Toán cao cấp - Bài 1: Giới hạn dãy số
33 trang
2900
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Bài 1: Giới hạn dãy số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- toan_cao_cap_bai_1_gioi_han_day_so.pdf
Nội dung text: Toán cao cấp - Bài 1: Giới hạn dãy số
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com 2. Nguy ễn Đỡnh Trớ – Toỏn cao c ấp (Tập 2) TO ÁN CAO C P A1 Đ I H C – NXB Giỏo d ục. 3. Đỗ Cụng Khanh – Toỏn cao c ấp (Tập 1, 4) PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRèNH – NXB ĐHQG TP.HCM. S ti t: 45 4. Nguy ễn Vi ết Đụng – Toỏn cao c ấp (Tập 1) – NXB Giỏo d ục. Ch ươ ng 1. Hàm s ố một bi ến số 5. Nguy ễn Th ừa H ợp – Gi ải tớch (Tập 1) Ch ươ ng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm m ột bi ến s ố – NXB ĐHQG Hà N ội. Ch ươ ng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm m ột bi ến s ố Ch ươ ng 4. Lý thuy ết chu ỗi Biờn so n: ThS . Đoàn Vươ ng Nguyờn Tài li ệu tham kh ảo T i Slide bài gi ng To ỏn A1 Đ i h c t i 1. Nguy ễn Phỳ Vinh – Giỏo trỡnh Toỏn cao c ấp A1 – C1 dvntailieu.wordpress.com – ĐH Cụng nghi ệp TP. HCM. Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Đ1. Gi ới h ạn dóy s ố VD 1. • Dóy s ố {x } đượ c cho d ướ i d ạng li ệt kờ: Đ2. Gi ới h ạn hàm s ố n Đ3. Đạ i l ượ ng vụ cựng bộ – vụ cựng l ớn 1 1 1 xx x x Đ4. Hàm s ố liờn t ục 1==1; 2 ; 3 = ; ;n = ; 2 3 n Đ1. GI ỚI H ẠN DÃY S Ố n • Dóy s ố {xn }, x n = ( − 1) đượ c cho ở d ạng t ổng quỏt. 1.1. Cỏc định ngh ĩa về dóy s ố th ực • Dóy số {xn } sau đượ c cho d ướ i d ạng quy n ạp (h ồi quy): Đị nh ngh ĩa 1 x −1 Một dóy s ố th ực (gọi t ắt là dóy s ố) là m ột ỏnh x ạ f t ừ ℤ+ x:=n−1 , x = 2 . n 2x 0 vào ℝ cho t ươ ng ứng f( n ) = x ∈ ℝ. n−1 n Đị nh ngh ĩa 2 Ký hi ệu dóy s ố là {x }, n = 1,2, n • Dóy số {xn } đượ c g ọi là tăng (hay gi ảm) n ếu xn≤ x n +1 Trong đú, x; x ; ; x ; đượ c g ọi là cỏc s ố h ạng và x ℤ+ 1 2 n n (hay xn≥ x n +1) v ới m ọi n ∈ . là số h ạng t ổng quỏt c ủa dóy s ố. • Một dóy s ố t ăng (hay gi ảm) đượ c g ọi là dóy đơ n điệu. Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 1 1 VD 2. • Dóy s ố {x }, x = − là dóy t ăng. VD 3. • Dóy s ố {x }, x = − b ị ch ặn trờn b ởi s ố 0. n n n 2 n n n 2 n + 1 n + 1 1 • Dóy s ố {x }, x = là dóy gi ảm. • Dóy s ố {x }, x = b ị ch ặn d ướ i b ởi s ố . n n 2n n n 2n 2 • Dóy s ố {x }, x = ( − 1) n khụng đơ n điệu. n n n • Dóy s ố {xn }, x n = ( − 1) sin n bị ch ặn vỡ: Đị nh ngh ĩa 3 ℤ+ xn ≤1, ∀ n ∈ . • Dóy s ố {x } đượ c g ọi là bị ch ặn trờn n ếu ∃M ∈ ℝ sao n • Dóy s ố {x }, x= ( − n ) n+1 khụng b ị ch ặn trờn và cũng cho x≤ M, ∀ n ∈ ℤ+ . n n n khụng b ị ch ặn d ướ i. ℝ • Dóy s ố {xn } đượ c g ọi là bị ch ặn dướ i n ếu ∃m ∈ sao + Đị nh ngh ĩa 4 cho x≥ m, ∀ n ∈ ℤ . n ℝ • Số a ∈ đượ c g ọi là gi ới h ạn c ủa dóy s ố {xn } nếu: • Dóy s ố {x } đượ c g ọi là bị ch ặn n ếu dóy b ị ch ặn trờn và n ∀ε>0, ∃N ∈ℝ : ∀> nNxa ⇒ −<ε . bị ch ặn d ướ i. n Toỏn cao c p A1 Đ i h c 1
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ký hi ệu: lim x= a hay x→ a . 1.2. Cỏc tớnh ch ất c ủa dóy s ố h ội t ụ n→∞ n n Đị nh lý 1 • Dóy s ố {x } cú lim x = −∞ nếu: • N ếu d óy số hội t ụ thỡ gi ới h ạn của n ú là duy nh ất. n n→∞ n • N ếu d óy số hội t ụ thỡ dóy b ị ch ặn. ∀∈mℝ, ∃∈ N ℝ : ∀> nNxm ⇒n ⇒ nNxMn > . Đị nh lý 2. Cho hai dóy s ố hội t ụ {xn }, { y n } và • Nếu dóy số {x } cú lim x= a ∈ ℝ (h ữu h ạn) thỡ ta núi lim x= a , lim y= b . Khi đú: n n→∞ n n→∞ n n→∞ n dóy hội t ụ, ng ượ c l ại thỡ ta núi dóy phõn k ỳ. • lim(kx )= ka , k ∈ ℝ; lim(x+ y ) = ab + n→∞ n n→∞ n n 2n − 1 2 x a VD 4. Ch ứng t ỏ r ằng: lim = . • lim(x y ) = ab ; limn = ;y ≠ 0, b ≠ 0 . n→∞ 3n + 1 3 n→∞ n n n→∞ n yn b Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Đị nh lý 3 Đị nh lý 4 (đị nh lý Cantor ) • Cho hai dóy số {xn }, { y n } th ỏa xn≤ y n , ∀ n ≥ N . Cho hai dóy số {xn }, { y n } th ỏa: Nếu limx= a ,lim y = b thỡ a≤ b . xyxy≤,[ ; ][; ⊂ xy ], ∀∈ n ℤ+ n→∞n n →∞ n n nn+1 n + 1 nn lim(yn− x n ) = 0. • Cho ba dóy số {xn },{ y n },{ z n } th ỏa xn≤ y n ≤ z n v ới x→∞ mọi n≥ N . N ếu limx= lim z = a thỡ lim y= a . Khi đú, t ồn t ại s ố th ực duy nh ất c∈[ xy ; ], ∀ n ∈ ℤ+. n→∞n n →∞ n n→∞ n n n 1 1 1 Đị nh lý 5 (đị nh lý Bolzano – Weierstrass ) VD 5. Ta cú 0≤ sin 2 ≤ nờn: n n+ 1 n • Đị nh ngh ĩa. Cho dóy số {xn } . T ừ đú, ta trớch ra dóy s ố: 12 1 1 xxxnnn; ; ; ; x n ; 0≤ lim sin ≤ lim = 0 . 1 2 3 k n→∞ n →∞ n n+ 1 n ℤ+ v ới cỏc ch ỉ s ố nk ∈ th ỏa n1 0 cho tr ướ c, ta tỡm đượ c N ∈ ℤ+ n n 2 sao cho ∀m, n ≥ N thỡ xm− x n < ε. Từ dóy {xn } , ta cú th ể trớch ra hai dóy con nh ư sau: π • Đị nh lý. Mọi dóy s ố hội t ụ đề u là dóy Cauchy và ng ượ c x:= sin k π, x:= sin(4 k + 1) . 2k 4k + 1 2 lại, m ọi dóy Cauchy đề u h ội t ụ. x VD 7. Xột s ự hội t ụ c ủa cỏc dóy s ố x sau: Ta cú: x2k → 0 (h ội t ụ) và 4k + 1 → 1 (h ội t ụ). {n } n Nh ận xột a) xn := ( − 1) ; Do hai dóy con h ội t ụ về hai gi ới h ạn khỏc nhau nờn dóy sin1 sin2 sinnn sin k b) x := + ++ = . {x } khụng cú gi ới h ạn duy nh ất. Vậy dóy {x } phõn k ỳ. n ∑ n n 1.2 2.3nn (+ 1)k=1 kk ( + 1) Toỏn cao c p A1 Đ i h c 2
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Một s ố kết qu ả gi ới h ạn c ần nh ớ 1.3. M ột s ố vớ d ụ v ề gi ới h ạn dóy s ố 1) limk= k , k ∈ ℝ 2 n→∞ 3n− n − 7 1 VD 8. Tỡm lim . 2) limx =0⇔ lim = ∞; limxa =⇔ lim xa = . n→∞ n 2 + 5 n→∞n n →∞ n→∞n n →∞ n xn 1 1 2 4 3) α ; α . (n− 1)(4 n + 3) limα = 0, ∀ > 0 limn = 0, ∀ > 1 VD 9. Tỡm lim . n→∞ n n→∞ α n→∞ 2n6− n 3 + n n n 4) N ếu a 1 thỡ lim a = ∞. n n→∞ n→∞ 3−n + 1 n VD 10. Tỡm lim . n→∞ n 2 n n 1 4 + n 5) lima = 1 ( a > 0); limn = 1 ; lim 1 + = e . n→∞ n→∞ n→∞ n 2 2 2 α 1+ 2 + 3 + + n ln n n VD 11. Tỡm L = lim . 6) N ếu α≥1, β > 1 thỡ lim= lim = 0 . n→∞ 3 n→∞n α n →∞ βn 5n+ n + 1 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s n+1 2 2n 3 3 2 9n+ 2 n − 5 VD 16. Tỡm gi ới h ạn L=lim n +− 1 nn − ? VD 12. Tỡm L = lim . n→∞ ( ) 2 n→∞ n + 1 1 1 A. L = 0; B. L = +∞; C. L = − ; D. L = . n+4 2 2 2 VD 13. Tỡm L =lim 1 − . n→∞ n + 1 an VD 17*. Ch ứng minh r ằng: lim= 0,a > 0 . n→∞ n ! VD 14. Tỡm L=lim n +− 3 2 n − 1 . n→∞ ( ) VD 18*. Xột s ự h ội t ụ và tỡm gi ới h ạn (n ếu cú) c ủa dóy: 2 2 VD 15. Tỡm gi ới h ạn L=lim nnn − + 3 ? x x x n→∞ ( ) n:1= + n −1 , 0 = 3 . 3 A. L = −∞; B. L = +∞; C. L = − ; D. L = 0. 2 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s f Đ2. GI ỚI H ẠN HÀM S Ố Nếu fx()1= fx () 2 ⇒ x 12 = x thỡ là đơ n ỏnh . 2.1. Bổ tỳc v ề hàm s ố Nếu f( X ) = Y thỡ f là toàn ỏnh (hay tràn ỏnh). 2.1.1. Đị nh ngh ĩa hàm s ố Nếu f v ừa đơ n ỏnh v ừa toàn ỏnh thỡ f là song ỏnh . Cho hai t ập khỏc r ỗng X, Y ⊂ ℝ. VD 1. Cỏc hàm s ố: x Hàm s ố f (ho ặc ỏnh x ạ f ) t ừ X vào Y là m ột quy lu ật • f : ℝ→ ℝ với y= f( x ) = 2 là đơ n ỏnh. mà mỗi x∈ X xỏc đị nh đượ c duy nh ất một y∈ Y . • f :ℝ → [0; +∞ ) với f( x ) = x 2 là toàn ỏnh. Khi đú: • f : (0;+∞ ) → ℝ với f( x )= ln x là song ỏnh. Mi ền xỏc đị nh (MX Đ) c ủa f , ký hi ệu Df , là t ập X . Hàm s ố y= f( x ) đượ c g ọi là hàm ch ẵn n ếu: Mi ền giỏ tr ị (MGT) c ủa f là: fx()−= fx (), ∀∈ x D . G= y = fxx( ) ∈ X . f { } Đồ th ị c ủa hàm s ố ch ẵn đố i x ứng qua tr ục tung. Toỏn cao c p A1 Đ i h c 3
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Hàm s ố y= f( x ) đượ c g ọi là hàm l ẻ n ếu: 2.1.3. Hàm s ố ng ượ c Hàm s ố g đượ c g ọi là hàm s ố ng ượ c c ủa hàm s ố f n ếu: fx()− =− fx (), ∀∈ xD f . x= gy( ), ∀ y ∈ G . Đồ th ị c ủa hàm s ố l ẻ đố i x ứng qua g ốc t ọa độ . f Ký hi ệu là: g= f −1. 2.1.2. Hàm s ố h ợp Cho hai hàm s ố f và g th ỏa điều ki ện G⊂ D . g f VD 3. Cho f( x )= 2 x thỡ: Khi đú, hàm s ố hx()= ( f gx )() = fgx [()] đượ c g ọi là fx−1()= log xx , > 0 . hàm s ố h ợp c ủa f và g . 2 (fgx )()≠ ( gfx )(). Chỳ ý. Nh ận xột 2 2 2 VD 2. Hàm s ố y=2( x + 1) −− x 1 là hàm h ợp c ủa Đồ th ị của hàm s ố y= f−1( x ) đố i x ứng v ới đồ th ị của fx( )= 2 x2 − x và g( x )= x 2 + 1 . hàm s ố y= f( x ) qua đườ ng th ẳng y= x . Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 2.1.4. Hàm s ố l ượ ng giỏc ng ượ c b) Hàm s ố y = arccos x a) Hàm s ố y = arcsin x • Hàm s ố y= cos x cú hàm ng ượ c trờn [0;π ] là π π • Hàm s ố y= sin x cú hàm ng ượ c trờn − ; là f −1 : [− 1; 1] → [0; π ] 2 2 π π x֏ y x . f −1 : [− 1; 1] → − ; = arccos 2 2 π VD 5. arccos 0 = ; x֏ y= arcsin x . 2 arccos(− 1) = π ; VD 4. arcsin0= 0 ; π 3 π −1 2 π arcsin(− 1) = − ; arccos = ; arccos = . 2 2 6 2 3 3 π π arcsin = . Chỳ ý. arcsinx+ arccos x = , ∀∈− x [ 1; 1]. 2 3 2 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s c) Hàm s ố y = arctan x d) Hàm s ố y = arccot x π π • Hàm s ố y= tan x cú hàm ng ượ c trờn − ; là • Hàm s ố y= cot x cú hàm ng ượ c trờn (0;π ) là 2 2 −1 π π −1 f :ℝ → − ; f :ℝ → (0; π ) 2 2 x֏ y arc x . x֏ y= arctan x . = cot π VD 6. arctan0= 0 ; VD 7. arc cot 0 = ; π 2 arctan(− 1) = − ; 3π 4 arc cot(− 1) = ; π 4 arctan 3 = . π 3 arc cot 3 = . π π 6 Quy ướ c. arctan(+∞=) , arctan( −∞=−) . arccot+∞= 0, arc cot −∞=π . 2 2 Quy ướ c. ( ) ( ) Toỏn cao c p A1 Đ i h c 4
