›
›

Thủ thuật Giải toán phương trình vô tỷ

pdf 43 trang Đức Chiến 03/01/2024 660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Thủ thuật Giải toán phương trình vô tỷ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfthu_thuat_giai_toan_phuong_trinh_vo_ty.pdf

Nội dung text: Thủ thuật Giải toán phương trình vô tỷ

  1. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA THỦ THUẬT Giải toán PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG HÀ NỘI, THÁNG 4 NĂM 2016 1
  2. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 1: 4 KỸ NĂNG CƠ BẢN CẦN BIẾT TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO I. Kỹ năng 1: Kỹ năng nâng lũy thừa: Kỹ năng nâng lũy thừa là rất quan trọng trong quá trình giải toán mà trong quá trình giải toán, ta vẫn thường gọi với những tên quen thuộc như “bình phương hai vế”, “lập phương hai vế”. Học sinh cần nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản về nâng lũy thừa như sau: 2 a b a22 b 2ab. 3 a b a3 3a 2 b 3ab 2 b 3 . 2 abc a2 b 2 c 2 2abbcca . 3 abc a3 bc 3 3 3abbcca . 3 abc a3 b 3 c 3 3abcabbcca 3abc . II. Kỹ năng 2: Phân tích nhân tử biểu thức chứa một căn dạng cơ bản: Ví dụ 1: Phân tích nhân tử: x 2 x 3 Đặt x 3 t x t3 3. Khi đó: x 2 x 3 t2 2t 3 t 1 t 3 . Do đó thay ngược t x 3 ta được: x 2 x 3 x 3 1 x 3 3 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x 4 5 x 1 Đáp án: 2 x 1 1 x 1 2 Bài 2: Phân tích nhân tử: 2x 5 7 2x 1 Đáp án: 2x 1 1 2x 1 6 III. Kỹ năng 3: Phân tích nhân tử hai biến không chứa căn: Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: x22 2xy y x y (Tối đa là bậc 2). Thay y 100, biểu thức trở thành: x2 2xy y 2 x y x 2 201x 10100 . Bấm máy phương trình bậc 2 ta được 2 nghiệm: x 100,x 101. 2
  3. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Do đó: x2 201x 10100 x 100 x 101 . Vì 100 y,101 100 1 y 1, vậy: x22 2xyy xy xyxy1 . Ví dụ 3: Phân tích nhân tử: x3 2x 2 y xy 2 y 2 xy 3x 3y. Thay y 100, biểu thức trở thành: x3 2x 2 y xy 2 y 2 xy 3x 3y x 3 200x 2 10103x 10300 Sử dụng SOLVE ta được x 100 y . Ta có hai cách xử lý sau: Cách 1: Sử dụng CALC: 1 Thay x 1000,y ta có: 100 x3 2xy 2 xy 2 y 2 xy 3x 3y 1000013.01 xy 11 100022 1000. 3 x xy y 3 100 100 Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta được kết quả: x3 2x 2 y xy 2 y 2 xy 3x 3y x y x 2 xy y 3 Cách 2: Sơ đồ Hoorne: x 1 200 10103 10300 100 1 100 103 0 x32 200x 10103x 10300 Vậy x2 100x 103 x 100 Hay x3 2x 2 y xy 2 y 2 xy 3x 3y x y x 2 xy y 3 . Chú ý: Phƣơng pháp này rất có ích cho các bài toán về chủ đề tƣơng giao đồ thị hàm số bậc 3. IV. Kỹ năng 4: Kỹ năng tìm max/min của phân số Hƣớng đi 1: Tìm max/min bằng TABLE 1 Ví dụ ta muốn tìm max/min của : x 2 2 Với chức năng TABLE của máy tính Casio ta được: 3
  4. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 11 max 0.5 x 2 2 2 Chú ý rằng: maxA a thì biểu thức a A 0 luôn đúng. Do đó nếu sau khi liên hợp: Xuất hiện A , ta tìm minA. Xuất hiện A , ta tìm maxA . Hƣớng đi 2: Sử dụng đánh giá ƣớc lƣợng: cc Ước lượng theo số: b,c 0 . ab b x 1 x 1 Ước lượng theo bậc cao nhất: x22 2x 5 x x x 2 Chú ý: Lớn hơn hay nhỏ hơn để chắc chắn ta sử dụng TABLE để kiểm tra, điều này giúp khám phá ra những giá trị min/max khá đặc biệt, chẳng hạn như sau: x22 x 2 x x x 1 x22 x 1 x x x 2 x2 x 2 x 1 Kiểm tra trong TABLE với điều kiện có được x2 x 1 x 2 để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức này dương hay âm. 4
  5. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 2: TỔNG QUAN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Các phương pháp chính khi giải toán phương trình: 1. Tƣ duy đặt ẩn phụ: Đặt 1 ẩn phụ: Mục đích đưa về một phương trình, bất phương trình cơ bản hơn. Vậy khi nào đặt được ẩn phụ? Quan sát hệ số, phát hiện sự lặp đi lặp lại: 3 Ví dụ 5: 2 25x2 18x 9 5x 1 4 5 x 3 x 1 22 3 24x 9x1 4x x1 4 54x3x1 x1 Thông thường đến bước này cần phải quyết định thực hiện các phép biến đổi cơ bản đưa về ẩn phụ (Cộng, trừ, nhân, chia). Nếu lựa chọn phép chia thì phải triệt tiêu 1 biến: 2 4x 4x 4 4x 2 9 1 5 3 x 1 x 1x1 x 1 Thường học sinh hay nản nhất ở bước quyết định có ẩn phụ hóa được hay không này, đó là cần biến đổi biểu thức lạc loài về được ẩn phụ cần đặt, và có thể hệ số bất định hóa: 4 16 4x  x1 x 1 x 1 4  0 4 Tới đây ta quy đồng và đồng nhất hệ số: .  16  16 Hay nói cách khác ta biến đổi phương trình về dạng: 2 4x 4x 4x 4x 2 9 1 16 4 5 3 x 1 x 1 x 1 x 1 Đến đây bài toán có thể xử lý được đơn giản hơn rất nhiều. Mời bạn đọc tiếp tục với hai bài toán cơ bản áp dụng sau: 3x2 4x 8 Áp dụng 1: x2 3x 6 x 2 x2 3x 6 x 4 5 2 3 x 2 Áp dụng 2: x3 x 2 x33 2x 4 x x 2 5
