Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Hệ các đại lượng ngẫu nhiên

pdf 57 trang Đức Chiến 05/01/2024 200
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Hệ các đại lượng ngẫu nhiên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_hoc_chuong_4_h.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Hệ các đại lượng ngẫu nhiên

  1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mô Khí tượng
  2. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.1 Khái niệm • Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình huống là kết quả thí nghiệm được mô tả bởi một số (>1) đại lượng ngẫu nhiên •Khi đóta nói cómột “hệ các đại lượng ngẫu nhiên” • Các tính chất của hệ đại lượng ngẫu nhiên không được mô tả hết bởi những tính chất của các đại lượng ngẫu nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hàm cả những mối quan hệ tương hỗ giữa các đại lượng ngẫu nhiên của hệ •Giả sử xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, khi đómỗi cặp giá trị có thể của X và Y được xem như các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳng
  3. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.1 Khái niệm •Tương tự, nếu có ba đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z khi đó mỗi bộ ba giá trị có thể của X, Y, Z sẽ là các tọa độ của một điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều •Nếu có đồng thời n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, ,Xn thì bộ n giá trị có thể (x1, x2, , xn) của X1, X2, ,Xn là tọa độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều •Vìvậy, có thể xem hệ các đại lượng ngẫu nhiên như là biến ngẫu nhiên nhiều chiều hoặc vectơ ngẫu nhiên •Nếu các đại lượng ngẫu nhiên thành phần là rời rạc ta có hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại ta có hệ các đại lượng ngẫu nhiên liên tục
  4. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất •Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đócả X và Y đều là những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với X={xi, i=1,2, , n, }, Y={yj, j=1, 2, , m, } • Ký hiệu pi=P(X=xi), qj=P(Y=yj), pij=P(X=xi, Y=yj) Y y1 y2 ym X Bảng phân bố xác suất của x1 p11 p12 p1m hệ hai đại x2 p21 p22 p2m lượng ngẫu nhiên rời rạc xn pn1 pn2 pnm
  5. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất •Nhận thấy: Các sự kiện (X=xi) xung khắc, (Y=yj) xung khắc • Î Các sự kiện (X=xi)(Y=yj) là nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc nên Σpij = 1 •(X=xi)=Σj (X=xi)(Y=yj) Î P(X=xi)=P(Σj (X=xi)(Y=yj))=pi≡pi• •(Y=yj)=Σi (X=xi)(Y=yj) Î P(Y=yj)=P(Σi (X=xi)(Y=yj))=qj≡p•j Y y1 y2 ym ∑ ∑∑pij = 1 X ij x1 p11 p12 p1m p1• p = p ≡ p ∑ ij i i• x2 p21 p22 p2m p2• j pij = q j ≡ p• j ∑ xn pn1 pn2 pnm pn• i ∑ p•1 p•2 p•m 1
  6. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất •Vídụ 1: Gieo đồng thời một đồng tiền và một con xúc xắc. Gọi X và Y lần lượt là kết quả nhận được của việc gieo đó; X={S, N}, Y={1,2,3,4,5,6}. Hãy lập bảng phân bố xác suất của hệ (X,Y). •Giải: Ta có: P(X=S)=P(X=N)=1/2; P(Y=1)= =P(Y=6)=1/6 •P(X=xi, Y=yj)=(1/2)*(1/6)=1/12 Y 1 2 3 4 5 6 ∑ X S 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2 N 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2 ∑ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
  7. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng phân bố xác suất •Vídụ 2: Tìm luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên X, Y khi biết phân bố đồng thời của chúng được cho bởi •Giải: Y y 1 y2 y3 •q1=P(Y=y1)=0.10+0.06=0.16 X •q2=P(Y=y2)=0.30+0.18=0.48 x1 0.10 0.30 0.20 •q3=P(Y=y3)=0.20+0.16=0.36 x2 0.06 0.18 0.16 •p=P(X=x )=0.10+0.30+0.20=0.60 1 1 Y y1 y2 y3 •p=P(X=x )=0.06+0.18+0.16=0.40 2 2 q 0.16 0.48 0.36 X x1 x2 pi=pi • p 0.60 0.40 qj=p•j