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 2.2. Gi ới h ạn hàm s ố Đị nh ngh ĩa 3 (gi ới h ạn t ại vụ cựng ) 2.2.1. Cỏc định ngh ĩa • Ta núi f x cú gi ới h ạn là L (h ữu h ạn) khi x Đị nh ngh ĩa 1. Cho hàm f( x ) xỏc đị nh trong (a ; b ) . ( ) → +∞ nếu với m ọi ε > 0 cho tr ướ c ta tỡm đượ c số M > 0 sao Ta núi f( x ) cú gi ới h ạn là L (h ữu h ạn) khi x ti ến đế n cho khi x> M thỡ f( x ) − L 0 cho tr ướ c, ta tỡm đượ c s ố 0 Ký hi ệu là: limf ( x ) = L . x→+∞ δ > 0 sao cho khi 0 0 cho tr ướ c ta tỡm đượ c số m 0 l ớn tựy ý, ta tỡm đượ c số δ > 0 sao cho (x0 hữu h ạn) và x> x 0 thỡ ta núi f( x ) cú gi ới h ạn ph ải khi 0 M . tại x . Ký hi ệu: limf ( x ) = L ho ặc limf ( x ) = L . 0 0 + x→ x 0 + 0 x→ x Ký hi ệu là: limf ( x ) = +∞. 0 x→ x 0 • N ếu f( x ) cú gi ới h ạn là L ( L cú th ể là ∞) khi x→ x 0 (x hữu h ạn) và x 0 sao cho khi tại x . Ký hi ệu: limf ( x ) = L ho ặc limf ( x ) = L . 0 − x→ x 0 − 0 x→ x 0 1 thỡ lim= lim = 0 2) lim[(fx )± gx ( )] = a ± b x→+∞x α x →+∞ βx x→ x 0 f( x ) a 3) Nếu limuxa ()= > 0, lim vxb () = thỡ: 3) lim[fxgx ( ) ( )] = ab ; 4) lim= (b ≠ 0) xx→0 xx → 0 x→ x x→ x g( x ) b 0 0 lim[()]u xv( x ) = a b . 5) N ếu fx()≤ gx (), ∀∈ x ( x −ε ; x +ε ) thỡ a≤ b . 0 0 x→ x 0 6) N ếu fx()≤ hx () ≤ gx (), ∀∈ x ( x −ε ; x +ε ) và x 0 0 1 1 x limfx ()= lim gx () = L thỡ limh ( x ) = L . 4) lim1 + = lim1() +x = e . xx xx x x x→±∞ x →0 →0 → 0 → 0 x Toỏn cao c p A1 Đ i h c 5
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 2.2.3. M ột s ố vớ d ụ x x 1− 3x + 1 tan1− , ≤ 1 L VD 1. Tỡm gi ới h ạn = lim . VD 5. Cho hàm s ố f( x ) = 2 2 x→0 x sinx − 1 ,x > 1. 2 3x − 3 3 x+8 − 4 − 2 x Tớnh f (1) , limf ( x ) và limf ( x ) . VD 2. Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→1− x→1+ x→0 x 2x 2 2 x−1 VD 3. Tỡm gi ới h ạn L=lim xxx + 2 − . x− x − 1 x→+∞ VD 6. Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→−∞ x + 3 2 VD 4. Tỡm gi ới h ạn L=lim x ++ 2 x + 1 . A. L = 9; B. L = 4; C. L = 1; D. L = 0. x→−∞ Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 2x− 3 x2 x Đ3. ĐẠ I L ƯỢ NG Vễ CÙNG Bẫ – Vễ CÙNG L ỚN + + 3 VD 7. Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→∞ x 2 + 1 3.1. Đạ i l ượ ng vụ cựng bộ 3 2 a) Đị nh ngh ĩa A. L = ∞; B. L= e ; C. L= e ; D. L = 1. • Hàm s ố α(x ) đượ c g ọi là đại lượng vụ cựng bộ (VCB ) 1 khi x→ x 0 n ếu limα (x ) = 0 ( x0 cú th ể là vụ cựng). x→ x 2 0 cos x x VD 8*. Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→0 cos2 x VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1−; 3 1 ( ) A. L = ∞; B. L= e 2 ; C. L= e 2 ; D. L = 1. 1 β(x ) = là VCB khi x → +∞. 2 ln x Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s c) So sỏnh cỏc VCB b) Tớnh ch ất c ủa VCB • Đị nh ngh ĩa x 1) Nếu α(x ), β ( x ) là cỏc VCB khi x→ x thỡ α( ) 0 Cho α(x ), β ( x ) là cỏc VCB khi x→ x 0, lim = k . x→ x 0 β(x ) α()x ± β () x và α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. Khi đú: – Nếu k , ta núi x là VCB cấp cao h ơn x , 2) N ếu α(x ) là VCB và β(x ) b ị ch ận trong lõn c ận x0 = 0 α( ) β( ) ký hi ệu α(x ) = 0( β ( x )) . thỡ α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. – Nếu k = ∞, ta núi α(x ) là VCB cấp th ấp h ơn β(x ) . 3) lim()fx= a ⇔ fx () =+α a () x , trong đú α(x ) là x→ x 0 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta núi α(x ) và β(x ) là cỏc VCB VCB khi x→ x 0. cựng c ấp. – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta núi α(x ) và β(x ) là cỏc VCB tươ ng đươ ng , ký hi ệu α()x∼ β () x . Toỏn cao c p A1 Đ i h c 6
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s VD 2 • 1− cos x là VCB cựng c ấp v ới x 2 khi x → 0 vỡ: • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCB c ấp cao 2 x Cho x x là tổng cỏc VCB khỏc c ấp khi x x 2 sin α( ), β ( ) → 0 1− cosx 1 lim= lim 2 = . α(x ) x→02 x → 0 2 thỡ lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCB cấp th ấp x 2 x→ x x 0 β(x ) 4 2 nh ất của t ử và m ẫu. 2 2 x3 −cos x + 1 • sin 3(x− 1)∼ 9( x − 1) khi x → 1. VD 3. Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→0 x4+ x 2 • Tớnh ch ất c ủa VCB t ươ ng đươ ng khi x → x0 1) α()xx∼ β () ⇔α () xx −β () =α 0(()) x =β 0(()) x . • Cỏc VCB t ươ ng đươ ng c ần nh ớ khi x → 0 2) Nếu α()x∼ β (), x β() x ∼ γ () x thỡ α()x∼ γ () x . 1) sin x∼ x ; 2) tan x∼ x ; ∼ ∼ 3) arcsin x∼ x ; 4) arctan x∼ x 3) Nếu α1()x β 1 (), x α 2 () x β 2 () x thỡ αα()xx ()∼ ββ ()() xx . x 2 12 12 5) 1− cos x ∼ ; 6) ex −1 ∼ x ; 4) N ếu α(x ) = 0( β ( x )) thỡ α()x +β () x∼ β () x . 2 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s x 2 2 ∼ n ∼ x x 7) ln(1+ x ) x ; 8) 1+x − 1 . A. f( x ) ∼ ; B. f( x ) ∼ ; n 4 2 Chỳ ý. Nếu u( x ) là VCB khi x → 0 thỡ ta cú th ể thay x x bởi u( x ) trong 8 cụng th ức trờn. C. f( x ) ∼ ; D. f( x )∼ − 3 x 2. ln(1− 2x sin2 x ) 2 VD 4. Tớnh gi ới h ạn L = lim . 2 Chỳ ý x→0 sinx .tan x Quy t ắc VCB t ươ ng đươ ng khụng ỏp d ụng đượ c cho sin( x+− 1 1) + x2 − 3tan 2 x hi ệu ho ặc t ổng của cỏc VCB nếu chỳng làm tri ệt tiờu VD 5. Tớnh L = lim . tử ho ặc m ẫu c ủa phõn th ức. x→0 3 sinx+ 2 x eexx+−−2 ( e x −+− 1) ( e − x 1) 2 VD. lim= lim x=2 t − t x→0x2 x → 0 x 2 VD 6. Cho hàm s ố y= f( x ) th ỏa: . 2 4 x+( − x ) y= t + 3 t =lim = 0 ( Sai!). 2 Khi x → 0, ch ọn đỏp ỏn đỳng? x→0 x Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 3.2. Đạ i l ượ ng vụ cựng l ớn b) So sỏnh cỏc VCL a) Đị nh ngh ĩa • Đị nh ngh ĩa • Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là đạ i lượng vụ cựng lớn (VCL ) f( x ) Cho fx( ), gx ( ) là cỏc VCL khi x→ x , lim = k . khi x→ x n ếu limf ( x ) = ∞ ( x0 cú th ể là vụ cựng). 0 x→ x 0 x→ x 0 g( x ) 0 Khi đú: cosx + 1 VD 7. là VCL khi x → 0; – N ếu k = 0, ta núi f( x ) là VCL cấp th ấp h ơn g( x ) . 2x3 − sin x 3 – N ếu k , ta núi f x là VCL cấp cao h ơn g x . x+ x − 1 = ∞ ( ) ( ) là VCL khi x → +∞. x2 −cos 4 x + 3 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta núi f( x ) và g( x ) là cỏc VCL cựng c ấp. Nh ận xột . Hàm s ố f( x ) là VCL khi x→ x thỡ 0 – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta núi f( x ) và g( x ) là cỏc VCL 1 là VCB khi x→ x . tươ ng đươ ng . Ký hi ệu fx()∼ gx () . f( x ) 0 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 7
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s VD 8. • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCL c ấp th ấp Cho f(x) và g(x) là tổng cỏc VCL khỏc c ấp khi x→ x 3 1 0 • là VCL khỏc c ấp v ới khi x → 0 vỡ: f( x ) x 3 2x3 + x thỡ lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCL cấp cao nh ất x→ x g( x ) 3 0 3 1 2 x+ x x của t ử và m ẫu. lim : = 3 lim = 3 lim = ∞. x→0xxx332 + x → 0 x 3 x → 0 x 3 VD 9. Tớnh cỏc gi ới h ạn: • 2x3+ x − 1∼ 2 x 3 khi x → +∞. x3 −cos x + 1 x3−2 x 2 + 1 A = lim ; B = lim . 3 x→∞ 3x+ 2 x x→+∞ 2x7− sin 2 x Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Đ4. HÀM S Ố LIấN T ỤC 4.2. Đị nh lý • T ổng, hi ệu, tớch và th ươ ng c ủa cỏc hàm s ố liờn t ục t ại 4.1. Đị nh ngh ĩa x0 là hàm s ố liờn t ục t ại x0. • S ố x0 ∈ D f đượ c g ọi là điểm cụ l ập c ủa f( x ) n ếu • Hàm s ố s ơ c ấp xỏc đị nh ở đõu thỡ liờn t ục ở đú. • Hàm s ố liờn t ục trờn m ột đoạn thỡ đạ t giỏ tr ị l ớn nh ất và xx x x thỡ x D . ∃ε>0: ∀∈ (0 −ε ; 0 +ε )\{} 0 ∉ f nh ỏ nh ất trờn đoạn đú. 4.3. Hàm s ố liờn t ục m ột phớa • Hàm s ố f( x ) liờn t ục t ại x n ếu limfx ()= fx ( ) . 0 0 • Đị nh ngh ĩa x→ x 0 Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là liờn t ục trỏi (ph ải) t ại x n ếu • Hàm s ố f( x ) liờn t ục trờn t ập X n ếu f( x ) liờn t ục t ại 0 limfx ()= fx (0 ) ( limfx ()= fx (0 ) ). mọi điểm x∈ X . x x − x x + 0 → 0 → 0 Chỳ ý. Hàm f( x ) liờn t ục trờn đoạn [a ; b ] thỡ cú đồ th ị là • Đị nh lý Hàm s ố f(x) liờn t ục t ại x n ếu một đườ ng li ền nột (khụng đứ t khỳc) trờn đoạn đú. 0 limfx ()= lim fx () = fx ( ). Quy ướ c. Hàm f x liờn t ục t ại m ọi điểm cụ l ập c ủa nú. − + 0 ( ) xx→0 xx → 0 Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s m t bi n s 2 2 3tanx+ sin x 4.4. Phõn lo ại điểm giỏn đoạn ,x > 0 VD 1. Cho hàm s ố f( x ) = 2x . • Nếu hàm f( x ) khụng liờn t ục y (C ) α,x ≤ 0 x x tại 0 thỡ 0 đượ c g ọi là Giỏ tr ị c ủa α để hàm s ố liờn t ục t ại x = 0 là: điểm giỏn đoạn c ủa f( x ) . O x x 1 3 0 A. α = 0; B. α = ; C. α = 1; D. α = . • N ếu t ồn t ại cỏc gi ới h ạn: 2 2 − + limfx ()= fx (0 ) , limfx ( )= fx (0 ) ln(cosx ) x→ x − x→ x + ,x ≠ 0 0 0 2 2 VD 2. Cho hàm s ố f( x ) = arctanx+ 2 x . nhưng f x − , f x + và f x khụng đồ ng th ời b ằng (0 ) (0 ) (0 ) 2α − 3,x = 0 nhau thỡ ta núi x0 là điểm giỏn đoạn lo ại m ột. Giỏ tr ị c ủa α để hàm s ố liờn t ục t ại x = 0 là: Ng ượ c l ại, x 0 là điểm giỏn đoạn lo ại hai . 17 17 3 3 A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . 12 12 2 2 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 8
