›
›

Giáo trình Xác suất và thống kê

pdf 224 trang vanle 3150
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xác suất và thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_xac_suat_va_thong_ke.pdf

Nội dung text: Giáo trình Xác suất và thống kê

  1. GiaGiaùùoo trtrììnhnh:: XaXaùcùc suasuaáátt vavaøø thothoángáng keâkeâ –– GS.GS. ÑÑaaëngëng HaHaánán TaTaøiøi lielieääuu thamtham khakhaûoûo:: 1.1. LeâLeâ KhaKhaùnhùnh LuaânLuaân ((llööuu hahaønhønh nonoäiäi boboää ÑÑHKT).HKT). 2.2. TraTraànàn MinhMinh ThuyeThuyeátát ((llööuu hahaønhønh nonoäiäi boboää ÑÑHKT).HKT). 3.3. ÑÑaaøoøo HHööõuõu HoHoà.à. 4.4. ÑÑaaëngëng HuHuøngøng ThaThaéngéng 5.5. ToToángáng ÑìÑìnhnh QuyQuyøø 6.6. PhaPhaïmïm XuaânXuaân KieKieààuu
  2. ChChööônôngg I.I. NhNhööõõnngg khakhaùiùi nienieämäm côcô babaûnûn veveàà xaxaùcùc suasuaátát §§1.1. ÑÑònhònh nghnghóóaa xaxaùcùc suasuaátát 1.1.1.1. PhePheùpùp ththöûöû vavaøø biebieánán cocoáá ++ PhePheùpùp ththöûöû ngaãungaãu nhieânnhieân lalaøø ssöïöï ththöïöïcc hiehieänän momoätät nhonhoùmùm cacaùcùc ññieieàuàu kiekieänän vavaøø cocoùù thetheåå lalaëpëp lalaïiïi nhienhieàuàu lalaànàn
  3. ++ TrongTrong kekeátát quaquaûû cucuûaûa phepheùpùp ththöûöû,, ññaaëcëc trtrööngng cucuûaûa ññònhònh ttíínhnh lalaøø biebieánán cocoáá ngaãungaãu nhieânnhieân (A,(A, B,B, C,C, ),), ññaaëcëc trtrööngng cucuûaûa ññònhònh llööôôïngïng lalaøø biebieánán ngaãungaãu nhieânnhieân (X,(X, Y, ).Y, ). VD:VD: GieoGieo momoätät concon xuxuùcùc xaxaécéc lalaøø phepheùpùp ththöûöû ““ gieogieo xuxuùcùc xaxaécéc”” QuanQuan sasaùtùt mamaëtët 11 chachaámám ththìì ++ MaMaëtët 11 chachaámám xuaxuaátát hiehieänän hayhay khoângkhoâng lalaøø b.c.n.nb.c.n.n ++ XX == {0;{0; 1}:1}: sosoáá lalaànàn xuaxuaátát hiehieänän mamaëtët 11 chachaámám trongtrong momoätät lalaànàn gieogieo lalaøø biebieánán ngaãungaãu nhieânnhieân
  4. 1.2.1.2. MoMoäätt sosoáá loaloaïiïi biebieánán cocoáá vavaøø lieânlieân heheää 1.2.1.1.2.1. BieBieánán cocoáá chachaécéc chachaénén ()W:: ssöïöï kiekieänän chachaécéc chachaénén xaxaûyûy rara VD:VD: PhePheùpùp ththöûöû ““ kiekieåmåm tratra SvSv”” ththìì biebieánán cocoáá chachaécéc chachaénén lalaøø {{ññaaïtït hoahoaëcëc khoângkhoâng ññaaïtït}.}. 1.2.2.1.2.2. BieBieánán cocoáá khoângkhoâng thetheåå ()Æ :: ssöïöï kiekieänän khoângkhoâng thetheåå xaxaûyûy rara VD:VD: PhePheùpùp ththöûöû ““ gieogieo xuxuùcùc xaxaécéc”” ththìì biebieánán cocoáá xuaxuaátát hiehieänän mamaëtët 77 chachaámám lalaøø khoângkhoâng thetheå.å.
  5. 1.2.3.1.2.3. BieBieánán cocoáá totoångång:: CAB=ÈÛAA hoahoaëcëc BB xaxaûyûy rara 1.2.4.1.2.4. BieBieánán cocoáá sôsô cacaápáp:: biebieánán cocoáá khoângkhoâng thetheåå phaânphaân ttííchch thathaøønhnh totoångång cucuûaûa cacaùcùc biebieánán cocoáá khakhaùcùc 1.2.5.1.2.5. BieBieánán cocoáá ttííchch:: CAB=Ç (AB) ÛAA vavaøø BB ññooàngàng thôthôøiøi xaxaûyûy rara
  6. 1.2.6.1.2.6. BieBieánán cocoáá xungxung khakhaécéc:: biebieánán cocoáá AA vavaøø BB khoângkhoâng ññooàngàng thôthôøiøi xaxaûyûy rara VD:VD: PhePheùpùp ththöûöû ““ kiekieåmåm tratra SvSv”” ththìì biebieánán cocoáá A:A: ““11đđññieieåmåm”” vavaøø B:B: ““55 ññieieåmåm”” lalaøø xungxung khakhaécéc 1.2.7.1.2.7. BieBieánán cocoáá ññooáiái lalaäpäp:: biebieánán cocoáá ““khoângkhoâng xaxaûyûy rara biebieánán cocoáá AA””,, kykyùù hiehieäuäu A VD:VD: PhePheùpùp ththöûöû ““ gieogieo hahaïtït”” ththìì biebieánán cocoáá A:A: ““hahaïtït nanaûyûy mamaàmàm”” vavaøø A:: ““ hahaïtït khoângkhoâng nanaûyûy mamaàmàm””
  7. ChuChuùù yyùù:: HaiHai biebieánán cocoáá ññooáiái lalaäpäp lalaøø xungxung khakhaécéc,, ngngööôôïcïc lalaïiïi khoângkhoâng ññuuùngùng 1.2.8.1.2.8. BieBieánán cocoáá ññooàngàng khakhaûû naêngnaêng:: CaCaùcùc biebieánán cocoáá cocoùù khakhaûû naêngnaêng xuaxuaátát hiehieänän nhnhöö nhaunhau trongtrong momoätät phepheùpùp ththöûöû
  8. 1.3.1.3. ĐĐịịnhnh nghnghĩĩaa xaxaùcùc susuấấtt 1.3.1.1.3.1. ÑÑònhònh nghnghóóaa cocoåå ññieieånån TrongTrong momoätät phepheùpùp ththöûöû cocoùù nn biebieáânáân cocoáá ññooàngàng khakhaûû naêngnaêng,, trongtrong ññooùù cocoùù mm khakhaûû naêngnaêng thuathuaänän lôlôïiïi chocho biebieánán cocoáá AA xuaxuaátát hiehieänän ththìì m P(A) = . n
  9. VVíí duduï:ï: MoMoätät loâloâ hahaøngøng cocoùù 1010 sasaûnûn phaphaåmåm,, trongtrong ññooùù cocoùù 22 sasaûnûn phaphaåmåm xaxaáuáu LaLaáyáy ngaãungaãu nhieânnhieân 11 sasaûnûn phaphaåmåm ÑÑaaëtët AA lalaøø biebieánán cocoáá lalaáyáy ñöñöôôïcïc sasaûnûn phaphaåmåm totoátát ththìì 8 P(A) = = 0,8. 10
  10. VD: Coù 10 haønh khaùch leân ngaãu nhieân 3 toa taøu . Tính xaùc suaát ñeå toa thöù nhaát coù 4 haønh khaùch.
  11. + Soá caùch 10 haønh khaùch leân 3 toa laø 310. + Soá caùch 4 haønh khaùch leân toa 4 1 laø C10. + Soá caùch 6 haønh khaùch coøn laïi leân 2 toa laø 26. 2C64 Þ=P(A) 10 . 310
  12. 1.3.2. Ñònh nghóa theo thoáng keâ Quan saùt bieán coá A trong moät pheùp thöû naøo ñoù, laëp laïi pheùp thöû n laàn vôùi ñieàu kieän nhö nhau. Goïi k laø soá laàn xuaát hieän A k Þ=P(A) (vôùi n lôùn). n
  13. VD: 0 Xaùc suaát sinh con trai laø 51 0. Xaùc suaát maët saáp ngöûa khi tung 1 ñoàng xu laø . 2
  14. 1.3.3. Ñònh nghóa theo hình hoïc Cho mieàn W. Goïi ñoä ño cuûa Wlaø ñoä daøi, dieän tích, theå tích (öùng vôùi W laø ñöôøng cong, mieàn phaúng, khoái). Goïi A laø bieán coá ñieåm MSÎÌW. Ta coù ño äño S P(A) = . ño äño W
  15. VD: Tìm xaùc suaát cuûa ñieåm M rôi vaøo hình troøn noäi tieáp hình vuoâng caïnh 2 cm.
  16. Baøi taäp Baøi 1 Coù 10 vieân bi, trong ñoù coù 5 ñoû. Laáy ngaãu nhieân 6 vieân. Tính xaùc suaát coù 3 ñoû.
  17. Baøi 2 Hai ngöôøi heïn gaëp ôû 1 ñòa ñieåm xaùc ñònh khoaûng 9g – 10g. Ngöôøi ñeán tröôùc seõ ñôïi 10 phuùt, sau ñoù neáu khoâng gaëp seõ ñi. Tính xaùc suaát ñeå hai ngöôøi gaëp nhau (bieát raèng moãi ngöôøi ñeán ñieåm heïn 1 caùch ngaãu nhieân).
  18. 1.3.4. Tính chaát i/ 0p(A)1££, vôùi moïi b.c A. ii/ P(Æ= ) 0. iii/ P(W= ) 1.
  19. 1.3.5. YÙ nghóa cuûa xaùc suaát Xaùc suaát laø soá ño möùc ñoä tin chaéc, thöôøng xuyeân xaûy ra cuûa 1 bieán coá trong pheùp thöû. Chuù yù: Xaùc suaát phuï thuoäc vaøo ñieàu kieän cuûa pheùp thöû.
