Toán cao cấp - Chương 4: Không gian véctơ

220 trang vanle 4190

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Chương 4: Không gian véctơ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_cao_cap_chuong_4_khong_gian_vecto.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp - Chương 4: Không gian véctơ

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 1 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực 1 + : R × R → R (x, y) → x + y 2 • : R → R (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực 1 + : R × R → R (x, y) → x + y 2 • : R → R (λ, x) → λ.x Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực 1 + : R × R → R (x, y) → x + y 2 • : R → R (λ, x) → λ.x Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : R × R → R 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (x, y) → x + y (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R → R 2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, x) → λ.x (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : R × R → R 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (x, y) → x + y (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R → R 2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, x) → λ.x (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : R × R → R 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (x, y) → x + y (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R → R 2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, x) → λ.x (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : R × R → R 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (x, y) → x + y (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R → R 2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, x) → λ.x (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : R × R → R 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (x, y) → x + y (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R → R 2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, x) → λ.x (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 52
1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 6 λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1.x = x, ∀x ∈ E thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 52
Cn = {x = (x1, , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) X X 6= ∅, E − K − kgv, E = {f : X → E} + : E X × E X → E X , • : K × E X → E X (f , g) → (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x) Mm×n(K) + : Mm×n(K) × Mm×n(K) → Mm×n(K), • : K × Mm×n(K) → Mm×n(K) (A, B) → A + B = (aij + bij ), (λ, A) → λA = (λaij ) Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1, , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 52
X X 6= ∅, E − K − kgv, E = {f : X → E} + : E X × E X → E X , • : K × E X → E X (f , g) → (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x) Mm×n(K) + : Mm×n(K) × Mm×n(K) → Mm×n(K), • : K × Mm×n(K) → Mm×n(K) (A, B) → A + B = (aij + bij ), (λ, A) → λA = (λaij ) Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1, , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) Cn = {x = (x1, , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 52
Mm×n(K) + : Mm×n(K) × Mm×n(K) → Mm×n(K), • : K × Mm×n(K) → Mm×n(K) (A, B) → A + B = (aij + bij ), (λ, A) → λA = (λaij ) Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1, , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) Cn = {x = (x1, , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) X X 6= ∅, E − K − kgv, E = {f : X → E} + : E X × E X → E X , • : K × E X → E X (f , g) → (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1, , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) Cn = {x = (x1, , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)(λ, x) → (λx1, . . . , λxn) X X 6= ∅, E − K − kgv, E = {f : X → E} + : E X × E X → E X , • : K × E X → E X (f , g) → (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x) Mm×n(K) + : Mm×n(K) × Mm×n(K) → Mm×n(K), • : K × Mm×n(K) → Mm×n(K) (A, B) → A + B = (aij + bij ), (λ, A) → λA = (λaij ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 52
E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g) → f + g = f (x) + g(x), (λ, f ) → λf = λf (x) E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 52
E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (λx1, λx2). Tuy nhiên, λ(x +y) = λ(x1y1, x2y2) = (λx1x2, λy1y2) 6= (λx1.λx2, λy1.λ.y2) = λx +λy với λ 6= 0 và λ 6= 1. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT Đa thức có bậc đúng bằng n > 0 + : Pfn(x) × Pfn(x) → Pfn(x), • : R × Pfn(x) → Pfn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x)(λ, p(x)) → λ.p(x). Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ Pfn(x) thì 0.p(x) = 0 ∈/ Pfn(x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT Đa thức có bậc đúng bằng n > 0 + : Pfn(x) × Pfn(x) → Pfn(x), • : R × Pfn(x) → Pfn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x)(λ, p(x)) → λ.p(x). Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ Pfn(x) thì 0.p(x) = 0 ∈/ Pfn(x). E = R2 + : E × E → E, • : R × E → E ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (λx1, λx2). Tuy nhiên, λ(x +y) = λ(x1y1, x2y2) = (λx1x2, λy1y2) 6= (λx1.λx2, λy1.λ.y2) = λx +λy với λ 6= 0 và λ 6= 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 52
1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. 2 (λ − µ)x = λx − µx. 3 λ(x − y) = λx − λy 4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E ta có TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 52
2 (λ − µ)x = λx − µx. 3 λ(x − y) = λx − λy 4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E ta có 1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 52
3 λ(x − y) = λx − λy 4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E ta có 1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. 2 (λ − µ)x = λx − µx. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 52