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ1. Đạ o hàm Đ2. Vi phõn Nh ận xộ t. Do x = x − x 0 nờn: Đ3. Cỏc đị nh lý c ơ b ản v ề hàm kh ả vi – C ực tr ị fx()− fx ( ) Đ4. Cụng th ức Taylor ′ 0 Đ5. Quy t ắc L’Hospital f( x 0 )= lim . Đ6. Kh ảo sỏt hàm s ố x→ x 0 x− x 0 Đ1. ĐẠ O HÀM b) Đạ o hàm m ột phớa 1.1. Cỏc định ngh ĩa Cho hàm s ố y= f( x ) xỏc đị nh trong lõn c ận ph ải a) Đị nh ngh ĩa đạ o hàm fx()− fx (0 ) Cho hàm s ố y= f( x ) xỏc đị nh trong lõn c ận (a ; b ) c ủa (x0 ; b ) c ủa x0. Gi ới h ạn lim (n ếu cú) x→ x + x x 0 − 0 x∈ ( a ; b ) . Giới h ạn: 0 đượ c g ọi là đạ o hàm bờn ph ải của y= f( x ) t ại x . y fx(+ x )() − fx 0 lim= lim 0 0 Ký hi ệu là f′( x + ) . T ươ ng t ự, f′( x − ) . x →0 x x → 0 x 0 0 y f x x Nh ận xột . Hàm s ố f( x ) cú đạ o hàm t ại x0 khi và ch ỉ khi (n ếu cú) đượ c g ọi là đạ o hàm của = ( ) t ại 0. ′ ′ fx′()= fx ′ ()− = fx ′ (). + Ký hi ệu là f( x 0 ) hay y( x 0 ) . 0 0 0 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s c) Đạ o hàm vụ cựng 1.2. Cỏc quy t ắc tớnh đạ o hàm y • N ếu t ỉ s ố → ∞ khi x → 0 thỡ ta núi y= f( x ) cú 1) Đạ o hàm t ổng, hi ệu, tớch và th ươ ng c ủa hai hàm s ố: x (uv± ) ′ = u ′ ± v ′ ; (uv ) ′= uv ′ + uv ′ ; đạ o hàm vụ cựng t ại x . 0 ′ ′ k − kv ′ u u′ v− uv ′ • Tươ ng t ự, ta c ũng c ú cỏc khỏi ni ệm đạ o hàm vụ cựng =, k ∈ ℝ; = . 2 2 một phớa. v v v v 3 2) Đạ o hàm c ủa hàm s ố h ợp fx()= yux [()] : VD 1. Cho fx( )= x ⇒ f ′ (0) = ∞, fx( )= x ⇒ f ′ (0+ ) = +∞. fx′()= yuux ′ ().() ′ hay yx′()= yuux ′ ().() ′ . Chỳ ý 3) Đạ o hàm hàm s ố ng ượ c c ủa y= y( x ) : Nếu f( x ) liờn t ục và cú đạ o hàm vụ cựng t ại x thỡ ti ếp 1 0 x′( y ) = . y f x tuy ến t ại x0 c ủa đồ th ị = ( ) song song v ới tr ục Oy . y′( x ) Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s ′ ′ Đạo hàm c ủa một s ố hàm s ố s ơ c ấp 7) (ex) = e x ; 8) (ax) = a x .ln a ; α′ α− 1 ′ 1 1) x= α . x ; 2) x = ; ( ) ( ) ′ 1 ′ 1 2 x 9) ln x = ; 10) log x = ; ( ) x ( a ) x.ln a 3) sinx′ = cos x ; 4) cosx′ = − sin x ; ( ) ( ) ′ 1 ′ −1 11) (arcsinx) = ; 12)(arccosx) = ; x 2 x 2 1 1 1 − 1 − 5) (tan x)′ = 6) (cot x)′ = − ; 2 x 2 x cos sin ′ 1 ′ −1 =1 + tan 2 x ; 13) (arctan x) = ; 14) (arccot x ) = . 1 + x 2 1 + x 2 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 9
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 1.3 . Đạ o hàm hàm s ố cho b ởi ph ươ ng trỡnh tham s ố 1.4. Đạ o hàm c ấp cao • Cho hàm s ố y= f( x ) cú ph ươ ng trỡnh d ạng tham s ố • Gi ả s ử f( x ) cú đạ o hàm f′( x ) và f′( x ) cú đạ o hàm thỡ ′ x= xt(), y = yt () . Gi ả s ử x= x( t ) cú hàm s ố ng ượ c (fx′()) = fx ′′ () là đạ o hàm c ấp hai c ủa f( x ) . và hàm s ố ng ượ c này cú đạ o hàm thỡ: • Tươ ng t ự ta cú: ′ y′( t ) yt ′ yx′( )= hayy ′ = . (n ) ( n − 1) ′x ′ fx()= f () x là đạ o hàm c ấp n c ủa f( x ) . x( t ) x t ( ) 2 x=2 t − 1 VD 2. Tớnh y′( x ) c ủa hàm s ố cho b ởi ,t ≠ 0 . VD 4. Cho hàm s ố f( x )= sin 2 x . Tớnh đạ o hàm f (6) (0) . y= 4 t 3 A. f (6) (0)= 32 ; B. f (6) (0)= − 32 ; t x= e C. f (6) (0)= − 16 ; D. f (6) (0)= 0 . VD 3. Tớnh y′(1) c ủa hàm s ố cho b ởi . x y= t2 − 2 t Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s VD 5. Tớnh f(n ) ( x ) c ủa hàm s ố f( x )= (1 − x ) n+1. 1.5 . Đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn • Cho ph ươ ng trỡnh F(,) x y = 0 (*). Nếu y= y( x ) là hàm số xỏc đị nh trong 1 kho ảng nào đú sao cho khi th ế y( x ) vào (*) ta đượ c đồ ng nh ất th ức thỡ (n ) 1 y( x ) đượ c g ọi là hàm s ố ẩn xỏc đị nh b ởi (*). VD 6. Tớnh y c ủa hàm s ố y = . x2 −3 x − 4 ′ ′ ′ • Đạ o hàm hai vế (*) theo x , ta đượ c Fx+ F y. y x = 0 . F ′ Vậy y′= −x , F ′ ≠ 0. x′ y (n ) Fy VD 7. Tớnh đạ o hàm f( x ) c ủa hàm s ố f( x )= sin x . ′ ′ y( x ) = y x đượ c g ọi là đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn y( x ) . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s VD 8. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi xy− ex + e y = 0. VD 12. Vi ết ph ươ ng trỡnh ti ếp tuy ến của T ớnh y′( x ) . x2 y 2 ():E + = 1 tại điểm Mx(; y )∈ () E . VD 9. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: a2 b 2 0 0 xy− ex +ln y = 0 (*). Tớnh y′(0) . Gi ải x2 y 2 VD 10. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: • Với y ≠ 0, ta cú: F = + − 1 0 2 2 y a b lnx2+ y 2 = arctan . Tớnh y′( x ) . x 2x Chỳ ý 0 F ′ = 2 Ta cú th ể xem hàm ẩn y( x ) nh ư hàm h ợp u( x ) và th ực x 2 b x a y′ x 0 . hi ện đạ o hàm nh ư hàm s ố h ợp. ⇒ ⇒(0 ) = − 2y a2 y ′ 0 0 Fy = VD 11. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: b2 y3−( x 2 − 2) yx − 2 4 = 0 (*). Tớnh y′′ (1) . Toỏn cao c p A1 Đ i h c 10
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ2. VI PHÂN Ph ươ ng trỡnh ti ếp tuy ến t ại điểm Mx(;0 y 0 )∈ () E là: 2.1. Vi phõn c ấp m ột b2 x y= yxxx′( )( − ) + y ⇒=−y0 ( xxy − ) + • Hàm s ố y= f( x ) đượ c g ọi là kh ả vi t ại x∈ D n ếu 0 0 0 2 0 0 0 f a y 0 fx()0 = fx ( 0 + − x )() fx 0 cú th ể bi ểu di ễn d ướ i xx yy dạng: fx( ) = + Ax . 0( x ) ⇒bxx2 + ayy 2 = bx 22 + ay 22 ⇒0 + 0 = 1 (*). 0 0 0 0 0 a2 b 2 với A là h ằng s ố và 0( x ) là VCB khi x → 0. Khi đú, đạ i l ượ ng A. x đượ c g ọi là vi phõn c ủa hàm s ố • V ới y0 = 0, ta cú x0 = ± a . y= f( x ) tại x . Ký hi ệu df( x ) hay dy( x ) . Khi đú, ph ươ ng trỡnh ti ếp tuy ến là x= ± a th ỏa (*). 0 0 0 xx yy Nh ận xột Vậy ph ươ ng trỡnh ti ếp tuy ến là 0+ 0 = 1. 2 2 f( x 0 ) 0( x ) a b • fx(0 ) = + Ax . 0( x ) ⇒ =A + x x Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s f( x ) 2.2. Vi phõn c ấp cao ⇒0 →⇒ x →0 A fx′( ) = A . x 0 • Gi ả s ử y= f( x ) cú đạ o hàm đế n c ấp n thỡ ⇒df( x ) = f′ ( x ). x hay df( x )= f′ ( x ). x . n n−1 ( nn ) 0 0 dy= dd( y ) = y dx • Ch ọn fx()= x ⇒ dfx () = ⇒ x dx = x . đượ c g ọi là vi phõn c ấp n c ủa hàm y= f( x ) . Vậy dfx()()= f′ xdxhaydy = ydx ′ . VD 4. Tớnh vi phõn c ấp 2 c ủa hàm s ố y= ln(sin x ) . 2 3 x VD 1. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa fx( ) = xe t ại x0 = − 1. VD 5. Tớnh vi phõn c ấp n c ủa hàm số y= e 2x . VD 2. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa y=arctan( x 2 + 1) . π VD 3. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa hàm s ố y = 2ln(arcsinx ) . VD 6. Tớnh vi phõn c ấp 3 c ủa f( x )= tan x t ại x = . 0 4 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Chỳ ý Đ3. CÁC ĐỊ NH Lí C Ơ B ẢN V Ề HÀM KH Ả VI Khi x là m ột hàm s ố độ c l ập v ới y thỡ cụng th ức CỰC TR Ị C ỦA HÀM S Ố n( n ) n dy= y dx khụng cũn đỳng n ữa. 3.1. Cỏc đị nh lý 3.1.1. B ổ đề Fermat Quy t ắc tớnh vi phõn c ấp n Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trong (a ; b ) và cú đạ o hàm tại x∈ ( a ; b ) . N ếu f( x ) đạ t giỏ tr ị lớn nh ất (ho ặc bộ nh ất) n n n n n 0 1) d(.) ku= kdu . ; du(+ v ) = du + dv ; ′ tại x0 trong (a ; b ) thỡ f( x 0 )= 0 . n n knkk− ớ 0 0 2) duv( )= ∑ Cdn udv . v i du= udv, = v . 3.1.2. Đị nh lý Rolle k=0 Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trong [a ; b ] và kh ả vi trong 3 x ′ VD 7. Tớnh vi phõn c ấp 10 c ủa hàm s ố y=( x − xe ) . (a ; b ) . N ếu fa()= fb () thỡ ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho f( c )= 0 . Toỏn cao c p A1 Đ i h c 11
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 3.1.3. Đị nh lý Cauchy 3.2. C ực tr ị c ủa hàm s ố • Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) liờn t ục trong [a ; b ] , kh ả vi 3.2.1. Hàm s ố đơ n điệu trong (a ; b ) và gx′()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . a) Đị nh ngh ĩa Khi đú, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trong trong (a ; b ) . fb()− fa () fc′ () = . Khi đú: gb()− ga () gc′ () • f( x ) đượ c g ọi là tăng ng ặt trong (a ; b ) n ếu fx()− fx () 1 2 > 0, ∀xx, ∈ (;) ab và x≠ x . 3.1.4. Đị nh lý Lagrange x− x 1 2 1 2 • Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trong [a ; b ] , kh ả vi trong 1 2 • f( x ) đượ c g ọi là gi ảm ng ặt trong (a ; b ) n ếu (a ; b ) . Khi đú, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: fx()− fx () fb()− fa () 1 2 0, ∀ x ∈ (;) ab thỡ f( x ) tăng ng ặt trong (a ; b ) . x x x x 1− 2 1− 2 • N ếu fx′() fx () , (x − 1) 0 0 ∀x ∈ ( ab ; )\{ x 0 } thỡ f( x ) đạ t cực đạ i t ại x0. 1 b) Đị nh lý VD 3. Tỡm cỏc kho ảng đơ n điệu c ủa y = . 2 Cho f( x ) cú đạ o hàm đế n c ấp 2n trong (a ; b ) ch ứa x x− 2 x 0 ′ (2n− 1) (2n ) th ỏa fx(0 )= = f ( x 0 ) = 0 và f( x 0 )≠ 0 . • N ếu f(2n ) ( x )> 0 thỡ f( x ) đạ t cực ti ểu t ại x . x 3−4 0 0 VD 4. Tỡm cỏc kho ảng đơ n điệu c ủa y= e . (2n ) • N ếu f( x 0 )< 0 thỡ f( x ) đạ t cực đạ i tại x0. Toỏn cao c p A1 Đ i h c 12