  20. §2. Moät soá coâng thöùc tính xaùc suaát 2.1. Coâng thöùc coäng 2.1.1. Coâng thöùc thöù nhaát Neáu A vaø B xung khaéc thì P(AU B) = P(A) + P(B)
  21. VD: Loâ haøng coù 20 saûn phaåm, trong ñoù coù 5 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 1 saûn phaåm toát.
  22. Giaûi Goïi Ai: “laáy ñöôïc i sp toát”, i=1; 2 ⇒ A=AUA.12 A: “laáy ñöôïc ít nhaát 1sp toát. P(A) = P(A12 UA ) =P(A)+P(A)12 11 2 CC515 C 15 =+22 CC20 20
  23. 2.1.2. Coâng thöùc thöù hai Vôùi 2 bieán coá A, B baát kyø thì P(AUB) = P(A) + P(B) − P(A B).
  24. VD: Trong 20 boùng ñeøn coù 5 boùng bò vôõ, 3 boùng bò chaùy, 2 boùng vöøa bò vôõ vöøa bò chaùy. Laáy ngaãu nhieân 1 boùng. Tính xaùc suaát boùng ñeøn bò hoûng.
  25. Goïi A “ boùng ñeøn bò vôõ”. B: “ boùng ñeøn bò chaùy”. C: “ boùng ñeøn bò hoûng”. P(C) = P(A) + P(B) - P(AB) 5323 =+−= 20 20 20 10
  26. 2.2. Coâng thöùc nhaân 2.2.1. Xaùc suaát coù ñieàu kieän Trong moät pheùp thöû, xeùt 2 bieán coá baát kyø A, B vôùi P(B)> 0.
  27. Xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa A vôùi ñieàu kieän B ñaõ xaûy ra ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa P(AB) P(A/ B) = P(B)
  28. 2.2.2. Coâng thöùc nhaân a/ A vaø B laø 2 bieán coá ñoäc laäp neáu B coù xaûy ra hay khoâng cuõng khoâng aûnh höôûng ñeán khaû naêng xaûy ra A. Ta coù P(AB)= P(A).P(B)
  29. VD: Coù 2 hoäp bi, trong ñoù hoäp I coù 3 vieân xanh vaø 7 vieân ñoû; hoäp II coù 5 vieân xanh vaø 7 ñoû. Choïn ngaãu nhieân 1 vieân ôû loâ I vaø 1 vieân ôû loâ II. Tính xaùc suaát ñeå caû 2 vieân ñeàu xanh.
  30. Goïi Ai: “choïn 1 vieân xanh ôû hoäp thöù i” (i = 1; 2). A: “choïn ñöôïc 2 vieân maøu xanh”. Ta coù P(A)= P(A12 A ) 35 1 ===P(A )P(A ) . . 1210 12 8
  31. b/ Vôùi A, B khoâng ñoäc laäp thì P(AB)= P(B)P(A/ B) VD: Moät toå coù 4 nam vaø 3 nöõ. Choïn lieân tieáp 2 ngöôøi. Tìm xaùc suaát ñeå a/ Caû 2 laø nöõ. b/ Coù 1 nam vaø 1 nöõ.
  32. Ñaët Ai: “ choïn ñöôïc nöõ ôû laàn thöù i”. Bi:“choïn ñöôïc nam ôû laàn thöù i”. a/ Goïi A: “ choïn ñöôïc 2 nöõ”. Ta coù A=Þ= A12 A P(A) P(A12 A ) 32 1 ==P(A)P(A/A) . =. 12176 7
  33. b/ Goïi B:“choïn ñöôïc moät nam vaø moät nöõ”. Ta coù P(B)=U P(A12 B A 21 B ) xk P(A12 B )+ P(A 21 B ) = P(A121 )P(B / A ) + P(B121 )P(A / B ) 34 43 4 =+= 76 76 7
  34. VD: Xaùc suaát ñeå moät SV thi heát moân ñaït laàn 1 laø 0,6 vaø laàn 2 laø 0,8. Tìm xaùc suaát ñeå SV ñoù thi ñaït moân hoïc, bieát raèng moãi SV chæ ñöôïc pheùp thi toái ña 2 laàn.
  35. Goïi Ai: “SV ñoù thi ñaït laàn thöù i”, i=1; 2. A: “SV ñoù thi ñaït moân hoïc”. Þ=ÈP(A) P(A112 A A ) xk P(A112 )+ P(A A ) ñl P(A112 )+ P(A )P(A ) =+0, 6 0, 4.0, 8 = 0, 92.
  36. 2.3. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû vaø Bayes. Heä n caùc bieán coá A1; A2; ; An ñöôïc goïi laø ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi neáu trong pheùp thöû baét buoäc coù 1 vaø chæ 1 bieán coá xaûy ra.
  37. VD: Moät hoäp coù 3 loaïi maøu xanh, ñoû vaø vaøng. Choïn ngaãu nhieân moät maøu. Goïi A, B, C laø bieán coá choïn ñöôïc maøu xanh, ñoû, vaøng töông öùng thì A, B, C laø heä ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi.
  38. 2.3.1. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû Cho heä Ai (i = 1; 2; ; n) ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. B laø bieán coá baát kyø trong pheùp thöû, ta coù P(B)= P(A11 )P(B/ A ) ++P(A)P(B/A)22 + P(Ann )P(B/ A ) n = å P(Ajj )P(B/ A ) j1=
  39. VD: Moät xí nghieäp coù 2 phaân xöôûng vôùi caùc 0 0 tæ leä pheá phaåm töông öùng laø 1 0 vaø 2 0. 0 Bieát phaân xöôûng I saûn xuaát 40 0 coøn 0 phaân xöôûng II saûn xuaát 60 0 saûn phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå töø kho cuûa xí nghieäp choïn ngaãu nhieân ñöôïc 1 pheá phaåm.
  40. Goïi A1, A2 laø bieán coá laáy ñöôïc 1 saûn phaåm cuûa phaân xöôûng I, II thì A1, A2 laø nhoùm ñaày ñuû vaø xung khaéc. Goïi A: “ laáy ñöôïc moät pheá phaåm”. P(A)= P(A11 )P(A/ A ) + P(A)P(A/A)22 00 00 0 =+=4000 .1 60 00 .2 1,6 0.
  41. 2.3.2. Coâng thöùc Bayes Cho heä Ak (k = 1; 2; ; n) ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. B laø bieán coá baát kyø trong pheùp thöû. Xaùc suaát ñeå xuaát hieän Ak sau khi ñaõ xuaát hieän B laø P(A)P(B/A)kk P(Ak / B) = n å P(Aj )P(B/ Aj ) j1=
  42. VD (tieáp) Giaû söû laáy ra ñöôïc 1 pheá phaåm tìm xaùc suaát ñeå pheá phaåm laø cuûa phaân xöôûng I. Giaûi P(A1 / A) = P(A)P(A/A) = 11 P(A1122 )P(A/ A )+ P(A )P(A/ A ) = 25%.
  43. Baøi taäp Coù 3 hoäp gioáng nhau: hoäp I chöùa 20 bi traéng; hoäp II chöùa 10 bi traéng vaø 10 bi xanh; hoäp III chöùa 20 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân moät hoäp vaø töø ñoù boác ngaãu nhieân ra ñöôïc 1 bi traéng. Tìm xaùc suaát ñeå vieân bi ñoù laø cuûa hoäp I.
  44. Goïi Ak: “ choïn hoäp thöù k” (k = 1; 2; 3). Suy ra {Ak} ñaày ñuû vaø xung khaéc. B: “ boác ñöôïc bi traéng”. P(A )P(B/ A ) 2 P(A / B) ==11. 1 3 3 å P(Ajj )P(B/ A ) j1=
  45. Chöông II. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN §1. Luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân 1.1. Khaùi nieäm veà ñaïi löôïng ngaãu nhieân Trong pheùp thöû, ta quan taâm ñeán söï xuaát hieän cuûa bieán coá A naøo ñoù. Ñaëc tröng ñònh löôïng trong keát quaû laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân (bieán ngaãu nhieân), kyù hieäu: X, Y, Z,
  46. VD: Baén lieân tieáp n vieân ñaïn ñoäc laäp vaøo bia, goïi X laø soá vieân ñaïn truùng ñích Þ=X {0, 1, 2, , n} . 1.2. Luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân 1.2.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc Xeùt X= {x12 , x , , x n } vôùi xaùc suaát töông öùng laø pjj== P[X x ], j = 1,2, , n. Ta coù baûng phaân phoái Xx1 x2 xj xn X P p1 p2 pj pn
  47. Haøm phaân phoái Giaû söû xx x12 x îï n Taïi x baát kyø thì F(x)= å pj vaø xxj < P[xkk£< X x++1k ] = F(x1k ) - F(x ).
  48. VD: Moät loâ sp coù 5 sp toát vaø 4 sp xaáu. Laáy ngaãu nhieân töø loâ ra 3 sp. Goïi X laø soá sp toát trong 3 sp laáy ra. Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X, vieát haøm phaân phoái vaø tính P[1£< X 3]. Giaûi Ta coù X = {0; 1; 2; 3}. k3k- CC54 P[X== k]3 , k = 0;1;2; 3 C9
  49. ïì 0, x£ 0 ï ï 1 ï , 0 3 îï 37 1 35 P[1£<= X 3] F(3) - F(1) = - =. 42 21 42
  50. 1.2.2. Tröôøng hôïp lieân tuïc X nhaän caùc giaù trò laáp ñaày (a; b) (a, b coù theå voâ haïn). ÖÙng vôùi moãi x(a;b)Î , xaùc suaát taïi x kyù hieäu b laø f(x)³ 0 vaø ò f(x)dx= 1. a Ta coù b P[a£ X £b= ]ò f(x)dx, (a £a<b£ b) a
  51. §2. Moät soá luaät phaân phoái ñaëc bieät 2.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc 2.1.1. Phaân phoái sieâu boäi XÎ H(N,N,n)A Xeùt taäp coù N phaàn töû, trong ñoù coù NA phaàn töû coù tính chaát A. Töø taäp ñoù laáy ra n phaàn töû. Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát A thì X coù phaân phoái sieâu boäi.
