Bài giảng Xác suất và thống kê toán học

311 trang vanle 2820

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất và thống kê toán học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xac_suat_va_thong_ke_toan_hoc.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất và thống kê toán học

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN HỌC Ths Nguyễn Văn Du
CHƯƠNG MỞ ĐẦU GIẢI TÍCH TỔ HỢP
§1 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN l1.1 – BÀI TỐN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP lTừ tập hợp A = {a1, a2, ,an} ta lấy ngẫu nhiên k phần tử kèm theo một điều kiện ràng buộc nào đĩ. lVấn đề đặt ra là: Hãy tính số cách chọn ra k phần tử đĩ lĐây là bài tốn cơ bản của giải tích tổ hợp
1.2 - NGUYÊN LÝ CỘNG Nếu một công việc được chia thành k trường hợp thực hiện: v Trường hợp 1: có n1 cách thực hiện v Trường hợp 2: có n2 cách thực hiện v v Trường hợp k: có nk cách thực hiện Thì cơng việc đĩ cĩ n1+ n2 + + nk cách thực hiện
1.3 – NGUYÊN LÝ NHÂN § Nếu một công việc được chia làm k giai đoạn để thực hiện: § Giai đoạn 1: có n1 cách thực hiện § Giai đoạn 2: có n2 cách thực hiện § § Giai đoạn k: có nk cách thực hiện § Thì cơng việc đĩ cĩ n1 n2 nk cách thực hiện
VÍ DỤ ÁP DỤNG § Cho tập hợp: A = {0,1,2,3,4,5} § Người ta lập một số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một § a) Hỏi có bao nhiêu số được lập ? § b) Trong các số được lập có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?
GIẢI a) Giả sử số phải lập có dạng x = a1a2a3a4 Ở vị trí a1 ta có 5 cách chọn, còn 5 chữ số Ở vị trí a2 ta có 5 cách chọn, còn 4 chữ số Ở vị trí a3 ta có 4 cách chọn, còn 3 chữ số Ở vị trí a4 ta có 3 cách chọn Theo nguyên lý nhân ta có 5.5.4.3 = 300 số có 4 chữ số khác nhau đôi một
b) Giả sử số chẵn phải lập có dạng x = a1a2a3a4 Trường hợp 1: Số chẵn có tận cùng là số 0: x = a1a2a30 lỞ vị trí a1 ta có 5 cách chọn, còn 4 chữ số lỞ vị trí a2 ta có 4 cách chọn, còn 3 chữ số lỞ vị trí a3 ta có 3 cách chọn Theo nguyên lý nhân ta có 5.4.3 = 60 số chẵn có tận cùng là 0
Trường hợp 2: Số chẵn có tận cùng là số khác 0: x = a1a2a3a4 lỞ vị trí a4 ta có 2 cách chọn, còn 5 chữ số lỞ vị trí a1 ta có 4 cách chọn, còn 4 chữ số lỞ vị trí a2 ta có 4 cách chọn, còn 3 chữ số lỞ vị trí a3 ta có 3 cách chọn Theo nguyên lý nhân ta có 2.4.4.3 = 96 số chẵn có tận cùng là số khác 0
lTheo nguyên lý cộng ta có 60 + 96 = 156 số chẵn được lập thỏa mãn đề bài lDo đó có: 300 – 156 = 144 số lẻ thỏa mãn đề bài
§2 – CHỈNH HỢP VÀ HOÁN VỊ 2.1 - ĐỊNH NGHĨA Cho A là tập hợp có n phần tử. 1) Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A theo một trình tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. 2) Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một trình tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
2.2 - CÔNG THỨC k 1) Nếu ta gọi An là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử thì ta có công thức: 2) Nếu ta gọi Pn là số các hoán vị của n phần tử thì ta có công thức: Pn = n!
3 - Ví dụ Ví dụ 1 Một lớp học có 30 sinh viên. Người ta thành lập một ban cán sự có 3 người, trong đó một người làm lớp trưởng, một người là lớp phó, một người làm thủ quỹ mà không cho ai kiêm nhiệm. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập?
Giải: Mỗi cách thành lập Ban cán sự thỏa mãn đề bài là một chỉnh hợp chập 3 của 3 30, do đó ta có A30 cách thành lập. Cụ thể là:
Ví dụ 2 Trong một buổi dạ hội, có 5 chàng trai và 5 cô gái muốn ghép đôi một cách ngẫu nhiên để thành lập những cặp khiêu vũ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập các cặp khiêu vũ như vậy? GIẢI Mỗi cách thành lập những cặp khiêu vũ chính là một hoán vị của 5 phần tử. Do đó ta có: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách lập
§3 - TỔ HỢP 3.1 - Định nghĩa Cho A là tập hợp có n phần tử. Mỗi cách thành lập một tập hợp có k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. 3.2 - Công thức k Nếu ta gọi Cn là số các tổ hợp chập k của n phần tử thì ta có công thức:
3 – Tính chất cơ bản lNhị thức Newton l Suy ra
3.3 - Ví dụ Một lớp học có 30 sinh viên. Người ta thành lập một ban cán sự có 3 người Hỏi có bao nhiêu cách thành lập? Giải Mỗi cách thành lập ban cán sự như vậy là một tổ hợp chập 3 của 30. Do đó ta có:
Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
PHẦN A BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
§1 - BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN l 1.1 – Phép thử và biến cố l 1 – Định nghĩa l Một thí nghiệm dùng để nghiên cứu một đại lượng hay một hiện tượng nào đĩ được gọi là phép thử. Ký hiệu một phép thử là T l Mỗi phép thử đều cho ta một kết cục. Kết cục đĩ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Ký hiệu biến cố ngẫu nhiên là A, B, C l 2 – Ví dụ l Tung một đồng tiền đồng chất cân đối là một phép thử. Kết cục xảy ra là: Đồng tiền xuất hiện
lMặt sấp (S) hoặc xuất hiện mặt ngửa (N).Ta cĩ: S và N là những biến cố lGieo một con xúc sắc đồng chất cân đối là một phép thử. Kết cục cĩ thể xảy ra là: Con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm A1, hai chấm A2, ba chấm A3, bốn chấm A4, năm chấm A5, sáu chấm A6. Ta cĩ: A1, A2, A3, A4, A5, A6 là những biến cố
1.2 – Các loại biến cố l 1 – Biến cố sơ cấp: Là những biến cố loại trừ nhau trong cùng một phép thử l Tập hợp các biến cố sơ cấp của một phép thử cịn gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp và ký hiệu là Ω l Ví dụ: l Tung một đồng tiền đồng chất cân đối ta thấy khơng gian các BCSC của phép thử này là: l Ω = {N,S} l Tung một con xúc sắc đồng chất cân đối ta thấy khơng gian các BCSC của phép thử này là: l Ω = {A1, A2, A3, A4, A5, A6 }
l 2 – Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định phải xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ký hiệu là Ω l 3 – Biến cố khơng thể cĩ: Là biến cố khơng thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ký hiệu là Ø l 4 – Biến cố đồng khả năng: Là những biến cố cĩ khả năng xuất hiên ngang nhau khi thực hiện một phép thử
§2 – CÁC PHÉP TỐN VỀ BIẾN CỐ l 2.1 – Tổng của các biến cố l 1- Định nghĩa l Tổng của hai biến cố A và B trong cùng một phép thử là một biến cố C ký hiệu là C = A + B. Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cĩ ít nhất một biến cố A hoặc B xảy ra khi phép thử đươc thực hiện l Tổng của n biến cố A1, A2, , An trong cùng một phép thử là một biến cố C ký hiệu là l C = A1 + A2 + + An . Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cĩ ít nhất một biến cố Ai nào đĩ xảy ra khi phép thử được thực hiện
2 – Tính chất l Cho A, B, C là những biến cố trong cùng phép thử ta cĩ: l A + B = B + A l (A + B) + C = A + (B + C) l A + A = A l A + Ø = A 3 – Ghi chú l Một biến cố sơ cấp khơng thể biểu diễn được dưới dạng tổng của các biến cố khác
Ví dụ lTung một con xúc sắc đồng chất, cân đối ta thấy: lA1, A2, A3 , A4, A5 , A6 là những biến cố sơ cấp. Ta thấy các biến cố này khơng biểu diễn được thành tổng của các biến cố khác lGọi C, L tương ứng là các biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt chẵn hay lẻ chấm. Ta cĩ: l C = A2 + A4 + A6 ; L = A1 + A3 + A5 lNhư vậy C và L khơng phải là các biến cố sơ cấp
2.2 – Tích của các biến cố l 1 – Định nghĩa l Tích của hai biến cố A và B trong cùng một phép thử là một biến cố C ký hiệu là C = A B. Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra khi phép thử được thực hiện l Tích của n biến cố A1, A2, , An trong cùng một phép thử là một biến cố C ký hiệu là l C = A1A2 An l Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố Ai đều xảy ra khi phép thử được thực hiện
2 – Tính chất l Cho A, B, C là những biến cố trong cùng phép thử ta cĩ: l A B = B A l (A B)C = A(B C) l A A = A; À = Ø; A Ω = A l A(B+C) = AB + AC l A+BC = (A+B)(A+C)
Ví dụ lLớp học cĩ 30 sinh viên dự thi mơn XSTK; Gọi Ai là biến cố sinh viên i thi đậu; A là biến cố cĩ ít nhất một sinh viên đậu, B là biến cố tất cả sinh viên đều thi đậu. lTa cĩ: lA = A1 + A2 + + A30 lB = A1A2 A30
§3 – MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ l 3.1 – Quan hệ kéo theo và quan hệ bằng nhau l Nếu biến cố A xảy ra luơn luơn làm cho biến cố B xảy ra thì ta nĩi biến cố A kéo theo biến cố B và ký hiệu là A0B l Nếu biến cố A kéo theo biến cố B và ngược lại biến cố B kéo theo biến cố A thì ta nĩi biến cố A bằng biến cố B và ký hiệu là A = B l 3.2 – Biến cố xung khắc l Hai biến cố A và B trong cùng phép thử được gọi là xung khắc với nhau nếu A và B khơng đồng thời xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ký hiệu AB = Ø
l Các biến cố A1, A2, , An trong cùng phép thử được gọi là xung khắc nhau từng đơi một nếu bất kỳ hai biến cố nào trong hệ cũng xung khắc với nhau l 3.3 – Quan hệ đối lập l Hai biến cố A và B trong cùng phép thử được gọi là đối lập với nhau nếu chúng là những biến cố xung khắc và khi thực hiện phép thử chỉ xuất hiện biến cố A hoặc biến cố B. Ký hiệu là lVậy:
l 3.4 – Hệ đầy đủ các biến cố l Hệ các biến cố A1, A2, , An trong cùng một phép thử được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu chúng là một hệ xung khắc với nhau từng đơi một và khi phép thử được thực hiện chỉ xuất hiện một trong các biến cố Ai l Vậy:
