›
›

Bài giảng về môn Xác suất và thống kê

pdf 59 trang vanle 3250
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng về môn Xác suất và thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ve_mon_xac_suat_va_thong_ke.pdf

Nội dung text: Bài giảng về môn Xác suất và thống kê

  1. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Mai Hoàng Bảo Ân Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 8 tháng 9 năm 2011
  2. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Thông tin môn học Điểm bài tập: Điểm gk: 3 Điểm ck: 7
  3. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp
  4. • Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. • Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A. Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu a ∈/ A • Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅ Tập hợp - Giải tích tổ hợp Khái niệm về tập hợp • Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa, tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học.
  5. • Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A. Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu a ∈/ A • Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅ Tập hợp - Giải tích tổ hợp Khái niệm về tập hợp • Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa, tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học. • Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp.
  6. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Khái niệm về tập hợp • Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa, tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học. • Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. • Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A. Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu a ∈/ A • Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅
  7. Ví dụ Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là A = {0, 1, 2, 3, 4} Tập hợp các số tự nhiên chẵn từ 0 đến 100 là B = {0, 2, 4, , 98, 100} Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp Có hai cách xác định một tập hợp: • Liệt kê các phần tử của nó.
  8. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp Có hai cách xác định một tập hợp: • Liệt kê các phần tử của nó. Ví dụ Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là A = {0, 1, 2, 3, 4} Tập hợp các số tự nhiên chẵn từ 0 đến 100 là B = {0, 2, 4, , 98, 100}
  9. Ví dụ Tập hợp các số thực lớn hơn 0 và bé hơn 1 là C = {x|x ∈ R và 0 ≤ x ≤ 1} Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp • Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó. Không phải mọi tập hợp đều có thể liệt kê rõ ràng từng phần tử. Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mô tả nó, từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này hay không.
  10. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp • Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó. Không phải mọi tập hợp đều có thể liệt kê rõ ràng từng phần tử. Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mô tả nó, từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này hay không. Ví dụ Tập hợp các số thực lớn hơn 0 và bé hơn 1 là C = {x|x ∈ R và 0 ≤ x ≤ 1}
  11. • Tập hợp bằng nhau Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B và ngược lại, mỗi phần tử của B đều thuộc A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau và kí hiệu A = B. Ta viết A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quan hệ giữa các tập hợp • Tập hợp con Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B, thì ta nói tập hợp A là con tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B hoặc B ⊃ A. Ta viết A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
  12. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quan hệ giữa các tập hợp • Tập hợp con Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B, thì ta nói tập hợp A là con tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B hoặc B ⊃ A. Ta viết A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) • Tập hợp bằng nhau Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B và ngược lại, mỗi phần tử của B đều thuộc A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau và kí hiệu A = B. Ta viết A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)
  13. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp • Giao của hai tập hợp Giao của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử đồng thời thuộc cả hai tập hợp này, kí hiệu là A ∩ B Ta viết ( x ∈ A x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ B
  14. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp • Giao của hai tập hợp Giao của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử đồng thời thuộc cả hai tập hợp này, kí hiệu là A ∩ B Ta viết ( x ∈ A x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ B
  15. Tập hợp - Giải tích tổ hợp • Hợp của hai tập hợp Hợp của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B Ta viết  x ∈ A x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B
  16. Tập hợp - Giải tích tổ hợp • Hợp của hai tập hợp Hợp của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B Ta viết  x ∈ A x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B
  17. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp • Hiệu của hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử thuộc A mà không thuộc B, kí hiệu A \ B Ta viết A \ B = {x|x ∈ A và x ∈/ B}
  18. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp • Hiệu của hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử thuộc A mà không thuộc B, kí hiệu A \ B Ta viết A \ B = {x|x ∈ A và x ∈/ B}
  19. • Tính kết hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp Tính chất • Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
  20. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp Tính chất • Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A • Tính kết hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  21. • Công thức De Morgan A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp Tính chất (tt) • Tính phân phối A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  22. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp Tính chất (tt) • Tính phân phối A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) • Công thức De Morgan A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B
  23. Bài giải Có 4 số có một chữ số thỏa yêu cầu: 0, 1, 2, 3 Có 9 số có hai chữ số thỏa yêu cầu: 10, 20, 30, 12, 21, 13, 31, 23, 32 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Giả sử để chọn một đối tượng ta có thể chọn một trong n đối tượng khác nhau, x1, , xn, trong đó mỗi xi có mi cách chọn với i = 1, , n. Khi đó ta có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng. Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau?
