Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường

Nội dung text: Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 5: Tích phân đường • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
2. Nội dung I –Tích phân đường loại 1 II –Tích phân đường loại hai II.1 – Định nghĩa, cách tính II.2 – Cơng thức Green II.3 – Tích phân khơng phụ thuộc đường đi.
3. I. Tích phân đường loại một. An M n A A n 1 2 M 2 A1 M1 A0
4. I. Tích phân đường loại một. f f(,) x y xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm AAA0, 1 , ,n . Độ dài tương ứng LLL1, 2 , ,n . Trên mỗi cung AAi i 1 lấy tuỳ ý một điểm Mi( x i , y i ). n Lập tổng Riemann: In  f() M i  L i i 1 II lim n , khơng phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I f(,) x y dl C được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.
5. I. Tích phân đường loại một Tính chất của tích phân đường loại một 1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C. 2) L( C ) 1 dl 3) fdl  fdl 4) (f g ) dl fdl gdl C CC CCC 5) Tích phân đường loại một khơng phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 khơng dẫm lên nhau: fdl fdl fdl CCC1 2 7) (,),(,)(,)x y C f x y g x y fdl gdl CC 8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C cĩ độ dài L. Khi đĩ tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho fdl f() M0  L C
6. Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1 t t 2 n f(,)() x y dl lim  f Mi  L i C n i 1 Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1: t i 1 ''2 2 ''2 2 Li x()() t y t dt x()() ti y t i  t i ti t i t i 1 ti Chọn điểm trung gian Mi cĩ tọa độ x( ti ), y ( t i ) n ''2 2 f( x , y ) dl lim  f x ( ti ), y ( t i )  x ( t i ) y ( t i )  t i C n i 1 t2 2 2 '' f( x , y ) dl f ( x ( t ), y ( t ))  x ( t ) y ( t )  dt C t1
7. Cách tính tích phân đường loại một Cung C cho bởi phương trình: y = y(x), a x b Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), t1 t t 2 t2 2 2 '' f( x , y ) dl f ( x ( t ), y ( t ))  x ( t ) y ( t )  dt C t1 2 t ' 2 y() t ' f( x ( t ), y ( t ))  1 '  x ( t )  dt t1 x() t b ' 2 f( x , y ) dl f ( x , y ( x ))  1 y ( x )  dx C a Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y), c y d d ' 2 f( x , y ) dl f ( x ( y ), y )  1 x ( y )  dy C c
8. I. Tích phân đường loại một. Tương tự , ta cĩ định nghĩa tích phân đường trong khơng gian. f f(,,) x y z xác định trên đường cong C trong khơng gian. x x() t C cho bởi phương trình tham số: y y(), t t1 t t 2 z z() t I f(,,) x y z dl C t2 2 2 2 ''' f( x , y , z ) dl f ( x ( t ), y ( t ), z ( t )). x ( t ) y ( t ) z ( t )  dt C t1
9. Ví dụ 2 3 x Tính I x dl, trong đĩ C là cung parabol y , 0 x 3 C 2 b 2 3 3 ' 3 ' 2 3 2 58 I f( x , y ( x ))  1 y ( x )  dx x1 ( y ( x )) dx x1 x dx a 0 0 15 Ví dụ 2 Tính I 2 xdl, trong đĩ C = C1 + C2 , với C1: y = x , từ (0,0) đến (1,1) và C C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2). 1 2 ' 2 ' 2 I 2 xdl 2 xdl 2 xdl 2x  1 y ( x )  dx 2x ( y )  1 x ( y )  dy CCC1 2 0 1 1 2 2 2 5 5 1 2x  1 4 x  dx 2  1  1 0 dy 2 0 1 6
