›
›

Tài liệu Luyện thi đại học cao đẳng môn Toán

pdf 167 trang Đức Chiến 03/01/2024 640
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Luyện thi đại học cao đẳng môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_luyen_thi_dai_hoc_cao_dang_mon_toan.pdf

Nội dung text: Tài liệu Luyện thi đại học cao đẳng môn Toán

  1. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐH KHOA HỌC XÃ HỘI& NHÂN VĂN TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HĨA VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 -12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, TP.HCM ĐT: (08) 38 232 748 Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG MƠN TỐN Biên soạn TS. Nguyễn Viết Đơng(Chủ biên) Trần Huỳnh Đàng, Nguyễn Duy Linh, Lê Hồn Ngọc, ThS.Lê Thành Thái, Nguyễn Thành Phƣơng, Trƣơng Phƣớc Truyền LƢU HÀNH NỘI BỘ Trang 1
  2. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Phần I. KHẢO SÁT HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TĨM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên (a, b) a) Hàm số f (x) đƣợc gọi là đồng biến trên (a, b) nếu x1, x2 (a, b) ; xx12 f (x12 ) f (x ) b) Hàm số f (x) đƣợc gọi là nghịch biến trên (a, b) nếu x1, x2 (a, b) ; f (x12 ) f (x ) 2. Điều kiện cần: Giả sử hàm số f (x) cĩ đạo hàm trên (a, b) a) đồng biến trên (a, b) thì : f'(x) 0, x (a,b) b) nghịch biến trên (a, b) thì : f'(x) 0, x (a,b) 3. Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f (x) cĩ đạo hàm trên (a, b) a) Nếu f'(x) 0, x (a,b) (f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b)) thì hàm số đồng biến trên (a,b) b) Nếu f'(x) 0, x (a,b) ( = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b)) thì hàm số nghịch biến trên BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Với giá trị nào của m thì hàm số : y x3 (m 2)x 2 (m 2 4)x 9 đồng biến trên R Giải Tập xác định : D = R y' 3x22 2(m 2)x m 4 Hàm số đồng biến trên R y' 0, x R Điều này tƣơng đƣơng với ' (m 2)22 3(m 4) 0 m2 2 8 0 m 4 m 2 mx 1 B2: Cho hàm số : y . Định m để hàm số luơn luơn đồng biến trên từng khoảng xác định xm của nĩ. Giải Tập xác định : D = R \ {m} Trang 2
  3. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ m12 Đạo hàm : y' (x m)2 Yêu cầu bài tốn y’ > 0, x D m2 – 1 > 0 m 1. BÀI TẬP THỰC HÀNH : 1. Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau luơn luơn đồng biến với mọi x. 1 a. y x32 x (m 1)x 9 3 1 b. y (m 1)x32 mx (3m 2)x 3 2. CMR : Hàm số y x3 (m 1)x 2 (m 2 2)x m luơn nghịch biến. mx 4 3. Cho hàm số y . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng xm (– , 1). (ĐS: –2 < m ≤ –1) 4. Cho hàm số : y x32 3x mx 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (– , 0). (ĐS: m ≤ –3) 5. Cho hàm số : y x32 (1 2m)x (2 m)x m 2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 5 + ) (ĐS: m ≤ ) 4 6. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x32 3x mx m nghịch biến trên 1 đoạn cĩ 9 độ dài bằng 1. (ĐS: m ) 4 Trang 3
  4. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TĨM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Nếu hàm số y f (x) cĩ đạo hàm tại điểm x 0 và đạt cực trị tại đĩ thì: f '(x0 ) 0 . 2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: a) Dấu hiệu 1: Giả sử y f (x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x 0 , cĩ đạo hàm trên khoảng (a, b) và f '(x0 ) 0 . 1) Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dƣơng khi x qua điểm x 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 . 2) Nếu f '(x) đổi dấu từ dƣơng sang âm khi x qua điểm thì hàm số đạt cực đại tại điểm . b) Dấu hiệu 2: Giả sử hàm số y f (x) cĩ đạo hàm cấp hai trên (a, b) chứa điểm x 0 và f '(x0 ) 0  Nếu: f "(x0 ) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 .  Nếu: f "(x0 ) 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm . BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm m để hàm số y x32 (m 3)x mx m 5 đạt cực tiểu tại x2. Giải Tập xác định D = R. y' 3x2 2(m 3)x m y" 6x 2(m 3) y'(2) 0 3x 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x2 m = 0 y"(2) 0 60 B2: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số : y (m 2)x32 3x mx m cĩ cực đại và cực tiểu. Giải Tập xác định : D = R y' 3(m 2)x2 6x m Hàm số cĩ cực đại và cực tiểu y' 0 cĩ hai nghiệm phân biệt. 3(m 2)x2 6x m 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt. Trang 4
  5. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ m 2 0 m2 m2 ' 9 3m(m 2) 0 3( m2 2 3) 0 3 m 1 Vậy: 3 m 1 và m2 13 B3: Cho hàm số y x42 mx . Xác định m để đồ thị của hàm số cĩ cực tiểu mà khơng 22 cĩ cực đại. Giải Tập xác định : D = R y' 2x3 2mx x0 y' 0 x2 m (1) Hàm số cĩ cực tiểu mà khơng cĩ cực đại y' 0 cĩ 1 nghiệm duy nhất và y' đổi dấu từ âm sang dƣơng khi x đi qua nghiệm đĩ pt (1) vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm kép x0 m0. Vậy : m0 BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Tìm m để hàm số y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5 đạt cực tiểu tại x = 2. B2. Cho hàm số y = –(m2 + 5m) x3 + 6mx2 + 6x – 6. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1. B3. Với giá trị nào của m thì hàm số cĩ cực đại, cực tiểu y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m (ĐS: m (–3,1) \ {–2}) B4. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đây khơng cĩ cực trị : y = (m – 3)x3 – 2mx2 + 3 (ĐS: m = 0) B5. Cho hàm số y = x3 – (2m + 1) x2 + (m2 – 3m + 2) x + 4 Xác định m để đồ thị của hàm số cĩ hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của trục tung. (ĐS: 1 < m < 2) B6. Cho hàm số y = 2x3 + ax2 – 12x – 13 (a tham số) với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số cĩ điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung. (ĐS: a = 0) B7. Cho hàm số y x32 (1 2m)x (2 m)x m 2 (1) (m tham số). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cĩ điểm cực đại, điểm cực tiểu đồng thời hồnh độ của điểm cực tiểu 1 57 nhỏ hơn . (ĐS: < m < ) 2 45 B8. Cho hàm số y (m 2)x32 3x mx 5 (m tham số). Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho cĩ hồnh độ là các số dƣơng. (ĐS: –3 < m < –2) 13 B9. Cho hàm số y x42 mx (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) cĩ cực tiểu mà 22 khơng cĩ cực đại. (ĐS: m0) Trang 5
  6. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ B10. Cho hàm số y x42 2mx . Xác định m để hàm số cĩ 3 điểm cực trị. (ĐS: m > 0) B11. Cho hàm số : y x4 2mx 2 m 3 m 2 . Xác định m để hàm số cĩ 3 điểm cực trị và ba điểm này lập thành một tam giác đều. (ĐS: m =3 3 ) B12. Cho hàm số y x3 (2m 1)x 2 (m 2 3m 2)x 4 . Xác định m để đồ thị của hàm số cĩ hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. (ĐS: 1 < m < 2). B13. Cho hàm số y x4 2m 2 x 2 1 (1) (m là hàm số). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuơng cân. (ĐS: m 1) B14. Cho hàm số y x3 3x 2 3(m 2 1)x 3m 2 1 (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của (1) cách đều gốc tọa độ 0. 1 (ĐS: m = ) 2 B15. Cho hàm số : y = y x3 3mx 2 3(1 m 2 )x m 3 m 2 (1). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). (ĐS: y = 2x - m2 + m ) x2 mx 8 B16. Cho hàm số y . Xác định m để hàm số cĩ cực trị. Khi đĩ viết phƣơng trình xm đƣờng thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. (ĐS: y =2x + m) B17. Cho hàm số y x3 3mx 2 4m 3 cĩ đồ thị (Cm). Xác định m để (Cm) cĩ các điểm cực đại 2 và cực tiểu đối xứng nhau đƣờng thẳng y = x. (ĐS: m = ± ) 2 B18. Cho hàm số y x32 3x mx (1) với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cĩ các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đƣờng thẳng d : x 2y 4 0 . (ĐS: m = 0) 11 B19. Cho hàm số y x32 (m 1)x 3(m 2)x . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị 33 -4 ± 34 tại x ,x sao cho x 2x 1. (ĐS: m= ) 12 12 4 B20. Cho hàm số y x32 3(m 1)x 9x m . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x12 , x sao cho x12 x 2 . (ĐS: -3 m<-1- 3 và-1+ 3<m 1) Trang 6
  7. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TĨM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Giá trị lớn nhất: Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f (x) trên D nếu : x D : f (x) M x00 D : f (x ) M Kí hiệu : M maxf (x) xD 2. Giá trị nhỏ nhất: Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f (x) trên D nếu : x D : f (x) m x00 D : f (x ) M Kí hiệu : m minf (x) xD BÀI TẬP ÁP DỤNG : 3x 1 B1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y f (x) trên [0,2] x3 Giải 8 Ta cĩ y 0, x 3 (x 3)2 1 1 Hàm nghịch biến trên [0, 2] và f (0) , f (2) 5 nên : max y khi x = 0, 3 x [0,2] 3 min y 5 khi x = 2. x [0,2] B2: Tìm GTLN – GTNN của hàm số : y x 4 x2 Giải TXĐ: D = [–2, 2] x 4 x2 x y' 1 4 x22 4 x x0 y' 0 x 2 4 x22 x Ta cĩ : y( 2) 2, y( 2) 2 2 , y(2) 2 Trang 7
  8. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Vậy : max y 2 2 khi x2 ; min y 2 khi x2. x [ 2,2] x [ 2,2] BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Tìm GTLN – GTNN của các hàm số sau : x3 1. y 2x2 3x 4, x [ 4;0] 3 11 2. y x42 x , x [ 2;5] 22 3. y 3 2x, x [ 3;1] (maxy = 3 ; min y = 1) 4. y x 2 4 x (maxy = 2 ; miny = 2 ) 10 15 5. y x . 5 x (maxy khơng cĩ min) 9 ax b B2. Tìm các giá trị của tham số a, b sao cho hàm số y cĩ GTLN bằng 4 và GTNN x12 a 4 a 4 bằng –1. (ĐS: hay ) b 3 b 3 B3. Xác định m để GTNN của hàm số : y 4x22 4mx m 2m trên đoạn [2, 0] bằng 2. (ĐS:a 1 3 hay a 1) Trang 8
  9. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ TIỆM CẬN TĨM TẮT LÝ THUYẾT : 1. Tiệm cận ngang: Đƣờng thẳng yy0 đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f (x) nếu : lim f(x) hoặc lim f (x) y0 . x xx0 2. Tiệm cận đứng: Đƣờng thẳng xx0 đƣợc gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây đƣợc thỏa :  lim f (x) ; lim f (x) xx0 xx0  lim f (x) ; lim f (x) xx0 xx0 3. Tiệm cận xiên: Đƣờng thẳng y ax b (a 0) đƣợc gọi là tiệm cận đứng xiên của đồ thị hàm số nếu : lim f (x) (ax b) 0 hoặc lim f (x) (ax b) 0 x x Cách tìm a, b : f (x) a lim ; b lim f (x) ax x x x hoặc f (x) a lim ; b lim f (x) ax x x x BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số : 2x 1 2x2 x 1 a) y ; b) y x1 2x 3 Giải 2x 1 a) y x1  Tập xác định : D R \{1} 2x 1 2x 1  Ta cĩ : lim 2 ; lim 2 nên đƣờng thẳng y2 là đƣờng tiệm cận x x1 x x1 ngang. Trang 9
  10. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2x 1 lim x1 x1  nên x1 là đƣờng tiệm cận đứng. 2x 1 lim x1 x1 2x2 x 1 b) y 2x 3 3  Tập xác định : DR\{} 2 3  Ta cĩ : lim y (hoặc lim f (x) ) nên đƣờng thẳng x là đƣờng tiệm 3 3 x x 2 2 2 cận đứng. 7  Ta cĩ : y x 2 x2 7 lim y (x 2) lim 0 xxx2 Vậy đồ thị của hàm số cĩ tiệm cận xiên là y x 2. BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số : x x5 1) y 2) y 2x x3 2x 5 3x 5 3) y 4) y x1 x2 x1 1 5) y 6) y5 2x 1 x1 B2. Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số : x2 3x 4 x2 x 1 1) y 2) y 2x 1 5x2 2x 3 x2 3x 2 3) y 4) y x x2 x 1 2x2 x 1 1 (ĐS: y 2x khi x + 2 1 y khi x – ) 2 Trang 10
  11. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A- TĨM TẮT LÝ THUYẾT : I- HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4 : 1. Các bƣớc khảo sát :  Tập xác định D = R  Tính đạo hàm y’, giải phƣơng trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị.  Tính các giới hạn lim y, lim y xx  Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của hàm số.  Tìm các điểm đặc biệt : giao của đồ thị với trục Ox, Oy, tâm đối xứng. 2. Các dạng đồ thị : Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 cĩ cực đại, cực tiểu cĩ cực đại, cực tiểu a > 0 a 0 a 0 a 0 a < 0 BÀI TẬP : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số : 1. y x32 3x 1 6. y = x 2x2 1 2. y x32 3x 1 7. y x42 4x 3. y x3 3x 2 8. y x42 2x 3 4. y x32 3x 4 9. y x42 x 1 5. y 2x32 3x 1 10. y 2x42 4x 1 Trang 11
