Bài Giảng môn Giải Tích I

Nội dung text: Bài Giảng môn Giải Tích I

1. ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ∼∼ ???∼∼ Bài Giảng Giải Tích I (Dùng cho sinh viên không chuyên Toán) Đà Nẵng, tháng 03 năm 2008
2. Mục lục 1 Hàm số một biến số thực 4 1.1 Hàm số 4 1.1.1. Định nghĩa hàm số 4 1.1.2. Các phương pháp cho hàm số 4 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược 5 1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt 7 1.1.5. Các hàm số sơ cấp 9 1.2 Giới hạn hàm số 10 1.2.1. Giới hạn dãy số 10 1.2.2. Giới hạn hàm số 11 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 15 1.2.4. Các nguyên lý cơ bản về giới hạn của hàm số 17 1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn 18 1.2.6. Nguyên tắc thay thế VCB, VCL. Khử dạng vô định 20 1.3 Hàm số liên tục 21 1.3.1. Các định nghĩa cơ bản 21 1.3.2. Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn 23 1.3.3. Các phép toán với hàm liên tục 23 1.3.4. Các định lý cơ bản của hàm liên tục 24 2 Đạo hàm của hàm một biến 25 2.1 Đạo hàm của hàm số một biến 25 2.1.1. Đạo hàm (cấp 1) của hàm số 25 2.1.2. þ nghĩa hình học của đạo hàm 26 2.1.3. Đạo hàm cấp cao 29 2.2 Vi phân hàm một biến 30 2.2.1. Định nghĩa vi phân của hàm số 30 2.2.2. Ý nghĩa hình học của vi phân 31 2.2.3. Cách tính vi phân 32 2.2.4. Vi phân các hàm số sơ cấp 32 2.2.5. ùng dụng vi phân vào tính gần đúng 32 2.2.6. Vi phân cấp cao 33 2.3 Các định lý về hàm khả vi 34 2.3.1. Các định lý về giá trị trung bình 34 2.3.2. Định lý Rolle 35 2.3.3. Công thức số gia giới nội. Định lý Lagrange 35 2.3.4. Quy tắc Lôpitan để khử dạng vô định 36 2.3.5. Công thức Taylor 39 2.4 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 41 2.4.1. Các định lý về tính tăng, giảm và cực trị của hàm số 41 1
3. -2- 2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 42 2.4.3. Tính lồi lõm, điểm uốn của hàm số 43 2.4.4. Xác định tiệm cận của hàm số - Sơ đồ khảo sát hàm số 44 3 Tích phân hàm một biến 47 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 47 3.1.1. Khái niềm nguyên hàm 47 3.1.2. Tích phân bất định 47 3.1.3. Các tính chất của tích phân bất định 47 3.1.4. Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản 48 3.1.5. Các phương pháp tìm tích phân bất định 48 3.1.6. Tích phân của các hàm thường gặp 51 3.2 Tích phân xác định 55 3.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong 55 3.2.2. Định nghĩa tích phân xác định 56 3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định 57 3.2.4. Một số định lý về tích phân xác định 58 3.2.5. Phương pháp đổi biến trong tích phân xác định 59 3.2.6. Phương pháp tích phân từng phần 60 3.3 Tích phân suy rộng 60 3.3.1. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 60 3.3.2. Tích phân suy rộng với cận vô hạn 61 3.3.3. Một số tiêu chuẩn hội tụ 62 3.4 ứng dụng của tích phân xác định 63 3.4.1. Diện tích hình phẳng 63 3.4.2. Thể tích vật thể 64 3.4.3. Độ dài cung phẳng 65 4 Hàm nhiều biến số 67 4.1 Các định nghĩa cơ bản và ví dụ 67 4.1.1. Không gian mêtric 67 4.1.2. Miền trong mặt phẳng 68 4.2 Hàm nhiều biến 69 4.2.1. Định nghĩa hàm hai biến 69 4.2.2. Giới hạn của hàm hai biến 69 4.2.3. Sự liên tục của hàm hai biến 70 4.3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 71 4.3.1. Đạo hàm riêng cấp một 71 4.3.2. Vi phân riêng và vi phân toàn phần. 72 4.3.3. Đạo hàm của hàm hợp 73 4.3.4. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao 74 4.3.5. Hàm ẩn 76 4.4 Cực trị hàm hai biến 77 4.4.1. Cực trị không điều kiện 77 4.4.2. Cực trị có điều kiện 79 4.4.3. GTLN (GTNN) của hàm số nhiều biến số trong một miền đóng bị chặn 80 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
4. -3- 5 Phương trình vi phân 82 5.1 Phương trình vi phân cấp 1 82 5.1.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 1 82 5.1.2. Phương trình biến số phân li và phân li được 83 5.1.3. Phương trình thuần nhất 84 5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 85 5.1.5. Phương trình Bernoulli 87 5.2 Phương trình vi phân cấp 2 88 5.2.1. Định nghĩa 88 5.2.2. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 89 5.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 90 5.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 93 5.2.5. Nguyên lý xếp chồng nghiệm 96 6 Phương trình sai phân 97 6.1 Khái niệm sai phân 97 6.1.1. Bài toán mở đầu 97 6.1.2. Sai phân 97 6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 99 6.2.1. Các khái niệm chung 99 6.2.2. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 101 6.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 104 6.3.1. Các khái niệm chung 104 6.3.2. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất với hệ số hằng 104 6.3.3. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 105 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
5. Chương 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC ??? 1.1 HÀM SỐ 1.1.1. Định nghĩa hàm số Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp số thực X ⊆ R. Ta gọi một ánh xạ f từ tập X vào tập số thực R là một hàm số. Tập X được gọi là miền xác định thường được kí hiệu Df và tập ảnh Y = f(X) của ánh xạ được gọi là miền giá trị của hàm số f. Hàm số thường được ký hiệu: f : X −→ Y hoặc y = f(x). (1.1) x 7−→ f(x)=y Ký hiệu trên cho phép ta xác định được giá trị của hàm số tại điểm x. x được gọi là biến số độc lập và y = f(x) là giá trị của hàm số tại x. Ví dụ 1.1. 1) <nh xạ f : R −→ R √ x 7−→ f(x)=y = x, (0 ≤ x<+∞) là một hàm số có miền xác định là Df = R+. 2) <nh xạ f : R −→ R 1 x 7−→ f(x)=y = ,x=06 x là một hàm số có miền xác định là Df =(−∞, 0) ∪ (0, +∞). 1 nếu x hữu tỉ 3) f(x)= 0 nếu x vô tỉ Miền xác định là Df = R, miền giá trị là tập {0, 1} 4) y = n2,n =1, 2, 3, Miền xác định là tập mọi số tự nhiên, miền giá trị là tập mọi số chính phương. 1.1.2. Các phương pháp cho hàm số Có nhiều phương pháp cho hàm số, ta chỉ xét ba phương pháp thường gặp sau: cho hàm số bằng biểu thức giải tích, bằng bảng và bằng đồ thị. 4
6. -5- 1.1.2.1. Phương pháp cho hàm số bằng biểu thức giải tích Đây là phương pháp được dùng phổ biến nhất, đặc biệt trong việc nghiên cứu các vấn đề lý thuyết. Trong phương pháp này hàm số được cho bằng một phương trình mà vế phải là giá trị y của hàm số tại điểm x, vế trái là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. (chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, lấy căn, phép logarit, phép mũ, các phép toán lượng giác,. . . ) Trong phương pháp giải tích thông thường miền xác định không được chỉ rõ mà được hiểu ngầm từ cách viết của nó. Miền xác định ở đây là tập tất cả các giá trị của x để biểu thức có nghĩa. √ Ví dụ 1.2. 1) Cho hàm số y = 4 − x2. Miền xác định là −2 ≤ x ≤ 2. 2) Hàm số y = sin x xác định trên toàn trục số. 1 3) Hàm số y = √ + log2(x − 3). Biểu thức có nghĩa khi 5 − x ≥ 0; x − 3 > 0. Từ đó 5 − x miền xác định của hàm số là khoảng (3, 5).  2 nếu x 0 5) Hàm số y =  0 nếu x =0 xác định với mọi số thực, miền giá trị là tập {−1, 0, 1}.  −1 nếu x<0 Hàm số này người ta gọi là hàm dấu, ký hiệu y = signx (đọc là ” xích - num ” của x). 1.1.2.2. Phương pháp bảng Phương√ pháp này thường dùng trong vật lý, kỹ thuật. . . đặc biệt đối với những hàm: y = 2 1 x ; x ; x; log10 x; sin x; cos x;tgx; Nhược điểm của phương pháp này là không thể tính tất cả các giá trị của đối số và các giá trị không có trong bảng pháp tính gần đúng. 1.1.2.3. Phương pháp đồ thị Cho hàm số y = f(x) xác định trên X. Ta xây dựng cách biểu diễn đồ thị hàm số như sau: Trong hệ trục toạ độ vuông góc xOy, gọi N là điểm trên trục hoàn sao cho ON = x. Trên đường thẳng vuông góc với Ox lấy điểm M sao cho NM = y = f(x). Tập hợp những điểm M (xây dựng như trên), ứng với tập tất cả các giá trị của x ∈ X là biểu diễn hình học của hàm số y = f(x). Ta gọi tập điểm này là đồ thị hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị hàm số là quỹ tích mọi điểm M(x, y) trên mặt phẳng sao cho toạ độ x, y thoả mãn phương trình y = f(x). Đồ thị hàm số giúp ta nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số. Tuy nhiên cũng như phương pháp bảng phương pháp đồ thị có khuyết điểm là thiếu chính xác. 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược 1.1.3.1. So sánh hàm số Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Ta nói f(x) bằng g(x), kí hiệu f = g, nếu f(x)=g(x), ∀x ∈ D và f(x) khác g(x), kí hiệu f =6 g, nếu ∃x0 ∈ D : f(x0) =6 g(x0). Hàm f(x) lớn hơn hoặc bằng g(x) (f(x) nhỏ hơn hoặc bằng g(x)) trên D nếu f(x) ≥ g(x)(f(x) ≤ g(x)), ∀x ∈ D. (1.2) BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
7. -6- Khi không tồn tại x để dấu bằng trong (1.2) xảy ra thì ta nói f(x) lớn hơn (nhỏ hơn) g(x) . 1.1.3.2. Các phép toán số học trên hàm số Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Khi đó, các hàm số định nghĩa như sau: (i). (f ± g)(x):=f(x) ± g(x) (ii). (f.g)(x):=f(x).g(x) f f(x) (iii). ( )(x):= khi g(x) =06 g g(x) lần lượt được gọi là tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số f(x) và g(x) trên D. 1.1.3.3. Hàm số hợp Cho hàm số u = f(x) xác định trên D ⊆ R và hàm số y = g(u) xác định trên U ⊆ R sao cho f(D) ⊆ U. Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.2. Hàm hợp của f và g, kí hiệu g ◦ f là một hàm số xác định bởi công thức (g ◦ f)(x)=g(f(x)), ∀x ∈ X. Chẳng hạn, y = sin(x2) là hàm hợp của hai hàm số y = sin u và u = x2. Cần chú ý rằng (g ◦ f) =(6 f ◦ g). 1.1.3.4. Hàm số ngược Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm số f : D −→ Y x 7−→ f(x) là một song ánh. Khi đó hàm số f −1 : Y −→ D y 7−→ f −1(y)=x sao cho f(x)=y được gọi là hàm số ngược của hàm số f. Ví dụ 1.3. x 1) Hàm số y =2 có hàm số ngược là x = log2 y. y +3 2) Hàm số y =2x − 3 có hàm số ngược là x = . 2 Như vậy, miền xác định của hàm f −1 chính là miền giá trị của hàm f và ngược lại. Đồ thị của hàm số y = f −1(x) đối xứng với đồ thị của hàm y = f(x) qua đường phân giác thứ nhất nếu ta dựng đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Đề-các vuông góc xOy. Định lý 1.1.1. Nếu f là hàm số tăng nghiêm ngặt(giảm nghiêm ngặt) thì tồn tại hàm số ngược f −1 của f. Hàm số f −1 cũng là hàm số tăng nghiêm ngặt( giảm nghiêm ngặt). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
8. -7- 1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt 1.1.4.1. Hàm số đơn điệu Cho hàm số f xác định trên X và D ⊆ X Định nghĩa 1.1.4. Ta nói hàm số f đơn điệu tăng( hoặc đơn điệu giảm) trên D nếu với mọi x1,x2 ∈ D thì từ x1 f(x2)). Hàm số đơn điệu tăng hoặc giảm gọi chung là hàm đơn điệu. Tính đơn điệu cho ta hình dung dáng điệu đồ thị của hàm số trên D, đồ thị của hàm đơn điệu tăng (giảm) đi lên (đi xuống) từ trái sang phải. Ví dụ 1.4. 1) Hàm số f(x)=x3 tăng nghiêm ngặt trên R. Thật vậy, Với x1 0. 2 2 vì x2 >x1 và x2 + x2x1 + x1 > 0. Do đó f(x1) <f(x2). 2) Hàm số y =[x] (hàm phần nguyên) tăng trên toàn trục số nhưng không tăng nghiêm ngặt. π π 3) Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên các khoảng − +2kπ, +2kπ
   và giảm 2 2 π 3π nghiêm ngặt trong các khoảng +2kπ, +2kπ
   . 2 2 ( 1 nếu x hữu tỷ 4) Hàm Dirichlet χ(x)= là hàm không đơn điệu trên bất kì 0 nếu x vô tỷ khoảng nào. 1.1.4.2. Hàm số bị chặn Định nghĩa 1.1.6. Hàm số f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) trong miền D nếu tồn tại một số M sao cho f(x) ≤ M(hoặcf(x) ≥ M) với mọi x ∈ D. Nếu hàm số f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trên D thì ta nói rằng f(x) bị chặn trên D. Hay nói cách khác, hàm số f(x) bị chặn trong miền D nếu tồn tại một số dương M sao cho |f(x)|≤M với mọi x ∈ D. Ví dụ 1.5. 1) Hàm số y = sin x bị chặn vì | sin x |≤ 1. 2) Hàm số y = x2 không bị chặn trên R nhưng bị chặn dưới vì x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. 1.1.4.3. Hàm số chẵn và hàm số lẻ Ta nói một tập hợp số D ⊆ R là đối xứng nếu ∀x ∈ D ⇒−x ∈ D. Định nghĩa 1.1.7 (Hàm số chẵn). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi là hàm chẵn nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(x)=f(−x). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
