Bài giảng môn Toán cao cấp

pdf 60 trang Đức Chiến 03/01/2024 270
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Toán cao cấp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_mon_toan_cao_cap.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp

  1. HỌC VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: Trần Thị Xuyến HÀ NỘI - 2013
  2. GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Số tín chỉ: 3. Phân bố thời gian: Lý thuyết 60 % Bài tập 40 % Chương 1: Hàm số và giới hạn Chương 2: Đạo hàm Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến. Chương 4: Tích phân Chương 5: Phương trình vi phân Chương 6: Phương trình sai phân TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN Điểm chuyên cần: 10 % Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 % Thi hết học phần: 60% Thang điểm 10. Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3 Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6 1
  3. CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 HÀM SỐ 1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ A. Biến số Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên một tập số X 6= ∅. Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z và X gọi là miền biến thiên. Các biến số kinh tế hay gặp p: giá cả. QS: Lượng cung. QD: Lượng cầu. π: Lợi nhuận TC: Tổng chi phí VC: Chi phí biến đổi FC: Chi phí cố định AT C: Tổng chi phí bình quân AV C: Chi phí biến đổi bình quân TR: Tổng doanh thu K: Vốn L: Lao động C: Lượng tiêu dùng S: Lượng tiết kiệm. Y : Thu nhập. B.Hàm số Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số f xác định trên X ⊂ R là một quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y. Kí hiệu: y = f(x) 2
  4. x gọi là biến độc lập. X gọi là miền xác định. y gọi là biến phụ thuộc. f(X) = {y ∈ R|y = f(x), x ∈ X} là miền giá trị của hàm số. Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f(x), x ∈ X} C. Các cách cho hàm số 1. Hàm số cho bởi bảng. 2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích.  √  x3 − 1, x > 3 Ví dụ 1.1.1. y = 5 − x2 hay y =  5 + x, x ≤ 3 3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số. D. Hàm ẩn Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y: F (x, y) = 0 thì y gọi là hàm ẩn của x. Ví dụ 1.1.2. x2 + y2 − 1 = 0 hay x3 − y3 + 1 = 0 E. Hàm ngược Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y = f(x) với miền xác định X, miền giá trị Y. Nếu ∀y0 ∈ Y , phương trình f(x) = y0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0 ∈ Y một và chỉ một x0 ∈ X sao cho f(x0) = y0. Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f(x), kí hiệu là: f −1. Cách tìm hàm ngược • Viết f(x) = y và tìm x theo y • Đổi chỗ kí hiệu x, y cho nhau để biểu diễn f −1 như là hàm của x. Ví dụ 1.1.3. Tìm hàm ngược của hàm sau y = (x − 1)2, ∀x ≥ 1 3
  5. Các hàm ngược của các hàm số cơ bản  π π  1. Khi xét hàm số y = sin x xác định trên X = − 2 , 2 và có MGT [−1, 1] có hàm  π π  ngược là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là − 2 , 2 . 2. Khi xét hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngược là y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π]. π π  3. Khi xét hàm số y = tan x xác định trên X = − 2 , 2 và có MGT R có hàm π π  ngược là y = arctan x xác định trên R và có MGT là − 2 , 2 . 4. Khi xét hàm số y = cot x xác định trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngược là y = arccot x xác định trên R và có MGT là (0; π). 5. Khi xét hàm số y = ax xác định trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngược là y = loga x xác định trên (0; +∞) và có MGT là R. F. Một số đặc trưng của hàm số Hàm số đơn điệu • Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu tăng trên miền X nếu x1 x2 thì f(x1) < f(x2); ∀x1, x2 ∈ X. Hàm số bị chặn • Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ X. • Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao cho f(x) ≥ m, ∀x ∈ X. • Hàm số f(x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn. f(x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f(x)| ≤ a, ∀x ∈ X Hàm số chẵn, hàm số lẻ • Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X và f(−x) = f(x). • Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X và f(−x) = −f(x). 4
  6. Hàm số tuần hoàn Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X, ta có x + T ∈ X và f(x + T ) = f(x). Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất. G. Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp Các hàm số sơ cấp cơ bản 1. f(x) = C, C là hằng số. 2. Hàm lũy thừa f(x) = xα, α là hằng số. • α ∈ N thì TXĐ D = R. • α là số nguyên âm thì TXĐ D = R\{0}. • α không là số nguyên thì TXĐ D = (0; +∞). 1 √ Chú ý: x 2 = x khi x > 0. 3. Hàm số mũ f(x) = ax (a > 0, a 6= 1). TXĐ: D = R. 4. Hàm số logarit f(x) = loga x (a > 0, a 6= 1). Khi a = 10, ta có hàm f(x) = lgx. TXĐ: D = (0; +∞). 5. Các hàm lượng giác: y = sin x có tập xác định là R y = cos x có tập xác định là R π y = tan x có tập xác định là x 6= 2 + kπ, k ∈ Z y = cot x có tập xác định là x 6= kπ, k ∈ Z 6. Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x có tập xác định là [−1, 1] y = arccos x có tập xác định là [−1, 1] y = arctan x có tập xác định là R y = arccot x có tập xác định là R Các phép toán sơ cấp 1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số. 5
  7. 2. Phép hợp hàm Giả sử khi x thay đổi trong X, các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc miền xác định của hàm số y = f(u). Khi đó, ta có quy tắc: x 7→ u = ϕ(x) 7→ y = f[ϕ(x)]. Hàm y = f[ϕ(x)] gọi là hàm hợp của hàm y = f(u), u = ϕ(x). Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán số học và phép lấy hàm hợp. 2 x3−1 3 Ví dụ 1.1.4. Các hàm sơ cấp: lg(x + sin x), x+1 , cos 5x Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 1. Hàm cung Qs = S(p) 2. Hàm cầu Qd = D(p) 3. Hàm sản xuất Q = f(L) 4. Hàm doanh thu TR = TR(Q) 5. Hàm tổng chi phí TC = TC(Q) = VC(Q) + FC TC(Q) 6. Hàm tổng chi phí bình quân AT C = Q VC(Q) 7. Hàm chi phí biến đổi bình quân AV C = Q 8. Hàm lợi nhuận π = TR − TC 9. Hàm tiêu dùng C = C(Y ) 10. Hàm tiết kiệm S = S(Y ) 1.1.2 DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.5. Hàm số ∗ f : N → R n 7→ f(n) 6
  8. được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (xn) xn được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. n Ví dụ: xn = 100(1 + 0.14) có các số hạng là 114; 129.96; 1.2 GIỚI HẠN 1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa giới hạn của dãy số Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số xn có giới hạn là a (hay xn hội tụ đến a) nếu ∀ > 0, ∃n0 : ∀n > n0, |xn − a| < . (Nói cách khác: ta làm cho các số hạng của dãy gần a bao nhiêu cũng được bằng cách chọn chỉ số n đủ lớn ) Kí hiệu: lim xn = a n→+∞ Dãy số xn gọi là phân kì nếu không có giới hạn hữu hạn. Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số Định lí 1.2.1. 1. Giới hạn của một dãy số hội tụ là một số thực duy nhất. 2. Nếu dãy số xn hội tụ thì nó bị chặn. 3. Nếu xn ≥ yn và cả hai dãy xn, yn đều hội tụ thì lim xn ≥ lim yn n→+∞ n→+∞ Giới hạn của dãy số đơn điệu Định lí 1.2.2. 1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. 7
