Bài giảng môn Toán ứng dụng - Bài 8: Ứng dụng tích phân

331 trang Đức Chiến 03/01/2024 500

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Toán ứng dụng - Bài 8: Ứng dụng tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mon_toan_ung_dung_bai_8_ung_dung_tich_phan.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Toán ứng dụng - Bài 8: Ứng dụng tích phân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
ỨỨnngg ddụụnngg hhììnhnh hhọọcc ccủủaa ttíícchh phphâânn :: 2
y = sin2 x 00 pp CCóó ththểể khkhôônngg ccầầnn vvẽẽ hhììnhnh 5
22 22 10
00 33 12
S1S1 13
11 11 15
b ò y(x) dx a 16
yy(t)(t) xx’’(t)(t) SS 18
y(x) y'(x) 20
(0 £ t £ 2p) 26
y(x) y(x) y(x) 29
ff((xx)) DDxx 2 Vi = Dxi .p f (xi ) 36
n 2 V » å Dxi .p f (xi ) n i=1 2 V = lim å Dxi .p f (xi ) n®¥ i=1 37
y(x) y(x) y(x) 38
y(x) 39
dd cc 40
D:\Toan1\Toan1-Minhhoa\bai_giang-15-ungdungtinhthetichtronxoay-Oy.gif 55
DD ÑÑooååii bbieieáánn xx == ssiintnt 58
S1S1 60
2 2 78
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 PHÉP TÍNH VI –TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
ĐỀ CƯƠNG Thờilượngtrênlớp: 3 tiết/tuầnx 14 = 42 tiết/Họckỳ Mônhọc: Toán1 MSMH: 006038 Số tínchỉ: 2 STT NỘI DUNG SỐSLIDE 1 Dãysốvàgiớihạndãysố 20 2 Giớihạnhàmsố 31 3 Hàmsố-Hàmsơcấp–Tínhliêntục 19 4 Đạohàm 21 5 KhaitriểnTaylor –Mac Laurint 41 6 Khảosáthàmsố 86 7 Tíchphân 30 8 Ứngdụngtíchphân 80 Tổngcộng 328 2
GIÁO TRÌNH Giáotrình: 1/ Giảitíchhàmmộtbiến-BM Toán ứngdụng– ĐHBK 2/ Giảitíchhàmmộtbiến–TácGiả: Đỗ CôngKhanh 3/ Toánhọccaocấp(Tậphai) -Nguyễn ĐìnhTrí(chủ biên) Ý kiến đónggópxingửivề: nqlan@hcmut.edu.vn Địachỉ Website: Trongquátrìnhthựchiệnbàigiảng, tácgiảđãthamkhảobài giảngCalculus 1 (TiếngAnh, GS. NguyễnHữuAnh) vàbài giảngToán1 (GVC. NgôThu Lương). Xinchânthànhcảm3ơn.
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 1: DÃY SỐ & GIỚI HẠN TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG 1- Khái niệm dãy số. Ba cách xác định dãy số 2- Ý tưởng giới hạn dãy số 3- Định nghĩa giới hạn dãy số. Dãy hội tụ, phân kỳ 4- Tính chất của giới hạn dãy số 5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số. Định lý kẹp 6- Dãy đơn điệu. Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn. Số e 7- Dãy con. Tiêu chuẩn phân kỳ 2
1. KHÁI NIỆM DÃY SỐ Dãy số {xn}: Tập hợp các số đánh số thứ tự liên tiếp nhau: x1, x2 xn x1: số hạng thứ 1, , xn: số hạng tổng quát. VD: Dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, , n , Þ Số hạng tổng quát: xn = n với n ≥ 1. VD: Dãy nghịch đảo các số tự nhiên 1, 1/2, 1/3, , 1/n , ⇒ Số hạng tổng quát: xn = 1/n, n ≥ 1. n –1 VD: Dãy 1, –1, 1, –1 ⇒ Số hạng tổng quát: xn = (–1) , n n ≥ 1 (hoặc xn = (–1) , n ≥ 0: Cóthể đánh số lại dãy số!) Dãy số cósốhạng đầu tiên, nhưng không cósốhạng chót! 3
1. BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ Mô tả (bằng lời): Đặc tính các số hạng của dãy. VD: Dãy số tự nhiên, dãy số chẵn, số lẻ Dãy số {xn} có Công thức (biểu thức số hạng thể được xác tổng quát): xn = f(n) : N ® R. VD: 2 định bởi 3 cách: xn = n Þ Dãy số chính phương Truy hồi: xn (số hạng đứng sau) được tính bởi xn –1 (số hạng đứng trước). VD: xn = 2 + xn-1 4
1. VÍDỤ Các vídụdãy số được xác định hoặc bằng cách đưa ra công thức tổng quát, hoặc viết ra vài số hạng của dãy ¥ ì n ü n ì1 2 3 n ü í ý an = í , , ,L, ,Lý în+1þn=1 n+1 î2 3 4 n+1 þ ì(-1)n(n+1)ü (-1)n(n+1) ì 2 3 4 (-1)n(n+1) ü a = - , ,- , , , í n ý n n í L n Lý î 3 þ 3 î 3 9 27 3 þ ¥ { n-3}n=3 an = n-3, n³3 {0,1, 2, 3,L, n-3,L} ¥  nπ nπ ì 3 1 nπ ü cos  an =cos , n≥0 í1, , ,0,L,cos ,Lý  6 n=0 6 î 2 2 6 þ 5
1. VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ & DÃY TRUY HỒI Dãy số cóthể được xác định qua cách mô tả (bằng lời): (a) Dãy {sn}, với sn –dân số của Việt Nam vào năm thứ n (b) Ký hiệu cn –chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy của số pÞDãy {cn} = {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 } Dãy số xác định theo kiểu truy hồi: Dãy Fibonacci với công thức truy hồi: f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2 n ≥ 3 {fn} = {1,1,2,3,5,8,13,21, } 6
2. Ý TƯỞNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ Bằng máy tính, lập bảng giátrị các số hạng của 2 dãy số: n2 1 (-1)n a / x = b / y = + n 2n2 +1 n 2 n2 x1 x2 x3 x4 x50.5 n xn yn y y y 0.5 y y 1 0.3333 –0.5 1 3 5 4 2 2 0.4444 0.75 Khi n tăng, số hạng xn (vàyn) 3 0.4737 0.3889 ngày càng tiến sát đến L = 0.5 4 0.4848 0.5625 theo nghĩa: Khoảng cách |xn–L| 5 0.4902 0.46 sẽ rất bénếu chọn n đủ lớn 7
2. NGÔN NGỮ GIẢI TÍCH: e – N0 Ngôn ngữ Giải tích: Khoảng cách |xn –L| rất bénếu n đủ lớn · |xn –L| rất bé Û"e > 0 sẽ có|xn –L| N0 n2 1 n2 1 1 VD trước: x = , L = Þ x - L = - = n 2n2 +1 2 n 2n2 +1 2 2(2n2 +1) a / xn - L 4.95: Choïn N0 = 4 b /e = 0.001Þ N0 = ? Trả lời: e = 0.001Þ N0 =15 c /e baát kyø Þ N0 = ? é 1 æ 1 öù ĐS: N0 = ê ç -1÷ú (Giaûi thích : [a] - soá nguyeân lôùn nhaát £ a) ë 2 è 2e øû 8
3. ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN DÃY SỐ THỰC Định nghĩa:Dãy số {xn} tiến đến L (hoặc cógiới hạn làL): lim xn = L Û " e > 0, $ N0 : xn - L N0 n®¥ Khi dãy số tiến đến L: ta nói dãy hội tụ (vàcógiới hạn làL) Trường hợp ngược lại: ta nói dãy phân kỳ Kyùhieäu: lim xn = L n®¥ n2 1 Vídụ: Câu (c) vídụ trước cho phép thiết lập: lim = n®¥ 2n2 +1 2 Nhận xét: xn - L N0) Î đoạn [L – e, L + e] ® Minh họa: L 9 x1 x x x L - e N0 +1 N0 +2 L + e 1000
3. MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY HỘI TỤ Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các điểm (n, xn) với dãy số {xn} cógiới hạn bằng L L {xn} ® L Û Điểm (n, xn) tiệm cận đường y = L (nằm ngang)10
3. MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY PHÂN KỲ n Biểu diễn trên mặt phẳng các điểm (n, xn) với xn = (–1) . Từ đókết luận về bản chất hội tụ hoặc phân kỳ của dãy Vô số số hạng của dãy = 1 và= –1 Þ Dãy không tiến đến giátrị L nào Þ Phân kỳ! 11
3. GIỚI HẠN VÔ CÙNG –DÃY BỊ CHẶN Khi xn ®±¥ (xem định nghĩa dưới), ta nói dãy {xn} cógiới hạn vô cùng. Nhưng Giới hạn vô cùng vẫn làphân kỳ! lim xn = ¥ Û " M , $ N0 : xn > M " n > N0 n®¥ lim xn = -¥ Û " M , $ N0 : xn N0 n®¥ Dãy {xn}: bị chặn trên Û$M: xn m "n. {xn} bị chặn Û Bị chặn trên lẫn dưới. VD: Dãy xn = 1/n chặn trên bởi 1 và dưới bởi 0 Þ Bị chặn! Hiển nhiên ta có: Dãy bị chặn Þ Không có giới hạn vô cùng12
4. PHÉP TOÁN & TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN Nếu {xn}, {yn} làcác dãy số hội tụ và a, b làhằng số thì: lim (axn + byn ) = a lim xn + b lim yn n®¥ n®¥ n®¥ lim (xn yn ) = lim xn ×lim yn n®¥ n®¥ n®¥ lim xn xn n®¥ lim = neáu lim yn ¹ 0 n®¥ n®¥ yn lim yn n®¥ p p lim xn = [lim xn ] neáu p > 0 vaø xn > 0 n®¥ n®¥ lim xn xn n®¥ f: hàm sơ cấp Þ f(lim xn) = lim f(xn). VD: lim e = e n®¥ Dãy hội tụ Þ Bị chặn. (Ü): Sai! $ dãy bị chặn nhưng phân13 kỳ
4. LIÊN HỆ GIỮA GIỚI HẠN DÃY VÀGIỚI HẠN HÀM Nếu lim f (x) = L vàdãy {an} cóan= f(n) " n Þ lim an = L. x®¥ n®¥ Như vậy, khi tìm giới hạn dãy số, ta cóthể thay n bằng x: lim an = lim f (n) = lim f (x) = L (chæ duøng khi an ôû daïng f(n)) n®¥ n®¥ x®¥ 1 1 Áp dụng: Vì lim = 0, r > 0 Þ Vậy ta có lim = 0, r > 0 x®¥ xr n®¥ nr 14