4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E ta có 1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. 2 (λ − µ)x = λx − µx. 3 λ(x − y) = λx − λy TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E ta có 1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. 2 (λ − µ)x = λx − µx. 3 λ(x − y) = λx − λy 4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 52
Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E ta có 1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. 2 (λ − µ)x = λx − µx. 3 λ(x − y) = λx − λy 4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 52
1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
cảm sinh bởi các luật của E. Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
Không gian véctơ con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F 6= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 52
Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R2. Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1 − 2x2 + x3) + (2y1 − 2y2 + y3) = 0 ⇒ x + y ∈ F , Không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 52
Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1 − 2x2 + x3) + (2y1 − 2y2 + y3) = 0 ⇒ x + y ∈ F , Không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2. Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R2. Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 52
∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1 − 2x2 + x3) + (2y1 − 2y2 + y3) = 0 ⇒ x + y ∈ F , Không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2. Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R2. Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 52
Không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2. Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R2. Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1 − 2x2 + x3) + (2y1 − 2y2 + y3) = 0 ⇒ x + y ∈ F , TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 52
Vậy F là không gian véctơ con của R3. Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y ∈/ F . Không gian véctơ con Ví dụ ∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 52
Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y ∈/ F . Không gian véctơ con Ví dụ ∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 52
Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y ∈/ F . Không gian véctơ con Ví dụ ∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3. Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 52
Không gian véctơ con Ví dụ ∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3. Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y ∈/ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 52
T Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I 1 F 6= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F 3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. Không gian véctơ con Các phép toán đối với không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, T thế thì Fi là một không gian véctơ con của E. i∈I TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 52
1 F 6= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F 3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. Không gian véctơ con Các phép toán đối với không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, T thế thì Fi là một không gian véctơ con của E. i∈I T Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 52
2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F 3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. Không gian véctơ con Các phép toán đối với không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, T thế thì Fi là một không gian véctơ con của E. i∈I T Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I 1 F 6= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 52
3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. Không gian véctơ con Các phép toán đối với không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, T thế thì Fi là một không gian véctơ con của E. i∈I T Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I 1 F 6= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 52
Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. Không gian véctơ con Các phép toán đối với không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, T thế thì Fi là một không gian véctơ con của E. i∈I T Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I 1 F 6= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F 3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 52
Không gian véctơ con Các phép toán đối với không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, T thế thì Fi là một không gian véctơ con của E. i∈I T Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I 1 F 6= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F 3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 52
Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con T F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} Định lý Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2. Không gian véctơ con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K-kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta nói T rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 52
Định lý Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2. Không gian véctơ con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K-kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta nói T rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con T F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 52
Không gian véctơ con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K-kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta nói T rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con T F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} Định lý Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 52
Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có T F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E Không gian véctơ con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E được gọi là bù nhau trong E F1 + F2 = E ⇔ T ⇔ F1 ⊕ F2 = E. F1 F2 = {0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 52
Không gian véctơ con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E được gọi là bù nhau trong E F1 + F2 = E ⇔ T ⇔ F1 ⊕ F2 = E. F1 F2 = {0} Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có T F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 52
Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R. Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, n ∈ N , x1, x2, , xn ∈ E, λ1, λ2, . . . , λn ∈ K. Ta gọi n P x = λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn là tổ hợp tuyến tính của i=1 x1, x2, , xn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 52
Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R. Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, n ∈ N , x1, x2, , xn ∈ E, λ1, λ2, . . . , λn ∈ K. Ta gọi n P x = λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn là tổ hợp tuyến tính của i=1 x1, x2, , xn. Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn hay không? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 52
Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, n ∈ N , x1, x2, , xn ∈ E, λ1, λ2, . . . , λn ∈ K. Ta gọi n P x = λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn là tổ hợp tuyến tính của i=1 x1, x2, , xn. Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 52
Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, n ∈ N , x1, x2, , xn ∈ E, λ1, λ2, . . . , λn ∈ K. Ta gọi n P x = λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn là tổ hợp tuyến tính của i=1 x1, x2, , xn. Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R. Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, n ∈ N , x1, x2, , xn ∈ E, λ1, λ2, . . . , λn ∈ K. Ta gọi n P x = λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn là tổ hợp tuyến tính của i=1 x1, x2, , xn. Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R. Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 52
Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x        2 −1 1 λ1 1  λ1 = 1 ⇔  1 1 1   λ2  =  4  ⇔ λ2 = 2 1 −1 −2 λ3 −3  λ3 = 1 Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x1 + 2x2 + x3. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 52
Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x1 + 2x2 + x3. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x        2 −1 1 λ1 1  λ1 = 1 ⇔  1 1 1   λ2  =  4  ⇔ λ2 = 2 1 −1 −2 λ3 −3  λ3 = 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x        2 −1 1 λ1 1  λ1 = 1 ⇔  1 1 1   λ2  =  4  ⇔ λ2 = 2 1 −1 −2 λ3 −3  λ3 = 1 Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x1 + 2x2 + x3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 52
Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−5h1 h3→h3−2h1  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 5 0 2 14 −15   1 1 −2 4  0 1 7 −5  0 0 0 −5 Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 52
  1 1 −2 4 h3→h3−2h1  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 0 2 14 −15   1 1 −2 4  0 1 7 −5  0 0 0 −5 Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.   1 1 −2 4 h2→h2−2h1 h3→h3−5h1  2 3 3 3  −−−−−−−→ 5 7 4 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 52
  1 1 −2 4  0 1 7 −5  0 0 0 −5 Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−5h1 h3→h3−2h1  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 5 0 2 14 −15 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 52
Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−5h1 h3→h3−2h1  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 5 0 2 14 −15   1 1 −2 4  0 1 7 −5  0 0 0 −5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 52
Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−5h1 h3→h3−2h1  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 5 0 2 14 −15   1 1 −2 4  0 1 7 −5  0 0 0 −5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−5h1 h3→h3−2h1  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 5 0 2 14 −15   1 1 −2 4  0 1 7 −5  0 0 0 −5 Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 52
Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−2h1 h3→h3−5h1 h1→h1−h2  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 10 0 2 14 −10   1 0 −9 9  0 1 7 −5  0 0 0 0 Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 52
  1 1 −2 4 h3→h3−2h1 h1→h1−h2  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 0 2 14 −10   1 0 −9 9  0 1 7 −5  0 0 0 0 Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.   1 1 −2 4 h2→h2−2h1 h3→h3−5h1  2 3 3 3  −−−−−−−→ 5 7 4 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 52
  1 0 −9 9  0 1 7 −5  0 0 0 0 Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−2h1 h3→h3−5h1 h1→h1−h2  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 10 0 2 14 −10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 52
Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−2h1 h3→h3−5h1 h1→h1−h2  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 10 0 2 14 −10   1 0 −9 9  0 1 7 −5  0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 52
Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−2h1 h3→h3−5h1 h1→h1−h2  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 10 0 2 14 −10   1 0 −9 9  0 1 7 −5  0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.     1 1 −2 4 h2→h2−2h1 1 1 −2 4 h3→h3−2h1 h3→h3−5h1 h1→h1−h2  2 3 3 3  −−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−→ 5 7 4 10 0 2 14 −10   1 0 −9 9  0 1 7 −5  0 0 0 0 Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 52
Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, , xn}. Kí hiệu W = span(S) Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W 6= ∅. n n n P P P 2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y = λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W . i=1 i=1 i=1 n n P P 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W . i=1 i=1 Vậy W là một không gian véctơ con của E. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Bao tuyến tính Định lý Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E, E− là một K-kgv. Khi đó n P W = = {x ∈ E, x = λi xi , ∀λi ∈ K, i = 1, 2, , n} là i=1 một không gian véctơ con của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 52
Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W 6= ∅. n n n P P P 2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y = λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W . i=1 i=1 i=1 n n P P 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W . i=1 i=1 Vậy W là một không gian véctơ con của E. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Bao tuyến tính Định lý Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E, E− là một K-kgv. Khi đó n P W = = {x ∈ E, x = λi xi , ∀λi ∈ K, i = 1, 2, , n} là i=1 một không gian véctơ con của E. Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, , xn}. Kí hiệu W = span(S) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 52
n n n P P P 2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y = λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W . i=1 i=1 i=1 n n P P 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W . i=1 i=1 Vậy W là một không gian véctơ con của E. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Bao tuyến tính Định lý Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E, E− là một K-kgv. Khi đó n P W = = {x ∈ E, x = λi xi , ∀λi ∈ K, i = 1, 2, , n} là i=1 một không gian véctơ con của E. Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, , xn}. Kí hiệu W = span(S) Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W 6= ∅. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 52
n n P P 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W . i=1 i=1 Vậy W là một không gian véctơ con của E. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Bao tuyến tính Định lý Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E, E− là một K-kgv. Khi đó n P W = = {x ∈ E, x = λi xi , ∀λi ∈ K, i = 1, 2, , n} là i=1 một không gian véctơ con của E. Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, , xn}. Kí hiệu W = span(S) Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W 6= ∅. n n n P P P 2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y = λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W . i=1 i=1 i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 52
Vậy W là một không gian véctơ con của E. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Bao tuyến tính Định lý Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E, E− là một K-kgv. Khi đó n P W = = {x ∈ E, x = λi xi , ∀λi ∈ K, i = 1, 2, , n} là i=1 một không gian véctơ con của E. Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, , xn}. Kí hiệu W = span(S) Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W 6= ∅. n n n P P P 2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y = λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W . i=1 i=1 i=1 n n P P 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W . i=1 i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Bao tuyến tính Định lý Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E, E− là một K-kgv. Khi đó n P W = = {x ∈ E, x = λi xi , ∀λi ∈ K, i = 1, 2, , n} là i=1 một không gian véctơ con của E. Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, , xn}. Kí hiệu W = span(S) Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W 6= ∅. n n n P P P 2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y = λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W . i=1 i=1 i=1 n n P P 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W . i=1 i=1 Vậy W là một không gian véctơ con của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 52
Giải. = {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} Ví dụ 2 Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2) }. Xác định . Giải. 2 = {λ1(x − 2) + λ2(x − 2) , ∀λ1, λ2 ∈ R} = 2 {λ2x + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R} Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 52
Ví dụ 2 Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2) }. Xác định . Giải. 2 = {λ1(x − 2) + λ2(x − 2) , ∀λ1, λ2 ∈ R} = 2 {λ2x + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R} Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định . Giải. = {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 52
Giải. 2 = {λ1(x − 2) + λ2(x − 2) , ∀λ1, λ2 ∈ R} = 2 {λ2x + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R} Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định . Giải. = {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} Ví dụ 2 Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2) }. Xác định . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định . Giải. = {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} Ví dụ 2 Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2) }. Xác định . Giải. 2 = {λ1(x − 2) + λ2(x − 2) , ∀λ1, λ2 ∈ R} = 2 {λ2x + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 52
1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho m P tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là độc lập tuyến tính khi và m P chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 ⇒ λ1 = λ2 = = λm = 0 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, m ∈ N , x1, x2, , xm ∈ E. Ta nói TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 52