10. Ví dụ 2 Tính I (2 x y ) dl, với C là nửa trên đường trịn x2 y 2 1 C b ' 2 Cĩ thể dùng cơng thức I f( x , y ( x ))  1 y ( x )  dx a nhưng việc tính tốn phức tạp. Viết phương trình tham số cung C. Đặt x rcos t ; y r sin t Vì x2 y 2 1, nên r = 1. x cos t Phương trình tham số của nửa trên cung trịn: ; 0 t y sin t 2 2 2 ' ' 2 2 I (2 cos t  sin t ) x ( t ) y ( t ) dt (2 cos t  sin t ) dt 2 0 0 3
11. Ví dụ 2 2 2 2 Tính I () x y dl, với C là nửa đường trịn x y 2 x ; x 1. C Viết phương trình tham số cung C. x rcos t Đặt y rsin t Vì x2 y 2 2 x , nên r 2cos t Phương trình tham số của C: x 2cos t  cos t 1 cos2 t ; - t y 2cos t  sin t sin 2 t 4 4 / 4 2 2 I (2 2cos2 t ) ( 2sin 2 t ) (2cos2 t ) dt / 4
12. Ví dụ 4 2 2 Tính I xy dl , với C là nửa bên phải đường trịn x y 16; x 0. C Viết phương trình tham số cung C. x rcos t Đặt y rsin t Vì x2 y 2 16 , nên r 4 x 4  cos t Phương trình tham số của C: ; t y 4  sin t 2 2 / 2 / 2 6 4 2 6 4 4 2 2 4 cos t  sin tdt  4 I 4 cos t  4 sin t ( 4sin t ) (4cos t ) dt 5 / 2 / 2
13. Ví dụ Tính I 2 xdl , với C là giao của x2 y 2 4 và x + z = 4 C x rcos t Đặt y rsin t z 4 r cos t Vì x2 y 2 4, x z 4 , nên r 2 Phương trình tham số của C: x 2cos t y 2sin t ; 0 t 2 z 4 2cos t 2 2 2 2 I 4cos t  ( 2sin t ) (2cos t ) (2sin t ) dt 0 0
14. Ví dụ 2 2 2 Tính I () x y dl , với C là phần đường trịn x y z 4; y x . C Viết phương trình tham số cung C. x y 2  r cos t Đặt z 2  r sin t Vì x2 y 2 z 2 4, y x , nên r 1 Phương trình tham số của C: x y 2 cos t ; 0 t 2 z 2sin t 2 2 2 2 I 2 cos t 2 cos t ( 2 sin t ) ( 2 sin t ) (2cos t ) dt 0
15. Ví dụ 2 2 2 2 Tính I x dl , với C là phần đường trịn x y z 4; x y z 0. C Viết phương trình tham số cung C phức tạp. 2 2 2 I x dl y dl z dl CCC 1 2 2 2 I x y z dl 3 C 4 I dl 3 C 4  độ dài cung C (chu vi đường trịn) 3 4 16 I 4 3 3
16. Ví dụ Tính I () x z dl, với C là đường x 3cos t , y 3sin t , z t , 0 t 4 . C x2 y 2 9 Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm trên hình trụ. 4 '''2 2 2 I (3cos ttxt ) ( ) yt ( ) ztdt ( ) 0 4 2 I (3cos t t ) 10 dt 8 10 0
17. II. Tích phân đường loại hai. P P ( x , y ), Q Q ( x , y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0( x 0 , y 0 ), A 1 ( x 1 , y 1 ), , An ( x n , y n ). Trên mỗi cung AAk k 1 lấy tuỳ ý một điểm Mk( x k , y k ). n Lập tổng Riemann: IPMQn  ()()k ()xk x k 1 M k ()yk yk 1 i 1 II lim n , khơng phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I P(,)(,) x y dx Q x y dy C được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.
18. II. Tích phân đường loại hai Tính chất của tích phân đường loại hai 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. Pdx Qdy Pdx Qdy AB BA 2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 khơng dẫm lên nhau: Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy C CC1 2 Giải thích.
