›
›

Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận

pdf 144 trang vanle 4090
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_cao_cap_chuong_1_ma_tran.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận

  1. CHƯƠNG 1: MA TRẬN Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 1 / 43
  2. Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:   a11 a1j a1n  . . .   . . . . .    A =  ai1 aij ain     . . .   . . . . .  am1 amj amn Người ta thường ký hiệu A = (a ) . ij 16i6m;16j6n Các số aij (i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K). Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43
  3. Người ta thường ký hiệu A = (a ) . ij 16i6m;16j6n Các số aij (i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K). Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:   a11 a1j a1n  . . .   . . . . .    A =  ai1 aij ain     . . .   . . . . .  am1 amj amn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43
  4. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:   a11 a1j a1n  . . .   . . . . .    A =  ai1 aij ain     . . .   . . . . .  am1 amj amn Người ta thường ký hiệu A = (a ) . ij 16i6m;16j6n Các số aij (i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43
  5. Định nghĩa   a1  a2    được gọi là ma trận cột.  .   .  an  a1 a2 an được gọi là ma trận hàng. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43
  6. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa   a1  a2    được gọi là ma trận cột.  .   .  an  a1 a2 an được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43
  7. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa   a1  a2    được gọi là ma trận cột.  .   .  an  a1 a2 an được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43
  8. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột Định nghĩa  Gọi Ai∗ = ai1 ai2 ain là hàng thứ i của ma trận A, 1 6 i 6 m,   a1j  a2j  và gọi A =   là cột thứ j của ma trận A, 1 j n thì ∗j  .  6 6  .  amj   A1∗  A2∗  A = A A A  =   ∗1 ∗2 ∗n  .   .  Am∗ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 4 / 43
  9. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ví dụ  1 −4 5  Ma trận A = gồm có: 0 3 −2 2×3 2 ma trận hàng 1 −4 5  , 0 3 −2   1   −4   5  và 3 ma trận cột , , 0 3 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 5 / 43
  10. Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0, ∀i, j. Ví dụ  0 0 0 0  A =  0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3 × 4. 0 0 0 0 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43
  11. Ví dụ  0 0 0 0  A =  0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3 × 4. 0 0 0 0 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0, ∀i, j. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43
  12. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0, ∀i, j. Ví dụ  0 0 0 0  A =  0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3 × 4. 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43
  13. Ví dụ  1 2 3  A =  0 −3 −2  là ma trận vuông cấp 3. 5 4 −5 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là Mn(K) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 7 / 43
  14. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là Mn(K) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n. Ví dụ  1 2 3  A =  0 −3 −2  là ma trận vuông cấp 3. 5 4 −5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 7 / 43
  15. Ví dụ  1 0 0  I =  0 1 0  là ma trận đơn vị cấp 3. 0 0 1 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đơn vị Định nghĩa  1 0 0   0 1 0  Ma trận I =   , có nghĩa là  . . .   . . . .  0 0 1 (aii = 1, i = 1, n; aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay In TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 8 / 43
  16. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đơn vị Định nghĩa  1 0 0   0 1 0  Ma trận I =   , có nghĩa là  . . .   . . . .  0 0 1 (aii = 1, i = 1, n; aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay In Ví dụ  1 0 0  I =  0 1 0  là ma trận đơn vị cấp 3. 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 8 / 43
  17. Ví dụ  1 0 0  A =  0 −3 0  là ma trận chéo cấp 3. 0 0 2 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận chéo Định nghĩa   α1 0 0  0 α2 0  Ma trận D =   , có nghĩa là  . . .   . . . .  0 0 . . . αn (aij = 0, ∀i 6= j; i, j = 1, n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký  hiệu là D = dig α1 α2 . . . αn . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 9 / 43
  18. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận chéo Định nghĩa   α1 0 0  0 α2 0  Ma trận D =   , có nghĩa là  . . .   . . . .  0 0 . . . αn (aij = 0, ∀i 6= j; i, j = 1, n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký  hiệu là D = dig α1 α2 . . . αn . Ví dụ  1 0 0  A =  0 −3 0  là ma trận chéo cấp 3. 0 0 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 9 / 43
  19. Ví dụ  1 2 3   −1 −2 −3  B = là ma trận đối của ma trận A = . 0 4 −5 0 −4 5 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43
  20. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A. Ví dụ  1 2 3   −1 −2 −3  B = là ma trận đối của ma trận A = . 0 4 −5 0 −4 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43
  21. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A. Ví dụ  1 2 3   −1 −2 −3  B = là ma trận đối của ma trận A = . 0 4 −5 0 −4 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43