  6. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Đặt 2 ẩn phụ trở lên: Mục đích để nhóm nhân tử hoặc sử dụng hàm đặc trưng. Bản chất của hàm đặc trưng cũng chính là phép đặt ẩn phụ, do đó nếu ta tư duy liệu có hàm đặc trƣng đƣợc hay không, ta nên chuyển tư duy thành có thể dồn về hai ẩn phụ được hay không? 2x3 3x 2 23x 11 3x 2 4x 5 Ví dụ 6: x 1 0 x22 2x 2 x 4x 5 Trước tiên học sinh cần biết rút gọn phương trình về dạng: x 1 x2 2x 2 x 2 x 2 4x 5 2x 3 3x 2 23x 11 0 Tới đây, ta tư duy xếp hai căn sang hai phía và quan sát dễ dàng thấy hai ẩn phụ: 22 x1 x1 12x32 3x 23x11 2x 2x 1 Tuy nhiên như tôi đã nói ở trên, khó khăn nhất luôn là xử lý nhóm biểu thức còn lại, và theo kinh nghiệm của tôi, đó là sử dụng phương pháp hệ số bất định và đồng nhất hệ số: 2x32 3x 23x 11 3 3 2 2 x1 2x  x1 2x  x12x Để tìm các hệ số, ngoài việc phá vỡ biểu thức và nhóm theo từng bậc của biến x, ta có thể thay 4 giá trị bất kỳ của x vào để tìm: x 1 27 9  3 39 1 x 0 7 3   11  1 x 3 65 15  5  85  1 x 4 133 21  7  161 Tại sao 3 ẩn mà cần 4 phương trình? Vì cần có một phương trình để kiểm tra đó! Không phải lúc nào cũng đúng đâu nhé, nên phải hết sức cẩn thận ! 2 3 2 Vậy ta viết lại thành: x1x1 1x1 x1 x1 2 3 2 2x2x 12x 2x 2x Áp dụng 3: x1 x22 2x5 4xx 12x1 . (Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Thơ 2016 Lần 1) 6
  7. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2. Tƣ duy tạo hằng đẳng thức: Đây là một phép biến đổi tay táo bạo nhưng lại giúp ích rất nhiều. 2 Nếu xuất hiện: ab Tạo ra ab . 3 Nếu xuất hiện: ab a b Tạo ra ab . 2 Ví dụ 7: xx12x1x222 1 3 x1 2 Phương trình x22 2x12x1x2x2 13 x 1 2 2 x 1 x 2 1 3 x2 1 x1x21x1 3322 x1x1 x210 33x 1 3 x2 2x 1 x 1 x 2 1 0 3 x x 3 x 1 x3 0 2 2 33x22 2x1 x 2x1x1 33 x1 x 2 1 x3 Ví dụ 8: 3xx7x33 x7 7x32 12x 5x6 x3 x73xx7x33 x7 8x 3 12x 2 6x1 3 3 x 33 x7 2x1 x x72x1 3 x 7 x 1 3 x 1 x 7 x3 3x 2 2x 6 0 x 1 x 2 4x 6 0 x 1. 3 4 8x 9x2 Ví dụ 9: 2 2 x 1 1 x 3x 2 2x 1 Điều kiện xác định: x 1. Bất phương trình đã cho tương đương với: 2x 3 2 x 1 1 9x2 4 2x 1 x 3x 2 2x 1 7
  8. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2x 3 2 x 1 1 3x 2 2x 1 x Do x 1. Do đó BPT 2x 3 2x11 3x2 2x2x1 22 2x1 x1 x 2x1 2x1x10 22 Vì: x 1 x 1 0; x 2x 1 0;2 x  1 x 1 0 , x 1 22 2x1 x1 x 2x1 2x1x10 x 1 x 1 Vậy để BPT xảy ra thì VT 0 x 2x 1 x 1. x 1 0 3. Tƣ duy đi tìm nhân tử: A. Tìm nhân tử nghiệm đơn hữu tỷ cơ bản: Liên hợp căn bậc 2 Liên hợp căn bậc 3 Liên hợp căn bậc 3 ab22 ab33 ab33 ab ab ab ab a22 ab b a22 ab b 1 1 1 2 Chú ý: aabb2 2 a 2 b 2 ab 0,a,b  . 2 2 2 Giả sử phương trình f x 0 có nghiệm x3 và trong phương trình có chứa căn thức x6 , khi đó với x 3 x 6 3. x 6 9 x 3 Vậy nếu sử dụng liên hợp: x 6 3 khi đó x 6 3 x 6 3 sẽ xuất hiện nhân tử x3 và có thể rút ra làm nhân tử chung. Tuy nhiên, vì x3 nên ta cũng có thể đánh giá x 6 3 x . x2 x 6 x 3 x 2 Vậy nếu sử dụng liên hợp: x x 6 ta x x 6 x x 6 cũng rút được nhân tử x3 . Nhƣ vậy bản chất của phƣơng pháp nhân liên hợp là rút ra nhân tử chung để chỉ ra nghiệm của phƣơng trình. Khi hai đại lƣợng a và b có 8
  9. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG giá trị bằng nhau, ta có thể sử dụng nhân liên hợp giữa hai đại lƣợng này. Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 1: Nếu trong phương trình hay bất phương trình có chứa a đồng thời có đánh giá ab thì sử dụng liên hợp: a a b a b a . Ví dụ: x 1 2 khi đó ta sử dụng liên hợp: x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 . Nếu trong phương trình hay bất phương trình có chứa 3 a đồng thời 3 ab thì sử dụng liên hợp: 3a b 3 a b 3 a a b2 3 a . Ví dụ: 3 x 5 2 khi đó ta sử dụng liên hợp: 3x52 3 x52x5x54x5 3 3 . Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 2: Giả sử bài toán chứa x3 và phương trình có nghiệm x1 . Khi đó ta đánh giá như sau: x3 2 x12x x22 12x Do đó ta có thể sử dụng các phương án liên hợp sau: x2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 4x2 x 3 x 1 4x 3 2x x 3 2x x 3 2x x 3 32 x42 2x x 2 x 1 x x 3x 2 x2 1 x 3 x22 1 x 3 x 1 x 3 32 4x4 x 3 x 1 4x 4x 4x 3 2x2 x 3 2x22 x 3 2x x 3 9
  10. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Việc lựa chọn liên hợp nào là một nghệ thuật và người sử dụng liên hợp trong quá trình làm bài cần phải là một nghệ sĩ, phải biết phối hợp giữa các điều kiện bài toán đưa ra ban đầu để từ đó quyết định đâu là liên hợp cần tìm. Ví dụ 10: 3 x 2 3x 4 3 2x 1 x 3 3 x 2 3x 4 3 2x 1 x 3 2x 1 3 2x 1 3x 4 4 x 3 x 3 0 2 2x 1 3 x 3 x 4 0 3 x 4 2x13 3x44 x31 B. Tƣ duy tìm nhân tử nghiệm vô tỷ: Ví dụ 11: x32 x x 5 x 4 x 2 0 Phân tích Sử dụng TABLE và SOLVE tìm được: x 3.302775638 . Thay vào căn thức tìm nhân tử: x 2 2.302775638 x 1. Hƣớng dẫn cách sử dụng TABLE và SOLVE Bƣớc 1: Truy cập Mode 7 (Table): f x x32 x x 5 x 4 x 2 Lựa chọn Start = 2 , End = 7, Step = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị: Từ bảng giá trị ta nhận thấy hàm số có sự đổi dấu trong 3; 3.5 . Như vậy phương trình có thể có nghiệm trong khoảng này. Vì vậy ta sẽ sử dụng SOLVE với giá trị khởi đầu x 3.2 3;3.5 để tìm ra nghiệm này. 10