  52. Ñònh nghóa Phaân phoái sieâu boäi laø phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X = {0; 1; 2; ; n} vôùi xaùc suaát knk- CCNNNAA- töông öùng laø pP[Xk]k === n CN VD: Töø boä baøi 52 caây coù 4 caây At, laáy ra 3 caây. Tính xaùc suaát ñeå coù 2 caây At. Giaûi Goïi X laø soá At trong 3 caây laáy ra, XH(52,4,3)Î . 21 CC448 Þ==»P[X 2] 3 0,01. C52
  53. 2.1.2. Phaân phoái nhò thöùc XB(n,p)Î Daõy pheùp thöû Bernoulli laø daõy n pheùp thöû thoûa 3 ñieàu kieän i/ Caùc pheùp thöû ñoäc laäp vôùi nhau. ii/ Trong moãi pheùp thöû ta chæ quan taâm ñeán 1 b.c A. iii/ Trong moãi pheùp thöû xaùc suaát thaéng lôïi luoân laø haèng soá P(A)==-=<< p,P(A) 1 p q, (0 p 1)
  54. Ñònh nghóa Phaân phoái nhò thöùc laø phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X = {0; 1; 2; ; n} vôùi xaùc suaát töông kknk- öùng laø pP[Xk]Cpqkn=== . VD: Chôi 10 vaùn baàu cua lieân tieáp, tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 1 vaùn cöûa cua thaéng.
  55. Giaûi Chôi 10 vaùn laø 10 pheùp thöû ñoäc laäp (n = 10). 1 Goïi A: “cöûa cua thaéng” Þ=P(A) . 6 1 X: soá vaùn cöûa cua thaéng ÞÎXB10, ( 6) P[X³=- 1] 1 P[X <=- 1] 1 P[X = 0] 150 10 =-1 C0 »83, 85%. 10 ()66()
  56. VD Xaùc suaát ñeå 1 con gaø ñeû laø 0,6. Trong chuoàng coù 10 con. Tính xaùc suaát ñeå trong 1 ngaøy coù a/ 10 con gaø ñeû; b/ 8 con ñeû; c/ taát caû khoâng ñeû. Giaûi X = {0;1;2; ;10}, n = 10, p = 0, 6 Þ XÎ B(10; 0, 6) . kk10k- P[X== k] C10 (0,6) (0,4) .
  57. Baøi taäp Baén lieân tieáp 3 vieân ñaïn ñoäc laäp vaøo bia. Xaùc suaát truùng ñích cuûa moãi vieân laø 0,6. Goïi X laø soá vieân ñaïn truùng ñích. Laäp baûng phaân phoái cuûa X vaø vieát haøm phaân phoái. Ñaëc bieät Khi n = 1 ta coù phaân phoái Bernoulli XB(p)Î X 0 1 PX q p
  58. 2.1.3. Phaân phoái Poisson XP(),Î ll>0 Phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X nhaän caùc giaù trò 0, 1, 2, , k, vôùi xaùc suaát töông öùng laø e.-l l k pP[Xk]=== . k k! Ñònh lyù Khi n lôùn vaø p beù thì XB(n,p)XP(),np.Î » Î ll= Ñònh lyù Khi N >> n thì N XλÎ= H(N,N ,n) X B(n,p),pA . A N
  59. VD Moät loâ haøng coù 1% pheá phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå khi choïn ra 500 saûn phaåm coù a/ Taát caû ñeàu toát; b/ 1 pheá phaåm. Giaûi XÎ B(500; 0, 01),l= np = 500x0, 01 = 5. e.5- 50 a/ P[X== 0] . 0! e.5- 51 b/ P[X== 1] . 1!
  60. 2.1.4. Phaân phoái chuaån XN,Îmss>m=()2 , 0,const. Phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc X nhaän giaù trò treân R vôùi haøm maät ñoä phaân phoái (x-m )2 1 - f(x)= e 2s 2 . s 2p
  61. a. Phaân phoái chuaån ñôn giaûn TN0,1,1,0Î ()s= m= . t2 1 - Haøm maät ñoä phaân phoái f(t)= e 2 . 2p Tích phaân Laplace x t2 1 - j (x)= e2 dt=P[0££ T x],T Î N(0,1) ò 2p 0
  62. Tính chaát i/ j (x)-=-j (x). ii/ P[a£ T £b=jb-ja ] ( ) ( ). VD TN(0,1),P[3T1](1)(3)Î -£ £ =j + j =+=0, 3413 0, 4987 0, 84.
  63. b. Toång quaùt XN,Îms( 2 ) X-m Ñaët TTN0=ÞÎ( ,1). s Phöông phaùp tính 2 Cho XN,Îms( ), tính P[x12££ X x ]. xx-m -m Ñaët a=12, b= ss Þ££=jb-jaP[x12 X x ] ( ) ( ).
  64. VD Troïng löôïng cuûa 1 loaïi saûn phaåm X coù phaân phoái chuaån vôùi m=10kg, s = 0, 5. Tính tæ leä nhöõng saûn phaåm coù troïng löôïng töø 9, 5kg® 11kg . Giaûi æöæ11 10 9, 5 10ö P[9,5££ X 11] =jçç÷ -j ÷ èøèçç0, 5÷ 0, 5 ø÷ = j (2)- j (-= 1) 0,82.
  65. 2 2.1.5. Phaân phoái c n (khi bình phöông) Cho n ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp Xj (j = 1,2, ,n) 2 coù phaân phoái chuaån XN,j Îms( ). Khi ñoù ñaïi n 2 1 2 löôïng ngaãu nhieân c=nj2 å ()X -mcoù phaân s j1= phoái c 2 vôùi n baäc töï do vôùi haøm maät ñoä ì 0, x£ 0 ï ï nx +¥ ï 1 ï 22 xt t f(x)=c 2 í x.e , G=(x) t edt ï n ,x> 0 ò ï n 0 ï 2.2 G îï ()2
  66. 2.1.6. Phaân phoái Student Tn T Vôùi TN(0,1)Î , thì T = coù phaân phoái n 2 c n n Student vôùi n baäc töï do vaø haøm maät ñoä n1+ n1+ G - ()2 æöx 2 2 f(x)=+ ç1 ÷ Tn n ç ÷ n.pG èøn ()2
  67. Chöông III. VECTOR NGAÃU NHIEÂN §1. Luaät phaân phoái cuûa vector ngaãu nhieân 1.1. Ñònh nghóa Caëp 2 ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñöôïc xeùt ñoàng thôøi (X,Y) ñöôïc goïi laø 1 vector ngaãu nhieân. + X, Y rôøi raïc Þ (X,Y) rôøi raïc. + X, Y lieân tuïc Þ (X,Y) lieân tuïc.
  68. 1.2. Luaät phaân phoái (X, Y rôøi raïc) 1.2.1. Baûng phaân phoái ñoàng thôøi X Y y1 y2 yj yn P X x1 p11 p12 p1j p1n p1 x2 p21 p22 p2j p2n p2 . xi pi1 pi2 pij pin pi . xm . pm pm1 pm2 pmj Y pmn P q1 q2 qj qn 1
  69. Pij = P[X = xi, Y = yj](i= 1, ,m; j = 1, ,n) laø xaùc mn suaát ñeå X = xi, Y = yj vaø ååp1ij = . i1j1== VD X Y y1 y2 P X x1 0,05 0,30 0,35 x2 0,45 0,20 0,65 PY 0,50 0,50 1
  70. 1.2.2. Phaân phoái leà Phaân phoái leà cuûa X Xx1 x2 xi xm X P p1 p2 pi pm nn ååpij === p[X xi , Y yj ] p[X xii ] p j1== j1
  71. Phaân phoái leà cuûa Y Yy1 y2 yi y Y n P q1 q2 qi qn mm ååpij = p[X = xi , Y == y j ] p[Y == yj ] q j i1== i1
  72. 1.2.3. Phaân phoái coù ñieàu kieän P[X= xijij , Y= y ] p p=P[X=x/Y=y]=i/ j i j = P[Y= yjj ] q P[X= xijij , Y= y ] p qj/ i = P[Y= yj / X= x i ]= = P[X= xii ] p
  73. VD Y 0 1 PX X 0 0,15 0,25 0,40 1 0,30 0,30 0,60 PY 0,45 0,55 1 0, 25 p[X=== 0 / Y 1] 0, 55 0, 30 p[Y=== 1/ X 1] 0, 60
  74. VD Moät hoäp coù 2 saûn phaåm xaáu vaø 3 saûn phaåm toát. Laáy 2 laàn , moãi laàn 1 saûn phaåm. 1, neáu laàn 1 laáy ñöôïc sp toát  Ñaët X= 0, neáu laàn 1 laáy ñöôïc sp xaáu  1, neáu laàn 2 laáy ñöôïc sp toát  Y= . 0, neáu laàn 2 laáy ñöôïc sp xaáu  a/ Tìm phaân phoái ñoàng thôøi cuûa (X, Y). b/ Tìm phaân phoái leà cuûa X, Y.
  75. Giaûi 21 P[X=0, Y=0] = P[X=0]P[Y=0/X=0] = .0,1= 54 23 P[X=0, Y=1] = P[X=0]P[Y=1/X=0] = .0,3= 54 P[X=1, Y=0] = P[X=1]P[Y=0/X=1] = 0,3 P[X=1, Y=1] = P[X=1]P[Y=1/X=1] = 0,3. Y 0 1 PX X 0 0,1 0,3 0,4 1 0,3 0,3 0,6 PY 0,4 0,6 1
  76. Chöông IV. HAØM CUÛA CAÙC ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN Trong thöïc teá, ñoâi khi ta xeùt ñ.l.n.n phuï thuoäc vaøo 1 hay nhieàu ñ.l.n.n khaùc ñaõ bieát luaät phaân phoái. 1. Tröôøng hôïp 1 chieàu (rôøi raïc) VD Cho Y(X)X=j = 2, bieát X –1 0 1 2 PX 0,1 0,3 0,4 0,2
  77. Ta coù X –1 0 1 2 Y = X2 1 0 1 4 Suy ra Y 0 1 4 PY 0,3 0,1 + 0,4 0,2
  78. 2. Tröôøng hôïp nhieàu chieàu (rôøi raïc) VD Cho Z(X,Y)2XY5=j = - + , bieát Y –1 0 1 X 1 0,1 0,15 0,05 2 0,3 0,2 0,2 p 14444444442ij 4444444443
  79. Ta coù Y –1 0 1 X 1 8 7 6 2 10 9 8 1444444442 Z 444444443 Suy ra Z 6 7 8 9 10 PZ 0,05 0,15 0,1 + 0,2 0,2 0,3
  80. Chöông V. CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN §1. Caùc ñaëc tröng soá Töø luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân ruùt ra vaøi soá ñaëc tröng cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoù (giuùp ta so saùnh giöõa caùc ñaïi löôïng vôùi nhau) ñöôïc goïi laø caùc ñaëc tröng soá.