  9. 2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. Ví dụ 1.2.1. Dãy số sau có giới hạn hữu hạn  1 n x = 1 + n n số e và logarit tự nhiên  1 n e = lim 1 + n→+∞ n Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe. ln x = loge x 1.2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Khái niệm giới hạn của hàm số Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f(x) xác định trên D. f(x) có giới hạn là L khi x → x0 nếu ∀xn ∈ D\{x0} : xn → x0 thì lim f(xn) = L. n→+∞ Kí hiệu: lim f(x) = L x→x0 Giới hạn một phía Định nghĩa 1.2.3. 1. Giới hạn bên trái lim f(x) = lim f(x) − x→x0 x → x0 x < x0 8
  10. 2. Giới hạn bên phải lim f(x) = lim f(x) + x→x0 x → x0 x > x0 Định lí 1.2.3. Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x → x0 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = L − + x→x0 x→x0 Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f(x) tại điểm a ∈ MXĐ là: lim f(x) = f(a) x→a Giới hạn của hàm lượng giác ngược tại các điểm đầu mút π π lim arctan x = , lim arctan x = − x→+∞ 2 x→−∞ 2 lim arccotx = 0, lim arccotx = π x→+∞ x→−∞ Các định lí cơ bản về giới hạn hàm số Định lí 1.2.4. Nếu khi x → a, hàm số f(x), g(x) có giới hạn là các số thực b1, b2 thì 1. lim[f(x) ± g(x)] = b1 ± b2 x→a 2. lim[kf(x)] = kb1 x→a 3. lim[f(x).g(x)] = b1.b2 x→a f(x) b1 4. lim = , (b2 6= 0) x→a g(x) b2 g(x) b2 5. lim[f(x)] = b , (b1 > 0) x→a 1 9
  11. Định lí 1.2.5. (Định lí kẹp) Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) khi x gần a và lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L x→a x→a x→a Ví dụ 1.2.2. Tính giới hạn sau 1 lim x2 sin x→0 x Lời giải: Ta có: 1 −1 ≤ sin ≤ 1 x 1 ⇔ −x2 ≤ x2 sin ≤ x2 x Mà lim(−x2) = lim x2 = 0 x→0 x→0 Do đó: 1 lim x2 sin = 0 x→0 x Định lí 1.2.6. Nếu f(x) là hàm bị chặn và g(x) thỏa mãn limx→a g(x) = 0 thì lim f(x).g(x) = 0 x→a Ví dụ 1.2.3. Tính giới hạn sau √ √ lim (sin x + 1 − sin x) x→+∞ Lời giải: √ √ √ √ √ √ x + 1 + x x + 1 − x lim (sin x + 1 − sin x) = lim 2 cos sin x→+∞ x→+∞ 2 2 √ √ x + 1 + x 1 = lim 2 cos sin √ √ x→+∞ 2 2( x + 1 + x) Ta có √ √ x + 1 + x cos ≤ 1∀x ∈ R 2 1 lim sin √ √ = 0 x→+∞ 2( x + 1 + x) 10
  12. Vậy √ √ lim (sin x + 1 − sin x) = 0 x→+∞ Các dạng vô định của hàm số 0 f(x) Dạng 0 : Tính lim g(x) với f(x), g(x) → 0 khi x → x0 x→x0 Ví dụ 1.2.4. Tính các giới hạn sau (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 1. lim x→0 x √ x − 2x − 1 2. lim x→1 x2 − 12x + 11 ∞ f(x) Dạng ∞ : Tính lim g(x) với f(x), g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Ví dụ 1.2.5. Tính các giới hạn sau q √ x + px + x 1. lim √ x→+∞ x + 1 √ x6 − 3x 2. lim x→−∞ 2x2 + 1 Dạng 0.∞: Tính lim f(x).g(x) với f(x) → 0, g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Ví dụ 1.2.6. Tính các giới hạn sau r x 1. lim (x3 − 1) x→1+ x2 − 1 r x − 1 2. lim (x + 2) x→+∞ x3 + x Dạng ∞ − ∞: Tính lim [f(x) − g(x)] với f(x), g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Ví dụ 1.2.7. Tính các giới hạn sau √ √ 1. lim ( x + 1 − x) x→+∞ p 2. lim ( x2 + 1 − x) x→+∞ 11
  13. Dạng 1∞ Công thức hay dùng: 1 1 x lim(1 + x) x = e; lim (1 + ) = e x→0 x→±∞ x Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì 1 lim(1 + α(x)) α(x) = e x→a Ví dụ 1.2.8. Tính giới hạn sau lim(1 + sin πx)cot πx x→1 Dạng vô định chứa hàm lượng giác Chú ý: sin x lim = 1 x→0 x Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì sin α(x) lim = 1 x→a α(x) Ví dụ 1.2.9. Tính giới hạn sau sin mx lim x→π sin nx Các công thức giới hạn quan trọng khác loga(1 + x) 1. lim = loga e (0 < a 6= 1) x→0 x ln(1 + x) lim = 1 x→0 x ax − 1 2. lim = ln a x→0 x ex − 1 lim = 1 x→0 x (1 + x)α − 1 3. lim = α (α ∈ R) x→0 x Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì loga(1 + α(x)) 1. lim = loga e (0 < a 6= 1) x→a α(x) 12
  14. ln(1 + α(x)) lim = 1 x→a α(x) aα(x) − 1 2. lim = ln a x→a α(x) eα(x) − 1 lim = 1 x→a α(x) (1 + α(x))β − 1 3. lim = β (β ∈ R) x→a α(x) 1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.3.1 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số f(x) xác định trong(a; b) và x0 ∈ (a; b). f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu lim f(x) = f(x0) x→x0 Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì nói f(x) gián đoạn tại x0. Tính liên tục một phía 1. f(x) gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim f(x) = f(x0) − x→x0 2. f(x) gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim f(x) = f(x0) + x→x0 Định lí 1.3.1. f(x) liên tục tại x0 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = f(x0) − + x→x0 x→x0 13
  15. Ví dụ 1.3.1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0.  1 − cos x  , x 6= 0 f(x) = x2  a, x = 0 Định lí 1.3.2. Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó. 14
  16. CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM 2.1 ĐẠO HÀM 2.1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa 2.1.1. Xét hàm số f(x) xác định trên (a; b) chứa x0. Cho x0 số gia ∆x và ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm x0. ∆y f(x0+∆x)−f(x0) Nếu tỉ số ∆x = ∆x có giới hạn hữu hạn khi ∆x → 0 thì giới hạn đó được 0 gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = x0. Kí hiệu: f (x0) 0 ∆y f (x0) = lim ∆x→0 ∆x Định nghĩa 2.1.2. 0 f(x) − f(x0) f (x0) = lim nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. x→x0 x − x0 Đạo hàm một phía 0 ∆y Định nghĩa 2.1.3. + Đạo hàm bên phải của f tại x0: f+(x0) = lim nếu ∆x→0+ ∆x giới hạn đó tồn tại hữu hạn. 0 ∆y + Đạo hàm bên trái của f tại x0: f−(x0) = lim nếu giới hạn đó tồn tại hữu ∆x→0− ∆x hạn. 0 0 Định lí 2.1.1. Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f+(x0), f−(x0) 0 0 và f+(x0) = f−(x0) . 15
  17. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa 1. Cách 1 B1 Cho x0 số gia ∆x B2 Tính ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆y B3 Tính giới hạn tỉ số ∆x khi ∆x → 0 2. Cách 2 • Tính lim f(x)−f(x0) x→x0 x−x0 0 • Nếu giới hạn trên bằng số hữu hạn k thì kết luận f (x0) = k, ngược lại kết luận hàm số không có đạo hàm tại x0. Ví dụ 2.1.1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0  1 − cos x  , x 6= 0 f(x) = x  0, x = 0 Ví dụ 2.1.2. Tính đạo hàm của hàm số y = |x| tại x = 0 (nếu có) Lời giải Cho x = 0 số gia ∆x ∆y |0 + ∆x| − |0| |∆x| = = ∆x ∆x ∆x ∆y |∆x| ∆x 0 lim = lim = lim = 1 = f+(0) ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x ∆y |∆x| −∆x 0 lim = lim = lim = −1 = f−(0) ∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x 0 0 Vì f+(0) 6= f−(0) nên hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 Định lí 2.1.2. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó Chú ý 2.1.3. Điều ngược lại của định lí 2 là sai. Ví dụ: hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0. 16
