›
›

Toán học - Chương 03: Một số phân phối xác suất thông dụng

ppt 68 trang vanle 8530
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học - Chương 03: Một số phân phối xác suất thông dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • ppttoan_hoc_chuong_03_mot_so_phan_phoi_xac_suat_thong_dung.ppt

Nội dung text: Toán học - Chương 03: Một số phân phối xác suất thông dụng

  1. Chương 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG I ­ DỤNGPhân phối nhị thức a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối nhị thức
  2. ª Tiến hành n phép thử độc lập. ª P(A) = p đối với mọi phép thử. ª X là số lần A xảy ra trong n phép thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2. . . . , n X có phân phối nhị thức với các tham số : n, p.
  3. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với các tham số n và p được ký hiệu là: X  B(n, p).
  4. Thí dụ 1: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại I là 0,8. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 5 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(5; 0,8).
  5. Thí dụ 2: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia trong mỗi lần bắn như nhau và đều bằng 0,9. Xạ thủ này bắn 10 viên. Gọi X là số viên trúng bia của xạ thủ này thì X  B(10; 0,9).
  6. Thí dụ 3: Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném một quả). Xác suất ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6. Gọi X là số lần ném trúng rổ của 3 cầu thủ này. X có phân phối nhị thức hay không?
  7. Khái niệm các phép thử độc lập 1 và 2 là hai phép thử độc lập nếu như xác suất xảy ra một biến cố nào đó của phép thử 1 không phụ thuộc vào kết quả của phép thử 2 và ngược lại.
  8. b- Công thức tính xác suất Nếu X  B(n, p) (3.1)
  9. Thí dụ: X  B(5; 0,8)
  10. Nếu X  B(n, p), thì: P(x X x+h) = P(X = x) + P(X = x+ 1) + . . . . + P(X = x+h) (3.2) Trong đó: P(X = x), P(X = x+1),. . . , P(X = x+h) được tính theo công thức (3.1)
  11. Thí dụ: X  B(5; 0,8) P(1 X 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,0064 + 0,0512 + 0,2048 = 0,2624
  12. c- Các tham số đặc trưng: Kỳ vọng toán: Nếu X  B(n , p) thì: E(X) = np Phương sai: Nếu X  B(n , p) thì: Var(X) = npq
  13. Giá trị tin chắc nhất: Nếu X  B(n , p) thì: np + p ­ 1 Mod(X) np + p
  14. II­ Phân phối Poisson a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối Poisson X  B(n, p) nhưng n lớn, p nhỏ (p < 0,1), np =  không đổi thì ta có thể coi X có phân phối Poisson với tham số .
  15. X có phân phối Poisson với tham số  được ký hiệu là: X  P() Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0,001. Cho máy sản xuất 2000 sản phẩm.
  16. Gọi X là số phế phẩm có trong 2000 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(2000; 0,001). Khi đó ta có thể coi X  P(2) b- Công thức tính xác suất
  17. Nếu X  P() thì: k P = P(X = k) = e­ k k! (k = 0, 1, 2, . . .) e ­ hằng số nêpe: e = ; e 2,71828
  18. Nếu X  P() thì: P(k X k+h) = Pk+ Pk+1+. . .+Pk+h (3.9)
  19. Thí dụ: Một máy dệt có 500 ống sợi. Xác suất để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ máy hoạt động là 0,004. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt.
  20. Giải: Nếu coi việc quan sát 1 ống sợi xem có bị đứt hay không trong khoảng thời gian 1 giờ là một phép thử thì ta có 500 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử biến cố A (ống sợi bị đứt) xảy ra với xác suất là p = 0,004.
  21. Nếu gọi X là số ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ thì X ~ B(500; 0,004) Vì n = 500 khá lớn, p = 0,004 rất nhỏ; np = 500×0,004 = 2 không đổi nên ta có thể coi X ~ P(2)
  22. Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ là: P(0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2
  23. c- Các tham số đặc trưng: Có thể chứng minh được rằng: Nếu X  P() thì: E(X) = Var(X) =   1 Mod(X) 
  24. III­ Phân phối Siêu bội a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối siêu bội Từ một tập hợp gồm N phần tử (trong đó có M phần tử có tính chất A) lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra n phần tử.
  25. Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử lấy ra, X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị trong khoảng [n1, n2]. n1 = max{0, n­N+M} n2 = min{n, M}
  26. X có phân phối siêu bội với các tham số: N, M, n. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với các tham số N, M, n được ký hiệu là: X  H(N, M, n)
  27. Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm loại A). Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm lấy ra. X có phân phối siêu bội với các giá trị có thể nhận là: 2, 3, 4, 5.