9. -8- Chẳng hạn, các hàm số y = x2; y = cos x; y =2|x|, là những hàm chẵn trên R. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Định nghĩa 1.1.8 (Hàm số lẻ). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi là hàm lẻ nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(−x)=−f(x). Các hàm số y = x3; y = sin x; là những hàm số lẻ trên R. Hàm lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.4.4. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa 1.1.9. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T =06 sao cho f(x + T )=f(x) (1.3) với mọi x thuộc miền xác định. Từ định nghĩa ta thấy nếu T thoả mãn (1.3) thì tất cả những số có dạng nT, n ∈ N đều thoả mãn (1.3). Do đó tập xác định của hàm số tuần hoàn không bị chặn. Định nghĩa 1.1.10. Số dương nhỏ nhất (nếu có) trong các số T thoả mãn (1.3) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f(x). Khi khảo sát các tính chất và dáng điệu của hàm số tuần hoàn ta chỉ cần khảo sát hàm số này trong một khoảng có độ dài bằng chu kỳ của nó. Ví dụ 1.6. 1) Hàm số sin x, cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm số tg x, cotg x tuần hoàn với chu kỳ π. 1 nếu x hữu tỉ 2) Hàm số y =  là hàm tuần hoàn, không có chu kỳ. 0 nếu x vô tỉ Thật vậy, với mọi số hữu tỉ r, ta có x + r là số hữu tỉ nếu x hữu tỷ, ngược lại x + r là số vô tỷ. Do đó f(x + r)=f(x), ∀x ∈ R. 3) Hàm số hằng f(x)=c cũng là hàm tuần hoàn không có chu kỳ. 1.1.4.5. Hàm lồi Định nghĩa 1.1.11. Hàm số f(x) xác định trên một khoảng D được gọi là lồi trên D nếu bất đẳng thức f(αx1 +(1− α)x2) ≤ αf(x1)+(1− α)f(x2) được nghiệm đúng với mọi x1,x2 ∈ D và mọi α ∈ [0, 1]. Hàm f(x) được gọi là lõm trên D nếu −f(x) là hàm lồi trên D. Ví dụ 1.7. Hàm y = x2,y= |x| là những hàm lồi trên R. Hàm y = x3 là lồi trên (0, +∞) và lõm trên (−∞, 0). Hàm lồi có tính chất là: + Tổng của hai hàm lồi trên D là một hàm lồi trên D. + Nếu y = g(u) là một hàm lồi đơn điệu tăng còn u = f(x) là hàm lồi thì g ◦ f cũng là một hàm lồi. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
10. -9- 1.1.5. Các hàm số sơ cấp 1.1.5.1. Hàm số luỹ thừa y = xα,α là một số thực khác 0 Miền xác định của hàm số này phụ thuộc vào α. Nếu α ∈ N thì miền xác định là R. ∗ Nếu α ∈ Z− thì miền xác định là R . Nếu α ∈ Q+ thì miền xác định là R+. ∗ Nếu α ∈ Q− hoặc α ∈ R \ Q thì miền xác định là R+. Hàm số tăng nghiêm ngặt nếu α>0 và giảm nghiêm ngặt nếu α 0 và không qua gốc nếu α 0,a=1)6 ∗ Miền xác đinh: X = R. Miền giá trị R+. Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0 0,a=1)6 . ∗ x Miền xác định X = R+, là hàm số ngược của hàm số mũ y = a . Đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm mũ y = ax qua đường phân giác thức nhất. Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0 0,y >0) a y a a α loga x = α loga x N = aloga N loga c = loga b. logb c 1.1.5.4. Các hàm số lượng giác. a) Hàm số y = sin x; y = cos x. Miền xác định R, miền giá trị [0, 1], tuần hoàn với chu kỳ 2π. b) Hàm số y =tgx; y = cotg x: π + Hàm số y =tgx xác định với mọi x =(26 k +1) , tăng nghiêm ngặt trong các khoảng 2 π π − + kπ, + kπ
    , tuần hoàn với chu kỳ π. 2 2 + Hàm số y = cotg x xác định với mọi x =6 kπ, tăng nghiêm ngặt trong các khoảng (kπ,(k +1)π), tuần hoàn với chu kỳ π. 1.1.5.5. Các hàm số lượng giác ngược a) Hàm số y = arcsin x. π π Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên đoạn [− , ] nên có hàm ngược ký hiệu là 2 2 x = arcsin y. Nếu dùng chữ x chỉ biến số độc lập và biến y chỉ biến số phụ thuộc, thì hàm số được ký hiệu là: y = arcsin x b) Hàm số y = arccos x. Hàm số ngược của hàm số y = cos x trên đoạn [0,π] được ký hiệu y = arccos x. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
11. -10- − π π c) Hàm số y = arctg x là hàm ngược của hàm số y =tgx trong 2 , 2
    d) Hàm số y = arccotg x là hàm ngược của hàm số y = cotg x trong (0,π). Các hàm số luỹ thừa, mũ, logarit, các hàm lượng giác và hàm số lượng giác ngược được gọi chung là các hàm sơ cấp cơ bản. Từ những hàm sơ cấp cơ bản, bằng một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ nhân, chia và phép hợp hàm ta xây dựng được những hàm phức tạp hơn và gọi là các hàm sơ cấp. xπ +5 Ví dụ: Hàm số y = là một hàm sơ cấp. 2sin(x2+x+1) 1.2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.2.1. Giới hạn dãy số 1.2.1.1. Dãy số Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp số tự nhiên vào tập số thực là một dãy số : u : N −→ R n 7→ u(n)=un Người ta ký hiệu dãy số như sau: u1,u2, ,un, hoặc gọn hơn (un). Mỗi số un, (n =1, 2, 3, ,n, ) là một số hạng hay một phần tử của dãy; un được gọi là số hạng tổng quát của dãy còn n là chỉ số của nó. Ví dụ 1.8. Nếu các dãy có số hạng tổng quát un cho bởi một trong các công thức: un = 1+(−1)n 1; u =(−1)n; u = thì các dãy sẽ tương ứng là: n n n 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ,1, − 1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ,(−1)n, 1 1 1+(−1)n 0, 1, 0, , 0, , , , 2 3 n 1.2.1.2. Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.2.2. Số thực ` được gọi là giới hạn của dãy số (un) nếu với mỗi >0, nhỏ tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0, ta đều có |un − `| . Nếu ta chọn n0 =   +1thì với mọi n>n0 ta có n   |un − 1| <.Vì là số dương bất kỳ nên ta có lim un =1. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
12. -11- 1+(−1)n 2) Cho dãy (u ), trong đó u = . Tương tự ta có lim u =0. n n n n n 3) Dãy (un) với un =(−1) là một dãy phân kỳ. Thật vậy, giả sử ` là giới hạn của dãy. 1 + Nếu ` =16 thì |` − 1|6=0. Ta chọn  = |` − 1| > 0. Ta có dù chọn n như thế nào ta 2 0 cũng có những chỉ số n>n0 sao cho un =1, do đó |un − `| = |` − 1| >.Vậy` không thể là giới hạn của dãy. + Nếu ` =1lý luận tương tự ta cũng thấy un không thể hội tụ đến `. 4) Dãy (un) với un = n cũng là một dãy phân kỳ. 1.2.1.3. Các tính chất của dãy hội tụ Sau đây ta liệt kê một số tính chất cơ bản của dãy số. Tính chất 1.2.1. Giới hạn của một dãy số nếu có là duy nhất. Tính chất 1.2.2. Nếu dãy (un) có giới hạn là ` và `>p (` n0 ⇒ un >p (un 0:| un |≤ M,∀n. Tính chất 1.2.5. Nếu hai dãy có giới hạn (un) và (vn) thoả mãn un = vn, ∀n ∈ N thì lim un = lim vn. Tính chất 1.2.6. Nếu hai dãy có giới hạn (un) và (vn) thoả mãn un ≤ vn, ∀n ∈ N thì lim un ≤ lim vn. Tính chất 1.2.7. Nếu ba dãy (un), (vn) và (wn) thoả mãn un ≤ vn ≤ wn, ∀n ∈ N và nếu lim un = lim wn = ` thì dãy (vn) cũng có giới hạn và lim vn = `. un Tính chất 1.2.8. Nếu các dãy (un)(vn) có giới hạn thì các dãy (un ± vn), (un.vn), và
    vn (lim vn =0)6 cũng có giới hạn và ta có: lim(un ± vn) = lim un ± lim vn lim un.vn = lim un. lim vn u lim u lim n = n vn lim vn Điều kiện cần và đủ để một dãy số hội tụ được cho bởi tiêu chuẩn hội tụ Cauchy phát biểu như sau: Định lý 1.2.9 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy số thực (un) hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε>0 ∗ cho trước, tìm được n0 ∈ N sao cho với mọi m, n ≥ n0 ta có |um − un| 0 là −lân cận của x0. Một tập hợp chứa một −lân cận nào đó của x0 được gọi là một lân cận của x0, ký hiệu là U(x0). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
13. -12- Định nghĩa 1.2.4. Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x0) (có thể trừ x0). Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi ε>0 nhỏ tuỳ ý, tồn tại một số δ>0 sao cho |f(x) − L| 0, ∃δ>0, ∀x ∈U(x0):0 0, nhỏ tuỳ ý cho trước, ta tìm được số δ = ε>0 sao cho |x2 − 0| 0 nhỏ tuỳ ý cho trước, chọn δ = ε.Do|sin α|≤1, ∀α ∈ R nên với mọi x ∈ (−1, 1) mà 0 <| x − 0 |<δ, ta có 1 1 x sin − 0 = |x| . sin ≤|x| <ε. x x Giới hạn dãy số và giới hạn hàm số có mối liên hệ được cho bởi định lý sau: Định lý 1.2.10. lim f(x)=L khi và chỉ khi với mọi dãy số (xn) ⊂U(x0) \{x0} hội tụ về x→x0 x0 ta có dãy số (f(xn)) hội tụ về L. Khi đó ta viết lim f(x)=L ⇔ ∀(xn),xn =6 x0,xn → x0 khi n →∞⇒f(xn) → L khi n →∞ x→x0 ⇔ ∀(xn),xn =6 x0, lim xn = x0 ⇒ lim f(xn)=L.
    Chứng minh định lý 1.2.10 này dành cho đọc giả. Định lý 1.2.10 không chỉ cho ta hình dung giới hạn hàm số thông qua ngôn ngữ giới hạn của dãy số, mà nó còn rất tiện lợi khi ta cần chứng minh không tồn tại giới hạn hàm số. Muốn vậy, ta chỉ cần xây dựng 2 dãy (xn) và 0 0 (xn) cùng dần đến x0 nhưng lim f(xn) =6 lim f(xn). Ví dụ 1.11. 1 1) Chứng minh rằng lim x cos =0. x→0 x Ta có với mọi dãy (xn)(xn =0)6 là dãy hội tụ đến 0 thì 1 0 ≤| f(xn) |=| xn cos |≤| xn | xn BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
14. -13- ⇒ lim | f(xn) |=0(vì lim xn =0). 1 1 2) Hàm số y = sin không có giới hạn tại điểm 0. Thật vậy, chọn x = và x n nπ 0 1 0 xn = π ,n∈ N. Khi đó các dãy (xn) và (xn) cùng tiến về 0, nhưng 2 +2nπ 0 lim sin xn =0=6 1 = lim sin xn. 1.2.2.2. Giới hạn một phía Định nghĩa 1.2.5. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi ε>0 nhỏ tuỳ ý, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho | f(x) − L | 0 nhỏ tuỳ ý, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho | f(x) − L | x0, tương tự x → x0 có nghĩa là x dần đến x0 nhưng luôn có x 0 ta đều có x→0− | S(x)+1|=0 0,từ lim f(x)=L suy ra + − + x→x0 x→x0 x→x0 tồn tại δ1 > 0 sao cho | f(x) − L | 0 sao cho | f(x) − L |<εvới mọi x ∈U(x0) − x→x0 mà 0 <x0 − x<δ2. Đặt δ = min {δ1,δ2} ta có | f(x) − L |<εvới mọi x ∈U(x0) mà 0 < |x − x0| <δ.Vậy lim = L. x→x0 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
15. -14- 1.2.2.3. Giới hạn hàm số khi x dần ra vô cùng Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x có giá trị tuyệt đối lớn tuỳ ý. Định nghĩa 1.2.7. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần ra vô cùng nếu ∀ε>0, ∃N>0: | x |>N ⇒|f(x) − L | x x ε 1 1 h i Nên ∀ε>0, ∃N = : |x| >N⇒ − 0 0, ∃N>0: x>N ⇒|f(x) − L | 0, ∃N>0: x 0, ∃δ>0, ∀x ∈U(x0): 0 M (f(x) 0, ∃N>0: |x| >N ⇒ f(x) >M (f(x) 1 ta có: lim ax =+∞; lim ax =0. x→+∞ x→−∞ Với 0 <a<1 ta có: lim ax = 0; lim ax =+∞. x→+∞ x→−∞ BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
16. -15- 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số Định lý 1.2.12 (Cauchy-Bolzano). Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Điều kiện ắt có và đủ để lim f(x)=L là với mỗi ε>0, tồn tại δ>0 sao cho x→x0 | f(x1) − f(x2) | 0, ∃δ>0 x→x0 sao cho ε |f(x) − L| 0, lấy dãy (xn) ⊂ D \{x0} bất kì, mà lim xn = x0. Ta sẽ chứng minh lim f(xn) tồn tại. Thật vậy, do lim xn = x0 nên ∃n0 > 0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 thì 0 0, tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi n ∈ N,n>n0, ta có ε ε ε |f(x ) − L| 0: ∀x ∈ D, |x − x0| <δ⇒ x→x0 A<f(x) <B. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
17. -16- Chứng minh. Phần thuận được suy ra từ định nghĩa. Đảo lại, chọn ε = min {L − A, B − L} . Do lim f(x)=L nên tồn tại δ>0 sao cho x→x0 L − ε L2 thì ∃δ>0: ∀x ∈ x→x0 x→x0 D, |x − x0| 0 sao cho f(x) 0,và lim f(x)=L nên tồn tại số δ>0 sao cho x→x0 |f(x) − L| <εvới mọi x ∈ D, 0 < |x − x0| <δ. Do ||f(x)|−|L|| ≤ |f(x) − L| <εsuy ra lim |f(x)| = |L| . x→x0 Đảo lại là không đúng, chẳng hạn lim |sign x| =1, tuy nhiên lim sign x không tồn tại. x→0 x→0 Các phép toán số học của giới hạn hàm số cho bởi tính chất sau: Tính chất 1.2.17. Nếu tồn tại các giới hạn lim f(x)=L1; lim g(x)=L2 thì các hàm số x→x0 x→x0 f f ± g; f.g; và (L =0)6 cũng có giới hạn khi x → x và ta có: g 2 0 lim f(x)+g(x)
    = lim f(x) + lim g(x) x→x0 x→x0 x→x0 lim f(x).g(x) = lim f(x). lim g(x) x→x0 x→x0 x→x0 lim f(x) f(x) → lim = x x0 x→x0 g(x) lim f(x) x→x0 Chứng minh. Suy từ các tính chất của giới hạn dãy số và Định lý 1.2.10. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
