›
›

Toán học - Chương 4: Tích phân hàm số một biến số

pdf 55 trang vanle 5130
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Chương 4: Tích phân hàm số một biến số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_hoc_chuong_4_tich_phan_ham_so_mot_bien_so.pdf

Nội dung text: Toán học - Chương 4: Tích phân hàm số một biến số

  1. Chương 4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
  2. 1 Tích phân bất định Định nghĩa Công thức cơ bản của tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân từng phần 2 Tích phân xác định 3 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Tích phân suy rộng loại 2 4 Ứng dụng trong kinh tế Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định 2
  3. Tích phân bất định Định nghĩa Định nghĩa Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng (a, b) nếu F0(x) = f(x), x (a, b) ∀ ∈ Định lý Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x). Hàm Φ(x) là nguyên hàm của f(x) nếu và chỉ nếu Φ(x) = F(x) + C, trong đó C là hằng số nào đó. Định nghĩa Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a, b). Khi đó biểu thức F(x) + C với C là hằng số được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng (a, b) và được ký hiệu là Z f(x)dx 3
  4. Tích phân bất định Định nghĩa Tính chất R 1) f0(x)dx = f(x) + C d R  2) f(x)dx = f(x) dx R R 3) af(x)dx = a f(x)dx R R R 4) [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx R ± ±R 5) Nếu f(x)dx = F(x) + C thì f(u)du = F(u) + C, u = u(x). ∀ 4
  5. Tích phân bất định Công thức cơ bản của tích phân bất định R xα+1 1) xαdx = + C R dx α + 1 8) 2 = cot x + C R dx sin x − 2) = ln x + C R dx 1 x x | | 9) = arctan + C x x2 + a2 a a R x a 3) a dx = + C R dx 1 a + x ln a 10) = ln + C R x x a2 x2 2a a x 4) e dx = e + C − − R R dx x 5) sin xdx = cos x + C 11) = arc sin + C 2 2 a R − √a x 6) cos xdx = sin x + C R dx− 12) = ln x + √x2 + a + C R dx √ 2 7) = tan x + C x + a cos2 x R x a 13) √x2 + adx = √x2 + a + ln x + √x2 + a + C 2 2 R x a2 x 14) √a2 x2dx = √a2 x2 + arcsin + C − 2 − 2 a 5
  6. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến Nếu Z f(x)dx = F(x) + C thì Z f(φ(t))φ0(t)dt = F(φ(t)) + C với φ(t) là một hàm khả vi và liên tục Ví dụ Tính tích phân sau Z dx x √3 ln2 x − 6
  7. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân 1 Giải. Đặt u = ln x = du = dx, ta có ⇒ x Z dx Z du u ln x = = arc sin + C = arc sin + C x √3 ln2x √3 u2 √3 √3 − − Ví dụ Tính tích phân sau Z dx cos x Giải. Ta có Z dx Z cos xdx Z cos xdx = = cos x cos2 x 1 sin2 x − Đặt u = sin x = du = cos xdx ⇒ Z dx Z du 1 1 + u 1 1 + sin x = = ln + C = ln + C cos x 1 u2 2 1 u 2 1 sin x − − − 1  x π = ln tan + + C 2 2 4 7
  8. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Ví dụ Tính tích phân sau Z ex √e2x + 5 Giải. Đặt u = ex = du = exdx, ta có ⇒ Z ex Z du p p dx = = ln u + u2 + 5 + C = ln ex + e2x + 5 + C √e2x + 5 √u2 + 5 | | | | Ví dụ Tính tích phân sau Z dx x(x3 + 3) Giải. Đặt 3x3 du dx u = x3 + 3 = du = 3x2dx du = dx = =? ⇒ ⇐⇒ x ⇐⇒ 3u(u 3) x(x3 + 3) − 8