  18. 2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 1.(C)0 = 0 2.(xα)0 = αxα−1, (x)0 = 1 1 3.(ax)0 = ax ln a;(ex)0 = ex 4.(log x)0 = , (ln x)0 = 1 a x ln a x 3.(sinx)0 = cosx 6.(cosx)0 = −sinx 1 1 7.(tanx)0 = 8.(cotx)0 = − cos2 x sin2 x 1 1 9.(arcsinx)0 = √ 10.(arccosx)0 = −√ 1 − x2 1 − x2 1 1 11.(arctanx)0 = 12.(arccotx)0 = − 1 + x2 1 + x2 2.1.3 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lí 2.1.4. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì: 0 0 0 1. (u + v) (x0) = u (x0) + v (x0); 0 0 2. (ku) (x0) = ku (x0) (k là hằng số bất kỳ); 0 0 0 3. (uv) (x0) = u (x0)v(x0) + u(x0)v (x0); 0 0 u 0 u (x0)v(x0) − u(x0)v (x0) 4. ( v ) (x0) = 2 (v(x0) 6= 0). v (x0) B. Đạo hàm của hàm hợp Định lí 2.1.5. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0 và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại điểm tương ứng u0 = u(x0) thì hàm hợp y = f[u(x)] có đạo hàm tại x0 được tính theo công thức: 0 0 0 y (x0) = f (u0).u (x0) hoặc 0 0 0 yx = yu.ux 17
  19. Ví dụ 2.1.3. Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin 2x Lời giải: y0 = 2sin 2x(ln 2)(sin 2x)0 = (ln 2)2sin 2x.2. cos 2x = (ln 2)2sin 2x+1 cos 2x 2.2 VI PHÂN 2.2.1 KHÁI NIỆM VI PHÂN VÀ LIÊN HỆ ĐẠO HÀM A. Khái niệm hàm khả vi và vi phân Định nghĩa 2.2.1. Hàm f(x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại số thực k sao cho: ∆f(x0) = k∆x + o(∆x) Tích k∆x gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là df(x0) df(x0) = k∆x Ví dụ 2.2.1. Chứng minh hàm số f(x) = x3 khả vi tại điểm x bất kỳ. B. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 0 Định lí 2.2.1. Hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 ⇔ ∃f (x0). Khi đó, 0 df(x0) = f (x0).∆x. Biểu thức vi phân 1. Khi f(x) = x thì dx = ∆x 2. Nếu f(x) có đạo hàm tại x thì biểu thức vi phân của f(x) là: df(x) = f 0(x)dx Ví dụ 2.2.2. 1. y = ln(3x2 − 2x3). Tìm dy 18
  20. 2. y = arctan x2 . Tìm dy Lời giải: 2 3 0 2 3 0 (3x −2x ) 6x(1−x) 1. dy = (ln(3x − 2x )) dx = 3x2−2x3 dx = 3x2−2x3 dx 2 0 2 0 (x ) 2x 2. dy = (arctan x ) dx = 1+x4 dx = 1+x4 dx 2.2.2 CÁC QUY TẮC TÍNH VI PHÂN A. Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lí 2.2.2. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm đó ta có: 1. d(u ± v) = du ± dv; 2. d(ku) = kdu (k là hằng số); 3. d(uv) = vdu + udv; vdu − udv 4. d( u ) = (v(x) 6= 0). v v2 B. Tính bất biến của biểu thức vi phân Định lí 2.2.3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số khả vi theo biến x, x = ϕ(t) là hàm 0 0 số khả vi theo biến t. Khi đó, dy = yt.dt = yxdx. 2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 2.3.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa 2.3.1. Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của hàm số đó. f (n)(x) = [f (n−1)(x)]0 19
  21. Ví dụ 2.3.1. y = e2x y0 = 2e2x y00 = 22e2x y(n)(x) = 2ne2x 2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO Định nghĩa 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của hàm số đó. d(n)(y) = d(d(n−1)(y)) Nhận xét: d(n)(y) = y(n)(dx)n Chú ý: với n > 1, công thức này chỉ đúng khi x là biến độc lập. Ví dụ 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = sin x là: nπ d(n)(y) = (sin x)(n)(dx)n = sin(x + )(dx)n 2 2.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.4.1 Tính các dạng vô định Quy tắc L’Hospital Định lí 2.4.1. Giả sử các hàm u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện sau: u(x) 0 ∞ 1. lim có dạng hoặc . x→a v(x) 0 ∞ 20
  22. u0(x) 2. ∃ lim (hữu hạn hoặc vô hạn). x→a v0(x) Khi đó u(x) u0(x) lim = lim x→a v(x) x→a v0(x) Chú ý: 1. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 2. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng cho trường hợp giới hạn một phía Ví dụ 2.4.1. Tính các giới hạn sau x3 1. lim x→0 x − sin x ln 3x 2. lim x→+∞ x Khử các dạng vô định khác Dạng 0.∞:Tìm limf(x)g(x) với f(x) → 0, g(x) → ∞ khi x → a x→a 0 ∞ Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 0 hoặc ∞ như sau: f(x) g(x) limf(x)g(x) = lim hoặc limf(x)g(x) = lim x→a x→a 1 x→a x→a 1 g(x) f(x) Ví dụ 2.4.2. Tính giới hạn sau π x lim tan x. tan( − ) π x→ 2 4 2 Dạng ∞ − ∞: Tìm lim(f(x) − g(x)) với f(x), g(x) → ∞ khi x → a x→a 0 ∞ Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 0 hoặc ∞ như sau: 1 1 − g(x) f(x) lim[f(x) − g(x)] = lim x→a x→a 1 f(x)g(x) Ví dụ 2.4.3. Tính giới hạn sau 1 1 lim[ − ] x→1 ln x x − 1 21
  23. Dạng 1∞, ∞0: Xét limf(x)g(x), f(x) > 0 x→a Đưa giới hạn về dạng vô định 0.∞ bằng cách viết f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) hoặc ln f(x)g(x) = g(x) ln f(x) Nếu ta tìm được: lim[g(x) ln f(x)] = K x→a thì limf(x)g(x) = eK x→a Ví dụ 2.4.4. Tính giới hạn sau lim xx x→0+ 2.4.2 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lí 2.4.2. (Định lí Fermat) Giả sử 1. f(x) đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a; b); 2. f(x) có đạo hàm tại điểm x0. 0 Khi đó f (x0) = 0. Nhận xét: 0 1. Điểm x0 mà tại đó f (x0) = 0 gọi là điểm dừng. 0 0 2. Điểm x0 mà tại đó f (x0) = 0 hoặc f (x0) không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn. 3. Nếu hàm f khả vi trên miền xác định thì những điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng. Quy tắc tìm cực trị của hàm số Bước 1 (Điều kiện cần): Tìm các điểm dừng của hàm số Giải phương trình f 0(x) = 0 Bước 2 (Điều kiện đủ ) 0 00 Với x0 là một điểm dừng của f(x) và ∃n ≥ 2, n ∈ N sao cho f (x0) = f (x0) = = (n−1) (n) f (x0) = 0, f (x0) 6= 0 22
  24. 1. Nếu n là số chẵn thì x0 là điểm cực trị . (n) • x0 là cực đại nếu f (x0) 0 2. Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị . Ví dụ 2.4.5. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau: 1 π = − Q3 + 14Q2 + 60Q − 54 3 Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối ưu. 2.4.3 Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số A. Điều kiện cần Nếu hàm số f(x) không giảm trên (a; b) và f(x) khả vi thì f 0(x) ≥ 0. Nếu hàm số f(x) không tăng trên (a; b) và f(x) khả vi thì f 0(x) ≤ 0. B. Điều kiện đủ Cho f(x) khả vi trên (a; b). Nếu tại x0 ∈ (a; b) mà • f 0(x) > 0 thì f(x) tăng trên (a; b). • f 0(x) < 0 thì f(x) giảm trên (a; b). • f 0(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trên (a; b). Ứng dụng vi phân tính gần đúng Công thức 0 Nếu f(x) khả vi tại x0 và f (x0) 6= 0 thì 0 f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f (x0)∆x Ví dụ: Tính gần đúng √ 3 28 23