  8. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất •Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đócả X và Y đều là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục. • Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) là hàm của hai đối số (x,y) được xác định bởi F(x,y)=P(X<x, Y<y) • Ý nghĩa hình học của hàm phân bố: Y F(x,y) là xác suất để điểm ngẫu nhiên y (x,y) M(X,Y) rơi và hình chữ nhật vô hạn có M(X,Y) đỉnh trên bên phải tại điểm có tọa độ x X (x,y)
  9. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Tính chất: lim F(x, y) = F(x,+∞) = F1(x) 1) y→+∞ lim F(x, y) = F(+∞, y) = F2 ( y) x→+∞ lim F(x, y) = F(+∞,+∞) = 1 2) x→+∞ y→+∞ lim F(x, y) = F(−∞, y) = 0 x→−∞ lim F(x, y) = F(x,−∞) = 0 3) y→−∞ lim F(−∞,−∞) = 0 x→−∞ y→−∞ NÕu x1 < x2 thi F(x1, y) ≤ F(x2 , y) 4) NÕu y1 < y2 thi F(x, y1) ≤ F(x, y2 ) 5) P(α ≤ X <β,δ ≤Y <γ) = F(β,γ)−F(α,γ)−F(β,δ)+F(α,δ)
  10. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: lim F(x, y) = F(x,+∞) = F1(x) 1) y→+∞ lim F(x, y) = F(+∞, y) = F2 ( y) x→+∞ • Sự kiện (X<x, Y<+∞) = (X<x)(Y<+∞) = (X<x) • Î F(x,+∞) = P(X<x,Y<+∞) = P(X<x) = F1(x) • Tương tự: • Sự kiện (X<+∞, Y<y) = (X<+∞)(Y<y) = (Y<y) • Î F(+∞,y) = P(X<+∞,Y<y) = P(Y<y) = F2(y)
  11. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: lim F(x, y) = F(+∞,+∞) = 1 2) x→+∞ y→+∞ lim F(x, y) = F(−∞, y) = 0 x→−∞ lim F(x, y) = F(x,−∞) = 0 3) y→−∞ lim F(−∞,−∞) = 0 x→−∞ y→−∞ • Sự kiện (X<+∞, Y<+∞) = U • Î F(+∞,+∞) = P(U) = 1 • Sự kiện (X<-∞ , Y<y)=(X<x, Y<-∞)=(X<-∞, Y<-∞)=V • Î F(-∞,y) = F(x, -∞) = F(-∞, -∞) =P(V) = 0
  12. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: NÕu x1 < x2 thi F(x1, y) ≤ F(x2 , y) 4) NÕu y1 < y2 thi F(x, y1) ≤ F(x, y2 ) •Vì(x1<x2) nên (X<x2)=(X<x1)+(x1≤ X<x2) (tổng hai sự kiện xung khắc) • Î (X<x2, Y<y)=(X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y) •F(x2,y)=P(X<x2,Y<y)=P((X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y)) = P(X<x1,Y<y) + P(x1≤ X<x2,Y<y) = F(x1,y)+ P(x1≤ X<x2,Y<y) ≥ F(x1,y) •Tương tự đối với trường hợp 2
  13. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.2 Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố xác suất Chứng minh: 5) P(α ≤ X <β,δ ≤Y <γ) =F(β,γ)−F(α,γ)−F(β,δ)+F(α,δ) • (X<β)=(X<α)+(α≤X<β), (Y<γ)=(Y<δ)+(δ≤Y<δ), • (X<β,Y<γ)=(X<β)(Y<γ)= γ =[(X<α)+(α≤X<β)][(Y<δ)+(δ≤Y< γ)]= =(X<α, Y<δ)+(X<α, δ≤Y< γ)+ +(α≤X<β, Y<δ)+(α≤X<β, δ≤Y< γ) δ • (X<α, δ≤Y< γ)=(X<α,Y<γ)–(X<α,Y<δ) • (α≤X<β, Y<δ)=(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ α β • (X<β,Y<γ)=(X<α, Y<δ)+(X<α,Y<γ)– –(X<α,Y<δ)+(X<β, Y<δ)–(X<α, Y<δ)+ +(α≤X<β, δ≤Y< γ) • F(β,γ)=F(α,δ)+F(α,γ)+F(β,δ) –F(α,δ) –F(α,δ)+P(α≤X<β, δ≤Y< γ) • P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ)
  14. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất •Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X, Y), trong đócả X và Y đều là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục. • Định nghĩa: Hàm mật độ phân bố xác suất của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) là đạo hàm riêng cấp hai của hàm phân bố xác suất đồng thời F(x,y), ký hiệu là f(x,y) ∂2F(x, y) f (x, y) = ∂x∂y
  15. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất Ý nghĩa: Từ hệ thức P(α≤X<β, δ≤Y< γ)=F(β,γ)–F(α,γ)–F(β,δ)+F(α,δ) • Thay α, β, δ, γ lần lượt bởi x, x+Δx, y, y+Δy ta được: •P(x≤X<x+Δx, y≤Y<y+Δy)=F(x+Δx,y+Δy)–F(x+Δx,y)–F(x,y+Δy)+F(x,y) •Chia hai vế cho diện tích miền chữ nhật và lấy giới hạn khi Δx→0, Δy→0 P(x < X < x + Δx, y < Y < y + Δy) lim = y+Δy Δx→0 ΔxΔy Δy→0 F(x + Δx, y + Δy) − F(x, y + Δy) − F(x + Δx, y) + F(x, y) y = lim = Δx→0 ΔxΔy Δy→0 x x+Δx ∂2F(x, y) = = f (x, y) Từ đóta cócông thức gần đúng để tính xác suất: ∂x∂y P(x<X<x+Δx, y<Y<y+Δy) ≈ f(x,y).Δx.Δy Một cách tổng quát, xác suất của điểm P((X ,Y )∈ D) = f (x, y)dxdy ngẫu nhiên (X,Y) rơi vào một miền D nào ∫∫ đósẽ được xác định bởi D
  16. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Tính chất: 1)f (x, y) ≥ 0 Tính chất này suy ra từ ý nghĩa của hàm mật độ +∞ +∞ 2) ∫∫f (x, y)dxdy =1 Ta có P((X ,Y)∈ D) = ∫∫ f (x, y)dxdy D −∞ −∞ x y ⇒ F(x, y) = f (x, y)dxdy Lấy giới hạn khi x→+∞, y→+∞ và để ý ∫∫ đến tính chất 2) của hàm phân bố ta được −∞∞− +∞+∞ F(+∞,+∞) = f (x, y)dxdy = 1 x +∞ ∫∫ F ( x) = F ( x,+∞ ) = f ( x, y)dxdy −∞−∞ 1 ∫∫ −∞−∞ +∞ 3) + ∞ y F′(x) = f (x) = f (x, y)dy F ( y) = F (+∞ , y) = f ( x, y)dxdy 1 1 ∫ 2 ∫∫ −∞ −∞∞− +∞ Đạo hàm hai vế F′( y) = f ( y) = f (x, y)dx 2 2 ∫ ta được: −∞