  12. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ ax b II- HÀM NHẤT BIẾN : y (ad bc 0, c 0) cx d 1. Các bƣớc khảo sát : d  Tập xác định D = R \ c ad bc  Tính đạo hàm : y' (cx d)2  Giới hạn, tiệm cận : d lim y , lim y Tiệm cận đứng x d d x x c c c a a a lim y , lim y Tiệm cận ngang y x c x c c  Bảng biến thiên và nhận xét tính đơn điệu : ad – bc > 0 ad – bc < 0 d x – c + x – + y' + + y' – – y y a c  Đồ th ị : TCĐ I TCN BÀI TẬP ÁP DỤNG : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : x1 x1 1. y 4. y x2 x2 2x 1 2x 1 2. y 5. y x1 x2 3x 1 2x 1 3. y 6. y x1 x2 Trang 12
  13. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ I. SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ : 1. Giao điểm hai đồ thị: Cho hàm số y f (x) cĩ đồ thị (C1 ) và hàm số y g(x) cĩ đồ thị (C2 ) y f (x)  (C ) và (C ) cắt nhau tại điểm M(x,y) (x,y) là nghiệm của hệ 1 2 0 0 0 0 y g(x)  Hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phƣơng trình : f (x) g(x) (1)  Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của và . 2. Sự tiếp xúc của hai đƣờng cong: f (x) g(x)  và tiếp xúc với nhau hệ phƣơng trình sau cĩ nghiệm : f '(x) g'(x) BÀI TẬP ÁP DỤNG : 132 4 4 B1: Cho hàm số y x 2x (3 m)x m (Cm). Xác định m để đồ thị hàm số tiếp 3 9 3 xúc với trục hồnh. Giải (Cm ) tiếp xúc trục hồnh hệ phƣơng trình sau cĩ nghiệm : 1 4 4 x32 2x (3m)x m 0 (1) 3 9 3 x2 4x 3 m 0 (2) Thay (2) vào (1), thu gọn ta đƣợc : x0 x1 3x32 11x 8x 0 8 x 3 m3 Thay x tìm đƣợc vào (2) ta đƣợc : m0 m 5 9 2x 1 B2: Cho hàm số y (C) và đƣờng thẳng d : y mx 2(m 1) . Biện luận theo m số giao x1 điểm của (C) và d. Trang 13
  14. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Giải  Phƣơng trình hồnh độ giao điểm của (C) và d : 2x 1 mx 2(m 1) mx2 3mx 2m 3 0 (1) (x 1) x1 Đặt g(x) mx2 3mx 2m 3 (1)  Khi m = 0 (1) 3 = 0 (vơ nghiệm) d và (C) khơng cĩ điểm chung.  Khi m ≠ 0 = m (m – 12) M – 0 12 + + 0 – 0 + số giao 2 0 0 1 2 điểm BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Biện luận theo m số giao điểm của (C) : y 4x3 3x 1và đƣờng thẳng d: y m(x 1) 2 B2. Cho hàm số y x33 2x (1 m)x m (C). Xác định m để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 222 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1 ,x 2 ,x 3 thỏa điều kiện x1 x 2 x 3 4. 1 (ĐS: m1 và m0) 4 4x B3. Cho hàm số y (C) và điểm A(0; 3). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A và cắt x1 (C) tại 2 điểm phân biệt B, C sao cho tam giác OBC vuơng tại O. 1 (ĐS: hệ số gĩc đƣờng thẳng a pt đƣờng thẳng) 4 B4. Cho hàm số y x32 3x (m 2)x 2m . Xác định m để đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm 1 phân biệt cĩ hồnh độ âm. (ĐS: 0m ) 4 x3 B5. Cho hàm số y (C). 1. Chứng minh rằng đƣờng thẳng (d): y 2x m luơn cắt (C) x1 tại 2 điểm phân biệt M và N. 2. Xác định m để độ dài đoạn MN nhỏ nhất. (ĐS: m = 3) Trang 14
  15. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A- TĨM TẮT LÝ THUYẾT : 1) Biết tiếp điểm: Nếu tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị (C): y f (x) là M(x00 ,y ) thì phƣơng trình tiếp tuyến là: y f'(x)(x0 x) 0 y 0 2. Biết hệ số gĩc của tiếp tuyến là K: C1: Gọi M0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm, ta cĩ f '(x0 ) K (1). Giải (1) tìm x 0 y00 f (x ) . . Phƣơng trình tiếp tuyến: y K(x x00 ) y C2: Tiếp tuyến cĩ dạng y Kx b (d) tiếp xúc với (C): y f (x) hệ phƣơng trình sau cĩ nghiệm : f (x) Kx b f '(x) K . Giải hệ trên ta tìm đƣợc b. B- BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Cho hàm số y x42 x 6 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến vuơng 1 gĩc với đƣờng thẳng: y x 1. 6 Giải 1 Tiếp tuyến vuơng gĩc với y x 1 nên hệ số gĩc của tiếp tuyến là: K = –6. Khi đĩ 6 phƣơng trình tiếp tuyến cĩ dạng: d : y 6x b. d tiếp xúc với đồ thị khi và chỉ khi hệ phƣơng trình sau cĩ nghiệm : x42 x 6 6x b (1) 4x3 2x 6 (2) Giải hệ trên suy ra b =10. Vậy phƣơng trình tiếp tuyến : y 6x 10 B2: Cho hàm số y x(x 3)2 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y 9x 3 . Giải Tiếp tuyến song song với y 0x 3 nên hệ số gĩc của tiếp tuyến K = 9 pt tiếp tuyến d cĩ dạng y 9x b (b 3) . d tiếp xúc đồ thị khi và chỉ khi hệ phƣơng trình sau cĩ nghiệm : Trang 15
  16. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ x32 6x 9x 9x b (1) 3x2 12x 9 9 (2) Giải hệ trên suy ra : b = 0, b = –32. Vậy cĩ hai tiếp tuyến cần tìm : y 9x và y 9x 32 BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến d cĩ hệ số gĩc K cho trƣớc. a) (C) y = 2x32 3x 5 , K = 12 2x 1 b) (C) = , K = –3 x2 B2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d cho trƣớc. 13 a) y x42 3x d: y 4x 1 22 2x 1 3 b) y d: y x 2 x2 4 x3 c) y 2x2 3x 1 d: y 3x 2 3 1 m 1 B3. Cho hàm số y x32 x (Cm). M là điểm trên đồ thị cĩ hồnh độ bằng -1. Tìm m 3 2 3 để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đƣờng thẳng 5x y 0 (K.D. 05. ĐS: m = 4) B4. Viết phƣơng trình của (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đƣờng thẳng d cho trƣớc. 2x 1 a) y d: yx x2 x3 x b) y 2x2 3x 1 d: y2 3 8 12 B5. Cho hàm số y x3 x (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đĩ tiếp tuyến của (C) 33 12 4 vuơng gĩc với đƣờng thẳng yx. (ĐS: M (2; ) , M ( 2;0) 33 1 3 2 x1 B6. Cho hàm số y (C). Xác định m để đƣờng thẳng d: y 2x m cắt (C) tại 2 điểm x1 phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau. (ĐS: m = –1). Trang 16
  17. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2x B7. Cho hàm số y (C). Tìm điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục x1 1 tọa độ tại A, B và tam giác OAB cĩ diện tích bằng . 4 1 (ĐS: M ( ; 2), M (1;1) ) 1 2 2 x B8. Cho hàm số y (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai đƣờng x1 tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành tam giác cân. (Dự bị D_07. ĐS: y = –x , y = –x + 4) x2 B9. Cho hàm số : y (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đĩ đi x2 17 qua điểm A (–6, 5). (ĐS: y= –x – 1 ; yx) 42 x2 B10. Cho hàm số y cĩ đồ thị (C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đƣợc hai tiếp x1 tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến tƣơng ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. 2 (ĐS: a và a1) 3 B11. Cho hàm số y x3 3x (C). Tìm trên đƣờng thẳng x = 2 những điểm mà từ đĩ cĩ thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số. (ĐS: M(2, m) với –6 < m < 2) x54 B12. Cho hàm số : y 3x2 (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cĩ hồnh độ 22 xaM . Tìm các giá trị của a để tiếp tuyến d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khác M. (ĐS: 3 a 3 , a1) B13.Cho hàm số y x32 3x mx 1 (Cm). 1. Xác định m để đồ thị (Cm) cắt đƣờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C. 9 (ĐS: m , m0) 4 9 65 2. Tìm m để tiếp tuyến tại B và C vuơng gĩc với nhau. (ĐS: m ) 8 Trang 17
  18. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ TĨM TẮT LÝ THUYẾT : 1) Dạng : y f(x) : Dựa vào đồ thị (C): y f (x) . Suy ra đồ thị hàm số (C1 ) : y1 f (x) nhƣ sau : f (x)khi f(x) 0 Ta cĩ : (C ) : y 1 1 -f (x)khi f(x)<0 Do đĩ đồ thị (C1 ) gồm 2 phần : . phần 1: giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên Ox. . phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục Ox qua trục Ox. 2. Dạng y f( x ) : Dựa vào đồ thị (C): y f (x) suy ra đồ thị hàm số (C2 ) : y2 f ( x ) nhƣ sau : (C2 ) : y2 f ( x ) là hàm số chẵn đồ thị (C2 ) nhận Oy làm trục đối xứng. f (x)khi x 0 Ta cĩ : (C ) : y 2 2 f ( x)khi x 0 Do đĩ đồ thị (C2 ) gồm 2 phần . phần 1: giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung. . phần 2: Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Từ đồ thị (C): y x42 4x 3. Suy ra đồ thị của hàm số y x42 4x 3 Giải - Các bƣớc khảo sát học sinh tự làm. y 3 2 2 -2 -1 1 2 x 4 2 4 2 42 x 4x 3 khix 4x 30 Ta cĩ : (C1 ) : y x 4x 3 = (x4 4x 2 3) khix 4 4x 2 30 Trang 18
  19. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ y 3 -2 -1 1 2 x B2: Cho hàm số: y 2x32 3x 1 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị (C’): y 2 x3 3x2 2 Giải 0 BÀI TẬP THỰC HÀNH : 1 B1. Cho hàm số y x42 4x 3 cĩ đồ thị (C). 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 1 2) Định m để phƣơng trình x42 4x 3 lg m cĩ 8 nghiệm phân biệt. 2 (ĐS: 1 < m < 1000) B2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) : 1) y x32 3x 6 từ đĩ suy ra đồ thị (C’) : y x32 3x 6 2) y x42 3x 3 từ đĩ suy ra đồ thị (C’): y x42 2x 3 2x 2 2x 2 3) y từ đĩ suy ra đồ thị (C’): y x2 x2 4) y 2x32 9x 12x 4 từ đĩ suy ra đồ thị (C’): y 2 x3 9x2 12 x 4 5) y x32 6x 9x từ đĩ suy ra đồ thị (C’): y x3 6x2 9 x Trang 19
  20. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2x 2x 6) y từ đĩ suy ra đồ thị (C’): y x1 x1 BÀI TẬP TỔNG HỢP B1. Cho hàm số y x32 (2m 1)x (2 m)x 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và hồnh độ các điểm cực trị là các số 5 dƣơng. (ĐS: m2) 4 B2. Cho hàm số y x32 (1 2m)x (2 m)x m 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cĩ điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. B3. Cho hàm số y x32 3x m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m4. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị A, B sao cho AOB 1200 (O là gốc tọa độ). B4. Cho hàm số y x32 3x mx 2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Cho đƣờng thẳng (d) cĩ hệ số gĩc bằng 1 và đi qua A(0, 2). Tìm m để (Cm) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho OB vuơng gĩc với OC. (ĐS: m = –4). B5. Cho hàm số y x32 3x 4 cĩ đồ thì (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đƣờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và cĩ hệ số gĩc là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuơng gĩc với 18 3 35 nhau. (ĐS: m = . 9 B6. (A_02) Cho hàm số y x3 3mx 2 3(1 m 2 )x m 3 m 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm K để phƣơng trình x3 3x 2 K 3 3K 2 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt. 3) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) (ĐS: C.2: –1 < K < 3 , K ≠ 0 K ≠ 2 ; C.3: y 2x m2 m ) B7. (D_06) Cho hàm số y x3 3x 2 (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho Trang 20
  21. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2) Gọi (d) là đƣờng thẳng qua điểm A(3; 20) và cĩ hệ số gĩc là m. Tìm m để đƣờng thẳng 15 (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. (ĐS: m m 24 ) 4 B8. (B_07) Cho hàm số y x3 3x 2 3(m 2 1)x 3m 2 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách 1 đều gốc tọa độ O. (ĐS: m ) 2 B9. (B_08) Cho hàm số y 4x32 6x 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết rằng tiếp tuyến đĩ đi qua điểm 15 21 M(–1; –9). (ĐS: y 24x 15 và yx) 44 B10. (D_08) Cho hàm số y x32 3x 4 () 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2) Chứng minh rằng mọi đƣờng thẳng đi qua điểm I(1, 2) với hệ số gĩc K (K > –3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. B11. (A_10) Cho hàm số y x32 2x (1 m)x m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1 ,x 2 ,x 3 1 thỏa mãn điều kiện x222 x x 4. (ĐS: m và m0) 1 2 3 4 B12. Cho hàm số y x32 3x mx 1 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) cắt đƣờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuơng gĩc nhau. 9 65 (ĐS: m ) 8 B14. Cho hàm số y 2x32 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1 cĩ đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2, + ) (ĐS: m ≤ 1) B15. Cho hàm số y x32 3x 1 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 42. (ĐS: A(3; 1); B(–1, –3)) B16. Cho hàm số y 2x32 3x 1cĩ độ thị (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Trang 21