  11. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Bƣớc 3: Quay trở lại Mode 1, ta gõ phương trình: x32 x x 5 x 4 x 2 0 Bƣớc 4: Bấm Shift Calc (Solve) với giá trị x 3.3 , ta thu được nghiệm: x 3.302775638 Bƣớc 5: Thay vào căn thức ta có: x 2 2.302775638 x 1 Vậy phương trình có nhân tử là: x 1 x 2 Bài giải Cách 1: Sử dụng liên hợp cơ bản: Ta có: x32 x x 5 x 4 x 2 0 x32 2x 4x1 x4x1 x2 0 x2 3x 1 x 1 x2 3x 1 x 4 0 x 1 x 2 2 1 x 3x 1 x 1 x 4 0 x 1 x 2 Quy đồng ta được: x22 3x1x x3 x1x2 0 1 x22 3x12x 2x62x1 x2 0 2 2 1 2 1 11 x2 3x 1 x 1 x 2 x 0 . 2 2 4 Cách 2: Sử dụng liên ngƣợc: Ta có: x1x 2 3x1 x4x1 x2 0 11
  12. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Liên hợp ngƣợc: Xét biểu thức liên hợp: 2 x1 x2x1 x2 x1 x2x3x1 2 Do đó ta có thể viết lại: x2 3x1 x1 x2x1 x2 . Do đó: x1x1 x2x1 x2 x4x1 x2 0 x1 x2x1x1 x2x40 x1 x2xx3x1x2 2 0 2 1 2 1 11 x 1 x 2 x 1 x 2 x 0 2 2 4 ƢU ĐIỂM VÀ NHƢỢC ĐIỂM CỦA LIÊN HỢP CƠ BẢN VÀ LIÊN HỢP NGƢỢC Liên hợp cơ bản Liên hợp ngƣợc Ƣu điểm Có lợi thế khi gặp bài toán Lợi thế khi gặp bài toán từ 2 căn thức trở lên. bất phương trình. Nhƣợc Bất lợi khi giải bất phương Bất lợi khi gặp bài toán điểm trình vì phải xử lý điều có nhiều căn thức. kiện mẫu số. Cần thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình. C. Tƣ duy nhân tử nghiệm bội hữu tỷ: Ví dụ 12: x2 x 1 2x 1 0 Phƣơng pháp nhận diện bằng SOLVE và d/dx: Bƣớc 1: Bấm phương trình trên máy tính Casio và sử dụng SHIFT CALC (SOLVE) ta thu được x1 . Bƣớc 2: Kiểm tra điều kiện nghiệm bội bằng cách xét: d x2 x 1 2x 1 0 dx x1 Vậy x1 là nghiệm bội kép 12
  13. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Phân biệt nghiệm đơn và bội qua d/dx: d xa là nghiệm bội của f x 0 nếu f x 0 . dx xa d xa là nghiệm đơn của f x 0 nếu f x 0 . dx xa Phƣơng pháp nhận diện bằng TABLE: Bƣớc 1: f x x2 x 1 2x 1 . Lựa chọn các giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5. Bƣớc 2: Nhận xét: Hàm số tiếp xúc trục hoành tại điểm duy nhất x 1. Như vậy x 1 là nghiệm bội kép. Phân biệt nghiệm đơn và nghiệm bội kép thông qua TABLE Hàm số đổi dấu khi đi qua trục hoành là nghiệm đơn. Hàm số không đổi dấu khi đi qua trục hoành là nghiệm kép. Phân biệt các loại nghiệm bằng sự kết hợpSOLVE, d/dx và TABLE: Đơn Là nghiệm đơn f x 0 . Không là nghiệm f' x 0 . Kép Nghiệm kép f x 0. Không là nghiệm kép f " x 0 . Bội 3 Là nghiệm đơn f x 0 . Là nghiệm kép f' x 0 . Bội 4 Là nghiệm kép f x 0 . Là nghiệm kép f " x 0 . Chú ý: Các bài toán nghiệm bội phần lớn là nghiệm kép. Giải bài toán nghiệm bội hữu tỷ nhƣ thế nào? Cách 1: Nhân liên hợp: Tổng quát: Nếu xx 0 là nghiệm bội kép hữu tỷ và phương trình có chứa căn thức n A , khi đó ta đặt: ax bn A 13
  14. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG ax bn A x 00 Ta tìm các hệ số a,b bằng cách giải hệ sau: d aA n dx xx0 Chú ý: Nếu là nghiệm bội 3, ta đặt ax2 bx c n A . 2 n ax bx c A x0 xx 0 d Giải hệ: ax2 bx c ' n A x x00dx x x 2 d ax bx c " n A x ' x x00dx x x d Trong đó n A x ' là để tính đạo hàm cấp 2. dx xx 0 Nếu có 2 nghiệm bội kép, ta có thể rút từng nghiệm kép ra lần lượt bằng nhân liên hợp (Liên hợp 2 lần liên tiếp) hoặc ta làm giống như nghiệm bội 3: Đặt . 2 n ax bx c A x1 xx 1 d ax2 bx c ' n A x x11dx x x Giải hệ: 2 n ax bx c A x2 xx 2 d ax2 bx c ' n A x x22dx x x Bài giải Trong bài toán này, ta có x1 là nghiệm bội kép, đặt: ax b 2x 1 . Khi đó ta sẽ tìm các hệ số a,b bằng cách giải hệ sau: 14
  15. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG ax b 2x 1 x1 a b 1 a 1 d a 1 b 0 a 2x 1 dx x1 Vậy với a 1,b 0 ta có x 2x 1 nên liên hợp cần tạo ra là : x 2x 1 . Ta có: x22 x1 2x10 x 2x1 x 2x1 0 2 x 2x 12 2 1 x 2x 1 0 x 1 1 0 . x 2x 1 x 2x 1 Cách 2: Tạo hằng đẳng thức (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép): Ta có: x22 x1 2x10 2x 2x222x10 2x122x11 2x 2 2x1 0 2 2 2x 1 1 2 x 1 0 Cách 3: Sử dụng đánh giá AM – GM (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép). ab22 AM – GM cho 2 số: ab  a,b . Do đó sử dụng bất 2 đẳng thức này với những biểu thức chứa căn bậc 2 và lựa chọn 2 đại lượng a,b có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy ra khi ab . a3 b 3 c 3 AM – GM cho 3 số: abc  a,b,c 0 . Do đó sử 3 dụng với những biểu thức chứa căn bậc 3 và lựa chọn 3 đại lượng a,b,c không âm có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy ra khi a b c . Tương tự như vậy ta có thể đánh giá bất đẳng thức AM – GM cho các căn bậc cao hơn. Áp dụng: Vì x 1 2x 1 1. Vậy a 2x 1,b 1 (AM – GM cho 2 số). 15
  16. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2x 1 1 Ta có: 2x 1.1 2x 1 x . 2 2 Mà x2 x 1 2x 1 . Do đó: x2 x 1 x x 1 0 x 1. Cách 4: Đặt ẩn phụ và phân tích nhân tử (Phƣơng pháp này hoàn toàn độc lập và không bị lệ thuộc vào máy tính): t12 Đặt 2x 1 t 0 x . Khi đó phương trình trở thành: 2 2 t22 1 t 1 1 1 t 0 t42 t t 1 0 2 2 4 1 2 1 2 t 1 t2 2t 3 0 t 1 t2 2t 3 0 4 4 1 2 2x 1 1 x 1 2x 1 0 . 2 Cách 5: Liên hợp ngƣợc: Ta có: x22 x1 2x10 x 2x1 x 2x1 0 x 2x1 x 2x1x 2x1 0 x 2x 1 x 1 2x 1 0 D. Tƣ duy nghiệm bội vô tỷ: Ví dụ 13: x2 5x x3x1 x1 5x Phƣơng pháp nhận diện bằng TABLE: Bƣớc 1: Xét hàm số: fx x2 5xx3x1 x1 5x Lựa chọn các giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị của TABLE: Ta thấy: Phương trình có vẻ như không có nghiệm bởi tất cả các giá trị đều mang dấu dương. Tuy nhiên, điều này có thể được lý giải như sau: 16