18. -17- Tính chất 1.2.17 vẫn còn đúng nếu thay x0 bởi vô cùng. Nó cũng đúng cho giới hạn một phía và cho phép ta tính giới hạn của các hàm phức tạp thông qua các hàm đơn giản hơn, tuy nhiên nó đòi hỏi các giới hạn của f và g phải tồn tại hữu hạn. Từ tính chất đó ta cũng có n n lim a.f(x)=a. lim f(x), lim f(x) =  lim f(x) . x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 Tính chất 1.2.18. Cho f và g là hai hàm số sao cho miền giá trị của f nằm trong miền xác định của g. Ngoài ra, lim f(x)=A, lim g(y)=L. Khi đó x→x0 y→A lim g(f(x)) = L. x→x0 Chứng minh. Dành cho bạn đọc xem như bài tập. 1.2.4. Các nguyên lý cơ bản về giới hạn của hàm số Định lý 1.2.19 (Nguyên lý kẹp). Cho f,g,h là các hàm số cùng xác định trên tập D chứa một lân cận nào đó của điểm x0 và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ D. Nếu lim g(x) = lim h(x)=L x→x0 x→x0 thì lim f(x)=L. x→x0 Chứng minh. Với ε>0,do lim g(x) = lim h(x)=L nên tồn tại δ1,δ2 > 0 sao cho x→x0 x→x0 |g(x) − L| 0) α x→x0 x→∞ x sin x 1 x lim = 1 lim 1+
    = e x→0 x x→0 x ex − 1 1 lim = 1 lim 1+x
    x = e x→x0 x x→∞ Ví dụ 1.15. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
19. -18- tg x 1). lim =1. x→0 x 1 − cos x 1 2). lim = . x→0 x2 2 x x 3). lim   = e−1. x→0 x +1 1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn Định nghĩa 1.2.12. (i). Hàm α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → x0 nếu lim α(x)=0. x→x0 (ii). Hàm u(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → x0 nếu lim | u(x) |=+∞. x→x0 Ví dụ 1.16. 1 1). Các hàm sin x, ln(1 + x),x2, tg x, cos x − 1, là các VCB khi x → 0, đại lượng là VCB x π khi x →∞, còn cotg x là VCB khi x → . 2 2). Các hàm ex,lnx,xp(p>0) là những đại lượng VCL khi x → +∞, đại lượng (−1)xx là π VCL khi x →∞còn tg x là VCL khi x → . 2 Định lý 1.2.21. Điều kiện cần và đủ để hàm f là hàm có giới hạn L khi x → x0 là α(x)=f(x) − L là một vô cùng bé khi x → x0. Tính chất 1.2.22. (i). Nếu α(x),β(x) là các VCB khi x → x0 thì cα(x); α(x)+β(x); α(x).β(x) cũng là các VCB khi x → x0. (ii). Nếu α(x) là VCB khi x → x0 và f(x) là hàm bị chặn trong một lân cận nào đó của x0 (có thể trừ x0) thì thì α(x).f(x) cũng là một VCB khi x → x0. (iii). Nếu u(x),v(x) là các VCL khi x → x0 thì c.u(x); u(x).v(x) cũng là các VCL khi x → x0. (iv). Nếu u(x) là VCL khi x → x0 và f(x) là hàm bị chặn trong một lân cận nào đó của x0 (có thể trừ x0) thì thì u(x)+f(x) cũng là một VCL khi x → x0. Các tính chất suy ra trực tiếp từ định nghĩa giới hạn và VCB, VCL. 1.2.5.1. So sánh các VCB và các VCL α(x) (i). Giả sử α(x),β(x) là các VCB khi x → x0 và lim = k. Khi đó x→x0 β(x) + k =1ta nói α(x),β(x) là các VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x). + k là một số hữu hạn,(k =0)6 ta nói α(x),β(x) là hai VCB cùng bậc, ký hiệu α(x)=O(β(x)). α(x) + k =0( hay tỉ số cũng là một VCB khi x → x ) ta nói α(x) là VCB bậc cao β(x) 0 hơn so với β(x), ký hiệu α(x)=o(β(x)). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
20. -19- α(x) + k = ∞ ( hay tỉ số cũng là một VCL khi x → x ) ta nói α(x) là VCB bậc thấp β(x) 0 hơn so với β(x) hay β(x) là VCB bậc cao hơn so với α(x). α(x) Nếu tỉ số không có giới hạn thì α(x) và β(x) là hai VCB không so sánh được với β(x) nhau. 1 Chú ý rằng nếu α(x) là một VCB thì là một VCL. α(x) u(x) (ii). Giả sử u(x),v(x) là các VCL khi x → x0 và lim = k. Khi đó x→x0 v(x) + k =1ta nói u(x),v(x) là các VCL tương đương, ký hiệu u(x) ∼ v(x). + k là một số hữu hạn,(k =0)6 ta nói u(x),v(x) là hai VCL cùng bậc, ký hiệu u(x)= O(v(x)). + k = ∞ ta nói u(x) là VCL bậc cao hơn so với v(x), ký hiệu u(x)=o(v(x)). + k =0ta nói u(x) là VCL bậc thấp hơn so với v(x). u(x) Nếu tỉ số không có giới hạn thì u(x) và v(x) là hai VCL không so sánh được với v(x) nhau. Ví dụ 1.17. sin x sin x x 1). Vì lim = lim . =1nên sin x và ln(1 + x) là các VCB tương x→0 ln(1 + x) x→0 x ln(1 + x) đương khi x → 0. Ta viết sin x ∼ ln(1 + x) khi x → 0. x x 2 sin . sin 1 − cos x 2 2 2). Ta có lim = lim x =0nên 1 − cos x là VCB cấp cao hơn x khi x→0 x x→0 2 2 x → 0. Mặt khác x x 1 − cos x 2 sin . sin 1 lim = lim 2 2 = . 2 x x x→0 x x→0 2 .2 2 2 2 nên 1 − cos x và x2 là hai VCB cùng cấp khi x → 0. 1 1 3). Xét hai đại lượng cotg x và khi x → 0, cả hai là những VCL, mặt khác x = x cotg x 1 tg x sin x sin x 1 = và lim x = =1.Vậycotg x và là các VCB tương đương x x cos x x→0 cotg x x cos x x khi x → 0. 1.2.5.2. Phần chính của các VCB, VCL 1 Chọn các VCB cơ sở là x, x − x , trong quá trình x → 0,x→ x ,x→∞, Các 0 x 0 1 1 VCL cơ sở là x, , trong quá trình x →∞,x→ 0,x→ x0. x x − x0 α(x) Ta gọi α(x) là VCB cấp m khi x → 0(so sánh với x) nếu α(x)=O(xm). Nếu lim = k x→0 xm thì kxm được gọi là phần chính của α(x) BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
21. -20- Tương tự, ta gọi u(x) là VCL cấp m khi x →∞(so sánh với x) nếu u(x)=O(xm). Nếu u(x) lim = k thì kxm được gọi là phần chính của u(x). x→∞ xm 1 Chẳng hạn: 1 − cos x là VCB cấp 2 khi x → 0 và phần chính của 1 − cos x là x2. 2 Ta định nghĩa tương tự như trên cho các quá trình khác (x → 0,x→ x0,x→∞). 1.2.6. Nguyên tắc thay thế VCB, VCL. Khử dạng vô định Tính chất 1.2.23. (i). Nếu β(x) là VCB bậc cao hơn VCB α(x) khi x → x0 thì α(x)+ β(x) ∼ α(x) khi x → x0 (ii). Nếu u(x) là VCL bậc cao hơn VCL v(x) khi x → x0 thì u(x)+v(x) ∼ u(x) khi x → x0 (iii). Nếu các VCB (hay VCB) A(x) ∼ A1(x),B(x) ∼ B1(x) khi x → x0 thì A(x) A (x) lim = lim 1 . x→x0 B(x) x→x0 B1(x) Kiểm tra tính chất này dành cho bạn đọc, nó là một tính chất có ứng dụng quan trọng trong việc tìm giới hạn của hàm số. Đặc biệt, nó được sử dụng để khử một số dạng vô định trong quá trình tính giới hạn hàm số. 0 ∞ 1.2.6.1. Dạng vô định , 0 ∞ f(x) 0 Nếu lim f(x) = lim g(x)=0thì lim có dạng vô định . x→x0 x→x0 x→x0 g(x) 0 f(x) ∞ Nếu lim f(x) = lim g(x)=±∞ thì lim có dạng vô định . x→x0 x→x0 x→x0 g(x) ∞ Cách khử: c1). Phân tích thành tích hoặc nhân lượng liên hợp. c2). Dùng giới hạn cơ bản và nguyên tắc thay thế VCB, VCL. c3). Dùng quy tắc lôpitan (phần sau). Ví dụ 1.18. 2x2 + x − 1 (x + 1)(2x − 1) 2x − 1 3 1). lim = lim = lim = . x→−1 x2 − 1 x→−1 (x + 1)(x − 1) x→−1 x − 1 2 √ √ 3 − 5+x (4 − x)(1 + 5 − x) 1 2). lim √ = lim √ = − . x→4 1 − 5 − x x→4 (x − 4)(3 + 5+x) 3 1 − cos 2x 2 sin2 x 3). lim = lim =2. x→0 x sin x x→0 x sin x x2 x2 2 x2 e − cos x (e − 1) + (1 − cos x) x + 2 2 4). lim = lim = lim 2 = . Vì các VCB ex − 1 ∼ x→0 x2 x→0 x2 x→0 x2 3 x2 x2, 1 − cos x ∼ khi x → 0. 2 3x +3 3x 3 5). lim √ = lim = . x→+∞ 5x + 3 x2 x→+∞ 5x 5 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
22. -21- 1.2.6.2. Dạng vô định 1∞ Giả sử lim u(x) = 1; lim v(x)=±∞. Khi đó lim u(x)v(x) là dạng vô định 1∞. x→x0 x→x0 x→x0 Cách khử: Thông thường người ta sử dụng giới hạn hàm hợp ln,ex và đưa về dạng vô định 0 ∞ , , hoặc sử dụng công thức 0 ∞ u(x) 1 a α(x) lim h1+ i = ea (a =6 0); lim h1+α(x)i = ea (a =0)6 . u(x)→∞ u(x) α(x)→∞ Ví dụ 1.19. x − 1 x+2 4 x+3 x − 1 −1 1). lim   = lim h1 −
    .
    i = e−4 x→∞ x +3 x→−1 x +3 x +3 2x +1 x+2 2x +1 x+2 2x +1 2). lim   . Đặt y =   ⇒ ln y =(x + 2) ln
    . Khi đó, ta có x→∞ 2x +3 2x +3 2x +3 2x +1 2 −2 ln
    =ln1 −
    ∼ (VCB tương đương) khi x →∞.Dovậy 2x +3 2x +3 2x +3 2x +1 −2(x +2) − ln lim y = lim ln y = lim (x + 2) ln
    = lim = −1=⇒ lim y = e 1. x→∞ x→∞ x→∞ 2x +3 x→∞ 2x +3 x→∞ sin x 1 1 1 lim . ln(1+sin x) lim x . ln(1+sin x) x→0 3). lim(1 + sin x) x = lim e x = ex→0 = e x = e. x→0 x→0 x +1 x+2 x +1 1 4). lim   =0(Vì lim = ). x→∞ 2x +3 x→∞ 2x +3 2 Trong dạng vô định 1∞ người ta thường dùng công thức v(x) lim (u(x)−1).v(x) lim u(x) = ex→x0 . x→x0 1.2.6.3. Dạng vô định ∞−∞, 0.∞, 00, ∞0 Các dạng vô định này thường được biến đổi để đưa về dạng vô định 1.2.6.1. Ví dụ 1.20. 1 2x 2 1). lim ln(1 + 2x). = lim = . x→0 e3x − 1 x→0 3x 3 √ √ 2). lim  x4 +3x2 − x4 − 1. x→∞ √ 3). lim x( x2 +1− x). x→∞ 1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.3.1. Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.3.1. Hàm số y = f(x) xác định trên D được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu f(x) xác định tại x0 và lim f(x)=f(x0). x→x0 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
23. -22- Ký hiệu: ∆x = x − x0 gọi là số gia của biến số x. ∆y = f(x) − f(x0)=f(x0 +∆x) − f(x0) gọi là số gia của hàm số tại điểm x0( ứng với số gia ∆x). Khi đó, định nghĩa trên tương đương với các định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu limx→x0 ∆y =0. Theo ngôn ngữ ε − δ: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi ε>0 tồn tại số δ>0 sao cho với mọi x ∈ D: |x − x0| 1 tại điểm x =1. Ta có lim f(x)=2=f(1) = lim f(x) nên f liên tục tại x =1. x→1− x→1+ Định nghĩa 1.3.3. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x thuộc khoảng đó. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a, b] nếu nó liên tục tại mọi điểm x thuộc khoảng (a, b) và liên tục trái tại điểm b, liên tục phải tại a. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
24. -23- 1.3.2. Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn Định nghĩa 1.3.4. Những điểm mà tại đó hàm số y = f(x) không lien tục (tức là không tồn tại lim f(x) hoặc giới hạn đó tồn tại ma không bằng f(x0)) được gọi là điểm gián đoạn x→x0 của f. Ta có thể phân loại điểm gián đoạn theo nguyên nhân gây ra sự gián đoạn đó. Giả sử x0 là một điểm gián đoạn của f. Khi đó (i). Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn loại I tại điểm x0 nếu tồn tại hữu hạn các giới hạn một bên lim f(x) và lim f(x). − + x→x0 x→x0 (ii). Nếu lim f(x) = lim f(x)=L =6 f(x0) thì ta nói f có gián đoạn bỏ được tại điểm x0 − + x→x0 x→x0 (hay x0 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số f). Nếu f có gián đoạn bỏ được tại x0 thì thay giá trị của f tại x0 bằng L ta được một hàm liên tục tại x0. (iii). Hàm số f gián đoạn tại x0 nhưng không phải là gián đoạn loại I thì ta nói f gián đoạn loại II tại điểm x0. Ví dụ 1.22. x 1). Hàm số f(x)= gián đoạn loại I tại x =0.Vì lim f(x)=1=6 −1 = lim f(x). |x| x→0+ x→0− sin x ( nếu x =06 2). Hàm số f(x)= x 0 nếu x =0. sin x Vì lim f(x) = lim f(x) = lim =1=6 f(0) nên điểm x0 =0là điểm gián đoạn bỏ x→0+ x→0− x→0 x được của f.  1 nếu x>0 3). Hàm số f(x)= 0 nếu x =0  −1 nếu x<0 Vì lim f(x)=1=6 f(0) và lim f(x)=−1 =6 f(0) nên x =0là điểm gián đoạn loại I. x→0+ x→0− 1 ( nếu x =06 4). Hàm số f(x)= x2 0 nếu x =0. Rõ ràng f(x) gián đoạn loại II tại điểm x =0. 1.3.3. Các phép toán với hàm liên tục Từ định nghĩa liên tục của hàm số và tính chất của hàm số có giới hạn, người ta chứng minh được rằng: Mệnh đề 1.3.2. Tổng, hiệu, tích, thương(mẫu số khác 0) của hai hàm số liên tục tại cùng một điểm x0 nào đó cũng là một hàm số liên tục tại x0. Mệnh đề 1.3.3. - Nếu hàm số f(x) liên tục tại x0 và hàm số g(y) liên tục tại điểm y0 = f(x0) thì hàm hợp g ◦ f cũng liên tục tại x0. - Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu ngặt thì tồn tại hàm số ngược f −1và f −1 cũng là hàm liên tục, đơn điệu. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
25. -24- 1.3.4. Các định lý cơ bản của hàm liên tục Các định lý sau ta công nhận mà không chứng minh. Định lý 1.3.4 (Định lý Bolzano - Cauchy 1). Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) 0, ∀x ∈ [a, b]: |f(x)|≤M. Kết hợp với định nghĩa giới hạn hàm số và dựa vào tính chất của các phép toán, các tính chất của hàm ngược, hàm hợp của các hàm liên tục, ta chứng minh tính chất rất có ích sau đây: Định lý 1.3.8. Hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó. Bỡi vậy, khi tính giới hạn của một hàm số sơ cấp f(x) khi x dần tới một giá trị hữu hạn x0 thuộc tập xác định, ta chỉ cần thay trong f(x) bởi x0. Ví dụ 1.23. lim x 1). Hàm số f(x)=ex liên tục tại mọi điểm, do đó lim ex = ex→x0 = ex0 . x→x0 2). Hàm ln x liên tục với mọi x>0, do đó ln(1 + x) 1 1 lim = lim ln(1 + x) x = ln lim(1 + x) x =lne =1. x→0 x x→0 x→0 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