5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN Chuyển về các giới hạn cơ bản & thay vào biểu thức cần tính giới hạn (nếu giátrị biểu thức xác định) ìa >1Þ lim an = ¥ ìa > 0 Þ lim na = ¥ ï n®¥ ï n®¥ Hàm mũ: Lũy thừa: í n í a ï0 < a <1Þ lim a = 0 a < 0 Þ lim n = 0 î n®¥ îï n®¥ 2n2 +1 5n - 2n VD: Tính các giới hạn: a / lim 2 b / lim n®¥ n -1 n®¥ 2×5n + 3n 2 n2 (2 +1 n2 ) 2 + lim(1 n ) 5n 1- (2 5)n 1 Giải: a / lim = n®¥ = 2 b / lim ( ) = n®¥ n2 (1-1 n2 ) 1- lim(1 n2 ) n®¥ 5n 2 + (3 5)n 2 n®¥ ( ) 1 1 x=1 n®0 sin x VD: Tìm lim nsin Giải: lim sin 1 n = lim =1 n®¥ n n®¥ n x®0 x 15
5. TIÊU CHUẨN 3 DÃY KẸP Cho 3 dãy {xn}, {yn}, {zn} xn £ yn £ zn ïìxn ≤ yn ≤ zn " n ≥ N0 í Þ $ lim yn & lim yn = a lim xn = lim zn = a n®¥ n®¥ îïn®∞ n→∞ a Hệ quả (hay sử dụng): lim xn = 0 Þ lim xn = 0 n®¥ n®¥ n n (-1) n! æ10ö VD: Tìm các giới hạn a / lim b / lim c / lim ç ÷ n®¥ n n®¥ nn n®¥ è n ø (-1)n 1 (-1)n Giải: a / lim = lim = 0. Töø heä quaû Þ lim = 0 n®¥ n n®¥ n n®¥ n n n n! 1×2Kn 1 n! æ10ö æ 1 ö b / 0 20 n n×nKn n n®¥ n è n ø è 2ø
6. DÃY ĐƠN ĐIỆU Dãy số {xn} được gọi là tăng khi xn xn+1 với mọi n ≥ 1. Dãy tăng vàdãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Dãy tăng được viết ở dạng: x1 x2 > x3 > > xn > xn+1 > 2 VD: Khảo sát tính đơn điệu của dãy x = n n + 3 2 2 Giải: Dãy giảm do (hoặc xét x –x ): x = > = x n n+1 n n + 3 n + 4 n+1 2 - 2 Cách 2: f ()x = , x ³1: f '= 2 f (n +1) x + 3 (x + 3) 17
6. TIÊU CHUẨN DÃY ĐƠN ĐIỆU BỊ CHẶN Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn trên thìhội tụ Dãy giảm & chặn dưới thìhội tụ 1 1 1 n 1 x =1+ + + + = VD: Khảo sát tính hội tụ của n 2 2 L 2 å 2 2 3 n k=1 k 1 Giải: Bước 1: Tính đơn điệu x = x + > x Þ Dãy tăng n+1 n (n +1)2 n 1 1 1 Bước 2: Dãy bị chặn trên: x <1+ + + + = n 1×2 2×3 K (n -1)n æ 1 ö æ 1 1ö æ 1 1 ö 1 =1+ ç1- ÷ + ç - ÷ + + ç - ÷ = 2 - < 2 Þ Hội tụ è 2ø è 2 3ø K è n -1 n ø n æ 1 1 ö p 2 L. Euler tìm được: limç1+ 2 +K+ 2 ÷ = !Cách giải cơ bản n®¥è 2 n ø 6 dựa trên kthức lớp 9 (!), được Erdos gọi: Cminh của Chúa18
6. SỐ e n  1  Mệnh đề: Dãy số xn = 1+  , n ≥1 tăng vàbịchặn trên n  n  æ 1  Hệ quả: $ lim ç1+  Giới hạn này ký hiệu làsốe » 2.718 n®¥ è n  n æ 1ö 1 Chứng minh: Bước 1: Tăng: x <x Ûn+1ç1+ ÷ <1+ ()1 n n+1 è nø n+1 Bđthức Côsi cho (n+1) số dương: n số = (1 + 1/n), 1 số = 1 Þ (1) Bước 2: Chặn trên: Khai triển nhị thức Newton vàbiến đổi: 1 æ 1 ö 1 æ 1 öæ 2ö 1 1 x = 2 + ç1- ÷ + + ç1- ÷ç1- ÷ < 2 + + < 3: ñpcm n 2!è n ø K n!è n øè n øK 2 K2n-1 L. Euler chứng minh: eix = cosx + isinx, x ÎR Þ eip = –1 (*) Hệ thức (*) liên hệ e, i và p , được gọi làCông thức của Chúa19 !
7. DÃY CON –TIÊU CHUẨN PHÂN KỲ Cho dãy {xn}ÞDãy con của dãy {xn}: VD: Dãy con: {xn , , xn , }, n1 < < nk < , lim nk = ¥ a /{x } b /{x } 1 L k L L L k®¥ 2n 2n+1 lim xn = a Û Mọi dãy con của {xn} đều ® a: lim xn = a k®¥ k Dãy{xn} hội tụ Û Mọi dãy con của {xn} đều cócùng giới hạn $ một dãy con phân kỳ của dãy {xn} Dãy {xn} phân kỳ Û $ hai dãy con hội tụ cólim ¹ nhau n 20 VD: Chứng tỏ dãy {xn} = {(–1) } phân kỳ. Giải: Xét x2n & x2n+1
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG – ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG 1- GIỚI THIỆU: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 2- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM. ĐỊNH NGHĨA HÌNH THỨC 3- ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN (NGÔN NGỮ e – d) 4- GIỚI HẠN VÔ CÙNG -TẠI VÔ CÙNG –1 PHÍA 5- TÍNH CHẤT VÀPHÉP TÍNH TRÊN GIỚI HẠN 6- PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN -KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH 7- GIỚI HẠN KẸP 8- ĐỊNH NGHĨA NGÔN NGỮ DÃY. CM KHÔNG CÓG.HẠN 9- VÔ CÙNG BÉ–VÔ CÙNG LỚN 2
1. GIỚI THIỆU: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Xét đồ thị (C): y = f(x). Tiếp tuyến t của đồ thị (C) tại tiếp điểm P sẽ được xác định hoàn toàn bởi hệ số góc m của t t P Câu hỏi: Làm sao xác định hệ số góc m của tiếp tuyến t tại P?3
1. XẤP XỈ HỆ SỐ GÓC TIẾP TUYẾN Hệ số góc m của tiếp tuyến t cần tìm xấp xỉ bởi hệ số góc mPQ của cát tuyến PQ với Q Î đồ thị (C) vàQ “rất gần”P t P Q f (x) - f (a) m = PQ x - a Câu hỏi: Hệ số góc mPQ cóxác định không khi Q º P Û x = 4a?
1. VIẾT PTRÌNH TIẾP TUYẾN (CHƯA DÙNG ĐẠO HÀM!) Vídụ: Tính xấp xỉ hệ số góc tiếp tuyến rồi viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm P(1, 1) Giải: Hệ số góc m của tiếp tuyến xấp xỉ bởi hệ số góc mPQ của cát tuyến PQ với Q Î Parabol y = x2 vàQ trong lân cận P x2 -1 m = = x +1 PQ x -1 Chẳng hạn với Q(1.4, 1.96) ta có m = 1.4 + 1 = 2.4 PQ 5
1. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 2 bảng kết quả sau ghi nhận giátrị hệ số góc cát tuyến mPQ của cát tuyến qua P và điểm lân cận Q khi xQ ® xP = 1 (từ 2 phía) x m x m PQ PQ Quan sát: Khi Q ® P 2 3 0 1 (đồng nghĩa x rất gần 1) 1.5 2.5 0.5 1.5 giátrị mPQ tiến đến 2 1.1 2.1 0.9 1.9 Ta cóthể viết 1.01 2.01 0.99 1.99 x2 -1 m = lim mPQ = lim = 2 1.001 2.001 0.999 1.999 Q®P x®1 x -1 Câu hỏi: Tại sao phải cho x » 1 màkhông xét luôn x = 1? 6 Phương trình tiếp tuyến: y –yP= m(x –xP) Þ y = 2x –1
2. Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm y = f(x), MXĐ D x0 Î D Þ f (x0 ): xaùc ñònh x0 Ï D & f (x0 ): khoâng theå xaùc ñònh Tại điểm x0 Þ “Giá trị”f(x0) được xác VD: f(x) = lnx & x0 = –1 định tùy theo 3 x0 Ï D, f (x0 ):"döôøng nhö" xaùc ñònh trường hợp: VD: f(x) = sinx/x & x0 = 0 Ï D sin x é 0.1000 0.8415ù Giátrị f ()x = , x » x0 = 0: ê ú x ê ú ê 0.01000 0.9588ú ê ú ê ú " f (0)"=1? f(0) không xác định, nhưng ê 0.001000 0.9816ú ê ú ê ú giátrị f(x) “rất gần”1 khi ê 0.0001000 0.9896ú ê ú ê ú x “rất gần”0. ë0.00001000 0.9935û 7
2. MINH HỌA HÌNH HỌC sin x Đồ thị hàm: f ()x = x Chúý lân cận x0 = 0: Quan sát: Giátrị f(0) không xác định Þ Đồ thị phải bị khoét đi một lỗ! Thực tế, đồ thị lại là 1 đường liền, liên tục ® f(0) “hầu như”xác định và= 1! 8
2. GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA HÌNH THỨC Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x0 (cóthể không xác định tại x0!). Hàm f(x) cógiới hạn = L khi x ® x0 Û Giá trị f(x) “rất gần”L nếu x “đủ gần”x0. Ký hiệu: lim f (x) = L x®x0 x -1 VD: Đoán (không chứng minh) giới hạn lim f ()x , vôùi f ()x = x®1 x2 -1 Giải: Chúý hàm f(x) không xác định tại x = 1 x 1 f(x) Từ bảng giá 0.5 0.666667 1.5 0.400000 0.9 0.526316 1.1 0.476190 trị, có thể 0.99 0.502513 1.01 0.497512 phỏng đoán: x -1 0.999 0.500250 1.001 0.499750 lim = 0.5 x®1 2 0.9999 0.500025 1.0001 0.499975 x -1 9
2. GIÁTRỊ TẠI 1 ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỚNG GIỚI HẠN Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) cógiới hạn như f(x) khi x ® 1 ì x -1 ï f ()x = khi x ¹ 1 g()x = í x2 -1 îï2 khi x =1 y=f(x) y=g(x) Giátrị f tại x0 (cóhay không có) không ảnh hưởng đến lim10f (x) x®x0
2. ĐOÁN: KHÔNG CHẶT CHẼ! p æ 1 ö æ1ö Vídụ:limsin Gợi ý: Tính f ()1 , f ç ÷, f ç ÷, f (0.1), f (0.01) x®0 x è 2ø è3ø æ 1 ö æ1ö p f ()1 = f ç ÷ = f ç ÷ = f (0.1)= f (0.01)= 0 Þ limsin = 0 : SAI! è 2ø è3ø x®0 x p Tuy nhiên từ đồ thị hàm y = sin cũng như giátrị hàm tại x 2 p p x = Þ = + 2kp , k Î Z 4k +1 x 2 p Þ sin =1! x Cóvô số giátrị x gần 0 tùy ý, tại đóf = 0 lẫn f = 1. KL: Giới hạn đang xét không11 $!
3. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ–NGOÂN NGÖÕ e – d (GIẢI TÍCH) Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g Û | f –g | £e"e> 0. x “đủ gần”x0: $d> 0 vàxét | x –x0| 0, $d > 0 : x - x0 < d Þ f (x) - L < e x®x0 Chúý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn! Minh họa hình học: x0 -d x0 x0 +d x e L f f(x) L f x x ( ) x d 0 L -e L + e 12
3. VÍDỤ 2x2 - 2 VD: Cho lim = 4()*Tìm d như trong đnghĩa khi e = 0.01 x®1 x -1 2x2 - 2 Giải: f ()x = ,x =1,L = 4Þ"x ¹ 1: f (x)- L = 2 x -1 x -1 0 e = 0.01: f (x)- L < e Û x -1 < 0.005 Þ Choïn d = 0.005 VD: Giải bằng đồ thị câu hỏi tương tự: lim(x2 - x + 2)= 4, e = 0.1 x®2 Giải: | f(x) –4 | < 0.1 Û 3.9 < f(x) < 4.1. Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1 1.97 < x < 2.03 Vaäy x - 2 < 0.03 Þ d = 0.03 13
4. GIỚI HẠN VÔ CÙNG -TẠI VÔ CÙNG Khi f(x) ®±¥(tức L = ±¥) hoặc x ®±¥(tức x0 = ±¥): Không thể xét hiệu | f(x) –L| hay |x –x0| Þ Cần điều chỉnh! Chú ý: Đại lượng A ®¥ÛA > M "M & B ® –¥ÛB 0 " x : Neáu x - x0 M x®x0 Tương tự cho trường hợp f(x) ® –¥: Chỉ cần viết lại f(x) 0 $ M " x : Neáu x > M Þ f (x) - L A Þ f (x) > M x®¥ lim f(x)= L khi x ® –¥ & lim f(x) = ±¥khi x ®±¥: tương14 tự
4. GIỚI HẠN MỘT PHÍA G. hạn trái: x ® x0-Ûx ® x0 & x x0 (tức x ® x0 từ bên phải) x0 x0+ ¬ x lim f (x) = f (x0+ ): lim f (x) Minh họa: x®x0+ x®x0 & x>x0 x ® x0 & x > x0 Mệnh đề: $ lim f (x) Û $ f (x0- ), f (x0+ ) & f (x0- ) = f (x0+ ) x®x0 x x x VD: Không tồn tại lim vì lim = -1 ¹ lim =1 15 x®0 x x®0- x x®0+ x
5. PHÉP TOÁN TRÊN GIỚI HẠN Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c làhằng số vàf(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x ® a. Khi đó 1.lim[ f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) x®a x®a x®a 2.lim[ f (x) - g(x)] = lim f (x) - lim g(x) x®a x®a x®a 3.lim[cf (x)] = c lim f (x) x®a x®a 4.lim[ f (x)g(x)] = lim f (x)lim g(x) x®a x®a x®a f (x) lim f (x) 5.lim = x®a if lim g(x) ¹ 0 x®a g(x) lim g(x) x®a x®a 16
5. VÍDỤ Cho đồ thị 2 hàm số y=f(x) y = f(x) vày = g(x) a/ Các giới hạn sau liệu cótồn tại hay không: lim f (x), lim g(x) x®-2 x®1 y=g(x) b/ Tính giátrị các giới hạn sau nếu chúng tồn tại f (x) 1/ lim[f ()x + 5g()x ] 2 / lim[f (x)g()x ] 3/ lim x®-2 x®1 x®2 g()x Giải: a/ lim f (x) =1; Khoâng $ lim g(x) b/ 1/ –4. 2/ –3/: Không $ x®-2 x®1 17
5. GIỚI HẠN VÀCÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Cho n Î N vàhằng số a, c. Nếu hàm f(x) cógiới hạn tại a: 6. lim [ f (x)]n = [lim f (x)]n x®a x®a 7. lim c = c vaø 8. lim x = a x®a x®a 9. lim xn = an x®a 10. lim n x = n a (neáu n : chaün, a phaûi > 0) x®a 11. lim n f ()x = n lim f ()x (neáu n : chaün,lim f ()x phaûi > 0) x®a x®a x®a Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) –hàm biểu diễn bởi 1 công thức chứa các hàm cơ bản & a Î Df Þ lim f (x) = f (a) x®a Tính chất trên làtính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài18 3)
5. VÍDỤ a é¥ (a > 0) Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x ®¥: lim x = ê x®¥ ë0 (a 1: lim a = ê 0 < a <1: lim a = ê x®±¥ ë0 , x ® -¥ x®±¥ ë¥, x ® -¥ 2x -1 x3 - 3x2 + 2 VD: Tìm các giới hạn a / lim b / lim x®1 x2 + 2 x®1 x2 - 3x + 2 1 Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định): 3 b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!): x3 - 3x2 + 2 (x -1)(x2 - 2x - 2) x2 - 2 x - 2 lim = lim = lim = 3 x®1 x2 - 3x + 2 x®1 (x -1)(x - 2) x®1 x - 2 1+ 2x 1+ 0 1 (1 2)x +1 VD : lim : x ® -¥ : L = = ; x ® ¥ : L = lim 19 =1 x®±¥ 2 + 2x 2 + 0 2 x®¥ 2(1 2)x +1
6. PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH Dạng vô định: 0/0, ¥/¥, ¥ – ¥, 0.¥, 1¥ ® Biến đổi về xác định 1/ Khử dạng vô định 0/0: phân thức, căn, lượng giác, mũ P P(x) - P(x ) (x - x )P a/Phân thức: lim = lim 0 = lim 0 1 x®x0 Q x®x0 Q(x) - Q(x0 ) x®x0 (x - x0 )Q1 Hằng đẳng thức thông dụng: n n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1 a - b = (a - b)(a + a b + a b +K+ ab + b ) n n-1 n-2 n-3 2 x -1 = (x -1)(x + x + x +K+ x + x +1) 2n+1 2n+1 2n 2n-1 2n-2 2 2n-1 2n a + b = (a + b)(a - a b + a b +K- ab + b ) n 1+ x -1 1 b/ Căn: Nhân lượng liên hợp. Chúý: lim = x®0 x n 20
6. PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH sin x 1- cos x 1 tgx c/ Lượng giác lim =1 lim = lim =1 x®0 x x®0 x2 2 x®0 x ex -1 a x -1 ln(1+ x) d/ Mũ, ln: lim =1 lim = ln a lim =1 x®0 x x®0 x x®0 x 2/ Dạng ¥/¥ (x ®¥): Phân thức, mũ, lũy thừa, log a xn + a xn-1 + + a a xn a/ Phân thức: lim 0 1 L n = lim 0 x®¥ m m-1 x®¥ m b0x + b1x +L+ bm b0x a x xa b/ Mũ, ln: a >1,a > 0 : lim = ¥ lim = ¥ a x®¥ x x®¥ loga x Nguyên tắc: Rút số hạng “tăng”nhanh nhất ® thừa số chung21
6. GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT DẠNG MŨ x æ 1ö 1 x Dạng 1¥ : Sử dụng số e lim ç1+ ÷ = lim(1+ x) = e x®¥è x ø x®0 va lim va lim v(u-1) Kỹ thuật: lim u v (1¥ )= lim[(1+a )1 a ] = e x®x0 = e x®x0 x®x0 x®x0 3x+2 æ 2x + 2ö VD: limç ÷ Cách 2: Lấy ln 2 vế x®¥è 2x - 2ø Nguyên tắc Lôpitan: Tính giới hạn (tồn tại) dạng 0/0, ¥/¥ f (x) f '(x) f "(x) f (n) (x) lim = lim = lim = = lim L (n) x®x0 g(x) x®x0 g'(x) x®x0 g"()x x®x0 g (x) xa a x VD: Tính a / lim (a > 0) b / lim (a >1) 22 x®¥ ln x x®¥ xa
7. GIÔÙI HAÏN KEÏP ïì f(x) £ g(x) £ h(x) " x- x0 < e Giới hạn kẹp í Þlim g(x) =a ïlim f()x= lim h()x= a x®x0 îx®x0 x®x0 ïì0 £ f (x) £ h(x) " x - x0 < e Hệ quả: í Þ lim f (x)= 0 ïlim h()x = 0 x®x0 îx®x0 p p VD: Tìm lim xsin Chúý: Muộn hơn sẽ cminh $ lim sin x®0 x x®0 x x æ 1 ö VD: Chứng minh lim ç1+ ÷ = e x®¥ è x ø 23
8. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ–NGOÂN NGÖÕ DAÕY Ngôn ngữ “dãy”: " {tn}:[ tn ® x0 Þ f (tn ) ® a ] Không cógiới hạn tại x0 (Thuận tiện chứng minh không $ lim): ${tn}: limtn = x0 & $ lim f (tn ) n®¥ n®¥ ${yn},{zn}: yn , zn ® x0 & lim f (yn ) ¹ lim f (zn ) n®¥ n®¥ p VD: Chứng minh không cógiới hạn: a / lim sin x b / limsin x®¥ x®0 x p a/ Chỉ ra 2 dãy: y = np ® ¥ & z = + 2np ® ¥ n n 2 Nhận xét: Tương tự dùng dãy con chứng minh dãy phân kỳ 24
9. VÔ CÙNG BÉ Đại lượng a(x) –vô cùng bé(VCB) khi x ® x0: lim a(x) = 0 x®x0 VCB cơ bản (x ® 0): Lượng giác a(x) = sin x ,1- cos x , tgx Mũ, ln: e x -1, ln(1+ x) Lũy thừa: (1+ x)a -1. VD : 1+ 3x -1 1 x : Không quan trọng. VCB x ®¥: VCB x ® 1: sin(x–1) 0 x a(x), b(x) –VCB khi x ® x0 a(x) VCB, C(x) bị chặn Þa(x) ±b(x) , a(x)b(x): VCB Þ C(x)a(x): VCB p p p VD: a / lim sin b / lim xsin c / lim xsin x®0 x x®0 x x®¥ x BT: lim (sin x +1- sin x) 25 x®¥
9. SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ a(x) a(x), b(x) –VCB, x ® x0 và $ lim = cÞ So sánh được x®x0 b ()x 1/ c = 0 : a(x) –VCB cấp cao so với b(x): a(x) = o(b(x)) Cách nói khác: b(x) –VCB cấp thấp hơn 2/ c = ¥: Ngược lại trường hợp c = 0 Þb(x) = o(a(x)) 3/ c ¹ 0, c ¹¥: vô cùng bécùng cấp VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin2x, x3 Áp dụng: So sánh 2 vô cùng béxm, xn (m, n > 0) khi x ® 0 VD: So sánh VCB: sin x,1- cos x, tgx 26
9. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG a(x) a(x), b(x) – VCB tương đương khi x ® x0 Û lim =1 x®x0 b ()x x2 VCB lượng giác: sin x ~ x , tgx ~ x,1- cos x ~ , x ® 0 2 VCB mũ, ln: e x -1 ~ x, ln(1+ x) ~ x, x ® 0 a 2x VCB lũy thừa (căn): (1+ x) -1 ~ ax, x ® 0 VD: 3 1+ 2x ~ 3 VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) a VD: Tìm hằng số C và a để: tgx - sin x ~ Cx , x ® 0 27
9. DÙNG VÔ CÙNG BÉTÍNH GIỚI HẠN Áp dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn a(x) a1(x) a()x ~ a1()x , b ~ b1 Þ lim = lim x®x0 x®x0 x®x0 b ()x x®x0 b1()x Tìm lim: Cóthể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG) Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU) ln(1+ 2tg2 x) ln(cos3x) VD: Tìm 1/ lim 2 / lim x®0 xsin x x®0 (e2x -1)sin x x æ x2 + 2x - 3ö x cóthể ® x0 bất kỳ. VD: Tìm lim ç 2 ÷ x®¥ è x - x +1 ø sin x - tgx a ~b & a1 ~ b1 khi x ® x0 Þa±a1~ b±b1 VD : lim x®0 28x3
9. QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ a, b – VCB khác cấp Þa+ b tương đương VCB cấp thấp hơn Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: a(x), b(x) –tổng VCB khác cấp Þ lim a/b = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu) ln(cosx)+ 2x3 sin( x + 2 - 2)+ x2 + 3tg2x VD: lim lim x®0 ln(1+ x2 ) x®0 sin3 x + 2x Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & Sº0 a ïì f ~ lx , x ® a éa ¹ b Þ f + g ~ lxa + mxb iff í b ê îïg ~ mx , x ® a ëa = b & l + m ¹ 0 sin x ± x é 1 ln(1+ x)ù 1/ lim 2 / lim x + x + x - x lim - ( ) ê 292 ú x®0 x x®+¥ x®0 ëx(1+ x) x û
9. VÔ CÙNG LỚN –SO SÁNH VCL-NGẮT BỎ VCL Hàm y = f(x) –vô cùng lớn (VCL) khi x ® x0 : lim f (x) = ¥ x®x0 So sánh VCL: f(x), g(x) –VCL khi x ® x0 và $ giới hạn f/g c ¹ 0, ¥: f(x), g(x) –VCL cùng cấp f (x) lim = c c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g x®x0 g(x) c = ¥: f –VCL cấp cao hơn g. Viết: f >> g 2 2 x a VD: 3x - 4x +1 ~ 3x a >> x >> logb x (a >1, a > 0) x®¥ x®¥ x®¥ Ø Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất Ø Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính30 lim