  81. 1.1. Mod[X] (mode) Ñònh nghóa Mod[X] laø giaù trò maø taïi ñoù X nhaän xaùc suaát lôùn nhaát (neáu X rôøi raïc) hay haøm maät ñoä ñaït cöïc ñaïi (neáu X lieân tuïc). VD Cho X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X 0 1 2 4 5 8 PX 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1 Mod[X] = 2.
  82. : 1.2. Trung vò X (Med[X]) Trung vò laø 1 giaù trò cuûa X maø taïi ñoù xaùc suaát ñöôïc éùé::ù chia ñoâi, nghóa laø PXêúê£= X PX ³ Xú. ëûëû VD Cho X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X 1 2 3 4 5 PX 0,1 0,2 0,15 0,1 0,45 : XMed[X]4==
  83. 1.3. Kyø voïng toaùn M(X) 1.3.1. Ñònh nghóa Cho X rôøi raïc coù phaân phoái Xx1 x2 xi xn X P p1 p2 pi pn thì n M(X)=+ x11 p x 2 p 2 ++= x n p n∑ x i p i +∞ i1= + Neáu X lieân tuïc thì M(X)= ∫ xf (x)dx. −∞
  84. VD Trong bình ñöïng 10 quaû caàu gioáng nhau nhöng khaùc troïng löôïng goàm 5 quaû naëng 1kg, 2 quaû 2kg vaø 3 quaû 3 kg. Laáy ngaãu nhieân 1 quaû, goïi X laø troïng löôïng quaû caàu ñoù. X coù luaät phaân phoái X 1kg 2kg 3kg PX 0,5 0,2 0,3 Suy ra M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8kg.
  85. 1.3.2. YÙ nghóa Kyø voïng laø giaù trò trung bình (theo xaùc suaát) cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, laø trung taâm ñieåm cuûa phaân phoái maø caùc giaù trò cuï theå cuûa X seõ taäp trung quanh ñoù.
  86. Baøi toaùn Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X vaø Y(X)= ϕ . Tính M(Y)=ϕ M[ (X)]. a/ Tröôøng hôïp X rôøi raïc Xx1 x2 xi X x P p1n p2 pi Xeùt baûng pn ϕ(x ) ϕ(X) ϕ(x1 ) ϕ(x2 ) ϕ(xi ) n Y P p1 p2 pi n pn M[ϕ=ϕ (X)]∑ (xii )p i1=
  87. VD Cho Y(X)X=j = 2, bieát X –1 0 1 2 PX 0,1 0,3 0,4 0,2 Ta coù j (X) 1 0 1 4 PY 0,1 0,3 0,4 0,2 ÞjM[ (X)] = 1.0,1+ 0.0, 3+ 1.0, 4+ 4.0, 2= 1, 3
  88. b/ Tröôøng hôïp X lieân tuïc coù haøm maät ñoä f(x) +¥ thì M[j=j (X)]ò (x)f(x)dx. -¥ Chuù yù Trong baûng phaân phoái cuûa X coù moät Mod[X] vaø ñoái : xöùng thì Mod[X]== X M(X). VD X 1 2 4 6 7 PX 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
  89. 1.4. Phöông sai D(X) 1.4.1. Ñònh nghóa D(X)=- M{[X M(X)]2 } hoaëc D(X)=-mm= M[(X )2 ], M(X). VD X 1 2 3 PX 0,2 0,7 0,1 m=M(X) = 1.0, 2 + 2.0, 7 + 3.0,1 = 1,9 Þ D(X)= (1 -1,9)222 .0,2+ (2 -1,9) .0,7+ (3 -1,9) .0,1
  90. Coâng thöùc thöôøng duøng D( X)=- M( X22 ) [M( X) ] Khi ñoù nnæö2 D(X)=- x2 pç x p ÷ , X rôøi raïc. ååjj ç jj÷ j1==èøç j1 +¥ æö+¥ 2 2 ÷ D(X)=- x f(x)dxç xf(x)dx ÷ , X lieân tuïc. òòç ÷ -¥ èø-¥ VD Trong ví duï treân ta coù D( X)=++- 1222 .0, 2 2 .0, 7 3 .0, 1 (1, 9) 2.
  91. 1.4.2. YÙ nghóa Phöông sai laø sai soá bình phöông trung bình cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X so vôùi trung taâm ñieåm kyø voïng. Phöông sai duøng ñeå ño möùc ñoä phaân taùn cuûa X quanh kyø voïng. 1.5. Ñoä leäch tieâu chuaån s=(X) D(X)
  92. Baøi taäp Baøi 1. Moät baø meï sinh 2 con (moãi laàn sinh 1 con). Xaùc suaát sinh con trai laø 0,51. Goïi X laø soá con trai trong 2 laàn sinh. Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
  93. Baøi 2. Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm toát vaø 2 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân 2 saûn phaåm töø loâ haøng ñoù, goïi X laø soá pheá phaåm trong 2 saûn phaåm laáy ra. Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
  94. Baøi 3. Theo thoáng keâ, moät ngöôøi Myõ 25 tuoåi seõ soáng theâm treân 1 naêm coù xaùc suaát laø 0,992 vaø ngöôøi ñoù cheát trong voøng 1 naêm tôùi laø 0,008. Moät chöông trình baûo hieåm ñeà nghò ngöôøi ñoù baûo hieåm sinh maïng cho 1 naêm vôùi soá tieàn chi traû laø 1000 USD, phí baûo hieåm laø 10 USD. Hoûi coâng ty ñoù coù laõi khoâng ?
  95. Baøi 4. Moät ngöôøi mua 1 veù xoå soá trò giaù 2.000 ñoàng. Bieát raèng veù soá coù 6 chöõ soá. Cô caáu truùng giaûi: + Moät giaûi 8 truùng 2 chöõ soá cuoái thöôûng 20.000ñ. + Moät giaûi 7 truùng 3 chöõ soá cuoái thöôûng 50.000ñ. + Naêm giaûi 6 truùng 4 chöõ soá cuoái thöôûng 100.000ñ. + Hai giaûi 5 truùng 4 chöõ soá cuoái thöôûng 200.000ñ. + Ba giaûi 4 truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 500.000ñ. + Hai giaûi 3 truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 1 trieäu. + Moät giaûi nhì truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 2 trieäu. + Moät giaûi nhaát truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 5 trieäu. + Moät giaûi ñaëc bieät truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 50 trieäu ñoàng. Hoûi ngöôøi mua veù soá coù laõi khoâng?
  96. §2. CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA VECTOR (X, Y) 2.1. Ñaëc tröng cuûa phaân phoái coù ñieàu kieän 2.1.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc Xx1 x2 xi xm X/Y=y P j P1/j p2/j pi/j pm/j Yy1 y2 yj yn Y/X=x P i q1/i q2/i qj/i qn/i
  97. a/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y = yj m MX/Y[]== yj å xpii/j i1= Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi ñieàu kieän X = xi n MY/X[]== xi å yqjj/i j1=
  98. b/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y + M(X/Y) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò M(X/yj) khi Y = yj vaø Y=(Y) M(X/ Y). + M(Y/X) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò M(Y/xi) khi X = xi vaø Y=(X) M(Y/ X). 2.1.2. Tröôøng hôïp lieân tuïc M(X / y)==ò xf(x / y)dxY (y) M(Y / x)==ò yf(y / x)dyY (x) .
  99. 2.2. Kyø voïng cuûa haøm 1 vector ngaãu nhieân (rôøi raïc) Cho (X, Y) coù phaân phoái P[X=xi, Y=yj] = pij vaø Z(X,Y)=j thì mn M(Z)=j M[ (X, Y)] =åå j (xi , yj )pij . i1j1==
  100. VD Cho Z(X,Y)XY=j = + vaø baûng sau (X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 M(Z)=+ (0 0).0,1 ++ (0 1).0,2 ++ (0 2).0,3 ++(1 0).0, 05 + (1 + 1).0, 15 + (1 + 2).0, 2 = 1, 75.
  101. §2. CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA VECTOR (X, Y) 2.1. Ñaëc tröng cuûa phaân phoái coù ñieàu kieän 2.1.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc Xx1 x2 xi xm X/Y=y P j P1/j p2/j pi/j pm/j Yy1 y2 yj yn Y/X=x P i q1/i q2/i qj/i qn/i
  102. a/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y = yj m MX/Y[]== yjii/jå xp i1= Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi ñieàu kieän X = xi n MY/X[]== xijjå yq/i j1=
  103. b/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y + M(X/Y) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò M(X/yj) khi Y = yj vaø Y=(Y) M(X/ Y). + M(Y/X) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò M(Y/xi) khi X = xi vaø Y=(X) M(Y/ X). 2.1.2. Tröôøng hôïp lieân tuïc M(X / y)==ò xf(x / y)dxY (y) M(Y / x)==ò yf(y / x)dyY (x) .
  104. 2.2. Kyø voïng cuûa haøm 1 vector ngaãu nhieân (rôøi raïc) Cho (X, Y) coù phaân phoái P[X=xi, Y=yj] = pij vaø Z(X,Y)=j thì mn M(Z)=j M[ (X,Y)] =åå j (xijij , y )p . i1j1==
  105. VD Cho Z(X,Y)XY=j = + vaø baûng sau (X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 M(Z)=+ (0 0).0,1 ++ (0 1).0,2 ++ (0 2).0,3 ++(1 0).0, 05 + (1 + 1).0, 15 + (1 + 2).0, 2 = 1, 75.