  17. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Các ví dụ: •Vídụ 1: Hệ đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ phân bố xác suất 1 f (x, y) = π 2 (1+ x2 )(1+ y 2 ) Hãy tính xác suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào miền chữ nhật ABCD, với tọa độ của các đỉnh A(1,0), B( 3,0),C( 3,1), D(1,1) 1 •Giải: P((X ,Y )∈(ABCD)) = dxdy = ∫∫ 2 2 2 ABCD π (1+ x )(1+ y ) 1 3 1 dy dx 1 1 dy π π 1 π π = = ( − )dy = ( − )(arctg1− arctg0) 2 ∫ 2 ∫ 2 π 2 ∫ 1+ y2 3 4 π 2 3 4 π 0 1+ y 1 1+ x 0 1 π π 1 = . = π 2 12 4 48
  18. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.3 Mật độ xác suất • Các ví dụ: •Vídụ 2: Hệ (X,Y) có mật độ phân bố xác suất được cho bởi ⎧ 1 x2 y2 khi + ≤ 1 ⎪6π 9 4 f (x, y) = ⎨ x2 y2 ⎪0 khi + > 1 ⎩⎪ 9 4 • Tính các mật độ phân bố riêng f1(x) và f2(y)
  19. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ⎧ 1 x2 y2 4.3 Mật độ xác suất khi + ≤ 1 ⎪6π 9 4 • Các ví dụ: f (x, y) = ⎨ x2 y2 •Giải: ⎪0 khi + > 1 ⎩⎪ 9 4 +∞ 2 2 2 2 x y 2 x x f (x) = f (x, y)dy + ≤1 ⇒ y ≤ 4(1− ) ⇒ y ≤ 2 (1− ) 1 ∫ 9 9 −∞ 9 4 x2 ⎧ +2 1− 9 ⎧ 2 ⎪ 1 2 2 2 ⎪ dy = 9 − x khi x ≤ 3 ⎪ 9 − x khi x ≤ 3 f (x) = 6π ∫ 9π f1(x) = ⎨9π 1 ⎨ x2 −2 1− ⎪ ⎪ 9 ⎩0 khi x > 3 ⎪ ⎩0 khi x > 3 ⎧ 1 2 ⎪ 4 − y khi y ≤ 2 Tương tự f2 ( y) = ⎨2π ⎪ ⎩0 khi y > 2
  20. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên • Trong thực tế có thể xét đồng thời nhiều hơn hai đại lượng ngẫu nhiên, chẳng hạn 3, 4, đại lượng ngẫu nhiên • Để tiện trình bày ta gọi đólàhệ n đại lượng ngẫu nhiên (n≥2) •Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) •Hệ này có thể được xem như một vector ngẫu nhiên n chiều • Định nghĩa: Hàm phân bố của hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) là hàm của n đối số (x1, x2, , xn) được xác định bởi F(x1, x2, , xn)=P(X1<x1, X2<x2, , Xn<xn) • Định nghĩa: Nếu hàm F(x1, x2, , xn) tồn tại đạo hàm bậc n thì hệ (X1, X2, , Xn) có hàm mật độ xác suất được xác định bởi n ∂ F(x1, x2 , , xn ) f (x1, x2 , , xn ) = ∂x1∂x2 ∂xn
  21. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên •Cóthể suy ra rằng •F(+∞, , xi, ,+∞)=P(X1<+∞, , Xi<xi, , Xn<+∞)=Fi(xi), i=1,2, ,n được gọi là hàm phân bố riêng của Xi •Hàm mật độ riêng của Xi cũng có thể nhận được bằng cách đạo hàm Fi(xi) theo xi hoặc suy ra từ hàm mật độ đồng thời: +∞+∞ +∞ f (x ) = f (x , x , , x )dx dx dx dx i i ∫∫ ∫ 1 2 n 1 i−1 i+1 n −∞−∞ −∞ • Đối với một hệ đại lượng ngẫu nhiên, từ phân bố đồng thời ta có thể xác định được các phân bố riêng của từng đại lượng ngẫu nhiên thành phần • Từ các phân bố riêng ta có thể xác định được các đặc trưng riêng của chúng, như kỳ vọng, phương sai,
  22. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên •Mỗi bộ gồm m(m<n) đại lượng ngẫu nhiên lấy từ hệ n đại lượng ngẫu nhiên ban đầu được gọi là một hệ con của hệ ban đầu • Hàm phân bố và hàm mật độ xác suất của hệ con này có thể nhận được từ phân bố và mật độ đồng thời của hệ ban đầu •Vídụ: Phân bố của hệ con (X1, X2, ,Xm): •F1,2, ,m(x1, , xm)=F(x1, , xm,+∞, ,+∞)= = P(X1<x1, , Xm<xm, Xm+1<+∞, , Xn<+∞) m ∂ F1,2, ,m (x1, x2 , , xm ) f1,2, ,m (x1, , xm ) = ∂x1 ∂xm +∞+∞ +∞ f (x , , x ) = f (x , x , , x )dx dx 1,2, ,m 1 m ∫∫ ∫ 1 2 n m+1 n −∞−∞ −∞
  23. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.4 Hệ n đại lượng ngẫu nhiên • Đối với mỗi hệ con gồm hai đại lượng ngẫu nhiên thành phần khác nhau bất kỳ ta có phân bố đồng thời được xác định bởi •F(+∞, , xj, ,xk, , +∞)=P(X1<+∞, , Xj<xj, ,Xk<xk, , Xn<+∞)= =Fjk(xj,xk), j≠k, j,k=1,2, ,n •Hàm mật độ đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên Xi, Xj cũng có thể nhận được bằng cách đạo hàm Fjk(xj,xk) theo xj, xk hoặc suy ra từ hàm mật độ đồng thời: +∞+∞ +∞ f (x , x ) = f (x , x , , x )dx dx dx dx dx dx jk j k ∫∫ ∫ 1 2 n 1 j−1 j+1 k−1 k+1 n −∞−∞ −∞ ( j ≠ k, j,k = 1,2, ,n)
