Điện hạt nhân - Mật độ mức hạt nhân

Nội dung text: Điện hạt nhân - Mật độ mức hạt nhân

1. MẬT ĐỘ MỨC HẠT NHÂN Biên dịch: Phạm Đình Khang. Phản biện: PGs.Ts. Đặng Huy Uyên Ts. V−ơng Hữu Tấn, Ts. Nguyễn Mậu Chung Nhóm biên dịch rất mong có sự góp ý của đông đảo bạn đọc và chân thành cảm ơn các cán bộ, sinh viên đã giúp đỡ sửa chữa bản dịch của quyển sách này. Ng−ời dịch Ts. Phạm Đình Khang
2. Mục lục Lời nói đầu Ch−ơng 1. Mật độ trạng thái và các mẫu hạt nhân nguyên tử. 1.1. Mật độ trạng thái của hệ kín. 1.2. Ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. 1.3. Các mẫu trong lý thuyết hạt nhân. 1.4. Các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân nguyên tử. Ch−ơng 2. Các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân trong mẫu các hạt độc lập. 2.1. Các hệ thức cơ bản. 2.2. Mẫu khí Fermi. 2.3. Sự phụ thuộc spin của mật độ trạng thái hạt nhân. 2.4. ảnh h−ởng cấu trúc lớp của phổ một hạt tới các đặc trng thống kê của hạt nhân. Ch−ơng 3. Mật độ trạng thái trong mẫu hạt nhân siêu chảy. 3.1. Các hệ thức cơ bản. 3.2. Các hiệu ứng cặp gần trạng thái cơ bản. 3.3. Các đặc tr−ng thống kê của hệ trong mẫu các giả hạt độc lập. 3.5. Giải pháp để mô tả các đặc tr−ng thống kê trong mẫu siêu chảy. Ch−ơng 4. Hiện t−ợng luận mật độ mức hạt nhân nguyên tử 4.1. Hiện t−ợng luận sự ảnh h−ởng của chuyển động tập thể tới mật độ mức. 4.2. Công thức tổ hợp Djinber – Kameron đối với mật độ mức hạt nhân nguyên tử. 4.3. Hệ thống hoá các thông số mật độ mức theo Malsev. 4.4. Mẫu khí Fermi có dịch chuyển ng−ợc. Ch−ơng 5. Mật độ trạng thái khi số giả hạt kích thích cố định 5.1. Khí các hạt Bolzman. 5.2. Các đặc tr−ng hạt-lỗ trống của hạt nhân trong mẫu các hạt độc lập. 5.3. ảnh h−ởng của các hiệu ứng t−ơng quan tới các đặc tr−ng thống kê ở số giả hạt kích thích đã cho. 5.4. Mô tả hạt-lỗ trống các đặc tr−ng trung bình của hạt nhân. Phụ lục Tài liệu tham khảo 2
3. lời nói đầu mật độ mức hạt nhân nguyên tử là đại l−ợng vật lý có liên hệ trực tiếp với các giá trị đo đ−ợc. Thực vậy, nếu trong thí nghiệm phát hiện đ−ợc các mức của hạt nhân trong một khoảng năng l−ợng nào đó thì khi chia số mức cho khoảng năng l−ợng này ta sẽ thu đ−ợc giá trị mật độ mức thực nghiệm. Trong khi đó mật độ mức có thể đ−ợc xác định bằng lý thuyết. So sánh số liệu thực nghiệm với các giá trị lý thuyết, chúng ta có thể đánh giá mức độ tin cậy của các giả thuyết lý thuyết về cấu trúc hạt nhân nguyên tử. Mặt khác, mật độ mức cho biết dạng phụ thuộc năng l−ợng của tiết diện các phản ứng hạt nhân khác nhau ở vùng năng l−ợng thấp và trung bình . Trong quyển sách này đã đ−a ra các vấn đề cơ bản của lý thuyết mật độ mức hạt nhân nguyên tử. Mặc dù đây là quyển sách lý thuyết, nó vẫn đ−ợc sử dụng rộng rãi. Trong nội dung của cuốn sách tác giả đã đ−a vào những kết quả mới nhất có độ tin cậy cao. Các t− liệu đã đ−ợc lựa chọn và phân tách để ng−ời đọc không phải mất thời gian tra cứu sách hay tuyển tập. Vì thế, trong ch−ơng 1 đã trình bầy một số mẫu hạt nhân và ph−ơng pháp thống kê để tính mật độ mức hạt nhân. Sự thay đổi của các đặc tr−ng thống kê trong mẫu lớp và mẫu siêu chảy đ−ợc đ−a ra trong ch−ơng 2 và ch−ơng 3. Bên cạnh các mô tả vi mô còn có các ph−ơng pháp hiện t−ợng luận để tính mật độ mức hạt nhân. Vấn đề này đ−ợc đ−a ra trong ch−ơng 4. Trong ch−ơng 5 là lý thuyết mật độ mức hạt nhân khi số kích thích cố định. Những đoán nhân về số kích thích cố định liên quan tới sự phát triển những giả thiết về quá trình bay hơi tiền cân bằng của các hạt. Giải pháp thống kê với số kích thích cố định cho phép mở rộng khả năng mô tả thống kê các tính chất của hạt nhân bị kích thích. Kết thúc quyển sách này là phần phụ lục trong đó đ−a vào một vài bảng số liệu. Đó là các số liệu thực nghiệm về mật độ cộng h−ởng nơtron, và cả bảng các giá trị các thông số mà chúng đ−ợc sử dụng rộng rãi trong ph−ơng pháp hình thức luận mật độ mức hạt nhân nguyên tử. Danh mục tài liệu bao gồm chỉ những công trình mà các kết quả của chúng đ−ợc sử dụng trực tiếp trong quyển sách này. 3
4. Ch−ơng 1 Mật độ trạng thái và các mẫu hạt nhân nguyên tử 1.1.Mật độ trạng thái của một hệ kín. Chúng ta xem xét khái niệm mật độ trạng thái của một hệ bao gồm số lớn các hạt và có số bậc tự do lớn [1 – 3]. Nói chung trong thực nghiệm chỉ đo đ−ợc một vài đại l−ợng vĩ mô nh− thể tích, áp suất, nhiệt độ để xác định trạng thái của hệ này. Trạng thái đ−ợc xác định bằng các thông số nói trên đ−ợc gọi là trạng thái vĩ mô. Song theo quan điểm cơ học l−ợng tử, một trạng thái bất kỳ về nguyên tắc có thể đ−ợc xác định với mức độ chính xác tuỳ ý khi biết tất cả các biến số. Trạng thái đ−ợc xác định nh− vậy đ−ợc gọi là trạng thái vi mô. Hạt nhân nguyên tử là đối t−ợng mô tả thống kê thuộc loại hệ l−ợng tử kín. Trong cơ học l−ợng tử, trạng thái vi mô của hệ đ−ợc coi nh− một trạng thái theo ý nghĩa l−ợng tử. Cụ thể hơn, trạng thái chuẩn bắt buộc phải là một trong các trạng thái của hệ l−ợng tử đ−ợc xác định bằng ph−ơng trình Schrodinger: ∧ Η i = Εi i (1.1) ∧ ở đây Η là Hamilton của hệ; Εi và i là năng l−ợng và hàm sóng của trạng thái l−ợng tử thứ i. Trạng thái vĩ mô của hệ kín đ−ợc mô tả bằng các tích phân chuyển động. Tích phân chuyển động - đó là đại l−ợng vật lý không đổi theo thời gian. Trong cơ học l−ợng tử [4], các toán tử tích phân chuyển động ∧ không phụ thuộc t−ờng minh vào thời gian và giao hoán với Hamilton Η . Những ∧ toán tử nh− vậy có hàm sóng riêng của nó chung với Hamilton Η . Mỗi một hàm riêng i xác định một trạng thái vi mô. Chúng ta sẽ coi năng l−ợng toàn phần E, số prôton Z, số nơtron N, mômen góc toàn phần J và hình chiếu của nó lên một trục cố định là bộ các tích phân chuyển động đặc tr−ng cho một trạng thái vĩ mô của hạt nhân nguyên tử. Một bộ các giá trị tích phân chuyển động xác định một trạng thái vĩ mô t−ơng ứng vài trạng thái vi mô của hệ. 4