  22. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với đƣờng thẳng x1. (ĐS: y = 12x + 8) 3) Tìm tham số m để phƣơng trình 2 x3 3x2 2 m 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt. (ĐS: 1 < m < 2) B17. Cho hàm số y x4 2mx 2 2m m 4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu lập thành 1 tam giác đều. (ĐS: m33 B18. Cho hàm số y x4 2(m 2)x 2 m 2 5m 5 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) cĩ các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuơng cân. (ĐS: m = 1) B19. Cho hàm số y x4 2mx 2 m 2 m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ 3 điểm cực trị lập thành 1 tam giác cĩ 1 gĩc bằng 1200. 1 (ĐS: m ) 3 3 B20. Cho hàm số y mx4 (m 2 9)x 2 10 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) cĩ 3 điểm cực trị. (ĐS: m < –3 0 < m < 3) B21. Cho hàm số y x42 2x (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Trên (C) lấy 2 điểm phân biệt A và B cĩ hồnh độ lần lƣợt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau. (ĐS: a2 + ab + b2 – 1 = 0 a ≠ –1 a ≠ b) B22. (D_2010) Cho hàm số y x42 x 6 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đƣờng thẳng 1 y x 1. (ĐS: y 6x 10) 6 B23. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y x42 4x 3 42 2) Tìm m để phƣơng trình : x 4x 3 log2 m cĩ đúng 4 nghiệm. (ĐS: m < 1 2 < m < 9) B24. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y x42 2x 2) Tìm m để phƣơng trình: x42 2x lgm 0 cĩ 6 nghiệm phân biệt. B25. Cho hàm số: y x42 2mx m 1 (1) Trang 22
  23. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 2) Xác định m để hàm số (1) cĩ 3 điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành 1 tam giác cĩ bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp bằng 1. 51 (ĐS: m = 1 m ) 2 B26. Cho hàm số y x4 2m 2 x 2 1 (1) 1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm tất cả các giá trị của m đề đồ thị hàm số (1) cĩ 3 điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32. (ĐS: m2) B27. Cho hàm số y x4 2(1 m 2 )x 2 m 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0. 2) Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác cĩ diện tích lớn nhất. (ĐS: m = 0) B28. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y x42 4x 3 42 2) Tìm a để phƣơng trình: x 4x 3 log3 a 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt. 1 (ĐS: a3) 3 B29. Cho hàm số y 4x24 x (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm K để đƣờng thẳng (d): yKcắt (C) tại 4 điểm cĩ hồnh độ lập thành 1 cấp số 36 cộng. (ĐS: K ) 25 B30. Cho hàm số y 8x42 9x 1 C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình: 8.cos42 x 9cos x m 0 với m [0, ] 2x 3 B31. Cho hàm số y (C) x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. (ĐS: (2, –2)) x2 B32. Cho hàm số y (C) x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đƣờng thẳng d: y x mcắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho: a/ A, B cùng nằm phía đối với trục tung. (ĐS: m < –2) b/ A, B nằm hai phía đối với trục hồnh. (ĐS: m < 2) Trang 23
  24. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ (2m 1)x m2 B33. (D_02) Cho hàm số y (1) x1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ. 2x 1 B34. (B_10) Cho hàm số y (C) x1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đƣờng thẳng y 2x m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 3 . (ĐS: m2) 2x 1 B35. Cho hàm số y cĩ đồ thị (C). x1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m, n để đƣờng thẳng (d) cĩ phƣơng trình y mx n cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đƣờng thẳng d’: x 3y 7 0 . (ĐS: m = 3, n = –1) 2x 4 B36. Cho hàm số y = cĩ đồ thị (C) x1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đƣờng thẳng MN biết M(–3; 0), N(–1; –1). (ĐS: A(0; –4), B(2; 0)) 2x 4 B37. Cho hàm số y = (C) 1x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Gọi (d) là đƣờng thẳng qua A(1; 1) và cĩ hệ số gĩc K. Tìm K để (d) cắt (C) tại 2 điểm 3 41 M, N sao cho MN = 3 10 . (ĐS: K =–3, K = ) 16 x1 B38. Cho hàm số y (1) xm 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1 2) Tìm các giá trị của m sao cho đƣờng thẳng (d): y x 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A và B sao cho AB = 22. (ĐS: m = 7) 2x 1 B39. Cho hàm số y (C) x1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đƣờng thẳng (d): y x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB vuơng tại O. (ĐS: m = –2) 2x 1 B40. Cho hàm số y (C) x1 Trang 24
  25. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Với giá trị nào của m thì đƣờng thẳng: y x m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B và tam giác IAB đều. (ĐS: 36) 2x 1 B41. Cho hàm số y (1) x1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ điểm I (1, 2) đến tiếp tuyến bằng 2 . (ĐS: y = –x+ 1, y = –x + 5) 2x 1 B42. Cho hàm số: y (C). Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến x1 này cắt trục Ox, Oy lần lƣợt tại các điểm A và B thỏa: OA = 4OB. 15 1 13 (ĐS: yx ; yx) 44 44 2x B43. Cho hàm số y (C) x2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lƣợt tại A và B mà tam giác OAB thỏa mãn: AB OA 2 . (ĐS: y = –x+ 8) Trang 25
  26. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ PHẦN 2 . HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ƠN CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC & HỆ THỨC LƢỢNG CƠ BẢN Tĩm tắt Lý thuyết Trục cot y u a) Định nghĩa Với mọi số thực x, tồn tại duy nhất một điểm M trên E u’ B F đƣờng trịn lƣợng giác thỏa : AM = x M K sinx = OK cosx = OH x’ A x H tanx = AE Truc cotx = AF Trục cos tan cos Trục sin y’ u’ Lƣu í : -Mọi x thuộc R, ta cĩ : - 1 sinx 1 và – 1 cosx 1 _ Mọi x ta cĩ : sin(x + k.2 ) = sinx và cos(x + k.2 ) = cosx _ tanx xác định khi x /2 + k. và tan(x + k. ) = tanx _ cotx xác định khi x k. và cot(x + k ) = cotx b) Hệ thức cơ bản : Hệ thức : Hệ qủa : * sin2x + cos2x = 1 * tgx.cotx = 1 sin x 1 * tanx = * = 1 + tan2x cos x cos 2 x cos x 1 * cotx = * = 1 + cot2x sin x sin 2 x c) Dấu của các hàm số lƣợng giác : Cung II Sinx > 0 Sinx > 0 Cung I Từ định nghĩa hàm số lượng giác : ta cĩ dấu các hàm số lượng cosx 0 tanx 0 giác tùy thuộc vào vị trí của ngọn cung x thuộc cung phần tư cotx 0 thứ mấy trên đường trịn lượng giác ? Sinx 0 Tanx > 0 Tanx 0 Cotx < 0 Lí thuyết I. CUNG ĐỐI : x & - x II. CUNG BÙ : x & - x Cung IV cos(– x) = cosx cos( – x) = – cosx sin(– x) = – sinx sin( – x) = sinx tg(– x) = – tanx tg( – x) = – tgx cotg(– x) = – cotx cotg( – x) = – cotgx III. CUNG HƠN KÉM IV. CUNG PHỤ NHAU cos( + x) = – cosx cos( /2 – x) = sinx sin( + x) = – sinx sin( /2 – x) = cosx tan( + x) = tanx tan( /2 – x) = cotx cot( + x) = cotx cot( /2 – x) = tanx Trang 26
  27. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 3 : CÁC CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1) Cơng thức cộng : cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa tan a tanb tan(a + b) = 1 tan a.tanb tan a tanb tan(a – b) = 1 tan a.tanb 2) Cơng thƣc nhân : a) Cơng thức nhân đơi : b) Cơng thức hạ bậc 2 : c) Cơng thức nhân 3 : 3 sin2a = 2sina.cosa 2 1 cos2x sin3a = 3sina – 4sin a 2 2 cos x = 3 cos2a = cos a – sin a 2 cos3a = 4cos a – 3cosa 2 = 2cos a – 1 2 1 cos 2x 2 sin x = = 1 – 2sin a 2 2 tan a 2 1 cos2x tan2a = 2 tan x = 1 tan a 1 cos2x 3) Cơng thức biến tích thành tổng 4) Cơng thức biến đổi tổng thành tích 1 a b a b o cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a – b)] o cosa + cosb = 2 cos cos 2 2 2 1 a b a b o sina.sinb = [cos(a – b) – cos(a + b)] o cosa – cosb = 2sin sin 2 2 2 a b a b o sina.cosb = [sin(a + b) + sin(a – b)] o sina + sinb = 2sin cos 2 2 a b a b o sina – sinb = 2cos sin 2 2 sin(a b) o tana tanb = cosa.cos b CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 1) Hàm số tuần hồn _ Hàm số y = f(x) xác định tren tập D gọi là hàm số tuần hồn nếu cĩ số T ≠ 0 sao cho với mọi x D ta cĩ x T D và f(x + T) = f(x) (1) _ Số T dƣơng nhỏ nhất thỏa (1) đƣợc họi là chu kì của hàm số tuần hồn. Ta nĩi hàm số f tuần hồn với chu kì T 2) Các hàm số lƣợng giác 2.1) Hàm số y = sinx và y = cosx Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx 1. Tập xác định R 1. Tập xác định R 2. Tập giá trị [– 1; 1] (– 1 ≤ sinx ≤ 1 mọi x) 2. Tập giá trị [– 1; 1] (– 1 ≤ cosx ≤ 1 mọi x) 3. Là hàm số lẻ (mọi x : sin(– x) = sinx) 3. Là hàm số chẵn (mọi x : cos(– x) = cosx) 4. Là hàm số tuần hồn chu kì 2 4. Là hàm số tuần hồn chu kì 2 Do sin(x + k2 ) = sinx với mọi x và k Z Do cos(x + k2 ) = cosx với mọi x và k Z Trang 27
  28. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 5. Đồng biến trên k2 ; k2 5. Đồng biến trên k2 ;k2 2 2 3 Nghịch biến trên k2 ; k2 Nghịch biến trên k2 ; k2 2 2 6. Đồ thị là đƣờng hình sin đối xứng qua O 6. Đồ thị là đƣờng hình sin đối xứng qua Oy 2.2) Hàm số y = tanx và y = cotx sin x cos x Hàm số y = tanx (tanx = ) Hàm số y = cotx (cotx = ) cos x sin x 1. Tập xác định D = R\ k / k Z 1. Tập xác định D = R\ k / k Z 2 Do cosx ≠ 0 Do sinx ≠ 0 2. Tập giá trị là R 2. Tập giá trị là R 3. Là hàm số lẻ (mọi x : tan(– x) = – tanx 3. Là hàm số lẻ (mọi x : cot(– x) = cotx) 4. Là hàm số tuần hồn chu kì 4. Là hàm số tuần hồn chu kì Do tan(x + k ) = tanx với mọi x và k Z Do cot(x + k ) = cotx với mọi x và k Z 5. Đồng biến trên k ; k k Z 5. Nghịch biến trên k ; k k Z 2 2 6. Đồ thị nhận O làm tâm đối xứng và nhận 6. Đồ thị nhận O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đƣờng thẳng x = k làm đƣờng tiệm cận mỗi đƣờng thẳng x = k làm đƣờng 2 tiệm cận VD1. Tìm tập xác định của hàm số 1 sin x a)y = 3 sin x b) y = 1 cos x Giải: a) Vì sinx ≤ 1 3 –sinx ≥ 0 nên tập xác định là D = R b) Vì sinx ≤ 1 v 1 + cosx ≥ 0 nn đê hàm số cĩ nghìa thì cosx ≠ - 1 x k2 (k z) Nên D = R \ {x k2 (k z)}. VD2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số a) y = x + sinx b)y = x2 + cosx c)y = 3 sin x Giải: a)Ta cĩ D = R là tập đối xứng y(-x) = -x + sin(-x) = -y(x). Nên y là hàm số lẻ. b)Tƣơng tự y là hàm số chẵn c)Tƣơng tự y là hàm số khơng chẵn cũng khơng lẻ VD3. Tìm chu kì của hàm số Trang 28
  29. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ a) y = cos2x b)y = 2sin2(3x – /6) Giải: a) ta cĩ y = cos2x 1 cos2x 2 y y là hàm số tuần hồn chu kỳ là 2 2 2 b) tƣơng tự y là hàm số tuần hồn chu kỳ là 6 3 VD4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mỗi hàm số a) y = sin2x – 1 b) y = 3cosx + 2 c) y = sin6x + cos6x Giải: a) Vì -1 ≤ sìn2x ≤ 1 y = -2 ≤ sin2x – 1 ≤ 0 Nên giá trị lớn nhất của hàm số là 0 và giá trị nhị nhất của hàm số là -2 b) Tƣơng tự giá trị lớn nhất của hàm số là 5 và giá trị nhị nhất của hàm số là -1 3 c) y = sin6x + cos6x = 1 sin 2 2x 4 3 1 Vì 0 ≤ sìn22x ≤ 1 1 y 1 sin 2 2x 4 4 Nên giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhị nhất của hàm số là 1/4 VD5. Tìm tập xác định của hàm số ( Dành cho học viên) a) y = tan( cosx ) 2 x b) y = cot 2 4 VD6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số ( Dành cho học viên) a) y = tan|x| b) y = tanx – sin2x VD7. Tìm chu kì của hàm số sau ( Dành cho học viên) a) y = sin2(2x + 1) b) y = tan3x VD8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = Asinx + Bcosx Giải: A B ta cĩ y = Asinx + Bcosx = A2 B2 sin(x ) trong đĩ cos sin A2 B 2 A2 B 2 Nên giá trị lớn nhất của hàm số là A2 B 2 và giá trị nhị nhất của hàm số là A2 B 2 Trang 29