  24. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Xét hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) • Ký hiệu hệ này như một vector ngẫu nhiên n chiều X=(X1, X2, , Xn) Khi đó: •mx=M[X]=(M[X1], M[X2], , M[Xn])=(mx1, mx2, , mxn) được gọi là vector kỳ vọng của X, trong đó các thành phần của vector này tương ứng là kỳ vọng của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần của vector ngẫu nhiên X •Dx=D[X]=(D[X1], D[X2], , D[Xn])=(Dx1, Dx2, , Dxn) được gọi là vector phương sai của X, trong đó các thành phần của vector này tương ứng là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần của vector ngẫu nhiên X
  25. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Trong đó +∞ m = M[X ] = x f (x )dx , j = 1,2, ,n x j j ∫ j j j j −∞ +∞ D = D[X ] = M[ X − m 2 ] = (x − m )2 f (x )dx , x j j ( j x j ) ∫ j x j j j j −∞ ( j = 1,2, ,n) • Ngoài các đặc trưng riêng, khi xét hệ các đại lượng ngẫu nhiên vấn đề quan trọng hơn là xét mối quan hệ giữa chúng • Mối quan hệ này được đặc trưng bởi mômen tương quan giữa các cặp đại lượng ngẫu nhiên thành phần
  26. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Định nghĩa: Mômen tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y là đại lượng được ký hiệu bởi μxy và được xác định bởi μxy = M[(X − M[X ])(Y − M[Y ]) Hệ rời rạc μxy = ∑∑(xi − mx )( y j − my ) pij ij ( pij = P(X = xi ,Y = y j )) +∞+∞ μ = (x − m )( y − m ) f (x, y)dxdy Hệ liên tục xy ∫∫ x y −∞−∞ Ta có μxy = M[(X − M[X ])(Y − M[Y ]) = = M[(Y − M[Y ](X − M[X ])) = μyx
  27. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Đối với mỗi cặp hai đại lượng (Xj, Xk) của hệ (X1, X2, , Xn) ta có μ ≡ μ = M[(X − M[X ])( X − M[X ])], j,k = 1,2, ,n jk x j xk j j k k Hay +∞+∞ μ = (x − m )(x − m ) f (x , x )dx dx , j,k = 1,2, ,n jk ∫∫ j x j k xk jk j k j k −∞−∞ Tập hợp các mômen tương quan μjk lập thành một ma trận gọi là ma trận tương quan
  28. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Ma trận tương quan ⎛ μ μ μ ⎞ ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ μ21 μ22 μ2n ⎟ ∑ = ()μ = jk ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ μn1 μn2 μnn ⎠ Nhận thấy μ jk = M[(X j − M[X j ])(X k − M[X k ])] = = M[(X k − M[X k ])(X j − M[X j ])] = μkj Î Ma trận tương quan là ma trận thực, đối xứng Khi j≡k: μ jj = M[(X j − M[X j ])( X j − M[X j ])] = = M[(X − M[X ])2 ] = D[X ] = D = σ 2 j j j x j x j Î Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần
  29. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Hệ số tương quan: Từ định nghĩa mômen tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) ta thấy: •Thứ nguyên của μxy bằng tích thứ nguyên của X và thứ nguyên của Y. Do đó không thể so sánh mối quan hệ giữa các cặp đại lượng ngẫu nhiên khác nhau Î Vô thứ nguyên hóa ?? • Định nghĩa: Hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) là số vô thứ nguyên ρxy được xác định bởi M[(X − M[X ])(Y − M[Y ])] μxy μxy ρ xy = = = Dx Dy Dx Dy σ xσ y Do μxy = μyx nª n ρ xy = ρ yx Dx Khi X≡Y: μxx = M[(X − M[X ])(X − M[X ])] = Dx ⇒ ρ xy = = 1 Dx Dx
  30. CHƯƠNG 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Với hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn), hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ (Xj,Xk) được xác định bởi M[(X j − M[X j ])( X k − M[X k ])] μ jk ρ jk = = , j,k = 1,2, ,n D[X j ] D[X k ] σ jσ k ⎛ ρ ρ ρ ⎞ Tập hợp các hệ số tương quan này lập ⎜ 11 12 1n ⎟ ⎜ ρ21 ρ22 ρ2n ⎟ thành ma trận tương quan chuNn hóa P = ()ρ = jk ⎜ ⎟ Ta có: μ μ ⎜ ⎟ jk kj ⎜ ρ ρ ρ ⎟ ρ jk = = = ρ jk , j,k = 1,2, ,n ⎝ n1 n2 nn ⎠ σ jσ k σ kσ j μ D Ma trận tương quan chuNn hóa ρ = jj = j = 1, j = 1,2, ,n jj là ma trận đối xứng có các phần σ jσ j D j tử trên đường chéo chính bằng 1