5. Mật độ trạng thái ω của hệ là số trạng thái vi mô trong một đơn vị năng l−ợng t−ơng ứng các giá trị tích phân chuyển động đã cho. Cụ thể, ω(E) ở năng l−ợng E đã cho của hệ đ−ợc xác định nh− sau: ω()Ε = ∑δ(Ε − Εi ) (1.2) i ở đây Εi là năng l−ợng của trạng thái l−ợng tử thứ i mà nó đ−ợc tính từ ph−ơng trình Schrodinger (1.1); δ(E – Ei) là hàm delta Đirac mà nó có những tính chất sau: Hàm δ(x-x0) luôn bằng 0 với mọi x ≠ x0 và: b ⎧ f (x 0 ) x ⊂ [a,b] ∫ f (x)δ(x − x 0 )dx = ⎨ (1.3) a ⎩ 0 x ∉[]a,b Chúng ta l−u ý rằng khoảng lấy trung bình không đ−ợc đ−a vào (1.2). Việc xác định mật độ trạng thái (1.2) liên quan trực tiếp tới giá trị mật độ trạng thái đo đ−ợc bằng thực nghiệm. Nếu từ thực nghiệm suy ra rằng trong khoảng năng l−ợng từ E1 tới E2 phát hiện đ−ợc n mức và đã biết độ suy biến gk của mỗi ⎛ n ⎞ một mức thì để so sánh mật độ trạng thái thực nghiệm ω = ⎜∑g k ⎟ /()Ε 2 − Ε1 ⎝ 1 ⎠ với tính toán lý thuyết, cần tính đại l−ợng: ⎡ Ε 2 ⎤ ω = ∑ ∫ δ ( Ε − Ε i ) d Ε /( Ε 2 − Ε 1 ) (1.4) ⎢ i ⎥ ⎣ Ε 1 ⎦ Điều này có nghĩa là từ tất cả tập hợp các trạng thái vi mô i cần thiết chọn và tính chỉ những trạng thái mà giá trị riêng Ei của nó nằm trong khoảng (E1, E2). Khi chia số thu đ−ợc cho hiệu số E2 – E1 ta sẽ thu đ−ợc số trạng thái trên một đơn vị năng l−ợng tức là mật độ trạng thái. Giải pháp tính ω(E) nh− vậy về nguyên tắc là có thể thực hiện đ−ợc và nó đ−ợc sử dụng trong các tính toán tổ hợp. Tuy nhiên các tính toán này quá phức tạp và chỉ thu đ−ợc các hệ thức truy hồi đ−ợc sử dụng trong tr−ờng hợp đối với những hệ có phổ giá trị riêng rất đơn giản. 5
6. Để tính ω(E) chúng ta sẽ sử dụng ph−ơng pháp thống kê gần đúng vạn năng [1]. Ph−ơng pháp này gồm hai b−ớc: phép biến đổi Laplax và ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplax đ−ợc đ−a ra trong [5, 6]. Đối với hàm tác động f(t) của biến số t , hàm F(p) đ−ợc xác định bằng tích phân sau: ∞ F ()p = ∫ e − pt f (t )dt (1.5) 0 đ−ợc gọi là ảnh Laplax, ở đây p là biến phức. Tích phân trong (1.5) đ−ợc lấy trong nửa mặt phẳng p thỏa mãn điều kiện Re p > p0 (Re p - phần thực của biến phức p ; p0 - số thực ). Giá trị giới hạn của p0 mô tả sự hội tụ, đ−ợc gọi là chỉ số hội tụ của phép biến đổi Laplax. Đối với Re p > p0, hàm F(p) là hàm t−ơng tự của biến số p. Sự biến đổi Laplax ng−ợc đ−ợc xác định bằng công thức sau: 1 p' +i∞ f ()t = ∫ F ()p e p t dp (1.6) 2 π i p' −i∞ ở đây đ−ờng lấy tích phân là đ−ờng thẳng song song với trục ảo đi qua điểm ’ ’ phức p mà ở đó thỏa mãn điều kiện Re p > p0 . Dễ dàng chứng minh đ−ợc rằng [5, 6]: p ' + i∞ p '' + i∞ ∫∫F ()p e p t dp = F ()p e pt dp (1.7) p ',− i∞ p ,− i∞ ’ ’’ ’ ’’ Đối với p , p bất kì mà với chúng Re p > p0 và Re p > p0. áp dụng phép biến đổi Laplax với hai vế của hệ thức (1.2): ∞∞ −β E −β E −β E i (1.8) ∫ e ω ()E dE = ∑ ∫ e δ (E − E i )dE = ∑ e 0 i 0 i Nh− vậy sự biến đổi Laplax từ mật độ trạng thái có tổng thống kê : ˆ ˆ Q()β = ∑∑exp(− βEi )≡ i exp(− βH i ) ≡ Sp(exp(− βH )) (1.9) ii 6
7. ở đây kí hiệu Sp ( đ−ợc đọc là vết ) là tổng tất cả các yếu tố trên đ−ờng chéo của ma trận từ toán tử đứng trong ngoặc. Vì đối với hệ chuẩn [1] , mật độ trạng thái phải thỏa mãn điều kiện : lim ω ()E exp (− α E ) = 0 E → ∞ cho α bất kỳ lớn hơn 0 nên chỉ số hội tụ của tổng thống kê Q(β) là β = 0 và tổng thống kê nh− một hàm biến phức sẽ hội tụ và có giá trị hữu hạn ở mặt phẳng Re β > 0. Hình 1.1: Đ−ờng lấy tích phân. Sử dụng phép biến đổi Laplax ng−ợc với Q( β) ta thu đ−ợc giá trị mật độ trạng thái: β'+i∞ β'+i∞ 1 β E 1 S ()β ω()E = ∫ Q()β e dβ = ∫ e dβ (1.10) 2πi β'−i∞ 2πi β'−i∞ ở đây S ()β = β E + ln Q ( β ) (1.11) Tích phân trong (1.10) đ−ợc lấy theo chu tuyến trong mặt phẳng phức β nh− trên hình 1.1. Hệ thức (1.10) là chính xác và có thể đ−ợc sử dụng để chính xác mật độ trạng thái. Nó có thể đ−ợc tính rất nhanh nếu sử dụng biểu diễn tích phân của hàm delta δ [7]. Nh− vậy để xác định mật độ trạng thái, cần tính tích 7
8. phân trong công thức (1.10). Khi đó ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa sẽ đ−ợc sử dụng. 1.2 Ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa đ−ợc sử dụng để tính tích phân F(λ) theo hàm biến phức dạng: F(λ) = ∫ f (z) e λS(z) dz (1.12) C ở đây f(z) và S(z) là các hàm biến z phức mà chúng khả tích trong vùng G bao quanh đ−ờng cong C có thể là vô hạn; λ - số d−ơng có giá trị lớn. Với giả thiết rằng tích phân (1.12) tồn tại, chúng ta cần tính hàm F(λ) khi λ lớn. Để giải thích bản chất ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa, chúng ta cần nghiên cứu ph−ơng pháp Laplax [5, 6] để thu đ−ợc giới hạn của tích phân của hàm biến thực x trong khoảng [a, b]: b Φ(λ) = ∫ ϕ(x) e λh (x ) dx (1.13) a ở đây λ là số d−ơng lớn, các hàm ϕ(x) và h(x) là thực và liên tục trong khoảng [a, b]. Chúng ta quan tâm đến dạng của Φ(λ) khi λ → ∞. Chúng ta giả thiết rằng hàm h(x) đạt đến cực đại chỉ ở điểm x0 trong đoạn [a, b], hơn nữa đạo hàm bậc hai h’’(x) sẽ âm ở điểm này. Rõ ràng là toạ độ của điểm x0 đ−ợc xác định bằng ph−ơng trình: dh/dx = 0 (1.14) ở các giá trị λ > 0 và rất lớn, giá trị tích phân (1.13) đ−ợc xác định bằng hàm exp[λh(x)]. Chúng ta khảo sát hàm : H(λ, x) = exp{λ[h(x) – h(x0)]} (1.15) 8
