Bài giảng tóm tắt Toán cao cấp B1

170 trang vanle 3350

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng tóm tắt Toán cao cấp B1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_tom_tat_toan_cao_cap_b1.pdf

Nội dung text: Bài giảng tóm tắt Toán cao cấp B1

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP B1 (Baøi Giaûng Toùm Taét) Löu haønh noäi boä Y Ñaø Laït 2008 Z
Môc lôc I. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 1.TËphîp 1 1.1 TËp hîp-TËp con- TËp hîp b»ng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2C¸cphÐpto¸ntrªntËphîp 1 2. ¸nhx¹ 2 2.1C¸c®ÞnhnghÜa 2 2.2 ¶nhvµnghÞch¶nh 3 2.3§¬n¸nh-Toµn¸nh-Song¸nh 4 3.QuanhÖtrªntËphîp 6 3.1QuanhÖhaing«i 6 3.2QuanhÖt−¬ng®−¬ng 6 3.3QuanhÖthøtù 7 4.C¸ccÊutróc®¹isè 8 4.1PhÐpto¸nhaing«i 8 4.2C¸ccÊutróc®¹isèc¬b¶n 10 5.Tr−êngsèphøc 8 5.1§ÞnhnghÜasèphøc 11 5.2BiÓudiÔnsèphøc 15 6.§athøc 15 6.1Vµnh®athøcmétbiÕn 15 6.2PhÐpchiaEuclid 16 6.3NghiÖmcña®athøc 20 6.4 S¬ ®å Horner . . . . . . . .20 6.5 §a thøc trªn tr−êng sè phøc . . . . . . . .20 6.6§athøctrªntr−êngsèthùc 21 6.7§athøctrªntr−êngsèh÷utØ 22 6.8 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè b»ng c¨n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.Ph©nthøc 27 7.1Tr−êngc¸cph©nthøc 27 7.2Ph©ntÝchph©hthøc 28
II. Ma trËn vµ ®Þnh thøc 1.MatrËn 31 1.1§ÞnhnghÜamatrËn 31 1.2C¸cmatrËn®ÆcbiÖt 31 1.3C¸cphÐpto¸ntrªnmatrËn 33 1.4BiÕn®æis¬cÊptrªnmatrËn 36 2.§Þnhthøc 37 2.1Ho¸nvÞ 37 2.2NghÞchthÕ-Kýsè 37 2.3§ÞnhnghÜa®Þnhthøc 38 2.4C¸ctÝnhchÊtcña®Þnhthøc 40 2.5 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 ¸dông ®Þnh thøc tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7H¹ngcñamatrËn 47 2.8HÖph−¬ngtr×nhtuyÕntÝnh 48 III. Kh«ng gian vector 1.Kh«nggianvector 55 1.1§ÞnhnghÜavµvÝdô 55 1.2Kh«nggianvectorcon 57 1.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.4C¬së-SèchiÒu-Täa®é 58 2. Tæng, tÝch, th−¬ng c¸c kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1 Tæng c¸c kh«ng gian con- Tæng trùc tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2TÝchc¸ckh«nggianvector 64 2.3Kh«nggianth−¬ng 65 3. ¸nhx¹tuyÕntÝnh 66 3.1 ¸nhx¹tuyÕntÝnh 66 3.2 ¶nh vµ nh©n cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3§¼ngcÊutuyÕntÝnh 70 3.4 ¸nhx¹tuyÕntÝnhvµmatrËn 70 4. PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.1§æic¬së-C«ngthøc®æitäa®é 72
4.2MatrËn®ångd¹ng-ChÐohãa 73 4.3Gi¸trÞriªng- Vectorriªng 74 4.4TiªuchuÈnchÐohãa 74 4.5ThuËttãanchÐohãa 75 4.6 ThuËt tãan chÐo hãa ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5. D¹ng song tuyÕn tÝnh - D¹ng toµn ph−¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 Ma trËn biÓu diÔn d¹ng song tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3D¹ngtoµnph−¬ng 78 5.4 D¹ng chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph−¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 5.5D¹ngx¸c®Þnh 81 IV. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm mét biÕn thùc 1.Sèthùc 83 1.1Sèh÷utØ 83 1.2Sèthùc 84 1.3C¸cphÐptãansèhäc 85 1.4CËntrªncËnd−íi 85 2.D·ysèthùc 86 2.1Kh¸iniÖmd·ysè 86 2.2D·ybÞchÆn,d·y®¬n®iÖu 86 2.3Giíih¹nd·ysè 87 2.4C¸ctÝnhchÊtvµphÐpto¸n 88 2.5C¸c®iÒukiÖnhéitô 89 2.6 Sè e vµlogarithmtùnhiªn 90 3.HµmmétbiÕnthùc 91 3.1Kh¸iniÖmhµmsè 91 3.2C¸cphÐpto¸n 92 3.3 C¸c lo¹i hµm sè víi tÝnh chÊt ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4Hµmhîp,hµmng−îc 93 3.5C¸chµms¬cÊp 94 4.Giíih¹nhµmsè 95 4.1Kh¸iniÖmgiíih¹nhµmsè 95 4.2 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3Giíih¹nmétphÝa 99 4.4 Giíi h¹n v« cïng, giíi h¹n ë v« cïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5V«cïngbÐ,v«cïnglín 100 5.Hµmliªntôc 101 5.1Kh¸iniÖmhµmliªntôc 102 5.2 Liªn tôc mét phÝa - §iÓm gi¸n ®o¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.§¹ohµm 104 6.1Kh¸iniÖm®¹ohµm 104 6.2 ý nghÜa h×nh häc vµ c¬ häc cña ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 7.Viph©n 108 7.1§ÞnhnghÜaviph©n 108 7.2 øngdôngcñaviph©n 108 7.3C¸cquit¾ctÝnhviph©n 109 7.4§¹ohµmvµviph©ncÊpcao 109 8. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 8.1 C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2KhaitriÓnTaylor 114 9. øngdông®¹ohµm®Ókh¶os¸thµmsè 115 9.1TÝnh®¬n®iÖu-CùctrÞ 1i5 9.2TÝnhlåi,lâm,®iÓmuèn 117 V. PhÐp tÝnh tÝch ph©n hµm mét biÕn 1.Nguyªnhµm-TÝchph©nbÊt®Þnh 119 1.1Nguyªnhµm 119 1.2 B¶ng tÝnh tÝch ph©n c¸c hµm s¬ cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.3C¸ctÝnhchÊt 121 1.4 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2. TÝch ph©n mét sè líp hµm th«ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.1TÝchph©nc¸chµmh÷utØ 121 2.2TÝchph©nc¸chµmv«tØ 125
2.3 TÝch ph©n c¸c hµm l−îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 3.TÝchph©nx¸c®Þnh 128 3.1 Bµi to¸n diÖn tÝch h×nh thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 3.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3C¸clíphµmkh¶tÝch 129 3.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 3.5 C«ng thøc Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.6 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7 øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.TÝchph©nsuyréng 135 4.1TÝchph©nsuyrénglo¹i1 135 4.2 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 cña hµm kh«ng ©m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.3SùhéitôtuyÖt®èi 138 4.4TÝchph©nsuyrénglo¹i2 140 VI. Lý thuyÕt chuçi 1.C¸c®ÞnhnghÜavµvÝdô 143 1.1Chuçisè 143 1.2TiªuchuÈnhéitô 145 1.3C¸ctÝnhchÊtcñachuçi 145 2.Chuçid−¬ng 146 2.1Chuçid−¬ng 146 2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d−¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.ChuçivíidÊubÊtkú 150 3.1Chuçi®andÊu 150 3.2ChuçihéitôtuyÖt®èi 150 4.Chuçihµm 151 4.1 Kh¸i niÖm chuçi hµm, sù héi tô, héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.Chuçilüthõa 154 5.1 Kh¸i niÖm chuçi luü thõa, b¸n kÝnh héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Khai triÓn hµm thµnh chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4 Khai triÓn mét sè hµm s¬ cÊp thµnh chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.KhaitriÓnFourier 158 6.1Chuçil−înggi¸c 158 6.2 Khai triÓn Fourier cña hµm ch½n, hµm lÎ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 6.3 Khai triÓn Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2π 160 6.4Th¸ctriÓntuÇnhoµn 160 6.5TÝchph©nFourier 161
1 I. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 1 TËp hîp 1.1 TËp hîp - TËp con - TËp b»ng nhau TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thñy. TËp hîp ®−îc m« t¶ nh− mét toµn thÓ nµo ®ã bao gåm c¸c ®èi t−îng cã cïng mét dÊu hiÖu hay mét tÝnh chÊt nhÊt ®Þnh. C¸c ®èi t−îng lËp nªn tËp hîp gäi lµ phÇn tö. Cã hai c¸ch ®Ó x¸c ®Þnh mét tËp hîp. Mét lµ liÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã A = {a1,a2, ,an}, hai lµ m« t¶ ®Æc tÝnh cña c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp A = {a | a cã tÝnh chÊt E}. NÕu a lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a ∈ A. NÕu a kh«ng lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a/∈ A. TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu lµ ∅. NÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp A ®Òu lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X, th× ta nãi A lµ tËp con cña X, ký hiÖu A ⊂ X. Râ rµng ta cã ∅⊂X víi mäi tËp hîp X. C¸c tËp con cña X lËp thµnh mét tËp hîp , ký hiÖu 2X , vµ gäi lµ tËp hîp c¸c tËp con cña X. Hai tËp hîp A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B, nÕu A ⊆ B vµ B ⊆ A. NÕu A ⊆ B vµ A =6 B, th× ta nãi A lµ tËp con thùc sù cu¶ B, khi ®ã ta viÕt A ( B. 1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp §Þnh nghÜa 1. Hîp cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A ∪ B, lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B. Giao cña hai tËp hîp A vµ B, ký hiÖu A ∩ B, lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B. NÕu A ∩ B = ∅, th× ta nãi A vµ B rêi nhau.
2 HiÖu cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A \ B, lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc A nh−ng kh«ng thuéc B. NÕu A lµ tËp con cña X th× hiÖu X \ A gäi lµ phÇn bï cña A trong X. TÝch trùc tiÕp hay tÝch Descartes cña hai tËp hîp A vµ B, ký hiÖu A × B,lµ tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (x, y) víi x ∈ A vµ y ∈ B. MÖnh ®Ò 1. Cho A,B,C,X lµ c¸c tËp hîp bÊt kú. Khi ®ã 1) ∅⊂A, A ⊂ A. 2) NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ C, th× A ⊂ C. 3) (A ∩ B) = (B ∩ A), (A ∪ B) = (B ∪ A). 4) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 5) A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 6) Qui t¾c De Morgan X \ (A ∪ B)=(X \ A) ∩ (X \ B),X\ (A ∩ B)=(X \ A) ∪ (X \ B). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®−îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c«ng thøc De Morgan. ThËt vËy ta cã x ∈ X \ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ X vµ x/∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ X vµ (x/∈ A vµ x/∈ B) ⇐⇒ (x ∈ X vµ x/∈ A) vµ (x ∈ X vµ x/∈ B) ⇐⇒ x ∈ (X \ A) vµ x ∈ (X \ B) ⇐⇒ x ∈ (X \ A) ∪ (X \ B). 2 2 ¸nh x¹ 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2. Cho hai tËp hîp X vµ Y . Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét qui t¾c cho t−¬ng øng mçi phÇn tö x ∈ X víi duy nhÊt mét phÇn tö y ∈ Y . PhÇn tö y gäi lµ ¶nh cña x, ký hiÖu lµ f(x),vµx ®−îc gäi lµ t¹o ¶nh cña y. TËp hîp X ®−îc gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh, cßn tËp Y gäi lµ tËp ®Ých hay miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ f. Mét ¸nh x¹ th−êng ®−îc viÕt nh− sau f : X −→ Y x 7−→ y = f(x).
3 Hai ¸nh x¹ f vµ g gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu f = g, nÕu chóng cã cïng tËp nguån X vµ f(x)=g(x) víi mäi x ∈ X. √ VÝ dô. a) T−¬ng øng f : R −→ R, x 7−→ 3 x, lµ mét ¸nh x¹. b) T−¬ng øng IdX : X −→ X, x 7−→ x, lµ mét ¸nh x¹ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn X. c) Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X. Khi ®ã t−¬ng øng f |U :−→ Y x¸c ®Þnh bëi f |U (x)=f(x) víi mäi x ∈ U lµ mét ¸nh x¹, gäi lµ h¹n chÕ cña ¸nh x¹ f lªn bé phËn U. 2.2 ¶nh vµ NghÞch ¶nh §Þnh nghÜa 3. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X, V ⊂ Y lµ c¸c tËp con. Khi ®ã tËp hîp f(U)={f(x) | x ∈ U} gäi lµ ¶nh cña tËp U qua ¸nh x¹ f, vµ tËp hîp f −1(V )={x ∈ X | f(x) ∈ V } gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp V qua ¸nh x¹ f. NÕu V = {y}, th× ta viÕt f −1(y) thay cho f −1({y}). MÖnh ®Ò 2. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ A, B ⊂ X, U, V ⊂ Y . Khi ®ã 1) NÕu A ⊂ B, th× f(A) ⊂ f(B). 2) NÕu U ⊂ V , th× f −1(U) ⊂ f −1(V ). 3) f(A ∪ B)=f(A) ∪ f(B), f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). 4) f −1(U ∪ V )=f −1(U) ∪ f −1(V ), f −1(U ∩ V )=f −1(U) ∩ f −1(V ). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®−îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c¸c c«ng thøc thø hai trong 3) vµ 4). ThËt vËy, ta cã ∀y ∈ f(A ∩ B)=⇒∃x ∈ (A ∩ B):f(x)=y =⇒ (∃x ∈ A vµ ∃x ∈ B):f(x)=y =⇒ (∃x ∈ A : f(x)=y) vµ (∃x ∈ B : f(x)=y) =⇒ y ∈ f(A) vµ y ∈ f(B) =⇒ y ∈ f(A) ∩ f(B). Tõ ®ã suy ra f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). T−¬ng tù, ta cã ∀x ∈ f −1(U ∩ V ) ⇐⇒ f(x) ∈ U ∩ V ⇐⇒ f(x) ∈ U vµ f(x) ∈ V ⇐⇒ x ∈ f −1(U) vµ x ∈ f −1(V ) ⇐⇒ x ∈ f −1(U) ∩ f −1(V ).
4 VËy f −1(A ∩ B)=f −1(A) ∩ f −1(B). 2 NhËn xÐt. §¼ng thøc f(A ∩ B)=f(A) ∩ f(B) nãi chung kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n, víi ¸nh x¹ f : R → [−1, 1] , f(x) = sinx,vµA =[0,π/2], B =[π/4,π]. 2.3 §¬n ¸nh - Toµn ¸nh - Song ¸nh §Þnh nghÜa 4. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y . ¸nh x¹ f gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu víi mäi x1,x2 ∈ X sao cho f(x1)=f(x2), th× suy ra x1 = x2. Nh− vËy, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i kh«ng qu¸ mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f(x). ¸nh x¹ f gäi lµ toµn ¸nh nÕu f(X)=Y , tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i Ýt nhÊt mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f(x). ¸nh x¹ f gäi lµ song ¸nh nÕu f võa ®¬n ¸nh võa toµn ¸nh. Tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i ®óng mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f(x). f : R −→ R x 7−→ x3 VÝ dô. a) ¸nh x¹ , , lµ mét song√ ¸nh. ThËt vËy, víi mçi y ∈ R, ph−¬ng tr×nh y = x3 cã duy nhÊt nghiÖm x = 3 y. b) ¸nh x¹ f : R −→ R, x 7−→ x2, kh«ng ph¶i lµ ®¬n ¸nh, v× víi 1 ∈ R cã hai sè thùc 1, −1, lµ t¹o ¶nh cña 1. 2.4 C¸c phÐp to¸n trªn ¸nh x¹ 2.4.1 Hîp hai ¸nh x¹ §Þnh nghÜa 5. Cho hai ¸nh x¹ f : X → Y vµ g : Y → Z. Hîp cña f vµ g,ký hiÖu g ◦ f, lµ ¸nh x¹ tõ X vµo Z x¸c ®Þnh bëi g ◦ f(x)=g(f(x)). VÝ dô. Víi f : R → R, f(x)=x2 vµ g : R → R, g(x)=x +2, ta cã (g ◦ f)(x)=g(f(x)) = g(x2)=x2 +2, (f ◦ g)(x)=f(g(x)) = f(x +2)=(x +2)2. NhËn xÐt. Nãi chung g ◦ f =6 f ◦ g. MÖnh ®Ò 3. Cho c¸c ¸nh x¹ f : X → Y , f : Y → Z, h: Z → T . Khi ®ã 1) f ◦ IdX = IdY ◦ f = f, 2) h ◦ (g ◦ f)=(h ◦ g) ◦ f. Chøng minh. 1) lµ hiÓn nhiªn. 2) suy ra tõ h ◦ (g ◦ f)(x)=h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))) = (h ◦ g)(f(x)) = (h ◦ g) ◦ f(x). 2
5 2.4.2 ¸nh x¹ ng−îc §Þnh nghÜa 6. ¸nh x¹ f : X −→ Y gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ g : Y −→ X sao cho g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . ¸nh x¹ g khi ®ã gäi lµ ¸nh x¹ ng−îc cu¶ ¸nh x¹ f vµ ký hiÖu g = f −1. NhËn xÐt. ¸nh x¹ ng−îc cña f : X −→ Y nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö f cã hai ¸nh x¹ ng−îc lµ g,g0 : Y −→ X. Khi ®ã ta cã 0 g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . 0 0 0 0 Tõ ®ã suy ra g = g ◦ IdY = g ◦ (f ◦ g )=(g ◦ f) ◦ g = IdX ◦ g = g . MÖnh ®Ò 4. ¸nh x¹ f : X −→ Y kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi f lµ song ¸nh. Khi ®ã f −1 : Y −→ X ®−îc x¸c ®Þnh bëi x = f −1(y) ⇔ y = f(x). Chøng minh. Gi¶ sö f cã ¸nh x¹ ng−îc lµ f −1 : Y −→ X. f lµ ®¬n ¸nh v× víi mäi x, x0 ∈ X: f(x)=f(x0)=⇒ f −1(f(x)) = f −1(f(x0)) =⇒ (f −1 ◦ f)(x)=(f −1 ◦ f)(x0) 0 =⇒ IdX(x)=IdX (x ) =⇒ x = x0. B©y giê, gi¶ sö y lµ mét phÇn tö bÊt kú cu¶ Y . Khi ®ã tån t¹i x = f −1(y) sao cho f(x)=f(f −1(y)) = y. VËy f lµ toµn ¸nh. Suy ra f lµ song ¸nh. Ng−îc l¹i, nÕu f : X −→ Y lµ mét song ¸nh th× víi mçi y ∈ Y cã duy nhÊt x ∈ X sao cho y = f(x). §iÒu nµy cho phÐp ta x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ g : Y → X bëi x = g(y) ⇔ y = f(x). Ta dÔ dµng kiÓm tra r»ng (g ◦ f)=IdX vµ (f ◦ g)=IdY . VËy g lµ ¸nh x¹ ng−îc cu¶ f. 2 VÝ dô. a) ¸nh x¹ f :[−π/2,π/2] −→ [−1, 1], f(x)=sinx, lµ song ¸nh. ¸nh x¹ ng−îc cña f ®−îc ký hiÖu lµ f −1(x)=arcsinx, tøc lµ ta cã y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y. b) Ký hiÖu R>0 lµ tËp c¸c sè thùc d−¬ng. Khi ®ã ¸nh x¹ f : R −→ R>0, f(x)=ex, cã ¸nh x¹ ng−îc lµ f −1(x)=lnx. V× ta cã y =lnx ⇐⇒ x = ey.