2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là độc lập tuyến tính khi và m P chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 ⇒ λ1 = λ2 = = λm = 0 Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, m ∈ N , x1, x2, , xm ∈ E. Ta nói 1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho m P tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, m ∈ N , x1, x2, , xm ∈ E. Ta nói 1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho m P tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là độc lập tuyến tính khi và m P chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 ⇒ λ1 = λ2 = = λm = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, m ∈ N , x1, x2, , xm ∈ E. Ta nói 1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho m P tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, , xm} là độc lập tuyến tính khi và m P chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 i=1 ⇒ λ1 = λ2 = = λm = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 52
Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Kiểm tra các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 52
Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Kiểm tra các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 52
Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Kiểm tra các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Kiểm tra các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Kiểm tra các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 52
Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 52
Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 52
Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 52
Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 52
Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 52
Giải.  2 3 1  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  1 2 1  . 2 1 4 Ta thấy det(A) = 5 6= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính. Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  1 4 7  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  . 3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 52
Ta thấy det(A) = 5 6= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính. Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  1 4 7  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  . 3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  2 3 1  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  1 2 1  . 2 1 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 52
Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  1 4 7  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  . 3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  2 3 1  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  1 2 1  . 2 1 4 Ta thấy det(A) = 5 6= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 52
Giải.  1 4 7  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  . 3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  2 3 1  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  1 2 1  . 2 1 4 Ta thấy det(A) = 5 6= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính. Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 52
Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  2 3 1  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  1 2 1  . 2 1 4 Ta thấy det(A) = 5 6= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính. Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  1 4 7  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  . 3 6 9 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  2 3 1  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  1 2 1  . 2 1 4 Ta thấy det(A) = 5 6= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính. Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  1 4 7  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  2 5 8  . 3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 52
Giải.   1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−2h1 T T T  1 3 2  h4→h4−3h1 Đặt A = x x x =   −−−−−−−→ 1 2 3  2 3 1  3 1 −2  1 2 1   1 2 1  h3→h3+h2  0 1 1  h4→h4+5h2  0 1 1    −−−−−−−→   ⇒ r(A) = 2 < 3 = m.  0 −1 −1   0 0 0  0 −5 −5 0 0 0 Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 52
 1 2 1   1 2 1  h3→h3+h2  0 1 1  h4→h4+5h2  0 1 1    −−−−−−−→   ⇒ r(A) = 2 < 3 = m.  0 −1 −1   0 0 0  0 −5 −5 0 0 0 Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.   1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−2h1 T T T  1 3 2  h4→h4−3h1 Đặt A = x x x =   −−−−−−−→ 1 2 3  2 3 1  3 1 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 52
 1 2 1   0 1 1    ⇒ r(A) = 2 < 3 = m.  0 0 0  0 0 0 Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.   1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−2h1 T T T  1 3 2  h4→h4−3h1 Đặt A = x x x =   −−−−−−−→ 1 2 3  2 3 1  3 1 −2  1 2 1  h3→h3+h2  0 1 1  h4→h4+5h2   −−−−−−−→  0 −1 −1  0 −5 −5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 52
⇒ r(A) = 2 < 3 = m. Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.   1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−2h1 T T T  1 3 2  h4→h4−3h1 Đặt A = x x x =   −−−−−−−→ 1 2 3  2 3 1  3 1 −2  1 2 1   1 2 1  h3→h3+h2  0 1 1  h4→h4+5h2  0 1 1    −−−−−−−→    0 −1 −1   0 0 0  0 −5 −5 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 52
Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.   1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−2h1 T T T  1 3 2  h4→h4−3h1 Đặt A = x x x =   −−−−−−−→ 1 2 3  2 3 1  3 1 −2  1 2 1   1 2 1  h3→h3+h2  0 1 1  h4→h4+5h2  0 1 1    −−−−−−−→   ⇒ r(A) = 2 < 3 = m.  0 −1 −1   0 0 0  0 −5 −5 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.   1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−2h1 T T T  1 3 2  h4→h4−3h1 Đặt A = x x x =   −−−−−−−→ 1 2 3  2 3 1  3 1 −2  1 2 1   1 2 1  h3→h3+h2  0 1 1  h4→h4+5h2  0 1 1    −−−−−−−→   ⇒ r(A) = 2 < 3 = m.  0 −1 −1   0 0 0  0 −5 −5 0 0 0 Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 52
Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (λ1 + λ2 + 2λ3)x + (λ1 + 3λ2 + λ3)x + (λ1 + 2λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R    λ1 + λ2 + 2λ3 = 0  λ1 = 0 ⇔ λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = 0  λ1 + 2λ2 + λ3 = 0  λ3 = 0 Vậy p1(x), p2(x), p3(x) độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ 2 2 2 p1(x) = x + x + 1, p2(x) = x + 3x + 2, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 52
Vậy p1(x), p2(x), p3(x) độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ 2 2 2 p1(x) = x + x + 1, p2(x) = x + 3x + 2, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (λ1 + λ2 + 2λ3)x + (λ1 + 3λ2 + λ3)x + (λ1 + 2λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R    λ1 + λ2 + 2λ3 = 0  λ1 = 0 ⇔ λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = 0  λ1 + 2λ2 + λ3 = 0  λ3 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ 2 2 2 p1(x) = x + x + 1, p2(x) = x + 3x + 2, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (λ1 + λ2 + 2λ3)x + (λ1 + 3λ2 + λ3)x + (λ1 + 2λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R    λ1 + λ2 + 2λ3 = 0  λ1 = 0 ⇔ λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = 0  λ1 + 2λ2 + λ3 = 0  λ3 = 0 Vậy p1(x), p2(x), p3(x) độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 52
Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (3λ1 + 2λ2 + 2λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R    3λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0  λ1 = 0 ⇔ 1λ1 + λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = −t , t ∈ R  2λ1 + λ2 + λ3 = 0  λ3 = t Hệ này có vô số nghiệm nên p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ 2 2 2 p1(x) = 3x + 2x + 2, p2(x) = x + x + 1, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 52
Hệ này có vô số nghiệm nên p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ 2 2 2 p1(x) = 3x + 2x + 2, p2(x) = x + x + 1, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (3λ1 + 2λ2 + 2λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R    3λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0  λ1 = 0 ⇔ 1λ1 + λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = −t , t ∈ R  2λ1 + λ2 + λ3 = 0  λ3 = t TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ 2 2 2 p1(x) = 3x + 2x + 2, p2(x) = x + x + 1, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (3λ1 + 2λ2 + 2λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R    3λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0  λ1 = 0 ⇔ 1λ1 + λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = −t , t ∈ R  2λ1 + λ2 + λ3 = 0  λ3 = t Hệ này có vô số nghiệm nên p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 52
Giải. Xét phương trình λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0 λ + λ .i − λ + λ .i = 0 + 0.i ⇔ 1 1 2 2 λ1.i − λ2 = 0 + 0.i  λ − λ = 0  1 2  λ + λ = 0 λ = 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1 λ1 = 0 λ2 = 0   −λ2 = 0 Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 52
λ + λ .i − λ + λ .i = 0 + 0.i ⇔ 1 1 2 2 λ1.i − λ2 = 0 + 0.i  λ − λ = 0  1 2  λ + λ = 0 λ = 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1 λ1 = 0 λ2 = 0   −λ2 = 0 Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 52
 λ − λ = 0  1 2  λ + λ = 0 λ = 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1 λ1 = 0 λ2 = 0   −λ2 = 0 Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0 λ + λ .i − λ + λ .i = 0 + 0.i ⇔ 1 1 2 2 λ1.i − λ2 = 0 + 0.i TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 52
Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0 λ + λ .i − λ + λ .i = 0 + 0.i ⇔ 1 1 2 2 λ1.i − λ2 = 0 + 0.i  λ − λ = 0  1 2  λ + λ = 0 λ = 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1 λ1 = 0 λ2 = 0   −λ2 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0 λ + λ .i − λ + λ .i = 0 + 0.i ⇔ 1 1 2 2 λ1.i − λ2 = 0 + 0.i  λ − λ = 0  1 2  λ + λ = 0 λ = 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1 λ1 = 0 λ2 = 0   −λ2 = 0 Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 52
2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập tuyến tính. Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0, với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0. Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, , xk }. Khi đó ta có 0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0. Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý Trong không gian tuyến tính E 1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 52
Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0, với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0. Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, , xk }. Khi đó ta có 0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0. Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý Trong không gian tuyến tính E 1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ thuộc tuyến tính. 2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 52
Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, , xk }. Khi đó ta có 0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0. Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý Trong không gian tuyến tính E 1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ thuộc tuyến tính. 2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập tuyến tính. Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0, với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý Trong không gian tuyến tính E 1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ thuộc tuyến tính. 2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập tuyến tính. Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0, với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0. Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, , xk }. Khi đó ta có 0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0. Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, , xk phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 52