  106. §3. TÍNH CHAÁT CUÛA CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ 3.1. Tính chaát cuûa kyø voïng M(X) + M(C) = C, vôùi C = const vaø P(C) = 1. + M(CX) = CM(X). + M(X + Y) = M(X) + M(Y). + M(XY) = M(X)M(Y), neáu X vaø Y ñoäc laäp.
  107. 3.2. Tính chaát cuûa phöông sai D(X) + D(C) = 0 vaø D(X) = 0 suy ra P[X = C] = 1. + D(CX) = C2D(X). + D(X +Y) = D(X) + D(Y), neáu X vaø Y ñoäc laäp. Ñaëc bieät + D(X + C) = D(X) + D(C) = D(X). + D(X – Y) = D(X) + (-1)2D(Y) = D(X) + D(Y).
  108. §4. ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA CAÙC ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN ÑAËC BIEÄT 4.1. XÎ H(N;NA ;n) knk- CCNNNAA- P[X== k] n =H(N;NA ;n;k). CN N Kyø voïng M(X)== np, pA . N N - n Phöông sai D(X)== npq , q 1- p. N - 1
  109. 4.2. XB(n;p)Î kknk- P[X== k] Cn p q (k = 0,n). a/ Mod[X]= k00Î {0;1; ;n}/{ P[X= k ]}max . Ta coù np-£ q k0 £ np -+ q 1. VD Cho XB(100;0,03)Î , ta coù np-= q 2,03 £ k0 £ np -+= q 1 3,03 Þ=Mod[X] 3.
  110. b/ Kyø voïng M(X)= np . c/ Phöông sai D(X)= npq . Ñaëc bieät ïì M(X)=p XB(p)ÎÞíï ,. n1 = îï D(X)=pq 4.3. XP()Î l MX()==l DX () . 2 4.4. XN;Îms( ) 2 Mod[] X==m=s M () X ,() D X .
  111. Chöông VI. ÑÒNH LYÙ GIÔÙI HAÏN TRONG XAÙC SUAÁT §1. Moät soá loaïi hoäi tuï trong xaùc suaát 1.1. Ñònh nghóa Cho X vaø daõy {Xi}, i = 1;2; ;n laø caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. a/ Hoäi tuï haàu chaéc chaén hcc XXPXX1nn¾¾¾®Û[]. ® =
  112. b/ Hoäi tuï trung bình toaøn phöông 2 XXMXX0.¾¾l2 ®Ûéù() - ® nnëûêú c/ Hoäi tuï theo xaùc suaát XXPXX00¾¾P ®Ûéù - ³e®"e>,. nnëû 1.2. Hoäi tuï theo phaân phoái a/ Ñònh lyù lieân heä giöõa sieâu boäi vaø nhò thöùc Neáu n coá ñònh, N taêng voâ haïn vaø N A ®¹¹p0p1 () thì N kknk- PX[](,,,)== k HNNAn nk ® Cpq .
  113. YÙ nghóa Neáu n nhoû khoâng ñaùng keå so vôùi N thì knk- CCNNN- N AA»==Cpqkknk- ,, pA k 0n. n n N () CN b/ Ñònh lyù giôùi haïn Poisson Neáu np0np®¥,, ® ®l thì e-ll k Cpqkknk- » . n k!
  114. c/ Ñònh lyù giôùi haïn tích phaân Moivre – Laplace Vôùi n ñuû lôùn, p khoâng quaù gaàn 0 vaø 1 thì kknk- 1 +==PX[] k Cpqn » ft(), vôùi npq t2 - 1knp2 - ft()== e , t . 2p npq æöæökhnp+- knp - çç÷÷ +P[k ££+»jXkh] çç÷÷ -j . èøèøççnpq÷÷ npq
  115. VD Trong 1 thaønh phoá coù 40% ngöôøi daân coù thu nhaäp cao. Choïn ngaãu nhieân 300 ngöôøi (choïn töøng ngöôøi). Tính xaùc suaát ñeå trong 300 ngöôøi ñöôïc choïn a/ Coù 140 ngöôøi coù thu nhaäp cao. b/ Coù khoaûng 100 – 140 ngöôøi thu nhaäp cao.
  116. Giaûi Ta coù n = 300, p = 0,4 vaø q = 0,6. 140- 300., 0 4 20 a/ t2==»,36 300., 0 4 ., 0 6 6 2 11 Þ==P[](,).,. X 140 f 2 36 » 0 0246 62 62 b/ P[],. 100££ X 140 » 0 9818
  117. PHAÀN II. THOÁNG KEÂ Chöông VII. LYÙ THUYEÁT MAÃU §1. Khaùi nieäm veà phöông phaùp maãu 1.1. Maãu vaø ñaùm ñoâng + Taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû maø ta caàn quan taâm ñeán moät (hay moät vaøi) daáu hieäu chung veà löôïng (hay chaát) cuûa caùc phaàn töû ñöôïc goïi laø ñaùm ñoâng. Daáu hieäu naøy thay ñoåi qua caùc phaàn töû taïo neân ñaïi löôïng ngaãu nhieân X.
  118. + Caùc ñaëc tröng cuûa X laø caùc ñaëc tröng cuûa ñaùm ñoâng. + Xeùt veà löôïng, ta quan taâm ñeán 2 ñaëc tröng sau Trung bình ñaùm ñoâng m= M(X), Phöông sai ñaùm ñoâng s=2 D(X). + Xeùt veà chaát, ta quan taâm ñeán tæ leä p cuûa caùc phaàn töû coù tính chaát A naøo ñoù vaø X = {0; 1}.
  119. + Taäp hôïp nhoû n phaàn töû ñöôïc choïn ra töø ñaùm ñoâng ñeå quan saùt goïi laø maãu. 1.2. Phöông phaùp maãu Phöông phaùp maãu laø choïn ra n phaàn töû ñaïi dieän cho ñaùm ñoâng, sau khi nghieân cöùu n phaàn töû naøy baèng caùc coâng cuï thoáng keâ ta ruùt ra keát luaän cho toaøn theå ñaùm ñoâng. + Ta chæ xeùt caùc keát quaû quan saùt ñoäc laäp.
  120. 1.3. Maãu toång quaùt vaø maãu cuï theå + Maãu goàm n phaàn töû quan saùt ñoäc laäp (X1,X2, ,Xn) laø maãu toång quaùt (maãu ngaãu nhieân) vôùi kích thöôùc maãu laø n. + Tieán haønh quan saùt, ta ñöôïc caùc giaù trò cuï theå Xx,jj== j1,n thì (x1,x2, ,xn) laø maãu cuï theå.
  121. + Khi xeùt lyù thuyeát ta duøng maãu toång quaùt, thöïc nghieäm thì ta duøng maãu cuï theå. + Xaùc suaát nghieân cöùu ñaùm ñoâng ñeå hieåu veà maãu coøn thoáng keâ thì ngöôïc laïi.
  122. 1.4. Saép xeáp soá lieäu thöïc nghieäm 1.4.1. Saép xeáp theo caùc giaù trò khaùc nhau Giaû söû maãu (X1,X2, ,Xn) coù k quan saùt khaùc nhau laø X1,X2, ,Xk (kn£ ) vaø Xi coù taàn soá ni vôùi nn12+++= n k n.
  123. VD Kieåm tra ngaãu nhieân 50 sinh vieân, keát quaû X 2 4 5 6 7 8 9 10 ni 4 6 20 10 5 2 2 1
  124. 1.4.1. Saép xeáp döôùi daïng khoaûng Neáu maãu (X1,X2, ,Xn) coù nhieàu quan saùt khaùc nhau, khoaûng caùch giöõa caùc quan saùt khoâng ñoàng ñeàu hoaëc caùc Xi khaùc nhau raát ít thì ta saép xeáp chuùng döôùi daïng khoaûng.
  125. + Xeùt khoaûng (xxmin, max ) chöùa toaøn boä quan saùt Xi. Chia (xxmin, max ) thaønh caùc khoaûng baèng nhau (hay lôùp ). + Soá khoaûng toái öu laø 1 + 3,322lgn, ñoä daøi khoaûng xx- laø h = max min . 13322n+ ,lg
  126. VD Ño chieàu cao cuûa 100 thanh nieân, ta coù baûng Lôùp (khoaûng) Taàn soá ni Taàn suaát n i n 148 – 152 5 0,05 152 – 156 20 0,2 156 – 160 35 0,35 160 – 164 25 0,25 164 – 168 15 0,15
  127. §2. CAÙC ÑAËC TRÖNG CUÛA ÑAÙM ÑOÂNG VAØ MAÃU 2.1. Caùc ñaëc tröng töông öùng (xem baûng tr. 119) XX++ Chuù yù Tæ leä maãu F = 1nvaø trung n n XX1n++ bình maãu X n = khaùc nhau ôû choã n trong Fn, caùc Xn chæ coù phaân phoái Bernoulli: ïì 0, neáu phaàn töû khoâng co ùtính chaát A ï X i = í ï 1, neáu phaàn töû co ùtính chaát A îï
  128. 2.2. Lieân heä giöõa ñaëc tröng cuûa maãu vaø ñaùm ñoâng Khi côõ maãu n khaù lôùn (côõ haøng chuïc trôû leân) thì caùc ñaëc tröng maãu xaáp xæ caùc ñaëc tröng töông öùng cuûa ñaùm ñoâng 2 $ 22 2 Xn »m,, Fpn » S »s , S »s. Trong thöïc nghieäm 2 22 2 xn »m,, fpn » $s »s , s »s.
  129. 2.3. Kyø voïng vaø phöông sai caùc ñaëc tröng maãu 2.3.1. Tæ leä maãu Fn XX++ MF()== M 1np, n ()n (kyø voïng cuûa tæ leä maãu baèng tæ leä ñaùm ñoâng). XXpq++ DF()== D 1n, n ()nn (caùc Xi coù phaân phoái Bernoulli).