26. Chương 2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN ??? 2.1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 2.1.1. Đạo hàm (cấp 1) của hàm số 2.1.1.1. Ví dụ mở đầu Từ vị trí O (ở một độ cao nào đó), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t =0) và bỏ qua sức cản của không khí phương trình chuyển động của viên bi là 1 y = f(t)= g.t2(g là gia tốc rơi tự do,g≈ 9, 8m/s2). 2 Giả sử tại thời điểm t0, viên bi ở vị trí M0 có tọa độ y0 = f(t0); tại thời điểm t1, viên bi ở vị trí M1 có tọa độ y1 = f(t1). Khi đó, trong khoảng thời gian từ t0 đến t1 = t0 +∆t, quảng đường viên bi đi được là M0M1 = f(t1) − f(t0). Hình 2.1: Minh họa ví dụ Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là f(t1) − f(t0) f(t0 +∆t) − f(t0) vtb = = = g.(2t0 +∆t). t1 − t0 ∆t Trong trường hợp này, vận tốc trung bình không thể phản ánh đúng vận tốc thực sự của viên bi ở các thời điểm khác nhau. Để xác định chính xác hơn vận tốc thực sự của viên bi tại thời điểm t0, người ta tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t = t1 − t0 cực nhỏ. Do đó, người ta xem vận tốc tức thời (thực sự) tại thời điểm t0 của viên bi, kí hiệu v(t0), bằng giới hạn của vận tốc trung bình khi t1 dần đến t0 (hay ∆t dần đến 0). Nói cách khác, f(t1) − f(t0) v(t0) = lim = lim g.(2t0 +∆t)=2g.t0. t1→t0 t1 − t0 ∆t→0 25
27. -26- Nhiều vấn đề của toán học, vật lý, hoá học, sinh học, cũng tương tự như bài toán tìm vận tốc tức thời của viên bi đều dẫn đến bài toán tìm giới hạn f(x) − f(x ) lim 0 x→x0 x − x0 trong đó y = f(x) là hàm số nào đó. Trong toán học, người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0. 2.1.1.2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên D và điểm x0 ∈ D. f(x) − f(x0) Định nghĩa 2.1.1. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến x0 được x − x0 0 0 gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0, kí hiệu là f (x0) hay y (x0), nghĩa là 0 f(x) − f(x0) f (x0) = lim . (2.1) x→x0 x − x0 Người ta thường kí hiệu: ∆x = x − x0 gọi là số gia đối số và ∆y = f(x) − f(x0)= f(x0 +∆x) − f(x0) là số gia hàm số tại x0. Khi đó ta viết lại định nghĩa đạo hàm như sau 0 f(x0 +∆x) − f(x0) ∆y f (x0) = lim = lim . x→x0 x − x0 ∆x→0 ∆x Nếu f có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng (a, b), ta nói rằng f có đạo hàm trên (a, b). Nếu hàm số có đạo hàm tại từng điểm của tập E ⊆ D thì đạo hàm f 0(x) tại từng điểm x ∈ E tạo thành một hàm số mới xác định trên tập E, hàm số mới này gọi là đạo hàm của hàm số f(x) ở trên miền E. Đạo hàm của hàm số y = f(x) trên miền E được ký hiệu là f 0(x), hay ký hiệu tắt là y0(x) hay y0. 2.1.2. þ nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) trong hệ trục toạ độ vuông góc Oxy và một điểm M0(x0,y0) cố định thuộc (C), còn điểm M(xM ,yM ) di động thuộc C. Đường thẳng M0M được gọi là cát tuyến của (C). Hình 2.2: Ý nghĩa hình học Vị trí giới hạn (nếu có) của cát tuyến M0M khi M tiến tới M0 dọc theo C (từ cả hai phía) được gọi là tiếp tuyến của C tại điểm M0. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
28. -27- Gọi kM ,k0 lần lượt là hệ số góc của cát tuyến và tiếp tuyến với chiều dương trục hoành. Theo định nghĩa tiếp tuyến có xM → x0 khi đó M → M0. Với mỗi vị trí M trên (C), ta luôn có f(xM ) − f(x0) yM − y0 kM = = . xM − x0 xM − x0 Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó 0 f(xM ) − f(x0) f (x0) = lim = lim kM = k0. xM →x0 xM − x0 xM →x0 Từ đó ta có thể phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thi hàm số đó tại điểm M0(x0,f(x0)). Như vậy, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0,f(x0)) có phương trình là 0 y = f (x0)(x − x0)+f(x0) 2.1.2.1. Đạo hàm một phía ∆y Cho hàm số y = f(x) xác định trên D và x ∈ D. Xét tỉ số 0 ∆x Nếu tỉ số có giới hạn trái hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của điểm 0 − 0 − x0, ký hiệu f (x0 ) hay y (x0 ). Khi đó 0 − ∆y f (x0 ) = lim ∆x→0− ∆x Tương tự như vậy, nếu tỉ số có giới hạn phải hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm 0 + 0 + bên phải của điểm x0, ký hiệu f (x0 ) hay y (x0 ). Khi đó 0 + ∆y f (x0 ) = lim ∆x→0+ ∆x Mối quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một phía được thể hiện bởi định lí sau: Định lý 2.1.1. Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm 0 − 0 + 0 0 − bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm đó và f (x0 )=f (x0 ). Khi đó f (x0)=f (x0 )= 0 + f (x0 ). Định lý này được suy ra từ định lý tồn tại giới hạn của hàm số và định nghĩa đạo hàm. 2.1.2.2. Quan hệ giữa tính có đạo hàm và tính liên tục Định lý 2.1.2. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm x0. Chứng minh. Giả sử f(x) xác định trên miền D có đạo hàm tại x0 ∈ D.Tacó f(x) − f(x0) 0 lim (f(x) − f(x0)) = lim . lim (x − x0)=f (x0).0=0 x→x0 x→x0 x − x0 x→x0 Suy ra lim f(x)=f(x0). x→x0 Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
29. -28- Chú ý rằng điều kiện liên tục tại x0 là điều kiện cần để hàm số có đạo hàm tại điểm đó nhưng không phải là điều kiện đủ để hàm số có đạo hàm tại x0. Ví dụ 2.1. Xét hàm số y = |x|. Dễ thấy hàm số liên tục tại điểm x0 =0. Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại x0 =0. Thật vậy, gọi ∆x là số gia của đối số tại x0 =0.Tacó ∆y |∆x| = . Khi đó ∆x ∆x ∆y |∆x| ∆y |∆x| lim = lim = 1; lim = lim = −1. ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x ∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x 0 − 0 + Do f (x0 ) =6 f (x0 ) nên f không có đạo hàm tại x0 =0. 2.1.2.3. Các quy tắc tính đạo hàm Từ định nghĩa và các quy tắc tính giới hạn hàm số ta quy ra được các quy tắc tính đạo hàm dưới đây: (a). Đạo hàm của tổng: Nếu y1,y2, ,yn là n hàm số có đạo hàm tại điểm x thì tổng của n hàm số này cũng có đạo hàm tại x và 0 0 0 0 y1 + y2 + + yn
    = y1 + y2 + + yn. Nghĩa là đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm. (b). Đạo hàm của tích: Nếu hai hàm số u, v có đạo hàm tại x thì tích của chúng u.v cũng có đạo hàm tại điểm đó và 0 u.v
    = u0.v + u.v0. 0 Từ đây suy ra Cf
    = C.f0,vớiC là một hằng số. Tổng quát: 0 0 0 0 y1 yn
    = y1.y2 yn + y1.y2 yn + ···+ y1.y2 yn. 0 Vế trái gồm n tích được thành lập bằng cách lấy lần lượt đạo hàm yi, (i = 1,n rồi nhân với n − 1 hàm số còn lại, tính tại điểm x. (c). Đạo hàm của thương: Nếu hai hàm số u, v có đạo hàm tại x và v0(x) =06 thì thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và 0 0 u 0 u .v − u.v
    = . v v2 (d). Đạo hàm của hàm hợp: Giả sử tại điểm x0, hàm số u(x) lấy giá trị u0, có đạo hàm 0 tại x0 và tại u0 hàm số y(u) có đạo hàm yu(u0) đối với biến u. Khi đó, tại điểm x0 hàm 0 số y sẽ có đạo hàm tại yx(x0) đối với biến số x và ta có: 0 0 0 yx(x0)=yu(u0).ux(x0), với u0 = u(x0) 0 0 0 Công thức đạo hàm hàm hợp còn được viết tắt là: yx = yu.ux (e). Đạo hàm của hàm ngược: BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
30. -29- Định lý 2.1.3. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đơn điệu trong (a, b) và x = ϕ(y) là hàm ngược xác định trong lân cận của điểm y = y0 = f(x0)(x0 ∈ (a, b). Khi đó nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì hàm số ngược x = ϕ(y) cũng có đạo hàm tại y0 và 0 1 ϕ (y0)= 0 f (x0) Chứng minh. Ta xét tỉ số ϕ(y) − ϕ(y ) 0 . y − y0) Theo định nghĩa của hàm số ngược ta có ϕ(y)=x, ϕ(y0)=x0,y= f(x),y0 = f(x0) Khi đó tỉ số trên còn được viết dưới dạng ϕ(y) − ϕ(y0) 1 = ϕ(y)−ϕ(y ) . y − y0 0 y−y0 Vì y − y0 =06 nên x − x0 =06 và f(x) liên tục nên khi y → y0 thì x → x0. Hơn nữa f(x) có đạo hàm tại x0 nên lấy giới hạn hai vế đẳng thức trên ta có 0 1 ϕ (y0)= 0 f (x0) là điều cần chứng minh. (f). Bảng các đạo hàm cơ bản: Từ định nghĩa ta chứng minh được các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản sau đây: TT Hàm số Đạo hàm TT Hàm số Đạo hàm 1 C 0 8 cos x − sin x 1 2 xα αxα−1(α =0)6 9 tg x cos2 x 1 3 ex ex 10 cotg x sin2 x 1 4 ax ax. ln a(0 <a=16 11 arcsin x √ (−1 ≤ x ≤ 1) 1 − x2 1 1 5 ln x 12 arccos x −√ (−1 ≤ x ≤ 1) x 1 − x2 1 1 6 log x (0 <a=1)6 13 arctg x a x ln a 1+x2 1 7 sin x cos x 14 arccotg x − 1+x2 2.1.3. Đạo hàm cấp cao Định nghĩa 2.1.2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f 0(x). Nếu f 0(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f(x) và ký hiệu f 00(x), tức là f 00(x)= [f 0(x)]0. Một cách tổng quát ta định nghĩa đạo hàm cấp n (n ∈ N,n ≤ 2) của f (nếu có) là đạo hàm của đạo hàm cấp (n − 1) của f(x), có nghĩa là f (n)(x)=[f (n−1)(x)]0. Quy ước y(0) = y. Đạo hàm từ cấp hai trở đi được gọi là đạo hàm cấp cao của f(x). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
31. -30- Ví dụ 2.2. 1). Hàm số y = xn có các đạo hàm là y0 = nxn−1,y(2) = y00 = n(n − 1)xn−2, y(k) = n(n − 1) (n − k +1)xn−k, , y(n) = n!,y(n+1) =0. 2). Hàm số y = sin x có π π π y0 = cos x = sin(x + ),y00 = − sin x = sin(x +2. ),y000 = − cos x = sin(x +3. ), 2 2 2 π Tổng quát ta chứng minh được đạo hàm cấp n của hàm số y = sin x là y(n) = sin(x+n ). 2 π 3). Đạo hàm cấp n của hàm số y = cos x là y(n) = cos(x + n ). 2 2x 1 1 4). Đạo hàm cấp n của hàm số y = = + là x2 − 1 x +1 x − 1 1 1 y(n) =(−1)n.n! + . (x +1)n+1 (x − 1)n+1 Ví dụ 2.3. Cho các hàm số f(x)=cosx và g(x)=x2, hãy tính đạo hàm cấp n của hàm số h(x)=f(x).g(x). Ta có π h0(x)=f 0(x).g(x)+f(x).g0(x)=2x cos x + x2 cos(x + ); 2 π π h00(x)=f 00(x).g(x)+2f 0(x).g0(x)+f(x).g00(x)=x2 cos(x +2 )+2x cos(x + )+2cosx; 2 2 n(n − 1) h(n)(x)=f (n)(x)g(x)+n.f (n−1)(x)g0(x)+ .f (n−2)(x)g00(x) 2 π π π = x2 cos(x + n )+2nx cos(x +(n − 1) )+n(n − 1). cos(x +(n − 2) ). 2 2 2 Bằng phương pháp quy nạp toán học theo n người ta chứng minh được công thức Leibnitz được cho bởi tính chất sau: Tính chất 2.1.4. Cho hai hàm số f, g khả vi n lần, ta có n (n) 0 (n) (0) 1 (n−1) (1) n (0) (n) k (n−k) (k) (f.g) = Cn.f g + Cn.f g + + Cn .f g = X Cnf g (2.2) k=0 (0) (0) k trong đó g = g, f = f và Cn là hệ số Newton-Leibnitz trong khai triển nhị thức Newton- Leibnitz của (f + g)n. 2.2 VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.2.1. Định nghĩa vi phân của hàm số Giả sử f(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a, b). Khi đó ta có 0 ∆y f (x0) = lim . ∆x→0 ∆x BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
32. -31- ∆y Đẳng thức trên cho thấy, nếu |∆x| khá nhỏ thì tỉ số sai khác với f 0(x ) một đại lượng ∆x 0 vô cùng bé, do đó 0 ∆y = f(x0 +∆x) − f(x0)=f (x0).∆x + α.x với α là một VCB khi ∆x → 0, tức là lim∆x→0 α =0. Số gia hàm số gồm hai số hạng, số 0 hạng f (x0).∆x được gọi là phần chính của gia số ∆y, số hạng thứ 2 là VCB bậc cao hơn ∆x. 0 Định nghĩa 2.2.1 (Vi phân của hàm số tại một điểm). Tích f (x0).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x0 (ứng với số gia ∆x) và được kí hiệu df (x0) (hay dy(x0)), tức là 0 df (x0)=f (x0).∆x. Khi đó ta nói hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x0. Định nghĩa 2.2.2. Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại mọi x ∈ (a, b) ta nói y = f(x) khả vi trên (a, b). Khi đó tích f 0(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) theo x trên (a, b), kí hiệu: df = df (x)=f 0(x).∆x. (2.3) Với hàm số y = x, ta có vi phân của biến độc lập x là dx =(x)0.∆x =∆x. Do đó, ta có thể viết (2.3) dưới dạng df = f 0(x)dx hay dy = y0dx. 0 Từ định nghĩa vi phân trên ta có thể ký hiệu đạo hàm y = f(x) tại x = x0 là f (x0)= df dy df dy (x )= (x ). Tổng quát, đạo hàm của y = f(x) là f 0(x)= (x)= (x). Hàm số có dx 0 dx 0 dx dx đạo hàm khi và chỉ khi nó có vi phân. 2.2.2. Ý nghĩa hình học của vi phân Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) trên hệ toạ độ Đề-các vuông góc xOy. Lấy điểm M0(x0,y0) trên (C) và gọi ∆x là số gia của x0. Trên (C) lấy điểm M(x0 +∆x, y0 +∆y) và kẻ tiếp tuyến M0T (hình vẽ). Khi đó số gia ∆y = NM với N(x0 +∆x, y0). Hình 2.3: Ý nghĩa vi phân NT 0 Ta có = f (x0), do đó M0N 0 0 0 NT = f (x0).M0N = f (x0)∆x = f (x0)dx = dy. Mặt khác ∆y = MN. Như vậy dy và ∆y nói chung là khác nhau. Ta có ∆y α 0 ⇒ 0 6 ∆y =(f (x0)+α).dx, lim α =0 =1+ 0 với f (x0) =0. ∆x→0 dy f (x0) Vậy khi ∆x → 0 thì dy ∼ ∆y. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
