Toán cao cấp B2 (bài giảng tóm tắt)

117 trang vanle 2770

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp B2 (bài giảng tóm tắt)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_cao_cap_b2_bai_giang_tom_tat.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp B2 (bài giảng tóm tắt)

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP B2 (Baøi Giaûng Toùm Taét) Löu haønh noäi boä Y Ñaø Laït 2008 Z
Môc lôc I. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn 1. Kh«ng gian Rn 1 1.1 Kh«ng gian Rn 1 1.2 TÝch v« h−íng, chuÈn, kho¶ng c¸ch trong Rn 2 1.3 D·y trong Rn 2 1.4 C¸c tËp hîp trong Rn 4 2.HµmnhiÒubiÕn 6 2.1HµmnhiÒubiÕn 6 2.2Giíih¹nhµmnhiÒubiÕn 147 2.3TÝnhliªntôc 11 3.§¹ohµmvµviph©n 14 3.1§¹ohµmriªng 14 3.2Sùkh¶vi 15 3.3C¸cc«ngthøcc¬b¶n 18 3.4 ý nghÜacñasùkh¶vi 19 3.5 §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh, §Þnh lý phÇn gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.§¹ohµmvµviph©ncÊpcao 22 4.1§¹ohµmriªngcÊpcao 22 4.2C«ngthøcTaylor 25 5.Hµmng−îc,hµmÈn 27 5.1 §Þnh lý hµm ng−îc ®Þa ph−¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2§ÞnhlýhµmÈn 31 6.CùctrÞhµmnhiÒubiÕn 34 6.1CùctrÞ 34 6.2CùctrÞcã®iÒukiÖn 36 II. TÝch ph©n béi 1.TÝchph©ntrªnh×nhhép 41 1.1TångRiemann 41
1.2TængDarboux 43 1.3ThÓtÝchkh«ng 45 2.TÝchph©ntrªntËpgiíinéi 46 2.1TËp®o®−îc 46 2.2TÝchph©ntrªntËpgiíinéi 48 3.C¸cc«ngthøctÝnhtÝchph©n 49 3.1C«ngthøcFubini 49 3.2C«ngthøc®æibiÕn 52 III. TÝch ph©n ®−êng - TÝch ph©n mÆt 1.TÝchph©n®−êng 55 1.1§−êngcong 55 1.2TÝchph©n®−ênglo¹i1 58 1.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.5TÝchph©n®−ênglo¹i2 62 1.6 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.7 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.TÝchph©nmÆt 65 2.1MÆtcong 65 2.2TÝchph©nmÆtlo¹i1 69 2.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4TÝchph©nmÆtlo¹i2 73 3.Métsèc«ngthøc 76 3.1 C¸c kh¸i niÖm trong lý thuyÕt tr−êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2C«ngthøcGreen 77 3.3C«ngthøcOstrogradsky 81 3.4C«ngthøcStokes 83 IV. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n 1.Kh¸iniÖmph−¬ngtr×nhviph©n 87 1.1 Vµi m« h×nh dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2C¸ckh¸iniÖm 88 1.3Bµito¸nCauchy 89 2. Gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.1 Ph−¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 2.5Ph−¬ngtr×nhBernoully 99 2.6Ph−¬ngtr×nhClairaut 100 2.7Ph−¬ngtr×nhLagrange 101 3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .103 3.3 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt . . . . . 105 3.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 4.HÖph−¬ngtr×nhviph©n 110 4.1C¸ckh¸iniÖm 110 4.2 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . .111
1 I. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm nhiÒu biÕn 1 Kh«ng gian Rn 1.1 Kh«ng gian Rn Gäi R lµ tr−êng sè thùc vµ ký hiÖu Rn lµ tÝch Descartes R × R ×···×R. Mçi n n phÇn tö cña R lµ d·y gåm n sè thùc x =(x1,x2, ,xn). Trªn R x¸c ®Þnh n hai phÐp to¸n sau ®©y víi mäi x =(x1,x2, ,xn), y =(y1,y2, ,yn) ∈ R vµ α ∈ R: x + y =(x1 + y1,x2 + y2, ,xn + yn), αx =(αx1,αx2, ,αxn) Víi phÐp céng vµ phÐp nh©n víi sè nãi trªn, tËp Rn cã cÊu tróc mét kh«ng gian vector n-chiÒu trªn R, tøc lµ víi mäi x, y, z ∈ Rn vµ víi mäi sè thùc α, β ta cã: (V 1) x + y = y + x (tÝnh giao ho¸n) (V 2) (x + y)+z = x +(y + z)(tÝnh kÕt hîp) (V 3) ∃ O ∈ V : x + O = x (O =(0, ,0) gäi lµ vector kh«ng) (V 4) ∃−x ∈ V : −x + x = O (−x =(−x1, ,−xn) gäi lµ vector ®èi cña x =(x1, ,xn)) (V 5) (α + β)x = αx + βx (TÝnh ph©n phèi) (V 6) α(x + y)=αx + αy (TÝnh ph©n phèi) (V 7) (αβ)x = α(βx) (V 8) 1x = x PhÐp trõ ®−îc ®Þnh nghÜa bëi x − y = x +(−y). Trong c¬ së chÝnh t¾c cña Rn e1 =(1, 0, ,0) e2 =(0, 1, ,0) . . en =(0, 0, ,1) n mçi vector x =(x1,x2, ,xn) cã biÓu diÔn x = X xiei. i=1
2 1.2 TÝch v« h−íng- ChuÈn - Kho¶ng c¸ch trong Rn n §Þnh nghÜa 1. Cho x =(x1,x2, ,xn), y =(y1,y2, ,yn) ∈ R n TÝch v« h−íng cña x vµ y : hx, yi = X xiyi i=1 2 2 2 ChuÈn cña x : kxk = phx, xi = px1 + x2 + ···+ xn 2 2 Kho¶ng c¸ch gi÷a x vµ y : d(x, y)=kx − yk = p(x1 − y1) + ···+(xn − yn) TÝch v« h−íng, chuÈn vµ kho¶ng c¸ch cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y MÖnh ®Ò 1. Cho x, y, z ∈ Rn vµ α, β ∈ R 1) TÝch v« h−íng cã c¸c tÝnh chÊt (S1) hx, yi = hy,xi (S2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi (S3) hx, xi≥0,vµhx, xi =0khi vµ chØ khi x = O 2) ChuÈn cã c¸c tÝnh chÊt (N1) kxk≥0,vµkxk =0khi vµ chØ khi x = O (N2) kαxk =| α |kxk (N3) kx + yk≤kxk + kyk 2) Kho¶ng c¸ch cã c¸c tÝnh chÊt (M1) d(x, y) ≥ 0,vµd(x, y)=0khi vµ chØ khi x = y (M2) d(x, y)=d(y,x) (M3) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z,y) Chøng minh. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, bÊt ®¼ng thøc (N3). ThËt vËy tõ bÊt ®¼ng thøc Cauchy- Schwarz: |hx, yi|≤kxkkyk, suy ra kx + yk2 = h(x + y), (x + y)i = hx, xi + hx, yi + hy,xi + hy,yi = kxk2 + kαyk2 +2hx, yi ≤kxk2 + kyk2 +2kxkkyk =(kxk + kyk)2 VËy, ta cã kx + yk≤kxk + kyk 2 1.3 D·y trong Rn §Þnh nghÜa 2. Mét d·y trong Rn lµ ¸nh x¹ x: N −→ Rn k 7−→ x(k)=xk =(x1k,x2k, ,xnk)
3 Th−êng ký hiÖu d·y bëi (xk)k∈N hay ®¬n gi¶n (xk). D·y (xk) gäi lµ héi tô ®Õn n a ∈ R , ký hiÖu lim xk = a, nÕu lim kxk − ak =0, tøc lµ k→∞ k→∞ ∀>0, ∃N : k ≥ N =⇒kxk − ak 0, tån t¹i N1, N2 ∈ N sao cho (k ≥ N1 =⇒kxk − a1k < k ≥ N2 =⇒kxk − a2k < (kxN − a1k < §Æt N = Max(N1,N2),tacã kxN − a2k < 2 Suy ra ka − a k≤ka − x k + kx − a k≤2 = ka − a k. §iÒu nµy dÉn 1 2 1 N N 2 3 1 2 ®Õn m©u thuÉn. 2 Giíi h¹n cña d·y trong Rn ®−a vÒ giíi h¹n mét chiÒu nh− sau ®©y. n MÖnh ®Ò 3. D·y (xk)=(x1k,x2k, ,xnk) trong R héi tô nÕu vµ chØ nÕu mäi d·y thµnh phÇn (xik) héi tô. Khi ®ã lim (x1k,x2k, ,xnk) = ( lim x1k, lim x2k, , lim xnk) k→∞ k→∞ k→∞ k→∞ Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh suy ra tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc sau víi mäi i =1, 2, ,n n | xik − ai |≤ kxk − ak≤X | xjk − ai | . j=1 2 k 2 √ k 1 5k +1 k 2 VÝ dô. 1) lim 1+ , , k, =(e, 5, 1, 0) k→∞ k k2 k! 1 k 5k2 +1 2) D·y 1+ , , 2k trong R3 lµ ph©n kú v× cã mét d·y thµnh phÇn k k2 k (x3k)=(2 ) ph©n kú.
4 §Þnh nghÜa 3. D·y (xk) gäi lµ d·y Cauchy hay d·y c¬ b¶n nÕu ∀>0, ∃N : k,l ≥ N =⇒kxk − xlk 0 sao cho B(a, r) ⊂ M. a gäi lµ ®iÓm biªn cña M nÕu víi mäi r>0 ta cã (B(a, r) ∩ M =6 ∅ B(a, r) ∩ (Rn \ M) =6 ∅ TËp c¸c ®iÓm biªn cña M th−êng ký hiÖu lµ ∂M. a gäi lµ ®iÓm tô cña M nÕu víi mäi r>0 ta cã (B(a, r) \{a}) ∩ M =6 ∅. NhËn xÐt. a lµ ®iÓm tô cña M nÕu tån t¹i d·y (xk) trong M víi xk =6 a sao cho lim xk = a. k→∞ VÝ dô. 1) Mäi ®iÓm cña B(a, r) ®Òu lµ ®iÓm trong. Biªn cña B(a, r) lµ tËp hîp ∂B(a, r)={x ∈ Rn |kx − ak = r}, gäi lµ mÆt cÇu t©m a ∈ Rn, b¸n kÝnh r. 2) Mäi ®iÓm thuéc kho¶ng (a, b) lµ ®iÓm trong cña ®o¹n [a, b] vµ ∂[a, b]={a, b}. 3) Biªn cña c¸c tËp sè: ∂Z = Z, ∂Q = R, ∂R = ∅.
5 1.4.3 TËp më, tËp ®ãng, tËp compact TËp con M ⊂ Rn gäi lµ tËp më nÕu mäi ®iÓm cña M ®Òu lµ ®iÓm trong. TËp o c¸c ®iÓm trong cña M gäi lµ phÇn trong cña M vµ ký hiÖu lµ M. TËp con F ⊂ Rn gäi lµ tËp ®ãng nÕu tËp Rn \ F lµ më. Hîp cña F vµ c¸c ®Óm tô cña nã gäi lµ bao ®ãng cña F vµ ký hiÖu lµ F . TËp con M ⊂ Rn gäi lµ giíi néi nÕu tån t¹i mét sè thùc R>0 sao cho kxk≤R, víi mäi x ∈ M. TËp con K ⊂ Rn gäi lµ compact nÕu vµ chØ nÕu K ®ãng vµ giíi néi. MÖnh ®Ò 5. Cho tËp con M ⊂ Rn. Khi ®ã c¸c ®iÒu sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng (1) M lµ tËp ®ãng (2) Mäi ®iÓm tô cña M ®Òu thuéc M. (3) M = M. (4) NÕu (xk) trong M héi tô vÒ a, th× a ∈ M. Chøng minh. (1) =⇒ (2): Gi¶ sö a lµ ®iÓm tô cña M. VËy, víi mäi r>0, B(a, r) ∩ M =6 ∅. Suy ra a kh«ng lµ ®iÓm trong cña Rn \ M.DoRn \ M lµ më nªn a/∈ Rn \ M, tøc lµ a ∈ M. (2) =⇒ (3): Suy ra tõ ®Þnh nghÜa. (3) =⇒ (4): Gi¶ sö d·y (xk) trong M héi tô vÒ a. NÕu tËp {xk,k ∈ N} lµ h÷u h¹n, th× tån t¹i k0 sao cho a = xk0 ,do®ãa ∈ M. NÕu {xk,k ∈ N} lµ v« h¹n, th× a lµ ®iÓm tô cña M, do ®ã a ∈ M = M. (4) =⇒ (1): Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, Rn \M lµ kh«ng më. Khi ®ã, tån t¹i mét ®iÓm a ∈ Rn \ M kh«ng lµ ®iÓm trong, tøc lµ, víi mäi r>0, (B(a, r) \{a}) ∩ M =6 ∅. VËy, a lµ ®iÓm tô cña M. Tõ ®ã, tån t¹i mét d·y (xk) trong M héi tô vÒ a. Theo (4), a ∈ M. §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn. 2 MÖnh ®Ò 6. Cho tËp con K ⊂ Rn. Khi ®ã c¸c ®iÒu sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng (1) K lµ tËp compact (2) Mäi d·y (xk) trong K ®Òu cã mét d·y con (xkp ) héi tô vÒ a ∈ K. Chøng minh. (1) =⇒ (2): Gi¶ sö (xk)=(x1k,x2k, ,xnk) lµ mét d·y trong K.DoK giíi néi, tån t¹i R>0, sao cho kxkk≤R. VËy c¸c d·y thµnh phÇn (xik), i =1, 2, ,n, lµ c¸c d·y sè bÞ chÆn. Theo §Þnh lý Bolzano-Weierstrass, d·y (xik) cã mét d·y con (xikp ) h«i tô vÒ ai khi p →∞. Tõ ®ã, d·y con (xkp )=(x1kp ,x2kp, ,xnkp ) héi tô vÒ a =(a1, ,an).DoK ®ãng, a ∈ K.
6 (2) =⇒ (1): Gi¶ sö a lµ mét ®iÓm tô cña K. Khi ®ã, tån t¹i mét d·y (xk) trong K héi tô vÒ a. Theo (2), suy ra a ∈ K. VËy K ®ãng. 2 1.4.4 TËp liªn th«ng §Þnh nghÜa 4. TËp con C ⊂ Rn gäi lµ liªn th«ng (®−êng) nÕu víi mäi x, y ∈ C, tån t¹i mét ®−êng cong liªn tôc nèi x vµ y n»m trong C, tøc lµ, tån t¹i ¸nh x¹ n γ :[a, b] ⊂ R −→ R ,γ(t)=(γ1(t), ,γn(t)), trong ®ã γi :[a, b] ⊂ R −→ R, i =1, ,n, lµ c¸c hµm mét biÕn liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] sao cho γ(a)=x, γ(b)=y, γ(t) ∈ C, ∀t ∈ [a, b]. MÖnh ®Ò 7. C¸c tËp liªn th«ng cña R lµ c¸c ®o¹n, kho¶ng, nöa kho¶ng (h÷u h¹n hoÆc v« h¹n) hay mét ®iÓm. Chøng minh. 1) Gi¶ sö C lµ mét kho¶ng trong R vµ x, y ∈ C. Khi ®ã, ¸nh x¹ γ :[0, 1] ⊂ R −→ C, γ(t)=tx +(1− t)y liªn tôc nªn lµ mét ®−êng nèi x, y trong C. 2) Gi¶ sö C lµ mét tËp liªn th«ng cña R. Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ C sao cho x<y, tån t¹i hµm liªn tôc γ :[0, 1] ⊂ R −→ R nèi x vµ y. Theo §Þnh lý gi¸ trÞ trung gian , ¶nh γ([0, 1]) lµ mét kho¶ng trong R chøa x vµ y. Suy ra, [x, y] ⊂ γ([0, 1]) ⊂ C. VËy C lµ mét kho¶ng cña R. 2 2 Hµm nhiÒu biÕn 2.1 Hµm nhiÒu biÕn §Þnh nghÜa 5. ¸nh x¹ f : D ⊂ Rn −→ Rm x =(x1, ,xn) 7−→ f(x)=(f1(x), ,fn(x)) gäi lµ hµm vector thùc cña n biÕn thùc x1,x2, ,xn. C¸c ¸nh x¹ fi : D ⊂ Rn −→ R, i =1, 2, ,m gäi lµ c¸c hµm thµnh phÇn. Khi m =1ta gäi hµm vector cña n biÕn thùc lµ hµm cña n biÕn thùc. §«i khi, do thãi quen, ta còng gäi 00 hµm vector 00 lµ 00 hµm 00. TËp G(f)={(x, f(x)) | x ∈ D}⊂Rn × Rm gäi lµ ®å thÞ cña hµm sè f.
7 VÝ dô. 1) Hµm f(x, y)=p1 − x2 − y2 cã ®å thÞ lµ nöa mÆt cÇu t©m (0, 0) b¸n kÝnh r =1trong R3. 2) Hµm f(x, y)=px2 + y2 cã ®å thÞ lµ mÆt nãn. 3) Hµm f(x, y)=x2 + y2 cã ®å thÞ lµ mÆt paraboloid. 2.2 Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn 2.2.1 Giíi h¹n (béi) n §Þnh nghÜa 6. Cho hµm f : D ⊂ R −→ R vµ a =(a1,a2, ,an) lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ cã giíi h¹n (béi)L khi x =(x1,x2, ,xn) dÇn ®Õn a,ký hiÖu lim f(x)=L hay lim f(x)=L , nÕu x→a x1→a1 ··· xn→an ∀>0, ∃δ>0, ∀x ∈ D, (0 0, ∃δ = , sao cho ∀(x, y) ∈ R2 ta cã x→0 y→0 0 < k(x, y) − (0, 0)k = px2 + y2 <δ=⇒kxy +1− 1k =| xy |< §Þnh nghÜa trªn vÒ h×nh thøc hoµn toµn gièng tr−êng hîp hµm mét biÕn.V× vËy, c¸c ph¸t biÓu vÒ tÝnh chÊt giíi h¹n sau ®©y vµ chøng minh chóng còng gièng nh− ®èi víi hµm mét biÕn MÖnh ®Ò 8. Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ Rm, a lµ ®iÓm tô cña D. Khi ®ã lim f(x)=L ⇐⇒ ∀ (xk) ⊂ D \{a}, ( lim xk = a =⇒ lim f(xk)=L) x→a k→∞ k→∞ Nh− tÝnh chÊt cña giíi h¹n d·y ta còng cã MÖnh ®Ò 9. ∃ lim(f1(x), ,fm(x)) = (L1, ,Lm) ⇐⇒ ∃ lim fi(x)=Li, x→a x→a i =1, ,m. MÖnh ®Ò 10. Gi¶ sö a lµ ®iÓm tô cña D, hai hµm f,g: D ⊂ Rn −→ R, cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn a. Khi ®ã 1) lim(f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x) x→a x→a x→a 2) lim αf(x)=α lim f(x), víi mäi α ∈ R. x→a x→a 3) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x) x→a x→a x→a
8 f(x) lim f(x) 4) lim = x→a , nÕu lim g(x) =06 . x→a g(x) lim g(x) x→a x→a 5) f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ B(a, r) \{a} =⇒ lim f(x) ≤ lim g(x). x→a x→a (f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀x ∈ B(a, r) \{a} 6) =⇒∃lim h(x)=L. lim f(x) = lim g(x)=L x→a x→a x→a MÖnh ®Ò 11. (Tiªu chuÈn Cauchy) Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ Rm, a lµ ®iÓm tô cña D. Khi ®ã, tån t¹i lim f(x) khi vµ chØ khi x→a ∀>0, ∃δ>0, ∀x, x0 ∈ D, (0 < kx − ak, kx0 − ak <δ, =⇒kf(x) − Lk <) x2 − y2 VÝ dô. 1) XÐt giíi h¹n lim .Tacã x→0 x2 + y2 y→0 x2 − y2 x2 − k2x 1 − k2 lim = lim = x→0 x2 + y2 x→0 x2 + kx2 1+k2 y→0 y=kx VËy, khi cho (x, y) → (0, 0) theo ®−êng th¼ng y = kx, ta nhËn ®−îc gi¸ trÞ giíi h¹n phô thuéc vµo k. Do ®ã, giíi h¹n ®· cho kh«ng tån t¹i. (x + y2)2 2) XÐt giíi h¹n lim .Tacã x→0 x2(1 + y2) y→0 (x + y2)2 x2(1 + xk2)2 lim = lim =1 x→0 x2(1 + y2) x→0 (1 + x2k2)x2 y→0 y=kx VËy, khi cho (x, y) → (0, 0) theo ®−êng th¼ng y = kx, ta nhËn cïng gi¸ trÞ giíi h¹n lµ 1 víi mäi k. Tuy nhiªn kh«ng thÓ kÕt luËn giíi h¹n ®ang xÐt b»ng1.Ta xÐt thªm tr−êng hîp (x, y) → (0, 0) theo parabol x = y2 (x + y2)2 (y2 + y2)2 lim = lim =4 x→0 x2(1 + y2) y→0 (1 + y2)y4 y→0 x=y2 VËy, giíi h¹n ®ang xÐt kh«ng tån t¹i.