  30. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ VD9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của a) y = 6cos2x + 8sinxcosx + 1 b) y = 4(sin4x + cos4x) + (cos2x + sin2x)2. Giải: a) ta cĩ y = 6cos2x + 8sinxcosx + 1 y = 3cos2x + 4sin2x + 4 Áp dụng VD8 ta cĩ -5 ≤ 3cos2x + 4sin2x ≤ 5 -1 ≤ y = 3cos2x + 4sin2x + 4 ≤ 9 Nên giá trị lớn nhất của hàm số là -1 và giá trị nhị nhất của hàm số là 9 b) tƣơng tự ( Dành cho học viên) Bài Tập 1) Tìm tập xác định của hàm số 3x 1 1 1 a) y = sin b) y = x2 1 sinx cosx c) y = cosx 1 1 cos2 x d) y = tan(2x + /3) 2) Xét tính chẵn lẻ của hàm số a) y = 3sinx – 2 b) y = sinx – cosx c) y = sinxcos2x + tanx d) y = sin2x + cosx sinx cosx e) y = f) y = x4 3x2 2 x2 1 3) Tìm chu kì của hàm số a) y = cos24x b) y = sin2x c) y = cos3x 4) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số a) y = 2cos x + 3 b) y = 1 sin(x2 ) 1 3 c) y = 3cosx – 1 d) y = sin4x + cos4x e) y = sin7x + cos8x f) y = asinx + bcosx g) y = 2sinx + 3cosx + 1 h) y = 6cos2x – 8sinxcosx i) y = 4cos2x – 6sinxcosx + 6 j) y = cos2x – sinx k) y = sinx + sin(x + 1200) 4 l) y = 3tan 6 x cos 6 x Trang 30
  31. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ &2. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1) Phƣơng trình sinu = m (1) _ Phƣơng trình (1) cĩ nghiệm – 1 ≤ m ≤ 1 u arcsinm k2 _ Khi đĩ sinu = m k Z (u là biểu thức chứa biến x) u arcsinm k2 u v k2 _ Trƣờng hợp sinu = sinv k Z (u, v là biểu thức chứa biến x) u v k2 VD1. Giải phƣơng trình sau 3 a) sinx = 2 b) sin 3x sin x . 5 5 c) 3sin2x = 2 Giải: 3 x k2 a) sinx = sin x sin 3 (k Z) 2 2 3 x k2 3 b),c) ( Dành cho học viên) 2) Phƣơng trình cosu = m (2) _ Phƣơng trình (2) cĩ nghiệm – 1 ≤ m ≤ 1 u arccosm k2 _ Khi đĩ cosu = m k Z (u là biểu thức chứa biến x) u arccosm k2 u v k2 _ Trƣờng hợp cosu = cosv k Z (u, v là biểu thức chứa biến x) u v k2 VD2. Giải phƣơng trình sau 2 a) cosx = . 2 b) cos 2x cos x . 3 6 c) 3cos(3x – 1) = 1 Trang 31
  32. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ d) cos(2x – 1) + cosx = 0. Giải: 2 x k2 a) cos x cosx cos 4 (k Z) 2 4 x k2 4 b),c),d) ( Dành cho học viên) 3) Phƣơng trình tanu = m (3) và cotu = m (4) u m _ tanu = m u = arctanm + k _ tanu = tanv 2 u v k u m _ cotu = m u = arccotm + k _ cotu = cotv u v k VD3. Giải phƣơng trình sau 1 a) tan5x = 3 b) 3tan3x + 1 = 0 c) tan3x = tanx Giải: 1 a) tan x tan x tan x k (k Z) 3 3 3 b),c) ( Dành cho học viên) VD4. Giải phƣơng trình sau a) cot(3x – 140) = 1 b) cot(2x + 1) + 2 = 0 c) cot 3x = cotx 5 Giải: Trang 32
  33. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ a) cot(x 14 0 ) 1 cot(x 14 0) cot 45 0 x - 14 0 45 0 k180 0 x 59 0 k180 0 (k Z) b),c) ( Dành cho học viên) LƢU Í : _ sinx = 1 x = k2 2 _ sinx = – 1 x = k2 2 _ sinx = 0 x = kð _ cosx = 1 x = k2ð _ cosx = – 1 x = ð + k2ð _ cosx = 0 x = k 2 Chú í : a) Để giải phƣơng trình LG ta biến đổi phƣơng trình cho về một trong các dạng cơ bản trên, từ đĩ áp dụng cơng thức trên giải phƣơng trình b) Khi khử mẫu số phải cĩ điều kiện MS khác 0 c) Khi khử tanx phải cĩ điều kiện cosx khác 0 d) Khi khử cotx phải cĩ điều kiện sinx khác 0 e) – cosx = cos(x ) = cos( - x) – sinx = sin(– x) f) – tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x) VD5. Giải phƣơng trình sau : a) sin3x – 3 cos3x = 2sin2x b) 2 2 sin x cosx = 1 12 x 3 c) 4sin 2 3 cos2x 1 2 cos2 x 2 4 2 3 2 d) cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 e) tan3x – tanx = 1 + tan3x.tanx Giải: 1 3 a) sin3x – cos3x = 2sin2x sin3x – cos3x = sin2x 2 2 Trang 33
  34. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ sin(3x – )= sin2x 3 Phần cịn lại dành cho học viên b) 2 2 sin x cosx = 1 2(2sin xcos cosx 2cos2 xsin ) 1 12 12 12 2(sin 2xcos (1 cos2x)sin ) 1 12 12 2(sin(2x ) sin ) 1 12 12 5 sin(2x ) sin sin cos sin 12 4 12 12 12 Phần cịn lại dành cho học viên c),d)e) ( Dành cho học viên) Bài tập Giải các phương trình sau : 1) cos(2x + 60o) = cos(x + 45o) 13) sinx.cosx.cos3x – sin3x.cos2x + sinx = 2) sin(2x + 10o) + sin(x – 19o) = 0 0 2 3) sinx + cosxcos2x = sinxsin2x 14) cos10x + 2cos 4x + 6cos3x.cosx = 3 4) cos3xcos2x – cos4xcosx = cosx cosx + 8cosx.cos 3x 2 2 5 5) 2cos x = 2sin x – 4sinxcosx + 2 15) sin4x + cos4x = 6) (sin2x – cos2x)2 = sin3xcosx + 8 sin2x cos3xsinx 16) 1 7) cosx + cos2x = sinx + sin2x cos3x 8) cos(2x + 10o) + sin(80o – 2x) + 1 = 0 17) tan3x = tanx 18) tan3x.tanx = 1 9) cotg(3x + ) = tg2x 4 19) 2sin2x + 1 = 0 với 0 < x < 20) 2cos(x – 5) = 3 với – < x < 10) cos22x = sin2(x + ) 3 21) tan(2x – 150) = 1 với – 1800 < x < 900 0 0 11) cos(2x + ) + cosx = 0 22) cot3x + 1 = 0 với – 90 < x < 0 3 12) tan(x + ) + cot2x = 0 4 3. MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÁC I) PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI , BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Trang 34
  35. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ A(f(x))2 + Bf(x) + C = 0 hay A(f(x))3 + B(f(x))2 + Cf(x) + D = 0 PP giải : Đặt ẩn phụ t = f(x) là hàm số LG Ta đƣợc phƣơng trình Đại số theo t Chú í : t = sinu hay cosu cần ĐK t [-1, 1] VD1. Giải phƣơng trình sau a) 2sin2x + 5sinx – 3 = 0. b)cot23x – cot3x – 2 = 0. c) tan4x – 4tan2x + 3 = 0 . d) 2cos2x + 2cosx – 2 = 0. e) 2sin22x + 3 cos2x + 1 = 0. Giải: a) Đặt t = sinx -1 ≤ t ≤ 1 d) Đổi cos2x = 2cos2x -1 b) Đặt t = cot3x e) Đổi sin22x = 1 - cos22x c) Đặt t = tan2x t ≥ 0 VD2. Giải phƣơng trình sau 2 cos 4x 4x a) cotx = tanx + e) cos = cos2x sin 2x 3 sin 2x cos2x f) 8 b) tanx cot x sin8x + 8cos8x + cos4x = 0 cosx sin x c) 4(sin4x + cos4x) = 5cos2x d) tanx – 2cotx – 3 = 0 Giải: a) cotx = tanx + (1) điều kiện x k (k Z) (*) 2 Với điều kiện (*) (1) cos2x = sin2x + 2 cos4x cos2x - sin2x = 2(2cos22x – 1) cos2x = 4cos22x – 2 Đặt t = cos2x -1 ≤ t ≤ 1 Phần cịn lại dành cho học viên b) sin 2xsin x cos2xcosx sin 2 x cos2 x cos x (1 cos2 x) cos2 x Trang 35
  36. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2cos2 x cosx 1 0 Phần cịn lại dành cho học viên 1 c) 4(sin4x + cos4x) = 5cos2x 4( 1 - sin 2 2x ) = 5cos2x 2 4 -2(1 – cos22x = 5cos2x Phần cịn lại dành cho học viên d),e),f) (Dành cho học viên) Bài tập Giải các phƣơng trình sau : 23) tan4x – 4tan2x + 3 = 0 31) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 24) 2sin22x + 3 cos2x = 0 32) 2tan2x + 2sin2x = 3cotx 5 5 2 25) cos2x + 9cosx + 5 = 0 33) 4cos x.sinx – 4sin x.cosx = sin 4x – 1 2 26) sin3x.sinx = cos2x + 2 34) 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) 3 2 2 cos x(2sin x 3 2) 2 cos x 1 27) + tan x = 9 35) 1 cosx 1 sin 2x 28) 4(sin4x + cos4x) = 5 cos2x 36) cos9x – 2cos6x = 2 5 37) sin5x = 5sinx 29) cos2(x + ) + 4cos( x) = 3 6 2 30) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1 II) PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinU, cosU AsinU + BcosU = C (1) (AB ≠ 0) PP Giảii : PP1: Chia 2 vế cho A 2 B2 Ta được : A B C (1) sinU cosU A 2 B2 A 2 B2 A 2 B2 C sinU.cos + sin .cosU = A2 B2 C sin(U + ) = là phƣơng trình cơ bản A2 B2 Chú í : a) Phƣơng trình (1) cĩ nghiệm A2 + B2 C2. B b) Trƣờng hợp C = 0 : (1) tanU = A Trang 36
  37. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ c) Trƣờng hợp B = A : sinU cosU = 2 sin U 4 Hay cosU sinU = 2 cos U  4 VD3. Giải phƣơng trình sau a) 3 sinx – cosx = 1 b) 3cosx + 4sinx = – 5 x x 2 c) sin cos 3 cosx 2 2 2 d) 2sin 2 x 3 sin 2x 1 0 Giải 3 1 1 a) sinx – cosx = 1 sinx – cosx = 2 2 2 cos sinx – sin cosx = 6 6 sin(x ) = sin( ) 6 6 Phần cịn lại dành cho học viên 3 4 b) 3cosx + 4sinx = – 5 cosx + sinx = -1 (1) 5 5 3 4 Đặt là 1 gĩc sao cho sin và cos 5 5 Ta cĩ (1) sin(x+ ) = -1 x = - k2 (k Z) 2 x x 2 x x x x c) sin cos 3 cosx 2 sin 2 cos2 2sin cos 3 cosx 2 2 2 2 2 2 2 sinx 3 cos x 1 Phần cịn lại dành cho học viên d) 2sin 2 x 3 sin 2x 1 0 1 - cos2x 3 sin 2x 1 0 3 sin 2x - cos2x 2 Phần cịn lại dành cho học viên Bài tập Giải các phương trình sau : Trang 37
  38. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 38) 2 cos2x – 6 sin2x + 2 = 0 2 1 43) 3 sinx.cosx – sin2x = 3 39) 2 2 cos2x + 2sinx.cosx = 2 2 44) 12cosx – 5sinx + 13 = 0 40) ( 3 + 1)cos2x + ( 3 – 1)sin2x + 3 = 1 45) 3 cos2x + sin2x + 2sin(2x ) = 6 41) 3 sinx – cosx = 2 2 2 42) 2 cos8x + 2 sin8x + 1 = 0 46) 3 cos2x – 2sinxcosx = 1 50) Định m để : 6sinx.cosx – 2mcos2x = m 47) 2cos2x – 2cosx = sin2x – 3 cĩ nghiệm 2 48) 3 cosx + sinx = 2cos2x 51) Định m để : (sinx – cosx) = m(cos2x + sin2x) cĩ nghiệm 49) 8sin2x.cosx = 3 sinx + cosx III) PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP THEO sinu & cosu Bậc 2 : A.sin2U + B.sinU.cosU + C.cos2U + D = 0 (1) Phƣơng pháp1: (Chia 2 vế cho cos2U) cos U 0 (1) A D 0 A tan 2 U Btan U C D(1 tan 2 U) 0 Phƣơng pháp2: Hạ bậc 2 đƣa (1) về phƣơng trình bậc 1 theo sin2x và cos2x A B C (1) (1 cos2U) sin2U (1 cos2U) D 0 2 2 2 asin2U + bcos2U = c (quen thuộc) Bậc 3 : A.sin3U + B.sin2U.cosU + C.sinU.cos2U + Dcos3U + EsinU + FcosU = 0 (2) Phƣơng pháp : (Chia 2 vế cho cos3U) cos U 0 (2) A E 0 A tan 3 U Btan 2 U C tan U D E tan U(1 tan 2 U) VD1. Giải phƣơng trình sau 2 2 a) 4sin x – 5sinxcosx – 6cos x = 0 c) sin2x – sinxcosx + 2cos2x = 1 b) 3sin2x + sinx.cosx = 1 d) 2 2 cos3 x 3cosx sin x 0 4 Giải a) 4sin2x – 5sinxcosx – 6cos2x = 0 (1) Trang 38
  39. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Xét cosx = 0 x = k (k Z) ( khi đĩ sin2x =1) 2 (1) 4 = 0 ( Sai) x = khơng là nghiệm Xét cosx ≠ 0 x ≠ (k Z), Chia 2 vế cho cos2x ta cĩ (1) 4tan2x – 5tanx - 6 = 0 3 tanx = 2 hay tanx = 4 x = arctan2 + k hay x = arctan + k b); c); d) Dành cho bạn đọc Giải các phương trình sau : 3 3 2 2 sin x cos x 52) 3cos x + 4sinx.cosx – sin x = 3 57) = cos2x 2 cos x sin x 53) sin2x + 3 sinx.cosx + 2cos2x = 58) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x 3 2 59) sinx = (sinx – cosx)3. 2 3 5sin4x.cosx 54) 5sin2x – 4sinx.cosx – cos2x = 4 60) 6sinx – 2cos x = 2 cos2x 55) 2sin2x + sin2x – 3cos2x = 2 56) sin3(x + ) = 2 sinx 4 PP GIẢI F(sinU cosU ; sinU.cosU) = C (1) Phƣơng pháp : Đặt : t = sinU cosU = 2 sin(U /4) t 2 1 => t [ 2, 2] và sinU.cosU = 2 t sin U cos U 2 sin(U ) 4 Ta cĩ : (1) t 2 1 F t; C 2 VD. Giải phƣơng trình sau a) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 b) cosx – sinx + 6sinxcosx = 1 c) (sinx + cosx)2 = cosx – sinx Trang 39
  40. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Giải a) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 (1) Đặt t = sinx + cosx = 2 sin(x ) 2 t 2 4 t 2 1 sinxcosx 2 t2 + 3t + 2 = 0 t = -1 (n) hay t = -2 (loại) π π π Với t = -1 2sin(x ) 1 sin(x ) sin( ) 4 4 4 π x k2 hay x k2 (k Z) 2 b); c) Dành cho bạn đọc Bài tập Giải các phương trình sau : 1 61) sinx + cosx + sinx.cosx = 2 64) sin2x + 2 cos(x ) = 1 2 4 3 62) 1 + sin3x + cos3x = sin2x 65) (1 – sin2x)(cosx – sinx) = cos2x 2 66) cotx – tanx = sinx + cosx 63) 2sin2x – 3 6 (sinx + cosx) + 8 = 0 V) PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÁC PP1 : Biến đổi phƣơng trình cho về một trong các dạng trên f(x) 0 PP2 : Biến đổi phƣơng trình cho về dạng tích : f(x) .g(x) = 0 g(x) 0 Các phƣơng VD1. Giải phƣơng trình sau trình quen thuộc 1 a) sin4x + cos 4 (x ) b)sin5x 4 4 + sin3x + sinx = 0 c) sin5x + sinx + 2sin2x = 1 d)sin2x + sin23x = 2sin22x e) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 f)sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 g) sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx h) cos3x – sin3x = cos2x Giải các phương trình sau : Trang 40