  9. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Ta có, Z dx Z du 1 Z du = = x(x3 + 3) 3(u 3)u 3 u(u 3) − − Một vài ví dụ về phép biến đổi 1) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng √a2 x2, a > 0 thì ta sử dụng  π π − biến đổi x = a sin t với t , ∈ − 2 2 2) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng √x2 a2, a > 0 thì ta sử dụng a  π − biến đổi x = với t 0, cos t ∈ 2 3) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng √a2 + x2, a > 0 thì ta sử dụng  π π biến đổi x = a tan t với t , ∈ − 2 2 4) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng R(ex, e2x, , enx) thì ta có thể sử dụng biến đổi t = ex với R là hàm hữu tỉ. 9
  10. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm trên (a, b). Khi ấy hàm u0(x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và Z Z u(x)dv(x) = u(x)v(x) v(x)du(x) − thường viết gọn là Z Z udv = uv vdu − Các dạng tính tích phân thường gặp    eax  R   Dạng 1. Nếu tích phân có dạng P (x)  sin(ax)  dx n    cos(ax)     eax    với P (x) là đa thức cấp n thì ta đặt u = P (x) và dv =  sin(ax)  dx n n    cos(ax)  10
  11. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân    ln(ax)  R   Dạng 2. Nếu tích phân có dạng P (x)  arcsin(ax)  dx n    arc cot(ax)     ln(ax)    R với P (x) là đa thức cấp n thì ta đặt u =  arcsin(ax)  và dv = P (x)dx n   n  arctan(ax)  Dạng 3. Gồm những tích phân mà dưới dấu tích phân chứa những hàm sau eax cos bx, eax sin bx, sin(ln x), cos(ln x), sau 2 lần lấy tích phân từng phần, ta lại có tích phân ban đầu với 1 hệ số nào đó. 11
  12. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tính tích phân các phân thức tối giản Z Adx Z Adx Z Mx + N ; ; x a (x a)m x2 + px + q − − R dx x a = ln x a + C − | − | R dx 1 1 m = . m 1 + C (x a) m 1 (x a) − − − − − R dx 1 x a x2 a2 = 2a ln x+−a + C − R dx 1 x x2 = ln − + C (x x1)(x x2) x2 x1 x x1 − − − − R dx 1 x x2+a2 = a arctan a + C 12
  13. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Tích phân phân thức hữu tỉ Định nghĩa Pn(x) Phân thức hữu tỉ với n < m được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự. Qm(x) Phương pháp tính tích phân các phân thức hữu tỉ Giả sử Qm(x) có thể khai triển thành tích các thừa số bậc 1 và bậc 2 k 2 r Qm(x) = a0(x a) (x + px + q) − P (x) Ta công nhận điều sau : Phân thức hữu tỉ thực sự n khai triển được Qm(x) thành tổng của phân thức tối giản P (x) A A A M x + N n = 1 + 2 + + k + + 1 1 2 k 2 Qm(x) x a (x a) (x a) x + px + q − − − M2x + N2 Msx + Ns + + + + (1) (x2 + px + q)2 (x2 + px + q)s 13
  14. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Để tìm A1, A2, , M1, N1, có 2 phương pháp 1 Phương pháp 1. (hệ số bất định) Quy đồng mẫu số (1), sau đó cân bằng lũy thừa theo biến x, dẫn đến hệ phương trình tìm A1, A2, , M1, N1, 2 Phương pháp 2. Có thể tìm A1, A2, , M1, N1, khi thay thế x trong (1), bằng một cách chọn phù hợp. 14
  15. Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tính tích phân hàm lượng giác Z R(cosx, sinx)dx x 2dt Đặt t = tan = x = 2arc tan t; dx = và 2 ⇒ 1 + t2 1 t2 2t cos x = − ; sin x = 1 + t2 1 + t2 từ đây ta đưa tích phân trên về tích phân hàm hữu tỉ. Trong một số trường hợp riêng, ta có thể tìm ra nột phép thế thích hợp 1 Nếu R( cos x, sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = sin x − − 2 Nếu R(cos x, sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = cos x − − 3 Nếu R( cos x, sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = tan x − − R q p 4 Nếu sin x cos xdx, đặt t = sin x hoặc t = cos x 15