9 x2y2(x2 + y2) 3) XÐt giíi h¹n lim .Tacã x→0 x4 + y4 y→0 x2y2(x2 + y2) x4y2 x2y4 x4y2 x2y4 0 ≤ = + ≤ + = y2 + x2 x4 + y4 x4 + y4 x4 + y4 x4 y4 x2y2(x2 + y2) V× lim(y2+x2)=0, nªn theo tÝnh chÊt giíi h¹n kÑp suy ra lim =0. x→0 x→0 x4 + y4 y→0 y→0 2.2.2 Giíi h¹n lÆp Giíi h¹n ®−îc xÐt ë môc tr−íc lµ giíi h¹n béi, nã ®ßi hái c¸c thµnh phÇn cña x dÇn ®ång bé vÒ c¸c thµnh phÇn cña a. Ta th−êng gäi t¾t giíi h¹n béi lµ giíi h¹n. Ta ph©n biÖt víi mét kh¸i niÖm giíi h¹n kh¸c ®−îc xÐt ®Õn sau ®©y. §Ó ®¬n gi¶n, nh−ng kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta tr×nh bµy cho hµm hai biÕn f : D ⊂ R2 −→ R víi (x0,y0) lµ ®iÓm tô cña D . §Þnh nghÜa 7. NÕu víi mçi y =6 y0 cè ®Þnh, tån t¹i c¸c giíi h¹n lim = g(y) vµ x→x0 lim g(y)=L, th× L gäi lµ giíi h¹n lÆp cña hµm f(x, y) khi x → x0 vµ y → y0. y→y0 Khi ®ã ta viÕt lim lim f(x, y)=L. y→y0 x→x0 Giíi h¹n lÆp lim lim f(x, y) ®−îc ®Þnh nghÜa t−¬ng tù. x→x0 y→y0 C¸c kh¸i niÖm giíi h¹n cã quan hÖ g× víi nhau kh«ng? Ta h·y xÐt c¸c vÝ dô sau x2 − y2 VÝ dô. 1) XÐt hµm f(x, y)= . Khi ®ã x2 + y2 x2 − y2 x2 − y2 lim lim =1, lim lim = −1, x→0 y→0 x2 + y2 y→0 x→0 x2 + y2 x2 − y2 tuy nhiªn kh«ng tån t¹i lim . x→0 x2 + y2 y→0 1 1 2) XÐt hµm f(x, y)=(x + y) sin sin . Khi ®ã lim lim f(x, y)=0, tuy nhiªn x y x→0 y→0 kh«ng tån t¹i c¸c giíi h¹n lim lim f(x, y), lim lim f(x, y). x→0 y→0 y→0 x→0 1 3) XÐt hµm f(x, y)=x sin . Khi ®ã lim lim f(x, y)=0, lim lim f(x, y)=0, y x→0 y→0 y→0 x→0 tuy nhiªn kh«ng tån t¹i giíi h¹n lim lim f(x, y). x→0 y→0
10 2.2.3 Giíi h¹n v« cïng - Giíi h¹n ë v« cïng T−¬ng tù nh− hµm mét biÕn ta cßn xÐt c¸c giíi h¹n khi x dÇn ®Õn ∞ vµ giíi h¹n v« cïng lim f(x)=L, lim f(x)=∞, lim f(x)=∞. x→∞ x→a x→∞ XÐt tËp sè thùc më réng R = R ∪ {−∞, +∞}. Víi a ∈ R vµ r>0, ta ®Æt (a − r, a + r) nÕu a =6 ±∞  1 ( , +∞) nÕu a =+∞ U(a, r)= r 1 (−∞, − ) nÕu a = −∞  r n Kh«ng gian thùc më réng n chiÒu ®−îc hiÓu lµ tÝch Descartes R = R×R×· · ·×R. Víi a =(a1,a2, ,an) ∈ R vµ r>0, ta ®Æt U(a, r)=U(a1) × U(a2) ×···×U(an) Kh¸i niÖm ®iÓm tô trong kh«ng gian më r«ng còng ®−îc ®Þnh nghÜa t−¬ng tù: n n §iÓm a ∈ R gäi lµ ®iÓm tô cña M ⊂ R nÕu vµ chØ nÕu víi mäi r>0 ta cã (U(a, r) \{a}) ∩ M =6 ∅. 2 VÝ dô. 1) XÐt a =(1, +∞) ∈ R . Khi ®ã 1 1 U(a, r)=(1− r, 1+r) × ( , +∞)={(x, y) ∈ R2 : | x | } r r n n 2) Víi a ∈ R , U(a, r) lµ h×nh hép më {x ∈ R : | xi − ai | 0, ∃δ>0,x∈ (U(a, δ) \{a}) ∩ D =⇒ f(x) ∈ U(L, ). 1 1 √ VÝ dô. lim ( + )=∞, v× víi mäi >0, tån t¹i δ = ,tacã x→0 x2 y2 y→∞ 1 1 1 1 1 | x | =⇒ f(x, y)= + > > . δ x2 y2 x2
11 NhËn xÐt. NÕu a ∈ Rn, L ∈ R, th× c¸c §Þnh nghÜa 6 vµ 8 lµ t−¬ng ®−¬ng nhê bÊt ®¼ng thøc n | xi − ai |≤ kx − ak≤X | xk − ak |, ∀i =1, 2, ,n. k=1 2.3 TÝnh liªn tôc 2.3.1 TÝnh liªn tôc- TÝnh liªn tôc ®Òu §Þnh nghÜa 9. Cho f : D ⊂ Rn −→ Rm vµ a ∈ D lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ liªn tôc t¹i a ∈ D nÕu lim = f(a). x→a Hµm f gäi lµ liªn tôc trªn D nÕu f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x ∈ D, tøc lµ ∀>0, ∀x ∈ D, ∃δ(, x) > 0, ∀x0 ∈ D, (0 0, ∃δ() > 0, ∀x, x0 ∈ D, (0 0, tån t¹i δ = , sao cho (x, x0 ∈ Rn, kx − x0k 0, víi mäi x ∈ D, tån t¹i δ = min kxk, kxk2 sao cho víi 2 2 1 1 mäi x0 ∈ D, ta cã − <. kxk kx0k
12 b) Hµm f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn D: 1 0 1 n Chon hai d·y (xk)= , 0, ,0, (x )= , 0, ,0 trong R . Khi ®ã k k k 0 1 1 1 kxk − x k = − = → 0, (k →∞) k k k +1 k(k +1) 0 |f(xk) − f(xk)| = |k − (k +1)| =1→ 0. 0 0 VËy, nÕu lÊy 0 0, tån t¹i xN ,xN sao cho kxN − xN k, ta cã 0 |f(xN ) − f(xN )| =1>0. c) Hµm f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn D(r)={x ∈ Rn | 0 <r<kxk < 1}. ThËt vËy, ®iÒu nµy suy ra tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc 0 1 1 kxk−kx k kx − x0k − = ≤ . kxk kx0k kxkkx0k r2 MÖnh ®Ò 12. Tæng, hiÖu, tÝch, th−¬ng (víi mÉu kh¸c 0), hîp c¸c hµm liªn tôc lµ liªn tôc. Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ c¸c tÝnh chÊt cña giíi h¹n. 2 i1 in VÝ dô. 1) §a thøc n biÕn f(x1,x2, ,xn)= X ai1 in x1 ···xn lµ liªn 0≤i1, ,in≤N n tôc trªn R v× lµ tæng vµ tÝch cña c¸c hµm liªn tôc πi(x)=xi vµ c¸c hµm h»ng. n m 2) Víi A ∈ MatR(m, n), ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T : R −→ R , T (x)=Ax lµ liªn tôc trªn Rn v× mçi hµm thµnh phÇn lµ ®a thøc bËc 1. 2.3.2 Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n cña hµm liªn tôc §Þnh lý 1. (Weierstrass). NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ K lµ compact, th× f(K) lµ compact. Chøng minh. Gi¶ sö (yk) lµ mét d·y trong f(K). Khi ®ã, tån t¹i d·y (xk) trong K, sao cho yk = f(xk).DoK lµ com pact, tån t¹i d·y con (xkp) h«i tô vÒ x ∈ K. Do tÝnh liªn tôc cña f d·y con (ykp = f(xkp) héi tô vÒ f(x) ∈ f(K). VËy, f(K) lµ compact. 2 HÖ qu¶ 1. NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ R liªn tôc vµ K lµ compact, th× f ®¹t ®−îc max, min trªn K, tøc lµ, tån t¹i x1,x2 ∈ K sao cho f(x1) = supf(x), x∈K f(x2) = inf f(x). x∈K
13 Chøng minh. Theo §Þnh lý trªn, f(K) lµ tËp compact. Do tÝnh giíi néi tån t¹i M = supf(x), m = inf f(x). Tõ §Þnh nghÜa sup, víi mäi k ∈ N, tån t¹i xk ∈ K x∈K x∈K 1 sao cho M − ≤ f(x ) ≤ M. Râ rµng, (f(x )) héi tô vÒ M khi k →∞. k k k MÆt kh¸c, do d·y (xk) ë trong tËp compact K, tån t¹i d·y con (xkp) héi tô vÒ x1 ∈ K. Do tÝnh liªn tôc cña f d·y con (ykp = f(xkp) héi tô vÒ f(x1) ∈ f(K). Tõ tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra f(x1)=M. T−¬ng tù cho tr−êng hîp cßn l¹i. 2 n m VÝ dô. Víi A ∈ MatR(m, n), ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T : R −→ R , T (x)=Ax lµ liªn tôc trªn tËp compact S = {x ∈ Rn |kxk =1} nªn ®¹t ®−îc max trªn ®ã. Ký hiÖu kT k = max T (x), gäi lµ chuÈn cña T . Víi mäi x ∈ Rn ta cã kxk=1 1 x kTxk = T ≤kT k. kxk kxk Tõ ®ã suy ra kTxk≤kT kkxk §Þnh lý 2. (Cantor). NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ K lµ compact, th× f liªn tôc ®Òu trªn K. Chøng minh. Gi¶ sö f kh«ng liªn tôc ®Òu, tøc lµ tån t¹i >0 sao cho víi mäi 0 k ∈ N, tån t¹i xk,xk ∈ K ta cã 1 kx − x0 k < =⇒|f(x ) − f(x0 )|≥. k k k k k Do K compact, tån t¹i d·y con (xkp) cña (xk) héi tô vÒ x ∈ K. Tõ bÊt ®¼ng thøc 1 kx − x0 k < , suy ra d·y con (x0 ) cña (x0 ) còng héi tô vÒ a ∈ K. Do tÝnh liªn k k k kp k 0 0 tôc cña f c¸c d·y (f(xkp)), (f(xkp)) héi tô vÒ f(a). VËy, |f(xkp) − f(xkp)|→0, khi p → 0. §iÒu nµy m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt. 2 §Þnh lý 3. NÕu hµm f : C ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ C lµ liªn th«ng, th× f(C) lµ liªn th«ng. Chøng minh. Gi¶ sö y1,y2 ∈ f(C). Gäi x1,x2 ∈ C sao cho y1 = f(x1) , y2 = f(x2).DoC liªn th«ng, tån t¹i ®−êng cong liªn tôc γ :[0, 1] −→ C sao cho γ(0) = x1, γ(1) = x2. Khi ®ã, f ◦ γ :[0, 1] −→ f(C) lµ ®−êng cong liªn tôc nèi y1 vµ y2 n»m trong f(C). 2
14 HÖ qu¶ 2. (§Þnh lý gi¸ trÞ trung gian) NÕu hµm f : C ⊂ Rn −→ R liªn tôc vµ C lµ liªn th«ng, th× víi a, b ∈ C vµ µ ∈ R mµ f(a) <µ<f(b), tån t¹i c ∈ C sao cho f(c)=µ. Chøng minh. f(C) lµ bé phËn liªn th«ng cña R nªn lµ mét kho¶ng cña R. 2 3 §¹o hµm vµ vi ph©n 3.1 §¹o hµm riªng n m §Þnh nghÜa 10. Cho f =(f1,f2, ,fm): U ⊂ R −→ R lµ hµm n biÕn x1,x2, ,xn x¸c ®Þnh trªn tËp më U. §¹o hµm riªng theo biÕn xi t¹i ®iÓm a =(a1,a2, ,an) ∈ U lµ giíi h¹n (nÕu cã) f(a +∆xe ) − f(a) lim i , ∆xi→0 ∆xi n trong ®ã ∆x =(∆x1, ,∆xn) vµ ei, i =1, ,n, lµ c¬ së chÝnh t¾c cña R . ∂f §¹o hµm riªng theo biÕn xi t¹i ®iÓm a ®−îc ký hiÖu lµ (a) hoÆc Dif(a) hoÆc ∂xi 0 fxi (a). VÝ dô. XÐt hµm f(x, y) = sin(xy). Khi ®ã ∂f f(x +∆x, y) − f(x, y) (x, y) = lim ∂x ∆x→0 ∆x sin(x +∆x)y − sin xy = lim ∆x→0 ∆x y∆x y∆x 2 cos xy + sin = lim 2 2 ∆x→0 ∆x y∆x sin y∆x 2 = lim y cos xy + ∆x→0 2 y∆x 2 = y cos(xy). ∂f T−¬ng tù, (x, y)=x cos(xy). ∂y ∂f NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy r»ng viÖc tÝnh (a) nh− tÝnh ®¹o hµm cña ∂xi hµm mét biÕn xi nÕu xem c¸c biÕn xk,víi k =6 i, lµ h»ng.
15 VÝ dô. XÐt hµm f(x, y)=ey sin 2x. Tõ c¸c c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm mét biÕn ta cã ∂f ∂f (x, y)=2ey cos 2x, (x, y)=ey sin 2x ∂x ∂y n m MÖnh ®Ò 13. Cho f =(f1,f2, ,fm): U ⊂ R −→ R vµ a ∈ U. Khi ®ã, tån ∂f ∂f t¹i (a) nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i j (a), víi mäi j =1, ,m,vµ ∂xi ∂xi ∂f ∂f ∂f ∂f (a)= 1 (a), 2 (a), , n (a). ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi Chøng minh. Suy ra tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n hµm vector. 2 3.2 Sù kh¶ vi n m §Þnh nghÜa 11. Hµm f =(f1,f2, ,fm): U ⊂ R −→ R gäi lµ kh¶ vi t¹i a ∈ U nÕu tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L: Rn −→ Rn sao cho f(a +∆x)=f(a)+L(∆x)+o(∆x), (1) n trong ®ã ∆x =(∆x1, ,∆xn) ∈ R vµ o(∆x) lµ hµm theo ∆x tháa o(∆x) lim =0. ∆x→0 k∆xk NhËn xÐt. NÕu ¸nh x¹ f kh¶ vi, th× ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong ®Þnh nghÜa trªn lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö cã thªm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T tháa (1). Khi ®ã (L − T )(∆x) lim =0. ∆x→0 k∆xk n Víi c¬ së chÝnh t¾c ei =(0, ,1, ,n), i =1, 2, ,n, cña R ta cã (L − T )(tei) lim = lim (L − T )(ei)=(L − T )(ei)=0. t→0+ k∆teik t→0+ Tõ ®ã, (L − T )(x)=0, víi mäi x ∈ Rn, tøc lµ, L = T . Gi¶ sö f kh¶ vi t¹i a, khi ®ã ma trËn biÔu ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong c¬ së chÝnh t¾c cña Rn ®−îc x¸c ®Þnh bëi mÖnh ®Ò sau ®©y
16 MÖnh ®Ò 14. 1) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× nã liªn tôc t¹i ®ã. ∂f 2) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× nã cã c¸c ®¹o hµm riªng i (a), i =1, ,m, ∂xj j =1, ,n vµ ma trËn A biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L (trong ®Þnh nghÜa 11) ®èi víi c¬ së chÝnh t¾c ®−îc cho bëi ∂f ∂f ∂f  1 (a) 1 (a) ··· 1 (a) ∂x ∂x ∂x  1 2 n   ∂f2 ∂f2 ∂f2   (a) (a) ··· (a) A = Jf (a):= ∂x1 ∂x2 ∂xn   . . . .   . . . .    ∂fm ∂fm ∂fm   (a) (a) ··· (a) ∂x1 ∂x2 ∂xn Ma trËn Jf (a) ®−îc gäi lµ ma trËn Jacobi cña f t¹i a hay ma trËn ®¹o hµm cña f t¹i a, nã cßn ®−îc ký hiÖu lµ f 0(a). §¹i l−îng f 0(a)∆x gäi lµ vi ph©n cña f t¹i a vµ ®−îc ký hiÖu lµ df (a). Chøng minh. 1) Tõ ®Þnh nghÜa tÝnh kh¶ vi ta cã ngay f(x) → f(a) khi x → a. 2) Gi¶ sö f kh¶ vi t¹i a, tøc lµ n f(a +∆x)=f(a)+X Ai∆xi + o(∆x), i=1 trong ®ã, Ai lµ cét thø i cña ma trËn A ∈ MatR(m, n) biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong c¬ së chÝnh t¾c. Suy ra n f(a +∆x) − f(a)+X Ai∆xi lim i=1 =0. (1) ∆x→0 k∆xk Trong (1) cho ∆xk =0víi k =6 i ta ®−îc ∂f f(a +∆xiei) − f(a) (a) = lim = Ai, ∂xi ∆xi→0 ∆xi n trong ®ã ei, i =1, 2, ,n lµ c¬ së chÝnh t¾c cña R . 2 NhËn xÐt. 1) NÕu f(x1,x2, ,xn)=xi, th× df = dxi =∆xi. VËy, theo MÖnh ®Ò 14, ta cã c«ng thøc cña vi ph©n ∂fi ∂fi ∂fi df i(a)= (a)dx1 + (a)dx2 + ···+ (a)dxn,i= i, . . . , m. ∂x1 ∂x2 ∂xn
17 2) NÕu f cã c¸c ®¹o hµm riªng t¹i a, th× f cã thÓ kh«ng kh¶ vi t¹i ®ã. VÝ dô, ∂f ∂f hµm sè f(x, y)=p| xy | cã c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) = (0, 0) = 0.Tuy ∂x ∂y nhiªn, f kh«ng kh¶ vi t¹i (0, 0). ThËt vËy, nÕu f kh¶ vi, th× theo mÖnh ®Ò trªn ta cã ∂f ∂f f(∆x, ∆y) − f(0, 0) − (0, 0)∆x − (0, 0)∆y ∂x ∂y p| ∆x∆y | lim = lim =0 ∆x→0 2 2 ∆x→0 2 2 ∆y→0 p∆x +∆y ∆y→0 p∆x +∆y p| ∆x∆y | 1 Nh−ng ®iÒu nµy kh«ng thÓ v× lim = √ . ∆x→0 2 2 2 ∆y→0 p∆x +∆y ∆x=∆y §Þnh nghÜa 12. Cho f : U ⊂ Rn −→ Rm lµ hµm x¸c ®Þnh trªn tËp më U. Ta nãi ∂f f thuéc líp C1 trªn U nÕu f cã c¸c ®¹o hµm riªng (x), i =1, 2, ,n, liªn ∂xi tôc trªn U. MÖnh ®Ò 15. Cho f : U ⊂ Rn −→ Rm thuéc líp C1 trªn tËp më U. Khi ®ã, f kh¶ vi trªn U. Chøng minh. ChØ cÇn xÐt tr−êng hîp m =1. Víi ∆x =(∆x1, ∆x2, ,∆xn) ®ñ bÐ ta cã n f(x +∆x) − f(x)=X(f(x + ui) − f(x + ui−1),ui =(∆x1, ,∆xi, 0, ,0) i=1 Víi mçi i, ¸p dông §Þnh lý Lagrange cho hµm mét biÕn ϕi(xi)=f(x + ui−1) ϕi(xi +∆xi) − ϕi(xi)=f(x + ui) − f(x + ui−1) ∂f = (ci)∆xi, víi ci = x + ui−1 + θi∆xiei. ∂xi Do tÝnh liªn tôc cña c¸c ®¹o hµm riªng t¹i x ∈ U ta cã n n ∂f ∂f ∂f f(x +∆x) − f(x) − X (x) X (ci) − (x) ∆xi ∂xi ∂xi ∂xi lim i=1 = lim i=1 =0. ∆x→0 k∆xk ∆x→0 k∆xk VËy, f kh¶ vi t¹i x. 2
18 3.3 C¸c c«ng thøc c¬ b¶n MÖnh ®Ò 16. Cho f,g: U ⊂ Rn −→ Rm 1) NÕu f,g kh¶ vi t¹i x, th× f + g còng kh¶ vi t¹i x vµ (f + g)0(x)=f 0(x)+g0(x). 2) NÕu f,g kh¶ vi t¹i x vµ m =1, th× fg còng kh¶ vi t¹i x vµ (fg)0(x)=f 0(x)g(x)+g0(x)f(x). f 3) NÕu f,g kh¶ vi t¹i x, g(x) =06 vµ m =1, th× còng kh¶ vi t¹i x vµ g f 0 f 0(x)g(x) − f(x)g0(x) (x)= g g(x)2 Chøng minh. Suy ra tõ c¸c c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm mét biÕn. 2 MÖnh ®Ò 17. (§¹o hµm hµm hîp). Cho c¸c hµm f : U −→ V , g : V −→ W , víi U,V,W lÇn l−ît lµ c¸c tËp më trong Rn, Rm, Rp. NÕu f kh¶ vi t¹i x vµ g kh¶ vi t¹i y = f(x), th× g ◦ f kh¶ vi t¹i x vµ (g ◦ f)0(x)=g0(f(x))f 0(x). Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt : 0 f(x +∆x)=f(x)+f (x)∆x + ϕ1(∆x), víi ϕ1(∆x)=o(k∆xk). 0 g(f(x)+∆y)=g(f(x)) + g (f(x))∆y + ϕ2(∆y), víi ϕ2(∆y)=o(k∆yk). Suy ra 0 g ◦ f(x +∆x)=gf(x)+f (x)∆x + ϕ1(∆x) | ∆{zy } = g(f(x)) + g0(f(x))f 0(x)∆x 0 0 + g (f(x))ϕ1(∆x)+ϕ2(f (x)∆x + ϕ1(∆x)) | ϕ(∆{zx) } Khi ®ã ta cã ( víi ký hiÖu kAk lµ chuÈn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh x 7−→ Ax, A ∈ MatR(m, n)) 0 0 kg (f(x))ϕ1(∆x)k≤kg (f(x)kkϕ1(∆x)k = o(k∆xk) kϕ (f 0(x)∆x + ϕ (∆x))k k 0 k 2 1 k 0 k ϕ2(f (x)∆x + ϕ1(∆x)) = 0 f (x)∆x + ϕ1(∆x) kf (x)∆x + ϕ1(∆x)k | =α(∆x)→0{z, khi ∆x → 0 } 0 ≤ α(∆x)(kf (x)kk∆xk + kϕ1(∆x)k)=o(k∆xk)
19 VËy, ϕ(∆x)=o(k∆xk). Suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. 2 Chó ý. Tõ MÖnh ®Ò 17 ta cã c«ng thøc th−êng dïng vÒ tÝnh ®¹o hµm riªng cña hµm hîp. NÕu ký hiÖu f(x)=(f1(x1, ,xn), ,fm(x1, ,xn)) g(x)=(g1(y1, ,ym), ,gp(y1, ,ym)), (g ◦ f)(x)=((g ◦ f)1(x1, ,xn), ,(g ◦ f)p(x1, ,xn)) th× phÐp nh©n c¸c ma trËn ®¹o hµm ë trªn lµ ∂(g ◦ f) ∂(g ◦ f) ∂g ∂g ∂f ∂f  1 ··· 1   1 ··· 1   1 ··· 1  ∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym ∂x1 ∂xn  . . .   . . .   . . .   . . .  =  . . .   . . .   . . .   . . .   . . .  ∂(g ◦ f) ∂(g ◦ f)  ∂g ∂g  ∂f ∂f   p ··· p   p ··· p   m ··· m  ∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym ∂x1 ∂xn Tõ ®ã, suy ra qui t¾c sau m ∂(g ◦ f)i ∂gi ∂fk (x)=X f(x) (x). ∂xj ∂yk ∂xj k=1 VÝ dô. Cho f(x, y) lµ hµm hai biÕn x, y kh¶ vi vµ h(r, ϕ)=f(r cos ϕ, r sin ϕ). Khi ®ã ∂h ∂f ∂f (r, ϕ)= (r cos ϕ, r sin ϕ) cos ϕ + (r cos ϕ, r sin ϕ) sin ϕ ∂r ∂x ∂y ∂h ∂f ∂f (r, ϕ)= (r cos ϕ, r sin ϕ)(−r sin ϕ)+ (r cos ϕ, r sin ϕ)r cos ϕ ∂ϕ ∂x ∂y 3.4 Mét sè ý nghÜa cña sù kh¶ vi 3.4.1 ¸nh x¹ tiÕp xóc- Ph¼ng tiÕp xóc Gi¶ sö hµm f kh¶ vi t¹i a, tøc lµ f(x)=f(a)+f 0(a)(x − a)+o(kx − ak) VËy, f cã thÓ xÊp xØ ë l©n cËn cña a, bëi ¸nh ¸nh x¹ afffin f(x) ≈ f(a)+f 0(a)(x − a)=:T (x). ¸nh x¹ affin T (x) gäi lµ ¸nh x¹ tiÕp xóc víi f t¹i a.
