Tài liệu Soi kính lúp hình học phẳng oxy

97 trang Đức Chiến 03/01/2024 2000

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Soi kính lúp hình học phẳng oxy", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_soi_kinh_lup_hinh_hoc_phang_oxy.pdf

Nội dung text: Tài liệu Soi kính lúp hình học phẳng oxy

TRẦN VĂN TÀI – HỨA LÂM PHONG ( GV CHUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA) ẤN PHẨM NĂM 2016 SOI KÍNH LÚP HÌNH HỌC PHẲNG OXY FULL & FREE - 30 TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG THƯỜNG GẶP - PHÂN DẠNG BÀI TỐN HÌNH PHẲNG - TRÍCH ĐỀ THI THỬ MỚI NHẤT 2016 - ĐÁP ÁN CHI TIẾT NHÀ XUẤT BẢN VÌ CỘNG ĐỒNG
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 A- CHỨNG MINH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TAM GIÁC – TỨ GIÁC – ĐƢỜNG TRỊN. Để giúp bạn đọc rèn luyện thêm cho mình những kỹ năng trong quá trình chứng minh một số tính chất hình học, tác giả bổ sung thêm vào chuyên đề mục sau. Ngồi cách chứng minh đã nêu cĩ thể cĩ thêm những cách chứng minh khác nữa. Điều này tùy thuộc vào khả năng tư duy và lĩnh hội cũng như sở trường của mỗi người. Tựu trung lại thì hướng chứng minh vẫn xuất phát từ 4 con đường chính: Một là, sử dụng “các tính chất hình học thuần túy của THCS”. Hai là, sử dụng phương pháp “véctơ thuần túy” (lớp 10). Ba là, sử dụng phương pháp tọa độ hĩa kết hợp “chuẩn hĩa số liệu”. Bốn là, sử dụng phương pháp tổng hợp (kết hợp các cách trên). Tính chất 1: Cho tam giác ABC vuơng tại A , vẽ AH BC tại H . Đường trịn C; AC cắt đoạn thẳng BH tại D. CMR: AD là tia phân giác của gĩc BAH. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Do CA CD CAD cân tại C. CAD ADC Mặt khác, ta lại cĩ: 0 CAD BAD90 gt 0 ADC DAH90 gt AD là phân giác gĩc BAH BAD DAH dpcm AD là phân giác gĩc  BAD DAH Tính chất 2: Cho tam giác ABC vuơng tại A AB AC . Gọi I là trung điểm cạnh AC . Qua I kẻ đường thẳng d1 vuơng gĩc với BC, qua C kẻ đường thẳng d2 vuơng gĩc AC , cắt tại E. CMR: AE BI . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi M  IE AB. CI MB Do I là trực tâm của BMC BI MC 1 MI BC Vì IA IC A IM ICE c g c IM IE Do đĩ AMCE là hình bình hành AE / / MC 2 Từ 12 ,  BI AE Tính chất 3: Cho đường trịn O;R và AB là dây cung của đường trịn đĩ AB 2 R , M là điểm thuộc cung lớn AB M A,M B . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên AB . CMR: AMH OBM . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Vẽ đường kính MC của đường trịn O MBC 900 Xét AHM và MBC cĩ: ● HAM MCB (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung BM ). ● MBC AHM900 cmt AHM CMB g g THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 3
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 AMH CMB BMO Mà OMB cân tại O OB OM R BMO OBM AMH OBM dpcm Kéo dài MO căt O tại điểm thứ 2 là C  dpcm AHM đồng dạng CMB Tính chất 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn O , gọi M là giao điểm AB và CD . Khi đĩ CMR: MB.MA MC.MD Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta cĩ ABCD là tứ giác nội tiếp CAB DBC (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung BC ) Xét ACM và DMB cĩ CAB DBC cmt AMD : chung ACM DBM g g Đây cũng là địng nghĩa phương tích AM CM của 1 điểm đối với một đường trịn. DM BM MB.MA MC.MD  M R2 O AM.BM CM.DM dpcm Tính chất 5: Cho tứ giác ABCD , khi đĩ AC BD AB2 CD 2 BC 2 AD 2 (định lý 4 điểm) Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Từ kết quả của tính chất trên, ta cĩ thể Dựng hệ trục Hxy như hình vẽ. sử dụng để chứng minh 2 đường Đặt Aa; 0 ,Cc; 0 ,B 0 ;b . thẳng vuơng gĩc. Giả sử: D m;n Ta cĩ AB2 a 2 b 2 CD2 c 2 2 cm m 2 n 2 AD2 a 2 2 am m 2 n 2 BC2 b 2 c 2 Từ 4 đẳng thức trên ta cĩ: AB2 CD 2 AD 2 BC 2 cm am Vì a c m 00 D ;n trục tung AC BD THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 4
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Tính chất 6: Cho tam giác ABC AB AC cĩ ba gĩc nhọn và hai đường cao BD,CE . Vẽ đường trịn tâm B bán kính BD cắt đoạn thẳng CE tại K. Qua D vẽ đường thẳng BC cắt đường thẳng BA tại M , cắt EC tại I . CMR: MK BK . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi H  DI BC . Ta cĩ: BEC BHM900 gt ● EBC chung BEC BHM g g BE.BM BH.BC 1 BCD vuơng tại D,DH là đường cao BH.BC BD2 2 Mà BD BK R BE.BM BK2 BE BK cmt ● dpcm BK BM  BEK đồng dạng BKM EBK chung BEK BKM 900 BEK đồng dạng BKM g g Do đĩ ta cần chứng minh BE.BM BK2 MK BK . Tính chất 7: Cho tam giác ABC vuơng tại A. Đường phân giác của gĩc ABC cắt đường trung trực của đoạn thẳng AC ở D. CMR: DBC vuơng. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi E là trung điểm BC , do ABC vuơng tại A EA EC Suy ra E thuộc đường trung trực cạnh AC DE AC Mà AB AC AB / /DE BDE ABD DBE Ta sử dụng tính chất đường trung BC tuyến bằng nửa cạnh huyền thì là tam DBE cân tại D ED BE giác vuơng. 2 DBC vuơng tại D. Tính chất 8: Cho điểm A ở ngồi đường trịn O . Vẽ cát tuyến ABC, ADE của đường trịn O . Ax là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD . CMR: Ax / /DE. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta cĩ xAB ADB (gĩc giữa tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn cung AB ) Mà ADB BCE (do tứ giác BCED nội tiếp cĩ gĩc ngồi bằng gĩc đối trong) xAB BCE (vị trí so le trong) Ax / /CE . Để chứng minh song song, ta sử dụng tính chất so le trong của 2 gĩc bằng nhau, đồng thời sử dụng các mối liên hệ của các gĩc trong đường trịn, tứ THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 5
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 giác nội tiếp. Tính chất 9: Cho tam giác ABC nhọn AB AC , dựng về phía ngồi tam giác ABC các tam giác ABD vuơng cân tại A , tam giác ACE vuơng cân tại A . Gọi I là giao điểm BE và CD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,DE. Chứng minh rằng AI / /MN. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: AD AB gt , AE AC gt Ta cĩ DAC BAE ABE DAC c g c ABE ADC Từ đĩ suy ra BE CD . Dễ dàng chứng minh FNKM là hình thoi FK MN Gọi F,K lần lượt là trung điểm AB AF IF BD,EC . 2 Ta cĩ EC AK IK 2 FK thuộc trung trực AI  FK AI Do đĩ MN / /AI Tính chất 10: Cho tam giác ABC cĩ H là trực tâm, d1 là đường phân giác trong gĩc HAC . Đường phân giác trong gĩc HBC cắt cạnh AD,d1 , AC lần lượt tại M,N,I . CMR: AI MN . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Điều phải chứng minh Gọi D  AH BC và E  BH AC AMN cân tại A Ta cĩ BDH BEC 90o AMN ANM BHD NCB Để chứng minh hai gĩc trên bằng AMN BHM HBM nhau ta cĩ thể sử dụng kỹ thuật tách Lại cĩ HBM NBC BM phan giac gĩc. NCB NBC ANM ANM AMN AMN cân tại A Mà AI là đường phân giác MAN AI MN Lưu ý: ACx 1800 ACB BAC ABC Tính chất 11: Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH , vẽ đường trịn tâm H bán kính HA . D là THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 6
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 điểm trên đường H . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DB,DC. CMR: DMHN là tứ giác nội tiếp. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Cần chứng minh là MND MHD Gọi E là giao điểm của DH với đường trịn H Kéo dài HD cắt H để tạo đường 2 kính và đồng thời khai thác các giả Ta cĩ BH.BC AH DH.HE (do ABC vuơng tại A ) thiết của các trung điểm. BH.BC DH.HE Lại cĩ BHE DHC (đối đỉnh) HBE HDC c g c BEH DCH MHD BED (do MH / /EB ) Tương tự ta cĩ MND DCH Do đĩ MND MHD tứ giác DMHN nội tiếp. Tính chất 12: Cho hình vuơng ABCD , vẽ đường trịn O đường kính AB và đường trịn tâm D bán kính DC . Gọi E là giao điểm của hai đường trịn trên EA . Tia BE cắt CD tại M. CMR M là trung điểm CD. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta cĩ EAB vuơng tại E . Do A,E là giao điểm của hai đường trịn AE OD Mà BM AE OD / /BM , lại cĩ OB / /DM nên OBMD là hình bình hành CB DM OB 2 Cần chú ý đến tính chất hai đường M là trung điểm của CD trịn cắt nhau tại hai điểm A,E thì OD AE Tính chất 13: Cho tam giác ABC , về phía ngồi của tam giác ABC , vẽ các tam giác đều ABD, ACE . F là giao điểm của đường thẳng qua D song song với AE và đường thẳng qua E song song với AD. CMR FBC là tam giác đều. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi M  AE CF DF / /AE Ta cĩ AEFD là hình bình hành AD / /EF ADF AEF FDB FEC Lại cĩ DB DA EF,AC AE DF FB FC 1 DBF FEC BF CF và BFD FCE FBC đều BFC 600 Mặt khác, Để chứng minh FB FC , ta chứng minh DFB FCE Để chứng minh BFC 600 , ta khai THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 7
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 thác sự song song AE / / DF , đồng thời phân tích gĩc AMC, DFC AMC DFC AE / /DF AMC MEC FCE 600 DFC BFC BFD BF FC cmt Suy ra BFC 600  FBC đều. Tính chất 14: Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn O . M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC , vẽ BD OA tại D , AE BC tại F . CMR: MN DE. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Dựng đường kính AF của đường trịn O Ta cĩ ADBElà tứ giác nội tiếp (do ADB AEB ) ABC EDN mà ABC AFC (do ACFB nội tiếp) EDN AFC DE / /AF AF AC Mà DE MN MN / /AC Tính chất 15: Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH . Gọi M là trung điểm AH , D là giao điểm của BM và đường trung trực của AC. CMR: DBC vuơng. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Khi đĩ, từ tính chất đường trung bình M,N,P thẳng hàng và do đĩ BH 2 PM , HC 2 MN Từ đĩ, áp dụng định lý Thales với AB / /DN (do cùng vuơng gĩc AC ) BH PM BM Suy ra MH / /CD HC MN MD Gọi P,N lần lượt là trung điểm của Lại cĩ HM BC CD  BC AB, AC. DBC vuơng tại C Tính chất 16: Cho hình vuơng ABCD . Trên tia đối của BA , lấy một điểm E; trên tia đối của CB , lấy một điểm F sao cho EA FC. CMR: FED vuơng cân. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: AB CD gt Xét CF EA gt 0 EAD FCD 90 EAD CFD c g c ED DF DEF EFD EDF vuơng cân. THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 8
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Tính chất 17: Cho hình thang ABCD vuơng tại A và D. CD 2 AB . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của D trên đường chéo AC, M là trung điểm HC. Chứng minh rằng BM MD. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi K là trung điểm DH suy ra KM là đường trung bình HCD Suy ra KM AB,KM / /AB (do AB / /CD,DC 2 AB ) Nên ABMK là hình bình hành BM / /AK. Lại cĩ KM AD,DH AM nên K là trực tâm ADM . AK DM DM BM do AK / /BM Tính chất 18: Cho hình thoi ABCD cĩ BAC 60o và E là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi E là hình chiếu vuơng gĩc của A lên BC . Chứng minh rằng AEF là tam giác đều. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta cĩ FBA 18000 ABC 60 Và đồng thời ABE 600 Suy ra AB là tia phân giác của gĩc FBE . Do FA BF,AE BE nên theo tính chất phân giác ta cĩ AF AE AEF cân tại A. Lại cĩ gĩc FAE BAE FAB 600 AEF là tam giác đều. Tính chất 19: Cho hình bình hành ABCD . Gọi E,F là các điểm nằm trên cạnh AB và BC sao cho FA EC. Gọi I là giao điểm của FA và EC. Chứng minh rằng ID là tia phân giác của gĩc AIC. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của D lên cạnh AF,CE. Dễ dàng chứng minh được 11 1 S AF.DH,S CE.DK, SSS AFD22 AFD AFD CED2 ABCD CE AF gt Suy ra DH DK DI là phân giác của gĩc AIC . Tính chất 20: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I , gọi E thuộc cạnh AC và kẻ đường thẳng qua E song song BD lần lượt cắt AD,CD tại F,H . Dựng hình chữ nhật FDHK . Chứng minh rằng KD / /AC và E là trung điểm BK. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi O là tâm hình chữ nhật FDHK suy ra OHD ODH Mặt khác OHD IDC ICD ODH ICD DK / /AC Do đo EI / /DK , I là trung điểm BD E là trung điểm BK (đpcm). Tính chất 21: Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C. N là hình chiếu vuơng gĩc của B trên đường thẳng MD. Chứng minh rằng AN CN. THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 9
