›
›

Tài liệu môn Tích phân bội

pdf 244 trang vanle 2630
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu môn Tích phân bội", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_mon_tich_phan_boi.pdf

Nội dung text: Tài liệu môn Tích phân bội

  1. TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba CBGD. Lê Hoài Nhân lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa Ngày 25 tháng 5 năm 2012 độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  2. TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI 1 Tích phân hai lớp CBGD. Lê Định nghĩa Hoài Nhân Cách tính tổng quát Tích phân hai Đổi biến tổng quát lớp Định nghĩa Tích phân trong tọa độ cực Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát 2 Tích phân ba lớp Tích phân trong tọa độ cực Định nghĩa Tích phân ba lớp Cách tính tổng quát Định nghĩa Đổi biến tổng quát Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của 3 Ứng dụng của tích phân bội tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý Ứng dụng vật lý
  3. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  4. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Cho hàm số z = f (x, y) xác Tích phân ba định trên miền . lớp D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  5. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Phân hoạch miền thành n Tích phân trong tọa D độ cực miền con, diện tích của mỗi Tích phân ba miền con là ∆Si với i = lớp Định nghĩa 1, 2, , n. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  6. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Phân hoạch miền D thành n Tích phân trong tọa độ cực miền con, diện tích của mỗi Tích phân ba miền con là ∆Si với i = lớp Định nghĩa 1, 2, , n. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  7. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  8. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Trên mỗi miền con ∆Si Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  9. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Trên mỗi miền con ∆Si ta chọn Cách tính tổng quát tùy ý điểm M (x , y ) và Đổi biến tổng quát i i i Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  10. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Trên mỗi miền con ∆Si ta chọn Cách tính tổng quát tùy ý điểm M (x , y ) và lập Đổi biến tổng quát i i i Tích phân trong tọa độ cực tổng Tích phân ba lớp n Định nghĩa In = f (xi , yi )∆Si . Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Xi=1 Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  11. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Cho n sao cho max ∆Si 0. Hoài Nhân → ∞ → Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  12. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Cho n sao cho max ∆Si 0. Nếu Hoài Nhân → ∞ → lim In = I tồn tại hữu hạn, không phụ Tích phân hai n lớp →∞ Định nghĩa thuộc vào cách chia miền D và cách chọn Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Mi thì: Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  13. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Cho n sao cho max ∆Si 0. Nếu Hoài Nhân → ∞ → lim In = I tồn tại hữu hạn, không phụ Tích phân hai n lớp →∞ Định nghĩa thuộc vào cách chia miền D và cách chọn Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Mi thì: Tích phân trong tọa độ cực Ta nói hàm f khả tích trên D và I là Tích phân ba f D lớp tích phân của trên . Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  14. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Cho n sao cho max ∆Si 0. Nếu Hoài Nhân → ∞ → lim In = I tồn tại hữu hạn, không phụ Tích phân hai n lớp →∞ Định nghĩa thuộc vào cách chia miền D và cách chọn Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Mi thì: Tích phân trong tọa độ cực Ta nói hàm f khả tích trên D và I là Tích phân ba f D lớp tích phân của trên . Định nghĩa Cách tính tổng quát Ký hiệu: Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa I = f (x, y)dA = f (x, y)dxdy độ cầu ZZ ZZ Ứng dụng của D D tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  15. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Ý tưởng cơ bản là chuyển tích phân hai lớp về tích phân Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát xác định với số biến giảm dần và thứ tự lấy tích phân khác Tích phân trong tọa độ cực nhau. Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  16. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Ý tưởng cơ bản là chuyển tích phân hai lớp về tích phân Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát xác định với số biến giảm dần và thứ tự lấy tích phân khác Tích phân trong tọa độ cực nhau. Tích phân ba lớp Ta xét ba trường hợp của miền D: Hình chữ nhật, Hình Định nghĩa thang loại 1 và hình thang loại 2. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  17. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  18. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  19. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, y = c, CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  20. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, y = c, và CBGD. Lê Hoài Nhân y = d. Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  21. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, y = c, và CBGD. Lê Hoài Nhân y = d. Một điểm M(x, y) D có tính Tích phân hai lớp ∈ Định nghĩa chất: Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  22. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, y = c, và CBGD. Lê Hoài Nhân y = d. Một điểm M(x, y) D có tính Tích phân hai ∈ lớp a x b Định nghĩa chất: ≤ ≤ . Cách tính tổng quát  c y d Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  23. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, y = c, và CBGD. Lê Hoài Nhân y = d. Một điểm M(x, y) D có tính Tích phân hai ∈ lớp a x b Định nghĩa chất: ≤ ≤ . Cách tính tổng quát  c y d Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa độ cực Công thức: Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  24. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, y = c, và CBGD. Lê Hoài Nhân y = d. Một điểm M(x, y) D có tính Tích phân hai ∈ lớp a x b Định nghĩa chất: ≤ ≤ . Cách tính tổng quát  c y d Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa độ cực Công thức: Tích phân ba b d d b lớp Định nghĩa f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx Cách tính tổng quát ZZ Z Z Z Z Đổi biến tổng quát D a c c a Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  25. Tích phân trên hình chữ nhật - Công thức TÍCH PHÂN Hình chữ nhật giới hạn bởi các BỘI đường: x = a, x = b, y = c, và CBGD. Lê Hoài Nhân y = d. Một điểm M(x, y) D có tính Tích phân hai ∈ lớp a x b Định nghĩa chất: ≤ ≤ . Cách tính tổng quát  c y d Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa độ cực Công thức: Tích phân ba b d d b lớp Định nghĩa f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx Cách tính tổng quát ZZ Z Z Z Z Đổi biến tổng quát D a c c a Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Đặc biệt nếu f (x, y)= f1(x).f2(y) thì Ứng dụng của tích phân bội b d Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý f (x, y)dxdy = f1(x)dx f2(y)dy ZZ Z Z D a c