  22. Định nghĩa Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu như chúng cùng cỡ và các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau A = (aij )m×n = B = (bij )m×n ⇔ aij = bij , ∀i, j. Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 11 / 43
  23. Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau Định nghĩa Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu như chúng cùng cỡ và các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau A = (aij )m×n = B = (bij )m×n ⇔ aij = bij , ∀i, j. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 11 / 43
  24. Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  25. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  26. 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. Tính chất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  27. 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  28. 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  29. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  30. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  31. Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. Ví dụ  1 2 3   3 6 9  Nếu A = thì 3A = 5 4 −5 15 12 −15 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
  32. Ví dụ  15 5 0   3 1 0   20 −5 0  = 5  4 −1 0  30 15 40 6 3 8 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 13 / 43
  33. Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận. Ví dụ  15 5 0   3 1 0   20 −5 0  = 5  4 −1 0  30 15 40 6 3 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 13 / 43
  34. Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  35. Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  36. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  37. 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  38. 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  39. 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  40. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  41. 5 A + 0 = 0 + A = A Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  42. Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  43. Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )m×n ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n(K) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43
  44. Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Ví dụ  1 4 3   3 1 1   4 5 4  + = 8 −3 2 4 −1 0 12 −4 2 Ví dụ  2 3 5   2 −2 5  Tính C = 5A − 2B với A = , B = 1 4 −2 0 6 −4 Giải.  2 3 5   2 −2 5   6 19 15  C = 5 − 2 = . 1 4 −2 0 6 −4 5 8 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 15 / 43
  45. Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là n P ma trận C = A.B = (cij )m×p sao cho cij = aik .bkj , i = 1 m; j = 1 p k=1 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )n×p ∈ Mn×p(K).  a11 a12 a1n   . . .   b b b b   . . . .  11 12 1j 1p   . . . . . .  ai1 ai2 ain  .  . . . . . .  =    . . . . . .   . . .  b b b b  . . . .  n1 n2 nj np n×p a a a m1 m2 mn m×n  c11 c12 c1j c1p   . . . . .   . . . . . .     ci1 ci2 cij cip  .    . . . . . .   . . . . .  c c c c m1 m2 mj mp m×p TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 16 / 43
  46. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )n×p ∈ Mn×p(K).  a11 a12 a1n   . . .   b b b b   . . . .  11 12 1j 1p   . . . . . .  ai1 ai2 ain  .  . . . . . .  =    . . . . . .   . . .  b b b b  . . . .  n1 n2 nj np n×p a a a m1 m2 mn m×n  c11 c12 c1j c1p   . . . . .   . . . . . .     ci1 ci2 cij cip  . Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là    . . . . . .   . . . . .  c c c c m1 m2 mj mp m×p n P ma trận C = A.B = (cij )m×p sao cho cij = aik .bkj , i = 1 m; j = 1 p k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 16 / 43
  47. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )n×p ∈ Mn×p(K).  a11 a12 a1n   . . .   b b b b   . . . .  11 12 1j 1p   . . . . . .  ai1 ai2 ain  .  . . . . . .  =    . . . . . .   . . .  b b b b  . . . .  n1 n2 nj np n×p a a a m1 m2 mn m×n  c11 c12 c1j c1p   . . . . .   . . . . . .     ci1 ci2 cij cip  . Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là    . . . . . .   . . . . .  c c c c m1 m2 mj mp m×p n P ma trận C = A.B = (cij )m×p sao cho cij = aik .bkj , i = 1 m; j = 1 p k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 16 / 43
  48. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ  2 1 −1   2 3 1  Tính tích A.B với A = , B = 1 3 −2 . −1 0 1   0 2 1 Giải.  2 1 −1   2 3 1   7 13 −7  A .B = . 1 3 −2 = 2×3 3×3 −1 0 1   −2 1 2 0 2 1 Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43
  49. Ví dụ  2 1 −1   2 3 1  Tính tích A.B với A = , B = 1 3 −2 . −1 0 1   0 2 1 Giải.  2 1 −1   2 3 1   7 13 −7  A .B = . 1 3 −2 = 2×3 3×3 −1 0 1   −2 1 2 0 2 1 Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43
  50. Giải.  2 1 −1   2 3 1   7 13 −7  A .B = . 1 3 −2 = 2×3 3×3 −1 0 1   −2 1 2 0 2 1 Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ  2 1 −1   2 3 1  Tính tích A.B với A = , B = 1 3 −2 . −1 0 1   0 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43
  51. Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ  2 1 −1   2 3 1  Tính tích A.B với A = , B = 1 3 −2 . −1 0 1   0 2 1 Giải.  2 1 −1   2 3 1   7 13 −7  A .B = . 1 3 −2 = 2×3 3×3 −1 0 1   −2 1 2 0 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43
  52. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ  2 1 −1   2 3 1  Tính tích A.B với A = , B = 1 3 −2 . −1 0 1   0 2 1 Giải.  2 1 −1   2 3 1   7 13 −7  A .B = . 1 3 −2 = 2×3 3×3 −1 0 1   −2 1 2 0 2 1 Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43