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta cĩ BCND là tứ giác nội tiếp (do BCD BND 900 ) BNC BDC CAB ANCB là tứ giác nội tiếp (do ANC 18000 ABC 90 AN NC Tính chất 22: Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường trịn O . Đường phân giác ngồi gĩc BAC cắt đường trịn O tại điểm E . M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,AC . F là hình chiếu vuơng gĩc của E trên AB , K là giao điểm MN và AE . Chứng minh rằng KF / /BC . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: BEFM là tứ giác nội tiếp FME FBE ABE ADE 1 MF / /AD 23  MF  AE 1 , 2  MF AE ( 3 ) . Lại cĩ MN / /AB, EF AB EF / /MN 4 34 ,F là trực tâm EKM KF  EM mà EM BC FK / /BC Gọi D là điểm chính giữa cung BC khơng chứa điểm A AD AE (1). Ta cĩ ED là đường kính của O ED BC tại M. Tính chất 23: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn I , điểm D là chân đường phân giác trong của gĩc BAC . Đường thẳng AD cắt I tại điểm MA . Gọi J là tâm đường trịn ngoại tiếp ACD . CMR:CM CJ . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: AJD 22 ACD BAD BAD BCM CJD2 BCM Lại cĩ CJD 2 JCD 1800 2BCM 2 JCD 1800 BCM JCD 900 CM  CJ . THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 10
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Tính chất 24: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn O;R vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường trịn O ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuơng gĩc kẻ từ A đến đường kính BC của đường trịn. CMR: PC cắt AH tại I là trung điểm AH. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi D  BP AC Ta cĩ PA PB PAB cân tại P và BAC 900 PD PB PA (1) IH CI BPC cĩ IH / /PB (2) PB CP IA CI CPD cĩ AI / /PD (3) PD CP IH IA I là trung điểm AH. Tính chất 25: Cho tam giác ABC vuơng tại C , kẻ đường cao CK , kẻ phân giác CE của gĩc ACK K,E AB. D là trung điểm AC , F  DE CK. CMR: BF song song CE . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta cĩ AE là phân giác của ACK CK KE a 1 CA ab CA EA CA b qua E 10 ; ED : 1 ED b1 ; a lam vtcp 2 Dựng hệ trục Kxy như hình vẽ. ax b 1 y a Đặt CK a,KE 1 ,EC b. Khi đĩ, ta cĩ: a Và F Oy  ED F 0 ; ba 1 b 1 K 0 ; 0 ,E; 1 0 ,C 0 ;a,D ; . 22 BK2 CK 2 BC 2 1 1 1 ab aa BC 2 2 2 2 KB B ;0 CK AC BC a 1 22 bb 11 2 2 2 b 1 AK CK AC a CE 1 ; a b 1 Do đĩ a BF 1 ; a b2 1 CE / /BF dpcm . Tính chất 26: Cho tam giác ABC . Một đường trịn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại D . Đường trịn tâm I là đường trịn bàng tiếp gĩc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại F. Vẽ đường kính DE của đường trịn C. CMR: A,E,F thẳng hàng. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta cĩ A,O,I thẳng hàng (do cùng nằm trên đường phân giác trong gĩc BAC ) Gọi M,N là tiếp điểm của O,I với AB THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 11
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 AIN cĩ OM / /IN AO OM OE 1 (Thales thuận) AI IN IF OD BC Lại cĩ OD / /IF IF BC AOE IAF 2 12, OAE IAF OAE IAF A,E,F thẳng hàng. Tính chất 27: Cho hai đường trịn O và O' cắt nhau tại A,B (O,O' trái phía so với AB ). Vẽ tiếp tuyến chung CD (C O ,D O' , C,D nằm trên nửa mặt phẳng bờ OO' cĩ chứa B ). Đường thẳng qua C song song với AD và đường thẳng qua D song song AC cắt nhau tại E. CMR: tứ giác BCED nội tiếp. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi M  AB CD Chứng minh MC2 MA.MB , MD2 MA.MB Từ đĩ ta cĩ M là trung điểm của AE . Suy ra E,M,B, A thẳng hàng. BCD BAC (cùng chắn cung BC ) BED BAC ED / /AC BCD BED tứ giác BCED nội tiếp. Tính chất 28: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) tâm I cĩ AD là đường phân giác trong gĩc A.( D là chân phân giác trong). Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường trịn (C) cắt BC tại E. Chứng minh rằng tam giác AED cân tại E. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường trịn ngoại tiếp ABC E  d BC Giả sử EB EC . Ta cĩ EAB  ACB và BAD  DAC , EAD  EAB  BAD ACB  DAC  ADE ADE cân tại E. Tính chất 29: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên AC, E là trung điểm của HD. CMR: BD AE THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 12
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: EM AH AHM : HD AM HD EM E AE  HM AE  BD Cách 2: 22x y a D AC  HD xy 20 4a 2 a 2 a a D;E;. dựng hệ trục Hxy như hình vẽ, và đặt 5 5 5 5 BC 20 a a Ta cĩ: Ca; 0 ,B a; 0 ,A 0 ;a 2 2a 9 a 9 a 2 a x y AE ; ,BD ; AC : 1 2 x y 2 a aa2 5 5 5 5 HD : x 20 y AE.BD 0 AE  BD Tính chất 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuơng ABCD tâm I . Gọi M là điểm đối xứng của D qua C . Gọi H,K lần lượt chân đường cao hạ từ D,C lên AM . CMR: HI / /BK Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: * Ta cĩ: ABCD là tứ giác nội tiếp (do ABKD là tứ giác nội tiếp. ABCD là hình vuơng) và ABKC là tứ AKB ADB 450 1 0 giác nội tiếp (do ABC AKC 90 ) 0 * Mặt khác, ADB KHI 45 2 (gĩc ngồi bằng gĩc đối A, B, K, C, D cùng thuộc đường 0 trịn đường kính AC trong, do AHID là tứ giác nội tiếp cĩ AHD AID 90 ). Từ 12 ; , suy ra AKB KHI 450 HI / /BK (so le trong). THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 13
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 B- TUYỂN CHỌN – PHÂN DẠNG HÌNH PHẲNG OXY NĂM 2016 Phần I. Các bài tốn về tam giác. Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ các đường thẳng chứa đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B và phân giác trong kẻ từ C lần lượt là (d1): 3x – 4y + 27=0, (d2): 4x + 5y – 3 = 0, (d3): x + 2y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lần 1– Trƣờng THPT chuyên Bắc Giang – Bắc Giang Lời giải tham khảo  d a 4;3 Véc-tơ chỉ phương của 1 là d1 . Vì d1  BCnên BC nhận làm vtpt. d n 1;2 +) Ta cĩ: vtpt của 3 là d3 +) Gọi véc-tơ pháp tuyến của AC là: 22 nAC a; b ; a b 0 +) Do là phân giác của gĩc C nên ta ab 2 4.1 3.2 cosn , n cos a , n AC d3 d 1 d 3 ab22 .5 25. 5 cĩ: 2 2 2 a 0 a 2 b 2 a b 3 a 4 ab 0 34ab  TH1: Khi a 0 chọn b 1 thì nAC 0;1 +) Gọi C 5 2 c ; c d3 . Khi đĩ AC qua C cĩ dạng: AC:0 y c yc 0 4 +) Do A Ac C  d1 A c 9; 3x 4y 27 0 3 1 1 +) M là trung điểm AC nên cĩ: M c2; c . Mà M d2 4 c 2 5 c 3 0 c 3 . 3 3 Vậy AC 5;3 ; 1;3 +) Phương trình BC qua C và vuơng gĩc với d1 cĩ dạng: BC: 4 x 3 y 5 0 Khi đĩ: B d2  BC B 2; 1 Thử lại thấy A và B nằm cùng phía với d3 hay là phân giác ngồi gĩc C nên khơng thỏa mãn.  TH2: Khi 34ab , chọn b 3 a 4 nAC 4;3 khi đĩ AC song song với BC nên loại trường hợp này.  Vậy khơng cĩ tam giác ABC thỏa bài tốn đã cho. Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC cĩ gĩc A tù. Hãy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết chân 3 đường cao hạ từ đỉnh A,B,C lần lượt cĩ tọa độ là: D( 1; 2), E(2;2), F( 1;2). Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2016 Lời giải tham khảo THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 14
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  Trước hết ta chứng minh rằng khi ABC tù ở A thì A là tâm vịng trịn nội tiếp DEF. Thật vậy: +) Do 2 tứ giác nội tiếp BDAE và DCFA nội tiếp nên: ADE ABE 900 BHF 0 ADF ACF 90 FHB ADE ADF .Hay DH là tia phân giác gĩc FDE . Tương tự như vậy ta cũng cĩ EA là phân giác của gĩc DEF . Suy ra A là tâm vịng trịn nội tiếp DEF.  Phân giác trong và ngồi tại D là : d12: 3 x y 1 0; d : x 3 y 7 0 +) Phân giác trong và ngồi tại E: e12: x – 2 y 2 0; e : 2 x y – 6 0 +) Phân giác trong và ngồi tại F: f12: x y –1 0; f : x – y 3 0 Vì ABC cĩ gĩc A tù thì 3 cạnh BC, CA, AB của nĩ cĩ phương trình là: d2, e 1 , f 1.  Vậy : BCxy: 3 7 0; CAxy : – 2 2 0; ABxy : –1 0 Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A(3; 1), đường thẳng BC cĩ phương trình y = 0, đường phân giác trong của gĩc BAC cĩ phương trình y = x − 2, điểm M(−6; −2) thuộc đường thẳng AB. Tính diện tích tam giác ABC. Lần 2 - Cao Đẳng nghề Nha Trang Lời giải tham khảo  Cách 1: (Kĩ thuật đối xứng qua phân giác)  Gọi là đường thẳng qua M và vuơng gĩc với phân giác AD, sao cho cắt AD tại I, cắt AC tại N, rõ ràng AMN cân tại A cho ta I là trung điểm MN. +) :xy 8 0 +) I AD  I 3; 5 N 0; 8  Phương trình đường thẳng AB qua hai điểm A, M cĩ dạng: AB: x 3 y 0 +) B BC  AB B 0;0  Phương trình đường thẳng AC qua hai điểm A, N cĩ dạng: AC:3 x y 8 0 8 +) C AC  BC C ;0 3 31 1xBABA x y y 1 4  Khi đĩ, dễ dàng tính được: S ABC 1 2x x y y 2 1 3 CACA 3  Cách 1: (Đáp án)  Phương trình đường thẳng AB: xy 30 2  Gọi là gĩc giữa 2 đường thẳng AB và phân giác trong (d) thì cos cos nn12 , 20 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 15
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 (với n1 1; 3 là VTPT của AB và n2 1; 1 là VTPT của (d))  Giả sử n A;0 B là tọa độ VTPT của đường thẳng (d’) chứa cạnh AC khi đĩ: AB 4 cos cos nn , 2 AB22 2 20 3A22 10 AB 3 B 0 ( B 0 vì nếu B 0 thì A 0 mâu thuẫn giả thiết n 0 ) AB 3 n 3; B B 3xy 8 0 1 1 . Ứng với 2 phương trình: AB n B; B 3 3 x 30 y  AB +) Nên đường thẳng (d’) chứa cạnh AC là : 3xy 8 0. 8 8 Tọa độ điểm B và C lần lượt tìm được là : B 0;0 và C 0; suy ra BC 3 3 Chiều cao của tam giác ABC ứng với cạnh BC là dA ,BC 1. 4  Suy ra diện tích là S 3 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại B, BC 2BA . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM 3FE . Biết điểm M cĩ tọa độ 5; 1 , đường thẳng AC cĩ phương trình 2x y 3 0, điểm A cĩ hồnh độ là số nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lần 1 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: BM AC C (Vẽ hình chính xác thì ta sẽ thấy ABC BEM từ đĩ gợi ý ta chứng minh theo hướng chứng minh 2 tam giác bằng nhau).  Gọi I là giao điểm của BM và AC. Ta thấy BC 2BA EB BA,FM 3FE EM BC M E F ABC BEM EBM CAB BM  AC . +) Đường thẳng BM đi qua M vuơng gĩc với AC BM: x 2y 7 0. I +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ 13 B A x 2x y 3 0 5 x 2y 7 0 11 y 5 13 11 12 6 I; IM ; 55 55 2 8 4 +) Ta cĩ thêm: EMB  IMF (g-g) nên: IB IM ; B 1; 3 3 5 5 1 1 1 5 5  Trong ABC ta cĩ BA BI BI2 BA 2 BC 2 4BA 2 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 16
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 22 8 4 4 5 5 +) Mặt khác BI , suy ra BA BI 2 5 5 5 2 +) Gọi toạ độ A a,3 2a AC, Ta a3 2222 cĩ : BA 4 a 1 6 2a 4 5a 26a 33 0 11 a 5 24 +) Do a là số nguyên suy ra A 3; 3 . AI ; 55 +) Ta cĩ AC 5AI 2;4 C 1;1 .  Vậy A 3; 3 , B 1; 3 ,C 1;1 Bài 5 Cho ABC vuơng cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm ABM, điểm D 7; 2 là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA GD. Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hồnh độ của A nhỏ hơn 4 và AG cĩ phương trình 3xy 13 0. Lần 4 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: GAD vuơng cân tại G. B 3.7 2 13  Ta cĩ: d D; AG 10 312 2 +) ABM vuơng cân GA GB GA GB GD . G M Vậy G là tâm đường trịn ngoại tiếp ABD N AGD 2 ABD 900 GAD vuơng cân tại G. D +) Do đĩ GA GD d D; AG 10 AD2 20; Gọi A a;3 a 13 AG; a 4. Ta cĩ: A C 2 22 a 5( loai ) AD 20 a 7 3 a 11 20 a 3 Vậy A 3; 4  Gọi VTPT của AB là nAB a; b 3ab cosNAG cos nAB , n AG 1 ab22 . 10 NA NM33 NG +) Mặt khác cosNAG 2 AG NA2 NG 29. NG 2 NG 2 10 3ab 3 2 b 0 Từ (1) và (2) 6ab 8 b 0 ab22 . 10 10 34ab Với b 0 chọn a 1 ta cĩ AB: x 3 0; Với 34ab chọn ab 4; 3 ta cĩ AB:4 x 3 y 24 0 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 17