9. KẾT LUẬN Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé(chẳng hạn dạng 0/0 ): v Dạng tích (thương) Þ Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn f (x)g(x) f1(x)g1(x) lim = lim với f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) x®x x®x 0 h()x 0 h1()x v Dạng tổng VCB khác cấp Þ Thay bằng VCB cấp thấp 1 v Dạng tổng VCB tổng quát Sfi(x) Þ Thay mỗi fi(x) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa: ai ai fi (x) ~ Ci x & åCi x º 0 Giới hạn chứa Vô Cùng Bé(dạng ¥/¥ ): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nh31 ất
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 3: HÀM SỐ -HÀM SƠ CẤP – TÍNH LIÊN TỤC TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG 1- KHÁI NIỆM HÀM SỐ. CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ 2- HÀM SỐ NGƯỢC 3- HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 4- HÀM HYPERBOLIC 5- LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM. LIÊN TỤC 1 PHÍA 6- PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN 7- HÀM LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN. ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH 2
HÀM SỐ Đại lượng A biến thiên phụ thuộc đại lượng B: Tương · Đời sống: Tiền điện theo số kwh tiêu thụ, giá quan vàng trong nước theo thế giới hàm số • Kỹ thuật: Tọa độ chất điểm theo thời gian X Ì R Hàm số y = f(x): X Ì R ® Y Ì R: Y Ì R Quy luật tương ứng x Î X ® y Î Y. Biến số x, giátrị y. Tương quan hàm số: 1 giátrị x cho ra 1 giátrị y Miền xác định Df . Miền giátrị Imf: {y=f(x), xÎDf}. VD y=sinx3
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ Bốn cách cơ bản xác định hàm số: Mô tả (đơn giản) -Biểu thức (thông dụng) –Bảng giátrị (thực tế) – Đồ thị (kỹ thuật) v Mô tả: Đơn giản, dễ phát hiện tương quan hàm số VD: Phígửi thư bưu điện đi châu Âu phụ thuộc vào trọng lượng v Bảng giátrị: Thực tế, rõ ràng, thích hợp các hàm ít giátrị VD: Bảng cước phígửi thư bằng bưu điện đi châu Âu Trọng lượng ≤ 20 gr 20 –40 gr 40 –60 gr Giátiền 18.000 đ 30.000 đ 42.000 đ 4
XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA ĐỒ THỊ v Dạng đồ thị: Trực quan. VD: Lượng CO2 trong không khí 5
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ: BIỂU THỨC Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x) VD: y = x2, hàm sơ cấp cơ bản ìx = x(t) Dạng tham số í : 1 t ® 1 (x, y) îy = y()t Biểu thức: VD: x = 1 + t, y = 1 –t ® Đ/ thẳng VD: x = acost, y = asint ® Đường tròn Dạng ẩn F(x, y) = 0 Þ y = f(x) x2 y 2 VD: Đtròn x2 + y2 –4 = 0, + -1 = 0 16 9 6
HÀM SỐ NGƯỢC Hàm số y = f(x): X ® Y thoả tchất: " y Î Y, $! x Î X sao cho y = f(x) Þ f: song ánh (tương ứng một–một) f–song ánh Û Phương trình f(x) = y (*) cónghiệm x duy nhất y = f (x) Û x = f -1(y) " y ÎY : bieåu thöùc haøm ngöôïc : f -1 :Y ® X Tìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x) Þ Biểu thức hàm ngược x = f-1(y) VD: y = f(x) = 2x + 1 Þ f–1 = ? Chúý: Cẩn thận chọn X & Y VD: Tìm miền xác định vàmiền giátrị để trên đócác hàm số sau cóhàm ngược vàchỉ ra các hàm ngược đóy = ex, y = x2 + 71
HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC y = sinx: song ánh từ ??? ® ??? Þ Hàm ngược y = arcsinx từ ??? ® ??? p p x Î é- , ù, y Î[-1,1]: sin x = y Û x = arcsin y ëê 2 2 ûú é p p ù y = arcsinx: D = [–1, 1], y Î - , :arcsina = b Û sin b = a ëê 2 2 ûú VD: Tính a = arcsin(1/2): Dùng phím sin-1 trên máy tính bỏ túi y = cosx Þ arccosx; y = tgx Þ arctgx; y = cotgx Þ arcotgx dx dx Áp dụng: Tính các tích phân bất định a / b / 8 ò 1- x2 ò1+ x2
HÀM HYPERBOLIC Chi tiết hàm hyperbolic: Xem Sách Giáo Khoa ex - e-x Hàm sin hyperbolic: sinh x = shx = 2 ex + e-x Hàm cos hyperbolic: cosh x = chx = > 0 " x Î R 2 shx ex - e-x Hàm tang hyperbolic: tanh x = thx = = chx ex + e-x chx 1 Hàm cotang hyperbolic: cotanhx = cothx = = shx thx Công thức với hàm hyperbolic: Như công thức lượng giác, nhưng thay cosx ® chx, sinx ® ishx (i: sốảo, i2 = –1)! 9
BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC Công thức lượng giác Công thức Hyperbolic sin 2 x + cos2 x = 1 ch 2 x - sh 2 x = 1 cos(x ± y) = cos x cos y m sin x sin y ch(x ± y) = chxchy ± shxshy sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x sh(x ± y) = shxchy ± shychx cos(2x) = 2cos 2 x -1 = 1- 2sin 2 x ch(2x) = 2ch 2 x -1 = 1+ 2sh 2 x sin(2x) = 2sin x cos x sh(2x) = 2shxchx x + y x - y x + y x - y cos x + cos y = 2cos cos chx + chy = 2ch ch 2 2 2 2 x + y x - y x + y x - y cos x - cos y = -2sin sin chx - chy = 2sh sh 2 2 2 2 dx VD: Tính tích phân 10 ò 1+ x2
HÀM HYPERBOLIC TRONG KỸ THUẬT Thiết kế hình dáng vòm, cáp treo, điều khiển robot 11
HÀM LIÊN TỤC Hàm f(x) liên tục tại x0: Hàm liên tục/[a, b] Û (C): đường liền Ø f(x) xác định tại x0 Gián đoạn! Ø lim f (x) = f (x0 ) x®x0 Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục Û xác định VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số: tgx + x2 -1 sin x ìx, x < 1 : Không a / y = 2 b / y = c / f (x) = í x +1 x î1- x, x ³ 1 sơ cấp! ïìsin x , x ¹ 0 VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0: y = í x îïa , x = 0 12
LIÊN TỤC MỘT PHÍA Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt Þ Khảo sát f(x) liên tục trái tại x0 khi xác định tại x0 và lim f (x) = f (x0 ) x®x0 - 142 43 f (x0 -) f(x) liên tục phải tại x0 khi xác định tại x0 và lim f (x) = f (x0 ) x®x0 + 142 43 f (x0 + ) Hàm f(x) liên tục tại x0 Û Liên tục trái & liên tục phải tại x0 ì 1 1 , x ¹ 1 ï x VD: Khảo sát tính liên tục: f (x) = í1+ e x-1 Chúý: lim a = ? ï x®¥ î1, x = 1 13
PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN Hàm f xác định & gián đoạn tại x0 Û Không có lim f (x) = f (x0 ) x®x0 Hoặc $ lim f ¹ f(x0), hoặc lim– ¹ lim+, hoặc $ lim f: 3 trường hợp! Loại 1: § Điểm khử được: $ lim f (x) ¹ f (x0 ) x®x0 § Điểm nhảy: lim f (x) ¹ lim f (x) x®x0 - x®x0 + f(x) gián Bước nhảy: lim f (x)- lim f (x) x®x0 + x®x0 - đoạn tại x0 Loại 2: $ lim f (x) hoaëc $ lim f (x) x®x0 - x®x0 + (Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía)14
VÍDỤ Điểm x0 = 0 cóphải điểm gián đoạn? Hãy phân loại ìsin x ï , x ¹ 0 f ()x = í x îïa , x = 0 15
VÍDỤ Điểm x0 = 0 cóphải điểm gián đoạn? Hãy phân loại ìsin x ï , x ¹ 0 f ()x = í x ï î1 , x = 0 16
VÍDỤ Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a ì 1 ïsin , x ¹ 0 f ()x = í x f (0) = a îïa , x = 0 f (0) = a 17
TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN f bị chặn trên [a, b]: $ m, M f đạt GTLN, BN trên [a, b]: & m £ f(x) £ M " x Î [a, b] $ x0, x1 Î [a, b]: f(x0) = m, Chúý: Không Hàm y = f(x) liên thể thay đoạn tục trên đoạn [a, b] bằng khoảng! f nhận mọi giátrị trung gian: (Hay sử dụng) Định lý giá " k & GTBN £ k £ GTLN Þ trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) $ c Î [a, b]: f(c) = k < 0 Þ$c Î (a, b) : f(c) =18 0
VÍDỤ 2 1/ Tìm a, b để hàm số ì(x -1) , x ≤ 0 ï f liên tục sau liên tục trên R f ()x = íax + b , 0 < x < 1 ï tại 0 & 1 î x , x ³ 1 2/ Chứng minh phương trình sau cóít nhất 1 nghiệm âm x5 = 1- x f(x) liên tục trên (0, 3). Để pt f(x) = 0 cónghiệm trên (a, b): a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b)= (1, 2) a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên R: f2(x) = 1 " x Î R 2 b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục trên R: f (x) = 1 " x Î R 19
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 4: ĐẠO HÀM & VI PHÂN TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG 1- ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM 2- KỸ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM: HÀM SƠ CẤP – KHÔNG SƠ CẤP – LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 3- ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ –HÀM ẨN 4- ĐẠO HÀM CẤP CAO 5- VI PHÂN. QUY TẮC TÍNH VI PHÂN 6- VI PHÂN CẤP CAO 7- KHAI TRIỂN TAYLOR (MAC –LAURINT): VẮN TẮT VÀÁP DỤNG 2
1. ĐẠO HÀM f (x)- f (x0 ) Df f (x0 + Dx) - f (x0 ) f '(x0 ) = lim = lim = lim x®x Dx®0 Dx®0 0 x - x0 Dx Dx Ý nghĩa hình học: Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0)) Hàm có đạo hàm tại x0 Þ Liên tục tại x0. Ngược lại: SAI! 3
1. HÀM GHÉP, TRỊ TUYỆT: ĐẠO HÀM MỘT PHÍA f (x0 + Dx) - f (x0 ) Đạo hàm phải: f '(x0 +) = lim (i.e Dx > 0) Dx®0+ Dx f (x0 + Dx) - f (x0 ) Đạo hàm trái: f '(x0 -) = lim (i.e Dx 1 VD: f (x) = x , x0 = 0 4
1. KHI NÀO DÙNG ĐẠO HÀM 1 PHÍA? Đạo hàm hàm sơ cấp (xác định qua 1 biểu thức): bảng đạo hàm cơ bản + đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương, hợp Đạo hàm hàm không sơ cấp (≥ 2 biểu thức): định nghĩa & dùng đạo hàm trái, đạo hàm phải VD: Tìm a, b để hàm số ìax2 + bx +1, x ≥ 0 f ()x = í asin x + bcos x, x < 0 sau có đạo hàm tại x0 = 0 î Chúý: Nên kiểm tra trước điều kiện liên tục  2 1 x sin , x ≠ 0 VD: Tính đạo hàm tại x0 = 0 của hàm f (x) =  x 5 0 , x = 0
1. ĐẠO HÀM (BẰNG) VÔ CÙNG Đạo hàm vô cùng tại x0: f (x + Dx) - f (x ) lim 0 0 = ¥ Dx®0 Dx Hệ số góc tiếp tuyến = ¥: Tiếp tuyến thẳng đứng VD: f (x) = x, x0 = 0 Chúý: $ f’(x0) Û Giátrị f’(x0) hữu hạn & Đồ thị có t/tuyến. Đạo hàm vô cùng Þ Hàm số vẫn không có đạo hàm nhưng đồ thị lại cótiếp tuyến (thẳng đứng) –không cóhsgóc6!