  53. 1 (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C 2 A.(B + C) = A.B + A.C. 3 (B + C).A = B.A + C.A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43
  54. 2 A.(B + C) = A.B + A.C. 3 (B + C).A = B.A + C.A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43
  55. 3 (B + C).A = B.A + C.A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C 2 A.(B + C) = A.B + A.C. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43
  56. 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C 2 A.(B + C) = A.B + A.C. 3 (B + C).A = B.A + C.A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43
  57. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C 2 A.(B + C) = A.B + A.C. 3 (B + C).A = B.A + C.A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43
  58. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C 2 A.(B + C) = A.B + A.C. 3 (B + C).A = B.A + C.A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43
  59. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Ví dụ  cos α − sin α   cos β − sin β  Cho A = và B = . Lúc này sin α cos α sin β cos β  cos α − sin α   cos β − sin β  AB = . = sin α cos α sin β cos β  cos(α + β) − sin(α + β)  và sin(α + β) cos(α + β)  cos β − sin β   cos α − sin α  BA = . = sin β cos β sin α cos α  cos(α + β) − sin(α + β)  . Vậy AB = BA sin(α + β) cos(α + β) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 19 / 43
  60. Ví dụ  0 3   2 1 1  Cho ma trận A = và ma trận B = 1 5 . Lúc này 0 3 2   −1 1 A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43
  61. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A Ví dụ  0 3   2 1 1  Cho ma trận A = và ma trận B = 1 5 . Lúc này 0 3 2   −1 1 A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43
  62. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A Ví dụ  0 3   2 1 1  Cho ma trận A = và ma trận B = 1 5 . Lúc này 0 3 2   −1 1 A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43
  63. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A Ví dụ  0 3   2 1 1  Cho ma trận A = và ma trận B = 1 5 . Lúc này 0 3 2   −1 1 A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43
  64. Ví dụ  2 1   1 0   0 1  = 0 1 −2 1 −2 1 trong khi đó  1 0   2 1   2 1  = −2 1 0 1 −4 −1 Chú ý. Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhất mới có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 21 / 43
  65. Chú ý. Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhất mới có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau. Ví dụ  2 1   1 0   0 1  = 0 1 −2 1 −2 1 trong khi đó  1 0   2 1   2 1  = −2 1 0 1 −4 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 21 / 43
  66. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau. Ví dụ  2 1   1 0   0 1  = 0 1 −2 1 −2 1 trong khi đó  1 0   2 1   2 1  = −2 1 0 1 −4 −1 Chú ý. Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhất mới có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 21 / 43
  67. A.B = A.C không suy ra được B = C Ví dụ  1 0   1 1   1 1  Cho A = , B = , C = . Lúc này 0 0 1 2 2 2  1 0   1 1   1 1  AB = . = và 0 0 1 2 0 0  1 0   1 1   1 1  AC = . = . 0 0 2 2 0 0 Vậy AB = AC nhưng B 6= C. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43
  68. Ví dụ  1 0   1 1   1 1  Cho A = , B = , C = . Lúc này 0 0 1 2 2 2  1 0   1 1   1 1  AB = . = và 0 0 1 2 0 0  1 0   1 1   1 1  AC = . = . 0 0 2 2 0 0 Vậy AB = AC nhưng B 6= C. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43
  69. Ví dụ  1 0   1 1   1 1  Cho A = , B = , C = . Lúc này 0 0 1 2 2 2  1 0   1 1   1 1  AB = . = và 0 0 1 2 0 0  1 0   1 1   1 1  AC = . = . 0 0 2 2 0 0 Vậy AB = AC nhưng B 6= C. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43
  70. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C Ví dụ  1 0   1 1   1 1  Cho A = , B = , C = . Lúc này 0 0 1 2 2 2  1 0   1 1   1 1  AB = . = và 0 0 1 2 0 0  1 0   1 1   1 1  AC = . = . 0 0 2 2 0 0 Vậy AB = AC nhưng B 6= C. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43
  71. A.B = 0 không suy ra được A = 0 ∨ B = 0 Ví dụ  1 0   0 0  Cho A = , B = là những ma trận khác ma trận 0 0 1 0  1 0   0 0   0 0  không. Khi đó A.B = . = = 0 nhưng 0 0 1 0 0 0 không thể suy ra được A = 0 ∨ B = 0 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 23 / 43
  72. Ví dụ  1 0   0 0  Cho A = , B = là những ma trận khác ma trận 0 0 1 0  1 0   0 0   0 0  không. Khi đó A.B = . = = 0 nhưng 0 0 1 0 0 0 không thể suy ra được A = 0 ∨ B = 0 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = 0 không suy ra được A = 0 ∨ B = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 23 / 43
  73. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = 0 không suy ra được A = 0 ∨ B = 0 Ví dụ  1 0   0 0  Cho A = , B = là những ma trận khác ma trận 0 0 1 0  1 0   0 0   0 0  không. Khi đó A.B = . = = 0 nhưng 0 0 1 0 0 0 không thể suy ra được A = 0 ∨ B = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 23 / 43
  74. Định nghĩa T Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij )m×n là ma trận A = (aji )n×m     a11 a12 a1n a11 a21 am1  a21 a22 a2n   a12 a22 am2  A =   ⇒ AT =    . . .   . . .   . . . .   . . . .  a a a a a a m1 m2 mn m×n 1n 2n mn n×m Ví dụ  1 2   1 3 5  Cho A = ⇒ AT = 3 4 2 4 6   5 6 Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 24 / 43