  31. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Với hệ hai đại lượng ngẫu nhiên: X1≡X, X2≡Y μ12 = M[(X1 − M[X1])( X 2 − M[X 2 ])] Ma trận tương quan ⎛ μ μ ⎞ ⎛σ 2 μ ⎞ ∑ = μ = ⎜ 11 12 ⎟ = ⎜ 1 12 ⎟ ()jk ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ μ21 μ22 ⎠ ⎝ μ21 σ 2 ⎠ Ma trận tương quan ⎛ ρ11 ρ12 ⎞ ⎛ 1 ρ12 ⎞ chuẩn hóa P = ()ρ jk = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ρ21 ρ22 ⎠ ⎝ ρ21 1 ⎠ σ 2 μ ⎛ μ μ ⎞ Ta có: det ∑ = 1 12 = σ 2σ 2 − μ μ = σ 2σ 2 ⎜1− 12 21 ⎟ = 2 1 2 12 21 1 2 ⎜ 2 2 ⎟ μ21 σ 2 ⎝ σ1 σ 2 ⎠ ⎛ μ μ ⎞ 2 2 ⎜ 12 21 ⎟ 2 2 = σ1 σ 2 ⎜1− ⎟ = σ1 σ 2 ()1− ρ12ρ21 = ⎝ σ1σ 2 σ1σ 2 ⎠ 2 2 2 = σ1 σ 2 ()1− ρ ≥ 0 ⇒ −1 ≤ ρ ≤ 1
  32. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên Ý nghĩa của hệ số tương quan: −1 ≤ ρ xy ≤ 1 •Hệ số tương quan là đại lượng đặc trưng cho mối quan hệ tương quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên •Trị tuyệt đối của hệ số tương quan càng lớn thì mối quan hệ đó càng chặt chẽ •Hệ số tương quan bằng 0 khi hai biến không tương quan với nhau •Hệ số tương quan dương khi hai biến có quan hệ đồng biến •Hệ số tương quan âm khi hai biến có quan hệ nghịch biến
  33. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.5 Các đặc trưng số của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • Tóm tắt: Với hệ n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, , Xn: μ jk = M[(X j − M[X j ])(X k − M[X k ])] = μkj , j,k = 1,2, ,n Ma trận tương quan ⎛ μ μ μ ⎞ ⎛σ 2 μ μ ⎞ 11 12 1n ⎜ 1 12 1n ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ μ21 μ22 μ2n ⎟ ⎜ μ σ μ ⎟ ∑ = ()μ = = 21 2 2n jk ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ma trận tương quan ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ μn1 μn2 μnn ⎠ ⎝ μn1 μn2 σ n ⎠ chuẩn hóa μ jk ⎛ 1 ρ12 ρ1n ⎞ ρ jk = = ρkj , j,k = 1,2, ,n ⎜ ⎟ σ jσ k ⎜ ρ21 1 ρ2n ⎟ P = ()ρ jk = ρ = 1, j = 1,2, ,n ⎜ ⎟ jj ⎜ ⎟ ⎝ ρn1 ρn2 1 ⎠
  34. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện •Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y). Giả sử X và Y là những đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Î (X,Y) là hệ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc •X = {x1, x2, , xn, }, Y = {y1, y2, , ym, } • Định nghĩa: Xác suất của sự kiện X=xj khi cho trước (hoặc đã biết trước) sự kiện Y=yk đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện, và ký hiệu là p(xj/yk)=P(X=xj/Y=yk) •Tương tự, xác suất của sự kiện Y=yk khi cho trước (hoặc đã biết trước) sự kiện X=xj đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện, và ký hiệu là p(yk/xj)=P(Y=yk/X=xj)
  35. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện •Từ công thức nhân xác suất P(AB) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A/ B) • Ta có pjk=P(X=xj,Y=yk)≡p(xj,yk) là xác suất đồng thời của các sự kiện X=xj và Y=yk, tức (X=xj,Y=yk) = (X=xj)(Y=yk) •pj=P(X=xj)≡p(xj), pk=P(Y=yk)≡p(yk) •P((X=xj)(Y=yk))=P(X=xj)P(Y=yk/X=xj)=P(Y=yk)P(X=xj/Y=yk) • Hay p(xj,yk)=p(xj)p(yk/xj)=p(yk)p(xj/yk) •Vìp(xj)=Σkp(xj,yk)≡pj•, p(yk)=Σjp(xj,yk)≡p•k nên p(x , y ) p(x , y ) p p(x / y ) = j k = j k ≡ jk j k p( y ) p(x , y ) p k ∑ j j k ∑ j jk p(x , y ) p(x , y ) p p( y / x ) = j k = j k ≡ jk j j p(x ) p(x , y ) p j ∑k j k ∑k jk
  36. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện p(x , y ) p •Từ hệ thức p(x / y ) = j k ≡ jk j k p(x , y ) p ∑ j j k ∑ j jk p(x , y ) p p( y / x ) = j k ≡ jk j j p(x , y ) p ∑k j k ∑k jk p(x , y ) p ∑ j j k ∑ j jk p(x / y ) = ≡ = 1 • Ta có ∑ j j k p(x , y ) p ∑ j j k ∑ j jk p(x , y ) p p( y / x ) = ∑k j k ≡ ∑k jk = 1 ∑k j j p(x , y ) p ∑k j k ∑k jk • Các sự kiện (X=xj/Y=yk) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc • Các sự kiện (Y=yj/X=xj) lập thành nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc
  37. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện • Ví dụ: Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có phân bố xác suất được cho trong bảng sau. Hãy xác định phân bố có điều kiện của X khi Y=y1 Y \ X x1 x2 x3 y1 0.1 0.3 0.2 y2 0.06 0.18 0.16 Giải: Ta có •p(x1/y1)=p(x1,y1)/p(y1)=0.1/(0.1+0.3+0.2)=0.1/0.6=1/6 •p(x2/y1)=p(x2,y1)/p(y1)=0.3/(0.1+0.3+0.2)=0.3/0.6=3/6 •p(x3/y1)=p(x3,y1)/p(y1)=0.2/(0.1+0.3+0.2)=0.2/0.6=2/6 • Î p(x1/y1)+ p(x2/y1)+ p(x3/y1)=1/6+3/6+2/6=1