20 π VÝ dô. TÝnh gÇn ®óng rsin2( +0, 021) + 8e0,015. √ 2 XÐt hµm f(x, y)= sin2 x +8ey. Ta cã xÊp xØ π π rsin2( +0, 021) + 8e0,015 = f( +∆x, 0+∆y) 2 2 π ∂f π ∂f π ≈ f( , 0) + ( , 0)∆x + ( , 0)∆y 2 ∂x 2 ∂y 2 . π sin π · 0, 021 + 8e0 · 0, 015 = rsin2 +8+ 2 π 2rsin2 +8e0 2 8 · 0, 015 =3+ =3, 02 6 VÒ mÆt h×nh häc, tÝnh kh¶ vi cña f t¹i a t−¬ng ®−¬ng víi viÖc ®å thÞ G(f) cã ph¼ng tiÕp xóc t¹i ®iÓm (a, f(a)). Khi ®ã, ph¼ng tiÕp xóc cña G(f) t¹i (a, f(a)) lµ ®å thÞ cña ¸nh x¹ tiÕp xóc T (x) n m 0 Ta = G(T )={(x, y) ∈ R × R | y = f(a)+f (a)(x − a)}, v× ta cã d((x, f(x)),Ta) ≤ d((x, f(x)), (x, T (x))) = d(f(x),T(x)) = o(kx − ak), khi x → a. 3.4.2 Gradient Cho f : Rn −→ R. Khi ®ã, gradient cña f t¹i x, ký hiÖu Of(x) hay gradf(x), lµ vector ∂f ∂f ∂f Of(x)=gradf(x)= (x), (x), , (x). ∂x1 ∂x2 ∂xn n Víi c ∈ R, tËp Mc = {x ∈ R | f(x)=c} gäi lµ mÆt møc. NÕu ®−êng cong n γ :(−1, 1) −→ R n»m trªn mÆt møc Mc, tøc lµ γ(t) ∈ Mc, ∀t ∈ (−1, 1), th× theo c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ta cã (f ◦ γ)0(t)=f 0(γ(t))γ0(t)=hgradf(x),γ0(t)i =0. VËy, vÒ mÆt h×nh häc, vector gradf(x) vu«ng gãc víi mÆt møc Mc t¹i x. Suy ra, ph−¬ng tr×nh ph¼ng tiÕp xóc víi Mc t¹i a =(a1,a2, ,an) lµ ∂f ∂f hgradf(a), (x − a)i =0hay (a)(x1 − a1)+···+ (a)(xn − an)=0. ∂x1 ∂xn
21 3.4.3 §¹o hµm theo h−íng n n Cho hµm sè f(x1,x2, ,xn) x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ R vµ vector v ∈ R \{0}. ∂f §¹o hµm theo h−íng v cña hµm f t¹i a, ký hiÖu (a) hay D f(a), lµ giíi h¹n ∂v v (nÕu cã) ∂f f(a + tv) − f(a) (a)=Dvf(a) = lim . ∂v t→0+ t ∂f ∂f NhËn xÐt. 1) (a)= (a). ∂ei ∂xi ∂f 2) (a) ®¸nh gi¸ tèc ®é biÕn thiªn cña f theo h−íng v t¹i a. ∂v 3) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× f cã ®¹o hµm theo mäi h−íng t¹i a. ThËt vËy, ta cã ∂f f(a + tv) − f(a) (a) = lim ∂v t→0 t f 0(a)tv + o(ktvk) = lim t→0 t = f 0(a)v = hgradf(a),vi. VËy, hgradf(a),vi qui ®Þnh tèc ®é biÕn thiªn cña f ë l©n cËn cña a theo h−íng v. Ta cã bÊt ®¼ng thøc Schwartz | gradf(a) · v |≤ kgradf(a)kkvk, vµ dÊu 00 =00 x¶y ra khi v cïng ph−¬ng víi gradf(a). Suy ra, tèc ®é biÕn thiªn cña hµm f theo h−íng ±gradf(a) lµ nhanh nhÊt (cïng h−íng th× t¨ng nhanh nhÊt, ng−îc h−íng th× gi¶m nhanh nhÊt). 3.5 §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh- §Þnh lý phÇn gia §Þnh lý 4. (§Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh). Cho f : U −→ R lµ hµm kh¶ vi trªn tËp më U ⊂ Rn. Gi¶ sö a, b ∈ U sao cho ®o¹n [a, b]:={x + th | o ≤ t ≤ 1}⊂U. Khi ®ã, tån t¹i ξ ∈ [a, b] sao cho f(b) − f(a)=f 0(ξ)(b − a) Chøng minh. §Æt γ(t)=a + t(b − a), t ∈ [0, 1] Vµ xÐt hµm mét biÕn F := f ◦ γ :[0, 1] −→ R. Theo §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh ®èi víi hµm mét biÕn, tån t¹i c ∈ [0, 1] víi f(b) − f(a)=F (1) − F (0) = F 0(c)=f 0(γ(c))(b − a).
22 §Æt ξ = γ(c), ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 2 NhËn xÐt. §èi víi hµm vector ta kh«ng cã c«ng thøc t−¬ng tù. Ch¼ng h¹n, xÐt hµm f : R −→ R2,f(t) = (cos t, sin t). Khi ®ã ph−¬ng tr×nh sau lµ v« nghiÖm f(2π) − f(0) = f 0(c)(2π − 0) ⇐⇒ (0, 0)=(− sin t, cos t). Tuy nhiªn ta cã d¹ng bÊt ®¼ng thøc sau ®©y §Þnh lý 5. (§Þnh lý phÇn gia h÷u h¹n). Cho f : U −→ R lµ hµm kh¶ vi trªn tËp më U ⊂ Rn. NÕu ®o¹n [a, b]:={x + th | o ≤ t ≤ 1}⊂U, th× kf(b) − f(a)k≤ sup kf 0(a + t(b − a)kkb − ak. 0≤t≤1 4 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao- C«ng thøc Taylor 4.1 §¹o hµm riªng cÊp cao §Þnh nghÜa 13. Cho hµm f x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn vµ a ∈ U. Gi¶ sö tån ∂f ∂f ∂f t¹i ®¹o hµm riªng (x) trªn U. Khi ®ã, (a) (nÕu tån t¹i), gäi lµ ∂xi ∂xj ∂xi ®¹o hµm riªng cÊp 2 cña hµm f theo biÕn (i, j) t¹i a, vµ ®−îc ký hiÖu lµ 2 ∂ f 00 (a) hay fxj xi (a) hay Dj Dif(a) ∂xj∂xi T−¬ng tù, cã thÓ ®Þnh nghÜa vµ ký hiÖu ®¹o hµm riªng cÊp k ∂kf ∂f ∂fk−1 (a):= (a). ∂xik ∂xik−1 ∂xi1 ∂xik ∂xik−1 ∂xi1 ∂kf ∂kf Ta th−êng viÕt k (a) thay cho (a). ∂xi ∂xi∂xi ∂xi
23 VÝ dô. 1) Cho hµm sè f(x, y)=xy. Khi ®ã ∂f ∂f (x, y)=yxy−1 (x, y)=xy ln y ∂x ∂y ∂2f ∂2f (x, y)=y(y − 1)xy−2 (x, y)=(1+y ln x)xy−1 ln y ∂x2 ∂x∂y ∂2f ∂3f (x, y)=xy ln2 x (x, y)=y(y − 1)(y − 2)xy−3 ∂y2 ∂x3 ∂3f ∂3f (x, y)=(y ln2 x +2lnx)xy−1 (x, y)=xy ln3 x. ∂x∂y2 ∂y3 ∂2f ∂2f 2) H·y tÝnh (0, 0), (0, 0) víi ∂x∂y ∂y∂x x2 − y2 xy nÕu (x, y) =(06 , 0) f(x, y)= x2 + y2 0 nÕu (x, y)=(0, 0). .Tacã x2 − y2 4x2y3 ∂f y + nÕu (x, y) =(06 , 0) (x, y)= x2 + y2 (x2 + y2)2 ∂x 0 nÕu (x, y)=(0, 0). ∂f ∂f ∂2f (0, ∆y) − (0, 0) . Suy ra (0, 0) = lim ∂x ∂x = −1. ∂y∂x ∆y→0 ∆y ∂2f T−¬ng tù, (0, 0) = 1. ∂x∂y ∂f ∂f NhËn xÐt. Tõ vÝ dô 2, ta thÊy (0, 0) =6 (0, 0), tøc lµ, nãi chung ®¹o ∂x∂y ∂y∂x hµm cÊp cao kh«ng cã tÝnh ®èi xøng. Tuy nhiªn ta cã ®Þnh lý sau ∂2f §Þnh lý 6. (Schwartz) NÕu hµm f cã c¸c ®¹o hµm riªng cÊp 2: (x), ∂xi∂xj ∂2f (x) trong l©n cËn ®iÓm a ∈ Rn vµ liªn tôc t¹i a, th× ∂xj∂xi ∂2f ∂2f (a)= (a). ∂xi∂xj ∂xj∂xi
24 Chøng minh. ChØ cÇn lËp luËn cho hµm hai biÕn f(x, y) trong l©n cËn ®iÓm (a, b) ∈ R2. §Æt M(h, k)=f(a + h, b + k) − f(a + h, b) − f(a, b + k)+f(a, b). XÐt hµm mét biÕn u(x)=f(x, b + k) − f(x, b). Theo §Þnh lý Lagrange ta cã M(h, k)=u(a + h) − u(a) 0 = hu (a + θ1h), 0 ≤ θ1 ≤ 1 ∂f ∂f = h (a + θ h, b + k) − (a + θ h, b) ∂x 1 ∂x 1 ∂2f = hk (a + θ h, b + θ k), 0 ≤ θ ≤ 1 ∂y∂x 1 2 2 trong ®ã, ®¼ng thøc cuèi cã ®−îc b»ng c¸ch ¸p dông §Þnh lý Lagrange cho hµm ∂f theo biÕn y: (a + θ h, y) trªn ®o¹n [b, b + k]. ∂x 1 XÐt hµm v(y)=f(a + h, y) − f(a, y). LËp luËn t−¬ng tù ta còng cã ∂2f M(h, k)=hk (a + ϕ h, b + ϕ k), 0 ≤ ϕ ,ϕ ≤ 1. ∂x∂y 1 2 1 2 Tõ ®ã suy ra ∂2f ∂2f (a + θ h, b + θ k)= (a + ϕ h, b + ϕ k). ∂y∂x 1 2 ∂x∂y 1 2 Cho h, k → 0, do tÝnh liªn tôc cña c¸c ®¹o hµm riªng cÊp 2, ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. 2 §Þnh nghÜa 14. Cho hµm f x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn. Ta nãi f kh¶ vi liªn tôc cÊp k trªn U hay f thuéc líp Ck trªn U, nÕu vµ chØ nÕu f cã mäi ®¹o hµm riªng cÊp k trªn U vµ chóng liªn tôc trªn U. §Þnh lý Schwartz cã thÓ më réng cho ®¹o hµm riªng cÊp cao §Þnh lý 7. NÕu hµm hµm f thuéc líp Ck trªn tËp më U, th× ∂kf ∂kf (x)= (x) ∂xik ∂xi1 ∂xiσ(k) ∂xiσ(1) víi mäi x ∈ U vµ víi mäi ho¸n vÞ σ cña {1, 2, ,k}.
25 4.2 C«ng thøc Taylor Cho hµm f : U −→ R thuéc líp Ck trªn tËp më U ⊂ Rn. Víi a ∈ U vµ n x =(x1,x2, ,xn) ∈ R , ®Æt k k k ∂ f d f(a)x = X f(a)xi1 ···xik . ∂xi1 ···∂xik 1≤i1, ,in≤n dkf(a)xk lµ mét ®a thøc thuÇn nhÊt cÊp k. §Æc biÖt, d1f(a)x1 = df (a)x vµ qui −íc d0f(a)x0 = f(a). Ng−êi ta th−êng dïng ký hiÖu luü thõa h×nh thøc nh− sau k k k ∂ ∂ d f(a)x = x1 + ···+ xn f(a). ∂x1 ∂xn 2 2 2 ∂ f n d f(a)x = X f(a)xixj lµ d¹ng toµn ph−¬ng trªn R , gäi lµ d¹ng ∂xi∂xj 1≤i,j≤n Hesse cña f t¹i a, th−êng ký hiÖu lµ Hf (a), vµ ma trËn ®èi xøng ∂2f ∂2f  (a) (a) ∂x1∂x1 ∂x1∂xn 00  . .  f (a):= . .   . .   ∂2f ∂2f   (a) (a) ∂xn∂x1 ∂xn∂xn gäi lµ ma trËn Hesse. Ta còng th−êng gäi ma trËn nµy lµ ®¹o hµm cÊp 2 cña f t¹i a. §Þnh lý 8. Cho hµm f : U −→ R thuéc líp Ck trªn tËp më U ⊂ Rn,vµa, x ∈ U víi [a, x] ⊂ U. Khi ®ã, tån t¹i θ ∈ (0, 1) sao cho − k 1 1 1 f(x)=X dmf(a)(x − a)m + dkf(a + θ(x − a))(x − a)k. m! k! m=0 Chøng minh. XÐt hµm mét biÕn g(t)=f(a + t(x − a)), t ∈ [0, 1]. Theo c«ng thøc Taylor cho hµm mét biÕn, tån t¹i θ ∈ (0, 1), sao cho − k 1 1 1 g(1) = X g(m)(0) + g(θ)(0). (1) m! k! m=0
26 ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp, dÔ dµng chØ ra ®¼ng thøc sau b»ng qui n¹p g(m)(t)=dmf(a + t(x − a))(x − a)m. Thay g(m)(t) víi t =0,t= θ vµo (1), ta cã c«ng thøc cÇn chøng minh. 2 NhËn xÐt. C«ng thøc Taylor cho phÐp xÊp xØ hµm thuéc líp Ck t¹i l©n cËn mçi ®iÓm x bëi ®a thøc Taylor bËc k cña f t¹i a k 1 T f(a, x)=X dmf(a)(x − a)m, k m! m=0 víi phÇn d− Rk = f(x) − Tkf(a, x).Tacã 1 |R | = |T + dkf(a + θ(x − a))(x − a)k − T f(a, x)| k k−1 k! k 1 1 = dkf(a + θ(x − a))(x − a)k − dkf(a)(x − a)k k! k! 1 ∂kf ∂kf ≤kx − akk X (a + θ(x − a) − f(a) k! ∂xi1 ···∂xik ∂xi1 ···∂xik 1≤i1, ,in≤n = o(kx − akk) VÝ dô. H·y viÕt ®a thøc Taylor bËc 2 cña hµm f(x, y)=xy t¹i (1, 1).Tacã ∂f ∂f f 0(1, 1) = (1, 1) (1, 1) = 10 ∂x ∂y  ∂2f ∂2f  (1, 1) (1, 1) 00 ∂x2 ∂x∂y 01 f (1, 1) =   =  ∂2f ∂2f  10  (1, 1) (1, 1)  ∂y∂x ∂y2 Tõ ®ã, T2((1, 1), (x, y)) = 1 + (x − 1)+(x − 1)(y − 1).
