Toán cao cấp - Chương 2: Định thức

190 trang vanle 2460

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Chương 2: Định thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_cao_cap_chuong_2_dinh_thuc.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp - Chương 2: Định thức

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 1 / 44
Vậy det : Mn(K) → K A → detA. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (aij ) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (aij ) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : Mn(K) → K A → detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| a11 a1(j−1) a1j a1(j+1) a1n . . . . . . . . . . . . a(i−1)1 a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) a(i−1)n |A| = ai1 ai(j−1) aij ai(j+1) ain a a a a a (i+1)1 (i+1)(j−1) (i+1)j (i+1)(j+1) (i+1)n . . . . . . . . . . . . a a a a a n1 n)(j−1) nj n(j+1) nn n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| a11 a1(j−1) a1j a1(j+1) a1n . . . . . . . . . . . . a(i−1)1 a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) a(i−1)n |A| = ai1 ai(j−1) aij ai(j+1) ain a a a a a (i+1)1 (i+1)(j−1) (i+1)j (i+1)(j+1) (i+1)n . . . . . . . . . . . . a a a a a n1 n)(j−1) nj n(j+1) nn n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| a11 a1(j−1) a1j a1(j+1) a1n . . . . . . . . . . . . a(i−1)1 a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) a(i−1)n |A| = ai1 ai(j−1) aij ai(j+1) ain a a a a a (i+1)1 (i+1)(j−1) (i+1)j (i+1)(j+1) (i+1)n . . . . . . . . . . . . a a a a a n1 n)(j−1) nj n(j+1) nn n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức a11 a1(j−1) a1(j+1) a1n . . . . . . . . . . a(i−1)1 a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) a(i−1)n Mij = a a a a (i+1)1 (i+1)(j−1) (i+1)(j+1) (i+1)n . . . . . . . . . . a a a a n1 n(j−1) n(j+1) nn (n−1)×(n−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 44
Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij ) là n P một số bằng a1j A1j = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n. j=1 a11 a1j a1n . . . . . . . . n n X X 1+j detA = ai1 aij ain = a1j A1j = (−1) a1j M1j . . . . j=1 j=1 . . . . . an1 anj ann Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa i+j Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Aij = (−1) Mij là phần bù đại số của phần tử aij . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa i+j Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Aij = (−1) Mij là phần bù đại số của phần tử aij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij ) là n P một số bằng a1j A1j = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n. j=1 a11 a1j a1n . . . . . . . . n n X X 1+j detA = ai1 aij ain = a1j A1j = (−1) a1j M1j . . . . j=1 j=1 . . . . . an1 anj ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44
1 n = 1, A = (a11) ⇒ |A| = a11. a11 a12 2 n = 2, A = ⇒ |A| = a21 a22 1+1 1+2 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 = a11a22 − a12a21.   a11 a12 a13 3 n = 3, A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a31 a32 a33 1+1 1+2 1+3 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 + (−1) a13M13 1+1 a22 a23 1+2 a21 a23 = (−1) a11 + (−1) a12 + a32 a33 a31 a33 1+3 a21 a22 (−1) a13 . a31 a32 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
a11 a12 2 n = 2, A = ⇒ |A| = a21 a22 1+1 1+2 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 = a11a22 − a12a21.   a11 a12 a13 3 n = 3, A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a31 a32 a33 1+1 1+2 1+3 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 + (−1) a13M13 1+1 a22 a23 1+2 a21 a23 = (−1) a11 + (−1) a12 + a32 a33 a31 a33 1+3 a21 a22 (−1) a13 . a31 a32 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1, A = (a11) ⇒ |A| = a11. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
  a11 a12 a13 3 n = 3, A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a31 a32 a33 1+1 1+2 1+3 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 + (−1) a13M13 1+1 a22 a23 1+2 a21 a23 = (−1) a11 + (−1) a12 + a32 a33 a31 a33 1+3 a21 a22 (−1) a13 . a31 a32 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1, A = (a11) ⇒ |A| = a11. a11 a12 2 n = 2, A = ⇒ |A| = a21 a22 1+1 1+2 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 = a11a22 − a12a21. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1, A = (a11) ⇒ |A| = a11. a11 a12 2 n = 2, A = ⇒ |A| = a21 a22 1+1 1+2 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 = a11a22 − a12a21.   a11 a12 a13 3 n = 3, A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a31 a32 a33 1+1 1+2 1+3 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 + (−1) a13M13 1+1 a22 a23 1+2 a21 a23 = (−1) a11 + (−1) a12 + a32 a33 a31 a33 1+3 a21 a22 (−1) a13 . a31 a32 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  4 2 1  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. 1+1 2 1 A11 = (−1) = 2.5 − 1.1 = 9, 1 5 1+2 4 1 A12 = (−1) = −(4.5 − 1.3) = −17, 3 5 1+3 4 2 A13 = (−1) = 4.1 − 2.3 = −2. 3 1 Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44
Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. 1+1 2 1 A11 = (−1) = 2.5 − 1.1 = 9, 1 5 1+2 4 1 A12 = (−1) = −(4.5 − 1.3) = −17, 3 5 1+3 4 2 A13 = (−1) = 4.1 − 2.3 = −2. 3 1 Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  4 2 1  3 1 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  4 2 1  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. 1+1 2 1 A11 = (−1) = 2.5 − 1.1 = 9, 1 5 1+2 4 1 A12 = (−1) = −(4.5 − 1.3) = −17, 3 5 1+3 4 2 A13 = (−1) = 4.1 − 2.3 = −2. 3 1 Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . j=1 . . . . . an1 anj ann a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . i=1 . . . . . an1 anj ann Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44
a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . i=1 . . . . . an1 anj ann Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . j=1 . . . . . an1 anj ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . j=1 . . . . . an1 anj ann a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . i=1 . . . . . an1 anj ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được 2+2 1 3 |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1) = 2(1.5 − 3.3) = −8. 3 5  1 2 3  Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 Giải. Khai triển theo cột 3 ta được 1+3 2 1 |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1) = 3(2.1 − 1.3) = −3. 3 1 Khái niệm định thức Tính chất của định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được 2+2 1 3 |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1) = 2(1.5 − 3.3) = −8. 3 5  1 2 3  Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 Giải. Khai triển theo cột 3 ta được 1+3 2 1 |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1) = 3(2.1 − 1.3) = −3. 3 1 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được 2+2 1 3 |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1) = 2(1.5 − 3.3) = −8. 3 5  1 2 3  Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 Giải. Khai triển theo cột 3 ta được 1+3 2 1 |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1) = 3(2.1 − 1.3) = −3. 3 1 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
 1 2 3  Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 Giải. Khai triển theo cột 3 ta được 1+3 2 1 |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1) = 3(2.1 − 1.3) = −3. 3 1 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được 2+2 1 3 |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1) = 2(1.5 − 3.3) = −8. 3 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Giải. Khai triển theo cột 3 ta được 1+3 2 1 |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1) = 3(2.1 − 1.3) = −3. 3 1 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được 2+2 1 3 |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1) = 2(1.5 − 3.3) = −8. 3 5  1 2 3  Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được 2+2 1 3 |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1) = 2(1.5 − 3.3) = −8. 3 5  1 2 3  Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 Giải. Khai triển theo cột 3 ta được 1+3 2 1 |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1) = 3(2.1 − 1.3) = −3. 3 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được a11 a12 a1n a22 a23 a2n 0 a22 a2n 0 a33 a3n = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . 0 0 ann 0 0 ann = a11.a22 ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được a11 0 0 0 a22 0 0 0 a21 a22 0 a32 a33 0 = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . an1 am2 ann an2 an3 ann = a11.a22 ann Khái niệm định thức Tính chất của định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44