2. TÍNH ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản: tự xem lại Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp (C)’= 0 (xa)’= axa–1 (ua)’= aua–1.u’ (1/x)’= –1/x2 (1/u)’= ( x)'=1 2 x ( u)' (sinx)’= cosx (sinu)’= (cosx)’= –sinx (cosu)’= (tgx)’= 1/cos2x = 1 + tg2x (tgu)’= (cotgx)’= –1/sin2x = (cotgu)’= (ex)’= ex, (ax)’= axlna (eu)’= 7 (lnx)’= 1/x, (logax) = 1/(xlna) (lnu)’=
2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương: tự xem lại (u ± v)'= u'±v' (Cu)'= Cu' (uv)'= u'v + v'u ' æu ö u'v - v'u (uvw)'= u'vw + uv'w + uvw' ç ÷ = è v ø v2 Đạo hàm hàm hợp: Quy tắc dây xích! y = f (u) , u = u(x) : y = f (u(x)) Þ y'x = y'u ×u'x : Xuaát hieän u'! VD: Cho y = f(x2). Tính các đạo hàm y’, y’’ x2 æ 1 ö y = f(x)g(x) Þ log (cơ số e) hoá2 vế. VD: y = ç1+ ÷ Þ y'= ? è x ø 8
2. ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC –HYPERBOLIC y = f(x) ® hàm ngược 1 ' 1 g'(y) = Þ (f-1()y) = 0 f'(x) f'()x x = g(y). Tại y0 = f(x0): 0 1 1 1 Gnhôù: (arcsin x)'= ; (arccos x)'= - ; (arctgx)'= 1- x2 1- x2 1+ x2 (arcsinx)’= 1 1- x2 (arcsinu)’= u' 1- u 2 (arccosx)’= -1 1- x2 (arccosu)’= - u' 1- u 2 2 2 (arctgx)’= 1 (1+ x ) (arctgu)’= u' (1+ u ) 2 2 (arccotgx)’= -1 (1+ x ) (arccotgu)’= - u' (1+ u ) (shx)’= chx (shu)’= u’. chu (chx)’= shx (chu)’= u’. shu 2 (thx)’= 1/ch2x = 1 –th2x (thu)’= u' cosh u 2 9 (cothx)’= –1/sh2x = 1 –coth2x (cothu)’= - u' sinh u
3. ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ Hàm theo tham số : x = x(t), y = y(t) Þ y = y(x) VD : Hàm biểu diễn đường cycloid x = a(t –sint), y = a(1 –cost) P/pháp: Đưa về đ/hàm theo t! y'(t) (y'x )t y'x = ; y''x = (y'x )'x = x'(t) x't sin t Đường cycloid y' = x 1- cost VD : Tham số hoá đường elip & viết p/trình tiếp tuyến: ìx = asin t y't (bcost)' í Þ y'x = = 10 îy = bcost x't (asin t)'
3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Hàm ẩn : F(x,y) = 0 " x Î [a, b] Þ y = y(x) " x Î [a, b] VD : Hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình y = 1 + xey Tính y’: Đạo hàm trực tiếp 2 vế theo x, chúý y = y(x) rồi giải phương trình ẩn y’ e y VD đang xét : y'x = 1- xe y VD : Đạo hàm y’(0) của hàm ẩn x3 + ln y - x2e y = 0 Þ y'(x) = y(0) = Þ y'(0) = 11
4. ĐẠO HÀM CẤP CAO Đhàm cấp 2: y’’(x) = [y’(x)]’ . ĐH cấp n: y(n)(x) = [y(n-1)(x)]’ n Ký hiệu: d y Một số đạo hàm cấp cao cơ bản: dxn (n) (n) (ex ) = ex (a x ) = a x lnn a (n) æ p ö (n) n æ p ö (sin x) = sinç x + n ÷ (sin(ax + b)) = a sinçax + b + n ÷ è 2 ø è 2 ø a (n ) n a -n [(ax + b) ] = a a(a -1)K(a - n +1)(ax + b) (-1)n-1an (n -1)! ln ax + b (n) = ( ( )) n (ax + b) 12
4. KỸ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO Phân tích hàm về dạng “tổng”các hàm đơn giản 1 VD: f (x) = VD: f (x) = sin2 x x2 -1 n ()n k (k) (n-k) Công thức Lebnitz: (uv) = åCn u v k=0 VD: f(x) = x2ex Tổng quát: f(x) = u.v, u – đa thức bậc m Þ Các đạo hàm u(k) = 0 " k > m Þ Tổng u(k)v(n –k) chỉ gồm vài thừa số: tính đơn giản! 13
5. VI PHÂN Hàm khả vi tại x0 ÛDy = ADx + o(Dx), Dx ® 0 : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo Dx vàvô cùng bébậc cao của Dx y (C): y = f (x) Vi phân: dy = ADx = f’(x)dx f (x0 + Dx) Ứng dụng: Tính gần đúng Dy f(x) = f(x0 + Dx). Chúý Dy » f (x0 ) dy » f(x ) Dx Þ Dx 0 f '(x0 )Dx x f (x0 + Dx) » f (x0 )+ f '(x0 )Dx O 0 x0 + Dx x VD: Tính gần đúng các giátrị sau vàso sánh vơi kết quả trên 0.01 may tính bỏ túi a/ e b/ cos29° 14
5. QUY TẮC TÍNH VI PHÂN 1/ Vi phân hằng số : dC = 0 2/ Mang hằng số ra ngoài dấu vi phân : d(Cy) = Cdy 3/ Vi phân tổng, hiệu, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u - v) = du - dv æu ö vdu - udv d(uv) = udv + vdu dç ÷ = è v ø v2 4/ Tính bất biến của vi phân cấp 1: dy = y’dx dùy = f(x) hoặc y (hàm hợp) = f(u) = f(u(u(x)) 5/ Vi phân cấp cao không bất biến: Tính vi phân cấp 2 của y = f(x) hoặc y = f(u(u(x)): Khác nhau! 15
6. VI PHÂN CẤP CAO Vi phân cấp 2: x –biến độc lập Þ xem dx: hằng số y = f (x) Þ d 2 y = d( f (x)dx) = f ''(x)dx2 Þ d n y = f (n) (x)dxn 2x VD: y = arctgx, tính d2y ĐS: d 2 y dx2 = - 2 (1+ x2 ) Vi phân cấp 2: x –hàm theo t Þ dx biến thiên Þ d2y ¹ y’’dx2 dy = y'dx Þ d 2 y = d(dy) = d(y'dx) = y''dx2 + y'd 2x sin t VD: y = arctgx, x = sint. Tính d2y ĐS: d 2 y = y''dx2 - dt 2 1+ x2 16
7. KHAI TRIỂN TAYLOR (VẮN TẮT) Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x0 Þ f(x) » f(x0) + f’(x0)(x –x0) Công thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 trên (a,b); x0 , xÎ(a, b) (n) f ''(x ) 2 f (x ) n f = f (x )+ f '(x )(x - x ) + 0 (x - x ) + + 0 (x - x ) + ? 0 0 0 2! 0 n! 0 n (k ) (n+1) f (x0 ) k f (c) n+1 Þ f ()x = å (x - x0 ) + (x - x0 ) , c Î(x0 , x) k =0 k! (n +1)! 144424443 Rn ()x : Phần dư Lagrange CT Taylor (phần dư Peano): f có đạo hàm đến cấp n trên (a,b) n (k ) f (x0 ) k n f (x) = å (x - x0 ) + o((x - x0 ) ), x ® x0 k=0 k! 17
7. KHAI TRIỂN MAC –LAURINT (VẮN TẮT) x0 = 0: Khai triển Mac –Laurint (phổ biến) (n) n (k ) f (0) n f (0) k f (x) = f ()0 + f '()0 x +K+ x + Rn ()x = å x + Rn (x) n! k =0 k! f (n+1) (c) Phần dư Lagrange: R (x) = xn+1 , c = c()x Î(0, x) n (n +1)! n+1 Phần dư Peano: Rn (x) = o(x ), x ® 0 VD: Khai triển Mac –Laurint của hàm a/ ex b/ cosx x2 xn ex =1+ x + + + + o(xn+1 ), x ® 0 2! L n! Kết quả: x2 x4 x2n cos x =1- + - + (-1)n + o(x2n+1 ), x ® 0 2! 4! L (2n)! 18
7. MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC –LAURINT Minh hoạ hình học khai triển Mac -Laurint hàm f(x) = sinx p1(x) = x x3 p (x) = x - 2 6 x3 x5 p (x) = x - + 3 6 120 Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần về đồ thị hàm được khai triển 19
7. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN MAC –LAURINT Ø Viết hàm về dạng tổng, hiệu, tích, thương, hơp hàm sơ cấp Ø Khai triển lần lượt vàcắt đến luỹ thừa được yêu cầu VD: Khai triển Mac -Laurint hàm y = cos(sinx) đến cấp 4 3 3 é x 4 ù 1 é x 4 ù Giải: cos(sin x) = cosêx - + o(x )ú =1- êx - + o(x )ú +K ë 6 û 2 ë 6 û x VD: Khai triển Taylor hàm y = e quanh x0 = 1 đến cấp 3 20
7. ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB 3 3 é x 4 ù x x - êx - + o(x )ú + o(x4 ) x - sin x ë 6 û 6 VD: Tính lim = lim 3 = lim 3 x®0 x3 x®0 x x®0 x sin 3x + 4sin3 x - 3ln(1+ x) sin 3x - 3ln(1+ x) VD: Tìm lim = lim 2 x®0 (ex -1)sin x x®0 x é 1 ln(1+ x)ù x - (1+ x)ln(1+ x) VD: Tìm lim - = lim ê 2 ú 2 x®0 ëx(1+ x) x û x®0 x (1+ x) éx - ln(1+ x) x ln(1+ x)ù = lim - x®0 ê x2 (1+ x) x2 (1+ x) ú é 2 æ 1 öù ë û (SGK/80) lim êx - x lnç1+ ÷ú x®¥ë è xøû 21
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 5: KHAI TRIỂN TAYLOR & MACLAURINT TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG 1- BA ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH 2- CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR 3- CÔNG THỨC KHAI TRIỂN MAC -LAURINT 4- PHƯƠNG PHÁP TÌM KHAI TRIỂN MAC -LAURINT 5- PHƯƠNG PHÁP TÌM KHAI TRIỂN TAYLOR 6- ÁP DỤNG: TÌM GIỚI HẠN & TÍNH GẦN ĐÚNG 7- QUY TẮC LOPITAN (L’HOSPITAL) 2
CCáácc đđịịnhnh lýlý ttrrungung bbììnhnh vvàà qquyuy ttắắcc LL’’HoHoppiitaltal HHààmm ff(x(x)) ĐĐạạoo hhààmm ff /(x)(x) ĐĐịịnhnh lýlý ttrrungung bbììnhnh 3
1. CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH Cựctrị tạix0: $e> 0 : " x Î (x0 – e, x0 + e) Þ f(x) £ f(x0) Fermat: f đạt cựctrị tạix0 Î (a,b) & khả vi tạix0 Þf’(x0) = 0 Minhhoạ hìnhhọc: Ý nghĩa: TìmGT lớn(bé) nhấtcủay = f(x) trên[a, b]: Ø Xétgiátrị 2 đầux = a, b Ø Xéttạix0Î(a,b): f’(x0) = 0 “Quên”2 đầu: Vídụ: y = x, x Î [0, 1] ®$min, max?4
1. ĐỊNH LÝ ROLLE Hàmf(x) liêntụctrên[a,b], khả vi trong(a, b), f(a) = f(b) Þ$x0Î(a, b): f’(x0) = 0 Minhhoạ hìnhhọc: VD: Chứng minh phươngtrình4ax3 + 3bx2 + 2cx –(a + b + c) = 0 cóítnhất1 nghiệm thực trong khoảng(0, 1) Giải: Xéthàmphụ 5
1. ĐỊNH LÝ LAGRANGE Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) Þ$c Î (a, b): f(b) –f(a) = f’(c)(b–a) Ápdụng: Khảosát tính đơn điệucủa hàmy = f(x) bằng đạohàm VD: CMinhBĐThức arctgx - arctgy £ x - y 6
HHààmm ĐĐạạoo hhààmm 7
8 qq nnằằmm gigiữữaa xx vvàà xx0
»» NNếếuu bbỏỏ phphầầnn ddưư ththìì ccóó ththểể ccoioi hhààmm ff((xx)) ttrroongng mimiềềnn đđủủ ggầầnn xx0 nhnhưư llàà mmộộtt đđaa ththứứcc bbậậcc nn tthheoeo ((xx xx0)) 10
ChChúú ýý :: CCóó ththểể viviếếtt ww «« xx 14
x f (x) = e 00 f (0) =1 ex 11 f '(0) =1 x e 22 f ''(0) =1 x e nn f (n)(0) =1 f '(0) f ''(0) f (n)(0) f (x) = f (0)+ x + x2 + xn + R 1! 2! n! 15
f (x) = sin x 00 f (0) = 0 cos x 11 f '(0) =1 - sin x 22 f ''(0) = 0 - cos x 33 f '''(0) =-1 sin x 44 f ''''(0) =0 f '(0) f ''(0) f '''(0) f ''''(0) f (x) = f (0)+ x + x2 + x3 + x4 + 1! 2! 3! 4! 16
f (x) = cos x 00 f (0) =1 - sin x 11 f '(0) = 0 - cos x 22 f ''(0) = -1 sin x 33 f '''(0) =0 cos x 44 f ''''(0) =1 f '(0) f ''(0) f '''(0) f ''''(0) f (x) = f (0)+ x + x2 + x3 + x4 + 1! 2! 3! 4! 17
SƠ KẾT: KHAI TRIỂN MAC –LAURINT HÀM CƠ BẢN Hàmlượnggiác: sinx, cosx. Hàmtgx(chỉđếncấpba) x3 x5 (-1)n-1 x2n-1 sin x = x - + + + + o(x2n ), x ® 0 3! 5! L (2n -1)! x2 x4 (-1)n x2n cos x =1- + + + + o(x2n+1), x ® 0 2! 4! L (2n)! x3 tgx = x + + o(x4 ), x ® 0 3 Từ khaitriểnex, táchmũchẵn, lẻ & đandấu. coschẵn ® mũ chẵn; sin lẻ ® mũ lẻ; tglẻ®mũlẻ. K0 đandấu®shx, chx 18
SƠ KẾT: KHAI TRIỂN MAC –LAURINT HÀM CƠ BẢN Nhómhàmluỹ thừa+ ln(1 + x) + arctgx a a(a -1) a (a - n +1) (1+ x) =1+ax + x2 + + L xn + o(xn ) 2! L n! 1 1 n =1+ x + + xn + o(xn ), =1- x + x2 + + (-1) xn + o(xn ) 1- x L 1+ x L x2 x3 (-1)n-1 ln(1+ x) = x - + + + xn + o(xn+1 ) 2 3 L n x3 x5 (-1)n-1 arctgx = x - + + + x2n-1 + o(x2n ) 3 5 L 2n -1 19
BẢNG KHAI TRIỂN MAC –LAURINT HÀM CƠ BẢN KhaitriểnMac –Laurinthàmcơbản Phầndư n c n+1 x 2 n k e x e =1+ x + x 2!+K+ x n!+ Rn = å x k!+ Rn k =0 (n +1)! 2 4 n 2n cos x =1- x 2!+ x 4!-K+ (-1) x (2n)!+ Rn 3 5 n 2n+1 sinx= x - x 3!+ x 5!-K+ (-1) x (2n +1)!+ Rn 2 4 2n coshx= 1+ x 2!+ x 4!+K+ x (2n)!+ Rn 3 5 2n+1 sinhx=x + x 3!+ x 5!+K+ x (2n +1)!+ Rn 2 3 n 1/(1 –x) = 1+ x + x + x +K+ x + Rn 2 3 n n 1/(1 + x) = 1- x + x - x +K+ (-1) x + Rn 2 3 n-1 n ln(1 + x) = x - x 2 + x 3+K+ (-1) x n + Rn 3 5 n 2n+1 arctgx=x - x 3+ x 5 +K+ (-1) x (2n +1)+ Rn a 2 a n (1 + x) = 1+ax + (a(a -1) 2!)x +K+ Cn x + Rn 20
x w = 3 x = 0,w = 0 24
ChChúú ýý :: w = 2 + x x = 0,w = 2 25
x = 0,w = 0 - 2x w = 3 w2 w3 ln3 + w - + + 2 3 26
bbậậcc 44 tthheoeo xx «« bbậậcc 22 tthheoeo ww 27
w = x3 29
w t = 2 w = 0,t = 0 35
aa=1=1/3/3 36
6. ÁP DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR TÍNH GẦN ĐÚNG Tínhgầnđúng& ướclượngsaisố: phầndưLagrange n ()k f (n+1) c f (x0 ) k ( ) n+1 f (x) » å (x - x0 ) , D = Rn = x - x0 , c Î(x0 , x) k=0 k! (n +1)! VD: Tínhgầnđúnggiátrị số e với độ chínhxác10-4 1 1 1 ec 3 Giải: e =1+ + + + + , c Î(0,1) Þ e » S, D £ 1! 2! Kn! (n +1)! (n +1)! 1424434 S Tươngtự: Cầnchọnbaonhiêusốhạngtrongkhaitriển hàmy = ex để cóthể xấpxỉe với độ chínhxác10-4 VD: Gócx nàochophépxấpxỉsinx » x với độ chínhxác10-4 40
7. QUY TẮC LÔPITAN (L’HOSPITAL) f, g khả vi tronglâncậnb (b ≤∞) f (x) f '(x) x→b, limf(x)/g(x): 0/0 hoặc ∞/ ∞ lim = lim x®b g(x) x®b g'(x) f '(x) $ lim x®b g'(x) Chúý 1: Phảitồntạigiớihạn Chúý 2: DùngVCB tương đương đểđơngiảnhoábiểuthức x - sin x VD: ÁpdụngquytắcLôpitantínhgiớihạn: lim ? x®¥ x + sin x é 1 1 ù x2 - sin 2 x VD: Tính lim - = lim x®0 ëêsin 2 x x2 ûú x®0 x2 sin 2 x 14243 41 x4
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 6: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG 1- Khảo sát hàm số y = f(x). Đồ thị vài dạng y = f(x) cơ bản 2- Đồ thị hàm tham số 3- Đồ thị tọa độ cực 2
ĐĐứứngng NNgagangng XXiêniên TThuhu ngngắắnn kkhohoảảnngg khkhảảoo ssáátt ththeeoo bibiếếnn xx 3
HHààmm chchẵẵnn :: ĐĐồồ ththịị đđốốii xxứứngng qquuaa OyOy HHààmm llẻẻ :: ĐĐồồ ththịị đđốốii xxứứngng qquuaa ggốốcc OO HHààmm tutuầầnn hohoàànn :: ĐĐồồ ththịị đưđượợcc ddịịcchh cchuyhuyểểnn mmộộtt đđooạạnn ccóó đđộộ ddààii TT tthheeoo trtrụụcc OxOx 4
xx 0 5
- + = 0 x =1 1 9
0 2 10
1 11 11
-1 0 12
3/4 13
æ1- ln x ö y'(x) = x1/ xç ÷ è x2 ø e 14
TTieieäämm cacaäänn hahaøømm sosoáá :: ÑÑöùöùnngg :: x ® a y ® ±¥ xx==aa NNggaanngg :: x ® ±¥ y ® a yy==aa XXiieeânân :: x ® ±¥ y ® ±¥ y yy==axax+b+b ® a y - ax ® b x aa,,bb hhữữuu hhạạnn 16
c)c) d)d) e)e) 17
KKhônghông ccóó titiệệmm ccậậnn đđứứngng vvàà khôngkhông ccóó titiệệmm ccậậnn xxiiênên 19
c)c) d)d) e)e) 20
GiGiáá trtrịị llớớnn nhnhấấtt vvàà nhnhỏỏ nhnhấấtt ccủủaa hhààmm ttrêrênn ttậậpp đđóónngg [a[a,b],b] 27
x = -2, x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 28
MMộộtt ssốố đđồồ ththịị hhààmm ccơơ bbảảnn :: ĐưĐườờnngg ththẳẳnngg :: yy==axax++bb ,, aaxx++bbyy+c=0+c=0 ĐưĐườờnngg ppaarraabbooll :: yy==axax2++bbxx+c+c ĐưĐườờnngg hhyyppererbbooll :: yy==11/x/x ĐưĐườờnngg ttrròònn :: (x(x a)a)2++(y(y b)b)2=R=R2 ĐưĐườờnngg eellillippssee :: (x(x//a)a)2+(+(yy//b)b)2=1=1 30
1 1/2 32
3 -2 33
x = y2 38
y = x x = y2 , y > 0 39
3 4 2 1 43
1 ex ln(x) 1 45
1 y = x - 1 46
1 y = x - 1 →→ 56
KKhohoảảnngg ttăănngg gigiảảmm ccủủaa xx,,yy tthheeoo bibiếếnn tt CCựựcc trtrịị KKhohoảảnngg llồồii llõmõm ccủủaa yy tthheeoo bibiếếnn xx 66
*)*) BBảảngng bibiếếnn tthhiiêênn :: 68
Chækhaûo saùt trong khoaûng t : 0 →270p
ĐĐồồ ththịị hhààmm tthheeoo tthhaamm ssốố ccơơ bbảảnn :: t : 0 ®2p RR 71
a x=OM-HM= = AM-HM= AA KK a = AM-AK= t = atat aassiintnt OO HH M y= AH=MK=aa aaccoostst 73
Chækhaûo saùt trong khoaûng t : 0 →274p
KKếếtt hhợợpp vvớớii ttíínhnh chchấấtt xx((tt)) llẻẻ ,, yy((tt)) chchẵẵnn ĐĐồồ ththịị đđốốii xxứứngng ququaa trtrụụcc OyOy KhKhảảoo ssáátt ttrronongg kkhohoảảngng [0[0,2,2pp]] hohoặặcc [[ pp ,, pp]] ChChỉỉ kkhhảảoo ssáátt ttrroonngg khokhoảảnngg [0[0 ,, pp]] 75
LLồồii 76
a(1a(1 ccoosst)t) aassiintnt 77
t = -3p ®-p t = p ®3p t = -p ®+p 78
MINH HỌA ĐỘNG CYCLOID Cycloid: Chuyển động riêng của 1 điểm trên bánh xe lăn không trượt theo đường thẳng (VD: Đầu nối tay thắng của bánh xe lửa lăn trên đường ray) 79
TỌA ĐỘ CỰC Tọa độ cực M(r, j): r ³ 0 –khoảng cách từ gốc O đến M; góc j -góc định hướng quay theo chiều dương từ trục Ox đến tia OM (Tương tự dạng lượng giác của số phức) y ìOM = r í r îj = (Ox,OM ). Quy öôùc :j Î[0,2p ] φ ìx = r cosj ìr = x2 + y 2 x í Û í Chọn j: sinj cùng dấu y îy = r sinj îtgj = y x æ 1 3 ö VD : M ç , - ÷ VD: a/ N(1, 1) b/ P(0, 2) c/ Q(–1, 0) è 2 2 ø 80