6 MÖnh ®Ò 5. Cho f : X → Y , g : Y → Z, lµ c¸c song ¸nh. Khi ®ã f −1 vµ g ◦ f còng lµ song ¸nh vµ ta cã 1) (f −1)−1 = f. 2) (g ◦ f)−1 = f −1 ◦ g−1. Chøng minh. f −1 vµ g ◦ f lµ song ¸nh lµ dÔ dµng kiÓm tra. §¼ng thøc 1) lµ hiÓn nhiªn. §¼ng thøc 2) suy ra tõ −1 −1 −1 −1 −1 (g ◦ f) ◦ (f ◦ g )=g ◦ (f ◦ f ) ◦ g = g ◦ g = IdZ, −1 −1 −1 −1 −1 (f ◦ g ) ◦ (g ◦ f)=f ◦ (g ◦ g) ◦ f = f ◦ f = IdX . 2 3 Quan hÖ trªn mét tËp hîp 3.1 Quan hÖ hai ng«i §Þnh nghÜa 7. Quan hÖ (hai ng«i) trªn tËp X ®−îc ®Þnh nghÜa lµ mét tËp con R cña tÝch trùc tiÕp X × X. NÕu cÆp phÇn tö (x, y) ∈Rth× ta nãi x cã quan hÖ R víi y vµ ký hiÖu lµ xRy. VÝ dô. a) Trªn tËp X bÊt kú ta cã quan hÖ b»ng nhau R = {(x, y) ∈ X × X | x = y} = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X} b) Cho X lµ tËp bÊt kú. Trªn 2X ta cã quan hÖ bao hµm R = {(A, B) ∈ 2X × 2X | A ⊂ B} 3.2 Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng §Þnh nghÜa 8. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng nÕu vµ chØ nÕu nã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X. 2) §èi xøng: NÕu xRy th× yRx. 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ yRz th× xRz. Víi mçi x ∈ X tËp con [x]R := {y ∈ X | yRx} gäi lµ líp t−¬ng ®−¬ng cña x (theo quan hÖ t−¬ng ®−¬ng R). TËp tÊt c¶ c¸c líp t−¬ng ®−¬ng gäi lµ tËp th−¬ng cña X ®èi víi quan hÖ t−¬ng ®−¬ng R, ký hiÖu lµ X/R := {[x]R | x ∈ X}.
7 ¸nh x¹ X −→ X/R cho bëi x 7−→ [x]R lµ mét toµn ¸nh ®−îc gäi lµ toµn cÊu chÝnh t¾c. Ng−êi ta th−êng sö dông dÊu ∼ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X vµ x ∼ y ®äc lµ x t−¬ng ®−¬ng víi y. VÝ dô. a) XÐt ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã quan hÖ R(f)={(x, y) ∈ X × Y | f(x)=f(y)} lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X. §Æc biÖt víi Y = X vµ f = IdX , R(IdX) lµ quan hÖ b»ng nhau trªn tËp X. b) XÐt V lµ tËp hîp c¸c vector h×nh häc. Trªn V cho mét quan hÖ x¸c ®Þnh bëi xRy :⇐⇒ x = y. Khi ®ã R lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng vµ tËp th−¬ng X/R chÝnh lµ tËp c¸c vector tù do. c) Cho n lµ mét sè tù nhiªn. Trªn tËp c¸c sè nguyªn Z x¸c ®Þnh quan hÖ ®ång d− modulo n nh− sau x ≡ y mod n ⇐⇒ x − y chia hÕt cho n. DÔ kiÓm tra r»ng ®©y lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. Líp t−¬ng ®−¬ng cña m lµ tËp con [m]={m + nk | k ∈ Z}. TËp th−ong cña Z ®èi víi quan hÖ ®ång d− modulo n, th−êng ®−îc ký hiÖu lµ Zn hay Z/n, gåm n phÇn tö Z/n = {[0], [1], ,[n − 1]}. 3.3 Quan hÖ thø tù §Þnh nghÜa 9. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu vµ chØ nÕu nã tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X. 2) Ph¶n ®èi xø ng: NÕu xRy vµ yRx th× x = y . 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ yRz th× xRz.
8 Mét tËp hîp X mµ trªn ®ã cã trang bÞ mét quan hÖ thø tù R gäi lµ tËp s¾p thø tù hay tËp ®−îc s¾p. TËp ®−îc s¾p th−êng ®−îc viÕt lµ (X, R). Ng−êi ta th−êng sö dông dÊu ≤ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ thø tù trªn X. Khi ®ã x ≤ y ®−îc ®äc lµ x bÐ h¬n hoÆc b»ng y. NÕu x ≤ y vµ x =6 y th× ta viÕt x , ⊥, , ®Ó chØ phÐp to¸n. NÕu dïng c¸c ký tù + vµ ·, th× ta gäi c¸c phÐp to¸n t−¬ng øng lµ phÐp céng vµ phÐp nh©n. C¸i hîp thµnh x + y, x · y (th−êng ®−îc viÕt kh«ng cã dÊu chÊm xy) lóc nµy sÏ ®−îc gäi lµ tæng vµ tÝch cña x vµ y. VÝ dô. a) Trªn tËp sè nguyªn Z c¸c ¸nh x¹ (x, y) 7→ x + y, (x, y) 7→ xy (phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn th«ng th−êng) lµ c¸c phÐp to¸n. ¸nh x¹ (x, y) 7→ 2x +6xy +5y còng lµ phÐp to¸n trªn Z. Tuy nhiªn ¸nh x¹ (x, y) 7→ xy
9 kh«ng ph¶i lµ mét phÐp to¸n trªn Z v× nãi chung xy kh«ng thuéc Z. b) C¸c t−¬ng øng (A, B) 7→ A ∪ B, (A, B) 7→ A ∩ B lµ phÐp to¸n trªn tËp c¸c tËp con 2X . c) T−¬ng øng (f,g) 7→ g ◦f lµ phÐp to¸n trªn Map(X)={¸nh x¹ f : X → X}. 4.1.2 C¸c tÝnh chÊt cña phÐp to¸n hai ng«i TÝnh giao ho¸n. PhÐp to¸n ∗ : X × X → X gäi lµ giao ho¸n nÕu a ∗ b = b ∗ a víi mäi a, b ∈ X. TÝnh kÕt hîp. PhÐp to¸n ∗ : X × X → X gäi lµ kÕt hîp nÕu (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) víi mäi a, b, c ∈ X. TÝnh ph©n phèi. Gi¶ sö ∗, > : X × X → X lµ hai phÐp to¸n trªn X. PhÐp to¸n ∗ gäi lµ ph©n phèi bªn tr¸i ®èi víi phÐp to¸n > nÕu víi mäi a, b, c ∈ X ®Òu cã a ∗ (b>c)=(a ∗ b)>(a ∗ c). T−¬ng tù, phÐp to¸n ∗ gäi lµ ph©n phèi bªn ph¶i ®èi víi phÐp to¸n > nÕu víi mäi a, b, c ∈ X ®Òu cã (b>c) ∗ a =(b ∗ a)>(c ∗ a). NÕu ∗ võa ph©n phèi tr¸i võa ph©n phèi ph¶i ®èi víi > th× ta nãi phÐp to¸n ∗ cã tÝnh chÊt ph©n phèi ®èi víi >. VÝ dô. Trªn tËp sè tù nhiªn N, phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng th−êng cã tÝnh giao ho¸n, kÕt hîp, phÐp nh©n ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. PhÐp to¸n (m, n) 7→ mn kh«ng giao ho¸n còng kh«ng kÕt hîp. 4.1.3 C¸c phÇn tö ®Æc biÖt ®èi víi phÐp to¸n hai ng«i PhÇn tö ®¬n vÞ. Cho ∗ : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X. PhÇn tö e cña X gäi lµ phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n ∗ nÕu víi mäi x ∈ X ®Òu cã e ∗ x = x ∗ e = x. PhÇn tö kh¶ nghÞch. Cho ∗ : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X vµ e lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña X ®èi víi phÐp to¸n ∗. Ta nãi phÇn tö a ∈ X lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét phÇn tö a0 ∈ X sao cho a0 ∗ a = a ∗ a0 = e.
10 Khi ®ã phÇn tö a0 gäi lµ phÇn tö nghÞch ®¶o cña a. Ng−êi ta hay gäi phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n céng lµ phÇn tö kh«ng,kÝ hiÖu 0, vµ gäi phÇn tö nghÞch ®¶o cña x lµ phÇn tö ®èi cña x, kÝ hiÖu −x. NÕu phÐp to¸n ®−îc viÕt theo lèi nh©n, th× phÇn tö ®¬n vÞ th−êng ®−îc kÝ hiÖu lµ 1,vµ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x sÏ ®−îc kÝ hiÖu lµ x−1. VÝ dô. a) Trªn tËp 2X , phÇn tö ®¬n vÞ ®èi phÐp to¸n hîp ∪ lµ e = ∅, mäi tËp A =6 ∅ ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch. PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp ∩ lµ e = X, mäi tËp A =6 X ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch. b) PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n hîp trªn tËp Map(X)={¸nh x¹ f : X → X} lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt IdX. Mäi song ¸nh f trong Map(X) ®Òu kh¶ nghÞch, vµ nghÞch ®¶o cña nã lµ ¸nh x¹ ng−îc f −1. 4.2 C¸c cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n 4.2.1 Nhãm §Þnh nghÜa 11. Mét nhãm lµ mét cÆp (G, ∗), trong ®ã G lµ mét tËp hîp kh«ng rçng, cßn ∗ lµ phÐp to¸n hai ng«i trªn G cã tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n vÞ vµ mäi phÇn tö cña G ®Òu kh¶ nghÞch. Mét nhãm ®−îc gäi lµ nhãm giao ho¸n hay nhãm Abel nÕu phÐp to¸n trªn nã cã tÝnh giao ho¸n. VÝ dô. 1) (Z, +), (Q, +), (R, +)víi phÐp céng c¸c sè th«ng th−êng lµ c¸c nhãm giao ho¸n, gäi lµ nhãm céng c¸c sè nguyªn, sè h÷u tØ, sè thùc . 2) (Q \{0}, ·), (R \{0}, ·) víi phÐp nh©n th«ng th−êng lµ c¸c nhãm giao ho¸n, gäi lµ nhãm nh©n c¸c sè h÷u tØ vµ sè thùc kh¸c kh«ng. 3) Cho tËp hîp X =6 ∅ ®Æt S(X)={f : X → X | f song ¸nh}. Khi ®ã (S(X), ◦), víi phÐp hîp c¸c ¸nh x¹ lµ mét nhãm, gäi lµ nhãm c¸c ho¸n vÞ cña X hay nhãm ®èi xøng cña X. Trong tr−êng hîp ®Æc biÖt X = {1, 2, ,n} ta viÕt Sn = S({1, 2, ,n}). Mçi phÇn tö cña Sn gäi lµ mét ho¸n vÞ cña {1, 2, ,n}. 4.2.2 Vµnh §Þnh nghÜa 12. Mét vµnh lµ mét bé ba (R, +, ·), trong ®ã R lµ mét tËp hîp kh«ng rçng, cßn + vµ · lµ c¸c phÐp to¸n trªn R sao cho: (R, +) lµ mét nhãm giao ho¸n, phÐp · cã tÝnh kÕt hîp vµ ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. Mét vµnh ®−îc gäi lµ vµnh giao ho¸n nÕu phÐp to¸n · cã tÝnh giao ho¸n. Mét vµnh ®−îc gäi lµ vµnh cã ®¬n vÞ nÕu phÐp to¸n · cã ®¬n vÞ.
11 VÝ dô. 1) (Z, +, ·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn th«ng th−êng lµ mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn. 2) Víi sè nguyªn d−¬ng p cho tr−íc ®Æt [m]p := {n ∈ Z | n = m + pt, t ∈ Z} Zp := {[m]p,m∈ Z}. DÔ dµng chøng minh ®−îc r»ng Zp lµ tËp h÷u h¹n gåm p phÇn tö Zp := {[0]p, [1]p, ,[p − 1]p}. Trªn Zp x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh− sau [m]p +[n]p =[m + n]p, [m]p[n]p =[mn]p. Khi ®ã (Zp, +, ·) lµ mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn ®ång d− modulo p. Ch¼ng h¹n víi m =4ta cã b¶ng céng vµ nh©n trong Z4 nh− sau, trong ®ã [m]4 ®−îc viÕt lµ m¯ + 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ . 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 0¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 0¯ 0¯ 0¯ 0¯ 0¯ 1¯ 1¯ 2¯ 3¯ 0¯ 1¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 2¯ 2¯ 3¯ 0¯ 1¯ 2¯ 0¯ 2¯ 0¯ 2¯ 3¯ 3¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 0¯ 3¯ 2¯ 1¯ 4.2.3 Tr−êng §Þnh nghÜa 13. Mét tr−êng lµ mét vµnh giao ho¸n (K, +, ·) cã ®¬n vÞ 1 =06 vµ mäi phÇn tö kh¸c 0 ®Òu kh¶ nghÞch. VÝ dô. 1) (Q, +, ·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè h÷u tØ th«ng th−êng lµ mét tr−êng, gäi lµ tr−êng sè h÷u tØ. 2) (Zp, +, ·), víi p nguyªn tè, lµ mét tr−êng. 5 Tr−êng sè phøc 5.1 §Þnh nghÜa sè phøc §Æt C = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}. Trªn C x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh− sau (x1,y1)+(x2,y2)=(x1 + x2,y1 + y2) (x1,y1) · (x2,y2)=(x1x2 − y1y2,x1y2 + x2y1).
12 Khi ®ã (C, +, ·) lµ mét tr−êng gäi lµ tr−êng sè phøc. NhËn xÐt. Víi kÝ hiÖu i =(0, 1) ∈ C,tacãi2 = i · i =(−1, 0). NÕu ®ång nhÊt R víi tËp con {(x, 0) | x ∈ R} cña C, tøc lµ xem x ∈ R nh− lµ phÇn tö (x, 0) cña C, th× khi ®ã R ⊂ C vµ i2 =(−1, 0) ≡−1. 5.2 BiÓu diÔn sè phøc 5.2.1 D¹ng ®¹i sè cña sè phøc Tõ ®¼ng thøc (x, y)=(x, 0) + (0, 1)(y,0) vµ tõ nhËn xÐt ë trªn cã thÓ viÕt mét sè phøc z =(x, y) bÊt kú d−íi d¹ng sau z = x + iy. D¹ng z = x + iy gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z. C¸c sè thùc x, y lÇn l−ît gäi lµ phÇn thùc, phÇn ¶o cña z vµ ®−îc ký hiÖu lµ Rez, Imz. Sè phøc z = x − iy gäi sè phøc liªn hîp víi z. DÔ dµng kiÓm tra c¸c tÝnh chÊt sau MÖnh ®Ò 6. . a) z + w = z + w; zw = z · w. b) z + z =2Rez; z − z =2iImz; z · z = x2 + y2. c) z = z ⇐⇒ z ∈ R. x y d) NÕu z = x + iy =06 , th× z−1 = − i . x2 + y2 x2 + y2 NhËn xÐt. Céng, trõ (tøc céng víi sè ®èi), nh©n , chia (tøc lµ nh©n víi sè nghÞch ®¶o) c¸c sè phøc d−íi d¹ng ®¹i sè nh− sè thùc víi chó ý lµ i2 =1. 5.2.2 D¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc Cã mét sù t−¬ng øng mét-mét gi÷a tËp tÊt c¶ c¸c sè phøc z =(a, b) víi tËp c¸c −→ ®iÓm M(a, b) hay vector OM =(a, b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Descartes Oxy cßn −→ −→ gäi lµ mÆt ph¼ng phøc, víi e1 =(1, 0), e2 =(0, 1) lµ hai vector c¬ së, trôc hoµnh gäi lµ trôc thùc, trôc tung gäi lµ trôc ¶o (H.1). Trong c¸ch biÓu diÔn nµy phÐp céng c¸c sè phøc ®−îc biÓu thÞ bëi phÐp céng c¸c vector h×nh häc.