33. -32- 2.2.3. Cách tính vi phân Dựa vào định nghĩa vi phân và công thức tính đạo hàm ta có các công thức tính vi phân sau: (i). d(u ± v)=du ± dv. (ii). d(u.v)=vdu + udv. u vdu − udv (iii). d  = . v v2 Đối với hàm hợp y = f(u(x)) ta có dy = f 0[u(x)].u0(x)dx = f 0(u)du, vì du = u0(x)dx. Như vậy công thức dy = f 0(x)dx đúng cả trong trường hợp x là biến độc lập cũng như trường hợp x là biến phụ thuộc. Tính chất đó được gọi là tính bất biến của dạng vi phân. 2.2.4. Vi phân các hàm số sơ cấp Dựa vào bảng đạo hàm ta có bảng vi phân của các hàm số sơ cấp sau: TT Hàm số dy TT Hàm số dy 1 1 xα αxα−1dx(α =0)6 8 tg x dx cos2 x 1 2 ex exdx 9 cotg x dx sin2 x 1 3 ax ax. ln adx(0 <a=16 10 arcsin x √ dx(−1 ≤ x ≤ 1) 1 − x2 1 1 4 ln x dx 11 arccos x −√ dx(−1 ≤ x ≤ 1) x 1 − x2 1 5 log x 1 dx(0 <a=1)6 12 arctg x dx a x ln a 1+x2 1 6 sin x cos xdx 13 arccotg x − dx 1+x2 7 cos x − sin xdx 2.2.5. ùng dụng vi phân vào tính gần đúng Từ công thức (2.3), ta thấy: với |∆x| khá nhỏ thì số gia của hàm số tại điểm x0 ứng với số gia ∆x xấp xỉ bằng vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia ∆x đó, tức là 0 f(x0 +∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x. Khi đó 0 f(x0 +∆x) ≈ f (x0)∆x + f(x0). (2.4) Công thức (2.4) cho phép ta xấp xỉ giá trị của hàm số f tại điểm x0 +∆x khi việc tính các 0 giá trị f(x0),f(x0) là khá đơn giản. Ví dụ 2.4. Tính gần đúng sin 46◦. Xét hàm số f(x) = sin x.Tacóf 0(x)=cosx và theo công thức (2.4) thì sin(x0 +∆x) ≈ cos(x0).∆x + sin(x0) BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
34. -33- π π π π Chọn x = 45◦ = , ∆x =1◦ = , 46◦ = 45◦ + 1◦ = + . Thay vào công thức nhận 0 4 180 4 180 được π π sin 46◦ = sin( + ) 4 180 π π π ≈ . cos + sin √180 4 4 2 π ≈ (1 + ) 2 180 ≈ 0, 7071(1 + 0, 0175) ≈ 0, 7194. 2.2.6. Vi phân cấp cao Giả sử y = f(x) là hàm số khả vi (có đạo hàm) trên (a, b) và x là biến độc lập. Vi phân dy = df (x)=f 0(x)dx, df(x) được gọi là vi phân cấp 1 của y = f(x) tại x ∈ (a, b); nó cũng là một hàm số của x (với dx không đổi). Vi phân của vi phân cấp 1 (nếu có) được gọi là vi phân cấp hai của hàm y = f(x). Ký hiệu là d2f(x), tức là d2f(x)=d[df (x)] = d[f 0(x)]dx = f 00(x)(dx)2. Bằng cách tương tự ta có thể định nghĩa các vi phân cấp 3, 4, , n của hàm y = f(x).Kí hiệu lần lượt là d3f(x),d4f(x), , dnf(x) và được xác định như sau: dnf(x)=d[dn−1f(x)] = f (n)(x)(dx)n dnf dny Từ đó ta có f (n)(x)= = . (dx)n (dx)n Dựa trên công thức Leibnitz về đạo hàm cấp n của một tích, có thể xác lập công thức vi phân cấp n của một tích. Ta có: n n k n−k k 0 0 d (u.v)=X Cnd u.d v. (d u = u, d v = v) k=0 Đây chính là công thức Leibnitz cho vi phân cấp n. Với vi phân cấp một ta có tính bất biến của dạng vi phân như đã nêu. Tuy nhiên tính bất biến của dạng vi phân bị phá vỡ với vi phân cấp cao. Chẳng hạn đối với vi phân cấp 2. Cho y = f(x) và x = ϕ(t). Khi đó y = f[ϕ(t)] và vi phân cấp một theo t là dy = y0(x)dx trong đó dx = ϕ0(t)dt. Vi phân cấp 2: d2y = d(y0(x)dx)=d(y0(x))dx + y0(x)d(dx). d2y = y00(x)dx2 + y0d2x (2.5) 2 00 2 Trong khi đó, nếu x là biến độc lập, ta có d y = yx2 dx . Hiển nhiên công thức (2.5) tổng quát 2 2 00 2 hơn vì rằng khi x là biến độc lập thì d x =0nên công thức (2.5) trở thành d y = yx2 dx . Ví dụ 2.5. Cho y = x2. Trường hợp x là biến độc lập ta có: dy =2xdx, d2y =2dx2 Giả sử x = t2 khi đó y = t4, ta có: dy =4t3dt, d2y =12t2dx2 Với dy ta vẫn được dy =4t3dt =2xdx (vì dx =2tdt). Còn với d2y =12t2dt2 =26 dx2. Nếu để ý rằng d2x =2dt2 thì có d2y =2dx2 +2xd2x. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
35. -34- 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI 2.3.1. Các định lý về giá trị trung bình 2.3.1.1. Điểm cực trị của hàm số Định nghĩa 2.3.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Điểm x0 được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số y = f(x) nếu ∃U(x0) ⊆ (a, b) sao cho ∀x ∈U(x0)\{x0} thì f(x0) ≤ f(x)(f(x0) ≥ f(x)). Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Chú ý rằng giá trị hàm số tại điểm cực đại (cực tiểu) chưa chắc đã là giá trị lớn nhất(nhỏ nhất) của hàm số trên (a, b). Do đó tính chất cực trị ở đây mang tính địa phương. Khi đó ta nói hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0. Điểm (x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của đồ thị hàm số y = f(x). 2.3.1.2. Định lý Fermat Định lý 2.3.1 (Định lí Fermat). Giả sử f(x) xác định trong khoảng (a, b). Nếu f(x) đạt cực trị và khả vi tại c ∈ (a, b) thì f 0(c)=0. Chứng minh. Giả sử hàm số đạt cực đại tại x = c, theo định nghĩa ∆f = f(c+∆x)−f(c) ≤ 0 với ∆x đủ nhỏ. ∆f ∆f Khi đó ≤ 0 khi ∆x>0 và ≥ 0 khi ∆x<0, suy ra ∆x ∆x ∆f f 0(c+) = lim ≤ 0 ∆x→0+ ∆x ∆f f 0(c−) = lim ≥ 0. ∆x→0− ∆x Vì f(x) khả vi tại c nên f 0(c)=f(c+)=f 0(c−)=0. Đối với trường hợp hàm đạt cực tiểu tại x = c chứng minh tương tự. Như vậy, định lý Fermat cho ta điều kiện cần để tìm cực trị , các điểm thuộc tập xác định có đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định được gọi là điểm dừng của hàm số. Ý nghĩa hình học của định lý Fermat là: Nếu f(x) khả vi tại điểm cực trị x0 thì tiếp tuyến Hình 2.4: Ý nghĩa hình học của định lý Fermat với đường cong y = f(x) tại điểm M(x0,y0) song song với trục hoành. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
36. -35- 2.3.2. Định lý Rolle Định lý 2.3.2 (Định lý Rolle). Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong (a, b) và f(a)=f(b) thì tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f 0(c)=0. Chứng minh. Vì f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nên nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó, tức ∃m, M : m ≤ f(x) ≤ M,∀x ∈ [a, b]. • Nếu M = m thì khi đó f(x)=M = m, ∀x ∈ [a, b] ⇒ f 0(x)=0, ∀x ∈ (a, b). Do đó định lý đúng. • Nếu M>m:Dof(a)=f(b) và f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nên tồn tại ít nhất 1 số c ∈ (a, b) sao cho f(c)=M hoặc f(c)=m, tức là ∃c ∈ (a, b) và c là điểm cực trị của f(x), theo định lý Fermat ta có f 0(c)=0. Về mặt hình học, nếu f(x) thoả mãn điều kiện của định lý 2.3.2 thì phải có điểm c ∈ (a, b) sao cho tại đó tiếp tuyến song song với trục hoành. Hình 2.5: Ýnghĩa hình học của định lý Rolle 2.3.3. Công thức số gia giới nội. Định lý Lagrange Định lý 2.3.3 (Định lý Lagrange). Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(b) − f(a)=f 0(c)(b − a) (2.6) f(b) − f(a) Chứng minh. Xét hàm số phụ: F (x)=f(x) − (x − a). b − a Ta có: F (a)=F (b)=f(a) f(b) − f(a) F 0(x)=f 0(x) − . b − a Áp dụng định lý Rolle cho hàm số F (x) ta tìm được số c ∈ (a, b) sao cho f(b) − f(a) F 0(c)=f 0(c) − =0 hay f(b) − f(a)=f 0(c)(b − a). b − a Như vậy, định lý được chứng minh. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
37. -36- Công thức (2.6) được gọi là công thức số gia giới nội. Công thức đó còn được viết dưới dạng: 0 f(x0 +∆x) − f(x0)=f (x0 + θ∆x).∆x trong đó 0 <θ<1. f(b) − f(a) f(b) − f(a) Ý nghĩa hình học: Từ (2.6) ta có f 0(c)= . Đại lượng chính là hệ b − a b − a số góc của đường thẳng AB. Hình 2.6: Ýnghĩa hình học của định lý Lagrange Định lý 2.3.4 (Định lý Cauchy). Giả sử f(x),g(x) là hai hàm số xác định liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho [f(b) − f(a)]g0(c)=[g(b) − g(a)]f 0(c) (2.7) Nếu g0(x) =06 , ∀x ∈ (a, b) thì: f(b) − f(a) f 0(c) = g(b) − g(a) g0(c) Chứng minh. Xét hàm phụ: F (x)=[f(b) − f(a)]g(x) − [g(b) − g(a)]f(x). Ta có F (x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b) đồng thời F (a)=F (b) và F 0(x)=[f(b) − f(a)]g0(x) − [g(b) − g(a)]f 0(x). Áp dụng định lý Roll cho F (x) ta tìm được điểm c ∈ (a, b) sao cho F 0(c)=0hay ta được công thức (2.7). Nếu g0(x) =06 , ∀x ∈ (a, b) thì theo định lý Roll g(b) − g(a) =06 và g0(c) =06 từ đó ta được f(b) − f(a) f 0(c) = . g(b) − g(a) g0c) Từ đây ta thấy Định lý Lagrange là trường hợp đặc biệt của Định lý Cauchy với g(x)=x. 2.3.4. Quy tắc Lôpitan để khử dạng vô định 0 2.3.4.1. Khử dạng vô định 0. 0 Định lí dưới đây cho ta quy tắc để khử dạng vô định 0 . BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
38. -37- Định lý 2.3.5 (Quy tắc L’Hospital 1). Giả sử f(x),g(x) là các hàm khả vi trong lân cận f 0(x) U 0 6 ∀ ∈U \{ } (x0) và f(x0)=g(x0)=0,g(x) =0, x (x0) x0 . Nếu lim 0 = L thì x→x0 g (x) f(x) f 0(x) lim = lim 0 = L. (2.8) x→x0 g(x) x→x0 g (x) Chứng minh. Với x ∈U(x0) \{x0} , áp dụng định lý Cauchy đối với các hàm số f,g ta có 0 f(x) − f(x0) f (c) = 0 g(x) − g(x0) g (c) trong đó c nằm giữa x và x0.Dof(x0)=g(x0)=0nên 0 f(x) f(x) − f(x0) f (c) = = 0 . g(x) g(x) − g(x0) g (c) Vì khi x → x0 thì c → x0 nên f 0(x) f 0(c) f 0(c) lim 0 = lim 0 = lim 0 = L. x→x0 g (x) x→x0 g (c) c→x0 g (c) Vậy f(x) f 0(x) lim = lim 0 = L. x→x0 g(x) x→x0 g (x) 2x − 1 Ví dụ 2.6. Xác định lim . x→0 sin x 0 Dễ thấy giới hạn đã cho có dạng 0 và áp dụng quy tắc L’Hospital 1 ta có: 2x − 1 2x ln 2 lim =L lim =ln2. x→0 sin x x→0 cos x Chú ý 1. Quy tắc L’Hospital 1 vẫn đúng trong trườg hợp L = ±∞ và x0 = ±∞. ∞ 2.3.4.2. Khử dạng vô định ∞ Định lý 2.3.6 (Quy tắc L’Hospital 2). Giả sử f(x),g(x) là các hàm khả vi trong lân cận f 0(x) U ∞ 0 6 ∀ ∈U (x0), lim f(x) = lim g(x)= và g (x) =0, x (x0). Nếu lim 0 = L thì x→x0 x→x0 x→x0 g (x) f(x) f 0(x) lim = lim 0 = L. (2.9) x→x0 g(x) x→x0 g (x) Chúng ta thừa nhận định lý này. ln|x| Ví dụ 2.7. Tìm lim . x→0 cotg x ∞ Do giới hạn có dạng vô định ∞ nên áp dụng quy tắc L’Hospital 2, ta có: ln |x| (ln |x|)0 sin2 x (sin2 x)0 2 sin x cos x lim =L lim = − lim =L − lim = − lim =0. x→0 cotg x x→0 (cotg x)0 x→0 x x→0 1 x→0 1 Chú ý 2. Giống như quy tắc 1 ở đây quy tắc 2 vẫn đúng khi L = ±∞ hoặc x0 = ±∞. f 0(x) Khi áp dụng các quy tắc L’Hospital, nếu tỉ số vẫn có dạng vô định 0 hoặc ∞ thì g0(x) 0 ∞ f 0(x) ta có thể áp dụng quy tắc một lần nữa, còn nếu không tồn tại lim 0 thì chưa kết luận x→x0 g (x) f(x) được lim có hay không. x→x0 g(x) BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
39. -38- 2.3.4.3. Khử các dạng vô định khác ∞ ∞−∞ ∞0 ∞ 0 Với các dạng vô định 0. ; , ;1 ta thường biến đổi về dạng vô định 0 hoặc ∞ ∞ rồi áp dụng quy tắc L’Hospital. Ví dụ 2.8 (Dạng 0.∞). Tìm giới lim x. ln |x|. x→0 Ta có 1 ln |x| lim x. ln |x| = lim =L lim x = − lim x =0 x→0 x→0 1 x→0 1 x→0 − x x2 1 1 Ví dụ 2.9 (Dạng ∞−∞). Tìm lim  − . x→0 x ex − 1 Ta có 1 1 ex − 1 − x − = x ex − 1 x(ex − 1) 0 có dạng . Khi đó áp dụng quy tắc L’Hospital 1 ta có 0 1 1 ex − 1 − x ex − 1 ex 1 lim  −  =L lim =L lim =L lim = x→0 x ex − 1 x→0 x(ex − 1) x→0 ex − 1+xex x→0 ex(2 + x) 2 Ví dụ 2.10 (Dạng 00). Tìm lim(sin x)x. x→0 ln(sin x) Ta có y = (sin x)x ⇒ ln y = x ln(sin x)= có dạng ∞ . <p dụng quy tắc L’Hospital 1 ∞ x 2 ta có cos x ln(sin x) x2 cos x x lim ln y = lim =L lim sin x = − lim = − lim(x cos x) =0. x→0 x→0 1 x→0 1 x→0 x→0 − sin x sin x x x2 Vậy lim y = e0 =1 x→0 Ví dụ 2.11 (Dạng 1∞). Tìm lim(1 + x)ln x. x→0 ln(1 + x) Đặt y =(1+x)ln x khi đó ln y =lnx. ln(1 + x)= có dạng 0 khi x → 0. Khi đó 1 0 ln x áp dụng quy tắc L’Hospital 1 ta có: 1 ln(1 + x) x ln2 x lim lny = lim =L lim 1+x = − lim =0. x→0 x→0 1 x→0 −1 x→0 x +1 ln x x ln2 x 0 x 1 Ví dụ 2.12 (Dạng ∞ ). Tìm lim (x +2 ) x . x→∞ x x 1 ln(x +2 ) ∞ Đặt y =(x +2 ) x ta có ln y = có dạng . Do đó: x ∞ ln(x +2x) 1+2x ln 2 2x(ln 2)2 lim ln y = lim =L lim = lim =ln2. x→∞ x→∞ x x→∞ x +2x x→∞ 1+2x ln 2 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
40. -39- 2.3.5. Công thức Taylor 2.3.5.1. Thiết lập công thức Taylor Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm đến cấp n +1 trong một lân cận nào đó của điểm x = a. Ta tìm đa thức Pn(x) bậc không lớn hơn n sao cho giá trị của nó tại x = a bằng giá trị của hàm f(x) tại điểm đó, giá trị của các đạo hàm của đa thức đến cấp n tại x = a bằng các giá trị tương ứng của các đạo hàm của hàm f(x) tại điểm đó, tức là 0 0 00 00 (n) (n) Pn(x)=f(a),Pn(x)=f (a),Pn (x)=f (a), , Pn (x)=f (a). (2.10) Ta tìm đa thức dưới dạng: 2 n Pn(x)=A0 + A1(x − a)+A2(x − a) + + An(x − a) (2.11) trong đó các hệ số A0,A1,A2, , An chưa xác định. Để xác định các hệ số A0,A1,A2, , An ta thực hiện như sau: Thay x = a vào (2.11) ta có Pn(a)=A0 = f(a). Để tính A1, ta lấy đạo hàm hai vế của (2.11): 0 n−1 Pn(x)=A1 +2A2(x − a)+ + nAn(x − a) . Thay x = a, ta có: 0 0 Pn(a)=A1 = f (a). 00 Tiếp tục tính Pn (x), và thay x = a ta được lần lượt: P 00(a) f 00(a) P (3)(a) f (3)(a) P (n)(a) f (n)(a) A = n = ,A = n = , ,A = n = . 2 2! 2! 3 3! 3! n n! n! Thay các hệ số A0,A1,A2, , An vào công thức (2.11) ta thu được đa thức cần tìm f 00(a) f (n)(a) P (x)=f(a)+f 0(a)(x − a)+ (x − a)2 + + (x − a)n. n 2! n! Hay ký hiệu gọn hơn: n f (k)(a) P (x)=X (x − a)k. (2.12) n k! k=0 Từ công thức (2.12) ta xấp xỉ hàm số y = f(x) bằng một hàm đa thức cho bởi định lý sau: Định lý 2.3.7. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên [a, b] có đạo hàm (hữu hạn) đến cấp n +1 trong khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó ∀x ∈ [a, b] tồn tại c nằm giữa x0 và x sao cho hàm f(x) được khai triển dưới dạng: n f (k)(x ) f (n+1)(c) f(x)=X 0 (x − x )k + (x − x )n+1. (2.13) k! 0 (n + 1)! 0 k=0 Công thức (2.13) được gọi là khai triển Taylor của f(x) tại điểm x0. f (n+1)(c) Đặt R (x)= (x − x )n+1, R (x) được gọi là phần dư của công thức khai triển n (n + 1)! 0 n Taylor. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