  17. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Với lựa chọn Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ chỉ hiển thị được các giá trị hoành độ hữu tỷ, còn các giá trị hoành độ vô tỷ không hiển thị được. Nghiệm vô tỷ thì khi nhìn vào TABLE ta phải thấy hàm số có sự đổi dấu từ âm sang dương nhưng điều này không hề xuất hiện bởi nghiệm kép vô tỷ này sẽ khiến hàm số không thể đổi dấu khi đi qua trục hoành. Như vậy đây là dấu hiệu của Nghiệm kép vô tỷ, tuy nhiên, điều đó sẽ chỉ được khẳng định hoàn toàn nếu ta tìm được nghiệm của phương trình, mà điều này không quá khó khăn, ta có thể quay trở lại Mode 1 và dùng SOLVE. Bƣớc 3: Quay trở lại Mode 1 và sử dụng SOLVE, ta tìm được: x 2.618033812 Giải bài toán nghiệm bội hữu vô tỷ nhƣ thế nào? Bƣớc 4: Thay vào căn thức ta được: 3x 1 2.618033887 x 5x 3.618033866 x 1 x 3x 1 Vậy ta có đánh giá . x 1 5x Cách 1: Tạo hằng đẳng thức: 17
  18. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG x2 5x x3x1 x1 5x x2 5xx3x1 x1 5x 0 2x2 10x 2x 3x 1 2 x 1 5x 0 22 x 3x 1 x 1 5x 0 Cách 2: Sử dụng đánh giá AM – GM: x2 3x 1 x 3x 1 2 2 Ta có: 2 x3x1 x1 5x x 5x . x 1 5x x 1 5x 2 x 3x 1 35 Do đó x2 5x x3x1 x1 5x x . x 1 5x 2 Cách 3: Ép tích bằng ẩn phụ: t2 Đặt 5x t 0 x . Khi đó phương trình trở thành: 5 t4 t 2 3t 2 t 2 t2 1 1 t t4 5t 3 25t 2 25t t 2 15t 2 25 0 25 5 5 5 t2 5t t 2 5t 5 t 2 5t 5 15t 2 25 0 t2 5t 10t 2 50t 50 10t 2 5t 5 15t 2 25 0 5t 5 15t2 25 t 2 5t 5t 5 15t 2 25 10t 2 0 5t 5 15t2 25 5t 3 20t 2 25t t 2 5t 15t 2 25 0 5t 5 15t2 25 t 10t 2 50t 50 t 2 5t 5t 5 15t 2 25 0 2 5t 5 15t2 25 t 5t 5 15t 2 25 t 2 5t 0 2 5t 5 15t2 25 4t 2 t15t 2 25 0 . Thay ngược t 5x : 2 5 5x 5 75x 25 20x 5x 75x 25 0 2 5x 1 3x 1 4x 5x 3x 1 0 . 18
  19. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 4. Tƣ duy giải toán bằng ẩn phụ không hoàn toàn: Đây là một dạng phương pháp giải quyết các phương trình có dạng ABC bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm đến nghiệm của phương trình. Các bươc làm như sau: Bƣớc 1: Đặt tB điều kiện t0 . Xét phương trình tổng quát có dạng t2 At C B 0 . Bƣớc 2: Gán cho x 100 khi đó ta được phương trình bậc hai với ẩn là t và tham số là . Bƣớc 3 : Tính và tìm sao cho f là số hữu tỷ và 0 . Khi tìm f chúng ta sử dụng TABLE với Start = 9; End = 9; Step = 1 tìm giá trị 0 thỏa mãn điều kiện trên. Ta tìm được và tính được . Ví dụ 14: x2 1 x 3 x 1 2x 2 2x 3 Đặt x3 x 1 t với t 0 t23 x x 1 khi đó theo phương trình tổng quát ta đi tìm vậy phương trình đã cho có dạng như sau : t2 x 2 1 t 2 x 2 2 x 3 x 3 x 1 0 ( 2) . Gán giá trị cho x 10 khi đó phương trình ( 2) tt2 101 223 1009 0 . Tới đây ta tiến hành giải với tham số và với ẩn là t . 2 2 101 4 223 1009 101 4 223 1009 . 2 Xét hàm số f 101 4 223 1009 . Sử dụng chức năng TABLE để tìm 0 và nguyên sao cho f có giá trị hữu tỷ: Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: X F(X) 2 FXXX( ) 101 4 223 1009 9 587.4904< 8 525.0152< Với các giá trị: 7 462.8271< START = 9. 19
  20. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG END = 9. 6 401.0598< STEP = 1. 5 339.9426< Khi đó ta tìm giá trị X sao cho F(X) 4 279.9017< nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X 3 221.8129< là giá trị khác 0. 2 167.7170< Dựa vào bảng giá trị TABLE như 1 123 trên, ta nhận thấy với X = 1 thì: 0 101 2 F(X) 123 100 20 3 xx 2 3 1 115.5205< Vậy nếu lựa chọn 1 thì: 2 156.7194< 2 xx 23 3 209.4015< Do đó, nếu ta lựa chọn: 4 266.8501< 1 2 5 326.5593< 123 xx 2 3 f 123 6 387.4854< Vậy với cách đặt ẩn phụ là t và 7 449.1336< 1ta được phương trình có : 8 511.2426< 9 573.6627< 2 123 100 20 3x22 2 x 3 x 2 x 3 . Vậy khi đó phương trình đã cho có dạng như sau: t2 x 2 1 t 2 x 2 2 x 3 x 3 x 1 0 . t2 x 2 1 t x 3 2 x 2 3 x 2 0 . 22 x2 1 4 x 3 2 x 2 3 x 2 x 2 2 x 3 x 2 2 x 3 . Khi đó, bằng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, ta thu được 22 2 x 1 x 2 x 3 xx 2 t hai nghiệm sau : 22 x22 1 x 2 x 3 tx 1 2 Đến đây phương trình sẽ được viết dưới dạng nhân tử như sau : xx2 2 t t x1 0 2 t x2 x 2 t x 1 0 2 x2 x2 2 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 0 20
  21. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 5. Tƣ duy giải toán bằng phƣơng pháp đánh giá : 2 4 Ví dụ 15: xx12 x x lnx 2 1 lnx3 3x3 x2 2 4 Ta có: xx12 x x lnx 2 1 lnx3 3x3 x2 2 x x 2 x 1 3x 3 2x x ln x 2 1 2 2 ln x 3 0 x 1 x 1 2 x2 2lnx12lnx30x x 2 2 x x 2 x 1 3 x 1 1 2 2x2x1x 2lnx12lnx3 x 2 x 2 x x 2 x 1 3 Ta nhận xét hàm số: f x 2x ln x 1 là hàm số đồng biến khi x0 . Do đó: Ta đánh giá: Nếu x 2 x 1 0 x2 thì : x 1 1 22 2x2x1x 2lnx12lnx1 x 2 x 2 x x 2 x 1 3 2 2lnx3x 2 2lnx x 2 1 x2x 2 1x2 (Loại). Nếu x 2 x 1 0 x 2 thì : x 1 1 22 2x2x1x 2lnx12lnx1 x 2 x 2 x x 2 x 1 3 2 2x 2 lnx3 2lnx x 2 1 x2x 2 x2 (Loại). Mặt khác x 2 x 1 0 x 2  x 1 thử lại ta thấy đều thỏa mãn là nghiệm của phương trình. 22 Áp dụng: x 15 3x2 x 8lnx x x 3 Áp dụng: log2 2 x 3 2 x 2x 2 2 x 3 9 x32 10x 2x 8 x e x 3 Áp dụng: ln ln 4x2 4 x 7 x 2 x12 21