  41. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2 2 2 3 84) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 67) sin x + sin 3x + sin 5x = 4x 2 85) cos = cos2x 68) 2cos22x – 2cos2x = sin2x 3 6x 8x 69) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 86) 2cos2 = 3cos – 1 5 5 70) 2 cos2x = 3 (cosx – sinx) 87) tgx + cotgx – cos4x = 3 71) cos3x + sin3x = cos2x 88) cos6x + sin6x = cos2x 72) sinx + sin2x + cos3x = 0 89) cosx – sinx = cos3x 73) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 90) cos4x + sin4x = cos2x 74) 1 + 2sinxcos2x = sinx + 2cos2x 2 91) sin3x + 2cos2x – 2 = 0 75) 2cos2x.cosx + cos2x = 3 – 4sin x 92) 2cos3x = sin3x 76) sin2x = 1 + cosx + cos2x 93) sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x) 77) tgx + tg2x – tg3x = 0 94) 2sin22x + sin7x – 1 = sinx 78) tg3x + cos6x = 1 sin 2x 79) tg3x – tgx = sin2x 95) + 2cosx = 0 1 sin x 80) cos3x – sin3x = cos2x 96) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 81) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 + sin2x 82) tg2x + cotg2x + 2(tgx + cotgx) = 6 83) 2cos3x + sinx + cosx = 0 BÀI TẬP NÂNG CAO: I. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN: Bài 1: Giải các phƣơng trình sau ππ a) 2cos3x + 3sinx + cosx = 0 ;(ĐH Huế 1999) b) sin(3x - ) = sin2x.sin(x+ ) ; 44 31 c) 1 + tanx = 2 2.sinx ;( ĐH Mỏ 1999) d)8sinx = ; cosx sin x e) (2sinx -1)(2sin2x + 1) = 3 - 4cos 2 x ;(ĐHQG 2004) f)sin2 3x - cos 2 4x = sin 2 5x - cos 2 6x ; g) (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x - si nx ;(ĐHQG 2004) h)1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0;(B- 2005) (2 - sin2 2x)sin3x i) tan4 x + 1 = ;( ĐHQG –B-2002) cos4 x x j) tanx + cosx - cos2 x = sinx(1+tanx.tan ) (DB-2002) 2 Trang 41
  42. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ x π (2- 3)cosx - 2sin2 ( - ) k) 3 - tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.( DB-A-2003) m) 24 = 1( DB-B- 2cosx - 1 2003) cos2 xx (cos 1) 11 n) = 2(1+sinx) ;( DB-D-2003) o) 2 2 cos(x ) ;( sinx + cosx cosxx sin 4 DB-B-2004) p) 2sinx.cos2x + sin2x.cosx = sin4x.cosx ; q) x3π 4sin22 - 3cos2x = 1 + 2cos (x - ); 24 π cos2x - 1 r) tan( +x) - 3tan2 x = ; s) 2 cos2 x 3π sinx tan( - x) + 2 ;(DHQG-D-2005) 2 1+cosx x πx t) ; u) sin2 ( - ).tan 2 x - cos 2 = 0 .( 2 4 2 DHQG-B-2003) x v) cotx + sinx(1+tanx.tan ) 4 ;( DHQG-B-2006) w) cos3x + cos2x - cosx - 1 0; 2 1 x) sin33 x.cosx - cos x.sinx = ;(DHKT-A-1995) y) 4 1 cosx.cos2x.cos4x.cos8x = ;(KTQD-HN-1995) 16 Bài 2: Giải các phƣơng trình sau a) cos3x + cos2x + cosx sin3x + sin2x + sinx (DHNT-1999); b) cos10x + 2cos23 4x + 6cos3x.cosx cosx + 8cosx.cos 3x (DHTCKT-HN-1998); 1 ππ c) sin44 x + cos x = .cot(x + ).cot( - x) (GTVT-A-99) d) 8 3 6 1 sin6 x + cos 6 x = cos 2 2x + ;(DHNN-HN-99) 16 17 π 1 1 e) sin22 2x - cos 8x = sin( 10x ) ; f) 2 2sin(x + ) = + ;( 2 4 sinx cosx DHQG-HN-97) sin44 x + cos x 1 1 g) = (tanx+cotx) ;(BKHN-2000); h) sin44 (x+ ) + cos x = ( sin2x 2 44 DHLuật-HN-95) sinx.cot5x i) sin3 xcos3x + cos 3 xsin3x = sin 3 4x (DHNT-1999); j) 1;(DH Huế 1999) cos9x Trang 42
  43. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ k) sin6 x + cos 6 x = 2(sin 8 x + cos 8 x) ;(DHQG-HN-99) m) 1 2tanx + cot2x = 2sin2x + ;(DHQG-HN-98) sin2x n) 2cos2 x + 2cos 2 2x + 2cos 2 3x - 3 = cos4x(2sin2x + 1) (DHSP-2000). (1 - 2sinx).cosx o) = 3 (Khối A -2009) p) (1 + 2sinx)(1 - sinx) 3 cos5x 2sin 3x.cos2x sin x 0 (Khối D -2009) q)sin x cos x.sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin3 x) (Khối B -2009) r) (1 2sin x)2 cos x 1 sin x cos x (CD -2009) s) (1 sin x cos2x)sin(x ) cosx 4 (Khối A -2010) 1 tan x 2 t) (sin2x cos2x)cosx 2cos2x sin x 0 (B -2010) u) sin2x cos2x 3sin x cosx 1 0( D -2010) 5x 3x v) 4cos cos 2(8sin x 1)cosx 5( CD -2010) w) 2 2 1 sin 2x cos2x 2 sin x.sin 2x ( Khối A -2011) 1 cot2 x x) sin2xcosx sin xcosx cos2x sin x cosx ( Khối B -2011) sin 2x 2 cos x sin x 1 y) 0( Khối D -2011). tan x 3 II. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC: Bài 1: Giải các phƣơng trình sau a) sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0;(DB-D-05) b) π 2 2cos3 (x - ) - 3cosx - sinx = 0 ;(DB-A-05) 4 cos2x 1 2 c) cotx - 1 = + sin2 x - sin2x ;(DHQG-A-03) d) cotx - tanx + 4sin2x = ( 1 + tanx 2 sin2x DHQG-B-03); e) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tan2 x ;( DHQG-B-04) f) cos22 3x.cos2x - cos x = 0 ;( DHQG-A-05) π π 3 g) cos44 x + sin x + cos(x - ).sin(3x - ) - = 0; h) 4 4 2 sin44 x + cos x 1 1 = cot2x - ;(DB-DHQG-02) 5sin2x 2 8sin2x Trang 43
  44. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ i) cos2x + cosx(2tan2 x - 1) = 2;(DB-DHQG-03) j) 3cos4x - 8cos62 x + 2cos x + 3 = 0 ; (DB-QG-B-02) m) 3cos4x - 8cos62 x + 2cos x + 3 = 0 ;(DB-QG-B-03) n) 2cos4x cotx = tanx + ;(DB_DHQG-D-2003) sin2x 2(cos66 x + sin x) - sinxcosx 0) 4(sin33 x + cos x) = cosx + 3sinx ;( DB-QG-A-04) p) =0 ;( 2 - 2sinx DHQG-A-06) q) cosx.cos4x + cos2x.cos3x = 0;(DHNT-1998) r) 3tan22 x + 4tanx + 4cotx + 3cot x + 2 = 0 ;(CDHQ-02) π s) cos3 x - 4sin 3 x - 3cosx.sin 2 x + sinx = 0 ;( DHNT-1996) t) 8cos3 (x + ) = cos3x ;( DHQG- 3 HN-1999) 1 u) 2tanx + cot2x = 2sin2x + ; v) sin2x π (sin2x + 3cos2x)2 - 5 = cos(2x - ) ;(GTVT 96) 6 3x 4x 1 1 2 w) 2cos2 + 1 = 3cos ;(DHNL-1993) x) + = ; 55 cosx sin2x sin4x y) tanx + tan2 x + tan 3 x + cotx + cot 2 x + cot 3 x = 0 ; z) 17 sin8 x + cos 8 x = cos 2 2x ;(DHNT-95) 16 Bài 2: Giải các phƣơng trình sau π a) tan3 (x - ) = tanx - 1; b) 4 sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2 x ;(DH-Mo-2000) x 3x x 3x 1 sin 3xx sin 5 c) cosx.cos .cos - sinx.sin .sin (Y-HN-97) d) ;(DH-TL-2000) 2 2 2 2 2 35 sin5x e) 4cos3 x + 3 2sin2x = 5cosx ;(HVHCQG-2000) f) 1;(DH Mo 97) 5sin x g) 1 + 3tanx = 2sin2x ;(DHQG HN 2000) h) sin44 2x + cos 2x = cos4 4x (DHXH-HN 2000) ππ tan( - x).tan( + x) 44 i) sin2x + 2tanx = 3;(BK HN 2001) j) tan2x + cotx = 8cos2 x ; cosx(2sinx + 3 2) - 2cos2 x - 1 3 k) = 1; l) 1 + sin33 2x + cos 2x = sin4x ; 1 + sin2x 2 Trang 44
  45. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ ππ m) 2(2sinx - 1) = 4(sinx - 1) - cos(2x + ) - sin(2x + ) n) 44 (3 + 2sinx).cosx - (1 + cos2 x) = 1; 1 + sin2x 11 o) 4cos2 x - cos3x = 6cosx + 2(1 + cos2x) ; p) 2sin3x - = 2cos3x + ; sinx cosx q) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx ; r) xx πx 1 + sin .sinx - cos .sin22 x = 2cos ( - ). 2 2 4 2 III. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN ASINX + BCOSX + C = 0 Bài 1: Giải các phƣơng trình sau a) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8;(DHNT 97) b) 2cos3 x + cos2x + sinx = 0 ;( DHNT 95) c) 3sin3x - 3cos9x = 1 + 4sin3 3x ; (DH-Mo-1995) d) 2 2(sinx + cosx)cosx=3 + cos2x ;(DHGTVT 2000) e) cos33 x + sin x = sin2x + cosx + sinx ;(DHCS-2000) f) cos33 x + sin x = sinx - cosx ;(BDCBYT 98) g) tanx - 3cotx = 4(sinx + 3cosx) ;(DHTL – 2000) h) 3 cosx + 3sinx =3 - ; cosx + 3sinx + 1 i) 4sin3 x - 1 = 3sinx - 3cos3x ;(CDHQ 98) j) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1) ; 1 k) 1 + sin33 2x + cos 2x = sin4x ;( DHGTVT1997) m) 2 6 3cosx + 4sinx + = 6; 3cosx + 4sinx + 1 n) sinx + cosx = cos2x;(DHDL 99) o) 2cos3x + 3sinx + cosx = 0 .(DH Huế1999) IV. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG A(SINX + COSX) + BSINXCOSX + C = 0 - PHƢƠNG TRÌNH GẦN ĐỐI XỨNG A(SINX - COSX) + BSINXCOSX + C = 0: Bài 1: Giải các phƣơng trình sau a) sinx + sin2 x + sin 3 x + sin 4 x = cosx + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x ;(DHNT1998) 3(1+sinx) πx b) 3tan32 x - tanx + - 8cos ( - ) = 0 ;(KT 99) c) cos2 x 4 2 3 1 + sin33 x + cos x = sin2x ;(GTVT 99) 2 d) 1 + cos33 x - sin x = sin2x ;(DHNN 2000) e) 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sinx) = 2;( GTVT 97) Trang 45
  46. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ f) cos33 x + sin x = cos2x ;(DHY HN 2000) g) sinx + sin23 x + cos x = 0 ;(DHNH TPHCM 2000) h) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2;(DH Huế 2000) i) 2sinx + cotx = 2sin2x +1;(DHQG HN 2000) j) 2sin3x - sinx 2cos 3x - cosx cos2x ; (HVKTQS 99) k) sin2x - 12(sinx - cosx) + 12 = 0;(DHNNTH 99) sinx + cosx m) = 1; n) cotx - tanx = sinx + cosx (DHNN sin2x + 1 HN 97) 0) cos2x + 5 = 2(2 - cosx)(sinx - cosx) ;(DHDN 99) p) π sin2x + 2sin(x - ) = 1;(DHNN HN 2000) 4 1 - cos3 x q) tan2 x = ; r) cotx - tanx = sinx + cosx .( DHNN 1 - sin3 x HN 1997) V. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ASIN2X + BSINXCOSX + CCOS2X = 0: Bài 1: Giải các phƣơng trình sau a) 3cos4 x - 4sin 2 xcos 2 x + sin 4 x = 0;(DHQG 98) b) sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 ;(DHNN 99) c) cos3 x - 4sin 3 x - 3cosx sin 2 x + sinx = 0 ;(DHNT 96) d) cos22 x - 3sin2x = 1 + sin x ; 1+ 3 e) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 ;(HVNH TPHCM 2000) f) sin2x = ( 3 - 1)cos2 x + 1 ; 2 g) cos33 x - sin x = sinx + cosx ; h) 2cos3 x = sin3x ; i) cos32 x + sinx - 3sin xcosx = 0;(DH Huế 98) j) 6sinx - 2cos 3x 5sin2x.cos x ; k) sinx - 4sin3 x + cosx = 0;(DH Y HN 99) m) tanx.sin22 x - 2sin x = 3(cos2x + sinxcosx) ;( Mỏ 99) 1 n) sinx + cosx = ; 0) 9sin33 x - 5sinx + 2cos x = 0 ; cosx p) 3sin22 x - 2sinxcosx - cos x = 0. VI. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CĨ CĂN: Bài 1: Giải các phƣơng trình sau 3tanx a) 2 3sinx = - 3 ; b) 2 sinx-1 sin33 x(1 + cotx) + cos x(1 + tanx) = 2 sinx.cosx ; c) 1+sinx + cosx = 0 ; d) 3 - cosx - cosx + 1 = 2;(DH Huế A 2000) Trang 46
  47. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ e) 3sin2x - 2cos2 x = 2 2 + 2cos2x ;(DHTM-A-2000) f) 1 ( 1-cosx + cosx)cos2x = sin4x (DHBK HN 97) 2 sin24 2x + cos 2x - 1 g) 8cos4x.cos2 2x + 1 - cos3x + 1 = 0 ;(SP Vinh 2000) h) =0 ; sinx.cosx 4x cos - cos2x i) 5cosx - cos2x + 2sinx = 0 ;(DHSP HN 97) j) 3 = 0 ;(DHYD-HN- 1 - tan2 x 99) 1 - cos2x 1 k) = 2(cosx - ) ; sinx 2 sin33 x+cos x m) cos2x + 1 + sin2x = ; 2 n) sin3 x + cos 3 x + sin 3 xcotx + cos 3 xtanx = 2sin2x ; o) sin2 x - 2sinx + 2 = 2sinx - 1; π p) 1 + 8sin2xcos2 2x = 2sin(3x+ ) ;(KTQD HN 2000) q) 4 cos2x + 1 + 2sin2x = 2 sinx + cosx ; cos33 x - sin x r) sinx + 3cosx = 2 + cos2x + 3sin2x ; s) = 2cos2x . sinx + cosx VII. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CĨ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Bài 1: Giải các phƣơng trình sau a) cosx + sin3x = 0; b) sinx - cosx + 4sin2x = 1; 1 c) cotx = tanx + ; d) 3sinx + 2 cosx - 2 = 0 ;(DHTS sinx 2000) e) sinxcosx + sinx + cosx = 1(DHQG HN 97) f) tan2 x 1 = tanx + 1 + ;(DHTS NT 99) tanx - 1 tanx - 1 1 g) cos3x = 1 - 3sin3x (DHBK TPHCM 94) h) tanx = cotx + ;(DHKT cosx 1995) i) cosx + 2sin2x - cos3x = 1 + 2sinx - 2cos2x ; j) cos44 x - sin x = cosx + sinx . VIII. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC: Bài 1: Giải các phƣơng trình sau Trang 47