19. Cách tính tích phân đường loại hai 1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung. P(,)(,)(,)(,) x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy CCC n P( x , y ) dx lim P ( xk , y k )  x k C n k 1 Chia [a,b] thành n đoạn: a t0 t 1 t 2  tn b định lý Lagrange ' xk x k x k 1 x()() t k x t k 1 x() tk  t k Chọn điểm trung gian Mk x( t k ), y ( t k ) n b ' ' Pxydx(,) lim Pxt (),()k yt k xt () k  t k P x( t ), y ( t )  x ( t ) dt C k 1 a b b '' P( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P x ( t ), y ( t )  x ( t ) dt Q x ( t ), y ( t )  y ( t ) dt C a a
20. Cách tính tích phân đường loại hai Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C. 2) C: y = y(x), x = x1 là hồnh độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung. x 2 ' P( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P ( x , y ( x )) Q ( x , y ( x ))  y ( x ) dx C x1 3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung. y 2 ' P( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P ( x ( y ), y )  x ( y ) Q ( x ( y ), y ) dy C y1
21. Tích phân đường loại hai trong khơng gian Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn AB. n Pdx Qdy Rdz lim P ( Mk ) x k Q ( M k ) y k R ( M k ) z k AB max lk 0k 1 Cung AB cĩ phương trình tham số: xxtyytzzt ( ), ( ), ( ); atb Pdx Qdy Rdz AB b ''' Pxt( ( ), yt ( ), zt ( ))  xtdt ( ) Qxt ( ( ), yt ( ), zt ( ))  ytdt ( ) Rxt ( ( ), yt ( ), zt ( ))  ztdt ( ) a b ''' Pxt ()()() Qyt  Rztdt  a
22. Ví dụ 2 Tính I ( x 3 y ) dx 2 ydy , trong đĩ C là biên tam giác C OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. I C 0A AB B 0 B Phương trình OA: y = x Hồnh độ điểm đầu: x = 0 A Hồnh độ điểm cuối: x = 1 O 1 2 I1 ( x 3 x ) dx 2  x  1 dx 0A 0 1 2 17 I1 ( x 5 x ) dx 0A 0 6
23. Phương trình AB: y = 2 – x B Hồnh độ điểm đầu: x = 1 A Hồnh độ điểm cuối: x = 0 O 0 2 11 I2 ( x 3(2 x )) dx 2  ( 2 x ) ( 1) dx AB 1 6 Phương trình BO: x = 0 Tung độ điểm đầu: y = 2 0 2 4 Tung độ điểm cuối: y = 0 I3 (0 3 y )0 2  y  dy BO 2 17 11 IIII 1 2 3 4 3 6 6
24. Ví dụ Tính I ydx xdy, trong đĩ C là cung x2 y 2 2 x từ O(0,0) đến A(1,1) C chiều kim đồng hồ. x rcos t Sử dụng tọa độ cực y rsin t x2 y 2 2 x r 2cos t Phương trình tham số cung C x 2cos t  cos t 1 cos2 t y 2cos t  sin t sin 2 t t ; t 12 2 4 / 4 I sin 2 t  2sin 2 t dt (1 cos2 t )  2cos2 t dt / 2 2
25. II.2. Cơng thức Green C là biên của miền D. Chiều dương qui ước trên C là chiều mà đi theo chiều này ta thấy miền D ở phía bên tay trái. Miền D được gọi là miền đơn liên nếu các biên kín của D cĩ thể co về một điểm P thuộc D mà khơng bị các biên khác cản trở. Ngược lại D được gọi là miền đa liên. Trong đa số trường hợp, chiều dương qui ước là ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường hợp tổng quát điều này khơng đúng.
26. Cơng thức Green D là miền đĩng giới nội trong mặt phẳng xy với biên C trơn từng khúc. P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong miền mở chứa D. QP  P(,)(,) x y dx Q x y dy dxdy CD x  y Dấu + nếu chiều lấy tích phân trùng chiều dương qui ước Điều kiện để sử dụng cơng thức Green: 1) C là cung kín. 2) P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D cĩ biên C.