Giả sử khi bớt 1 véctơ x0 từ một tập độc lập tuyến tính M ta được tập phụ thuộc tuyến tính M0. 0 Khi đó ta thêm véctơ x0 vào tập M thì theo phần chứng minh trên ta được tập M phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết M độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất 2. Chứng minh bằng phản chứng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 52
0 Khi đó ta thêm véctơ x0 vào tập M thì theo phần chứng minh trên ta được tập M phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết M độc lập tuyến tính. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất 2. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử khi bớt 1 véctơ x0 từ một tập độc lập tuyến tính M ta được tập phụ thuộc tuyến tính M0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất 2. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử khi bớt 1 véctơ x0 từ một tập độc lập tuyến tính M ta được tập phụ thuộc tuyến tính M0. 0 Khi đó ta thêm véctơ x0 vào tập M thì theo phần chứng minh trên ta được tập M phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 52
2 Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1 , xi2 , , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim + 0.xim+1 + + 0.xin = 0 Do M = {xi1 , xi2 , , xim , xim+1 , , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj 6= 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + λnxn = 0 1 ⇒ xj = − (λ1x1 + + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + + λnxn) λj Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 52
Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1 , xi2 , , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim + 0.xim+1 + + 0.xin = 0 Do M = {xi1 , xi2 , , xim , xim+1 , , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj 6= 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + λnxn = 0 1 ⇒ xj = − (λ1x1 + + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + + λnxn) λj Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 52
Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1 , xi2 , , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim + 0.xim+1 + + 0.xin = 0 Do M = {xi1 , xi2 , , xim , xim+1 , , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj 6= 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + λnxn = 0 1 ⇒ xj = − (λ1x1 + + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + + λnxn) λj Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 52
Từ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim + 0.xim+1 + + 0.xin = 0 Do M = {xi1 , xi2 , , xim , xim+1 , , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj 6= 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + λnxn = 0 1 ⇒ xj = − (λ1x1 + + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + + λnxn) λj Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1 , xi2 , , xim } ⊂ M. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 52
Do M = {xi1 , xi2 , , xim , xim+1 , , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj 6= 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + λnxn = 0 1 ⇒ xj = − (λ1x1 + + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + + λnxn) λj Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1 , xi2 , , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim + 0.xim+1 + + 0.xin = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 52
2. Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj 6= 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + λnxn = 0 1 ⇒ xj = − (λ1x1 + + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + + λnxn) λj Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1 , xi2 , , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim + 0.xim+1 + + 0.xin = 0 Do M = {xi1 , xi2 , , xim , xim+1 , , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1 , xi2 , , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + + λmxim + 0.xim+1 + + 0.xin = 0 Do M = {xi1 , xi2 , , xim , xim+1 , , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj 6= 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + λnxn = 0 1 ⇒ xj = − (λ1x1 + + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + + λnxn) λj TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 52
Hệ quả Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính. Vì 1.0 + 0.x1 + + 0.xn = 0. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Ngược lại, nếu trong tập {x1, x2, , xn} có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại thì rõ ràng hệ số của véctơ đó bằng -1 nên {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 52
Vì 1.0 + 0.x1 + + 0.xn = 0. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Ngược lại, nếu trong tập {x1, x2, , xn} có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại thì rõ ràng hệ số của véctơ đó bằng -1 nên {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 52
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Ngược lại, nếu trong tập {x1, x2, , xn} có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại thì rõ ràng hệ số của véctơ đó bằng -1 nên {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính. Vì 1.0 + 0.x1 + + 0.xn = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 52
Định nghĩa Không gian véctơ E được gọi là hữu hạn chiều nếu số phần tử của tập sinh là hữu hạn. Như vậy, K-kgv E là hữu hạn chiều nếu = E. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tập sinh Định nghĩa Cho E là K-kgv, M ⊂ E được gọi là tập sinh của E nếu ∀x ∈ E, ∃λi ∈ K, i = 1, 2, , p : p X x = λi xi , xi ∈ M i=1 Ta cũng nói E sinh bởi M và ký hiệu E = Vect(M) = . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 32 / 52
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tập sinh Định nghĩa Cho E là K-kgv, M ⊂ E được gọi là tập sinh của E nếu ∀x ∈ E, ∃λi ∈ K, i = 1, 2, , p : p X x = λi xi , xi ∈ M i=1 Ta cũng nói E sinh bởi M và ký hiệu E = Vect(M) = . Định nghĩa Không gian véctơ E được gọi là hữu hạn chiều nếu số phần tử của tập sinh là hữu hạn. Như vậy, K-kgv E là hữu hạn chiều nếu = E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 32 / 52