  26. Tích phân trên hình chữ nhật - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Ví dụ 1. Tính I = (4 x y)dxdy với D là miền Định nghĩa − − Cách tính tổng quát ZZ Đổi biến tổng quát D Tích phân trong tọa 0 x 1, 1 y 2. độ cực ≤ ≤ ≤ ≤ Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  27. Tích phân trên hình chữ nhật - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Ví dụ 1. Tính I = (4 x y)dxdy với D là miền Định nghĩa − − Cách tính tổng quát ZZ Đổi biến tổng quát D Tích phân trong tọa 0 x 1, 1 y 2. độ cực ≤ ≤ ≤ ≤ Tích phân ba lớp Ví dụ 2. Tính J = x ln ydxdy với D là miền Định nghĩa ZZ Cách tính tổng quát D Đổi biến tổng quát 0 x 4, 1 y e. Tích phân trong tọa ≤ ≤ ≤ ≤ độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  28. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  29. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba y = ϕ(x) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  30. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực y = ϕ(x) Tích phân ba lớp y = ψ(x) Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  31. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực y = ϕ(x) Tích phân ba y = ψ(x) lớp Định nghĩa x = a Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  32. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa y = ϕ(x) độ cực y = ψ(x) Tích phân ba lớp x = a Định nghĩa Cách tính tổng quát x = b Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  33. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Hình thang loại 1 là hình thang cong giới hạn bởi các đường: Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Hình thang loại 1 là hình thang Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa cong giới hạn bởi các đường: độ cực y = ϕ(x) Tích phân ba lớp y = ψ(x) Định nghĩa Cách tính tổng quát x = a Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa x = b độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  34. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  35. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Nếu Điểm M(x, y) D thì Hoài Nhân ∈ Tích phân hai a x b lớp ≤ ≤ . Định nghĩa  ψ(x) y ϕ(x) Cách tính tổng quát ≤ ≤ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  36. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Nếu Điểm M(x, y) D thì Hoài Nhân ∈ Tích phân hai a x b lớp ≤ ≤ . Định nghĩa  ψ(x) y ϕ(x) Cách tính tổng quát ≤ ≤ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba Công thức tích phân trên hình lớp thang loại 1 Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  37. Tích phân trên hình thang loại 1 TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Nếu Điểm M(x, y) D thì Hoài Nhân ∈ Tích phân hai a x b lớp ≤ ≤ . Định nghĩa  ψ(x) y ϕ(x) Cách tính tổng quát ≤ ≤ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba Công thức tích phân trên hình lớp thang loại 1 Định nghĩa Cách tính tổng quát b ϕ(x) Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy Tích phân trong tọa ZZ Z Z độ cầu D a ψ(x) Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  38. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (4x + 2)dxdy với D là miền giới hạn Hoài Nhân ZZ D Tích phân hai 2 lớp bởi các đường y = x, y = x , x = 1 và x = 2. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  39. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (4x + 2)dxdy với D là miền giới hạn Hoài Nhân ZZ D Tích phân hai 2 lớp bởi các đường y = x, y = x , x = 1 và x = 2. Định nghĩa Cách tính tổng quát Miền D Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  40. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (4x + 2)dxdy với D là miền giới hạn Hoài Nhân ZZ D Tích phân hai 2 lớp bởi các đường y = x, y = x , x = 1 và x = 2. Định nghĩa Cách tính tổng quát Miền D Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  41. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2. Tính (x3 + xy)dxdy với D là miền giới hạn CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D bởi các đường y = x2 và y = √x. Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  42. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2. Tính (x3 + xy)dxdy với D là miền giới hạn CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D bởi các đường y = x2 và y = √x. Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  43. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2. Tính (x3 + xy)dxdy với D là miền giới hạn CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D bởi các đường y = x2 và y = √x. Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  44. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 3. Tính 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  45. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 3. Tính 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  46. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 3. Tính 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  47. Tích phân trên hình thang loại 1 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 3. Tính 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  48. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  49. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Hình thang loại 2 là hình thang Định nghĩa Cách tính tổng quát cong giới hạn bởi các đường: Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  50. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Hình thang loại 2 là hình thang Định nghĩa Cách tính tổng quát cong giới hạn bởi các đường: Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa x = ϕ(y) độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  51. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Hình thang loại 2 là hình thang Định nghĩa Cách tính tổng quát cong giới hạn bởi các đường: Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa x = ϕ(y) độ cực Tích phân ba x = ψ(y) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  52. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Hình thang loại 2 là hình thang Định nghĩa Cách tính tổng quát cong giới hạn bởi các đường: Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa x = ϕ(y) độ cực Tích phân ba x = ψ(y) lớp y c Định nghĩa = Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  53. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Hình thang loại 2 là hình thang Định nghĩa Cách tính tổng quát cong giới hạn bởi các đường: Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa x = ϕ(y) độ cực Tích phân ba x = ψ(y) lớp y c Định nghĩa = Cách tính tổng quát y = d Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  54. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Điểm M(x, y) D thì (x, y) ∈ Tích phân hai c y d lớp thỏa ≤ ≤ Định nghĩa  ϕ(y) x ψ(y) Cách tính tổng quát ≤ ≤ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  55. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Điểm M(x, y) D thì (x, y) ∈ Tích phân hai c y d lớp thỏa ≤ ≤ Định nghĩa  ϕ(y) x ψ(y) Cách tính tổng quát ≤ ≤ Đổi biến tổng quát Công thức tích phân trên Tích phân trong tọa độ cực hình thang loại 2. Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  56. Tích phân trên hình thang loại 2 - Công thức TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Điểm M(x, y) D thì (x, y) ∈ Tích phân hai c y d lớp thỏa ≤ ≤ Định nghĩa  ϕ(y) x ψ(y) Cách tính tổng quát ≤ ≤ Đổi biến tổng quát Công thức tích phân trên Tích phân trong tọa độ cực hình thang loại 2. Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát y Tích phân trong tọa d ψ( ) độ trụ Tích phân trong tọa f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx độ cầu ZZ Z Z Ứng dụng của D c ϕ y tích phân bội ( ) Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  57. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 1. Tính tích phân (x y)dxdy, trong đó, D là ZZ − CBGD. Lê D Hoài Nhân miền giới hạn bởi các đường y = 1, y = 1, x = y 2 và Tích phân hai − lớp y = x + 1. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  58. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 1. Tính tích phân (x y)dxdy, trong đó, D là ZZ − CBGD. Lê D Hoài Nhân miền giới hạn bởi các đường y = 1, y = 1, x = y 2 và Tích phân hai − lớp y = x + 1. Định nghĩa Miền D Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  59. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 1. Tính tích phân (x y)dxdy, trong đó, D là ZZ − CBGD. Lê D Hoài Nhân miền giới hạn bởi các đường y = 1, y = 1, x = y 2 và Tích phân hai − lớp y = x + 1. Định nghĩa Miền D Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  60. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN 2 BỘI 2 4 x − x.e2y CBGD. Lê Ví dụ 2. Hãy tính tích phân kép sau: dx dy. Hoài Nhân Z Z 4 y 0 0 − Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  61. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN 2 BỘI 2 4 x − x.e2y CBGD. Lê Ví dụ 2. Hãy tính tích phân kép sau: dx dy. Hoài Nhân Z Z 4 y 0 0 − Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  62. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN 2 BỘI 2 4 x − x.e2y CBGD. Lê Ví dụ 2. Hãy tính tích phân kép sau: dx dy. Hoài Nhân Z Z 4 y 0 0 − Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  63. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 3. Tính 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  64. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 3. Tính 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  65. Tích phân trên hình thang loại 2 - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 3. Tính 2xdxdy với D là miền giới hạn bởi các CBGD. Lê ZZ Hoài Nhân D đường y = x2, x + y = 2 và y = 0. Tích phân hai lớp Miền D Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  66. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v) Tích phân hai  y = y(u, v) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ D0 vào D; Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  67. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v) Tích phân hai  y = y(u, v) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ D0 vào D; x, y là Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên D độ cực 0 Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  68. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v) Tích phân hai  y = y(u, v) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ D0 vào D; x, y là Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên D và độ cực 0 Tích phân ba lớp xu0 xv0 Định nghĩa J = = 0 Cách tính tổng quát yu0 yv0 6 Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  69. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v) Tích phân hai  y = y(u, v) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ D0 vào D; x, y là Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên D và độ cực 0 Tích phân ba lớp xu0 xv0 Định nghĩa J = = 0 Cách tính tổng quát yu0 yv0 6 Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa thì độ cầu Ứng dụng của tích phân bội f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) J dudv. Ứng dụng hình học ZZ ZZ | | 0 Ứng dụng vật lý D D
  70. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ.Tính tích phân dxdy với D là miền giới hạn bởi Hoài Nhân ZZ D Tích phân hai 2 2 2 2 lớp các đường x = y, x = 2y, y = x và y = 4x. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền D Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  71. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ.Tính tích phân dxdy với D là miền giới hạn bởi Hoài Nhân ZZ D Tích phân hai 2 2 2 2 lớp các đường x = y, x = 2y, y = x và y = 4x. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền D Miền D0 Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  72. Hệ tọa độ cực và tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI Hệ tọa độ cực gồm: điểm O cho trước được gọi là "cực" CBGD. Lê Hoài Nhân và tia OP được gọi là "trục cực". Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  73. Hệ tọa độ cực và tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI Hệ tọa độ cực gồm: điểm O cho trước được gọi là "cực" CBGD. Lê Hoài Nhân và tia OP được gọi là "trục cực". Tích phân hai Tọa độ cực của điểm M thuộc mặt phẳng gồm hai yếu tố: lớp Định nghĩa bán kính vector r = OM và góc cực ϕ = (OP, −−→OM). Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  74. Hệ tọa độ cực và tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI Hệ tọa độ cực gồm: điểm O cho trước được gọi là "cực" CBGD. Lê Hoài Nhân và tia OP được gọi là "trục cực". Tích phân hai Tọa độ cực của điểm M thuộc mặt phẳng gồm hai yếu tố: lớp Định nghĩa bán kính vector r = OM và góc cực ϕ = (OP, −−→OM). Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Cho trước hệ trục Oxy, chọn hệ tọa độ cực (O, Ox) thì Tích phân trong tọa độ cực điểm M(x, y) có tọa độ cực M(r, ϕ) với Tích phân ba lớp Định nghĩa x = r. cos ϕ Cách tính tổng quát . Đổi biến tổng quát  y = r. sin ϕ Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  75. Hệ tọa độ cực và tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI Hệ tọa độ cực gồm: điểm O cho trước được gọi là "cực" CBGD. Lê Hoài Nhân và tia OP được gọi là "trục cực". Tích phân hai Tọa độ cực của điểm M thuộc mặt phẳng gồm hai yếu tố: lớp Định nghĩa bán kính vector r = OM và góc cực ϕ = (OP, −−→OM). Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Cho trước hệ trục Oxy, chọn hệ tọa độ cực (O, Ox) thì Tích phân trong tọa độ cực điểm M(x, y) có tọa độ cực M(r, ϕ) với Tích phân ba lớp Định nghĩa x = r. cos ϕ Cách tính tổng quát . Đổi biến tổng quát  y = r. sin ϕ Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Nếu chọn (r, ϕ) thỏa 0 ϕ 2π (hay π r π) và Ứng dụng của ≤ ≤ − ≤ ≤ tích phân bội r 0 thì hệ phương trình trên xác định phép biến đổi 1 - Ứng dụng hình học ≥ Ứng dụng vật lý 1 với J = r.
  76. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI Đường cong trong tọa độ cực được cho bởi phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân F (r, ϕ)= 0 hay r = r(ϕ). Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  77. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI Đường cong trong tọa độ cực được cho bởi phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân F (r, ϕ)= 0 hay r = r(ϕ). Tích phân hai lớp Định nghĩa Ví dụ 1. Đường cong có phương trình r = ϕ cos ϕ. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  78. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Phương trình tia (Ot) hợp với tia Ox một góc Tích phân hai ϕ0: ϕ = ϕ0 với r 0. lớp ≥ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  79. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Phương trình tia (Ot) hợp với tia Ox một góc Tích phân hai ϕ0: ϕ = ϕ0 với r 0. lớp ≥ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  80. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 3. Phương trình của đường tròn tâm O bán kính a: Tích phân hai r = a với 0 ϕ 2π. lớp ≤ ≤ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  81. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 3. Phương trình của đường tròn tâm O bán kính a: Tích phân hai r = a với 0 ϕ 2π. lớp ≤ ≤ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  82. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 4. Phương trình đường tròn tâm I (a, 0), bán kính a: π π Tích phân hai r = 2a cos ϕ với ϕ . lớp − 2 ≤ ≤ 2 Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  83. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 4. Phương trình đường tròn tâm I (a, 0), bán kính a: π π Tích phân hai r = 2a cos ϕ với ϕ . lớp − 2 ≤ ≤ 2 Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  84. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 5. Phương trình đường tròn tâm I (0, b), bán kính Tích phân hai b: r = 2b sin ϕ với 0 ϕ π. lớp ≤ ≤ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  85. Phương trình đường cong trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 5. Phương trình đường tròn tâm I (0, b), bán kính Tích phân hai b: r = 2b sin ϕ với 0 ϕ π. lớp ≤ ≤ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  86. Tích phân trong tọa độ cực - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân x = r. cos ϕ Phép biến đổi với 0 ϕ 2π (hay Tích phân hai  y = r. sin ϕ ≤ ≤ lớp Định nghĩa π r π) và r 0 biến miền D0 trong mặt phẳng cực Cách tính tổng quát − ≤ ≤ ≥ Đổi biến tổng quát thành miền D trong mặt phẳng Oxy với J = r. Tích phân trong tọa | | độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  87. Tích phân trong tọa độ cực - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân x = r. cos ϕ Phép biến đổi với 0 ϕ 2π (hay Tích phân hai  y = r. sin ϕ ≤ ≤ lớp Định nghĩa π r π) và r 0 biến miền D0 trong mặt phẳng cực Cách tính tổng quát − ≤ ≤ ≥ Đổi biến tổng quát thành miền D trong mặt phẳng Oxy với J = r. Tích phân trong tọa | | độ cực Theo công thức đổi biến tổng quát ta có Công thức đổi Tích phân ba lớp biến trong tọa độ cực: Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát f (x, y)dxdy = f (r. cos ϕ, r. sin ϕ).r.drdϕ. Tích phân trong tọa độ trụ ZZ ZZ 0 Tích phân trong tọa D D độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  88. Tích phân trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI D là miền kín bao gốc tọa độ giới hạn bởi đường cong 0 ϕ 2π CBGD. Lê kín r = r(ϕ) thì (D0) : ≤ ≤ . Ta có, Hoài Nhân  0 r r(ϕ). ≤ ≤ Tích phân hai 2π r(ϕ) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát f (x, y)dxdy = dϕ f (r. cos ϕ, r. sin ϕ).r.dr. Đổi biến tổng quát ZZ Z Z Tích phân trong tọa D 0 0 độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  89. Tích phân trong tọa độ cực TÍCH PHÂN BỘI D là miền kín bao gốc tọa độ giới hạn bởi đường cong 0 ϕ 2π CBGD. Lê kín r = r(ϕ) thì (D0) : ≤ ≤ . Ta có, Hoài Nhân  0 r r(ϕ). ≤ ≤ Tích phân hai 2π r(ϕ) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát f (x, y)dxdy = dϕ f (r. cos ϕ, r. sin ϕ).r.dr. Đổi biến tổng quát ZZ Z Z Tích phân trong tọa D 0 0 độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  90. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân D là miền hình tròn tâm O, bán kính a thì 0 ϕ 2π Tích phân hai (D0) : ≤ ≤ . Ta có, lớp  0 r a. Định nghĩa ≤ ≤ Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát 2π a Tích phân trong tọa độ cực f (x, y)dxdy = dϕ f (r. cos ϕ, r. sin ϕ).r.dr. Tích phân ba ZZ Z Z lớp D 0 0 Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  91. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân D là miền hình tròn tâm O, bán kính a thì 0 ϕ 2π Tích phân hai (D0) : ≤ ≤ . Ta có, lớp  0 r a. Định nghĩa ≤ ≤ Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát 2π a Tích phân trong tọa độ cực f (x, y)dxdy = dϕ f (r. cos ϕ, r. sin ϕ).r.dr. Tích phân ba ZZ Z Z lớp D 0 0 Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát 2 2 Tích phân trong tọa x y độ trụ Ví dụ 1. Tính tích phân I = e− − dxdy trong đó, Tích phân trong tọa ZZ độ cầu D Ứng dụng của D là miền hình tròn x2 + y 2 a2, a > 0. tích phân bội ≤ Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  92. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân D là miền không bao gốc tọa độ giới hạn bởi các Tích phân hai ϕ = α lớp Định nghĩa  ϕ = β Cách tính tổng quát đường (D ) : . Ta có, 0  r r ϕ Đổi biến tổng quát  = 1( ) Tích phân trong tọa độ cực r = r2(ϕ) Tích phân ba  lớp  β r2(ϕ) Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát f (x, y)dxdy = dϕ f (r. cos ϕ, r. sin ϕ).r.dr. Tích phân trong tọa ZZ Z Z độ trụ D α r (ϕ) Tích phân trong tọa 1 độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  93. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI y CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính tích phân I = arctan dxdy với D là Hoài Nhân ZZ x D Tích phân hai x lớp miền 1 x2 + y 2 9 và y x.√3. Định nghĩa ≤ ≤ √3 ≤ ≤ Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  94. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI y CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính tích phân I = arctan dxdy với D là Hoài Nhân ZZ x D Tích phân hai x lớp miền 1 x2 + y 2 9 và y x.√3. Định nghĩa ≤ ≤ √3 ≤ ≤ Cách tính tổng quát 4 Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba 3 lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát y 2 Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ 1 Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của 0 tích phân bội 0 1 2 3 4 x Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  95. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê 2 2 Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính tích phân I = 4 x y dxdy với ZZ p − − Tích phân hai D lớp D là nửa trên của hình tròn (x 1)2 + y 2 1. Định nghĩa − ≤ Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  96. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê 2 2 Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính tích phân I = 4 x y dxdy với ZZ p − − Tích phân hai D lớp D là nửa trên của hình tròn (x 1)2 + y 2 1. Định nghĩa − ≤ Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  97. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 3. Tính tích phân I = dxdy với D là miền giới ZZ Tích phân hai D lớp hạn bởi đường cong (x2 + y 2)2 = 2xy. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  98. Tích phân trong tọa độ cực - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 3. Tính tích phân I = dxdy với D là miền giới ZZ Tích phân hai D lớp hạn bởi đường cong (x2 + y 2)2 = 2xy. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  99. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên miền đóng, bị chặn V Tích phân hai trong không gian xyz. lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  100. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên miền đóng, bị chặn V Tích phân hai trong không gian xyz. lớp Định nghĩa Chia miền thành n miền con không dẫm lên nhau có tên Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát và thể tích gọi chung là ∆v1, ∆v2, , ∆vn. Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  101. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên miền đóng, bị chặn V Tích phân hai trong không gian xyz. lớp Định nghĩa Chia miền thành n miền con không dẫm lên nhau có tên Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát và thể tích gọi chung là ∆v1, ∆v2, , ∆vn. Tích phân trong tọa độ cực Trong mỗi miền con ∆vi với i = 1, , n lấy điểm Tích phân ba lớp Mi (xi , yi , zi ) và lập tổng tích phân Định nghĩa Cách tính tổng quát n Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa I = f (x , y , z ).∆v . độ trụ n i i i i Tích phân trong tọa Xk 1 độ cầu = Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  102. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Gọi di là đường kính của miền ∆vi . Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  103. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Gọi di là đường kính của miền ∆vi . Cho n sao cho −→ ∞ Tích phân hai max di 0. lớp −→ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  104. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Gọi di là đường kính của miền ∆vi . Cho n sao cho −→ ∞ Tích phân hai max di 0. Nếu tồn tại giới hạn lim In = I một lớp −→ max di 0 → Định nghĩa cách độc lập với cách chia miền và cách chọn các điểm Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát M (x , y , z ) của miền ∆v Tích phân trong tọa i i i i i độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  105. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Gọi di là đường kính của miền ∆vi . Cho n sao cho −→ ∞ Tích phân hai max di 0. Nếu tồn tại giới hạn lim In = I một lớp −→ max di 0 → Định nghĩa cách độc lập với cách chia miền và cách chọn các điểm Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát M (x , y , z ) của miền ∆v thì ta nói Tích phân trong tọa i i i i i độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  106. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Gọi di là đường kính của miền ∆vi . Cho n sao cho −→ ∞ Tích phân hai max di 0. Nếu tồn tại giới hạn lim In = I một lớp −→ max di 0 → Định nghĩa cách độc lập với cách chia miền và cách chọn các điểm Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát M (x , y , z ) của miền ∆v thì ta nói Tích phân trong tọa i i i i i độ cực Hàm số f (x, y, z) khả tích trên miền . Tích phân ba V lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  107. Định nghĩa TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Gọi di là đường kính của miền ∆vi . Cho n sao cho −→ ∞ Tích phân hai max di 0. Nếu tồn tại giới hạn lim In = I một lớp −→ max di 0 → Định nghĩa cách độc lập với cách chia miền và cách chọn các điểm Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát M (x , y , z ) của miền ∆v thì ta nói Tích phân trong tọa i i i i i độ cực Hàm số f (x, y, z) khả tích trên miền . Tích phân ba V lớp I là tích phân 3 lớp của hàm f (x, y, z) trên miền và V Định nghĩa được ký hiệu là Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ I = f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dxdydz. Tích phân trong tọa ZZZ ZZZ độ cầu V V Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  108. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Xét miền là một thể hình trụ mở rộng được giới hạn bởi Hoài Nhân V Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  109. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Xét miền là một thể hình trụ mở rộng được giới hạn bởi Hoài Nhân V Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Hai mặt cong đơn giản độ cực Tích phân ba z = z1(x, y) lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  110. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Xét miền là một thể hình trụ mở rộng được giới hạn bởi Hoài Nhân V Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Hai mặt cong đơn giản độ cực Tích phân ba z = z1(x, y) và lớp z = z2(x, y) Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  111. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Xét miền là một thể hình trụ mở rộng được giới hạn bởi Hoài Nhân V Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Hai mặt cong đơn giản độ cực Tích phân ba z = z1(x, y) và lớp z = z2(x, y) trong đó Định nghĩa Cách tính tổng quát z1 z2. Đổi biến tổng quát ≤ Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  112. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Mặt bên được giới hạn độ cực bởi mặt trụ có đường sinh Tích phân ba lớp song song với trục Oz. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  113. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Mọi điểm M(x, y, z) Cách tính tổng quát ∈V Đổi biến tổng quát đều thỏa Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba z1(x, y) z z2(x, y). lớp ≤ ≤ Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  114. Cách tính tổng quát TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Gọi là hình chiếu của độ cực D V trên mặt phẳng Oxy. Ta Tích phân ba lớp xét các trường hợp sau: Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  115. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 1 D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê là hình thang loại 1 thì Hoài Nhân D Tích phân hai a x b lớp ≤ ≤ Định nghĩa :  ψ(x) y ϕ(x) Cách tính tổng quát V  ≤ ≤ Đổi biến tổng quát z1(x, y) z z2(x, y) Tích phân trong tọa ≤ ≤ độ cực  Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  116. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 1 D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê là hình thang loại 1 thì Hoài Nhân D Tích phân hai a x b lớp ≤ ≤ Định nghĩa :  ψ(x) y ϕ(x) Cách tính tổng quát V  ≤ ≤ Đổi biến tổng quát z1(x, y) z z2(x, y) Tích phân trong tọa ≤ ≤ độ cực  Tích phân ba lớp Công thức: Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát x z x y Tích phân trong tọa b ϕ( ) 2( , ) độ trụ Tích phân trong tọa f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz độ cầu ZZZ Z Z Z Ứng dụng của a ψ(x) z (x,y) tích phân bội V 1 Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  117. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 1 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính tích phân I = ydxdydz trong đó là Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 lớp miền giới hạn bởi các mặt y = x , y + z = 1 và z = 0. Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  118. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 1 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính tích phân I = ydxdydz trong đó là Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 lớp miền giới hạn bởi các mặt y = x , y + z = 1 và z = 0. Định nghĩa Cách tính tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Đổi biến tổng quát V D Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  119. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 1 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính tích phân I = ydxdydz trong đó là Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 lớp miền giới hạn bởi các mặt y = x , y + z = 1 và z = 0. Định nghĩa Cách tính tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Đổi biến tổng quát V D Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  120. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 1 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính tích phân I = ydxdydz trong đó là Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 lớp miền giới hạn bởi các mặt y = x , y + z = 1 và z = 0. Định nghĩa Cách tính tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Đổi biến tổng quát V D Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  121. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 1 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính tích phân I = ydxdydz trong đó là Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 lớp miền giới hạn bởi các mặt y = x , y + z = 1 và z = 0. Định nghĩa Cách tính tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Đổi biến tổng quát V D Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  122. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê là hình thang loại 2 thì Hoài Nhân D Tích phân hai c y d lớp ≤ ≤ Định nghĩa :  ψ(y) x ϕ(y) Cách tính tổng quát V  ≤ ≤ Đổi biến tổng quát z1(x, y) z z2(x, y) Tích phân trong tọa ≤ ≤ độ cực  Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  123. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 D TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê là hình thang loại 2 thì Hoài Nhân D Tích phân hai c y d lớp ≤ ≤ Định nghĩa :  ψ(y) x ϕ(y) Cách tính tổng quát V  ≤ ≤ Đổi biến tổng quát z1(x, y) z z2(x, y) Tích phân trong tọa ≤ ≤ độ cực  Tích phân ba lớp Công thức: Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát y z x y Tích phân trong tọa d ϕ( ) 2( , ) độ trụ Tích phân trong tọa f (x, y, z)dxdydz = dy dx f (x, y, z)dz độ cầu ZZZ Z Z Z Ứng dụng của c ψ(y) z (x,y) tích phân bội V 1 Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  124. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = dxdydz trong CBGD. Lê ZZZ 1 x y Hoài Nhân − − V Tích phân hai đó là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, lớp V Định nghĩa y = 0 và z = 0. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  125. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = dxdydz trong CBGD. Lê ZZZ 1 x y Hoài Nhân − − V Tích phân hai đó là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, lớp V Định nghĩa y = 0 và z = 0. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Tích phân trong tọa V D độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  126. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = dxdydz trong CBGD. Lê ZZZ 1 x y Hoài Nhân − − V Tích phân hai đó là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, lớp V Định nghĩa y = 0 và z = 0. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Tích phân trong tọa V D độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  127. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = dxdydz trong CBGD. Lê ZZZ 1 x y Hoài Nhân − − V Tích phân hai đó là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, lớp V Định nghĩa y = 0 và z = 0. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Tích phân trong tọa V D độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  128. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = dxdydz trong CBGD. Lê ZZZ 1 x y Hoài Nhân − − V Tích phân hai đó là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, lớp V Định nghĩa y = 0 và z = 0. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Tích phân trong tọa V D độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  129. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = dxdydz trong CBGD. Lê ZZZ 1 x y Hoài Nhân − − V Tích phân hai đó là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, lớp V Định nghĩa y = 0 và z = 0. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Tích phân trong tọa V D độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  130. Cách tính tổng quát - là hình thang loại 2 - D Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI 1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = dxdydz trong CBGD. Lê ZZZ 1 x y Hoài Nhân − − V Tích phân hai đó là miền giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0, lớp V Định nghĩa y = 0 và z = 0. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Miền và hình chiếu trên mặt phẳng Oxy Tích phân trong tọa V D độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  131. Trường hợp đặc biệt - là miền hình hộp chữ nhật V TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê là hình hình hộp chữ nhật thì Hoài Nhân V Tích phân hai a x b lớp ≤ ≤ Định nghĩa :  c y d . Cách tính tổng quát V ≤ ≤ Đổi biến tổng quát  g z h Tích phân trong tọa ≤ ≤ độ cực  Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  132. Trường hợp đặc biệt - là miền hình hộp chữ nhật V TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê là hình hình hộp chữ nhật thì Hoài Nhân V Tích phân hai a x b lớp ≤ ≤ Định nghĩa :  c y d . Cách tính tổng quát V ≤ ≤ Đổi biến tổng quát  g z h Tích phân trong tọa ≤ ≤ độ cực  Tích phân ba lớp Công thức: Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa b d h độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz ZZZ Z Z Z Ứng dụng của a c g tích phân bội V Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  133. Trường hợp đặc biệt - là miền hình hộp chữ nhật và hàm f tách biến V TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân có dạng V a x b Tích phân hai ≤ ≤ lớp :  c y d . Định nghĩa V ≤ ≤ Cách tính tổng quát  g z h Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa độ cực  Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  134. Trường hợp đặc biệt - là miền hình hộp chữ nhật và hàm f tách biến V TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân có dạng V a x b Tích phân hai ≤ ≤ lớp :  c y d . Định nghĩa V ≤ ≤ Cách tính tổng quát  g z h Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa  độ cực và f (x, y, z)= f1(x).f2(y).f3(z) Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  135. Trường hợp đặc biệt - là miền hình hộp chữ nhật và hàm f tách biến V TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân có dạng V a x b Tích phân hai ≤ ≤ lớp :  c y d . Định nghĩa V ≤ ≤ Cách tính tổng quát  g z h Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa  độ cực và f (x, y, z)= f1(x).f2(y).f3(z) Tích phân ba lớp ta có công thức: Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát b d h Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa f (x, y, z)dxdydz = f1(x)dx f2(y)dy f3(z)dz độ cầu ZZZ Z Z Z Ứng dụng của a c g tích phân bội V Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  136. Trường hợp đặc biệt - là miền hình hộp chữ nhật - Ví dụ V TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai 1 lớp Ví dụ 3. Tính tích phân I = dxdydz với Định nghĩa ZZZ 1 x y Cách tính tổng quát − − Đổi biến tổng quát V Tích phân trong tọa miền thỏa 0 x 1, 2 y 5 và 2 z 4. độ cực V ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  137. Trường hợp đặc biệt - là miền hình hộp chữ nhật - Ví dụ V TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai 1 lớp Ví dụ 3. Tính tích phân I = dxdydz với Định nghĩa ZZZ 1 x y Cách tính tổng quát − − Đổi biến tổng quát V Tích phân trong tọa miền thỏa 0 x 1, 2 y 5 và 2 z 4. độ cực V ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Tích phân ba lớp Ví dụ 4. Tính tích phân I = xyzdxdydz với miền Định nghĩa ZZZ V Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát thỏa 0 x 2, 0 y 2π và 0 z 1. Tích phân trong tọa độ trụ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  138. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v, w)  y = y(u, v, w) Tích phân hai lớp  z = z(u, v, w) Định nghĩa Cách tính tổng quát  Đổi biến tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ 0 vào ; Tích phân trong tọa V V độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  139. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v, w)  y = y(u, v, w) Tích phân hai lớp  z = z(u, v, w) Định nghĩa Cách tính tổng quát  Đổi biến tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ 0 vào ; x, y, z là Tích phân trong tọa V V độ cực những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên 0 Tích phân ba V lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  140. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v, w)  y = y(u, v, w) Tích phân hai lớp  z = z(u, v, w) Định nghĩa Cách tính tổng quát  Đổi biến tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ 0 vào ; x, y, z là Tích phân trong tọa V V độ cực những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên 0 và Tích phân ba V lớp xu0 xv0 xw0 Định nghĩa Cách tính tổng quát J = yu0 yv0 yw0 = 0 Đổi biến tổng quát 6 Tích phân trong tọa zu0 zv0 zw0 độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  141. Đổi biến tổng quát TÍCH PHÂN BỘI Giả sử, hệ phương trình CBGD. Lê Hoài Nhân x = x(u, v, w)  y = y(u, v, w) Tích phân hai lớp  z = z(u, v, w) Định nghĩa Cách tính tổng quát  Đổi biến tổng quát xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ 0 vào ; x, y, z là Tích phân trong tọa V V độ cực những hàm có đạo hàm riêng liên tục trên 0 và Tích phân ba V lớp xu0 xv0 xw0 Định nghĩa Cách tính tổng quát J = yu0 yv0 yw0 = 0 Đổi biến tổng quát 6 Tích phân trong tọa zu0 zv0 zw0 độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu thì Ứng dụng của tích phân bội f (x, y, z)dxdydz = Ứng dụng hình học RRRV Ứng dụng vật lý f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J dudvdw. 0 | | RRRV
  142. Tọa độ trụ - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tọa độ trụ của điểm M(x, yz) có dạng M(r, ϕ, z), trong Tích phân hai đó điểm (r, ϕ) là tọa độ cực của M (x, y, 0) trong mặt lớp 0 Định nghĩa phẳng Oxy. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  143. Tọa độ trụ - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tọa độ trụ của điểm M(x, yz) có dạng M(r, ϕ, z), trong Tích phân hai đó điểm (r, ϕ) là tọa độ cực của M (x, y, 0) trong mặt lớp 0 Định nghĩa phẳng Oxy. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ trụ thể hiện qua phép Tích phân trong tọa độ cực biến đổi: Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  144. Tọa độ trụ - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tọa độ trụ của điểm M(x, yz) có dạng M(r, ϕ, z), trong Tích phân hai đó điểm (r, ϕ) là tọa độ cực của M (x, y, 0) trong mặt lớp 0 Định nghĩa phẳng Oxy. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ trụ thể hiện qua phép Tích phân trong tọa độ cực biến đổi: Tích phân ba x r ϕ lớp = cos Định nghĩa  y = r sin ϕ Cách tính tổng quát  Đổi biến tổng quát z = z Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa  độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  145. Tọa độ trụ - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tọa độ trụ của điểm M(x, yz) có dạng M(r, ϕ, z), trong Tích phân hai đó điểm (r, ϕ) là tọa độ cực của M (x, y, 0) trong mặt lớp 0 Định nghĩa phẳng Oxy. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ trụ thể hiện qua phép Tích phân trong tọa độ cực biến đổi: Tích phân ba x r ϕ lớp = cos Định nghĩa  y = r sin ϕ Cách tính tổng quát  Đổi biến tổng quát z = z Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa  độ cầu Phép biến đổi này có Jacobian J = r. Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  146. Tọa độ trụ - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Công thức đổi biến Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  147. Tọa độ trụ - Công thức đổi biến TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Công thức đổi biến Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực f (x, y, z)dxdydz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z).r.drdϕdz. Tích phân ba ZZZ ZZZ lớp 0 Định nghĩa V V Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  148. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (x2 + y 2)dxdydz biết là miền giới Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 2 2 2 lớp hạn bởi các mặt x + y = 1, x + y = 4, y = 0, y = x Định nghĩa Cách tính tổng quát (phần x > 0), z = 0 và z = 2. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  149. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (x2 + y 2)dxdydz biết là miền giới Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 2 2 2 lớp hạn bởi các mặt x + y = 1, x + y = 4, y = 0, y = x Định nghĩa Cách tính tổng quát (phần x > 0), z = 0 và z = 2. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  150. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (x2 + y 2)dxdydz biết là miền giới Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 2 2 2 lớp hạn bởi các mặt x + y = 1, x + y = 4, y = 0, y = x Định nghĩa Cách tính tổng quát (phần x > 0), z = 0 và z = 2. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  151. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (x2 + y 2)dxdydz biết là miền giới Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 2 2 2 lớp hạn bởi các mặt x + y = 1, x + y = 4, y = 0, y = x Định nghĩa Cách tính tổng quát (phần x > 0), z = 0 và z = 2. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  152. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (x2 + y 2)dxdydz biết là miền giới Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 2 2 2 lớp hạn bởi các mặt x + y = 1, x + y = 4, y = 0, y = x Định nghĩa Cách tính tổng quát (phần x > 0), z = 0 và z = 2. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  153. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (x2 + y 2)dxdydz biết là miền giới Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 2 2 2 lớp hạn bởi các mặt x + y = 1, x + y = 4, y = 0, y = x Định nghĩa Cách tính tổng quát (phần x > 0), z = 0 và z = 2. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  154. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Ví dụ 1. Tính (x2 + y 2)dxdydz biết là miền giới Hoài Nhân ZZZ V Tích phân hai V 2 2 2 2 lớp hạn bởi các mặt x + y = 1, x + y = 4, y = 0, y = x Định nghĩa Cách tính tổng quát (phần x > 0), z = 0 và z = 2. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  155. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính zdxdydz biết là miền giới hạn bởi ZZZ V Tích phân hai lớp z x2 V y 2 z x2 y 2 Định nghĩa các mặt = + , = 0, + = 4. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  156. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính zdxdydz biết là miền giới hạn bởi ZZZ V Tích phân hai lớp z x2 V y 2 z x2 y 2 Định nghĩa các mặt = + , = 0, + = 4. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  157. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính zdxdydz biết là miền giới hạn bởi ZZZ V Tích phân hai lớp z x2 V y 2 z x2 y 2 Định nghĩa các mặt = + , = 0, + = 4. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  158. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính zdxdydz biết là miền giới hạn bởi ZZZ V Tích phân hai lớp z x2 V y 2 z x2 y 2 Định nghĩa các mặt = + , = 0, + = 4. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  159. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính zdxdydz biết là miền giới hạn bởi ZZZ V Tích phân hai lớp z x2 V y 2 z x2 y 2 Định nghĩa các mặt = + , = 0, + = 4. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  160. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Ví dụ 2. Tính zdxdydz biết là miền giới hạn bởi ZZZ V Tích phân hai lớp z x2 V y 2 z x2 y 2 Định nghĩa các mặt = + , = 0, + = 4. Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  161. Tọa độ trụ - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Ví dụ 3. Định nghĩa Tính tích phân lặp Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát 2 2 2 2 Tích phân trong tọa 2a √2ax x √4a x y độ cực − − − Tích phân ba I = dx dy dz. lớp Z Z Z Định nghĩa 0 √2ax x2 0 Cách tính tổng quát − − Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  162. Tọa độ cầu TÍCH PHÂN BỘI M CBGD. Lê Tọa độ cầu của một điểm trong không gian gồm Hoài Nhân (r,θ,ϕ) với Tích phân hai r = OM lớp θ = (−→Oz, −−→OM) Định nghĩa 0 0 Cách tính tổng quát ϕ = (−→Ox, −−→OM ), M là hình chiếu của M trên mặt phẳng Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Oxy. độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  163. Tọa độ cầu TÍCH PHÂN BỘI M CBGD. Lê Tọa độ cầu của một điểm trong không gian gồm Hoài Nhân (r,θ,ϕ) với Tích phân hai r = OM lớp θ = (−→Oz, −−→OM) Định nghĩa 0 0 Cách tính tổng quát ϕ = (−→Ox, −−→OM ), M là hình chiếu của M trên mặt phẳng Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Oxy. độ cực Tích phân ba Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ cầu lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát x = r cos ϕ sin θ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa  y = r sin ϕ sin θ độ trụ  Tích phân trong tọa z = r cos θ độ cầu Ứng dụng của  tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  164. Tọa độ cầu TÍCH PHÂN BỘI M CBGD. Lê Tọa độ cầu của một điểm trong không gian gồm Hoài Nhân (r,θ,ϕ) với Tích phân hai r = OM lớp θ = (−→Oz, −−→OM) Định nghĩa 0 0 Cách tính tổng quát ϕ = (−→Ox, −−→OM ), M là hình chiếu của M trên mặt phẳng Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa Oxy. độ cực Tích phân ba Liên hệ giữa tọa độ Oxyz và tọa độ cầu lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát x = r cos ϕ sin θ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa  y = r sin ϕ sin θ độ trụ  Tích phân trong tọa z = r cos θ độ cầu Ứng dụng của  tích phân bội 2 Ứng dụng hình học Phép biến đổi này có Jacobian: J = r sin θ Ứng dụng vật lý
  165. Công thức tích phân trong tọa độ cầu TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  166. Công thức tích phân trong tọa độ cầu TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Công thức Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  167. Công thức tích phân trong tọa độ cầu TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Công thức Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa f (x, y, z)dxdydz độ cực ZZZ Tích phân ba lớp V 2 Định nghĩa = f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ).r sin θdϕdθdr Cách tính tổng quát ZZZ Đổi biến tổng quát 0 Tích phân trong tọa độ trụ V Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  168. Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  169. Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Ví dụ 1. Tính tích phân I = zdxdydz với là miền Đổi biến tổng quát ZZZ V Tích phân trong tọa độ cực 2 2 V 2 Tích phân ba giới hạn bởi mặt cầu x + y + z = 2 và mặt nón lớp z = x2 + y 2 (phần phía trong mặt nón). Định nghĩa Cách tính tổng quát p Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  170. Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  171. Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp 2 2 2 Định nghĩa Ví dụ 2. Tính tích phân I = (x + y + z )dxdydz Cách tính tổng quát ZZZ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa V độ cực với là miền giới hạn bởi hai mặt cầu x2 + y 2 + z2 = a2 Tích phân ba V2 2 2 2 lớp và x + y + z = b (a < b), phần nằm phía trên mặt Định nghĩa Cách tính tổng quát phẳng Oxy. Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  172. Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  173. Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp 2 2 2 Định nghĩa Ví dụ 3. Tính tích phân I = x + y + z dxdydz Cách tính tổng quát ZZZ Đổi biến tổng quát p Tích phân trong tọa 2 2V 2 độ cực với là miền hình cầu x + y + z z. Tích phân ba V ≤ lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  174. Tích phân trong tọa độ cầu - Các ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp 2 2 2 Định nghĩa Ví dụ 3. Tính tích phân I = x + y + z dxdydz Cách tính tổng quát ZZZ Đổi biến tổng quát p Tích phân trong tọa 2 2V 2 độ cực với là miền hình cầu x + y + z z. Tích phân ba V ≤ lớp BTVN. Hãy tính tích phân trên với là một trong các Định nghĩa 2 2 2 V2 2 2 Cách tính tổng quát miền hình cầu x + y + z x và x + y + z y. Đổi biến tổng quát ≤ ≤ Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  175. Tính diện tích miền phẳng TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  176. Tính diện tích miền phẳng TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Diện tích miền trong hệ tọa độ Oxy D Tích phân hai lớp Định nghĩa S = dxdy Cách tính tổng quát D ZZ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa D độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  177. Tính diện tích miền phẳng TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Diện tích miền trong hệ tọa độ Oxy D Tích phân hai lớp Định nghĩa S = dxdy Cách tính tổng quát D ZZ Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa D độ cực Tích phân ba lớp Diện tích miền trong tọa độ cực Định nghĩa D Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa S = r.drdϕ độ trụ D ZZ Tích phân trong tọa độ cầu D Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  178. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  179. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Tích phân trong tọa độ cực đường x = 4y y 2 và x + y = 6. Tích phân ba − lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  180. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Tích phân trong tọa độ cực đường x = 4y y 2 và x + y = 6. Tích phân ba − lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  181. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  182. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Tích phân trong tọa độ cực đường thẳng y = x, x = 2y, x + y = 2 và x + 3y = 2. Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  183. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Tích phân trong tọa độ cực đường thẳng y = x, x = 2y, x + y = 2 và x + 3y = 2. Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  184. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  185. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng nằm ngoài đường tròn Tích phân trong tọa 2 độ cực r = 1 và nằm trong đường tròn r = cos ϕ. Tích phân ba √3 lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  186. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng nằm ngoài đường tròn Tích phân trong tọa 2 độ cực r = 1 và nằm trong đường tròn r = cos ϕ. Tích phân ba √3 lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  187. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  188. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Tích phân trong tọa 3 3 độ cực cong x + y = a.x.y và các trục tọa độ (phần nằm trong Tích phân ba góc phần tư thứ nhất). lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  189. Tính diện tích miền phẳng - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Tích phân trong tọa 3 3 độ cực cong x + y = a.x.y và các trục tọa độ (phần nằm trong Tích phân ba góc phần tư thứ nhất). lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  190. Tính diện tích mặt cong TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  191. Tính diện tích mặt cong TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai Cho mặt cong có phương trình z = z(x, y) xác định lớp S Định nghĩa trên miền (hình chiếu của trên mặt phẳng Oxy). Cách tính tổng quát D S Đổi biến tổng quát Diện tích mặt là Tích phân trong tọa độ cực S Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  192. Tính diện tích mặt cong TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai Cho mặt cong có phương trình z = z(x, y) xác định lớp S Định nghĩa trên miền (hình chiếu của trên mặt phẳng Oxy). Cách tính tổng quát D S Đổi biến tổng quát Diện tích mặt là Tích phân trong tọa độ cực S Tích phân ba 2 2 lớp S = 1 + zx0 + zy0 dxdy Định nghĩa ZZ q Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát D Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  193. Tính diện tích mặt cong - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  194. Tính diện tích mặt cong - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 1. Tính diện tích của phần mặt Hyperbolic Tích phân trong tọa 2 2 độ cực paraboloid z = x y nằm phía trong mặt trụ 2 2 2 − Tích phân ba x + y = a . lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  195. Tính diện tích mặt cong - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  196. Tính diện tích mặt cong - Ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 2. Tính diện tích của phần mặt phẳng z = 2x nằm Tích phân trong tọa độ cực phía trong mặt paraboloid z = x2 + y 2. Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  197. Tính Thể tích vật thể TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  198. Tính Thể tích vật thể TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Thể tích vật thể trong không gian được tính theo công Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát thức: Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  199. Tính Thể tích vật thể TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Thể tích vật thể trong không gian được tính theo công Cách tính tổng quát V Đổi biến tổng quát thức: Tích phân trong tọa độ cực V = dxdydz Tích phân ba ZZZ lớp Định nghĩa V Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  200. Tính Thể tích vật thể - ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  201. Tính Thể tích vật thể - ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 1. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt Tích phân trong tọa độ cực V z = y 2, z = 0, x = 0, x = 1, y = 1, y = 1. Tích phân ba − lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  202. Tính Thể tích vật thể - ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  203. Tính Thể tích vật thể - ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 2. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt cầu Tích phân trong tọa 2 2 2 V 2 2 độ cực x + y + z = 2 và mặt nón z = x + y (phần nằm Tích phân ba phía trong mặt nón). p lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  204. Tính Thể tích vật thể - ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  205. Tính Thể tích vật thể - ví dụ TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Ví dụ 3. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt nón Tích phân trong tọa V độ cực z = x2 + y 2 và paraboloid z = x2 + y 2. Tích phân ba lớp p Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  206. Tính khối lượng TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Hoài Nhân Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý
  207. Tính khối lượng TÍCH PHÂN BỘI CBGD. Lê Khối lượng bản phẳng. Cho bản phẳng chiếm miền Hoài Nhân D trong mặt phẳng. Hàm khối lượng riêng (hàm mật độ khối Tích phân hai lớp lượng) tại mỗi điểm M là δ(M). Khối lượng của bản Định nghĩa ∈ D Cách tính tổng quát được tính theo công thức Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ trụ Tích phân trong tọa độ cầu Ứng dụng của tích phân bội Ứng dụng hình học Ứng dụng vật lý