  38. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện • N ếu hệ (X,Y) là hệ đại lượng ngẫu nhiên liên tục có mật độ xác suất đồng thời f(x,y) • Định nghĩa: Mật độ phân bố có điều kiện của X với điều kiện Y=y là hàm ký hiệu bởi f(x/y) và được xác định bởi f (x, y) f (x / y) = f2 ( y) •Tương tự, mật độ phân bố có điều kiện của Y với điều kiện X=x là hàm ký hiệu bởi f(y/x) và được xác định bởi f (x, y) f ( y / x) = f1(x) ∂F (x) +∞ ∂F ( y) +∞ f (x) = 1 = f (x, y)dy f ( y) = 2 = f (x, y)dx Trong đó 1 ∫ 2 ∫ ∂x −∞ ∂y −∞ tương ứng là các mật độ riêng của X và Y
  39. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện • Ta có f (x / y) ≥ 0 f ( y / x) ≥ 0 f (x, y) = f ( y / x) f1(x) = f (x / y) f2 ( y) f (x, y) f (x, y) f ( y / x) = f (x / y) = +∞ +∞ ∫ f (x, y)dx ∫ f (x, y)dy −∞ −∞ +∞ +∞ f (x, y) 1 +∞ ∫ f (x / y)dx = ∫ dx = ∫ f (x, y)dx =1 −∞ −∞ f2 ( y) f2 ( y) −∞ +∞ +∞ f (x, y) 1 +∞ ∫ f ( y / x)dy = ∫ dx = ∫ f (x, y)dy =1 −∞ −∞ f1(x) f1(x) −∞
  40. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện •Vídụ: Tìm phân bố có điều kiện của X và Y của hệ (X,Y) có mật độ đồng thời cho bởi ⎧ 1 2 2 2 ⎪ 2 khi x + y ≤ r f (x, y) = ⎨πr ⎪ 2 2 2 •Giải: ⎩0 khi x + y > r 2 2 +∞ 1 + r − y 2 r2 − y2 Khi x ≤ r 2 − y 2 ta cã f ( y) = f (x, y)dx = dx = 2 ∫ πr2 ∫ πr2 −∞ − r2 − y2 ⎧ 1/πr2 1 = khi x ≤ r2 − y2 ⎪ 2 2 2 2 2 ⇒ f (x / y) = ⎨2 r − y /πr 2 r − y ⎪ 2 2 ⎩0 khi x > r − y ⎧ 1 khi y ≤ r2 − x2 ⎪ 2 2 Tương tự f ( y / x) = ⎨2 r − x ⎪ 2 2 ⎩0 khi y > r − x
  41. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.6 Phân bố có điều kiện •Tổng quát, hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) có mật độ xác suất đồng thời f(x1, x2, , xn) • Định nghĩa: Luật phân bố có điều kiện của hệ con (X1, X2, ,Xm) là luật phân bố được tính với điều kiện các đại lượng còn lại (Xm+1, , Xn) đã nhận các giá trị xác định xm+1, , xn: f (x1, x2 , , xn ) f (x1, x2 , , xm / xm+1, , xn ) = fm+1, ,n (xm+1, , xn ) +∞+∞ +∞ f (x , , x ) = f (x , x , , x )dx dx dx Vì m+1, ,n m+1 n ∫∫ ∫ 1 2 n 1 2 m −∞−∞ −∞ f (x1, x2 , , xn ) ⇒ f (x1, , xm / xm+1, , xn ) = +∞+∞ +∞ f (x , x , , x )dx dx dx ∫∫ ∫ 1 2 n 1 2 m −∞−∞ −∞
  42. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.7 Kỳ vọng có điều kiện •Xét hai hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (X,Y): •X = {x1, x2, , xn, }, Y = {y1, y2, , ym, } • Định nghĩa: Kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X=xj là một số được xác định bởi my(xj) = M[Y/X=xj]=Σkykp(yk/xj) •Tương tự, kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y=yk là một số được xác định bởi mx(yk) = M[X/Y=yk]=Σjxjp(xj/yk) • N ếu hệ (X,Y) là liên tục có các hàm mật độ có điều kiện tương ứng là f(x/y) và f(y/x), các kỳ vọng có điều kiện của X và Y lần lượt được xác định bởi +∞ m ( y) = M[X /Y = y] = xf (x / y)dx x ∫ −∞ +∞ m (x) = M[Y / X = x] = yf ( y / x)dy y ∫ −∞
  43. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.7 Kỳ vọng có điều kiện •Vídụ 1: Cho hai hệ hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (X,Y) có phân bố xác suất được cho dưới đây. Hãy tính my(x1)=M[Y/X=x1] Y \ X 1 3 4 8 3 0.15 0.06 0.25 0.01 6 0.30 0.10 0.03 0.07 Giải: my (x1) = M[Y / X = x1] = y1 p( y1 / x1) + y2 p( y2 / x1) p(x1, y1) 0.15 1 p( y1 / x1) = = = p(x1) 0.15+ 0.30 3 p(x1, y2 ) 0.30 2 p( y2 / x1) = = = p(x1) 0.15+ 0.30 3 1 2 ⇒ m (x ) = 3× + 6× = 1+ 4 = 5 y 1 3 3
  44. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.7 Kỳ vọng có điều kiện •Vídụ 2: Cho hai hệ hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục (X,Y) có phân bố xác suất được cho dưới đây. Hãy tính my(x)=M[Y/X=x] ⎧ 1 2 2 2 Y ⎪ 2 khi x + y ≤ r f (x, y) = ⎨πr ⎪ 2 2 2 ⎩0 khi x + y > r +∞ 0 X Giải: m (x) = M[Y / X = x] = yf ( y / x)dy y ∫ −∞ ⎧ 1 Từ kết quảởví dụ khi y ≤ r2 − x2 ⎪ 2 2 mục trước f ( y / x) = ⎨2 r − x ⎪ 2 2 ⎩0 khi y > r − x 2 2 2 2 + r −x + r −x 1 1 y2 ⇒ m (x) = ydy = = 0 y ∫ 2 2 2 2 2 2 2 − r2 −x2 2 r − x 2 r − x − r −x