9. Hình 1.2: Biểu diễn hàm h(x) trong khoảng [a, b]. Rõ ràng là H(λ, x = x0) = 1 và khi x ≠ x0 giá trị hàm H(λ, x) < 1, hơn nữa cực đại H(λ, x) khi x = x0 càng trở nên nhọn nếu λ càng lớn. Vùng quanh điểm x0 [x0- δ, x0 + δ] đóng góp chủ yếu vào giá trị tích phân. Trong vùng này, có thể viết hàm d−ới dấu tích phân một cách gần đúng: ϕ(x) = ϕ(x0) khi ϕ(x0) ≠ 0 (1.16a) 2 h(x) = h(x0) + 1/2 h’’(x0)(x – x0) (1.16b) Thay thế (1.16) vào (1.13) ta thu đ−ợc: x 0 + δ 2 Φ (λ) ≈ ϕ(x ). e λh ( x 0 ) e λh ''( x 0 )( x − x 0 ) / 2 dx 0 ∫ x 0 − δ δ −λh''(x ) ϕ(x ) exp[λh(x )] 0 t 2 = 0 0 exp(− )dt (1.17) − λh''(x ) ∫ 2 0 − δ −λh''(x 0 ) Khi λ → ∞ thì tích phân (1.17) tiến đến tích phân Laplax [9]: ∞ t 2 ∫ exp(− )dt = 2π (1.18) −∞ 2 Do vậy tiệm cận của tích phân Φ(λ) khi λ → ∞ sẽ có dạng: π ϕ(x ) exp[λh(x )] Φ(λ) = 0 0 (1.19) − λh''(x 0 ) 9
10. Công thức (1.19) biểu thị giá trị gần đúng của tích phân (1.13) qua giá trị của hàm d−ới dấu tích phân ở điểm cực đại và thừa số bổ sung nào đó t−ơng ứng độ dài của khoảng lấy tích phân mà ở đó, giá trị của hàm d−ới dấu tích phân gần đạt cực đại. Những biểu thức trên là cơ sở của ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Chúng ta chuyển sang phân tích ph−ơng pháp tính tiệm cận tích phân (1.12). Tích phân (1.12) từ hàm giải tích trong vùng G có thể tính đ−ợc qua giá trị cực đại của hàm d−ới dấu tích phân với bổ chính vào tốc độ giảm của nó ở đ−ờng bao tích phân. Theo định lý Côsi, tích phân (1.12) từ hàm giải tích không phụ thuộc vào đ−ờng lấy tích phân mà đ−ợc xác định chỉ bằng các giá trị điểm đầu z1 và điểm cuối z2 của đ−ờng cong C. Điều đó cho phép đổi dạng đ−ờng bao tích phân trong vùng G mà không làm thay đổi giá trị tích phân. Điều kiện này sẽ đ−ợc sử dụng để lựa chọn đ−ờng bao tích phân mà trong đó phần thực của hàm S(z) giảm nhanh trong khi phần ảo là hằng số. Tr−ớc hết chúng ta cần nêu lại tính chất cơ bản của hàm giải tích. Hàm giải tích S(z) đ−ợc xác định là có đạo hàm ở điểm bất kỳ trong vùng G. Nếu z và S(z) biểu diễn d−ới dạng : z = x + iy ; S(z ) = u(x,y) + iv(x,y) (1.20) thì phần thực u(x,y) và phần ảo v(x,y) của hàm giải tích S(z) thoả mãn điều kiện Côsi – Rimann : ∂u /∂x = ∂v /∂y ; ∂u /∂y = −∂v /∂x (1.21) Dễ dàng chứng minh biểu thức (1.21). Để thực hiện điều đó cần lấy đạo hàm ở một điểm z0 nào đó. Chúng ta lấy hai gia số ∆z khác nhau : ∆z = ∆x và ∆z = i∆y. Nếu hàm khả vi tại điểm z = z0 thì các giá trị đạo hàm của nó không phụ thuộc cách lựa chọn ∆z và vì vậy chúng phải bằng nhau. Cân bằng các phần thực và ảo của đạo hàm chúng ta thu đ−ợc (1.21). Đạo hàm biểu thức thứ nhất trong (1.21) theo x, biểu thức thứ hai theo y rồi cộng lại chúng ta thu đ−ợc : ∂ 2 u / ∂x 2 + ∂ 2 u / ∂y2 = 0 (1.22) T−ơng tự chúng ta thu đ−ợc : 10
11. ∂ 2 v / ∂x 2 + ∂ 2 v / ∂y 2 = 0 (1.23) Chúng ta giả thiết rằng trong miền G có duy nhất một điểm z0 mà ở đó hàm S(z) có đạo hàm bằng 0: ' S ()z 0 = 0 (1.24) Điểm z = z0 đ−ợc gọi là điểm uốn. Gọi nh− vậy là vì: nếu S”(z0) = S”’(z0) m m+1 = = S (z0) = 0 mà S (z0) ≠ 0 thì điểm z0 đ−ợc gọi là điểm uốn bậc m. ở đây chúng ta chỉ giới hạn ở tr−ờng hợp điểm uốn đơn giản nhất là S”(z0) ≠ 0. Chúng ta xem xét tính chất của các hàm thực u(x,y) và v(x,y) ở lân cận điểm uốn z = z0. Từ ph−ơng trình (1.22) suy ra rằng ở điểm này, hàm u(x,y) không có cả cực đại lẫn cực tiểu vì nếu ∂2u/∂x2 0 và ng−ợc lại. Với hàm v(x,y) cũng nh− vậy. ở những điểm lân cận này, hàm u(x,y) không thể đạt tới tiệm cận tuyệt đối tức là trong G không có các điểm mà ở đó u(x,y) hoặc tăng hoặc giảm theo mọi ph−ơng. Bề mặt hàm u(x,y) ở lân cận z0 sẽ có dạng parabon – hipebon (hình 1.3) mà mặt ngoài rất cong. Do vậy z0 mới có tên là điểm yên ngựa và cách xem xét này đ−ợc gọi là ph−ơng pháp điểm yên ngựa. Trên hình 1.3 thấy rằng đ−ờng yên ngựa có dạng nh− vậy và ph−ơng pháp này đ−ợc gọi là ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Hình 1.3: Dạng hàm u(x,y) ở vùng lân cận điểm yên ngựa z0= x0+iy0. Với tr−ờng hợp điểm yên ngựa đơn giản [S”(z0)≠0] ta biểu diễn hàm S(z) ở lân cận z = z0 d−ới dạng : '' 2 S(z) ≈ S(z 0 ) + ()1/ 2 S (z 0 )(z − z 0 ) (1.25) 11
12. '' Chúng ta đặt ()1/ 2 S (z 0 )= r exp(iθ); z − z 0 = ρexp(iϕ) khi đó 2 S(z) ≈ S(z 0 ) + rρ []cos(θ + 2ϕ)+ isin(θ + 2ϕ) (1.26) và với hàm u(x,y) và v(x,y) chúng ta có : 2 u(x, y) = u(x 0 , y 0 ) + rρ cos(θ + 2ϕ) (1.27) 2 v()x, y = v(x 0 , y 0 )+ rρ sin(θ + 2ϕ) (1.28) Tr−ớc hết chúng ta xem xét phần thức của hàm S(z) - tức là hàm u(x,y) ở gần z = z0. Bởi vì góc ϕ thay đổi từ 0 đến 2π nên từ (1.27) suy ra rằng hàm rρ2 ì cos(θ+2ϕ) sẽ đổi dấu 4 lần khi ϕ thay đổi từ 0 ữ 2π. Vì vậy lân cận điểm z = z0 bị tách ra thành bốn vùng cong mà ở các vùng này hiệu số u(x,y) - u(x0,y0) bảo toàn dấu. Biên của các vùng này thu đ−ợc từ ph−ơng trình (1.27). Các vùng mà u(x,y) > u(x0,y0) gọi là vùng d−ơng, còn các vùng có u(x,y) < u(x0,y0) đ−ợc gọi là vùng âm. Trên hình 1.3 các điểm A và A’ nằm ở các vùng âm khác nhau, các điểm B và B’ nằm ở các vùng d−ơng khác nhau. Ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa đ−ợc sử dụng khi các điểm giới hạn của đ−ờng cong tích phân nằm ở các vùng âm khác nhau. Bây giờ có thể lựa chọn đ−ờng lấy tích phân mà ở đó hàm u(x,y) giảm nhanh nhất. Từ hệ thức (1.27) suy ra rằng đ−ờng lấy tích phân nằm ở những phần âm và góc ϕ mà cos()θ + 2ϕ = −1 (1.29) t−ơng ứng với sự giảm nhanh nhất của hàm u(x,y). Hai góc ϕ1 và ϕ2 ∈ [0,2π] phù hợp điều kiện trên: ϕ1 = ()− θ + π / 2 ; ϕ2 = ϕ1 + π (1.30) Các góc ϕ1 và ϕ2 xác định h−ớng của đ−ờng giảm nhanh nhất từ đ−ờng cong qua điểm yên ngựa. Nếu thay giá trị các góc ϕ1 và ϕ2 từ công thức (1.30) vào ph−ơng trình (1.28) thì ta thu đ−ợc v(x,y) ≡ v(x0,y0). Do, phần ảo của hàm S(z) trên các đ−ờng giảm nhanh này là hằng số. Đây là một điểm quan trọng bởi vì 12