  130. 2.3.2. Trung bình maãu MX( n ) =m= MX(). s 2 DX() DX()n == . nn 2.3.3. Kyø voïng cuûa phöông sai maãu 2 n1- MS$ =s2. () n Maãu coù hieäu chænh MS( 22) =s (söû duïng khi xeùt öôùc löôïng khoâng cheäch).
  131. §3. PHAÂN PHOÁI CUÛA CAÙC ÑAËC TRÖNG MAÃU 3.1. Phaân phoái cuûa tæ leä maãu Fn pq Vôùi n khaù lôùn thì FNpÎ ,. n ( n ) 3.2. Phaân phoái cuûa trung bình maãu 2 2 æ s ö a/ Vôùi n30³s, ñaõ bieát thì XNn Îmç , ÷ èç n ø÷ 2 2 æ S ö b/ Vôùi n30³s, chöa bieát thì XNn Îmç , ÷ èç n ø÷
  132. Vôùi n < 30, ta chæ xeùt X vaø Xi coù phaân phoái chuaån 2 2 æ s ö c/ s ñaõ bieát thì XNn Îmç , ÷. èç n ø÷ Xn - m d/ s 2 chöa bieát thì ta xeùt T = n1- S n coù phaân phoái Student vôùi n – 1 baäc töï do.
  133. n1- Cho bieát a vaø n ta tính ñöôïc t a sao cho n1- PT[]n1-a>=a t n1- PT[]n1-a£=-a t 1 . VD Cho n = 9, a=005, 91 91 P[] T91- >=Þ= t 005,, 0,, 05 t005 2 306.
  134. 3.3. Phaân phoái cuûa phöông sai maãu Giaû söû ñaùm ñoâng XNÎms( , 2 ), khi ñoù n 2 nn11$ - 2 2 222SS==å () XXi -n sssi1= 2 seõ coù phaân phoái c n1- .
  135. §4. THÖÏC HAØNH TÍNH CAÙC ÑAËC TRÖNG MAÃU CUÏ THEÅ + Trong maãu coù m phaàn töû coù tính chaát A maø ta m quan taâm thì f = . n n + Phöông sai maãu coù hieäu chænh n 2 2 1n2 $ SXXS=-=å ()i n . n1 i1= n1
  136. 4.1. Tính xn xx12+++ x n xn = . n a/ Neáu xj laëp laïi nj laàn thì 1 n xxnn = å j j. n j1=
  137. b/ Neáu tröø taát caû xj cho x0 naøo ñoù ñeå ñöôïc caùc giaù , trò môùi xxxj =-j 0 thì ,, , xx+++ xn xxx=+, =12 +x. 00n c/ Sau khi tröø ta laïi chia taát caû cho h naøo ñoù ñeå ñöôïc ,, xxj - 0 x = , laáy giaù trò trung bình j h n ,, 1 ,, ,, xx= å j Þ=xhxx +0 n j1=
  138. VD Ta coù 10 keát quaû quan saùt sau 102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402. Ta coù 1 x=+++(. 102 2 202 . 3 302 . 4 402 .) 1 . 10 , Ñaët xx2j =-j 1 Þ=x, (. 100 2 + 200 . 3 + 300 . 4 + 400 .) 1 . 10
  139. x2j - Ñaët x,, = j 100 1 Þ=x1223344124,, (. +++= . . .) , 10 Þx = 100 ,. x,, += 2 100 2 4 += 2 242
  140. 2 4.2. Tính $s 2 22 $sx=-() x trong ñoù n 2 1122 2 2 xxxx=+++=()12 nå x j nnj1= 22' $$s(x')= s(x), xjj= x- x0 . 22'' 2 '' xxj0- $$s(x)= s(x).h, x= . j h
  141. Chuù yù + Neáu x laø rôøi raïc thì x0 = xj öùng vôùi nj lôùn nhaát, neáu x ñöôïc chia thaønh lôùp thì khi tính toaùn ta tính caùc giaù trò ôû giöõa caùc lôùp ñoù. + h laø khoaûng caùch giöõa caùc xj.
  142. Chöông VIII. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑAËC TRÖNG ÑAÙM ÑOÂNG §1. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑIEÅM 1.1. Moät haøm cuûa maãu toång quaùt T = T(X1, , Xn)laø 1 thoáng keâ, Chaúng haïn 1 X(X X)n =++. n 1n 1.2. Öôùc löôïng ñieåm cuûa tham soá q laø thoáng keâ $$ q= q(X1n , , X ) chæ phuï thuoäc vaøo n quan saùt X1, , Xn vaø khoâng phuï thuoäc vaøo q.
  143. VD XX X11+++ n + Tæ leä maãu F = laø öôùc n n löôïng ñieåm cuûa tæ leä ñaùm ñoâng p. XX X11+++ n + Trung bình maãu Xn = n laø öôùc löôïng ñieåm cuûa trung bình ñaùm ñoâng m. $ 1.3. Thoáng keâ q(X1n , , X ) laø öôùc löôïng khoâng éù$ cheäch cuûa q neáu Mëûq=() X1n , , X q.
  144. VD + M(Fn) = p (tæ leä maãu laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tæ leä ñaùm ñoâng). + MX( n ) =m (trung bình maãu laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa trung bình ñaùm ñoâng m). Trong thöïc haønh Khi coù maãu cuï theå (x1, , xn) ta laáy m 22 m»x,n p » () = f , s » s n n
  145. VD Caân 100 saûn phaåm cuûa xí nghieäp ta coù baûng x (gr) 498 502 506 510 40 20 20 20 ni 498.40+++ 502.20 506.20 510.20 xn = 100 = 502, 8(gr). Döï ñoaùn (öôùc löôïng): troïng löôïng trung bình cuûa caùc saûn phaåm trong xí nghieäp laø m» 502, 8(gr).
  146. §2. ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG 2.1. Ñònh nghóa $$ Ngöôøi ta goïi (qq12; ) laø khoaûng tin caäy vôùi ñoä tin caäy 1- a cho tröôùc neáu éù$$$ P1ëûq£q£q12 = -a trong ñoù $$qq12, laø caùc öôùc löôïng ñieåm cuûa q. + $$q21- q =e2 laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng. Baøi toaùn tìm khoaûng tin caäy cuûa q laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng.
  147. 2.2. Khoaûng tin caäy cho tæ leä ñaùm ñoâng p Vôùi tæ leä p caùc phaàn töû coù tính chaát A cuûa ñaùm ñoâng chöa bieát vaø ñoä tin caäy 1- a cho tröôùc, khoaûng tin caäy cho p laø (p12;p ) thoûa Pp[ 12££ p p] =-a 1 .
  148. m Trong thöïc haønh f = , khoaûng tin caäy n n æ ö f1nn() f f1 nn() f÷ çftnn-+aa ;ft ÷ èç nnø÷ + ta tìm ñöôïc töø 12(t)-a= j a (baûng B).
  149. * Chuù yù + Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø f1nn()- f e= t . a n 2 éùta + nf1f1=-+êú2 nn() ëûêúe vaø pf» n (vôùi n lôùn).
  150. 2.3. Öôùc löôïng trung bình ñaùm ñoâng m Baøi toaùn Giaû söû ñaùm ñoâng coù trung bình m chöa bieát. Caên cöù vaøo (X1, ,Xn), tìm 1 khoaûng (mm11(XX , , n ); 21 ( XX , , n )) sao cho PX[]m£m£m=-a11( , , X n ) 21 ( X , , X n ) 1
  151. Tröôøng hôïp 1 æ 2 ö 2 ç s ÷ + n30³s, ñaõ bieát ÞÎmXNn ç , ÷. èç n ø÷ Cho tröôùc 1- a , ta tìm ñöôïc ta (baûng B) sao cho éùss PXêúnn-£m£+=-a taa X t 1 . ëûêúnn ss Vaäy m=Xtnn -,. m= Xt + 12aann
  152. Tröôøng hôïp 2 2 2 2 + n30³s, chöa bieát. Thay s bôûi S ta coù SS m=Xtnn -,. m= Xt + 12aann
  153. Tröôøng hôïp 3 2 + n30<s, ñaõ bieát, X coù phaân phoái chuaån thì ss m=Xtnn -,. m= Xt + 12aann
  154. Tröôøng hôïp 4 + n30<s, 2 chöa bieát, X coù phaân phoái chuaån. Xn - m Khi ñoù coù phaân phoái Student n – 1 baäc töï S n n1- do, bieát 1- a , ta tìm ñöôïc t a (baûng C) sao cho PTéù£=-a tn1- 1 ëûn1-a Suy ra n1 SSn1 m=Xtnn -,. m= Xt + 12aann
  155. Toùm taét 2 1/ n30³s, ñaõ bieát + Tính xn . 1-a B + Töø 1t-aÞ ¾¾® . 2 a + Khoaûng tin caäy (xxnn-e, +e) s vôùi e= t . a n
  156. 2/ n30³s, 2 chöa bieát µ22n µ 2 + Tính xsn , Þ= s s. n1- 1-a + Töø 1t-aÞ ¾¾B® . 2 a + Khoaûng tin caäy (xxnn-e, +e) s vôùi e= t . a n 3/ n30XN<Îmss,,,( 22) ñaõ bieát (nhö tröôøng hôïp 1).
  157. 4/ n30XN<Îmss,,,( 22) chöa bieát µ22n µ 2 + Tính xsn , Þ= s s. n1- C n1- + Töø 1t-aÞa¾¾® a . + Khoaûng tin caäy (xxnn-e, +e) s vôùi e= t n1- . a n
  158. * Chuù yù 2 2 Khi coù maãu cuï theå, ta thay Xn bôûi xn, S bôûi s . VD Caân 100 traùi caây, cho bieát x100 = 500gr, 2 s=40. 000. Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình m vôùi ñoä tin caäy 95%.
  159. 2 Vôùi n=>s 100 30, ñaõ bieát ta coù a=195 -%% = 5 Þ ta = 196 ,. Suy ra s m=xtn - = 4608gr, ; 1 a n s m=xn + t = 539, 2gr . 2 a n Vaäy (460,8gr; 539,2gr).