  45. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.8 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập • Định nghĩa: Hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập với nhau nếu phân bố có điều kiện của chúng bằng phân bố không điều kiện: • N ếu X và Y là rời rạc: p(x j / yk ) = p(x j ); p( yk / x j ) = p( yk ) • N ếu X và Y là liên tục: f (x / y) = f1(x); f ( y / x) = f2 ( y) • Định lý: Điều kiện cần và đủ để các đại lượng ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau là phân bố đồng thời của chúng bằng tích các phân bố riêng: F(x, y) = F1(x).F2 ( y) Chứng minh: • Điều kiện cần: X, Y độc lập Î F(x, y) = F1(x).F2 ( y) • Điều kiện đủ: F(x, y) = F1(x).F2 ( y) Î X, Y độc lập
  46. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.8 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Chứng minh: • Điều kiện cần: Giả sử X, Y độc lập (X < x,Y < y) = (X < x).(Y < y) ⇒ P(X < x,Y < y) = P((X < x).(Y < y)) = P(X < x)P(Y < y) ⇒ F(x, y) = F1(x)F2 ( y) • Điều kiện đủ: Giả sử có F(x, y) = F1(x).F2 ( y) •Lấy đạo hàm hai vế lần lượt theo x và y: ∂2F(x, y) ∂F (x) ∂F ( y) = 1 2 ⇒ f (x, y) = f (x) f ( y) ∂x∂y ∂x ∂y 1 2 f (x, y) f (x, y) ⇒ f1(x) = = f (x / y); f2 ( y) = = f ( y / x) f2 ( y) f1(x) ÎPhân bố có điều kiện bằng phân bố không điều kiện Î X,Y độc lập
  47. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.8 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập • Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y độc lập với nhau là phân bố đồng thời bằng tích các phân bố riêng • Định lý: Mômen tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì bằng 0 • Chứng minh: Vì X và Y độc lập nên X−mx và Y−my cũng độc lập ⇒ μxy = M[(X − mx )(Y − my )] = M[(X − mx )]M[(Y − my )] = 0 • Hệ quả: N ếu μxy ≠ 0 thì X và Y phụ thuộc lẫn nhau • Định nghĩa: Hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y được gọi là tương quan với nhau nếu μxy ≠ 0. N gược lại, nếu μxy = 0 ta nói X và Y không tương quan X và Y tương quan thì X, Y phụ thuộc lẫn nhau; X và Y không tương quan thì chưa chắc X, Y độc lập với nhau. Nói cách khác, nếu X và Y độc lập thì μxy=0, nhưng μxy=0 chưa chắc X và Y độc lập với nhau.
  48. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.9 Phân bố chuẩn hai chiều • Định nghĩa: Hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) được gọi là tuân theo luật phân bố chuNn nếu hàm mật độ xác suất có dạng 1 f (x, y) = × 2 2πσ xσ y 1− ρ ⎛ ⎛ 2 2 ⎞⎞ ⎜ 1 ⎛ x − μ ⎞ ⎛ y − μ y ⎞ 2ρ(x − μx )( y − μy ) ⎟ × exp − ⎜⎜ x ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎟ ⎜ 2(1− ρ 2 ) ⎜⎜ σ ⎟ ⎜ σ ⎟ σ σ ⎟⎟ ⎝ ⎝⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ x y ⎠⎠ Trong đó: • μx và μy tương ứng là kỳ vọng của X và Y • σx và σy tương ứng là độ lệch chuNn của X và Y • ρ là hệ số tương quan giữa X và Y
  49. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.9 Phân bố chuẩn hai chiều • N ếu hệ (X,Y) có phân bố chuNn thì khi X và Y không tương quan với nhau suy ra X và Y độc lập • Ta có: Khi X và Y không tương quan: ρ=0 ⎛ ⎛ 2 2 ⎞⎞ 1 ⎜ 1 ⎛ x − μ ⎞ ⎛ y − μy ⎞ ⎟ ⇒ f (x, y) = exp − ⎜⎜ x ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ = 2πσ σ ⎜ 2 ⎜⎜ σ ⎟ ⎜ σ ⎟ ⎟⎟ x y ⎝ ⎝⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎠⎠ 2 2 1 ⎛ 1 ⎛ x − μ ⎞ ⎞ 1 ⎛ 1 ⎛ y − μ ⎞ ⎞ = exp⎜− ⎜ x ⎟ ⎟ exp⎜− ⎜ y ⎟ ⎟ = 2πσ ⎜ 2 ⎜ σ ⎟ ⎟ 2πσ ⎜ 2 ⎜ σ ⎟ ⎟ x ⎝ ⎝ x ⎠ ⎠ y ⎝ ⎝ y ⎠ ⎠ = f1(x) f2 ( y) Î X và Y độc lập
  50. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.10 Phân bố chuẩn n chiều • Định nghĩa: Hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) được gọi là tuân theo luật phân bố chuNn nếu hàm mật độ xác suất có dạng 1 ⎛ 1 T −1 ⎞ f (x1, x2 , , xn ) = exp⎜− (()()x − μ Σ x − μ )⎟ (2π )n / 2 Σ 1/ 2 ⎝ 2 ⎠ Trong đó: x = (x1, x2 , , xn ) μ = (μ1, μ2 , , μn ) μ = M[X ], j = 1,2, ,n ⎛ μ μ μ ⎞ j j ⎜ 11 12 1n ⎟ μ = M[(X − μ )(X − μ ), ⎜ μ21 μ22 μ2n ⎟ jk j j k k ∑ = ⎜ ⎟ ( j,k = 1,2, ,n) ⎜ ⎟ ⎝μn1 μn2 μnn ⎠