13. nó lý giải tại sao hàm d−ới dấu tích phân không dao động. Nh− vậy nếu lựa chọn đ−ờng lấy tích phân đi qua điểm yên ngựa dọc theo đ−ờng giảm nhanh nhất thì phuơng pháp Laplax có tác dụng để đánh giá tiệm cận của tích phân (1.12). Chúng ta dẫn đến định lý sau [6] mà không cần chứng minh. Giả thiết rằng: a) Hàm S(z) có điểm yên ngựa đơn giản duy nhất (S’(z0)=0 và S”(z0)≠0). b) Đ−ờng cong tích phân C nằm trong miền khả tích G điểm đầu z1 và điểm cuối z2 nằm ở các vùng âm khác nhau: Khi đó công thức giới hạn nh− sau: λ S ( z ) 2 π λ S ( z 0 ) iϕ m F ()λ = ∫ f (z )e dz ≈ '' e e f ()z 0 (1.31) C λ S ()z 0 ở đây ϕm = (π - θ)/2 + mπ ; θ = argS”(z0). Việc lựa chọn giá trị ϕm sẽ xác định dấu trong công thức (1.31) và tất nhiên việc lựa chọn này phụ thuộc vào h−ớng tích phân dọc đ−ờng C. Chúng ta sử dụng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa để tính tích phân (1.10). Chúng ta tìm đ−ợc toạ độ điểm yên ngựa β0 từ ph−ơng trình: dS/dβ = 0 (1.32) Sử dụng (1.9) và (1.11) để xác định β0 ta có : −β 0 E i d ln Q −β 0 E i E = − = ∑E i e / ∑e (1.33) dβ ii Rõ ràng là β0 là số thực d−ơng. Chúng ta tính đạo hàm bậc hai: 2 2 − β 0 E i − β 0 E i 2 E e ⎛ E e ⎞ d S ∑ i ∑ i = i − ⎜ i ⎟ (1.34) d β 2 ∑ e − β 0 E i ⎜ ∑ e − β 0 E i ⎟ i ⎝ i ⎠ Các hệ thức (1.33) và (1.34) đ−ợc viết lại bằng cách khác với dạng thuận tiện hơn khi xác định giá trị trung bình của các toán tử theo tổng thống kê. Đối với toán tử Â giá trị trung bình thống kê có dạng [10]: 13
14. ∧ ⎡ ∧ ∧ ⎤ ⎡ ⎛ ∧ ⎞⎤ A = Sp A exp( −β H ) / Sp exp ⎜ − β H ⎟ (1.35) ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎠⎦⎥ Khi đó toạ độ của điểm yên ngựa đ−ợc xác định bằng ph−ơng trình: ⎡ ∧ ⎛ ∧ ⎞⎤ Sp H exp⎜− β H⎟ d ln Q 1 dQ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ∧ E = − = − = ⎣ ⎦ = H (1.36) dβ Q dβ ⎡ ⎛ ∧ ⎞⎤ Sp exp⎜− β H⎟ ⎣⎢ ⎝ ⎠⎦⎥ và hệ thức (1.34) có dạng: 2 d S 2 2 = Hˆ 2 − Hˆ = (Hˆ − Hˆ ) 〉 0 (1.37) dβ 2 Từ (1.37) suy ra rằng S” (β0) > 0 và điểm yên ngựa β0 là điểm uốn mà θ = arg[(S’’(β0) = 0)]. T−ơng ứng với (1.30), ph−ơng của đ−ờng giảm nhanh đ−ợc xác định bằng góc ϕ1=π/2 và trùng với đ−ờng thẳng song song trục ảo Imβ tức là trong tr−ờng hợp của chúng ta, nó trùng với đ−ờng lấy tích phân. Ta có thể sử dụng (1.31) để viết biểu thức kết quả của tích phân (1.10). Tuy nhiên chúng ta vẫn tiếp tục lấy tích phân. Dựa trên tính chất (1.7) của sự biến đổi Laplax ng−ợc đối với mật độ trạng thái chúng ta có: β −i∞ 1 0 ω(E) = eS(β)dβ (1.38) 2πi ∫ β0 −i∞ Chúng ta phân tích hàm S(β) thành chuỗi ở lân cận điểm yên ngựa β0 và chỉ lấy hai số hạng ban đầu: 2 S(β) ≈ S(β0) + S’’(β0)(β-β0) / 2 (1.39) và thực hiện sự thay biến tích phân: β = β0 + iy (1.40) Khi đó đối với ω(E) ta thu đ−ợc: 14
15. +∞ 1 ⎡ 1 2⎤ ω(E) = exp[]S(β0) exp − S''(β0)y dy 2π ∫ ⎢ 2 ⎥ −∞ ⎣ ⎦ = exp[]S(β0) / 2πS''(β0) (1.41) ở đây S(β0) = β0E + lnQ(β0) (1.42) Hàm số đ−ợc xác định bằng biểu thức (1.42) đ−ợc gọi là entropy của hệ. Thực tế trong vật lý thống kê, entropy đ−ợc tính bằng logarit của tổng thống kê [1, 10]. Theo định nghĩa, tổng thống kê W(E, δE) là số trạng thái vi mô của hệ ở năng l−ợng E trong khoảng năng l−ợng vi phân δE << E. Nh− vậy đối với W(E, δE) ta có thể viết: W(E, δE) = ω(E) δE. Kết hợp với (1.41) và sau khi lấy logarit ta thu đ−ợc: lnW(E, δE) = S(β0) với độ chính xác đến bổ chính nhỏ tuỳ ý. Khi đó có thể tìm đ−ợc entropy của hệ dựa trên hệ thức đã biết đối với năng l−ợng tự do [10] F = - t lnQ = E - tS −1 ở đây nhiệt độ t đ−ợc xác định bằng t = β0 . Từ đó suy ra công thức (1.42) xác định entropy của hệ. S = (E + t lnQ)/t = Eβ0 + lnQ Nói một cách chặt chẽ, ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa đ−ợc sử dụng khi trong hàm e mũ có thông số d−ơng λ lớn. Chúng ta dự tính sử dụng ph−ơng pháp này trong tất cả các vùng năng l−ợng. Có hai lý do nh− sau: Thứ nhất - entropy của hệ tăng đủ nhanh khi năng l−ợng E tăng. Thứ hai - nếu ω(E) đ−ợc tính chính xác nhờ hệ thức (1.2) (điều này đ−ợc thực hiện dễ dàng đối với hệ fermi có phổ rời rạc) và bằng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa thì thấy rằng trong vùng năng 15
16. l−ợng rộng cả hai kết quả tính toán là trùng nhau trừ vùng năng l−ợng gần trạng thái cơ bản (xem Đ2.2). ở vùng năng l−ợng kích thích thấp, giá trị ω(E) đ−ợc tính bằng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa sẽ tiến đến +∞, điều này rõ ràng là phi lý. Vấn đề là ở gần trạng thái cơ bản, nhiệt độ t tiến đến 0 và do vậy điểm yên ngựa β0 → ∞. Đối với tr−ờng hợp khi điểm yên ngựa tiến đến vô hạn, không có cách đánh giá tích phân bằng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa [11]. Vì vậy khi sử dụng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa để tính mật độ trạng thái phải luôn nhớ rằng chúng ta không sử dụng ph−ơng pháp này ở năng l−ợng gần trạng thái cơ bản. 1.3 Các mẫu lý thuyết cấu trúc hạt nhân. Để tính mật độ trạng thái, cần phải biết tổng thống kê tức là cần biết hàm tóan tử Hamilton của hạt nhân. Trong mục này chúng ta xem xét một cách tóm tắt các mẫu đ−ợc sử dụng rộng rãi trong lý thuyết hạt nhân hiện đại. Để làm việc này, chúng ta sẽ sử dụng các công trình [3, 12, 13]. Mẫu lớp một hạt. Trong mẫu lớp một hạt, ng−ời ta khảo sát chuyển động của một hạt độc lập không t−ơng tác với các nucleon khác trong tr−ờng thế trung bình V(r) tạo nên bởi tất cả các nucleon. Các mức năng l−ợng đối với các hạt chuyển động trong tr−ờng thế nói trên bị nhóm lại tạo nên các lớp cách nhau bởi những khoảng năng l−ợng lớn. Mẫu nh− vậy đ−ợc gọi là mẫu vỏ hay mẫu các hạt độc lập. Thực nghiệm chứng minh rằng trong hạt nhân, ngoài tr−ờng thế trung bình còn có t−ơng tác spin- quĩ đạo Vls. Vì thế để tính năng l−ợng của các mức một hạt, th−ờng phải giải ph−ơng trình Schrodinger đối với một nucleon : ∧ ⎡ h 2 ∆ ⎤ h ()r ψ ν ()r ≡ ⎢ − + V ()r + V ls (r )⎥ ψ ν ()r = ε ν ψ ν ()r (1.43) ⎣⎢ 2 à ⎦⎥ ˆ ở đây h(r) – toán tử một hạt Hamilton, ψν (r) – hàm sóng trong trạng thái thứ ν với năng l−ợng εν ; à - khối l−ợng nucleon, h = h/2π, h – hằng số Plank, ∆ - Toán tử Laplax. 16