13 y 6 b M r e2 6 ϕ - - O ¨e1 ax H.1 −→ −→ Gi¶ sö (a, b) =(06 , 0), gäi ϕ lµ gãc ®Þnh h−íng t¹o bëi e1 vµ OM vµ r lµ ®é dµi −→ cña vector OM. Khi ®ã ta cã c¸c liªn hÖ sau √ 2 2 (a = r sin ϕ r = a + b  b b = r cos ϕ tgϕ =  a Do ®ã ta cã mét biÓu diÔn kh¸c cña sè phøc z =(a, b) nh− sau z = r(cos ϕ + i sin ϕ). BiÓu thøc z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gäi lµ d¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc z. Sè thùc r gäi lµ modul cña sè phøc z, ký hiÖu lµ | z |, cßn ϕ gäi lµ argument cña z,ký hiÖu lµ Argz. TÊt nhiªn cã v« sè argument sai kh¸c nhau k2π, k ∈ Z. Argument cña ϕ n»m trong kho¶ng (−π,π] gäi lµ gi¸ trÞ chÝnh cña Argz, kÝ hiÖu lµ argz. Nh− vËy ta cã Argz = argz + k2π. √ π π √ 3π 3π VÝ dô. z =1+i 3 = 2(cos + i sin ); z = −1 − i = 2(cos − i sin ). 3 3 4 4 C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cho thÊy sù thuËn tiÖn cña c¸ch biÓu diÔn sè phøc d−íi d¹ng l−îng gi¸c. MÖnh ®Ò 7. . a) | z1z2 |=| z1 || z2 |; Arg(z1z2)=Argz1 + Argz2. n b) r(cos ϕ + i sin ϕ) = rn(cos nϕ + i sin nϕ) (C«ng thøc Moivre). Chøng minh. a) Gi¶ sö z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2). Khi ®ã z1,z2 = r1r2(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2)) = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2)+i sin(ϕ1 + ϕ2)),
14 Tõ ®ã ta cã kh¼ng ®Þnh a). Kh¼ng ®Þnh b) suy ra tõ kh¼ng ®Þnh a). 2 NhËn xÐt. MÖnh ®Ò trªn cho thÊy vÒ mÆt h×nh häc phÐp nh©n sè phøc z víi sè phøc w lµ hîp cña phÐp co d·n vector w theo tØ sè | z | vµ phÐp quay gãc argz (H.2). 6 ¡ zw ¡ ¡ ¡argz ¡ 1 w ¡ - O ¨ H.2 5.2.3 PhÐp khai c¨n sè phøc √ §Þnh nghÜa 14. Cho sè phøc z vµ n ∈ N. Mét c¨n bËc n cña z, ký hiÖu n z,lµ sè phøc w sao cho wn = z. MÖnh ®Ò 8. Mçi sè phøc kh¸c kh«ng z = r(cos ϕ + i sin ϕ) cã ®óng n c¨n bËc n ®−îc cho bëi √ ϕ + k2π ϕ + k2π pn r(cos ϕ + i sin ϕ)= n r(cos + i sin ); k =0, 1, ,n− 1. n n Chøng minh. Gi¶ sö w = %(cos θ +i sin θ) lµ c¨n bËc n cña z = r(cos ϕ+i sin ϕ). Khi ®ã theo C«ng thøc Moivre ph−¬ng tr×nh wn = z ®−îc viÕt d−íi d¹ng %n(cos nθ + i sin nθ)=r(cos ϕ + i sin ϕ). √ (% = n r Tõ ®ã suy ra nθ = ϕ + k2π VËy ph−¬ng tr×nh cã ®óng n nghiÖm √ ϕ + k2π ϕ + k2π w = n r(cos + i sin ); k =0, 1, ,n− 1. 2 k n n √ √ π + k2π π + k2π VÝ dô. a) −1= cos π + i sin π = {cos + i sin ,k =0, 1} = 2 2 {i, −i}. √ k2π k2π b) n 1={cos + i sin ,k =0, 1, ,n− 1} n 2 2π 2π = {1,ω , ,ωn−1, víi ω = cos + i sin }. n n n n n
15 6 §a thøc 6.1 Vµnh ®a thøc mét biÕn 6.1.1 §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 15. Cho k lµ mét tr−êng. §a thøc mét biÕn x trªn tr−êng k lµ mét biÓu thøc cã d¹ng n i n P (x)=X aix = a0 + a1x + ···+ anx , i=0 trong ®ã a0,a1, ,an ∈ k gäi lµ c¸c hÖ tö cña P (x). Trong tr−êng hîp k = Q, R, C, a0,a1, ,an gäi lµ hÖ sè. Hai ®a thøc gäi lµ b»ng nhau nÕu c¸c hÖ tö cïng bËc cña chóng b»ng nhau. NÕu an =06 th× n gäi lµ bËc cña P (x), ký hiÖu lµ degP (x), khi ®ã an gäi lµ hÖ tö dÉn ®Çu vµ ký hiÖu lµ lcP(x). NÕu ai =0víi mäi i th× P (x) gäi lµ ®a thøc kh«ng, ký hiÖu P (x)=0. §a thøc P (x)=0kh«ng cã bËc. Tuy nhiªn ng−êi ta qui −íc deg(0) = −∞) ®Ó thuËn tiÖn trong nhiÒu ph¸t biÓu vÒ bËc cña ®a thøc. i NÕu kh«ng quan t©m ®Õn bËc ta th−êng viÕt ®a thøc d−íi d¹ng P (x)=X aix i lµ tæng v« h¹n nh−ng chØ cã mét sè h÷u h¹n c¸c hÖ tö ai kh¸c 0. 6.1.2 Vµnh ®a thøc k[x] TËp hîp c¸c ®a thøc víi hÖ tö lÊy trong tr−êng k ®−îc ký hiÖu lµ k[x]. Trªn k[x] x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh− sau i i i (X aix )+(X bix )=X(ai + bi)x i i i i j k (X aix )(X bjx )=X ckx , víi ck = X aibj. i j k i+j=k MÖnh ®Ò 9. (k[x], +, ·) víi phÐp céng vµ nh©n ë trªn lµ mét vµnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. Chøng minh. KiÓm tra tõng ®iÒu kiÖn trong ®Þnh nghÜa vµnh, ch¼ng h¹n ta i i chøng minh tÝnh kÕt hîp cña phÐp nh©n. Gi¶ sö A = X aix , B = X bix , i i
16 i C = X cix . Khi ®ã hÖ tö mang chØ sè k trong tÝch (AB)C lµ i X ( X ambn)cj = X ambncj . i+j=k m+n=i m+n+j=k T−¬ng tù hÖ tö mang chØ sè k trong tÝch A(BC) lµ X am( X bncj)= X ambncj . m+l=k n+j=l m+n+j=k VËy (AB)C = A(BC). 2 Vµnh (k[x], +, ·) gäi lµ vµnh ®a thøc mét biÕn trªn tr−êng k. 6.2 PhÐp chia Euclid §Þnh lý 1. Cho hai ®a thøc F (x),G(x) ∈ k[x] víi G(x) =06 . Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt mét cÆp ®a thøc Q(x),R(x) ∈ k[x] sao cho F (x)=G(x)Q(x)+R(x) víi R(x)=0 hoÆc degR(x) < degG(x). Chøng minh. . Sù tån t¹i. (ThuËt to¸n chia Euclide) NÕu F =0, th× chän Q =0vµ R =0. NÕu F =06 vµ degF<degG, th× chän Q =0, R = F . Ta chØ cßn chøng minh cho tr−êng hîp : F =06 vµ degF ≥ degG. lcF B−íc 1: §Æt R = F − xdegF −degGG ( degR < degF ). 1 lcG 1 . NÕu degR1 < degG, th× ®· ®· chøng minh xong lcF Q = xdegF −degG , R = R . lcG 1 . NÕu degR1 ≥ degG, th× ®i ®Õn b−íc 2. lcR1 B−íc 2: §Æt R = R − xdegR1−degGG ( degR < degR ) 2 1 lcG 2 1 . NÕu degR2 < degG th× ®· chøng minh xong. lcF lcR1 Q = xdegF −degG + xdegR1−degG , R = R . lcG lcG 2
17 . NÕu degR2 ≥ degG th× ®i ®Õn b−íc 3. Cø tiÕp tôc vµ qóa tr×nh sÏ dõng l¹i sau mét sè h÷u h¹n b−íc v× nã g¾n liÒn víi mét d·y gi¶m c¸c sè tù nhiªn < degR3 < degR2 < degR1 < degF. TÝnh duy nhÊt. Gi¶ sö cã mét cÆp ®a thøc Q0(x),R0(x) kh¸c tho¶ tÝnh chÊt ®· nªu trong §Þnh lý. Khi ®ã G(x)Q(x)+R(x)=G(x)Q0(x)+R0(x) hay G(x)(Q(x)−Q0(x)) = R0(x)−R(x). Gi¶ sö R0(x) − R(x) =06 . Khi ®ã ta cã deg(R0(x)−R(x)) = degG(x)(Q(x)−Q0(x)) = degG(x)+deg(Q(x)−Q0(x)) ≥ degG(x). §iÒu nµy m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt degR(x) < degG(x), degR0(x) < degG(x). VËy R0(x) − R(x)=0vµ tõ ®ã Q0(x) − Q(x)=0. 2 §Þnh nghÜa 16. §a thøc Q(x) vµ R(x) trong §Þnh lý trªn lÇn l−ît ®−îc gäi lµ th−¬ng vµ phÇn d− cña phÐp chia ®a thøc F (x) cho G(x). NÕu R(x)=0th× ®a thøc F (x) gäi lµ chia hÕt cho G(x), khi ®ã G(x) gäi lµ mét −íc cña F (x) vµ ký hiÖu lµ G(x) | F (x). §a thøc C(x) ®−îc gäi lµ −íc chung lín nhÊt cña hai ®a thøc F1(x) vµ F2(x), ký hiÖu C(x) = gcd(F1(x),F2(x)), nÕu vµ chØ nÕu a) C(x) | F1(x) vµ C(x) | F2(x), b) nÕu D(x) | F1(x) vµ D(x) | F2(x) th× D(x) | C(x). VÝ dô. T×m th−¬ng vµ phÇn d− cña phÐp chia 2x4 − 3x3 +4x2 − 5x +6 cho x2 − 3x +1. ThuËt to¸n chia ®−îc thùc hiÖn theo s¬ ®å sau 2x4 − 3x3 +4x2 − 5x +6 |x2 − 3x +1 2x4 − 6x3 +2x2 2x2 +3x +11 3 2 R1 =3x +2x − 5x +6 3x3 − 9x2 +3x 2 R2 =11x − 8x +6 11x2 − 33x +11 R3 = − 25x − 5 Tõ ®ã ta cã 2x4 − 3x3 +4x2 − 5x +6 = (x2 − 3x + 1)(2x2 +3x + 11) − 25x − 5.
18 NhËn xÐt. a) NÕu C(x) | D(x) vµ D(x) | C(x) th× C(x)=aD(x), víi a ∈ k. Nh− vËy c¸c −íc chung lín nhÊt cña hai ®a thøc sai kh¸c nhau mét ®a thøc bËc 0. b) NÕu F = Q · G + R th× gcd(F, G)=gcd(G, R). NhËn xÐt nµy cho ta c¸ch t×m −íc chung lín nhÊt cña hai ®a thøc b»ng c¸ch thùc hiÖn liªn tiÕp c¸c phÐp chia. §Þnh lý 2. Cho hai ®a thøc P0(x), P1(x) bÊt kú trong k[x]. Khi ®ã a) ¦íc chung lín nhÊt cña P0(x) vµ P1(x) tån t¹i. b) Tån t¹i U(x), V (x) ∈ k[x] sao cho gcd(P0(x),P1(x)) = U(x)P0(x)+V (x)P1(x)(§¼ng thøc BÐzout) Chøng minh. a) ThuËt to¸n t×m −íc chung lín nhÊt. B−íc 1. Chia P0 cho P1: P0 = Q1P1 + P2. . NÕu P2 =0th× gcd(P0,P1)=P1. . NÕu P2 =06 (khi ®ã degP2 < degP1) th× ®i ®Õn b−íc 2. B−íc 2. Chia P1 cho P2: P1 = Q2P2 + P3. . NÕu P3 =0th× gcd(P0,P1)=P2. . NÕu P3 =06 (khi ®ã degP3 < degP2) th× ®i ®Õn b−íc 3. Cø tiÕp tôc vµ qóa tr×nh sÏ dõng l¹i sau mét sè h÷u h¹n b−íc v× nã g¾n liÒn víi mét d·y gi¶m c¸c sè tù nhiªn < degP3 < degP2 < degP1. Gi¶ sö qu¸ tr×nh dõng ë b−íc thø n, tøc lµ Pn−1 = QnPn. Khi ®ã gcd(P0,P1)=gcd(P1,P2)=···= gcd(Pn, 0) = Pn. b) ViÖc thùc hiÖn c¸c b−íc chia ®a thøc ë phÇn a) cung cÊp c¸c d·y ®a thøc (U0,U1, ,Un) vµ (V0,V1, ,Vn) tho¶ Pk = UkP0 + VkP1,k=0, 1, ,n. (∗) ThËt vËy, râ rµng P0 =1· P0 +0· P1 , P1 =0· P0 +1· P1. Gi¶ sö (∗) ®óng ®Õn k − 1, tøc lµ ta cã Pk−2 = Uk−2P0 + Vk−2P1, Pk−1 = Uk−1P0 + Vk−1P1.
19 Khi ®ã Pk = Pk−2 − Qk−1Pk−1 = Uk−2P0 + Vk−2P1 − Qk−1(Uk−1P0 + Vk−1P1) =(Uk−2 − Qk−1Uk−1)P0 +(Vk−2 − Qk−1Vk−1)P1) = UkP0 + VkP1. Tõ ®ã, gcd(P0,P1) = Pn = UnP0 + VnP1. Chó ý r»ng U = Un, V = Vn ®−îc tÝnh bëi c¸c c«ng thøc truy håi U0 =1 V0 =0 U1 =0 , V1 =1 . Un = Un−2 − Qn−1Un−1 Vn = Vn−2 − Qn−1Vn−1 2 5 4 3 2 VÝ dô. T×m −íc chung lín nhÊt cña P0(x)=x +2x +2x +2x +2x +1 vµ 3 2 P1(x)=x + x − x − 1. ThuËt to¸n t×m −íc chung lín nhÊt ®−îc thùc hiÖn trong b¶ng d−íi ®©y k Pk−1 Pk Qk Pk+1 1 x5 +2x4 +2x3 +2x2 +2x +1 x3 + x2 − x − 1 x2 + x +2 2x2 +5x +3 1 3 5 5 2 x3 + x2 − x − 1 2x2 +5x +3 x2 − x + 2 4 4 4 5 5 8 12 3 2x2 +5x +3 x + x + 0 4 4 5 5 5 5 4 x + 0 4 4 U0 =1 V0 =0 U1 =0 V1 =1 2 U2 = U0 − Q1U1 =1 , V2 = V0 − Q1V1 = −x − x − 2 . 1 3 1 3 U = U − Q U = − x2 + V = V − Q V =1− ( x2 − )(−x2 − x − 2) 3 1 2 2 2 4 3 1 2 2 2 4 5 5 1 3 1 3 VËy gcd(P ,P )= x + =(− x2 + )P +(1− ( x2 − )(−x2 − x − 2))P . 0 1 4 4 2 4 0 2 4 1
20 6.3 NghiÖm cña ®a thøc 2 n §Þnh nghÜa 17. Cho ®a thøc f(x)=a0 + a1x + a2x + ···+ anx ∈ k[x] vµ c ∈ k. Ta gäi phÇn tö 2 n f(c):=a0 + a1c + a2c + ···+ anc ∈ k lµ gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = c. NÕu f(c)=0, th× c gäi lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) hay lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹i sè f(x)=0. §Þnh lý 3. (BÐzout) PhÇn tö c ∈ k lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) ∈ k[x] khi vµ chØ khi tån t¹i ®a thøc q(x) ∈ k[x], sao cho f(x)=(x − c)q(x). Chøng minh. Chia f(x) cho x − c ta ®−îc f(x)=(x − c)q(x)+r, víi r ∈ k. Suy ra f(c)=r. Tõ ®ã f(c)=0khi vµ chØ khi r =0hay f(x)=(x − c)q(x) 2 §Þnh nghÜa 18. PhÇn tö c ∈ k gäi lµ nghiÖm béi m cña ®a thøc f(x) ∈ k[x] nÕu f(x)=(x − c)mq(x) vµ q(c) =06 . NÕu m =1ta gäi c lµ nghiÖm ®¬n. NÕu m =2, th× c gäi lµ nghiÖm kÐp. 6.4 S¬ ®å Horner 2 n 2 n−1 Cho f(x)=a0 +a1x+a2x +···+anx vµ q(x)=b0 +b1x+b2x +···+bn−1x . NÕu f(x)=(x − c)q(x)+r, th× ta cã bn−1 = an,bk = ak+1 + cbk+1,k =0, 1, ,n− 2, vµ r = f(c)=a0 + cb0. Tõ ®ã ®Ó t×m f(c) vµ th−¬ng cña phÐp chia f(x) cho x − c ta th−êng sö dông s¬ ®å Horner sau ®©y, trong ®ã mçi phÇn tö ë dßng thø hai b»ng phÇn tö ë trªn nã céng víi c lÇn phÇn tö ®øng tr−íc nã. an an−1 . ak . a1 a0 bn−1 = an bn−2 = an−1 + cbn−1 . bk−1 = ak + cbk . b0 = a1 + cb1 r = a0 + cb0 6.5 §a thøc trªn tr−êng sè phøc §Þnh lý sau ®©y lµ nÒn t¶ng trong lý thuyÕt c¸c ®a thøc trªn tr−êng sè gäi lµ §Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè. Cã rÊt nhiÒu c¸ch chøng minh kh¸c nhau cña §Þnh lý c¬ b¶n, nh−ng ta sÏ kh«ng tr×nh bµy chóng ë ®©y.
21 §Þnh lý 4. (§Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè) Mäi ®a thøc f(x) bËc n ≥ 1 trªn tr−êng sè phøc ®Òu cã nghiÖm phøc. MÖnh ®Ò 10. Mäi ®a thøc f(x) bËc n ≥ 1 trong C[x] ®Òu cã ®óng n nghiÖm phøc kÓ c¶ béi (tøc lµ mçi nghiÖm ®−îc tÝnh mét sè lÇn b»ng béi cña nã). Nãi c¸ch kh¸c, ®a thøc f(x) ®−îc ph©n tÝch thµnh c¸c thõa sè bËc 1 nh− sau m1 m2 ms f(x)=an(x − c1) (x − c2) ···(x − cs) , trong ®ã an = lcf(x), m1 + m2 + ···+ cs = n. Chøng minh. Theo §Þnh lý c¬ b¶n, f(x) cã nghiÖm c1 ∈ C. §Þnh lý BÐzout suy ra f(x)=(x − c1)f1(x). LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn cho ®a thøc f1(x) nÕu degf1(x)=n − 1 ≥ 1. Cø tiÕp tôc cho ®Õn bËc 0, ta ®−îc f(x)=(x − c1)(x − c2) ···(x − cn)A, víi A ∈ C. Nhãm c¸c thõa sè gièng nhau vµ viÕt chóng d−íi d¹ng lòy thõa, suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 2 6.6 §a thøc trªn tr−êng sè thùc MÖnh ®Ò 11. Cho ®a thøc f(x) ∈ R[x]. Khi ®ã 1) NÕu sè phøc c lµ nghiÖm cña f(x), th× sè phøc liªn hîp c còng lµ nghiÖm cña f(x). 2) NÕu degf(x)=n, th× f(x) ph©n tÝch ®−îc thµnh tÝch c¸c ®a thøc bËc 1 vµ ®a thøc bËc 2 nh− sau m1 ms 2 n1 2 nr f(x)=an(x − c1) ···(x − cs) (x + p1x + q1) ···(x + prx + qr) , 2 trong ®ã an = lcf(x), ci(i =1, ,s) ∈ R, x + pkx + qk(k =1, ,r) lµ c¸c tam thøc bËc hai kh«ng cã nghiÖm thùc. 3) NÕu degf(x)=n lµ lÎ, th× f(x) cã nghiÖm thùc. 2 n Chøng minh. 1) Gi¶ sö f(x)=a0 + a1x + a2x + ···+ anx ∈ R[x]. Khi ®ã víi mäi c ∈ C ta cã 2 n 2 n f(c)=a0 + a1c + a2c + ···+ anc = a0 + a1c¯ + a2c¯ + ···+ anc¯ = f(¯c). Tõ ®ã f(c)=0khi vµ chØ khi f(¯c)=0. 2) Theo ®Þnh lý ph©n tÝch ®a thøc trªn tr−êng sè phøc m1 m2 ms f(x)=an(x − c1) (x − c2) ···(x − cs) .
22 NÕu ck = a + bi ∈ C, th× nh©n tö (x − ck) cïng víi (x − ck) (®Ó ý ®Õn kÕt qu¶ 1) sÏ lËp thµnh tam thøc 2 2 2 2 2 (x − ck)(x − ck)=x − 2ax + a + b =(x − a) + b . V× b =06 nªn tam thøc nµy kh«ng cã nghiÖm thùc. 3) Theo 1) vµ 2) nÕu degf(x) lµ lÎ th× trong ph©n tÝch f(x) ph¶i chøa thõa sè (x − c) víi c ∈ R, tøc lµ f(x) cã nghiÖm thùc. 2 6.7 §a thøc trªn tr−êng sè h÷u tû Ta ®Æt vÊn ®Ò ®i t×m nghiÖm h÷u tû cña mét ®a thøc trªn tr−êng sè h÷u tû. B»ng phÐp qui ®ång mÉu sè, viÖc t×m nghiÖm cña mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû ®−îc ®−a vÒ viÖc t×m nghiÖm cña mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn. p MÖnh ®Ò 12. NÕu sè h÷u tû , víi gcd(p, q)=1, lµ nghiÖm cña ®a thøc víi hÖ q sè nguyªn 2 n f(x)=a0 + a1x + a2x + ···+ anx ; ak ∈,k=0, 1, ,n; an =06 , th× p lµ −íc cña a0 vµ q lµ −íc cña an. p Chøng minh. V× lµ nghiÖm cña f(x) nªn ta cã q n n−1 n−2 2 n−1 n a0q + a1q p + a2q p + ···+ an−1qp + anp =0. n n Suy ra p lµ −íc cña a0q ,vµq lµ −íc cña anp .Dop vµ q lµ nguyªn tã cïng nhau nªn p lµ −íc cña a0 vµ q lµ −íc cña an. 2 Tõ MÖnh ®Ò trªn, muèn t×m nghiÖm h÷u tû cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn 2 n f(x)=a0 + a1x + a2x + ···+ anx ; ak ∈,k=0, 1, ,n; an =06 , ta t×m tÊt c¶ c¸c −íc p cña hÖ sè tù do a vµ tÊt c¶ c¸c −íc cña hÖ sè dÉn ®Çu a , p 0 n råi kiÓm tra c¸c sè cã ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) hay kh«ng. q 6.8 Gi¶i ph−¬ng tr×nh b»ng c¨n thøc Mét ph−¬ng tr×nh bËc n ≥ 1 víi hÖ sè phøc n n−1 anx + an−1x + ···+ a1x + a0 =0, (ai ∈ C), gäi lµ gi¶i ®uîc b»ng c¨n thøc nÕu c¸c nghiÖm cña nã cã thÓ biÓu diÔn qua c¸c hÖ sè cña ph−¬ng tr×nh b»ng c¸c phÐp to¸n céng, trõ, nh©n, chia, lòy thõa vµ khai c¨n.