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s VD 5. Tỡm c ực tr ị c ủa hàm s ố fx()=− x6 − 2 x 3 + 3 . • N ếu M= max f ( x ) và m= min f ( x ) thỡ: x∈ X x∈ X 3.2.3. Giỏ tr ị l ớn nh ất – giỏ tr ị nh ỏ nh ất m≤ fx( ) ≤ M , ∀∈ x X . a) Đị nh ngh ĩa b) Ph ươ ng phỏp tỡm max – min Cho hàm s ố y= f( x ) cú MX Đ D và X⊂ D . Hàm s ố liờn t ục trờn đoạn [a; b] • S ố M đượ c g ọi là giỏ tr ị l ớn nh ất c ủa f( x ) trờn X n ếu: Cho hàm s ố y= f( x ) liờn t ục trờn đoạn [a ; b ] . ∃x ∈ Xfx: ( ) = M và fx()≤ M , ∀ x ∈ X . 0 0 Để tỡm maxf ( x ) và minf ( x ) , ta th ực hi ện cỏc b ướ c sau: Ký hi ệu là: M= max f ( x ) . x∈[ a ; b ] x∈[ a ; b ] x∈ X • Bướ c 1. Gi ải ph ươ ng trỡnh f′( x )= 0 . Gi ả s ử cú n • S ố m đượ c g ọi là giỏ tr ị nh ỏ nh ất c ủa f( x ) trờn X n ếu: nghi ệm x, , xn ∈ [; ab ] (lo ại cỏc nghi ệm ngoài [a ; b ] ). ∃x ∈ Xfx: ( ) = m và fx()≥ m , ∀ x ∈ X . 1 0 0 • Bướ c 2. Tớnh fa(), fx ( ), , fx ( ), fb () . Ký hi ệu là: m= min f ( x ) . 1 n x∈ X • Bướ c 3. Giỏ tr ị l ớn nh ất, nh ỏ nh ất trong cỏc giỏ tr ị đó Chỳ ý tớnh ở trờn là cỏc giỏ tr ị max, min tươ ng ứng c ần tỡm. • Hàm s ố cú th ể khụng đạ t max ho ặc min trờn X⊂ D . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s VD 6. Tỡm giỏ tr ị l ớn nh ất, giỏ tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố Hàm s ố liờn t ục trờn kho ảng (a; b) 43 2 Cho hàm y= f( x ) liờn t ục trờn (a ; b ) ( a, b cú th ể là ∞). fx( )= x − x −+ x 3 trờn đoạn [0; 2] . 2 Để tỡm maxf ( x ) và minf ( x ) , ta th ực hi ện cỏc b ướ c: Chỳ ý x∈( a ; b ) x∈( a ; b ) • N ếu đề bài ch ưa cho đoạn [a ; b ] thỡ ta ph ải tỡm MX Đ • B ướ c 1. Gi ải ph ươ ng trỡnh f′( x )= 0 . Gi ả s ử cú n của hàm s ố tr ướ c khi làm b ướ c 1. nghi ệm x, , x∈ [; ab ] (lo ại cỏc nghi ệm ngoài [a ; b ] ). • Cú th ể đổ i bi ến s ố t= t( x ) và vi ết y= fx( ) = gtx ( ( )) . 1 n • B ướ c 2. Tớnh fx( ), , fx ( ) và hai gi ới h ạn Gọi T là mi ền giỏ tr ị c ủa hàm t( x ) thỡ: 1 n maxfx ( )= max gt () , minfx ( )= min gt () . L1=lim fxL (), 2 = lim fx () . xX∈ tT ∈ xX∈ tT ∈ xa→+ xb → − • B ướ c 3. Kết lu ận: VD 7. Tỡm max, min c ủa fx()= − x2 + 56 x + . 1) N ếu max{fx ( ), , fx ( )}> max{ LL , } thỡ sinx + 1 1n 1 2 VD 8. Tỡm max, min c ủa y = . maxf= max{ fx ( ), , fx ( )} . sin2 x+ sin x + 1 x∈( a ; b ) 1 n Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s fx fx LL 3.3. Kho ảng l ồi, lừm c ủa đồ th ị – điểm u ốn 2) N ếu min{ (1 ), , (n )}< min{ 1 , 2 } thỡ minf= min{ fx ( ), , fx ( )} . a) Đị nh ngh ĩa x∈( a ; b ) 1 n 3) N ếu khụng th ỏa 1) (ho ặc 2)) thỡ hàm s ố khụng đạ t • Hàm s ố f( x ) đượ c g ọi là hàm lồi trong (a ; b ) nếu f′( x ) max (ho ặc min). tăng trong a b . Khi đú, đồ th ị y= f( x ) đượ c g ọi là ( ; ) VD 9. Tỡm giỏ tr ị l ớn nh ất, giỏ tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố đồ th ị lừm trong (a ; b ) . x 3 f( x ) = trờn kho ảng (1;+∞ ) . • Hàm s ố f( x ) đượ c g ọi là hàm lừm trong (a ; b ) n ếu x 2 −1 f′( x ) gi ảm trong (a ; b ) . Khi đú, đồ th ị y= f( x ) đượ c Chỳ ý Ta cú th ể l ập b ảng bi ến thiờn c ủa f( x ) thay cho b ướ c 3. gọi là đồ th ị lồi trong (a ; b ) . VD 10. Tỡm điều ki ện c ủa tham s ố m để ph ươ ng trỡnh • Điểm M0( x 0 ; y 0 ) trờn đồ th ị nằm gi ữa ph ần lừm và l ồi 2 sau cú nghi ệm: m( x+2 − 1) − x = 0 . đượ c g ọi là điểm u ốn c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) . Toỏn cao c p A1 Đ i h c 13
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 3 2 VD 11. Hàm số y= x −3 x + 1 VD 12. Xỏc đị nh tớnh l ồi, lừm c ủa hàm s ố: lừm và cú đồ th ị l ồi trong (−∞ ; 1) ; y= x2 − 8 ln x . hàm y= x3 −3 x 2 + 1 lồi và cú đồ th ị lừm trong (1;+∞ ) . M(1; 1) là điểm u ốn c ủa đồ th ị. VD 13. Tỡm cỏc kho ảng l ồi, lừm c ủa đồ th ị hàm s ố: b) Đị nh lý y= arccos x . • N ếu f′′ ( x )> 0 (hay f′′ ( x )< 0 ) v ới m ọi x∈ ( a ; b ) thỡ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) lừm (hay lồi) trong (a ; b ) . ′′ ′′ VD 14. Xỏc đị nh tớnh l ồi, lừm c ủa hàm s ố y= arctan2 x • N ếu f( x 0 )= 0 và f( x ) đổ i d ấu khi x chuy ển t ừ trỏi và đồ th ị của hàm s ố y= arctan2 x . sang ph ải qua điểm x0 thỡ M0( x 0 ; y 0 ) là điểm u ốn c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 3.4. Ti ệm c ận c ủa đồ th ị VD 15. Tỡm t ất c ả cỏc ti ệm c ận c ủa đồ th ị hàm s ố: • Ti ệm c ận đứ ng ln(1− x 2 ) Đườ ng cong y= f( x ) cú ti ệm c ận đứ ng x= x n ếu y = . 0 x 3 limf () x = ∞ . x→ x 0 VD 16. Tỡm ti ệm c ận xiờn của đồ th ị hàm s ố: • Ti ệm c ận xiờn y=3 x2( x − 1) . Đườ ng cong y= f( x ) cú ti ệm c ận xiờn y= ax + b n ếu f( x ) lim=a ,lim() fx − ax = b . VD 17. Tỡm ti ệm c ận xiờn (ngang) c ủa đồ th ị hàm s ố: x→∞x x →∞ yx=+ x2 −4 x + 5 . Chỳ ý Khi a = 0 thỡ đồ th ị cú ti ệm c ận ngang y= b . . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ4. CễNG TH ỨC TAYLOR • Khai tri ển Maclaurin 4.1. Cụng th ức khai tri ển Taylor Khai tri ển Taylor v ới ph ần d ư Peano t ại x0 = 0 đượ c Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trờn [a ; b ] cú đạ o hàm đế n c ấp gọi là khai tri ển Maclaurin . n + 1 trờn (a ; b ) v ới xx,∈ (;) ab ta cú cỏc khai tri ển: n f (k ) (0) 0 V ậy: fx()= xOxk + (). n • Khai tri ển Taylor v ới ph ần d ư Lagrange ∑ k=0 k ! k n f( ) ( x ) f(n+ 1) ( c ) fx0 xxk xx n +1 • Khai tri ển Maclaurin đượ c vi ết l ại: ()=∑ () −+0 () − 0 k! ( n + 1)! / // k=0 f(0) f (0) 2 với c∈ ( a ; b ) . fxf( )=+ (0) x + x + 1! 2! • Khai tri ển Taylor v ới ph ần d ư Peano f (n ) (0) +xn + O ( x n ). n f(k ) ( x ) n ! fx0 xxk Oxx n ()=∑ ( −+−0 ) (( 0 )). 3 k=0 k ! VD 1. Khai tri ển Maclaurin c ủa f( x )= tan x đế n x . Toỏn cao c p A1 Đ i h c 14
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s m( m − 1) 4.2. Cỏc khai tri ển Maclaurin c ần nh ớ 6) (1+=++x )m 1 mx x 2 + 1 2 n n 2! 1) =++1xx + + x + 0( x ) . mm(− 1) ( mn − + 1) 1−x +xn + 0( x n ). 2 n n ! x x x x n 2) e=+1 + ++ + 0( x ) . 1 1! 2!n ! VD 2. Khai tri ển Maclaurin c ủa f( x ) = đế n x 3. xx2 x 3 x 4 x + 1 3) ln(1+=−x ) + − ++ 0( x n ) . Chỳ ý 1 2 3 4 2 4 6 N ếu u( x ) là VCB khi x → 0 thỡ ta thay x trong cỏc x x x n 4) cosx=− 1 + − ++ 0( x ) . cụng th ức trờn b ởi u( x ) . 2! 4! 6! 3 5 7 1 6 xx x x n VD 3. Khai tri ển Maclaurin hàm y = đế n x . 5) sinx=− + − ++ 0( x ) . 1+ 3 x 2 1! 3! 5! 7! VD 4. Khai tri ển Maclaurin của y=ln(1 − 2 x 2 ) đế n x 6. Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s VD 5. Khai tri ển Maclaurin của hàm s ố y = 2x đế n x 4. 4.3. Ứng d ụng c ủa cụng th ức Taylor 4.3.1. Tớnh giỏ tr ị gần đỳng của hàm s ố ( tham kh ảo) VD 6. Khai tri ển Maclaurin của y= e sin x đế n x 3. • T ừ cụng th ức khai tri ển Taylor, ta cú: (k ) VD 7. Khai tri ển Maclaurin c ủa hàm s ố: n f( x ) fx()≈0 () xx − k 2 ∑ 0 1 +x + x k=0 k ! f( x ) = đế n x 4 và tớnh f (4) (0) . 2 (n+ 1) x x f( c ) n 1 − + với sai s ố Rx()= ( xx − ) +1, c∈ ( a ; b ) . n (n + 1)! 0 VD 8. Cho hàm fx()= x3 cos2 x . Giỏ tr ị c ủa f (7) (0) là: • Nếu f(n+ 1) () x≤ Mxab , ∀ ∈ [;] thỡ ta cú đỏnh giỏ A. f (7) (0)= 480 ; B. f (7) (0)= 560 ; (7) (7) M n+1 C. f (0)= 3360 ; D. f (0)= 6720 . sai s ố: Rx( ) ≤ xx − . n (n + 1)! 0 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s VD 9. Tớnh s ố e chớnh xỏc đế n ε = 10 −3. 4.3. 2. Tỡm gi ới h ạn tỉ s ố c ủa hai VCB 2 n x x x x n a ) Phần chớnh c ủa VCB α(x) khi x → 0 (tham kh ảo) Gi ải. Ta cú: e=+1 + ++ + 0( x ) 1! 2!n ! Nếu α(x ) là VCB khi x → 0 th ỏa α(k− 1) (0) = 0 và 1 1 (k ) ⇒e ≈++1 1 + + . (k ) α (0) k 2!n ! α(0) ≠ 0 (k = 1,2, ) thỡ đạ i l ượ ng x đượ c k ! c (k ) e α (0) k với sai s ố ε=Rn ( x ) = , c ∈ (0; 1) gọi là ph ần chớnh c ủa α(x ) . Khi đú, α(x ) ∼ x . (n + 1)! k ! 3 VD 10. Xột x e tan x . Khi x , ta cú: ⇒ε< ⇒=n 6. α( ) = − 1 → 0 (n + 1)! α(0) = 0 , α′(0) = 1 ≠ 0 ⇒ ph ần chớnh của α(x ) là x . 1 1 1 1 1 Vậy e ≈+2 + + + + . Nh ận xột. Khi x → 0 thỡ etan x −1 ∼ x . 2! 3! 4! 5! 6! Toỏn cao c p A1 Đ i h c 15