  25. CHƯƠNG 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 3.1.1. Hàm hai biến f có tập xác định trên D ⊂ R2 là một quy tắc cho tương ứng mỗi cặp điểm (x, y) ∈ D một và chỉ một số thực z ∈ R Kí hiệu: z = f(x, y) Số thực z gọi là giá trị hàm số f tại điểm M(x, y) Miền xác định của hàm số hai biến MXĐ của hàm số hai biến f(x, y) là tập hợp tất cả các cặp số thực (x0, y0) mà biểu thức có nghĩa khi ta gán x = x0, y = y0. Miền giá trị của hàm số hai biến MGT của hàm số z = f(x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi M(x, y) thay đổi trong MXĐ. Ví dụ 3.1.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số: z = p9 − x2 − y2 Đồ thị của hàm hai biến Đồ thị hàm số z = f(x, y) là tập hợp tất cả các điểm P (x, y, z) trong không gian, trong đó M(x, y) ∈ D . G = {(x, y, z) ∈ R3|z = f(x, y), (x, y) ∈ D} 24
  26. Hàm số n biến số Các khái niệm tương tự như với hàm hai biến số Một số hàm nhiều biến số trong kinh tế 1. Hàm sản xuất Q = f(K, L) 2. Hàm chi phí và hàm lợi nhuận TC = wkK + wLL + C0 TR = pQ = pf(K, L) π = pf(K, L) − (wkK + wLL + C0) 3. Hàm lợi ích U = U(x1, x2, , xn) 4. Hàm cung và hàm cầu trên thị trường nhiều hàng hóa liên quan Qsi = Si(p1, p2, , pn) Qdi = Di(p1, p2, , pn) 3.1.2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Giới hạn của hàm số 2 biến Khoảng cách giữa 2 điểm M(x, y),M 0(x0, y0) là p d(M, M 0) = (x0 − x)2 + (y0 − y)2 Định nghĩa 3.1.2. Giả sử ta có dãy điểm M1(x1, y1),M2(x2, y2), , Mn(xn, yn). Nếu tồn tại một điểm cố định A(a, b) sao cho lim d(Mn,A) = 0 n→+∞ thì ta nói dãy điểm Mn hội tụ đến điểm A khi n → +∞. Kí hiệu: lim Mn = A n→+∞   lim xn = a  n→+∞ Định lí 3.1.1. Dãy điểm Mn(xn, yn) hội tụ đến điểm A(a, b) ⇔  lim yn = b n→+∞ 25
  27.  n n2−1  Ví dụ 3.1.2. Tìm giới hạn của dãy điểm Mn − 2 , n2 khi n → +∞. Định nghĩa 3.1.3. Cho hàm số z = f(x, y) có MXĐ D và A(a, b) . Số L (hữu hạn hoặc vô hạn) là giới hạn của z = f(x, y) khi x → a, y → b nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn) ∈ D\{A} hội tụ đến A ta đều có lim f(Mn) = L n→+∞ Kí hiệu: lim f(x, y) = L x → a y → b Chú ý: 1. Giới hạn bội (giới hạn kép) Các quá trình x → a, y → b diễn ra đồng thời không phụ thuộc lẫn nhau. 2. Giới hạn lặp lim lim f(x, y) = F x→a y→b lim lim f(x, y) = E y→b x→a Hai giới hạn lặp không nhất thiết phải bằng nhau và chúng có thể không tồn tại. Ví dụ 3.1.3. Tính các giới hạn lặp của hàm số x − y + x2 + y2 f(x, y) = , khi x → 0, y → 0 x + y Hàm liên tục Định nghĩa 3.1.4. Cho hàm z = f(x, y) xác định trên D và A(a, b) là một điểm tụ của D. Hàm f(x, y) gọi là liên tục tại A nếu lim f(x, y) = f(a, b) x → 0 y → 0 26
  28. Nếu f(x, y) không liên tục tại A thì ta nói f(x, y) gián đoạn tại A. 3.1.3 Đạo hàm riêng và vi phân Đạo hàm riêng Định nghĩa 3.1.5. (Số gia) Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên D và (x0, y0) ∈ D. • ∆x = x − x0 gọi là số gia của biến x. • ∆y = y − y0 gọi là số gia của biến y. • Khi y = y0 không đổi, x thay đổi thì số gia riêng của f(x, y) theo biến x là ∆xz = ∆xf(x0, y0) = f(x0 + ∆x, y0) − f(x0, y0). • Khi x = x0 không đổi, y thay đổi thì số gia riêng của f(x, y) theo biến y là ∆yz = ∆yf(x0, y0) = f(x0, y0 + ∆y) − f(x0, y0). • Khi x, y cùng thay đổi thì số gia toàn phần của f(x, y) là ∆z = ∆f(x0, y0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0). Định nghĩa 3.1.6. • Đạo hàm riêng của hàm z = f(x, y) theo biến x được kí ∂f(x,y) 0 f(x+∆x,y)−f(x,y) hiệu: hoặc fx là lim nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. ∂x ∆x→0 ∆x ∂f(x,y) 0 • Đạo hàm riêng của hàm z = f(x, y) theo biến y được kí hiệu: ∂y hoặc fy là lim f(x,y+∆y)−f(x,y) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. ∆y→0 ∆y Nhận xét: Khi tính các đạo hàm riêng ta chỉ cần áp dụng các công thức và các quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến và coi các biến còn lại là hằng số. Ví dụ 3.1.4. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau 2 3 2 1. z = x y + 2x − 3y + 2x sin y − 3y cos x tại M1(0, 0) và M2(0, π) 2. z = ln x2y3 + e2x+4y + 12 27
  29. Định nghĩa 3.1.7. Hàm số z = f(x1, x2, , xn) có n đạo hàm riêng theo từng biến. 0 f(x1, , xi + ∆xi, , xn) − f(x1, , xi, , xn) fxi = lim ∆xi→0 ∆xi Ví dụ 3.1.5. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau t = xy2z3 + 2xy − 4yz + ln xz2 + 4 Định lí 3.1.2. (Đạo hàm riêng của hàm hợp:) Giả sử h = h[u(x, y), v(x, y)]. • Đạo hàm riêng của hàm h theo biến x là ∂h ∂h ∂u ∂h ∂v = . + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x nếu đạo hàm riêng ở vế phải tồn tại. • Đạo hàm riêng của hàm h theo biến y là ∂h ∂h ∂u ∂h ∂v = . + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y nếu đạo hàm riêng ở vế phải tồn tại. Ví dụ 3.1.6. Cho hàm h = u3 + uv − v2, u = xy + x2, v = y3 − xy. ∂h ∂h Tính ∂x , ∂y . Lời giải: ∂h ∂h ∂u ∂h ∂v 2 ∂x = ∂u . ∂x + ∂v . ∂x = (3u + v).(y + 2x) + (u − 2v).(−y) = [3(xy + x2)2 + y3 − xy](y + 2x) − y[xy + x2 − 2(y3 − xy)] ∂h ∂h ∂u ∂h ∂v 2 2 ∂y = ∂u . ∂y + ∂v . ∂y = (3u + v).x + (u − 2v).(3y − x) = x[3(xy + x2)2 + y3 − xy] + [xy + x2 − 2(y3 − xy)](3y2 − x) Vi phân Định nghĩa 3.1.8. Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên D và có các đạo hàm 0 0 riêng liên tục tại (x0, y0) ∈ D. Biểu thức fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y gọi là vi phân toàn phần của f(x, y) tại (x0, y0). Kí hiệu: dz hoặc df(x0, y0) 0 0 Vậy df(x0, y0) = fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y 28
  30. Định nghĩa 3.1.9. • Vi phân riêng của f(x, y) theo biến x là vi phân có được khi coi y là hằng số. 0 Kí hiệu là: dxf = fxdx • Vi phân riêng của f(x, y) theo biến y là vi phân có được khi coi x là hằng số. 0 Kí hiệu là: dyf = fydy Ví dụ 3.1.7. Tính vi phân riêng và vi phân toàn phần của z = x3y4. Ứng dụng vi phân tính gần đúng 0 0 f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f(x0, y0) + fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y Ví dụ 3.1.8. Tính gần đúng 1.023.01 Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa 3.1.10. Giả sử z = f(x, y) xác định trên D và có các đạo hàm riêng 0 0 cấp 1 fx, fy là các hàm hai biến mới trong D. Các đạo hàm riêng của chúng (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của f(x, y). 00 00 00 00 Kí hiệu: fx2 , fy2 , fxy, fyx Nhận xét: 2 Hàm n biến z = f(x1, x2, , xn) có n đạo hàm riêng cấp 2. Ví dụ 3.1.9. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau z = x2y3 + lnxy + 2x − 4y Định lí 3.1.3. (Định lí Schwarz) Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên D và 00 00 M(a, b) ∈ D. Nếu các đạo hàm fxy, fyx tồn tại trên D và liên tục tại (a, b) thì 00 00 fxy = fyx 29