Khai triển định thức theo cột 1 ta được a11 a12 a1n a22 a23 a2n 0 a22 a2n 0 a33 a3n = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . 0 0 ann 0 0 ann = a11.a22 ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được a11 0 0 0 a22 0 0 0 a21 a22 0 a32 a33 0 = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . an1 am2 ann an2 an3 ann = a11.a22 ann Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44
Khai triển định thức theo hàng 1 ta được a11 0 0 0 a22 0 0 0 a21 a22 0 a32 a33 0 = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . an1 am2 ann an2 an3 ann = a11.a22 ann Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được a11 a12 a1n a22 a23 a2n 0 a22 a2n 0 a33 a3n = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . 0 0 ann 0 0 ann = a11.a22 ann. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được a11 a12 a1n a22 a23 a2n 0 a22 a2n 0 a33 a3n = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . 0 0 ann 0 0 ann = a11.a22 ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được a11 0 0 0 a22 0 0 0 a21 a22 0 a32 a33 0 = a .(−1)1+1. = = . . . 11 . . . . . . . . . . . an1 am2 ann an2 an3 ann = a11.a22 ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44
Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ  1 3 5   1 2 2  Cho A =  2 4 6  ⇒ AT =  3 4 1  . Khi đó 2 1 8 5 6 8 detAT = detA = −16 Khái niệm định thức Tính chất của định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44
Ví dụ  1 3 5   1 2 2  Cho A =  2 4 6  ⇒ AT =  3 4 1  . Khi đó 2 1 8 5 6 8 detAT = detA = −16 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ  1 3 5   1 2 2  Cho A =  2 4 6  ⇒ AT =  3 4 1  . Khi đó 2 1 8 5 6 8 detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44
hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
h ↔h (c ↔c ) Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
h →λh (c →λc ) Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó h ↔h (c ↔c ) bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của h →λh (c →λc ) nó bằng 0. Thật vậy, do A −−−−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44
Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 2 3 −4 5 2 3 −4 5 h2→h2−h1 h1→h1−2h2 3 −5 2 4 h4→h4+2h1 1 −8 6 −1 h3→h3−5h2 === === 5 4 3 −2 5 4 3 −2 −4 2 5 3 0 8 −3 13 0 19 −16 7 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 2+1 === 1.(−1) . 44 −27 3 = 0 44 −27 3 8 −3 13 0 8 −3 13 = −2858. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44
2 3 −4 5 2 3 −4 5 h2→h2−h1 h1→h1−2h2 3 −5 2 4 h4→h4+2h1 1 −8 6 −1 h3→h3−5h2 === === 5 4 3 −2 5 4 3 −2 −4 2 5 3 0 8 −3 13 0 19 −16 7 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 2+1 === 1.(−1) . 44 −27 3 = 0 44 −27 3 8 −3 13 0 8 −3 13 = −2858. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44
2 3 −4 5 h1→h1−2h2 1 −8 6 −1 h3→h3−5h2 === 5 4 3 −2 0 8 −3 13 0 19 −16 7 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 2+1 === 1.(−1) . 44 −27 3 = 0 44 −27 3 8 −3 13 0 8 −3 13 = −2858. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 2 3 −4 5 h2→h2−h1 3 −5 2 4 h4→h4+2h1 === 5 4 3 −2 −4 2 5 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44
0 19 −16 7 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 2+1 === 1.(−1) . 44 −27 3 = 0 44 −27 3 8 −3 13 0 8 −3 13 = −2858. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 2 3 −4 5 2 3 −4 5 h2→h2−h1 h1→h1−2h2 3 −5 2 4 h4→h4+2h1 1 −8 6 −1 h3→h3−5h2 === === 5 4 3 −2 5 4 3 −2 −4 2 5 3 0 8 −3 13 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44
19 −16 7 2+1 1.(−1) . 44 −27 3 = 8 −3 13 = −2858. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 2 3 −4 5 2 3 −4 5 h2→h2−h1 h1→h1−2h2 3 −5 2 4 h4→h4+2h1 1 −8 6 −1 h3→h3−5h2 === === 5 4 3 −2 5 4 3 −2 −4 2 5 3 0 8 −3 13 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 === 0 44 −27 3 0 8 −3 13 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44
= −2858. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 2 3 −4 5 2 3 −4 5 h2→h2−h1 h1→h1−2h2 3 −5 2 4 h4→h4+2h1 1 −8 6 −1 h3→h3−5h2 === === 5 4 3 −2 5 4 3 −2 −4 2 5 3 0 8 −3 13 0 19 −16 7 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 2+1 === 1.(−1) . 44 −27 3 = 0 44 −27 3 8 −3 13 0 8 −3 13 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 2 3 −4 5 2 3 −4 5 h2→h2−h1 h1→h1−2h2 3 −5 2 4 h4→h4+2h1 1 −8 6 −1 h3→h3−5h2 === === 5 4 3 −2 5 4 3 −2 −4 2 5 3 0 8 −3 13 0 19 −16 7 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 2+1 === 1.(−1) . 44 −27 3 = 0 44 −27 3 8 −3 13 0 8 −3 13 = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44
Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x x a a a x + 3a a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 x + 3a x a a cột 1 === === a a x a x + 3a a x a a a a x x + 3a a a x 1 a a a h2→h2−h1 1 a a a h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 0 x − a 0 0 (x + 3a) === (x + 3a) = 1 a x a 0 0 x − a 0 1 a a x 0 0 0 x − a = (x + 3a)(x − a)3. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44
x a a a x + 3a a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 x + 3a x a a cột 1 === === a a x a x + 3a a x a a a a x x + 3a a a x 1 a a a h2→h2−h1 1 a a a h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 0 x − a 0 0 (x + 3a) === (x + 3a) = 1 a x a 0 0 x − a 0 1 a a x 0 0 0 x − a = (x + 3a)(x − a)3. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44
x + 3a a a a x + 3a x a a cột 1 === x + 3a a x a x + 3a a a x 1 a a a h2→h2−h1 1 a a a h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 0 x − a 0 0 (x + 3a) === (x + 3a) = 1 a x a 0 0 x − a 0 1 a a x 0 0 0 x − a = (x + 3a)(x − a)3. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x x a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 === a a x a a a a x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44
1 a a a h2→h2−h1 1 a a a h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 0 x − a 0 0 (x + 3a) === (x + 3a) = 1 a x a 0 0 x − a 0 1 a a x 0 0 0 x − a = (x + 3a)(x − a)3. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x x a a a x + 3a a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 x + 3a x a a cột 1 === === a a x a x + 3a a x a a a a x x + 3a a a x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44
1 a a a 0 x − a 0 0 (x + 3a) = 0 0 x − a 0 0 0 0 x − a = (x + 3a)(x − a)3. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x x a a a x + 3a a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 x + 3a x a a cột 1 === === a a x a x + 3a a x a a a a x x + 3a a a x 1 a a a h2→h2−h1 h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 (x + 3a) === 1 a x a 1 a a x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44
= (x + 3a)(x − a)3. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x x a a a x + 3a a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 x + 3a x a a cột 1 === === a a x a x + 3a a x a a a a x x + 3a a a x 1 a a a h2→h2−h1 1 a a a h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 0 x − a 0 0 (x + 3a) === (x + 3a) = 1 a x a 0 0 x − a 0 1 a a x 0 0 0 x − a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x x a a a x + 3a a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 x + 3a x a a cột 1 === === a a x a x + 3a a x a a a a x x + 3a a a x 1 a a a h2→h2−h1 1 a a a h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 0 x − a 0 0 (x + 3a) === (x + 3a) = 1 a x a 0 0 x − a 0 1 a a x 0 0 0 x − a = (x + 3a)(x − a)3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44