  16. Tích phân xác định Ví dụ Tìm diện tích miền phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f(x) = x2, trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 1. Hình : 16
  17. Tích phân xác định Chia S thành 4 miền Hình : 17 Hình : Hình :
  18. Tích phân xác định Hình : Hình : 18
  19. Tích phân xác định Cho hàm số f xác định trên [a, b] và phân hoạch của đoạn [a, b] với các điểm x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn 1 < xn = b − Trên mỗi miền con S1, S2, S3, , Sn lấy tùy ý 1 điểm (tương ứng là x1∗ , x2∗ , x3∗ , , xn∗ ) Hình19 :
  20. Tích phân xác định ∆xi = xi xi 1 với i = 0, n − − ! Pn Nếu I = lim f(xi∗)∆xi tồn tại và không phụ thuộc vào cách chia và cách ∆xi 0 i=1 → lấy điểm xi∗, thì I được gọi là tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a; b]. Ký hiệu:   Xn Z b   lim  f(xi∗)∆xi = f(x)dx ∆xi 0   → i=1 a R : dấu tích phân , a : cận dưới, b : cận trên, f(x): biểu thức dưới dấu tích phân 20
  21. Tích phân xác định Tính chất Với f, g là hàm số liên tục R b 1) cdx = c(b a) với c là hằng số a − R b R b R b 2) [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx a a a R b R b 3) cf(x)dx = c f(x)dx với c là hằng số a a R b R b R b 4) [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx a − a − a R b R c R b 5) c [a; b], f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx ∀ ∈ a a c R b 6) Nếu f(x) 0 với a x b thì f(x) 0 ≥ ≤ ≤ a ≥ R b R b 7) Nếu f(x) g(x) với a x b thì f(x) g(x)dx ≥ ≤ ≤ a ≥ a 21
  22. Tích phân xác định Tính chất Với f, g là hàm số liên tục 8) Nếu m f(x) M với a x b thì ≤ ≤ ≤ ≤ Z b m(b a) f(x) M(b a) − ≤ a ≤ − R a 9) Nếu f(x) lẻ (tức f(-x) = -f(x)) thì f(x)dx = 0 a − R a R a 10) Nếu f(x) chẳn (tức f(-x) = f(x)) thì f(x)dx = 2 f(x)dx a 0 − 11) Nếu f(x) tuần hoàn chu kỳ T (tức f(x + T) = f(x)) thì Z a+T Z T f(x)dx = f(x)dx a 0 22
  23. Tích phân xác định Định nghĩa (Công thức Newton - Leibnitz) Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì Z b b f(x)dx = F(x) a = F(b) F(a) a | − với F(x) là nguyên hàm của f(x) hay F0(x) = f(x) Định lý (Công thức đạo hàm theo cận trên) Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì với mọi nguyên hàm F(x)   Z x ! Z ϕ(x) 0 0   f(t)dt = f(x);  f(t)dt = f(ϕ(x))ϕ0(x) a  a  23
  24. Tích phân xác định Ví dụ Tính giới hạn sau R x2 sin √tdt lim 0 x 0+ x3 → 0 Giải. Ta thấy, tích phân trên ở dạng khi x 0+ thì x3 0 0 → → Z x2 sin √tdt 0 0 → Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta có  2  2 R x R x sin √tdt 0 sin √tdt 0 2x sin √x2 lim 0 = lim = lim x 0+ x3 x 0+ (x3) x 0+ (3x2 → → 0 → 2 sin x 2 = lim = x 0+ 3x 3 → 24
  25. Tích phân xác định Phương pháp tính tích phân đổi biến Nếu Z b b f(x)dx = F(x) + C a a thì Z b α f(ϕ(t))ϕ0(t)dt = F(ϕ(t)) + C a β với ϕ(t) là một hàm khả vi và liên tục và ϕ(a) = α, ϕ(b) = β. Phương pháp tính tích phân từng phần Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm trên (a, b). Khi ấy hàm u0(x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và Z b Z b b u(x)dv(x) = u(x)v(x) v(x)du(x) a a − a R b b R b thường viết gọn là udv = uv vdu a a − a 25