  31. Định nghĩa 3.1.11. Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z = f(x, y) là 2 00 2 00 00 2 d f(x, y) = fx2 (dx) + 2fxydxdy + fy2 (dy) 3.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa cực trị Định nghĩa 3.2.1. • Hàm f(x, y) đạt cực đại tại (a, b) nếu f(a, b) ≥ f(x, y), ∀(x, y) nằm trong đường tròn không biên có tâm (a, b) . • Hàm f(x, y) đạt cực tiểu tại (a, b) nếu f(a, b) ≤ f(x, y), ∀(x, y) nằm trong đường tròn không biên có tâm (a, b) . Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 3.2.1 CỰC TRỊ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Phương pháp tìm cực trị hàm hai biến z = f(x, y) B1 Điều kiện cần ( 0 fx = 0 Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ 0 fy = 0 B2 Điều kiện đủ 0 0 Giả sử fx(I) = 0, fy(I) = 0. 00 00 00 Tìm a11 = fx2 (I), a22 = fy2 (I), a12 = fxy(I). 2 Đặt D(I) = a11.a22 − a12 • Nếu D(I) > 0, a11 > 0 thì I là cực tiểu. • Nếu D(I) > 0, a11 < 0 thì I là cực đại. • Nếu D(I) < 0 thì I không phải là cực trị. • Nếu D(I) = 0 thì chưa kết luận được gì. 30
  32. Ví dụ 3.2.1. Tìm các điểm cực trị của hàm số z = x4 + y4 − 4xy + 1 Lời giải: Bước 1: Điều kiện cần 0 3 0 3 Ta có: fx = 4x − 4y, fy = 4y − 4x ( 4x3 − 4y = 0 Giải hệ: 4y3 − 4x = 0 Ta có 3 điểm dừng: M1(0, 0),M2(1, 1),M3(−1, −1) Bước 2: Điều kiện đủ 00 2 00 2 00 fx2 = 12x , fy2 = 12y , fxy = −4 2 + Với M1(0, 0),D(M1) = 0.0 − (−4) = −16 0, a11 = 1 > 0. Vậy M2(1, 1) là điểm cực tiểu. 2 + Với M3(−1, −1),D(M2) = 12.12 − (−4) = 128 > 0, a11 = 1 > 0. Vậy M3(−1, −1) là điểm cực tiểu. Ví dụ 3.2.2. Giả sử một công ti sản xuất hai loại sản phẩm có sản lượng Q1,Q2 2 với mức giá lần lượt p1 = 160, p2 = 120 và hàm chi phí là TC(Q1,Q2) = 3Q1 + 2 2Q1Q2 + 2Q2 + 10. Đơn vị: sản lượng tính bằng tấn, giá: triệu đồng trên 1 tấn Tìm mức sản lượng để công ti đạt lợi nhuận tối đa. 3.3 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Phương pháp nhân tử Lagrăng Bài toán Tìm các điểm cực trị của hàm số w = f(x, y) Với điều kiện: g(x, y) = b Xuất phát từ bài toán, ta lập hàm Lagrăng L(x, y, λ) = f(x, y) + λ[b − g(x, y)] 31
  33. Biến phụ λ gọi là nhân tử Lagrăng Phương pháp nhân tử Lagrăng Điều kiện cần Giải hệ phương trình sau:  L0 = 0  x 0 Ly = 0  0  Lλ = 0 Điều kiện đủ Gọi (x0, y0, λ0) là một điểm dừng của hàm số Lagrăng. Tính định thức 0 g g 1 2 D = g1 L11 L12 g2 L21 L22 0 0 00 00 00 00 Với g1 = gx, g2 = gy,L11 = Lx2 ,L12 = L21 = Lxy = Lyx,L22 = Ly2 tính tại điểm dừng. 1. Nếu D > 0 thì (x = x0, y = y0) là điểm cực đại 2. Nếu D < 0 thì (x = x0, y = y0) là điểm cực tiểu 3. Nếu D = 0 thì chưa kết luận gì về điểm đang xét. Các bài toán cực trị có điều kiện trong kinh tế 1. Đối với người tiêu dùng • Bài toán tối đa hóa lợi ích: Chọn (x, y) để hàm lợi ích U = U(x, y) đạt cực đại, với điều kiện p1x + p2y = m • Bài toán tối thiểu hóa chi phí: Chọn (x, y) để chi phí tiêu dùng C = p1x+p2y đạt giá trị cực tiểu, với điều kiện U(x, y) = U0 2. Đối với doanh nghiệp • Bài toán tối đa hóa sản lượng với ngân sách cố định Chọn (K, L) để hàm số Q = f(K, L) đạt cực đại, với điều kiện wKK +wLL = B • Bài toán tối thiểu hóa chi phí sản xuất Chọn (K, L) để hàm số C = wKK+wLL đạt cực tiểu với điều kiện f(K, L) = Q0 Với wK, wL lần lượt là giá thuê một đơn vị vốn (K) và lao động (L) 32
  34. Ví dụ 3 Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = x1x2 + x1 + 2x2 trong đó x1, x2 là lượng cầu hàng hóa 1 và 2. Với điều kiện ngân sách 2x1 + 5x2 = 51 Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng sao cho người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích. Nếu ngân sách tăng 1 đơn vị, (tức là 2x1 + 5x2 = 52) thì lợi ích tối đa của người tiêu dùng thay đổi như thế nào? Lời giải Hàm Lagrăng: L(x, y, λ) = x1x2 + x1 + 2x2 + λ[51 − 2x1 − 5x2] L0 = x + 1 − 2λ, L0 = x + 2 − 5λ, L0 = 51 − 2x − 5x x1 2 x2 1 λ 1 2 Điều kiện cần:Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ   x + 1 − 2λ = 0 x = 13  2  1 x1 + 2 − 5λ = 0 ⇔ x2 = 5    51 − 2x1 − 5x2 = 0  λ = 3 0 0 00 00 00 Điều kiện đủ: g1 = gx1 = 2, g2 = gx2 = 5,L11 = L 2 = 0,L12 = L21 = Lx1x2 = Lx2x1 = x1 00 1,L22 = Lx2 = 0 2 0 2 5 D = 2 0 1 = 20 > 0 5 1 0 Vậy (x1 = 13, x2 = 5) là lượng cầu làm lợi ích của người tiêu dùng đạt tối đa. Nếu ngân sách tăng 1 đơn vị, thì lợi ích tối đa của người tiêu dùng tăng 3 đơn vị. Ví dụ 4: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 10K0.8L0.6, với điều kiện ngân sách 30K + 10L = 2100. Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản (K) và bao nhiêu đơn vị lao động (L) thì sản lượng tối đa. 33
  35. CHƯƠNG 4 TÍCH PHÂN 4.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 4.1.1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ A. Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa 4.1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên U. Hàm F (x) xác định trên U được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên U nếu F 0(x) = f(x), ∀x ∈ U Ví dụ 4.1.1. 1. y = sin x là nguyên hàm của y = cos x vì (sin x)0 = cos x, ∀x ∈ R 1 0 1 2. y = ln x là nguyên hàm của y = x vì (ln x) = x , ∀x ∈ (0; +∞) Định lí 4.1.1. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên U. i) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên U. ii) Mọi nguyên hàm của f(x) trên U đều có dạng tổng quát F (x) + C, C là hằng số bất kì 4.1.2 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Định nghĩa tích phân bất định Định nghĩa 4.1.2. Biểu thức nguyên hàm tổng quát của f(x) trên U gọi là tích phân bất định của f(x) trên U. Kí hiệu là: Z f(x)dx 34
  36. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì Z f(x)dx = F (x) + C Ví dụ 4.1.2. Z cos xdx = sin x + C Z x2 xdx = + C 2 Các tính chất của tích phân bất định Cho F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên U. Ta có: 1. R [af(x) ± bg(x)]dx = a R f(x)dx ± b R g(x)dx 2. R f(x)dx = F (x) + C suy ra R f(u)du = F (u) + C Bảng tích phân các hàm sơ cấp cơ bản xα+1 1. R xαdx = + C(α 6= −1) α + 1 R 1 2. x dx = ln |x| + C ax 3. R axdx = + C ln a R exdx = ex + C 4. R sin xdx = − cos x + C 5. R cos xdx = sin x + C dx 6. R = tan x + C cos2 x dx 7. R = − cot x + C sin2 x dx 8. R = 1 arctan x + C(a > 0) a2 + x2 a a 35
  37. dx 9. R = 1 ln | a+x | + C(a 6= 0) a2 − x2 2a a−x dx 10. R √ = arcsin x + C(|x| 0) a2 − x2 a dx √ 11. R √ = ln |x + x2 ± b| + C x2 ± b 4.1.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. Phương pháp khai triển Công thức R [af(x) + bg(x) − cϕ(x)]dx = a R f(x)dx + b R g(x)dx − c R ϕ(x)dx Ví dụ 4.1.3. Tính tích phân sau √ √ Z (x − x)(1 + x) I = √ dx 3 x B. Phương pháp đổi biến Đổi biến dạng 1: Đưa vào biến mới t, biến cũ x là hàm của biến mới, tức x = ϕ(t). Lưu ý: yêu cầu x = ϕ(t) phải là hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong (α, β) nào đó. Ví dụ 4.1.4. Tính tích phân sau Z p I = 4 − x2dx Đổi biến dạng 2: Biểu thức f(x)dx = g[ϕ(x)]dϕ(x) thì ta đặt t = ϕ(x) Ví dụ 4.1.5. Tính tích phân sau Z cos xdx I = 1 + sin2 x 36