  24. Có 4 số có một chữ số thỏa yêu cầu: 0, 1, 2, 3 Có 9 số có hai chữ số thỏa yêu cầu: 10, 20, 30, 12, 21, 13, 31, 23, 32 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Giả sử để chọn một đối tượng ta có thể chọn một trong n đối tượng khác nhau, x1, , xn, trong đó mỗi xi có mi cách chọn với i = 1, , n. Khi đó ta có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng. Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau? Bài giải
  25. Có 9 số có hai chữ số thỏa yêu cầu: 10, 20, 30, 12, 21, 13, 31, 23, 32 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Giả sử để chọn một đối tượng ta có thể chọn một trong n đối tượng khác nhau, x1, , xn, trong đó mỗi xi có mi cách chọn với i = 1, , n. Khi đó ta có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng. Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau? Bài giải Có 4 số có một chữ số thỏa yêu cầu: 0, 1, 2, 3
  26. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Giả sử để chọn một đối tượng ta có thể chọn một trong n đối tượng khác nhau, x1, , xn, trong đó mỗi xi có mi cách chọn với i = 1, , n. Khi đó ta có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng. Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau? Bài giải Có 4 số có một chữ số thỏa yêu cầu: 0, 1, 2, 3 Có 9 số có hai chữ số thỏa yêu cầu: 10, 20, 30, 12, 21, 13, 31, 23, 32
  27. Có 18 số có bốn chữ số thỏa yêu cầu: 1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320, 2013, 2031, 2103, 2130, 2301, 2310, 3012, 3021, 3102, 3120, 3201, 3210 Vậy theo quy tắc cộng, có 4 + 9 + 18 + 18 = 49 cách lập các số có các chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Có 18 số có ba chữ số thỏa yêu cầu: 102, 120, 103, 130, 123, 132, 201, 210, 203, 230, 213, 231, 301, 310, 302, 320, 312, 321
  28. Vậy theo quy tắc cộng, có 4 + 9 + 18 + 18 = 49 cách lập các số có các chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Có 18 số có ba chữ số thỏa yêu cầu: 102, 120, 103, 130, 123, 132, 201, 210, 203, 230, 213, 231, 301, 310, 302, 320, 312, 321 Có 18 số có bốn chữ số thỏa yêu cầu: 1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320, 2013, 2031, 2103, 2130, 2301, 2310, 3012, 3021, 3102, 3120, 3201, 3210
  29. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc cộng Có 18 số có ba chữ số thỏa yêu cầu: 102, 120, 103, 130, 123, 132, 201, 210, 203, 230, 213, 231, 301, 310, 302, 320, 312, 321 Có 18 số có bốn chữ số thỏa yêu cầu: 1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320, 2013, 2031, 2103, 2130, 2301, 2310, 3012, 3021, 3102, 3120, 3201, 3210 Vậy theo quy tắc cộng, có 4 + 9 + 18 + 18 = 49 cách lập các số có các chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3
  30. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành một công việc thì phải thực hiện k giai đoạn. Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, . . . , giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó ta có n = n1n2 nk cách hoàn thành công việc.
  31. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc nhân Ví dụ Giả sử đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua B. Có 3 đường khác nhau từ A đến B và có 2 đường khác nhau từ B đến C. Vậy có n = 3.2 = 6 cách khác nhau để đi từ A đến C.
  32. • Nhóm không có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác. • Nhóm có lặp Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm. • Nhóm không lặp Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử • Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận được nhóm khác.
  33. • Nhóm có lặp Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm. • Nhóm không lặp Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử • Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận được nhóm khác. • Nhóm không có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác.
  34. • Nhóm không lặp Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử • Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận được nhóm khác. • Nhóm không có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác. • Nhóm có lặp Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm.
  35. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử • Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận được nhóm khác. • Nhóm không có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác. • Nhóm có lặp Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm. • Nhóm không lặp Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm.
  36. Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 5 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 5 cách chọn. Vậy có n = 4.5.5 = 100 số. • Các chữ số không lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn. Vậy có n = 4.4.3 = 48 số. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số • Các chữ số có lặp
  37. • Các chữ số không lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn. Vậy có n = 4.4.3 = 48 số. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số • Các chữ số có lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 5 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 5 cách chọn. Vậy có n = 4.5.5 = 100 số.