23 6.8.1 Ph−¬ng tr×nh bËc 1: ax + b =0(a =0)6 b DÔ dµng thÊy r»ng ph−¬ng tr×nh ax + b =0cã nghiÖm lµ x = − . a 6.8.2 Ph−¬ng tr×nh bËc 2: ax2 + bx + c =0(a =0)6 b c Chia hai vÕ cho a: x2 + x + =0. a a b Khö sè h¹ng bËc 1 b»ng c¸ch ®Æt X = x + , ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 2a b2 − 4ac X2 − =0. (2a)2 √ √ b2 − 4ac ∆ Suy ra X = ± = ± . 2a 2a √ −b ± ∆ VËy, ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c =0 cã nghiÖm lµ x = . 2a 6.8.3 Ph−¬ng tr×nh bËc 3: ax3 + bx2 + cx + d =0(a =0)6 b c d Chia hai vÕ cho a: x3 + x2 + x + =0. a a a b Khö sè h¹ng bËc 2 b»ng c¸ch ®Æt X = x + , ta cã ph−¬ng tr×nh 3a X3 + pX + q =0. (1) §Æt X = u + v, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng u3 + v3 +(3uv + p)(u + v)+q =0. T×m u vµ v tho¶ hÖ ph−¬ng tr×nh u3 + v3 = −q u3 + v3 = −q  −p hay  p3 (2) uv = (∗) u3v3 = − .  3  27 Khi ®ã u3, v3 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai p3 Z2 + qZ − =0. 27
24 VËy ta cã 2 3  3 q rq p u = − + + = Z1  2 4 27   q rq2 p3 v3 = − − + = Z  2 4 27 2 NÕu u0 lµ mét c¨n bËc 3 cña Z1, v0 lµ mét c¨n bËc 3 cña Z2 tho¶ (∗), th× c¸c cÆp 2π 2π (ωu ,ω2v ), (ω2u ,ωv ) còng tho¶ (∗), víi ω = (cos + i sin ). 0 0 0 0 3 3 2 2 VËy ta t×m ®−îc 3 cÆp nghiÖm (u, v) cña hÖ (2) lµ (u0,v0), (ωu0,ω v0), (ω u0,ωv0). Do ®ã 3 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ 2 2 X1 = u0 + v0,X2 = ωu0 + ω v0,X3 = ω u0 + ωv0. Cuèi cïng nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ax3 + bx2 + cx + d =0®−îc cho bëi c«ng thøc Cardano s 2 3 s 2 3 b 3 q rq p 3 q rq p x = − + − + + + − − + 3a 2 4 27 2 4 27 C«ng thøc nµy cho thÊy mét ph−¬ng tr×nh bËc 3 gi¶i ®−îc b»ng c¨n thøc. VÒ mÆt thùc hµnh nã kh«ng ph¶i lµ mét c«ng thøc tiÖn Ých. VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh −2x3 +18x2 − 42x +10. Chia cho −2: x3 − 9x2 +21x − 5=0 §Æt x = X +3, ta cã ph−¬ng tr×nh X3 − 6X +4=0. (1) §Æt X = u + v, ta cã ph−¬ng tr×nh u3 + v3 +(3uv − 6)(u + v)+4=0. T×m u vµ v tho¶ hÖ ph−¬ng tr×nh (u3 + v3 = −4 (u3 + v3 = −4 hay uv =2 u3v3 =8. Khi ®ã u3, v3 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai Z2 +4Z +8=0. VËy ta cã √ 3π 3π u3 = −2+2i = 8(cos + i sin )  4 4  √ −3π −3π v3 = −2 − 2i = 8(cos + i sin )  4 4
25 Ta chän √  6 3π 3π u0 = 8(cos + i sin )=1+i  12 12  √ 6 −3π −3π v0 = 8(cos + i sin )=1− i  12 12 Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ X1 = u0 + v0 =2 √ √ 1 3 1 3 √ X = ωu + ω2v = − + i(1 + i)+− − i(1 − i)=−1 − 3. 2 0 0 2 2 2 2 √ √ 1 3 1 3 √ X = ω2u + ωv = − − i(1 + i)+− + i(1 − i)=−1+ 3. 3 0 0 2 2 2 2 √ √ Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm : x1 =5, x2 =2+ 3, x3 =2− 3. 6.8.4 Ph−¬ng tr×nh bËc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e =0(a =0)6 b c d e Chia hai vÕ cho a: x4 + x3 + x2 + x =0. a a a a b Khö sè h¹ng bËc 3 b»ng c¸ch ®Æt X = x + , ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 4a X4 + pX2 + qX + r =0. NÕu q =0, ®−a vÒ gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc hai theo X2. NÕu q =06 , ph©n tÝch X4 + pX2 + qX + r =(X2 + αX + β)(X2 − αX + γ). §ång nhÊt hÖ sè suy ra α,β,γ lµ ngiÖm cña hÖ γ + β = p + α2  q γ − β = α γβ = r  1 q 1 q Hai ph−¬ng tr×nh ®Çu tiªn cña hÖ cho: γ = (p + α2 + ), β = (p + α2 − ). 2 α 2 α ThÕ c¸c biÓu thøc nµy vµo ph−¬ng tr×nh cuèi ta ®−¬c ph−¬ng tr×nh bËc 3 theo α2: α2(p + α2)2 − 4rα2 − q2 =0. Gi¶i ra α,β,γ, thay vµo ph©n tÝch ë trªn , ta cã hai ph−¬ng tr×nh bËc 2. VËy phÐp gi¶i mét ph−¬ng tr×nh bËc 4 ®−îc ®−a vÒ gi¶i mét ph−¬ng tr×nh bËc 3
26 vµ hai ph−¬ng tr×nh bËc 2. Suy ra r»ng ph−¬ng tr×nh bËc 4 gi¶i ®−¬c b»ng c¨n thøc. VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x4 +2x3 +5x2 +6x +9=0. 1 §Æt x = X − , ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 2 7 113 X4 + X2 +2X + =0.(1) 2 16 7 113 Ph©n tÝch X4 + X2 +2X + =(X2 + αX + β)(X2 − αX + γ). 2 16 §ång nhÊt hÖ sè suy ra α,β,γ lµ ngiÖm cña hÖ  7 2 γ + β = + α  2    2 γ − β = α    113 γβ =  16 Hai ph−¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ cho: 1 7 2 1 7 2 γ = ( + α2 + ),β= ( + α2 − ). 2 2 α 2 2 α ThÕ c¸c biÓu thøc nµy vµo ph−¬ng tr×nh cuèi ta ®−îc ph−¬ng tr×nh bËc 3 theo α2: (α2)3 +7(α2)2 − 16α2 − 4=0. Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc 3, ta thÊy cã mét nghiÖm α2 =2. Suy ra √ √ 11 + 2 2 11 − 2 2 γ = ,β= . 4 4 VËy viÖc gi¶i (1) qui vÒ gi¶i hai ph−¬ng tr×nh bËc 2: √ √ √ 11 − 2 2 √ 11 + 2 2 X2 + 2X + =0,X2 − 2X + =0 4 4 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh bËc hai ë trªn, ta ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ √ √ √ √ − 2 ± p9 − 2 2 i 2 ± p9+2 2 i X = ; X = . 1,2 2 3,4 2 Cuèi cïng nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ √ √ √ √ 1 − 2 ± p9 − 2 2 i 1 2 ± p9+2 2 i x = − + ; x = − + . 1,2 2 2 3,4 2 2
27 6.8.5 Ph−¬ng tr×nh bËc n ≥ 5 Niels Henrik ABEL(1802-1829), mét nhµ To¸n häc ng−êi Na Uy, ®· chØ ra trong "Nghiªn cøu vÒ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè (1824)" r»ng mét ph−¬ng tr×nh bËc ≥ 5 tæng qu¸t kh«ng gi¶i ®−îc b»ng c¨n thøc. Sau ®ã, Evariste GALOIS (1811-1832), nhµ To¸n häc ng−êi Ph¸p, ®· sö dông lý thuyÕt nhãm ®Ó t×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ dÓ cho mét ph−¬ng tr×nh ®¹i sè gi¶i ®−îc b»ng c¨n thøc. 7 Ph©n thøc 7.1 Tr−êng c¸c ph©n thøc P (x) §Þnh nghÜa 19. Cho P (x),Q(x) ∈ k[x] vµ Q(x) =06 . Ta ký hiÖu vµ gäi lµ Q(x) mét ph©n thøc trªn tr−êng k. P (x) R(x) P (x) R(x) Hai ph©n thøc vµ gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu = , nÕu vµ Q(x) S(x) Q(x) S(x) chØ nÕu P (x)S(x)=Q(x)R(x). Mäi ®a thøc P (x) ∈ k[x] còng ®−îc xem nh− lµ mét ph©n thøc b»ng c¸ch ®ång P (x) nhÊt P (x) víi ph©n thøc . Ta ký hiÖu k(x) lµ tËp hîp c¸c ph©n thøc trªn 1 tr−êng k P (x) k(x):={ | P (x),Q(x) ∈ k[x],Q(x) =06 }. Q(x) Trªn k(x) ta ®Þnh nghÜa hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh− sau: P (x) R(x) P (x)S(x)+R(x)Q(x) + = Q(x) S(x) Q(x)S(x) P (x) R(x) P (x)R(x) · = Q(x) S(x) Q(x)S(x) §Þnh nghÜa trªn lµ ®óng ®¾n v× nÕu P (x) P 0(x) R(x) R0(x) = vµ = Q(x) Q(x) S(x) S0(x)
28 th× P (x) R(x) P 0(x) R0(x) P (x) R(x) P 0(x) R0(x) + = + vµ · = · . Q(x) S(x) Q0(x) S0(x) Q(x) S(x) Q0(x) S0(x) Cã thÓ kiÓm chøng dÔ dµng r»ng phÐp céng cã tÝnh giao ho¸n, kÕt hîp, phÇn tö P (x) −P (x) kh«ng lµ ®a thøc kh«ng, phÇn tö ®èi cña lµ ; phÐp nh©n giao ho¸n, Q(x) Q(x) P (x) Q(x) cã phÇn tö ®¬n vÞ lµ 1, nghÞch ®¶o cña =06 lµ ; phÐp nh©n ph©n phèi Q(x) P (x) ®èi víi phÐp céng. Tõ ®ã (k(x), +, ·) lµ mét tr−êng gäi lµ tr−êng c¸c ph©n thøc. 7.2 Ph©n tÝch mét ph©n thøc thµnh c¸c ph©n thøc ®¬n gi¶n §Þnh lý 5. Cho P (x),Q(x) ∈ k[x]. Gi¶ sö Q(x) cã ph©n tÝch d¹ng k1 k2 ks Q(x)=Q1 (x)Q2 (x) ···Qs (x) trong ®ã gcd(Qi(x),Qj(x)) = 1 víi mäi i =6 j. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt c¸c ®a thøc A(x), Pij ∈ k[x], i =1, ,s; j =1, ,ki, sao cho deg(Pij ) < deg(Qi) vµ P (x) s ki P (x) = A(x)+XX ij . Q(x) j i=1 j=1 Qi (x) Chøng minh. Ta cÇn bæ ®Ò sau Bæ ®Ò 1. Cho D1(x),D2(x) ∈ k[x] víi gcd(D1(x),D2(x)) = 1 vµ F (x) lµ mét ®a thøc bÊt kú víi deg F (x) < deg D1(x) + deg D2(x). Khi ®ã tån t¹i hai ®a thøc V1(x), V2(x) sao cho Chia F (x)=V2(x)D1(x)+V1(x)D2(x), trong ®ã deg V1(x) < deg D1(x) vµ deg V2(x) < deg D2(x). Chøng minh Bæ ®Ò: Tõ gcd(D1(x),D2(x)) = 1, ta cã ®¼ng thøc BÐzout 1=U1(x)D1(x)+U2(x)D2(x). Nh©n hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi F (x) ta ®−îc F (x)=F (x)U1(x)D1(x)+F (x)U2(x)D2(x). (1)
29 Chia ®a thøc F (x)U1(x) cho D2(x): F (x)U1(x)=B(x)D2(x)+V2(x), (2) trong ®ã, deg V2(x) < deg D2(x). Thay (2) vµo (1) ta ®−îc F (x)=V2(x)D1(x)+ B(x)D1(x)+F (x)U2(x) D2(x) | V{z1(x) } = V2(x)D1(x)+V1(x)D2(x). V× deg F<deg D1 + deg D2 vµ deg V2D1 = deg V2 + deg D1 < deg D2 + deg D1, suy ra deg V1 + deg D2 = deg V1D2 = deg(F − V2D1) < deg D1 + deg D2. Tõ ®ã, deg V1(x) < deg D1(x). Bæ ®Ò ®−îc chøng minh. Chøng minh §Þnh lý: Tån t¹i ph©n tÝch. Chia P cho Q P F = A + , víi deg F<deg Q. Q Q k1 k2 ks §Æt D1 = Q1 , D2 = Q2 ···Qs . Khi ®ã gcd(D1,D2)=1vµ Q = D1D2.Tõ Bæ ®Ò, ta cã biÓu diÔn F V2D1 + V1D2 V1 V2 = = + , víi deg Vi < deg Di. Q D1D2 D1 D2 V LËp luËn t−¬ng tù cho 2 , sau mét sè h÷u h¹n b−íc ta cã ph©n tÝch D2 F P P P = 1 + 2 + ···+ s . k1 k2 ks Q Q1 Q2 Q1 P Víi mçi i ∈{1, ,s} xÐt ph©n thøc i . Thùc hiÖn c¸c phÐp chia ki Q1 ki−1 Pi = Qi Pi1 + r2 ki−2 r2 = Qi Pi2 + r2 . . rki−1 = QiPi,ki−1 + Pki ,
30 ki Pi Pij trong ®ã deg Pij < deg Qi, ∀j =1, ,ki. Suy ra ph©n tÝch = X . ki j Q1 j=1 Q1 0 0 Sù duy nhÊt. Gi¶ sö cã ph©n tÝch kh¸c, tøc lµ tån t¹i A , Pij ∈ k[x] sao cho P s ki P 0 = A0 + XX ij , degP 0 < degQ Q j ij i i=1 j=1 Qi Ta cã A = A0 do tÝnh duy nhÊt cña phÐp chia Euclide. Trõ hai biÓu thøc ta cã s ki P − P 0 ij ij ∗ X X j =0. ( ) i=1 j=1 Qi P − P 0 =06 Q Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, 1k1 1k1 . Nh©n (*) víi , ta cã − 0 k2 ··· ks ∈ (P1k1 P1k1 )Q2 Qs + Q1U =0, víi U k[x] gcd(Q ,Qk2 ···Qks )=1 Q | (P − P 0 ) Do 1 2 s , nªn 1 1k1 1k1 . Suy ra deg(P − P 0 ) ≥ degQ . 1k1 1k1 1 deg(P − P 0 ) ≤ max{(P ,P0 } < deg Q §iÒu nµy m©u thuÈn víi 1k1 1k1 1k1 1k1 1. VËy P − P 0 =0 P − P 0 i, j 2 ph¶i cã 1k1 1k1 . LËp luËn t−¬ng tù, ta cã ij ij , víi mäi . 1 VÝ dô. Ph©n tÝch ®a thøc P = thµnh tæng c¸c ph©n thøc ®¬n gi¶n trªn x4 − 1 tr−êng sè thùc. Ta cã x4 − 1=(x2 + 1)(x − 1)(x +1). Tõ ®ã, ph©n tÝch cã d¹ng 1 A B Cx+ D = + + . x4 − 1 x − 1 x +1 x2 +1 §ång nhÊt c¸c hÖ sè ®a thøc hai vÕ, cho mét hÖ ph−¬ng tr×nh theo A,B,C,D. Gi¶i hÖ nµy ta ®−îc 1 1 1 1 = − − . x4 − 1 2(x − 1) 2(x +1) x2 +1
31 II. Ma trËn- §Þnh thøc 1 Ma trËn 1.1 §Þnh nghÜa ma trËn §Þnh nghÜa 1. Mét m × n−ma trËn hay ma trËn cÊp m × n trªn tr−êng sè K (K = R hoÆc C) lµ mét b¶ng gåm m × n sè aij ∈ K ®−îc s¾p xÕp thµnh m dßng vµ n cét nh− sau  a11 a12 a1n  a a a  21 22 2n  A =(aij)m×n :=  . . .   . . .    am1 am2 amn C¸c sè aij ∈ K gäi lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn A. PhÇn tö aij ®øng ë dßng thø i vµ cét thø j cña ma trËn A. Hai ma trËn A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B, nÕu chóng cã cïng cÊp vµ c¸c phÇn tö cïng vÞ trÝ b»ng nhau. Ta sÏ ký hiÖu tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn cÊp m × n trªn K lµ MatK(m, n). 1.2 C¸c ma trËn ®Æc biÖt 1.2.1 Ma trËn kh«ng Ma trËn kh«ng lµ ma trËn mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã ®Òu b»ng 0. Ma trËn kh«ng cÊp m × n ®−îc ký hiÖu lµ Om×n. 1.2.2 Ma trËn vu«ng Ma trËn vu«ng cÊp n lµ ma trËn cÊp n × n. Ta sÏ ký hiÖu tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn k lµ MatK(n). Ma trËn vu«ng A =(aij)n×n cã c¸c phÇn tö a11,a22, ,ann ë trªn mét ®−êng chÐo gäi lµ ®−êng chÐo chÝnh cña A, ®−êng chÐo cßn l¹i gäi lµ ®−êng chÐo phô.
32 1.2.3 Ma trËn chÐo Ma trËn chÐo cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö ë ngoµi ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0. Ma trËn chÐo cÊp n ®−îc ký hiÖu lµ a11 0 0  0 a22 0   ∀ 6 diag(a11,a22, ,ann)= . . .  ,aij =0, i = j.  . . .    00 ann 1.2.4 Ma trËn ®¬n vÞ Ma trËn ®¬n vÞ cÊp n lµ ma trËn chÐo cÊp n mµ mäi phÇn tö ë trªn ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 1. Ma trËn ®¬n vÞ cÊp n ®−îc ký hiÖu lµ 10 0 01 0   ∀ ∀ 6 In = . . . ,aii =1, i vµ aij =0, i = j. . . . 00 1 1.2.5 Ma trËn ®èi xøng Ma trËn ®èi xøng cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö ®èi xøng qua ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng nhau. 1.2.6 Ma trËn tam gi¸c Ma trËn tam gi¸c trªn (t.−. d−íi) cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö ë d−íi (t.−. trªn) ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0. Nh− vËy, ma trËn tam gi¸c trªn cã d¹ng a11 a12 a1n 0 a a  22 2n A =  . . .  ,aij =0, ∀i>j.  . . .    00 ann
33 1.2.7 Ma trËn bËc thang Ma trËn bËc thang cÊp m × n lµ ma trËn cã tÝnh chÊt sau: NÕu mäi phÇn tö ë trªn dßng i vµ ®øng bªn tr¸i phÇn tö aij ®Òu b»ng 0, th× mäi phÇn tö ë cét j vµ ®øng bªn d−íi phÇn tö aij còng b»ng 0.   |a1j  1   |a2j   2   .   0 .  , (aik =0, ∀k i).    |akj   k      NhËn xÐt. Mét ma trËn vu«ng d¹ng bËc thang lµ ma trËn tam gi¸c trªn. 1.3 C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn 1.3.1 Céng ma trËn §Þnh nghÜa 2. Cho hai ma trËn A =(aij)m×n vµ B =(bij)m×n ∈ Matk(m, n). Tæng cña A vµ B, ký hiÖu A + B, ®−îc x¸c ®Þnh bëi A + B =(aij + bij)m×n. Tõ ®Þnh nghÜa phÐp céng ma trËn ta dÔ dµng kiÓm chøng c¸c tÝnh chÊt sau MÖnh ®Ò 1. Cho A, B, C ∈ Matk(m, n). Khi ®ã 1) A + B = B + A. 2) (A + B)+C = A +(B + C). 3) A + O = O + A = O, trong ®ã O lµ ma trËn kh«ng. 1.3.2 Nh©n ma trËn víi mét sè §Þnh nghÜa 3. Cho ma trËn A =(aij)m×n ∈ Matk(m, n) vµ α ∈ k . TÝch cña α víi A, ký hiÖu αA, ®−îc x¸c ®Þnh bëi αA =(αaij)m×n. Tõ ®Þnh nghÜa phÐp nh©n mét sè víi ma trËn suy ra
34 MÖnh ®Ò 2. Cho A, B ∈ Matk(m, n) vµ α, β ∈ k. Khi ®ã 1) α(βA)=(αβ)A. 2) (α + β)A = αA + βA. 3) α(A + B)=αA + αB. 1.3.3 Nh©n hai ma trËn §Þnh nghÜa 4. Cho ma trËn A =(aij)m×n ∈ Matk(m, n) vµ B =(aij)n×p ∈ Matk(n, p). TÝch cña A víi B, ký hiÖu AB, ®−îc x¸c ®Þnh bëi AB =(cij )m×p ∈ Matk(m, p), trong ®ã, n cij = X aikbkj. k=1 NhËn xÐt. PhÇn tö cij cña ma trËn AB nhËn ®−îc b»ng c¸ch lÊy tæng cña c¸c tÝch tõng phÇn tö trªn dßng thø i cña ma trËn A víi phÇn tö t−¬ng øng ë cét thø j cña ma trËn B. S¬ ®å tÝnh phÇn tö cij nh− sau ®©y b : 1j : b2j ai1 ai2 ain . ai1b1j + ···+ ainbnj = cij H . = HHj bnj NhËn xÐt. PhÐp nh©n AB chØ ®−îc ®Þnh nghÜa cho tr−êng hîp sè cét cña ma trËn A b»ng sè dßng cña ma trËn B. MÖnh ®Ò 3. 1) (AB)C = A(BC), víi mäi A ∈ Matk(m, n), B ∈ Matk(n, p), C ∈ Matk(p, q). 2) (A + B)C = AC + BC, víi mäi A, B ∈ Matk(m, n); C ∈ Matk(n, p). 3) A(B + C)=AB + AC, víi mäi A ∈ Matk(m, n); B,C ∈ Matk(n, p). 4) ImA = A, AIn = A, víi mäi A ∈ Matk(m, n).