l 3.5 – Tính chất (Luật đối ngẫu Đơmoocgăng)
PHẦN B XÁC SUẤT
§1 – CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT l1.1 – Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển lGiả sử một phép thử T cĩ n biến cố sơ cấp đồng khả năng; A là biến cố trong cùng phép thử và cĩ m biến cố sơ cấp cĩ lợi cho A (nghĩa là số khả năng xảy ra biến cố A) lTa gọi tỉ số m/n là xác suất của biến cố A và ký hiệu là p(A)
1.2 – Định nghĩa xác suất bằng thống kê lMột phép thử T được lặp lại nhiều lần trong những điều kiên giống nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử cĩ k lần xuất hiện biến cố A thì tỉ số fn(A) = k/n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n lần thử lKhi số phép thử n tăng lên vơ hạn thì fn(A) dao động xung quanh một giá trị ổn định. Ta gọi giá trị đĩ là xác suất của biến cố A và ký hiệu là p(A)
l1.3 – Định nghĩa xác suất bằng hình học l Ta coi một hình chữ nhật là biến cố chắc chắn Ω; mỗi điểm trong hình chữ nhật được coi là biến cố sơ cấp; mỗi miền con A của hình chữ nhật được coi là biên cố ngẫu nhiên; tập hợp Ø được coi là biến cố khơng thể cĩ. lTa định nghĩa xác suất của biến cố A là tỉ số giữa diện tích của miền con A và diện tích của miền Ω
1.4 – Các tính chất cơ bản của xác suất § Với mọi biến cố A ta cĩ:
1.5 – Ví dụ minh họa Ví dụ 1 l Một bình đựng 12 bi trong đĩ cĩ 8 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ trong bình ra 4 bi l a) Tính xác suất để 4 bi được chọn cĩ đúng ba bi trắng l b) Tính xác suất để 4 bi được chọn cĩ ít nhất ba bi trắng
Giải l a) Gọi A là biến cố 4 bi được chọn cĩ đúng 3 bi trắng ta cĩ: p(A) = m/n l n là số BCSC đồng khả năng. Đĩ chính là số trường hợp chọn 4 bi từ 12 bi mà khơng phân biệt mầu. Ta 4 cĩ: n = C12 = 495 l m là số BCSC cĩ lợi cho A. Đĩ chính là số trường hợp chọn 4 bi từ 12 bi trong đĩ cĩ đúng ba bi mầu 3 1 trắng. Ta cĩ: m = C8 C4 = 224 l Suy ra: l p(A) = m/n = 224/495 = 0,453 (45,3%)
b) Gọi B là biến cố cĩ ít nhất ba bi trắng.Ta cĩ: p(B) = m/n l n là số BCSC đồng khả năng. Đĩ chính là số trường hợp chọn 4 bi từ 12 bi mà khơng phân biệt mầu. Ta 4 cĩ: n = C12 = 495 l m là số BCSC cĩ lợi cho B. Đĩ chính là số trường hợp chọn 4 bi từ 12 bi trong đĩ cĩ ít nhất ba bi mầu trắng. Cĩ 2 trường hợp xảy ra: 3 1 l TH1: 3 trắng – 1 đỏ: Trường hợp này cĩ C8 C4 cách chọn 4 0 l TH2: 4 trắng – 0 đỏ: Trường hợp này cĩ C8 C4 cách chọn
Suy ra: 3 1 4 0 • m = C8 C4 + C8 C4 = 224 + 70 = 294 • Vậy p(B) = m/n = 294/495 = 59,4% • Ví dụ 2: • Một tập hợp cĩ N phần tử, trong đĩ cĩ NA phần tử loại A. Người ta chọn ngẫu nhiên n phần tử. • Tính xác suất sao cho trong n phần tử chọn ra cĩ đúng k phần tử loại A
Giải lGọi F là biến cố: “Trong n phần tử chọn ra cĩ đúng k phần tử loại A”. Ta cĩ: lNgười ta thường gọi đây là cơng thức xác suất lựa chọn
§2 – CÁC CƠNG THỨC XÁC SUẤT l 2.1 – Cơng thức cộng xác suất l 2.1.1 – Cơng thức l 1 – Các biến cố xung khắc l Nếu A và B là hai biến cố xung khắc với nhau ta cĩ: l p(A+B) = p(A) + p(B) l Nếu A1, A2, , An là những biến cố xung khắc nhau từng đơi một ta cĩ: l p (A1+ A2+ + An ) = p (A1) + p(A2) + +p(An)
l2 – Các biến cố bất kỳ lCho A và B là những biến cố bất kỳ ta cĩ: l p(A+B) = p(A) + p(B) – p(AB) lCho A, B và C là những biến cố bất kỳ ta cĩ: lp(A+B+C) = p(A) + p(B) + p(C ) – p(AB) – p(AC) - p(BC) + p (ABC)
3 - Ví dụ l Ví dụ 1 lMột lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lô hàng được chấp nhận nếu chọn ngẫu nhiên ra 50 sản phẩm để kiểm tra thì số phế phẩm không quá 1. l Tìm xác suất để lô hàng được chấp nhận. lGiải lGọi: A là biến cố lô hàng được chấp nhận;
lA0 là biến cố trong 50 sản phẩm không có phế phẩm nào; A1 là biến cố trong 50 sản phẩm có 1 phế phẩm. lKhi đó A0, A1 là hai biến cố xung khắc và ta có: A = A0 + A1. Suy ra:
Ví dụ 2 lThăm dò 100 người trong một Câu Lạc Bộ thấy có 80 người thích nhạc Văn Cao, 70 người thích nhạc Trịnh Công Sơn, 60 người thích nhạc của cả hai ông. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số được thăm thăm dò. lTính xác suất để người này thích nhạc của ít nhất 1 trong 2 nhạc sĩ.
Giải lGọi: A1 là Biến cố người được chọn thích nhạc Văn Cao; A2 là Biến cố người được chọn thích nhạc Trịnh Công Sơn; F là Biến cố người được chọn thích nhạc của ít nhất 1 trong 2 nhạc sĩ. lTa thấy A1, A2 không phải là hai biến cố xung khắc và: F = A1 + A2
2.2 – Cơng thức nhân xác suất l2.2.1 – Xác suất cĩ điều kiện l1 – Định nghĩa lCho A và B là những biến cố trong cùng phép thử. Xác suất của biến cố A khi biến cố B xảy ra được gọi là xác suất cĩ điều kiện của A theo B. Ký hiệu là p(A/B) l2 - Ví dụ lNăm người bắt thăm mua 3 mĩn hàng cùng loại. Hỏi người bắt thăm trước hay sau cĩ lợi thế hơn?
Giải l Gọi Ai (i =1, ,5) là biến cố người thứ i bắt trúng. Ta thấy xác suất bắt trúng của từng người như sau:
2.2.2 – Cơng thức nhân xác suất thứ nhất l Cho A và B là hai biến cố bất kỳ trong cùng phép thử ta cĩ: p(AB) = p(A)p(B/A) = p(B)p(A/B) l Cho A1, A2, , An là những biến cố bất kỳ trong cùng phép thử ta cĩ: l p(A1 A2 An) = p(A1)p(A2/A1)p(A3/A1A2) l p(An / A1 A2 An -1)
2.2.3 – Cơng thức nhân xác suất thứ hai l1 – Sự độc lập của các biến cố lBiến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay khơng xảy ra của biến cố này khơng ảnh hưởng đến việc xảy ra hay khơng xảy ra của biến cố kia lCác biến cố A1, A2, , An được gọi là độc lập từng đơi nếu một cặp hai biến cố bất kỳ trong hệ đều độc lập với nhau
l Các biến cố A1, A2, , An được gọi là độc lập tồn thể nếu việc xảy ra hay khơng xảy ra của một nhĩm k biến cố bất kỳ trong hệ khơng ảnh hưởng đến việc xảy ra hay khơng của các biến cố khác trong hệ đĩ l 2 – Cơng thức nhân xác suất thứ hai l Cho A và B là hai biến cố độc lập. Ta cĩ: l p(AB) = p(A)p(B) l Cho A1, A2, , An là hệ độc lập tồn thể ta cĩ: l p(A1A2 An ) = p(A1)p(A2) p(An )
VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 Một chàng trai viết thư cho 3 cô bạn gái, do đãng trí nên anh ta bỏ thư vào phong bì một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để không cô nào nhận được đúng thư của mình.
Giải lGọi Ai là biến cố cô thứ i nhận đúng thư của lmình (i = 1, 2, 3) l Gọi F là biến cố không cô nào nhận được đúng thư của mình. Ta có:
Ví dụ 2 lMột thủ kho cĩ một chùm chìa khĩa gồm 9 chiếc bề ngồi giống hệt nhau, trong đĩ chỉ cĩ 2 chiếc mở được. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa, chiếc nào thử khơng trúng thì bỏ ra. lTính xác suất để người thủ kho mở được ở lần mở thứ 3
Giải lGọi Ai là biến cố người thủ kho mở được ở lần mở thứ i (i = 1 9); F là biến cố người thủ kho mở được cửa ở lần thứ 3. lKhi đĩ ta cĩ biểu diễn:
lVí dụ 3 lLơ hàng chứa 20 sản phẩm trong đĩ cĩ 2 sản phẩm xấu. Chọn lần lượt khơng hịan lại mỗi lần một sản phẩm cho đến khi thấy đủ 2 sản phẩm xấu thì dừng. lTính các suất để việc chọn dừng lại ở bước chọn thứ 4
Giải l Gọi F là biến cố việc chọn dừng lại ở bước thứ 4 l Gọi Xi là biến cố sản phẩm xấu chọn ở bước thứ i (i = 1 20) ta cĩ: l Tính các xác suất:
Ví dụ 4 l Một xưởng cĩ ba máy làm việc. Trong một ca máy thứ nhất cần sửa chữa với xác suất là 0,15; máy thứ hai là 0,1; máy thứ ba là 0,12. l Tính xác suất sao cho trong một ca làm việc cĩ ít nhất một máy cần sửa chữa l Giải l Gọi Ai là biến cố máy thứ i cần phải sửa chữa l (i = 1,2,3). Ta thấy A1, A2, A3 độc lập l Gọi F là biến cố cĩ ít nhất một máy cần sửa chữa l Khi đĩ ta cĩ:
Ví dụ 5 l Một người cĩ ba viên đạn bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đều bằng nhau và bằng 0,7. l Tính xác suất để ba viên đạn bắn ra: l A) Khơng cĩ viên nào trúng mục tiêu l B) Cĩ một viên trúng mục tiêu l C) Cĩ hai viên trúng mục tiêu l D) Cĩ ba viên trúng mục tiêu
Giải lGọi Ai là biến cố viên thứ I trúng mục tiêu (i=1,2,3). Ta thấy A1, A2, A3 độc lập lGọi A, B, C, D lần lượt là biến cố cĩ 0, 1, 2, 3 viên trúng mục tiêu. Ta cĩ:
Tương tự
Ví dụ 6 lMột người cĩ 3 viên đạn bắn độc lập vào một mục tiêu; xác suất bắn trúng mục tiêu đều bằng nhau và bằng 0,6. Người đĩ bắn theo nguyên tắc: Nếu bắn trúng mục tiêu hay bắn hết đạn thì dừng lại. Tính xác suất để người đĩ bắn ra: l1 viên l2 viên l3 viên
Giải lGọi Ai là biến cố viên thứ I trúng mục tiêu (i=1,2,3). Ta thấy A1, A2, A3 độc lập lGọi A, B, C lần lượt là biến cố xạ thủ bắn ra 1, 2, 3. Ta cĩ:
l 2.3 – Cơng thức xác suất Becnuli l 2.3.1 – Dãy phép thử Becnuli l Một dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Becnuli nếu thỏa mãn các điều kiện sau: l Dãy các phép thử được tiến hành độc lập với nhau l Trong qúa trình thực hiện phép thử chỉ xuất hiện biến cố A hoặc biến cố đối lập với biến cố A l Xác suất xuất hiện biến cố A (xác suất thành cơng) trong mỗi lần thử đều bằng một hằng số p khơng đổi
2.3.2 – Cơng thức xác suất Becnuli l Cho một dãy n phép thử Becnuli với xác suất thành cơng là p. l Khi đĩ xác suất để biến cố A trong phép thử đĩ xuất hiện đúng k lần được tính theo cơng thức:
Bài tốn về cơng thức xác suất Becnuli lVí dụ lMột cuộc thăm dị cho thấy tỉ lệ những hộ dân cĩ sử dụng loại sản phẩm X trong thành phố là 65%. Chọn ngẫu nhiên 12 hộ dân trong thành phố. Tính xác suất để 12 hộ dân này: lA) Cĩ 5 hộ sử dụng loại sản phẩm X lB) Cĩ ít nhất hai gia đình sử dụng loại sản phẩm X