27 5 Hµm ng−îc - Hµm Èn 5.1 §Þnh lý hµm ng−îc ®Þa ph−¬ng 5.1.1 Nguyªn lý ¸nh x¹ co §Þnh nghÜa 15. Cho tËp con M ⊂ Rn. ¸nh x¹ f : M −→ M gäi lµ ¸nh x¹ co nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i λ ∈ (0, 1) sao cho kf(x) − f(y)k≤λkx − yk, ∀x, y ∈ M. VÝ dô. Cho hµm kh¶ vi f : R −→ R, víi |f 0(x)|≤λ<1, víi mäi x ∈ R. Khi ®ã, theo §Þnh lý Lagrange |f(x) − f(y)| = |f 0(c)||x − y|≤λ|x − y|. Tõ ®ã, f lµ ¸nh x¹ co. §Þnh lý 9. (§Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng ) Cho M ⊂ Rn lµ tËp ®ãng vµ ¸nh x¹ f : M −→ M lµ ¸nh x¹ co. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt ®iÓm x∗ ∈ M sao cho f(x∗)=x∗. ∗ Cô thÓ, ®iÓm bÊt ®éng x cña f lµ giíi h¹n cña d·y ®iÓm (xk) trong M ®−îc x©y dùng nh− sau: Chän ®iÓm xuÊt ph¸t x0 ∈ M vµ ®Æt xk+1 = f(xk),k=0, 1, Chøng minh. Víi d·y (xk) x©y dùng ë trªn, ta cã k kxk+1 − xkk = kf(xk) − f(xk−1k≤λkxk − xk−1k≤λ kx1 − x0k. Suy ra víi m =1, 2, kxk+m − xkk≤kxk+m − xk+m−1k + ···+ kxk+1 − xkk k+m−1 k ≤ (λ + ···+ λ )kx1 − x0k λk ≤ kx − x k→0, khi k →∞. 1 − λ 1 0 ∗ ∗ VËy, (xk) lµ d·y Cauchy, tõ ®ã tån t¹i lim = x .DoM ®ãng x ∈ M.V×f lµ k→∞ ¸nh x¹ co nªn f liªn tôc, suy ra ∗ ∗ f(x )=limf(xk)=limxk+1 = x . NÕu f cã thªm ®iÓm bÊt ®éng x¯,tøc lµ f(¯x)=¯x, th× kx∗ − x¯k = kf(x∗) − f(¯xk≤λkx∗ − x¯k V× λ<1 nªn kx∗ − x¯k =0, tøc lµ, x∗ =¯x. 2
28 5.1.2 §Þnh lý hµm ng−îc 1 0 0 Cho hµm f : R −→ R thuéc líp C trªn (a, b) 3 x0 vµ f (x0) =06 . Khi ®ã f (x) kh«ng ®æi dÊu trong mét l©n cËn U cña x0, tøc lµ f lu«n t¨ng, hoÆc lu«n gi¶m trªn U. Tõ ®ã, f cã hµm ng−îc f −1 còng thuéc líp C1 trªn mét l©n cËn V nµo ®ã cña f(x0) vµ víi mäi y ∈ V ta cã c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm ng−îc 1 (f −1)0(y)= . f 0(f −1(y)) Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ t−¬ng tù cho tr−êng hîp nhiÒu chiÒu. §Þnh lý 10. (§Þnh lý hµm ng−îc ) Cho hµm f : Rn −→ Rn thuéc líp Ck trªn mét tËp më U chøa a vµ detf 0(a) =06 . Khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn V cña a vµ l©n cËn W cña f(a) sao cho f : V −→ W cã hµm ng−îc f −1 : W −→ V thuéc líp Ck vµ víi mäi y ∈ W ta cã c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm ng−îc −1 (f −1)0(y)=f 0(f −1(y)) . Chøng minh. Ta cã c¸c nhËn xÐt sau 0 −1 0 0 −1 0 NhËn xÐt 1: §Æt g(x)=f (a) f(x), khi ®ã g (a)=f (a) f (a)=In. NÕu −1 g cã hµm ng−îc g−1, th× f cã hµm ng−îc f −1 = g−1 ◦ f 0(a) . NhËn xÐt 2: §Æt g(x)=f(x + a) − f(a), khi ®ã g(0) = 0. NÕu g cã hµm ng−îc g−1, th× f cã hµm ng−îc f −1(x)=g−1x − f(a) + a . 0 Tõ NhËn xÐt 1, 2, cã thÓ gi¶ thiÕt a =0, f(a)=0, f (0) = In. 1) Tån t¹i f −1 ®Þa ph−¬ng. Víi mäi y trong l©n cËn nµo ®ã cña O , ta chØ ra ph−¬ng tr×nh y = f(x) cã duy nhÊt nghiÖm x trong l©n cËn nµo ®ã cña O.Víi y ∈ Rn vµ x ∈ U ®Æt ϕy(x)=y + x − f(x) −1 Khi ®ã f (y)={x ∈ U | y = f(x)} = {x ∈ U | ϕy(x)=x} Ta t×m c¸c l©n cËn thÝch hîp ®Ò cã thÓ ¸p dông §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng cho ϕy. 0 0 V× f (0) = In vµ tÝnh liªn tôc cña f (x), tån t¹i r>0 sao cho B(0, 2r) ⊂ U vµ 1 kI − f 0(x)k≤ , ∀x ∈ B(0, 2r). n 2 0 0 MÆt kh¸c, ta cã ϕy(x)=In − f (x). Theo theo §Þnh lý phÇn gia, ta cã 1 kϕ (x ) − ϕ (x )k≤ kx − x k, ∀x ,x ∈ B(0, 2r). (a) y 2 y 1 2 2 1 1 2
29 Tõ ®ã, víi kyk <r, kxk < 2r, ta cã kϕy(x)k = ky + x − f(x) k≤kyk + kϕy(x) − ϕy(0)k < 2r. (b) ϕ|y(x){z−ϕy(0)} Tõ (a) vµ (b), suy ra, ¸nh x¹ ϕy : B(0, 2r) −→ B(0, 2r) lµ anh x¹ co. Theo Nguyªn lý ¸nh x¹ co , ϕy cã duy nhÊt ®iÓm bÊt ®éng x, tøc lµ ϕy(x)=x. Nh− vËy, ta ®· chØ ra ∀y ∈ B(0,r), ∃!x ∈ B(0, 2r):y = f(x). Tøc lµ, ¸nh x¹ f : f −1B(0,r) ∩ B(0, 2r) −→ B(0,r) lµ mét song ¸nh, vµ do ®ã cã ¸nh x¹ ng−îc f −1. −1 −1 −1 2) f liªn tôc. XÐt y1,y2 ∈ B(0, 2r), ®Æt x1 = f (y1), x2 = f (y2). Khi ®ã x2 − x1 = ϕ0(x2) − ϕ0(x1)+f(x2) − f(x1). Do (a) ta cã 1 kx − x k≤ kx − x k + kf(x ) − f(x )k. 2 1 2 2 1 2 1 V× f(x1)=y1, f(x2)=y2 ta ®−îc bÊt ®¼ng thøc −1 −1 kf (y2) − f (y1)k≤2ky2 − y1k. (c) Suy ra, f −1 liªn tôc. 3) f −1 thuéc líp Ck. Bëi tÝnh liªn tôc cña det, f ∈ Ck vµ detf(a) =06 , tån t¹i −1 f 0(x) , ∀x ∈ B(0,s), víi 0 <s<r®ñ bÐ. Víi y = f(x), y0 = f(x0), x, x0 ∈ B(0,s), ta cã −1 kf −1(y) − f −1(y0) − f 0(x) (y − y0)k = −1 = kx − x0 − f 0(x) f 0(x)(x − x0)+o(kx − x0k)k −1 = kf 0(x) (kx − x0k)k = o(ky − y0k)(do (c)) VËy, víi y = f(x) ta cã −1 (f −1)0(y)=f 0(x) 1 = (A (f −1(y))), f 0(f −1(y)) ij
30 −1 ∂fi −1 0 −1 trong ®ã Aij(f (y)) lµ phÇn phô ®¹i sè cña (f (y)) trong ma trËn f (f (y)), ∂xj nªn nã lµ tæng c¸c tÝch cña c¸c ®¹o hµm riªng f t¹i ®iÓm f −1(y).V×f ∈ Ck vµ −1 −1 k−1 −1 k f liªn tôc nªn Aij(f (y)) ∈ C . Tõ ®ã, f ∈ C . 2 NhËn xÐt. §Þnh lý trªn chØ cho sù tån t¹i hµm ng−îc ®Þa ph−¬ng. VÝ dô, xÐt ¸nh x¹ f : R2 −→ R2,f(x, y)=(ex cos y,ex sin y). Ta cã x x 0 e cos y −e sin y detf (x, y)= = ex =06 , ∀(x, y) ∈ R2. ex sin yex cos y Tuy nhiªn, f kh«ng ®¬n ¸nh v× f(x, y)=f(x, y +2π). §Þnh nghÜa 16. Cho U, V lµ hai tËp më cña Rn vµ k ∈ N. Hµm f : U −→ V gäi lµ mét Ck-vi ph«i nÕu vµ chØ nÕu 1) f thuéc líp Ck trªn U, 2) f lµ song ¸nh, 3) f −1 thuéc líp Ck trªn V . Sau ®©y lµ mét hª qu¶ trùc tiÕp tõ §Þnh lý hµm ng−îc HÖ qu¶ 3. Cho hµm f : U −→ V víi U, V lµ hai tËp më cña Rn. Gi¶ sö 1) f thuéc líp Ck trªn U 2) f lµ song ¸nh, 3) detf 0(x) =06 , ∀x ∈ U. Khi ®ã, f lµ mét Ck- vi ph«i. VÝ dô. Cho U =(0, +∞)×(−π,π)×(−π/2,π/2), V = R3 \(−∞, 0]×{0}×R. Khi ®ã, ¸nh x¹ f :(0, +∞) × (−π,π) × (−π/2,π/2) −→ R3 \ (−∞, 0] ×{0}×R (r, ϕ, θ) 7−→ (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ) thuéc líp C1,song ¸nh vµ ∀(r, ϕ, θ) ∈ (0, +∞) × (−π,π) × (−π/2,π/2) ta cã cos ϕ cos θ −r sin ϕ cos θ −r cos ϕ sin θ 0 detf (r, ϕ, θ)=sin ϕ cos θrcos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ = r2 cos θ =06 sin θ 0 r cos θ Tõ ®ã, f lµ mét C1-vi ph«i tõ U lªn V .
31 5.2 §Þnh lý hµm Èn XÐt ph−¬ng tr×nh F (x, y)=0,trong ®ã F (x, y) lµ hµm hai biÕn x¸c ®Þnh trªn tËp më D chøa (x0,y0) vµ F (x0,y0)=0. Gi¶ sö, tån t¹i mét l©n cËn U cña x0 sao cho víi mçi x ∈ U, ph−¬ng tr×nh F (x, y)=0cho nghiÖm duy nhÊt y = y(x). Nh− vËy, ta cã mét hµm y = y(x) x¸c ®Þnh trªn U tho¶ (x, y(x)) ∈ D vµ F (x, y(x)) = 0, ∀x ∈ U. Hµm y = y(x) nh− thÕ gäi lµ hµm Èn x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh F (x, y)=0. √ 3 3 3 3 VÝ dô. 1) Ph−¬ng tr×nh x + y − 1=0x¸c ®Þnh hµm Èn y =√ 1 − x trªn R. 2 2 2 2)√ Ph−¬ng tr×nh x + y − 1=0x¸c ®Þnh hµm Èn y = 1 − x hoÆc y = 2 − 1 − x trong l©n cËn mçi ®iÓm x0 ∈ (−1, 1). §Ó ý r»ng trong tr−êng hîp nµy ∂F (x ,y) =06 . Kh«ng tån t¹i hµm Èn y = y(x) trong l©n cËn ®iÓm x = ±1. ∂y 0 0 ∂F Trong tr−êng hîp nµy ta thÊy (x ,y)=0. ∂y 0 Mét c¸ch tæng qu¸t, ta xÐt hÖ ph−¬ng tr×nh gåm m ph−¬ng tr×nh, n + m Èn F1(x1, ,xn,y1, ,ym)=0 . . Fm(x1, ,xn,y1, ,ym)=0 C©u hái ®Æt ra lµ khi nµo cã thÓ gi¶i tõ hÖ ph−¬ng tr×nh nµy ra m Èn y1, ,ym lµ c¸c hµm cña c¸c Èn cßn l¹i: yi = yi(x1, ,xn). VÝ dô. XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh a11x1 + ···+ a1nxn + b11y1 + ···+ b1mxm =0 . . am1x1 + ···+ amnxn + bm1y1 + ···+ bmmxm =0 §Æt A =(aij), B =(bij), theo kÕt qu¶ cña §¹i sè tuyÕn tÝnh, nÕu detB =06 , th× cã thÓ gi¶i y theo x: y = −B−1Ax. §Þnh lý 11. (§Þnh lý hµm Èn) Cho F : U ⊂ Rn × Rm −→ Rm, víi U lµ tËp më chøa (a, b). Gi¶ sö F thuéc líp Ck trªn U, F (a, b)=0vµ ®Þnh thøc cña ®¹o
32 hµm F theo biÕn y ∂F1 ∂F1 (a, b) ··· (a, b) ∂y1 ∂ym D(F1, ,Fm) ∂F . . (a, b)=det (a, b)= . ··· . =06 . D(y , ,y ) ∂y . . 1 m ∂F ∂F m (a, b) ··· m (a, b) ∂y1 ∂ym Khi ®ã, tån t¹i c¸c l©n cËn V ⊂ Rn cña a, W ⊂ Rm cña b vµ hµm duy nhÊt g : V −→ W , thuéc líp Ck sao cho F (x, y)=0, (x, y) ∈ U × W ⇐⇒ y = g(x),x∈ V,y ∈ W. Ngoµi ra, ta cã ∂F −1 ∂F g0(x)=− (x, g(x)). ∂y ∂x Chøng minh. §Æt f : U −→ Rn × Rm, f(x, y)=(x, F (x)). Khi ®ã, f thuéc líp Ck trªn U vµ  In O  f 0(a, b)= ∂F ∂F .  (a, b) (a, b) ∂x ∂y ∂F Do det (a, b) =06 , ta cã f 0(a, b) =06 . Theo §Þnh lý hµm ng−îc, tån t¹i ∂y l©n cËn V × W cña (a, b) , l©n cËn V × O cu¶ f(a, b)=(a, 0), sao cho hµm f : V × W −→ V × O cã hµm ng−îc f −1 : V × W −→ V × O, f−1(x, z)=(x, G(x, z)), (x, z) ∈ V × O. Khi dã, hµm g : V −→ W , g(x)=G(x, 0) tháa ®iÒu kiÖn cu¶ §Þnh lý. ThËt vËy ta cã F (x, y)=0 ⇐⇒ f(x, y)=(x, F (x, y)=(x, 0) ⇐⇒ f −1(x, 0) = (x, y) ⇐⇒ (x, G(x, 0)) = (x, y) ⇐⇒ (x, g(x)) = (x, y) ⇐⇒ y = g(x). H¬n n÷a, tõ F (x, g(x)) = 0, x ∈ V , ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp, suy ra c«ng thøc cÇn t×m. 2
33 VÝ dô. 1) HÖ thøc z3 − 3xyz +5=0x¸c ®Þnh hµm Èn z = z(x, y) thuéc líp C1 trong l©n cËn cu¶ (2, 1, 1). ThËt vËy, ®Æt F (x, y, z)=z3 − 3xyz +5. Khi ®ã 0 ∂F ∂F ∂F F (x, y, z)= = −3yz −3xz 3z2 − 3xy ∂x ∂y ∂z ∂F Râ rµng, F thuéc líp C1 vµ (2, 1, 1) = −3 =06 . Theo §Þnh lý trªn, tån t¹i ∂z hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh trªn l©n cËn V cña (2, 1) vµ ∂z ∂z 1 ∂F ∂F (x, y) (x, y) = − (x, y, z) (x, y, z) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y (x, y, z) ∂z 1 = − −3yz −3xz . 3(z2 − xy) NhËn xÐt. Cã thÓ tÝnh ®¹o hµm cña hµm Èn mét c¸ch trùc tiÕp nh− sau. Tõ ®¼ng thøc z3(x, y) − 3xyz(x, y)+5=0, lÊy ®¹o hµm hai vÕ theo x, råi theoy ta cã hÖ ∂z ∂z 3z2 − 3yz − 3xy =0  ∂x ∂x ∂z ∂z . 3z2 − 3xz − 3xy =0  ∂x ∂y ∂z yz ∂z xz Tõ ®ã, suy ra (x, y)= , (x, y)= . ∂x z2 − xy ∂y z2 − xy 2) Tån t¹i c¸c hµm u = u(x, y), v = v(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (x2 + uy + ev =0 . 2x + u2 − u(v − y)=0 víi u(2, 5) = −1, v(2, 5)=0 ∂u ∂v §Ó tÝnh (x, y), (x, y) ta lÊy ®¹o hµm hai vÕ cu¶ hÖ ph−¬ng tr×nh theo x ta ∂x ∂x ®−îc ∂u ∂v y + ev = −2x  ∂x ∂x ∂u ∂v (2u − v + y) − u = −2  ∂x ∂x ∂u 2(ux + ev) ∂v −2y +2x(2u − v + y) Tõ ®ã, (x, y)= , (x, y)= . ∂x −uy − ev(2u − v + y) ∂x −uy − ev(2u − v + y) ∂u ∂v T−¬ng tù, ®Ó tÝnh (x, y), (x, y) ta lÊy ®¹o hµm hai vÕ cu¶ hÖ ph−¬ng tr×nh ∂y ∂y theo y.
34 6 Cùc trÞ hµm nhiÒu biÕn 6.1 Cùc trÞ §Þnh nghÜa 17. Cho hµm f : U −→ R x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn. Hµm f gäi lµ ®¹t cùc ®¹i t¹i a ∈ U nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i r>0 sao cho f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ B(a, r). Hµm f gäi lµ ®¹t cùc tiÓu t¹i a ∈ U nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i r>0 sao cho f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ B(a, r). Hµm f gäi lµ ®¹t cùc trÞ t¹i a ∈ U nÕu vµ chØ nÕu f ®¹t cùc ®¹i hay cùc tiÓu t¹i ®ã. VÝ dô. Hµm f(x, y)=xy kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i (0, 0), v× víi mäi r>0, tån t¹i r r r r X = , ,X = − , ∈ B(O, r) sao cho 1 2 2 2 2 2 r2 r2 f(X )= > 0=f(0, 0) vµ f(X )=− < 0=f(0, 0). 1 4 2 4 §Þnh lý 12. (§iÒu kiÖn cÇn) NÕu f kh¶ vi vµ ®¹t cùc trÞ t¹i a, th× f 0(a)=0. Chøng minh. Víi mçi i, hµm mét biÕn gi(t)=f(a + tei), ®¹t cùc trÞ t¹i 0.Tõ ∂f kÕt qu¶ cña cùc trÞ hµm mét biÕn, suy ra g0(0) = (a)=0. VËy, f 0(a)=0. 2 ∂xi NhËn xÐt. §Þnh lý trªn chØ lµ ®iÒu kiÖn cÇn. VÝ dô, xÐt hµm f(x, y)=xy.Tacã ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0)=0. Nh−ng f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i (0, 0). ∂x ∂y NÕu f kh¶ vi, th× a gäi lµ ®iÓm dõng cña f nÕu vµ chØ nÕu f 0(a)=0 §Þnh lý 13. (§iÒu kiÖn ®ñ) Gi¶ sö f thuéc líp C2 vµ f 0(a)=0. Khi ®ã 1) NÕu Hf (a) x¸c ®Þnh d−¬ng, th× f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) NÕu Hf (a) x¸c ®Þnh ©m, th× f ®¹t cùc ®¹i t¹i a. 3) NÕu Hf (a) kh«ng x¸c ®Þnh, th× f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i a.
35 Chøng minh. 1) Do f 0(a)=0c«ng thøc Taylor cã d¹ng 1 f(a + h)=f(a)+ d2f(a)h2 + o(khk2). 2 n V× Hf (a)h liªn tôc trªn compact S = {h ∈ R |khk =1} vµ Hf (a) > 0, nªn tån n t¹i m = min Hf (a)h>0. Víi mäi h ∈ R ta cã khk=1 h 1 H (a) = H (a)h ≥ m. f khk khk2 f 1 Suy ra, H (a)h ≥ mkhk2. NÕu chän khk ®ñ bÐ sao cho | o(khk2) |≤ mkhk2, f 4 th× ta cã m m f(a + h) ≥ f(a)+ khk2 − khk2 ≥ f(a). 2 4 Tõ ®ã, f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) ¸p dông 1) cho −f. n 3) Gi¶ sö Hf (a) > 0 kh«ng x¸c ®Þnh, tøc lµ, tån t¹i h, k ∈ R sao cho Hf (a)h>0 vµ Hf (a)k 0 0 0 00 g2(0) = f(a),g2(0) = f (a)h =0,g2 (0) = Hf (a)k>0 Suy ra, g1 ®¹t cùc tiÓu vµ g2 ®¹t cùc ®¹i t¹i 0. Tøc lµ, víi t ®ñ bÐ, ta cã f(a + tk) ≤ g2(t) ≤ g2(0) = f(a)=g1(0) ≤ g1(t)=f(a + th). VËy, f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i a. 2 VÝ dô. Kh¶o s¸t cùc trÞ cña hµm f(x, y, z)=x3 + y3 + z3 − 3xy − 2z. §Ó t×m diÓm dõng ta xÐt hÖ ∂f  (x, y, z)=3x2 − 3y =0 ∂x ∂f  (x, y, z)=3y2 − 3x =0 ∂y ∂f  (x, y, z)=2z − 2=0.  ∂z
36 Gi¶i hÖ, ta cã hai ®iÓm dõng: M1(1, 1, 1), M2(0, 0, 1). §Ó kiÓm tra cùc trÞ, ta tÝnh ®¹o hµm cÊp hai  ∂2f ∂2f ∂2f  (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) ∂x2 ∂x∂y ∂x∂y  2 2 2  6x −30 00  ∂ f ∂ f ∂ f  f (x, y, z)= (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) = −36y 0 ∂y∂x ∂y2 ∂y∂z     2 2 2  002  ∂ f ∂ f ∂ f   (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)  ∂z∂x ∂z∂y ∂z2 Víi M1(1, 1, 1), ta cã  6 −30 Hf (M1)= −360  002 Suy ra, Hf (M1) > 0 theo tiªu chuÈn Sylvester. VËy, f ®¹t cùc tiÓu t¹iM1. 2 Víi M2(0, 0, 1), ta cã Hf (M2)(x, y, z)=2z − 6xy. D¹ng nµy kh«ng x¸c ®Þnh v× Hf (M2)(1, 1, 1) = −4,Hf (M2)(1, −1, 1) = 8. VËy, f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i M2. 6.2 Cùc trÞ víi ®iÒu kiªn §Þnh nghÜa 18. Cho hµm f : U −→ R x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn. XÐt m F =(F1, ,Fm): U −→ R , víi m 0 sao cho f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ B(a, r) ∩ M. Hµm f gäi lµ ®¹t cùc tiÓu t¹i a ∈ M víi ®iÒu kiÖn F =0nÕu tån t¹i r>0 sao cho f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ B(a, r) ∩ M. Hµm f gäi lµ ®¹t cùc trÞ t¹i a ∈ M víi ®iÒu kiÖn F =0nÕu f ®¹t cùc ®¹i hay cùc tiÓu t¹i ®ã víi ®iÒu kiÖn F =0. m §Þnh lý 14. (§iÒu kiÖn cÇn) Cho f : U −→ R vµ F =(F1, ,Fm): U −→ R , thuéc líp C1 trªn tËp më U ⊂ Rn. Gi¶ sö 1) M = {x ∈ U | F (x)=0} lµ mÆt (n − m) chiÒu, tøc lµ rankF 0(x)=m,
37 ∀x ∈ M. 2) f ®¹t cùc trÞ víi ®iÒu kiÖn F =0t¹i a. Khi ®ã, tån t¹i m sè thùc λ1, ,λm, sao cho m ∂f ∂Fk (a)=X λk (a), ∀i =1, 2, n. ∂xi ∂xi k=1 Chøng minh. Do rankF 0(a)=m, cã mét ®Þnh thøc con cÊp m cña F 0(a) kh¸c 0. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, cã thÓ gi¶ thiÕt ∂F1 ∂F1 (a) ··· (a) ∂x1 ∂xm . . . ··· . =06 . . ∂F ∂F m (a) ··· m (a) ∂x1 ∂xm §Æt a =(a1, ,am,am+1, ,an, =(X0,Y0) | X{z0 } | {zY0 } x =(x1, ,xm,xm+1, ,xn, =(X, Y ) | {zX } | {zY } Do §Þnh lý hµm Èn, tån t¹i l©n cËn U cña X0, l©n cËn V cña Y0 vµ hµm g : V −→ U víi g(Y0)=X0, sao cho F (x)=F (X, Y )=0, (X, Y ) ∈ U × V ⇐⇒ X = g(Y ),X∈ U, Y ∈ V XÐt hµm ϕ: V −→ Rn, ϕ(Y )=(g(Y ),Y). Khi ®ã, hµm f ®¹t cùc trÞ víi ®iÒu kiÖn F =0t¹i a khi vµ chØ khi hµm f ◦ ϕ(Y )=F (Y,g(Y ) ®¹t cùc trÞ (tù do) t¹i Y0. Theo ®iÒu kiÖn cÇn cña cùc trÞ tù do ta cã 0 0 0 t 0 t 0 (f ◦ ϕ) (Y0)=f (a)ϕ (Y0)=0=⇒ [ϕ (Y0)] [f (a)] = 0 (1) MÆt kh¸c, do hÖ thøc F (ϕ(Y )) = 0, ta cã 0 0 0 t 0 t 0 (F ◦ ϕ) (Y0)=F (a)ϕ (Y0)=0=⇒ [ϕ (Y0)] [F (a)] = 0 (2) Do(1), ta cã t 0 t 0 [F (a)] ∈ ker [ϕ (Y0)] (3) t 0 t 0 Tõ (2), suy ra Im [F (a)] ⊂ ker [ϕ (Y0)]. H¬n n÷a, ta còng cã dÊu ®¼ng thøc. t 0 t 0 ThËt vËy, do rank [ϕ (Y0)] = n − m, ta cã dim Im [ϕ (Y0)] = n − m. Tõ ®ã t 0 t 0 dim ker [ϕ (Y0)] = n − dim Im [ϕ (Y0)] = m.