ĐƯỜNG CONG TRONG TỌA ĐỘ CỰC P/trình đường cong trong tọa độ cực : F(r, j) = 0 Û r = r(j) 2 2 2 VD: Đường tròn x + y = a r = a Tọa độ cực: r = a, 0 2 Û ≤j£ p j VD: x2 + y2 = 2ax r = 2a cosj Û Tọa độ cực r = 2acosj, -p/2 £j£p/2 Ø Miền xác định, tuần hoàn, đối xứng: giảm miền khảo sát Ø Đạo hàm Þ Bảng biến thiên Ø Tiệm cận: Đứng, Ngang, Xiên Ø Nối điểm đặc biệt Þ Đồ thị 81
THU GỌN MIỀN KHẢO SÁT r = r(j) Tọa độ cực: Miền xác định: Giải r ³ 0 ÞjÎD Í [0, 2p]. Hoặc chọn jÎD Í [–p, p]: Khai thác tính đối xứng (C) r(j)tuần hoàn chu kỳ T (r(j + T)= T r(j)): vẽ đoạn [0, T] (hoặc đoạn [–T/2, T/2]) rồi quay tâm O, góc T r(j) r(j)chẵntheo jÞ Đồthị (tọa độ cực j thường lẫn mở rộng) trên [–T/2, T/2] -j đối xứng qua Ox Þ Chỉ vẽ [0, T/2] r(-j) 82
VÍDỤ–HOA HỒNG 2 CÁNH Vẽ r = acos(2j) trong tọa độ cực 83
HOA HỒNG 3 CÁNH Vẽ r = asin(3j) trong tọa độ cực 84
HOA HỒNG NHIỀU CÁNH r = sin(6j) & r = cos(6j) trên cùng 1 hệ trục tọa độ: 2 hoa hồng 12 cánh lệch nhau 85
HOA HỒNG NHIỀU CÁNH THAY ĐỔI ĐỘ DÀI CÁNH r = acos(6j), giá trị a thay đổi ® Độ lớn cánh biến thiên 86
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK BGĐT –TOÁN 1 BÀI 7: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH –XÁC ĐỊNH –SUY RỘNG TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG 1- NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2- TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ 3- TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ 4- TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 5- T/PHÂN X/ĐỊNH. Đ/HÀM T/PHÂN THEO CẬN TRÊN 6- TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 & LOẠI 2 7- TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1, 2. HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI 2
1. NGUYÊN HÀM Tích phân bất định: ò f (x)dx = F(x) + C Û F'(x) = f (x) Bảng nguyên hàm cơ bản : Bổ sung hàm lượng giác ngược Hàm số Cơ bản Tổng quát dx dx 1 x Lượng giác = arctgx + C = arctg + C ngược ò x2 +1 ò x2 + a2 a a dx dx x = arcsin x + C = arcsin + C ò 1- x2 ò a2 - x2 a Hyperbolic òsinh xdx = cosh x + C ò cosh xdx = sinh x + C dx dx = tanh x + C = -coth x + C ò cosh2 x ò sinh 2 x 3
1. KỸ NĂNG CƠ BẢN Ø Phương pháp : Biến đổi về tổng Ø Kỹ năng : Đổi biến 1 –2 ØKỹ năng : Đổi biến 1 –2 ò f (u(x)u'(x)dx = ò f (u)du Ø Đổi biến 2: Phát hiện x(t) ò f (x)dx = ò f (x(t))x'(t)dt Ø Tích phân từng phần: v = Phần khótìm nguyên hàm Ø Tích phân hàm hữu tỷ P(x) é A B B Cx + D ù dx = 1 + + 1 + 2 + + ò ò ê K 2 K 2 ú Q(x) ëx -a1 (x - b1) (x - b1) x + px + qû Ø Tích phân hàm vô tỷ (căn thức) + Lượng giác 4
2. PHÂN THỨC HỮU TỶ. BẬC TỬ ≥ BẬC MẪU Phân thức hữu tỷ: P(x)/Q(x), P và Q: đa thức. Phân thức hữu tỷ thực sự: Bậc P(x) < Bậc Q(x). Bậc P(x) ≥ Bậc Q(x): Chia P(x) cho Q(x) → đa thức thương số h(x), đa thức dư r(x) ⇒ P(x) = h(x)Q(x) + r(x) ⇒ P h(x)Q(x)+ r(x) r(x) = dx = h()x dx + dx , baäc r< baäc Q ò Q ò Q()x ò ò Q()x VD: Tính tích phân 3 3 2 x é 2 1 ù x x dx = x - x +1- dx = - + x - ln x +1 + C ò x +1 ò ëê x +1ûú 3 2 5
2. PHÂN THỨC HỮU TỶ. NGUYÊN TẮC TỔNG QUÁT 1/ Phân tích đa thức mẫu số Q thành tích (bậc 1 hoặc bậc 2) 2/ Phân tích P/Q ® tổng (thêm bớt, hoặc hệ số bất định) dx 1+ x4 - x4 1- x2 x VD: Tính a / = dx = dx + dx ò x3 + x5 ò x3 (1+ x2 ) ò x3 ò1+ x2 (x2 -1) é Ax + B Cx + D ù b / I = dx = + dx ò (x2 + 5x +1)(x2 - 3x +1) ò ëêx2 + 5x +1 x2 - 3x +1ûú 1 é 2x + 5 2x - 3 ù 1 é u' v'ù 1 x2 - 3x +1 = - + = - + = ln + C 8 ò ëê x2 + 5x +1 x2 - 3x +1ûú 8 ò ëê u v ûú 8 x2 + 5x +1 Đại số: Mọi đa thức hệ số thực bậc n luôn phân tích được thành tích các nhị thức bậc 1 vàtam thức bậc 2 có D < 0 6
2. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC P(X)/Q(X) ® TỔNG 1/ Giải Q(x) = 0 Þ Đưa Q(x) về tích bậc 1 & bậc 2 (D < 0) n n m1 m2 2 1 2 2 Q(x) = a(x -a1) (x -a 2) K(x + p1x + q1) (x + p2x + q2) K 14242 43414242 434 p1 -4q1<0 p2 -4q2 <0 2/ Phân tích P(x)/Q(x) thành tổng các phân thức cơ bản: A A A Bx+C B x+C 1 + 2 + + m1 + + 1 1 + 2 2 + 2 K m1 K 2 2 K x -a1 (x -a1 ) (x-a1 ) (x +p1x+q1 ) g1 ()x 144444424444443 1424 434 m1 thöøa soá g1()x 3/ Quy đồng mẫu số; Đồng nhất 2 vế; Giải hệ p/trình tìm Ak 1/ Tích ở mẫu số chứa bao nhiêu thừa số ® Tổng chứa bấy nhiêu 2/ Mẫu bậc 1® Tử: hằng số. Mẫu bậc 2 (lũy thừa k) ® Tử bậ7 c 1
2. TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC CƠ BẢN Bậc 1 / Bậc 2, mẫu số vô nghiệm: Thêm bớt tạo dạng u’/u mx + n m 2ax + b æ mb ö 1 = × + çn - ÷× ax2 + bx + c 2a ax2 + bx + c è 2a ø ax2 + bx + c Bậc 1 / (Bậc 2)n: Thêm bớt tạo u’/un & Đưa về C/(x2 + a2)n mx + n m 2ax + b æ mb ö 1 1 r = × r + çn - ÷× × r (ax2 + bx + c) 2a (ax2 + bx + c) è 2a ø a (x2 +a 2 ) 1 x 2n -1 1 Từng phần: I = + × I dx n+1 2 2 2 n 2 n I = 2na (x + a ) 2n a n ò (x2 + a2 )n Lượng giác hóa: x = atgt Þ I ® cos2n-2 t dt n ò 8
2. VÍDỤTÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Đưa các tích phân sau về phân thức hữu tỷ cơ bản (x + 2)2 (x + 2)2 A B C a. dx Þ = + + ò x(x -1)2 x(x -1)2 x x -1 (x -1)2 Þ (x + 2)2 = A(x -1)2 + Bx(x -1)+ Cx x = 0 Þ A = ; x = 1 Þ C dx 1 1 A B C Dx + E b. Þ = = + + + ò x5 - x2 x5 - x2 x2 (x -1)(x2 + x +1) x x2 x -1 x2 + x +1 dx 1 c. Þ = ???: Không thể phân tích (mẫu: ò 2 3 2 3 (x + x +1) (x + x +1) bất khả quy, tử: bậc ≤ 1)!!! 1 1 1 3 = = t = tgu Þ I = cos4 u 2 3 2 3 2 2 3 Kò (x + x +1) [(x +1 2) + 3 4] (t + a ) 2 9
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ- CĂN PHÂN THỨC BẬC 1 Tích phân chứa căn bậc n, trong căn chứa phân thức bậc 1 æ ax + b ö ax + b ò Rç x, n ÷ dx Þ t = n è cx + d ø cx + d Đặc biệt: Tích phân ò R(x, n ax + b)dx Þ t = n ax + b dx x +1 dx VD: I = ò = ò 3 × 3 (x -1)(x + 1)2 x -1 x +1 x +1 t3 +1 6t 2dt Giải: Đổi biến t = 3 Þ x = Þ dx = - 3 2 x -1 t -1 (t3 -1) æ ax + b ax + b ö ax + b s Tổng quát: ò Rç x, n , m L÷ dx Þ = t è cx + d cx + d ø cx + d 10
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – CĂN CỦA TAM THỨC Tích phân chứa căn bậc 2, trong căn chứa tam thức bậc hai ® Đưa về bình phương đúng k ± x2 & Sử dụng dx ò = ln(x + x2 + k )+ C x2 + k 1 k ò x2 + kdx = x x2 + k + ln(x + x2 + k )+ C 2 2 dx x ò = arcsin + C a2 - x2 a 1 a2 x ò a2 - x2dx = x a2 - x2 + arcsin + C 2 2 a 11
3. TÍCH PHÂN ĐA THỨC – CĂN CỦA TAM THỨC Pn (x) 2 dx ò dx = Qn-1(x) ax + bx + c + lò ax2 + bx + c ax2 + bx + c x3 - x +1 VD: ò dx = x2 + 2x + 2 dx (ax2 + bx + c) x2 + 2x + 2 + lò x2 + 2x + 2 dx 1 ò Đổi biến: x -a = (x -a )k ax2 + bx + c t dx 1 - dt t 2 VD: I = Đổi biến: x = Þ I = ò 2 t ò 1 2 2 x 2x - 2x +1 - +1 t t 2 t 12
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – CĂN CỦA TAM THỨC Căn tam thức ® Lượng giác hoá(hoặc hyperbolic hóa): ò R(x, a2 - x2 )dx Þ x = a sin t éx = atgt Þ a2 + x2 = a cost R(x, a2 + x2 )dx : ê ò 2 2 ëêx = a sinh t Þ a + x = a cosht éx = a cost Þ a2 + x2 = a tgt R(x, x2 - a2 )dx : ê ò 2 2 ëêx = a cosht Þ x - a = asinh t 1+ x2 ì1+ x2 = cosht VD: I = dx x = sinh t Þ Þ I = coth 2 tdt ? ò 2 í ò x îdx = coshtdt p p dt Quen thuộc hơn: x = tgt, t Îæ- , ö Þ I = ç ÷ ò 2 è 2 2 ø cost sin t 13
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ –PHÉP THẾ EULER Tính ò R(x, ax2 + bx + c)dx (Giới thiệu ý tưởng. Minh hoạ) a > 0 : ax2 + bx + c = t - ax D > 0 : ax2 + bx + c = a(x - l)(x - m) : ax2 + bx + c = t(x - l) dx VD: I = ò x2 + k dx t 2 -1 VD: I = ò x2 - x +1 = t - x Þ x = x + x2 - x +1 2t -1 14