  48. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ x 2tan a) 2 = y2 - 4y + 5; b) sinx + cosx = 2(2 sin 3x ) ; x 1 + tan2 2 c) cos3x + 2 - cos22 3x = 2(1 + sin 2x) ; d) (cos4x - cos2x)2 = 5 + sin3x ; sin x e) π = cosx ; (DHTCKT HN 89); f) cos52 x + x = 0 ; 3sin2x - 2sinx g) log = log 2; h) sin3 x + cos 3 x = 2 - sin 4 x . 7 - x22sin2x.cosx 7 - x ĐÁP SỐ: I. Phƣơng trình đƣa về phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: Bi 1: a. x k ,k x k 3 2 2 b. x k ,k f. x k ,k 4 2 2 2 c. x k ,k x k 4 3 9 x k2 x k 3 d. 6 ,k g. ,k x k x k 12 2 4 x k2 x k 6 h. 4 ,k 5 2 x k2 ,k x k2 e. 6 3 x  , 2 x k x k2 i. 18 3 ,k 3 5 2 x k 18 3 j. x k2 ,k k. x k ,k 3 Trang 48
  49. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ m. x 2k 1 ,k t. 3 x k2 x k2 u. n. 2 ,k x k x k2 4 o. x k ,k x k 4 v. 12 ,k 5 x k x k p. ,k 12 x k 2 3 w. x k2 ,k 5 2 3 x k q. 18 3 ,k x. x k ,k 7 x k2 8 2 6 2 x k y. 15 ,k r. x k ,k 2 4 x k 17 17 x k2 s. 6 5 x k2 6 Bi 2: a. x k ,k b. x k2 ,k c. x k ,k 8 2 4 2 k 5 x d. x k ,k e. 20 10 ,k f. x k ,k k 12 x 4 6 3 x k x k g. pt vơ nghiệm h. 2 ,k i. 12 4 x k x k 4 12 k x k x k2 j. 4 ,k k. x ,k m. 3 ,k k 2 x 4 2 x k2 20 10 3 k x n. 8 4 ,k o. B105/70 k2 x 6 3 Trang 49
  50. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ II. Phƣơng trình đƣa về phƣơng trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lƣợng gic: Bài 1: x k2 x k 2 o. 4 ,k x k2 a. , k x k x k2 3 6 5 5 x k2 p. x 2m ,m 6 4 x k x k 2 b. 2 ,k q. x k2 ,k x k 4 x k2 c. x k ,k 4 r. x k ,k 4 d. x k ,k 3 s. x k ,k 6 x k2 e. 6 ,k x k 5 6 x k2 t. x k2 ,k 6 k x k2 f. x ,k 3 2 x k2 g. x k ,k u. 3 4 2 x k2 h. x k ,k 3 6 7 v. x k ,k x k2 12 i. ,k x k2 x 5k 3 w. 5 ,k k x 5k x 2 j. 4 2 ,k x k x k2 6 k x. ,k x 5 m. ,k x k2 4 2 6 x k y. x k ,k n. x k ,k 4 3 k z. x ,k 8 4 Trang 50
  51. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Bài 2: x k x k a. 4 ,k 4 x k x k2 2 x k c. ,k 2 x k2 b. ,k 6 x k 5 6 x k2 6 x k d. ,k x k 2 x k x k 2 l. 2 ,k e. x k2 ,k x k 4 4 3 x k2 m. x k2 ,k 4 2 f. Vơ nghiệm n. pt vơ nghiệm g. x k ,k o. x k ,k 4 2 k h. x ,k x k 2 p. 12 ,k 7 i. x k ,k x k 4 12 x k x k q. ,k 2 x k 5 k 4 j. x ,k 24 2 x k k r. ,k x x k4 24 2 k. x k2 4 III. Phƣơng trình đƣa về phƣơng trình cổ điển ASinx + BCosx + C = 0: Bài 1: a. x k2 ,k x k2 2 b. 2 ,k x k 4 Trang 51
  52. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ k2 k2 x x c. 18 9 ,k i. 18 3 ,k 7 k2 k2 x x 54 9 2 3 d. Pt vơ nghiệm j. x k ,k x k2 x k 4 4 3 k. ,k e. x k2 ,k x k 4 2 x k x k m. ,k x k2 f. n. x k ,k x k2 4 g. 3 4 k x k2 o. x ,k 9 3 2 5 x k h. 6 ,k x k2 3 IV. Phƣơng trình đƣa về phƣơng trình đối xứng A(Sinx + Cosx) + BSinxCosx + C = 0 – Phƣơng trình gần đối xứng A(Sinx – Cosx) + BSinxCosx + C = 0: Bài 1: a x k x k 4 4 . x k2 ,k d. x k2 ,k 2 2 x k2 x k2 x k x k2 6 4 3 b. x k2 ,k e. x k2 ,k 4 4 3 x k x k2 4 c. Trang 52
  53. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ x k x k2 4 o. 2 f. x k2 ,k x k2 x k2 2 x k 4 x k2 p. x k2 2 2 x k2 g. x k2 ,k 4 3 x k2 x k2 4 x k x k2 4 h. ,k q. x k2 x k2 2 4 3 x k2 x k2 6 4 5 x k2 x k i. 6 ,k 4 x k2 r. x k2 4 4 x k2 x k2 4 4 x k2 4 j. x k2 , k 2 x k2 x k2 k. 2 ,k x k2 x k 4 m. x k2 ,k x k2 2 x k n. 4 ,k x k2 4 Trang 53
  54. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ V. Phƣơng trình đƣa về phƣơng trình thuần nhất ASin2x + BSinxCosx + CCos2x = 0: Bài 1: x k x k a. 4 ,k 4 i. x k x k 3 x k x k b. 4 j. x k 4 x k 3 k. x k 4 x k c. 4 x k x k m. 4 6 x k x k 3 d. x k x k n. 3 x k 3 x k x k e. 4 x k o. x k 3 x k x k 4 x k f. p. 4 x k x k 3 g. x k x k h. 4 x k VI. Phƣơng trình lƣợng giác cĩ căn: Bài 1: x k2 x k2 c. 3 6 x k 5 2 a. x 2 ;k, 18 d. x k2 17 x 2 e. x k 18 2 b. x k2 f. x k2 4 4 Trang 54
  55. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 2 x k2 o. x k2 g. 3 2 4 x k2 x k2 3 p. 12 5 h. x k x 2k 1) 4 12 i. x k2 x k 3 q. 4 x k3 x k2 j. k3 x x k2 4 2 r. 3 2 2 k. x k2 x k2 3 3 m. x k s. x k2 4 4 n. x k2 4 VII. Phƣơng trình lƣợng giác cĩ trị tuyệt đối: Bài 1: x k2 k x k 4 f. 4 2 3 x k2 k x k 8 2 4 k x k2 g. x a. 8 3 5 x k2 7 8 h. x k2 9 6 x k2 x k 8 5 x k2 x k2 2 4 i. k x k2 b. x 3 2 2 x k2 2 c. x k 3 3 j. x k d. x k k e. x 2 VIII. Phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực: Bài 1: Trang 55
  56. Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hĩa và Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hịang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ e. x 0 a. x k2 2 f. Vơ Nghiệm b. Vơ Nghiệm g. x c. x k2 3 d. x k2 h. x k2 2 2 Trang 56
  57. PHẦN 3: PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH I. PHƢƠNG TRÌNH ax + b = 0 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận b a 0 (1) cĩ nghiệm duy nhất x a b 0 (1) vơ nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x II. BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1. Giải và biện luận bất phƣơng trình dạng ax + b 0 S = ; a b a 0 (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt x 1,2 2a b = 0 (1) cĩ nghiệm kép x 2a < 0 (1) vơ nghiệm Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) cĩ hai nghiệm là x = 1 và x = c . a – Nếu a – b + c = 0 thì (1) cĩ hai nghiệm là x = –1 và x = c . a
  58. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ b – Nếu b chẵn thì ta cĩ thể dùng cơng thức thu gọn với b . 2 2 2. Định lí Vi–et: Nếu các số xx12, là các nghiệm của phƣơng trình bậc hai ax bx c 0 thì chúng b c thoả mãn các hệ thức S x x và P x x . 12 a 12 a 3.Dấu của nghiệm số của phƣơng trình ax2 bx c0 ( a 0) (1) cĩ hai nghiệm trái dấu P 0. IV. BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 bx c (a 0) 0, x R b = 0 a.f(x) > 0, x R \ 2a a.f(x) > 0, x (–∞; x ) (x ; +∞) > 0 1 2 a.f(x) < 0, x (x1; x2) a 0 Nhận xét: ax2 bx c0, x R 0 a 0 ax2 bx c0, x R 0 2. Bất phƣơng trình bậc hai một ẩn ax2 bx c 0 (hoặc 0; < 0; 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. III. PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Định nghĩa và tính chất Trang 58
  59. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ A khi A 0 A AA0, AAA 0 A khi A 0 ABAB 2 AA2 AAA 0 ABABAB.0 ABABAB.0 ABABAB.0 ABABAB.0 2. Cách giải Để giải phƣơng trì nh chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phƣơng hai vế. – Đặt ẩn phụ. fx( ) 0 C C gx( ) 0 1 f()() x g x 2 Dạng 1: f()() x g x f()() x g x fx( ) 0 f()() x g x f()() x g x C C 1 222 f()() x g x Dạng 2: f()() x g x f()() x g x f()() x g x Dạng 3: a f()()() x b g x h x Đối với phƣơng trình cĩ dạng này ta thƣờng dùng phƣơng pháp khoảng để giải. gx( ) 0 Dạng 4: f()() x g x g()()() x f x g x gx( ) 0 f() x có nghĩa Dạng 5: f()() x g x gx( ) 0 f()() x g x f()() x g x AB Chú ý: Với B > 0 ta cĩ: ABBAB ; AB . AB IV. PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN Cách giải: Để giải phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn đƣợc xác định. Các dạng thƣờng gặp: 2 Dạng 1: f()() x g x f()() x g x gx( ) 0 x 3 30x x 3 VD: 2xx 3 3 x 2 x 2 2xx 3 (3 )2 xx2 8 12 0 x 6 Trang 59
  60. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ f()() x g x Dạng 2: f()() x g x f( x ) 0 ( hay g ( x ) 0) t f( x ), t 0 Dạng 3: af( x ) b f ( x ) c 0 at2 bt c 0 Dạng 4: f()()() x g x h x Đặt u f( x ), v g ( x ) với u, v 0. Đƣa phƣơng trình trên về hệ phƣơng trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f() x g () x f ().() x g x h () x Đặt t f( x ) g ( x ), t 0 . fx( ) 0 Dạng 6: f( x ) g ( x ) g ( x ) 0 2 f()() x g x gx( ) 0 fx( ) 0 Dạng 7: f()() x g x gx( ) 0 2 f()() x g x V. PHƢƠNG TRÌNH TRÙNG PHƢƠNG ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) t x2,0 t 1. Cách giải: ax42 bx c 0 (1) at2 bt c 0 (2) 2. Số nghiệm của phƣơng trình trùng phƣơng Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. (2) vô nghiệm (1) vơ nghiệm (2) có nghiệm kép âm (2)có 2 nghiệm âm (2)có nghiệm kép bằng 0 (1) cĩ 1 nghiệm (2)có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm (2) có nghiệm kép dương (1) cĩ 2 nghiệm (2)có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm (1) cĩ 3 nghiệm (2)có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương (1) cĩ 4 nghiệm (2)có 2 nghiệm dương phân biệt 3. Một số dạng khác về phƣơng trình bậc bốn Dạng 1: (x ax )( bxcx )( )( d ) Kvớiab , cd – Đặt t( xaxb )( ) ( xcxd )( ) tabcd – PT trở thành: t2 ( cd ab ) t K 0 Dạng 2: ()()x a44 x b K Trang 60
  61. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ ab a b b a – Đặt tx x a t, x b t 2 22 ab – PT trở thành: 2t4 12 2 t 2 2 4 K 0 với 2 Dạng 3: ax4 bx 3 cx 2 bx a0 ( a 0) (phƣơng trình đối xứng) – Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phƣơng trình cho x2 , ta đƣợc: 11 PT a x2 b x c 0 (2) x2 x 11 – Đặt t x hoặc t x với t 2 . xx – PT (2) trở thành: at2 bt c2 a 0 ( t 2). PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Tĩm tắt giáo khoa 1. Hàm số mũ y = ax (a > 0) 1) Miền xác định D 2) Miền giá trị G (0; ) 3) 0 1: Hàm số đồng biến trên limaaxx , lim 0 limaaxx 0, lim xx xx Một số cơng thức cần nhớ (giả sử các điều kiện đƣợc thỏa) 1) aa0 1 ( 0) 1 2) a n 3) am. a n a m n an n m n m n m m. n 4) a: a a 5) aa m m m 6) ().ab a b m aam m n 7) 8) aan m b bm 2. Hàm số logarit y = logax (0 a 1) y y = logax x = a 1) Miền xác định D (0; ) 2) Miền giá trị G 3) 0 1: Hàm số đồng biến trên D Trang 61
  62. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ limyy , lim limyy , lim x 0 x x 0 x Một số cơng thức cần nhớ (giả sử các điều kiện đƣợc thỏa) log x lnx 1) axa 2) ex 2n logbbca log 3) ac 4) logaaxn 2 log x  logb log b 1 5) a 6) log b a a logb a log b 7) log b c 8) logb .log c log c a log a a b a c b 9) log (bc ) log b log c 10) loga log abc log a a a a c 3. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ bản fx() ab b 0 1) 01 a f( x ) log b a a 1 01 a f()() x g x 2) aa hoặc x : f ( x ), g ( x ) f()() x g x fx() ab b 0 b 0 3) hoặc 01 a f( x ) log b x :() f x a fx() ab b 0 b 0 4) hoặc a 1 f( x ) log b x :() f x a f()() x g x f()() x g x aa aa 5) f()() x g x 6) f()() x g x . 01 a a 1 4. Phƣơng trình và bất phƣơng trình logarit cơ bản logf ( x ) b logf ( x ) log g ( x ) f ( x ) 0 a b aa 1) f() x a 2) 01 a 0 a 1 f ( x ) g ( x ) logf ( x ) b logf ( x ) b a b a b 3) 0 f ( x ) a 4) f() x a 01 a a 1 logf ( x ) log g ( x ) logf ( x ) log g ( x ) aa aa 5) 0 g(x) > 0. 01 a a 1 Trang 62
  63. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ VI. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn a1 x b 1 y c 1 2 2 2 2 (a1 b 1 0, a 2 b 2 0) a2 x b 2 y c 2 Giải và biện luận: – Tính các định thức: ab cb ac 11, 11, 11. D Dx Dy ab22 cb22 ac22 Xét D Kết quả D D D 0 Hệ cĩ nghiệm duy nhất xyx ; y DD D 0 hoặc D 0 Hệ vơ nghiệm D = 0 x y Dx = Dy = 0 Hệ cĩ vơ số nghiệm Chú ý: Để giải hệ pt bậc nhất 2 ẩn ta cĩ thể dùng các cách giải đã biết nhƣ:phƣơng pháp thế, phƣơng pháp cộng đại số. 2. Hệ phƣơng trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phƣơng trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đƣa về các phƣơng trình hay hệ phƣơng trình cĩ số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng cĩ thể dùng các phƣơng pháp cộng đại số, phƣơng pháp thế nhƣ đối với hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn. VII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 1. Hệ gồm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình bậc hai Từ phƣơng trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. Thế vào phƣơng trình bậc hai để đƣa về phƣơng trình bậc hai một ẩn. Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phƣơng trình bậc hai này. f( x , y ) 0 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ cĩ dạng: (I) g( x , y ) 0 (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Cĩ nghĩa là khi ta hốn vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) khơng thay đổi). Đặt S = x + y, P = xy. Đƣa hệ phƣơng trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. Giải hệ (II) ta tìm đƣợc S và P. Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phƣơng trình: X2 SX P 0 . 3. Hệ đối xứng loại 2 f( x , y ) 0 (1) Hệ cĩ dạng: (I) f( y , x ) 0 (2) (Cĩ nghĩa là khi hốn vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngƣợc lại). Trừ (1) và (2) vế theo vế ta đƣợc: Trang 63