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 4.7 3. 2 24 +) Nhận thấy với AB:4 x 3 y 24 0 thì d D; AB 2 d D ; AG 10 16 9 (loại)  Vậy AB: x 3 0. Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuơng cân tại A , gọi M là trung điểm của BC , N thuộc cạnh AB saο cho AB4 AN . Biết rằng M 2;2 , phương trình đường thẳng CN:4 x y 4 0 và điểm C nằm phía trên trục hồnh. Tìm tọa độ điểm A . Lần 1 –Trƣờng THPT chuyên Hùng Vƣơng Lời giải tham khảo AC AB44 AN  Ta cĩ: cos ACN CN AC22 AN 17AN 17 +) Khi đĩ, ta cĩ được: ACB 4500 cos NCB cos 45 ACN 5 cos4500 .cosACN sin 45 .sin ACN 34 22 +) Giả sử nBC a,0 b a b , do 4ab cos NCB cos nnBC , CN ab22 . 17 4ab 5 22 34 ab . 17 7a22 16 ab 23 b 0 ab 23 ab 7  Khi ba thì phương trình BC: x y 4 0 4x y 4 x 0 +) Do C  BC CN nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: x y 44 y +) Nên CB 0;4 4;0 +) Phương trình AM: x y 0 A a ; a a 0 +) Ta cĩ: AB AC , Khi đĩ được A 0;0 hoặc A 4;4 , nhưng do A và B nằm a 4 khác phía với CN nên thử lại ta cĩ: A 0;0 23  Khi ab , thì phương trình BC: 23 x 7 y 32 0 7 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 18
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 20 x 44xy 17 +) Do C  BC CN nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: (Loại do xy 4 12 y 17 C nằm phía trên trục hồnh). 7 Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với ABC 1;4 , 3;0 , ;0 và 3 điểm M 1;0 trên cạnh BC. Hãy xác định tọa độ điểm N trên AB và điểm P trên AC sao cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất Lần 2 –Trƣờng THPT Đồng Xồi Lời giải tham khảo:  Gọi K là điểm đối xứng của M qua AC, H là điểm đối xứng của M qua AB.  Chu vi tam giác MNP CV MNP MN NP PM KN NP PH HK HK const +) Dấu bằng xảy ra khi H, N, P, K thẳng hàng. +) Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất bằng HK. Khi H, N, P, K thẳng hàng.  Tìm N, P. +) Phương trình đường thẳng AB:3 x y 7 0 +) Phương trình đường thẳng AC: x y 3 0 +) Gọi I là hình chiếu vuơng gĩc của M trên AB I 2;1 do đĩ K(-5; 2). +) Gọi J là hình chiếu vuơng gĩc của M trên AC J(2;1) do đĩ H(3; 2). +) Phương trình đường thẳng HK: y – 2 0. Ta cĩ: N = HK ∩ AC, P = HK ∩AB. 5  Do đĩ tọa độ các điểm N, P cần tìm là: N(1; 2), P( ;2) . 3 Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC cĩ phương trình: xy 10 , phương trình đường cao kẻ từ B là: xy 2 2 0. Điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC. Lần 1 –Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh – Bình Phƣớc Lời giải tham khảo: 1  Gọi H là trực tâm ABC. Tìm được B(0;-1), cosHBC cos HCB 10 +) Pt đường thẳng HC qua M cĩ dạng: a(x-2)+b(y-1)=0 ( n (;) a b là VTPT và ab22 0 ) THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 19
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 2 ab 1 22 aa +) cosHCB 410402 a ab b 520 2(ab22 ) 10 bb a 2 b ab 2, 1 . Nên phương a1 a 1, b 2( l ) b 2 AB  CH trìnhCH: 2 x y 3 0 Do nên viết được phương B AB trình đường thẳng AB: x 2 y 2 0 25  C là giao điểm của AB và BC C ; và phương trình đường thẳng 33 AC:6 x 3 y 1 0 Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2xy 1 0 và điểm A 1; 2 . Gọi M là giao điểm của với trục hồnh. Tìm hai điểm B, C sao cho M là trung điểm AB và trung điểm N của đoạn AC nằm trên đường thẳng , đồng thời diện tích tam giác ABC bằng 4. Lần 3 –Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh- Bình Phƣớc Lời giải tham khảo: 2xy 1 0 1  Tọa độ M: M ;0 y 0 2 +) M là trung điểm AB nên B 2; 2  Phương trình đường thẳng BC qua B và song song với MN  cĩ dạng: BC: 2 x y 2 0 +) Tham số hĩa điểm C c; 2 c 2 +) Theo giả thiết, ta cĩ: 1 S d A;. BC BC ABC 2 12 22 4 . . cc 2 2 4 2 5 c 2 c 6  Kết luận: B 2; 2 , C 6; 10 hoặc C 2; 6 Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại B, BC 2BA . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM 3FE. Biết điểm M 5; 1 , đường thẳng AC cĩ phương trình 2x y 3 0, điểm A THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 20
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 cĩ hồnh độ là số nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2016 –đề 1 Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AC BM C +) Gọi I là giao điểm của BM và AC. +) Ta thấy BC 2BA EB BA,FM 3FE EM BC ABC BEM EMB ACB BM  AC .  Đường thẳng BM đi qua M vuơng gĩc với AC M BM: x 2y 7 0. E F +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ 13 x I 2x y 3 0 5 13 11 12 6 I; IM ; , x 2y 7 0 11 55 55 B A y 5 2 8 4 IB IM ; B 1; 3 3 5 5 1 1 1 5 5  Trong ABC ta cĩ BA BI BI2 BA 2 BC 2 4BA 2 2 22 8 4 4 5 5 +) Mặt khác BI , suy ra BA BI 2 5 5 5 2 a3 22 Gọi toạ độ A a,3 2a , Ta cĩ BA22 4 a 1 6 2a 4 5a 26a 33 0 11 a 5 24 +) Do a là số nguyên suy ra A 3; 3 . AI ; 55 +) Ta cĩ AC 5AI 2;4 C 1;1 .  Vậy , B 1; 3 , C 1;1 Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuơng tại A . B,C là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ .Đường phân giác trong gĩc B của tam giác cĩ phương trình: xy 2 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua K 6;2 Lần 2–Trƣờng THPT Lộc Ninh Lời giải tham khảo: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 21
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  Tham số hĩa điểm B 2 b 5; b BD C 2 b 5; b +) Phương trình đường thẳng qua O và vuơng gĩc với BD: cĩ dạng: : 2xy 0 +) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ : x 2 y 5 0 x 1 I 1;2 2x y 0 y 2 +) cắt AB tại E, I là trung điểm OE nên E 2;4 +) EB 2 b 3; b 4 ; KC 2 b 11; b 2 b 1 +) Mà BE KC b 5  TH1: Khi b 1 suy ra: B 3;1 ;C 3; 1 Phương trình: AB:3 x y 10 0; AC : x 3 y 0 +) Nên A AB  AC A 3;1 (loại do trùng với B)  TH2: Khi b 5 suy ra: B 5;5 ;C 5; 5 Phương trình: AB: x 7 y 300; AC :7 x y 400 31 17 +) Nên A AB  AC A ; 55 Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh B 2;–1 , đường cao qua A cĩ phương trình d1 : 3 x – 4 y 27 0 , phân giác trong gĩc C cĩ phương trình d2 : x 2 y – 5 0 . Tìm toạ độ điểm A. Lần 2 –Trƣờng THPT Vạn Ninh – Khánh Hồ Lời giải tham khảo:  Đường thẳng BC qua , cĩ vectơ pháp tuyến là: n 4;3 . Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 4xy 3 5 0. +) Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 4x 3 y 5 0 x 1 C( 1;3) x 2 y 5 0 y 3  Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2. xy 21 Suy ra phương trình BB’: 2xy 5 0 12 2x y 5 0 x 3 +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: I(3;1) x 2 y 5 0 y 1 +) Nên B' 4;3 , viết được phương trình đường thẳng AC: y 3 0 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 22
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 yx 3 0 5 +) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: A( 5;3) 3x 4 y 27 0 y 3 Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cĩ M(2;1) là trung điểm cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao đi qua đỉnh A lần lượt cĩ phương trình (d): x+y 5 0 và (d’): 3x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng AC. Trƣờng Trung cấp nghề Ninh Hồ Lời giải tham khảo:  Do A là giao điểm của (d) và (d’) nên A 2;7 +) Do M là trung điểm của AB nên B 6; 5 +) Phương trình đường thẳng BC qua B và vuơng gĩc với AH cĩ dạng: BC: x 3 y 21 0 +) N BC  d N 9; 4 +) Do N là trung điểm của BC nên C 12; 3  Phương trình đường thẳng AC: 5x 7y 39 0 Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cĩ phương trình cạnh AB:2 x y 1 0, AC :3 x 4 y 6 0 , điểm M 1;3 nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC sao cho 32MB MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác . Trƣờng THPT Khánh Sơn – Khánh Hồ Lời giải tham khảo:  A AB  AC A 2; 3 +) Tham số hĩa: B b; 2 b 1 AB , C 4 c 2; 3 c AC +) Do BCM,, thẳng hàng, nên 32MB MC 32MB MC 5 7 1  Tìm được GG 1;  ; 3 3 3 Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại B, AB 2 BC . Gọi D là trung điểm của AB, E nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AC 3. EC Biết phương trình 16 đường thẳng chứa CD là xy 3 1 0 và điểm E ;1 . Tìm tọa độ các điểm ABC,,. 3 Trƣờng THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: BE CD THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 23
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 BA EA +) Gọi I  BE CD. Ta cĩ nên E là chân phân giác trong BC EC gĩc B của tam giác ABC. Do đĩ CBE 450 BE  C D  Phương trình đường thẳng BE:3 x y 17 0. +) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 3x y 17 0 x 5 I(5;2) x 3 y 1 0 y 2 BC15 BC BC +) Ta cĩ BI CI ,3 CE AC IE IB IE 233 3 2 Từ đĩ tìm được tọa độ điểm B 4;5  Gọi Cc 3 1; c CD , ta cĩ: 2 2 2 c 1 BC 2 BI 2 5 (3 c 5) (c 5) 20 10 c 40 c 30 0 c 3 +) Với c 1 ta cĩ CA 2;1 , 12;1 +) Với a 3 ta cĩ CA 8;3 , 0; 3 Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại B, BC 2BA . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM 3FE. Biết điểm M 5; 1 , đường thẳng AC cĩ phương trình 2x y 3 0, điểm A cĩ hồnh độ là số nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lần 1 –Trƣờng THPT Lam Kinh Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: BM AC +) Gọi I là giao điểm của BM và AC. C +) Ta thấy BC 2BA EB BA,FM 3FE EM BC ABC BEM EBM CAB BM  AC .  Đường thẳng BM đi qua M vuơng gĩc với AC BM: x 2y 7 0. +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ M E F 13 x 2x y 3 0 5 13 11 12 6 I; IM ; , x 2y 7 0 11 55 55 y I 5 2 8 4 IB IM ; B 1; 3 B A 3 5 5 1 1 1 5 5 +) Trong ABC ta cĩ BA BI BI2 BA 2 BC 2 4BA 2 2 22 8 4 4 5 5 Mặt khác BI , suy ra BA BI 2 5 5 5 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 24
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 a3 22 +) Gọi toạ độ A a,3 2a , Ta cĩ BA22 4 a 1 6 2a 4 5a 26a 33 0 11 a 5 24 Do a là số nguyên suy ra A 3; 3 . AI ; 55  Ta cĩ AC 5AI 2;4 C 1;1 . Vậy , B 1; 3 , C 1;1 Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại A. Gọi K là điểm đối xứng của A qua C. Đường thẳng đi qua K vuơng gĩc với BC cắt BC tại E và cắt AB tại N( 1;3). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng gĩc AEB 450 , phương trình đường thẳng BK là 3xy 15 0 và điểm B cĩ hồnh độ lớn hơn 3. Lần 2 –Trƣờng THPT Lê Lợi – Thanh Hố Lời giải tham khảo:  Tứ giác ABKE nội tiếp AKB AEB 450 AKB vuơng cân tại A ABK 450 +) Đường thẳng BK cĩ vtpt n1 (3;1) , gọi n2 (;) a b là vtpt của đt AB và là gĩc giữa BK và AB. +) Ta cĩ : nn12. 3ab 1 cos 22 nn12 10. ab 2 3a b 5. a22 b 22 ba 2 4a 6 ab 4 b 0 ab 2 + Với ab 2 , chọn n2 ( 2;1) AB : 2 x y 5 0 B (2;9) (Loại) + Với ba 2 , chọn n2 (1;2) AB : x 2 y 5 0 B (5;0) (TM)  Tam giác BKN cĩ BE và KA là đường cao C là trực tâm của BKN CN  BK CN: x 3 y 10 0. ABK và KCM vuơng cân 1 1 1 1 BK KM CK AC .4 BK BK KM 2 2 2 2 2 2 4 79 M MN  BK M ; K (3;6) , 22  Đường thẳng AC qua K vuơng gĩc AB AC: 2 x y 0 A AC  AB A(1;2) , C là trung điểm của AK C(2;4).  Vậy: A(1;2), B(5;0), C(2;4). Bài 18: Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của gĩc B cĩ phương trình d1 : x y 2 0, đường trung tuyến kẻ từ B cĩ phương trình d2 :4 x 5 y 9 0. Đường THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 25