4. HÀM LƯỢNG GIÁC –PHÂN THỨC HỮU TỶ Hàm hữu tỷ theo sinx, cosx: R(sinx, cosx) 1 sin3 x tg2x sin x + cos x VD: , , , 1+ sin x + cos x 2 + cos x 1+ sin3 x 3 cos2 x ìsin x = 2t (1+ t 2 ) ï x ï 2 2 ò R(sin x,cos x)dx :t = tg Þ ícos x = (1- t )(1+ t ) 2 ï 2 îïdx = 2dt (1+ t ) dx dx dx VD: ò ò ò 1+ sin x + cos x sin x cos x 15
4. LƯỢNG GIÁC –BẬC 1/BẬC 1 –KHAI THÁC u’/u Asin x + B cos x + C u Trường hợp riêng: = A'sin x + B'cos x + C' v u v' 1 Tách thành tổng: u = a + bv + lv' Þ = b + l +a v v v Vài dạng khác: òsina x cosb xdx òsinax cos bx dx Hạ bậc, biến tích ® tổng & phối hợp tính chẵn lẻ: R(- sin x,cos x) = -R(sin x,cos x) Þ t = cos x R(sin x,-cos x) = -R(sin x,cos x) Þ t = sin x R(- sin x,-cos x) = R(sin x,cos x) Þ t = tgx 16
5. Ý NGHĨA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Bài toán thực tế: Diện tích hình thang cong: y = f(x), x = a Diện tích hình thang cong » y = f (x) Tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ f (x )(x - x )+ f (x )D + 0 1 0 1 x1 K x x 14243 1 - 0 Dx0 Chia càng nhỏ càng tốt Þ x = a x0 x1 x2 x3 x = b Diện tích hình thang n-1 b lim (xk+1 -xk)(f ck)= f (x)dx max(Dx)®0 å ò k k=0 142 43 cong: lim tổng (Rieman) D a xk 17
5. KẾT QUẢ CƠ BẢN Lặp lại quy trình với nhiều bài toán: Thể tích vật thể tròn xoay, độ dài dây cung, công của lực biến thiên Þ Khái niệm tích phân xác định, định nghĩa bởi tổng Rieman của hàm f(x) trên đoạn [a, b]: n-1 n-1 b lim å f (xk )(xk +1 - xk ) = lim å f (xk )Dxk = f (x)dx max(Dxk )® 0 max( Dxk )® 0 ò k = 0 k = 0 a d éx ù x êò f (t)dtú = f (x) Þ ò f ()t dt = F()x + C , F : Nguyeân haøm dx ëa û a b b Tìm C Þ Công thức Newton –Lebnitz: f ()x dx = [F(x)]a ò 18 a
5. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Hàm f(x) xác định, bị chặn trên đoạn [a, b]. Phân hoạch: a = x0 < x1 < < xn = b ; xk Î[xk , xk+1]; d = max xk+1 - xk K k Tphân xđịnh: Giới hạn tổng Rieman khi d®0 " cách phân hoạch [a, b], " cách chọn điểm chia xk Î [xk, xk+1]: n-1 b lim å(xk+1 -xk )(f xk )=òf (x)dx d ®0 k=0 a Định lý: Hàm liên tục trên 1 đoạn thìkhả tích (Rieman) 2n-1 1 VD: lim å n®¥ k k=n 19
5. ĐỊNH LÝ GIÁTRỊ TRUNG BÌNH Bất đẳng thức tích phân: b b f (x) £ g(x) " x ∈[a,b] ⇒ ò f (x)dx ≤ ò g(x)dx a a Hay sử dụng: b m £ f (x) £ M " x Î[a,b] Þ m(b - a) £ ò f (x)dx £ M (b - a) a Định lý giátrị trung bình: Hàm f(x) liên tục trên [a, b] Þ b 1 b $x Î[a,b]: òf (x)dx =f (x )(b -a) Ûf ()x = òf (x)dx a b -a a 20
5. ĐẠO HÀM TÍCH PHÂN THEO CẬN TRÊN x Tích phân theo cận trên: S(x) = ò f (t)dt Þ S'(x) = f (x) a Tổng quát: Đạo hàm tích phân theo cận trên lẫn dưới v(x) G(x) = ò f (t)dt Þ G'(x) = f (v()x )×v'(x) - f (u()x )×u'(x) u(x) x x 2 ò cos(t 2 )dt ò (arctgt) dt VD: Tính giới hạn a / lim 0 b / lim 0 x®0 x x®+¥ x2 +1 21
5. VÀI CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN ĐẶC BIỆT a f(x): hàm lẻ ( f(–x) = –f(x) ) Þ ò f (x)dx = 0 -a a+T a f: hàm tuần hoàn (f(x+ T) = f(x) "x) Þ ò f (x)dx = ò f (x)dx a 0 2006p VD: Tính tích phân I = òsin(2006x + sin x)dx 0 p p p 2 2 Tích phân liên hợp x = - t Þ ò f (sin x)dx = ò f (cos x)dx 2 0 0 p 2 sina x VD: Tính I = dx ò a a 22 0 sin x + cos x
6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 f(x) xác định trên [a, ¥), khả tích trên mọi [a, b] Ì [a, ¥) ¥ b Điểm suy Tích phân suy rộng loại 1: ò f (x)dx = lim ò f (x)dx a b®¥ a rộng: ¥ Giới hạn tồn tại vàhữu hạn Û Tích phân suy rộng hội tụ ¥ b VD: dx dx b p = lim = lim[arctgx]0 = ò 2 b®¥ ò 2 b®¥ 01+ x 0 1+ x 2 ¥ VD: Tphân suy rộng ò cos x dx : Phân kỳ! 0 a b ® ¥ Khảo sát & tính tphân SR: Tính tphân XĐ & qua giới hạn 23
6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG TẠI -¥, TRÊN R ¥ ¥ Ký hiệu: F(¥) = lim F(x) Þ ò f (x)dx = [F(x)]a x®¥ a b b TP suy rộng trên (–¥, b] b ò f (x)dx = lim ò f (x)dx = [F(x)]-¥ ® Điểm suy rộng -¥ : -¥ a®-¥ a ¥ c ¥ c b TP suy rộng trên R: ò f (x)dx = ò f + ò f = lim ò f + lim ò f -¥ -¥ c a®-¥ a b®¥ a Chúý: TP suy rộng trên R, hai đầu ®±¥ độc lập với nhau! ¥ ¥ 2 ¥ a éx ù Hệ quả: ò f (x)dx ¹ lim [F(x)]-a VD: ò xdx = ê ú = 0 ??? a®¥ 2 -¥ -¥ ë û-¥ 24
6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Hàm f(x) xác định trên [a, b), không bị chặn trong lân cận b, khả tích trên mọi [a, c] Ì [a, b) ® Điểm suy rộng: b b c b- Tích phân suy rộng loại 2: ò f (x)dx = lim ò f (x)dx = [F(x)]a a c®b- a 1 c VD: dx dx 1- p = lim = lim[arcsinx]0 = ò 2 c®1- ò 2 c®1- 0 1- x 0 1- x 2 b c b c b Hai điểm suy rộng a, b: ò f = ò f + ò f = lim ò f + lim ò f a a c a®a+a b ®b- c 1 1 VD: dx VD: dx ò 2 ò 25 0 x(1- x) 0 (1- x)
7. KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA TP SUY RỘNG Chứng minh tích phân suy rộng tồn tại (hội tụ) bằng cách tính TP xác định & qua giới hạn: CỒNG KỀNH, PHỨC TẠP, KHÔNG THỰC TẾ ® Bài toán: Khảo sát sự hội tụ TPSR Rieman (hàm luỹ thừa) Tích phân suy rộng Rieman ¥ dx éa >1: hoäi tuï I = = loại 1 hội tụ Ûa> 1 ò a ê 1 x ëa £1: phaân kyø 1 dx 1 dx a dx b dx b dx Rieman loại 2: , ® , , ò ò 2 ò a ò a ò a 0 x 0 (1- x) 0 x a (b - x) a (x - a) Tích phân suy rộng Rieman loại 2 (3 dạng: miền lấy tích phân hữu hạn) hội tụ Ûa < 1. Đừng nhầm với Rieman 1! 26
7. HÀM KHÔNG ÂM –TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1 Hàm f xác định / [a, b), điểm suy rộng b & f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b) x F(x) = ò f (t)dt : Hàm↑⇒ $ lim F(x) Û F(x) £ M " x Î[a,b) a x®b- b Tphân suy rộng (hàm không âm) ò f (x)dx hội tụ Û bị chặn a f(x), g(x) ≥ 0 trên [a, b) ; f(x) ≤ g(x) trong lân cận ĐSRộng b b b b b a / ò g < ¥ Þ ò f < ¥ b / ò f = ¥ Þ ò g = ¥ a a a a ¥ 2 1 2 ¥ 2 VD: ò e-x dx = ò e-x dx + ò e-x dx :TP (1) thường; (2): suy rộng 0 0 1 27
7. TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2 f (x) f, g ≥ 0 trên [a, b) với lim = k Î(0,¥) Û f ()x ~ kg(x) x®b g(x) x®b b b Þ ò f (x)dx , ò g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ a a § k = 0 ⇒ f(x) ≤ g(x) (lân cận b) ⇒ Áp dụng Tchuẩn so sánh 1 § k = ∞⇒f(x) ≤ g(x) (lân cận b) ⇒ Áp dụng Tchuẩn so sánh 1 ¥ 1 1 VD: dx ln xdx dx ò 2 ò ò 3 2 x 1 x 1+ x 0 (x -1) 0 x(1- x )(e - 1- x) ¥ dx 3x : hoäi tuï Ñaàu 0 : lim x ln x = 0 x ® 0+ : ex - 1- x ~ ò 2 x®0+ 1 x 2 Trường hợp tổng quát, thường so sánh f với tphân Rieman!28
7. HÀM DẤU BẤT KỲ. HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI Hội tụ tuyệt đối: TPSR của | f | hội tụ Þ TPSR của f hội tụ ¥ cos x ¥ sin xdx VD: dx ò 3 2 ò 3 1 x 0 x(1+ x) ¥ cos x sin x ¥ ¥ sin x VD: dx = é ù + dx : hoäi tuï ò ê ú ò 2 1 x ë x û1 1 x ò |f(x)| dx phân kỳ (không hội tụ tuyệt đối) & ò f(x) dx hội tụ Þ Bán hội tụ ¥ cos x ¥ sin x VD: dx : hoäi tuï nhöng tphaân trò tuyeät dx : phaân kyø! ò ò 2 1 x 1 x 29
KẾT LUẬN Tính Tích phân suy rộng: Phải tìm nguyên hàm & Qua g/hạn Khảo sát sự hội tụ (phân kỳ) của TPSR: Kỹ năng chứng minh ØCận hữu hạn, hàm vô hạn: Loại 2; Cận ¥: Loại 1 (và2) ØHàm dưới dấu ò DƯƠNG: T/ch so sánh (dạng t/đương) C éb = ±¥ : x ® ±¥, f (x) ~ a Ø Điểm suy rộng b: ê x ê C êbÎ R : x ® b, f ()x ~ a ë b - x Hàm dưới dấu t/phân ĐỔI DẤU: Lấy trị tuyệt đối & đánh giá 30