  22. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 3: TỔNG HỢP CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN XỬ LÝ “HẬU QUẢ CỦA LIÊN HỢP VÀ NHÓM NHÂN TỬ” 1. Kỹ năng 1: Thế rút từ phƣơng trình ban đầu: Nguyên tắc: Sau khi liên hợp xong, ta thực hiện phép thế từ phương trình ban đầu vào: Ví dụ 16: 2 x22 x 2 2x 4x x 2 2x2 8x 8 2 x22 x 2 2x 4x x 2 x2 2 x22 x 2 2x 4x 2x 4 x 2 1 0 2 x22 x 2 2x 4x x 2 2x 4 2 x22 x 2 2x 4x 0 Thay ngược 2 x22 x 2 x 2 2x 4x ta có: x22x4 x2 2x22 4x 2x 4x 0 x 2 x 2 2 2x2 4x 0 (Đơn giản rồi nhé!) Ví dụ 17: x x2 3 2x 2 7 2x 2 4 Ta có: 2x2 7 x 2 3 2x 2 4 x 0 x22 4 x 4 0 2x2 7 x 2 3 2x 2 4 x 2 11 x 4 0 2x2 7 x 2 3 2x 2 4 x 2 2 2 2 2x 4 x 2x 7 x 3 x 4 0 2x2 7 x 2 3 2x 2 4 x x2 4 2x 2 4 x 2x 2 7 x 2 3 0 Thay ngược x2 3 2x 2 7 2x 2 4 x ta có: 22
  23. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG x2 4 2x 2 4 x 2x 2 7 2x 2 7 2x 2 4 x 0 x2 4 2 2x 2 4 2 2x 2 7 0 (Xong rồi nhé!). Áp dụng 4: x x23 3x 3 3 2x 6 . Áp dụng 5: x2 9x 1 x 11 3x 2x 3 . 2. Kỹ năng 2: Bình phƣơng phƣơng trình hệ quả: Ví dụ 18: 2x2 18 x1 164x 5x3 5 x 3 2x2 18 2x2 18 x1 164x 5x3 5 x 3 x 1 16 4x x3 2 2x 18 x 1 16 4x Trƣờng hợp 1: x3 (Thỏa mãn điều kiện xác định). Thay vào phương trình ta thấy đây là một nghiệm thỏa mãn. Trƣờng hợp 2: 2x2 18 x 1 16 4x . Bình phương hai vế ta được: 2x2 3x14 x14x 4 x 2 3x4 2x 2 3x1 2 22 22 16 x 3x4 2x 3x1 2x x32x 7x21 0 2 2 2x 3x 1 0 2x 3x 1 0 3 x 1  x . Thử lại ta thấy các nghiệm này không thỏa mãn 2 phương trình ban đầu. 3. Kỹ năng 3: Đánh giá không âm: Đánh giá không âm là tạo một lượng vừa đủ không âm, phần còn lại đánh giá theo chiều dương, thông thường đại lượng không âm có thể hiểu là một hằng đẳng thức hoặc sử dụng kết hợp điều kiện: Ví dụ 19: x3 2x 2 x 2 2x 5 2 4x 5 5x 4 Phương trình x3 2x 2 5x4 x 2 2x52 24x53 0 23
  24. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2 x 1 8 x 1 x x 4 0 x2 2x 5 2 4x 5 3 2 1 15 x 1 8 x 1 x 0 2 24x 2x 5 2 4x 5 3 x 1 x 1 x22 2x 5 2 x Dùng đánh giá ước lượng: . 88 4x 5 3 3 Dùng TABLE ta nhận thấy: x 1 x 1 1 0 1 x22 2x 5 2 x 2x 5 2 Ta nhận thấy vừa dùng đánh giá ƣớc lƣợng vừa dùng TABLE sẽ rất hiệu quả. 2 1 1 x 1 8 8 x 1 x 1 0 2 2 12 x 2x 5 2 3 4x 5 3 2 2 1 1 x2x53x 84x5 x 1 x 0 2 2 12 x 2x 5 2 3 4x 5 3 Ta chứng minh: x22 2x 5 3 x 0 x 2x 5 x 3 (Vì ta biết chắc chắn dƣơng rồi nên mới chứng minh đó ) Với x < 3 bất phương trình luôn đúng. 2 x2 2x 5 x 3 4x 4 Ngược lại thì quy đồng: (Đúng). x3 x3 x43 3x Ví dụ 20: x22 1 x 5x 6 x 2 x 3 1 Phương trình x4 3x 3 2x1x2 2 x1x2 2 x22 x2 1 x 2 x 2 x32 3x 2x 2 0 x 2 2 24
  25. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG x3 3x 2 2x2 x2x 3 4x 2 3x2 x 2 0 x 2 2 Ta kết hợp điều kiện xác định với việc tạo hằng đẳng thức ta được: 2 x3 3x 2 2x 2 x 3 2x 2 x 2 2x 2 x 2 x 2 x 1 1 0 2 3 2 3 2 2 2 37 x 4x 3x 2 x 2x 2x 3x 2 x x 2 2 x 0 48 Vậy ta có: x2 . Chú ý: Ta có thể giải bằng truy ngƣợc dấu, hàm đặc trƣng. Mời bạn đọc tự thử sức. Nhƣng đôi khi sử dụng kỹ thuật “Parabol nhỏ”, ta có thể tạo đƣợc những bất ngờ thú vị hơn, mời bạn đọc xem bài ví dụ tiếp theo: Ví dụ 21: x22 x8 3x8x1 x 13x10 Phương trình x1x13 x8x12xx1x 2 2x x8 0 x1x13 x13 x131 x1xx12x130 x13 x12x12xxx11 x13 0 x13 x12x12xxx1x 0 x13x2x12 x10 Tới đây, sử dụng TABLE với hàm số: F x x 2 x 1 Ta nhận thấy hàm số tiếp xúc với đường thẳng y2 . Hay nói cách khác, nhân tử: x 2 x 1 2 Sẽ đem lại hằng đẳng thức! 2 Thật vậy, đặt t x 1 x 2 x 1 2 t3 3t 2 t 1 t 2 . Hay nói cách khác, ta biến đổi phương trình về dạng: 25
  26. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2 x13 x12x11 x10x8 4. Kỹ năng 4: Sử dụng hằng đẳng thức hoặc AM – GM đánh giá: 3 Ví dụ 22: 2 25x2 18x 9 5x 1 4 5 x 3 x 1 3 Ta có: 2 25x2 18x 9 5x 1 4 5 x 3 x 1 2 225x 18x 95x 3 3 5 x 3 x 1 5x 1 4 Trƣờng hợp 1: x3 . Trƣờng hợp 2: 3 2 25x2 18x 9 x 1 5x 1 4 x 1 x 1 5x 1 4 Hướng đi 1: Sử dụng AM – GM để đánh giá vô nghiệm: Ta chứng minh Vế phải < A, khi đó Vế trái < A và chuyển thành bất phương trình Vế trái – A < 0 và chứng tỏ bất phương trình này vô nghiệm. Thông thường để bất phương trình này có thể vô nghiệm, ta cần biến đổi Vế phải < A sao cho bậc của biểu thức A phải nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Vế trái. Nếu bậc bằng nhau thì hệ số bậc cao nhất của A cần phải nhỏ hơn hoặc bằng hệ số bậc cao nhất của Vế trái. Chính vì vậy mà theo bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá sau: 6x 2 x 1 x 1 5x 1 4 x 1 x 1 2 4 x 1 AM GM 2 2 6x 2 Do đó: 225x 18x9 ax1 24x1 AM GM 2 2 25x22 18x 9 x 1 5x 11 45x 20x 7 0 (Vô lý). Vậy: x3 . Hướng đi 2: Sử dụng hằng đẳng thức: 2 25x2 18x 9 x 1 x 1 5x 1 4 26