38 Do rankF 0(a)=m, ta cã dim Imt[F 0(a)] = m. VËy t 0 t 0 Im [F (a)] = ker [ϕ (Y0)] (4) .Tõ(3) vµ (4) suy ra t 0 t 0 [f (a)] ∈ Im [F (a)] = L(gradF1, ,gradFm) = Kh«ng gian con sinh bëi gradF1, , gradFm Tõ dã, ta cã ®iÒu cÊn chøng minh. 2 NhËn xÐt. Trong thùc hµnh ®Ó t×m ®iÓm a (®iÓm dõng) ta lËp hµm Lagrange nh− sau m L(x, λ)=f(x) − X λkFk(x), k=1 sau ®ã gi¶i hÖ ∂L(x, λ)  (x, λ)=0 i =1, 2, ,n  ∂xi Fk(x)=0 k =1, 2, ,m C¸c sè λk gäi lµ nh©n tö Lagrange, ph−¬ng ph¸p t×m ®iÓm dõng a nh− trªn gäi lµ ph−¬ng ph¸p nh©n tö Lagrange. VÝ dô. T×m cùc trÞ cu¶ hµm f(x, y, z)=x+y+z víi ®iÒu kiÖn x2+y2+z2−1=0. Gi¶i. LËp hµm Lagrange: L = x + y + z − λ(x2 + y2 + z2 − 1). §Ó t×m ®iÓm dõng, xÐt hÖ ∂L  (x, y, z)=1− 2λx =0  ∂x ∂L  (x, y, z)=1− 2λy =0  ∂y ∂L  ((x, y, z)=1− 2λz =0  ∂z  2 2 2 − x + y + z 1=0 Gi¶i hÖ, ta cã hai ®iÓm dõng √ 1 1 1 3 M(√ , √ , √ ), øng víi λ = 3 3 3 √2 1 1 1 3 N(−√ , −√ , −√ ), øng víi λ = 3 3 3 2
39 §Ó kiÓm tra hµm f cã ®¹t cùc trÞ t¹i M hay kh«ng, trong l©n cËn cña M, ta xÐt dÊu cu¶ gia l−îng 1 1 1 1 1 1 ∆f = f(√ + h, √ + k, √ + l) − f(√ , √ , √ )=h + k + l, 3 3 3 3 3 3 trong ®ã, h, k, l tháa m·n 1 1 1 2 (√ + h)2 +(√ + k)2 +(√ + l)2 =1 hay h2 + k2 + l2 + √ (h + k + l)=0 3 3 3 3 √ 3 Tõ ®ã, ∆f = − (h2 + k2 + l2) ≤ 0. VËy, f ®¹t cùc ®¹i t¹i M. T−¬ng tù, f 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i N. 2 §Þnh lý 15. (§iÒu kiÖn ®ñ) Gi¶ sö f,F1,F2, ,Fm thuéc líp C vµ (a, λ) lµ ®iÓm dõng cu¶ hµm Lagrange L(x, λ). XÐt n ∂2L HL(a, λ)(x)=X (a, λ)xixj (d¹ng Hesse cña L(x, λ) t¹i (a, λ)) ∂xi∂xj i,j=1 n n ∂Fk Ta = (x1, ,xn) ∈ R X (a)xi =0,k=1, 2, ,m ∂x i=1 i Khi ®ã 1) NÕu HL(a, λ) x¸c ®Þnh d−¬ng trªn Ta, th× f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) NÕu HL(a, λ) x¸c ®Þnh ©m trªn Ta, th× f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) NÕu HL(a, λ) kh«ng x¸c ®Þnh trªn Ta, th× f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i a. Chøng minh. VÝ dô. T×m cùc trÞ cu¶ hµm f(x, y, z)=xyz víi ®iÒu kiÖn x2 + y2 + z2 =3, x>0,y >0,z >0. Gi¶i.LËp hµm Lagrange L(x,y,z,λ)=xyz − λ(x2 + y2 + z2 − 3) vµ xÐt hÖ ∂L  (x, y, z)=yz − 2λx =0  ∂x ∂L  (x, y, z)=xz − 2λy =0  ∂y ∂L  (x, y, z)=xy − 2λz =0  ∂z  2 2 2 − x + y + z 3=0
40 1 Gi¶i hÖ, ta ®−îc mét ®iÓm dõng M(1, 1, 1) víi λ = . §Ó kiÓm tra M cã ph¶i lµ 2 cùc trÞ kh«ng ta tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng cÊp hai ∂L ∂2L ∂2L ∂2L ∂2L ∂2L = −2λ = = , = z, = y, = x. ∂x2 ∂y2 ∂z2 ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z 1 Suy ra, H (M, )(x, y, z)=−x2 − y2 − z2 +2xy +2xz +2yz. L 2 3 Víi mäi (x, y, z) ∈ TM = {(x, y, z) ∈ R | x + y + z =0}\{(0, 0, 0)} ta cã 1 H (M, )(x, y, z)=−x2 − y2 − (x + y)2 +2xy − 2x(x + y) − 2y(x + y) L 2 y 2 = −4(x2 + y2 + xy)=−4x + − 3y2 < 0. 2 Tõ ®ã, M lµ diÓm cùc ®¹i.
41 II. TÝch ph©n béi 1 TÝch ph©n trªn h×nh hép 1.1 Tæng Riemann n Cho A =[a1,b1] ×···×[an,bn] lµ h×nh hép trong R . Ta gäi ®¹i l−îng v(A)=(b1 − a1) ···(bn − an) lµ thÓ tÝch cña A. Mét ph©n ho¹ch P cu¶ h×nh hép A lµ mét c¸ch chia c¸c ®o¹n [ai,bi], i =1, ,n, bëi c¸c ®iÓm chia a = c 0, ∃δ>0: ∀P, |P | <δ, ∀ξ(P )=⇒|σ(f,P,ξ(P )) − I| <.
42 Khi ®ã, gi¸ trÞ I gäi lµ tÝch ph©n cu¶ f trªn A, vµ ký hiÖu lµ b1 bn Z Z Z Z f hay f(x1, ,xn)dx1 dxn hay f(x1, ,xn)dx1 dxn A A a1 an VÝ dô. 1) Cho A ⊂ Rn lµ h×nh hép vµ hµm f : A −→ R, f(x)=C. Víi mäi ph©n ho¹ch P cu¶ A, víi mäi c¸ch chän ®iÓm ξ(P ) ta cã σ(f,P,ξ(P )) = X f(ξS )v(S)=C X v(S)=Cv(A). S∈P S∈P Suy ra Z f = Cv(A). A (1 nÕu x lµ h÷u tØ 2) Hµm f :[0, 1] × [0, 1] −→ R, f(x, y)= 0 nÕu x lµ v« tØ kh«ng kh¶ tÝch trªn [0, 1] × [0, 1], v× víi mäi ph©n ho¹ch P cña [0, 1] × [0, 1], nÕu lÊy hai c¸ch chän ®iÓm : 0 0 ξ(P )={ξS (xS,yS) | xS ∈ Q} vµ ξ (P )={ξS(xS,yS) | xS ∈ (R \ Q)}, th× ta cã 0 0 σ(f,P,ξ(P )) = X f(ξS )v(S)=1,σ(f,P,ξ(P )) = X f(ξS )v(S)=0. S∈P S∈P MÖnh ®Ò 1. NÕu f kh¶ tÝch trªn h×nh hép A, th× nã giíi néi trªn ®ã. Chøng minh. Gi¶ sö Z f = I. Khi ®ã A ∃δ>0: ∀P, |P | M. XÐt c¸ch chän 0 ®iÓm ξ (P )=(ξ(P ) \{ξS }) ∪{xS}. Khi ®ã 0 0 σ(f,P,ξ(P )) = X f(ξS0 )v(S )+f(xs)v(S) S0∈P S0=6 S 0 1 0 ≥ X f(ξ 0 )v(S )+ K − X f(ξ 0 )v(S ) v(S)=K. S v(S) S S0∈P S0∈P S0=6 S S0=6 S §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn. 2
43 1.2 Tæng Darboux §Þnh nghÜa 2. Cho hµm f giíi néi trªn h×nh hép A ⊂ Rn, P lµ mét ph©n ho¹ch cña A. Ta ®Þnh nghÜa Tæng Darboux d−íi: L(f,P)=X inf f(x)v(S). x∈S S∈P Tæng Darboux trªn: U(f,P)=X supf(x)v(S). x∈S S∈P MÖnh ®Ò 2. NÕu ph©n ho¹ch P 0 mÞn h¬n ph©n ho¹ch P , th× L(f,P) ≤ L(f,P0) vµ U(f,P0) ≤ U(f,P). Chøng minh. V× ph©n ho¹ch P 0 mÞn h¬n ph©n ho¹ch P nªn víi mäi S ∈ P , tån k 0 0 0 0 t¹i S1, ,Sk ∈ P sao cho S = ∪Si. Tõ ®ã i=1 k 0 X inf f(x)v(S)=X X inf f(x)v(Si) x∈S x∈S S∈P S∈P i=1 k 0 ≤ X X inf f(x)v(Si) x∈S0 S∈P i=1 = X inf f(x)v(S0) x∈S0 S0∈P 0 Tõ ®ã, L(f,P) ≤ L(f,P0). T−¬ng tù, U(f,P0) ≤ U(f,P). 2 HÖ qu¶ 1. Víi mäi ph©n ho¹ch P, P 0 cña A, ta cã: L(f,P0) ≤ U(f,P) Chøng minh. XÐt ph©n ho¹ch P 00 mÞn h¬n P vµ P 0. Tõ MÖnh ®Ò 2 suy ra L(f,P0) ≤ L(f,P00) ≤ U(f,P00) ≤ U(f,P). 2 NhËn xÐt. Tõ hÖ qña trªn, ta thÇy c¸c tæng Darboux trªn bÞ chÆn d−íi, vµ c¸c tæng Darboux d−íi bÞ chÆn trªn. VËy, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa TÝch ph©n d−íi cña f: I(f)=supL(f,P). P TÝch ph©n trªn cña f: I(f)=infU(f,P). P Râ rµng I(f) ≤ I(f).
44 MÖnh ®Ò 3. Cho hµm f giíi néi trªn h×nh hép A. Khi ®ã bèn ®iÒu sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng 1) Hµm f kh¶ tÝch trªn A. 2) I(f)=I(f). 3) Víi mäi >0, ∃P , sao cho U(f,P) − L(f,P) 0, ∃δ>0, sao cho ∀P, |P | 0, ∃δ>0: ∀P, |P | 0, bëi ®Þnh nghÜa cña I(f), I(f), tån t¹i c¸c ph©n ho¹ch P 0, P 00 sao cho U(f,P0) 0, tån t¹i ph©n ho¹ch P ∗ cña A sao cho U(f,P∗) − L(f,P∗) </2. ∗ Gäi c¸c h×nh hép con cña P lµ V1,V2, ,Vk vµ T lµ tæng thÓ tÝch c¸c biªn gi÷a hai h×nh hép kÒ nhau. Gäi K = sup|f(x)|. Khi ®ã, δ< tháa yªu cÇu cña x∈A 4KT kh¼ng ®Þnh 4). ThËt vËy, víi mäi ph©n ho¹ch P sao cho |P | <δ, ta cã U(f,P) − L(f,P)=X(supf − inff)v(S)= X + X , S S 1 2 S∈P
45 trong ®ã, X lµ tæng lÊy theo c¸c h×nh hép S ∈ P kh«ng chøa trong bÊt kú h×nh 1 ∗ hép Vi nµo cña P ,vµ X lµ tæng lÊy theo c¸c h×nh hép S cßn l¹i. 2 NÕu S ∈ P mµ S * Vi, ∀i =1, ,k, th× S giao víi c¸c biªn cña mét sè h×nh hép cu¶ P ∗. Khi ®ã, v(S) ≤ δD, víi D lµ tæng thÓ tÝch c¸c biªn cu¶ c¸c h×nh hép trong P ∗ giao víi S. VËy X = X (supf − inff)v(S) ≤ 2K X v(S) ≤ 2KδT 0, tån t¹i h÷u h¹n c¸c h×nh hép S1, ,Sk sao cho k 1) B ⊂ ∪ Si. i=1 k 2) X v(Si) 0,dof liªn tôc ®Òu trªn [a, b] nªn ∀>0, ∃δ>0, ∀x, x0 ∈ [a, b]:|x − x0| <δ=⇒|f(x) − f(x0)| <. (1)
46 XÐt ph©n ho¹ch P cña [a, b] bëi c¸c ®iÓm chia a = x0 0, N tån t¹i h÷u h¹n hép H1,H2, ,HN phñ B, cã tæng thÓ tÝch X v(Hi) 0, sao cho |f(x) − f(x0)| <, víi mäi x, x0 ∈ S: |x − x0| <δ. VËy, nÕu lµm mÞn P ( chän |P | <δ), th× víi mäi S ∈ P1, supf − inff) ≤ 2.Tõ S S ®ã, X < 2v(A). S∈P1 Suy ra, U(f,P) − L(f,P) < 2(M + v(A)). Do ®ã f kh¶ tÝch. 2 2 TÝch ph©n trªn tËp giíi néi 2.1 TËp ®o ®−îc Jordan §Þnh nghÜa 4. Cho D ⊂ Rn lµ tËp giíi néi. Hµm ®Æc tr−ng cu¶ D ®−îc ®Þnh nghÜa bëi (1 nÕu x ∈ D, χD(x)= 0 nÕu x/∈ D.
47 TËp D gäi lµ ®o ®−îc (Jordan) nÕu vµ chØ nÕu χD(x) kh¶ tÝch trªn mét h×nh hép A chøa D vµ gi¸ trÞ Z v(D)= χD(x)dx, D gäi lµ thÓ tÝch cña D. Khi n =1, 2 ta th−êng gäi v(D) lµ ®é dµi, diÖn tÝch cña D. NhËn xÐt. 1) §Þnh nghÜa trªn kh«ng phô thuéc h×nh hép A chøa D. ThËt vËy, gi¶ sö A, B lµ hai h×nh hép chøa D. Khi ®ã Z Z Z χD = χD + χD A A∩B A\B Z Z Z χD = χD + χD B A∩B B\A Z Z Do (A \ B) ∩ D =(B \ A) ∩ D = ∅ ta cã χD = χD =0. A\B B\A 2) Ta cã v(D)=I(χ) = sup X inf χDv(S) = sup X v(S) P S∈P P S∈P S∈P S⊂D = cËn trªn ®óng cña tæng thÓ tÝch c¸c hép chøa trong D = I(χ) = inf X supχDv(S) = inf X v(S) P S∈P P S∈P S∈P S∩D=6 ∅ = cËn d−íi ®óng cña tæng thÓ tÝch c¸c hép cã giao víi D MÖnh ®Ò 4. TËp giíi néi D lµ ®o ®−îc khi vµ chØ khi µ(∂D)=0. Chøng minh. Gi¶ sö D ®o ®−îc, tøc lµ χD khµ tÝch trªn hép A chøa D. NÕu P lµ mét ph©n ho¹ch cña A, th× ta cã U(χD,P)=X supχDv(S)=X v(S). S S∈P S∈P S∩D=6 ∅ L(χD,P)=X infχDv(S)=X v(S). S S∈P S∈P S⊂D
48 Tõ ®ã, U(χD,P) − L(χD,P)= X v(S). S∈P S∩D=6 ∅ S∩(Rn\D)=6 ∅ Gi¶ sö µ(∂D) =06 . Khi ®ã tån t¹i 0 > 0 , sao cho X v(S) ≥ 0. S∈P S∩D=6 ∅ S∩(Rn\D)=6 ∅ Tõ ®ã U(χD,P) − L(χD,P) >0 vµ dÉn ®Õn m©u thuÉn. §iÒu ng−îc l¹i suy ra tõ §Þnh lý Lebesgue. 2 2.2 TÝch ph©n trªn tËp giíi néi §Þnh nghÜa 5. Cho D ⊂ Rn lµ tËp giíi néi, ®o ®−îc, vµ f : A −→ R lµ hµm giíi néi trªn h×nh hép A chøa C. Khi ®ã, f gäi lµ kh¶ tÝch trªn trªn D nÕu vµ chØ nÕu hµm f · χD kh¶ tÝch trªn A vµ tÝch ph©n cña f trªn D ®−îc ®Þnh nghÜa bëi Z Z f = f · χD. D A MÖnh ®Ò 5. Cho D ⊂ Rn lµ tËp ®o ®−îc, vµ f,g lµ c¸c hµm kh¶ tÝch trªn D. Khi ®ã 1) Víi mäi α, β ∈ R, hµm αf + βg kh¶ tÝch trªn A vµ Z αf + βg = α Z f + β Z g. D D D 2) NÕu D1,D2 ⊂ D lµ c¸c tËp ®o ®−îc, th× f kh¶ tÝch trªn D1,D2,D1 ∩ D2 vµ Z f = Z f + Z f − Z f D1∪D2 D1 D2 D1∩D2 3) NÕu f ≤ g, th× Z f ≤ Z g. D D Z Z §Æc biÖt, hµm |f| kh¶ tÝch trªn D vµ f ≤ |f|. D D 4) NÕu f liªn tôc vµ D ®ãng, liªn th«ng, th× tån t¹i c ∈ D sao cho Z f = f(c)v(D). D
49 Chøng minh. C¸c tÝnh chÊt ®Çu suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh 4).Tõ f liªn tôc trªn compact D nªn tån t¹i a, b ∈ D, víi f(a)=inff, f(b)=supf. Do 3) ta D D cã f(a)v(D) ≤ Z f ≤ f(b)v(D). D 1 Tõ ®ã, Z f ∈ [f(a),f(b)].Dof(D) liªn th«ng nªn [f(a),f(b)] ⊂ f(D). v(D) D Suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. 2 3 C¸c c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n 3.1 C«ng thøc Fubini §Þnh lý 2. Cho D ⊂ Rn × Rm ®o ®−îc vµ f : D −→ R kh¶ tÝch trªn D. n m n Gäi PrxD = {x ∈ R |∃y ∈ R , (x, y) ∈ D} lµ chiÕu cña D lªn R . m vµ CxD = {y ∈ R | (x, y) ∈ D} lµ nh¸t c¾t cña D t¹i x. Z Gi¶ sö tån t¹i f(x, y)dy víi mäi x ∈ PrxD. Khi ®ã ta cã CxD Z f(x, y)dxdy = Z Z f(x, y)dydx. D PrxD CxD Chøng minh. ChØ cÇn chøng minh cho D = A × B, víi A, B lµ c¸c h×nh hép trong Rn, Rm t−¬ng øng. Trong tr−êng hîp D bÊt kú, tån t¹i hai h×nh hép A, B sao cho D ⊂ A × B, vµ ¸p dông kÕt qña cho Z f · χ(x, y)dxdy. A×B Gi¶ sö P , P 0 lµ ph©n ho¹ch cña A, B t−¬ng øng. Khi ®ã P × P 0 ph©n ho¹ch A × B thµnh c¸c h×nh hép S × S0, víi S ∈ P , S0 ∈ P 0.Tacã U(f,P × P 0)= X supf(x, y)v(S × S0) S×S0 S×S0∈P ×P 0 = X X sup f(x, y)v(S0)v(S) S×S0 S∈P S0∈P 0
50 V× sup f(x, y) ≥ supf(x, y), víi mäi x ∈ S nªn ta cã S×S0 S0 X supf(x, y)v(S0) ≥ X supf(x, y)v(S0) S×S0 S0 S0∈P 0 S0∈P 0 0 ≥ inf X supf(x, y)v(S ) P 0 S0 S0∈P 0 = Z f(x, y)dy = h(x) B Suy ra, sup Z f(x, y)dy ≤ X supf(x, y)v(S0) ∈ × 0 x S 0∈ 0 S S B S P Tõ ®ã U(f,P × P 0) ≥ X supZ f(x, y)dyv(S)=U(Z f(x, y)dy, P ). ∈ ∈ x S S P B B T−¬ng tù, U(f,P×P 0) ≤L(Z f(x, y)dy, P ) ≤U(Z f(x, y)dy, P ) ≤ U(f,P×P 0) B B Z Z Z Tõ ®ã, suy ra f = f(x, y)dydx. 2 A×B A B VÝ dô. 1) Cho g1,g2 :[a, b] −→ R liªn tôc vµ g1 ≤ g2. Khi ®ã tËp 2 D = {(x, y) ∈ R | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} ®o ®−îc (do µ(∂D)=0)vµ b g2(x) Z f(x, y)dxdy = Z Z f(x, y)dydx. D a g1(x) 2 2) Cho Cho h1,h2 : D −→ R liªn tôc, giíi néi trªn tËp ®o ®−îc D ⊂ R vµ h1 ≤ h2. Khi ®ã tËp 3 Ω={(x, y, z) ∈ R | (x, y) ∈ D, h1(x, y) ≤ z ≤ h2(x, y)} ®o ®−îc vµ h2(x,y) Z f(x, y, z)dxdyz = Z Z f(x, y, z)dzdxdy. Ω D h1(x,y)