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 1 thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M (2; ) , bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 2 5 ABC là R . Tìm tọa độ đỉnh A . 2 Lần 1–Lê Lợi Thanh Hố Lời giải tham khảo: x y 2 0 x 1  Tọa độ B là nghiệm của hệ 4x 5 y 9 0 y 1 3 +) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d , M ' ( ;0). 1 2 +) Do AB đi qua B và M nên cĩ pt: AB: x 2 y 3 0. BC đi qua M' và B nên cĩ pt: BC: 2 x y – 3 0. +) Gọi là gĩc giữa 2 đường thẳng AB và BC suy ra 2.1 1.2 43 cos sin . 5. 5 55 AC  Từ định lý sin trong tam giác ABC, ta cĩ: 23R AC . sin ABC 3 a a c94 a c +) AABCBC , Aa ( ; ); Cc ( ;3 2 c ) , trung điểm của AC là N(;) . 2 24 ac 4 3 0 Nd 2 ac 5; 2 2 +) 2 ac 43 AC 3 (ca ) 9 ac 3, 0 2 Khi a 5ta được A 5; 1 . Khi a 3 ta được A 3;3 .  Kết luận: AA 5; 1 , 3;3 . 11 9 Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cĩ M(8;2); E ; lần 22 lượt là trung điểm của BC và AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và F là chân đường cao hạ từ C, biết đường thẳng đi qua F và trung điểm của AH cĩ phương trình là d: 2 x y – 8 0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC Đề số 4–Moon Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: FI FM và FI FM IE CH +) ME AB  ME IE CH AB +) Ta cĩ: tam giác AFH vuơng tại F, cĩ I là trung điểm AH nên từ đĩ cho ta FI IA IH FAI AFI Tương tự cũng do tam giác FBC vuơng tại F, cĩ M là trung điểm BC nên MB MC MF BFM FBM THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 26
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Mà FAI FBM 9000 AFI BFM 90 FI  FM  Phương trình đường thẳng: ME: x y 10 0 EI : x y 1 0 +) I EI  FI I 3;2 +) Do FI FM nên phương trình đường thẳng MF: x 2 y 4 0 +) FMFFI  F 4;0 CFxy : 4 0; ABxy : 4 0  Gọi B b;4 b AB ; C c ; c 4 CF , do M là trung điểm BC nên: bc 16 BC 6; 2 ; 10;6 bc 8 +) AC nhận E làm trung điểm A 1;3  Vậy ; BC 6; 2 ; 10;6 Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuơng tại A . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên BC , các điểm M 2; 1 , N lần lượt là trung điểm của 11 HB và HC ; điểm K ; là trực tâm tam giác AMN . Tìm tọa độ điểm C , biết rằng 22 điểm A cĩ tung độ âm và thuộc đường thẳng d: x 2 y 4 0 . Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: CI AM , K là trung điểm IH. +) Gọi I là trung điểm của AH , ta cĩ MI// AB MI AC Suy ra: I là trực tâm tam giác AMC CI AM +)Mà NK AM NK// CI K là trung điểm HI  Đặt A 2 a 4; a d , từ hệ thức 2aa 2 2 AK 3; KH H C 33 N 71 2aa 4 5 +) Suy ra: AK 2; a a và MH ; 22 33 H +) Khi đĩ: 7 2aa 4 1 5 K(-1/2;1/2) M(2;-1) AK. MH 0 2 a a 0 2 3 2 3 I a 1 2 B 10aa 13 23 0 23 A 2; 1 . A x+2y+4=0 a 10  Suy ra tọa độ H 0;1 và B 4; 3 +) Phương trình AB : xy 3 5 0 và BC: x y 1 0 +) Phương trình AC:3 x y 5 0 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 27
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 3x y 5 x 1 C 1;2 x y 12 y  Kết luận: A 2; 1 ; B 4; 3 ; C 1;2 Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cĩ AC 2AB , điểm 9 1; M 2 là trung điểm của BC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BAD CAM. Gọi E là trung điểm của AC, đường thẳng DE cĩ phương trình: 2x 11y 44 0 , điểm B thuộc đường thẳng d cĩ phương trình: x y 6 0 . Tìm tọa độ 3 điểm A, B, C biết hồnh độ điểm A là một số nguyên. Trƣờng THPT Chuyên Biên Hịa, lần 1 Lời giải tham khảo: Goi I  BE AD , G  AM BE ABI AEG g.c.g BI GE . Mà BG 2GE (do G là trọng tâm của ABC) BI IG GE . Kẻ EH BC H AD . Chứng minh được CD 2HE,HE 2BD CB 5BD . 1; 9 2BM 5BD,B b;6 b ,D 22 11d; 2d ,M 2 9 11 18 55d 3b 108 d D; 55 5 10d 3b 27 B 3; 3 b3 9 1; M 2 là trung điểm của BC C 1;6 . Gọi E 22 11e; 2e , E là trung điểm của AC A 45 22e; 4e 6 e 2 tm 2 AC 2AB 75e 278e 256 0 128 A 1; 2 el 75 Vậy A 1;2 ,B 3;3 ,C 1;6 Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn ():(C x 1)22 ( y 2) 25 ngoại tiếp tam giác ABC. Các điểm K(-1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A và B của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng C cĩ hồnh độ dương. Trƣờng THPT Tơ Văn Ơn, lần 1 Lời giải tham khảo: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 28
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 A x H I B K C +(C) cĩ tâm I(1;2) . Gọi Cx là tiếp tuyến của (C) tại C. 1 Ta cĩ HCx ABC Sđ AC (1) 2 Do AHB AKB 900 nên AHKB là tứ giác nội tiếp ABC KHC (cùng bù với gĩc AHK ) (2) Từ (1) và (2) ta cĩ HCx KHC HK // Cx . Mà IC  Cx IC  HK . Do đĩ IC cĩ vectơ pháp tuyến là KH (3;4) , IC cĩ phương trình 3x 4y 11 0 Do C là giao của IC và (C) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 3x 4y 11 0 x 5 x 3 ; x 0 C(5; 1) 2 2 . Do C nên (x 1) (y 2) 25 y 1 y 5 Đường thẳng AC đi qua C và cĩ vectơ chỉ phương là CH ( 3;6) nên AC cĩ phương trình 2x y 9 0. Do A là giao của AC và (C) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2x y 9 0 x 1 x 5 ; A(1;7) 2 2 (loại). Do đĩ (x 1) (y 2) 25 y 7 y 1 Đường thẳng BC đi qua C và cĩ vectơ chỉ phương là CK ( 6;2) nên BC cĩ phương trình x 3y 2 0. Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ x 3y 2 0 x 4 x 5 , B( 4;2) 2 2 (loại). Do đĩ (x 1) (y 2) 25 y 2 y 1 Vậy ; B( 4;2) ; . Bài tập tƣơng tự 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, gọi D là điểm đối xứng với C qua A. Điểm H 2; 5 là hình chiếu vuơng gĩc của điểm B trên AD, điểm K 1; 1 là hình chiếu vuơng gĩc của điểm D trên AB, đường trịn (T) ngoại tiếp tam 22 giác ABD cĩ phương trình xy 1 2 25 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm A cĩ hồnh độ dương. lần 1–Trƣờng THPT Hồng Quang- Hải Dƣơng THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 29
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Tính chất hình học: IA HK (Các em học sinh gắng chứng minh: kẻ tiếp tuyến Ax rồi chứng minh HK Ax ) Khi đĩ phương trình đường thẳng IA:3 x 4 y 11 0 A IA  T A 5;1 Lập phương trình đường thẳng AB, AD rồi giao với (T) giải hệ tìm B, D rồi suy ra C. Đáp số: ABC 5;1 ; 4; 2 ; 9;9 Bài tập tƣơng tự 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (C): xy22 25 , đường thẳng AC đi qua điểm K(2; 1). Gọi M, N lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết phương trình đường thẳng MN là 4x − 3y + 10 = 0 và điểm A cĩ hồnh độ âm. lần 1–Sở GDDT Quảng Ninh, Đáp Số : ABC 4;3; 3;4, 5;0 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cĩ A 1;4 , tiếp tuyến tại A của đường trịn ngoại tiếp tam giác cắt BC tại D , đường phân giác trong của ADB cĩ phương trình xy 20 , điểm M 4;1 thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB . Trƣờng THPT Chuyên Bình Long, Bình Phƣớc, lần 2 Lời giải tham khảo: A E M' K M B I C D Gọi AI là phan giác trong của BAC Ta cĩ : AID ABC BAI IAD CAD CAI Mà BAI CAI , ABC CAD nên AID IAD DAI cân tại D DE AI PT đường thẳng AI là : xy 50 Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI PT đường thẳng MM’ : xy 50 Gọi K  AI MM ' K(0;5) M’(4;9) VTCP của đường thẳng AB là AM ' 3;5 VTPT của đường thẳng AB là n 5; 3 Vậy PT đường thẳng AB là: 5 xy 1 3 4 0 5xy 3 7 0 Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuơng tại A. Gọi D là trung điểm của BC và E là hình chiếu của A trên đường thẳng BC. Gọi F và G tương ứng là hình chiếu của E trên các cạnh AB và AC. Đường thẳng FG cắt đường thẳng AD THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 30
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 tại H. Biết rằng AH.2 AD , tọa độ điểm A 2;3 , phương trình đường thẳng FG : 3 x 4 y 2 0 và điểm E cĩ hồnh độ nhỏ hơn 3. Tìm tọa độ các đỉnh B và C. Trƣờng THPT Hồng Hoa Thám Lời giải tham khảo: A G H I F B E D C Chứng minh AD vuơng gĩc FG: ABC là tam giác vuơng cĩ cạnh huyền BC, trung tuyến AD do đĩ: DA DB DC hay tam giác ACD cân tại D. Khi đĩ: DAC DCA . Mặt khác vì FAE DCA (gĩc cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc) và FAE GFA (AFEG là hình chữ nhật) do đĩ: DAC GFA . Vì: GFA AGH 900 , vậy: DAC AGH 900 AD  FG . Phương trình đường thẳng: AD : 4 x 3 y 17 0 . Bài 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C): 22 8 xy 2 3 26 . Trọng tâm của tam giác là G 1; ; điểm M 7;2 nằm trên đường thẳng 3 đi qua A và vuơng gĩc với BC (M A). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết – Trƣờng THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên Lời giải tham khảo A ▪ Gọi I là tâm của đường trịn (C), E là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác ABC. B' Kẻ đường kính AA’ ta cĩ BA’ // CH, CA’ // BH nên BHCA’ là hbh. I H Suy ra E là trung điểm của A’H nên IE là G đường trung bình của AHA’. IE1 EG nên ba điểm H, G, I thẳng B AH2 AG F E C hàng. Và GH 2 GI mà M A' ta cĩ I 2;3 nên H 1;2 . Ta cĩ M nằm trên (C) và A, H, M thẳng hàng; tam giác MHB cân tại B. Nên BC là đường trung trực của HM. THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 31
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 ▪ Phương trình đường thẳng BC: x 30. Tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình: x 30 x 3 22 xy 2 3 26 yy 2; 8 Phương trình đường thẳng HM: y 20. Tọa độ A là nghiệm hệ: y 20 x 3 22 xy 2 3 26 y 2 ▪ Vậy A 3;2 , B 3;8 , C 3; 2 . Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại B, AB 2 BC , D là trung điểm của AB, E thuộc đoạn AC sao cho AC 3 EC , biết phương 16 trình đường thẳng CD: xy 3 1 0 , E ;1 . Tìm tọa độ các điểm A, B, C. 3 Lần 1–Trƣờng THPT Tam Đảo Vĩnh Phúc Lời giải tham khảo BA EA 1 Gọi I  BC CD , ta cĩ: nên E là chân phân giác trong của gĩc ABC. BA EC 2 Tam giác BCD vuơng cân tại B nên viết được ptdt BE:3 x y 17 0. I BE  CD I 5;2 Dùng phương pháp gán độ dài chứng minh được: IB 3 IE B 4;5 CA 2;1 , 12;1 Tham số hĩa điểm C CD, giải pt: BC BI 2 CA 8;3 , 0; 3 Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác vuơng cân tại . Gọi là trung điểm , là trọng tâm tam giác điểm là điểm nằm trên đoạn sao cho . Tìm tọa độ điểm , lập phương trình , biết hồnh độ của điểm nhỏ hơn và cĩ phương trình . Lần 2–Trƣờng THPT Thuận Châu, Sơn La. Lời giải tham khảo: 3xy 13 0 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng B Xác định hình chiếu của trên . M G Ta cĩ tam giác vuơng cân đỉnh nên tam giác N D(7; 2) vuơng cân đỉnh Suy ra Theo giả thiết nên tam giác nội tiếp đường tâm bán kính . A C Ta cĩ: suy ra suy ra Suy ra tam giác vuơng cân đỉnh suy ra THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 32
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Tìm điểm nằm trên đường thẳng sao cho Giả sử Với suy ra Tìm số đo gĩc tạo bởi và . Gải sử đường thẳng cĩ vecto pháp tuyến ta cĩ : TH 1 : chọn sy ra suy ra TH 2: chọn suy ra Trong hai trường hợp trên xét thấy nên Vậy: Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại A nội tiếp đường trịn (T) cĩ phương trình: x22 y 6 x 2 y 5 0 . Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN cĩ phương trình: 20xy 10 9 0 và điểm H cĩ hồnh độ nhỏ hơn tung độ. lần 2–Trƣờng THPT Minh Châu- Hƣng Yên Lời giải tham khảo: (T) cĩ tâm I(31 ; ), bán kính R. 5 Do IA IC IAC ICA (1) Đường trịn đường kính AH cắt BC tại M MH  AB MH/ /AC(cùng vuơng gĩc AB) MHB ICA (2) Từ (1), (2), (3) ta cĩ: IAC ANM ICA AHM MHB AHM 90o Ta cĩ: ANM AHM (chắn cung AM) (3) Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình cạnh BC. THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 33
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 A N E M B C H I Suy ra: AI vuơng gĩc MN phương trình đường thẳng IA là: xy 2 5 0 Giả sử A(52 a;a) IA. 2 2 2 a 0 Mà A(T)( 52 a)a 652 ( a)a 2505 a 100 a a 2 Với a 2 A( 1 ; 2 ) (thỏa mãn vì A, I khác phía MN) Với a 0 A( 5 ; 0 ) (loại vì A, I cùng phía MN) 9 Gọi E là tâm đường trịn đường kính AH E MN E t;2 t 10 38 Do E là trung điểm AH H 2 t 1 ; 4 t 10 58 48 AH 2 t 2 ; 4 t , IH 2 t 4 ; 4 t 10 10 272 896 Vì AH HI AH.IH 020 t2 t 0 5 25 8 11 13 t H ; (thỏa mãn) 5 5 5 28 31 17 t H ; (loại) 25 25 25 8 11 13 Với t H ; (thỏa mãn) 5 5 5 63 Ta cĩ: AH ; BC nhận n (21 ; ) là VTPT 55 phương trình BC là: 2xy 7 0 Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ C(-1;-2) ngoại tiếp đường trịn tâm I. Gọi M, N, H lần luợt các tiếp điểm của (I) với cạnh AB, AC, BC. Gọi K(-1;-4) là giao điểm của BI với MN. Tìm toạ độ các đỉnh cịn lại của tam giác ABC, biết THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 34