  27. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 100x22 72x 36 2x1 5x 6x1 2x14x1 0 2 2 x 1 5x22 6x 1 x 1 4 x 1 93x 46x 17 0 2 2 2 2 23 1052 x 1 5x 6x 1 x 1 4 x 1 93 x 0 93 93 Rõ ràng phương trình vô nghiệm. Vậy: x3 . 1 x x2 1 Ví dụ 23: x2 x 1 1 x2 x 2 Điều kiện: 1xx1 2 xx11 2 xx21x0 2 Phương trình 1xx1 2 xx11 2 xx2 2 xx112 xx1xx2xx10 2 2 2 x 2x2 x 2 x 1 0 xx112 xx1xx2xx1 2 2 2 Sử dụng quy tắc ước lượng ta có: xx 1 x22 x 1 1 x 2x22 x 2 2x 1 xx1xx2xx12 2 2 xxxx 2 2 2 Sử dụng TABLE kiểm tra ta thấy: x 10 x2 x 1 1 2x2 x 2 10 x2 x 1 x 2 x 2 x x 2 1 Do đó biến đổi phương trình ta được: x 2x2 x 2 x 1 1 1 0 xx112 xx1xx2xx1 2 2 2 27
  28. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2 2 2 2 x 1 x2 x 1 x x1x x2xx 1 2x x2 x 1 0 2 2 2 2 xx11 xx1xx2xx1 Quá dễ để chứng minh: x 1 x2 x 1 0 Ta chứng minh: x2 x1x 2 x2xx 2 12x 2 x2 Hướng đi 1: Nhóm hằng đẳng thức: 4x2 2x42x 2 x1x 2 x22xx 2 10 22 x2 x 2 x 2 x 1 x 2 1 x 0 (Đúng). Hướng đi 2: Sử dụng AM – GM: x2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 1 x2 x 1 x 2 x 2 x x 2 1 22 x2 x1x 2 x2xx 2 12x 2 x2 Mặt khác, vì đẳng thức không xảy ra. Do đó ta có: x2 x1x 2 x2xx 2 12x 2 x2 Vậy: x1 . 28
  29. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 4: NHỮNG QUY TẮC KHAI THÁC ĐIỀU KIỆN Có rất nhiều các phương pháp dùng để khai thác điều kiện từ một phương trình tưởng chừng như không thể có điều kiện gì: Ví dụ 24: Khai thác điều kiện từ: x2 x 1 x 2 1 x 2 4 2 2 2 2 x2 Ta có: xx1 x1 x412xx20 x1 Mặt khác theo AM – GM ta có: x22 1 1 x 4 1 5 x2 x 1 x 2 1 x 2 4 x 2 2 2 5 Vậy ta thu được: x1 hoặc x2 . 2 Ví dụ 25: Khai thác điều kiện tử: x22 15 3x 2 x 8 Ta có: x22 15 x 8 cho nên: 2 x153x22 x8 2 x8 2 x 3 Mặt khác, làm trội ta có: x2 15 4x 2 32 2 x 2 8 . Do vậy: 3x2 x82x82 2 3x2 x8 2 . 2 Vì x nên bình phương hai vế ta được: 3 3 17 3 17 9x22 12x 4 x 8 x 44 2 3 17 Vậy ta thu được: x (Ép điều kiện rất chặt!). 34 Ví dụ 26: Khai thác điều kiện từ: 2x2 3 x 2 x 1 x 2 2 x 2 4x 6 Vì: 2x22 3 x 2 cho nên: x22 x 1 x 4x 6 x 1. Chú ý: Kể cả không phát hiện đƣợc mối quan hệ lớn hơn lúc đầu, A C,B D ta cũng có thể xử lý nhƣ sau: ABCD . A C,B D Ví dụ 27: Khai thác điều kiện từ: x32 x x 5 x 4 x 2 0 29
  30. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG x 4 x 2 x32 x x 5 x32 x x 5 0 Ta có: x2 x2 Vì bất phương trình x32 x x 5 0 chỉ có nghiệm lẻ của phương trình bậc 3, tuy nhiên trong chương trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng phương pháp Cardano để xử lý phương trình bậc ba này. Vậy làm thế nào để hóa giải được bất phương trình trên? Chú ý rằng bất phương trình x32 x x 5 0 có nghiệm lẻ như sau: x 2.34025083 Do đó chúng ta có thể khẳng định chắc chắn tại đây ta sẽ có x2 . Vậy làm sao để chỉ ra được x2 ? Ta sử dụng xét f X X32 X X . Bấm CALC 2 ta được kết quả là 2. Như vậy phương trình x32 x x 2 0 có thể ra được nghiệm là 2. Thật vậy, ta có: x3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 5 0 . x 2 x2 x 1 0 x 2 . Do đó bằng cách đánh giá này ta đã có được điều kiện quan trọng cần tìm. Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức AM – GM, ta có: x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 x 4 x32 x x 5 x 4 2 2 2x32 3x 9x 22 0 2x32 3x 9x 44 0 x 4 2x2 5x 11 0 x 4. Vậy: 2 x 4 ! 30
  31. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 5: BỔ ĐỀ CỦA HÀM SỐ LOGARIT TRONG CHỨNG MINH VÔ NGHIỆM Bổ đề: Chứng minh rằng với mọi x1 thì lnx x 1. Chứng minh: Xét hàm số: f x lnx x 1 với . 1 1 x Ta có: f' x 1 0 với . Vậy fx là hàm số nghịch xx biến và liên tục khi . Do vậy: f x f 1 0. Hay nói cách khác, với mọi thì . TQ: loga x x 1,  x 1,a e (Dành cho bạn đọc tự chứng minh). Bổ đề thứ hai: ex x 1,  x 0 (Dành cho bạn đọc tự chứng minh). Ví dụ 28: x3 1 x1x 2 x2 x1lnx 2 1 Ta dễ dàng nhóm được nhân tử: x2 x1 x 2 x2lnx1x1 2 0 . Xét: x2 x1 x 2 x2lnx1 2 x 2 (Áp dụng bổ đề) x1 x1 2 x x 2 x 1 22 (Vô nghiệm). x x 2 x 2x 1 x1 Vậy: x1 . Ví dụ 29: x x 1 4 x 3 x 4 x 1 2 ln x Ta có: x x 1 4 x 3 x 4 x 1 2 ln x x x 1 2 x 4 3 x 4 x 1 2 lnx x lnx x 4 x 5 0 x 1 2 x 4 3 Ta có: x lnx 1 lnx (Theo bổ đề), do đó: x5 . BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. Giải phương trình sau: x2 x 1 xlnx 1 2. Giải phương trình sau: x2 x1 x1 x2lnx1 31
  32. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 6: KỸ NĂNG ÉP TÍCH 1. Phƣơng pháp ép tích cổ điển: Ví dụ 30: x3 4 x 2 x 3 x 2 2 x x 1 Phân tích: Sử dụng máy tính ta được hai nghiệm đơn: xx 0, 3 khi đó t x 1 1, t x 1 2 . Giải: Đặt tx 1 khi đó phương trình trở thành: 3 2 2 2 2 2 2 2 t 1 4 t 1 t 1 3 t 1 2 t 1 t 0 Không cần phải phá ra cho khổ, phá ra còn dễ sai hơn. Chia đa thức vế trái cho tt 12 ta được: Phương trình t 1 t 2 t42 t t 1 0 . Thay ngược tx 1 ta được: 42 x 1 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 1 0 Rút gọn x 1 1 x 1 2 x2 x 1 x 1 0 Ví dụ 31: x4 6 x 3 3 x 2 13123 x x 3 3 x 2 66 x x 3 Phân tích: Có nghiệm kép x 2 t x 3 1 và một nghiệm vô tỷ x 2.302775638. Thay vào căn ta được xx 3 2.302775638 . Do đó nếu đặt tx 3 ta được t22 3 t t t 3 0 . Vậy phương trình có nghiệm kép t 1 và có nhân tử tt2 3 . Giải: Đặt , phương trình trở thành: 4 3 2 t2 3 6 t 2 3 3 t 2 3 13 t 2 3 12 32 2 2 2 3t 3 3 t 3 6 t 3 6 t 0 2 Chia vế trái cho t 13 t2 t ta có phương trình trở thành: 2 t 1 t2 t 3 t 4 6 t 2 t 9 0 . Thay ngược phương trình trở thành: 32