17. Ng−ời ta th−ờng sử dụng tr−ờng thế Xacxon – Wud hoặc tr−ờng thế Nilxơn làm tr−ờng thế trung bình. Thế Xacxon – Wud chứa hai thành phần : Phần xuyên tâm : N,Z V()r = −V0 / [1 + exp()a(r − R 0 )] (1.44) Phần spin- quĩ đạo : 1 dV(r ) V ()r = − κ (ls) (1.45) ls r dr N z ở đây V0 và V0 độ sâu hố thế nơtron và proton ; a - thông số nhoè của biên hạt 1/3 nhân, Ro = roA , k - hằng số t−ơng tác spin quĩ đạo. Thế Xacxon – Wud mô tả tốt sự phụ thuộc mật độ chất hạt nhân vào bán kính. Các thông số của hố thế đ−ợc xác định một cách đủ tin cậy từ phần thực của thế quang học mà các đặc tính của nó thu đ−ợc từ số liệu thực nghiệm trong nghiên cứu tán xạ của nucleon lên hạt nhân. Hố thế Nilxơn đ−ợc tạo từ thế của dao động tử điều hoà, liên kết spin quĩ đạo và số hạng tỷ lệ với bình ph−ơng mômen góc mà mômen này đ−ợc chọn ở trong hố thế vuông góc. Hamilton h(r) trong tr−ờng hợp này có thể viết d−ới dạng [14] : ∧ ∧ 2 h ()r = h o .c + C N (ls )+ D N l (1.46) ∧ 2 h ' à ⎛ 2 '2 2 '2 2 '2 ⎞ ở đây h o .c = − ∆ + ⎜ ω ' x + ω ' y + ω ' z ⎟ (1.47) 2à 2 ⎝ x y z ⎠ ở đây x’, y’ và z’ – toạ độ của các hạt đặt trong hệ quy chiếu gắn với hạt nhân. CN, DN và các tần số ω’x, ω’y và ω’z (trong giả thiết về sự biến dạng hạt nhân, 0 -1/3 các tần số này có thể liên quan với tần số dao động cơ bản ω0 = 41A MeV) là các thông số của hố thế. Tính chất đặc biệt của tr−ờng thế trung bình đ−ợc biểu 17
18. diễn trên hình 1.4. Khi tính mức năng l−ợng của hệ proton, thế năng của tr−ờng trung bình cần phải bổ sung t−ơng tác Coulomb. Hình 1.4 : Sự phụ thuộc bán kính của phần xuyên tâm của thế Xacxon – Wud với hệ nơtron có a = 1,56 fm-1 (đ−ờng liền nét) và thế dao động (đ−ờng đứt nét). Bán kính tính trong hệ đơn vị Ro, thế trong hệ đơn vị Vo. Trong mô tả trạng thái một hạt, sự đối xứng của tr−ờng trung bình có ý nghĩa lớn. Trong các hạt nhân cầu, các trạng thái một hạt đ−ợc mô tả bằng năng l−ợng E, mômen quĩ đạo l, mômen góc toàn phần j và hình chiếu m, ngoài ra năng l−ợng của trạng thái bị tách ra thành m giá trị. Trong các hạt nhân biến dạng, dạng cân bằng của chúng t−ơng ứng với chuyển động quay quanh một trong các trục mà ở hệ toạ độ mới này, mômen góc toàn phần j vẫn là một số l−ợng tử tốt. Trạng thái đ−ợc mô tả bằng năng l−ợng, độ chẵn lẻ, hình chiếu K của mômen góc toàn phần lên trục đối xứng của hạt nhân. Trong tr−ờng trung bình giả đối xứng này xảy ra sự phân tách lại các mức của mỗi mức con, tức là tách ra thành 2j +1 giá trị theo từng giá trị m, theo kiểu trong hố thế đối xứng cầu. Tuy nhiên trong tr−ờng hợp đó, mỗi mức một hạt của tr−ờng trung bình còn suy biến bậc 2 theo dấu của m. Đối với hạt nhân cầu, do t−ơng tác spin quĩ đạo, mức một hạt với l đã cho phân tách mạnh thành hai nhóm mức j = l + 1/2 và j = l-1/2. Nhóm mức của j = l +1/2 nằm ở d−ới nhóm mức j = l -1/2. Năng l−ợng phân tách bằng : −2 / 3 ∆εls ≈ −20(ls)A (1.48) Khi đó sự phân tách nh− sau: Các mức gần nhau của nhóm này vẫn tách xa khỏi các mức gần nhau của nhóm khác. Các nhóm các mức gần nhau tạo thành lớp. 18
19. Phần cơ bản của sơ đồ mức proton và nơtron một hạt [15] đ−ợc tính với hạt nhân cầu 208Pb với thế Xacxon – Wud [16] và thế Nilxon [14] đ−ợc biểu diễn trên hình 1-5. Hình 1.5: Sơ đồ các mức một hạt của hạt nhân chì 208Pb [15]. Đối với các mức một hạt của hạt nhân đối xứng cầu, ng−ời ta th−ờng sử dụng ký hiệu phổ học vi mô ví dụ nh− 2d3/2. ở đây số đầu tiên chỉ ra số thứ tự n của mức với mômen quỹ đạo l đã cho, còn với các giá trị mômen quĩ đạo l = 0, 1, 2, 19
20. 3 khác nhau ng−ời ta đ−a vào các ký tự la tinh khác nhau : s, p, d, f chỉ số bên d−ới cạnh chữ cái là mômen toàn phần của nucleon, bằng tổng mômen quĩ đạo l và spin (s =1/2). Ký hiệu mức 2d3/2 là : mức thứ hai với l = 2 và mômen toàn phần j = 3/2. ở các mức với n, l và j đã cho, trên mỗi mức có thể nằm 2j + 1 nucleon. Trong chỉ số trạng thái một hạt ν mà chúng ta sử dụng ngoài n, l, j còn đ−a thêm vào hình chiếu m của mômen góc j trên trục đối xứng, m nhận các giá trị – j, -j +1 j -1 ; j. ở trạng thái cơ bản, các nucleon lấp đầy các mức d−ới, hơn nữa theo nguyên lý Pauli, trong một trạng thái chỉ có một nucleon (proton hoặc nơtron). Hạt nhân chứa trong trạng thái cơ bản các lớp lấp đầy bằng proton hoặc nơtron đ−ợc gọi là hạt nhân magic. Hạt nhân là magic theo cả số proton và nơtron đ−ợc gọi là hạt nhân hai lần magic. Hạt nhân với số Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82 và N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 là hạt nhân magic. Trong mẫu lớp, khi hạt nhân bị kích thích, một vài nucleon chuyển sang trạng thái tự do có năng l−ợng lớn hơn. Năng l−ợng kích thích khi đó bằng hiệu số năng l−ợng của các