  38. C. Phương pháp tích phân từng phần Công thức: Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm có đạo hàm liên tục. Z Z udv = uv − vdu Chú ý: 1. Có thể áp dụng phương pháp tích phân từng phần nhiều lần. 2. Các tích phân có dạng sau nên dùng phương pháp này. • R P (x) sin kxdx, R P (x) cos kxdx • R P (x) lnn xdx, R P (x)enxdx • R P (x) arctan kxdx, R P (x) arcsin kxdx • R ekx sin nxdx, R ekx cos nxdx Ví dụ 4.1.6. Tính tích phân sau Z I = x arctan xdx 4.1.4 TÍCH PHÂN MỘT SỐ LỚP HÀM THƯỜNG GẶP Tích phân hàm hữu tỷ R P (x) Tính tích phân có dạng Q(x) dx với P (x),Q(x) là các đa thức. Phương pháp 1. Khi bậc của P (x) ≥ bậc của Q(x), chuyển tích phân về dạng Z P (x) Z Z P (x) dx = E(x)dx + 1 dx Q(x) Q(x) 2. Nếu phân tích Q(x) = (x − a)k(x2 + px + q)s(p2 < 4q) thì P1(x) A1 Ak M1x+N1 Msx+Ns Q(x) = (x−a) + + (x−a)k + (x2+px+q) + + (x2+px+q)s R P1(x) Khi đó Q(x) dx chuyển về tổng các phân thức tối giản. Tích phân các phân thức tối giản 37
  39. Z A 1. dx = A ln |(x − a)| + C (x − a) Z A A 2. dx = + C(k ≥ 2) (x − a)k (1 − k)(x − a)k−1 r ! Z Mx + N Z Mx + N p2 3. 2 dx = p 2 2 dx a = q − x + px + q (x + 2 ) + a 4 M Z 2tdt  Mp Z dt  p = + N − t = x + 2 t2 + a2 2 t2 + a2 2 Ví dụ 4.1.7. Tính tích phân sau Z x5 + 2x4 − 3x2 + 1 I = dx x4 + x3 + x2 Lời giải: Z x5 + 2x4 − 3x2 + 1 Z 2x3 + 4x2 − 1 I = dx = (x + 1 − )dx x4 + x3 + x2 x2(x2 + x + 1) R 2x3+4x2−1 Đặt I1 = x2(x2+x+1) dx Ta có 2x3 + 4x2 − 1 A B Cx + D x3(B + C) + x2(A + B + B) + x(A + B) + A = + + = x2(x2 + x + 1) x2 x x2 + x + 1 x2(x2 + x + 1) Đồng nhất hệ số ta có:   B + C = 2 A = −1    A + B + D = 4  B = 1 ⇔ A + B = 0 C = 1    A = −1  D = 4 Z −1 Z 1 Z x + 4 Z −1 Z 1 1 Z 2x + 1 + 7 I = dx + dx + dx = dx + dx + dx 1 x2 x x2 + x + 1 x2 x 2 x2 + x + 1 Z −1 Z 1 1 Z d(x2 + x + 1) Z d(x + 1 ) = dx + dx + ( dx + 7 2 ) x2 x 2 x2 + x + 1 1 2 3 (x + 2 ) + 4 1 1 1 2 7 2(x + 2 ) = + ln |x| + ln(x + x + 1) + √ arctan √ + C1 x 2 3 3 x2 1 1 7 2(x + 1 ) I = + x − − ln |x| − ln(x2 + x + 1) − √ arctan √ 2 + C 2 x 2 3 3 38
  40. Tích phân hàm lượng giác Tích phân có dạng Z R(sin x, cos x)dx(x ∈ (−π; π)) Phương pháp Đổi biến x t = tan 2 Khi đó: 2t 1 − t2 sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 Các trường hợp đặc biệt 1. Tích phân dạng R R(− sin x, cos x)dx = − R R(sin x, cos x)dx ta đổi biến t = cos x 2. Tích phân dạng R R(sin x, − cos x)dx = − R R(sin x, cos x)dx ta đổi biến t = sin x R R π π 3. Tích phân dạng R(− sin x, − cos x)dx = R(sin x, cos x)dx(x ∈ (− 2 ; 2 )) ta đổi biến t = tan x Ví dụ 4.1.8. Tính các tích phân sau Z dx 1.I = (2 + cos x) sin x Z dx 2.I = sin4 x cos2 x Tích phân biểu thức chứa căn Dạng 1: Tích phân dạng r r ! Z ax + b ax + b R n , , m dx cx + d cx + d Phương pháp Đổi biến r ax + b t = k , k = BCNN(n, , m) cx + d Ví dụ 4.1.9. Tính tích phân sau Z dx I = √ √ 4 x + x 39
  41. Dạng 2: Tích phân dạng Z p  R ax2 + bx + c dx Phương pháp: Biến đổi về một trong các dạng sau √ R 2 2  π π  1. R α − x dx ta đổi biến x = α sin t, t ∈ − 2 ; 2 √ R 2 2 π π  2. R α + x dx ta đổi biến x = α tan t, t ∈ − 2 ; 2 √ R 2 2 α  π  S  3π  3. R x − α dx ta đổi biến x = cos t , t ∈ 0; 2 π; 2 Ví dụ 4.1.10. Tính tích phân sau: Z x2dx I = √ 3 − 2x − x2 4.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4.2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài toán diện tích hình thang cong Giả sử f(x) là hàm liên tục và f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]. H là hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x). Tính diện tích hình H. Lời giải: • Chia [a; b] thành n đoạn tùy ý bởi các điểm xi : a = x0 < x1 < < xn = b. • Kẻ các đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm xi(i = 1, , n − 1). Khi đó, hình H được chia thành n hình thang cong Hi với đáy là ∆xi = xi − xi−1(i = 1, , n) ∗ • Trong [xi−1, xi] lấy xi tùy ý. • Xấp xỉ diện tích hình thang cong Hi bởi diện tích hình chữ nhật có chiều rộng ∗ là ∆xi, chiều dài là f(xi ) . ∗ Do đó diện tích của Hi ≈ f(xi ).∆xi • Diện tích hình H xấp xỉ bằng n X ∗ f(xi ).∆xi i=1 40
  42. Pn ∗ • Diện tích hình H càng gần bằng i=1 f(xi ).∆xi khi ∆xi ngày càng nhỏ. • Vậy diện tích hình H n X ∗ S = lim f(xi ).∆xi max ∆xi→0 i=1 Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa 4.2.1. Cho hàm số f(x) xác định trên [a; b] . Chia [a; b] thành n đoạn tùy ý bởi các điểm xi : a = x0 < x1 < < xn = b. ∗ Độ dài mỗi đoạn là: ∆xi = xi − xi−1, lấy xi ∈ [xi−1, xi] Lập tổng tích phân: n X ∗ Sn = f(xi ).∆xi i=1 ∗ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn I (không phụ thuộc vào cách chia đoạn và cách lấy xi ) khi max ∆xi → 0 thì I gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a; b]. Kí hiệu: Z b n X ∗ f(x)dx := lim f(xi ).∆xi max ∆xi→0 a i=1 Khi đó ta cũng nói f(x) khả tích trên [a; b]. Chú ý R b 1. a f(x)dx là một số không phụ thuộc vào x nên Z b Z b f(x)dx = f(t)dt a a 2. Khi tính tích phân xác định bằng định nghĩa có thể chia đều đoạn [a; b] và lấy ∗ xi là trung điểm của mỗi đoạn đó. R 1 2 Ví dụ 4.2.1. Tính 0 x dx bằng định nghĩa. Một số lớp hàm khả tích Định lí 4.2.1. Hàm f(x) khả tích trên [a; b] nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau 41
  43. • f(x) liên tục trên [a; b]. • f(x) bị chặn trên [a; b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên [a; b]. • f(x) đơn điệu và bị chặn trên [a; b]. Các tính chất của tích phân xác định • Z b Z a f(x)dx = − f(x)dx a b • Z a f(x)dx = 0 a • Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a; b] thì Z b Z b Z b [αf(x) + βg(x)]dx = α f(x)dx + β g(x)dx a a a • Nếu f(x) khả tích trên [a, b] và c ∈ [a, b] thì Z b Z c Z b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a a c • Nếu f(x) khả tích trên [a; b] và f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì Z b f(x)dx ≥ 0 a • Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a; b] và f(x) ≥ g(x)∀x ∈ [a; b] thì Z b Z b f(x)dx ≥ g(x)dx a a • Nếu f(x) khả tích trên [a; b] và M ≥ f(x) ≥ m, ∀x ∈ [a; b] thì Z b M(b − a) ≥ f(x)dx ≥ m(b − a) a • Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì ∃c ∈ [a; b] sao cho Z b f(x)dx = f(c)(b − a) a Công thức Newton-Lebniz Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và F (x) là một nguyên hàm của f(x) trong đoạn đó thì Z b f(x)dx = F (b) − F (a) a 42
  44. 4.2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Phương pháp khai triển Biến đổi tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân đơn giản hơn sau đó áp dụng công thức Newton-Lebniz. Ví dụ 4.2.2. Tính tích phân sau: √ √ Z 2 (x − x)(1 + x) I = √ dx 3 1 x Phương pháp đổi biến Đổi biến dạng 1 R b Tính a f(x)dx bằng cách đặt x = ϕ(t) với điều kiện 1. ϕ(t) có đạo hàm liên tục trong [α; β]. 2. ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. 3. Khi t biến thiên liên tục trên [α, β] thì x biến thiên liên tục trong [a; b]. R b R β 0 Khi đó: a f(x)dx = α f[ϕ(t)]ϕ (t)dt Ví dụ 4.2.3. Tính tích phân sau Z 2 p I = 4 − x2dx 0 R b Đổi biến dạng 2 Tính a f(x)dx bằng cách đặt t = ϕ(x) với điều kiện 1. ϕ(x) đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b]. 2. f(x)dx trở thành g(t)dt với g(t) là hàm liên tục trên [ϕ(a), ϕ(b)]. Khi đó: Z b Z ϕ(b) f(x)dx = g(t)dt a ϕ(a) Ví dụ 4.2.4. Tính tích phân sau π Z 2 cos x I = 2 dx 0 1 + sin x 43