  33. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2 2 4 2 x31 x 3 x 33 x 363 x x 390 2 x 3 1 x x 3 x2 x 3 0 . BÀI TẬP ÁP DỤNG TỰ LUYỆN Bài 1: x22 10 x 21 x 2 5 x 21 x 28. Đáp án: x 2 2 x 2 1 x 2 3 x 3 x 2 0 Bài 2: x3 2 x 2 2 x 3 x 2 2 x 3 2 x 2 4 x 4 . Đáp án: x 1 x 2 x 2 1 x2 x 2 0 Bài 3: x22 8 x 2 x 1 7 x 8 x . 22 Đáp án: 2x 1 3 2 x 1 1 1 2 x 1 0 2. Ép tích hiện đại: Ví dụ 32: 26x x 2 x 5 x 34 x2 56480 x x Phân tích: Đặt tx 2 . Sử dụng máy tính Casio ta thu được hai nghiệm đơn xx 1, 1 khi đó ta có hai nghiệm đơn t 3 và t 1. Giải: Đặt . Phương trình trở thành: 226 t2 t t 2 3 t 2 14 t t 2 14280 t 2 Rút gọn 2t3 4 t 2 2 t t 2 4 t 3 t 2 1 0 . Vì có nghiệm t 1 khi đó t2 12 xấu xí quá, do đó các biểu thức còn lại chứa nhân tử 2 t 1 . Thật vậy, phương trình 2t t 1 t 1 t 3 t2 1 0 t 1 2 t22 2 t t 3 t 1 0. Bấm máy tính phần trong ngoặc có nghiệm tt 3 2 1 2 t2 12 là nhân tử cần tìm. Do vậy phương trình: 22 t 1 2 t 3 t 3 t 1 2 0 Nhớ rằng: t2 1 2 t 2 1 2 t 2 3 . Do đó: 2 2 2 t1 2 t 1 2 t 1 2 t 3 t 1 2 0 33
  34. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG t 1 t22 1 2 2 t 1 t 1 0 . Thay ngược tx 2 ta có: 22 x21 x 2122 x 21 x 210 x 2 1 x 3 2 x 2 2 x 3 1 0 Phân tích sâu hơn: Thật ra kỹ năng ép tích mà sài bằng tay thì sẽ hiệu quả nhất. xx 1 3 2 0 x 32 Nhớ rằng với các nghiệm: là các xx 1 2 1 0 x 21 nhân tử cần nhóm. Tuy nhiên phải hết sức khéo léo mới nhóm được. Ta có: 26x x 2 x 5 x 34 x2 56480 x x 4342x x x 326 x x 2 x 1 x 3480 x 431x x 226 x x 21 x 1 x 3220 x x2 1 2 x 6 4 x 3 x 1 x 3 2 0 x2 1 2 x 3 x 3 2 x 1 x 3 2 0 x2123 x x 32 x 21 x 21 x 320 x 2 1 x 3 2 2 x 3 x 2 1 0 Ví dụ 33: x 3 x23 x 1 x 1 x 1 x 3 0 Bài toán có 1 nghiệm đơn duy nhất: x 2 . Đặt tx 1 , ta có: 22 t2 2 t 2 1 t 2 1 1 t t 2 1 t 2 1 1 t t 2 1 3 0 t2 t 2 t 4 3 t 2 3 t 2 t 2 t 1 t 2 t42 3 t 3 1 0 . Dễ quá đi mất, đặt ngược ta có: x 1 1 x2 x 1 1 x 1 2 0 . Ép tích bằng tay: x 3 x23 x 1 x 1 x 1 x 3 0 x2 x2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 3 0 x2 x22 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 1 x 2 0 34
  35. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG x2 x22 x 1 1 x 1 1 x x 1 1 0 x 11 x 11 x22 x 11 x 11 x x 110 x 1 1 x2 x 1 1 x 1 2 0 Ví dụ 34: x22 22 5 x 1 x 1 x 1 x 2 x 3 0 541 Sử dụng máy tính có nghiệm duy nhất x . Đặt tx 1 . Khi đó 100 ta có: t4 5 t 3 2 t 2 21 t 3 2 t t 2 4 0 . 541 21 Chú ý rằng với x t2.1 t2 4 2.9 5 2.1 5 t 100 10 Vậy có chứa nhân tử: 54 tt 2 . Khi đó ta tách: t45 t 3 2 t 2 21 t 3 2 t 5 t t 3 2 t 5 t t 2 4 0 5t t2 4 5 t t 2 4 t 3 2 t 5 t t 2 4 0 5 t t2 4 5 t t 2 4 t 3 2 t 0 Thay ngược ta được kết quả: x 1 x 3 5 x x 1 x 3 5 0 . Ép tích bằng tay: Vì x 1 2.1, x 3 2.9 x 1 x 3 5. Do đó có nhân tử: xx 1 3 5 . Đến bây giờ thì rõ như ban ngày: 2151 x x 1 x 1 x 13 x x 110 x 21 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 0 2151 x x 151 x x 1 x 1 x 1 x 3 x 150 2110x 1 x 1 x 1 x 3 x 150 . Ép đến đây bị thiếu x 3 để ép tiếp nên tách bớt xx 11 ra: 35
  36. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2151x x 311 x x x x 1 x 3 x 150 . Cái phần 51x đè thêm x 3 vào đó và ép ra nhân tử: 5 x 1 x 3 5 x 3 x 3 x 1 5x 3 x x 1 x 3 x 1 5 0 Chịu khó thì bao giờ trời cũng thương mềnh! Đến đây xử nốt thôi< 5 x 1 x 3 5 x 3 x 3 x 1 5 x x 1 x 3 x 1 5 0 x 1 x 3 5 x x 1 x 3 5 0 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải phương trình: 5x 6 5 x 1 x2 1 0 Đặt tx 1 , phương trình trở thành: 5t22 1 5 t t t 2 0 3t 1 t22 2 t 8 t 6 t 1 0 3t 1 t2 1 t 3 t 1 t 2 1 3 t 1 t 2 1 0 3t 1 t22 1 2 t 1 t 1 0 3x 1 x 1 1 x 1 2 x 1 1 0 Bài 2: Giải phương trình: 4x 3 2 1 x2 4 1 x 0 Đặt tx 1 , phương trình trở thành: 4t22 4 t 1 2 t 2 t 0 2t t 1 2 t22 2 t 2 t 1 0 2t t 1 2 t2 t 1 2 t 2 t 1 2 t 2 0 3t 1 2 t22 t 1 2 t 0 3 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 0 Bài 3: Giải phương trình: 5x 1561 x 121 x 151 x2 0 Đặt , phương trình trở thành: 5t22 20 6 t 15 t 12 2 t 0 10t22 40 12 t 15 t 12 2 2 t 0 36
  37. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 15t 12 t 2 2 t22 25 t 40 0 15t 12 t 2 2 t22 5 5 t 8 0 1512t t 22 t2 522 t t 2 t 22 t 2 0 t 22 t22 5102 t t 1512 t 0 t 2 2 t22 5 2 t 5 t 6 0 1 x 2 1 x 5 1 x 5 1 x 6 0 Bài 4: Giải phương trình: 3x 10 3 2 x 6 2 x 4 4 x2 0 Đặt tx 2 . Khi đó phương trình trở thành: 3 t2 2 10 3 t 6 4 t 2 4 t 4 t 2 0 3t22 3 t 16 4 t 6 4 t 0 2t 3 t 2 4 t22 5 t 16 0 2t 3 t 2 4 t2 t 2 4 t 2 t 2 4 t 2 0 t 2 4 t22 t 2 4 t 2 t 3 0 t 2 4 t22 2 4 t t 3 0 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 3 0 Bài 5: Giải phương trình: x2 x 23 x x Đặt tx 0 . Khi đó: t4 t 2 t 2 3 t 2 0 t4 t 2 2 t 1 t 1 3 t 2 0 t2 t 1 t 2 t 1 t 1 3 t 2 0 1 2t2 2 t 2 t 2 t 1 t 1 3 t 2 0 2 1 t 1 3 t2 t 1 3 t 2 t 2 t 1 t 1 3 t 2 0 2 1 2 2 2 t1 3 t t 1 3 t t t 1 2 0 2 1 t 1 3 t2 t 3 1 t 2 t 1 3 t 2 2 0 2 37