Giải l Mỗi lần kiểm tra một hộ dân ta coi đĩ là một phép thử, ta cĩ số phép thử là n =12. Xác suất để một hộ cĩ sử dụng loại sản phẩm X trong mỗi lần thử là p = 0,65. Vậy việc chọn kiểm tra hộ dân như trên là dãy phép thử Becnuli với số lần thử là n = 12 và xác suất thành cơng là 0,65 l A)Gọi A là biến cố cĩ đúng 5 hộ dân sử dụng sản phẩm X. Theo cơng thức xác suất Becnuli ta cĩ
l B) Gọi B là biến cố cĩ ít nhất hai hộ sử dụng sản phẩm X. Khi đĩ biến cố đối lập của B là biến cố cĩ khơng quá 1 hộ sử dụng và ta cĩ:
Ví dụ 2 lMột xạ thủ bắn độc lập 100 phát đạn vào một mục tiêu; xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đều bằng nhau và bằng 0,8. lTính xác suất để 100 viên đạn mà người đĩ bắn ra cĩ 80 viên trúng mục tiêu. lGiải lMỗi lần bắn ra một viên đạn ta coi như là một phép thử, ta cĩ số phép thử là n = 100
lXác suất để một viên trúng mục tiêu trong mỗi lần thử là p = 0,8. Vậy việc bắn súng như trên là dãy phép thử Becnuli với số lần thử là n = 100 và xác suất thành cơng là p = 0,8. lGọi A là biến cố “cĩ 80 viên trúng mục tiêu”. lTheo cơng thức Becnuli ta cĩ:
2.4 – Cơng thức xác suất đầy đủ - Cơng thức Bayes l 1- Cơng thức xác suất đầy đủ l Cho A1, A2, , An là một hệ đầy đủ các biến cố; F là một biến cố bất kỳ trong cùng phép thử. Khi đĩ ta cĩ cơng thức:
l 2 – Cơng thức Bayes l Cho A1, A2, , An là một hệ đầy đủ các biến cố; F là một biến cố bất kỳ trong cùng phép thử. Khi đĩ ta cĩ cơng thức:
Chứng minh l1) Vì A1, A2, , An là một hệ đầy đủ nên:
l2) Ta cĩ:
Các bài tốn về cơng thức xác suất đầy đủ l Ví dụ 1 l Sản phẩm X trên thị trường là do ba cơ sở sản xuất cung cấp. Cơ sở I chiếm 30% lượng hàng với tỉ lệ phế phẩm là 1%; Cơ sở II chiếm 50% lượng hàng với tỉ lệ phế phẩm là 3%; Cơ sở III chiếm 20% lượng hàng với tỉ lệ phế phẩm là 5% l A) Một người mua một sản phẩm X trên thị trường. Tính xác suất để người đĩ mua phải sản phẩm phế phẩm l B) Một người mua một sản phẩm X trên thị trường và mua phải sản phẩm phế phẩm. Theo anh chị thì sản phẩm phế phẩm này cĩ khả năng là của cơ sở nào nhiều nhất?
Giải l A) Gọi F là biến cố khách hàng mua phải sản phẩm phế phẩm l Gọi Ai là biến cố sản phẩm X là của cơ sở i sản xuất (i=1,2,3). Ta thấy A1, A2, A3 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố l Suy ra: l Vậy xác suất để khách hàng mua phải sản phẩm phế phẩm là 2,8%
B) Theo cơng thức Bayes ta cĩ: lTa thấy xác suất 15/28 lớn nhất. Do đĩ sản phẩm phế phẩm cĩ khả năng là của cơ sở II là nhiều nhất
Ví dụ 2 l Cĩ hai bình đựng bi: Bình thứ nhất chứa 12 bi trong đĩ cĩ 8 bi mầu trắng và 4 bi mầu đỏ; Bình thứ hai chứa 12 bi trong đĩ cĩ 9 bi mầu trắng và 3 bi mầu đỏ. Người ta lấy ngẫu nhiên một bi từ bình I bỏ vào bình II, sau đĩ lấy ngẫu nhiên bốn bi từ bình II ra ngồi. l Tính xác suất để 4 bi lấy ra từ bình II cĩ đúng 2 bi mầu trắng
Giải l Gọi A1 là biến cố bi lấy ra từ bình I cĩ mầu trắng; l Gọi A2 là biến cố bi lấy ra từ bình I cĩ mầu đỏ. l Ta thấy {A1, A2} lập thành một hệ đầy đủ l Gọi F là biến cố cĩ đúng 2 bi mầu trắng. Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta cĩ:
Ví dụ 3 lTrong một thúng cam cĩ 42% cam Trung Quốc, 24% cam Thái Lan, 26% cam Campuchia và 8% cam Việt Nam.Trong số đĩ cĩ một số cam bị hư gồm 20% cam TQ, 10% cam TL, 12% cam CPC và 2% cam VN. l1) Tính xác suất để một người mua phải một trái cam TQ bị hư l2) Tính xác suất để một người mua phải một trái cam bị hư
l3) Biết một người mua phải một trái cam hư. Tính xác suất để trái cam ấy là cam của CPC l4) Biết một người mua phải một trái cam hư. Tính xác suất để trái cam ấy khơng phải là cam của VN lGiải lGọi A1, A2, A3, A4 lần lượt là biến cố cam của TQ, TL, CPC, VN .Ta thấy A1, A2, A3, A4 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố
l1) Gọi A là biến cố trái cam hư là của TQ. F là biến cố trái cam bị hư. Ta cĩ: lA = A1F p(A) = p(A1F) = p(A1)p(F/A1) l = 0,42x0,2 = 0,084 (8,4%) l2) p(F) = p(A1)p(F/A1) + p(A2)p(F/A2) l + p(A3)p(F/A3) + p(A4)p(F/A4) l= 0,42x0,2 + 0,24x0,1 + 0,26x0,12 l + 0,08x0,02 l= 0,1408 (14,08%)
Cách khác
Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
§1 – ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN l 1.1 – Khái niệm ĐLNN l 1 – Định nghĩa l ĐLNN là một đại lượng biến thiên, phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên mà trong kết quả của phép thử nĩ chỉ mang một giá trị cĩ thể được l Như vậy ĐLNN là một quy tắc cho tương ứng mỗi biến cố sơ cấp trong khơng gian các biến cố sơ cấp của một phép thử với một số thực duy nhất l Ký hiệu ĐLNN: X, Y, Z, l Giá trị của ĐLNN: x, y, z,
2 – Phân loại lKhi tập các giá trị của ĐLNN X là hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được thì X được gọi là ĐLNN rời rạc và ký hiệu: (X = a), (X = b), lKhi ĐLNN X lấy một giá trị tùy ý trong đoạn [a,b] thì ta nĩi X là ĐLNN liên tục và ký hiệu: (a#X#b); (a <X<b); (X#b),
3 – Ghi chú lKhi cĩ ĐLNN (X = a) thì ta cĩ thể coi đĩ là một biến cố xác suất ghi nhận hiện tượng: “Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị a” lNếu X và Y là hai ĐLNN ứng với hai phép thử khác nhau thì ta nĩi X và Y là hai ĐLNN độc lập và ta cĩ: l
§2 – QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT l 2.1 – Quy luật PPXS của ĐLNN rời rạc l 2.1.1 – Bảng PPXS l Cho X là một ĐLNN rời rạc với các giá trị cĩ thể được là x1, x2, , xn. Đặt pi = p(X=xi) (i=1 n) l Ta lập một bảng liệt kê tất cả các giá trị của X cùng với các xác suất của nĩ và gọi bảng này là bảng PPXS của ĐLNN X: X x1 x2 xn pX p1 p2 pn
Ghi chú l Vì x1, x2, , xn là các giá trị cĩ thể của X nên chúng là những số thực khác nhau đơi một do đĩ (X = x1); (X = x2); ; (X = xn) lập thành một hệ đầy đủ các biến cố. Suy ra: l (X = x1) + (X = x2) + + (X = xn) = Ω l 0p(X = x1)+p(X = x2) + + p(X = xn) =p(Ω) l 0p1 + p2 + + pn = 1 l Điều này thể hiện một quy luật cho tất cả ĐLNN. l Người ta gọi đĩ là Quy luật phân phối xác suất
2.1.2 – Hàm PPXS l 1 – Định nghĩa l Hàm số F(x) xác định trên R cho bởi cơng thức: l F(x) = p(X<x) được gọi là hàm PPXS của đại lượng ngẫu nhiên X l 2 – Định lý l Cho X là một ĐLNN rời rạc cĩ các giá trị: l x1< x2< < xn với bảng PPXS là: X x1 x2 xn pX p1 p2 pn
l Khi đĩ hàm PPXS của X cĩ dạng:
Bài tập lập bảng phân phối xác suất l Bài 1 l Một bình chứa 10 viên bi trong đĩ cĩ 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Người ta lấy ngẫu nhiên từ trong bình ra 3 bi. Gọi X là số bi trắng cĩ trong ba bi được chọn. l Hãy tìm quy luật PPXS của X l Tìm hàm PPXS của X l Giải l Gọi X là số bi trắng cĩ trong ba bi được chọn thì X là ĐLNN cĩ các giá trị là 0, 1, 2, 3
Ta tính các xác suất
Kiểm tra ta được: • p0 + p1 + p2 + p3 = 1 • Suy ra bảng PPXS của X là: X 0 1 2 3 pX 4/120 36/120 60/120 20/120
Hàm PPXS của X là
Bài 2 § Một xạ thủ bắn độc lập 3 viên đạn vào một bia, xác suất trúng của mỗi viên đạn bằng nhau và bằng 0,7. Gọi X là số viên đạn trúng bia (trong 3 viên đạn bắn). § Hãy lập bảng PPXS của X. § Giải § Gọi X là đại lượng ghi nhận số viên đạn bắn trúng mục tiêu. Khi đó X là ĐLNN nhận các giá trị 0, 1, 2, 3
Ta tính các xác suất § Gọi Ai là viên đạn thứ i bắn trúng bia (i = 1,2,3). § Khi đó {A1, A2, A3} độc lập và ta có:
Kiểm tra p0 + p1 + p2 + p3 = 1 Suy ra bảng PPXS của X là X 0 1 2 3 pX 0,027 0,189 0,441 0,343
2.2 – Quy luật PPXS của ĐLNN liên tục § 2.2.1 – Hàm mật độ xác suất § 1 – Định nghĩa § Cho X là một ĐLNN liên tục. Hàm f(x) xác định trên R được gọi là hàm mật độ xác suất của X nếu thỏa mãn các điều kiện như sau:
2 – Ghi chú: • Cho X là một ĐLNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là f(x). Khi đĩ xác suất p(a<X<b) chính là diện tích hình thang cong được giới hạn bởi các đường: • x = a, x = b, y = f(x) và y = 0 • 2.2.2 – Hàm PPXS của ĐLNN liên tục • 1 – Định nghĩa • Hàm số F(x) xác định trên R cho bởi cơng thức: F(x) = p(X<x) được gọi là hàm PPXS của ĐLNN X
2 – Ghi chú • Khi X là một ĐLNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là f(x) thì hàm PPXS của X cĩ dạng là:
3 – Các tính chất cơ bản của hàm PPXS l(1) x  R: 0 ≤ F(x) ≤ 1 l(2) F(x) là hàm khơng giảm. Nghĩa là nếu x1 < x2 thì F(x1) ≤ F(x2) l(3) Khi x → + thì F(x) → 1 l Khi x → - thì F(x) → 0 l (4) [F(x)]’ = f(x)
Bài tập về ĐLNN liên tục • Ví dụ 1 • Cho X là một ĐLNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là A) Tính hệ số a B) Tìm hàm mật độ F(x) C) Tính
Giải A) Theo tính chất của hàm mật độ xác suất ta cĩ
b) Theo tính chất của hàm PPXS ta cĩ
Suy ra hàm PPXS của X là:
lC) Theo tính chất của hàm phân phối xác suất ta cĩ:
Ví dụ 2 Cho X là ĐLNN liên tục cĩ hàm PPXS: • A) Tìm hệ số a • B) Tính p(2# X # 3) • Giải
A) Vì F(x) là hàm liên tục nên nĩ liên tục tại x = 4. Khi đĩ: B) Theo tính chất của hàm PPXS ta cĩ:
§3 – CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT ĐLNN l 3.1 – Kỳ vọng tốn học l 1 – Định nghĩa l (1) Cho X là ĐLNN rời rạc cĩ bảng PPXS là: X x1 x2 xn pX p1 p2 pn Kỳ vọng tốn học của ĐLNN X là một số thực được cho bởi cơng thức: E(X) = p1x1 + p2x2 + + pn xn