  160. VD Laáy ngaãu nhieân 15 bao boät do nhaø maùy ñoùng 2 bao xuaát ra, cho bieát x15 == 39,, 8gr s 0,. 144 Giaû thieát troïng löôïng caùc bao boät laø X coù phaân phoái chuaån. Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình m vôùi ñoä tin caäy 95%.
  161. Vôùi n1530=<, s2 chöa bieát vaø X chuaån 14 a=5t2145%, Þ5% = s0144, ==0098, n15 n1- s Þm=xtn - = 396gr, ; 1 a n n1- s m=xn + t = 40gr . 2 a n Vaäy (39,6gr; 40gr).
  162. 2 2.4. Öôùc löôïng phöông sai ñaùm ñoâng s Giaû söû ñaùm ñoâng coù phaân phoái chuaån vôùi s 2 chöa bieát. Caên cöù vaøo maãu (X1, , Xn) ngöôøi ta tìm ñöôïc 22 2 khoaûng (ss12; ) ñeå öôùc löôïng s : 22 22(n 1)S (n 1)S s=12aa; s= . c-221 c n1 ()22n1() Chuù yù Khi coù maãu cuï theå, ta thay S2 bôûi s2.
  163. Baøi taäp 1/ Tröôùc baàu cöû toång thoáng ngöôøi ta phoûng vaán 1800 cöû tri thaáy coù 1180 cöû tri uûng hoä öùng cöû vieân A. Hoûi öùng cöû vieân A thu ñöôïc maáy phaàn traêm soá phieáu baàu? Bieát ñoä tin caäy laø 95%.
  164. 2/ Ñeå öôùc löôïng soá haûi caåu treân 1 hoøn ñaûo ngöôøi ta ñeo voøng cho 1000 con. Sau moät thôøi gian baét laïi 100 con thaáy coù 25 con ñeo voøng. Haõy öôùc löôïng soá haûi caåu vôùi ñoä tin caäy laø 95%.
  165. 3/ Giaù baùn cuûa moät loaïi thieát bò (ñôn vò USD) treân thò tröôøng laø ñlnn X coù phaân phoái chuaån. Moät ngöôøi ñònh mua loaïi thieát bò naøy, quan saùt ngaãu nhieân taïi 8 cöûa haøng thaáy giaù baùn trung bình 137,75 USD vôùi ñoä leäch tieâu chuaån laø 7,98 USD, ñoä tin caäy 90%. Öôùc löôïng giaù baùn trung bình cuûa thieát bò.
  166. 4/ Chuû cöûa haøng cung caáp sôn muoán öôùc löôïng löôïng sôn chöùa trong 1 thuøng ñöôïc saûn xuaát töø coâng ty A. Bieát ñoä leäch tieâu chuaån cuûa löôïng sôn coâng ty laø 0,08 thuøng. Ñieàu tra 50 thuøng ñöôïc löôïng sôn trung bình laø 0,97 thuøng vôùi ñoä tin caäy 99%.
  167. Chöông IX. KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ §1. Kieåm ñònh giaû thieát veà ñaëc tröng ñaùm ñoâng 1.1. Nguyeân lyù chung Baøi toaùn Ñaùm ñoâng coù ñaëc tröng q chöa bieát, ta ñöa ra giaû thieát H:q=q00. Tìm moät quy taéc caên cöù vaøo maãu maø chaáp nhaän hay baùc boû H0.
  168. Coù 4 khaû naêng a/ H0 ñuùng nhöng qua quan saùt thaáy q¹ q0 (sai laàm loaïi I). b/ H0 ñuùng vaø kieåm tra thaáy q= q0 (ñuùng). c/ H0 sai nhöng kieåm tra thaáy q= q0 (sai laàm loaïi II). d/ H0 sai vaø kieåm tra thaáy q¹ q0 (ñuùng).
  169. Chuù yù Loaïi I vaø II coù tính chaát töông ñoái. Loaïi naøo gaây toån thaát lôùn hôn laø loaïi I. + Sau khi ñaõ ñaët baøi toaùn vaø xaùc ñònh sai laàm loaïi I, ta ñöa ra quy taéc kieåm ñònh sao cho P(sai laàm loaïi I) = P(loaïi H0 / khi H0 ñuùng ) £a. Trong ñoù a : möùc yù nghóa cuûa tieâu chuaån.
  170. + Treân cô sôû ñaûm baûo ñöôïc möùc yù nghóa a , ta seõ coá gaéng haïn cheá thaáp nhaát coù theå ñöôïc xaùc suaát phaïm sai laàm loaïi II.
  171. 1.2. Nhöõng baøi toaùn cuï theå 1.2.3. Kieåm ñònh giaû thieát p (p0 cho tröôùc) m fpn0- + Töø maãu cuï theå tính fn = , t = . n pq00 n
  172. B + Töø a¾¾®ta . Neáu tt£ a thì chaáp nhaän giaû thieát coi p = p0. Neáu tt> a baùc boû giaû thieát, coi pp¹ 0. Khi ñoù fpn0>Þ> pp 0, fpn0<Þ< pp 0.
  173. VD Kieåm tra 800 SV thaáy coù 128 SV gioûi. Tröôøng baùo caùo toång keát laø coù 40% SV gioûi thì coù theå chaáp nhaän ñöôïc khoâng (vôùi ñoä tin caäy 95%)? Tæ leä SV gioûi theo baùo caùo laø 40% Tæ leä SV gioûi thöïc teá p laø chöa bieát. Ñaët giaû thieát H0: p = p0 = 40%.
  174. Tieán haønh kieåm tra giaû thieát fn0 p 0, 16 0, 4 t1== =3,871. pq00 0, 4.0, 6 n 800 10,95t1,96tt-a= Þaa = Þ >> . Keát luaän: baùo caùo sai söï thaät, tæ leä SV gioûi trong thöïc teá thaáp hôn nhieàu.
  175. VD Ñeå kieåm tra 1 loaïi suùng theå thao, ngöôøi ta cho baén 1000 vieân ñaïn vaøo bia thaáy coù 540 vieân truùng ñích. Sau ñoù, baèng caûi tieán kyõ thuaät ngöôøi ta naâng tæ leä truùng leân 70%. Haõy cho keát luaän veà caûi tieán vôùi ñoä tin caäy 99%. Tæ leä baén truùng thöïc teá p laø chöa bieát. Tæ leä baén truùng sau caûi tieán laø 0,7. Ñaët giaû thieát H0: p = p0 = 0,7.
  176. Tieán haønh kieåm tra giaû thieát fn0 p 0, 54 0, 7 t1== =1,04. pq00 0, 7.0, 3 n 1000 10,99t2,58tt-a= Þaa = Þ >> . Keát luaän: caûi tieán coù taùc duïng toát.
  177. 1.2.4. Kieåm ñònh giaû thieát m(m0 cho tröôùc) 2 a/ n30,³s ñaõ bieát xn -m0 + Tính t,a t= s . n + Neáu tt> a loaïi giaû thieát. Neáu tt£ a chaáp nhaän giaû thieát.
  178. 2 b/ n30,³s chöa bieát Nhö tröôøng hôïp a/ nhöng thay s=s. 2 c/ n30,<s ñaõ bieát, X chuaån Gioáng tröôøng hôïp a/
  179. d/ n30, a loaïi giaû thieát. n1- Neáu tt£ a chaáp nhaän giaû thieát.
  180. Chuù yù Trong 4 tröôøng hôïp treân, neáu giaû thieát bò baùc boû (nghóa laø m¹ m0) thì + x>mÞm>mn 00. + x<mÞm<mn 00.
  181. VD Troïng löôïng trung bình cuûa cuûa moät loaïi saûn phaåm laø 6kg. Kieåm tra 121 saûn phaåm thaáy troïng löôïng trung bình laø 5,795 kg vaø 2 phöông sai $s= 5, 712. Kieåm ñònh veà troïng löôïng trung bình cuûa saûn phaåm vôùi möùc yù nghóa 5%.
  182. Trung bình ñöa ra (giaû thieát) laø m=0 6kg. Trung bình thöïc teá m chöa bieát. Ñaët giaû thieát H:00m= m = 6kg. 2 n12130,=>s chöa bieát.
  183. a=0, 05 Þ ta = 1, 96 . 121 2 s2 ==$ s 5, 7596 Þ» s 2, 4 120 x5,9756n -m0 - t == =0,1146 s 2, 4 n 121 Þ<tta chaáp nhaän giaû thieát. Vaäy troïng löôïng trung bình thöïc teá cuûa saûn phaåm laø 6kg.
  184. VD Caân thöû 15 con gaø taây ôû 1 traïi chaên nuoâi khi xuaát chuoàng ta tính ñöôïc x3,62kgn = . Cho bieát s=2 0, 01. a. Giaùm ñoác traïi tuyeân boá m=0 3, 5kg thì coù tin ñöôïc khoâng (a=1%)? b. Giaû söû ngöôøi ta duøng thöùc aên môùi vaø khi xuaát chuoàng troïng löôïng trung bình cuûa gaø taây laø 3,9 kg. Cho keát luaän veà loaïi thöùc aên naøy (a=1%)?
  185. xn -m0 3,62 - 3,5 a. t4== =,6 s 0, 1 n 15 Þ>tta = 2,58 baùc boû giaû thieát. Vaäy giaùm ñoác baùo caùo sai.
  186. xn -m0 3,62 - 3,9 b. t1== =0,84 s 0, 1 n 15 Þ>tta = 2,58 baùc boû giaû thieát. Vaäy thöùc aên môùi coù taùc duïng toát.
  187. §2. So saùnh hai ñaëc tröng 2.1. So saùnh hai tæ leä Giaû söû coù hai ñaùm ñoâng (xeùt veà chaát)vôùi hai tæ leä töông öùng laø p1, p2. Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát H0: p = p0 vôùi möùc yù nghóa a . Ta chæ xeùt côõ maãu n1, n2 khaù lôùn.
  188. nf+ nf ° 1n12 2n + Tính fn = (tæ leä thöïc nghieäm nn12+ chung cuûa hai maãu). ffnn- + Tính t = 12 . æö11 °° ÷ f1nn()-+ fç ÷ ènn12ø
  189. Neáu tt£Þa p12 = p. ì tt> a ï Neáu í Þ a ï Neáu í Þ>p12p . ï ff> îï nn12
  190. VD Töø hai ñaùm ñoâng tieán haønh 2 maãu vôùi n12== 100, n 120 tính ñöôïc f0,2n1 = vaø f0,3n2 = . Kieåm ñònh H0: p1 = p2, a=1%.