  38. Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn. Vậy có n = 4.4.3 = 48 số. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số • Các chữ số có lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 5 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 5 cách chọn. Vậy có n = 4.5.5 = 100 số. • Các chữ số không lặp
  39. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số • Các chữ số có lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 5 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 5 cách chọn. Vậy có n = 4.5.5 = 100 số. • Các chữ số không lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn. Vậy có n = 4.4.3 = 48 số.
  40. k Gọi An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Khi đó, n! Ak = n.(n − 1) (n − k + 1) = n (n − k)! Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.
  41. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. k Gọi An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Khi đó, n! Ak = n.(n − 1) (n − k + 1) = n (n − k)!
  42. Bài giải Một cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó là một nhóm có hai phần tử có thứ tự và không lặp. Nên có 2 A12 = 12.11 = 132 cách chọn thỏa yêu cầu. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Ví dụ Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó?
  43. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Ví dụ Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó? Bài giải Một cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó là một nhóm có hai phần tử có thứ tự và không lặp. Nên có 2 A12 = 12.11 = 132 cách chọn thỏa yêu cầu.
  44. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! Quy ước 0! = 1 Ví dụ Mỗi cách xếp 4 học sinh ngồi vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách xếp sẽ là P4 = 4! = 24 cách. Nhận xét n Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = An Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hoán vị Định nghĩa Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n phần tử đã cho.
  45. Ví dụ Mỗi cách xếp 4 học sinh ngồi vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách xếp sẽ là P4 = 4! = 24 cách. Nhận xét n Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = An Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hoán vị Định nghĩa Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n phần tử đã cho. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! Quy ước 0! = 1
  46. Nhận xét n Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = An Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hoán vị Định nghĩa Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n phần tử đã cho. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! Quy ước 0! = 1 Ví dụ Mỗi cách xếp 4 học sinh ngồi vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách xếp sẽ là P4 = 4! = 24 cách.
  47. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hoán vị Định nghĩa Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n phần tử đã cho. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! Quy ước 0! = 1 Ví dụ Mỗi cách xếp 4 học sinh ngồi vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách xếp sẽ là P4 = 4! = 24 cách. Nhận xét n Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = An
  48. Định nghĩa Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt hơn một lần trong nhóm. k Gọi Afn là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Khi đó, k k Afn = n Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có mặt trong nhóm không quá một lần. Nếu bỏ đi điều kiện này, ta có chỉnh hợp lặp.
  49. k Gọi Afn là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Khi đó, k k Afn = n Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có mặt trong nhóm không quá một lần. Nếu bỏ đi điều kiện này, ta có chỉnh hợp lặp. Định nghĩa Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt hơn một lần trong nhóm.
  50. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có mặt trong nhóm không quá một lần. Nếu bỏ đi điều kiện này, ta có chỉnh hợp lặp. Định nghĩa Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt hơn một lần trong nhóm. k Gọi Afn là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Khi đó, k k Afn = n
  51. Nhận xét Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp nên ở đây k có thể lớn hơn n. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Ví dụ 5 5 Từ các số của tập hợp A = {1, 2, 3}, ta có thể lập được Af3 = 3 số có 5 chữ số.
  52. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Ví dụ 5 5 Từ các số của tập hợp A = {1, 2, 3}, ta có thể lập được Af3 = 3 số có 5 chữ số. Nhận xét Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp nên ở đây k có thể lớn hơn n.
  53. k Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Khi đó, n! C k = n k!(n − k)! Ví dụ Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập được 25! C 3 = = 2300 25 3!22! đề thi. Vì mỗi đề thi là một nhóm có 3 câu hỏi có tính chất không có thứ tự và không lặp. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.
  54. Ví dụ Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập được 25! C 3 = = 2300 25 3!22! đề thi. Vì mỗi đề thi là một nhóm có 3 câu hỏi có tính chất không có thứ tự và không lặp. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. k Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Khi đó, n! C k = n k!(n − k)!
  55. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. k Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Khi đó, n! C k = n k!(n − k)! Ví dụ Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập được 25! C 3 = = 2300 25 3!22! đề thi. Vì mỗi đề thi là một nhóm có 3 câu hỏi có tính chất không có thứ tự và không lặp.
  56. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Tổ hợp có các tính chất cơ bản sau: • Quy ước 0! = 1. k n−k • Cn = Cn . k k−1 k • Cn = Cn−1 + Cn−1
  57. Các hệ số trong nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác Pascal Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton n n X k n−k k (a + b) = Cn a b k=0
  58. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton n n X k n−k k (a + b) = Cn a b k=0 Các hệ số trong nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác Pascal
  59. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton n n X k n−k k (a + b) = Cn a b k=0 Các hệ số trong nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác Pascal