  45. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm có đạo hàm liên tục. Z b Z b b udv = uv|a − vdu a a Ví dụ 4.2.5. Tính tích phân sau Z e I = ln xdx 1 e 4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.3.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG MIỀN VÔ HẠN Định nghĩa 4.3.1. Giả sử f(x) xác định và khả tích trên mọi [a, t], (t ≥ a). Khi đó, tồn tại tích phân Z t F (t) = f(x)dx a Kí hiệu hình thức Z t Z +∞ lim F (t) = lim f(x)dx := f(x)dx t→+∞ t→+∞ a a R +∞ Gọi a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên [a; +∞) Nhận xét: 1. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. 2. Nếu giới hạn trên vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kì. Tương tự, ta có Z a Z a f(x)dx := lim f(x)dx −∞ t→−∞ t Z +∞ Z v f(x)dx := lim f(x)dx −∞ u→−∞,v→+∞ u 44
  46. R a R +∞ Nếu −∞ f(x)dx, a f(x)dx hội tụ thì Z +∞ Z a Z +∞ f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx hội tụ −∞ −∞ a Ví dụ 4.3.1. Xét sự hội tụ của tích phân sau Z +∞ dx I = 2 −∞ x + 1 Lời giải: Z +∞ dx Z 0 dx Z +∞ dx I = 2 = 2 + 2 −∞ x + 1 −∞ x + 1 0 x + 1 Z 0 dx Z v dx = lim 2 + lim 2 u→−∞ u x + 1 v→+∞ 0 x + 1 Ta có: Z 0 dx 2 = arctan 0 − arctan u = − arctan u u x + 1 Z 0 dx π lim 2 = lim (− arctan u) = u→−∞ u x + 1 u→−∞ 2 Z v dx 2 = arctan v − arctan 0 = arctan v 0 x + 1 Z v dx π lim 2 = lim (arctan v) = v→+∞ 0 x + 1 v→+∞ 2 π π ⇒ I = + = π 2 2 Vậy tích phân trên hội tụ. 4.3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN Định nghĩa 4.3.2. Cho hàm số f(x) xác định trên [a; b) khả tích trên mọi đoạn [a; t], t ∈ [a; b) và không bị chặn trong lận cận điểm b.(b gọi là điểm kì dị) Khi đó, tồn tại tích phân Z t G(t) = f(x)dx a Kí hiệu hình thức Z t Z b lim G(t) = lim f(x)dx := f(x)dx − − t→b t→b a a 45
  47. R b Gọi a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a; b). Nhận xét: 1. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. 2. Nếu giới hạn trên vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kì. Tương tự: • Nếu a là điểm kì dị Z b Z b f(x)dx := lim f(x)dx + a t→a t • Nếu a, b đều là điểm kì dị Z b Z v f(x)dx := lim f(x)dx + − a u→a ,v→b u R c R b • Nếu a f(x)dx, c f(x)dx hội tụ thì Z b Z c Z b f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx hội tụ a a c Trường hợp đặc biệt Nếu f(x) khả tích trên [a; t], [t0; b] và xác định trên [a; c), (c; b], c R b là điểm kì dị thì a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 2. Z b Z c Z b f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx a a c Tính hội tụ hay phân kì của tích phân suy rộng ở vế trái phụ thuộc vào tính hội tụ hay phân kì của tích phân suy rộng ở vế phải. Ví dụ 4.3.2. Xét sự hội tụ của tích phân sau Z 1 dx I = 3 0 x Lời giải: Z 1 dx Z 1 dx I = = lim 3 + 3 0 x t→0 t x 46
  48. Ta có Z 1 dx 1 1 3 = − + 2 t x 2 2t Z 1 dx 1 1 lim = lim (− + ) = +∞ + 3 + 2 t→0 t x t→0 2 2t Vậy tích phân trên phân kỳ. 47
  49. CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5.1.1 Các khái niệm chung Định nghĩa 5.1.1. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hoặc vi phân của nó. Định nghĩa 5.1.2. Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm một biến số. Ví dụ 5.1.1. y0 = y2 + x2 y00 − 2y0 = 2x3 sin x x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = 0 Định nghĩa 5.1.3. Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm nhiều biến số. Ví dụ 5.1.2. ∂u ∂u x + y = u ∂x ∂y ∂2u ∂2u + = 0 ∂x2 ∂y2 Định nghĩa 5.1.4. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình đó. Ví dụ 5.1.3. • y00 − 2y0 = 2x3 sin x là PTVP cấp 2 48
  50. • x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = 0 là PTVP cấp 1 Định nghĩa 5.1.5. Nghiệm của PTVP thường là hàm số thỏa mãn phương trình đó. 5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp 1 Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát sau đây F (x, y, y0) = 0 (1.1) Các dạng thường gặp dy = f(x, y) dx M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp 1 • Hàm số y = Φ(x, C),C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi là nghiệm tổng quát. • Nghiệm tổng quát được tìm dưới dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = 0 thì được gọi là tích phân tổng quát của PTVP. • Nghiệm riêng là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể. • Tích phân riêng của PTVP thu được khi cho tích phân tổng quát giá trị C cụ thể Bài toán Cauchy Tìm nghiệm của phương trình vi phân F (x, y, y0) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0 49
  51. 5.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Phương trình tuyến tính thuần nhất Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng dy + p(x)y = q(x) (2.1) dx Phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng dy + p(x)y = 0 (2.2) dx Nghiệm tổng quát của PT (2.2) là R y = Ce− p(x)dx Ví dụ 5.2.1. Giải phương trình dy 2y − = 0 dx x Lời giải: Nghiệm tổng quát của pt trên là R 2dx 2 ln |x| 2 y = Ce x = Ce = Cx Định lí 5.2.1. Nếu y0(x) là một nghiệm của pt (2.1), y(x) là một nghiệm của phương trình thuần nhất liên kết (2.2) thì y0(x) + y(x) là nghiệm của pt (2.1). Ví dụ 5.2.2. Giải phương trình: dy + y = 2ex dx Phương pháp biến thiên hằng số R B1: Giải PTVP (2.2) tìm được nghiệm tổng quát có dạng y = Ce− p(x)dx (∗),C là hằng số bất kỳ. B2: Tìm nghiệm của PTVP (2.1) có dạng (*) nhưng với C = C(x). R Thay y = C(x)e− p(x)dx vào (2.1), đồng nhất hệ số ta tìm được C(x). 50
  52. B3: Thay C(x) tìm được vào (*) ta được nghiệm tổng quát của PTVP (2.1). Ví dụ 5.2.3. Giải phương trình sau y = x(y0 − x cos x) 5.2.2 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ dy Phương trình dạng M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 (3.1) hoặc dx = f(x)g(y) Cách giải: • Chia hai vế pt (3.1) cho M2(y)N1(x) để đưa về dạng: p(x)dx + q(y)dy = 0 (3.2) • Lấy tích phân hai vế pt (3.2) ta được tích phân tổng quát: Z Z p(x)dx + q(y)dy = C Lưu ý: trong quá trình thực hiện, có thể ta đã làm mất các nghiệm làm cho M2(y)N1(x) = 0 Ví dụ 5.2.4. Giải phương trình: ydx = ln ydy với điều kiện y(2) = 1 Phương trình đưa về dạng phân li biến số Phương trình thuần nhất dy Phương trình dx = f(x, y) được gọi là phương trình thuần nhất nếu f(tx, ty) = f(x, y)∀t Cách giải: Đổi biến y = xz để đưa về dạng phân li biến số với z là hàm phải tìm Ví dụ 5.2.5. Giải phương trình (x − 2y)dy = (x − y)dx 51