  51. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.10 Phân bố chuẩn n chiều • N ếu các đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) đôi một không tương quan với nhau thì chúng độc lập với nhau 1 ⎛ 1 T −1 ⎞ Ta có: f (x1, x2 , , xn ) = exp⎜− ()()()x − μ Σ x − μ ⎟ (2π )n / 2 Σ 1/ 2 ⎝ 2 ⎠ μ jk = M[(X j − μ j )(X k − μk ) = 0khi j ≠ k; ( j,k = 1,2, ,n) ⎛σ 2 0 0 ⎞ ⎜ 1 ⎟ 2 2 2 2 ⎜ 0 σ 2 0 ⎟ ⇒ ∑ = σ σ σ ⎛ 1 ⎞ ⇒ ∑ = ⎜ ⎟ 1 2 n ⎜ 0 0 ⎟ σ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ 0 0 σ n ⎠ −1 0 0 ⇒ ∑ = ⎜ σ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 1 1 1 1 ⎜ 1 ⎟ ⇒ = ⎜ 0 0 ⎟ n / 2 1/ 2 ⎜ 2 ⎟ (2π ) Σ 2πσ1 2πσ 2 2πσ n ⎝ σ n ⎠
  52. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.10 Phân bố chuẩn n chiều 1 ⎛ 1 T −1 ⎞ f (x1, x2 , , xn ) = exp⎜− (()()x − μ Σ x − μ )⎟ (2π )n / 2 Σ 1/ 2 ⎝ 2 ⎠ 1 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ = ⎜ 0 0 ⎟ n / 2 1/ 2 2πσ 2πσ 2πσ 2 (2π ) Σ 1 2 n ⎜σ1 ⎟⎛ x1 − μ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ x − μ T −1 0 2 0 ⎜ 2 2 ⎟ (x − μ) ∑ (x − μ) = ((x1 − μ1) (xn − μn ))⎜ σ ⎟ = ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2 2 1 ⎝ xn − μn ⎠ (x1 − μ1) (x2 − μ2 ) (xn − μn ) ⎜ 0 0 ⎟ = + + + ⎜ 2 ⎟ 2 2 2 ⎝ σ n ⎠ σ1 σ 2 σ n 1 1 ⎛ 1 ⎛ (x − μ )2 (x − μ )2 ⎞⎞ f (x , x , , x ) = exp⎜− ⎜ 1 1 + + n n ⎟⎟ = 1 2 n ⎜ ⎜ 2 2 ⎟⎟ 2πσ1 2πσ n ⎝ 2 ⎝ σ1 σ n ⎠⎠ = f1(x1) f2 (x2 ) fn (xn )
  53. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.10 Phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên • Cho hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ xác suất đồng thời f(x,y). Xét đại lượng ngẫu nhiên Z=X+Y •Gọi G(z) là hàm phân bố của đại lượng ngẫu nhiên Z, khi đó G(z) = P(Z < z) = P(X + Y < z) • Xem (X,Y) như một điểm ngẫu nhiên y trên mặt phẳng thì P(X + Y < z) là xác z = suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào nửa mặt x + phẳng nằm phía dưới đường thẳng y z=x+y 0 x D • Ký hiệu miền nửa mặt phẳng này là D G(z) = P((X ,Y )∈ D) = ∫∫ f (x, y)dxdy D
  54. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.10 Phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên y • N hận thấy: khi x biến thiên từ –∞ đến +∞ thì y biến thiên từ –∞ đến z–x. Do đó: z = +∞ z−x x ⎧ ⎫ + G(z) = f (x, y)dxdy = ⎨ f (x, y)dy⎬dx y ∫∫ ∫∫ 0 x D −∞⎩ −∞ ⎭ • Đạo hàm hai vế theo z ta được: D +∞ g(z) = G′(z) = ∫ f (x, z − x)dx −∞ • Hàm g(z) được gọi là hàm mật độ xác suất của tổng X+Y •Tương tự, khi cho y biến thiên từ –∞ đến +∞ thì x biến thiên từ –∞ đến z–y. Khi đó ta được dạng khác của hàm mật độ g(z): +∞ g(z) = ∫ f (z − y, y)dy −∞
  55. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.10 Phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên • N ếu X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì f (x, y) = f1(x) f2 ( y) Do đó: +∞ g(z) = f (x) f (z − x)dx ∫ 1 2 −∞ +∞ g(z) = f (z − y) f ( y)dy ∫ 1 2 −∞
  56. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.11 Hàm đặc trưng của hệ các đại lượng ngẫu nhiên •Hàm đặc trưng của hệ n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2 Xn) hoặc vectơ ngẫu nhiên n chiều là hàm n tham số λ1, λ2, , λn, được xác định bởi công thức ⎡ n ⎤ i∑λk X k g(λ ,λ , ,λ ) = M ⎢e k =1 ⎥ 1 2 n ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ • Đối với hệ các đại lượng ngẫu nhiên liên tục, đây là phép biến đổi Fourier n chiều của mật độ phân bố f(x ,x x ) +∞ +∞ 1 2 n g(λ ,λ , ,λ ) = ei(λ1x1+ +λn xn ) f (x , x , , x )dx dx dx 1 2 n ∫∫ 1 2 n 1 2 n −∞ −∞ •Mật độ phân bố f(x1,x2 xn) là biến đổi Fourier n lần đối với hàm đặc trưng g(λ1, λ2, , λn): 1 +∞ +∞ f (x , , x ) = e−i(λ1x1+ +λn xn ) g(λ ,λ , ,λ )dλ dλ dλ 1 n n ∫∫ 1 2 n 1 2 n ()2π −∞ −∞
  57. CHƯƠN G 4. HỆ CÁC ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN 4.11 Hàm đặc trưng của hệ các đại lượng ngẫu nhiên • N ếu hệ (X1, X2 Xn) có phân bố chuNn: 1 n n − ∑μ jkλ jλk +i∑m jλ j 2 j ,k =1 j=1 g(λ1,λ2 , ,λn ) = e • N ếu hệ (X1, X2 Xn) là độc lập: n g(λ ,λ , ,λ ) = g (λ ) 1 2 n ∏ xk k k=1 HẾT CHƯƠNG 4