41. -40- Nếu x0 =0∈ (a, b) thì công thức Taylor còn được gọi là công thức Maclauranh của hàm f(x): n f (k)(0) f (n+1)(c) f(x)=X xk + xn+1. (2.14) k! (n + 1)! k=0 Công thức (2.14) ta có thể viết dưới dạng: f 00(0) f (n)(0) f (n+1)(θx) f(x)=f(0) + f 0(0)x + x2 + + xn + xn+1 (2.15) 2! n! (n + 1)! với 0 <θ<1. 2.3.5.2. Khai triển Maclauranh của một số hàm số cấp <p dụng công thức (2.15) ta có khai triển Maclauranh của một số hàm số cấp sau: (a). Hàm số f(x) = sin x π 0 nếu n =2k Ta có f (n)(x) = sin(x+n ), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N ⇒ f (n)(0) =  2 (−1)k nếu n =2k +1 Do đó x3 x5 x2n+1 x2n+3 sin x = x − + + ···+(−1)n +(−1)n+1 sin(θx) , 0 <θ<1. 3! 5! (2n + 1)! (2n + 3)! Tương tự, ta có (b). Hàm số f(x) = cos x x2 x4 x6 x2n x2n+2 cos x =1− + − + ···+(−1)n +(−1)n+1 cos(θx) , 0 <θ<1. 2! 4! 6! 2n! (2n + 2)! (c). Hàm số f(x)=ex x x2 x3 xn xn+1 ex =1+ + + + ···+ + eθx , 0 <θ<1. 1! 2! 3! n! (n + 1)! Thay x bởi −x ta được x x2 x3 xn xn+1 e−x =1− + − + ···+(−1)n +(−1)n+1e−θx , 0 <θ<1. 1! 2! 3! n! (n + 1)! Với 0 <a=16 ta có ax = ex ln a. Do đó x ln a x2 ln2 a x3 ln3 a xn lnn a xn+1 ax =1+ + + + ···+ + aθx lnn+1 a , 0 <θ<1. 1! 2! 3! n! (n + 1)! (d). Hàm số f(x)=(1+x)α,α∈ R Ta có f (n)(x)=α(α−1) (α−n+1)(1+x)α−n, ∀n ∈ N ⇒ f (n)(0) = α(α−1) (α−n+1). Do đó αx α(α − 1)x2 α(α − 1)(α − 2)x3 f(x)=(1+x)α =1+ + + + ··· 1! 2! 3! α(α − 1) (α − n +1)xn α(α − 1) (α − n)(1 + θx)α−n−1xn+1 + + , 0 <θ<1. n! (n + 1)! BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
42. -41- Chọn α = −1 thay vào công thức trên ta được 1 xn+1 =1− x + x2 − x3 + ···+(−1)nxn +(−1)n+1 , 0 0, (≥ 0), ∀x ∈ (a, b) thì f(x) tăng ngặt (tăng) trên [a, b]. (ii). Nếu f 0(x) < 0, (≤ 0), ∀x ∈ (a, b) thì f(x) giảm ngặt (giảm) trên [a, b]. Định lý Phecma cho ta điều kiện cần của cực trị. Định lý sau sẽ cho ta một điều kiện đủ của cực trị. Định lý 2.4.3 (Cực trị hàm số). Giả sử hàm số y = f(x) xác định liên tục trên [a, b], x0 ∈ [a, b] và khả vi trong (a, b)(có thể không khả vi tại x0). Khi đó: 0 (i). Nếu f (x0) đổi dấu từ (+) sang (−) khi x biến thiên tăng dần qua điểm x0 thì f(x) đạt cực đại địa phương tại x0. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
43. -42- 0 (ii). Nếu f (x0) đổi dấu từ (−) sang (+) khi x biến thiên tăng dần qua điểm x0 thì f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x0. 0 (iii). Nếu f (x0) không đổi dấu khi x biến thiên tăng dần qua điểm x0 thì f(x) không đạt cực trị địa phương tại x0. Định lý 2.4.4. Giả sử hàm số y = f(x) xác định liên tục trên [a, b], x0 ∈ [a, b] và khả vi liên 0 00 tục đến cấp 2 trong khoảng (a, b). Nếu f (x0)=0(x0 là điểm dừng của f)vàf (x0) > 0(< 0) thì f(x) đạt cực tiểu (cực đại) tại x0. Ví dụ 2.13. 1). Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số f(x)=(x +2)2(x − 3)3. Hàm số xác định trên R.Tacó f 0(x)=2(x + 2)(x − 3)3 +3(x +2)2(x − 3)2 =(x + 2)(x − 3)2(5x +4). 4 f 0(x)=0tại x = −2,x=1,x= − (Các điểm dừng). 5 Lập bảng xét dấu của f 0(x): Dựa vào bảng xét dấu ta có: 4 + Hàm số tăng trên các khoảng (−∞, −2) ∪ (− , +∞) và f(x) giảm trên khoảng 5 4 (−2, − ). 5 4 + Hàm số đạt cực đại tại x = −2,f = f(−2)=0và đạt cực tiểu tại x = − ,f = CŒ 5 CT 4 f(− )=−8, 4 và không đạt cực trị tại x =3. 5 (x − 1)3 2). Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số y = . 2(x +1)2 2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giả sử f(x) liên tục trên [a, b], theo định lý Weierstrass thì hàm số sẽ đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn [a, b]. Tức là tồn tại x0,x1 ∈ [a, b] sao cho f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1), ∀x ∈ [a, b]. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) trên [a, b] được kí hiệu lần lượt là: max f(x), min f(x). [a,b] [a,b] Nếu giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đạt được tại một điểm nằm trong khoảng (a, b) thì chúng là giá trị cực đại hay cực tiểu địa phương của hàm số trong khoảng đó. Tuy nhiên giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng có thể đạt được tại một trong hai đầu mút. Vì vậy, để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ta so sánh các giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị hai đầu mút. Giá trị nào lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đó sẽ là max f(x), min f(x). [a,b] [a,b] Ví dụ 2.14. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x)=(x +2)2(x − 3)3 trên đoạn [−3, 0]. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
44. -43- Ta có trên đoạn [−3, 0] hàm số có một cực đại và một cực tiểu: 4 f = f(−2) = 0,f = f(− ) − 8, 4; f(−3) = −108; f(0) = −324. CŒ CT 5 Do đó 4 max f(x)=max{f(−3); f(−2); f(− ); f(0)} =0; [−3,0] 5 4 min f(x)=min{f(−3); f(−2); f(− ); f(0)} = −324. [−3,0] 5 2.4.3. Tính lồi lõm, điểm uốn của hàm số 2.4.3.1. Tính lồi lõm Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và khả vi trong khoảng (a, b) và có đồ thị là đường cong (C). Ta nhắc lại khái niệm hàm số lồi (lõm) trên khoảng (a, b) như sau: Hàm số f(x) lồi trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1,x2 ∈ (a, b) ta có: f(αx1 +(1− α)x2) ≤ (αf(x1)+(1− α)f(x2), 0 ≤ α ≤ 1. Hàm số f(x) lõm trên khoảng (a, b) nếu −f(x) lồi trên (a, b). Như vậy, đồ thị (C) của hàm số y = f(x) trong khoảng (a, b) là lồi (lõm) nếu mọi điểm của (C) đều nằm dưới (trên) tiếp tuyến bất kì của (C). Ta có định lý sau là điều kiện đủ để nhận biết tính chất lồi, lõm của hàm số. Định lý 2.4.5. Giả sử hàm số y = f(x) khả vi đến cấp 2 trong (a, b), khi đó 1). Nếu f 00(x) 0, ∀x ∈ (a, b) thì đồ thị hàm số f(x) lõm trên khoảng đó. 00 Chứng minh. Lấy x0 ∈ (a, b), giả sử f (x) > 0, theo khai triển Taylor ta có: f 00(c) y = f(x )+f 0(x )(x − x )+ (x − x )2 0 0 0 2 0 00 0 trong đó c ∈ (x0,x).Vìf (x) > 0 nên y(x) >f(x0)+f (x0)(x − x0) tức là đồ thị f(x) nằm 00 trên tuyếp tuyến tại x0.Vậyf(x) lồi. Chứng minh tương tự cho trường hợp f (x) < 0. 2.4.3.2. Điểm uốn Định nghĩa 2.4.1. Điểm (x0,f(x0)) mà tại đó đồ thị chuyển từ lồi sang lõm hoặc ngược lại được gọi là điểm uốn của đồ thị. Định lý 2.4.6. Giả sử y = f(x) liên tục tại x0 và khả vi đến cấp 2 trong lân cận điểm x0. 00 00 Nếu f (x0)=0và f (x) đổi dấu khi x chuyển qua x0 thì (x0,f(x0)) là điểm uốn của đồ thị. 00 Nếu f (x) không đổi dấu thì (x0,f(x0) khồn phải là điểm uốn. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
45. -44- 2.4.4. Xác định tiệm cận của hàm số - Sơ đồ khảo sát hàm số 2.4.4.1. Tiệm cận của đồ thị hàm số Định nghĩa 2.4.2. Đường thẳng ∆ (hay đường cong (L)) được gọi là đường tiệp cận của đường cong (C) nếu khoảng cách từ điểm M(x, y) ∈ (C) đến đường ∆ (hay đường cong (L)) dần đến 0 khi M chạy dọc theo đường cong (C) ra vô tận. Cách tìm đường tiệm cận của một đường cong: * Nếu lim f(x)=∞ thì đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x→a y = f(x). * Nếu hàm số y = f(x) phân tích được thành f(x)=g(x)+α(x) với α(x) là một VCB khi x →±∞thì đường cong y = f(x) có đường tiệm cận có phương trình y = g(x). Đặc biệt, nếu lim [f(x) − (ax + b)] = 0 thì đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên của x→±∞ đồ thị hàm số y = f(x). f(x) Để xác định tiệm cận xiên ta tính lim = a, lim [f(x) − ax]=b x→±∞ x x→±∞ Trong trường hợp a =0đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang. Ví dụ 2.15. Tìm đường tiệm cận của các đường cong sau: x3 +1 √ 1).y= f(x)= ;2).y= f(x)= 2x2 +3. x − 1 1). Hàm số được phân tích x3 +1 2 y = f(x)= = x2 + x +1+ . x − 1 x − 1 2 Khi đó ta có lim f(x)=∞ và lim =0nên đường cong có tiệm cận đứng là x =1 x→1 x→∞ x − 1 và tiệm cận cong là Parabol có phương trình y = x2 + x +1. √ f(x) 2x2 +3 |x|.p2+(3/x2) 2). Ta có: lim = lim = lim . x→∞ x x→∞ x x→∞ x f(x) (−x).p2+(3/x2) √ • Khi x →−∞: lim = lim = − 2=a. x→−∞ x x→−∞ x √ √ 3 lim (f(x) − ax) = lim ( 2x2 +3+ 2x) = lim √ √ =0. x→−∞ x→−∞ x→−∞ 2x2 +3− 2x f(x) x.p2+(3/x2) √ • Khi x → +∞: lim = lim = 2=a. x→+∞ x x→+∞ x √ √ 3 lim (f(x) − ax) = lim ( 2x2 +3− 2x) = lim √ √ =0. x→+∞ x→+∞ x→+∞ 2x2 +3+ 2x √ √ Vậy đường cong có hai đường tiệm cận xiên là y = − 2x, y = 2x. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
46. -45- 2.4.4.2. Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một hàm số Việc khảo sát sự biến thiên của một hàm số được tiến hành theo các bước sau: 1. Tìm tập xác định, nhận xét tính chẵn lẽ đối xứng hoặc tuần hoàn (nếu có) để thu hẹp khoảng cần khảo sát. 2. Tính đạo hàm, xét dấu của nó từ đó xác định chiều biến thiên, tìm cực trị hàm số. Tính đạo hàm cấp 2(nếu cần) để xác định tính lồi, lõm điểm uốn(nếu có). 3. Xác định các tiệm cận(nếu có). Lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Xác định thêm một số giá trị đặc biệt của hàm số, giao điểm với các trục toạ độ. 5. Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị hàm số. x2 +2x +3 Ví dụ 2.16. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốy = . x2 + x − 2 Hàm số được phân tích dạng: x +5 1 2 y =1+ =1− + (x + 2)(x − 1) x +2 x − 1 Tập xác định ∀x =6 {−2, 1}.(R\{−2, 1}) Ta có: 1 2 x2 +10x +7 y0 = − = − (x +2)2 (x − 1)2 (x +2)2(x − 1)2 √ 0 2 y =0⇔ x +10x +7=0⇔ x1,2 = −5 ± 3 2. Bảng biến thiên: Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y =1(vì lim f =1) và hai tiệm cận đứng x→±∞ x = −2 và x =1. − 3 Đồ thị cắt trục tung tại y0 = 2 Đồ thị hàm số x2+2x+3 Hình 2.7: Đồ thị của hàm số y = x2+x−2 Chú ý 4. Đối với hàm số cho theo phương trình tham số. Việc khảo sát cũng vẫn phải làm các bước như đối với hàm số y = f(x). Riêng phần xét chiều biến thiên ta phải xét dấu x0(t) và y0(t) để suy ra sự tăng giảm của x và y theo t rồi sẽ suy ra chiều biến thiên của y theo x 0 0 yt (chú ý yx = 0 ). Ta có thể bỏ qua việc xét sự lồi lõm và điểm uốn vì phức tạp. xt BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
47. -46- Ví dụ 2.17. Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong tham số sau: x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t. + Miền xác định đối với t là: ∀t ∈ R. + Miền giá trị: |x|≤2, |y|≤2. Do tính tuấn hoàn nên ta chỉ xét t ∈ [0, 2π]. π 3π + Chiều biến thiên: x0(t)=−6 cos2 t sin t; x0(t)=0⇒ t =0, ,π, , 2π 0 2 2 0 2 0 π 3π 0 yt y (t)=6sin t cos t; y (t)=0⇒ t =0, ,π, , 2π; yx = 0 = − tg x. 2 2 xt + Đồ thị: π 3π Giao điểm với trục tung: cho x =0⇒ t = , ⇒ y =2, −2. 2 2 Giao điểm với trục hoành: cho y =0⇒ t =0,π,2π ⇒ x =2, −2. Hình 2.8: Đồ thị của hàm số x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
48. Chương 3 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ??? 3.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 3.1.1. Khái niềm nguyên hàm Định nghĩa 3.1.1. Nguyên hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng D ⊆ R là một hàm F (x) khả vi trên D và có đạo hàm bằng f(x) trên khoảng đó. Ví dụ 3.1. 1). F (x) = sin x là nguyên hàm của f(x)=cosx với ∀x ∈ R vì (sin x)0 = cos x, ∀x ∈ R. 2). xn,n∈ N là nguyên hàm của nxn−1, với ∀x ∈ R vì (xn)0 = nxn−1, ∀x ∈ R. Chú ý 5. * Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó có nguyên hàm trên đoạn đó. * Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì F (x)+C với C là một hằng số tuỳ ý cũng là nguyên hàm của f(x), vì rằng (F (x)+C)0 = F 0(x). Đảo lại, nếu Φ(x) là một nguyên hàm khác của f(x) thì [Φ(x) − F (x)]0 =0nên theo một hệ quả của định lý giá trị trung bình suy ra Φ(x) − F (x)=C ⇒ Φ(x)=F (x)+C. 3.1.2. Tích phân bất định Định nghĩa 3.1.2. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên D ⊆ R thì biểu thức F (x)+C (C là hằng số tuỳ ý) được gọi là tích phân bất định của hàm số f(x) trên D,kí hiệu Z f(x)dx := F (x)+C. Khi đó, dấu R được gọi là dấu tích phân, f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, x là biến số tích phân. 3.1.3. Các tính chất của tích phân bất định Từ tính tuyến tính của đạo hàm và định nghĩa tích phân bất định ta có tính chất sau: Tính chất 3.1.1. Nếu f(x) và g(x) là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng D ⊆ R thì các hàm (f + g)(x), (cf)(x)(c ∈ R) cũng có nguyên hàm và (i). R f(x)+g(x)dx = R f(x)dx + R g(x)dx. (ii). R cf(x)dx = c R f(x)dx. 0 Tính chất 3.1.2. (i). h R f(x)dxi = f(x); dh R f(x)dxi = f(x). (ii). R dF (x)=R F 0(x)dx = F (x)+C. 47