  64. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ f( x , y ) f ( y , x ) 0 (3) (I) f( x , y ) 0 (1) Biến đổi (3) về phƣơng trình tích: xy (3) (x y ). g ( x , y ) 0 . g( x , y ) 0 f( x , y ) 0 xy Nhƣ vậy, (I) . f( x , y ) 0 g( x , y ) 0 Giải các hệ trên ta tìm đƣợc nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai a x22 b xy c y d Hệ cĩ dạng: (I) 1 1 1 1 . 22 a2 x b 2 xy c 2 y d 2 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). Khi x 0, đặt y kx . Thế vào hệ (I) ta đƣợc hệ theo k và x. Khử x ta tìm đƣợc phƣơng trình bậc hai theo k. Giải phƣơng trình này ta tìm đƣợc k, từ đĩ tìm đƣợc (x; y). Chú ý: – Ngồi các cách giải thơng thƣờng ta cịn sử dụng phƣơng pháp hàm số để giải . – Với các hệ phƣơng trình đối xứng, nếu hệ cĩ nghiệm (;)xy00 thì (;)yx00cũng là nghiệm của hệ. Do đĩ nếu hệ cĩ nghiệm duy nhất thì xy00. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ BÌNH PHƢƠNG 2 VẾ CỦA PHƢƠNG TRÌNH: 1.Phƣơng pháp Thơng thƣờng nếu ta gặp phƣơng trình dạng : ABCD , ta thƣờng bình phƣơng 2 vế , điều đĩ đơi khi lại gặp khĩ khăn hãy giải ví dụ sau 3ABCABABABC 3333. 3 3 và ta sử dụng phép thế : 33ABC3 ta đƣợc phƣơng trình : ABABCC33 . . 2.Ví dụ 1) Giải phƣơng trình sau : x3 3 x 1 2 x 2 x 2 Giải: Đk x 0 Bình phƣơng 2 vế khơng âm của phƣơng trình ta đƣợc:1x 3 3 x 1 x 2 x 2 x 1 , để giải phƣơng trình này dĩ nhiên là khơng khĩ nhƣng hơi phức tạp một chút . Phƣơng trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phƣơng trình : 3x 1 2 x 2 4 x x 3 Bình phƣơng hai vế ta cĩ : 6x22 8 x 2 4 x 12 x x 1 Thử lại x=1 thỏa  Nhận xét : Nếu phƣơng trình : f x g x h x k x Mà cĩ : f x h x g x k x , thì ta biến đổi phƣơng trình về dạng : f x h x k x g x sau đĩ bình phƣơng ,giải phƣơng trình hệ quả x3 1 2) Giải phƣơng trình sau : x1 x2 x 1 x 3 x 3 Trang 64
  65. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Giải: Điều kiện : x 1 x3 1 Ta cĩ nhận xét : .x 3 x2 x 1. x 1, từ nhận xét này ta cĩ lời giải nhƣ sau : x 3 x3 1 (2)x 3 x2 x 1 x 1 x 3 x3 1 x 13 Bình phƣơng 2 vế ta đƣợc: x22 x1 x 2 x 2 0 x 3 x 13 Thử lại : xx1 3, 1 3 là nghiệm Qua lời giải trên ta cĩ nhận xét : Nếu phƣơng trình : f x g x h x k x Mà cĩ : f x h x k x g x thì ta biến đổi f x h x k x g x ĐƢA VỀ HỆ “TẠM” 1) Phƣơng pháp Nếu phƣơng trình vơ tỉ cĩ dạng ABC , mà : ABC ở dây C cĩ thể là hàng số ,cĩ thể là biểu thức của x . Ta cĩ thể giải nhƣ sau : AB ABC CAB , khi đĩ ta cĩ hệ: 2 AC AB AB 2) Ví dụ Giải phƣơng trình sau : 2x22 x 9 2 x x 1 x 4 Giải: Ta thấy : 2x22 x 9 2 x x 1 2 x 4 x 4 khơng phải là nghiệm Xét x 4 28x Trục căn thức ta cĩ : x4 2 x22 x 9 2 x x 1 2 2x22 x 9 2 x x 1 22 x 0 2x x 9 2 x x 1 2 2 Vậy ta cĩ hệ: 2 2x x 9 x 6 8 22 x 2x x 9 2 x x 1 x 4 7 8 Thử lại thỏa; vậy phƣơng trình cĩ 2 nghiệm : x=0 v x= 7 Bài tập đề nghị Giải các phƣơng trình sau : 1) x223 x 1 x 3 x 1 2) 3 x2 4 x 1 2 x 3 3) 2x2 1 x 2 3 x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2 4) 2x22 16 x 18 x 1 2 x 4 5) x2215 3 x 2 x 8 PHƢƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH Sử dụng đẳng thức u v1 uv u 1 v 1 0 au bv ab vu u b v a 0 Bài 1. Giải phƣơng trình : 33x1 x 2 13 x2 3 x 2 x 0 Giải: pt33 x1 1 x 2 1 0 x 1 Bài 2. Giải phƣơng trình : 33x1 33 x22 x x x Trang 65
  66. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Giải: + x 0, khơng phải là nghiệm xx11 + x 0, ta chia hai vế cho x: 333x1 3 x 1 1 3 x 1 0 x 1 xx Bài tập đề nghị Giải phƣơng trình: x3 2 x x 1 2 x x2 4 x 3 4x Giải phƣơng trình : xx34 x 3 Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phƣơng trình về dạng : ABkk Bài 1. Giải phƣơng trình : 33x x x Giải: Đk: 03x khi đĩ pt đ cho tƣơng đƣơng 3 1 103 10 1 : x323 x x 3 0 xx 3 3 3 3 Bài 2. Giải phƣơng trình sau : 2x 3 9 x2 x 4 Giải: x 1 2 xx3 1 3 Đk: x 3 phƣơng trình tƣơng đƣơng : 2 1 3xx 9 5 97 xx3 1 3 x 18 2 Bài 3. Giải phƣơng trình sau : 2 33 9x2 x 2 2 x 33 3 x x 2 3 Giải : pttt 33x2 3 x 0 x 1 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thơng thƣờng  Đối với nhiều phƣơng trình vơ vơ tỉ , để giải chúng ta cĩ thể đặt t f x và chú ý điều kiện của t nếu phƣơng trình ban đầu trở thành phƣơng trình chứa một biến t quan trọng hơn ta cĩ thể giải đƣợc phƣơng trình đĩ theo t thì việc đặt phụ xem nhƣ “hồn tồn ” .Nĩi chung những phƣơng trình mà cĩ thể đặt hồn tồn t f x thƣờng là những phƣơng trình dễ . Bài 1. Giải phƣơng trình: x x221 x x 1 2 Điều kiện: x 1 Nhận xét. x x221. x x 1 1 1 Đặt t x x2 1 thì phƣơng trình cĩ dạng: tt21 t Thay vào tìm đƣợc x 1 Bài 2. Giải phƣơng trình: 2x2 6 x 1 4 x 5 Giải 4 Điều kiện: x 5 t2 5 Đặt t4 x 5( t 0) thì x . Thay vào ta cĩ phƣơng trình sau: 4 Trang 66
  67. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ tt4210 25 6 2. (t2 5) 1 t t 4 22 t 2 8 t 27 0 (t22 2 t 7)( t 2 t 11) 0 16 4 Ta tìm đƣợc bốn nghiệm là: tt1,21 2 2; 3,4 1 2 3 Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị tt131 2 2, 1 2 3 Từ đĩ tìm đƣợc các nghiệm của phƣơng trình l: xx1 2 và 2 3 Bài tập đề nghị Giải các phƣơng trình sau: 2 a) xx5 1 6 b) x2004 x 1 1 x 1 23 4 2 c) x2 2 x x 3 x 1 d) x x x21 x x 2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Bài 1. Giải phƣơng trình : x23 x 2 2 x 1 2 x 2 2 Giải: 2 t 3 tx2 , ta cĩ : t2 2 x t 3 3 x 0 tx1 Bài 2. Giải phƣơng trình : x1 x22 2 x 3 x 1 Giải: Đặt : t x2 2 x 3, t 2 Khi đĩ phƣơng trình trở thnh : x11 t x2 x2 1 x 1 t 0 Bây giờ ta thêm bớt , để đƣợc phƣơng trình bậc 2 theo t cĩ chẵn t 2 : x222 x 3 x 1 t 2 x 1 0 t x 1 t 2 x 1 0 tx1 Từ một phƣơng trình đơn giản : 1x 2 1 x 1 x 2 1 x 0, khai triển ra ta sẽ đƣợc pt sau 3. Đặt nhiều ẩn phụ đƣa về tích Bài 1. Giải phƣơng trình sau : 2x2 1 x 2 3 x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2 ax212 2 a b c d Giải . Ta đặt : b x32 x , khi đĩ ta cĩ : x 2 a2 b 2 c 2 d 2 c2 x2 2 x 3 d x2 x 2 Bài tập đề nghị Giải các phƣơng trình sau 1) 4x22 5 x 1 2 x x 1 9 x 3 3 2) x4 x1 x4 1 x 1 x4 x324 x 1 x 4. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ: Bài 1. Giải phƣơng trình: x3325 x33 x 25 x 30 Đặt y3 35 x3 x 3 y 3 35 Trang 67
  68. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ xy( x y ) 30 Khi đĩ phƣơng trình chuyển về hệ phƣơng trình sau: , giải hệ này ta tìm đƣợc xy3335 (xy ; ) (2;3) (3;2) . Tức là nghiệm của phƣơng trình là x {2;3} Bài 2. Giải phƣơng trình sau: xx5 1 6 Điều kiện: x 1 Đặt a x1, b 5 x 1( a 0, b 0) thì ta đƣa về hệ phƣơng trình sau: ab2 5 (a b )( a b 1) 0 a b 1 0 a b 1 ba2 5 11 17 Vậy x1 1 5 x 1 x 1 5 x x 2 Bài 3. Giải phƣơng trình: 6 2xx 6 2 8 55xx3 Giải Điều kiện: 55x Đặt u5 x , v 5 y 0 u , v 10 . uv2210 (u v )2 10 2 uv Khi đĩ ta đƣợc hệ phƣơng trình: 4 4 8 24 2(uz ) (uv ) 1 uv 3 uv 3 Bài 4: Giải phƣơng trình: x2 2 x 2 2 x 1 1 Điều kiện: x 2 Ta cĩ phƣơng trình đƣợc viết lại là: (xx 1)2 1 2 2 1 x2 2 x 2( y 1) Đặt yx1 2 1 thì ta đƣa về hệ sau: y2 2 y 2( x 1) Trừ hai vế của phƣơng trình ta đƣợc (x y )( x y ) 0 Giải ra ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình là: x 22 Bài 5. Giải phƣơng trình: 2x2 6 x 1 4 x 5 Giải 5 Điều kiện x 4 Ta biến đổi phƣơng trình nhƣ sau: 4x22 12 x 2 2 4 x 5 (2 x 3) 2 4 x 5 11 (2xy 3)2 4 5 Đặt 2yx 3 4 5 ta đƣợc hệ phƣơng trình sau: (x y )( x y 1) 0 (2yx 3)2 4 5 Với x y2 x 3 4 x 5 x 2 3 Với x y1 0 y 1 x x 1 2 Kết luận: Nghiệm của phƣơng trình là {1 2; 1 3} Giải các phƣơng trình sau 2 4 1) 4x 13 x 5 3 x 1 0 2) 3 81x 8 x32 2 x x 2 3 2) 3 6x 1 8 x3 4 x 1 4) 3 3x 5 8 x32 36 x 53 25 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Trang 68
  69. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 22 Bài 1. Giải phƣơng trình (OLYMPIC 30/4 -2007): xx9 x 1 Giải: Đk x 0 22 2 22 1 x Ta cĩ : x2 2 x 1 x 9 xx11x 1 2 2 1 1 Dấu bằng x xx117 Bài 2. Giải phƣơng trình : 13x2 x 4 9 x 2 x 4 16 Giải: Đk: 11x 2 Biến đổi pt ta cĩ : x213 1 x 2 9 1 x 2 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 13. 13. 1x2 3. 3. 3 1 x 2 13 27 13 13 x 2 3 3 x 2 40 16 10 x 2 16 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: 10xx22 16 10 64 2 2 2 x 2 1 x Dấu bằng 1 x 5 3 2 10xx22 16 10 x 5 Bài tập đề nghị . Giải các phƣơng trình sau 1 2xx 1 2 1) 1 2xx 1 2 1 2xx 1 2 2) 16x43 5 63 4 x x 3) x3`3 x 2 8 x 40 84 4 x 4 0 4) 8x3 64 x 3 x 4 8 x 2 28 11 5) 2xx2 2 4 xx2 XÂY DỰNG BÀI TỐN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC 1 Dùng tọa độ của véc tơ  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u x1;,; y 1 v x 2 y 2 khi đĩ ta cĩ 222 2 2 2 uvuv xx1 2 yy 1 2 xyxy 1 1 2 2 xy Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ uv, cùng hƣớng 11k 0 , chú ý tỉ số phải xy22 dƣơng Trang 69
  70. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ u. v u . v .cos u . v , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos 1 uv 2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luơn cĩ MA MB MC OA OB OC với O là tâm của đƣờng trịn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi MO. Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dƣới cùng một gĩc 1200 Bài tập 1) 2212x2 x x 2 3112 x x 2 3113 x 2) x224 x 5 x 10 x 50 5 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phƣơng trình vơ tỉ dựa theo hàm đơn điệu  Dựa vào kết quả : “ Nếu y f t là hàm đơn điệu thì f x f t x t ” Bài 1. Giải phƣơng trình : 2124x x22 44329 x x x 30 Giải: 212213x x22 32 x 33 x f 21 x f 3 x 1 Xét hàm số f t t23 t 2 , là hàm đồng biến trên R, ta cĩ x 5 Bài 2. Giải phƣơng trình x34 x 2 5 x 63 7 x 2 9 x 4 x324 x 5 x 6 y Giải . Đặt y3 7 x2 9 x 4 , ta cĩ hệ : y3 y x113 x 7x23 9 x 4 y Xét hàm số : f t t3 t , là hàm đơn điệu tăng. Từ phƣơng trình x 5 3 2 f y f x1 y x 1 x 1 7 x 9 x 4 15 x 2 Bài 3. Giải phƣơng trình : 3 6x 1 8 x3 4 x 1 PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC HĨA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu x 1 thì cĩ một số t với t ; sao cho : sintx và một số y với y 0; sao 22 cho xycos Nếu 01x thì cĩ một số t với t 0; sao cho : và một số y với y 0; sao cho 2 2 Với mỗi số thực x cĩ t ; sao cho : xttan 22 Nếu : x , y là hai số thực thỏa: xy221 , thì cĩ một số t với 02t , sao cho xsin t , y cos t Trang 70