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s b) Cỏc vớ d ụ tỡm gi ới h ạn ln(1++−x ) ex sin 2 x − 1 ex− e− x − 2 x VD 12. Tớnh L = lim . VD 11. Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→0 6 x 3 +1 − 1 x→0 x− sin x 2 3 6 31 3 x x x x Gi ải. Ta cú: x+1 − 1 ∼ x , Gi ải. Ta cú: e=+1 + + + 0( x 3 ) , 6 1! 2! 3! 2 3 x x 3 x x2 x 3 ln(1+x ) =− x + + 0( x ) , e−x =−1 + − + 0( x 3 ) , 2 3 1! 2! 3! 2 3 x x x 3 x 3 e=++1 x + + 0( x ) , sinx= x − + 0( x 3 ) . 2 6 3! 1 3 3 4 x− x x+ 0( x ) 3 3 e− e − 2 x −sin2x =−+ 2 xx + 0() x Vậy L =lim = lim3 = 2 . 3 x→0x− sin x x → 0 1 11 x3+ 0( x 3 ) ⇒++−ln(1xe )x sin2 x − 1∼ xL3 ⇒= 11 . 6 6 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 4.3.3. Tỡm ti ệm c ận cong (hay xiờn) của đồ th ị hàm s ố x 3 Nếu fx()= gx () + α () x v ới g( x ) là đa th ức và α(x ) là VD 14. Tỡm ti ệm c ận xiờn của (C ) : y = . 1 x −1 VCB khi x → ∞ thỡ đồ thị ():C y= fx () cú đườ ng 2 1 ti ệm c ận cong y= g( x ) . Gi ải. Ta cú: y= x 1 + . Khi x → ∞ thỡ: x −1 VD 13. Tỡm ti ệm c ận xiờn của (C ) : y=3 x2( x − 1) . x x 1 Gi ải. Khi x → ∞, ta cú: y=+ x − + O . 1 2(x − 1) 2 2 8(x− 1) ( x − 1) 1 3 1 1 1 y= x 1 − =x 1 − − + 0 x 1 2 2 • Khi x → +∞ thỡ: y∼ x+ ∼ x + . x 3x 9x x 2(x − 1) 2 1 1 1 x 1 =x − − + 0 . • Khi x → −∞ thỡ: y∼−− x ∼ −− x . 3 9 x x 2(x − 1) 2 1 1 1 Vậy y= x − là ti ệm c ận xiờn c ủa đồ th ị (C ) . Vậy y= x + , y= − x − là 2 ti ệm c ận xiờn của (C ) . 3 2 2 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s x4 −2 x + 3 2 2 3 3 VD 15. Tỡm ti ệm c ận cong của (C ) : y = . =x(1 +− t 2 t + Ot ( )) 2 x −1 2 1 2 1 2 3 =x1 + − + O 1− + 2 3 3 3 4 x x x Gi ải. Ta cú: y= x 2. x x . 1 22 1 2 1 − =+−+x1 O ∼ x + 1 . x 2 x x 1 x→∞ Đặ t t = → 0, ta suy ra: Vậy đồ th ị cú ti ệm c ận cong là y= x 2 + 1. x 1 Cỏch khỏc yx=2(1 − 2 t 3 + 3 t 4 ). 2 4− 2 x 1 − t y=++ x21∼ x 2 + 1 khi x → ∞. 2 34 2 2 x 2 −1 =x(1 −+ 2 tt 3 )(1 ++ t 0( t )) Toỏn cao c p A1 Đ i h c 16
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ5. QUY TẮC L’HOSPITAL x2− sin 2 x VD 2. Tỡm gi ới h ạn L = lim . Đị nh lý ( quy t ắc L’Hospital ) x→0 x2.arctan 2 x Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) kh ả vi trong lõn cận của điểm 1 1 A. L = 0; B. L = ∞; C. L = ; D. L = . ′ ′ x0 và g( x )≠ 0 trong lõn c ận c ủa x0 (cú th ể g( x 0 )= 0 ). 2 3 Nếu limfx ()= lim gx () = 0 (ho ặc ∞) và VD 3. Tỡm gi ới h ạn L= lim x3 ln x (d ạng 0ì∞). xx→ xx → + ( ) 0 0 x→0 f′( x ) f( x ) 1 lim =k ∈ ℝ thỡ lim = k . VD 4. Tớnh L x (d ạng ). x→ x g′( x ) x→ x g( x ) =lim cot − ∞ − ∞ 0 0 x→0 x Chỳ ý 1 Chi ều ng ượ c l ại trong đị nh lý là khụng đỳng. VD 5. Tỡm gi ới h ạn L= lim x x−1 (d ạng 1∞). x→1 Ta c ú th ể ỏp d ụng quy t ắc L’Hospital nhi ều l ần. 1 x− x e+ e − 2 x 0 VD 1 . Tỡm gi ới h ạn L = lim . VD 6. Tỡm gi ới h ạn L=lim ( x + 3 ) x (d ạng ∞ ). 2 x→+∞ x→0 x Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Đ6. KH ẢO SÁT HÀM S Ố • xt(*)= − xtyt (), (*) = yt () . Khi đú, (C ) nh ận Oy làm (Tham kh ảo) tr ục đố i x ứng. 6.1. Kh ảo sỏt hàm s ố theo tham s ố • xt(*)=− xtyt (), (*) =− yt () . Khi đú, (C ) nh ận g ốc t ọa Cho đườ ng cong (C ) xỏc đị nh b ởi ph ươ ng trỡnh tham số: độ O(0; 0) làm tõm đố i x ứng. x= x( t ) , t∈ D ( D là MX Đ). y = y( t ) c) T ổng quỏt, gi ả s ử v ới m ọi t∈ D , t ồn t ại t * sao cho: • xt(*)= xtyt (), (*) + yt () = 2 b . Khi đú, (C ) nh ận 6.1.1. Kho ảng bi ến thiờn c ủa bi ến t đườ ng th ẳng y= b làm tr ục đố i x ứng. a) N ếu xt(+= T ) xtyt (),( += T ) yt (), ∀∈ t D thỡ ta • xt(*)+ xt () = 2, ayt (*) = yt () . Khi đú, (C ) nh ận ch ỉ c ần kh ảo sỏt xt(), yt () trong [α ; α + T ] . đườ ng th ẳng x= a làm tr ục đố i x ứng. b) Gi ả s ử v ới m ọi t∈ D , t ồn t ại t * sao cho: • xt(*)= xtyt (), (*) = − yt () . Khi đú, (C ) nh ận Ox làm • xt(*)+= xt () 2, ayt (*) += yt () 2 b . Khi đú, (C ) nh ận tr ục đố i xứng. điểm I( a ; b ) làm tõm đố i x ứng. Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s 6.1.2. S ự bi ến thiờn c ủa x(t), y(t) • N ếu limx ( t ) = ∞ và limy ( t ) = y 0 thỡ y= y 0 là ti ệm L ập b ảng bi ến thiờn c ủa xt( ), yt ( ) nh ư hàm m ột bi ến t→α t→α cận ngang c ủa (C ) . quen thu ộc. • N ếu limx ( t ) = ∞, limy ( t ) = ∞ và: Chỳ ý t→α t→α y′( t ) y( t ) • Dựng y′ = để tớnh h ệ s ố gúc c ủa ti ếp tuy ến. lim=a ,lim[() yt −α xt ()] = b x x′( t ) t→αx( t ) t →α xtyt′() ′′ ()− x ′′ ()() tyt ′ thỡ y= ax + b là ti ệm c ận xiờn c ủa (C ) . • Dựng y′′2 = để tỡm kho ảng l ồi, x [x′ ()] t 3 Chỳ ý lừm c ủa đồ th ị. • Ph ươ ng trỡnh ti ếp tuy ến c ủa (C ) t ại điểm M( x , y ) ứng 6.1.3. Ti ệm c ận với t trong h ệ t ọa độ Oxy (Descartes) cú d ạng: x t x y t x x yt′() xtyt ′ ()()− xtyt ()() ′ • Nếu lim ( ) = 0 và lim ( ) = ∞ thỡ = 0 là ti ệm Y= X + (*). t→α t→α xt′() xt ′ () cận đứ ng c ủa (C ) . Toỏn cao c p A1 Đ i h c 17
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Bảng bi ến thiờn: • Gi ả s ử khi t→ t 0 thỡ điểm M( x , y ) ti ến ra vụ cựng trờn một nhỏnh vụ t ận c ủa (C ) . Khi đú, gi ới h ạn (n ếu cú) của (*) là ph ươ ng trỡnh ti ệm c ận ứng v ới t= t 0. VD 1. Kh ảo sỏt và v ẽ đồ th ị c ủa đườ ng cong: t+ 2 t x=, y = . t( t2− 1) 1 − t 2 Gi ải. MX Đ D =ℝ \ { − 1; 0; 1} . Đồ th ị khụng cú tớnh đố i x ứng, tu ần hoàn. Ph ươ ng trỡnh ti ếp tuy ến c ủa (C ) t ại điểm M( x , y ) ứng với t trong h ệ t ọa độ Oxy cú d ạng: t3+3 t 2 − 1 t 2 + 1 Ta cú: xt′()2=− ,() yt ′ = > 0 . tt2( 2 + 1) tt ( + 4) t222( t− 1) (1 − t 22 ) Y= − X − . 32 32 ′ 2(tt+− 3 1) 2( tt +− 3 1) xt( )=⇔= 3 0 . Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Cho t→ −1, t → 0, t → 1 l ần l ượ t ta đượ c 3 ti ệm c ận VD 2. Kh ảo sỏt và v ẽ đồ th ị c ủa đườ ng cong: 3 1 5 xRt=−( sin tyR ), =− (1 cos t ) . là: Y= − X + , Y = 0 và Y= − X − . 2 3 6 Gi ải. MX Đ D = ℝ. Vỡ: Đồ th ị xk(2π−+ t ) xt ()2 =π kRyk ,(2 π−= t ) yt () nờn đồ th ị đố i x ứng qua cỏc đườ ng x= k π R . Ta ch ỉ c ần kh ảo sỏt đườ ng cong trong kho ảng: x∈[0; π R ] ⇒∈ t [0; π ] . Ta cú: xt′()= R (1 − cos), tyt ′ () = Rt sin 1 y′′ 2 = − < 0. x R(1− cos t ) 2 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Bảng bi ến thiờn Đồ th ị Khi đú, c ặp (r ,ϕ ) đượ c g ọi là tọa độ c ực c ủa điểm M . Mối liờn h ệ gi ữa t ọa độ c ực và t ọa độ Descartes là: xr=cos, ϕ= yr sin ϕ . 6.2. Kh ảo sỏt hàm s ố theo t ọa độ c ực 6.2.1. Hệ t ọa độ c ực 6.2.2. Phương trỡnh đường cong Trong m ặt ph ẳng ch ọn điểm O c ố đị nh g ọi là cực và tia trong tọa độ cực Ox M g ọi là tia c ực. V ị trớ điểm tựy ý trong m ặt ph ẳng • Phương trỡnh đường cong trong tọa độ cực cú dạng: hoàn toàn xỏc đị nh b ởi r= OM, ϕ = ( OxOM , ). r= f ( ϕ ). Toỏn cao c p A1 Đ i h c 18
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s • Cho đường cong (C ) trong tọa độ Descartes cú phương 6.2.3. Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số r = r(φ) trỡnh F(,) x y = 0 . Thay xr=cos ϕ= , yr sin ϕ vào ta • Ta xem xr=ϕ( )cos ϕ=ϕ , yr ( )sin ϕ và khảo sỏt như được F( r cosϕ , r sin ϕ ) = 0 , nếu giải được r theo ϕ trường hợp theo tham số ϕ. • Trong nhiều trường hợp khi biến ϕ tăng dần, ta theo dừi thỡ ta thu được phương trỡnh của (C ) trong tọa độ cực. chiều biến thiờn của r để vẽ đồ th ị. VD 3. Trong mpOxy , xột ph ương trỡnh đường trũn đi qua • Gúc α tạo bởi bỏn kớnh cực gốc tọa độ O(0; 0) : và tiếp tuyến được xỏc đị nh 2 2 r(ϕ ) ():C x+ y − 2 ax − 2 by = 0 . bởi cụng thức: tg α = . Ta cú: r ′(ϕ ) r22cosϕ+ r 22 sin ϕ− 2(cos) ar ϕ− 2(sin) br ϕ= 0 . VD 4. Kh ảo sỏt và v ẽ đồ th ị ():C r2= a 2 cos2 ϕ . Vậy phương trỡnh của (C ) trong tọa độ cực là: π π r=2( a cos ϕ+ b sin ϕ ) . Gi ải. MX Đ: cos2ϕ≥ 0 ⇔− +k π≤ϕ≤ + k π . 4 4 Ch ươ ng 2. Ph ộp tớnh vi phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Hàm cos 2 ϕ tu ần hoàn v ới chu k ỳ π nờn ta ch ỉ kh ảo sỏt Đ1. Tớch phõn b ất đị nh Đ2. Tớch phõn xỏc đị nh π π trong kho ảng − ≤ϕ≤ và r= a cos 2 ϕ . Đ3. Ứng d ụng c ủa tớch phõn xỏc đị nh 4 4 Đ4. Tớch phõn suy r ộng a sin 2 ϕ ′ Ta cú: r ()ϕ=− = 0 ⇔ϕ= 0 . Đ1. TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH cos 2 ϕ Bảng bi ến thiờn Đồ th ị 1.1. Đị nh ngh ĩa • Hàm s ố F( x ) đượ c g ọi là một nguyờn hàm c ủa f( x ) trờn khoảng (a ; b ) n ếu Fx′()= fx (), ∀ x ∈ (;) ab . Ký hi ệu ∫ f( x ) dx ( đọ c là tớch phõn). Nh ận xộ t • N ếu F( x ) là nguyờn hàm c ủa f( x ) thỡ F( x ) + C cũng là . nguyờn hàm c ủa f( x ) . Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Tớnh ch ất dx dx 3) ∫ =ln x + C ; 4) ∫ =2 x + C 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdxk (), ∈ ℝ x x ax 2) ∫ fxdx′()= fx () + C 5) ex dx= e x + C ; 6) ax dx= + C ∫ ∫ ln a d 3) fxdx()= fx () 7) cosxdx= sin x + C ; 8) sinxdx= − cos x + C dx ∫ ∫ ∫ dx dx 4) ∫[()fx+ gxdx ()] = ∫ fxdx () + ∫ gxdx () . 9) =tan x + C ; 10) = −cot x + C ∫ cos 2 x ∫ sin 2 x MỘT SỐ NGUYấN HÀM CẦN NHỚ dx1 x 11) =arctan + C ∫ 2 2 1) ∫ adx.= ax + C , a ∈ ℝ x+ a a a α+ 1 dx x α x 12) =arcsin +C , a > 0 2) xdx= + C , α≠− 1 ∫ 2 2 a ∫ α + 1 a− x Toỏn cao c p A1 Đ i h c 19