49. -48- 3.1.4. Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản TT Hàm số f(x) R f(x)dx TT Hàm số f(x) R f(x)dx 1 1 a ax + C 9 arctg x + C 1+x2 xα+1 1 1 1+x 2 xα(α =1)6 + C 10 ln + C α +1 1 − x2 2 1 − x 1 1 3 ln |x| + C 11 √ arcsin x + C x 1 − x2 1 √ 4 ex ex + C 12 √ ln x + x2 ± 1 + C x2 ± 1 5 sin x − cos x 13 shx chx + C 6 cos x sin x 14 chx shx + C 1 1 7 tg x 15 thx + C cos2 x ch2x 1 1 √ 8 − cotg x 16 √ (b =0)6 ln |x + x2 + b| + C sin2 x x2 + b Để tính tích phân bất định của những hàm số phức tạp hơn ta thường biến đổi chúng về các tích phân cơ bản trên Ví dụ 3.2. (1 − sin x) cos2 x + sin2 x 1). Tính I = R dx. cos2 x Ta có hàm dưới dấu tích phân (1 − sin x) cos2 x + sin2 x 1 = − sin x. cos2 x cos2 x do đó: 1 I = Z dx − Z sin xdx =tgx + cos x = C. cos2 x dx 2). Tính I = R x2 − 1 Do 1 1 1 1 =  − . x2 − 1 2 x − 1 x +1 nên 1 Z dx Z dx 1 1 I = −  = ln|x − 1|− ln|x +1| + C. 2 x − 1 x +1 2 2 3.1.5. Các phương pháp tìm tích phân bất định 3.1.5.1. Phương pháp đổi biến (a). Đổi biến dạng u = u(x): Định lý 3.1.3. Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a, b] và có g(x)dx = g(u)du thì trên [a, b] ta có: R f(x)dx = R g(u)du. Ví dụ 3.3. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
50. -49- dx 1). Tính tích phân I1 = R √ . 5x − 2 Đặt u =5x − 2, khi đó du =5dx. Thay vào ta có √ Z dx Z 1 −1 2 1 2 I1 = √ = u 2 du = u 2 + C = 5x − 2+C. 5x − 2 5 5 5 xdx xdx d(x2) 2). Tính tích phân I2 = R √ . Ta có R √ = R . 1+x4 1+x4 p1+(x2)2 Đặt u = x2 + p1+(x2)2, khi đó 4x3 x2 ud(x2) du =(2x + )dx =(1+ )d(x2)= . 2p1+(x2)2 p1+(x2)2 p1+(x2)2 Thay vào ta có d(x2) d(u) Z Z 2 2 2 I2 = = =lnu + C = ln(x + p1+(x ) )+C. p1+(x2)2 u (b). Phương pháp thế x = ϕ(t): Định lý 3.1.4. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [a, b] và x = ϕ(t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t trên [α, β] và lấy giá trị trên [a, b]. Khi đó ta có Z Z 0 f(x)dx = fϕ(t)ϕ (t)dt. 1 Chứng minh. Do x = ϕ(x) khả vi, đơn điệu nên t0(x)= . Khi đó ta có ϕ0(t) 0 1  Z 0  0 0 0 fϕ(t)ϕ (t)dt = fϕ(t)ϕ (t).t (x)=fϕ(t)ϕ (t). 0 = fϕ(t) = f(x). x ϕ (t) 0 Đồng thời ta cũng có  R f(x)dx = f(x), suy ra R f(x)dx = R fϕ(t)ϕ0(t)dt. x Ví dụ 3.4. xdx 1). Tính I = R √ . x2 +1 π π 1 √ 1 Đặt x =tgt, t ∈ (− , ).Tacódx = dt, x2 +1= . Do đó 2 2 cos2 t cos x dt sin x d(cos x) 1 √ I = Z tg x cos x = Z dt = Z = − + C = − 1+x2 + C. cos2 t cos2 t cos2 t cos t dx 2). Tính I = R √ , (a>0). 2 − 2 a x √ Đặt x = a sin t, t ∈ (0, 2π) thì dx = a cos tdt, a2 − x2 = a cos t. Do đó a cos t x I = Z dt = Z dt = t + C = arcsin + C. a cos t a BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
51. -50- 3.1.5.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lý 3.1.5. Nếu u = u(x),v= v(x) có đạo hàm liên tục trên [a, b] thì R u(x).v0(x)dx = u(x).v(x) − R v(x).u0(x)dx. Hay gọn hơn Z udv = u.v − Z vdu Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần. Định lý được suy ra từ tính chất của vi phân một tích của hai hàm số khả vi là d(uv)= vdu + udv. Ví dụ 3.5. 1). Tính I = R x sin xdx. u = x du = dx Đặt  ⇒  dv = sin xdx v = − cos x Do đó I = −x cos x − Z (− cos x)dx = −x cos x + Z cos xdx = −x cos x + sin x + C. 2). Tính I = R ln xdx dx  u =lnx ( du = Đặt ⇒ x dv = dx v = x Do đó xdx I = x ln x − Z = x ln x + Z dx = x ln x + x + C. x 3). Tính I = R ex sin xdx. u = ex du = exdx Đặt  ⇒  dv = sin xdx v = cos x Do đó I = Z ex sin xdx = ex cos x − Z ex cos xdx. (3.1) u = ex du = exdx Tính I = ex cos xdx, đặt  ⇒  1 R dv = cos xdx v = − sin x Lúc đó Z x x Z x x I1 = e cos xdx = −e sin x + e sin xdx = −e sin x + I. Thay vào (3.1) ta được ex I = ex cos x − I = ex cos x + ex sin x − I ⇒ I = (cos x + sin x)+C. 1 2 Hai phương pháp đổi biến và tích phân từng phần có thể dùng phối hợp với nhau hoặc nhiều lần để tính tích phân. Tích phân từng phần thường được dùng cho dạng R f(x)g(x)dx với f(x),g(x) là những hàm sơ cấp không cùng loại. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
52. -51- 3.1.6. Tích phân của các hàm thường gặp 3.1.6.1. Tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ Pn(x) Một hàm số có dạng với Pn(x),Qm(x) là hai đa thức không có nghiệm chung, với Qm(x) các hệ số thực được gọi là hàm phân thức hữu tỉ. Một hàm phân thức hữu tỉ có bậc của tử P (x) P 0(x) lớn hơn bậc của mẫu nếu ta chia tử cho mẫu thì có n = R(x)+ trong đó R(x) Qm(x) Qm(x) 0 là một đa thức, còn P (x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của Qm(x). Do vậy, khi tìm tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ ta chỉ cần tìm tích phân của hàm phân thức hữu tỉ có bậc của tử nhỏ hơn của mẫu. (a). Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ đơn giản: dx 1 (a1). R = ln |ax + b| + C, a =06 . ax + b a dx 1 1 (a2). R = . + C, a =06 ,k =16 . (ax + b)n 1 − k a(ax + b)k−1 2 dx b 2 b − 4c b (a3). R : Do x2 + bx + c = x +
    − , nên ta đổi biến u = x + x2 + bx + c 2 4 2 dx để chuyển tích phân đã cho về dạng R . (u2 ± a2) (Ax + B)dx (a4). R : Ta có x2 + bx + c Ab Ax + B A 2x + b B − =   + 2 . x2 + bx + c 2 x2 + bx + c x2 + bx + c du Từ đó đưa tích phân đã cho về dạng R và tích phân dạng (a3). u x − 1 Ví dụ 3.6. Tính tích phân I = R dx. x2 + x +1 Ta có (x2 + x +1)0 =2x +1do đó ta phân tích hàm dưới dấu tích phân dạng: x − 1 2x +1 3 = − x2 + x +1 2(x2 + x +1) 2(x2 + x +1) 2x +1 1 x − 1 3 1 =⇒ I = Z dx = Z dx − Z dx x2 + x +1 2 x2 + x +1 2 x2 + x +1 1 d(x2 + x +1) 3 dx = Z − Z 2 1 2 3 2 x + x +1 2 (x + 2) + 4 dx =ln(x2 + x +1)− 2 Z 2(x+ 1 ) 2 √ 2 +1 3
    2x+1) 4 d √
    2 √ Z 3 =ln(x + x +1)− 2 3 2√x+1 +1 3
    4 2x +1 =ln(x2 + x +1)− √ . arctg √ Ø+C. 3 3 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
53. -52- (b). Tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ tổng quát Pn(x) : R Qm(x) Theo định lý cơ bản của đại số thì đa thức Qm(x) có bậc dương luôn phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất và bậc hai của x với hệ số thực dạng ax − b và px2 + qx + r (p =06 ,q2 − 4pr < 0). Khi đó, có phân tích α1 αk 2 β1 2 βl Qm(x)=(a1x − b1) (akx − bk) .(p1x + q1x + r1) (plx + qlx + rl) với αi,βj ∈ N, ∀i = 1,k,j = 1,l và bậc của Qm(x) là P αi + P βj. Từ đó: P (x) A A A A n = 11 + ···+ 1α1 + ···+ k1 + ···+ kαk + α α Qm(x) a1x − b1 (a1x − b1) 1 (akx − bk) (akx − bk) k B x + C B x + C 11 11 ··· 1β1 1β1 ··· + 2 + + 2 β + p1x + q1x + r1 (p1x + q1x + r1) 1 B x + C B x + C l1 l1 ··· lβl lβl + 2 + + 2 β , plx + qlx + rl (plx + qlx + rl) l trong đó Aij,Bst,Cst đều là các hằng số thực chưa biết. Tìm các hằng số đó ta quy đồng mẫu thức và đồng nhất hệ số của tử ở hai vế, hoặc thế những giá trị đặc biệt của x vào biểu thức đưa đến hệ phương trình có nghiệm là các tham số đó. Phương pháp này gọi là phương pháp hệ số bất định. Ví dụ 3.7. 2x2 +2x +13 1). Phân tích biểu thức về các phân thức đơn giản T = . (x − 2)(x2 +1)2 2x2 +2x +13 A Bx + C Dx + E Ta phân tích biểu thức như sau T = = + + . (x − 2)(x2 +1)2 x − 2 x2 +1 (x2 +1)2 Quy đồng mẫu số ta có 2x2 +2x +13=A(x2 +1)2 +(Bx + C)(x2 + 1)(x − 2)+(Dx + E)(x − 2) =(A + B)x4 +(−2B + C)x3 +(2A + B − 2C + D)x2 +(−2B + C − 2D + E)x + A − 2C − 2E. Đồng nhất hệ số của hai vế ta nhận được  A + B =0  A =1  −2B + C =0  B = −1    2A + B − 2C + D =2 ⇐⇒  C = −2  −2B + C − 2D + E =2  D = −3    A − 2C − 2E =13  E = −4 Từ đó ta có: 2x2 +2x +13 1 x +2 3x +4 = − − . (x − 2)(x2 +1)2 x − 2 x2 +1 (x2 +1)2 xdx 2). Tính I = R . (x2 + 1)(x − 1) Ta có x A Bx + C = + (x2 + 1)(x − 1) x − 1 x2 +1 ⇒ x = A(x2 +1)+(Bx + C)(x − 1). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
54. -53- Cho x lần lượt bằng 1, 0, −1, ta có hệ 1  A =  2A =1  2  1  A − C =0 ⇒  B = − 2  2A +2B − 2C = −1  1  C =  2 Do đó: 1 dx 1 1 − x 1 dx 1 dx 1 xdx I = Z + Z dx = Z + Z − Z 2 x − 1 2 x2 +1 2 x − 1 2 x2 +1 2 x2 +1 1 1 1 1 (x − 1)2 1 = ln | x − 1 | + arctg x − ln(x2 +1)+C = ln + arctg x + C. 2 2 4 4 x2 +1 2 3.1.6.2. Tích phân các hàm số lượng giác (a). Dạng R(sin x, cos x) với R là hàm hữu tỉ của sin x, cos x: x 2dt 2t 1 − t2 Đặt t =tg .Tacóx = 2 arctg t, dx = , sin x = , cos x = và 2 1+t2 1+t2 1+t2 R(sin x, cos x) trở thành hàm số hữu tỉ theo của t. dx x Ví dụ 3.8. Tính I = R , đặt t =tg . Ta có: cos x 2 1+t2 2dt dt 1+t I = Z =2Z =ln + C 2 2 2 1 − t 1+t 1 − t 1 − t x x x 1+tg cos + sin = ln 2 + C =ln 2 2 + C. x x x 1 − tg cos − sin 2 2 2 x Chú ý rằng cách đặt t =tg đảm bảo đưa R về hàm hữu tỉ nhưng có thể đưa về biểu 2 thức phức tạp. Trong những trường hợp đặc biệt có thể dùng những cách biến đổi đơn giản hơn, chẳng hạn: (i). R(− sin x, cos x)=−R(sin x, cos x), đặt t = cos x. (ii). R(sin x, − cos x)=−R(sin x, cos x), đặt t = sin x. (iii). R(− sin x, − cos x)=R(sin x, cos x), đặt t =tgx. sin3 x Ví dụ 3.9. Tính I = R dx. Đặt t = cos x ta có 2 + cos x t2 − 1 3 I = Z dt = Z t − 2+  dt 2+t t +2 t2 cos2 x = − 2t +3ln | t +2| +C = − 2 cos x +3ln(cos x +2)+C. 2 2 Trong một số trường hợp khác, ta có thể sử dụng các công thức biến đổi lượng giác, hoặc dùng công thức truy hồi để tính tích phân. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
55. -54- 3.1.6.3. Tích phân của một số dạng hàm vô tỷ rαx + β (a). Tích phân của hàm dạng Rx, m
    trong đó R là một hàm hữu tỉ đối của các γx + δ đối số: rαx + β Đặt t = w(x)= m (α,β,γ,δ là những hằng số). γx + δ αx + β δtm − β tm = ⇒ x = φ(t)= γx + δ γtm − α Từ đó, ta có s Z m αx + β Z 0 I = Rx,
    dx = Rhφ(t),ti.φ (t)dt γx + δ ởđâyR, φ, φ0 đều là những hàm hữu tỉ của t, do đó tích phân cuối là tích phân đã được xét ở bài trước. Tương tự đối với tích phân của hàm αx + β r αx + β r αx + β r Rx,
    1 ,
    2 , ,
    p  γx + δ γx + δ γx + δ trong đó ri đều là các số hữu tỉ. Khi đó gọi m bằng mẫu số chung nhỏ nhất của các ri αx + β 1 và đặt
    m = t ta sẽ đưa về trường hợp đã xét. γx + δ √ √ x +4 x Ví dụ 3.10. Tính các tích phân I = R dx; J = R √ dx. x 4 x3 √ (b). Tích phân của hàm dạng R(x, ax2 + bx + c),a=06 : Ta tính tích phân dạng này bằng cách dùng các biến đổi lượng giác. b b2 − 4ac Trước hết, ta tách tam thức bậc 2 về dạng ax2 + bx + c = a(x + )2 − , sau 2a 4a2 b đó đổi biến u = x + dẫn tích phân ban đầu về một trong ba dạng và cách chuyển về 2a dạng lượng giác R(sin x, cos x) như sau: √ π π (i). R R(u, l2 − u2)du, đặt u = l sin t, t ∈ [− , ]. 2 2 √ π π (ii). R R(u, l2 + u2)du, đặt u = l tg t, t ∈ (− , ). 2 2 √ l π (iii). R R(u, u2 − l2)du, đặt u = ,t∈ (0,π) \ n o . cos t 2 √ Hoặc người ta tính I = R R(x, ax2 + bx + c)dx, bằng cách đặt √ pax2 + bx + c = t + x a. (giả sử a>0). Khi đó, suy ra √ √ √ √ t2 − c at2 + bt + c a at2 + bt + c a x = √ , pax2 + bx + c = √ ,dx=2 √ dt. 2 at + b 2 at + b (2 at + b)2 Khi đó hàm dưới dấu tích phân R trở thành R1(t), trong đó R1(t) là một hàm hữu tỉ của t. Phương pháp này được gọi là phương pháp Ơle thứ nhất. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
56. -55- Trong trường hợp c>0 ta dùng phương pháp Ơle thứ hai, bằng cách đặt: √ pax2 + bx + c = xt ± c √ ±2 ct − b √ khi đó : x = và R(x, ax2 + bx + c) cũng trở thành hàm hữu tỉ của t. a − t2 Ví dụ 3.11. dx 1). Tính tích phân I1 = R . p(x2 +4x +7)2 Ta có Z dx Z du I1 = = , (u = x +2). p(x2 +4x +7)3 p(u2 +3)3 √ √ 1 √ 3 Đổi biến u = 3tgt, du = dt, u2 +3= . Khi đó cos2 t cos t √ Z 3dt 1 Z 1 I1 = √ = cos tdt = sin t + C 3 3 3 3 cos2 t.