  38. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 1 t 1 3 t2 t 3 1 t 2 t 1 3 t 2 0 2 1 x 1 3 x x x 1 x x 1 3 x 0 2 Bài 6: Giải bất phương trình: x 3 5 x x2 8 x 18 Đặt tx3 0; 2 , ta biến đổi bất phương trình trở thành: 2 t 2 t2 t 2 3 8 t 2 3 18 t4 2 t 2 t 3 2 t 2 0 22 t4 2 t 2 1 2 t 2 t 2 0 t 1 t 1 2 t 2 t2 0 1 2 2 t 2 t2 2 t 2 t 2 t 1 2 t 2 t 2 0 2 22 1 2 2 t 2 t 2 t 2 t t 1 1 0 2 1 2 2x 3 5 x 2 x 3 5 x x 3 1 1 0 2 17 x 2 2 222x 815 x 5 x x 3110 2 23 x Bài 7: Giải phương trình: 2 x 2 x 4 x22 2 x 2 x 2 Đặt t 2 x 0 t 2 . Ta có: 2 t 4 t2 t 4 t 2 2 t 2 2 2 t 2 2 2 t 1 4 t2 2 t 4 6 t 2 t 2 t 1 4 t2 t 1 2 t 4 7 t 2 t 3 0 t 1 4 t2 t 1 2 t 4 7 t 2 t 3 0 2t2 2 t 3 t 2 t 1 t 1 4 t 2 t 1 0 t1 4 t2 t 1 4 t 2 t 2 t 1 t 1 4 t 2 t 1 0 2 2 2 t1 4 t t 1 4 t t t 1 t 1 0 t1 4 t2 t 3 t 2 t 2 t 1 4 t 2 0 38
  39. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2 3 2 2 2 t1 4 t t 2 t t t 4 t t 2 4 t 0 2 2 2 2 t1 4 t t t 2 t 1 4 t t 2 4 t 0 2 2 2 2 t14 t 22214 t t t t t 2224 t t t 0 Chú ý rằng: 2t t 2 t 2 4 t22 t 2 4 t . Do đó: 2 2 2 2 2 t 14 t t 24 t t 24 t t 214 t t 220 t t1 4 t2 t 2 4 t 2 t 2 4 t 4 2 t 3 3 t 4 t 2 0 212x x 222642 x x x x 274 x x2 0 Bài 8: Giải phương trình: x2 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 2 0 Đặt tx 1 , phương trình trở thành: t4 2 t 2 t 2 2 t 4 2 t 2 2 t t 4 2 t 2 1 0 t4 2 t 2 t 2 2 t 5 t 4 2 t 3 2 t 2 2 t 1 0 t4 2 t 2 t 2 2 t 1 1 2 t 0 t42 t 2 t 2 2 t 1 t 2 2 t 1 t 2 2 t 1 0 t4 2 t 2 t 1 t 2 2 t 2 2 t 1 0 x2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 0 Bài 9: Giải phương trình: 3 3322522x x2 x x 2 x 5210 x Đặt tx 2 . Khi đó phương trình trở thành: 2t3 3 t 2 3 t 2 2 t 3 2 t 2 3 0 4t3 8 t 2 8 t t 2 2 t 3 2 t 2 3 2 t 1 0 2244t t2 t t 2 2323210 t t 2 t 39
  40. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 223212123t t2 t t t 2 t 2 2323210 t t 2 t 2 2 2 232122123t t t t t t 230 t 2t2 3 2 t 1 3 t 2 3 2 t 2 t 2 3 0 2t2 3 2 t 1 2 t 2 3 2 t 2 t 2 3 t 2 0 2 2t22 3 t 2 t 3 2 t 1 0 2 2x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 1 0 Bài 10: Giải phương trình: 3x2 3 x 9 2 x 2 2 x 3 x 2 4 x 0 Đặt tx . Khi đó phương trình trở thành: t5 3 t 4 3 t 2 4 t 9 2 t 4 2 t 2 3 0 3t2 6 t 3 t 4 2 t 3 2 t 2 3 0 t32 t2 332 t t 2 3 t 4 232 t t 2 30 t 3 2 t2 3 t 4 t 1 2 t 2 3 0 x 2 x 3 3 x 2 x 3 x2 1 0 Bài 11: Giải phương trình: x 3 1 x 1 x 3 1 x2 0 Đặt tx 1 . Khi đó phương trình trở thành: t2 2 t 2 t 2 3 t 2 t 2 0 t22 t 2 3 t 1 2 t 0 3t 1 t 2 t22 2 t 2 0 3t 1 t 2 t2 t 2 t 2 t 2 t 2 0 t 2 t22 3 t 1 t 2 t 0 t 2 t22 2 t 1 2 t 0 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 0 Bài 12: Giải phương trình: 3x2 3 x 9 2 x 2 2 x 3 x 2 4 x 0 Đặt tx . Khi đó phương trình trở thành: 3t4 3 t 2 9 2 t 4 2 t 2 3 t 4 4 t 0 40
  41. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG t5 3 t 4 3 t 2 4 t 9 2 t 4 2 t 2 3 0 t4 2 t 3 2 t 2 3 3 t 2 6 t 3 0 t4232 t t 2 3 t 32 t 2 332 t t 2 30 t 3 2 t2 3 t 4 2 t 3 2 t 2 3 0 t 3 2 t2 3 t 4 t 1 2 t 2 3 0 x 2 x 3 3 x 2 x 3 x2 1 0 Bài 13: Giải phương trình: x22 23231 x x x x 31 x 231 x x 0 Đặt tx 1 . Khi đó phương trình trở thành: t4 t 34 t 2 4 t 2 t 3 t 2 t 2 2 t 2 1 2 t 2 0 t4 t 3 4 t 2 4 t 2 t 3 2 t 2 t 1 2 t 2 0 t3 t 1 4 t t 1 2 t 2 t 1 t 1 2 t 2 0 t 1 t3 4 t 2 t 2 1 2 t 2 0 t 1 5 t3 2 t 2 t 2 1 2 t 2 t 2 0 t 1 t 5 t2 2 2 t 2 1 2 t 2 t 2 0 t1 t 2 t 2 t2 2 t 2 t 2 2 t 2 1 2 t 2 t 2 0 t 1 2 t 2 t2 t 2 t 2 t 2 2 t 2 1 0 t 1 2 t 2 t22 t 2 t 1 0 1 t 1 2 t22 2 t 2 2 t 2 t 0 2 1 t 1 2 t2 2 t t 2 2 t 2 t 2 2 t 2 0 2 1 2 t 1 2 t22 2 t t 2 t 0 2 1 2 1 x 1 1 x 2 1 x 1 x 1 x 0 2 41
  42. THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Bài 14: Giải phương trình: x x32 3 x x 3 x 3 x 0 Đặt tx . Khi đó phương trình trở thành: t2 t 6 3 t 2 t 4 3 t 2 3 t 0 t3 t 4 3 t 4 3 t 2 t 3 0 t3 1 t 4 3 t 2 t 3 0 t3 1 t 4 3 t t 4 t 2 3 0 t3 1 t 4 3 t t 4 3 t t 4 3 t 0 t4 3 t t 3 t 1 t 4 3 0 x22 3 x x 1 x x 3 1 0 . Bài 15: Giải phương trình: x2 986 x x 2 x 12121 x 2 x x 2 231 x Đặt ẩn phụ tx 21. Khi đó phương trình trở thành: 4t5 2 t 4 8 t 3 32 t 2 430 t t 4 2 t 2 496 t t 2 100 20t2 3212 t t 4 2 t 2 4942 t t 6 t 2 100 210 t2 166 t t 4 2 t 2 4942 t t 6 t 2 100 242 t 6 t22 1042 t 6 t 10 t4 2 t 2 4 t 9 4 t 2 6 t 2 10 0 426t t2 102426 t t 2 10 t 4 2 t 2 490 t 42t 6 t2 1026 t 2 10 t 4 2 t 2 1250 t 42x 123 x 1243 x 1122 x 14 x2 4 0 22131132131x x x x x2 10 42
  43. T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 7: BÀI TẬP TỰ LUYỆN 11 22 1. 1 x2x21 x2x25 xx 2. (3x2 11)x 2 1 33.x 3 8x 2 113.x 4 3. x3 x 2 8x 2 2x3 3 20 2(x1) x 3 2 9 x 4. 3 x 1 x 3 x (x6)x1 82x 2x1 5 5. x 3 x 1 2 9x2 14x 25 ( x 1 1)(2x 4) 6. 3x 3 4 2x 1 x 3x 7. 3x 1 1. 3x 10 x 8. x 1 3x 1. x2 2(x 1)2 9. x 20. (3 7 2x)2 6x2 10. 2x x 1 1. ( 2x 1 1)2 3 x2 3x 3 11. 6 2 x2 . x42 3x 2 11 12. x 1 x x 1 x x. 22 6 13. 2x 1 4x2 9 2x 3. x 1x 2 14. x4 2x 3 2x 2 2x1 (x 3 x) x 15. x3 (1 x 2 ) 3 x 2 2x 2 43