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s dx1 x− a dx 13) C VD 1. Tớnh I = . =ln + ∫ 2 ∫ x2− a 2 2a x+ a 4 − x 1 2 + x 1 2 − x dx x A. I=ln + C ; B. I=ln + C ; 14) =ln tan + C 4 2 − x 4 2 + x ∫ sinx 2 1x − 2 1x + 2 C. I=ln + C ; D. I=ln + C . dx x π 2x + 2 2x − 2 15) =ln tan + + C ∫ cosx 2 4 dx 2 16) =ln x + x ++ a C dx ∫ 2 VD 2. Tớnh I = . x+ a ∫ 2 x− x − 6 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 1.2. Ph ươ ng phỏp đổ i bi ến tan x π VD 6. Tớnh I= dxx, ∈ 0; . a) Đị nh lý ∫ cosx cos2 x + 1 2 N ếu ∫ fxdx()= Fx () + C với ϕ(t ) kh ả vi thỡ: b) Một số d ạng tớch phõn hữu t ỉ (tham kh ảo) f(())()ϕϕ t′ tdt =ϕ F (()) t + C . ∫ αx + β Dạng 1: I= dxa, ≠ 0. dx ∫ 2 VD 3. Tớnh I = . (ax+ b ) ∫ 2 x3− ln x p q dx Cỏch gi ải. Bi ến đổ i I= + dx . VD 4. Tớnh I = . ∫ 2 ∫ 3 ax+ b (ax+ b ) x( x + 3) 4x+ 3 2(2 x + 1) + 1 cot x VD 7. dx= dx VD 5. Tớnh I= dx . ∫2 ∫ 2 ∫ 2 sin4 x + 3 4x+ 4 x + 1 (2 x + 1) Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 2 1 1 32x + 51111 = + dx =ln2x +− 1 + C . =dx = . + . dx ∫ 2 ∫ ∫ 2x + 1 (2x + 1) 2(2x + 1) (xx−+ 1)(2 5) 7 x − 1 7 2 x + 5 5 11 =lnx −+ 1 ln 2 x ++ 5 C . αx + β 7 14 Dạng 2: I= dxa, ≠ > 0, 0. ∫ ax2 + bx + c αx + β Dạng 3: I= dxa, ≠ < 0, 0. 1 p q ∫ 2 Cỏch giải. Bi ến đổ i I= + dx , ax+ bx + c a∫ xx− xx − 1 2 X p (x, x là nghi ệm c ủa m ẫu th ức). Cỏch gi ải. Bi ến đổ i I= + dx . 1 2 ∫ 2 2 X+γ X +γ 32x+ 1 32 x + VD 8. dx= dx 2x + 1 (2x − 1) + 2 ∫x2 x 2 ∫ 5 VD 9. I= dx = dx 2+ 3 − 5 ∫2 ∫ 2 (x− 1) x + 4x−+ 4 x 5 (2 x −+ 1) 4 2 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 20
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 2x − 1 2 =dx + dx . Dạng 4. Tớch phõn hàm h ữu t ỉ b ậc cao ∫2 ∫ 2 Cỏch gi ải. Bi ến đổ i hàm d ướ i d ấu tớch phõn v ề cỏc (2x−+ 1) 4 (2 x −+ 1) 4 phõn th ức t ối gi ản. I1 I 2 2 dx 1d [(2 x − 1) + 4] 1 2 VD 10. Tớnh I = . • I= =ln[(2 x −++ 1) 4] C . ∫ 2 1 ∫ 2 x( x − 1) 4(2x − 1) + 4 4 2x − 1 1 A B C d Gi ải. Ta cú: = + + 2 2 12 121x − x( x− 1) x x x −1 • I = =arctan + C . 2 ∫ 2 2 2 2 2 (B+ Cx )( +− A Bx ) − A 2x − 1 = . 1 + 2 2 x( x − 1) Đồ ng nh ất cỏc h ệ s ố, ta được: 12 121x − Vậy Ixx=ln4 −++ 4 5 arctan + C . 4( ) 2 2 A=−1, B =− 1, C = 1 . Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 2 111 1x − 1 x − 3 Vậy I=−−+ dx =+ln + C . VD 12. Tớnh I= dx . 2 ∫ 3 ∫ x xx−1 x x x−7 x + 6 2 x2−3 x 2 − 3 x+4 x + 4 Gi ải. Ta cú: = VD 11. Tớnh I= dx . x3 −7 x + 6 (x− 1)( x − 2)( x + 3) ∫ x( x − 1) 2 2 A B C xx+4 + 4 AB C = + + . Gi ải. Ta cú: = + + . x−1 x − 2 x + 3 x( x− 1)2x x −1 ( x − 1) 2 1 1 3 Đồng nh ất cỏc h ệ s ố, ta đượ c: A=4, B =− 3, C = 9 . Đồng nh ất cỏc h ệ s ố, ta đượ c: A=, B = , C = . 2 5 10 dx dx dx 1dx 1 dx 3 dx Vậy I =4 − 3 + 9 Vậy I = + + ∫x ∫ x −1 ∫ (x − 1) 2 2∫x− 15 ∫ x − 210 ∫ x + 3 9 1 1 3 =4 lnx − 3 ln x −− 1 + C . =lnx −+ 1 ln x −+ 2 ln xC ++ 3 . x −1 2 5 10 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s c) Tớch phõn hàm lượ ng giỏc VD 13. Tớnh I= sin3 2 x cos 2 xdx . I= R(sin x ,cos xdx ) . ∫ Cỏch gi ải ∫ dx VD 14. Tớnh I = . • Nếu R(− sin xx ,cos ) = − Rxx (sin ,cos ) ( ngh ĩa là b ậc ∫ 2 2 sinx+ sin 2 x − cos x của sin lẻ) thỡ ta đặ t t= cos x . dx • Nếu Rx(sin ,− cos x ) = − Rxx (sin ,cos ) (ngh ĩa là b ậc VD 15. Tớnh I = . ∫ 4sinx+ 3cos x + 5 của cosin lẻ) thỡ ta đặ t t= sin x . • N ếu R(− sin x , − cos xRxx ) = (sin ,cos ) (ngh ĩa là b ậc 1.3. Ph ươ ng phỏp tớch phõn từng ph ần của sin và cosin ch ẵn) thỡ ta đặ t t= tan x ho ặc h ạ b ậc. 1 a) Cụng th ức • N ếu R(sin x , cos x ) = thỡ ta đặ t: asin xb+ cos xc + ∫uxvxdx()()′= uxvx ()() − ∫ uxvxdx ′ ()() x2 t 1 − t 2 t=⇒=tan sin x , cos x = . hay ∫udv= uv − ∫ vdu . 2 1+t2 1 + t 2 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 21
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s VD 16. Tớnh I= ∫ xln xdx . VD 20. Tớnh I= ∫ cos(ln x ) dx . x VD 17. Tớnh I= dx . b) Cỏc d ạng tớch phõn t ừng ph ần th ườ ng g ặp ∫ x 2 • Đố i v ới dạng tớch phõn ∫ Pxe( ) αx dx , P( x ) là đa th ức, Chỳ ý thỡ ta đặ t: Đố i v ới nhi ều tớch phõn khú thỡ ta ph ải đổ i bi ến tr ướ c αx khi lấy t ừng ph ần. u= Px( ), dv = e dx . • Đố i v ới dạng tớch phõn Px( )ln α xdx , VD 18. Tớnh I= ∫ cos 3 x e sin x dx . ∫ P( x ) là đa th ức, thỡ ta đặ t: α VD 19. Tớnh I= ∫ cos 3 xdx . u=ln, xdv = Pxdx (). Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Đ2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH Tớnh ch ất 2.1. Đị nh ngh ĩa. Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trờn [a ; b ] . b b 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdx (), k ∈ ℝ Ta c hia đoạn [a ; b ] thành n đoạn nh ỏ b ởi cỏc điểm chia a a b b b xax0=<<< 1 xn− 1 < xb n = . 2) ∫[()fx± gxdx ()] = ∫ fxdx () ± ∫ gxdx () Lấy điểm ξk ∈ [x k ; x k ] tựy ý (k= 1, n ). −1 n a a a Lập t ổng tớch phõn: σ=f()( ξ x − x ) . a b a ∑ k k k −1 3) fxdx()= 0; fxdx () = − fxdx () k=1 ∫ ∫ ∫ a a b Gi ới h ạn h ữu h ạn (n ếu cú) I =lim σ đượ c g ọi b c b max(x− x ) → 0 k k k −1 4) ∫fxdx()= ∫ fxdx () + ∫ fxdxc (), ∈ [;] ab là tớch phõn xỏc đị nh c ủa f( x ) trờn đoạn [a ; b ] . a a c b b Ký hi ệu là I= ∫ f( x ) dx . 5) fx()0,≥∀∈ x [;] ab ⇒∫ fxdx () ≥ 0 a a Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s b b b 1 6) fx()≤ gx (), ∀∈ x [;] ab ⇒∫ fxdx () ≤ ∫ gxdx () Khi đú, đạ i l ượ ng fc()= fxdx () đượ c g ọi là a a b− a ∫ a b b giỏ tr ị trung bỡnh c ủa f( x ) trờn đoạn [a; b]. 7) a< b ⇒ fxdx() ≤ fxdx () ∫ ∫ 1 a a dx VD 1. Tớch phõn b ị ch ặn (h ữu h ạn) vỡ ∫ 2 2 8) m≤ fx() ≤ M , ∀∈ x [;] ab 0 x+ cos x 1 b hàm s ố f( x ) = liờn t ục trờn đoạn [0; 1]. ⇒−≤mb() a∫ fxdx () ≤− Mb () a x2+ cos 2 x a 1 9) N ếu f( x ) liờn t ục trờn đoạn [a ; b ] thỡ VD 2. Giỏ tr ị trung bỡnh c ủa hàm s ố f( x ) = trờn [1;e ] x b e 1dx 1 ∃∈c[;]: ab∫ fxdx () =− fcb ()( a ) . là = . e∫ x e a −11 − 1 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 22
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 2.2. Cụng th ức Newton – Leibnitz sin x 2.2.1. Tớch phõn v ới c ận trờn thay đổ i ∫ 2t dt Cho hàm f( x ) kh ả tớch trờn [a ; b ] , v ới m ỗi x∈ [ a ; b ] thỡ VD 4. Tỡm gi ới h ạn L = lim 0 . x→0+ tan x x sin t dt hàm s ố ϕ()x = ftdt () liờn t ục t ại m ọi x∈ [ a ; b ] ∫ ∫ 0 0 a và ϕ′()x = f () x . x x 2 2 VD 3. Xột ϕ()x = edtxt , > 0 . ∫ (arctant ) dt ∫ 0 0 VD 5. Tỡm gi ới h ạn L = lim . 2 2 x→+∞ 2 Ta cú : f( t ) = e t và ϕ′()x = fx () = e x . x + 1 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 2.2.2. Cụng th ức Newton – Leibnitz 3) f( x ) liờn t ục và ch ẵn trờn [−α ; α ] thỡ: N ếu f( x ) liờn t ục trờn [a ; b ] và F( x ) là m ột nguyờn hàm α α x fxdx fxdx . tựy ý của f( x ) thỡ ϕ()x = ftdt () và Fx( )= ϕ ( x )+ C ∫()= 2 ∫ () ∫ −α 0 a b là nguyờn hàm c ủa f( x ) trờn [a ; b ] . 4) Để tớnh f( x ) dx ta dựng b ảng xột d ấu c ủa f( x ) để b ∫ b a Vậy ta cú: fxdx()= Fx () = Fb () − Fa (). ∫ a tỏch f( x ) thành t ổng c ủa cỏc hàm trờn m ỗi đoạn nh ỏ. a Nh ận xột Đặc bi ệt 1) Cú hai ph ươ ng phỏp tớnh tớch phõn nh ư Đ1. b b α ∫fxdx()= ∫ fxdx () n ếu fx()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . 2) f( x ) liờn t ục và lẻ trờn [−α ; α ] thỡ ∫ f( x ) dx = 0 . a a −α Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 3 dx VD 6. Tớnh tớch phõn I = . VD 10*. L ập cụng th ức quy n ạp (truy h ồi) để tớnh: ∫ 2 1 x−2 x + 5 π 4 n e I=tan xdxn , ≥ 2 . (x2 + 1)ln x n ∫ VD 7. Tớnh tớch phõn I= dx . 0 ∫ x 1 1 2 3 VD 8. Tớnh tớch phõn I=∫ x + 1.sin xdx . VD 11*. L ập cụng th ức quy n ạp (truy h ồi) để tớnh: −1 π 2 3 3 I= sin n xdx , n ≥ 2. VD 9. Tớnh tớch phõn I= x − 4 xdx . n ∫ ∫ 0 −3 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 23