51 3) TÝnh I = Z xydxdy, trong ®ã D lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c ®−êng y =2− x2, D y =2x − 1. 2 Gi¶i.Ta cã PrxD =[−3, 1], CxD =[2x − 1, 2 − x ]. Theo c«ng thøc Fubini 1 2−x2 Z Z I = xydydx −3 2x−1 1 Z 1 5 3 2 3 = x − 4x +2x + xdx 2 2 −3 1 1 2 3 = x6 − x4 + x3 + x2 12 3 4 −3 =32 dxdydz 4) TÝnh I = Z , trong ®ã Ω lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c mÆt ph¼ng (1 + x + y + z)3 Ω x =0, y =0, z =0, x + y + z =1. Gi¶i. ¸p dông c«ng thøc Fubini víi 2 PrxyΩ=D = {(x, y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x},CxyΩ=[0, 1 − x − y] ta cã 1−x−y dz I = Z Z dxdy (1 + x + y + z)3 D 0 c«ng thøc Fubini cho tÝch ph©n trªn D víi PrxD =[0, 1], CxD =[0, 1 − x] cho
52 1 1−x 1−x−y dz I = Z Z Z dydx (1 + x + y + z)3 0 0 0 1 1−x 1 1 1 = − Z Z − dydx 2 4 (1 + xy)2 0 0 1 1 3 x 1 = − Z − − dx 2 4 4 1+x 0 1 3x x2 = − − ln(1 + x) 4 8 0 1 5 = ln 2 − 2 16 3.2 C«ng thøc ®æi biÕn §Þnh lý 3. Gi¶ sö h: U → Rn, t 7→ h(t), thuéc líp C1 trªn tËp më U ⊂ Rn vµ D o lµ tËp ®o ®−îc cã bao ®ãng D ⊂ U sao cho h lµ song ¸nh vµ deth0(t) =06 trªn D. Khi ®ã, nÕu f : h(D) → R, x 7→ f(x), kh¶ tÝch trªn h(D), th× (f ◦ h)(t)|deth0(t)| kh¶ tÝch trªn D vµ Z f(x)dx = Z (f ◦ h)(t)|deth0(t)|dt. h(D) D VÝ dô. C¸c phÐp ®æi biÕn th«ng dông • Täa ®é cùc: XÐt h: R2 −→ R2, (r, ϕ) 7−→ (r cos ϕ, r sin ϕ). Khi ®ã 0 cos ϕ −r sin ϕ |deth (r, ϕ)| = = r. sin ϕrcos ϕ NÕu D ⊂ [0, ∞) × [0, 2π] ®o ®−îc vµ f kh¶ tÝch trªn D, th× Z f(x, y)dxdy = Z f(r cos ϕ, r sin ϕ)drdϕ. h(D) D
53 Ch¼ng h¹n, nÕu D =[0,R] × [0, 2π], th× h(D)={(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ R2}, vµ 2π R Z f(x, y)dxdy = Z Z f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. x2+y2≤R2 0 0 • Täa ®é trô: XÐt h: R3 −→ R3, (r, ϕ, z) 7−→ (r cos ϕ, r sin ϕ, z). Khi ®ã cos ϕ −r sin ϕ 0 0 |deth (r, ϕ, z)| = sin ϕrcos ϕ 0 = r. 001 NÕu D ⊂ [0, ∞) × [0, 2π] × R ®o ®−îc vµ f kh¶ tÝch trªn D, th× Z f(x, y, z)dxdydz = Z f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)drdϕdz. h(D) D Ch¼ng h¹n, nÕu D =[0,R] × [0, 2π] × [a, b],, th× h(D) lµ h×nh trô trßn h(D)={(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ R2,a≤ z ≤ b} vµ 2π R R Z f(x, y)dxdy = Z Z Z f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz. x2+y2≤R2 0 0 0 a≤z≤b • Täa ®é cÇu: XÐt h: R3 −→ R3, (r, ϕ, θ) 7−→ (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ, sin θ, r cos θ). Khi ®ã cos ϕ sin θ −r sin ϕ cos θrcos ϕ cos θ 0 |deth (r, ϕ, θ)| = sin ϕ sin θrcos ϕ sin θ sin ϕ cos θ = r2 sin θ. cos θ 0 r sin θ NÕu D ⊂ [0, ∞) × [0, 2π] × [0,π] ®o ®−îc vµ f kh¶ tÝch trªn D, th× Z f(x, y, z)dxdydz = Z f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)drdϕdz. h(D) D Ch¼ng h¹n, nÕu D =[0,R] × [0, 2π] × [0,π],, th× h(D) lµ h×nh cÇu B(O, R)={(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 + z2 ≤ R2} vµ 2π R π Z f(x, y)dxdy = Z Z Z f((r cos ϕ sin θ, r sin ϕ, sin θ, r cos θ))r2 sin θdrdϕdθ. B(O,R) 0 0 0
55 III. TÝch ph©n ®−êng- TÝch ph©n mÆt 1 TÝch ph©n ®−êng 1.1 §−êng cong Ta kh¶o s¸t ®−êng cong trong R3, gäi lµ ®−êng cong kh«ng gian. ViÖc kh¶o s¸t ®−êng cong trong R2, gäi lµ ®−êng cong ph¼ng, còng t−¬ng tù b»ng c¸ch thay täa ®é thø ba b»ng kh«ng. 1.1.1 §−êng cong tham sè hãa §Þnh nghÜa 1. §−êng cong tham sè hãa trong R3 lµ cÆp C =(ϕ, [a, b]), trong ®ã [a, b] lµ mét ®o¹n trong R3 vµ ϕ:[a, b] −→ R3,ϕ(t)=x(t),y(t),z(t), lµ ¸nh x¹ liªn tôc. ϕ(a), ϕ(b) theo thø tù gäi lµ ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña C. NÕu ϕ(a)=ϕ(b), th× ta nãi C lµ kÝn. ¶nh ϕ([a, b]) = {ϕ(t) | t ∈ [a, b]} gäi lµ vÕt cña ®−êng cong tham sè hãa C. Nãi r»ng ®iÓm X n»m trªn ®−êng cong tham sè ho¸ C =(ϕ, [a, b]), nÕu tån t¹i t0 ∈ [a, b] sao cho X = ϕ(t0). Hai ®iÓm kh¸c nhau cña ®−êng cong tham sè ho¸ 3 cã thÓ t−¬ng øng víi mét ®iÓm trong R , cô thÓ, nÕu ϕ(t1)=ϕ(t2), víi t1 =6 t2, th× ®iÓm X1 = ϕ(t1) vµ X2 = ϕ(t2) lµ hai ®iÓm kh¸c nhau cña C nh−ng l¹i lµ nh÷ng ®iÓm trïng nhau trong R3. Nh÷ng ®iÓm nh− thÕ gäi lµ ®iÓm béi hoÆc ®iÓm tù c¾t (ë ®©y ta kh«ng xem sù trïng nhau cña ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi lµ ®iÓm béi). Mét ®−êng cong kh«ng cã ®iÓm béi gäi lµ ®¬n. Mét ®−êng cong tham sè ho¸ kh«ng chØ ®−îc ®Æc tr−ng bëi vÕt cña nã mµ cßn ®−îc ®Æc tr−ng bëi sù chuyÓn ®éng cña ®iÓm ë trªn vÕt. Ch¼ng h¹n, ®−êng cong ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] vµ ψ(t) = (cos t, − sin t), t ∈ [0, 2π] lµ hai ®−êng cong tham sè ho¸ kh¸c nhau nh−ng cã chung mét vÕt, chÝnh lµ ®−êng trßn {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 =1}. Khi t¨ng tham sè, ®iÓm ϕ(t) ch¹y trªn ®−êng trßn theo chiÒu ng−îc kim ®ång hå, cßn ψ(t) th× ®i theo h−íng ng−îc l¹i. §−êng cong tham sè hãa C =(ϕ, [a, b]) gäi lµ thuéc líp C1 nÕu tån t¹i ®¹o hµm ϕ0(t)=(x0(t),y0(t),z0(t)) ( t¹i c¸c mót a, b ®−îc hiÓu lµ ®¹o hµm mét phÝa) liªn tôc trªn [a, b].
56 §−êng cong tham sè hãa C =(ϕ, [a, b]) gäi lµ thuéc líp C1 tõng khóc nÕu tån t¹i mét ph©n ho¹ch a = t0 <t1 < <tn = b cña ®o¹n [a, b] sao cho Ci =(ϕi, [ti−1,ti]), i =1, 2, n lµ c¸c ®−êng cong tham 1 sè hãa thuéc líp C , trong ®ã ϕi lµ h¹n chÕ cña ϕ trªn ®o¹n [ti−1,ti]. ( §¹o hµm tr¸i vµ ph¶i cña ϕ t¹i mçi ®iÓm ti tån t¹i nh−ng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i b»ng nhau). Chó ý. Tõ ®©y trë vÒ sau, nÕu kh«ng gi¶i thÝch g× thªm, khi nãi ®−êng cong tham sè ho¸ ta hiÓu ®ã lµ ®−êng cong tham sè ho¸ tõng khóc thuéc líp C1. VÝ dô. 1) Cho ϕ(t)=(a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π]. §©y lµ ®−êng cong tham sè x2 y2 ho¸ cã vÕt lµ ellip (E): + =1. a2 b2 2) Cho ϕ(t)=(R(t − sin t),R(1 − cos t), t ∈ [a, b]. §©y lµ ®−êng cong tham sè ho¸ cã vÕt lµ mét phÇn cña cycloid, qòi tÝch cña ®iÓm P cè ®Þnh trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R khi ®−êng trßn nµy l¨n trªn trôc Ox. 1.1.2 §−êng cong tham sè hãa t−¬ng ®−¬ng − §−êng cong §Þnh nghÜa 2. Ta nãi r»ng ®−êng cong tham sè ho¸ (ϕ, [a, b]) t−¬ng ®−¬ng víi ®−êng cong tham sè ho¸ (ψ,[a, b]) nÕu tån t¹i phÐp ®æi tham sè h:[a, b] −→ [c, d] sao cho a) h lµ song ¸nh vµ ®¬n ®iÖu t¨ng, b) h vµ h−1 thuéc líp C1 tõng khóc, c) ϕ(t)=ψ(t), víi mäi t ∈ [a, b]. VÝ dô. 1) Hai ®−êng cong tham sè hãa trong R2 √ ϕ(t)=(−t, 1 − t2),t∈ [−1, 1] vµ ψ(t) = (cos t, sin t),t∈ [0,π] lµ t−¬ng ®−¬ng. PhÐp ®æi tham sè lµ h:[0,π] −→ [−1, 1], h(t)=− cos t. 2) Hai ®−êng cong tham sè hãa trong R2 ϕ(t)=(t, 0),t∈ [0, 1] vµ ψ(t) = (sin πt,0),t∈ [0, 1] kh«ng t−¬ng ®−¬ng. ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i phÐp ®æi tham sè h:[0, 1] −→ [0, 1], sao cho ψ(t)=ϕ(h(t)). Suy ra h(t) = sin πt. Nh−ng khi ®ã h kh«ng song ¸nh. MÖnh ®Ò 1. Quan hÖ ®−îc ®Þnh nghÜa ë trªn lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp c¸c ®−êng cong tham sè hãa trong R3.
57 Chøng minh. §Ó chØ ra tÝnh ph¶n x¹ chØ cÇn lÊy phÐp ®æi tham sè lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt. NÕu ϕ t−¬ng ®−¬ng víi ψ qua h, th× ψ t−¬ng ®−¬ng víi ϕ qua h−1. Tõ ®ã cã tÝnh ®èi xøng. NÕu ϕ t−¬ng ®−¬ng víi ψ qua h vµ ψ t−¬ng ®−¬ng víi θ qua k, th× ϕ t−¬ng ®−¬ng víi θ qua k ◦ h. Suy ra tÝnh b¾c cÇu. 2 §Þnh nghÜa 3. Ta gäi ®−êng cong(thuéc líp C1 tõng khóc) lµ mét líp t−¬ng ®−¬ng cña mét ®−êng cong tham sè ho¸ thuéc líp C1 tõng khóc. NÕu ®−êng cong (C) lµ líp t−¬ng ®−¬ng cña ®−êng cong tham sè hãa (ϕ(t), [a, b]), th× ϕ(t) gäi lµ biÓu diÔn tham sè cña (C). NhËn xÐt. 1) §èi víi c¸c ®o¹n [a, b], [c, d] bÊt kú, lu«n t«n t¹i tån t¹i phÐp ®æi c − d tham sè tõ ®o¹n nµy ®Õn ®o¹n kia, ch¼ng h¹n t 7−→ (t − a)+d. V× vËy, b − a ta cã thÓ chän miÒn biÕn thiªn cña tham sè t theo ý muèn ®Ó m« t¶ ®−êng cong (C). 2) §«i khi còng cÇn sù gi¶i thÝch h×nh häc cña ®−êng cong (C), nÕu ®iÒu ®ã kh«ng g©y sù nhÇm lÉn, ta hiÓu ®−êng cong lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm trong R3,cã thÓ t−ëng t−îng nh− vÕt cña mét ®−êng cong tham sè ho¸ nµo ®ã ®¹i diÖn cho (C). 3) §−êng cong (C) víi biÓu diÔn tham sè (ϕ, [a, b]), cßn gäi lµ ®−êng cong ®Þnh h−íng, tøc lµ nã kh«ng ®¬n thuÇn lµ tËp hîp c¸c ®iÓm ¶nh ϕ(t), mµ trªn tËp ®iÓm nµy cßn ®−îc s¾p thø tù. Ta hiÓu h−íng cña ®−êng cong (C) lµ h−íng chuyÓn ®éng cña ®iÓm ϕ(t) khi tham sè t t¨ng. 4) Cho (C) lµ ®−êng cong cã biÓu diÔn tham sè (ϕ, [a, b]). Ta ký hiÖu (C−) lµ ®−êng cong cã biÓu diÔn tham sè (ψ,[a, b]), víi ψ(t)=ϕ(a+b−t). NÕu (ϕ1, [c, d]) t−¬ng ®−¬ng víi (ϕ, [a, b]), th× dÔ kiÓm tra r»ng (ψ1, [c, d]), víi ψ1(t)=ϕ1(c+d−t) lµ t−¬ng ®−¬ng víi (ψ,[a, b]). VËy, (C−) chØ phô théc vµo (C) mµ kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn tham sè cña (C). Khi ®ã ta nãi (C−) thu ®−îc tõ (C) b»ng c¸ch lÊy 00 h−íng ng−îc l¹i00. 5) Cho (C1), (C2) lµ hai ®−êng cong cã biÓu diÔn tham sè lÇn l−ît lµ (ϕ1, [a, b]) vµ (ϕ2, [b, c]) sao cho ®iÓm cuèi cña (C1) lµ ®iÓm ®Çu cña (C2), tøc lµ ϕ1(b)=ϕ2(b). XÐt ¸nh x¹ (ϕ (t) nÕu t ∈ [a, b], ϕ:[a, c] −→ R3,t7−→ 1 ϕ2(t) nÕu t ∈ [b, c]. §©y lµ ¸nh x¹ thuéc líp C1 tõng khóc, do ®ã x¸c ®Þnh mét ®−êng cong (C).Ta chó ý r»ng, (C) kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn tham sè cña (C1), (C2) mµ chØ
58 00 00 phô thuéc vµo (C1), (C2). Ta nãi ®−êng cong (C) lµ nèi liªn tiÐp cña (C1), (C2), vµ viÕt (C)=(C1)+(C2). 1.2 TÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 §Þnh nghÜa 4. Cho ®−êng cong (C) trong R3 cã biÓu diÔn tham sè ϕ:[a, b] −→ R3,ϕ(t)=(x(t),y(t),z(t)) vµ f : R3 −→ R lµ hµm x¸c ®Þnh trªn (C), tøc lµ f(ϕ(t)) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Khi ®ã ký hiÖu b Z Z 0 f(x1,x2,x3)dl = f(ϕ(t))kϕ (t)kdt (C) a b = Z f(x(t),y(t),z(t))p(x0(t))2 +(y0(t))2 +(z0(t))2dt a vµ gäi lµ tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 cña hµm f trªn ®−êng cong (C) (nÕu tÝch ph©n x¸c ®Þnh ë vÕ ph¶i tån t¹i). Chó ý. §Ó ®Þnh nghÜa ë trªn lµ ®óng ®¾n, ta cÇn ph¶i kiÓm tra r»ng tÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän biÓu diÔn tham sè cña (C). ThËt vËy, nÕu (ψ,[c, d]) lµ mét biÓu tham sè kh¸c cña (C), th× tån t¹i phÐp ®æi tham sè h:[a, b] −→ [c, d], song ¸nh, ®¬n ®iÖu t¨ng (tøc lµ h0(t) ≥ 0, víi mäi t ∈ [a, b] sao cho h0(t) tån t¹i), ngoµi ra, h, h−1 thuéc líp C1 tõng khóc sao cho ϕ(t)=ψ(h(t)). Khi ®ã theo c«ng thøc ®æi biÕn cho tÝch ph©n hµm mét biÕn ta cã b b Z f(ϕ(t))kϕ0(t)kdt = Z f(ψ(h(t)))kψ0(h(t))h0(t)kdt a a b = Z f(ψ(h(t)))kψ0(h(t))kh0(t)dt a d = Z f(ψ(u))kψ0(u)kdu (®æi biÕn u = h(t)) c VÝ dô. TÝnh tÝch ph©n I = Z px2 + y2dl, trong ®ã (C) lµ nöa trªn cña ®−êng (C) trßn x2 + y2 =2ax, a>0, h−íng tõ ®iÓm (0, 0) ®Õn ®iÓm (2a, 0).
59 Gi¶i: Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t)=(a − a cos t, a sin t),t∈ [0,π]. Khi ®ã π π t I = Z p2a2(1 − cos t)pa2(− sin t)2 + a2 cos2 t =2a2 Z sin dt =4a2. 2 0 0 1.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 1.3.1 §é dµi ®−êng cong Cho (C) lµ ®−êng cong cã biÓu diÔn tham sè lµ (ϕ, [a, b]). Ta muèn tÝnh ®é dµi cña ®−êng cong (C). §Ó lµm ®iÒu nµy, ta xÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P : t0 0, ∃δ>0, ∀P : |P | <δ=⇒|l(P ) − l| <,th× l |P |→0 ®−îc gäi lµ ®é dµi cña ®−êng cong (C), ký hiÖu l(C)=l. MÖnh ®Ò 2. Cho (C) lµ ®−êng cong thuéc líp C1 tõng khóc. Khi ®ã l(C)=Z dl. (C) Chøng minh. §Ó ®¬n gi¶n cho viÖc tr×nh bµy ta xÐt ®−êng cong ph¼ng C víi biÓu diÔn tham sè thuéc líp C1 tõng khóc ϕ(t)=(x(t),y(t)), t ∈ [a, b]. XÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P : t0 <t1 < ···<tk = b.