  26. Tích phân suy rộng Ví dụ 1 Tìm diện tích của miền S được giới hạn bởi đường cong y = f(x) = , x = 1 x2 và phần phía trên của trục Ox. Hình : 26
  27. Tích phân suy rộng Nhận xét : 1) Chúng ta thấy miền S trong một phạm vi nhất định thì diện tích của nó là hữu hạn. 2) Mặt khác, diện tích của miền A - nó được giới hạn bởi đường cong 1 y = f(x) = , x = 1 và x = t nằm trong miền S x2 Z t 1 1 t 1 A(t) = dx = = 1 2 1 x −x 1 − t 3) Khi chọn t khá lớn thì A(t) < 1 Chúng nhận thấy  1 lim A(t) = lim 1 = 1 t t t →∞ →∞ − Vậy diện tích của miền S bằng 1 khi ta chọn t . → ∞ 27
  28. Tích phân suy rộng Hình : Hình : Ta có thể viết lại Z Z t ∞ 1 1 dx = lim dx x2 t x2 1 →∞ 1 28
  29. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa (Tích phân suy rộng loại 1) R t Nếu f(x)dx, t a tồn tại thì a ∀ ≥ Z + Z t ∞ f(x)dx = lim f(x)dx t + a → ∞ a R a Nếu f(x)dx, t a tồn tại thì t ∀ ≤ Z a Z a f(x)dx = lim f(x)dx t t −∞ →−∞ Ví dụ Tính tích phân Z + ∞ 1 3 dx 1 x 29
  30. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Giải. Theo định nghĩa ta có Z + Z t 2 t ∞ 1 1 x  1 1 1 dx = lim dx = lim = lim + = x3 t + x3 t + 2 t + 2b2 2 2 1 → ∞ 1 → ∞ − 1 → ∞ − Ví dụ Tính tích phân Z 0 exdx −∞ Giải. Theo định nghĩa ta có Z 0 Z 0 x x x 0 0 t e dx = lim e dx = lim e t = lim (e e ) = 1 t t t | t − −∞ →−∞ →−∞ →−∞ Ví dụ Tính tích phân sau Z + ∞ dx 2 e x ln x 30
  31. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Giải. Theo định nghĩa, ta có Z + Z t ∞ dx d(ln x) 1 t  1 1  = lim = lim ( ) = lim ( ) = 1 2 t + 2 t + ln x e t + ln t ln e e x ln x → ∞ e ln x → ∞ − → ∞ − − Ví dụ Tính tích phân sau Z + ∞ arc tan xdx 2 3/2 0 (1 + x ) 1 Giải. Đặt t = arc tan x = dt = dx và x 0 = t 0, ⇒ 1 + x2 → ⇒ → π 1 x + = t . Khi đó, với x = tan t = 1 + x2 = . Ta có, → ∞ ⇒ → 2 ⇒ cos2 t Z + Z + Z π/2 ∞ arc tan x ∞ arc tan x dx π = = t cos t = 1 2 3/2 2 0 (1 + x ) 0 √1 + x2 1 + x 0 2 − 31
  32. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ Tính tích phân Z + ∞ 1 dx 1 + x2 −∞ Giải. Theo định nghĩa ta có Z + Z 0 Z + ∞ 1 1 ∞ 1 2 dx = 2 dx + 2 dx 1 + x 1 + x 0 1 + x −∞ −∞ Z 0 1 Z t 1 = lim dx + lim dx t 1 + x2 t + 1 + x2 →−∞ t → ∞ 0 0 t = lim arc tan x + lim arc tan x 0 t t t + →−∞ → ∞ | = lim (arc tan 0 arc tan t) + lim (arc tan t arc tan 0) t t + →−∞ − → ∞ − π  π = = π 2 − − 2 32
  33. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa R + R a Hai tích phân suy rộng ∞ f(x)dx và f(x)dx được gọi là hội tụ nếu giới a hạn tồn tại và hữu hạn. Ngược lại, nếu −∞giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô R + cùng thì tích phân gọi là phân kỳ. Nếu hai tích phân suy rộng ∞ f(x)dx và a R a f(x)dx hội tụ thì −∞ Z Z a Z + −∞ ∞ f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a −∞ −∞ (Dùng để khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng) Z + ( ∞ 1 hội tụ nếu α > 1 dx = xα phân kỳ nếu α 1 a>0 ≤ 33
  34. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 1) Giải sử 0 f(x) g(x), x [a; + ) và f(x), g(x) khả tích trên [a; + ). Khi đó ≤ ≤ ∀ ∈ ∞ ∞ R + R + 1) Nếu ∞ g(x)dx hội tụ thì ∞ f(x)dx hội tụ. a a R + R + 2) Nếu ∞ f(x)dx phân kỳ thì ∞ g(x)dx phân kỳ. a a Lưu ý: 1) Hàm f(x), g(x) không âm. 2) Tồn tại b > a và f(x) g(x) với mọi x [b, + ). ≤ R∈+ ∞ 3) Khi khảo sát sự hội tụ của tích phân ∞ f(x)dx ta thường so sánh với a R + 1 tích phân ∞ dx a>0 xα Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ 1 dx 2 2 1 2x + sin 3x 34