Định lý Giả sử     A1∗ A1∗  A2∗   A2∗       .   .   .   .  A =   =    Ai∗   λBi∗ + µCi∗       .   .   .   .  An∗ An∗ thì     A1∗ A1∗  A2∗   A2∗       .   .   .   .  detA = λdet   + µdet    Bi∗   Ci∗       .   .   .   .  An∗ An∗ Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 15 / 44
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Định lý Giả sử     A1∗ A1∗  A2∗   A2∗       .   .   .   .  A =   =    Ai∗   λBi∗ + µCi∗       .   .   .   .  An∗ An∗ thì     A1∗ A1∗  A2∗   A2∗       .   .   .   .  detA = λdet   + µdet    Bi∗   Ci∗       .   .   .   .  An∗ An∗ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 15 / 44
a + x x x x x x a 0 0 x b + x x = x b + x x + x b + x x x x c + x x x c + x x x c + x x x x x x x a 0 0 = x x x + 0 b 0 + x b + x x = x x c + x x x c + x x x c + x x x x x x x x x x a 0 0 x x x + x x x + 0 b 0 + x b + x x = x x x 0 0 c x x c + x x x c + x bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ a + x x x Tính định thức x b + x x x x c + x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 16 / 44
x x x a 0 0 x b + x x + x b + x x x x c + x x x c + x x x x x x x a 0 0 = x x x + 0 b 0 + x b + x x = x x c + x x x c + x x x c + x x x x x x x x x x a 0 0 x x x + x x x + 0 b 0 + x b + x x = x x x 0 0 c x x c + x x x c + x bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ a + x x x Tính định thức x b + x x x x c + x a + x x x x b + x x = x x c + x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 16 / 44
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ a + x x x Tính định thức x b + x x x x c + x a + x x x x x x a 0 0 x b + x x = x b + x x + x b + x x x x c + x x x c + x x x c + x x x x x x x a 0 0 = x x x + 0 b 0 + x b + x x = x x c + x x x c + x x x c + x x x x x x x x x x a 0 0 x x x + x x x + 0 b 0 + x b + x x = x x x 0 0 c x x c + x x x c + x bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 16 / 44
Ví dụ  1 2 3 0 2   4 2 3 1 1    Cho ma trận vuông cấp 5 A =  2 0 5 0 3  .    4 1 7 2 0  8 0 4 1 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4, lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và 1,4 4 1 cột thứ 4. Lúc này m = 2,4 4 2 Khái niệm định thức Định lý Laplace Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K). Chọn k hàng và k cột tùy ý trong ma trận A i1, i2, , ik và j1, j2, , jk . Định thức của ma trận thu được từ A bởi các phần tử nằm ở phần giao của k hàng và k cột (1 6 k 6 n) được ký hiệu là mj1j2 jk và được gọi là định thức con cấp k của A. i1i2 ik TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 17 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K). Chọn k hàng và k cột tùy ý trong ma trận A i1, i2, , ik và j1, j2, , jk . Định thức của ma trận thu được từ A bởi các phần tử nằm ở phần giao của k hàng và k cột (1 6 k 6 n) được ký hiệu là mj1j2 jk và được gọi là định thức con cấp k của A. i1i2 ik Ví dụ  1 2 3 0 2   4 2 3 1 1    Cho ma trận vuông cấp 5 A =  2 0 5 0 3  .    4 1 7 2 0  8 0 4 1 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4, lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và 1,4 4 1 cột thứ 4. Lúc này m = 2,4 4 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 17 / 44
2 3 2 1,4 Theo ví dụ trên thì M = 0 5 3 = 36 2,4 0 4 6 Định nghĩa j j j j j j Số A 1 2 k = (−1)i1+i2+ +ik +j1+j2+ +jk M 1 2 k được gọi là bù đại số của i1i2 ik i1i2 ik mj1j2 jk i1i2 ik 2 3 2 1,4 Theo ví dụ trên thì A = (−1)2+4+1+4 0 5 3 = −36 2,4 0 4 6 Khái niệm định thức Định lý Laplace Định nghĩa Định thức con cấp (n − k) của A nhận được bằng việc xóa đi k hàng và k cột của A được gọi là định thức con bù của mj1j2 jk và được ký hiệu là i1i2 ik Mj1j2 jk . i1i2 ik TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 18 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace Định nghĩa Định thức con cấp (n − k) của A nhận được bằng việc xóa đi k hàng và k cột của A được gọi là định thức con bù của mj1j2 jk và được ký hiệu là i1i2 ik Mj1j2 jk . i1i2 ik 2 3 2 1,4 Theo ví dụ trên thì M = 0 5 3 = 36 2,4 0 4 6 Định nghĩa j j j j j j Số A 1 2 k = (−1)i1+i2+ +ik +j1+j2+ +jk M 1 2 k được gọi là bù đại số của i1i2 ik i1i2 ik mj1j2 jk i1i2 ik 2 3 2 1,4 Theo ví dụ trên thì A = (−1)2+4+1+4 0 5 3 = −36 2,4 0 4 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 18 / 44
Định lý Định thức của ma trận A bằng tổng các tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (khai triển theo k hàng) (hoặc k cột - khai triển theo k cột) với bù đại số tương ứng của nó. C k Xn detA = mj1j2 jk .Aj1j2 jk i1i2 ik i1i2 ik 1 Chú ý. Khi tính định thức ta nên khai triển định thức theo k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt. Khái niệm định thức Định lý Laplace Định lý Laplace TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 19 / 44
Chú ý. Khi tính định thức ta nên khai triển định thức theo k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt. Khái niệm định thức Định lý Laplace Định lý Laplace Định lý Định thức của ma trận A bằng tổng các tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (khai triển theo k hàng) (hoặc k cột - khai triển theo k cột) với bù đại số tương ứng của nó. C k Xn detA = mj1j2 jk .Aj1j2 jk i1i2 ik i1i2 ik 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 19 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace Định lý Laplace Định lý Định thức của ma trận A bằng tổng các tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (khai triển theo k hàng) (hoặc k cột - khai triển theo k cột) với bù đại số tương ứng của nó. C k Xn detA = mj1j2 jk .Aj1j2 jk i1i2 ik i1i2 ik 1 Chú ý. Khi tính định thức ta nên khai triển định thức theo k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 19 / 44
1 Chọn k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển. 2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã chọn. k Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này. 3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. 4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng. Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 20 / 44
2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã chọn. k Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này. 3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. 4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng. Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức 1 Chọn k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 20 / 44
3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. 4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng. Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức 1 Chọn k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển. 2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã chọn. k Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 20 / 44
4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng. Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức 1 Chọn k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển. 2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã chọn. k Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này. 3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 20 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức 1 Chọn k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển. 2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã chọn. k Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này. 3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. 4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 20 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức 1 Chọn k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển. 2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã chọn. k Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này. 3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. 4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 20 / 44
Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất 1,2 0 2 1,2 3 5 và cột thứ 2.Lúc này m = , A = (−1)2+4+1+2 2,4 6 3 2,4 5 0 Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này 1,3 0 0 1,3 1 5 m = , A = (−1)2+4+1+3 2,4 6 0 2,4 1 0 Làm tương tự ta được 1,4 0 4 1,4 1 3 m = , A = (−1)2+4+1+4 , 2,4 6 6 2,4 1 5 2,3 2 0 2,3 2 5 m = , A = (−1)2+4+2+3 , 2,4 3 0 2,4 3 0 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 2 1 3 5 0 2 0 4 Tính định thức D = 3 1 5 0 6 3 0 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 21 / 44
Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất 1,2 0 2 1,2 3 5 và cột thứ 2.Lúc này m = , A = (−1)2+4+1+2 2,4 6 3 2,4 5 0 Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này 1,3 0 0 1,3 1 5 m = , A = (−1)2+4+1+3 2,4 6 0 2,4 1 0 Làm tương tự ta được 1,4 0 4 1,4 1 3 m = , A = (−1)2+4+1+4 , 2,4 6 6 2,4 1 5 2,3 2 0 2,3 2 5 m = , A = (−1)2+4+2+3 , 2,4 3 0 2,4 3 0 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 2 1 3 5 0 2 0 4 Tính định thức D = 3 1 5 0 6 3 0 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 21 / 44
Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này 1,3 0 0 1,3 1 5 m = , A = (−1)2+4+1+3 2,4 6 0 2,4 1 0 Làm tương tự ta được 1,4 0 4 1,4 1 3 m = , A = (−1)2+4+1+4 , 2,4 6 6 2,4 1 5 2,3 2 0 2,3 2 5 m = , A = (−1)2+4+2+3 , 2,4 3 0 2,4 3 0 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 2 1 3 5 0 2 0 4 Tính định thức D = 3 1 5 0 6 3 0 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất 1,2 0 2 1,2 3 5 và cột thứ 2.Lúc này m = , A = (−1)2+4+1+2 2,4 6 3 2,4 5 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 21 / 44
Làm tương tự ta được 1,4 0 4 1,4 1 3 m = , A = (−1)2+4+1+4 , 2,4 6 6 2,4 1 5 2,3 2 0 2,3 2 5 m = , A = (−1)2+4+2+3 , 2,4 3 0 2,4 3 0 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 2 1 3 5 0 2 0 4 Tính định thức D = 3 1 5 0 6 3 0 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất 1,2 0 2 1,2 3 5 và cột thứ 2.Lúc này m = , A = (−1)2+4+1+2 2,4 6 3 2,4 5 0 Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này 1,3 0 0 1,3 1 5 m = , A = (−1)2+4+1+3 2,4 6 0 2,4 1 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 21 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 2 1 3 5 0 2 0 4 Tính định thức D = 3 1 5 0 6 3 0 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất 1,2 0 2 1,2 3 5 và cột thứ 2.Lúc này m = , A = (−1)2+4+1+2 2,4 6 3 2,4 5 0 Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này 1,3 0 0 1,3 1 5 m = , A = (−1)2+4+1+3 2,4 6 0 2,4 1 0 Làm tương tự ta được 1,4 0 4 1,4 1 3 m = , A = (−1)2+4+1+4 , 2,4 6 6 2,4 1 5 2,3 2 0 2,3 2 5 m = , A = (−1)2+4+2+3 , 2,4 3 0 2,4 3 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 21 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace 2,4 2 4 2,4 2 3 m = , A = (−1)2+4+2+4 , 2,4 3 6 2,4 3 5 3,4 0 4 3,4 2 1 m = , A = (−1)2+4+3+4 2,4 0 6 2,4 3 1 Như vậy, ta được 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 2,3 2,3 2,4 2,4 3,4 3,4 detA = m2,4.A2,4+m2,4.A2,4+m2,4.A2,4+m2,4.A2,4+m2,4.A2,4+m2,4.A2,4 = −12.25 + (−24).(−2) = −252. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 22 / 44
Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3 hàng này. Tồn tại C 3 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có 1 định 6 1 1 1 1,3,5 thức con cấp 3 khác không m = 3 2 2 = 1. Do đó 1,3,4 4 2 1 Khai triển theo hàng 1, 3, 4 D === 1 1 1 3 1 1 3 2 2 .(−1)1+3+4+1+3+5. 2 3 2 = 6 4 2 1 1 3 1 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 0 1 3 0 2 0 2 0 Tính định thức D = 4 0 2 0 1 0 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 23 / 44
Tồn tại C 3 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có 1 định 6 1 1 1 1,3,5 thức con cấp 3 khác không m = 3 2 2 = 1. Do đó 1,3,4 4 2 1 Khai triển theo hàng 1, 3, 4 D === 1 1 1 3 1 1 3 2 2 .(−1)1+3+4+1+3+5. 2 3 2 = 6 4 2 1 1 3 1 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 0 1 3 0 2 0 2 0 Tính định thức D = 4 0 2 0 1 0 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1 Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3 hàng này. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 23 / 44
Do đó Khai triển theo hàng 1, 3, 4 D === 1 1 1 3 1 1 3 2 2 .(−1)1+3+4+1+3+5. 2 3 2 = 6 4 2 1 1 3 1 Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 0 1 3 0 2 0 2 0 Tính định thức D = 4 0 2 0 1 0 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1 Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3 hàng này. Tồn tại C 3 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có 1 định 6 1 1 1 1,3,5 thức con cấp 3 khác không m = 3 2 2 = 1. 1,3,4 4 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 23 / 44
Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 0 1 3 0 2 0 2 0 Tính định thức D = 4 0 2 0 1 0 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1 Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3 hàng này. Tồn tại C 3 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có 1 định 6 1 1 1 1,3,5 thức con cấp 3 khác không m = 3 2 2 = 1. Do đó 1,3,4 4 2 1 Khai triển theo hàng 1, 3, 4 D === 1 1 1 3 1 1 3 2 2 .(−1)1+3+4+1+3+5. 2 3 2 = 6 4 2 1 1 3 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 23 / 44
Định lý Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(AB) = detA.detB. Hệ quả k k 1 Cho A ∈ Mn(K) thì khi đó det(A ) = (detA) . Thật vậy, det(Ak ) = det(A.A A) = detA.detA detA = (detA)k . | {z } | {z } k lần k lần n 2 Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(αAB) = α .detA.detB. Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB = α.α . . . α detA.detB | {z } n lần Chú ý. Nói chung det(A + B) 6= detA + detB. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Định thức của tích 2 ma trận vuông TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 24 / 44
Hệ quả k k 1 Cho A ∈ Mn(K) thì khi đó det(A ) = (detA) . Thật vậy, det(Ak ) = det(A.A A) = detA.detA detA = (detA)k . | {z } | {z } k lần k lần n 2 Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(αAB) = α .detA.detB. Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB = α.α . . . α detA.detB | {z } n lần Chú ý. Nói chung det(A + B) 6= detA + detB. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Định thức của tích 2 ma trận vuông Định lý Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(AB) = detA.detB. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 24 / 44
n 2 Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(αAB) = α .detA.detB. Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB = α.α . . . α detA.detB | {z } n lần Chú ý. Nói chung det(A + B) 6= detA + detB. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Định thức của tích 2 ma trận vuông Định lý Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(AB) = detA.detB. Hệ quả k k 1 Cho A ∈ Mn(K) thì khi đó det(A ) = (detA) . Thật vậy, det(Ak ) = det(A.A A) = detA.detA detA = (detA)k . | {z } | {z } k lần k lần TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 24 / 44
Chú ý. Nói chung det(A + B) 6= detA + detB. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Định thức của tích 2 ma trận vuông Định lý Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(AB) = detA.detB. Hệ quả k k 1 Cho A ∈ Mn(K) thì khi đó det(A ) = (detA) . Thật vậy, det(Ak ) = det(A.A A) = detA.detA detA = (detA)k . | {z } | {z } k lần k lần n 2 Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(αAB) = α .detA.detB. Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB = α.α . . . α detA.detB | {z } n lần TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 24 / 44