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s π 1 n 2 x π n VD 12*. Ch ứng minh r ằng: lim∫ dx = 0 . Nhận xột. Đặ t t= − x , ta đượ c: In = cos xdx . n→∞ x + 1 2 ∫ 0 0 S ử d ụng cụng th ức truy h ồi, ta cú cụng th ức Walliss : VD 13*. Sử d ụng đị nh ngh ĩa tớch phõn, tớnh gi ới h ạn: π π (n − 1)!! 1 1 2 n , n leỷ L 2 2 =lim 1 ++++++ 1 1 . n n n !! n→∞ nn n n sinxdx= cos xdx = ∫ ∫ π(n − 1)!! 0 0 . , n chaỹn VD 14*. Sử d ụng đị nh ngh ĩa tớch phõn, tớnh gi ới h ạn: 2n !! 11 1 1 Trong đú: L =lim + + ++ . n→∞ nn+1 n + 2 21 n − 0!!= 1!! = 1 ; 2!!= 2; 3!! = 3; 4!! = 2.4 ; 5!!= 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Đ3. ỨNG D ỤNG C ỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH VD 1. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi 3.1. Tớnh di ện tớch S của hỡnh ph ẳng cỏc đườ ng y= x 2 và y= x 4. 3.1.1. Biờn hỡnh ph ẳng cho trong t ọa độ Descartes 1 2 A. S = ; B. S = a) Biờn hỡnh ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trỡnh t ổng quỏt 15 15 4 8 C. S = ; D. S = . 15 15 S S VD 2. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi x 2x b d cỏc đườ ng y= e − 1, y= e − 3 và x = 0. S= fx() − fxdx () S= gy() − gydy () 1 ln4− 1 1− ln2 1 ∫ 2 1 ∫ 2 1 A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 − a c 2 2 2 2 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s y VD 3. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi VD 5. Tớnh di ện tớch S gi ới h ạn b ởi đườ ng cong: y= x2 −4 x + 3 và tr ục hoành. xt()=− t2 1,() yt =− 4 tt 3 . − 1 O 3 x b) Biờn hỡnh ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trỡnh tham s ố Hỡnh ph ẳng gi ới h ạn b ởi đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh 3.1.2. Di ện tớch hỡnh qu ạt cong trong t ọa độ c ực x= xt( ), y = yt ( ) v ới t ∈[ α ; β ] thỡ: Di ện tớch hỡnh qu ạt cong S cú β biờn đượ c cho trong t ọa độ c ực (xem Đ6. Ch ươ ng 2) gi ới h ạn S= ytxtdt( ).′ ( ) . ∫ bởi r= r ( ϕ ), ϕ∈αβ [ ; ] là: α β x2 y 2 1 2 VD 4. Tớnh di ện tớch hỡnh elip S :+ ≤ 1 . S= r( ϕ ) d ϕ . 2 2 2 ∫ a b α Toỏn cao c p A1 Đ i h c 24
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s VD 6. Tớnh di ện tớch hỡnh qu ạt cong S gi ới h ạn b ởi: 3.2. Tớnh độ dài l c ủa đườ ng cong π r =2 cos 4 ϕϕ∈ , 0; . 8 a) Đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh t ổng quỏt VD 7. Tớnh di ện tớch hỡnh Cho cung AB cú ph ươ ng trỡnh y= fx(), x ∈ [;] ab thỡ: qu ạt cong S gi ới h ạn b ởi: b 2 y y x l =1 + [()] fxdx′ . =0, = 3 , AB ∫ a x2+ y 2 −2 x = 0. VD 8. Tớnh di ện tớch hỡnh qu ạt cong S gi ới h ạn b ởi: x=0, y = x và x2+ y 2 +2 y = 0 . π VD 9. Tớnh độ dài l c ủa cung y=ln(cos x ), x ∈ 0; . π 1 3π 1 3π π 4 A. S = + ; B. S = + ; C. S = ; D. S = . 4 2 2 2 4 2 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s b) Đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh tham s ố c) Đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh trong tọa độ c ực Cho cung AB cú phươ ng trỡnh tham s ố Cho cung AB cú phươ ng trỡnh trong tọa độ c ực là x= x( t ) r= r (), ϕ ϕ∈αβ [;] thỡ: ,t ∈ [;] α β thỡ: y = y( t ) β 2 2 β l = r() ϕ+ϕ [()] rd′ ϕ . 2 2 AB ∫ l =[ xt′ ()] + [ ytdt ′ ()] . α AB ∫ α VD 10. Tớnh độ dài l c ủa cung C cú ph ươ ng trỡnh: 2 x= t + 1 VD 11. Tớnh độ dài l c ủa cung: ,t ∈ 0; 1 . r= a (1 + cos ϕϕ∈ ), [0; π ] . 2 y=ln t + t + 1 Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 3.3. Tớnh th ể tớch v ật th ể trũn xoay b ) Vật th ể quay quanh Oy a) Vật th ể quay quanh Ox Th ể tớch V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi Th ể tớch V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi x= g( y ) , x = 0, y= c và y= d quay quanh Oy là: y= fx(), y = 0 , x= a , x= b quay quanh Ox là: d b V= π [()] gydy2 . 2 ∫ V= π ∫ [()] f x dx . c a VD 14. Tớnh th ể tớch V do hỡnh ph ẳng S 2 VD 12. Tớnh th ể tớch V do hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi gi ới h ạn bởi y=2 x − xy , = 0 y=ln xy , === 0, x 1, xe quay xung quanh Ox . quay xung quanh Oy . Gi ải. Ta cú : x2 y 2 x=+1 1 − y , x ≥ 1 VD 13. Tớnh V do ():E + = 1 quay quanh Ox . 2 2 2 y=2 x − x ⇔ . a b x=−1 1 − y , x < 1 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 25
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 1 2 2 3.4. Tớnh di ện tớch m ặt trũn xoay Vậy V=π11 + − y −− 11 − ydy ∫ ( ) ( ) a) Di ện tớch m ặt trũn xoay S do đườ ng cong y= f( x ) , 0 a≤ x ≤ b , quay xung quanh tr ục Ox là: 1 1 b 8π3 8 π =π4 1 −ydy =− (1 − y ) = . 2 ∫ 3 3 S=2 π fx ()1 + [()] fxdx′ . 0 0 ∫ a Chỳ ý . Th ể tớch V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới VD 16. Tớnh di ện tớch mặt c ầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 . hạn b ởi y= f( x ) , y = 0, x= a và x= b quay quanh Oy cũn đượ c tớnh theo cụng th ức: b) Di ện tớch m ặt trũn xoay S do đườ ng cong x= g( x ) , b c≤ y ≤ d , quay xung quanh tr ục Oy là: V=2 π xfxdx () (*). d ∫ S=2 π gy ()1 + [()] gydy′ 2 . a ∫ c VD 15. Dựng cụng th ức (*) để gi ải l ại VD 1 4. VD 17. Tớnh S do y= x 2, 0≤x ≤ 1 xoay quanh Oy . Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Đ4. TÍCH PHÂN SUY R ỘNG • Định nghĩa tươ ng t ự: 4.1. Tớch phõn suy r ộng loại 1 b b 4.1.1. Đị nh ngh ĩa f( x ) dx= lim f ( x ) dx ; ∫a→−∞ ∫ • Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trờn [a ;+∞ ) , kh ả tớch trờn −∞ a mọi đoạn [;](ab a 1: I = (h ội t ụ). 1 x α − 1 Gi ải • Tr ườ ng h ợp α = 1: • Với α ≤ 1: I = +∞ (phõn k ỳ). b dx b I=lim = lim ln x = +∞ (phõn k ỳ). b→+∞∫ x b →+∞ 1 1 0 dx • Tr ườ ng h ợp α khỏc 1: VD 2. Tớnh tớch phõn I = . b ∫ 2 b (1− x ) dx 1 1−α −∞ I=lim = lim x b→+∞∫ α 1 − α b →+∞ 1 1 x +∞ 1 dx 1 ,α > 1 VD 3. Tớnh tớch phõn I = . =limb1−α − 1 = ∫ 2 () α − 1 −∞ 1 + x 1 − α b→+∞ + ∞, α < 1. Toỏn cao c p A1 Đ i h c 26
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Chỳ ý 4.1.2. Cỏc tiờu chu ẩn h ội t ụ • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( +∞ ) , ta dựng cụng th ức: x →+∞ a) Tiờu chu ẩn 1. Nếu 0≤fx () ≤ gx (), ∀ x ∈ [; a +∞ ) +∞ +∞ +∞ +∞ fxdx()= Fx () . ∫ a và g( x ) dx h ội t ụ thỡ f( x ) dx h ội t ụ. a ∫ ∫ a a • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( −∞ ) , ta dựng cụng th ức: x →−∞ b • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. b fxdx()= Fx () . ∫ −∞ −∞ +∞ 10 • Tươ ng t ự: VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I= e−x dx . +∞ ∫ +∞ 1 fxdx()= Fx () . ∫ −∞ −∞ Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s b) Tiờu chu ẩn 2 c) Tiờu chu ẩn 3 +∞ +∞ • Cho fx( ), gx ( ) liờn t ục, luụn d ươ ng trờn [a ;+∞ ) • Nếu f( x ) dx h ội t ụ thỡ f( x ) dx h ội t ụ (ng ượ c l ại f( x ) ∫ ∫ và lim = k . Khi đú: a a x→+∞ g( x ) khụng đỳng). • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. Nếu 0 3; B. α > ; C. α > 2; D. α > . 1 2 2 Chỳ ý • N ếu fx()∼ gx ()( x → +∞ ) thỡ +∞ (x2 + 1) dx +∞ +∞ VD 9. Điều kiện c ủa α để I = h ội t ụ? f( x ) dx và g( x ) dx cú cựng tớnh ch ất. ∫ xα x 4 ∫ ∫ 1 2+ − 3 a a Toỏn cao c p A1 Đ i h c 27
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 4.2. Tớch phõn suy r ộng loại 2 • Định nghĩa tươ ng t ự: b b Đị ĩ 4.2.1. nh ngh a fxdx()= lim fxdx () (suy r ộng t ại a ); • Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trờn [a ; b ) và khụng xỏc đị nh ∫ε→0 ∫ a a +ε tại b, khả tớch trờn m ọi đoạn [a ; b −ε ] ( ε> 0) . b b −ε fxdx()= lim fxdx () (suy r ộng t ại a , b ). b−ε ∫ε→0 ∫ Gi ới h ạn (n ếu cú) c ủa f( x ) dx khi ε → 0 đượ c g ọi là a a +ε ∫ • N ếu cỏc gi ới h ạn trờn t ồn t ại h ữu h ạn thỡ ta núi tớch phõn a hội t ụ, ng ượ c l ại là tớch phõn phõn k ỳ. tớch phõn suy r ộng loại 2 c ủa f( x ) trờn [a ; b ) . b dx Ký hi ệu: VD 10. Kh ảo sỏt s ự h ội t ụ c ủa I=, b > 0 . ∫ x α b b −ε Gi ải. • Tr ườ ng h ợp α = 1: 0 fxdx( )= lim fxdx ( ) . b ∫ε→0 ∫ dx b a a I=lim = lim ln x = ln b − lim ln ε = +∞. ε→0+∫ x ε→ 0 + ε ε→ 0 + ε Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s 1 • Tr ườ ng h ợp α khỏc 1: 3 b b 3dx b VD 11. Tớnh tớch phõn I = . dx −α1 1 −α ∫ I=lim = lim xdx = lim x 1− 9 x 2 ε→0∫x α ε→ 0 ∫ 1 − α ε→ 0 ε 1 ε ε 6 1−α b π π π 1 1−α 1 −α ,α 1. e dx Vậy VD 12. Tớnh tớch phõn I = ∫ . 1−α 3 2 b 1 x. ln x Với α − ; D. α ∈ ℝ. 1 2 2 2 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 28