35 Chøng minh. 1) Gi¶ sö A =(aij) B =(bij), C =(cij). Khi ®ã n AB =(αij) víi αij = X aikbkj, k=1 p n p n (AB)C =(dij ) víi dij = X(X aikbkh)chj )=X X aikbkhchj . h=1 k=1 h=1 k=1 T−¬ng tù n BC =(βij) víi βij = X bihchj h=1 n p n p 0 0 A(BC)=(dij ) víi dij = X(aik X bkhchj )=X X aikbkhchj . k=1 h=1 k=1 h=1 0 Tõ ®ã dij = dij , víi mäi i, j. C¸c kh¼ng ®Þnh cßn l¹i dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa. 2 1.3.4 ChuyÓn vÞ ma trËn §Þnh nghÜa 5. Cho ma trËn A =(aij)m×n. Ma trËn chuyÓn vÞ cña A, ký hiÖu tA, lµ ma trËn ®−îc x¸c ®Þnh bëi t t t A =(aij)n×m ∈ Matk(n, m), trong ®ã aij = aji. DÔ dµng kiÓm chøng c¸c tÝnh chÊt sau MÖnh ®Ò 4. Cho A, B ∈ Matk(m, n), C ∈ Matk(n, p) α ∈ k. Khi ®ã 1) t(A + B) = tA + tB. 2) t(αA) = αtA. 3) t(AC) = tC tA. 1.3.5 NghÞch ®¶o ma trËn Ma trËn vu«ng A ∈ Matk(n) gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i B ∈ Matk(n) sao cho AB = BA = In. Ma trËn B, nÕu cã, lµ duy nhÊt, gäi lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A vµ ký hiÖu lµ A−1. Ta sÏ ký hiÖu GL(K,n) lµ tËp c¸c ma trËn vu«ng kh¶ nghÞch.
36 MÖnh ®Ò 5. Cho A, B ∈ GL(K,n). Khi ®ã −1 1) A−1 = A. 2) (AB)−1 = B−1A−1. 3) t(A−1) = (tA)−1. −1 Chøng minh. 1) Theo ®Þnh nghÜa A.A−1 = I, suy ra A = A−1 . −1 −1 −1 −1 −1 −1 2) Suy ra t÷ (AB)(B A )=A(BB )A = AIA = AA = In. t t −1 t −1 t t −1 t 3) Suy ra tõ A (A ) = (A A) = In = In, vµ t−¬ng tù (A ) A = In. 2 1.4 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn ma trËn §Þnh nghÜa 6. C¸c phÐp biÕn ®æi trªn ma trËn sau ®©y gäi biÕn ®æi s¬ cÊp: (1) §æi chç dßng (cét) i víi dßng (cét) j, ký hiÖu di ↔ dj (ci ↔ cj). (2) Nh©n dßng (cét) i víi mét sè α =06 , ký hiÖu αdi (αci). (3) Céng dßng (cét) i víi α lÇn dßng (cét) j, ký hiÖu di + αdj (ci + αcj ). MÖnh ®Ò 6. Mäi ma trËn A =(aij) ∈ MatK(m.n) ®Òu cã thÓ ®−a vÒ d¹ng bËc thang bëi mét sè h÷u h¹n phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng. Chøng minh. (ThuËt to¸n Gauss) B−íc 1. T×m phÇn tö kh¸c 0 cã vÞ trÝ gÇn bªn tr¸i nhÊt. Gi¶ sö ®ã lµ phÇn tö aij. B−íc 2. Dïng phÐp biÕn ®æi d1 ↔ di, ®Ó cã ma trËn B =(bij) víi phÇn tö b1j =06 . B−íc 3. Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi di + αd1, i ≥ 2, lµm triÖt tiªu c¸c phÇn tö ë d−íi b1j ®Ó cã ma trËn C =(cij) víi c1j = bij =06 , ckj =0, ∀k>1. B−íc 4. LËp ma trËn A1 cã ®−îc tõ C b»ng c¸ch xãa dßng 1 vµ lËp l¹i c¸c b−íc 1, 2, 3 ®èi víi ma trËn A1. TÕp tôc qu¸ tr×nh trªn, sau mét sè h÷u h¹n (≤ m) b−íc ta nhËn ®−îc ma trËn d¹ng bËc thang. 2 VÝ dô. §−a ma trËn sau vÒ d¹ng bËc thang bëi c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng 0012220 0123123   A = 0157358   0224231 0034235 Thùc hiÖn c¸c b−íc trong thuËt to¸n Gauss 0123123 01 2 31 2 3 0012220 d3−d1 00 1 22 2 0 d1↔d2   d4−2d1   A −→ 0157358 −→ 00 3 42 3 5     0224231 00−2 −20−1 −5 0034235 00 3 42 3 5
37 0123123 012 3 1 23 d3−3d2 0012220d4+d3 001 2 2 20 d4+2d2   d5−d3   −→ 000−2 −4 −35 −→ 000−2 −4 −35 . d5−3d2     000243−5 000 0 0 00 000−2 −4 −35 000 0 0 00 2 §Þnh thøc 2.1 Ho¸n vÞ §Þnh nghÜa 7. Mét ho¸n vÞ cña Jn = {1, 2, ,n} lµ mét song ¸nh σ : Jn −→ Jn. TËp tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ cña Jn ®−îc ký hiÖu lµ Sn. Mét ho¸n vÞ th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng 12 n σ = hay ®¬n gi¶n σ = σ(1)σ(2) σ(n). σ(1) σ(2) σ(n) Ho¸n vÞ σ ∈ Sn ®−îc gäi lµ mét chuyÓn vÞ nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i i =6 j ∈ Jn sao cho σ(i)=j, σ(j)=i, σ(m)=m ∀m =6 i, j. ChuyÓn vÞ σ ®−îc ký hiÖu lµ σ =(ij). 2.2 NghÞch thÕ - Ký sè §Þnh nghÜa 8. Mét nghÞch thÕ trong ho¸n vÞ σ = σ(1)σ(2) σ(n) ∈ Sn lµ mét cÆp (σ(i),σ(j)) víi i σ(j), tøc lµ sè lín ®øng tr−íc sè nhá. Ký sè cña ho¸n vÞ σ, ký hiÖu (σ), ®−îc ®Þnh nghÜa bëi (+1 nÕu sè nghÞch thÕ cña σ lµ ch½n (σ)= −1 nÕu sè nghÞch thÕ cña σ lµ lÎ. VÝ dô. Ho¸n vÞ σ = 312 ∈ S3 cã hai nghÞch thÕ lµ (3, 1) vµ (3, 2). Tõ ®ã (σ)=1. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã c«ng thøc σ(j) − σ(i) (σ)= Y . j − i 1≤i<j≤n
38 MÖnh ®Ò 7. Cho σ, γ ∈ Sn, n ≤ 2. Khi ®ã 1) NÕu σ lµ mét chuyÓn vÞ, th× (σ)=−1. 2) (σ ◦ γ)=(σ)(γ), (IdJn )=1. Chøng minh. 1) Gi¶ sö 1 i i+1 j− 1 j n σ =(i, j)= , 1 ≤ i σ(γ(j))}, N2 =#{(i, j) | i γ(j),σ(γ(i)) γ(j),σ(γ(i)) >σ(γ(j))}. Khi ®ã, sè nghÞch thÕ cña σ = N1 + N2, sè nghÞch thÕ cña γ = N2 + N3, sè nghÞch thÕ cña σ ◦ γ = N1 + N3. Tõ ®ã, (σ ◦ γ)=(−1)N1+N3 =(−1)N1+N2 (−1)N2+N3 = (σ)(γ). 2 2.3 §Þnh nghÜa ®Þnh thøc §Þnh nghÜa 9. Cho ma trËn vu«ng A =(aij) ∈ MatK(n). §Þnh thøc cña A,ký hiÖu a a a 11 12 1n a a a 21 22 2n detA hay . . . , . . . am1 am2 amn lµ sè ®−îc ®Þnh nghÜa bëi detA = X (σ)a1σ(1)a2σ(2) ···anσ(n). σ∈Sn
39 NhËn xÐt. Tæng X gåm n! sè h¹ng, mçi sè h¹ng lµ céng hoÆc trõ cña tÝch n σ∈Sn phÇn tö cña ma trËn A kh«ng cïng dßng, kh«ng cïng cét. VÝ dô. 1) §Þnh thøc cÊp 2 a11 a12 = a11a22 − a12a21. a21 a22 2) §Þnh thøc cÊp 3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 a31 a32 a33 +a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 3) §Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c a a ··· a 11 12 1n 0 a ··· a 22 2n . . . = a11a22 ···ann. . . ··· . 00··· ann Chó ý. §Ó tÝnh ®Þnh thøc cÊp 3, th−êng sö dông qui t¾c Sarius sau ®©y • C¸c sè h¹ng mang dÊu d−¬ng gåm: − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn ®−êng chÐo chÝnh. − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn c¸c ®Ønh cña tam gi¸c (chøa a22) cã mét c¹nh song song víi ®−êng chÐo chÝnh vµ mét ®Ønh lµ mót cña ®−êng chÐo phô. • C¸c sè h¹ng mang dÊu ©m gåm: − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn ®−êng chÐo phô. − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn c¸c ®Ønh cña tam gi¸c (chøa a22) cã mét c¹nh song song víi ®−êng chÐo phô vµ mét ®Ønh lµ mót cña ®−êng chÐo chÝnh. •••¨ •••H @ ¡@¨ ¡ A H A ¨ H @¨¡¨ @¡ A HAH ¨ ¡@ ¡@ A A H •••¨ •••H @¡ @¨¨¡ HAH A ¡@¨ ¡@ A H A ¨ H •••¨¡ @¡ @ ••• A HA (+) (−)
40 2.4 TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc MÖnh ®Ò 8. §Þnh thøc cña ma trËn kh«ng thay ®æi qua phÐp chuyÓn vÞ det(tA) = det A. Chøng minh. Tõ (σ)=(σ−1), ta cã t t t t det( A)=X (σ) a1σ(1) a2σ(2) ··· anσ(n) σ∈Sn = X (σ)aσ(1)1aσ(2)2 ···aσ(n)n σ∈Sn −1 = X (σ )a1σ−1(1)a2σ−1(2) ···anσ−1(n) = det A. −1 σ ∈Sn 2 Do MÖnh ®Ò trªn, c¸c tÝnh chÊt d−íi ®©y ph¸t biÓu cho c¸c dßng nh−ng nã còng ®óng víi c¸c cét. Cho A =(aij) ∈ MatK(n), gäi Ai lµ dßng thø i cña A. Khi ®ã, ký hiÖu det(A1, ,An) = det A. MÖnh ®Ò 9. NÕu ®æi chç hai dßng cu¶ mét ma trËn vu«ng, th× ®Þnh thøc ®æi dÊu det(A1, ,Ak, ,Al, An)=− det(A1, ,Al, ,Ak, An). Chøng minh. Gi¶ sö A =(aij) vµ B =(bij) lµ ma trËn nhËn ®−îc tõ A b»ng c¸ch ®æi chç dßng k víi dßng l, tøc lµ aij nÕu i =6 k,l,  bij = alj nÕu i = k, akj nÕu i = l. Gäi τ =(kl) ∈ Sn. Khi ®ã, ¸nh x¹ σ ∈ Sn 7−→ γ = σ ◦ τ ∈ Sn, lµ mét song ¸nh, vµ (γ)=−(σ). Suy ra det A = X (σ)a1σ(1) ···akσ(k) ···alσ(l) ···anσ(n) σ∈Sn = − X (γ)a1γ(1) ···akγ(l) ···alγ(k) ···anγ(n) γ∈Sn = − X (γ)b1γ(1) ···blγ(l) ···bkγ(k) ···bnγ(n) = − det B. γ∈Sn 2
41 MÖnh ®Ò 10. Cho A ∈ MatK(n) vµ α ∈ k. Khi ®ã 0 0 1) det(A1, ,Ai+Ai, An) = det(A1, ,Ai, An)+det(A1, ,Ai, An). 2) det(A1, ,αAi, An)=α det(A1, ,Ai, An). Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ ®Þnh nghÜa ®Þnh thøc. 2 Tõ c¸c MÖnh ®Ò trªn, dÔ dµng suy ra hÖ qña sau ®©y HÖ qu¶ 1. Cho A ∈ MatK(n). 1) NÕu A cã mét dßng b»ng 0, th× det A =0. 2) NÕu A cã hai dßng b»ng nhau hoÆc tØ lÖ, th× det A =0. 3) NÕu thªm vµo mét dßng nµo ®ã cña A víi mét béi cña mét dßng kh¸c th× ®Þnh thøc kh«ng thay ®æi. MÖnh ®Ò 11. Cho A ∈ MatK(n). Khi ®ã 1) det AB = det A det B. 2) NÕu A kh¶ nghÞch, th× det(A−1) = (det A)−1. n Chøng minh. 1) Gi¶ sö A =(aij), B =(bij), AB =(cij ), cij = X aikbkj. Gäi k=1 Ci lµ dßng thø i cña AB vµ Bi lµ dßng thø i cña B. Khi ®ã n Ci = ai1B1 + ai2B2 + ···ainBn = X aikBk. k=1 Suy ra n n det AB = det(C1, ,Cn)=det X aik1 Bk1 , ,X aikn Bkn k1=1 kn=1 = X aik1 ···aikn det(Bk1 , ,Bkn ) (do MÖnh ®Ò 10) 1≤k1, ,kn≤n n = X aik1 ···aikn det(Bk1 , ,Bkn ) (do HÖ qña 1) 1≤k1, ,kn≤n ki=6 kj ,∀i=6 j = X a1σ(1) ···anσ(n) det(Bσ(1), ,Bσ(n)) σ∈Sn = X (σ)a1σ(1) ···anσ(n) det(B1, ,Bn) = det A det B. σ∈Sn −1 −1 2) Tõ 1) ta cã det A det A = det(A A) = det In =1. Suy ra 2). 2
42 2.5 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc 2.5.1 C«ng thøc khai triÓn theo dßng, cét Cho A =(aij) ∈ MatK(n). §Æt I =(i1,i2, ,ik) vµ J =(j1,j2, ,jk) lµ c¸c bé chØ sè trong {1, 2, ,n} theo thø tù t¨ng dÇn. Gäi AIJ lµ ma trËn con cña A ˜ t¹o bëi giao cña k dßng i1,i2, ,ik vµ k cét j1,j2, ,jk vµ AIJ lµ ma trËn con cña A cã ®−îc b»ng c¸ch xãa ®i k dßng i1,i2, ,ik vµ k cét j1,j2, ,jk. Trong tr−êng hîp riªng, khi k =1, i = i1, j = j1, th× AIJ = aij vµ viÕt A˜IJ = A˜ij. MÖnh ®Ò 12. Cho A =(aij) ∈ MatK(n). Khi ®ã, ta cã n i+j 1) C«ng thøc khai triÓn theo dßng i: det A = X(−1) aij det A˜ij. j=1 n i+j 2) C«ng thøc khai triÓn theo cét j: det A = X(−1) aij det A˜ij. i=1 Chøng minh. Do MÖnh ®Ò 8, chØ cÇn chøng minh c«ng thøc khai triÓn theo dßng. Gäi ei =(0, ,1, 0) vµ ai lµ dßng thø i cña A. Khi ®ã det A = det(a1, ,ai−1,ai,ai+1, ,an) n = det(a1, ,ai−1, X aijej,ai+1, ,an) j=1 n = X aij det(a1, ,ai−1,ej,ai+1, ,an). j=1 0 §Ó ý r»ng, cã thÓ ®ång nhÊt Sn−1 víi Sn = {σ ∈ Sn | σ(n)=n}⊂Sn, b»ng c¸ch xem mçi ho¸n vÞ σ = σ(1)σ(2) σ(n − 1) ∈ Sn−1 lµ ho¸n vÞ γ = σ(1)σ(2) σ(n − 1)n ∈ Sn. H¬n n÷a, khi ®ång nhÊt nh− thÕ, ký sè cña ho¸n vÞ kh«ng thay ®æi. Tõ ®ã det(a1, ,ai, ,an−1,en)=X (γ)a1γ(1)a2γ(2) ···a(n−1)γ(n−1) 0 γ∈Sn ˜ = X (γ)a1γ(1)a2γ(2) ···a(n−1)γ(n−1) = det Ann. σ∈Sn−1 §Ó tÝnh det(a1, ,ai−1,ej,ai+1, ,an), ta chuyÒn dßng i vÒ dßng cuèi (tøc lµ ®æi chç hai dßng liªn tiÕp n − i lÇn), cét j vÒ cét cuèi (tøc lµ ®æi chç hai cét liªn tiÕp n − j lÇn), råi ¸p dông ®iÒu trªn ta cã (n−i)+(n−j) ˜ ij ˜ det(a1, ,ai−1,ej,ai+1, ,an)=(−1) det Aij =(−1) det Aij.
43 Tõ ®ã, suy ra c«ng thøc cÇn chøng minh. 2 Ta nªu c«ng thøc Laplace sau ®©y lµ mét d¹ng tæng qu¸t cña c¸c c«ng thøc khai triÓn theo dßng, cét ë trªn, mµ kh«ng tr×nh bµy chøng minh. §Þnh lý 1. (Laplace) Cho A =(aij) ∈ MatK(n) vµ k ∈{1, 2 ,n}. Khi ®ã, N(I,J) det A = X (−1) det AIJ det A˜IJ I=(i1, ,ik) i1<···<ik N(I,J) ˜ = X (−1) det AIJ det AIJ, J=(j1, ,jk ) j1<···<jk trong ®ã, N(I,J)=(i1 + ···+ ik)+(j1 + ··· + jk), nÕu I =(i1, ,ik) vµ J =(j1, ,jk). VÝ dô. 1) TÝnh ®Þnh thøc cÊp 4 sau ®©y 1234 0043 D = . 3412 0032 C¸ch 1. Khai triÓn theo dßng 2 124 123 D = −4 342 +3341 . 002 003 Khai triÓn theo dßng 3 c¸c ®Þnh thøc cÊp 3 trong vÕ ph¶i ta cã 12 12 D =(−4)(2) + (3)(3) =(−4)(2)(−2) + (3)(3)(−2) = −2. 34 34 C¸ch 2. Khai triÓn theo cét 1 043 234 D = 412 +3043 . 032 032 Khai triÓn theo cét 1 c¸c ®Þnh thøc cÊp 3 trong vÕ ph¶i ta cã 43 43 D = −4 + (3)(2) =(−4)(−1) + (3)(2)(−1) = −2. 32 32
44 C¸ch 3. Sö dông c«ng thøc Laplace theo dßng 2 vµ 3 43 12 D =(−1)2+4+3+4 = −(−1)(−2) = −2. 32 34 2) Cho ma trËn vu«ng B d¹ng chia khèi   B1 ∗   B =  B2   0     B  k , trong ®ã, Bi lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp mi. ¸p dông c«ng thøc Laplace, tr−íc hÕt víi m1 cét ®Çu cña B ta cã  B  2 ∗   det B = det B1  B3   0     B  k , råi sau ®ã qui n¹p ta ®−îc det B = det B1 det B2 ···det Bk. 2.5.2 Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc Nhê c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®Þnh thøc, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp, cã thÓ lµm ®Þnh thøc trë nªn dÔ tÝnh h¬n, ch¼ng h¹n lµm cho xuÊt hiÖn nhiÒu sè 0 ë mçi dßng hay cét råi sö dông c«ng thøc khai triÓn theo c¸c dßng hay cét ®ã. §Æc biÖt, nÕu ®−a ®−îc ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c, th× viÖc tÝnh ®Þnh thøc trë nªn rÊt ®¬n gi¶n. VÝ dô. 1) TÝnh ®Þnh thøc cÊp 4 sau ®©y xaaa axaa D = . aaxa aaax
45 Céng dßng 1 víi c¸c dßng cßn l¹i x +3ax+3ax+3ax+3a 1111 axaa axaa D = =(x +3a) . aaxa aaxa aaax aaax Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi D2 − aD1, D3 − aD1, D4 − aD1 ta ®−îc 1111 0 x − a 00 D =(x +3a) =(x +3a)(x − a)3. 00x − a 0 00 0x − a 2) TÝnh ®Þnh thøc Vandermonde cÊp n 1 a a2 an 0 0 0 1 a a2 an 1 1 1 V (a0,a1 ,an)=. . . . . . . . . . . 2 n 1 an a a n n LÊy cét j +1trõ a0×( cét thø j víi), j =0, 1, ,n− 1, b¾t ®Çu tõ cét cuèi, ta ®−îc 10 0 0 1 a − a a (a − a ) an−1(a − a ) 1 0 1 1 0 1 1 0 V (a0,a1 ,an)=. . . . . . . . . . . n−1 1 an − a0 an(an − a0) an (an − a0) Khai triÓn ®Þnh thøc ë vÕ ph¶i theo dßng 1, råi ®−a thõa sè chung cña mçi dßng ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc, ta ®−îc 2 n−1 1 a1 a1 a1 2 n−1 n 1 a2 a a − 2 2 V (a0,a1 ,an)=Q (aj a0) . . . . . j=1 . . . . . . 2 n−1 1 an an an n = Q (aj − a0)V (a1,a2, ,an) j=1 BiÕn ®æi t−¬ng tù cho V (a1,a2, ,an), vµ tiÕp tôc qu¸ tr×nh nµy, ta nhËn ®−îc V (a0,a1 ,an) Y (aj − ai). 0≤i<j≤n
46 2.6 ¸p dông ®Þnh thøc ®Ó tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o Cho A =(aij) ∈ MatK(n). Gäi Aij lµ ma trËn con cña A cã ®−îc b»ng c¸ch xãa i+j dßng i, cét j, vµ ®Æt a˜ij =(−1) det Aij, gäi lµ phÇn phô ®¹i sè cña phÇn tö aij. Ta gäi ma trËn t adj(A)= (˜aij), lµ ma trËn phô hîp cña A. MÖnh ®Ò 13. Ma trËn A =(aij) ∈ MatK(n) kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi det A =06 . Khi ®ã A−1 = (det A)−1adj(A). Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i A−1. Khi ®ã, det A =06 v× −1 −1 det A det A = det(AA )=detIn =1. n n Gi¶ sö det A =06 . Gäi Aadj(A)=(cij). Khi ®ã, cij = X aika˜jk = X aik det Ajk. k=1 k=1 NÕu i = j, th× cij lµ khai triÓn theo dßng j cña ®Þnh thøc cña A,tõ®ãcij = det A. NÕu i =6 j, th× cij lµ khai triÓn theo dßng j cña ®Þnh thøc lËp tõ A b»ng c¸ch thay dßng j bëi dßng i, tøc lµ, cã hai dßng gièng nhau, tõ ®ã nhËn gi¸ trÞ 0. VËy, Aadj(A) = det AIn. T−¬ng tù, còng cã adj(A)A = det AIn. Tõ ®ã, tån t¹i A−1 = (det A)−1adj(A). 2 121 VÝ dô. T×m ma trËn nghÞch ®¶o cu¶ A = 011 . 123 Ta cã, det A =3+2+0− (1 + 2 + 0) = 2. Tõ ®ã, A kh¶ nghÞch. Ta tÝnh c¸c a˜ij. 11 01 01 ˜a11 = =1˜a12 = − =1˜a13 = = −1 23 13 12 21 11 12 ˜a21 = − = −4˜a22 = =2˜a23 = − =0 23 13 12 21 11 12 ˜a31 = =1˜a32 = − = −1˜a33 = =1 11 01 01 Tõ ®ã, 1 −41 1   A−1 = 12−1 2 −101.