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Định thức của tích 2 ma trận vuông Định lý Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(AB) = detA.detB. Hệ quả k k 1 Cho A ∈ Mn(K) thì khi đó det(A ) = (detA) . Thật vậy, det(Ak ) = det(A.A A) = detA.detA detA = (detA)k . | {z } | {z } k lần k lần n 2 Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(αAB) = α .detA.detB. Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB = α.α . . . α detA.detB | {z } n lần Chú ý. Nói chung det(A + B) 6= detA + detB. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 24 / 44
1 2 1 1 1 1 Ta có 0 1 4 .detX = 1 2 −1 ⇒ 1.detX = 3 ⇒ detX = 3. 0 0 1 3 5 2 Ví dụ  −1 0 0  Cho A =  2 1 0  . Tính det(A2011). 4 3 1 Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ Tính định thức của ma trận X thỏa mãn  1 2 1   1 1 1   0 1 4  X =  1 2 −1  0 0 1 3 5 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 25 / 44
1.detX = 3 ⇒ detX = 3. Ví dụ  −1 0 0  Cho A =  2 1 0  . Tính det(A2011). 4 3 1 Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ Tính định thức của ma trận X thỏa mãn  1 2 1   1 1 1   0 1 4  X =  1 2 −1  0 0 1 3 5 2 1 2 1 1 1 1 Ta có 0 1 4 .detX = 1 2 −1 ⇒ 0 0 1 3 5 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 25 / 44
Ví dụ  −1 0 0  Cho A =  2 1 0  . Tính det(A2011). 4 3 1 Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ Tính định thức của ma trận X thỏa mãn  1 2 1   1 1 1   0 1 4  X =  1 2 −1  0 0 1 3 5 2 1 2 1 1 1 1 Ta có 0 1 4 .detX = 1 2 −1 ⇒ 1.detX = 3 ⇒ detX = 3. 0 0 1 3 5 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 25 / 44
Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ Tính định thức của ma trận X thỏa mãn  1 2 1   1 1 1   0 1 4  X =  1 2 −1  0 0 1 3 5 2 1 2 1 1 1 1 Ta có 0 1 4 .detX = 1 2 −1 ⇒ 1.detX = 3 ⇒ detX = 3. 0 0 1 3 5 2 Ví dụ  −1 0 0  Cho A =  2 1 0  . Tính det(A2011). 4 3 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 25 / 44
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ Tính định thức của ma trận X thỏa mãn  1 2 1   1 1 1   0 1 4  X =  1 2 −1  0 0 1 3 5 2 1 2 1 1 1 1 Ta có 0 1 4 .detX = 1 2 −1 ⇒ 1.detX = 3 ⇒ detX = 3. 0 0 1 3 5 2 Ví dụ  −1 0 0  Cho A =  2 1 0  . Tính det(A2011). 4 3 1 Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 25 / 44
Ta có det(2AB) = 23.detA.detB = 8.3.(−2) = −48. Ví dụ  1 2 1   2 3 −1  Cho A =  0 2 −1  , B =  0 3 1  . Tính det(A + B). 0 0 3 0 0 −1  3 5 0  Ta có A + B =  0 5 0  ⇒ det(A + B) = 30. Trong khi đó 0 0 2 detA = 6, detB = −6 ⇒ detA + detB = 0. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ  3 −2 6   0 0 −1  Cho A =  0 1 4  , B =  0 2 5  . Tính det(2AB). 0 0 1 1 −2 7 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 26 / 44
 3 5 0  Ta có A + B =  0 5 0  ⇒ det(A + B) = 30. Trong khi đó 0 0 2 detA = 6, detB = −6 ⇒ detA + detB = 0. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ  3 −2 6   0 0 −1  Cho A =  0 1 4  , B =  0 2 5  . Tính det(2AB). 0 0 1 1 −2 7 Ta có det(2AB) = 23.detA.detB = 8.3.(−2) = −48. Ví dụ  1 2 1   2 3 −1  Cho A =  0 2 −1  , B =  0 3 1  . Tính det(A + B). 0 0 3 0 0 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 26 / 44
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ  3 −2 6   0 0 −1  Cho A =  0 1 4  , B =  0 2 5  . Tính det(2AB). 0 0 1 1 −2 7 Ta có det(2AB) = 23.detA.detB = 8.3.(−2) = −48. Ví dụ  1 2 1   2 3 −1  Cho A =  0 2 −1  , B =  0 3 1  . Tính det(A + B). 0 0 3 0 0 −1  3 5 0  Ta có A + B =  0 5 0  ⇒ det(A + B) = 30. Trong khi đó 0 0 2 detA = 6, detB = −6 ⇒ detA + detB = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 26 / 44
Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K), Aij là bù đại số của aij . Khi đó ta gọi ma trận  T   A11 A1j A1n A11 Ai1 An1  . . .   . . .   . . . . .   . . . . .      PA =  Ai1 Aij Ain  =  A1j Aij Anj       . . .   . . .   . . . . .   . . . . .  An1 Anj Ann A1n Ain Ann là ma trận phụ hợp của ma trận A. Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ma trận phụ hợp TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 27 / 44
  A11 Ai1 An1  . . .   . . . . .     A1j Aij Anj     . . .   . . . . .  A1n Ain Ann là ma trận phụ hợp của ma trận A. Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ma trận phụ hợp Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K), Aij là bù đại số của aij . Khi đó ta gọi ma trận  T A11 A1j A1n  . . .   . . . . .    PA =  Ai1 Aij Ain  =    . . .   . . . . .  An1 Anj Ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 27 / 44
Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ma trận phụ hợp Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K), Aij là bù đại số của aij . Khi đó ta gọi ma trận  T   A11 A1j A1n A11 Ai1 An1  . . .   . . .   . . . . .   . . . . .      PA =  Ai1 Aij Ain  =  A1j Aij Anj       . . .   . . .   . . . . .   . . . . .  An1 Anj Ann A1n Ain Ann là ma trận phụ hợp của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 27 / 44
1+1 4 2 1+2 3 2 Ta có A11 = (−1) , A12 = (−1) , 3 −1 5 −1 1+3 3 4 2+1 3 1 A13 = (−1) , A21 = (−1) , 5 3 3 −1 2+2 2 1 2+3 2 3 A22 = (−1) , A23 = (−1) , A31 = 5 −1 5 3 3+1 3 1 3+2 2 1 3+3 2 3 (−1) , A32 = (−1) , A33 = (−1) . 4 2 3 2 3 4  −10 13 −11 T  −10 6 2  Vậy PA =  6 −7 9  =  13 −7 −1  . 2 −1 −1 −11 9 −1 Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ví dụ  2 3 1  Cho ma trận A =  3 4 2  . Tìm PA. 5 3 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 28 / 44
 −10 13 −11 T  −10 6 2  Vậy PA =  6 −7 9  =  13 −7 −1  . 2 −1 −1 −11 9 −1 Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ví dụ  2 3 1  Cho ma trận A =  3 4 2  . Tìm PA. 5 3 −1 1+1 4 2 1+2 3 2 Ta có A11 = (−1) , A12 = (−1) , 3 −1 5 −1 1+3 3 4 2+1 3 1 A13 = (−1) , A21 = (−1) , 5 3 3 −1 2+2 2 1 2+3 2 3 A22 = (−1) , A23 = (−1) , A31 = 5 −1 5 3 3+1 3 1 3+2 2 1 3+3 2 3 (−1) , A32 = (−1) , A33 = (−1) . 4 2 3 2 3 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 28 / 44
Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ví dụ  2 3 1  Cho ma trận A =  3 4 2  . Tìm PA. 5 3 −1 1+1 4 2 1+2 3 2 Ta có A11 = (−1) , A12 = (−1) , 3 −1 5 −1 1+3 3 4 2+1 3 1 A13 = (−1) , A21 = (−1) , 5 3 3 −1 2+2 2 1 2+3 2 3 A22 = (−1) , A23 = (−1) , A31 = 5 −1 5 3 3+1 3 1 3+2 2 1 3+3 2 3 (−1) , A32 = (−1) , A33 = (−1) . 4 2 3 2 3 4  −10 13 −11 T  −10 6 2  Vậy PA =  6 −7 9  =  13 −7 −1  . 2 −1 −1 −11 9 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 28 / 44
Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Ma trận A được gọi là ma trận không suy biến nếu detA 6= 0. Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho AB = BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị, thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1. Trong trường hợp này ta nói A khả nghịch. Định lý Ma trận A không suy biến ⇔ A khả nghịch và 1 A−1 = .P . |A| A Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 29 / 44
Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho AB = BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị, thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1. Trong trường hợp này ta nói A khả nghịch. Định lý Ma trận A không suy biến ⇔ A khả nghịch và 1 A−1 = .P . |A| A Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Ma trận A được gọi là ma trận không suy biến nếu detA 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 29 / 44
Định lý Ma trận A không suy biến ⇔ A khả nghịch và 1 A−1 = .P . |A| A Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Ma trận A được gọi là ma trận không suy biến nếu detA 6= 0. Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho AB = BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị, thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1. Trong trường hợp này ta nói A khả nghịch. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 29 / 44
Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Ma trận A được gọi là ma trận không suy biến nếu detA 6= 0. Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K). Nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho AB = BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị, thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1. Trong trường hợp này ta nói A khả nghịch. Định lý Ma trận A không suy biến ⇔ A khả nghịch và 1 A−1 = .P . |A| A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 29 / 44
Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là  −1 38 −27 T  −1 1 −1  PA =  1 −41 29  =  38 −41 34  . −1 34 −24 −27 29 −24 Vậy  −1 1 −1   1 −1 1  1 A−1 = .P = (−1). 38 −41 34 = −38 41 −34 |A| A     −27 29 −24 27 −29 24 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ  2 5 7  Tìm ma trận nghịch đảo của A =  6 3 4  5 −2 −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44
Ma trận phụ hợp của ma trận A là  −1 38 −27 T  −1 1 −1  PA =  1 −41 29  =  38 −41 34  . −1 34 −24 −27 29 −24 Vậy  −1 1 −1   1 −1 1  1 A−1 = .P = (−1). 38 −41 34 = −38 41 −34 |A| A     −27 29 −24 27 −29 24 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ  2 5 7  Tìm ma trận nghịch đảo của A =  6 3 4  5 −2 −3 Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44
 −1 1 −1   38 −41 34  . −27 29 −24 Vậy  −1 1 −1   1 −1 1  1 A−1 = .P = (−1). 38 −41 34 = −38 41 −34 |A| A     −27 29 −24 27 −29 24 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ  2 5 7  Tìm ma trận nghịch đảo của A =  6 3 4  5 −2 −3 Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là  −1 38 −27 T PA =  1 −41 29  = −1 34 −24 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44
 −1 1 −1   1 −1 1  (−1).  38 −41 34  =  −38 41 −34  −27 29 −24 27 −29 24 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ  2 5 7  Tìm ma trận nghịch đảo của A =  6 3 4  5 −2 −3 Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là  −1 38 −27 T  −1 1 −1  PA =  1 −41 29  =  38 −41 34  . −1 34 −24 −27 29 −24 Vậy 1 A−1 = .P = |A| A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44
 1 −1 1   −38 41 −34  27 −29 24 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ  2 5 7  Tìm ma trận nghịch đảo của A =  6 3 4  5 −2 −3 Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là  −1 38 −27 T  −1 1 −1  PA =  1 −41 29  =  38 −41 34  . −1 34 −24 −27 29 −24 Vậy  −1 1 −1  1 A−1 = .P = (−1). 38 −41 34 = |A| A   −27 29 −24 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44
Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ  2 5 7  Tìm ma trận nghịch đảo của A =  6 3 4  5 −2 −3 Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là  −1 38 −27 T  −1 1 −1  PA =  1 −41 29  =  38 −41 34  . −1 34 −24 −27 29 −24 Vậy  −1 1 −1   1 −1 1  1 A−1 = .P = (−1). 38 −41 34 = −38 41 −34 |A| A     −27 29 −24 27 −29 24 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44
1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . detA TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 1 det(A−1) = . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. detA n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 n −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA) .det(A ). 3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . 4 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . |AB| |B| |A| 1 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = A−1. Thật vậy, α 1 1 (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44
1 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K), |A|= 6 0, B ∈ Mm(K), |B|= 6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44
2 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K), |A|= 6 0, B ∈ Mm(K), |B|= 6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44
3 A ∈ Mn(K), |A|= 6 0, B ∈ Mm(K), |B|= 6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44
Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K), |A|= 6 0, B ∈ Mm(K), |B|= 6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44
2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K), |A|= 6 0, B ∈ Mm(K), |B|= 6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44
Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K), |A|= 6 0, B ∈ Mm(K), |B|= 6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44
Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K), |A|= 6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K), |A|= 6 0, B ∈ Mm(K), |B|= 6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44
Giải.  0 −8 3 −1  −25 23 −30   1 5 7  X =  1 −5 9  .  −36 −2 −26  =  2 −4 3  2 3 8 −16 −26 7 −3 −3 −2 Ví dụ 3 −2 −1 2 Giải phương trình ma trận X . = 5 −4 −5 6 Giải. −1 2 3 −2 −1 3 −2 X = . = −5 6 5 −4 5 −4 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ  0 −8 3   −25 23 −30  Giải phương trình ma trận  1 −5 9  X =  −36 −2 −26  2 3 8 −16 −26 7 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44
 1 5 7   2 −4 3  −3 −3 −2 Ví dụ 3 −2 −1 2 Giải phương trình ma trận X . = 5 −4 −5 6 Giải. −1 2 3 −2 −1 3 −2 X = . = −5 6 5 −4 5 −4 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ  0 −8 3   −25 23 −30  Giải phương trình ma trận  1 −5 9  X =  −36 −2 −26  2 3 8 −16 −26 7 Giải.  0 −8 3 −1  −25 23 −30  X =  1 −5 9  .  −36 −2 −26  = 2 3 8 −16 −26 7 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44
Giải. −1 2 3 −2 −1 3 −2 X = . = −5 6 5 −4 5 −4 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ  0 −8 3   −25 23 −30  Giải phương trình ma trận  1 −5 9  X =  −36 −2 −26  2 3 8 −16 −26 7 Giải.  0 −8 3 −1  −25 23 −30   1 5 7  X =  1 −5 9  .  −36 −2 −26  =  2 −4 3  2 3 8 −16 −26 7 −3 −3 −2 Ví dụ 3 −2 −1 2 Giải phương trình ma trận X . = 5 −4 −5 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44
3 −2 5 −4 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ  0 −8 3   −25 23 −30  Giải phương trình ma trận  1 −5 9  X =  −36 −2 −26  2 3 8 −16 −26 7 Giải.  0 −8 3 −1  −25 23 −30   1 5 7  X =  1 −5 9  .  −36 −2 −26  =  2 −4 3  2 3 8 −16 −26 7 −3 −3 −2 Ví dụ 3 −2 −1 2 Giải phương trình ma trận X . = 5 −4 −5 6 Giải. −1 2 3 −2 −1 X = . = −5 6 5 −4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44
Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ  0 −8 3   −25 23 −30  Giải phương trình ma trận  1 −5 9  X =  −36 −2 −26  2 3 8 −16 −26 7 Giải.  0 −8 3 −1  −25 23 −30   1 5 7  X =  1 −5 9  .  −36 −2 −26  =  2 −4 3  2 3 8 −16 −26 7 −3 −3 −2 Ví dụ 3 −2 −1 2 Giải phương trình ma trận X . = 5 −4 −5 6 Giải. −1 2 3 −2 −1 3 −2 X = . = −5 6 5 −4 5 −4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44
Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ  0 −8 3   −25 23 −30  Giải phương trình ma trận  1 −5 9  X =  −36 −2 −26  2 3 8 −16 −26 7 Giải.  0 −8 3 −1  −25 23 −30   1 5 7  X =  1 −5 9  .  −36 −2 −26  =  2 −4 3  2 3 8 −16 −26 7 −3 −3 −2 Ví dụ 3 −2 −1 2 Giải phương trình ma trận X . = 5 −4 −5 6 Giải. −1 2 3 −2 −1 3 −2 X = . = −5 6 5 −4 5 −4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44
Giải. 3 −1 −1 14 16 5 6 −1 1 2 X = . . = 5 −2 9 10 7 8 3 4 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ 3 −1 5 6 14 16 Giải phương trình ma trận .X . = 5 −2 7 8 9 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 34 / 44
1 2 3 4 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ 3 −1 5 6 14 16 Giải phương trình ma trận .X . = 5 −2 7 8 9 10 Giải. 3 −1 −1 14 16 5 6 −1 X = . . = 5 −2 9 10 7 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 34 / 44
Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ 3 −1 5 6 14 16 Giải phương trình ma trận .X . = 5 −2 7 8 9 10 Giải. 3 −1 −1 14 16 5 6 −1 1 2 X = . . = 5 −2 9 10 7 8 3 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 34 / 44
các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ  1 2 3 4   2 5 4 7  Tìm A−1 (nếu có) với A =    3 7 8 12  4 8 14 19   1 2 3 4 1 0 0 0 h2→h2−2h1 h3→h3−3h1  2 5 4 7 0 1 0 0  h4→h4−4h1 (A|I4) =   −−−−−−−→  3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44
Ví dụ  1 2 3 4   2 5 4 7  Tìm A−1 (nếu có) với A =    3 7 8 12  4 8 14 19   1 2 3 4 1 0 0 0 h2→h2−2h1 h3→h3−3h1  2 5 4 7 0 1 0 0  h4→h4−4h1 (A|I4) =   −−−−−−−→  3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44
  1 2 3 4 1 0 0 0 h2→h2−2h1 h3→h3−3h1  2 5 4 7 0 1 0 0  h4→h4−4h1 (A|I4) =   −−−−−−−→  3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ  1 2 3 4   2 5 4 7  Tìm A−1 (nếu có) với A =    3 7 8 12  4 8 14 19 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44
Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ  1 2 3 4   2 5 4 7  Tìm A−1 (nếu có) với A =    3 7 8 12  4 8 14 19   1 2 3 4 1 0 0 0 h2→h2−2h1 h3→h3−3h1  2 5 4 7 0 1 0 0  h4→h4−4h1 (A|I4) =   −−−−−−−→  3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44
Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ  1 2 3 4   2 5 4 7  Tìm A−1 (nếu có) với A =    3 7 8 12  4 8 14 19   1 2 3 4 1 0 0 0 h2→h2−2h1 h3→h3−3h1  2 5 4 7 0 1 0 0  h4→h4−4h1 (A|I4) =   −−−−−−−→  3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44
  1 0 7 6 5 −2 0 0 h1→h1−7h3 h2→h2+2h3  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h4→h4−2h3   −−−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 0 −1 12 5 −7 0 h1→h1+h4 h2→h2−h4  0 1 0 1 −4 −1 2 0  h3→h3−h4   −−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 0 1 −2 2 −2 1   1 0 0 0 10 7 −9 1  0 1 0 0 −2 −3 4 −1  −1   = (I4|A )  0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng   1 2 3 4 1 0 0 0 h1→h1−2h2  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h3→h3−h2   −−−−−−−→  0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44
  1 0 0 −1 12 5 −7 0 h1→h1+h4 h2→h2−h4  0 1 0 1 −4 −1 2 0  h3→h3−h4   −−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 0 1 −2 2 −2 1   1 0 0 0 10 7 −9 1  0 1 0 0 −2 −3 4 −1  −1   = (I4|A )  0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng   1 2 3 4 1 0 0 0 h1→h1−2h2  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h3→h3−h2   −−−−−−−→  0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 7 6 5 −2 0 0 h1→h1−7h3 h2→h2+2h3  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h4→h4−2h3   −−−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44
  1 0 0 0 10 7 −9 1  0 1 0 0 −2 −3 4 −1  −1   = (I4|A )  0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng   1 2 3 4 1 0 0 0 h1→h1−2h2  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h3→h3−h2   −−−−−−−→  0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 7 6 5 −2 0 0 h1→h1−7h3 h2→h2+2h3  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h4→h4−2h3   −−−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 0 −1 12 5 −7 0 h1→h1+h4 h2→h2−h4  0 1 0 1 −4 −1 2 0  h3→h3−h4   −−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 0 1 −2 2 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44
−1 (I4|A ) Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng   1 2 3 4 1 0 0 0 h1→h1−2h2  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h3→h3−h2   −−−−−−−→  0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 7 6 5 −2 0 0 h1→h1−7h3 h2→h2+2h3  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h4→h4−2h3   −−−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 0 −1 12 5 −7 0 h1→h1+h4 h2→h2−h4  0 1 0 1 −4 −1 2 0  h3→h3−h4   −−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 0 1 −2 2 −2 1   1 0 0 0 10 7 −9 1  0 1 0 0 −2 −3 4 −1    =  0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44
Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng   1 2 3 4 1 0 0 0 h1→h1−2h2  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h3→h3−h2   −−−−−−−→  0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 7 6 5 −2 0 0 h1→h1−7h3 h2→h2+2h3  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h4→h4−2h3   −−−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 0 −1 12 5 −7 0 h1→h1+h4 h2→h2−h4  0 1 0 1 −4 −1 2 0  h3→h3−h4   −−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 0 1 −2 2 −2 1   1 0 0 0 10 7 −9 1  0 1 0 0 −2 −3 4 −1  −1   = (I4|A )  0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44
Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ  1 0 2 0   0 1 3 0  Cho A =   thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3  0 0 1 0  4 3 2 0 1 0 2 0 1 3 = 1 6= 0 và detA = 0. 0 0 1 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44
Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ  1 0 2 0   0 1 3 0  Cho A =   thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3  0 0 1 0  4 3 2 0 1 0 2 0 1 3 = 1 6= 0 và detA = 0. 0 0 1 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44
Ví dụ  1 0 2 0   0 1 3 0  Cho A =   thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3  0 0 1 0  4 3 2 0 1 0 2 0 1 3 = 1 6= 0 và detA = 0. 0 0 1 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44
vì tồn tại định thức con cấp 3 1 0 2 0 1 3 = 1 6= 0 và detA = 0. 0 0 1 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ  1 0 2 0   0 1 3 0  Cho A =   thì r(A) = 3  0 0 1 0  4 3 2 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44
detA = 0. Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ  1 0 2 0   0 1 3 0  Cho A =   thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3  0 0 1 0  4 3 2 0 1 0 2 0 1 3 = 1 6= 0 và 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44
Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ  1 0 2 0   0 1 3 0  Cho A =   thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3  0 0 1 0  4 3 2 0 1 0 2 0 1 3 = 1 6= 0 và detA = 0. 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44
Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} 2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. Định lý 1 r(AT ) = r(A). 2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). 3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. 4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. Định lý 1 r(AT ) = r(A). 2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). 3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. 4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
Định lý 1 r(AT ) = r(A). 2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). 3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. 4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} 2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). 3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. 4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} 2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. Định lý 1 r(AT ) = r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. 4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} 2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. Định lý 1 r(AT ) = r(A). 2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} 2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. Định lý 1 r(AT ) = r(A). 2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). 3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} 2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. Định lý 1 r(AT ) = r(A). 2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). 3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. 4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Nhận xét. Từ định nghĩa ta suy ra 1 0 6 r(A) 6 min{m, n} 2 Nếu A ∈ Mn(K) thì r(A) = n ⇔ detA 6= 0, r(A) < n ⇔ detA = 0. Định lý 1 r(AT ) = r(A). 2 Nếu A, B ∈ Mm×n(K) thì r(A + B) 6 r(A) + r(B). 3 Nếu A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) thì r(AB) 6 min{r(A), r(B)}. 4 Nếu A ∈ Mm×n(K), X ∈ Mn(K), detX 6= 0, Y ∈ Mm(K), detY 6= 0 thì r(A) = r(A.X ) = r(Y .A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 38 / 44
Định lý các phép biến đổi sơ cấp Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì r(B) = r(A). Cho ma trận bậc thang   a11 a12 a1r a1n  0 a22 a2r a2n    A =  arr arn  , aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , r thì rõ    0 0 0 0  0 0 0 0 ràng r(A) = r. Quy tắc. Để tìm hạng của một ma trận thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đó và đưa nó về dạng bậc thang. Từ đó dễ dàng suy ra hạng của ma trận đó. Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 39 / 44