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 H(2;1). lần 2–Trƣờng THPT Anh Sơn 2, Nghệ An Lời giải tham khảo: ABC ACB BAC C' Ta cĩ KIC IBC ICB 900 (1) 22 2 BAC Ta cĩ KNC ANM AMN 900 (2) 2 KIC KNC A Từ (1) và (2) suy ra nên tứ giác K N KNIC nội tiếp trong đường trịn đường kính IC. M Mặt khác tam giác IHC nội tiếp trong đường I trịn đường kính IC J C Vậy 5 điểm K, N, I, H, C nằm trên đường trịn B H đường kính IC. Gọi J là trung điểm của IC nên J là tâm đường trịn đi qua 5 điểm trên. Giả sử J(x;y) khi đĩ JC JK (1)(4 x2 y ) 2 (1)(2 x 2 y ) 2 x 3 JC JK JH 2 2 2 2 JC JH (1 x ) (4 y ) (2 x ) (1 y ) y 3 J(3; 3) . Vì J là trung điểm của IC nên I(7;-4). Từ đĩ suy ra BI cĩ phương trình y 40 BC đi qua H và C nên cĩ phương trình xy 10 . y 40 Do đĩ, B(x;y) là nghiệm của hệ B( 3; 4) xy 10 Vì INC 11 v NKC v Từ đĩ gọi C’ là điểm đối xứng của C qua đường thẳng BI. Khi đĩ K là trung điểm của CC’ nên C’(-1;-6). Đường thẳng AB qua B và C’ cĩ phương trình là: xy 70 Giả sử AC cĩ VTPT n ( a ; b ),( a22 b 0) Khi đĩ AC cĩ phương trình a( x 1) b ( y 2) 0 ax by a 2 b 0 a 1 7a 4 b a 2 b 82ab b Ta cĩ d(,) I AC IH 52 52 22 22 a 23 ab ab b 7 a + 1 chọn a = 1, b = -1 nên AC cĩ phương trình xy 10 ( trùng BC) ( loại). b a 23 + chọn a = 23 ; b = 7 nên AC cĩ phương trình 23xy 7 37 0 b 7 3 x xy 70 4 + Khi đĩ A (x; y) là nghiệm của hệ 23xy 7 37 0 31 y 4 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 35
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 3 31 Vậy A(;) 44 Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng cân tại A. Biết phương trình cạnh BC là d : x 7 y 31 0 , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3) thuộc AB và nằm ngồi đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. THPT Bắc Yên Thành Lời giải tham khảo: Đường thẳng AB đi qua M nên cĩ phương trình a x 2 b y 3 0 ab22 0 0 0 ab 7 34ab AB; BC 45 nên cos45 . 50 ab22 43ab Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được AB : 4 x 3 y 1 0 . AC :3 x 4 y 7 0 . Từ đĩ A(-1; 1) và B(-4; 5). Kiểm tra MB 2 MA nên M nằm ngồi đoạn AB (TM) Từ đĩ tìm được C(3; 4) Nếu 4a = -3b, chọn a = 3, b = -4 được AB :3 x 4 y 18 0 , AC : 4 x 3 y 49 0 Từ đĩ A(10; 3) và B(10;3) (loại) Bài 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ các đường cao AD, BE và nội tiếp đường trịn tâm I(5;4). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết D(4;4), E(6;5) và đỉnh C thuộc đường thẳng xy 2 2 0 Chuyên khoa học tự nhiên, lần 3. Lời giải tham khảo: 1800 CIA ICA9000 ABC , ABC CED IEC CED 90 IC DE . Suy ra 2 DE(2;1) là VTPT của đường thẳng IC suy ra phương trình IC là : 2x y 14 0 . Mà C thuộc đường thẳng d: x 2 y 2 0 C (6;2) x 6 Phương trình CE: A (2 3 a ;6) yt23 2 IA2 1 2 3a 5 a 6 (a = 0 loại) xt62 Suy ra : A(6;6). Phương trình CD là : yt22 Bb(6 2a ;2 2 ) 22 IB2 1 2 b 2 2 b 5 3 b (b 0 loại) suy ra : B(3;5) 2 Bài 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm I, điểm M(2;−1) là trung điểm của BC, hình chiếu vuơng gĩc của B lên AI là THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 36
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 98 D; ; Biết rằng AC cĩ phương trình x + y − 5 = 0 , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác 55 ABC. THPT Nguyễn Văn Trỗi, lần 1 Gọi F là hình chiếu vuơng gĩc của A lên BC, E là trung điểm AB. Ta cĩ tứ giác BFDA nội tiếp đường trịn đường kính AB và ngủ giác BEDIM nội tiếp đường trịn đường kính BI 1 Suy ra DEM DBM DBF DEF 2 (gĩc nội tiếp và gĩc ở tâm cùng chắnmột cung) nên EM là phân giác của gĩc ∠DEF , lại 1 cĩ EF DE AB nên ME là đường trung 2 trực của DF. Đường thẳng ME qua M và song song với AC nên cĩ phương trình x + y − 1= 0 , F đối xứng với D qua ME nên 13 6 3 1 F;,; MF nên véc tơ pháp tuyến của BC là 5 5 5 5 n 1; 3 suy ra phương trình BC là : xy3 5 0 nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ sau : xy3 5 0 C(5;0). M là trung điểm BC suy ra B (−1;−2) xy50 , AF qua F và vuơng gĩc với BC nên cĩ phương trình 33 30xy suy ra tọa độ điểm A là nghiệm 5 33 30xy của hệ 5 A(1;4) xy50 1 Bài 33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ hai điểm M 3; và 4 38 34 N ; nằm trên đường thẳng AB, phương trình đường thẳng AC là 3xy 4 6 0. Tìm tọa 25 25 độ các đỉnh A, B, C biết tâm I của đường trịn nội tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng d: x y 2 0 và cĩ hồnh độ lớn hơn 1, đồng thời điểm P là chân đường phân giác trong AI cĩ hình chiếu vuơng gĩc lên đường thẳng AB là điểm N. THPT Nguyễn Diệu, Bình Định Lời giải tham khảo: +)Lập được ptAB: 3x +4y – 10 = 0. THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 37
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 3xy 4 10 0 Tọa độ A là nghiệm của hệ Tìm được A(2/3;2). 3xy 4 6 0. +)Vì tâm đường trịn nội tiếp thuộc đường thẳng x – y – 2 = 0 nên I(a;a – 2), điều kiện a > 1. Ta cĩ d(I;AB) = d(I;AC) 7aa 18 14 an 4( ) 2 al () 3 Vậy I(4;2) và bán kính đường trịn nội tiếp r = 2. +)Lập pt AI: y–2 = 0. Lập pt PN: 4x –3y – 2 = 0. P là giao điểm của AI và PN nên tọa độ P là nghiệm của hệ y 20 giải được P(2;2) 4xy 3 2 0 +)BC qua P(2;2) và cĩ VTPT n (;) a b cĩ pt dạng a( x 2) b ( y 2) 0. Ta cĩ d(I;BC) = r 2a 2 a a22 b b 0. Chọn a = 1 ab22 Khi đĩ pt BC là x – 2 = 0. 3xy 4 10 0 Tọa độ B là nghiệm của hệ Tìm được tọa độ B(2;1) . x 2 0. 3xy 4 6 0 Tọa độ C là nghiệm của hệ Tìm được tọa độ C(2;3). x 2 0. Bài 34: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ đỉnh B(4; 3) , M là trung điểm của cạnh BC, D là giao điểm giữa đường phân giác trong của gĩc MAC và cạnh BC . Biết rằng CB 3 CD, đường thẳng AD cĩ phương trình 3xy 2 5 0, diện tích tam giác ABC bằng 39 và đỉnh C cĩ hồnh độ dương. Hãy tính tọa độ các điểm A, C. 4 THPT Phù Cát 1, Bình Định Lời giải tham khảo: +) Gọi E là điểm đối xứng của A qua M thì AB//. CE Xét tam giác ACE cĩ AM là trung 2 tuyến, CD CM nên D là trọng tâm, AD là phân giác của gĩc EAC nên tam giác AEC 3 cân tại A, suy ra AD EC suy ra AD AB. Suy ra A là hình chiếu vuơng gĩc của B trên AD, suy ra A(1; 1). 35t +) Do D AD D t;1 D A t 2 3 3tt 4 9 9 4 +) Từ BC BD C ;, t 2 2 2 3 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 38
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 2SABC 3 13 59 +) Do d C;, AB từ đĩ suy ra t 3, suy ra C ;. AB 2 22 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 39
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Phần II. Các bài tốn về tứ giác Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuơng ABCD cĩ đỉnh C thuộc đường thẳng d: x 2 y 6 0, điểm M(1;1) thuộc cạnh BD biết rằng hình chiếu vuơng gĩc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng :xy 1 0. Tìm tọa độ đỉnh C . Lần 1– Trƣờng THPT Bình Minh – Ninh Bình Lời giải tham khảo  Tính chất: CI HK  Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của M trên AB, AD Gọi N là giao điểm của KM và BC Gọi I là giao điểm của CM và HK Ta cĩ DKM vuơng tại K và MDK 450 KM KD KM NC (1) Lại cĩ MH MN ( do MHBN là hình vuơng) Suy ra: KMH CNM HKM MCN 0 Mà NMC IMK nên NMC NCM IMK HKM 90 Suy ra CI HK  Đường thẳng CI đi qua M(1;1) và vuơng gĩc với đường thẳng d nên VTPT nCI VTCP u d ( 1;1) nên cĩ phương trình: (x 1) ( y 1) 0 x y 0 Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng nên tọa độ điểm C là nghiệm của x y02 x hệ phương trình Vậy C(2;2) x2 y 6 0 y 2 Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ tâm I(1;3). Gọi N 2 là điểm thuộc cạnh AB sao cho AN AB . Biết đường thẳng DN cĩ phương trình 3 x+y-2=0 và AB=3AD. Tìm tọa độ điểm B. Lần 2– Trƣờng THPT Bố Hạ – Bắc Giang Lời giải tham khảo  Gọi n ( a ; b ); ( a22 b 0) là vectơ pháp tuyến của BD, BD đi qua điểm I(1;3) nên cĩ phương trình: ax by a 30 b AB NB 2 3 AN AB 3 5AB Theo giả thiết ta cĩ: ND 13 AD AB 3 10AB BD 3 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 40
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 BD2 ND 2 NB 2 72 Nên ta suy ra: cos BDN 2BD . ND 10 |ab | 7 2 22 34ab Khi đĩ: cosBDN cos( n , n1 ) 24 a 24 b 50 ab 0 ab22 .2 10 43ab  Với 34ab , chon a=4,b=3 suy ra: BD: 4 x 3 y 13 0 Mà D BD  DN D(7; 5) B ( 5;11)  Với 43ab , chọn a=3,b=4, PT BD:3 x 4 y 15 0 Mà D BD  DN D( 7;9) B (9; 3) Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuơng ABCD . Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng BD , các điểm H( 2;3) và K(2;4) lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm E trên AB và AD . Xác định toạ độ các đỉnh A,B,C,D của hình vuơng ABCD. Lần 1– Trƣờng THPT Nguyễn Huệ – Khánh Hồ Lời giải tham khảo  Ta cĩ: EH: y 3 0 EK: x 2 0 AH : x 2 0 A 2;4 AK : y 4 0  Giả sử n a;b , a22 b 0 là VTPT của đường thẳng BD . a 2 Cĩ: ABD 450 nên: ab ab22 2 Với ab , chọn b 1 a1 BD:xy10 EB 4; 4 B 2; 1 ;D 3;4 E nằm trên đoạn ED 1;1 BD (thỏa mãn) Khi đĩ: C 3; 1 Với ab , chọn b1 a1 BD:xy50 . EB 4;4 B 2;7 ;D 1;4 EB 4ED E nằm ngồi đoạn BD (Loại) ED 1;1  Vậy: A 2;4;B 2; 1;C3; 1;D3;4 Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD cĩ đường chéo AC nằm trên đường thẳng d: x y 1 0 . Điểm E 9;4 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F 2; 5 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC 22. Xác định tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C cĩ hồnh độ âm. Lần 1 - Cao Đẳng nghề Nha Trang Lời giải tham khảo THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 41
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC B E’ thuộc AD. +) Vì EE’ vuơng gĩc với AC và qua điểm E 9;4 E phương trình EE’: EE': x y 5 0 I J  Gọi I  AC EE’ , tọa độ I là nghiệm hệ: A C x y 5 0 x 3 E' I 3; 2 x y 1 0 y 2 F +)Vì I là trung điểm của EE’ E'( 3; 8) D  AD qua E '( 3; 8) và F( 2; 5) phương trình AD: AD:3 x y 1 0 +) A AC  AD A(0;1). 2 +) Giả sử C( c ;1 c ) .Vì AC 2 2 c 4 c 2; c 2 Cx( 2;3) C 0  Gọi J là trung điểm AC J( 1;2) phương trình BD: xy 30 . +) Do D AD  BD D(1;4) B ( 3;0) .  Vậy A(0;1), BCD( 3;0), ( 2;3), (1;4). Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD cĩ BD = 2AC. Đường thẳng BD cĩ phương trình x – y = 0. Gọi M là trung điểm của CD và H(2;-1) là hình chiếu vuơng gĩc của A trên BM. Viết phương trình đường thẳng AH. Trƣờng Ischool Nha Trang-Khánh Hồ Lời giải tham khảo  Gọi I là tâm của hình thoi ABCD và G  BM AC , suy ra G là trọng tâm của tam giác BCD. +) Tam giác BIG vuơng tại I cĩ: IG IG IG 1 sin IBG BG BI2 IG 2(6 IG ) 2 IG 2 37 1 cos(BD , AH ) sin IBH 37  Đường thẳng BD cĩ vectơ pháp tuyến n1 (1; 1) 22 gọi vectơ pháp tuyến của AH là n2 ( a ; b ) ( a b 0) . Ta cĩ: a 7 1 |ab | 1 22b 5 cos BD . AH cos n12 , n 35 a 74 ab 35 b 0 3722 37 a 5 ab .2 b 7 a 7 +) Với : Chọn n (7;5) ,ta cĩ phương trình AH là AH:7 x 5 y 9 0 . b 5 2 a 5 +) Với : Chọn n (5;7),ta cĩ phương trình AH là AH:5 x 7 y 3 0. b 7 2  Vậy hoặc . Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuơng tại A, B và AD = THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 42
