụ hay phõn kỳ của chuỗi. °8 °8 Giả sử n1 an và n1 bn cựng hội tụ thỡ á8 á8 á8 pan bnq  an bn n1 n1 n1 á8 á8 can  c an n1 n1 . Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
22. Điều kiện hội tụ của chuỗi số °  8 Nếu limnẹ8 un 0 hay lim khụng tồn tại thỡ n1 un phõn kỳ Chuỗi dương ° Ơ @ P 8 °Nếu un 0,°n N thỡ n1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử 8 8 Ơ @ n1 un và n1 vn dương sao cho un vn, n thỡ °8 °8 n1 un hội tụ suy ra n1 vn hội tụ. °8 °8 n1 vn phõn kỳ suy ra n1 un phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
23. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Chuỗi dương (tt) Tiờu chuẩn so sỏnh dạng giới hạn (asymptotic): Nếu un °8 lim ẹ8  k với k hữu hạn và k Ă 0 thỡ 2 chuỗi v và n v n1 n °8 n n1 un cựng hội tụ hay cựng phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
24. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Ước lượng thường dựng un Khi limnẹ8  k thỡ ta ký hiệu un  vn. Cỏc ước lượng hay gặp vn sin αpnq  αpnq. tan αpnq  αpnq arcsin αpnq  αpnq arctan αpnq  αpnq 1 1 Ă cos αpnq  αpnq2 2 eαpnq Ă 1  αpnq lnp1 αpnqq Ă 1  αpnq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
25. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) °8 Tiờu chuẩn? Cauchy Chuỗi dương n1 vn. Đặt C  limnẹ8 n vn. Khi đú, Nếu C 1 thỡ chuỗi hội tụ. Nếu C Ă 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Khi C  1, khụng kết luận được gỡ. °8 Tiờu chuẩn D’Alambert Chuỗi dương n1 un. Đặt un 1 D  limnẹ8 . Khi đú, un Nếu D 1 thỡ chuỗi hội tụ. Nếu D Ă 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Khi D  1, khụng kết luận được gỡ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
26. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Cỏch dựng un là hàm hữu tỉ: so sỏnh un chứa số mũ n: Cauchy un chứa giai thừa: D’Alambert. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
27. Chuỗi đan dấu Định nghĩa ° ° 8 pĂ qn 8 pĂ qn 1 Ơ @ Chuỗi dạng n1 1 un hay n1 1 un với un 0, n được gọi là 1 chuỗi đan dấu. Tiờu chuẩn Leibniz ° ° 8 pĂ qn 8 pĂ qn 1 Chuỗi đan dấu n1 1 un hay n1 1 un hội tụ khi và chỉ khi an Ơ an 1 Ơ Ô Ô Ô Ơ 0 và limnẹ8 an  0. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
28. Hội tụ tuyệt đối - Bỏn hội tụ ° ° 8 8 | | Chuỗi n1 un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu n1 un hội tụ. Lưu ý: Hội tụ tuyệt đối ựủ hội tụ, nhưng Hội tụ ựủ hội tụ tuyệt đối. ° ° 8 8 | | Khi n1 un nhưng n1 un khụng hụi tụ thỡ ta núi chuỗi bỏn hội tụ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số