  28. b- Công thức tính xác suất Nếu X  H(N, M, n) P(X = x) = (3.12) Max 0, M+n­N x Min n, M
  29. 3­ Các tham số đặc trưng Nếu X  H (N, M, n) thì: E(X) = np (với p = ) M N Var(X) = npq N­n N­1 (với q = 1­p)
  30. Nếu X  H (N, M, n) nhưng n rất bé so với N thì ta có thể coi X  B(n, p) với M p = N Công thức xấp xỉ:
  31. Thí dụ: Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 10 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra ?
  32. Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra. X  H(1000, 800, 10). Nhưng vì lấy ít (10) từ một tập hợp có số phần tử lớn (1000) nên ta có thể coi X  B(n, p), với n = 10 và p = 0,8
  33. Xác suất cần tìm là P(X 8). P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = + + = 0,6778 Hãy tính xác suất trên bằng công thức của phân phối siêu bội.
  34. IV­ Phân phối Chuẩn a- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (  được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
  35. 22 (x ­ ) 1 ­ 2 f(x) = e 2  2 Nếu tiến hành khảo sát hàm này ta thấy: f(x) > 0 ( x) Khi x thì f(x) . Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 
  36. f() = Đồ thị của hàm f(x) có dạng như hình chuông, đối xứng qua đường thẳng x = 
  37. b- Các tham số đặc trưng - Kỳ vọng toán: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : E(X) =  - Phương sai:
  38. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : Var(X) = 2 Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2 được ký hiệu là: X  N(  2).
  39. Phân phối chuẩn do nhà toán học Đức Karl Gauss tìm ra nên còn gọi là phân phối Gauss. c- Phân phối chuẩn chính tắc Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2. Xét đại lượng ngẫu nhiên:
  40. Z = Đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị trong khoảng (  ) được gọi là có phân phối chuẩn chính tắc nếu hàm mật độ xác suất của Z có dạng:
  41. 2 z 1 ­ f(z) = e 2 2 Đồ thị của hàm f(z) cũng có dạng hình chuông, đối xứng qua trục tung. (hình vẽ)
  42. Có thể chứng minh được rằng: Nếu đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chính tắc thì: E(Z) = 0 và Var(Z) = 1 ĐLNN Z có phân phối chuẩn chính tắc được ký hiệu là: Z  N(0, 1)
  43. d­ Công thức tính xác suất: ª Nếu X  N(, 2) thì : b ­  a ­  P(a X b) =     Trong đó: xx  x = f(z)dz (Hàm Laplace) 00
  44. Đồ thị hàm Laplace
  45. Giá trị hàm Laplace f(z) (x) 0 x z
  46. Các giá trị của hàm (x) được tính sẵn ở phụ lục 2. (Lý thuyết xác suất và thống kê toán). Chú ý: (x) là hàm lẻ, do đó: ( x) = (x)
  47. Trong bảng chỉ tính (x) với x 4, với x > 4 thì hàm (x) tăng rất chậm và nhận giá trị rất gần 0,5. Do vậy ta lấy (x) = 0,5 (x > 4).
  48. (1,96) = 0,475; (2,33) = 0,4901
  49. ª Nếu X  N( 2) thì : P( ) = 2
  50. Thí dụ: Chiều cao của sinh viên ở một trường Đại học là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với chiều cao trung bình  = 160 cm và độ lệch tiêu chuẩn  = 5 cm. Tính tỷ lệ sinh viên có chiều cao trong khoảng từ 150 cm đến 170 cm.
  51. Giải: Gọi X là chiều cao của sinh viên trường này. Theo giả thiết thì: X  N(160; 52) Tỷ lệ sinh viên có chiều cao từ 155 đến 165 cm chính là: P(155 X 165)
  52. Tức tỷ lệ s/v có chiều cao từ 155 cm đến 165 cm là 68,26%.
  53. Minh họa hình học: 68,26%
  54. e- Sự hội tụ của phân phối nhị thức về phân phối chuẩn X ~ B(n, p) nhưng n lớn, p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì có thể coi X ~ N(np, npq). Các công thức xấp xỉ:
  55. P(X = x) = pxqn­x f(z) (công thức địa phương Laplace) Trong đó: z = ; f(z) =
  56. Khi n lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì ta có thể dùng công thức xấp xỉ: P(x X x+h) (x2) (x1) (Công thức tích phân Laplace)
  57. (x) = (Hàm Laplace) x1 = ; x2 =
  58. Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8. Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm do máy sản xuất có: a) 336 sản phẩm loại A b) Số sản phẩm loại A trong khoảng (304; 328)
  59. Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 400 sản phẩm do máy sản xuất. X  B(400, 0,8). Vì n = 400 khá lớn, p = 0,8 không quá gần 0 và không quá gần 1, nên có thể áp dụng công thức địa phương Laplace.
  60. b) Ta cần tính P(304 ≤ X ≤ 328) Áp dụng công thức tích phân Laplace, ta có: P(304 ≤ X ≤ 328) (x2) ­ (x1) Trong đó:
  61. P(304 X 328) (1) ­ (­2) = (1) + (2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185
  62. TỔNG KẾT CHƯƠNG 3 pp pp pp pp nhị siêu Poisson chuẩn thức bội Bài toán tổng quát ĐN, đồ thị Công thức tính xác suất Các tham số đặc trưng
  63. Bài tập chương 3 3.9; 3.22; 3.23; 3.24; 3.25; 3.26; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32; 3.38; 3.40. Hết chương 3