l(2) Cho X là một ĐLNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là f(x). Kỳ vọng tốn học của ĐLNN X là một số thực được cho bởi cơng thức:
Ví dụ lTheo dõi thu nhập của nhân viên trong một cơng ty cĩ 100 người người ta thu được một bảng số liệu như sau: Mức thu nhập 3 4 5 6 7 (triệu đồng/tháng) Số người 15 35 10 30 10 lNếu gọi X là mức thu nhập trung bình của một lngười trong cơng ty thì X là một ĐLNN cĩ các giá trị 2,4,5,6,7 và bảng PPXS của X là:
xi 3 4 5 6 7 pi 0,15 0,35 0,10 0,30 0,10 lNhư vậy: lKỳ vọng của một ĐLNN chính là giá trị trung bình theo xác suất của các giá trị của ĐLNN đĩ
2 – Tính chất cơ bản của kỳ vọng l(1) E(C) = C (C là hằng số) l(2) E(CX) = CE(X) (C là hằng số) l(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) l(4) Nếu X và Y độc lập thì l E(XY) = E(X)E(Y)
3.2 – Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn • 1 – Định nghĩa • (1) Phương sai của ĐLNN X là một số thực được định nghĩa bằng cơng thức: • D(X) = E[X - E(X)]2 • (2) Độ lệch tiêu chuẩn của ĐLNN X là một số thực được định nghĩa theo cơng thức:
2 – Ghi chú l(1) Nếu X là ĐLNN rời rạc với bảng PPXS là: X x1 x2 xn pX p1 p2 pn lThì phương sai của X được tính theo cơng thức:
• (2) Nếu X là một ĐLNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là f(x) thì phương sai của X được tính theo cơng thức:
3 – Tính chất cơ bản của phương sai l(1) Biểu thức khác của phương sai: l D(X) = E(X2 ) – [E(X)]2 l(2) D(C) = 0 ( là hằng số ) l(3) D(CX) = C2 D(X) ( là hằng số ) l(4) Nếu X và Y độc lập thì l D(X+Y) = D(X) + D(Y)
Ví dụ lCho X là một ĐLNN cĩ bảng PPXS như sau: xi 3 4 5 6 7 pi 0,15 0,35 0,10 0,30 0,10 lTa cĩ:
Suy ra: lPhương sai của X là: lĐộ lệch tiêu chuẩn của X là:
3.3 – Mốt (1) Cho X là ĐLNN rời rạc cĩ bảng PPXS là: X x1 x2 xn pX p1 p2 pn Nếu xác suất p(X = x0 ) lớn nhất thì ta nĩi x0 là mốt của X và ký hiệu là mod(X) = x0 (2) Cho X là ĐLNN liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x). Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 thì ta nĩi x0 là mốt của X và cũng ký hiệu là mod(X) = x0
§4 – MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI THƠNG DỤNG • 4.1 – Quy luật phân phối siêu bội • 1 – Định nghĩa • Cho X là một ĐLNN rời rạc với các giá trị nguyên 0, 1, , n. Ta nĩi X là ĐLNN cĩ quy luật phân phối siêu bội với các tham số N, NA, n nếu cơng thức xác suất của nĩ được thực hiện theo cơng thức xác suất lựa chọn: •Ký hiệu X  H(N, NA, n)
2 – Các đặc trưng của phân phối siêu bội • Cho X là ĐLNN cĩ quy luật phân phối siêu bội • X  H(N, NA, n). Khi đĩ X cĩ các đặc trưng như sau: • (1) Kỳ vọng: • E(X) = np với p = NA/N • (2) Phương sai:
4.2 – Quy luật phân phối nhị thức • 1 – Định nghĩa • Cho X là một ĐLNN rời rạc với các giá trị nguyên 0, 1, , n. Ta nĩi X là ĐLNN cĩ quy luật phân phối nhị thức với các tham số là n và p nếu cơng thức xác suất của nĩ được thực hiện theo cơng thức xác suất Becnuli: • • Ký hiệu X  B(n,p) • 2 - Ghi chú • Quy luật phân phối nhị thức gắn liền với một dãy phép thử Becnuli với số lần thử là n và xác suất thành cơng là p
3 – Các đặc trưng của phân phối nhị thức • Cho X là một ĐLNN cĩ quy luật phân phối nhị thức X  B(n,p). Khi đĩ ta cĩ: • (1) modX = k trong đĩ k là một số nguyên sao cho • np – q # k # np – q + 1 với q = 1 – p • (2) Kỳ vọng E(X) = np • (3) Phương sai D(X) = npq với q = 1 – p
4 – Ví dụ lXác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0,02. lA) Tính xác suất để trong 10 sản phẩm do máy sản xuất cĩ khơng quá một phế phẩm lB) Một ngày máy sản suất được 250 sản phẩm. Tìm số sản phẩm trung bình và số phế phẩm tin chắc nhất của máy đĩ trong một ngày
Giải lA) Mỗi lần máy sản suất ra một phế phẩm ta coi là một phép thử, do đĩ số phép thử là n =10. Xác suất để máy sản xuất ra phế phẩm trong mỗi lần thử là p = 0,02, do đĩ nếu gọi X là số phế phẩm trong 10 sản phẩm sản xuất ra thì X cĩ phân phối nhị thức X B(10; 0,02) lGọi A là biến cố cĩ khơng quá 1 phế phẩm. lTa cĩ: A = (0 X 1) = (X = 0) + (X = 1)
Suy ra: lp(A) = p(X=0) + p(X=1) 0 0 10-0 l = C 10(0,02) (1 - 0,02) 1 1 10-1 l + C 10(0,02) (1 - 0,02) = 0,983 lB) Gọi X là số sản phẩm tin chắc trong ngày ta cĩ X B(250; 0,02). Khi đĩ: lE(X) = np = 250 x 0,02 = 5 lSố sản phẩm tin chắc trong ngày chính là modX:
lmodX = k sao cho np – q k np – q + 1 lnp – q = 250 x 0,02 – 0,98 = 4,02 lnp – q + 1 = 5,02 l 4,02 k 5,02 k = 5 lVậy số phế phẩm tin chắc nhất trong ngày là 5
4.3 – Quy luật phân phối Poisson l1 – Định lý k k n-k lCho biểu thức f(k) = C n p (1 - p) ta cĩ: lNếu np = a với a cố định và với mọi k cố định ta cĩ:
• 2 – Định nghĩa • Cho X là một ĐLNN rời rạc cĩ vơ số giá trị nguyên 0, 1, 2, Ta nĩi rằng X là ĐLNN cĩ quy luật phân phối Poisson với tham số a > 0 nếu các cơng thức tính xác suất của nĩ cĩ dạng: Ký hiệu X  P(a)
3 – Các đặc trưng của phân phối Poisson lCho X là ĐLNN cĩ quy luât phân phối Poisson X  P(a). Ta cĩ: l(1) Kỳ vọng E(X) = a l(2) Phương sai D(X) = a
4 - Ứng dụng lDo định lý trên , phân phối Poisson được áp dụng trong các trường hợp sau: l(1) Khi p khá nhỏ và n khá lớn thì xấp xỉ với phân phối nhị thức B(n,p) l(2) Tính xác suất p (X = k) với X là ĐLNN biểu thị số lần xuất hiện biến cố A nào đĩ trong một khoảng thời gian nhất định
Ví dụ: lMột cửa hàng trung bình trong một giờ bán được 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong một giờ của hàng bán được nhiều hơn 5 sản phẩm. lGiải lGọi X là số sản phẩm mà cửa hàng bán được trong một giờ, ta cĩ: X P(4) lGọi A là biến cố trong một giờ của hàng bán được nhiều hơn 5 sản phẩm. Ta cĩ:
4.4 – Quy luật phân phối chuẩn • 1 – Định nghĩa • Cho X là một ĐLNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là f(x). Ta nĩi rằng X là ĐLNN cĩ quy luật phân phối chuẩn với các tham số là μ và σ2 nếu hàm mật độ xác suất của nĩ cĩ dạng: • Ký hiệu: X  N(μ; σ2)
lKhi μ = 0 và σ2 = 1 ta cĩ phân phối chuẩn tắc lX  N(0; 1) với hàm mật độ xác suất:
2 – Các đặc trưng của phân phối chuẩn l Cho X là ĐLNN cĩ phân phối chuẩn X  N(μ; σ2) l Ta cĩ: l (1) Kỳ vọng E(X) = μ l (2) Phương sai D(X) = σ2 l (3) mod(X) = μ
3 – Cơng thức tính xác suất của ĐLNN cĩ quy luật phân phối chuẩn lĐịnh lý lCho X là ĐLNN cĩ phân phối chuẩn l XN(μ; σ2) lTa cĩ cơng thức:
Chứng minh
Ghi chú lHàm (x) trên đây được gọi là hàm tích phân Laplace. lHàm này là một hàm lẻ và được tính sẵn trong bảng F từ x = 0 đến x = 4,09. lTa cĩ: lMà (4,09) = 0,4999. Vì thế khi x > 5 thì ta xấp xỉ (x) ≈ 0,5
lVí dụ: (1,96) = 0,475; (2,34) = 0,490 l(5,96) = 0,5 l5 – Phân vị chuẩn lCho X là ĐLNN cĩ quy luật phân phối chuẩn 2 lX  N(μ; σ ). Số thực xp là phân vị bậc p của X nếu thỏa mãn 2 điều kiện: lCác giá trị xp được trình bày trong bảng G
Ví dụ l Cho X cĩ phân phối chuẩn N(2100; 2002) l Tính p(1700 < X < 2200) l Giải:
4.5 – Quy luật phân phối chi bình phương l1 – Định lý l Cho X1 , X2 , , Xn là những ĐLNN độc lập cĩ phân phối chuẩn với cùng trung bình μ và cùng phương sai σ2. lĐặt: lKhi đĩ là một ĐLNN cĩ hàm PPXS là:
2 – Định nghĩa lCho X là một ĐLNN liên tục. Ta nĩi rằng X là ĐLNN cĩ phân phối chi bình phương với n bậc tự do ( n nguyên dương) và ký hiệu là X 2 χ n nếu hàm mật độ xác suất của nĩ là:
3 – Phân vị chi bình phương lCho X là ĐLNN liên tục cĩ phân phối chi bình 2 phương X χ n . lSố thực xp là phân vị bậc p của X nếu thỏa mãn 2 điều kiện: lCác giá trị của xp được trình bày ở bảng I
4.5 – Quy luật phân phối student l1 – Định lý lCho X và Y là các ĐLNN liên tục, độc lập với nhau, trong đĩ X cĩ phân phối chuẩn tắc X N(0,1); Y cĩ phân phối chi bình phương Y 2 χ n . Đặt: lKhi đĩ T là một ĐLNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là
2 – Định nghĩa lCho T là một ĐLNN liên tục. Ta nĩi rằng T cĩ phân phối student nếu T cĩ hàm mật độ xác suất là: lvà ký hiệu T Tn
3 – Phân vị Student lCho T là một ĐLNN cĩ phân phối Student T Tn . Ta gọi số thực tp là phân vị bậc p của T nếu thỏa mãn hai điều kiện: lCác giá trị tp trình bày trong bảng H
4.5 – MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG Định lý 1 lCho X là một ĐLNN cĩ quy luật phân phối nhị thức B(n;p). Nếu n P 30 , p quá bé gần 0 hoặc khơng quá lớn gần 1 thì ta cĩ thể coi X cĩ phân phối Poisson với tham số a = np và ta cĩ cơng thức xấp xỉ:
Định lý 2 (định lý giới hạn địa phương) • Cho X là một ĐLNN cĩ quy luật phân phối nhị thức B(n;p). Nếu n P 30 , p khơng quá gần 0 và khơng quá gần 1,thì X được xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình μ = np và phương sai σ2 = npq . Và ta cĩ cơng thức:
Ghi chú lHàm lĐược gọi là hàm Gauss. Hàm này được tính sẵn trong bảng E từ x = 0 đến x = 4,09 lKhi x > 4,09 thì ta xấp xỉ lVí dụ:
Định lý 3 (định lý giới hạn tích phân) • Cho X là một ĐLNN cĩ quy luật phân phối nhị thức B(n;p). Nếu n P 30 , p khơng quá gần 0 và khơng quá gần 1, thì X được xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình μ = np và phương sai • δ2 = npq . Nghĩa là ta cĩ cơng thức xấp xỉ:
Ví dụ § Nhà máy X sản xuất một loại sản phẩm có số sản phẩm loại A chiếm tỉ lệ 66,87% § Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để: § a) Trong 100 sản phẩm có đúng 70 sản phẩm loại A. § b) Trong 100 sản phẩm có không quá 60 sản phẩm loại A.