  191. 20+ 36 f0° ==,255. n 100+ 120 0, 2- 0, 3 t1==,695. 11 0, 255.0, 745 + ()100 120 a=1% Þ taa = 2, 58 Þ t < t . Vaäy p1 = p2.
  192. VD Kieåm tra 120 sinh vieân tröôøng A thaáy coù 80 sinh vieân gioûi, 150 SV tröôøng B coù 90 SV gioûi. Hoûi tæ leä SV gioûi cuûa 2 tröôøng nhö nhau khoâng? Bieát möùc yù nghóa laø 5%.
  193. VD Kieåm tra 230 saûn phaåm cuûa ca ngaøy thaáy coù 4 saûn phaåm hoûng. Coøn kieåm tra 160 saûn phaåm cuûa ca ñeâm thaáy coù 3 saûn phaåm hoûng. Keát luaän tæ leä saûn phaåm hoûng phuï thuoäc vaøo ca coù ñuùng khoâng? Bieát möùc yù nghóa 1%.
  194. 2.1. So saùnh hai trung bình Giaû söû 2 ñaùm ñoâng coù 2 trung bình mm12, töông öùng. Ta caàn kieåm ñònh giaû tieát H:m=m01 2 vôùi möùc yù nghóa a .
  195. 22 TH1: n,n12³ss 30&12 , ñaõ bieát + Töø maãu cuï theå (x1n , , x12) ,( y 1n , , y ) xyn1 - n tính t = 2 vaø so saùnh vôùi t . ss22 a 12+ nn12
  196. 22 TH2: n,n12³ss 30&12 , chöa bieát, ta thay 22 22 ss12, bôûi s,s12. 22 TH3: n,n12<ss 30&12 , ñaõ bieát ñoàng thôøi X, Y coù phaân phoái chuaån (nhö TH 1).
  197. 22 TH4: n,n12<ss 30&12 , chöa bieát; X, Y chuaån ta tính 22 2 (n1122-+- 1)s (n 1)s + s = . nn212+- xyn1 - n + t = 2 . 11 s. + nn12 C nn212+- + Töø a¾¾®ta vaø so saùnh vôùi t.
  198. VD Caân thöû 100 traùi caây ôû noâng tröôøng I ta 2 tính ñöôïc xn1 == 101,2; s1 571,7 vaø 361 traùi caây ôû noâng tröôøng II tính ñöôïc 2 . So saùnh troïng y66,39;n2 == s29,722 löôïng trung bình cuûa traùi caây ôû 2 noâng tröôøng vôùi möùc yù nghóa 1%.
  199. VD Ño ñöôøng kính 20 truïc maùy do maùy I saûn xuaát vaø 22 truïc maùy do maùy II saûn xuaát ta 2 tính ñöôïc xn1 == 251,7; s1 52, 853 vaø 2 . Coù theå xem ñöôøng yn2 == 249, 8; s2 56, 2 kính trung bình cuûa caùc truïc maùy ôû 2 maùy nhö nhau vôùi möùc yù nghóa 1% khoâng?
  200. Baøi taäp Baøi 1. Ngöôøi ta ñieàu tra ngaãu nhieân 250 ngöôøi ôû xaõ A thaáy coù 140 nöõ vaø 160 ngöôøi ôû xaõ B thaáy coù 80 nöõ. Haõy so saùnh tæ leä nöõ ôû 2 xaõ treân vôùi möùc yù nghóa 0,05.
  201. Baøi 2. AÙp duïng 2 phöông phaùp gieo haït. Theo phöông phaùp I gieo 180 haït thaáy coù 150 haït naûy maàm vaø phöông phaùp II gieo 256 haït coù 160 haït naûy maàm. So saùnh hieäu quaû cuûa 2 phöông phaùp (a=0, 05 ).
  202. Baøi 3. Ñeå so saùnh naêng löïc hoïc toaùn vaø vaät lyù cuûa sinh vieân, ngöôøi ta kieåm tra ngaãu nhieân 8 sinh vieân baèng 2 baøi toaùn vaø vaät lyù. Keát quaû (X laø ñieåm toaùn, Y laø ñieåm vaät lyù) X 5 4 6 9 10 8 6 9 Y 4 7 9 8 7 9 10 10 Giaû söû X, Y chuaån. Haõy so saùnh ñieåm trung bình töông öùng vôùi a=0, 01.
  203. Baøi 4. Ñeå so saùnh chaát löôïng loáp xe, ngöôøi ta ño soá km ñi ñöôïc cuûa töøng loaïi loáp. Keát quaû Loaïi X 41 50 33 59 46 54 58 53 54 55 Loaïi Y 38 54 30 35 36 50 52 45 47 46 Haõy kieåm ñònh giaû thieát H0: “ Loaïi loáp X coù chaát löôïng gioáng nhö loaïi loáp Y ”, a=0, 05 .
  204. §3. KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT VEÀ LUAÄT PHAÂN PHOÁI (phi tham soá) 3.1. Kieåm ñònh luaät phaân phoái Giaû söû ñaùm ñoâng X coù luaät phaân phoái FX(x) chöa bieát. Vôùi möùc yù nghóa cho tröôùc, ta * kieåm ñònh giaû thieát H0: FX(x) = F (x). Trong ñoù F*(x) laø luaät phaân phoái ñaõ bieát.
  205. Thöïc haønh (tieâu chuaån K. Pearson) + Töø maãu cuï theå (x1n , , x ), n50³ laäp baûng phaân phoái thöïc nghieäm xi x1 x2 xk ni n1 n2 nk Vôùi n1 + n2 + + nk = n thoûa n5i ³ .
  206. + Tính pii = P[X = x ] neáu X rôøi raïc. pii=££Px[ X x i1+ ], X lieân tuïc. k 2 2 ()nnpii- + Tính c=å . i1= npi D 2 + Töø a¾¾®cks1 (1 - a ), vôùi s laø soá tham soá caàn öôùc löôïng trong F*(x).
  207. 22 + Neáu c£cks1 (1 -a ) ta chaáp nhaän H0 coi X coù phaân phoái laø F*(x). 22 + Neáu c>cks1 (1 -a ) ta baùc boû H0. Chuù yù + Vieäc chia lôùp (khoaûng) coù tính töông ñoái nhöng baét buoäc n5i ³ (taàn soá). 22 + Öôùc löôïng l=m=xn, s=s .
  208. VD Ñeå tìm hieåu soá thieát bò hoûng trong 1 thaùng cuûa 1 heä thoáng maùy, ngöôøi ta theo doõi 50 thaùng lieàn vaø ñöôïc soá thieát bò hoûng xi 0 1 2 3 4 6 8 ni 10 4 12 8 7 6 3 Vôùi möùc yù nghóa 5%, coù theå cho raèng soá thieát bò hoûng X tuaân theo quy luaät Poisson khoâng?
  209. Öôùc löôïng l=x2,8n = . Ta kieåm ñònh H:F(x)0X= P(2,8). Do coù ni < 5, ta saép xeáp laïi maãu xi 0-1 2 3 4-5 6-8 ni 14 12 8 7 9 e.(2,8)- 2,8 k P[X== k] , k = 1,5. k!
  210. pP[X0]P[X1]0,23751 ==+== ; p23== 0,2384;p 0,2225; pP[X4]P[X5]0,24294 ==+== ; p1P[X5]0,05875 =- £ =
  211. 5 2 ()nnpii- Þc2 =å =15, 9712. i1- npi 2 a=5% Þ c511 (0, 95) = 7, 815 22 Þc >c511 (0,95). Vaäy X khoâng tuaân theo quy luaät Poisson
  212. VD Ño chæ tieâu X(gr) cuûa moät loaïi saûn phaåm thu ñöôïc keát quaû xi 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 ni 3 4 14 33 27 19 Vôùi möùc yù nghóa 5%, coù theå cho raèng X coù phaân phoái chuaån khoâng?
  213. Öôùc löôïng 22 m=xn = 25, 68; s =s » 5, 9376. Ta kieåm ñònh giaû thieát H0X : F (x)= N(25, 68; 5, 9376). Do coù ni < 5, ta saép xeáp laïi maãu xi 18-22 22-24 24-26 26-28 28-30 ni 7 14 33 27 19
  214. pii=<<P[x X x i1+ ] æöæxi1+ 25, 68 xi 25, 68 ö =jçç÷-j ÷. ççèøè2, 4367÷ 2, 4367 ø÷ p12== 0, 0655; p 0, 1796; p345=== 0, 3066; p 0, 2772; p 0,171.
  215. 5 2 2 ()nnpii- Þc =å »1, 66 . i1- npi 2 a=5% Þ c521 (0, 95) = 5, 991 22 Þc £c521 (0,95) chaáp nhaän H0. Vaäy X coù phaân phoái chuaån vôùi a=5%.
  216. 3.2. Kieåm ñònh söï ñoäc laäp Giaû söû caàn nghieân cöùu ñoàng thôøi 2 ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, Y vôùi maãu töông öùng laø xx, , vaø yy, , . Vôùi möùc yù nghóa ( 1n1 ) ( 1n2 ) cho tröôùc ta kieåm ñònh giaû thieát H0: X vaø Y ñoäc laäp.
  217. Töø baûng phaân phoái ñoàng thôøi, ta coù + n1, n2: toång caùc taàn soá öùng vôùi xi, yj. + Vôùi n ñuû lôùn nnijjn pPxy=»»»,,, pi p . ij() i j nnni j
  218. + Khi H0 ñuùng, nghóa laø X, Y ñoäc laäp thì nnnij i. j p =Þ=pp.,,i = 1nj;, = 1n. ij i j n n2 1 2 + Tính kieåm ñònh 2 ænn12 ö 2 nij ÷ c=nn + ç -1÷. ()12çåå ÷ èç i1== j1nnij ø÷ D 2 + Töø a¾¾®c(1 - a). ()()n1n112