  35. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Giải. Ta có đánh giá sau 1 1 f(x) = = g(x) 2x2 + sin2 3x ≤ 2x2 Lấy tích phân 2 vế, ta được Z + Z + ∞ 1 ∞ 1 dx 2 2 2 1 2x + sin 3x ≤ 1 2x R + 1 R + 1 Theo tiêu chuẩn 1 thì ∞ dx hội tụ do ∞ dx hội tụ. 1 2x2 + sin2 3x 1 2x2 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ 1 dx 2 2 1 x sin 3x − 35
  36. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Giải. Ta có đánh giá sau 1 2 f(x) = = g(x) x2 sin2 3x ≤ x2 − Lấy tích phân 2 vế, ta được Z + Z + ∞ 1 ∞ 2 dx 2 2 2 1 x sin 3x ≤ 1 x − R + 1 R + 1 Theo tiêu chuẩn 1 thì ∞ dx hội tụ do ∞ dx hội tụ. 1 x2 sin2 3x 1 x2 − Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + 3 ∞ ln x dx 5 x + 5 36
  37. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Giải. Ta có đánh giá sau với x > 5 ln3 x 1 1 f(x) = = g(x) x + 5 ≥ x + 5 ≥ 2x Lấy tích phân 2 vế, ta được Z + 3 Z + ∞ ln x ∞ 1 dx dx 5 x + 5 ≥ 5 2x 3 R + ln x R + 1 Theo tiêu chuẩn 1 thì ∞ dx phân kỳ do ∞ dx phân kỳ. 5 x + 5 5 2x Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ x + 1 3 dx 1 √x3 37
  38. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Giải. Do x 1, ta có ≥ x + 1 x 1 > = √3 x3 √3 x3 √x R + x + 1 1 Theo tiêu chuẩn 1 thì ∞ dx phân kỳ do phân kỳ. 1 √3 x3 √x Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2) f(x) Giả sử f(x) 0, g(x) > 0, x a và lim = L x + g(x) ≥ ∀ ≥ → ∞ R + R + 1) Nếu 0 < L < + thì ∞ g(x)dx và ∞ f(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng ∞ a a phân kỳ R + R + 2) Nếu L = 0 và ∞ g(x)dx hội tụ thì ∞ f(x)dx hội tụ a a R + R + 3) Nếu L = + và ∞ f(x)dx hội tụ thì ∞ g(x)dx hội tụ ∞ a a 38
  39. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Lưu ý : Trong tiêu chuẩn 2 1 Hàm f(x) không âm. 2 Tìm hàm g(x) bằng cách tìm hàm tương đương của f(x) khi x + f(x) → ∞ 3 Tính lim = L , kết luận x + g(x) → ∞ Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ dx 1 √5x + lnx Giải. Ta có 1 1 f(x) = khi x + √5x + lnx ≈ √5x → ∞ 1 Chọn g(x) = , suy ra √x 1 f(x) √5x + lnx 1 lim = lim = = λ x + g(x) x + 1 → ∞ → ∞ √5 39 √x 1 R + R + Chúng ta thấy 0 < λ = < + nên ∞ g(x)dx và ∞ f(x)dx cùng hội tụ 5 ∞ 1 1 R + R + 1 hoặc cùng phân kỳ. Mặc khác, ∞ g(x)dx = ∞ dx hôi tụ nên 1 1 x2 R + dx ∞ hội tụ. 1 √5x + lnx
  40. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ dx 0 (3x + 1) √x + 1 Giải. Ta có đánh giá sau 1 1 f(x) = , x + (3x + 1) √x + 1) ≈ 3x3/2 → ∞ 1 Chọn g(x) = . Khi đó, 3x3/2 f(x) 1 lim = , hữu hạn, khác 0 x + g(x) 3 → ∞ R + R + R + Vì tích phân ∞ g(x)dx hội tụ nên ∞ f(x)dx hội tụ. !!! (Sai vì ∞ g(x)dx 0 0 0 phân kỳ). 40
  41. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ dx 0 (3x + 1) √x + 1 Giải. Ta có Z + Z 1 Z + ∞ dx dx ∞ dx = + 0 (3x + 1) √x + 1 0 (3x + 1) √x + 1 1 (3x + 1) √x + 1 R 1 dx Do là tích phân xác định nên hội tụ và 0 (3x + 1) √x + 1 1 1 f(x) = , x + (3x + 1) √x + 1 ≈ 3x3/2 → ∞ 1 Chọn g(x) = . Khi đó, 3x3/2 f(x) 1 lim = , hữu hạn, khác 0 x + g(x) 3 → ∞ R + R + Vì tích phân ∞ g(x)dx hội tụ nên ∞ f(x)dx hội tụ. 1 141 R + dx Vậy ∞ hội tụ. 0 (3x + 1) √x + 1)