  75. Ví dụ  1 2   1 3 5  Cho A = ⇒ AT = 3 4 2 4 6   5 6 Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị Định nghĩa T Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij )m×n là ma trận A = (aji )n×m     a11 a12 a1n a11 a21 am1  a21 a22 a2n   a12 a22 am2  A =   ⇒ AT =    . . .   . . .   . . . .   . . . .  a a a a a a m1 m2 mn m×n 1n 2n mn n×m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 24 / 43
  76. Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị Định nghĩa T Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij )m×n là ma trận A = (aji )n×m     a11 a12 a1n a11 a21 am1  a21 a22 a2n   a12 a22 am2  A =   ⇒ AT =    . . .   . . .   . . . .   . . . .  a a a a a a m1 m2 mn m×n 1n 2n mn n×m Ví dụ  1 2   1 3 5  Cho A = ⇒ AT = 3 4 2 4 6   5 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 24 / 43
  77. 2 (λA)T = λAT . 3 (A + B)T = AT + BT . 4 (A.B)T = BT .AT . Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Tính chất 1 (AT )T = A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 25 / 43
  78. 3 (A + B)T = AT + BT . 4 (A.B)T = BT .AT . Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Tính chất 1 (AT )T = A. 2 (λA)T = λAT . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 25 / 43
  79. 4 (A.B)T = BT .AT . Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Tính chất 1 (AT )T = A. 2 (λA)T = λAT . 3 (A + B)T = AT + BT . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 25 / 43
  80. Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Tính chất 1 (AT )T = A. 2 (λA)T = λAT . 3 (A + B)T = AT + BT . 4 (A.B)T = BT .AT . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 25 / 43
  81. Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Tính chất 1 (AT )T = A. 2 (λA)T = λAT . 3 (A + B)T = AT + BT . 4 (A.B)T = BT .AT . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 25 / 43
  82. Ví dụ  i 0   −i 2 − i 3  A = ⇒ A = 2 + i 3i . 0 −3i 5 + i   3 5 − i Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận liên hợp Định nghĩa Ma trận A = (aji )n×m được gọi là ma trận liên hợp của Am×n.     a11 a12 a1n a11 a21 am1  a21 a22 a2n   a12 a22 am2  A =   ⇒ A =    . . .   . . .   . . . .   . . . .  a a a a a a m1 m2 mn m×n 1n 2n mn n×m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 26 / 43
  83. Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận liên hợp Định nghĩa Ma trận A = (aji )n×m được gọi là ma trận liên hợp của Am×n.     a11 a12 a1n a11 a21 am1  a21 a22 a2n   a12 a22 am2  A =   ⇒ A =    . . .   . . .   . . . .   . . . .  a a a a a a m1 m2 mn m×n 1n 2n mn n×m Ví dụ  i 0   −i 2 − i 3  A = ⇒ A = 2 + i 3i . 0 −3i 5 + i   3 5 − i TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 26 / 43
  84. Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A tức là aij = aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Chú ý. Mọi ma trận chéo là ma trận đối xứng. Ví dụ  1 5 −4  Ma trận A =  5 −2 7  là ma trận đối xứng cấp 3. −4 7 3 Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận đối xứng TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 27 / 43
  85. Chú ý. Mọi ma trận chéo là ma trận đối xứng. Ví dụ  1 5 −4  Ma trận A =  5 −2 7  là ma trận đối xứng cấp 3. −4 7 3 Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A tức là aij = aji , ∀i, j = 1, 2, , n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 27 / 43
  86. Ví dụ  1 5 −4  Ma trận A =  5 −2 7  là ma trận đối xứng cấp 3. −4 7 3 Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A tức là aij = aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Chú ý. Mọi ma trận chéo là ma trận đối xứng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 27 / 43
  87. Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A tức là aij = aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Chú ý. Mọi ma trận chéo là ma trận đối xứng. Ví dụ  1 5 −4  Ma trận A =  5 −2 7  là ma trận đối xứng cấp 3. −4 7 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 27 / 43
  88. Chú ý. Tất cả những phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận phản đối xứng đều bằng 0, có nghĩa là aii = 0, ∀i = 1, 2, , n. Ví dụ  0 2 −3 7   −2 0 −1 5  Ma trận A =   là ma trận phản đối xứng cấp 4.  3 1 0 8  −7 −5 −8 0 Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận phản đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối xứng nếu AT = −A tức là aij = −aji , ∀i, j = 1, 2, , n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 28 / 43
  89. Ví dụ  0 2 −3 7   −2 0 −1 5  Ma trận A =   là ma trận phản đối xứng cấp 4.  3 1 0 8  −7 −5 −8 0 Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận phản đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối xứng nếu AT = −A tức là aij = −aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Chú ý. Tất cả những phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận phản đối xứng đều bằng 0, có nghĩa là aii = 0, ∀i = 1, 2, , n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 28 / 43
  90. Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận phản đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối xứng nếu AT = −A tức là aij = −aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Chú ý. Tất cả những phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận phản đối xứng đều bằng 0, có nghĩa là aii = 0, ∀i = 1, 2, , n. Ví dụ  0 2 −3 7   −2 0 −1 5  Ma trận A =   là ma trận phản đối xứng cấp 4.  3 1 0 8  −7 −5 −8 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 28 / 43