60 Tõ ®Þnh lý Lagrange cho c¸c hµm x(t),y(t), tån t¹i θi,τi ∈ [ti,ti+1]sao cho 0 x(ti+1) − x(ti)=x (θi)∆ti 0 y(ti+1) − y(ti)=y (τi)∆ti Khi ®ã k−1 0 2 0 2 l(P )=X p(x (θi)) +(y (τi)) ∆ti. i=0 k−1 0 2 0 2 §Æt σ(P )=X p(x (ti)) +(y (ti)) ∆ti. Tõ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c suy ra i=0 k−1 0 0 2 0 0 2 |l(P ) − σ(P )|≤X p(x (θi) − x (ti)) +(y (τi) − y (ti) ∆ti. i=0 Víi mäi >0, lu«n chän ®−îc δ>0 sao cho víi mäi ph©n ho¹ch P cña [a, b], cã ®é mÞn |P | <δvµ víi mäi t, t0 ∈ [a, b] tháa |t − t0| <δta cã b Z 0 a) kϕ (t)kdt − σ(P ) <, a 0 0 0 0 b) |x (θi) − x (ti)| <vµ |y (τi) − y (ti)| <. ThËt vËy, ®iÒu kiÖn a) thùc hiÖn ®−îc do hµm kϕ0(t)k liªn tôc vµ tõ ®ã kh¶ tÝch trªn [a, b]. §iÒu kiÖn b) thùc hiÖn ®−îc do tÝnh liªn tôc ®Òu cña x0(t), y0(t) trªn [a, b]. Cuèi cïng, kÕt qu¶ suy ra tõ bÊt ®¼ng thøc b b Z 0 Z 0 kϕ (t)kdt − l(P ) ≤ kϕ (t)kdt − σ(P ) + l(P ) − σ(P ). a a 2 VÝ dô. §é dµi cung cycloid cã biÓu diÔn tham sè ϕ(t)=(t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π] lµ 2π 2π 2π l = Z kϕ0(t)kdt = Z q4 sin2(t/2)dt =2Z | sin(t/2)dt =8. 0 0 0
61 1.3.2 Khèi l−îng ®−êng cong Cho (C) lµ ®−êng cong cã biÓu diÔn tham sè lµ (ϕ, [a, b]), mµ däc theo nã cã ph©n bè mét khèi l−îng víi khèi l−îng riªng t¹i ®iÓm M(x, y) lµ f(x, y). Ta cÇn x¸c ®Þnh khèi l−îng m(C) cña toµn bé ®−êng cong (C). §Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy , ta xÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P : t0 <t1 < ···<tk = b. §Æt (Ci), i =0, ,k − 1, lµ cung cña ®−êng cong nèi Xi = ϕ(ti) vµ Xi+1 = ϕ(ti+1). NÕu f kh«ng ®æi trªn (Ci) vµ l(Ci) ®−îc xÊp bëi ®é dµi ®o¹n th¼ng nèi Xi, Xi+1, th× khèi l−îng gÇn ®óng cña cung (Ci) lµ mi(P )=f(ϕ(ξi))kϕ(ti+1) − ϕ(ti)k,ξi ∈ [ti,ti+1]. Tõ ®ã gi¸ trÞ gÇn ®óng cña khèi l−îng ®−êng cong (C) lµ k−1 m(P )=X f(ϕ(ξi))kϕ(ti+1) − ϕ(ti)k,ξi ∈ [ti,ti+1]. i=0 Lý luËn t−¬ng tù nh− trong tr−êng hîp ®é dµi ®−êng cong, nÕu (C) lµ ®−êng cong thuéc líp C1, th× ta cã m(C) = lim m(P )=Z f(x, y)dl. |P |→0 (C) 1.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 Tõ ®Þnh nghÜa dÔ dµng suy ra c¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1. MÖnh ®Ò 3. Gi¶ sö hai hµm f, g cã tÝch ph©n trªn ®−êng cong (C) vµ α ∈ R. Khi ®ã 1) Z (f + g)dl = Z fdl + Z gdl. (C) (C) (C) 2) Z αfdl = α Z fdl. (C) (C) 3) Z fdl = Z fdl. (C) (C−)
62 4) NÕu tån t¹i tÝch ph©n cña f trªn (C1) vµ (C2), th× Z fdl = Z fdl + Z fdl. (C1)+(C2) (C1) (C2) 1.5 TÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 Ta hiÓu mét tr−êng vector trªn U ⊂ R3 lµ ¸nh x¹ F =(P,Q,R): U −→ R3, tøc lµ víi mçi M(x, y, z) ∈ U cho t−¬ng øng víi mét vector F (x, y, z) ∈ R3, mµ cã thÓ xem nã cã gèc t¹i M vµ c¸c thµnh phÇn lµ (P (x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z)). §Þnh nghÜa 5. Cho F =(P,Q,R) lµ mét tr−êng vector trªn U ⊂ R3 vµ (C) lµ ®−êng cong trªn U cã biÓu diÔn tham sè ϕ:[a, b] −→ R3,ϕ(t)=(x(t),y(t),z(t)). Khi ®ã, tÝch ph©n (nÕu tån t¹i) b Z (P (ϕ(t))x0(t)+Q(ϕ(t))y0(t)+R(ϕ(t))z0(t))dt a gäi lµ tÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 cña tr−êng vector F däc theo (C), vµ ký hiÖu lµ Z P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. (C) Chó ý. T−¬ng tù nh− tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1, ®Þnh nghÜa trªn lµ ®óng ®¾n, tøc lµ kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän biÓu diÔn tham sè cña (C). VÝ dô. TÝnh I = Z y2dx − x2dy, trong ®ã (C) a) (C) lµ ®−êng trßn (x − 1)2 +(y − 1)2 =1, lÊy h−íng ng−îc víi chiÒu quay kim ®ång hå. b) (C) lµ ®−êng trßn (x − 1)2 +(y − 1)2 =1, lÊy h−íng cïng víi chiÒu quay kim ®ång hå. b) (C) lµ cung parabol y = x2, lÊy h−íng tõ ®iÓm (−1, 1) ®Õn ®iÓm (2, 4). Gi¶i: a) Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t) = (1 + cos t, 1 + sin t),t∈ [0, 2π].
63 Khi ®ã 2π Z 2 2 I = (1 + sin t) (− sin t) − (1 + cos t) cos tdt 0 2π Z 3 3 = − 2 − (cos t + sin t) − (cos t + sin t)dt = −4π. 0 b) Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t) = (1 + sin t, 1 + cos t),t∈ [0, 2π]. Khi ®ã 2π Z 2 2 I = (1 + cos t) (cos t) − (1 + sin t) (− sin t)dt 0 2π Z 3 3 = 2 + (cos t + sin t) + (cos t + sin t)dt =4π. 0 b) Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t)=(t, t2),t∈ [−1, 2]. Khi ®ã 2 Z 4 2 9 I = (t − t (2t)dt = − . 10 −1 1.6 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 §Æt ω = P1(x, y, z)dx + Q1(x, y, z)dy + R1(x, y, z)dz η = P2(x, y, z)dx + Q2(x, y, z)dy + R2(x, y, z)dz ω + η =(P1 + P2)dx +(Q1 + Q2)dy +(R1 + R2)dz aω = aP1(x, y, z)dx + aQ1(x, y, z)dy + aR1(x, y, z)dz, a ∈ R.
64 MÖnh ®Ò 4. 1) Z ω + η = Z ω + Z η 2) Z aω = a Z ω (C) (C) (C) (C) (C) 3) Z ω = − Z ω 4) Z ω = Z ω + Z ω. − (C) (C ) (C1)+(C2) (C1) (C2) Chøng minh. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa. 2 1.7 ý nghÜa cña cña tÝch ph©n ®−êng lo¹i 2- C«ng cña lùc Mét chÊt ®iÓm di chuyÒn trªn mét ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm A(a ,a ), B(b ,b ) −→ 1 2 1 2 trong mÆt ph¼ng d−íi t¸c dông cña mét lùc kh«ng ®æi F =(u, v). Theo ®Þnh nghÜa, c«ng cña lùc F~ lµ −→ −→ −→ −→ W = |F ||AB| cos θ = hF,ABi = u(b1 − a1)+v(b2 − a2), −→ trong ®ã, θ lµ gãc gi÷a vector lùc F vµ h−íng chuyÓn ®éng. B©y gië chÊt ®iÓm di chuyÓn trªn mét ®−êng cong ph¼ng (C) d−íi t¸c ®éng cña −→ lùc F =(u(x, y),v(x, y)) biÕn thiªn liªn tôc däc theo (C). Ta cÇn tÝnh c«ng WF (C) sinh ra bëi lùc Êy. Gi¶ sö ®−êng cong (C) cã biÓu diÔn tham sè lµ ϕ(t)=(x(t),y(t)), t ∈ [a, b]. XÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P : t0 <t1 < ···<tk = b. §Æt (L) lµ ®−êng gÊp khóc nèi c¸c ®o¹n th¼ng (Li)=[ϕ(ti),ϕ(ti+1),i=0, k− 1. NÕu ph©n ho¹ch P kh¸ mÞn, th× cã thÓ xem cung cña ®−êng cong nèi hai ®iÓm −→ ϕ(t ), ϕ(t ) lµ ®o¹n th¼ng (L ) vµ lùc F kh«ng ®æi trªn (L ). Tõ ®ã, c«ng sinh i −→ i+1 i i ra bëi F lµm chÊt ®iÓm di chuyÓn tõ ϕ(ti) ®Õn ϕ(ti+1) trªn ®−êng cong xÊp xØ b»ng Wi(P )=u(ϕ(ξi))(x(ti+1) − x(ti)) + v(ϕ(ξi))(y(ti+1) − y(ti)), −→ trong ®ã, ξ∈[ti,ti+1]. VËy, c«ng toµn phÇn cña lùc F xÊp xØ b»ng k−1 W (P )=X u(ϕ(ξi))(x(ti+1) − x(ti)) + v(ϕ(ξi))(y(ti+1) − y(ti)). i=0
65 T−¬ng tù nh− tÝnh ®é dµi ®−êng cong, nÕu (C) lµ ®−êng cong thuéc líp C1, th× −→ c«ng sinh ra bëi lùc F lµ Z WF (C) = lim W (P )= u(x, y)dx + v(x, y)dy. |P |→0 (C) 2 TÝch ph©n mÆt 2.1 MÆt Ta gäi ¸nh x¹ liªn tôc Φ: D ⊂ R2 −→ R3, Φ(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)), lµ mÆt tham sè ho¸ trong R3, vµ viÕt S =(Φ.D). ¶nh cña D qua Φ gäi lµ vÕt cña mÆt. Ta chØ quan t©m ®Õn nh÷ng mÆt mµ t¹i mçi ®iÓm cña nã cã mÆt tiÕp xóc vµ vector ph¸p tuyÕn t¹i mçi ®iÓm cña mÆt biÕn thiªn liªn tôc. §ã lµ nh÷ng mÆt tr¬n ®Þnh h−íng ®−îc ®Þnh nghÜa d−íi ®©y. 2.1.1 MÆt tr¬n tham sè ho¸ §Þnh nghÜa 6. MÆt tr¬n tham sè hãa lµ cÆp S =(Φ,D) , trong ®ã D ⊂ R2 vµ Φ lµ ¸nh x¹ tõ D −→ R3, Φ(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)) tháa (1) D lµ tËp ®ãng, giíi néi, liªn th«ng. o (2) Φ(u, v) =Φ(6 u1,v1), nÕu (u, v) ∈ D, (u1,v1) ∈ D vµ (u, v) =(6 u1,v1). (3) Φ kh¶ vi liªn tôc vµ vector ph¸p tuyÕn −→ ∂Φ ∂Φ N (u, v)= (u, v) × (u, v) Φ ∂u ∂v o kh¸c kh«ng trªn D. −→ N Φ(u, v) (4) Tån t¹i lim −→ víi mçi (u0,v0) ∈ ∂D. (u,v)→(u ,v ) 0 0 kN Φ(u, v)k (5) NÕu (u0,v0) vµ (u1,v1) ∈ ∂D sao cho Φ(u0,v0)=Φ(u1,v1), th× −→ −→ N Φ(u, v) N Φ(u, v) lim −→ = lim −→ . (u,v)→(u ,v ) (u,v)→(u ,v ) 0 0 kN Φ(u, v)k 1 1 kN Φ(u, v)k VÝ dô. 1) MÆt tr¬n tham sè hãa S =(Φ,D), trong ®ã D =[0, 2π] × [−1, 1] vµ Φ(θ, z)=(a cos θ, a sin θ, z).
66 VÕt cña nã lµ phÇn cña mÆt trô trßn xoay x2 + y2 = a2 giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng z =1, z = −1. 2) MÆt tr¬n tham sè hãa S =(Φ,D), trong ®ã D =[0, 2π] × [0,pi] Φ(ϕ, θ)=(R cos ϕ sin θ, R sin ϕ sin θ, R cos θ). VÕt cña nã lµ mÆt cÇu t©m O(0, 0, 0) b¸n kÝnh R. o NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (2) suy ra r»ng Φ ®¬n ¸nh trªn D vµ hai ®iÓm, mét trªn o D, mét trªn ∂D cã ¶nh kh¸c nhau qua Φ, tuy nhiªn, hai ®iÓm ph©n biÖt trªn ∂D cã thÓ cã ¶nh trïng nhau. 2) §iÒu kiÖn (3), (4), (5) cho phÐp ta x¸c ®Þnh mét tr−êng vector ph¸p ®¬n vÞ −→ n (X) liªn tôc trªn S nh− sau (X =Φ(u, v) ∈ S) −→  N (u, v) o  Φ nÕu (u, v) ∈ D  −→ −→ kN Φ(u, v)k nΦ(X)= −→ 0 0 N Φ(u ,v)  lim −→ nÕu (u, v) ∈ ∂D. (u0,v0)→(u,v) 0 0  kN Φ(u ,v)k ∂y ∂z (u, v) (u, v) D(y,z) ∂u ∂u 3) NÕu ký hiÖu = ∂y ∂z th× D(u, v) (u, v) (u, v), ∂v ∂v −→ D(y,z) D(z,x) D(x, y) N (u, v)= , , . Φ D(u, v) D(u, v) D(u, v) −→ o Tõ ®ã. yªu cÇu N Φ(u, v) kh¸c kh«ng trªn D cã nghÜa r»ng cã Ýt nhÊt mét trong −→ o c¸c täa ®é cña N Φ(u, v) kh¸c 0 t¹i (u0,v0) ∈ D. Khi ®ã theo ®Þnh lý hµm Èn, tõ hÖ x = x(u, v), y = y(u, v) cã thÓ gi¶i ®−îc u, vnh− lµ c¸c hµm kh¶ vi theo (x, y) trong mét l©n cËn cña ®iÓm (x0,y0)=(x(u0,v0),y(u0,v0) u = u(x, y),v= v(x.y). (∗) Thay (∗) vµo ph−¬ng tr×nh z = z(u, v) ta ®−îc z = z(u(x, y),v(x, y), tøc lµ mÆt S cã thÓ biÓu diÔn trong l©n cËn ®iÓm (x0,y0,z0) d−íi d¹ng z = f(x, y)=z(u(x, y),v(x, y).
67 4) Còng nh− ®−êng cong, mÆt tham sè ho¸ kh«ng chØ ®Æc tr−ng bëi vÕt cña nã mµ cßn ®−îc ®Æc tr−ng bëi sù biÕn thiªn liªn tôc cña vector ph¸p tuyÕn t¹i c¸c ®iÓm trªn vÕt. VÝ dô, 3 S1 :Φ1 :[0, 2π] × [−1, 1] −→ R , Φ(θ, z)=(a cos θ, a sin θ, z) 3 S2 :Φ1 :[0, 2π] × [−1, 1] −→ R , Φ(θ, z)=(a cos θ, −a sin θ, z), lµ hai mÆt tham sè ho¸ kh¸c nhau nh−ng cã chung mét vÕt lµ phÇn cña mÆt trô trßn xoay x2 + y2 = a2 giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng z =1, z = −1. Tr−êng vector −→ −→ ph¸p n1(X) trªn S1 h−íng ra ngoµi, trong khi tr−êng vector ph¸p n2(X) trªn S2 h−íng vµo trong. −→ Ta còng nãi r»ng, tr−êng vector ph¸p n2(X) liªn tôc x¸c ®Þnh h−íng cña mÆt. ViÖc kh«ng thÓ x¸c ®Þnh mét tr−êng vector ph¸p liªn tôc ph¶n ¸nh tÝnh chÊt kh«ng ®Þnh h−íng ®−îc cña mÆt. Mét vÝ dô ®iÓn h×nh vÒ nh÷ng mÆt nh− vËy lµ l¸ Mobius¨ . Ta cã m« h×nh cña l¸ ®ã b»ng c¸ch d¸n c¸c ®Çu mÐp cña mét b¨ng giÊy sau khi ®· xo¾n l¹i nöa vßng. Cô thÓ, l¸ Mobius¨ lµ mÆt tham sè hãa [0, 2π] × [−1, 1] −→Φ R3 (θ, v) 7−→ (1 + v sin(θ, 2) cos θ, (1 + v sin(θ/2) sin θ, v cos(θ/2). Ta thÊy r»ng Φ(0, 0) = Φ(2π,0), nh−ng −→ −→ N Φ(θ, v) N Φ(θ, v) lim −→ = − lim −→ =(1, 0, 0). (θ,v)→(0,0) (θ,v)→(2π,0) kN Φ(θ, v)k kN Φ(θ, v)k Tøc lµ ®iÒu kiÖn (5) trong ®Þnh nghÜa mÆt tr¬n tham sè hãa kh«ng tháa. 2.1.2 MÆt tham sè hãa t−¬ng ®−¬ng − MÆt §Þnh nghÜa 7. Ta nãi r»ng mÆt tr¬n tham sè ho¸ (Φ1,D1) t−¬ng ®−¬ng víi mÆt tr¬n tham sè ho¸ (Φ2,D2), nÕu tån t¹i phÐp ®æi tham sè h: D1 −→ D2 sao cho 0 a) h lµ song ¸nh vµ det h (u, v) > 0 víi mäi (u, v) ∈ D1, b) h vµ h−1 thuéc líp C1, c) Φ1(u, v)=Φ2(h(u, v)), víi mäi (u, v) ∈ D1. DÔ kiÓm tra r»ng , quan hÖ 00 t−¬ng ®−¬ng víi00 ®Þnh nghÜa ë trªn lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp c¸c mÆt tr¬n tham sè hãa trªn R3. Ta gäi mét líp t−¬ng ®−¬ng (S)cña mét mÆt tr¬n tham sè ho¸ lµ mét mÆt(tr¬n). NÕu (S) lµ líp t−¬ng ®−¬ng cña mét mÆt tr¬n tham sè ho¸ (Φ,D), th× ta nãi, Φ lµ biÓu diÔn tham sè
68 cña mÆt (S). VÒ mÆt h×nh häc, nÕu kh«ng g©y ra nhÇm lÉn, ta hiÓu mÆt lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm trong R3, cã thÓ t−ëng t−îng nh− vÕt cña mét mÆt tham sè ho¸ nµo ®ã ®¹i diÖn cho (S). MÆt tr¬n (S) víi biÓu diÔn tham sè (Φ,D), cßn gäi lµ mÆt ®Þnh h−íng, tøc lµ nã kh«ng ®¬n thuÇn lµ tËp hîp c¸c ®iÓm ¶nh Φ(u, v), mµ trªn tËp ®iÓm nµy cßn liªn quan ®Õn mét tr−êng vector ph¸p liªn tôc. Ta hiÓu h−íng cña mÆt (S) lµ h−íng cña tr−êng vector ph¸p liªn tôc trªn nã . Cho (S) lµ mÆt cã biÓu diÔn tham sè (Φ,D). Ta ký hiÖu (S−) lµ mÆt cã biÓu diÔn tham sè (Ψ,D), víi Ψ(u, v)=Φ(a+b−u, v), trong ®ã [a, b] lµ ¶nh cña D qua phÐp chiÕu täa ®é thø nhÊt pr1 : D −→ R,pr1(u, v)=u. NÕu (Φ1,D1) t−¬ng ®−¬ng víi (Φ,D), th× cã thÓ kiÓm tra r»ng (Ψ1,D1), víi Ψ1(u, v)=Φ1(c + d − u, v) lµ t−¬ng ®−¬ng víi (Ψ,D), trong ®ã [c, d] lµ ¶nh cña D1 qua phÐp chiÕu täa ®é thø − nhÊt pr1 : D −→ R,pr1(u, v)=u. VËy, (S ) chØ phô thuéc vµo (S) mµ kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn tham sè cña (S). Khi ®ã ta nãi (S−) thu ®−îc tõ (S) b»ng c¸ch lÊy 00 h−íng ng−îc l¹i00. 2.1.3 Biªn cña mÆt - H−íng c¶m sinh Biªn cña mét mÆt tr¬n (S), ký hiÖu ∂S.lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm X0 trªn (S) 3 sao cho mçi tËp cã d¹ng {X ∈ R |kX − X0k <vµ X/∈ (S)} lµ liªn th«ng. Chó ý r»ng kh¸i niÖm 00biªn cña mÆt 00 lµ kh¸c víi kh¸i niÖm 00 biªn cña tËp hîp00 mµ ta ®· ®Ò cËp ®Õn trong ch−¬ng I. VÝ dô, biªn cña nöa mÆt cÇu {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 =1,z ≥ 0} lµ ®−êng trßn {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 =0,z =0}; biªn cña mÆt trô trßn {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 =1, |z|≤1} lµ hai ®−êng trßn {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 =1,z =1} vµ {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 =1,z = −1}. Trong khi ®ã, nÕu theo nghÜa biªn cña tËp hîp, th× biªn cña c¸c tËp nµy l¹i chÝnh lµ nã.