  42. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ Chứng minh tích phân sau hội tụ và tính Z + ∞ dx √3 x √1 + x2 Giải. a) Ta có 1 1 f(x) = , x + x √1 + x2 ≈ x2 → ∞ R + 1 Do ∞ hội tụ nên tích phân trên hội tụ. √3 x2 x b) Đặt t = √1 + x2 = dt = dx, t2 1 = x2. Ta có, ⇒ √1 + x2 − Z + Z + Z + ∞ dx ∞ xdx ∞ dx = = 2 dt √3 x √1 + x2 √3 x2 √1 + x2 2 t 1 − + t 1 ∞ 1 = ln − = ln 1 ln = ln 3 t + 1 − 3 2 42
  43. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ Chứng minh tích phân sau phân kỳ Z + x ∞ e dx 1 x và tính t R x e dt 1 lim t x + ex → ∞ Giải. a) Ta có ex 1 Vớix > 1, ex x = f(x) = > = g(x) ≥ ⇒ x x R + Do ∞ g(x)dx phân kỳ nên tích phân trên phân kỳ. 1 b) Dùng quy tắc L’Hospital cho dạng vô định ∞, ta có t ∞  R x e  dt 0 1 t ex lim = lim = 0 x + (ex) x + xex → ∞ 0 → ∞ 43
  44. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Định lý R + R + Tích phân ∞ f(x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân ∞ f(x) dx a a R + | | hội tụ và được gọi là hội tụ điều kiện khi tích phân ∞ f(x)dx hội tụ mà tích a R + phân ∞ f(x) dx phân kỳ. a | | R + Lưu ý: Nếu f(x) có dấu tùy ý để khảo sát sự hội tụ của ∞ f(x)dx thì khảo a R + sát sự hội tụ của những hàm không âm ∞ f(x) dx để sử dụng được 2 tiêu a | | chuẩn so sánh. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ sin xdx 2 1 x + ln 2x 44
  45. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 sin x Giải. Ta thấy f(x) = là hàm số có dấu tùy ý trên [1, + ) nên x2 + ln 2x ∞ không thế áp dụng Tiêu chuẩn hội tụ 1, 2 trong trường hợp này. sin x 1 1 Xét f(x) = = g(x) khi x + . | | x2 + ln 2x ≤ x2 + ln 2x ≈ x2 → ∞ Lấy tích phân 2 vế, ta được Z + Z + ∞ ∞ 1 f(x) dx 2 dx 1 | | ≤ 1 x R + 1 R + Do ∞ dx hội tụ nên ∞ f(x) dx hội tụ tuyệt đối. 1 x2 1 | | Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ sin x dx 1 x 45
  46. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Giải. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có Z + Z + ∞ sin x cos x + ∞ cos x dx = ∞ dx = cos 1 I 2 1 x − x 1 − 1 x − − R + cos x cos x 1 Tích phân I = ∞ dx hội tụ do hội tụ. 1 x2 x2 ≤ x2 R + sin x Khi đó, ∞ dx hội tụ. 1 x Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z + ∞ sin x dx 1 x Giải. Xét tích phân hàm số không âm sau Z + ∞ sin x dx 1 x 46
  47. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 1 Ta có, sin x sin2 x x ≥ x Lấy tích phân 2 vế Z + Z + 2 Z + ∞ sin x ∞ sin x ∞ 1 cos 2x dx dx = − dx 1 x ≥ 1 x 1 2x Z + Z + ∞ 1 ∞ cos 2x = dx dx = I J 1 2x − 1 2x − Nhận xét I phân kỳ và J hội tụ. Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối 47
  48. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của y = f(x) nếu lim = x x0 → ∞ Giả sử trên đoạn [a.b] hàm y = f(x) có 1 điểm kỳ dị duy nhất là x0 = b Hình : 48
  49. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 2 Z b Z t f(x)dx = lim f(x)dx t b a → − a Khi đó, ta gọi tích phân trên là Tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a, b] Giả sử trên đoạn [a.b] hàm y = f(x) có 1 điểm kỳ dị duy nhất là x0 = a Z b Z b f(x)dx = lim f(x)dx t a+ a → t Hình : 49