47 2.7 H¹ng cña ma trËn §Þnh nghÜa 10. Cho A ∈ MatK(m, n). H¹ng cña A, ký hiÖu rankA, ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau (1) NÕu A = O, th× rankA =0. (2) NÕu A =6 O, th× rankA lµ cÊp cao nhÊt cña c¸c ®Þnh thøc con kh¸c 0 cña A. NhËn xÐt. 1) 0 ≤ rankA ≤ min(m.n). §Æc biÖt, nÕu rankA = min(m, n), th× ta nãi A cã h¹ng cùc ®¹i. 2) NÕu A lµ ma trËn d¹ng bËc thang, th× rankA b»ng sè dßng kh¸c kh«ng cña nã. MÖnh ®Ò 14. H¹ng cña ma trËn kh«ng thay ®æi qua c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp. Chøng minh. Do tÝnh kh¸c kh«ng cña ®Þnh thøc kh«ng thay ®èi qua c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp. 2 NhËn xÐt. Do mÖnh ®Ò trªn, ®Ó tÝnh h¹ng cña ma trËn A ta th−êng dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng ®Ó ®−a A vÒ ma trËn d¹ng bËc thang. 12 3 123 3711589   VÝ dô. T×m h¹ng cña ma trËn A = 15 7 358.   22 4 231 03 4 235 Ta thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æ s¬ cÊp trªn dßng cña A. 12 312 3 123123 d2−2d1 01 222 0 d3−3d2 012220 d3−d1   d2+2d2   A −→ 03 423 5 −→ 00−2 −4 −35 d4−2d1   d4−3d2   0 −2 −20−1 −5 00243−5 03 423 5 00−2 −4 −35 12 3 1 2 3 d4+d3 01 2 2 2 0 d5−d3   −→ 00−2 −4 −35   00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 VËy, rankA =3.
48 2.8 HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 2.8.1 §Þnh nghÜa hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 11. HÖ gåm m ph−¬ng tr×nh, n Èn x1,x2, ,xn, d¹ng a11x1 + a12x2 + ···a1nxn = b1  a21x1 + a22x2 + ···a2nxn = b2  (1)  am1x1 + a12x2 + ···amnxn = bm, trong ®ã, aij,bi ∈ K, i =1, ,m, j =1, ,n lµ c¸c sè cho tr−íc, gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh trªn K. 2.8.2 D¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh NÕu ®Æt a11 a12 a1n  x1 b1  a a a x b  21 22 2n   2  2  A =  . . .  x =  .  b =  .  ,  . . .   .   .        am1 am2 amn xn bm th× hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã thÒ viÕt d−íi d¹ng Ax = b, gäi lµ d¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1). A ®−îc gäi lµ ma trËn hÖ sè cña hÖ. 2.8.3 Ph−¬ng ph¸p khö Gauss ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ph−¬ng ph¸p khö Gauss dùa trªn mÖnh ®Ò ®¬n gi¶n sau ®©y MÖnh ®Ò 15. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp sau ®©y trªn hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng (1) §æi chç hai ph−¬ng tr×nh. (2) Nh©n mét ph−¬ng tr×nh víi mét sè kh¸c kh«ng. (3) Céng mét ph−¬ng tr×nh víi mét béi cña mét ph−¬ng tr×nh kh¸c. NhËn xÐt. ViÖc thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn hÖ ph−¬ng tr×nh Ax = b, thùc chÊt lµ thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp theo dßng trªn ma trËn hÖ sè më réng (A|b).
49 Ph−¬ng ph¸p khö Gauss ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b lµ ph−¬ng ph¸p dïng thuËt to¸n Gauss ®Ó ®−a ma trËn hÖ sè më réng (A|b) vÒ d¹ng (A0|b0), víi A0 cã d¹ng bËc thang, råi gi¶i hÖ A0x = b0 b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ.  x1 + x2 + x3 + x4 =10   x1 +2x2 − x3 + x4 =6 VÝ dô. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  2x1 +3x2 − 3x3 +2x4 =6  3x1 − x2 + x3 − x4 = −1 BiÕn dæi s¬ cÊp theo dßng ma trËn hÖ sè më réng  1111:10  1111:10 d2−d1 12−11:6 d3−2d1 01−20:−4 (A|b)=  −→    23−32:6 d4−3d1  01−50:−13  3 −11−1: −1   0 −4 −2 −4:−30  11 1 1:10  1111:10 d3−d2 (−1/3)d3 d4+4d2 01−20:−4 (−1/2)d4 01−20:−4 −→   −→    00−30:−9   0010:3  00−10 −4:−46  0052:23  1111:10 d4−5d3 01−20:−4 −→    0010:3  0002:8 VËy, hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi  x1 + x2 + x3 + x4 =10 x1 =1  x − 2x = −4 x =2  2 3 ⇐⇒  2 x3 =3 x3 =3    2x4 =8 x4 =4
50 2.8.4 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh Ax = b víi A cã d¹ng bËc thang Gi¶ sö (A|b) cã d¹ng (rankA = r).  b1  . . b2  .   . .   0 . .   . .   . . br   .   000 0 . br+1  . . . . . . .   . . . . . . .   .  000 0 . bm Tr−êng hîp 1: rankA =6 rank(A|b), hÖ v« nghiÖm. Tr−êng hîp 2: rankA = rank(A|b), hÖ cã nghiÖm. Tr−êng hîp 2.1: rankA = rank(A|b)=sè Èn, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Tr−êng hîp 2.2: rankA = rank(A|b) < sè Èn, hÖ cã v« sè nghiÖm. Trong tr−êng hîp hÖ cã v« sè nghiÖm, ®Ó m« t¶ râ d¹ng cña nghiÖm, ta lµm nh− sau: - X¸c ®Þnh r = rankA Èn chÝnh, ®ã lµ c¸c Èn mµ hÖ sè cña nã lËp thµnh ma trËn tam gi¸c trªn víi c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo kh¸c kh«ng. - C¸c Èn cßn l¹i gäi lµ Èn tù do. Sè l−îng Èn tù do gäi lµ bËc tù do cña hÖ. - Cho c¸c Èn tù do nhËn gi¸ trÞ tuú ý trªn K, vµ gi¶i c¸c Èn chÝnh theo c¸c Èn tù do.  x1 + x2 + x3 + x4 =1   x1 +2x2 − x3 + x4 =2 VÝ dô. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  2x1 +3x2 +2x3 +3x4 =3  3x1 +4x2 +3x3 +4x4 =4 BiÕn dæi s¬ cÊp theo dßng ma trËn hÖ sè më réng 1111:1 1111:1 1111:1 d2−d1 d3−d2 1212:2 d3−2d1 0101:1 d4−d2 0101:1 (A|b)=  −→   −→   2323:3 d4−3d1 0101:1 d4−3d1 0000:0 3434:4 0101:1 0000:0 V× rankA = rank(A|b)=2< 4=sè Èn, nªn hÖ cã v« sè nghiÖm. HÖ ®· cho, khi
51 ®ã, t−¬ng ®−¬ng víi x1 = −t1 (x + x + x + x =1 (x + x =1− x − x x =1− t 1 2 3 4 ⇐⇒ 1 2 3 4 ⇐⇒  2 2 x2 + x4 =1 x2 =1− x4 x3 = t1  x4 = t2 2.8.5 T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Cho A ∈ MatK(n). Ta t×m ma trËn X tháa hÖ AX = I. Tøc lµ, gi¶i ®ång thêi n hÖ ph−¬ng tr×nh, n Èn. Sö dông ph−¬ng ph¸p khö Gauss trªn (A|I) ®Ó ®−a A vÒ d¹ng bËc thang. Ta cã biÖn luËn sau NÕu rankA<n, tøc lµ, ma trËn bËc thang cã Ýt nhÊt mét dßng b»ng kh«ng, th× A kh«ng kh¶ nghÞch. NÕu rankA = n, th× dïng phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp dßng ®Ó ®−a (A|I) vÒ d¹ng (I|B). Khi ®ã A kh¶ nghÞch vµ A−1 = B. 121 VÝ dô. T×m ma trËn nghÞch ®¶o cu¶ A = 011 . 123 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng cña ma trËn (A|I) 121:100 121: 1 0 0 (A|I)= 011:010 d−→3−d1 011: 0 1 0 . 123:001 002:−101 3 1 120: 0 −  2 2 1 121: 1 0 0   d3   d2−d3   2 d1−d3  1 1 −→ 011: 0 1 0 −→ 010: 1 −   1 1  2 2 001:− 0    2 2    1 1 001:− 0  2 2
52 1 1 1 1 100: −2 −   −2 −  2 2 2 2         d1−2d2  1 1 −  1 1 −→ 010: 1 −  =⇒ A 1 =  1 −   2 2  2 2          1 1  1 1 001:− 0  − 0  2 2 2 2 2.8.6 HÖ Cramer §Þnh nghÜa 12. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b, gäi lµ hÖ Cramer nÕu vµ chØ nÕu A lµ ma trËn vu«ng vµ det A =06 . MÖnh ®Ò 16. HÖ Cramer Ax = b, A ∈ MatK(n), cã nghiÖm duy nhÊt. C¸c thµnh phÇn cña nghiÖm ®−îc cho bëi c«ng thøc det A x = i ,i=1, 2, ,n, i det A trong ®ã Ai lµ ma trËn cã ®−îc tõ A b»ng c¸ch thay cét i bëi cét b. Chøng minh. Râ rµng hÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt 1 x = A−1b = Adj(A) · b. det A Suy ra n n k+i xi det A = X ˜akibk = X(−1) det Akibk. k=1 k=1 Tæng cuèi trong ®»ng thøc trªn chÝnh lµ c«ng thøc khai triÓn det Ai theo cét i.2 VÝ dô. T×m ®a thøc bËc hai P (x)=a + bx + cx2, biÕt r»ng P (1) = 1, P (2) = 3, P (3) = 7. §iÒu kiÖn ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi  a + b + c =1   a +2b +4c =3  a +3b +9c =7 §©y lµ hÖ Cramer v× ®Þnh thøc cña ma trËn hÖ sè lµ ®Þnh thøc Vandermonde 11 1 1222 =(2− 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2 =06 . 1332
53 Tõ ®ã, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 111 111 111 1 1 1 a = 324 =1,b= 134 = −1,c= 123 =1. 2 2 2 739 179 137 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ P (x)=1− x + x2.
55 III. Kh«ng gian vector 1 Kh«ng gian vector 1.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô §Þnh nghÜa 1. Cho K lµ tr−êng sè, V lµ tËp hîp kh¸c ∅ vµ hai phÐp to¸n trªn V phÐp céng +:V × V −→ V (x, y) 7−→ x + y phÐp nh©n víi sè · : K × V −→ V (α, x) 7−→ αx Bé ba (V,+, ·) gäi lµ mét kh«ng gian vector hay kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn K nÕu c¸c phÐp to¸n tháa c¸c tiªn ®Ò sau víi mäi x, y, z ∈ V , α, β ∈ K (V 1) x + y = y + x (tÝnh giao ho¸n) (V 2) (x + y)+z = x +(y + z)(tÝnh kÕt hîp) (V 3) ∃ O ∈ V : x + O = x (O gäi lµ vector kh«ng) (V 4) ∃−x ∈ V : −x + x = O (−x gäi lµ vector ®èi cña x) (V 5) (α + β)x = αx + βx (V 6) α(x + y)=αx + αy (V 7) (αβ)x = α(βx) (V 8) 1x = x Mçi phÇn tö x ∈ V gäi lµ vector. Ta gäi x + y lµ tæng cña x vµ y.Do(V 2) ta cã thÓ ®Þnh nghÜa tæng cña k vector: k X xi = x1 + x2 + ···+ xk =(x1 + x2 + ···+ xk−1)+xk. i=1 Tæng nµy kh«ng phô thuéc vµo thø tù c¸c h¹ng tö do (V 1). Tæng x +(−y) cßn ®−îc viÕt lµ x − y vµ gäi lµ hiÖu cña x vµ y. NÕu K = R (t−¬ng øng: C) th× V gäi lµ kh«ng gian vector thùc (t−¬ng øng: phøc). VÝ dô. 1) TËp hîp c¸c vector tù do trong kh«ng gian víi phÐp céng c¸c vector vµ phÐp nh©n vector víi sè thùc lµ mét kh«ng gian vector thùc. 2) Kh«ng gian vector MatK(m, n) víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n ma
56 trËn víi mét sè. 3) Kh«ng gian n K = {x =(x1,x2, ,xn) | xi ∈ K,i=1, ,n}, víi phÐp céng vµ phÐp nh©n víi sè ®−îc ®Þnh nghÜa nh− d−íi ®©y víi mäi x = n (x1,x2, ,xn),y =(y1,y2, ,yn) ∈ K ,vµα ∈ K: x + y =(x1 + y1,x2 + y2, ,xn + yn), αx =(αx1,αx2, ,αxn). 4) Kh«ng gian c¸c ®a thøc hÖ sè trªn K, ký hiÖu K[x], víi phÐp céng hai ®a thøc vµ phÐp nh©n ®a thøc víi sè. MÖnh ®Ò 1. Cho V lµ mét kh«ng gian vector trªn K. Khi ®ã 1) Vector kh«ng O lµ duy nhÊt. 2) Vecor ®èi lµ duy nhÊt. 3) Trong V cã luËt gi¶n −íc: a + b = a + c =⇒ b = c. 4) αx = O ⇐⇒ α =0hoÆc x = O. 5) −(αx)=(−α)x = α(−x). Chøng minh. 1) Gi¶ sö cã hai vector kh«ng O1 vµ O2. Khi ®ã (V 3) (V 3) O1 = O1 + O2 = O2. 2) Gi¶ sö vector x cã hai vector ®èi x0 vµ x00. Khi ®ã (V 3) (V 4) (V 2) (V 4) (V 3) x0 = x0 + O = x0 +(x + x00) =(x0 + x)+x00 = O + x00 = x00. 3) a + b = a + c =⇒−a +(a + b)=−a +(a + c) (V 2) =⇒ (−a + a)+b =(−a + a)+c (V 4) (V 3) =⇒ O + b = O + c =⇒ b = c. 4) ” ⇐ ” (V 6) (3) αO = α(O + O) = αO + αO =⇒ αO = O. (V 5) (3) 0x = (0 + 0)x =0x +0x =⇒ 0x = O. ” ⇒ ” Gi¶ sö αx = O vµ α =06 . Khi ®ã (V 8) (V 3) (V 7) x =1· x =(α−1α)x = α−1(αx)=α−1O = O.
57 5) Suy ra tõ (V 5) (4) αx +(−α)x =(α +(−α))x =0x = O (V 6) (4) αx + α(−x) = α(x +(−x)) = αO = O. 2 1.2 Kh«ng gian vector con §Þnh nghÜa 2. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K. Mét tËp hîp con kh¸c rçng W cña V ®−îc gäi lµ kh«ng gian vector con cña V nÕu (1) x + y ∈ W , víi mäi x, y ∈ W . (2) αx ∈ W , víi mäi α ∈ K, x ∈ W . NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (1) vµ (2) t−¬ng ®−¬ng víi ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ W =⇒ αx + βy ∈ W. 2) Mäi kh«ng gian vector con ®Òu chøa vector O. VÝ dô. 1) Mäi kh«ng gian vector V ®Òu chøa hai kh«ng gian vector con tÇm th−êng lµ {O} vµ V . 2) TËp con Kn[x]={P ∈ K[x] | deg P ≤ n} lµ kh«ng gian vector con cña K[x]. 3) TËp nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh Ax =0, A ∈ MatK(m, n), lµ kh«ng gian vector con cña Kn. MÖnh ®Ò 2. Giao cña mét hä kh«ng gian vevctor con lµ kh«ng gian vector con Chøng minh. Gi¶ sö {Wi}i∈I lµ mét hä c¸c kh«ng gian vector con cña V . XÐt mäi α, β ∈ K,vµx, y ∈∩Wi. Khi ®ã, αx + βy ∈ Wi, ∀i ∈ I. Tøc lµ, i∈I αx + βy ∈∩Wi. 2 i∈I NhËn xÐt. Hîp hai kh«ng gian vector con nãi chung kh«ng lµ kh«ng gian vector con. VÝ dô, W1 = {(x, 0) | x ∈ R}, W2 = {(0,y) | y ∈ R} lµ hai kh«ng gian 2 vector con cña R . Nh−ng W1 ∪ W2 = {(0,x), (y,0) | x, y ∈ R} kh«ng lµ kh«ng gian vector con cña R2. 1.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp §Þnh nghÜa 3. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V . Kh«ng gian con L(A) cña V ®−îc x¸c ®Þnh bëi L(A):=\{W | W lµ kh«ng gian con cña V chøa A}
58 gäi lµ lµ kh«ng gian con cña V sinh bëi tËp A. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa cña L(A) ta thÊy ngay r»ng a) A ⊆ L(A) vµ b) L(A) ⊆ W , víi mäi kh«ng gian con W chøa A. Nh− vËy L(A) lµ kh«ng gian con nhá nhÊt cña V chøa A. MÖnh ®Ò 3. NÕu V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V , th× L(A)= X xiai | xi ∈ K vµ chØ cã h÷u h¹n xi =06 . ai∈A §Æc biÖt, nÕu A = {a1,a2, ,an}, th× n L(A)=L(a1,a2, ,an)= X xiai | xi ∈ K . i=1 Chøng minh. Gäi H lµ vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn. NÕu x, y ∈ H vµ α, β ∈ K, th× râ rµng αx + βy ∈ H. VËy H lµ kh«ng gian con cña V .V×H hiÓn nhiªn chøa A nªn theo nhËn xÐt ë trªn ta cã L(A) ⊆ H. Ng−îc l¹i, nÕu x ∈ H, th× x = X xiai, víi h÷u h¹n xi =06 . Tõ ®ã, x thuéc mäi ai∈A kh«ng gian vector con cña V chøa A, tøc lµ, x ∈ L(A). VËy, H ⊆ L(A). 2 1.4 C¬ së- Sè chiÒu- Täa ®é Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V . NÕu V = L(A) th× ta nãi kh«ng gian V ®−îc sinh bëi A hay A lµ hÖ sinh cña V . Kh«ng gian V gäi lµ h÷u h¹n chiÒu nÕu nã cã hÖ sinh h÷u h¹n. Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i gäi lµ v« h¹n chiÒu. tõ ®©y trë vÒ sau, ta chØ h¹n chÕ xÐt c¸c kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu. 1.4.1 §éc lËp tuyÕn tÝnh-Phô thuéc tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 4. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K. Vector x ∈ V gäi lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh hay biÓu diÔn tuyÕn tÝnh cña hÖ vector a1,a2, ,an, nÕu x cã d¹ng x = x1a1 + x2a2 + ···+ xnan, trong ®ã x1, ,xn ∈ K.