Giải § Mỗi lần kiểm tra một sản phẩm ta coi là một phép thử. Ta có số phép thử là n = 100. Xác suất để một sản phẩm thuộc loại A trong mỗi lần thử là p = 0,6687. § Do đó nếu gọi X là số sản phẩm loại A trong 100 sản phẩm thì X là ĐLNN có phân phối nhị thức: X  B(100; 0,6687)
la) Gọi A là biến cố có đúng 70 sản phẩm loại A. lTa có biểu diễn A = (X = 70)
lB) Gọi B là biến cố có không quá 60 sản phẩm loại A . lTa có biểu diễn: B = (0 ≤ X ≤ 60) lVì n = 100 > 30, xác suất p = 0,6687 không quá gần 0 và không quá gần 1 nên:
Bài tập áp dụng § Ví dụ 1 § Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai 100kg2 § Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để: § a) Trong 100 sản phẩm có đúng 70 sản phẩm loại A. § b) Trong 100 sản phẩm có không quá 60 sản phẩm loại A.
Giải § Trước hết ta tính tỉ lệ sản phẩm loại A: § Gọi W là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho, ta thấy W là ĐLNN có phân phối chuẩn: § W N(50; 100) § Gọi F là biến cố sản phẩm được xếp vào loại A ta có: F = (45 #W # 70). Suy ra:
lSuy ra xác suất để một sản phẩm thuộc loại lA là p = 0,6687
Ta tính xác suất theo yêu cầu của bài toán: lMỗi lần kiểm tra một sản phẩm ta coi là một phép thử, ta có n = 100. Xác suất để một sản phẩm thuộc loại A trong mỗi lần thử là p = 0,6687. lDo đó nếu gọi X là số sản phẩm loại A trong 100 sản phẩm đã chọn ra thì X là ĐLNN có phân phối nhị thức: X B(100; 0,6687)
§ a) Gọi A là biến cố có đúng 70 sản phẩm loại A. Ta có: A = (X = 70)
lb) Gọi B là biến cố có không quá 60 sản phẩm loại A ta có: B = (0# X #60)
Ví dụ 2 § Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 14 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều hơn số sản phẩm thuộc loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại bỏ. Kiểm tra 100 kiện (trong rất nhiều kiện). Tính xác suất để § có 42 kiện được nhận. § có từ 40 đến 45 kiện được nhận. § có ít nhất 42 kiện được nhận
Giải § Trước hết ta tính tỉ lệ những kiện được nhận nghĩa là tìm xác suất để một kiện hàng được nhận § Gọi X là số sản phẩm loại A trong kiện hàng § Gọi F là biến cố kiện hàng được nhận ta có: § F = (X = 3) + (X = 4) § Suy ra:
Tính các xác suất theo yêu cầu § Mỗi lần kiểm tra một kiện hàng ta coi đó là một phép thử khi đó số phép thử là n = 100. Xác suất để một kiện hàng được nhận trong mỗi lần thử là p = 0,4056. § Do đó nếu gọi X là số kiện hàng được nhận trong 100 kiện hàng được kiểm tra thì X là ĐLNN có phân phối nhị thức X B(n, p) với n = 100, p = 0,4056
la) Gọi A là biến cố có đúng 42 kiện được nhận. Ta có: lVậy xác suất để trong 100 kiện chọn ra có đúng 42 kiện được mua là 7,79%
lb) Gọi B là biến cố có từ 40 đến 45 kiện được nhận , ta có:
lSuy ra: l Vậy xác suất để 100 kiện chọn ra có từ 40 đến 45 kiện được nhận là 35,97%
c) Gọi C là biến cố có ít nhất 42 kiện được nhận, ta có: lVậy xác suất để 100 kiện chọn ra có ít nhất 42 kiện được nhận là 38,59%
Chương 3 ĐẠI CƯƠNG VỀ THỐNG KÊ TỐN HỌC
§1 – LÝ THUYẾT MẪU l1.1 – ĐÁM ĐƠNG l1- Khái niệm đám đơng lĐám đơng là một tập hợp các phần tử chứa đựng những thơng tin hay dấu hiệu mà ta cần nghiên cứu. lKý hiệu một đám đơng là Ω lDấu hiệu của một đám đơng ký hiệu là X*
2 – Ghi chú lKhi nghiên cứu một đám đơng ta quan tâm đến dấu hiệu X* của đám đơng đĩ. Dấu hiệu X* cĩ thể thay đổi từ cá thể này sang cá thể khác . lVì vậy: lTa cĩ thể coi việc nghiên cứu một đám lđơng là nghiên cứu một đại lượng ngẫu lnhiên X*
3- Các khái niệm liên quan lKích thước của đám đơng: là số phần tử N của đám đơng * lGiá trị của dấu hiệu X : x1, x2, ,xk lTần số N1, N2, ,Nk : số phần tử mang dấu hiệu tương ứng x1, x2, ,xk lTần suất của các phần tử mang dấu hiệu lxi là tỉ số pi = Ni/N
Ghi chú: lTa luơn cĩ: ∑Ni = N và ∑pi = 1 lBảng cơ cấu đám đơng: Do ta coi X* như là một ĐLNN nên ta gọi bảng PPXS của nĩ là bảng cơ cấu đám đơng: * X x1 x2 xn pi p1 p2 pn
4- Các đặc trưng của đám đơng 1) Trung bình đám đơng: 2) Phương sai đám đơng:
3) Độ lệch chuẩn: 4) Tỉ lệ đám đơng: p = M/N (M là số phần tử cĩ tính chất mà ta quan tâm) 5 – Ghi chú Việc nghiên cứu một đám đơng thường gặp một số khĩ khăn như sau: - Do kích thước của đám đơng quá lớn nên tốn kém vật chất và thời gian - Khi làm việc với quy mơ lớn người ta khĩ kiểm sốt được quá trình nghiên cứu
- Nếu đám đơng biến động, các phần tử thay đổi thường xuyên thì việc nghiên cứu trên cả đám đơng khĩ thực hiện được - Để khắc phục được tình trạng này người ta tìm cách chọn mẫu và nghiên cứu trên mẫu và từ kết quả thu được trên mẫu ta cĩ kết luận cho cả đám đơng 1.2 – CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẪU 1- Mẫu - Từ đám đơng ta chọn ra một tập hợp cĩ n phần tử và nghiên cứu dấu hiệu X* trên chúng. Tập hợp này được gọi là một mẫu
Ghi chú: Khi nghiên cứu một mẫu ta quan tâm đến dấu hiệu X* của đám đơng trên mẫu nên ta coi một mẫu như là một ĐLNN 2 – Các khái niệm liên quan đến mẫu - Kích thước mẫu: là số phần tử của tập hợp mẫu * - Giá trị của dấu hiệu X : x1, x2, ,xk - Tần số ni của xi: số phần tử mang giá trị xi (i=1 k) - Tần suất của xi là tỉ số: ni/n (i=1 k)
3 – Các đặc trưng của mẫu Trung bình mẫu: Trung bình bình phương: Phương sai mẫu:
l Phương sai mẫu hiệu chỉnh: Ta cĩ: ● Tỉ lệ mẫu:
4 – Các phương pháp chọn mẫu l 1) Mẫu cơ học: Chia đám đơng thành n tập nhỏ sau đĩ chọn từ mỗi tập một phần tử làm đại diện l 2) Mẫu điển hình: Chia đám đơng thành n tập nhỏ cĩ tính điển hình. Sau đĩ chọn từ mỗi tập một phần tử làm đại diện l 3) Mẫu dãy: Chia đám đơng thành n dãy sau đĩ chọn từ mỗi dãy một phần tử làm đại diện
5 – Các phương pháp sắp xếp số liệu l 1) Sắp xếp theo giá trị quan sát: * X x1 x2 xk ni n1 n2 nk Ta gọi bảng này là bảng tần số của mẫu ● 2) Sắp xếp số liệu dạng khoảng: * ’ ” ’ ” ’ ” X x1 – x1 x2 – x2 xk – xk ni n1 n2 nk Khi đĩ để lập bảng tần số ta chọn: xi = (xi’ + xi”)/2
6 - Phương pháp tính các đặc trưng mẫu l Ví dụ: l Cho bảng số liệu: xi 4 5 7 9 ni 10 15 13 12 Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh
Giải l Lập bảng tính: 2 xi ni nixi nixi 4 10 40 160 5 15 75 375 7 13 91 637 9 12 108 972 Tổng 50 314 2144
Suy ra:
Phương pháp sử dụng máy tính bỏ túi Fx570 MS l Bước 1: Vào chương trình thống kê (SD) l Mod – SD – xĩa dữ liệu cĩ trong máy – vào lại SD l Bước 2: Nhập số liệu + l xi ; ni – M (i = 1 n) l Bước 3: Đọc kết quả 2 l Gọi n; ∑xi; ∑xi : Bấm shift – sum l Gọi Bấm shift - var
Phương pháp sử dụng máy tính bỏ túi Fx570ES l Bước 1: l Vào chương trình l Bấm sift – mod – (mũi tên xuống) – chọn 4 – chọn 1 – mod – chọn 3 – chọn 1 l Máy xuất hiện 2 cột để nhập số liệu: X Freq 1 2 3
l Bước 2: l Nhập số liệu theo cột – nhập xong bấm AC l Bước 3: l Đọc kết quả 2 l Gọi ∑xi; ∑xi : Bấm Sift – 1 – chọn 4 l Gọi n; xσn; xσn-1: Bấm Sift – 1 – chọn 5
§2 – LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG l 2.1 – Bài tốn ước lượng l 1 - Định nghĩa l Cho một đám đơng cĩ tham số θ chưa biết ( θ cĩ thể là μ; σ hay p). l Người ta chọn ra một mẫu cĩ n quan sát cho dấu hiệu * l X là x1, x2, ,xn l Vấn đề đặt ra là: Căn cứ vào mẫu quan sát hãy tìm l một giá trị gần đúng θ’ cho θ l Bài tốn này được gọi là Bài tốn ước lượng tham số l đám đơng
2 - Phân loại bài tốn ước lượng 1) Ước lượng điểm: là loại ước lượng chỉ phụ thuộc vào mẫu quan sát 2) Ước lượng khoảng: là loại ước lượng phụ thuộc vào mẫu quan sát và một xác suất cho trước (cịn gọi là độ tin cậy) 2.2 – Phương pháp ước lượng điểm 1) Để ước lượng điểm trung bình đám đơng ta dùng trung bình mẫu để ước lượng: 2) Để ước lượng điểm phương sai đám đơng ta dùng phương sai mẫu hiệu chỉnh để ước lượng: σ2 ≈ S2