trạng thái một hạt này. Mỗi trạng thái của hệ có một số lấp đầy của các trạng thái một hạt. Chúng ta xem xét hàm sóng của hệ bao gồm N hạt fermi độc lập. Trong tr−ờng hợp khi N hạt giữ các trạng thái một hạt ν1, ν2 νN, có thể mô tả hàm sóng biểu diễn trạng thái của hạt nhân d−ới dạng định thức Xleter: ψ (x ) ψ (x ) ψ (x ) ν1 1 ν2 1 νN 1 ψ (x ) ψ (x ) ψ (x ) 1 ν1 2 ν2 2 νN 2 ψ()ν1,ν2, ,νN = (1.49) N! ψ (x ) ψ (x ) ψ (x ) ν1 N ν2 N νN N ở đây ν - bộ chỉ số đầy đủ đặc tr−ng cho các trạng thái một hạt, ví dụ nh− ν = n, l, j, m ; xi – toạ độ của hạt trong đó có cả biến số spin. Giả thiết rằng tất cả ψν(x) đều chuẩn hoá. Không khó khăn để chứng minh rằng biểu thức (1.49) có tính chất của hàm sóng của hệ hạt độc lập: Nó thoả mãn nguyên lý Pauli và sự thay đổi bất đối xứng của hai hạt. Nếu giữa các chỉ số ν1, ν2 νN có hai giá trị nào đó giống nhau thì cả hai cột của định thức giống nhau và định thức có giá 20
21. trị bằng 0. Nh− vậy trong hệ Fermion ở một trạng thái không thể có quá một hạt và hàm sóng (1.49) thoả mãn nguyên lý Pauli, sự đổi chỗ hai hạt t−ơng ứng với đổi chỗ hai dòng của định thức (1.49) và do vậy dấu của nó sẽ thay đổi. Hàm sóng bất đối xứng (1.49) hoàn toàn đ−ợc xác định bằng số các trạng thái một hạt lấp đầy ν1, ν2 , , νN một cách độc lập với các hạt lấp đầy trong nó. Vì thế bộ trạng thái ψ(ν1 νN) có thể gọi là biểu diễn của số trạng thái bị lấp đầy. + + Chúng ta đ−a vào toán tử a ν, nó sẽ sinh hạt ở trạng thái ψν và a ν đ−ợc xác định bằng hệ thức : + aν ψ(0) = ψ (ν) (1.50) ở đây ψ(0) – trạng thái chân không tức là trạng thái không chứa hạt nào. Khi + tác dụng lên hàm sóng ψ(ν1, ν2, νN) toán tử a ν tạo nên trạng thái gồm N+1 hạt trong đó trạng thái thứ ν là lấp đầy: ϕ ν ,ν , ,ν ,ν , khi ν ≠ ν ,ν , ν ⎪⎧ (1 2 N ) 1 2 N a + ψ()ν ,ν , ,ν = (1.51) ν 1 2 N ⎨ 0 , khi ν = ν , ν = ν ,ν , ,ν ⎩⎪ i i 1 2 N Nhờ toán tử a+ từ chân không có thể tạo nên trạng thái N hạt: + + + ψ (ν1, ν2 νN) = a νN a ν2 a ν1ψ(0) (1.52a) Từ tích phân đối xứng của ψ(ν1 νN) suy ra rằng: a + a + = − a + a + (1.52b) νi ν j ν j ν i T−ơng tự có thể đ−a vào toán tử aν mà nó huỷ hạt trạng thái thứ ν và tạo nên trạng thái gồm N-1 hạt mà trạng thái thứ ν là trống: ⎧ 0,khi ν ≠ ν1 ν N a ν ψ ()ν1 ,ν 2 , ,ν N = ⎨ (1.53) ⎩ψ()ν1 ,ν 2 , ,ν N khi ν ≡ν i rõ ràng là: a ν ψ(0 ) = 0 (1.54) + Toán tử aν là liên hợp emitic với a và với chúng có đẳng thức: 21
22. a a = − a a (1.55) νi ν j ν j νi Dễ dàng chứng minh: a + a = −a + a , khi ν ≠ ν (1.56) νi ν j ν j νi i j + + Chúng ta xem xét tác dụng của tích toán tử a ν aν và aν aν lên hàm ψ(ν1,ν2, ,νN): ⎧ + ⎪0, khi ν ≠ ν1 ,ν 2 , ν N ; a ν a ν ψ ()ν1 ,ν 2 , ν N = ⎨ (1.57) ⎩⎪ ψ()ν1 ,ν 2 , ,ν N khiν ≡νi ⎪⎧ 0khiν ≡ν i a a + ψ ()ν ,ν , ,ν = ν ν 1 2 N ⎨ψ ()ν ,ν , ,ν , khi ν ≠ ν ,ν , ,ν . ⎩⎪ 1 2 N 1 2 N (1.58) + + Từ (1.57) và (1.58) suy ra rằng: a ν a ν + a ν a ν = 1 (1.59) Các biểu thức từ (1.50) – (1.59) đủ để tạo nên các tính chất đại số của các toán + tử aν và a ν. Các tính chất này tr−ớc tiên có thể viết d−ới dạng các hệ thức giao hoán đã biết nh− sau: a , a + = a a + + a + a = δ ;⎫ {}ν ' ν ν ' ν ν ν ' ν ν ' ⎪ (1.60) + + ⎬ {}a ν ' , a ν = {a ν ' a ν }= 0 . ⎭⎪ Từ (1.57) suy ra rằng xác suất để trạng thái một hạt thứ ν bị lấp đầy đ−ợc + xác định bằng giá trị trung bình của toán tử a ν aν. Vì thế toán tử: + nˆ = a ν a ν (1.61) đ−ợc gọi là toán tử lấp đầy trạng thái ν. Toán tử số hạt toàn phần là : ˆ + N = ∑ nˆ ν = ∑ a ν a ν (1.62) ν ν có giá trị riêng bằng số hạt trong hệ. 22
23. Chúng ta đ−a vào biểu thức đối với các toán tử một hạt và hai hạt của hệ hạt đ−ợc quan tâm. Toán tử tác dụng lên những hạt đ−ợc lựa chọn là toán tử một hạt. Toán tử này có dạng : ˆ N ˆ F = ∑ F ()x k (1.63) k=1 ˆ Bởi vì toán tử F(xK) chỉ thay đổi trạng thái của hạt thứ k mà không thay đổi số hạt toàn phần nên toán tử Fˆ có thể biểu diễn nh− tổng các toán tử: ˆ ˆ + F = ∑ ν F ν' a ν a ν' (1.64) νν' ν Fˆ ν' = ψ* x Fˆ x ψ x dx ở đây ∫ ν ( ) ( ) ν ' ( ) (1.65) Tích phân trong (1.65) thực chất là lấy tổng theo biến rời rạc. Toán tử hai hạt, ví dụ nh− toán tử thế t−ơng tác của hai hạt: ˆ ˆ V= ∑ V ( x i , x k ) (1.66) i < k khi tác dụng lên hệ hạt đang xét có thể làm thay đổi trạng thái của hai hạt nh−ng không làm thay đổi số hạt toàn phần của hệ. Toán tử Vˆ trong biểu diễn số trạng thái lấp đầy có dạng: 1 Vˆ = ν ν Vˆ ν ν a + a + a a (1.67a) ∑ 3 4 1 2 ν 4 ν 3 ν 1 ν 2 2 ν 1 ν 2 ν 3 ν 4 ở đây : ν ν Vˆ ν ν = ψ* ()x ψ* ( x )Vˆ ( x ,x ) ψ (x )(ψ x )dx dx 3 4 1 2 ∫ ν 3 1 ν 4 2 1 2 υ1 1 ν2 2 1 2 (1.67b). Có thể kiểm tra lại (1.64) – (1.67) bằng cách tính trực tiếp các phần tử ma trận theo các trạng thái (1.49). Chúng ta có thể dễ dàng thu đ−ợc biểu thức đối với Hamilton Ho của mẫu các hạt độc lập trong biểu diễn số trạng thái lấp đầy : ˆ Z ˆ N ˆ H 0 = ∑∑h Z ()rk + h N (ri ) (1.68) k==1 i 1 23
