Toán học - Chương 1: Số phức và ứng dụng

Nội dung text: Toán học - Chương 1: Số phức và ứng dụng

1. Chương 1 SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
2. Nội dung Định nghĩa • Biểu diễn số phức trên hệ tọa độ • Các dạng biểu diễn số phức Các phép tính Các tính chất Các dạng biểu diễn số phức Ứng dụng số phức để phân giải mạch điện ở trạng thái thường trực
3. Định nghĩa số phức • i,j: đơn vị ảo (i2=j2=-1) • a: phần thực, a= Re[z] • b : phần ảo, b= Im[z] • a=0 ⇒ z= jb: số thuần ảo • b=0 ⇒ z=a: số thực • z*= a – jb: số liên hợp phức • z.z* = |z|2=a2+b2
4. Biểu diễn số phức trên hệ tọa độ • Toạ độ Descartes và cực • Toạ độ cực • Cơng thức liên hệ qua lại từ dạng đại số sang hệ toạ độ cực 2 2 r = a + b = z a = r.cos = z.cos (3) b (2) = tan −1 b = r.sin = z.sin a
5. Cơng thức Euler e j = cos + j sin − j e = cos − j sin e j + e− j cos = 2 (5) e j − e− j sin = 2 j
6. Các dạng biểu diễn số phức • Dạng lượng giác • Dạng mũ và cực – Dạng mũ z = r.cos + jr.sin = r.(cos + j sin ) = z .(cos + j sin ) (4) z = a + jb = z .(cos + j sin ) = z .e j (6) – Dạng cực z = z  (7) • Kí hiệu: arg(z) = 
7. Ví dụ1 Biểu diễn các số phức sau trên hệ tọa độ vuơng gĩc và chuyển chúng sang dạng cực. • i) 1 – j z = a2 + b2 = 12 + (−1)2 = 2 b −1 = tan −1 = tan −1 = − a 1 4 2 − 4 • ii) – 3 + 2j z = a2 + b2 = (−3)2 + (2)2 = 13 b 2 = tan −1 +1800 = tan −1 +1800 −33.70 +1800 =146.30 a − 3 13146.30
8. Ví dụ2 Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác và dạng đại số (hệ Descartes) • i) 2 (0) a= z .cos = 2.cos0 = 2 z = z .( cos + j sin ) b= z .sin = 2.sin 0 = 0 = 2.( cos0 + j sin 0 ) = 2 a + jb = 2 + j0 = 2 • ii) 3( ) a= z .cos = 3.cos180 = −3 z = z .( cos + j sin ) b= z .sin = 3.sin180 = 0 = 3.( cos + j sin ) = −3 a + jb = −3+ j0 = −3 • iii) 1( /2) a= z .cos =1.cos90 = 0 z = z .( cos + j sin ) b= z .sin =1.sin 90 =1 π π =1.( cos + j sin ) = j a + jb = 0 + j1 = j 2 2
9. Các phép tính Phép cộng Phép trừ z = z1 + z2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2) z = z1 - z2 = (a1 – a2) + j(b1 – b2) Phép nhân Phép chia Với: j j 1 j 2 z = a + jb = r = r.e z1 = a1 + jb1 = r1 1 = r1.e z2 = a2 + jb2 = r2 2 = r2 .e
10. Các phép tính Phép lũy thừa Phép khai căn Một số phép tính đặc biệt z + z* = a + jb + a - jb = 2a = 2.Re[z] z.z* = z*.z =|z|2 1 z * a − jb 1 j = = = = − j z z.z * a 2 + b 2 j j 2
11. Các tính chất
12. Ví dụ3
13. Ví dụ4
14. Ứng dụng phân tích mạch điện Phương pháp 1 Phân tích Phương trình Kết quả mạch điện số phức Mạch điện Phức hĩa Phương trình Kết quả mạch điện số phức Phương pháp 2
15. Trạng thái mạch điện Quá trình điều hịa Quá trình quá độ Quá trình xác lập điều hịa t➔∞
16. Biểu diễn đại lượng điều hịa
17. Biểu diễn đại lượng điều hịa
18. Ví dụ Tìm biên độ phức các hàm sau: • u(t)=5cos(10t+900) (V) • i(t)=3sin(20t-300) (A) • 0 U = U m = 590 (V ) • 0 I = Im = 3 − 30 (A)
19. Các tính chất Nhân với hằng số Đạo hàm Tích phân Cơng trừ
20. Định luật Kitchoff
21. Quan hệ dịng-áp trên RLC ở trạng thái xác lập điều hịa
22. Ứng dụng phân tích mạch điện Phương pháp 1 Đối với mạch điện chỉ cĩ 1 kích nguồn thích tác động • Đọc kỹ yêu cầu bài tốn, phân tích các thơng số và sơ đồ mạch điện • Áp dụng định luật Kirchoff viết phương trình mạch điện • Áp dụng cách biểu diễn đại lượng điều hịa phức hĩa phương trình mạch điện • Giải phương trình phức hĩa, suy ra kết quả
23. Ví dụ7 Cho mạch điện gồm R, L, và C mắc nối tiếp như hình bên dưới. Xác định dịng điện i(t) khi mạch ở trạng thái thường trực bằng phương pháp 1.
24. • Khi mạch xác lập điều hịa, i(t) biến thiên tuần hồn với tần số gốc ω. Vì vậy ta cĩ thể áp dụng phương pháp biên độ phức để phân giải mạch điện. • Áp dụng định luật Kirchoff 2 ta cĩ: uR (t) + uL (t)uC (t) = e(t) 1 Ri(t) + L.i'(t) + i(t)dt = e(t) C • Đổi sang biên độ phức: • e(t)  Em L.i'(t)  jL I • 1 1 • i(t)dt  I Ri(t)  R I C jC • • 1 • R I + jL I + I = E  • Thay vào phương trình trên ta được: jC m • E  I = m 1 R + jL + jC • Ta chỉ việc đổi biên độ phức sang miền thời gian một cách dễ dàng
25. Ứng dụng phân tích mạch điện Phương pháp 2 Đối với mạch điện chỉ cĩ 1 kích nguồn thích tác động • Đọc kỹ yêu cầu bài tốn, phân tích các thơng số và sơ đồ mạch điện • Áp dụng quan hệ dịng áp RLC, phức hĩa mạch điện mạch điện • Áp dụng định luật Ohm, viết phương trình mạch điện phức hĩa • Giải phương trình phức hĩa, suy ra kết quả
26. Ví dụ8 Cho mạch điện gồm R, L, và C mắc nối tiếp như hình bên dưới. Xác định dịng điện i(t) khi mạch ở trạng thái thường trực bằng phương pháp 2.
27. • Phức hĩa mạch điện: • Tổng trở: Z = R + ZC + Z L ( Ω) 1 = R + + jL ( Ω ) jC • Áp dụng định luật Ohm cho mạch điện, ta cĩ: • • E E  I = = m (A) Z 1 R + + jL jC
28. Ứng dụng phân tích mạch điện Nguyên lý chồng chất Đối với mạch điện cĩ nhiều nguồn kích thích tác động
29. Ví dụ9 Cho sơ đồ mạch điện sau như hình bên dưới. Xác định i(t), i1(t) và i2(t) bằng phương pháp biên độ phức
30. Hết chương 1