3) Để ước lượng điểm tỉ lệ đám đơng ta dùng tỉ lệ mẫu để ước lượng: p ≈ fn 2.3 – Ước lượng khoảng cho trung bình 2.3.1 - Bài tốn: - Cho một đám đơng cĩ trung bình μ chưa biết. Người ta lấy ra một mẫu cĩ kích thước là n, tính được trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh. - Vấn đề đặt ra là: Căn cứ vào kết quả tính được trên mẫu, với độ tin cậy là 1 - α cho trước hãy tìm khoảng ước lượng cho trung bình của đám đơng
2.3.2 – Phương pháp giải quyết Người ta chọn một khoảng (μ1, μ2 ) sao cho: p (μ1 #μ# μ2 ) = 1 – α 2.3.3 – Cơng thức ước lượng Trường hợp 1: Phương sai của đám đơng σ2 đã biết. Ta cĩ cơng thức: Trong đĩ tα được tính như sau: Từ hệ thức (tα) = (1 – α )/2 tra bảng F ta tính được tα
Trường hợp 2: l Phương sai của đám đơng chưa biết và kích thước mẫu lớn (n P 30) ta cĩ cơng thức ước lượng: l Trường hợp 3: l Phương sai của đám đơng chưa biết và kích thước mẫu nhỏ (n < 30) ta cĩ cơng thức ước lượng: n-1 l Trong đĩ tα được tra ở bảng H
Ghi chú: l Và gọi ε là độ chính xác của ước lượng.
CÁC VÍ DỤ lVí dụ 1 lKhảo sát chiều cao của 36 sinh viên người lta tính được: lBiết độ lệch tiêu chuẩn của một người ltrưởng thành là σ = 3inches, hãy ước llượng chiều cao trung bình của một sinh lviên với độ tin cậy là 95%
Giải lGọi μ là ước lượng chiều cao trung bình của một sinh viên với độ tin cậy 95% lTa cĩ cơng thức ước lượng: lNhưng
Suy ra: Vậy chiều cao trung bình của một sinh viên nằm trong khoảng 65,02 inches đến 66,98 inches với độ tin cậy 95%
Ví dụ 2 lLấy ngẫu nhiên 100 hộp sữa trong một kho sữa, cân trọng lượng và tính được: lHãy ước lượng trọng lượng trung bình của một hộp sữa trong kho với độ tin cậy là 96%
Giải l Gọi μ là ước lượng trọng lượng trung bình của một hộp sữa trong kho với độ tin cậy là 96%. Do n =100 > 30 nên ta cĩ cơng thức ước lượng: lNhưng:
Suy ra: lVậy trọng luợng trung bình của một hộp sữa trong kho vào khoảng từ 394,975g đến 397,025g với độ tin cậy 96%
Ví dụ 3 lLấy ngẫu nhiên 25 hộp sữa trong một kho sữa, cân trọng lượng và tính được: lƯớc lượng trọng lượng trung bình của một hộp sữa trong kho với độ tin cậy là 95%
Giải lGọi μ là ước lượng trọng lượng trung bình của một hộp sữa trong kho với độ tin cậy là 95%. Do n = 25 < 30 nên ta cĩ cơng thức ước lượng: lNhưng
Suy ra: Vậy trong lượng trung bình của một hộp sữa trong kho vào khoảng từ 392,98g đến 397,02g với độ tin cậy 95%
Ví dụ 4 l Lấy ngẫu nhiên 100 hộp sữa trong một kho sữa, cân trọng lượng và tính được: a) Muốn ước lượng trong lượng trung bình của một hộp sữa trong kho đạt được độ chính xác là 1gam và độ tin cậy 99% thì cần điều tra trên bao nhiêu hộp? b) Muốn ước lượng trong lượng trung bình của một hộp sữa trong kho đạt được độ chính xác là 1gam thì độ tin cậy của ước lượng sẽ là bao nhiêu?
Giải a) Theo cơng thức ước lượng trung bình đám đơng ta cĩ: Vậy ta phải điều tra ít nhất là 166 hộp
b) Theo cơng thức ước lượng trung bình đám đơng ta cĩ: Vậy độ tin cậy của ước lượng là 95,44% Ghi chú: Bài tốn trong ví dụ 4 cịn gọi là bài tốn xác định các chỉ tiêu của bài tĩan ước lượng trung bình đám đơng
2.4 – Ước lượng khoảng cho tỉ lệ 1 - Bài tốn: Cho một đám đơng cĩ tỉ lệ p chưa biết. Người ta chọn ra một mẫu cĩ kích thước là n, tính được tỉ lệ mẫu là fn. l Vấn đề đặt ra là: Căn cứ vào kết quả trên mẫu, hãy tìm khoảng ước lượng cho tỉ lệ đám đơng với độ tin cậy 1 – α cho trước 2 – Phương pháp giải quyết: Người ta tìm một khoảng (p1, p2) sao cho: p (p1# p #p2) = 1 – α
3 – Cơng thức ước lượng Ghi chú: Nếu ta đặt Thì cơng thức ước lượng cĩ dạng: Ta gọi ε là độ chính xác của ước lượng
Ví dụ 1 l Lơ trái cây của một chủ hàng được đĩng thành từng sọt mỗi sọt chứa 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thấy cĩ 450 trái khơng đạt tiêu chuẩn l a) Ước lượng tỉ lệ trái cây khơng đạt tiêu chuẩn của lơ hàng với độ tin cậy 95%. l b) Muốn lượng tỉ lệ trái cây khơng đạt tiêu chuẩn với độ chính xác là 0,005 thì độ tin cậy là bao nhiêu l c) Muốn lượng tỉ lệ trái cây khơng đạt tiêu chuẩn với độ chính xác là 0,01 và độ tin cậy là 99% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt
Giải l a) Gọi p là ước lượng tỉ lệ trái cây khơng đạt tiêu chuẩn của lơ hàng với độ tin cậy 95% ta cĩ cơng thức ước lượng:
Khi đĩ Vậy tỉ lệ trái cây khơng đạt chuẩn nằm trong khoảng từ 8,2% đến 9,8% với độ tin cậy là 95%
b) Theo cơng thức ước lượng tỉ lệ đám đơng ta cĩ: lVậy độ tin cậy đạt được là 78,5%
c) Theo cơng thức ước lượng tỉ lệ đám đơng ta cĩ: lVậy ta phải kiểm tra ít nhất là 55 sọt
Ví dụ 2 (Bài tốn đếm cá) lMuốn biết được số cá trong một hồ lớn người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả xuống hồ. Sau đó người ta bắt lên 400 con và thấy có 80 con được đánh dấu. lVới độ tin cậy 95% hãy ước lượng số cá trong hồ. lGiải lTa gọi N là số cá trong hồ, p là tỉ lệ cá có đánh dấu trong hồ ta có:
l Trước hết ta ước lượng tỉ lệ p số con cá đã đánh dấu trong hồ: l Theo công thức ước lượng tỉ lệ đám đông ta có:
Suy ra: Vậy ước lượng số cá trong hồ có khoảng từ 8361 con đến 12438 con với độ tin cậy là 98%
§3 – LÝ THUYẾT KIỂM ĐỊNH l3.1 – KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THAM SỐ l3.1.1 – Kiểm định 2 phía lA – Bài tốn kiểm định trung bình Cho một đám đơng cĩ trung bình μ chưa biết. Đặt một giả thiết H0 về μ : “μ = μ0” Vấn đề đặt ra là với mức ý nghĩa α cho trước hãy kiểm tra giả thiết H0 là đúng hay sai Bài tốn này được gọi là bài tốn kiểm định giả thiết trung bình đám đơng
Giải quyết lTrường hợp 1: Biết phương sai σ2 lBước 1: lĐặt giả thiết khơng H0 : “μ = μ0 “ lĐặt đối thiết H1 : “μ s μ0 “ lBước 2: lTính thống kê: lTính tα
Bước 3: Kết luận 1) Nếu | t |# tα thì ta chấp nhận giả thiết H0 Và bác bỏ H1 2) Nếu | t | > tα thì ta bác bỏ giả thiết H0 và Chấp nhận H1 Ghi chú: Khi giả thiết H0 bị bác bỏ ta cĩ kết luận:
lTrường hợp 2: Biết phương sai σ2 và n 30 lBước 1: lĐặt giả thiết khơng H0 : “μ = μ0 “ lĐặt đối thiết H1 : “μ s μ0 “ lBước 2: lTính thống kê: lTính tα
Bước 3: Kết luận 1) Nếu | t |# tα thì ta chấp nhận giả thiết H0 Và bác bỏ H1 2) Nếu | t | > tα thì ta bác bỏ giả thiết H0 và Chấp nhận H1 Ghi chú: Khi giả thiết H0 bị bác bỏ ta cĩ kết luận:
lTrường hợp 3: Chưa biết phương sai σ2 ln < 30 lBước 1: lĐặt giả thiết khơng H0 : “μ = μ0 “ lĐặt đối thiết H1 : “μ s μ0 “ lBước 2: lTính thống kê: n-1 lTính t α
Bước 3: Kết luận n-1 1) Nếu | t |# t α thì ta chấp nhận giả thiết H0 và bác bỏ H1 n-1 2) Nếu | t | > t α thì ta bác bỏ giả thiết H0 và Chấp nhận H1 Ghi chú: Khi giả thiết H0 bị bác bỏ ta cĩ kết luận:
Ví dụ áp dụng l Ví dụ 1 l Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của một cơng nhân là 2,5 triệu đồng / tháng l Chọn ngẫu nhiên 36 cơng nhân thì thấy lương trung bình là 2,3 triệu đồng / tháng. Biết độ lệch tiêu chuẩn là 0,5 triệu hãy kiểm định tuyên bố của ơng giám đốc với mức ý nghĩa 5%. l Giải l Gọi μ là mức lương trung bình của một cơng nhân. Đặt giả thiết H0:”μ = 2,5”. Ta kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 5%
Giải lGọi μ là mức lương trung bình của một cơng nhân. lĐặt giả thiết khơng H0:”μ = 2,5”. lVới đối thiết H0:”μ s 2,5”. lTa kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 5% lTính:
lSuy ra bác bỏ H0, chấp nhận H1 lLời của giám đốc khơng tin cậy được. lThực tế mức lương trung bình của một lcơng nhân thấp hơn 2,5 triệu đồng/tháng
Ví dụ 2 l Trước đây trọng lượng thanh niên độ tuổi 20 của vùng A là 45kg. Năm nay người ta chọn ngẫu nhiên 100 thanh niên và xác định được trọng lượng trung bình là 48kg; phương sai mẫu hiệu chỉnh là 100kg2 l Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm tra xem trọng lượng của thanh niên trong vùng cĩ thay đổi hay khơng?