Cho ma trận bậc thang   a11 a12 a1r a1n  0 a22 a2r a2n    A =  arr arn  , aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , r thì rõ    0 0 0 0  0 0 0 0 ràng r(A) = r. Quy tắc. Để tìm hạng của một ma trận thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đó và đưa nó về dạng bậc thang. Từ đó dễ dàng suy ra hạng của ma trận đó. Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý các phép biến đổi sơ cấp Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì r(B) = r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 39 / 44
thì rõ ràng r(A) = r. Quy tắc. Để tìm hạng của một ma trận thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đó và đưa nó về dạng bậc thang. Từ đó dễ dàng suy ra hạng của ma trận đó. Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý các phép biến đổi sơ cấp Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì r(B) = r(A). Cho ma trận bậc thang   a11 a12 a1r a1n  0 a22 a2r a2n    A =  arr arn  , aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , r    0 0 0 0  0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 39 / 44
Quy tắc. Để tìm hạng của một ma trận thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đó và đưa nó về dạng bậc thang. Từ đó dễ dàng suy ra hạng của ma trận đó. Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý các phép biến đổi sơ cấp Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì r(B) = r(A). Cho ma trận bậc thang   a11 a12 a1r a1n  0 a22 a2r a2n    A =  arr arn  , aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , r thì rõ    0 0 0 0  0 0 0 0 ràng r(A) = r. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 39 / 44
Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý các phép biến đổi sơ cấp Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì r(B) = r(A). Cho ma trận bậc thang   a11 a12 a1r a1n  0 a22 a2r a2n    A =  arr arn  , aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , r thì rõ    0 0 0 0  0 0 0 0 ràng r(A) = r. Quy tắc. Để tìm hạng của một ma trận thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đó và đưa nó về dạng bậc thang. Từ đó dễ dàng suy ra hạng của ma trận đó. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 39 / 44
Giải.  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0      h4→h4−h1  0 1 0 1 1  h1↔h2  0 1 0 1 1  h6→h6−2h1   −−−−→   −−−−−−−→  1 0 1 0 0   1 0 1 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Ví dụ  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0     0 1 0 1 1  Cho A =   . Tìm hạng của ma trận A.  1 0 1 0 0     0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 40 / 44
 1 1 0 0 0   0 1 1 0 0    h4→h4−h1  0 1 0 1 1  h6→h6−2h1   −−−−−−−→  1 0 1 0 0     0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Ví dụ  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0     0 1 0 1 1  Cho A =   . Tìm hạng của ma trận A.  1 0 1 0 0     0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 Giải.  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0     0 1 0 1 1  h1↔h2   −−−−→  1 0 1 0 0     0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 40 / 44
Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Ví dụ  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0     0 1 0 1 1  Cho A =   . Tìm hạng của ma trận A.  1 0 1 0 0     0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 Giải.  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0      h4→h4−h1  0 1 0 1 1  h1↔h2  0 1 0 1 1  h6→h6−2h1   −−−−→   −−−−−−−→  1 0 1 0 0   1 0 1 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 40 / 44
Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Ví dụ  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0     0 1 0 1 1  Cho A =   . Tìm hạng của ma trận A.  1 0 1 0 0     0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 Giải.  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0      h4→h4−h1  0 1 0 1 1  h1↔h2  0 1 0 1 1  h6→h6−2h1   −−−−→   −−−−−−−→  1 0 1 0 0   1 0 1 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 40 / 44
 1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h4→h4+2h3   h5→h5+h3  0 0 −1 1 1  h6→h6+2h3   −−−−−−−→  0 0 2 0 0     0 0 1 1 0  0 0 2 2 1  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0   0 1 1 0 0    h5→h5−h4    0 0 −1 1 1  h6→h6−2h4  0 0 −1 1 1  h6→h6−h5   −−−−−−−→   −−−−−−→  0 0 0 2 2   0 0 0 2 2       0 0 0 2 1   0 0 0 0 −1  0 0 0 4 3 0 0 0 0 −1  1 1 0 0 0   0 1 1 0 0     0 0 −1 1 1   Vậy r(A) = 5.  0 0 0 2 2     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 0 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h3→h3−h2   h4→h4+h2  0 1 0 1 1  h6→h6−h2   −−−−−−→  0 −1 1 0 0     0 0 1 1 0  0 1 3 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 41 / 44
 1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0   0 1 1 0 0    h5→h5−h4    0 0 −1 1 1  h6→h6−2h4  0 0 −1 1 1  h6→h6−h5   −−−−−−−→   −−−−−−→  0 0 0 2 2   0 0 0 2 2       0 0 0 2 1   0 0 0 0 −1  0 0 0 4 3 0 0 0 0 −1  1 1 0 0 0   0 1 1 0 0     0 0 −1 1 1   Vậy r(A) = 5.  0 0 0 2 2     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 0 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h3→h3−h2  0 1 1 0 0  h4→h4+2h3   h4→h4+h2   h5→h5+h3  0 1 0 1 1  h6→h6−h2  0 0 −1 1 1  h6→h6+2h3   −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −1 1 0 0   0 0 2 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  0 1 3 2 1 0 0 2 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 41 / 44
 1 1 0 0 0   0 1 1 0 0     0 0 −1 1 1  h6→h6−h5   −−−−−−→  0 0 0 2 2     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 −1  1 1 0 0 0   0 1 1 0 0     0 0 −1 1 1   Vậy r(A) = 5.  0 0 0 2 2     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 0 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h3→h3−h2  0 1 1 0 0  h4→h4+2h3   h4→h4+h2   h5→h5+h3  0 1 0 1 1  h6→h6−h2  0 0 −1 1 1  h6→h6+2h3   −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −1 1 0 0   0 0 2 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  0 1 3 2 1 0 0 2 2 1  1 1 0 0 0   0 1 1 0 0    h5→h5−h4  0 0 −1 1 1  h6→h6−2h4   −−−−−−−→  0 0 0 2 2     0 0 0 2 1  0 0 0 4 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 41 / 44
 1 1 0 0 0   0 1 1 0 0     0 0 −1 1 1   Vậy r(A) = 5.  0 0 0 2 2     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 0 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h3→h3−h2  0 1 1 0 0  h4→h4+2h3   h4→h4+h2   h5→h5+h3  0 1 0 1 1  h6→h6−h2  0 0 −1 1 1  h6→h6+2h3   −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −1 1 0 0   0 0 2 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  0 1 3 2 1 0 0 2 2 1  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0   0 1 1 0 0    h5→h5−h4    0 0 −1 1 1  h6→h6−2h4  0 0 −1 1 1  h6→h6−h5   −−−−−−−→   −−−−−−→  0 0 0 2 2   0 0 0 2 2       0 0 0 2 1   0 0 0 0 −1  0 0 0 4 3 0 0 0 0 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 41 / 44
Vậy r(A) = 5. Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h3→h3−h2  0 1 1 0 0  h4→h4+2h3   h4→h4+h2   h5→h5+h3  0 1 0 1 1  h6→h6−h2  0 0 −1 1 1  h6→h6+2h3   −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −1 1 0 0   0 0 2 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  0 1 3 2 1 0 0 2 2 1  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0   0 1 1 0 0    h5→h5−h4    0 0 −1 1 1  h6→h6−2h4  0 0 −1 1 1  h6→h6−h5   −−−−−−−→   −−−−−−→  0 0 0 2 2   0 0 0 2 2       0 0 0 2 1   0 0 0 0 −1  0 0 0 4 3 0 0 0 0 −1  1 1 0 0 0   0 1 1 0 0     0 0 −1 1 1     0 0 0 2 2     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 41 / 44
Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h3→h3−h2  0 1 1 0 0  h4→h4+2h3   h4→h4+h2   h5→h5+h3  0 1 0 1 1  h6→h6−h2  0 0 −1 1 1  h6→h6+2h3   −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −1 1 0 0   0 0 2 0 0       0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  0 1 3 2 1 0 0 2 2 1  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0   0 1 1 0 0    h5→h5−h4    0 0 −1 1 1  h6→h6−2h4  0 0 −1 1 1  h6→h6−h5   −−−−−−−→   −−−−−−→  0 0 0 2 2   0 0 0 2 2       0 0 0 2 1   0 0 0 0 −1  0 0 0 4 3 0 0 0 0 −1  1 1 0 0 0   0 1 1 0 0     0 0 −1 1 1   Vậy r(A) = 5.  0 0 0 2 2     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 41 / 44