  91. 2 Nếu A và B là những ma trận phản đối xứng thì A + B cũng là ma trận phản đối xứng: (A + B)T = AT + BT = −A − B = −(A + B). 3 Nếu A là ma trận đối xứng thì λA cũng là ma trận đối xứng: (λA)T = λAT = (λA). 4 Nếu A là ma trận phản đối xứng thì λA cũng là ma trận phản đối xứng: (λA)T = λAT = −λA = −(λA). Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Tính chất 1 Nếu A và B là những ma trận đối xứng thì A + B cũng là ma trận đối xứng: (A + B)T = AT + BT = A + B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 29 / 43
  92. 3 Nếu A là ma trận đối xứng thì λA cũng là ma trận đối xứng: (λA)T = λAT = (λA). 4 Nếu A là ma trận phản đối xứng thì λA cũng là ma trận phản đối xứng: (λA)T = λAT = −λA = −(λA). Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Tính chất 1 Nếu A và B là những ma trận đối xứng thì A + B cũng là ma trận đối xứng: (A + B)T = AT + BT = A + B. 2 Nếu A và B là những ma trận phản đối xứng thì A + B cũng là ma trận phản đối xứng: (A + B)T = AT + BT = −A − B = −(A + B). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 29 / 43
  93. 4 Nếu A là ma trận phản đối xứng thì λA cũng là ma trận phản đối xứng: (λA)T = λAT = −λA = −(λA). Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Tính chất 1 Nếu A và B là những ma trận đối xứng thì A + B cũng là ma trận đối xứng: (A + B)T = AT + BT = A + B. 2 Nếu A và B là những ma trận phản đối xứng thì A + B cũng là ma trận phản đối xứng: (A + B)T = AT + BT = −A − B = −(A + B). 3 Nếu A là ma trận đối xứng thì λA cũng là ma trận đối xứng: (λA)T = λAT = (λA). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 29 / 43
  94. Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Tính chất 1 Nếu A và B là những ma trận đối xứng thì A + B cũng là ma trận đối xứng: (A + B)T = AT + BT = A + B. 2 Nếu A và B là những ma trận phản đối xứng thì A + B cũng là ma trận phản đối xứng: (A + B)T = AT + BT = −A − B = −(A + B). 3 Nếu A là ma trận đối xứng thì λA cũng là ma trận đối xứng: (λA)T = λAT = (λA). 4 Nếu A là ma trận phản đối xứng thì λA cũng là ma trận phản đối xứng: (λA)T = λAT = −λA = −(λA). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 29 / 43
  95. Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Tính chất 1 Nếu A và B là những ma trận đối xứng thì A + B cũng là ma trận đối xứng: (A + B)T = AT + BT = A + B. 2 Nếu A và B là những ma trận phản đối xứng thì A + B cũng là ma trận phản đối xứng: (A + B)T = AT + BT = −A − B = −(A + B). 3 Nếu A là ma trận đối xứng thì λA cũng là ma trận đối xứng: (λA)T = λAT = (λA). 4 Nếu A là ma trận phản đối xứng thì λA cũng là ma trận phản đối xứng: (λA)T = λAT = −λA = −(λA). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 29 / 43
  96. Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác trên. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì AB cũng là ma trận tam giác trên. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác trên Định nghĩa   a11 a12 a1n  0 a22 a2n  Ma trận vuông A =   được gọi là ma trận tam  . . .   . . . .  0 0 ann giác trên. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 30 / 43
  97. 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác trên. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì AB cũng là ma trận tam giác trên. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác trên Định nghĩa   a11 a12 a1n  0 a22 a2n  Ma trận vuông A =   được gọi là ma trận tam  . . .   . . . .  0 0 ann giác trên. Tính chất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 30 / 43
  98. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì AB cũng là ma trận tam giác trên. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác trên Định nghĩa   a11 a12 a1n  0 a22 a2n  Ma trận vuông A =   được gọi là ma trận tam  . . .   . . . .  0 0 ann giác trên. Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác trên. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 30 / 43
  99. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác trên Định nghĩa   a11 a12 a1n  0 a22 a2n  Ma trận vuông A =   được gọi là ma trận tam  . . .   . . . .  0 0 ann giác trên. Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác trên. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì AB cũng là ma trận tam giác trên. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 30 / 43
  100. Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác dưới. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì AB cũng là ma trận tam giác dưới. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác dưới Định nghĩa   a11 0 0 0  a21 a22 0  Ma trận vuông   được gọi là ma trận tam giác  . . .   . . . .  an1 am2 ann dưới. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 31 / 43
  101. 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác dưới. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì AB cũng là ma trận tam giác dưới. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác dưới Định nghĩa   a11 0 0 0  a21 a22 0  Ma trận vuông   được gọi là ma trận tam giác  . . .   . . . .  an1 am2 ann dưới. Tính chất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 31 / 43
  102. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì AB cũng là ma trận tam giác dưới. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác dưới Định nghĩa   a11 0 0 0  a21 a22 0  Ma trận vuông   được gọi là ma trận tam giác  . . .   . . . .  an1 am2 ann dưới. Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác dưới. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 31 / 43