59 HÖ vector a1,a2, ,an ∈ V gäi lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu tån t¹i c¸c sè x1,x2 ,xn ∈ K kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho x1a1 + x2a2 + ···+ xnan = O. HÖ vector a1,a2, ,an ∈ V gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu nã kh«ng phô thuéc tuyÕn tÝnh, tøc lµ x1a1 + x2a2 + ···+ xnan = O =⇒ x1 = x2 = = xn =0. n NhËn xÐt. 1) Cho a1, ,an,x∈ K . Khi ®ã, x lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña a1, ,an ⇐⇒ HÖ x1a1 + ···+ xnan = x cã nghiÖm. HÖ a1, ,an phô thuéc tuyÕn tÝnh ⇐⇒ HÖ x1a1 + ···+ xnan = O cã nghiÖm kh¸c kh«ng ⇐⇒ det(a1 a2 an)=0. HÖ a1, ,an déc lËp tuyÕn tÝnh ⇐⇒ HÖ x1a1 + ···+ xnan = O chØ cã nghiÖm kh«ng ⇐⇒ det(a1,a2, ,an) =06 . 2) HÖ a1, ,an phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi trong hÖ cã mét vector lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vector cßn l¹i. 3) Mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh kh«ng thÓ chøa vector O. 4) Mét hÖ con cña mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 1.4.2 C¬ së §Þnh nghÜa 5. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K. TËp B⊂V gäi lµ c¬ së cña V nÕu (1) B lµ hÖ sinh cña V , tøc lµ V = L(B). (2) B lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. VÝ dô. 1) Kn cã c¬ së e1 =(1, 0, 0, ,0),e2 =(0, 1, 0, ,0), , en =(0, 0, ,0, 1), gäi lµ c¬ së chÝnh t¾c cña K. 2 n 2) Kn[x] cã c¬ së lµ hÖ c¸c ®¬n thøc {1,x,x , ,x }. 3) MatK(m, n) cã c¬ së chÝnh t¾c {Eij ,i=1, 2, ,m; j =1, 2, ,n}, trong ®ã Eij lµ m × n−ma trËn mµ phÇn tö ë dßng i cét j b»ng 1, c¸c phÇn tö kh¸c b»ng 0.
60 §Þnh lý 1. Cho V =6 {O} lµ kh«ng gian vector trªn K. Khi ®ã 1) Tån t¹i mét c¬ së cña V . 2) Mäi c¬ së cña V ®Òu cã cïng sè l−îng vector. Chøng minh. 1) Gi¶ sö V cã hÖ sinh h÷u h¹n A = {a1,a2, ,an}. NÕu A ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× A lµ c¬ së. NÕu A kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× tån t¹i ai lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vector cßn l¹i trong A. §Æt A1 = A \{ai}, khi ®ã, A1 lµ hÖ sinh cña V . LËp l¹i lý luËn trªn cho A1. Sau mét sè h÷u h¹n (<n) b−íc, ta cã c¬ së B⊂A. 2) ViÖc chøng minh 2) suy ra tõ bæ ®Ò sau Bæ ®Ò 1. NÕu B = {e1,e2, ,en} lµ c¬ së cña V vµ f1,f2, ,fm lµ mét hÖ vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× m ≤ n. Chøng minh Bæ ®Ò 1.Dof1 ∈ L(e1,e2, ,en), f1 = x1e1 + x2e2 + ···+ xnen. V× f1 =6 O, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ thiÕt x1 =06 . Khi ®ã 1 x2 xn e1 = f1 − e2 −···− en. x1 x1 x1 Suy ra, L(e1,e2, ,en)=L(f1,e2, ,en). Do f2 ∈ L(f1,e2, ,en), f2 = y1f1 + y2e2 + ···+ ynen.V×f1, f2 ®éc lËp tuyÕn tÝnh, nªn tån t¹i i ≥ 2 sao cho yi =06 . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gØa thiÕt y2 =06 . Khi ®ã 1 y1 y3 yn e2 = f2 − f1 − e2 −···− en. y2 y2 y2 y2 Suy ra, L(e1,e2, ,en)=L(f1,f2,e3, ,en). TiÕp tôc lËp luËn t−¬ng tù, ë b−íc thø k ta sÏ thay thÕ ®−îc f1, ,fk vµo B ®Ó ®−îc kÕt qu¶ L(e1,e2, ,en)=L(f1, ,fk,ek+1, ,en). Ta ph¶i cã m ≤ n, v× nÕu kh«ng, ë b−íc thø n, ta nhËn ®−îc V = L(e1,e2, ,en)=L(f1,f2, ,fn) vµ fn+1 ∈ L(f1,f2, ,fn). §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña f1,f2, ,fm. 2 §Þnh nghÜa 6. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K. Sè chiÒu cña V , ký hiÖu dimKV , ®−îc x¸c ®Þnh bëi (sè vector trong mét c¬ së cña V nÕu V =6 {O}, dimKV = 0 nÕu V = {O}.
61 n VÝ dô. 1) dimKK = n. 2) dimKMatK(m, n)=m × n. 3) dimKKn[x]=n +1. 4) dimRC =2(víi c¬ së {1,i}). MÖnh ®Ò 4. Cho V lµ kh«ng gian vector n chiÒu trªn K. Khi ®ã 1) Mäi hÖ trong V gåm nhiÒu h¬n n vector ®Òu phô thuéc tuyÕn tÝnh. 2) Mäi hÖ trong V gåm n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh ®Òu lµ c¬ së. 3) Mäi hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V gåm Ýt h¬n n vector ®Òu cã thÓ bæ sung thµnh mét c¬ së. 4) NÕu W lµ kh«ng gian vector con cña V , th× dimW ≤ dimV , vµ dÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi W = V . Chøng minh. 1) Suy ra tõ Bæ ®Ò 1 trong chøng minh cña MÖnh ®Ò 1. 2) Gi¶ sö B = {e1,e2, ,en} lµ mét hÖ n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V . Ta chØ 0 ra B lµ hÖ sinh cña V . ThËt vËy, víi mäi vector x ∈ V ,hÖB = {e1,e2, ,en,x} gåm n +1 vector nªn phô thuéc tuyÕn tÝnh. Do e1, ,en ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn x biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B. 3) Gi¶ sö B0 = {e1,e2, ,em} lµ mét hÖ m vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V , m<n.V×B0 kh«ng lµ hÖ sinh cña V nªn ph¶i cã Ýt nhÊt mét vector em+1 =6 O trong V kh«ng biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B0. Khi ®ã, nhËn ®−îc hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh B1 = {e1,e2, ,em,em+1}. NÕu n = m +1, th× theo 2), B1 lµ c¬ së. NÕu m +1<n, tu¬ng tù trªn, cã mét vector em+2 =6 O trong V kh«ng biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B1 vµ nhËn ®−îc hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh B2 = {e1,e2, ,em,em+1,em+2}. TiÕp tôc lËp luËn nh− trªn, sau n − m b−íc, ta nhËn ®−îc c¬ së Bn−m cña V chøa B0. 4) Gi¶ sö dimW = m, tøc lµ, W cã c¬ së lµ mét hÖ gåm m vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong W ⊂ V . Tõ Bæ ®Ò 1 trong chøng minh cña MÖnh ®Ò 1, suy ra m ≤ n = dimV . NÕu dimW = dimV , th× mét c¬ së B cña W còng lµ c¬ së cña V . Tõ ®ã, W = L(B)=V . 2 MÖnh ®Ò 5. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ B = {e1,e2, ,en} lµ mét hÖ vector trong V . Khi ®ã, hai ®iÒu sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng 1) B lµ c¬ së cña V . 2) Mäi vector x ∈ V ®Òu cã biÓu diÔn duy nhÊt x = x1e1 + x2e2 + ···+ xnen.
62 Chøng minh. 1) ⇒ 2). ViÖc x lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña e1,e2, ,en lµ do B lµ hÖ sinh. TÝnh duy nhÊt cña x1,x2, ,xn lµ do B ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 2) ⇒ 1. HiÓn nhiªn, B lµ hÖ sinh cña V . Gi¶ sö x1e1 + x2e2 + ···+ xnen = O. MÆt kh¸c, 0e1 +0e2 + ···+0en = O.DoO ∈ V cã biÔu diÔn duy nhÊt, suy ra x1 = x2 = = xn =0VËy, hÖ B ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 2 1.4.3 Täa ®é §Þnh nghÜa 7. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ B =(e1,e2, ,en) lµ c¬ së ®−îc s¾p thø tù cña V . Khi ®ã, theo MÖnh ®Ò 5, víi mäi x ∈ V , tån t¹i n duy nhÊt (x1,x2, ,xn) ∈ K sao cho x = x1e1 + x2e2 + ···+ xnen. Ký hiÖu, n xB =(x1,x2, ,xn) ∈ K , vµ gäi lµ täa ®é cña vector x theo c¬ së B. Ta còng th−êng viÕt xB d−íi d¹ng ma trËn dßng hoÆc cét x1 x  2 xB = x1 x2 xn =  .  .  .    xn MÖnh ®Ò 6. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ B =(e1,e2, ,en) lµ c¬ së V . Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ V , α ∈ K, ta cã (x + y)B = xB + yB vµ (αx)B = αxB. Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ ®Þnh nghÜa. 2 NhËn xÐt. Khi cè ®Þnh mét c¬ së B cña mét kh«ng gian vector n chiÒu V trªn K, ta cã t−¬ng øng 1 − 1: V −→ K, x 7−→ xB. Bëi MÖnh ®Ò trªn, phÐp t−¬ng øng nµy cho phÐp ®−a viÖc tÝnh to¸n trªn V vÒ tÝnh to¸n trªn Kn. 2 Tæng- TÝch- Th−¬ng c¸c kh«ng gian vector 2.1 Tæng c¸c kh«ng gian con- Tæng trùc tiÕp §Þnh nghÜa 8. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ V1,V2, ,Vs lµ c¸c kh«ng gian vector con cña V . Khi ®ã, ký hiÖu s X Vi = V1 + ···+ Vs = {x = x1 + ···+ xs | xi ∈ Vi,i=1, ,s}, i=1
63 vµ gäi lµ tæng cña c¸c kh«ng gian con V1,V2, ,Vs. s Tæng trªn gäi lµ tæng trùc tiÕp, ký hiÖu V1 ⊕···⊕Vs = ⊕ , nÕu i=1 Vj ∩ X Vi = {O}, ∀j ∈{1, ,s}. i=6 j MÖnh ®Ò 7. Tæng V1 + ···+ Vs lµ tæng trùc tiÕp khi vµ chØ khi víi mäi vector s x ∈ X Vi, cã biÓu diÔn duy nhÊt x = x1 + + xs, víi xi ∈ Vi. i=1 s s Chøng minh. Gi¶ sö x = X xi = X yi, víi xi,yi ∈ Vi. Khi ®ã, víi mäi i=1 i=1 j ∈{1, ,s} ta cã xj − yj = X(yi − xi) ∈ Vj ∩ X Vi = {0}. Suy ra xj = yj. i=6 j i=6 j Ng−îc l¹i, gi¶ sö x ∈ Vj ∩ X Vi. Khi ®ã, ta cã x = xj = X xi. Tõ ®ã, x cã i=6 j i=6 j c¸c biÓu diÔn x = O + ···+ O + xj + O + ···+ O = x1 + ···+ xj−1 + O + xj+1 + ···+ xs. Do tÝnh duy nhÊt, ta cã x1 = x2 = = xs = O. Tøc lµ, x = O. VËy, Vj ∩ X Vi = {O}. 2 i=6 j MÖnh ®Ò 8. Víi mçi kh«ng gian con V1 cña V tån t¹i kh«ng gian con V2 sao cho V = V1 ⊕ V2. Khi ®ã, V2 ®−îc gäi lµ phÇn bï ®¹i sè cña V1. Chøng minh. Gäi B1 lµ mét c¬ së cña V1. Bæ sung B1 ®Ó cã c¬ së B cña V . Khi ®ã, V2 = L(B\B1) lµ phÇn bï ®¹i sè cña V1. 2 NhËn xÐt. PhÇn bï ®¹i sè cña V1 kh«ng duy nhÊt, tuy nhiªn, mÖnh ®Ò sau ®©y cho thÊy chiÒu cña mäi phÇn bï ®¹i sè lµ nh− nhau. Ta gäi chiÓu cña phÇn bï ®¹i sè cña V1 lµ ®èi chiÒu cña V1 trong V , vµ ký hiÖu codim(V1). MÖnh ®Ò 9. Cho V lµ mét kh«ng gian vector vµ V1, V2 lµ c¸c kh«ng gian con cña V . Khi ®ã dim(V1 + V2)=dim(V1)+dim(V2) − dim(V1 ∩ V2). Suy ra, dim(V )=dim(V1)+codim(V1).
64 Chøng minh. Gäi {a1, ,am} lµ c¬ së cña (V1 ∩ V2). Bæ sung vµo c¬ së nµy ®Ò cã c¸c c¬ së cña V1, V2 lÇn l−ît lµ {a1, ,am,b1, ,bn1 } vµ {a1, ,am,c1, ,cn2 }. Ta sÏ chøng minh B = {a1, ,am,b1, ,bn1 ,c1, ,cn2 } lµ c¬ së cña V1 + V2. Râ rµng B lµ hÖ sinh cña V1 + V2. §Ó chØ ra B ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ta xÐt m n1 n2 X αiai + X βjbj + X γkck =0. i=1 j=1 k=1 n2 m n1 Suy ra X γkck = − X αiai − X βjbj ∈ V1 ∩ V2 = L(a1, ,am). k=1 i=1 j=1 ∈ | {zV2 } | ∈{zV1 } n2 m m n1 (1) (2) VËy X γkck = X δsas = − X αiai − X βjbj. k=1 s=1 i=1 j=1 Tõ (1), do {a1, ,am,c1, ,cn2 } ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ta cã (γk =0,k=1, ,n2 (3) δs =0,s=1, ,m (4) Tõ (2) vµ (4), do {a1, ,am,b1, ,bn1 } ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ta cã (βj =0,j=1, ,n1 (5) αi =0,i=1, ,m (6) Tõ (3), (5), (6) suy ra B ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 2 2.2 TÝch c¸c kh«ng gian vector §Þnh nghÜa 9. Cho V1, ,Vs lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K. TÝch cña c¸c Vi, s ký hiÖu QVi = V1 ×···×Vs, lµ kh«ng gian vector i=1 V1 ×···×Vs = {(x1, ,xs) | xi ∈ Vi,i=1, ,s}, víi phÐp céng vµ phÐp nh©n ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: (x1, ,xs)+(y1, ,ys)=(x1+y1, ,xs+ys) α(x1, ,xs)=(αx1, ,αxs).
65 MÖnh ®Ò 10. Cho V1, ,Vs lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K. Khi ®ã s s dimYVi = X dimVi. i=1 i=1 Chøng minh. Ta chøng minh cho s =2. Tr−êng hîp tæng qu¸t t−¬ng tù. NÕu e1, ,en lµ c¬ së cña V1 vµ f1, ,fm lµ c¬ së cña V2, th× dÔ kiÓm tra (e1,O), ,(en,O), (O, f1), ,(O, fm) lµ c¬ së cña V1 × V2. 2 2.3 Kh«ng gian th−¬ng Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ W lµ kh«ng gian vector con cña V . Trªn V xÐt quan hÖ ®ång d− modulo W nh− sau x, y ∈ V, x ≡ y(modW ) ⇐⇒ x − y ∈ W. DÔ kiÓm tra ®©y lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn V , nã ph©n ho¹ch V thµnh c¸c líp t−¬ng ®−¬ng [x]=x + W = {y ∈ V | y ≡ x(modW )}. Trªn tËp th−¬ng V/W = {[x],x∈ V } x¸c ®Þnh phÐp céng vµ phÐp nh©n nh− sau [x]+[y]=[x + y],α[x]=[αx]. C¸c phÐp to¸n ®−îc ®Þnh nghÜa ®óng ®¾n, tøc lµ kh«ng phô thuéc vµo phÇn tö ®¹i diÖn. ThËt vËy nÕu [x]=[x0], [y]=[y0], th× x − x0, y − y0 ∈ W .DoW lµ kh«ng gian con, ta cã (x + y) − (x0 + y0)=(x − x0)+(y − y0) ∈ W vµ αx − αx0 = α(x − x0) ∈ W. Tõ ®ã, suy ra [x + y]=[x0 + y0], [αx]=[αx0]. DÔ kiÓm chøng hai phÐp to¸n trªn V/W tháa 8 tiªn ®Ò cña kh«ng gian vector, trong ®ã vector kh«ng lµ [O]=W . Kh«ng gian V/W, khi ®ã, gäi lµ kh«ng gian th−¬ng cña V theo W . §Þnh lý 2. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn K vµ W lµ kh«ng gian vector con cña V . Khi ®ã dimV/W = dimV − dimW = codimW. Chøng minh. Gäi e1, ,em lµ c¬ së cña phÇn bï ®¹i sè cña W . Khi ®ã, [e1], ,[em] lµ c¬ së cña V/W. ThËt vËy, mäi x ∈ V , cã biÓu diÔn duy nhÊt x = x1e1 + ···+ xmem + y, víi y ∈ W .Tacã[y]=[O] ∈ V/W , suy ra mäi [x] ∈ V/W cã biÓu diÔn duy nhÊt [x]=x1[e1]+···+ xm[em]. 2
66 3 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 3.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 10. Cho V ,V 0 lµ hai kh«ng gian vector trªn tr−êng sè K. ¸nh x¹ f : V −→ V 0 gäi lµ K- tuyÕn tÝnh nÕu víi mäi x, y ∈ V,α ∈ K ta cã (L1) f(x + y)=f(x)+f(y), (L2) f(αx)=αf(x). 0 0 Ta ký hiÖu LK(V,V ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ V vµo V vµ ®Æt LK(V )=LK(V,V ). NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (L1) vµ (L2) t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiÖn sau (L) f(αx + βy)=αf(x)+βf(y), ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K. 0 2) LK(V,V ) còng cã cÊu tróc kh«ng gian vector trªn K, víi phÐp c«ng ¸nh x¹ vµ phÐp nh©n anh x¹ víi sè th«ng th−êng 0 (f + g)(x)=f(x)+g(x) vµ (αf)(x)=αf(x), ∀f,g ∈LK(V,V ),α∈ K. 0 VÝ dô. 1) ¸nh x¹ kh«ng O : V −→ V , O(x)=O vµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt idV lµ c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. n m 2) Víi A ∈ MatK(m, n), ¸nh x¹ LA : K −→ K , LA(x)=Ax, lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. §Æc biÖt λ1 0 A = =⇒ LA lµ phÐp co d·n c¸c trôc. 0 λ2 10 A = =⇒ L lµ phÐp ®èi xøng qua trôc Ox . 0 −1 A 1 −10 A = =⇒ L lµ phÐp ®èi xøng qua trôc Ox . 01 A 2 −10 A = =⇒ L lµ phÐp ®èi xøng gèc O. 0 −1 A 0 00 0 MÖnh ®Ò 11. Cho V ,V , V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈LK(V,V ), 0 00 g ∈LK(V ,V ). Khi ®ã 0 1) f(OV )=OV 0 , trong ®ã OV , OV 0 lµ c¸c vector kh«ng cña V ,V . n n 2) f(X αixi)=X αif(xi), ∀xi ∈ V , αi ∈ K, i =1, ,n. i=1 i=1 00 3) g ◦ f ∈LK(V,V ).