27. Ví dụ 2 Tính I ( x 3 y ) dx 2 ydy , trong đĩ C là biên tam giác C OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. Cung C kín B P( x , y ) x2 3 y ; Q ( x , y ) 2 y A P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D cĩ biên C. O 2 QP  I ( x 3 y ) dx 2 ydy dxdy CD x  y 1 2 x 0 3 dxdy dx ( 3) dy 3 D 0 x
28. Ví dụ 2 2 Tính I ()() x y dx x y dy, trong đĩ C nửa trên đường trịn C x2 y 2 2 x cùng chiều kim đồng hồ. Cung C khơng kín III 1 2 C C AO AO QP  I1 dxdy C AO D x  y / 2 2cos 2(x y ) 2( x y ) dxdy d 4 r cos  r  dr 2 D 0 0 0 2 2 8 I ( x 0) dx ( x 0) 0 dx 8 2 3 III 2 2 1 2 3 Cĩ thể giải bằng cách viết phương trình tham số cung C
29. Ví dụ Tính ()()x y dx x y dy , trong đĩ C đường trịn I 2 2 C x y x2 y 2 4 ngược chiều kim đồng hồ. Cung C kín, nhưng P, Q và các ĐHR cấp 1 khơng liên tục trên D, khơng sử dụng cơng thức Green được!! Viết phương trình tham số cung C x 2cos t t1 0; t 2 2 y 2sin t 2 (2cost 2sin t )( 2sin t ) dt (2cos t 2sin t )2cos tdt I 2 0 4
30. Tích phân trên đường trịn x2 + y2 = 4, nên thay vào mẫu số ta cĩ ()()x y dx x y dy I C 4 Cĩ thể sử dụng cơng thức Green trong trường hợp này. 1 I ()() x y dx x y dy 4 C 1 ( 1 1)dxdy 2  SD 2 4 x2 y 2 4 4
31. Ví dụ Tính I (4 y ) dx xdy , trong đĩ C là cung Cicloid C x 2( t sin t ), y 2(1 cos t ),0 t 2 (cùng chiều kim đồng hồ). Cung C khơng kín 2 I (4 2(1 cos t ))  2(1 cos t ) dt 2( t sin t )(2sin t ) dt 0 2 I 4 t sin tdt 8 0
32. Ví dụ ()x2 y 2 Tính I e cos2 xydx sin 2 xydy , trong đĩ C x2 y 2 4 ngược chiều kim đồng hồ. 2 2 P( x , y ) e ()x y cos(2 xy ) P 2 2 2e ()x y y cos(2 xy ) x sin(2 xy ) y Q 2 2 2e ()x y y cos(2 xy ) x sin(2 xy ) x QP  I dxdy 0 x2 y 2 4 x  y
33. Ví dụ Tính xdy ydx , trong đĩ C đường cong kín tùy ý I 2 2 C x y khơng chứa gốc 0, ngược chiều kim đồng hồ. Trường hợp 1. C khơng bao quanh gốc 0. Sử dụng cơng thức Green. y P(,) x y x2 y 2 P 1 2 y2 2 2 2 y x y x2 y 2 x Q(,) x y x2 y 2 Q1 2 x2 QP  I dxdy 0 2 2 2 x x y x2 y 2 D x  y
34. Trường hợp 2. C bao quanh gốc 0. Khơng sử dụng cơng thức Green được vì P, Q và các ĐHR cấp 1 khơng liên tục trên miền D, cĩ biên là C. Kẻ thêm đường trịn C1 cĩ bán kính a đủ nhỏ để C1 nằm lọt trong C, chọn chiều kim đồng hồ. Green III QP  1 2 I1 = dxdy 0 CCCC 1 1 CCD 1 x  y 2 2 2 Tính tích phân I2 trên cung trịn x + y = a Phương trình tham số của cung C1: x acos t , y a sin t , t1 2 , t 2 0 0 acos ta cos tdta  sin ta  sin tdt  I 2 2 2 III 1 2 2 2 a
35. II.3. Tích phân khơng phụ thuộc đường đi Định lý Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các ĐHR cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở đơn liên D chứa cung AB. Các mệnh đề sau đây tương đương QP  1. x  y 2. Tích phân I Pdx Qdy khơng phụ thuộc đường cong trơn từng khúc AB nối cung AB nằm trong D. 3. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của Pdx + Qdy, tức là dU(,) x y Pdx Qdy 4. Tích phân trên mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0. I Pdx Qdy 0 C
36. II.3. Tích phân khơng phụ thuộc đường đi QP  Tích phân khơng phụ thuộc đường đi ( ) x  y B III 1 2 AB AC CB x xB yAB, y I1 Pxydx(,)(,) Qxydy AC y yA A C x, x xB AB P( x , yAA ) dx Q ( x , y )  0 dx xA yB I2 Pxydx(,)(,) Qxydy P( xAB , y )  0 dy Q ( x , y ) dy CB yA xBB y I Pxydx(,)(,)AB Qxydy xAA y
37. Ví dụ (2,3) Tính I ydx xdy ( 1,2) QP  1 suy ra, tích phân khơng phụ thuộc đường đi. x  y B(2,3) Cách 1. A( 1,2) 2 3 C I 2dx 2 dy 8 AC CB 1 2 Cách 2. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của Pdx + Qdy U' P(,) x y x tìm được hàm U(,) x y xy ' Uy Q(,) x y (2,3) I ydx xdy U(,) x y (2,3) UU(2,3) ( 1,2) 8 ( 1,2) ( 1,2)
38. Ví dụ (6,8) xdx ydy Tính I (1,0) x2 y 2 QP  suy ra, tích phân khơng phụ thuộc đường đi. x  y Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của Pdx + Qdy ' x Ux P(,) x y (1) (1) U (,) x y P (,) x y dx g () y 2 2 x y 2 2 ' y U(,)() x y x y g y Uy Q(,) x y (2) x2 y 2 (2) g' ( y ) 0 g() y C U(,) x y x2 y 2 C I U(,) x y (6,8) UU(6,8) (1,0) 9 (1,0)
39. Ví dụ xdx ydy Tính I 2 2 theo đường cong AB tùy ý từ (1,0) đến (2,0): AB x y a) Khơng bao quanh gốc tọa độ; b) Bao quanh gốc tọa độ. QP  a) tích phân I khơng phụ thuộc đường đi từ A đến B. x  y 2 dx 2 I ln | x | ln 2 1 1 x QP  b) . Đây là tích phân khơng phụ thuộc đường đi. x  y I khơng thể tính theo đường thẳng từ A đến B theo trục hồnh, vì khi đĩ khơng cĩ miền đơn liên D nào chứa đường cong kín bao quanh gốc O sao cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên D.