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 2BC. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử H 1;3 , phương trình đường thẳng AE:4 x y 3 0 và 5 C ;4 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD. 2 Lần 2 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: CE AE +) Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I. +) Suy ra: K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK  AE. Do KE là đường trung bình của tam 1 giác AHD nên KE AD hay KE BC , nên 2 cho tam tứ giác BKEC là hình bình hành, dẫn tới CE BK . +) Do đĩ: CE AE CE: 2 x 8 y 27 0 3 Mà E AE  CE E ;3 , mặt khác E là trung điểm của HD nên D 2;3 2  Khi đĩ, phương trình đường thẳng BD: y 3 0 , suy ra AH: x 1 0 nên A 1;1 .  Suy ra AB: x 2 y 3 0.Do đĩ: B AB  BD B 3;3  Vậy: ABD 1; 1 , 3; 3 , 2; 3 Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB=2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E,F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH. Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E cĩ tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Lần 5 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: AF EF  Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH, AB. +) Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội tiếp đường trịn đường kính DG, mà DG AE nên AE cũng là đường kính, đồng thời tứ giác ADEF cũng nội tiếp dẫn tới: .  Đường thẳng AF (qua A và vuơng gĩc với EF) cĩ pt AF :xy 3 4 0 . Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 43
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 17 x 3xy 10 5 17 1 32 F ; AF xy 3 4 1 5 5 5 y 5 12 AFE DCB g g EF AF 2; 25 22 2 8 17 51 8 E t;3 t 10 EF t 3 t 5 5 5 5 2 19 19 7 5t 34 t 57 0 t 3  t hay E 3; 1  E ; 5 5 5 +) Theo giả thiết ta được E 3; 1 , phương trình AE: x y 2 0 .  Gọi D x; y , tam giác ADE vuơng cân tại D nên: 2 2 2 2 AD DE x 1 y 1 x 3 y 1 AD DE x 1 x 3 y 1 y 1 yx 2 xx 13  hay D(1;-1)  D(3;1) xx 1 3 0 yy 11 +) Vì D và F nằm về hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;-1). +) Khi đĩ, C(5;-1); B(1;5). (Tìm được C vì DE nhận E làm trung điểm, tìm D bằng đẳng thức BC AD ).  Vậy B(1;5); C(5;-1) và D(1;-1). Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tοạ độ Oxy , cho hình vuơng ABCD và M là một điểm thuộc cạnh CD M C, D . Qua điểm A dựng đường thẳng d vuơng gĩc với AM , cắt đường thẳng BC tại điểm N . Biết rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là gốc tọa độ O , I là giaο điểm của AO và BC . Tìm tọa độ điểm B của hình vuơng biết AI6;4,O0;0, 3; 2 và điểm cĩ hồnh độ âm. Lần 2 –Trƣờng THPT chuyên Hùng Vƣơng Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: Tam giác AMN vuơng cân tại A. A D  Do tứ giác AMCN nội tiếp, suy ra AMN NCA 450 nên tam giác AMN vuơng cân tại A, khi đĩ AO MN tại M O, nên ta viết được phương trình đường thẳng: MN: 3 x 2 y 0 O  Giả sử N 2 n ;3 n MN M 2 n ; 3 n N B I C THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 44
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 +) Ta cĩ: AN 2 n 6;3 n 4; AM 2 n 6;3 n 4 +) Do: AN AM AN.0 AM 2n 6 2 n 6 3 n 4 3 n 4 0 n 2 N 4; 6 n 2  Phương trình đường thẳng BC qua N và I làBC: 4 x 7 y 26 0, +) Phương trình đường thẳng AB qua A và vuơng gĩc với BC là AB: 7 x 4 y 26 0 4xy 7 26 6 22  Vì B  BC AB nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: B ; 7xy 4 26 55 Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x – y + 2 = 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x – y – 5 = 0, Gọi H là hình chiếu của B 92 xuống đường chéo AC, Biết M ; ; K(9;2) lần lượt thuộc trung điểm AH và CD. Tìm 55 hồnh độ các đỉnh của hình chữ nhật biết hồnh độ đỉnh C lớn hơn 4 Lần 1 –Trƣờng THPT Đồng Xồi Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: MK  MB  Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt BH, BC lần lượt tại P, N. Tứ giác MKCP là hình bình hành (do 1 MP//CK, MP CK AB ) 2 +) Mặt khác ta cĩ MN  BC và BH MC suy ra P là trực tâm của tam giác MBC. +) Vậy CP BM suy ra MK MB 9 8 36 8  Gọi B b;2 b 2 d1 MB b ;2 b , MK ; 5 5 5 5 +) Vì MB. MK 0 b 1 B (1;4)  Gọi Ccc ; 5 d2 BCcc 1; 9 ; KCc 9; c 7 c 0 +) Vì BC  CK BC . KC 0 C 9;4 c 4  Nên ta cĩ C 9;4 và DA9;0 1;0 Bài tập tƣơng tự 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ đỉnh B thuộc đường trịn (C): xy22 10 , đỉnh C thuộc đường thẳng cĩ phương trình: xy 2 1 0 . Gọi M là hình chiếu vuơng gĩc của B lên AC. Trung điểm của AM và CD lần lượt là 31 N ; và P(1;1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết rằng điểm B cĩ hồnh độ 55 dương và điểm C cĩ tung độ âm. (lần 1–Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ An) Phân tích và hướng dẫn đáp số: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 45
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 NQ// AB Gọi Q là trung điểm BM, khi đĩ 1 suy ra PCQN là hình bình hành. NQ AB 2 Suy ra CQ//PN. Trong tam giác BCN thì Q là trực tâm nên CQ vuơng gĩc với BN. Vì vậy PN vuơng gĩc với BN. Đáp số: ABCD 3;1 , 1; 3 , 3; 1 , 1;3 Bài tập tƣơng tự 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ 9 điểm H(1;2) là hình chiếu vuơng gĩc của A lên BD. Điểm M ( ;3) là trung điểm của cạnh 2 BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là d: 4xy 4 0. Viết phương trình cạnh BC. (lần 3–Trường THPT Phú riềng – Bình Phước) Đáp số: BC: 2 x y 12 0 Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ điểm H(1;2) là 9 hình chiếu vuơng gĩc của A lên BD. Điểm M ;3 là trung điểm của cạnh BC, phương 2 trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là d: 4 x y 4 0 . Viết phương trình cạnh BC. Lần 3 –Trƣờng THPT Phú Riềng- Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: MK  AK  Gọi K là trung điểm của HD. Gọi P là trung điểm của AH. +) Ta cĩ AB vuơng gĩc với KP. Do đĩ P là trực tâm của tam giác ABK. Suy ra BP vuơng gĩc với KM. +) Mặt khác, do BMKP là hình bình hành nên cho ta KM KM , nên suy ra . 15  MK đi qua và vuơng gĩc với AK cĩ pt: MK: x 4 y 0 2 15 xy 40 1 +) K  MK d nên tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 2 K ;2 2 4xy 4 0 +) Do K là trung điểm của HD nên D 0;2 ,suy ra phương trình đường thẳng BD: y 2 0 +) AH qua H và vuơng gĩc với BD nên cĩ phương trình: AH: x 1 0 +) Tham số hĩa điểm Bb ;2 , vì M là trung điểm BC nên Cb 9 ;4 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 46
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 +) Ta cĩ: DC 9 b ;2 ; BC 9 2 b ;2 mà DC vuơng gĩc với BC nên suy ra: b 5 DC.0 BC 17 b 2 17 1 +) Nên điểm BC 5;2 4;4 hoặc BC ;2 ;4 22  Phương trình đường thẳng BC: 2 x y 12 0 hoặc BC: 2 x 8 y 33 0 Bài tập tƣơng tự: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của B trên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, 92 trên cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hình bình hành. Biết M ; ;K 9;2 và 25 các đỉnh B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng cĩ phương trình 2xy 2 0và xy 50 , hồnh độ đỉnh C lớn hơn 4. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D. lần 2–Trƣờng THPT Yên Thế Lời giải tham khảo: 1 +) MN là đường trung bình của tam giác HAB suy ra MN // AB và MN AB 2 11 +) MNCK là hình bình hành nên CK // MN; CK MN AB CD 22 suy ra K là trung điểm của CD và N là trực tâm tam giác BCM, do đĩ CN MB và MK // CN nên MK MB . 36 8 9 8 BdBbb ;2 2 , MK ; , MBb ;2 b 5 5 5 5 MK. MB 0 b 1 B 1;4 C d' C c ; c 5 BC. KC 0 c 9 C 9;4 D 9;0 A 1;0 Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ tọa độ điểm D(5; 4). Đường trung trực của đoạn CD cĩ phương trình dxy1 : 2 3 – 9 0 và đường phân giác trong gĩc BAC của tam giác ABC cĩ phương trình d2 : 5 x y 10 0 . Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại của hình bình hành ABCD. Lần 1 –Trƣờng THPT Thanh Hoa - Bình Phƣớc Lời giải tham khảo: d1 d2  Phương trình đường thẳng DC qua D và vuơng B C gĩc với d1 cĩ dạng DC:3 x 2 y 7 0 M CD  d M 3;1 +) 1 M +) M là trung điểm DC nên C 1; 2 A D  Ta lại cĩ A thuộc d2 nên A( a ; 5 a 10) THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 47
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Mà ABCD là hbh nên xaB 4 AB DC B( a 4; 5 a 16) yaB 5 10 6  Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua d2 , ta cĩ:C'( 4; 3) AB aa 4 5 7 +) Ta cĩ: A, B, C’ thẳng hàng C' A kC ' B a 2 aa 5 13  Vậy A 2;0 và B 6; 6 . Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuơng ABCD tâm I. Biết trung điểm cạnh AB là M(0;3), trung điểm đoạn thẳng IC là E(1;0) và điểm A cĩ tọa độ nguyên. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D. Trƣờng THPT Nguyễn Du – Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: ME DE +) Gọi H là trung điểm DI, khi đĩ H là trực tâm tam giác ADC (chứng minh tương tự các bài trên), nên AH DE +) Đồng thời AMEH là hình bình hành nên AH DE +) Suy ra: ME DE  Phương trình DE: x 3 y 1 0 +) Tham số hĩa điểm D 3 d 1; d DE +) Để ý thấy rằng: MGB EGH , khi đĩ cho ta G là 13 trung điểm ME nên G ; 22  Tứ giác AMED nội tiếp, nên cho ta DAE AME 450 nên cho ta tam giác EMD vuơng cân tại E. 2  Phương trình đường trịn (C) tâm E bán kính ME cĩ dạng: C : x 1 y2 10 x 2 2 xy 1 2 10 y 1 D  C DE +) nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ xy 3 1 0 x 4 y 1 55  TH1: D 2; 1 , ta lập được phương trình AC đi qua E và nhận DG ; làm VTPT 22 nên cĩ dạng: AC: x y 1 0 +) Phương trình BD: x y 1 0 +) I AC  BD I 0;1 +) Từ đĩ ta tìm được BAC 2;3 2;3 2; 1 71  TH2: D 4;1 ta lập được phương trình AC đi qua E và nhận DG ; làm VTPT 22 nên cĩ dạng: AC:7 x y 7 0 +) Phương trình BD: x 7 y 11 0 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 48
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 67 +) I AC  BD I ; 55 8 9 8 21 +) Từ đĩ ta tìm được BA ;; (loại do tọa độ A nguyên). 5 5 5 5 Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M và D cĩ phương trình xy 2 2 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D, biết A 1;4 và đỉnh C nằm trên đường thẳng :xy 5 0 và hồnh độ điểm lớn hơn 3. Trƣờng THPT Chuyên Bình Long- Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Ta cĩ điểm nằm trên đường thẳng :x y 5 0 C c;5 c , c , c 3 . +) Lại cĩ: 1 2.4 2 d C, MD 2. d A , MD 2 2 5 122 2 2 cc 2 5 2 cl 2 5 3c 8 10 3 5 c 6 Suy ra C 6; 1 +) Ta cĩ điểm D nằm trên đường thẳng d : x 2 y 2 0 D 2 d 2; d , d . Lại cĩ AD 2 d 3; d 4 ; CD 2 d 8; d 1 +) Do là hình chữ nhật nên 2 d 1 AD. CD 0 2 d 3 2 d 8 d 4 d 1 0 5 d 25 d 20 0 d 4  Kết luận: , DB 0;1 7;2 hoặc , DB 6;4 1; 1 Bài 14: Trong mặt phẵng với hệ tọa đợ Oxy , cho hình chư̂ nhật ABCD có A 5; 7 , điễm C thuợc đường thẵng có phương trình xy– 4 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điễm cũa đoạn thẵng A B có phương trình 3xy – 4 – 23=0. Tìm tọa độ điểm B và C, biết B có hoành đợ dương. Lần 2–Trƣờng THPT Hà Huy Tập Lời giải tham khảo: THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 49
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  Ta cĩ C x y 4 0 C ( c ; c 4) , M là trung điểm AB và I là giao điểm AC và DM +) Theo định lý Thales thuận ta cĩ: CD IC ID1 c 10 c 10 2; AI AC I AM IA IM 3 3 3 +) Mặt khác I thuộc DM nên ta cĩ: cc 10 10 3 4 23 0 cC 1 (1;5) 33 +) Ta cĩ M thuộc MD: 3mm 23 3 9 M m; B 2 m 5; 42 35m AB 2 m 10; 2 Và cĩ thêm: 3m 19 CB 2 m 6; 2 3mm 5 3 19 +) Lại cĩ AB. CB 0 (2 m 10)(2 m 6) 0 22 29 +) Suy ra m 1 hay m 5 33 21 33 21  Do đĩ B( 3; 3) hay B ; . Do B cĩ hồnh độ dương nên ta nhận B(;) 55 55 33 21  Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài tốn là BC( ; ), (1;5) 55 Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy , cho hình vuơng ABCD cĩ A(-1;3). Điểm B thuộc đường thẳng d: x 2 y 1 0. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC và 71 CD. AM cắt BN tại I ; . Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vuơng. 55 Trƣờng THPT Trần Cao Sơn – Khánh Hồ Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AM BN +) Ta cĩ: BAI IBM mà BAI IMB 900 A B Suy ra: IBM IMB 900 hay AM BM  Phương trình đường thẳng AM: 4 x 3 y 5 0 +) Phương trình đường thẳng BN qua I và vuơng gĩc với AM I M cĩ dạng: BN:3 x 4 y 5 0 +) B d  BN B 3;1  Phương trình đường thẳng BC: 2 x y 5 0  M BC  AM M 2; 1 C 1; 3 D 3; 1 D N C Bài 16: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD cạnh AC cĩ phương trình là: x 7y 31 0, THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 50