24. ˆ ở đây các toán tử một hạt proton h z (rk) đ−ợc xác định bằng ph−ơng trình ˆ (1.43). Rõ ràng là đối với yếu tố ma trận ν h τ ν' ta có đẳng thức : ˆ ν h τ ν' = ετ νδνν' (1.69) với τ = Z hoặc N. Khi đó, nh− với (1.64) ta có : ˆ + + H 0 = ∑ εZ ν a Z v a Z v + ∑εN ν a N ν a N ν = ∑εZ v nˆ Z v + ∑εN ν nˆ N ν (1.70) ν ννν ˆ ˆ ˆ Hamilton H 0 liên hợp với toán tử số hạt toàn phần của proton Z và nơtron N mà chúng bằng: Zˆ = a + a = nˆ ⎫ ∑ Z v Z v ∑ Z v ⎪ ν ν ⎬ (1.71) ˆ + ˆ N = ∑a N ν a N ν = ∑ n N ν ⎪ ν ν ⎭ và có hàm riêng chung nhau. Mẫu một hạt giải thích đ−ợc phần lớn số liệu thực nghiệm [3, 12, 17] và làm cơ sở để nghiên cứu các đặc tr−ng của hạt nhân với t−ơng tác d−. Mẫu hạt nhân siêu chảy. Mẫu các hạt độc lập mô tả không tốt một loạt các hiệu ứng thực nghiệm. Ví dụ nh− các trạng thái kích thích của các hạt nhân chẵn - chẵn có khoảng cách cỡ 1 - 2 MeV trong khi đó ở các hạt nhân lẻ hoặc lẻ - lẻ lại không có khoảng cách nh− vậy. Hơn nữa mômen quán tính của hạt nhân biến dạng đ−ợc tìm thấy ở các trạng thái quay thấp lại nhỏ hơn mômen quán tính đ−ợc tính theo mẫu các hạt độc lập từ hai đến ba lần. Để giải thích các sai lệch nói trên và một số dữ liệu thực nghiệm khác, ng−ời ta đã dựng lên mẫu siêu chảy [18. 19] và phát triển nó [20, 21], mà trong đó giả thiết rằng ngoài tr−ờng trung bình, các phần còn lại - gọi chung là t−ơng tác d− - dẫn tới chuyển động t−ơng quan của proton và nơtron. Khi đó các cặp nơtron và proton với mômen động l−ợng bằng nhau nh−ng ng−ợc chiều tạo nên các trạng thái liên kết trong hạt nhân. Để phá vỡ các mối liên kết này cần năng 24
25. l−ợng 1 – 2 MeV. ý t−ởng mẫu hạt nhân siêu chảy xuất phát từ lý thuyết siêu chảy của kim loại và của hêli lỏng. Để mô tả t−ơng quan cặp của dạng siêu chảy ng−ời ta th−ờng dùng Hamilton mà trong biểu diễn số lấp đầy với hạt nhân biến dạng đ−ợc viết nh− sau : ˆ ˆ ˆ H = H N + H Z , (1.72) ˆ + + + ở đây H N = ∑∑ε v a v a v − G N a s+ a s− a s ' − a s ' + (1.73a) v'ss Hˆ = ∑ε a +a − G ∑a + a + a a (1.73b) Z à à à z r+ r− r '− r' + à rr' với εν và εà là năng l−ợng của trạng thái một hạt đối với hệ nơtron và proton t−ơng ứng. Các trạng thái một hạt đặc tr−ng bằng các số l−ợng tử ν = sδ, à = rδ ở đây δ = ± 1. Các đại l−ợng GN và GZ là các hằng số t−ơng tác cặp đối với hệ nơtron và proton mà chúng đ−ợc xác định từ năng l−ợng liên kết của hạt nhân. Hamilton Hˆ ở dạng (1.72) đ−ợc sử dụng tr−ớc hết để mô tả tính chất của hạt nhân nặng mà trong đó không có t−ơng quan nơtron – proton dạng siêu chảy [20]. Ngoài ra, vì thế năng của tr−ờng trung bình đối với nơtron và proton đ−ợc tạo nên một cách riêng biệt nên ng−ời ta giải ph−ơng trình Schrodinger riêng rẽ để xác định đặc tr−ng của các trạng thái một hạt tạo nên hệ proton và nơtron mà chúng đ−ợc khảo sát riêng rẽ. Đối với hạt nhân cầu, Hamilton của mẫu siêu chảy hơi khác biểu thức (1.73). Dạng Hamilton và sự khảo sát các hiệu ứng siêu chảy của hạt nhân cầu đ−ợc đ−a ra trong các công trình nh− [12,21]. Việc nghiên cứu các đặc tr−ng thống kê của mẫu siêu chảy đ−ợc thực hiện với Hamilton (1.73). Dựa trên sự biến đổi Khacti - Phôc - Bôgôliubôv có thể chuyển từ Halilton (1.73a) sang Hamilton của các giả hạt độc lập. Sự chuyển này sẽ đ−ợc trình bày trong ch−ơng 3 khi xem xét tính chất thống kê của mẫu hạt nhân siêu chảy. Mẫu hạt nhân suy rộng : Mẫu hạt nhân suy rộng [12, 13] đ−ợc hình thành từ mẫu giọt và mẫu lớp. 25
26. Theo mẫu giọt, mật độ nucleon trong hạt nhân rất lớn và do có t−ơng tác mạnh giữa chúng, va chạm giữa các nucleon th−ờng xuyên xảy ra vì thế chuyển động độc lập của từng nucleon riêng lẻ là không khả dĩ. Theo mẫu này, hạt nhân là giọt chất lỏng tích điện, bề mặt của nó có thể dao động. Nếu biên độ dao động quá lớn thì giọt chất lỏng vỡ ra tức là xảy ra sự phân chia hạt nhân. Mặc dù mẫu giọt có thể dùng để giải thích nguyên nhân phân chia và cơ chế của nó và cả sự tồn tại của chuyển động tập thể của hạt nhân nguyên tử, hoàn toàn không quan sát đ−ợc những tiên đoán của nó trong thí nghiệm. Trong mẫu suy rộng ng−ời ta giả thiết rằng hạt nhân bao gồm phần lõi bền vững bên trong (lõi này đ−ợc tạo nên từ các nucleon của lớp lấp đầy) và các nucleon ở bên ngoài chuyển động trong tr−ờng của lõi. Chuyển động của lõi đ−ợc mô tả trong mẫu giọt. D−ới ảnh h−ởng của các nucleon ngoài, lõi thay đổi dạng của mình và có thể dao động. Các nucleon ngoài chuyển động trong tr−ờng của lõi và đến l−ợt mình - khác với mẫu lớp - lõi bị thay đổi do t−ơng tác với các nucleon ngoài. Dựa trên mẫu suy rộng có hai giả thiết: Thứ nhất là dạng cân bằng của hạt nhân khác xa số magic là dạng elipxoit hoặc dạng vật quay phức tạp hơn. Điều này cho phép nói về định h−ớng của hệ một cách tổng quát. Thứ hai là điều kiện gián đoạn mà nhờ nó sự quay không phá vỡ dạng tr−ờng thế - tức là quay chậm đến mức mà các nuclon tuân theo chuyển động gián đoạn. Điều kiện gián đoạn có thể viết nh− sau : E i n 〉〉 E vib 〉〉 E rot (1.74) ở đây , Ein ,Evib và Erot – là năng l−ợng của các l−ợng tử trong chuyển động nội tại, dao động và chuyển động quay. Từ hệ thức (1.74) suy ra rằng dao động bề mặt phân tách các mức liên quan tới chuyển động nội tại của các nucleon thành các mức gần nhau và tới l−ợt mình, các mức gần nhau này lại tách nhỏ nữa d−ới ảnh h−ởng của chuyển động quay của hạt nhân. Trong tr−ờng hợp này, chuyển động của hạt nhân có thể tách làm 3 dạng độc lập : chuyển động nội tại, dao động và quay. Hamilton có thể biểu diễn d−ới dạng : ˆ ˆ ˆ ˆ H = H in + H vib + H rot (1.75) 26