    cos t 1 u 1 x +2 = .√ + C = .√ + C. 3 u2 +3 3 x2 +4x +7 dx 2). Tính I2 = R √ . x2 + x +1 √ t2 − 1 2(−t2 + t − 1) Đặt x2 + x +1=x + t ⇒ x = ,dx= dt 1 − 2t (1 − 2t)2 dx √ I =2Z = − ln | 1 − 2t | +C = − ln | x +1− 2 x2 + x +1| +C. 2 1 − 2t √ (1 − x2 + x +1)2 3). Tính I3 = R √ dx. x2 x2 + x +1 Chú ý 6. Người ta chứng minh được rằng có những hàm số không có nguyên hàm là hàm số sơ cấp, chẳng hạn như các hàm số sau: x sin x cos x 2 1 e , , sin(x2), cos(x2),e−x , , , x x ln x x 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) ≥ 0, liên tục trên [a, b] và hình thang cong AabB giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b(hình vẽ). Khi đó hãy tính diện tích hình thang cong AabB. Để tính diện tích hình thang cong AabB ta thực hiện như sau: Chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ bởi các điểm chia a = x0 <x1 <x2 < <xn = b. Mỗi cách chia như vậy gọi là phép chia (hay phân hoạch) T , khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm chia liền nhau được gọi là đường kính của phép chia T , kí hiệu d(T )=max(xi − xi−1). 1≤i≤n BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
57. -56- Hình 3.1: Diện tích hình thang cong Trên mỗi đoạn nhỏ [xi−1,xi] chọn ξi ∈ [xi−1,xi],i= 1,n. Khi đó hình thang cong AabB được chia thành n miền nhỏ bởi các đường thẳng x = xi. Nếu gọi Si là diện tích hình thang cong giới hạn bởi y = f(x) và x = xi−1,x= xi và đoạn [xi−1,xi] thì Si được xấp xỉ gần đúng bằng diện tích hình chủ nhật có chiều rộng ∆xi = xi − xi−1 và chiều dài là f(ξi). Lập tổng n Sn(T )=X f(ξi)∆xi. i=1 Nếu S là diện tích hình thang cong AabB thì S ≈ Sn(T ) với ∆xi,i= 1,n khá bé. Người ta đã chứng minh được rằng: nếu n →∞⇒d(T ) → 0 và n lim Sn(T ) = lim X f(ξi)∆xi n→∞ d(T )→0 i=1 tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phép chia T và cách chọn các điểm ξi ∈ [xi−1,xi] thì n S = lim Sn(T ) = lim X f(ξi)∆xi. n→∞ d(T )→0 i=1 3.2.2. Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa 3.2.1. Cho y = f(x) xác định trên [a, b]. Gọi T là phép chia tuỳ ý đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = x0 <x1 <x2 < <xn = b sao cho d(T )= max (xi+1 − xi) → 0 khi n →∞. Trên mỗi đoạn [xi−1,xi] lấy điểm ξi tuỳ ý và lập 0≤i≤n−1 tổng n Sn(T )=X f(ξi)∆xi, (∆xi = xi − xi−1). i=1 Nếu lim Sn(T ) d(T )→0 tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phép chia T và cách chọn ξi thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Khi đó ta gọi f(x) là hàm khả tích trên [a, b]. Kí hiệu b Z f(x)dx := lim Sn(T ). a d(T )→0 • Sn(T ):gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên [a, b]. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
58. -57- • b Ra : gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên. • f(x)dx:làbiểu thức dưới dấu tích phân, f(x) gọi là hàm dưới dấu tích phân. Trường hợp đặc biệt khi phép chia T là đều, ta có: b − a ∆x = còn ξ = x , ta có i n i i n b − a n S (T )=X f(x )=h X f(x ). n n i i i=1 i=1 Người ta đã chứng minh được định lý quan trong sau: Định lý 3.2.1. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] hoặc có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 trên [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]. Nhận xét 1. + Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm dưới dáu tích phân, phụ thuộc vào cận , không phụ thuộc vào biến số tích phân. Tức là b b b Z f(x)dx = Z f(u)du = Z f(t)dt. a a a + Trong khi phát biểu định nghĩa tích phân xác định giả thiết rằng a<b, nếu b<a,ta có a b Z f(x)dx = − Z f(x)dx b a Nếu a = b, ta có a Z f(x)dx =0 a 3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định Giả sử f(x),g(x) khả tích trên [a, b], khi đó ta có Tính chất 3.2.2. b h ± i b ± b b b (1). Ra f(x) g(x) dx = Ra f(x)dx Ra g(x)dx; Ra λf(x)dx = λ Ra f(x)dx. c b − b b ∈ (2). Ra dx = b a, Ra f(x)dx = R f(x)dx + Rc f(x)dx, c [a, b]. a ≤ ∀ ∈ ⇒ b ≤ b (3). Với a<bvà g(x) f(x), x [a, b] Ra g(x)dx Ra f(x)dx. Từ đó suy ra b b Z Z f(x)dx ≤ |f(x)|dx. a a b (4). Nếu m ≤ f(x) ≤ M,∀x ∈ [a, b] thì m(b − a) ≤ R f(x)dx ≤ M(b − a). a Từ định lý giá trị trung bình trong chương đạo hàm, ta có định lý giá trị trung bình cho tích phân xác định như sau: Định lý 3.2.3 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó tồn tại một điểm c ∈ [a, b] sao cho: 1 b Z f(x)dx = f(c) b − a a biểu thức vế trái được gọi là giá trị trung bình của f(x) trên [a.b]. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
59. -58- 3.2.4. Một số định lý về tích phân xác định 3.2.4.1. Định lý đạo hàm theo cận trên Xét tích phân x F (x)=Z f(t)dt a trong đó a cố định còn x thay đổi. Khi đó, tích phân ở vế phải được xem như hàm số của cận trên x. Với số gia ∆x của x, ta có x+∆x x x+∆x F (x +∆x) − F (x)=Z f(x)dx − Z f(x)dx = Z f(x)dx. a a x <p dụng công thức giá trị trung bình, ta có: x+∆x Z f(x)dx =∆xf(c), với c nằm giữa x và x +∆x. x Vì f(x) liên tục nên F (x +∆x) − F (x) lim = lim f(c)=f(x). ∆x→0 ∆x ∆x→0 Như vậy, nếu f(x) liên tục x 0 F 0(x)=h Z f(t)dti = f(x) a 3.2.4.2. Công thức newton- Leibnitz Định lý 3.2.4. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F (x) thì b Z f(x)dx = F (b) − F (a). a Công thức trên được gọi là công thức Newton-Leibnitz. Kí hiệu b b Z f(x)dx = F (x) = F (b) − F (a) a a x Chứng minh. Vì f(x) liên tục nên Φ(x)=Ra f(t)dt là một nguyên hàm của f(x).VìF (x) cũng là một nguyên hàm nên ta có: Φ(x)=F (x)+C với x ∈ [a, b]. Thay x = a ta được a 0=Z f(t)dt = F (a)+C =⇒ C = −F (a). a Thay x = b ta được b Z f(t)dt = F (b)+C = F (b) − F (a). a BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
60. -59- Ví dụ 3.12. n+1 1 x 1) Tính I = R xndx(n =6 −1). Ta có một nguyên hàm của xn là , do đó: 0 n +1 1 xn+1 1 1 Z n I = x dx = = . 0 n +10 n +1 π 2 2) Tính I = R0 cos kxdx π 1 2 1 kπ I = sin kx = sin . k 0 k 2 b b x x b − a 3) Tính I = Ra e dx = e = e e . a 3.2.5. Phương pháp đổi biến trong tích phân xác định Định lý 3.2.5. (i). Giả sử u = u(x) là hàm đơn điệu trên [a, b] có u0 = u0(x) liên tục trên [a, b] và biêut thức f(x)dx trở thành g(u)du trong đó g(u) liên tục trên [u(a),u(b)] hay [u(b),u(a)] . Khi đó ta có: b u(b) Z f(x)dx = Z g(u)du. a u(a) (ii). Giả sử f(x) là hàm liên tục trên [a, b],vàx = ϕ(t) có ϕ0(t) liên tục trên [α, β] với a = ϕ(α), b = ϕ(β), và khi t biến thiên [α, β] thì x biến thiên trên [a, b]. Khi đó, ta có công thức b β Z f(x)dx = Z f[ϕ(t)].ϕ0(t)dt. a α Ví dụ 3.13. √ a 2 − 2 1) Tính I = R0 a x dx, (a>0). π ⇒ ⇒ π Đặt x = a sin t trên [0, 2 ]. Khi x =0 t =0,x= a t = 2 . Do đó π π 2 2 I = Z pa2 − a2 sint.a cos tdt = a2 Z cos2 tdt = 0 0 π π 2 2 2 2 Z 1 + cos 2t a sin 2x 2 a π = a dt = (x + ) = . 0 2 2 2 0 4 1 2) Tính I = R 2 √xdx . 0 √1−x2 3) Tính I = ln2 ex − 1dx √ R0 x − ⇒ 2 ⇒ ⇒ 2tdt Đặt e 1=t t = ln(1 + t ), khi x =0 t =0,x = ln2 t =1và dx = 1+t2 do đó: 1 t2 1 1 dt 1 1 π I =2Z dt =2Z dt − 2 Z =2t − 2 arctg t =2− 2 2 0 1+t 0 0 1+t 0 0 2 Chú ý 7. Dựa vào công thức đổi biến và tính chất của hàm số ta có: Nếu f(x) khả tích trên [−a, a] thì a ( 0 nếu f(x) là hàm số lẻ trên [−a, a] Z f(x)dx = a − −a 2 R0 f(x)dx nếu f(x) là hàm số chẵn trên [ a, a]. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
61. -60- 3.2.6. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u(x),v(x) khả vi liên tục trên [a, b].Tacód(uv)=vdu + udv. Lấy tích phân cả hai vế từ a đến b ta được b b b Z d(uv)=Z vdu + Z udv. a a a Suy ra b b b Z Z uv = vdu + udv a a a Hay b b b Z Z udv = uv − vdu (3.2) a a a Công thức (3.2) là công thức tích phân từng phần của tích phân xác định. Ví dụ 3.14. π 2 1) Tính I = R0 x sin xdx. Đặt u = x, dv = sin xdx ⇒ du = dx, v = − cos x, ta có π π 2 Z 2 I = −x cos x + cos xdx =1. 0 0 ln2 x 2) Tính I = R0 xe dx. Đặt u = x, dv = exdx ⇒ du = dx, v = ex, ta có ln2 ln2 ln2 x Z x x I = xe − e dx =2ln2 − e =2ln2 − 1. 0 0 0 π 2 n 3) Tính I = R0 sin xdx. 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 3.3.1. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 1 1 dx 1 Ví dụ 3.15. Xét hàm số y = √ ,x∈ (0, 1]. Tích phân R √ không tồn tại vì hàm y = √ x 0 x x 1 dx không bị chặn trên [0, 1], nó không xác định tại điẻm 0. Ta xét tích phân R √ ,với>0  x 1 đủ nhỏ, và thấy rằng hàm y = √ liên tục trên [, 1] và tích phân xác định của nó tồn tại, x cụ thể là 1 √ 1 √ √ √ Z dx √ =2 x =2 1 − 2  = 2(1 − ).  x  từ đây ta có 1 dx √ lim Z √ = lim 2(1 − )=2. → →  0  x  0 Điều này gợi cho ta ý tưởng mở rộng định nghĩa tích phân xác định cho hàm không bị chặn trên đoạn [a, b]. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
62. -61- b Định nghĩa 3.3.1. Cho hàm f(x) liên tục trên (a, b] và lim f(x)=∞. Giới hạn lim R f(x)dx x→a+ →0+ a+ được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên (a, b]. Kí hiệu b b Z f(x)dx := lim Z f(x)dx. (3.3) + a →0 a+ b− Tương tự, với f(x) là hàm liên tục trên [a, b) và lim f(x)=∞. Giới hạn lim R f(x)dx x→b− →0+ a được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a, b). Kí hiệu b b− Z f(x)dx := lim Z f(x)dx. (3.4) + a →0 a Tổng quát, giả sử f(x) là hàm liên tục trên [a, c) ∪ (c, b] và lim f(x)=∞. Khi đó x→c b c b c− b Z f(x)dx := Z f(x)dx + Z f(x)dx = lim Z f(x)dx + lim Z f(x)dx. (3.5) + + a a c →0 a →0 c+ Nếu giới hạn ở VT trong các công thức (3.3), (3.4), (3.5) tồn tại hữu hạn thì ta nói các tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại, ta nói tích phân suy rộng phân kỳ. 1 Ví dụ 3.16. 1) Xét tích phân suy rộng của hàm y = trên [−1, 1]. Ta có x2 1 dx  dx 1 dx −1 1 Z = lim Z + lim Z = lim ( − 1) + lim ( − 1). 2 − 2 + 2 − + −1 x →0 −1 x ξ→0 ξ x →0  ξ→0 ξ 1 dx Tổng của giới hạn này không tồn tại hữu hạn nên ta nói tích phân suy rộng R phân kỳ. −1 x2 1 dx 2) Tính R− .Tacó 1 p|x| 1 dx 0 dx 1 dx  dx 1 dx Z = Z √ + Z √ = lim Z √ + lim Z √ − + −1 p|x| −1 −x 0 x →0 −1 −x ξ→0 ξ x √ = lim (−2  + 2) + lim (2 − 2pξ)=4. →0− ξ→0+ 3.3.2. Tích phân suy rộng với cận vô hạn Bây giờ ta xét trường hợp a, b không hữu hạn. Tức là, có thể a = −∞ hoặc b =+∞ hoặc (a, b)=(−∞, +∞). Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.3.2. Cho hàm f(x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên [a, b], ∀b>a. b Giới hạn lim R f(x)dx được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a, +∞), kí hiệu là b→+∞ a +∞ b Z f(x)dx := lim Z f(x)dx. (3.6) a b→+∞ a Tương tự, nếu hàm f(x) xác định trên (−∞,b] và khả tích trên [a, b], ∀a<bthì giới hạn b lim R f(x)dx được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên (−∞,b], kí hiệu là a→−∞ a b b Z f(x)dx := lim Z f(x)dx. (3.7) →−∞ −∞ a a BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long