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 hai đỉnh BD, lần lượt thuộc các đường thẳng d1 : x y 8 0, d2 : x 2 y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A cĩ hồnh độ âm Trƣờng THPT Lê Hồng Phong Lời giải tham khảo:  B d12 B(;8 b b ), D d (2 d 3;) d +) Khi đĩ BD ( b 2 d 3; b d 8) và trung điểm của BD b 2 d 3 b d 8 là I ; 22 +) Theo tính chất hình thoi ta cĩ: BD AC u.0 BD 8 b 13 d 13 0 b 0 AC . I AC I AC 6 b 9 d 9 0 d 1  Suy ra BD(0;8); ( 1;1) . 19 +) Khi đĩ I ; ; A AC A( 7 a 31; a ). 22 12S 15 S AC. BD AC ABCD 15 2 IA ABCD 2 BD 2 2 2 2 63 9 225 9 9 a 3 A (10;3) ( ktm ) 7a a a 2 2 2 2 4 aA 6 ( 11;6)  Suy ra C(10;3) . Bài 17: Trong mặt phẵng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ diện tích bằng 15. Đường thẳng AB cĩ phương trình xy 20. Trọng tâm của tam giác BCD cĩ tọa độ 16 13 G ; . Tìm tọa độ A, B, C, D biết B cĩ tung độ lớn hơn 3. 33 Trƣờng THPT Đơng Du - Đăklăk Lời giải tham khảo: 10  d( G ; AB ) BC 5 AB 3 5 35 +) Đường thẳng d qua G và vuơng gĩc với AB là : d: 2 x y 15 0 1 +) Gọi N d  AB N(6;3) NB AB 5 3 2 b 2 +) B(2 b ; b ) AB NB 5 B (8;4) b 4 3 Ta cĩ: BA 3 BN A (2;1); AC AG C(7;6) ; CD BA D(1;3) 2  Kết luận: A(2;1); B(8;4); C(7;6); D(1;3). Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD cĩ A 1;5 , AB 2 BC và điểm C thuộc đường THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 51
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 thẳng d: x 3 y 7 0. Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB, N là hình chiếu vuơng 51 gĩc của B trên MD. Tìm tọa độ các điểm B và C biết N ; và điểm B cĩ tung độ 22 nguyên. Trƣờng THPT- Lạc Long Quân – Khánh Hồ Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AN CN +) Gọi I  AC BD +) Do tam giác BDN vuơng tại N nên IN IB ID Mà lại cĩ IC IA ID IB IN IC IA Suy ra tam giác ANC vuơng tại N hay  Phương trình đường thẳng CN qua N và vuơng gĩc với NC cĩ dạngCN:7 x 9 y 13 0 +) C d  CN C 2; 3  Giả sử B a; b . Do AB 2; BC AB BC nên ta cĩ hệ phương trình: a 1 a 2 b 5 b 3 0 ab 5; 1 2 2 2 2 79 a 1 b 5 4 a 2 b 3 a ; b l 55  Vậy BC 5; 1 ; 2; 3 Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD cĩ diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng (d): xy 30 và (d’): xy 60 . Trung điểm M của AB là giao điểm của (d) với Ox và điểm A cĩ tung độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Lần 2- Trƣờng Trung cấp nghề Ninh Hồ Lời giải tham khảo: 93  Gọi I là giao điểm của (d) và (d’) suy ra I ; 22 +) M là giao điểm của (d) và Ox suy ra M 3;0 22 3 3 3 2 IM BC 2 IM 3 2 2 2 2 12 AB 22 32 +) Gọi A xAA; y Ta cĩ MA MI MA.0 MI xyAA 3 0 (1) AB 222 +) Mặt khác MA 2 MA xAA 3 y 2 (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra A 4; 1 hoặc A 2;1 +) Do y > 0 nên A 2;1 ; B 4; 1 A THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 52
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  Lấy đối xứng các điểm A, B qua tâm I ta được CD 7;2 ; 5;4 Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuơng ABCD cĩ tâm I 3; 1 , điểm M trên cạnh CD sao cho MC 2 MD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuơng ABCD biết đường thẳng AM cĩ phương trình 2xy 4 0 và đỉnh A cĩ tung độ dương. Lần 1–Trƣờng THPT Đồn Thƣợng – Hải Dƣơng Lời giải tham khảo: 3  Gọi H là hình chiếu của I trên AM IH d(;) I AM 5 +) Giả sử AM BD N và P là trung điểm của MC IP//// AM NM IP . Từ M là trung điểm của DP suy ra N là trung điểm của DI. aa2 1 2 +) Gọi cạnh của hình vuơng là a thì AI , IN ID 2 2 4 1 1 1 5 2 8 Từ a 32 IH2 IA 2 IN 29 a 2 a 2 +) A thuộc AM nên A(;2 t t 4) IA (t3)2 (2t3) 2 3 5 t 2 18 t 90 tA 3 (3;2) 3 3 14 . Do A cĩ tung độ dương nên A(3;2) tA ; 5 5 5  Suy ra C(3; 4) . Đường thẳng BD đi qua điểm I và cĩ vtpt AI (0; 3) cĩ phương trình 3 BD: y 1 0 . N AM  BD N ;1 . N là trung điểm của DI DB 0; 1 (6; 1) 2 Bài 21: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD cĩ tâm I 3;3 và AC 2 BD. Điểm 4 13 M 2 ; thuộc đường thẳng AB, điểm N 3; thuộc đường thẳng CD. Viết phương 3 3 trình đường chéo BD biết đỉnh B cĩ hồnh độ nhỏ hơn 3. Lần 2–Trƣờng GDTX Cam Lâm Lời giải tham khảo: 5 D  Tọa độ điểm N’đối xứng với điểm N qua I là N ' 3; 3 N Đường thẳng AB đi qua MN, ’ cĩ phương trình: xy 3 2 0 3 9 2 4 Suy ra: IH d I, AB 10 10 A C (Với H là chân đường vuơng gĩc từ I xuống AB) M I  Do AC 2 BD nên IA 2 IB . Đặt IB x 0 , ta cĩ phương trình: H 1 1 5 xx2 22 N' xx2248 B THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 53
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  Đặt B x, y . Do IB 2 B AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ: 14 22 x xy 3 3 2 5yy2 18 16 0 5 x 43  xy 32 82y xy 3 2 0 y 5 14 8 +) Do B cĩ hồnh độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn B ; 55  Vậy phương trình đường chéo BD là: 7xy 18 0 . Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ đỉnh A( 1; 4) và AB = 2AD. Đường thẳng chứa đường chéo BD cĩ phương trình: x – y + 1 = 0, biết điểm D cĩ hồnh độ dương. Viết phương trình đường thẳng chứa đường chéo AC Đề 2 –Trƣờng GDTX Nha Trang Lời giải tham khảo:  Gọi I  AC BD 1 4 1 +) Ta cĩ: d A; BD 2 2 2 1 1 1 5 1 +) Ta cĩ AD 10 AD2 AB 28 4 AD 2 8 +) Tham số hĩa điểm D d; d 1 BD d 0 22 dl 0 +) AD 10 d 1 d 3 10 d 2 Suy ra điểm D 2;3  Phương trình đường thẳng AB nhận AD 3; 1 làm VTPT và qua A cĩ dạng: AB:3 x y 7 0 11  B AB  BD B 3; 2 I ; C 0; 3 22 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuơng ABCD. Điểm E(2; 3) thuộc đoạn thẳng BD, các điểm H(-2; 3) và K(2; 4) lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm E trên AB và AD . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, D của hình vuơng ABCD. Trƣờng THPT Hồng Lĩnh Hà Tĩnh Lời giải tham khảo:  Ta cĩ: EH: y 3 0 EK: x 2 0 AH: x 2 0 A 2;4 AK: y 4 0 +) Giả sử n a; b , ab22 0 là VTPT của đường thẳng BD . a 2 Cĩ: ABD 450 nên: ab 22 ab 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 54
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 +) Với ab , chọn b 1 a 1 BD : x y 1 0 BD 2; 1 ; 3;4 EB 4; 4 ED 1;1 E nằm trên đoạn BD (t/m) Khi đĩ: C 3; 1 +) Với ab , chọn b 1 a 1 BD : x y 5 0. EB 4;4 BD 2;7 ; 1;4 EB4 ED ngồi đoạn (L) ED 1;1  Vậy: ABCD 2;4; 2;1; 3;1; 3;4 Bài 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD. 1 Biết diện tích hình thang bằng 14, đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là H ;0 . Viết 2 phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D cĩ hồnh độ dương và D nằm trên đường thẳng d:5 x y 1 0 Lần 3–Trƣờng THPT Lƣơng Tài – Bắc Ninh Lời giải tham khảo:  Gọi E  AH DC . Dễ thấy HAB HEC S ADE S ABCD 14 a 13 +) AH , A E 2A H a 13 ; 2 +) phương trình AE: 2 x 3 y 1 0 D d D d;5d 1 , d 0 d 2 1 28 SAED AE. d D , A E 14 d D , A E 30 2 13 dL () 13 +) Suy ra D 2;11 +) H là trung điểm AE E 2; 1 Phương trình CD: 3xy 5 0  AB đi qua A và song song với CD pt AB:3 x y 2 0 Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ hình chiếu 67 vuơng gĩc của A lên đường thẳng BD là H;, điểm M( 10 ; ) là trung điểm cạnh BC 55 và phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH cĩ phương trình là 7x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Lần 2 –Trƣờng THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 55
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: MN AN A +) Gọi N, K lần lượt là trung điểm của HD và D 1 AH NK // AD và NK AD. 2 K N Do AD AB NK  AB. Mà AK BD K là trực tâm tam giác ABN. +) Suy ra BK AN (1) H 1 C Vì M là trung điểm BC BM BC. B M 2 Do đĩ NK // BM và NK BM +) Suy ra BMNK là hình bình hành MN // BK (2) +) Từ (1) và (2) suy ra MN AN.  Phương trình MN cĩ dạng: x 70 y c . M( 1 ; 0 ) MN 1 7 . 0 c 0 c 1 . phương trình MN là: x 7 y 1 0 . 21  Mà N MN  AN N ; . Vì N là trung điểm HD D(21 ; ). 55 86 Ta cĩ: HN ; 55 Do AH HN AH đi qua H và nhận n (43 ; ) là 1 VTPT. phương trình AH là: 4x 3 y 9 0 .  Mà A AH  AN A(03 , ). 2 2( 1 x ) x 2 +) Ta cĩ: AD 2 BM BB B( 2 ; 2 ). 4 2( 0 yBB ) y 2  Vì M là trung điểm BC C(02 ; ).  Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(0 ; 3 ),B( 2 ; 2 ),C( 0 ; 2 ),D( 2 ; 1 ). Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuơng tại A và B , cĩ BC 2 AD , đỉnh A 3;1 và trung điểm M của đoạn BC nằm trên đường thẳng d: x 4 y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình thang , biết H 6; 2 là hình chiếu vuơng gĩc của B trên đường thẳng CD . Lần 1–Trƣờng THPT Marie-Curie Hà Nội Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AH HM +) Từ giả thiết ta cĩ ABMD là hình chữ nhật. +) Gọi ()C là đường trịn ngoại tiếp . BH DH HC () HA HM (*)  M d: x 4 y 3 0 M 4 m 3 ; m THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 56
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 AH 9; 3 , HM 4 m 3 ; m 2 Ta cĩ: (*) AH.0 HM 9 4m 3 3 m 2 0 m 1  Suy ra: M 7;1 . +) ADCM là hình bình hành DC đi qua H 6; 2 và cĩ một vectơ chỉ phương AM 10;0 Phương trình DC: y 2 0. +) D DC: y 2 0 Dt ; 2 +) AD t 3 ; 3 , MD t 7 ; 3 tD 2 2; 2  AD DM AD. MD 0 t 3 t 7 9 0 t 6 D 6; 2  H (loại) +) Gọi I  AM BD I là trung điểm AM I 2;1 I là trung điểm BD B 6;4 M là trung điểm BC C 8; 2  Vậy: , , D 2; 2 . Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC. Biết B(2; 3) và AB BC , đường thẳng AC cĩ phương trình xy 10 , điểm M 2; 1 nằm trên đường thẳng AD. Viết phương trình đường thẳng CD. Trƣờng THPT Nguyễn Chí Thanh 1 Lời giải tham khảo:  Vì ABCD là hình thang cân nên nội tiếp trong một đường trịn. Mà BC CD nên AC là đường phân giác của gĩc BAD . +) Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua AC. Khi đĩ B' AD . +) Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: Suy ra H 3;2 . +) Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm của BB’. Do đĩ B' 4;1 .  Đường thẳng AD đi qua M và nhận MB ' làm vectơ chỉ phương nên cĩ phương trình AD: x 3 y 1 0 . Vì A  AC AD nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương x y 1 0 x 1 trình: A 1;0 x 3 y 1 0 y 0 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 57
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016  Ta cĩ ABCB’ là hình bình hành nên AB' BC C 5;4 . +) Gọi d là đường trung trực của BC, suy ra d:3 x y 14 0 +) Gọi I  AD d , suy ra I là trung điểm của AD. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 3xy 14 0 43 11 38 11 ID ;; xy 3 1 0 10 10 5 5  Vậy đường thẳng CD đi qua C và nhận CD làm vectơ chỉ phương nên cĩ phương trìnhCD:9 x 13 y 97 0. Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD cĩ diện tích bằng 2. Tâm I là giao của hai đường thẳng d1 : x y 2 0 và d2 : 2 x 4 y 13 0 . Trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của d1 với trục Ox . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết điểm A cĩ tung độ dương. Trƣờng THPT Ngọc Tảo Lời giải tham khảo: 73  I d12  d I ; 22 +) M d1  Ox M 2;0 +) Phương trình đường thẳng AD qua M và nhận 13 MI ; là VTPT cĩ dạng: AD: x 3 y 2 0 22 +) Tham số hĩa A 3 a 2; a AD a 0 1 SS 2 ABCD AMI 4 10 +) Vì: AM 10 10 MI 2 2 1 1 17 1 +) Nên 10a a A ; 10 10 10 10 23 1 +) Vì AD nhận M là trung điểm nên D ; 10 10 53 29 +) AC nhận I làm trung điểm nên C ; 10 10 47 31 +) BD nhận I làm trung điểm nên B ; 10 10 17 1  Kết luận: A ; ; ; ; 10 10 Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuơng ABCD BAD ADC 900 cĩ đỉnh D 2;2 và CD 2 AB . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của điểm THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 58