Giải lGọi μ là trọng lượng trung bình của thanh niên trong vùng hiện nay lĐặt giả thiết khơng H0:”μ = 45” lĐối thiết H1:”μ s 45” và kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 5%. lTa cĩ
lSuy ra bác bỏ H0, chấp nhận H1 lKết luận trọng lượng của thanh niên trong vùng cĩ tăng lên.
Ví dụ 3 l Một cơng ty sản xuất pin tuyên bố rằng pin của họ cĩ tuổi thọ trung bình là 21,5 giờ. Một cơ quan kiểm tra chất lượng kiểm tra ngẫu nhiên 6 chiếc pin và thu được kết quả về tuổi thọ của 6 chiếc pin này là: 19, 18, 22, 20, 16, 25. l Kiểm tra lại thơng tin trên với mức ý nghĩa là 5% l Giải l Gọi μ là tuổi thọ trung bình của loại pin do cơng ty sản xuất. Đặt giả thiết H0:”μ = 21,5” và kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 5%.
Tính tốn ta được Ta chấp nhận H0 ở mức ý nghĩa α = 5% Vậy tuyên bố của cơng ty là đúng
B – Bài tốn kiểm định về tỉ lệ Cho một đám đơng cĩ tỉ lệ p chưa biết. Đặt một giả thiết H0 về p : “p = p0” Vấn đề đặt ra là với mức ý nghĩa α cho trước hãy kiểm tra giả thiết H0 là đúng hay sai Bài tốn này được gọi là bài tốn kiểm định giả thiết tỉ lệ đám đơng
Giải quyết lBước 1: lĐặt giả thiết khơng H0 : “p = p0 “ lĐặt đối thiết H1 : “p s p0 “ lBước 2: lTính thống kê: lTính tα (tra bảng G)
Bước 3: Kết luận 1) Nếu | t |# tα thì ta chấp nhận giả thiết H0 và bác bỏ H1 2) Nếu | t | > tα thì ta bác bỏ giả thiết H0 và Chấp nhận H1 Ghi chú: Khi giả thiết H0 bị bác bỏ ta cĩ kết luận:
Ví dụ áp dụng l Ví dụ 1 l Một tài liệu cũ cho biết tỉ lệ hộ dân thích xem chương trình “Phim Việt” là 80%. Kiểm tra ngẫu nhiên 36 hộ dân thì thấy cĩ 25 hộ thích xem chương trình này. Với mức ý nghĩa 5% cĩ chấp nhận tài liệu này hay khơng? l Giải l Gọi p là tỉ lệ hộ dân thích xem chương trình “Phim Việt”. l Đặt giả thiết H0: ”p = 0,8”, Đối thiết H1: ”p s 0,8” l Ta kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 5%
Ta cĩ: Vậy ta chấp nhận giả thiết H0; Bác bỏ H1 Nghĩa là thơng tin cho rằng tỉ lệ 80% người thích chương trình “Phim Việt” cĩ thể tin cậy được
Ví dụ 2 l Một bản báo cáo nĩi rằng 80% gia đình trong thành phố cĩ máy vi tính ở nhà. Để kiểm tra người ta chọn ngẫu nhiên 80 gia đình trong thành phố và thấy cĩ 68 hộ cĩ máy tính cá nhân. l Kiểm định thơng tin trên với mức ý nghĩa α = 2% l Giải l Gọi p là tỉ lệ hộ dân cĩ máy vi tính ở nhà. l Đặt giả thiết H0: ”p = 0,8”, Đối thiết H1: ”p s 0,8” l Ta kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 2%
Ta cĩ Ta bác bỏ giả thiết H0 ; chấp nhận H1 Thực tế số gia đình cĩ máy tính cá nhân ở nhà trong thành phố cao hơn
Ví dụ 3 lTỉ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5%. Năm nay nhà máy áp dụng một biện pháp cải tiến kỹ thuật mới. Để nghiên cứu tác dụng của biện pháp kỹ thuật mới, người ta lấy ngẫu nhiên một mẫu gồm 800 sản phẩm kiếm tra thấy cĩ 24 phế phẩm. lA) Cho biết kết luận về biện pháp cải tiến kỹ thuật với mức ý nghĩa 1% l
lB) Với mức ý nghĩa 5%, nếu nhà máy báo cáo tỉ lệ phế phẩm sau khi áp dụng biện pháp mới là 2% thì cĩ tin được khơng lGiải lGọi p là tỉ lệ phế phẩm sau khi áp dụng biện pháp cải tiến kỹ thuật mới. lĐặt giả thiết H0: ”p = 0,05” lĐối thiết H1:”p s 0,05” lTa kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 1%
lTa cĩ lVậy bác bỏ H0, chấp nhận H1 lSuy ra biện pháp kỹ thuật mới cĩ tác dụng tốt do làm giảm tỉ lệ phế phẩm
lB) Gọi p là tỉ lệ phế phẩm sau khi áp dụng biện pháp cải tiến kỹ thuật mới. lĐặt giả thiết H0: ”p = 0,02” lĐối thiết H1:”p s 0,02” lTa kiểm định H0 ở mức ý nghĩa 5% l Ta cĩ
lSuy ra bác bỏ H0, chấp nhận H1 lVậy báo cáo của nhà máy tỉ lệ phế phẩm là 2% khơng đúng theo thực tế.
B – Bài tốn kiểm định về phương sai Cho một đám đơng cĩ phương sai σ chưa biết. Đặt một giả thiết H0 về σ : “σ = σ0” Vấn đề đặt ra là với mức ý nghĩa α cho trước hãy kiểm tra giả thiết H0 là đúng hay sai Bài tốn này được gọi là bài tốn kiểm định giả thiết phương sai đám đơng
Giải quyết lBước 1: 2 2 lĐặt giả thiết khơng H0 : “σ = σ 0 “ 2 2 lĐặt đối thiết H1 : “σ s σ 0 “ lBước 2: lTính thống kê: lTính
Bước 3: Kết luận 1) Nếu thì ta chấp nhận giả thiết H0và bác bỏ H1 2) Nếu thì ta bác bỏ giả thiết H0 và chấp nhận H1
Ghi chú: Khi giả thiết H0 bị bác bỏ ta cĩ kết luận:
Ví dụ áp dụng lNếu máy mĩc hoạt động bình thường thì kích thước của một loại sản phẩm là một ĐLNN cĩ quy luật phân phối chuẩn với phương sai σ2 = 25cm2 . lNghi ngờ máy hoạt động khơng bình thường, người ta đĩ thử 20 sản phẩm và tính được S2 = 27,5 cm2 lVới mức ý nghĩa 2%, hãy kết luận về điều nghi ngờ này
Giải lGọi σ2 là phương sai của kích thước sản phẩm hiện nay. 2 lĐặt giả thiết khơng H0 : “σ = 25 “ 2 lĐặt đối thiết H1 : “σ s 25 “ lTính:
lTra bảng I ta được: lVậy chấp nhận H0 bác bỏ H1 lSuy ra máy hoạt động bình thường
3.1.2 – Kiểm định một phía l1 – Kiểm định trung bình lA) Phía phải lGiả thiết khơng: H0: “μ = μ0” lGiả thiết đối: H1: “μ > μ0” l(1) Nếu n 30, biết σ: l- Tính l- Tính t2α
l- Nếu |t| t2α : Chấp nhận H0 bác bỏ H1 l- Nếu |t| > t2α : Bác bỏ H0 chấp nhận H1 lNếu n 30, chưa biết σ: Ta thay σ bằng S và lập luận như trên l(2) Nếu n t2α : Bác bỏ H0 chấp nhận H1
l(2) Nếu n t 2α : Bác bỏ H0 chấp nhận H1
A) Phía trái lGiả thiết khơng: H0: “μ = μ0” lGiả thiết đối: H1: “μ < μ0” lTiến hành kiểm định như đối với phía phải chỉ lưu ý tính t theo cơng thức
Ví dụ áp dụng lMột cơng ty cĩ một hệ thống máy vi tính cĩ thể xử lý 1200 hĩa đơn trong một giờ. Cơng ty vừa cho nhập về một hệ thống máy mới. Cho chạy thử 40 giờ thì thấy số hĩa đơn xử lý một giờ trung bình là 1260 với độ lệch tiêu chuẩn là 215 lVới mức ý nghĩa 5% hãy nhận xét hệ thống mới cĩ tốt hơn hệ thống cũ hay khơng
Giải lGọi μ là số thời gian xử lý trung bình trong một giờ của hệ thống máy vi tính mới lĐặt giả thiết khơng: H0: “μ = 1200” (nghĩa là HT mới tốt bằng HT cũ) lGiả thiết đối: H1: “μ > μ0” (nghĩa là HT mới tốt hơn HT cũ) lTa tính:
lTra bảng F ta tính: t2α = t2x0,05 = t0,1 lSuy ra t > t2α : Bác bỏ H0 chấp nhận H1 lVậy hệ thống máy mới tốt hơn hệ thống máy cũ
2 – Kiểm định tỉ lệ lA) Phía phải lGiả thiết khơng: H0: “p = p0” lGiả thiết đối: H1: “p > p0” lTính lNếu t t2α : Chấp nhận H0 bác bỏ H1 lNếu t > t2α : Bác bỏ H0 chấp nhận H1
B) Phía trái lGiả thiết khơng: H0: “p = p0” lGiả thiết đối: H1: “p > p0” lTính lNếu t t2α : Chấp nhận H0 bác bỏ H1 lNếu t > t2α : Bác bỏ H0 chấp nhận H1
C) Ví dụ lMột báo cáo nĩi rằng tỷ lệ gia đình ở TP Hồ Chí Minh cĩ máy tính cá nhân là 85%. Một mẫu kiểm tra gồm 80 hộ dân cho thấy cĩ 72 hộ cĩ máy tính ở nhà. lVới mức ý nghĩa 2% hãy xét xem tỉ lệ hộ dân trong TP cĩ máy tính cá nhân cĩ cao hơn tỷ lệ chung hay khơng?