  103. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác dưới Định nghĩa   a11 0 0 0  a21 a22 0  Ma trận vuông   được gọi là ma trận tam giác  . . .   . . . .  an1 am2 ann dưới. Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác dưới. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì AB cũng là ma trận tam giác dưới. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 31 / 43
  104. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Nâng ma trận lên lũy thừa Định nghĩa Ma trận mũ không A0 = I , còn mũ nguyên dương Am(m > 0) của ma trận A là tích Am = A.A A | {z } m lần Chú ý. Mũ nguyên dương của ma trận chỉ có ý nghĩa khi số hàng và số cột của ma trận phải bằng nhau, có nghĩa là ma trận đó là ma trận vuông. Tính chất 1 Am.Ak = Am+k . 2 (Am)k = Amk . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 32 / 43
  105. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ví dụ  1 1  Tìm An, với A = −1 −1 Giải.  1 1   1 1   0 0  A2 = . = = 0 −1 −1 −1 −1 0 0 n 2 n−2 n−2 n Vậy A = A .A = 0.A = 0, ∀n > 3. Như vậy từ A = 0 không thể suy ra được A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 33 / 43
  106. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ví dụ  2 1 1  Tính f (A), với f (x) = x2 − x − 1 và A =  3 1 2  1 −1 0  2 1 1   2 1 1   2 1 1  Giải. f (A) =  3 1 2  .  3 1 2  −  3 1 2  − 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0  1 0 0   5 1 3   0 1 0  =  8 0 3  0 0 1 −2 1 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 34 / 43
  107. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1   −1 0 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  =  −1 0 1  . −2 1 1 −2 1 1 −1 0 1  −2 1 1   −1 0 1   0 0 0  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  =  0 0 0  .k = 3 −2 1 1 −1 0 1 0 0 0 Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ma trận lũy linh Định nghĩa k Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu A = 0, k ∈ N. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 35 / 43
  108. Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1   −1 0 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  =  −1 0 1  . −2 1 1 −2 1 1 −1 0 1  −2 1 1   −1 0 1   0 0 0  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  =  0 0 0  .k = 3 −2 1 1 −1 0 1 0 0 0 Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ma trận lũy linh Định nghĩa k Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu A = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 35 / 43
  109.  −1 0 1   −1 0 1  . −1 0 1  −2 1 1   −1 0 1   0 0 0  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  =  0 0 0  .k = 3 −2 1 1 −1 0 1 0 0 0 Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ma trận lũy linh Định nghĩa k Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu A = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  = −2 1 1 −2 1 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 35 / 43
  110.  −2 1 1   −1 0 1   0 0 0  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  =  0 0 0  .k = 3 −2 1 1 −1 0 1 0 0 0 Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ma trận lũy linh Định nghĩa k Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu A = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1   −1 0 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  =  −1 0 1  . −2 1 1 −2 1 1 −1 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 35 / 43
  111.  0 0 0   0 0 0  .k = 3 0 0 0 Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ma trận lũy linh Định nghĩa k Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu A = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1   −1 0 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  =  −1 0 1  . −2 1 1 −2 1 1 −1 0 1  −2 1 1   −1 0 1  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  = −2 1 1 −1 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 35 / 43
  112. k = 3 Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ma trận lũy linh Định nghĩa k Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu A = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1   −1 0 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  =  −1 0 1  . −2 1 1 −2 1 1 −1 0 1  −2 1 1   −1 0 1   0 0 0  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  =  0 0 0  . −2 1 1 −1 0 1 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 35 / 43
  113. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ma trận lũy linh Định nghĩa k Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu A = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1   −1 0 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  =  −1 0 1  . −2 1 1 −2 1 1 −1 0 1  −2 1 1   −1 0 1   0 0 0  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  =  0 0 0  .k = 3 −2 1 1 −1 0 1 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 35 / 43
  114. Định nghĩa Vết của ma trận A ∈ Mn×n(K) là một số bằng tổng tất cả các phần tử aii , i = 1 n thuộc đường chéo chính của ma trận n X Tr A = aii . i=1 Ví dụ  5 1 3  Cho A =  8 0 3  . Khi đó vết của A là Tr A = 5 + 0 + (−2) = 3. −2 1 −2 Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Vết của ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 36 / 43
  115. Ví dụ  5 1 3  Cho A =  8 0 3  . Khi đó vết của A là Tr A = 5 + 0 + (−2) = 3. −2 1 −2 Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Vết của ma trận Định nghĩa Vết của ma trận A ∈ Mn×n(K) là một số bằng tổng tất cả các phần tử aii , i = 1 n thuộc đường chéo chính của ma trận n X Tr A = aii . i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 36 / 43