  71. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Từ đĩ chúng ta cĩ phƣơng pháp giải tốn :  Nếu : x 1 thì đặt sintx với t ; hoặc xycos với y 0; 22  Nếu 01x thì đặt , với t 0; hoặc , với y 0; 2 2  Nếu : x , y là hai số thực thỏa: xy221 , thì đặt xsin t , y cos t với 02t a  Nếu xa, ta cĩ thể đặt : x , với t ; , tƣơng tự cho trƣờng hợp khác sint 22  X là số thực bất kỳ thi đặt : xtan t , t ; 22 2. Một số ví dụ 2 3321x Bài 1. Giải phƣơng trình sau : 1 1x2 1 x 1 x 3 3 Giải: Điều kiện : x 1 Với x [ 1;0]: thì 1xx33 1 0 (ptvn) x [0;1] ta đặt : xcos t , t 0; . Khi đĩ phƣơng trình trở thành: 2 11 1 2 6 cosx 1 sin t 2 sin t cos t vậy phƣơng trình cĩ nghiệm : x 2 6 6 Bài 2. Giải các phƣơng trình sau : 1 2xx 1 2 1 2cos x 1) 1 2xx 1 2 DH: tan x 1 2xx 1 2 1 2cos x 1 2) 1 1x22 x 1 2 1 x Đs: x 2 3) x3 32 x x HD: chứng minh x 2 vơ nghiệm Bài 3 . Giải phƣơng trình sau: 3 6xx 1 2 1 Giải: Lập phƣơng 2 vế ta đƣợc:8x33 6 x 1 4 x 3 x 2 57 Xét : x 1, đặt xcos t , t 0; . Khi đĩ ta đƣợc S cos ;cos ;cos mà phƣơng trình bậc 3 cĩ 9 9 9 tối đa 3 nghiệm vậy đĩ cũng chính là tập nghiệm của phƣơng trình. 1 Bài 4. .Giải phƣơng trình x2 1 x2 1 1 Giải: đk: x 1, ta cĩ thể đặt xt,; sint 2 2 cost 0 1 Khi đĩ ptt: 1 cott 1 1 .Phƣơng trình cĩ nghiệm : x 2 3 1 sin2 x sin 2t 2 2 2 x2 1 x 1 Bài 5 .Giải phƣơng trình : x2 1 2x 21xx2 Giải: đk xx0, 1 Ta cĩ thể đặt : xtan t , t ; 22 Trang 71
  72. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Khi đĩ pttt. 2sint cos2 t cos2 t 1 0 sin t 1 sin t 2sin2 t 0 1 Kết hợp với điều kiện ta cĩ nghiệm x 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP Giải các phƣơng trình sau 1) 33x x1 2 x 1 2) x223 x 1 x 3 x 1 4) 3 x2 4 x 1 2 x 3 3) 2x2 1 x 2 3 x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2 3xx2 3 2 5) 2x22 16 x 18 x 1 2 x 4 7) xx2 2 31x 6) 4x2 3 x 3 4 x x 3 2 2 x 1 8) x1 x3 x 2 x 1 1 x 4 1 9) x2 x12 x 1 36 10) 4x 1 x33 1 2 x 2 x 1 11) 5x22 14 x 9 x x 20 5 x 1 12) 3 6x 1 8 x3 4 x 1 2 Ví dụ : Giải hệ phƣơng trình: (4x 1) x ( y 3)52 y 0() a (I) 4x22 y 2 3 4 x 7 ( b ) (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010) 35 Giải: Điều kiện: xy; 42 3 Ta cĩ phƣơng trình (a) 8x3 2 x 1 5 2 y 5 2 y 2x3 2 x 5 2 y 5 2 y (*) Đến đây ta thấy, nếu đặt f() t t3 t thì phƣơng trình trên viết lại thành f(2 x ) f ( 5 2 y ). Ta chứng minh đƣợc f(t) là hàm số tăng trên R vì f'( t ) 3 t2 1 0, t R. Do đĩ suy ra x 0 2xy 5 2 54x2 y 2 5 2 Thế vào phƣơng trình (b) ta đƣợc 4x22 2 x 2 3 4 x 7 0 (c) 2 Dễ thấy x =0 và x = 3 khơng là nghiệm của phƣơng trình (c) 4 532 Xét hàm số g( x ) 4 x22 2 x 2 3 4 x 7, x (0, ) .Ta cĩ 24 5 4 4 3 3 g'()88 x x x 2 x22 4(43) x x 0 x (0,) nên hàm số g(x) giảm trên (0, ) , 243 4xx 3 4 4 Trang 72
  73. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ 1 1 mặt khác g( ) 0 nên phƣơng trình (c ) cĩ duy nhất 1 nghiệm x , suy ra y = 2. Vậy hệ (I) cĩ 1 2 2 1 nghiệm ( ,2) 2 Ví dụ : Giải hệ phƣơng trình (3x ) 2 x 2 y 2 y 1 0 ( a ) (V) 2 2x (2 y 1)3 0 ( b ) 1 22 Giải: Điều kiện: xy2; .Ta cĩ (a) 1 2x 2 x 1 2 y 1 2 y 1 (c ) 2 Xét hàm số f( t ) (1 t23 ) t t t , t 0, khi đĩ phƣơng trình (c ) trở thành f( 2 x ) f ( 2 y 1). Ta cĩ f'( t ) 3 t2 1 0, t 0 nên f(t) là hàm số tăng trên [0;+ ) . Do đĩ 2x 2 y 1 2 x 2 y 1 x 0 Thay vào phƣơng trình (b) ta đƣợc: 2 2xx (2 )3 0 x 2 3 Với x = 0 suy ra y = (thỏa điều kiện) 2 Với x = 2 suy ra y = 1 (thỏa điều kiện) 2 31 Vậy hệ phƣơng trình (V) cĩ 2 nghiệm (0, );(2; ) 22 Ví dụ : Giải phƣơng trình: x222 x 2 4 x 1 1 x (7) Giải: Phƣơng trình (7) (x 1)22 1( x 1) (2) x 12 x (*) Xét hàm số f(t) = tt2 1 , khi đĩ (*) trở thành f(x-1) = f(2x). t t t 2 1 Ta cĩ f’(t) = 1 0, tR nên f(t) đồng biến trên R tt2211 Do đĩ f(x-1) = f(2x) x1 2 x x 1. Vậy (7) cĩ 1 nghiệm x 1 Ví dụ : Giải phƣơng trình: 16x32 4 x 4 x 12(4 x 1)4 x 1 (8) 1 2 Giải: Điều kiện: x Đặt y4 x 1, y 0 4 x 1 y (*) 4 Thay yx41 vào (8) ta đƣợc: 16x3 4 x 2 4 x 1 2 y 3 ( ) Lấy (*) cộng ( ) vế theo vế ta đƣợc 16x3 4 x 2 2 y 3 y 2 2(2x )3 (2 x ) 2 2 y 3 y 2 ( ) Xét hàm số f( t ) 2 t32 t , t 0 , khi đĩ ( ) trở thành f(2 x ) f ( y ) Trang 73
  74. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ Ta cú f'( t ) 6 t2 2 t 0, t 0 nên hàm số f(t) tăng trên [0,+ ) 20x 1 Do đĩ f(2 x ) f ( y ) y 2 x. Thay vào (*) ta cĩ x 4xx 1 4 2 2 1 Vậy phƣơng trình (8) cĩ một nghiệm x 2 * Sau đây là một số bài tập tƣơng tự để vận dụng phƣơng pháp: Bài tập 1. Giải các phƣơng trình sau: 1) 3x 1 x 7 x 2 5 2) 5x3 13 2 x 1 x 4 3) x5 x x 7 x 16 14 4) x2215 2 3 x x 8 1 5) 33x2 x 133 2 x22 2 x 1 ( xx1; ) 2 221 6) (2x 1)(2 4 x 4 x 4)3(2 x 9 x 3)0 ( x ) 5 22 1 7) 3(2x 9 x 3)(4 x 2)( x x 11)0 ( x ) 5 8) x36 x 2 12 x 73 x 3 9 x 2 19 x 11 Đặt y3 x329 x 19 x 11 10) x34 x 2 5 x 63 7 x 2 9 x 4 Đặt y3 7 x2 9 x 4 11) x323 x 4 x 2 (3 x 2) 3 x 1 Đặt y= 31x y x1 2 x 1 2 x (1) 12) 2x3 y 3 x 2 y 2 2 xy 3 x 2 3 y (2) 2x x 1 (4 y 2) 2 y 0 13) x1 2 y3 3 x 2 y 9 2 BÀI TẬP VỂ PHƢƠNG TRÌNH , BẤT PHƢƠNG TRÌNH,MŨ, LOGARIT x 3 x 1 1. log (3 x ) 1 2. ( 10 3)x 1 ( 10 3)x 3 3xx 2 x 1 3. 125x +50x = 23x+1 4. 58x x = 500 x 44 x x1 x 5. 8.3 9 9 6. log5 3x 4.logx 5 1 log2x log 2 x 1 log 2 x 2 22 7. 2 3 5 12 8. log22 (x 1) log x 2 x 1 9 x 3 32 9. log4xx log 2 9log 4 log 2 10. 32x 8.3 x x 4 9.9 x 4 0 2 18 22 1 22x Trang 74
  75. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ log88yx log xy 4 11. logxy log 1 44 1 12. log (x22 7 x 12) log ( x 2) log x 4 1 422 2 1 12 13. log (3x22 4 x 2) 1 log (3 x 4 x 2) 14. 23xx 6.2 1 93 223(xx 1) 4 2 2 3 logx log 4 15. lg (x-1) +lg (x-1) =25 16 .16aa 4 3x x 23 17. x+ log2 (9 – 2 ) = 3 18. log (x 1) 2 log 4 x log (4 x ) 482 log (6xy 4 ) 2 2 x log 2xx log 6 log 4 19. 20. 42 x 2 2.3 2 log (6yx 4 ) 2 y 2 2 2 lg(xx 3 2) 21. log3x+7(9+12x +4x ) + log2x+3 (6x + 23x +21) = 4 22. 2 lgx lg2 2 23. log2/elog3 x- 3 ≥ 0 24. log (5xx 18 16) 2 x 3 x 5 1 25. (5 21)x 7(5 21) x 2 x 3 26. log x 3 63x 27. log2x + log3x 0 2 2 2 36. Tìm m sao cho bpt sau đúng với mọi x mà x ≥1/2: 92x x 2(mm 1)6 2 x x ( 1)4 2 x x 0 . 37. Tìm m sao cho pt sau cĩ 2 nghiệm thỏa 2 < x1 ≤ x2 <4: 2 (m 1)log11 ( x 2) ( m 5)log ( x 2) m 1 0 . 22 Trang 75
  76. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ PHẦN IV. ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. Qui tắc đếm a) Qui tắc cộng: Giả sử đối tƣợng X cĩ m cách chọn khác nhau, đối tƣợng Y cĩ n cách chọn khác nhau và khơng cĩ cách chọn đối tƣợng X nào trùng với mỗi cách chọn đối tƣợng Y. Khi đĩ cĩ m + n cách chọn một trong hai đối tƣơng ấy. b) Qui tắc nhân: Giả sử cĩ hai hành động đựợc thực hiện liên tiếp. Hành động thứ nhất cĩ m kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai cĩ n kết quả. Khi đĩ cĩ m.n kết quả của hai hành động liên tiếp đĩ. VD 1. Một lớp học cĩ 20 học sinh nam và 22 học sinh nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một học sinh của lớp này tham gia vào Ban đĩn tiếp cựu học sinh về thăm trƣờng? VD 2. Một học sinh cĩ thể chọn 1bài thực hành máy tính từ một trong ba danh sách tƣơng ứng cĩ 20, 10, 30 bài. Hỏi học sinh đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn bài thực hành? VD 3. Một lớp học cĩ 20 học sinh nam và 22 học sinh nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một học sinh nam và một học sinh nữ của lớp này tham gia vào Ban đĩn tiếp cựu học sinh về thăm trƣờng? VD 4. Một học sinh cĩ thể chọn bài thực hành máy tính gồm 3 câu, mỗi câu lần lƣợt thuộc một trong ba danh sách tƣơng ứng cĩ 20, 10, 30 bài. Hỏi học sinh đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn bài thực hành? VD 5. Số 75000 cĩ tất cả bao nhiêu ƣớc số dƣơng ? Hãy tổng quát cách tìm số các ƣớc số dƣơng của số nguyên dƣơng cho trƣớc. VD 6. Mỗi chữ số 0 hay 1 đƣợc gọi là một bit. Mỗi dãy gồm 8 bit đƣợc gọi là một byte. Hỏi cĩ thể lập đƣợc tất cả bao nhiêu byte? VD 7. Mật khẩu vào một hệ thống máy tính gồm sáu, bảy hoặc tám ký tự. Mỗi ký tự là một chữ số trong 10 chữ số hoặc một chữ cái trong 26 chữ cái. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi cĩ bao nhiêu mật khẩu nhƣ vậy? VD 8. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau lấy từ tập X= {0, 1, 2, 3, 4, 5} sao cho mỗi số đều lớn hơn 300 000 và đều chia hết cho 5. 2. Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cho A là tập hợp gồm n phần tử (n 1). a) Mỗi cách sắp đặt tất cả n phần tử của A theo một thứ tự nào đĩ đƣợc gọi là một hốn vị của n phần tử. Số các hốn vị của n phần tử đựoc ký hiệu là Pn . Cơng thức: Pnn ! Trang 76
  77. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ b) Mỗi cách lấy ra k phần tử từ tập A (1 k n) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định đƣợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử đƣợc kí hiệu là k An . Cơng thức: n ! Ak n( n 1)( n 2) ( n k 1) n (nk )! c) Mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp A(1 k n) đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử . Qui ƣớc tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. Cơng thức: kn ! k n k k k k 1 Cn ;;: C n C n Pascal C n 1 C n C n k!( n k )! VD 1. Một bàn dài cĩ 5 chỗ ngồi. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E ngồi vào bàn trong mỗi trƣờng hợp sau: a) Xếp tùy ý. b) Học sinh E ngồi chính giữa. c) Hai học sinh A, B phải ngồi kề nhau. VD 2. Cĩ bao nhiêu cách xếp 7 nam và 4 nữ thành một hàng ngang sao cho khơng cĩ bất cứ hai nữ nào đứng cạnh nhau? VD 3. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi chữ số đều lớn hơn 4. Tính tổng của tất cả các số ấy. VD 4. Một lớp học gồm 30 học sinh. a) Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 3 học sinh của lớp tham gia câu lạc bộ âm nhạc? b) Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử ban cán sự lớp gồm lớp trƣởng, một lớp phĩ và một thủ quỹ ? VD 5. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đĩ phải cĩ mặt 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ? VD 6. Đội tuyển học sinh giỏi của một trƣờng gồm 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 8 học sinh tham dự lễ khai mạc sao cho mỗi khối cĩ ít nhất một em đƣợc cử ? 3. Cơng thức nhị thức Newton n0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n (ab ) Can CabCab n n Cab n Cb n n Ck a n k b k  n k 0 - Loại 1. Viết cơng thức nhị thức Newton n (ab )n CaCab0 n 1 n 1 Cab knkk Cb nn Cab knkk n n n n n k 0 rồi thay thế a và b bởi giá trị thích hợp. Trang 77
  78. Trung tâm BDVH & LTĐH ĐHKHXH& NV, 10-12 Đinh Tiên Hồng, Q.1, HCM ĐT: (08)38 232 748 Website:luyenthidaihocxhnv.edu.vn ___ - Loại 2. Viết cơng thức nhị thức Newton n (1 x )n C01 C x C k x k C n x n C k x k n n n n n k 0 Lấy đạo hàm rồi thay thế x bởi giá trị thích hợp. - Loại 3. Viết cơng thức nhị thức Newton n (1 x )n C01 C x C k x k C n x n C k x k n n n n n k 0 Lấy tích phân xác định với cận thích hợp. 0 1 2 nn VD 1. Tìm số nguyên dƣơng n sao cho: CCCCn 2 n 4 n 2 n 243. (D – 2002 ) 1 2n 20 VD 2. Tìm số nguyên dƣơng n sao cho: CCC2n 1 2 n 1 2 n 1 2 1. (A – 2006 ) VD 3. Tìm số nguyên dƣơng n sao cho: 1 2 2 3 3 4 2nn 2 1 C2n 1 2.2 C 2 n 1 3.2 C 2 n 1 4.2 C 2 n 1 (2 n 1)2 C 2 n 1 2005 . (A – 2005 ) 2 3nn 2 VD 4. Chứng minh rằng: 2.1Cn 3.2 C n n .( n 1) C n n ( n 1)2 .(ĐHAN – 98 ) 22 1 2 3 1 2n 1 1 VD 5. Tính tổng: CCCC0 1 2 n . ( B – 2003 ) n2 n 3 nn 1 n 1 1 1 1 22n 1 VD 6. Chứng minh rằng: CCCC1 3 5 2n 1 . ( A – 2007 ) 22n 4 2 n 6 2 n 2nn 2 n 2 1 4. Phép thử và biến cố a) Một phép thử mà kết quả của nĩ khơng thể đốn trƣớc đƣợc, nhƣng cĩ thể liệt kê ra tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra gọi là phép thử ngẫu nhiên. Tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử gọi là khơng gian mẫu của phép thử đĩ. Khơng gian mẫu đƣợc kí hiệu bởi . b) Trong một phép thử ngẫu nhiên, mỗi tập con của khơng gian mẫu đƣợc gọi là một biến cố. Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A, thì ta nĩi trong phép thử đĩ, biến cố A xảy ra. VD1. Gieo một con xúc xắc, gọi 1, 2, , 6 là số chấm xuất hiện thì khơng gian mẫu là = {1,2, , 6}. VD2. Gieo một đồng xu hai lần, thì khơng gian mẫu là Trang 78