Toán học - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Nội dung text: Toán học - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

1. Chương 4 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
2. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Định nghĩa : ĐLNN 2 chiều là 1 bộ gồm 2 ĐLNN X và Y. Ký hiệu: (X, Y). Nếu X và Y rời rạc thì (X, Y) đgl vectơ ngẫu nhiên rời rạc. Ngược lại thì (X, Y) liên tục. * Mở rộng: ĐLNN n chiều (hay còn gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều) là một bộ gồm n ĐLNN (X1, X2, , Xn).
3. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Bảng phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều: pij = P[(X = x i )(Y = y j )], (i = 1,n, j = 1,m) mn Y X y1 y2 ym p = 1  ij x p p p j = 1 i = 1 1 11 12 1m x2 p21 p22 p2m xn pn1 pn2 pnm
4. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Từ bảng PPXS, ta tìm được PPXS đối với từng thành phần X, Y (gọi là phân phối lề, hay phân phối biên) như sau: X x1 x2 xn Y y1 y2 ym P p1 p2 pn P q1 q2 qm m n p = p (i = 1,n) i ij qj =  p ij (j = 1,m) j = 1 i = 1
5. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Từ bảng PPXS suy ra: Nếu pij = pi.qj (i, j) thì: P[(X=xi)(Y=yj)] = P(X=xi).P(Y=yj) Y X, Y độc lập. X y1 y2 ym x1 p11 p12 p1m x2 p21 p22 p2m xn pn1 pn2 pnm
6. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Ví dụ : Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 5 sp loại I, 3 sp loại II và 2 sp loại III. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ kiện ra 2 sp. Gọi X1, X2 tương ứng là số sp loại I, loại II có trong 2 sp lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X1, X2).
7. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Ví dụ : 5I 3II 2III 2 sp
8. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Ví dụ : X X1 2 0 1 2 0 5I 3II 2III 1 2 2 sp
9. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Hàm mật độ xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu là f(x,y)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sau: (i) f(x, y) 0,  (x, y) 2 + + (ii) f(x, y)dxdy = 1 - - xy22 (iii) P[(x < X < x )(y < Y < y )] = f(x,y)dxdy 1 2 1 2 xy11
10. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Hàm phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu F(x,y)) được định nghĩa như sau: F(x,y) = P[(X < x)(Y < y)] (x, y ) Đối với ĐLNN rời rạc : F(x,y) =  P[(X = xij )(Y = y )] xij < x y < y Đối với ĐLNN liên tục : x y F(x,y) = f(u,v)dudv - -
11. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên thành phần : ❖Nếu (X, Y) rời rạc: Từ các bảng phân phối biên của từng ĐLNN X, Y, ta dễ dàng tìm được E(X), E(Y), Var(X), Var(Y), Mod(X), Mod(Y),
12. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên thành phần : Suy ra ❖Nếu (X, Y) liên tục: cách tính + + đối với E(X) = xf(x,y)dxdy E(Y), - - Var(Y)? + + Var(X) = x22 f(x,y)dxdy - [E(X)] - -
13. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : ❖Hiệp phương sai : Cov(X,Y) Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] = E(XY) – E(X).E(Y) Nếu (X,Y) rời rạc: nm Cov(X,Y) =  xi y j p ij - E(X).E(Y) i = 1 j = 1
14. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : ❖Hiệp phương sai : Cov(X,Y) Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] = E(XY) – E(X).E(Y) Nếu (X,Y) liên tục: + + Cov(X,Y) = xyf(x,y)dxdy - E(X).E(Y) - -
15. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : ❖Hiệp phương sai : Cov(X,Y) Nếu Cov(X,Y) = 0: X, Y đgl không tương quan. Nếu cov(X,Y) 0: X, Y đgl có tương quan. Nếu X, Y độc lập thì X, Y có tương quan không?
16. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : ❖Tính chất của hiệp phương sai: ▪ Cov(X,Y) = Cov(Y,X). ▪ Cov(X,X) = E(X2) – [E(X)]2 = Var(X). ▪ Var(aX bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) 2ab.Cov(X,Y).
17. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : cov(X,Y) ❖Hệ số tương quan : ρXY = σσXY ❖Tính chất của hệ số tương quan : ▪ | XY| ≤ 1. ▪ Nếu Y = aX + b thì XY = 1 (a 0). ▪ (aX + b, cY + d) = (X,Y), với a, b, c, d là các hằng số và ac 0.
18. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Ví dụ : Giả sử hai loại cổ phiếu A, B có mức lãi suất (X, Y) có bảng phân phối xác suất như sau: a) Nếu đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng và mức độ rủi ro là bao nhiêu? X Y -2% 0% 5% 10% 0% 0 0,05 0,05 0,1 4% 0,05 0,1 0,25 0,15 6% 0,1 0,05 0,1 0
19. II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU b) Nếu mục tiêu là nhằm đạt được lãi suất kỳ vọng lớn nhất thì nên đầu tư vào 2 loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào? c) Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức thấp nhất thì nên đầu tư vào 2 loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ như thế nào? X Y -2% 0% 5% 10% 0% 0 0,05 0,05 0,1 4% 0,05 0,1 0,25 0,15 6% 0,1 0,05 0,1 0
20. III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Nếu cho X = xk cố định, ta có các công thức xác suất có điều kiện sau: P(Y = y /X = x ) jk Y X y1 y2 ym P[(Y = yjk )(X = x )] = x1 p11 p12 p1m P(X = x ) k x2 p21 p22 p2m p = kj (j = 1,m) x p p p pk n n1 n2 nm
21. III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Tương tự, nếu cho Y = yh cố định, ta có các công thức xác suất có điều kiện sau: P(X = xih /Y = y ) Y X y1 y2 ym P[(X = x )(Y = y )] = ihx1 p11 p12 p1m P(Y = y ) h x2 p21 p22 p2m p = ih (i = 1,n) qh xn pn1 pn2 pnm
22. III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Từ đó ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện của Y và X như sau: Y/xk y1 ym P(Y/xk) P(Y = y1/xk) P(Y = ym/xk) X/yh x1 xn P(X/yh) P(X = x1/yh) P(X = xn/yh)
23. III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN Kỳ vọng toán có điều kiện: Từ các bảng phân phối xác suất có điều kiện, ta suy ra kỳ vọng toán có điều kiện, phương sai có điều kiện, X X1 2 0 1 2 E(X1/X2 = 0)? 0 1/45 6/45 3/45 1 10/45 15/45 0 2 10/45 0 0
24. III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN Hàm hồi quy: Hàm hồi quy của Y đối với X là kỳ vọng toán có điều kiện của Y (với điều kiện X=x) g(x) = E(Y/X = x) Ý nghĩa: g(x) cho biết giá trị trung bình của Y sẽ thay đổi như thế nào khi X nhận các giá trị khác nhau. Tương tự, ta có hàm hồi quy của X đối với Y.
25. IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Ví dụ : Một hộp có 10 sp, trong đó có 5 sp loại A, 3 sp loại B, 2 sp loại C. Giá bán 1 sp loại A, B, C lần lượt là 10, 8, 6 (ngàn đồng). Lấy bất kỳ từ hộp ra 2 sp để bán. Tìm phân phối xác suất của số tiền thu được.
26. IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN X 0 1 2 X1 2 0 1 2
27. IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
28. IV. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Y P
29. Tổng kết chương 4 • Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của ĐLNN hai chiều (X,Y)? • Các tham số đặc trưng của ĐLNN hai chiều? • Tìm phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng toán có điều kiện? • Lập bảng phân phối xác suất của hàm các ĐLNN?