  116. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Vết của ma trận Định nghĩa Vết của ma trận A ∈ Mn×n(K) là một số bằng tổng tất cả các phần tử aii , i = 1 n thuộc đường chéo chính của ma trận n X Tr A = aii . i=1 Ví dụ  5 1 3  Cho A =  8 0 3  . Khi đó vết của A là Tr A = 5 + 0 + (−2) = 3. −2 1 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 36 / 43
  117. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Vết của ma trận Định nghĩa Vết của ma trận A ∈ Mn×n(K) là một số bằng tổng tất cả các phần tử aii , i = 1 n thuộc đường chéo chính của ma trận n X Tr A = aii . i=1 Ví dụ  5 1 3  Cho A =  8 0 3  . Khi đó vết của A là Tr A = 5 + 0 + (−2) = 3. −2 1 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 36 / 43
  118. 2 Tr AT = Tr A. 3 Tr (AB) = Tr (BA). Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Tính chất 1 Tr (αA + βB) = αTr A + βTr B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 37 / 43
  119. 3 Tr (AB) = Tr (BA). Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Tính chất 1 Tr (αA + βB) = αTr A + βTr B. 2 Tr AT = Tr A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 37 / 43
  120. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Tính chất 1 Tr (αA + βB) = αTr A + βTr B. 2 Tr AT = Tr A. 3 Tr (AB) = Tr (BA). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 37 / 43
  121. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Tính chất 1 Tr (αA + βB) = αTr A + βTr B. 2 Tr AT = Tr A. 3 Tr (AB) = Tr (BA). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 37 / 43
  122. Ví dụ  3 4 6  Tìm chuẩn Frobenius của ma trận A =  2 1 7  −2 5 3  3 2 −2   3 4 6   17 4 26  Giải. AT .A =  4 1 5  .  2 1 7  =  4 42 46  . Vậy 6 7 3 −2 5 3 26 46 94 chuẩn Frobenius của ma trận A bằng Tr (AT .A) = 17 + 42 + 94 = 153. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Chuẩn Frobenius Định nghĩa Vết của ma trận AT .A là chuẩn Frobenius của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 38 / 43
  123.  17 4 26   4 42 46  . Vậy 26 46 94 chuẩn Frobenius của ma trận A bằng Tr (AT .A) = 17 + 42 + 94 = 153. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Chuẩn Frobenius Định nghĩa Vết của ma trận AT .A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Ví dụ  3 4 6  Tìm chuẩn Frobenius của ma trận A =  2 1 7  −2 5 3  3 2 −2   3 4 6  Giải. AT .A =  4 1 5  .  2 1 7  = 6 7 3 −2 5 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 38 / 43
  124. Vậy chuẩn Frobenius của ma trận A bằng Tr (AT .A) = 17 + 42 + 94 = 153. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Chuẩn Frobenius Định nghĩa Vết của ma trận AT .A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Ví dụ  3 4 6  Tìm chuẩn Frobenius của ma trận A =  2 1 7  −2 5 3  3 2 −2   3 4 6   17 4 26  Giải. AT .A =  4 1 5  .  2 1 7  =  4 42 46  . 6 7 3 −2 5 3 26 46 94 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 38 / 43
  125. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Chuẩn Frobenius Định nghĩa Vết của ma trận AT .A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Ví dụ  3 4 6  Tìm chuẩn Frobenius của ma trận A =  2 1 7  −2 5 3  3 2 −2   3 4 6   17 4 26  Giải. AT .A =  4 1 5  .  2 1 7  =  4 42 46  . Vậy 6 7 3 −2 5 3 26 46 94 chuẩn Frobenius của ma trận A bằng Tr (AT .A) = 17 + 42 + 94 = 153. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 38 / 43
  126. Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ được Tr A100 = 1 + 1 + 2100 = 2 + 2100. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Ví dụ  1 0 0  Cho ma trận A =  2 1 0  . Tìm vết của ma trận A100. 3 2 2  1 0 0   1 0 0   1 0 0  Giải. A2 = A.A =  2 1 0  .  2 1 0  =  4 1 0  ⇒ 3 2 2 3 2 2 13 6 22 Tr A2 = 1 + 1 + 22  1 0 0   1 0 0   1 0 0  A3 = A2.A =  4 1 0  .  2 1 0  =  6 1 0  ⇒ 13 6 22 3 2 2 37 14 23 Tr A3 = 1 + 1 + 23. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 39 / 43
  127. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Ví dụ  1 0 0  Cho ma trận A =  2 1 0  . Tìm vết của ma trận A100. 3 2 2  1 0 0   1 0 0   1 0 0  Giải. A2 = A.A =  2 1 0  .  2 1 0  =  4 1 0  ⇒ 3 2 2 3 2 2 13 6 22 Tr A2 = 1 + 1 + 22  1 0 0   1 0 0   1 0 0  A3 = A2.A =  4 1 0  .  2 1 0  =  6 1 0  ⇒ 13 6 22 3 2 2 37 14 23 Tr A3 = 1 + 1 + 23. Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ được Tr A100 = 1 + 1 + 2100 = 2 + 2100. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 39 / 43
  128. Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj (ci ↔ cj ) tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau. 2 hi → λhi (ci → λci ) tức là nhân vào hàng i (cột i) một số λ 6= 0. 3 hi → hi + λ.hj (ci → ci + λcj ), ∀λ tức là biến hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj (ci + λcj ) Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 40 / 43
  129. 2 hi → λhi (ci → λci ) tức là nhân vào hàng i (cột i) một số λ 6= 0. 3 hi → hi + λ.hj (ci → ci + λcj ), ∀λ tức là biến hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj (ci + λcj ) Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj (ci ↔ cj ) tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 40 / 43
  130. 3 hi → hi + λ.hj (ci → ci + λcj ), ∀λ tức là biến hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj (ci + λcj ) Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj (ci ↔ cj ) tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau. 2 hi → λhi (ci → λci ) tức là nhân vào hàng i (cột i) một số λ 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 40 / 43