Giải lGọi p là tỷ lện hộ dân hiện cĩ máy tính cá nhân ở nhà. l Đặt giả thiết khơng: H0:“p = 0,85” lGiả thiết đối: H0: “p > 0,85” lTính
lSuy ra t > t2α : Bác bỏ H0 chấp nhận H1 lVậy tỷ lệ hộ dân cĩ máy tính cá nhân ở nhà cao hơn so với báo cáo
3 – Kiểm đinh phương sai lA) Phía phải 2 2 l Đặt giả thiết khơng H0 : “σ = σ 0 “ 2 2 l Đặt đối thiết H1 : “σ > σ 0 “ lTính: l Nếu lThì bác bỏ H0 chấp nhận H1
B) Phía trái 2 2 l Đặt giả thiết khơng H0 : “σ = σ 0 “ 2 2 l Đặt đối thiết H1 : “σ < σ 0 “ lTính: l lNếu lThì bác bỏ H0 chấp nhận H1
C) Ví dụ lĐo đường kính 12 sản phẩm của một dây chuyền sản xuất người ta tính được S = 0,3. Biết rằng nếu độ biến động của các sản phẩm lớn hơn 0,2 thì dây chuyền sản xuất phải dừng lại để điều chỉnh. lVới mức ý nghĩa 5%, người kiểm tra cĩ kết luận như thế nào?
Giải lGọi là độ biến động của đường kính sản phẩm. 2 2 lĐặt giả thiết khơng H0 : “σ = (0,2) = 0,04” 2 lĐặt đối thiết H1 : “σ > 0,04” lTính:
lSuy ra lVậy bác bỏ giả thiết H0 chấp nhận H1 lDo đĩ dây chuyền cần phải điều chỉnh vì độ biến động lớn hơn mức cho phép
§4 – LÝ THUYẾT SO SÁNH 4.1 – So sánh hai trung bình 4.1.1 – Bài tốn Cho hai đám đơng cĩ trung bình μ1, μ2 chưa biết. Đặt một giả thiết H0 : “μ1 = μ2” Vấn đề đặt ra là với mức ý nghĩa α cho trước hãy kiểm tra giả thiết H0 là đúng hay sai 4.1.2 – Phương pháp Từ đám đơng thứ nhất chọn ra một mẫu cĩ kích thước là n1; tính trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh
Từ đám đơng thứ nhất chọn ra một mẫu cĩ kích thước là n2; tính trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh 2 2 Trường hợp 1: Biết các phương sai σ1 và σ2 Bước 1: Tính t theo cơng thức: Tính tα Bước 2 : Kết luận 1) Nếu t # tα thì ta chấp nhận giả thiết H0 2) Nếu t > tα thì ta bác bỏ giả thiết H0
2 Trường hợp 2: Khơng biết các phương sai σ1 2 và σ2 1) Nếu n1, n2 P 30 ta tiến hành kiểm định: - Tính t theo cơng thức: - Tính tα - So sánh t với tα và kết luận Nếu t # tα thì ta chấp nhận giả thiết H0 Nếu t > tα thì ta bác bỏ giả thiết H0
2) Nếu n1 hoặc n2 tα thì ta bác bỏ giả thiết H0
Ghi chú: Khi giả thiết H0 bị bác bỏ thì ta kết luận μ1 ≠ μ2 ở mức ý nghĩa α. Tuy nhiên: Nếu xn1 > xn2 thì ta kết luận μ1 > μ2 Nếu xn1 < xn2 thì ta kết luận μ1 < μ2
Ví dụ áp dụng l Ví dụ 1 l Từ đám đơng thứ nhất người ta lấy một mẫu kích thước là 40; tính được trung bình mẫu là 130. Từ đám đơng thứ hai người ta lấy một mẫu kích thước là 50; tính được trung bình mẫu là 140. Biết phương sai của đám đơng thứ nhất là 80, của đám đơng thứ hai là 100. l So sánh trung bình của hai đám đơng với mức ý nghĩa α = 1%
Giải l Theo giả thiết của bài tốn ta cĩ l Vậy giả thiết H0 bị bác bỏ ở mức ý nghĩa α = 1%
Nhưng lVậy trung bình của đám đơng thứ nhất nhỏ hơn trung bình của đám đơng thứ hai
Ví dụ 2 l Kiểm tra chất lượng của một loại sản phẩm do hai nhà máy sản xuất người ta chọn ngẫu nhiên từ mỗi nhà máy một mẫu gồm 225 sản phẩm và xác định các khuyết tật của mỗi sản phẩm. Ở nhà máy thứ nhất người ta tính số khuyết tật trung bình là 2,3 với phương sai mẫu hiệu chỉnh là 3,24. Ở nhà máy thứ hai người ta tính số khuyết tật trung bình là 2,5 với phương sai mẫu hiệu chỉnh là 4,06. l So sánh số khuyết tật trung bình của loại sản phẩm do hai nhà máy sản xuất với mức ý nghĩa là α = 5%
Giải l Gọi μ1, μ2 lần lượt là số khuyết tật trung bình của loại sản phẩm do hai nhà máy 1 và 2 sản xuất. Đặt giả thiết H0:” μ1 = μ2” và kiểm định H0 ở mức ý nghĩa α = 5% l Từ giả thiết ta cĩ:
Do n1 và n2 > 30 nên ta tính Vậy ta chấp nhận giả thiết H0 ở mức ý nghĩa α = 5% Suy ra số khuyết tật trung bình của loại sản phẩm do hai nhà máy là như nhau
Ví dụ 3 l Hai cơng ty cùng sản xuất một loại pin viễn thơng. Kiểm ta cơng ty A 10 chiếc thì thấy tuổi thọ trung bình là 4,8 năm, với độ lệch tiêu chuẩn là 1,1 năm; Kiểm ta cơng ty B 12 chiếc thì thấy tuổi thọ trung bình là 4,3 năm, với độ lệch tiêu chuẩn là 0,9 năm. l So sánh tuổi thọ trung bình của loại pin viễn thơng do hai cơng ty sản xuất với mức ý nghĩa là α = 5%
Giải l Gọi μ1, μ2 lần lượt là tuổi thọ trung bình của loại pin do hai cơng ty A và B sản xuất. Đặt giả thiết H0:” μ1 = μ2” và kiểm định H0 ở mức ý nghĩa α = 1% l Từ giả thiết ta cĩ:
Do n1 và n2 < 30 nên ta tính: Vậy ta chấp nhận giả thiết H0 ở mức ý nghĩa α = 5% Suy ra số tuổi thọ trung bình của loại và B sản xuất là như nhau
4.2 – So sánh hai tỉ lệ 4.2.1 – Bài tốn Cho hai đám đơng cĩ các tỉ lệ p1, p2 chưa biết. Đặt một giả thiết H0 : “p1 = p2” Vấn đề đặt ra là: Với mức ý nghĩa α cho trước hãy kiểm tra giả thiết H0 là đúng hay sai Bài tốn này được gọi là bài tốn so sánh hai tỉ lệ của hai đám đơng
4.2.2 – Phương pháp kiểm định Từ đám đơng thứ nhất chọn ra một mẫu cĩ kích thước là n1; tính tỉ lệ mẫu fn1 Từ đám đơng thứ hai chọn ra một mẫu cĩ kích thước là n2; tính tỉ lệ mẫu fn2 Tiến hành kiểm định: - Tính t theo cơng thức: -Với tỉ lệ mẫu chung:
- Tính tα - So sánh t với tα và kết luận: Nếu t # tα thì ta chấp nhận giả thiết H0 Nếu t > tα thì ta bác bỏ giả thiết H0 Ghi chú: Khi giả thiết H0 bị bác bỏ thì ta kết luận p1 ≠ p2 ở mức ý nghĩa α. Tuy nhiên: Nếu fn1 > fn2 thì ta kết luận p1 > p2 Nếu fn1 < fn2 thì ta kết luận p1 < p2
Ví dụ áp dụng l Cơng ty nước giải khát Cơca – Cơla tiến hành cải tiến cơng thức cho sản phẩm của mình. Với cơng thức cũ, khi cho 500 người dùng thử thì thấy cĩ 120 người ưa thích nĩ. Với cơng thức mới, khi cho 1000 người dùng thử thì thấy cĩ 300 người ưa thích nĩ. l So sánh tỷ lệ những người ưa thích Cơca – Cơla theo hai cơng thức cũ và mới và đưa ra kết luận về cơng thức mới ở mức ý nghĩa α = 2%
Giải l Gọi p1, p2 lần lượt là tỉ lệ những người ưa thích Cơca – Cơla theo cơng thức mới và cũ. Đặt giả thiết H0:” p1 = p2” và kiểm định H0 ở mức ý nghĩa α = 2% l Từ giả thiết ta cĩ:
Tính các test thống kê Ta bác bỏ H0 ở mức ý nghĩa α = 2% Do fn1 > fn2 nên p1 > p2 do đĩ tỉ lệ những người ưa thích Cơca – Cơla theo cơng thức mới cao hơn. Vậy cơng thức mới cĩ hiệu quả tốt
§5 – Ví dụ tổng hợp l Theo dõi chất lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản suất người ta tiến hành đo tạp chất cĩ trong sản phẩm đĩ. Kiểm tra trên một số sản phẩm ta thu được kết quả như sau: Lượng tạp 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 chất(%) số sản 100 80 135 40 10 15 20 phẩm
1) Ước lượng số lượng tạp chất trung bình cĩ trong loại sản phẩm trên với độ tin cậy là 98% 2) Những sản phẩm cĩ lượng tạp chất dưới 1% là những sản phẩm loại A. Biết rằng số sản phẩm do nhà máy sản suất ra là 20000 sản phẩm, hãy ước lượng số sản phẩm loại A do nhà máy sản suất với độ tin cậy 96%. 3) Khi ước lượng trọng lượng trung bình của loại sản phẩm do nhà máy sản suất cĩ độ chính xác là 0,06 thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu? 4) Tiến hành khảo sát 600 sản phẩm cùng loại do nhà máy thứ hai sản suất người ta thấy cĩ 240 sản phẩm loại A. Với mức ý nghĩa 2% cĩ kết luận được tỉ lệ sản phẩm loại A của hai nhà máy bằng nhau được hay khơng?
Giải l 1) Tính toán trên mẫu ta thu được kết quả như sau
2) Giải quyết các yêu cầu của bài toán l a) Gọi μ là ước lượng số lượng tạp chất trung bình cĩ trong loại sản phẩm trên với độ tin cậy là 98% ta thấy: n = 400 > 30 nên ta cĩ cơng thức ước lượng:
b) Gọi p là ước lượng tỉ lệ những sản phẩm loại A ta cĩ cơng thức ước lượng: l Gọi P là số sản phẩm loại A ta cĩ ước lượng:
l c) Theo cơng thức ước lượng trung bình đám đơng ta cĩ:
d) Theo đề ra ta cĩ: Gọi p1 và p2 lần lượt là tỷ lệ sản phẩm loại A của hai nhà máy. Đặt giả thiết H0: “p1 = p2” ta kiểm định giả thiết trên với mức ý nghĩa 1%
Ta cĩ lVậy ta chấp nhận giả thiết H0 với mức ý nghĩa 1%, nghĩa là tỷ lệ sản phẩm loại A của hai nhà máy là như nhau