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Ph ộp tớnh tớch phõn hàm m t bi n s Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i I → −∞ (phaõn ky ứ ) I → +∞ (phaõn ky ứ ) 1 1 Đ1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN V Ề CHU ỖI S Ố 2) ho ặc I ≤ 0 I ≥ 0 1.1. Đị nh ngh ĩa 2 2 • Cho dóy s ố cú vụ h ạn cỏc s ố h ạng u, u , , u , thỡ I phõn k ỳ. 1 2 n Bi ểu th ức ∞ I → −∞ (phaõn ky ứ ) I → +∞ (phaõn ky ứ ) 1 1 uu u u 3) ho ặc 1+ 2 ++ n + = ∑ n I > 0 I 1 thỡ S → ∞ ⇒ chu ỗi phõn k ỳ. n∈ℕ ∞ n ∞ chu ỗi s ố hội t ụ và cú t ổng là S , ta ghi là u= S . n ∑ n Vậy aq −1 h ội t ụ ⇔q < 1. n=1 ∑ Ng ượ c l ại, ta núi chu ỗi s ố phõn k ỳ. n=1 ∞ ∞ 1 VD 1 . Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi nhõn aq n v ới a ≠ 0. VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ ∑ n( n + 1) n=1 n=1 Gi ải • q = 1: S= na → ∞ ⇒ chu ỗi phõn k ỳ. ∞ 1 n VD 3. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n n ∑ ln 1 + 1−q 1 − q n • q ≠ 1: Su=. = aq . n=1 n 1 1−q 1 − q ∞ 1 aq VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . V ới q < 1 thỡ S → ⇒ chu ỗi hội t ụ. ∑ n 1 −q n=1 n Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i 1.2. Điều ki ện c ần để chu ỗi s ố hội t ụ 1.3. Tớnh ch ất ∞ ∞ ∞ • N ếu chu ỗi un hội t ụ thỡ limun = 0 , • N ếu un, v n hội t ụ thỡ: ∑ n→∞ ∑ ∑ n=1 n=1 n = 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ng ượ c l ại nếu limun ≠ 0 thỡ un phõn k ỳ. (uvnn+ ) = u n + v n . n→∞ ∑ ∑ ∑ ∑ n=1 n=1 n = 1 n = 1 ∞ ∞ ∞ • N ếu u hội t ụ thỡ: αu = α u . ∞ 4 ∑ n ∑n ∑ n n n=1 n=1 n = 1 VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 4 n=1 3n+ n + 2 • Tớnh ch ất h ội t ụ hay phõn k ỳ c ủa chu ỗi s ố khụng đổ i nếu ta thờm ho ặc b ớt đi h ữu h ạn s ố h ạng. ∞ n5 VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 4 n=1 n + 1 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 29
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Đ2. CHU ỖI S Ố D ƯƠ NG ∞ ∞ • N ếu v hội t ụ thỡ u hội t ụ. 2.1. Đị nh ngh ĩa ∑ n ∑ n n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ • u đượ c g ọi là chu ỗi s ố d ươ ng n ếu u≥0, ∀ n . ∑ n n • N ếu ∑un phõn k ỳ thỡ ∑vn phõn k ỳ. n=1 n=1 n=1 Khi un >0, ∀ n thỡ chu ỗi số là d ươ ng th ực s ự. ∞ 1 VD 1. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . 2.2. Cỏc đị nh lý so sỏnh ∑ n n=1 n.2 Đị nh lý 1 ∞ ∞ ∞ 1 Cho hai chu ỗi s ố d ươ ng u, v th ỏa: VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi điều hũa bằng cỏch ∑n ∑ n ∑ n n=1 n = 1 ∞ n=1 1 0≤u ≤ v , ∀≥ nn . so sỏnh v ới ln 1 + . n n 0 ∑ n=1 n Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Đị nh lý 2 ∞ 2n (n + 1) ∞ ∞ VD 3. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ bằng cỏch u v n n+1 Cho hai chuỗi số ∑n, ∑ n th ỏa: n=1 .3 n=1 n = 1 ∞ n u 2 n so sỏnh v ới ∑ . un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim = k . 3 n→∞ n=1 vn ∞ ∞ Chỳ ý • N ếu k = 0 thỡ u phõn k ỳ ⇒ v phõn k ỳ. ∑ n ∑ n ∞ 1 n=1 n=1 Chu ỗi ∑ h ội t ụ khi α > 1 và phõn k ỳ khi α ≤ 1. ∞ ∞ nα u v n=1 • N ếu k = +∞ thỡ ∑ n h ội t ụ ⇒ ∑ n h ội t ụ. n=1 n=1 ∞ n + 1 ∞ ∞ VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . • N ếu 0 1 thỡ chu ỗi phõn k ỳ. • N ếu D > 1 thỡ chu ỗi phõn k ỳ. • N ếu C = 1 thỡ ch ưa th ể k ết lu ận. • N ếu D = 1 thỡ ch ưa th ể k ết lu ận. n2 ∞ ∞ n 1 1 1 VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố 1 + . ∑ ∑ n n=12 n=1 3 n ∞ n 2 ∞ nn 5 (n !) VD 8. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . ∑ n n=1 (2n )! n=1 3 Toỏn cao c p A1 Đ i h c 30
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i 2.3.3. Tiờu chu ẩn Tớch phõn Maclaurin – Cauchy Đ3. CHU ỖI S Ố Cể D ẤU TÙY í Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục, khụng õm và gi ảm trờn nửa 3.1. Chu ỗi đan d ấu khoảng [;k+∞ ), k ∈ ℕ. Khi đú: ∞ a) Đị nh ngh ĩa. Chu ỗi s ố (− 1) n u đượ c g ọi là ∞ +∞ ∑ n n=1 ∑ fn() hoọi tuù⇔ ∫ fxdx () hoọi tuù. chu ỗi s ố đan d ấu n ếu un >0, ∀ n . n= k k ∞ (− 1) n ∞ 2n + 1 VD 1. ∑ , ∑(− 1) n+1 là cỏc chu ỗi đan dấu. ∞ 1 n 2n+1 VD 9. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n=1 n=1 ∑ 3 n=1 n2 b) Đị nh lý Leibnitz Nếu dóy {un } n ∈ℕ gi ảm nghiờm ng ặt và un → 0 thỡ chuỗi ∞ 1 ∞ VD 10. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n ∑ 3 (− 1) u h ội t ụ. Khi đú, ta g ọi là chu ỗi Leibnitz . n=2 nln n ∑ n n=1 Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i 3.2. Chu ỗi cú d ấu tựy ý ∞ (− 1) n VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . a) Đị nh ngh ĩa n=1 n ∞ ℝ • Chu ỗi ∑un, u n ∈ đượ c g ọi là chu ỗi cú d ấu tựy ý . n=1 ∞ n ∞ ∞ n 2+ 1 VD 3. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố (− 1) . • ∑un đượ c g ọi là hội t ụ tuy ệt đố i nếu ∑ un hội t ụ. ∑ n+1 n=1 n=1 n=1 2 ∞ ∞ • un đượ c g ọi là bỏn hội t ụ nếu un hội t ụ và ∞ n ∑ ∑ (− 1) n=1 n=1 VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∑ n n=2 n +( − 1) ∑ un phõn k ỳ. n=1 Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i ∞ (− 1) n Đ4. CHU ỖI HÀM VD 5. Chu ỗi s ố ∑ là bỏn h ội t ụ. n=1 n 4.1. Khỏi ni ệm chung v ề chu ỗi hàm 4.1.1. Cỏc định ngh ĩa b) Đị nh lý ∞ ∞ • Cho dóy hàm uxux1( ), 2 ( ), , uxn ( ), cựng xỏc đị nh u u Nếu ∑ n h ội t ụ thỡ chu ỗi cú d ấu tựy ý ∑ n hội t ụ. trờn D ⊂ ℝ. T ổng hỡnh th ức: n=1 n=1 ∞ uxux ux ux 1()+ 2 () ++n () += ∑ n () (1) ∞ cos(nn ) VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n=1 ∑ 2 đượ c g ọi là chu ỗi hàm s ố hay chu ỗi hàm trờn D ⊂ ℝ. n=1 n ∞ ∞ n n +1 • N ếu t ại x∈ D , chu ỗi s ố u( x ) hội t ụ ( phõn k ỳ) (− 1) + ( − 2) 0 ∑ n 0 VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n=1 ∑ n n=1 3 thỡ x0 đượ c g ọi là điểm h ội t ụ ( phõn k ỳ) c ủa chu ỗi (1). Toỏn cao c p A1 Đ i h c 31
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i ∞ • T ập h ợp cỏc điểm h ội t ụ x c ủa chu ỗi (1) đượ c gọi là 0 ux fx Ta vi ết là: ∑ n ()= () . mi ền hội t ụ của chu ỗi (1) . n=1 • Chu ỗi (1) đượ c g ọi là hội t ụ tuy ệt đố i tại x∈ D nếu 0 Khi đú, Rxn()= fx () − Sx n () đượ c g ọi là ph ần d ư c ủa ∞ (1) và tại m ỗi x thu ộc mi ền h ội t ụ thỡ limR () x = 0 . u x n chu ỗi ∑ n(0 ) h ội t ụ. n→∞ n=1 ∞ • Tổng Sx ux ux ux đượ c g ọi là ne −nx n ()=1 () + 2 () ++ n () VD 1. Tỡm mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi hàm ∑ . tổng riờng th ứ n c ủa chu ỗi (1) . Gi ải n=1 n −nx − x Trong mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi (1), tổng Sn ( x ) h ội t ụ v ề • V ới x > 0: limne= e ∃=ε0,NN (): ε ∀>∀∈⇒ nNxD , |()|. Rxn β . ∞ 4.2.3. Bỏn kớnh h ội t ụ • N ếu đặ t x′ = x − x thỡ chu ỗi l ũy th ừa cú d ạng a x n . 0 ∑ n a) Đị nh ngh ĩa n=0 ∞ ∞ • S ố R để a x n h ội t ụ tuy ệt đố i trờn R R và n > 0 ∑ n (− ; ) • Mi ền h ội t ụ c ủa ∑an x ch ứa x = 0 nờn khỏc r ỗng. n=0 n=0 phõn k ỳ t ại ∀x: x > R đượ c g ọi là bỏn kớnh h ội t ụ. Toỏn cao c p A1 Đ i h c 32
- ĐH Cụng nghi p Tp.HCM Sunday, October 31, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i • Kho ảng (−R ; R ) đượ c g ọi là kho ảng h ội t ụ. Tỡm mi n h i t c a chu i lũy th a Nh ận xột Bướ c 1 . Tỡm bỏn kớnh h ội t ụ R, suy ra kho ảng h ội t ụ của • N ếu chu ỗi h ội t ụ ∀x ∈ ℝ thỡ R = +∞. chu ỗi lũy th ừa là: (−R ; R ) . • N ếu chu ỗi phõn k ỳ ∀x ≠ 0 thỡ R = 0. Bướ c 2. Xột sự h ội t ụ c ủa cỏc chu ỗi s ố tại x= ± R . b) Ph ươ ng phỏp tỡm bỏn kớnh h ội t ụ B ướ c 3 a n+1 n • N ếu cỏc chu ỗi s ố phõn k ỳ t ại x= ± R thỡ k ết lu ận: N ếu t ồn t ại lim = r ho ặc lim an = r thỡ: n→∞ n→∞ an miền h ội t ụ c ủa chu ỗi hàm là (−R ; R ) . • N ếu chu ỗi s ố phõn k ỳ t ại x R và h ội t ụ t ại x R 0, r = +∞ = = − thỡ k ết lu ận: miền h ội t ụ c ủa chu ỗi hàm là [−R ; R ) . 1 R= , 0 < r < +∞. r • Tươ ng t ự: miền h ội t ụ là (−RR ; ],[ − RR ; ] . +∞,r = 0 Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i ∞ xn 4.3. Sơ l ượ c v ề chu ỗi Fourier VD 4. Tỡm mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi hàm . ∑ a) Chu ỗi l ượ ng giỏc n=1 n a ∞ Chu ỗi hàm d ạng: 0 +(a cos nx + b sin nx ) (*) ∞ n ∑ n n (x − 1) 2 n=1 VD 5. Tỡm mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi hàm . ∑ n đượ c gọi là chu ỗi l ượ ng giỏc . n=1 n.2 N ếu chu ỗi (*) hội t ụ đề u trờn [−π ; π ] đế n hàm s ố f( x ) n2 ∞ 1 n thỡ cỏc h ệ s ố a, b đượ c tớnh theo cụng th ức: VD 6. Tỡm mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi hàm ∑1 + x . n n n π n=1 1 a= fx()cos nxdxn , = 0,1,2, (2); n π ∫ ∞ 2 −π n n π VD 7. Tỡm mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi hàm ∑ 3 (x + 2) . 1 n b= fx()sin nxdxn , = 1,2, (3). =0 n π ∫ −π Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 4. Lý thuy t chu i b) Đị nh ngh ĩa chu ỗi Fourier VD 9. Tỡm chu ỗi Fourier c ủa f( x ) = x trờn [−π ; π ] . • Chu ỗi l ượ ng giỏc (*) cú cỏc h ệ s ố đượ c tớnh theo cụng c) Khai tri ển Fourier c ủa hàm s ố th ức (2), (3) đượ c g ọi là chu ỗi Fourier c ủa hàm f( x ) . Đị nh lý Dirichlet Cỏc h ệ s ố a, b đượ c g ọi là h ệ s ố Fourier c ủa f( x ) . N ếu hàm s ố f( x ) tu ần hoàn v ới chu k ỳ 2π, đơ n điệu n n từng khỳc và b ị ch ặn trờn [−π ; π ] thỡ chu ỗi Fourier c ủa • M ọi hàm f( x ) kh ả tớch trờn [−π ; π ] t ươ ng ứng v ới chu ỗi nú h ội t ụ t ại m ọi điểm trờn [−π ; π ] đế n t ổng là: Fourier c ủa nú và thụng th ườ ng ta vi ết: fx()−+ fx () + a ∞ . fx∼ 0 a nxb nx . ()+∑ (cosn + n sin) 2 2 n=1 VD 10. Khai tri ển thành chu ỗi Fourier c ủa hàm s ố: VD 8. Tỡm chu ỗi Fourier c ủa hàm s ố: 0,−π ≤x < 0 f( x ) = −1, −π ≤x < 0 x, 0≤ x ≤ π . f( x ) = 1, 0≤x ≤ π . .H t Toỏn cao c p A1 Đ i h c 33