  131. Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj (ci ↔ cj ) tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau. 2 hi → λhi (ci → λci ) tức là nhân vào hàng i (cột i) một số λ 6= 0. 3 hi → hi + λ.hj (ci → ci + λcj ), ∀λ tức là biến hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj (ci + λcj ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 40 / 43
  132. Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj (ci ↔ cj ) tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau. 2 hi → λhi (ci → λci ) tức là nhân vào hàng i (cột i) một số λ 6= 0. 3 hi → hi + λ.hj (ci → ci + λcj ), ∀λ tức là biến hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj (ci + λcj ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 40 / 43
  133. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj (ci ↔ cj ) tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau. 2 hi → λhi (ci → λci ) tức là nhân vào hàng i (cột i) một số λ 6= 0. 3 hi → hi + λ.hj (ci → ci + λcj ), ∀λ tức là biến hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj (ci + λcj ) Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 40 / 43
  134. Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa được về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ma trận bậc thang Định nghĩa Ma trận bậc thang là ma trận có dạng   a11 a12 a1r a1n  0 a22 a2r a2n     arr arn  , aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , r    0 0 0 0  0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 41 / 43
  135. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ma trận bậc thang Định nghĩa Ma trận bậc thang là ma trận có dạng   a11 a12 a1r a1n  0 a22 a2r a2n     arr arn  , aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , r    0 0 0 0  0 0 0 0 Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa được về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 41 / 43
  136.     0 2 −4 1 4 −5 h3→h3−3h1 −1 −4 5 0 2 −4 h5→h5−2h1     h → 1 h   h2→−h2↔h1   2 2 2 A =  3 1 7  −−−−−−−−→  3 1 7  −−−−−−−→      0 5 −10   0 5 −10  2 3 0 2 3 0  1 4 −5   1 4 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2  0 1 −2    h5→h5+5h2    0 −11 22  −−−−−−−→  0 0 0       0 5 −10   0 0 0  0 −5 10 0 0 0 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  137.   1 4 −5 h3→h3−3h1 0 2 −4 h5→h5−2h1   h → 1 h h2→−h2↔h1   2 2 2 −−−−−−−−→  3 1 7  −−−−−−−→    0 5 −10  2 3 0  1 4 −5   1 4 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2  0 1 −2    h5→h5+5h2    0 −11 22  −−−−−−−→  0 0 0       0 5 −10   0 0 0  0 −5 10 0 0 0 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.  0 2 −4   −1 −4 5    A =  3 1 7     0 5 −10  2 3 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  138.   1 4 −5 h3→h3−3h1 0 2 −4 h5→h5−2h1   h → 1 h   2 2 2  3 1 7  −−−−−−−→    0 5 −10  2 3 0  1 4 −5   1 4 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2  0 1 −2    h5→h5+5h2    0 −11 22  −−−−−−−→  0 0 0       0 5 −10   0 0 0  0 −5 10 0 0 0 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.  0 2 −4   −1 −4 5    h2→−h2↔h1 A =  3 1 7  −−−−−−−−→    0 5 −10  2 3 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  139. h3→h3−3h1 h5→h5−2h1 h → 1 h −−−−−−−→2 2 2  1 4 −5   1 4 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2  0 1 −2    h5→h5+5h2    0 −11 22  −−−−−−−→  0 0 0       0 5 −10   0 0 0  0 −5 10 0 0 0 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.  0 2 −4   1 4 −5   −1 −4 5   0 2 −4    h2→−h2↔h1   A =  3 1 7  −−−−−−−−→  3 1 7       0 5 −10   0 5 −10  2 3 0 2 3 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  140.  1 4 −5   1 4 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2  0 1 −2    h5→h5+5h2    0 −11 22  −−−−−−−→  0 0 0       0 5 −10   0 0 0  0 −5 10 0 0 0 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.     0 2 −4 1 4 −5 h3→h3−3h1 −1 −4 5 0 2 −4 h5→h5−2h1     h → 1 h   h2→−h2↔h1   2 2 2 A =  3 1 7  −−−−−−−−→  3 1 7  −−−−−−−→      0 5 −10   0 5 −10  2 3 0 2 3 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  141.  1 4 −5  h3→h3+11h2 h4→h4−5h2  0 1 −2  h5→h5+5h2   −−−−−−−→  0 0 0     0 0 0  0 0 0 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.     0 2 −4 1 4 −5 h3→h3−3h1 −1 −4 5 0 2 −4 h5→h5−2h1     h → 1 h   h2→−h2↔h1   2 2 2 A =  3 1 7  −−−−−−−−→  3 1 7  −−−−−−−→      0 5 −10   0 5 −10  2 3 0 2 3 0  1 4 −5   0 1 −2     0 −11 22     0 5 −10  0 −5 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  142.  1 4 −5   0 1 −2     0 0 0     0 0 0  0 0 0 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.     0 2 −4 1 4 −5 h3→h3−3h1 −1 −4 5 0 2 −4 h5→h5−2h1     h → 1 h   h2→−h2↔h1   2 2 2 A =  3 1 7  −−−−−−−−→  3 1 7  −−−−−−−→      0 5 −10   0 5 −10  2 3 0 2 3 0  1 4 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2   h5→h5+5h2  0 −11 22  −−−−−−−→    0 5 −10  0 −5 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  143. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang Ví dụ  0 2 −4   −1 −4 5    Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về dạng ma trận bậc    0 5 −10  2 3 0 thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.     0 2 −4 1 4 −5 h3→h3−3h1 −1 −4 5 0 2 −4 h5→h5−2h1     h → 1 h   h2→−h2↔h1   2 2 2 A =  3 1 7  −−−−−−−−→  3 1 7  −−−−−−−→      0 5 −10   0 5 −10  2 3 0 2 3 0  1 4 −5   1 4 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2  0 1 −2    h5→h5+5h2    0 −11 22  −−−−−−−→  0 0 0       0 5 −10   0 0 0  0 −5 10 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 42 / 43
  144. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 43 / 43