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 22 14 D lên đường chéo AC. Điểm M ; là trung điểm của HC. Xác định tọa độ các đỉnh 55 ABC,, , biết rằng đỉnh B thuộc đường thẳng :xy 2 4 0 . Lần 1 –Trƣờng THPT Nguyễn Viết Xuân Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: DM BM +) Gọi E là trung điểm của đoạn DH. Khi đĩ tứ giác ABME là hình bình hành ME AD nên E là trực tâm tam giác ADM. Suy ra AE DM mà AE// DM  DM BM  Phương trình đường thẳng BM:3 x y 16 0 +)Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: xy 24 B 4;4 3xy 16 AB IB 1 10 10 +) Gọi I là giao điểm của AC và BD, ta cĩ DI 2; IB I CD IC 2 3 3 +) Phương trình đường thẳng AC: x 2 y 10 0 14 18 +) P hương trình đường thẳng DH: 2 x y 2 0 H ; C 6;2 55 +) Từ CI 2 IA A 2;4 .  Kết luận: A 2;4 ; B 4;4 ; C 6;2 Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD cĩ D(4;5). Điểm M là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng CM cĩ phương trình xy 8 10 0. Điểm B nằm trên đường thẳng 2xy 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C, biết rằng C cĩ tung độ nhỏ hơn 2. Lần 1–Trƣờng THPT Phan Bội Châu Lời giải tham khảo:  Gọi H, K là hình chiếu vuơng gĩc của B, D lên CM. 26 DK d(,) D CM 65 +) Gọi I BD  AC; G BD  CM . Suy ra, G là trọng tâm ACD. Ta cĩ : BH BG 52 DG 2 GI BG 2 DG 2 BH DK DG 65 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 59
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 b 2 17b 18 52 +) B( b ; 2 b 1); d ( B ; CM ) BH 70 65 65 bl () 17 (loại vì điểm B, D nằm cùng phía với CM) +) Ta cĩ: B(2; 5) I(3;0) c 1 +) C(8 c 10; c ) CM; CD . CB 0 65 c2 208 c 143 0 11 cl () 5  Suy ra: CA( 2;1), (8; 1)  Vậy ABC(8; 1), (2; 5), ( 2;1). Bài 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với AB//CD cĩ diện tích 1 11 bằng 14, H ( ;0) là trung điểm của cạnh BC và I(;) là trung điểm của AH. Viết 2 42 phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D cĩ hồnh độ dương và D thuộc đường thẳng d: 5xy 1 0. Lần 1–Trƣờng THPT Phan Thúc Trực Lời giải tham khảo: (Giống bài 24)  Vì I là trung điểm của AH nên A(1;1); Ta 13 cĩ: AH . 2 +) Phương trình AH là: 2xy 3 1 0 . +) Gọi M  AH CD thì H là trung điểm của AM. +) Suy ra: M 2; 1 . Giả sử D d; 5 d 1 d a 0 . Ta cĩ: 28 +) ABH MCH S S AH. d ( D , AH ) 14 d(,) D AH ABCD ADM 13 Hay 13d 2 28 d 2( v ì a 0) D(2;11)  Vì AB đi qua A(1;1) và cĩ VTCP là MD (4;12) nên AB cĩ phương trình AB:3 x y 2 0 Bài 32: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB=2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E,F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH. Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E cĩ tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Lần 2–Trƣờng THPT Quỳnh Lƣu 3 Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AF EF Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH AB. Ta chứng minh AF EF . THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 60
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 +) Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đĩ AF EF . +) Đường thẳng AF cĩ pt: AF: x 3 y 4 0 . +) Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ : A G B 17 x 3xy 10 5 17 1 32 F ; AF xy 3 4 1 5 5 5 y F 5 12  AFE DCB EF AF 2; H 25 D C 22 E 2 8 17 51 8 E t;3 t 10 EF t 3 t 5 5 5 5 2 19 19 7 5t 34 t 57 0 t 3  t hay E 3; 1  E ; 5 5 5 +) Theo giả thiết ta được E 3; 1 , phương trình AE: x y 2 0 . +) Gọi D(x;y), tam giác ADE vuơng cân tại D nên 2 2 2 2 AD DE x 1 y 1 x 3 y 1 AD DE x 1 x 3 y 1 y 1 yx 2 xx 13  hay D(1;-1)  D(3;1) xx 1 3 0 yy 11  Vì D và F nằm về hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;-1).  Khi đĩ, C(5;-1); B(1;5). Vậy B(1;5); C(5;-1) và D(1;-1) Bài 33: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuơng tại A và D cĩ AB AD CD, điểm B(1;2), đường thẳng BD cĩ phương trình là y 20. Đường thẳng qua B vuơng gĩc với BC cắt cạnh AD tại M . Đường phân giác trong gĩc MBC cắt cạnh DC tại N . Biết rằng đường thẳng MN cĩ phương trình 7xy 25 0 . Tìm tọa độ đỉnh D . Lần 1–Sở GD Vĩnh Phúc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: M và C đối xứng qua BN.  Tứ giác BMDC nội tiếp BMC BDC DBA 450 BMC vuơng cân tại B, BN là phân giác trong MBC MC, đối xứng qua BN 4 Nên cho ta: AD d B,, CN d B MN 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 61
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 +) Do AB AD BD AD 24 +) BD: y 2 0 D ( a ;2) aD 5 5;2 BD 4 a 3 D 3;2 ( loai cung phia B so voi MN )  Vậy cĩ một điểm thỏa mãn là: D(5;2) Bài 34: Trong mặt phẳng (Oxy), cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB 2 AD , đỉnh A(0;5) . Đường thẳng qua đỉnh B và vuơng gĩc với AC cĩ phương trình xy 3 1 0và đỉnh D nằm trên đường thẳng d cĩ phương trình 2xy 7 0. Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình chữ nhật ABCD. Lần 1–Trƣờng THPT Trần cao Vân-Khánh Hồ Lời giải tham khảo: +) AC ptAC:3 x y 5 0 +) H AC  nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình: 8 x 35xy 5 81 H ; xy 3 1 1 55 y 5 =) Trong AHB vuơng tại B cĩ, AH AB22 AB 4 AB2 AH. AC AC AC 2 AB2 5 AB2 4 5 AC AH C(2; 1) 4 +) Phương trình đường trịn tâm I 1;2 bán kính IA cĩ dạng: C :( x 1)22 ( y 2) 10 +) D () C d nên tọa độ D là nghiệm hệ phương trình: 3 x 2xy 7 0 x 2 5 3 29  . Suy ra: DD( 2;3)  ; (xy 1)22 ( 2) 10 y 3 29 55 y 5 +) BC  nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình: 3 x xy 3 1 0 x 4 5 3 14  . Suy ra BB 4;1  ; (xy 1)22 ( 2) 10 y 1 14 55 y 5  Vì I là trung điểm AD nên B(4;1)và D( 2;3) Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AD // BC) cĩ phương trình đường thẳng AB: x 2 y 3 0 và đường thẳng AC: y 2 0 . Gọi I là giao THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 62
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết IB 2 IA , hồnh độ điểm I: xI 3 và M 1;3 nằm trên đường thẳng BD. Lần 2–Trƣờng THPT Tơn Đức Thắng Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: EF // BD A D  Ta cĩ A là giao điểm của AB và AC nên A 1;2 . E M E0;2 AC F2 a 3; a AB F Lấy điểm . Gọi sao cho EF // BD. I EF AEEF BI Khi đĩ 22 EF AE BI AI AE AI B C a 1 22 2aa 3 2 2 11 a . 5  Với a 1 thì EF 1; 1 là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là n 1; 1 . Phương trình BD: x y 4 0 BD  AC I 2;2 BD AB B 5; 1 IB IB 33 Ta cĩ IB ID ID 2 ID D 2; 2 . ID IA 22 IA IA 1 IA IC IC IC C 3 2 2;2 . IC IB 2 11 71  Với a thì EF ; là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là 5 55 n 1; 7 . Do đĩ, BD: x 7 y 22 0 I 8;2 (loại). Bài 36: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuơng tại A và D. Biết AB=AD=2; CD= 4, phương trình BD:0 x y , C thuộc đường thẳng d: x 4 y 1 0. Tìm tọa độ của A biết điểm C cĩ hồnh độ dương. Lần 1–Trƣờng THPT Trần Bình Trọng Lời giải tham khảo:  Giả sử C 4 c 1; c d  Từ giả thiết chứng minh được DB vuơng gĩc với BC và suy ra: CB 2 2 d [ C ,( BD )]) 41cc 2 2 3c 1 4 11 3cc 1 4 1 C(5;1) 3cc 1 4 5 / 3(loai) +) B là hình chiếu của C lên đt BD B 3; 3  Mà AB= 2 nên A thuộc đường trịn cĩ PT (x 3)22 (y 3) 4 (1) +) Tam giác ABD vuơng cân tại A => gĩc ABD= 450=> PT của AB là x= 3 hoặc y= 3 Với x= 3 thế vào (1) giải ra y =1 hoặc y= 5 => A(3; 1) thử lại khơng thỏa; A(3; 5) thỏa Với y= 3 thế vào (1) giải ra x =1 hoặc x= 5 => A(1; 3) thỏa; A(5; 3) khơng thỏa. THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 63
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 Bài 37: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCDcĩ AD 2 AB . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC . Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK . Tìm tọa độ các đỉnh ABCD,,, biết K 5; 1 , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là 2xy 3 0 và điểm A cĩ tung độ dương. Lần 3–Trƣờng THPT Thạch Thành 1 Bắc Ninh Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học : AC DK Ta cĩ CAD DKM CAD DKM . Mà DKM KDM 90 KDM DAC 90 AC  DK . +) Gọi AC DK I . Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ 13 x 2xy 3 0 5 13 11 I ; xy 2 7 0 11 55 y 5 +) Gọi J là trung điểm giao điểm của MN với AC khi đĩ J là tâm của hìnhh chữ nhât ABCD. +) Do tam giác KIJ  KMD IK KJ IK KM22 AB KM KD KJ KD 4AB22 AB 5 22 13 11 6 +) Ta cĩ: IK 5 1 JK 3 KM 4 55 5 8 +) Từ đĩ suy ra: AI 5 22 13 26 64 +) Giả sử A a; 2 a 3 AC a 2 a 5 5 5 21 27 Al ; 55 A 1;1 8 +) AI AC C 3; 3 J 2; 1 10 22 +) Phương trình đường trịn tâm J, bán kính AJ cĩ dạng: C : x 2 y 1 5 +) Phương trình DK: x 2 y 7 0 DB 1; 3 3;1 D KD  C 21 7 1 3 DB ;; 5 5 5 5 Bài 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ tâm I(1;2). Gọi M là trung điểm của AB, đường thẳng DM cĩ phương trình 5x + 3y – 7 = 0, điểm C thuộc đường thẳng d cĩ phương trình 2x – y – 7 = 0. Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D biết THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 64
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 điểm D cĩ hồnh độ dương. Lần 1–Trƣờng THPT Thăng Long – Hà Nội Lời giải tham khảo: +) Gọi G là trọng tâm tam giác ABD  Giả sử C c;2 c 7 d 3 4c 2 Do CI CG G ;5 c 4 3 3 3 +) Mà G thuộc DM nên: 42c 5 3 5 cc 7 0 4 3 3 3 Nên CA 4;1 2;3 +) Phương trình đường trịn tâm I bán kính AI cĩ dạng: 22 C : x 1 y 2 10 Nên D DM  C D 2; 1 B 0;5 Bài 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuơng gĩc của B trên MD.Tam giác BDM nội tiếp đường trịn (T) cĩ phương trình: (xy 4)22 ( 1) 25 .Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3xy 4 17 0; đường thẳng BC đi qua điểm E(7;0) và điểm M cĩ tung độ âm Lần 1–Trƣờng THPT Xuân Trƣờng, Nam Định Lời giải tham khảo A B I D C E N M +(T) cĩ tâm I(4;1);R=5 + Do I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BDM và N,C là chân các đường cao nên chứng minh được :IM  CN + Lập ptđt IM qua I và IM CN : 4(x-4)+3(y-1)=0  4x+3y-19=0 M(7; 3) + M là giao điểm (T) với IM : M(1;5) (loai) +Đường thẳng BC qua M,E cĩ pt : x=7 + C là giao điểm BC và NC => C(7 ;1) + B đối xứng M qua C => B(7 ;5) + Đường thẳng DC qua C và vuơng gĩc BC : y=1 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 65
FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 D(9;1) D là giao điểm (T) và DC : D( 1;1) Vì B,D nằm cùng phía với CN nên D(-1 ;1) +Do BA CD => A(-1 ;5) Bài 40: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuơng ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên 2 14 8 DE. Biết H; , F ; 2 , C thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0, D thuộc đường 55 3 thẳng d’: x – 3y + 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuơng. lần 2–Trƣờng THPT Thuận Thành -Bắc Ninh Lời giải tham khảo: Gọi M là giao điểm của AH và BC. Hai tam giác ADE và BAM bằng nhau nên BM = AE = AF. Suy ra các tứ giác ABMF, DCMF là các hình chữ nhật Gọi I là giao điểm của FC và MD. 11 Ta cĩ HI MD FC nên tam giác HFC vuơng tại H. 22 PT đường thẳng AD: 3x – y – 10 = 0. Giả sử A(a; 3a – 10). a6 A 6;8 DA = DC . a2 A 2; 4 Vì DF,DA cùng hướng nên A(2; – 4) . CB DA B 4; 2 . Vậy A(2; – 4), B 4; 2 , C 2;4 , D 4;2 . Bài 41: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ tâm I( 2 3 2;5), BC = 2AB, gĩc BAD = 600. Điểm đối xứng với A qua B là E( 2;9) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết rằng A cĩ hồnh độ âm. lần 1, Sở giáo dục tỉnh Thanh Hĩa Lời giải tham khảo: E Đặt AB m AD 2m. Ta cĩ BD2 AB 2 AD 2 2 AB . AD cos60 0 3 m 2 . BD m 3 B C Do đĩ AB 2 BD 2 AD 2 nên tam giác ABD vuơng tại B, nghĩa là IB  AE . I 2 m 3 7m2 IE 2 IB 2 BE 2 m2 . A 2 4 D Mặt khác IE 2 (2 3)2 42 28 nên ta cĩ THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 66