69 Ta cã thÓ kiÓm tra r»ng, nÕu (φ, D) lµ mét biÓu diÔn tham sè cña mÆt (S), th× mçi ®iÓm X0 trªn ∂S ph¶i cã d¹ng X0 =Φ(u0,v0), víi (u0,v0) ∈ ∂D. Tuy nhiªn mçi ®iÓm trªn ∂D kh«ng cÇn ph¶i cã ¶nh trªn ∂S. VÝ dô, ®èi víi mÆt trô trßn víi biÓu diÔn tham sè Φ(θ, z)=(a cos θ, a sin θ, z), (θ, z) ∈ D =[0, 2π] × [−1, 1], c¸c ®iÓm (0,z) vµ (2π,z) víi |z| < 1 lµ ë trªn ∂D nh−ng Φ(0,z) vµ Φ(2π,z) kh«ng lµ c¸c ®iÓm biªn cña mÆt trô (S). ThËm chÝ cßn x¶y ra t×nh huèng kh«ng cã ®iÓm nµo trªn ∂D mµ ¶nh cña nã lµ ®iÓm biªn cña (S). Trong tr−êng hîp nµy ta nãi r»ng mÆt (S) kh«ng cã biªn, hay mÆt (S) lµ mÆt kÝn. Ta chØ kh¶o s¸t nh÷ng mÆt kÝn hoÆc nh÷ng mÆt víi biªn gåm h÷u h¹n c¸c ®−êng −→ cong kÝn thuéc líp C1 tõng khóc. Gi¶ sö n (X) x¸c ®Þnh h−íng cña mÆt tr¬n (S) vµ (C) lµ mét ®−êng cong trªn biªn cña (S). Ta nãi r»ng (C) ®−îc ®Þnh h−íng c¶m sinh bëi h−íng cña (S) nÕu mét ng−êi di chuyÓn theo h−íng cña (C) sao −→ cho n (X) h−íng tõ ch©n ®Õn ®Çu, th× (S) lu«n ë bªn tr¸i. Ta nãi biªn cña S ®−îc ®Þnh h−íng c¶m sinh bëi h−íng cña (S) nÕu mäi ®−êng cong trong nã ®−îc ®Þnh h−íng c¶m sinh bëi h−íng cña (S). Gi¶ sö (S1), (S2), ,(Sk) lµ c¸c mÆt tr¬n tháa c¸c ®iÒu kiÖn 1 a) Hai biªn ∂Si vµ ∂Sj, i =6 j, lu«n cã phÇn chung lµ mét ®−êng cong C . b) Kh«ng cã hai mÆt nµo cã ®iÓm chung mµ kh«ng ph¶i lµ ®iÓm biªn cña chóng. −→ −→ −→ c) Gi¶ sö n1(X), n2(X), ,nk(X) lµ c¸c h−íng cña (S1), (S2), ,(Sk). Khi ®ã, nÕu (C) lµ ®o¹n biªn chung cña ∂S vµ ∂S , i =6 j, th× h−íng c¶m sinh cña −→ i j −→ (C) bëi ni (X) lµ ng−îc víi h−íng c¶m sinh cña (C) bëi nj (X). Khi ®ã ta nãi r»ng c¸c mÆt (S1), (S2), ,(Sk) x¸c ®Þnh mét mÆt tr¬n tõng m¶nh (S) vµ viÕt (S)=(S1)+(S2)+ +(Sk). VÝ dô. MÆt (S) x¸c ®Þnh bëi c¸c mÆt cña h×nh lËp ph−¬ng [0, 1]3 lµ mÆt tr¬n tõng m¶nh. 2.2 TÝch ph©n mÆt lo¹i 1 §Þnh nghÜa 8. Cho (S) lµ mÆt tr¬n cã biÓu diÔn tham sè Φ: D −→ R3, Φ(u, v)=(x(uv),y(u, v),z(u, v)),
70 vµ f(x, y, z) lµ hµm x¸c ®Þnh trªn (S). Khi ®ã tÝch ph©n (nÕu tån t¹i) Z −→ Z ∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v) f(Φ(u, v))kN Φ(u, v)kdudv = f(Φ(u, v)) × dudv, ∂u ∂v D D gäi lµ tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 cña hµm f trªn (S) vµ ký hiÖu lµ Z f(x, y, z)dS. (S) NÕu (S)=(S1)+(S2)+ +(Sk) lµ mÆt tr¬n tõng m¶nh, th× ta ®Þnh nghÜa k Z f(x, y, z)dS = X Z f(x, y, z)dS. i=1 (S) (Si) NhËn xÐt. 1) §Ó ®Þnh nghÜa ë trªn lµ ®óng ®¾n, ta cÇn ph¶i kiÓm tra r»ng tÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän biÓu diÔn tham sè cña (S). ThËt vËy, nÕu (Φ1,D1) lµ mét biÓu tham sè kh¸c cña (S), th× tån t¹i phÐp ®æi tham sè h: D −→ D1, song ¸nh, det h0(u, v)) > 0, víi mäi (u, v) ∈ D, ngoµi ra, h, h−1 thuéc líp C1, sao cho Φ(t)=Φ1(h(u, v)). Khi ®ã theo c«ng thøc ®æi biÕn cho tÝch ph©n béi ta cã Z −→ Z −→ 0 f(Φ(u, v))kN Φ(u, v)kdudv = f(Φ1(h(u, v)))kN Φ1 h(u, v)k| det h |dudv D D Z −→ = f(Φ1(x, y))kN Φ1 (x, y)kdxdy. D1 2) NÕu ®Æt ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 E = kΦ0 k2 = + + , u ∂u ∂u ∂u ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z F = hΦ0 , Φ0 i = · + · + · , u v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 E = kΦ0 k2 = + + , v ∂v ∂v ∂v th× −→ √ 2 kN Φ(u, v)k = EG − F .
71 Tõ ®ã, cã thÓ viÕt √ Z f(x, y, z)dS = Z f(Φ(u, v)) EG − F 2dudv. (S) D 3) DÔ dµng kiÓm tra r»ng Z f(x, y, z)dS = Z f(x, y, z)dS. (S) (S−) Z 2 2 VÝ dô. TÝnh tÝch ph©n I = (x + y )dS, trong ®ã (S)=(S1)+(S2) víi (S) 3 2 2 2 2 (S1)={(x, y, z) ∈ R | x + y + z = a ,z ≥ 0}, 3 2 2 2 (S1)={(x, y, z) ∈ R | x + y = a ,z =0}. Gi¶i: Ta cã I = Z (x2 + y2)dS + Z (x2 + y2)dS. (S1) (S2) • (S1) cã biÓu diÔn tham sè Φ(ϕ, θ)=(a cos ϕ sin θ, a sin ϕ sin θ, a cos θ), (ϕ, θ) ∈ D1 =[0, 2π] × [0,π/2]. −→ 2 Ta cã kN Φ(ϕ, θ)k = a sin θ. Tõ ®ã Z (x2 + y2)dS = Z (a2 sin2 θ)(a2 sin θdϕdθ (S1) D1 2π π/2 4πa4 = a4 Z Z sin3 θdθdϕ = . 3 0 0 • (S2) cã biÓu diÔn tham sè Ψ(r, ϕ =(r cos ϕ, sin ϕ, 0), (r, ϕ) ∈ D2 =[0,a] × [0, 2π]. −→ Ta cã kN Ψ(r, ϕ)k = r. Tõ ®ã Z (x2 + y2)dS = Z r2(cos2 ϕ + sin2 ϕ)rdrdϕ (S)2 D2 2π a πa4 = Z Z r3drdϕ = . 2 0 0 11πa4 VËy, Z (x2 + y2)dS = . 6 (S)2
72 2.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 2.3.1 DiÖn tÝch cña mÆt Gi¶ sö (S) lµ mÆt tr¬n cã biÓu diÔn tham sè (Φ,D), ®Ó ®¬n gi¶n cho tr×nh bµy, ta gi¶ thiÕt D =[a, b] × [c, d]. XÐt ph©n ho¹ch P = {D1,D2, ,Ds} lµ ph©n ho¹ch cña D, trong ®ã Di =[ai,bi] × [ci,di]. LÊy ξi =(ui,vi) lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn Di, khi ®ã Xi =Φ(ξi) lµ mét ®iÓm trªn mÆt (Si)=(φ|Di ,Di). MÆt ph¼ng tiÕp xóc víi (Si) t¹i Xi cã biÓu diÔn tham sè ∂Φ ∂Φ H(u, v)=Φ(u ,v)+(u − u ) (u, v)+(v − v ) (u, v). i i i ∂u i ∂v, §Æt Ti lµ h×nh ch÷ nhËt AiBiCiDi víi c¸c ®Ønh Ai = H(ai,ci), Bi = H(bi,ci) , Ci = H(bi,di), Di = H(ai,di). NÕu ph©n ho¹ch P ®ñ mÞn, th× diÖn tÝch cña Ti gÇn b»ng diÖn tÝch cña mÆt (Si). §iÒu nµy cho gi¸ trÞ gÇn ®óng cña diÖn tÝch mÆt (S) s s V (P )=X V (Si) ≈ X V (Ti). i=1 i=1 Ta cã −−→ −− −→ V (Ti)=|AiBi × AiDi| ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = × (bi − ai)(di − ci)= × V (Di). ∂u ∂v ∂u ∂v Tõ ®ã, diÖn tÝch cña (S) lµ s s ∂Φ ∂Φ V (S) = lim X V (Ti) = lim X × V (Di) |P |→0 |P |→0 ∂u ∂v i=1 i=1 Z ∂Φ ∂Φ Z = × dudv = dS. ∂u ∂v D (S) 2.3.2 Khèi l−îng cña mÆt Gi¶ sö trªn mÆt (S) cã ph©n bè khèi l−îng víi khèi l−îng riªng t¹i ®iÓm M(x, y, z) lµ f(x, y, z). Lý luËn t−¬ng tù nh− tr−íng hîp ®−êng cong, ta cã c«ng thøc tÝnh khèi l−îng cña mÆt (S) lµ m(S)=Z f(x, y, z)dS. (S)
73 2.4 TÝch ph©n mÆt lo¹i 2 −→ §Þnh nghÜa 9. Cho F =(P,Q,R) lµ tr−êng vector tªn U ⊂ R3 vµ (S) lµ mÆt −→ tr¬n trong U cã tr−êng vector ph¸p tuyÕn ®¬n vÞ liªn tôc lµ n . Khi ®ã , ký hiÖu −→ Z P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy = Z hF,−→n idS, (S) (S) −→ vµ gäi lµ tÝch ph©n mÆt lo¹i 2 cña tr−êng vector F trªn (S) (nÕu tÝch ph©n lo¹i 1 ë vÕ ph¶i tån t¹i). NÕu (S)=(S1)+(S2)+ +(Sk) lµ mÆt tr¬n tõng m¶nh, th× ta ®Þnh nghÜa k Z P dydz + Qdzdx + Rdxdy = X Z P dydz + Qdzdx + Rdxdy. i=1 (S) (Si) NhËn xÐt. 1) NÕu (S) cã biÓu diÔn tham sè Φ: D −→ R3, Φ(u, v)=(x(uv),y(u, v),z(u, v)), th× ta cã ∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v) × −→n (Φ(u, v)= ∂u ∂v . ∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v) × ∂u ∂v Tõ ®ã −→ ∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v) Z P dydz + Qdzdx + Rdxdy = Z F (Φ(u, v)), × dudv ∂u ∂v (S) D D(y,z) D(z,x) D(x, y) = Z P (Φ(u, v)) + Q(Φ(u, v)) + R(Φ(u, v)) dudv, D(u, v) D(u, v) D(u, v) D trong ®ã ∂y(u, v) ∂z(u, v) D(y,z) ∂u ∂u = . D(u, v) ∂y(u, v) ∂z(u, v) ∂v ∂v
74 2) TÝch ph©n mÆt lo¹i 2 phô thuéc vµo h−íng cña mÆt. Cô thÓ, nÕu (S−) lµ mÆt (S) nh−ng h−íng ng−îc l¹i, th× ta cã Z P dydz + Qdzdx + Rdxdy = − Z P dydz + Qdzdx + Rdxdy. (S−) (S) VÝ dô. 1) TÝnh I = Z ydzdx + zdxdy, trong ®ã (S) lµ phÝa ngoµi cña mÆt cÇu (S) x2 + y2 + z2 = a2. Gi¶i: XÐt biÓu diÔn tham sè Φ(ϕ, θ)=(a cos ϕ cos θ, a sin ϕ cos θ, a sin θ), (ϕ, θ) ∈ D =[0, 2π] × [−π/2,π/2]. Ta cã −→ 2 N Φ(ϕ, θ)=a cos θ(cos ϕ cos θ, sin ϕ cos θ, sin θ). −→ Ta thÊy N Φ(ϕ, θ) h−íng ra ngoµi nªn lµ biÓu diÔn tham sè cña (S). Tõ ®ã Z ydzdx + zdxdy = a3 Z (sin2 ϕ cos3 θ + sin2 θ cos θ)dϕdθ (S) D 2π π/2 = a3 Z Z (sin2 ϕ(1 − sin2 θ)+sin2 θ) cos θdθdϕ 0 −π/2 2π 2π 4 2 4 = a3 Z sin2 ϕ + dϕ = a3 Z − cos 2ϕdϕ 3 3 3 0 0 8πa3 = . 3 2) TÝnh I = Z xdydz + y2dzdx + zdxdy, trong ®ã (S) lµ phÝa trªn cña mÆt ph¼ng (S) x + y + z =1. Gi¶i: XÐt biÓu diÔn tham sè Φ(x, y)=(x, y, 1−x−y), (x, y, z) ∈ D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x+y ≤,x≥ 0,y ≥ 0}.
75 −→ Ta cã N Φ(ϕ, θ)=(1, 1, 1) (h−íng lªn trªn). Tõ ®ã Z xdydz + y2dzdx + zdxdy = Z (x2 + y2 +1− x − y)dxdy (S) D 1 1−x 5 = Z Z y2 − y +1)dydx = . 12 0 0 3) TÝnh I = Z xdydz + ydzdx + zdxdy, trong ®ã (S) lµ phÝa ngoµi cña mÆt tr¬n (S) tõng m¶nh (S1)+(S2)+(S3) víi 3 2 2 (S1)={(x, y, z) ∈ R | x + y + z =1,z ≥ 0} 3 2 2 (S2)={(x, y, z) ∈ R | x + y =1, −1 ≤ z ≤ 0} 3 2 2 (S3)={(x, y, z) ∈ R | x + y =1,z = −1}. Gi¶i: • (S1) cã biÓu diÔn tham sè 2 2 2 2 2 Φ1(x, y)=(x, y, 1 − x − y ), (x, y) ∈ D1 = {(x, y) ∈ R | x + y ≤ 1}. −→ Ta cã N Φ1 (ϕ, θ)=(1, 1, 1) (h−íng lªn trªn). Tõ ®ã Z xdydz + ydzdx + zdxdy = Z (2x2 +2y2 +1− x2 − y2)dxdy (S1) D1 3π = Z (x2 + y2 +1)dxdy = . 2 D1 • (S2) cã biÓu diÔn tham sè Φ2(θ, z) = (cos θ, sin θ, z), (θ, z) ∈ D2 =[0, 2π] × [−1, 0]. −→ Ta cã N Φ2 (θ, z) = (cos θ, sin θ, 0). Tõ ®ã Z xdydz + ydzdx + zdxdy = Z dθdz =2π. (S2) D2 • (S3) cã biÓu diÔn tham sè Φ3(r, θ)=(r cos θ, r sin θ, −1), (r, θ) ∈ D3 =[0, 1] × [0, 2π].
76 −→ Ta cã N Φ3 (r, θ)=(0, 0,r). Tõ ®ã Z xdydz + ydzdx + zdxdy = Z rdrdθdz = π. (S2) D3 Suy ra 3π 9π Z xdydz + ydzdx + zdxdy = +2π + π . 2 2 (S) 3 Mét sè c«ng thøc 3.1 C¸c kh¸i niÖm trong trong lý thuyÕt tr−êng Th«ng th−êng ta gäi mäi ¸nh x¹ tõ mét tËp më U ⊂ R3 vµo R lµ tr−êng v« h−íng vµ ¸nh x¹ tõ U vµo R3 lµ tr−êng vector trªn U. Gi¶ sö f lµ mét tr−êng v« h−íng thuéc líp C1 vµ F =(P,Q,R) lµ mét tr−êng vector trªn U ⊂ R3. • Gradient cña f lµ tr−êng vector ∂f ∂f ∂f gradf = , , ∂x ∂y ∂z Tr−êng vector F gäi lµ tr−êng thÕ nÕu tån t¹i mét tr−êng v« h−íng f sao cho gradf = F, vµ gäi f lµ hµm thÕ cña F . • Ph©n kú (divergence) cña tr−êng vector F =(P,Q,R) lµ tr−êng v« h−íng ∂P ∂Q ∂R divF = + + . ∂x ∂y ∂z • Xo¸y (rotation) cña tr−êng vector F =(P,Q,R) lµ tr−êng vector ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rotF = − , − , − . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y MÖnh ®Ò 5. Cho f, g lµ c¸c tr−êng v« h−íng vµ F , G lµ c¸c tr−êng vector thuéc líp C1 trªn U ⊂ R3. Gäi α, β lµ c¸c sè thùc. Khi ®ã 1) grad, div, rot lµ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh grad(αf + βg)=αgradf + βgradg, div(αF + βG)=αdivF + βdivG, rot(αF + βG)=αrotF + βrotG.
77 2) NÕu gi¶ thiÕt thªm c¸c tr−êng ®ang xÐt thuéc líp C2, th× rot(gradf)=0, div(rotF )=0, rot(f · gradg)=gradf × gradg. Chøng minh. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa vµ tÝnh to¸n trùc tiÕp. 2 3.2 C«ng thøc Green Mét tËp më liªn th«ng D trong R2 gäi lµ miÒn ®¬n liªn nÕu mäi ®−êng cong kÝn trong nã cã thÓ co vÒ mét ®iÓm thuéc D. Nh− vËy, mét miÒn ®¬n liªn kh«ng cã lç thñng. Mét miÒn liªn th«ng cã nhiÒu lç thñng gäi lµ miÒn ®a liªn. §Þnh lý 1. (C«ng thøc Green) Cho D lµ miÒn ®¬n liªn víi biªn ∂D lÊy theo ∂Q ∂P h−íng ng−îc chiÒu quay kim ®ång hå vµ P (x, y), Q(x, y), (x, y), (x, y), ∂x ∂y lµ liªn tôc trªn D. Khi ®ã ∂Q ∂P Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Z (x, y) − (x, y)dxdy. ∂x ∂y ∂D D Chøng minh. Tr−íc hÕt ta chøng minh cho miÒn D cã biÓu diÔn trong c¶ hai d¹ng d−íi ®©y D = {(x, y) ∈ R2 | u(x) ≤ y ≤ v(x),a≤ x ≤ b} = {(x, y) ∈ R2 | t(y) ≤ x ≤ v(x),c≤ y ≤ d}. Khi ®ã theo c«ng thøc Fubini ta cã b v(x) ∂P ∂P Z (x, y)dxdy = Z Z (x, y)dydx ∂y ∂y D a u(x) b = Z (P (x, v(x) − P (x, u(x))dx. a MÆt kh¸c, tham sè hãa ∂D b»ng c¸ch lÊy x lµm tham sè, ta cã b b Z P (x, y)dxdy = − Z P (x, v(x))dx + Z P (x, u(x))dx ∂D a a b Z = − P (x, v(x)) − P (x, u(x)dx. a
78 Tõ ®ã suy ra ∂P Z P (x, y)dxdy = − Z (x, y)dxdy. ∂y ∂D D T−¬ng tù, ta còng cã ∂Q Z Q(x, y)dxdy = Z (x, y)dxdy. ∂x ∂D D VËy ta cã ®¼ng thøc cÇn chøng minh. Trong tr−êng hîp tæng qu¸t ta chia miÒn D thµnh nh÷ng miÒn con cã d¹ng nh− ®· xÐt ë tr−íc vµ ¸p dông c«ng thøc cho tÊt c¶ c¸c miÒn con råi céng l¹i víi chó ý r»ng hai tÝch ph©n trªn cïng mét ®−êng cong nh−ng kh¸c h−íng th× triÖt tiªu lÉn nhau. 2 HÖ qu¶ 1. Cho D lµ miÒn ®a liªn víi biªn ngoµi lµ (C0) lÊy theo h−íng ng−îc chiÒu quay kim ®ång hå vµ c¸c biªn trong (C1), (C2), ,(Ck) lÊy theo h−íng ∂Q ∂P cña chiÒu quay kim ®ång hå. Gi¶ sö P (x, y), Q(x, y), (x, y), (x, y),lµ ∂x ∂y liªn tôc trªn D. Khi ®ã k ∂Q ∂P X Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Z (x, y) − (x, y)dxdy. ∂x ∂y i=0 ∂Ci D Chøng minh. Nèi c¸c biªn (C0), (C1), ,(Ck) bëi c¸c ®−êng (L0), (L1), ,(Ck). C¸c ®−êng nµy chia D thµnh hai miÒn ®¬n liªn. ¸p dông c«ng thøc Green cho mçi miÒn råi céng l¹i, víi chó ý r»ng hai tÝch ph©n trªn cïng mét ®−êng cong nh−ng kh¸c h−íng th× triÖt tiªu lÉn nhau. 2 xdy − ydx VÝ dô. TÝnh I = Z , trong ®ã (C) lµ ®−êng cong kÝn bÊt kú kh«ng ®i x2 + y2 (C) qua gèc täa ®é O vµ lÊy h−íng theo chiÒu quay k×m ®ång hå. Gi¶i: Gäi D lµ miÒn giíi h¹n bë (C). Ta ph©n biÖt c¸c tr−êng hîp sau • Gèc O/∈ D. §Æt −y x P (x, y)= Q(x, y)= . x2 + y2 x2 + y2 Khi ®ã ∂Q ∂P y2 − x2 (x, y)= (x, y)= . ∂x ∂y (x2 + y2)2
79 Tõ c«ng thøc Green, suy ra I =0. • Gèc O ∈ D. §Ó ý r»ng trong tr−êng hîp nµy ta kh«ng thÓ sö dông c«ng thøc Green nh− ë trªn v× P (x, y), Q(x, y) kh«ng tháa c¸c gØa thiÕt trong ®inh lý ??. Tuy nhiªn ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n ®· cho b»ng c¸ch sö dông hÖ qña ??. §Ó lµm ®iÒu nµy ta xÐt h×nh trßn S cã t©m O vµ b¸n kÝnh ®ñ bÐ sao cho S ⊂ D. Sau ®ã, ¸p dông hÖ qña ?? cho miÒn D \ S, ta ®−îc xdy − ydx xdy − ydx I = Z = Z , x2 + y2 x2 + y2 (C) ∂S trong ®ã, ∂S lÊy h−íng ng−îc chiÒu quay kim ®ång hå, cã biÓu diÔn tham sè ϕ(t)=( cos t, sin t(,t∈ [0,π]. Suy ra 2π 2π cos t(− sin t) − sin t( cos t) I = Z dt = Z dt =2π. 2(cos2 t + sin2 t) 0 0 HÖ qu¶ 2. Cho tr−êng vector F =(P, Q) thuéc líp C1 trªn miÒn ®¬n liªn D ⊂ R2. Khi ®ã bèn ®iÒu sau lµ t−¬ng ®−¬ng ∂Q ∂P 1) (x, y)= (x, y), víi mäi (x, y) ∈ D. ∂x ∂y 2) TÝch ph©n Z Pdx + Qdy =0, trong ®ã (L) lµ ®−êng cong kÝn bÊt kú n»m (L) trong D. 3) TÝch ph©n Z Pdx+ Qdy kh«ng phô thuéc vµo h×nh d¹ng cña ®−êng cong (C) (C) mµ chØ phô thuéc vµo ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña (C). 4) F lµ tr−êng thÕ trªn D vµ hµm thÕ U(x, y) ®−îc x¸c ®Þnh bëi (x,y) U(x, y)= Z Pdx+ Qdy +(h»ng sè), (x0,y0) (x,y) trong ®ã ký hiÖu Z chØ tÝch ph©n lÊy trªn mét ®−êng cong bÊt kú nèi hai ®iÓm (x0,y0) (x0,y0), (x, y) ∈ D