67 Chøng minh. 1) Suy ra tõ (L2): f(OV )=f(0 · OV )=0· f(OV )=OV 0 . 2) Víi n =2lµ hiÓn nhiªn, sau ®ã, quy n¹p theo n. 3) Víi mäi x, y ∈ V vµ α, β ∈ K ta cã (g ◦ f)(αx + βy)=g[f(αx + βy)] = g(αf(x)+βf(y)) . = αg(f(x)) + βg(f(y)) = α(g ◦ f)(x)+β(g ◦ f)(y) Do ®ã, g ◦ f lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. 2 MÖnh ®Ò 12. Gi¶ sö {e1, ,en} lµ c¬ së cña V vµ f1, ,fn lµ c¸c vector 0 0 bÊt kú cña V . Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt f ∈LK(V,V ) sao cho f(ei)=fi, i =1, ,n. Chøng minh. DÔ dµng kiÓm chøng ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cÇn t×m lµ n n f(x)=f(X xiei)=X xifi. i=1 i=1 0 §Ó chøng minh tÝnh duy nhÊt, gi¶ sö tån t¹i g ∈LK(V,V ) sao cho g(ei)=fi, n i =1, ,n. Khi ®ã, víi mäi x = X xiei ∈ V ta cã i=1 n n n n f(x)=f(X xiei)=X xif(ei)=X xig(ei)=g(X xiei)=g(x). i=1 i=1 i=1 i=1 2 3 VÝ dô. Trong R xÐt c¬ së chÝnh t¾c e1 =(1, 0, 0), e2 =(0, 1, 0), e3 =(0, 0, 1). 3 2 T×m ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : R −→ R sao cho f(e1)=(1, 1), f(e2)=(2, 3), f(e3)=(4, 5). 3 Víi mçi x =(x1,x2,x3) ∈ R ta cã x = x1e1 + x2e2 + x3e3. Suy ra 1 2 4 x1 +2x2 +4x3 f(x)=f(x1e1 +x2e2 +x3e3)=x1 +x2 +x3 = 1 3 5 x1 +3x2 +5x3 0 0 MÖnh ®Ò 13. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈LK(V,V ). 1) NÕu W lµ kh«ng gian con cña V , th× f(W ) lµ kh«ng gian con cña V 0. 2) NÕu W 0 lµ kh«ng gian con cña V 0, th× f −1(W 0) lµ kh«ng gian con cña V . Chøng minh. 1) Gi¶ sö y1,y2 lµ hai phÇn tö bÊt kú cña f(W ). Khi ®ã, tån t¹i x1,x2 ∈ W sao cho y1 = f(x1), y2 = f(x2). Víi mäi α, β ∈ K Ta cã αy1 + βy2 = αf(x1)+βf(x2)=f(αx1 + βx2).
68 V× W lµ kh«ng gian con nªn αx1 + βx2 ∈ W . Tõ ®ã αy1 + βy2 ∈ f(W ). Suy ra f(W ) lµ kh«ng gian con cña V 0. −1 0 0 2) Gi¶ sö x1,x2 lµ hai phÇn tö bÊt kú cña f (W ). Khi ®ã, f(x1),f(x2) ∈ W . Do W 0 lµ kh«ng gian con nªn víi mäi α, β ∈ K ta cã 0 f(αx1 + βx2)=αf(x1)+βf(x2) ∈ W . −1 0 −1 0 Tõ ®ã αx1 + βx2 ∈ f (W ). VËy f (W ) lµ kh«ng gian con. 2 3.2 ¶nh-Nh©n cña x¹ tuyÕn tÝnh 0 0 §Þnh nghÜa 11. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈LK(V,V ). Khi ®ã 1) Kerf = f −1(O)={x ∈ V | f(x)=O} lµ mét kh«ng gian con cña V gäi lµ nh©n cña f vµ dimKerf gäi lµ sè khuyÕt cña f. 2) Imf = f(V )={f(x) | x ∈ V } lµ mét kh«ng gian con cña V gäi lµ ¶nh cña f vµ dimImf gäi lµ h¹ng cña f. 0 0 MÖnh ®Ò 14. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈LK(V,V ). Khi ®ã c¸c ®iÒu sau lµ t−¬ng ®−¬ng 1) f lµ ®¬n ¸nh. 2) Kerf = {O}. 3) NÕu hÖ {e1, ,es} lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V , th× hÖ {f(e1), ,f(es)} ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V 0. Chøng minh. 1) ⇒ 2). Gi¶ sö f lµ ®¬n ¸nh. XÐt bÊt kú x ∈ Kerf, ta cã f(x)=O = f(O).Dof ®¬n ¸nh nªn suy ra x = O. VËy Kerf = {O}. s s 2) ⇒ 3). Gi¶ sö cã ®¼ng thøc X λif(ei)=O. Suy ra f(X λiei)=O. Do ®ã, i=1 i=1 s s X λiei ∈ Kerf = {O}. Tøc lµ, X λiei = O. Tõ tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña i=1 i=1 {e1, ,es} suy ra λ1 = = λs =0. n 3) ⇒ 1). XÐt B = {u1,u2, un} lµ mét c¬ së cña V vµ x = X xiui, y = i=1
69 n X yiui lµ hai vector trong V .Tacã i=1 n n f(x)=f(y)=⇒ f(X xiui)=f(X yiui) i=1 i=1 n n n =⇒ X xif(ui)=X yif(ui)=⇒ X(xi − yi)f(ui)=O i=1 i=1 i=1 =⇒ xi − yi =0,i=1, ,n (do c¸c f(ui) ®éc lËp tuyÕn tÝnh) =⇒ xi = yi,i=1, ,n=⇒ x = y. VËy, f lµ ®¬n ¸nh. 2 0 0 MÖnh ®Ò 15. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈LK(V,V ). Khi ®ã c¸c ®iÒu sau lµ t−¬ng ®−¬ng 1) f lµ toµn ¸nh. 2) Imf = V 0. 0 3) NÕu V = L(e1, ,es), th× V = L(f(e1), ,f(es)). Chøng minh. DÔ dµng suy ra rõ ®Þnh nghÜa toµn ¸nh vµ hÖ sinh. 2 0 0 §Þnh lý 3. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈LK(V,V ). Khi ®ã dimImf + dimKerf = dimV. Chøng minh. Gi¶ sö Kerf cã c¬ së lµ {e1, ,es}. Bæ sung vµo c¬ së nµy ®Ó {e1, ,es,es+1, ,en} lµ c¬ së cña V . §Ó cã c«ng thøc trªn, ta chØ cÇn chøng minh {f(es+1), ,f(en)} lµ c¬ së cña Imf. HÖ sinh. Mäi y ∈ Imf, tån t¹i x = x1e1 + ···+ xses + xs+1es+1 + ···+ xnen ∈ V sao cho y = f(x)=f(x1e1, ,xses)+f(xs+1es+1, ,xnen) | ∈Ker{z f } = f(xs+1es+1 + ···+ xnen)=xs+1f(es+1)+···+ xnf(en). VËy, y ∈ L(es+1), ,f(en). Tõ ®ã, Imf = L(es+1), ,f(en). n n §éc lËp tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö X xif(ei)=O. Khi ®ã, f( X xiei)=O. Tøc i=s+1 i=s+1 n n s 0 lµ, X xiei ∈ Kerf = L(e1, ,es). VËy, X xiei = X xiei. Tõ tÝnh ®éc lËp i=s+1 i=s+1 i=1 tuyÕn tÝnh cña {e1, ,en} suy ra xs+1 = = xn =0. 2
70 3.3 §¼ng cÊu tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 12. Cho V ,V 0 lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K. ¸nh x¹ f : V −→ V 0 gäi lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh nÕu f lµ song ¸nh vµ f,f−1 lµ c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Hai kh«ng gian V ,V 0 gäi lµ ®¼ng cÊu nÕu tån t¹i mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh gi÷a chóng. Mét ®¼ng cÊu tõ V lªn chÝnh nã gäi lµ tù ®¼ng cÊu hay phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh. NhËn xÐt. f : V −→ V 0 song ¸nh vµ tuyÕn tÝnh, th× f −1 : V 0 −→ V tuyÕn tÝnh. 0 ThËt vËy, xÐt mäi y1,y2 ∈ V , α, β ∈ K. Gäi x1,x2 ∈ V sao cho f(x1)=y1, f(x2)=y2. Khi ®ã −1 −1 −1 f (αy1 + βy2)=f (αf(x1)+βf(x2)=f f(αx1 + βx2) −1 −1 = αx1 + βx2 = αf (y1)+βf (y2). §Þnh lý 4. Hai kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu trªn cïng tr−êng K ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi chóng cïng chiÒu. §Æc biÖt: Mäi kh«ng gian vector n chiÒu V trªn K ®Òu ®¼ng cÊu víi Kn Chøng minh. Gi¶ sö V vµ V 0 ®¼ng cÊu. Bëi MÖnh ®Ò 14, 15, c¬ së cña V chuyÓn thµnh c¬ së cña V 0 qua phÐp ®¼ng cÊu. Tõ ®ã, dimV = dimV 0. Ng−îc l¹i, gi¶ sö dimV = dimV 0 = n. Cè ®Þnh mét c¬ së B cña V . Khi ®ã ta cã n ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh f : V −→ K ,x7−→ xB. 2 NhËn xÐt. §Þnh lý trªn cho phÐp ta khi nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vÒ cÊu tróc tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian vecor n chiÒu V , chØ cÇn lµm viÖc trªn Kn, råi phiªn dÞch c¸c kÕt qña sang V . 3.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn 3.4.1 Ma trËn biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 0 0 Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ f ∈LK(V,V ). Gi¶ sö B = 0 0 {e1, ,en}, B = {f1, ,fm} lµ c¸c c¬ së cña V , V t−¬ng øng. Ta muèn t×m mét biÓu thøc täa ®é cña f trong c¬ së B, B0, tøc lµ khi y = f(x), h·y t×m qui luËt gi÷a c¸c täa ®é xB vµ yB. Tr−íc hÕt, ta ®· biÕt r»ng mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi gi¸ trÞ cña nã trªn c¬ së (MÖnh ®Ò 12). V× vËy, ta cÇn 0 kh¶o s¸t täa ®é cña c¸c vector f(ei),i=1, ,n theo c¬ së B . §Þnh nghÜa 13. Ta gäi ma trËn ®Þnh nghÜa sau ®©y B0 MB (f)=f(e1)B0 f(e2)B0 ··· f(en)B0 = ma trËn víi cét thø i lµ to¹ ®é f(ei)B0
71 lµ ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B, B0. 0 B0 MÖnh ®Ò 16. Cho f ∈LK(V,V ) vµ MB (f) lµ ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B, B0 cña V,V 0. Khi ®ã B0 y = f(x) ⇐⇒ yB0 = MB (f)xB. m a1j  . 0 . Chøng minh. Gi¶ sö f(ej)=X aijfi, tøc lµ f(ej)B =  . , j =1, ,n. i=1   amj n x1 m y1 . . . 0 . Cho x = X xjej, tøc lµ xB =  .  vµ y = X yifi, tøc lµ yB =  . . j=1   i=1   xn yn Khi ®ã ta cã m n n n m y = f(x) ⇐⇒ X yifi = f X xjej = X xjf(ej)=X X aijxjfi. i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 m ⇐⇒ yi = X aijxj,i=1, ,m. j=1 y1 a11 a12 a1n  x1 y a a a x  2  21 22 2n   2 B0 ⇐⇒  .  =  . . .   .  ⇐⇒ yB0 = MB (f)xB  .   . . .   .        yn am1 am2 amn xn 2 3.4.2 Quan hÖ gi÷a ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn MÖnh ®Ò 17. Cho V , V 0, V 00 lµ c¸c kh«ng gian vector trªn K vµ B, B0, B00 lµ c¸c 0 0 00 c¬ së t−¬ng øng. Gi¶ sö f,g ∈LK(V,V ) vµ h ∈LK(V ,V ) vµ α ∈ K. Khi ®ã B0 B0 B0 MB (f + g)=MB (f)+MB (g) B0 B0 MB (αf)=αMB (f) B0 B00 B0 MB (h ◦ f)=MB0 (h)MB (f) 0 0 0 00 00 00 Chøng minh. Gi¶ sö B = {e1, ,en}, B = {e1, ,em}, B = {e1, ,ep}. Khi ®ã hai ®¼ng thøc ®Çu suy ra tõ 0 0 0 0 0 (f + g)(ej)B = f(ej )+g(ej)B0 = f(ej)B + g(ej)B vµ (αf)(ej)B = αf(ej )B .
72 m p p 0 0 00 00 Gi¶ sö f(ej)=X bkjek, h(ek)=X aikei vµ h ◦ f(ej)=X cijei . Khi ®ã k=1 i=1 i=1 m m p m 0 0 00 h ◦ f(ej )=h X bkjek = X bkjh(ek)=X X aikbkjei . k=1 k=1 i=1 k=1 m VËy, cij = X aikbkj. Suy ra ®¼ng thøc cuèi. 2 k=1 §Þnh lý 5. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn K víi c¬ së B vµ V 0 lµ kh«ng gian m chiÒu trªn K víi c¬ së B0. Khi ®ã ¸nh x¹ 0 B0 M: LK(V,V ) −→ MatK(m, n),f7−→ M(f)=MB (f), lµ mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh. Chøng minh. TÝnh tuyÕn tÝnh suy ra tõ MÖnh ®Ò 17, cßn tÝnh song ¸nh suy ra tõ MÖnh ®Ò 12. 2 NhËn xÐt. §inh lý trªn cho phÐp qui c¸c tÝnh to¸n trªn ¸nh x¹ tuyÕn vÒ c¸c tÝnh to¸n trªn ma trËn cña nã. TÊt nhiªn, nÕu ma trËn cµng ®¬n gi¶n th× viÖc tÝnh to¸n cµng dÔ dµng. Do vËy, ta muèn t×m mét c¬ së tèt ®Ó mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cã ma trËn biÓu diÔn d¹ng ®¬n gi¶n, ch¼ng h¹n nh− d¹ng ®−êng chÐo. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ, ®èi víi mçi phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, liÖu cã t×m ®−îc mét c¬ së ®Ó ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së ®ã cã d¹ng ®−êng chÐo? T×m c¬ së ®ã nh− thÕ nµo? Môc tiÕp theo sÏ nghiªn cøu lêi gi¶i. 4 PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa 4.1 §æi c¬ së- C«ng thøc ®æi täa ®é Cho B =(e1, ,en), C =(f1, ,fn) lµ c¸c c¬ së cña kh«ng gian vector V vµ x ∈ V . Chóng ta muèn t×m quan hÖ gi÷a xB vµ xC. 4.1.1 Ma trËn chuyÓn c¬ së §Þnh nghÜa 14. Ma trËn chuyÓn c¬ së B sang C ®−îc ký hiÖu vµ ®Þnh nghÜa bëi MB→C = (f1)B (fn)B = Ma trËn víi cét i lµ täa ®é cña fi ®èi víi c¬ së B.
73 NhËn xÐt. 1) NÕu viÕt B nh− lµ ma trËn víi cét i lµ vector ei, vµ t−¬ng tù ®èi víi C, th× ta cã (f1 fn)=(e1 en)MB→C hay C = BMB→C. B 2) MB→C = MC (idV ). C B C 3) Do MB (idV )MC (idV )=MC (idV )=I, nªn MB→C lµ ma trËn kh¶ nghÞch vµ −1 (MB→C) = MC→B. n 4) NÕu V = K , th× cã thÓ t×m MB→C bëi c¸c phÐp biÕn ®æ s¬ cÊp trªn ma trËn (e1 ···en | f1 ···fn) −→ (I | MB→C). 4.1.2 C«ng thøc ®æi täa ®é MÖnh ®Ò 18. Cho B, C lµ hai c¬ së trªn kh«ng gian vector V vµ x ∈ V . Khi ®ã xB = MB→C · xC B Chøng minh. Suy ra tõ xB =(idV (x))B = MC (idV )xC. 2 4.1.3 Ma trËn biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trong c¸c c¬ së kh¸c nhau 0 0 0 MÖnh ®Ò 19. Cho f ∈LK(V,V ). Gäi B, C lµ hai c¬ së cña V vµ B , C lµ hai c¬ së cña V 0. Khi ®ã C0 −1 B0 MC (f)=(MB0→C0 ) MB (f)MB→C Chøng minh. Tõ quan hÖ gi÷a hîp ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ tÝch ma trËn ta cã C0 C0 B0 B −1 B0 MC (idV 0 ◦ f ◦ idV )=MB0 (idV 0 )MB (f)MC (idV )=(MB0→C0 ) MB (f)MB→C. 2 4.2 Ma trËn ®ång d¹ng- ChÐo hãa §Þnh nghÜa 15. Hai ma trËn A, B ∈ MatK(n) gäi lµ ®ång d¹ng nÕu tån t¹i ma trËn kh¶ nghÞch P sao cho B = P −1AP . Ma trËn A ∈ MatK(n) gäi lµ chÐo ho¸ ®−îc nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét ma trËn kh¶ nghÞch P sap cho P −1AP cã d¹ng chÐo. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn K. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : V −→ V gäi lµ chÐo ho¸ ®−îc trªn K nÕu tån t¹i c¬ së B cña V sao cho ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B cã d¹ng chÐo.
74 4.3 Gi¸ trÞ riªng-Vector riªng §Þnh nghÜa 16. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn K, f ∈LK(V,V ) vµ A ∈ MatK(n). Sè λ ∈ K gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña f nÕu tån t¹i x ∈ V , x =06 , sao cho f(x)=λx. Sè λ ∈ K gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña A nÕu tån t¹i x ∈ Kn, x =06 , sao cho Ax = λx. Khi ®ã x gäi lµ vector riªng øng víi gi¸ trÞ riªng λ. MÖnh ®Ò 20. Cho A ∈ MatK(n). Khi ®ã 1) λ ∈ K lµ gi¸ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi det(A − λI)=0. 2) x ∈ Kn lµ vector riªng øng víi gi¸ trÞ riªng λ khi vµ chØ khi x lµ nghiÖm kh¸c kh«ng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (A − λI)x =0. Chøng minh. λ ∈ K lµ gi¸ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi hÖ (A − λI)x =0cã nghiÖm kh¸c kh«ng. §iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi det(A − λI)=0. 2 PA(λ) = det(A − λI) gäi lµ ®a thøc ®Æc tr−ng vµ det(A − λI)=0gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña ma trËn A. NhËn xÐt. 1) NÕu A ®ång d¹ng víi B, th× PA(λ)=PB(λ). ThËt vËy, Gi¶ sö B = P −1AP , víi P kh¶ nghÞch. Khi ®ã −1 −1 PB(λ) = det(P AP − λI) = det(P (A − λI)P ) −1 . = det P det(A − λI) det P = det(A − λI)=PA(λ) 2) Víi mäi λ ∈ K, E(λ)={x ∈ Kn | (A − λI)x =0} lµ kh«ng gian vector con cña Kn cã chiÒu b»ng n−rank(A−λI), c¬ së cña kh«ng gian ®ã lµ hÖ nghiÖm c¬ së, tøc lµ hÖ c¸c nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh, cña hÖ ph−¬ng tr×nh (A − λI)x =0. 4.4 Tiªu chuÈn chÐo ho¸ §Þnh lý 6. Ma trËn A ∈ MatK(n) chÐo ho¸ ®−îc trªn K khi vµ chØ khi hai ®iÒu kiÖn sau ®−îc tháa (1) Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng det(A−λI)=0cã s nghiÖm kh¸c nhau λ1,λ2, ,λs ∈ K víi béi n1,n2, ,ns t−¬ng øng sao cho n1 + n2, ···+ ns = n. (2) Víi mçi i ∈{1, ,s}, ph−¬ng tr×nh (A − λiI)x =0cã ni nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong Kn (gäi lµ nghiÖm c¬ së). Chøng minh. Ta cÇn bæ ®Ò sau Bæ ®Ò 2. NÕu λ1,λ2, ,λs ∈ K lµ c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña A, th× c¸c hÖ c¸c vector riªng e1,e2, ,es ∈ Kn øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng ®ã lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.