40. Cĩ hai cách khắc phục: Cách 1. Tính theo các đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB. trong đĩ: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0). Cách 2. Tìm hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của P(x,y)dx+Q(x,y)dy x U' P(,) x y (1) x 2 2 (1) U (,) x y P (,) x y dx g () y x y y ln(x2 y 2 ) ' U(,)() x y g y Uy Q(,) x y 2 2 (2) x y 2 (2) g' ( y ) 0 g() y C U( x , y ) ln( x2 y 2 ) C (2,0) ln 4 ln1 I U(,) x y UU(2,0) (1,0) ln 2 (1,0) 2
41. Ví dụ xy x xy x I (2 ye e cos y ) dx (2 xe e sin y ) dy C a) Tìm hằng số để tích phân I khơng phụ thuộc đường đi. b) Với ở câu a), tính I biết C là cung tùy ý nối A(0, ) và B(1,0). a) Điều kiện cần để tích phân khơng phụ thuộc đường đi QP  x  y 2exy 2 xye xy e x sin y 2 e xy 2 xye xy e x sin y 1 Đây cũng là điều kiện đủ vì với mọi cung C luơn tìm được miền đơn liên D chứa cung C sao cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên miền D.
42. b) với 1 ta cĩ tích phân (1,0) xy x xy x I (2 ye e cos ydx ) (2 xe e sin ydy ) A(0, ) (0, ) x 0 y1 , y 2 0 Chú ý I khơng phụ thuộc đường đi. O B(1,0) I AO OB y 0 0 1 x 1, x 0 x 1 2 I sin ydy e dx 0 I e 1
43. Ví dụ a) Cho P( x , y ) y , Q ( x , y ) 2 x ye y . Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho tích phân khơng phụ thuộc đường đi. I h()(,)()(,) y P x y dx h y Q x y dy C b) Với h(y) ở câu a), tính I biết C là phần đường cong cĩ phương trình 4x2 9 y 2 36, ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2). a) Điều kiện cần để tích phân khơng phụ thuộc đường đi QP  x  y
44. Ví dụ Tính I ydx zdy xdz với C là đường cong C x acos t , y a sin t , z bt ,0 t 2 theo hướng tăng dần của biến t. 2 I asin t  ( a sin tdt ) bt  ( a cos tdt ) a cos t ( bdt ) 0 2 2 2 2 I asin t abt cos t ab cos t dt a 0
45. Ví dụ 2 2 2 I ()()() y z dx z x dy x y dz với C là giao của x y z 4, C y x  tg ;0 , ngược chiều kim ĐH nhìn theo hướng trục 0x. Tham số hĩa cung C x2 x 2 tg 2 z 2 4 x2 z 2 1 4cos2 4 x 2cos  cos t ; y 2cos  sin t ; z 2sin t 0 t 2 2 I (2sin cos t 2sin t )( 2cos sin t ) (2sin t 2cos cos t )(-2sin sin t ) dt 0 2 2 (2cos cost 2sin cos t )(2cos t ) dt 2 2a sin( ) 0 4