  50. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 2 Khi đó, ta gọi tích phân trên là Tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a, b] Z b Z b f(x)dx = lim f(x)dx t a+ a → t Giả sử trên đoạn [a.b] hàm y = f(x) có 1 điểm kỳ dị duy nhất là x0 = c [a, b] ∈ Z b Z c Z b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a a c Z c Z b = lim f(x)dx + lim f(x)dx t c t c+ → − a → t Khi đó, ta gọi tích phân trên là Tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a, b] 50 Hình :
  51. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 2 Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ. Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 1) Nếu x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất, f(x), g(x) là 2 hàm không âm và khả tích trên [a, b) và f(x) g(x), x a. Khi đó R b ≤ ∀ ≥R b 1) Nếu g(x)dx hội tụ thì f(x)dx hội tụ. a a R b R b 2) Nếu f(x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ. a a Tương tự cho x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất. Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2) Nếu x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất, f(x), g(x) là 2 hàm không âm và khả tích f(x) trên [a, b) và lim = K. Khi đó x b g(x) → − R b R b 1)K = 0 nếu g(x)dx hội tụ thì f(x)dx hội tụ. a a R b R b 2)K 0, hữu hạn nếu f(x)dx, g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. , a a R b R b 3)K = + nếu f(x)dx hội tụ thì g(x)dx hội tụ. ∞ a a 51
  52. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 2 Tương tự cho x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất. (Dùng để khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng) Z b ( 1 phân kỳ nếu α > 1 dx = (x a)α hội tụ nếu α 1 a − ≤ (Dùng để khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng) Z b ( 1 phân kỳ nếu α > 1 dx = (b x)α hội tụ nếu α 1 a − ≤ Lưu ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một! 52
  53. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại 2 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau Z 2 dx 1 √x2 1 − Giải. Ta có 1 dx 1 + f(x) = = p , x 1 √x2 1 (x 1)(x + 1) ≈ √2(x 1)1/2 → − − − 1 Chọn g(x) = . √2(x 1)1/2 f(x) − 1 Khi đó, lim = . Vì lim g(x)dx hội tụ nên lim f(x)dx hội tụ. x 1+ g(x) x 1+ x 1+ → √2 → → 53
  54. Ứng dụng trong kinh tế Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên R Nếu MF(x) là hàm cận biên của hàm F(x)thì F(x) = MF(x)dx. Ví dụ Nếu doanh thu biên theo sản lượng của một loại sản phẩm là MR = dR = 10000 Q2. Tìm hàm cầu của loại sản phẩm này. dQ − Giải. Ví dụ Cho lợi nhuận biên theo sản lượng là Mπ = 5Q + 500 và nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì bị lỗ 13.500 đơn vị tiền. Tìm hàm− lợi nhuận π(Q). 54
  55. Ứng dụng trong kinh tế Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định Phân tích lợi nhuận. Lợi nhuận biên của một sản phẩm là dπ = 0, 0005x + 12, 2. dx − a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi sản lượng tăng từ 100 lên 101 đơn vị? b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi sản lượng tăng từ 100 lên 110 đơn vị? Chi phí trung bình. Trong kỳ kinh doanh 2 năm, chi phí sản xuất 1 đơn vị sản phầm được cho bởi: C(t) = 0, 005t2 + 0, 01t + 13, 15; 0 t 24 ≤ ≤ Tìm chi phí trung bình để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm trong kỳ kinh doanh này. 55