  53. dy Phương trình dạng dx = f(ax + by) Cách giải: Đổi biến z = ax + by để đưa về dạng phân li biến số với z là hàm phải tìm Ví dụ 5.2.6. Giải phương trình: dy = 2x + y dx   Phương trình dạng dy = f a1x+b1y+c1 (3.3) dx a2x+b2y+c2 dy • Nếu a1b2 = a2b1 thì biến đổi về dạng dx = g(a2x + b2y) • Nếu a b 6= a b thì đặt x = x + u, y = y + v 1 2 2 1 (0 0 a1x + b1y + c1 = 0 với (x0, y0) là nghiệm của hệ a2x + b2y + c2 = 0 Khi đó phương trình (3.3) trở thành dv a u + b v  = f 1 1 du a2u + b2v Đây là phương trình thuần nhất với v = v(u) là hàm phải tìm nên ta đặt v = uz để chuyển về dạng phân li biến số. Ví dụ 5.2.7. Giải phương trình: dy 2x − y = dx 2y − x + 1 5.2.3 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli Dạng dy + p(x)y = yαq(x), (α 6= 0; 1) (3.4) dx Cách giải: • Chia hai vế pt cho yα được: dy y−α + p(x)y1−α = q(x) (3.5) dx 1−α dz −α dy • Đặt z = y ta có: dx = (1 − α)y dx 52
  54. dz • Thay vào pt (3.5) ta được: dx + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) Đây là phương trình tuyến tính với hàm phải tìm là z. Ví dụ 5.2.8. Giải phương trình sau y0 − y = xy2 53
  55. CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 6.1 KHÁI NIỆM 6.1.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG SỐ PHỨC Định nghĩa số phức • Đơn vị ảo, được kí hiệu là i, là số thỏa mãn i2 = −1 • Số phức có dạng z = a + bi, a, b ∈ R a gọi là phần thực, kí hiệu là Rez; b gọi là phần ảo, kí hiệu là Imz • Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau. a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d a + bi = 0 ⇔ a = b = 0 • Số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi Các dạng biểu diễn của số phức 1. Dạng đại số z = a + bi 2. Dạng hình học: Biểu diễn số phức z = a + bi bởi điểm có tọa độ (a; b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy 3. Dạng lượng giác của số phức z = a + bi, z 6= 0 là z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trong đó ( √ cos ϕ = √ a r = a2 + b2, a2+b2 sin ϕ = √ b a2+b2 4. Dạng hàm mũ của số phức Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì z = reiϕ Phương trình bậc hai x2 + px + q = 0 Nghiệm của pt bậc hai 54
  56. √ 2 p ∆ 1. Nếu ∆ = p − 4q > 0 thì pt có hai nghiệm thực phân biệt x = − 2 ± 2 2 p 2. Nếu ∆ = p − 4q = 0 thì pt có nghiệm kép x = − 2 √ 2 p i −∆ 3. Nếu ∆ = p − 4q < 0 thì pt có hai nghiệm phức liên hợp x = − 2 ± 2 6.1.2 KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Định nghĩa 6.1.1. Hàm số với đối số nguyên Hàm số u = f(n), n ∈ N(n ∈ N∗, n ∈ Z) được gọi là hàm số với đối số nguyên Kí hiệu: un Định nghĩa 6.1.2. Sai phân Sai phân (sai phân cấp 1) của hàm số u = un là độ chênh lệch giá trị của hàm số tại hai thời điểm kế tiếp. Sai phân của hàm số u = un tại thời điểm n được kí hiệu là ∆un ∆un = un+1 − un 3 Ví dụ 6.1.1. Hàm số un = n có sai phân cấp 1 tại thời điểm n là 3 3 2 ∆un = un+1 − un = (n + 1) − n = 3n + 3n + 1 Định nghĩa 6.1.3. Sai phân cấp m Sai phân cấp m của hàm số u = un là sai phân của sai phân cấp m − 1 của hàm số đó. m Sai phân cấp m của hàm số u = un tại thời điểm n được kí hiệu là ∆ un. m m−1 m−1 m−1 ∆ un = ∆(∆ un) = ∆ un+1 − ∆ un 55
  57. 2 Ta có: ∆ un = ∆un+1 − ∆un = un+2 − 2un+1 + un m Tương tự, ta có thể biểu diễn ∆ un qua un, un+1, un+2, , un+m Định nghĩa 6.1.4. Phương trình sai phân Phương trình sai phân là phương trình với hàm phải tìm là hàm đối số nguyên u = un, trong đó hàm phải tìm xuất hiện dưới dạng sai phân các cấp của nó. Định nghĩa 6.1.5. Cấp của phương trình sai phân Cấp của phương trình sai phân là cấp cao nhất của sai phân có trong phương trình đó. Định nghĩa 6.1.6. Nghiệm của phương trình sai phân 1. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là hàm đối số nguyên un = ϕ(n, C1,C2, , Cn) thỏa mãn phương trình đó. (C1,C2, , Cn là các hằng số bất kì) 2. Nghiệm riêng của phương trình sai phân là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị cụ thể của C1,C2, , Cn. 6.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 6.2.1 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP 2 Dạng phương trình: un+2 + pun+1 + qun = 0 (2.2) Cách giải Phương trình đặc trưng tương ứng là: k2 + pk + q = 0 (2.3) 56
  58. TH1 Nếu (2.3) có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì n n nghiệm tổng quát của (2.2) là: un = C1k1 + C2k2 TH2 Nếu (2.3) có nghiệm kép k 6= 0 thì n n nghiệm tổng quát của (2.2) là: un = C1k + C2nk TH3 Nếu (2.3) có 2 nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ, k không thuộc R n nghiệm tổng quát của (2.2) là: un = r (C1 cos ϕn + C2 sin ϕn)  cos ϕ = √ α  2 2 r = pα2 + β2, α +β sin ϕ = √ β  α2+β2 Ví dụ 6.2.1. Giải các phương trình sau 1. un+2 − 4un = 0, u(0) = 1, u1 = 3 2. un+2 + un+1 + un = 0 3. un+2 − 4un+1 + 4un = 0 6.2.2 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP m Dạng phương trình: un+m + a1un+m−1 + + amun = 0 (2.4) Cách giải m m−1 PT đặc trưng tương ứng: k + a1k + + am = 0 (2.5) TH1 Nếu (2.5) có chứa j nghiệm thực phân biệt k1, , kj thì n n nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa: C1k1 + + Cjkj TH2 Nếu (2.5) có chứa nghiệm ki bội s thì nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa n n 2 n s−1 n C1ki + C2nki + C3n ki + Csn ki TH3 Nếu (2.5) có chứa nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ, k không thuộc R bội s n n nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa: r (C1 cos ϕn + C2 sin ϕn) + nr (C3 cos ϕn + C sin ϕn) + + ns−1rn(C cos ϕn + C sin ϕn) 4  2s−1 2s cos ϕ = √ α  2 2 r = pα2 + β2, α +β sin ϕ = √ β  α2+β2 Ví dụ 6.2.2. Giải các phương trình sau 57
  59. 1. un+3 − un+2 + 4un+1 − 4un = 0 2. un+3 + un = 0 6.3 PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP m 6.3.1 LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT Dạng PT: un+m + a1un+m−1 + + amun = f(n) (2.6) PT thuần nhất tương ứng: un+m + a1un+m−1 + + amun = 0 (2.7) 0 ∗ Định lí 6.3.1. Nếu un là nghiệm tổng quát của (2.7), un là một nghiệm riêng của 0 ∗ (2.6) thì nghiệm tổng quát của (2.6) là un = un + un 6.3.2 CÁCH GIẢI PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP m n Cách giải phương trình (2.6) với f(n) = Pm(n)β , β ∈ R 0 1. Giải pt (2.7) để tìm un ∗ 2. Tìm 1 nghiệm riêng un của (2.6) ∗ • Tìm dạng nghiệm riêng un ∗ n + Nếu PT đặc trưng có tất cả các nghiệm k 6= β thì un = β Qm(n) ∗ s n + Nếu PT đặc trưng có nghiệm k = β (bội s) thì un = n β Qm(n) ∗ ∗ • Thay dạng un vào pt (2.6), đồng nhất hệ số thì ta tìm được un 0 ∗ 3. Nghiệm tổng quát của (2.6) là un = un + un Ví dụ 6.3.1. Giải các phương trình sau n 1. un+3 − un+2 + 4un+1 − 4un = 4 n 2. un+3 + un = 2.(−1) 58
  60. Dạng PT: un+m + a1un+m−1 + + amun = f(n) + g(n) Cách giải: 0 1. Giải PT thuần nhất tương ứng để tìm nghiệm un. ∗ 2. Tìm một nghiệm riêng un của phương trình un+m + a1un+m−1 + + amun = f(n) ∗∗ 3. Tìm một nghiệm riêng un của phương trình un+m + a1un+m−1 + + amun = g(n) 0 ∗ ∗ 4. Nghiệm của PT ban đầu un = un + u1n + u2n Ví dụ 6.3.2. Giải phương trình sau n 2 un+2 − 4un+1 + 4un = 2 + n 59