27. và hàm sóng ψ đ−ợc xác định là tích của ba hàm sóng: ψ = ψin* ψvib*ψrot (1.76) trong đó ψin, ψvib , ψrot t−ơng ứng là các hàm riêng của toán tử Hamilton nội tại, ˆ ˆ ˆ dao động và quay Hin , H vib , H rot . Mẫu suy rộng tr−ớc hết giải thích đ−ợc các tính chất của hạt nhân biến dạng mà trong số đó các hạt nhân với 150 226 đ−ợc nghiên cứu khá đầy đủ. Mẫu này giải thích mômen tứ cực của một số hạt nhân lớn là vì các nucleon bên ngoài của các hạt nhân này làm biến dạng lõi của chúng rất mạnh và hạt nhân trở thành có dạng không cầu - là elipxoit - bị kéo dãn hoặc nén lại theo trục đối xứng. Hạt nhân bị biến dạng có thể quay quanh trục vuông góc với trục đối xứng và điều này giải thích các mức quay đ−ợc tìm thấy trong thí nghiệm. Các mức t−ơng ứng với sự dao động cũng đ−ợc tìm thấy trong thí nghiệm. Mẫu suy rộng cho phép bổ sung vào phân loại mức hạt nhân - đ−a vào khái niệm mức một hạt liên quan tới các nucleon ở ngoài bị kích thích, mức tập thể (quay và dao động) t−ơng ứng với sự kích thích lõi hạt nhân. 1.4 Những đặc tr−ng thống kê của hạt nhân nguyên tử. Chúng ta chuyển sang nghiên cứu mật độ trạng thái và các đặc tr−ng thống kê khác của hạt nhân nguyên tử. D−ờng nh− là việc xác định mật độ trạng thái từ hệ thức (1.2) là không thể vì không thể dùng chúng để tính mật độ trạng thái ở mẫu cơ bản nhất là mẫu các hạt độc lập. Vấn đề là các giá trị riêng Ei của ph−ơng trình Schrodinger đối với mẫu này : ˆ ⎛ ⎞ H 0 i 〉 = ⎜ ∑ ε Z ν nˆ Z ν + ∑ ε N ν nˆ N ν ⎟ i 〉 = E i 〉 (1.77) ⎝ ν ν ⎠ có thể là nh− nhau với các hệ có số hạt khác nhau. Nói một cách khác, giải ph−ơng trình (1.77) là tìm giá trị riêng trùng với giải các ph−ơng trình : ˆ ⎛ ⎞ Z i 〉 = ⎜ ∑ nˆ Z ν ⎟ i 〉 = Z i i 〉 ⎝ ν ⎠ 27
28. Λ ⎛ ⎞ N i 〉 = ⎜ ∑ nˆ N ν ⎟ i 〉 = N i i 〉 ⎝ ν ⎠ ở đó hạt đang xét là proton Zi và nơtron Ni. Để nghiên cứu đặc tr−ng thống kê cần thay đổi định nghĩa (1.2). Mật độ trạng thái hạt nhân nguyên tử với số proton Z và số nơtron N ở năng l−ợng E đã cho đ−ợc xác định bằng biểu thức ω()Z,N,E = ∑ δ( Z − Zi )δ( N − N i )δ( E − Ei ) (1.78) i Trong biểu thức này, hai hàm δ đầu tiên tách ra từ tập hợp các trạng thái vi mô ⎢i > chỉ những giá trị riêng Zi và Ni trùng với số proton Z và số nơtron N trong hạt nhân. Để đơn giản chúng ta khảo sát hệ gồm N hạt một loại. Trong tr−ờng hợp này, từ (1.78) với mật độ trạng thái ω(N,E) ta sẽ có : ω()N,E = ∑δ(N − N i )δ( E − Ei ) (1.79) i Các giá trị riêng Ni và Ei đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình: Nˆ i〉 = N i 〉 i ⎫ ⎬ (1.80) ˆ H i〉 = E i i 〉 ⎭ Để sử dụng biểu thức (1.79) xác định mật độ trạng thái với N và E đã biết, cần phải tính đại l−ợng : 1 N+∆N / 2 E+∆E / 2 ∑ ∫∫dN dEδ()N − N i δ( E − Ei ) (1.81) ∆N ∆E i N−∆N / 2 E−∆E / 2 Điều này có nghĩa là từ tập hợp các trạng thái vi mô, cần lựa chọn và tính chỉ những trạng thái mà giá trị riêng Ni và Ei nằm gần N và E trong khoảng (N-∆N/2, N + ∆N/2) và (E - ∆E/2, E + ∆E/2). Chia số thu đ−ợc cho tích số ∆N*∆E, chúng ta sẽ thu đ−ợc số trạng thái trong một đơn vị năng l−ợng tức là mật độ trạng thái. Cũng sử dụng (1.81), chúng ta khảo sát ví dụ đơn giản là một hệ gồm N hạt fermi độc lập cùng loại, với phổ mật độ gián đoạn không suy biến g. Tức là 28
29. khoảng cách giữa chúng là hằng số và bằng d = g-1. Tr−ờng hợp khi tất cả các trạng thái một hạt thấp nhất bị chiếm t−ơng ứng với trạng thái cơ bản của hệ. Nếu năng l−ợng tính từ đáy hố thế thì trạng thái cơ bản Eo của hệ có năng l−ợng nh− sau : N E0 = d ∑ n = dN( N + 1) / 2 (1.82) n=1 Năng l−ợng bằng nửa tổng năng l−ợng của trạng thái lấp đầy sau cùng và của mức không lấp đầy thấp nhất trong trạng thái cơ bản gọi là năng l−ợng Fermi: εF =()εN +εN+1 / 2 (1.83) Đối với hệ N hạt với phổ phân bố đều: εF = (N + 1/ 2)d (1.83a) Từ εF suy ra rằng trong trạng thái cơ bản, tất cả các trạng thái một hạt thứ ν với εν εF là tự do. Rõ ràng là hệ đ−ợc khảo sát có thể ở trạng thái kích thích chỉ với năng l−ợng: E i = E 0 + id (1.84) ở đây i – số nguyên d−ơng. Hình 1.6. Các trạng thái vi mô của hệ với phổ trạng thái một hạt biểu kiến từ N hạt Fermi và có năng l−ợng toàn phần bằng E = E0 + 4d. ở bên trái là trạng thái vi mô của hệ ở trạng thái cơ bản. 29
30. Chúng ta tính mật độ trạng thái của hệ này. Ta đ−a vào (1.81) khoảng lấy trung bình theo số hạt ∆N và theo năng l−ợng ∆E. Với hệ đ−ợc khảo sát, tất nhiên ta đặt ∆N =1 và ∆E = d - khoảng cách năng l−ợng giữa các mức kích thích cạnh nhau. Trạng thái vĩ mô của hệ đ−ợc xác định bằng số hạt N và năng l−ợng toàn phần E mà ta đã cố định và chọn là Ei = Eo + 4d. Trạng thái vi mô của hệ hoàn toàn đ−ợc xác định bằng số trạng thái một hạt bị lấp đầy. Không chỉ một mà một vài trạng thái vi mô t−ơng ứng với hệ có năng l−ợng kích thích U = E - EO > d. Trên hình 1.6 là sơ đồ tất cả các trạng thái vi mô xuất hiện trong hệ khi U = 4d. Rõ ràng là ở năng l−ợng này số trạng thái vi mô là 5. Nh− vậy có 5 trạng thái vi mô mà tất cả đều có giá trị năng l−ợng Ei = EO + 4d và chúng khác nhau bởi hàm riêng lấp đầy các trạng thái một hạt khác nhau t−ơng ứng với trạng thái vĩ mô có N và E = EO + 4d. Rõ ràng là không có các trạng thái vi mô trong khoảng năng l−ợng [(EO + 4d) - d/2, (EO + 4d) + d/2] . Để thu đ−ợc mật độ trạng thái t−ơng ứng với biểu thức (1.81) cần chia số này cho khoảng năng l−ợng trung bình ∆E = d, ta có: ω (N, E = EO + 4d ) = 5/d = 5g Ví dụ đ−ợc khảo sát thuộc về hệ đơn giản nhất. Đối với hệ nh− vậy, ở năng l−ợng kích thích không lớn, dễ dàng tính đ−ợc số trạng thái vi mô trong khoảng d bằng cách bỏ qua các cấu hình khả dĩ, khi ở năng l−ợng cao với mục đích này có thể sử dụng các hệ thức truy hồi [22]. Tuy nhiên bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều nếu đặt vấn đề tính mật độ trạng thái của hệ có Hamilton của mẫu lớp một hạt. Để làm việc này chúng ta sử dụng ph−ơng pháp thống kê đ−ợc mô tả trong Đ1.1 và Đ1.2. Tr−ớc hết ta biến đổi Laplax ở phần bên trái và bên phải biểu thức (1.79): ∞∞∞ ∞ −βE+αN −βE+αN −βEi +αNi ∫∫dE∫ dNe ω()N,E = ∑ dE∫ dNe δ(E − Ei )δ(N − Ni ) = ∑e 0o0 i o i (1.85) 30
31. Trong cơ chế thống kê, đại l−ợng đứng bên phải của (1.85) đ−ợc gọi là tổng thống kê đầy đủ Q( β,α ) [1.10] mà nó có thể đ−ợc viết d−ới dạng : ˆ ˆ ˆ ˆ Q ()β, α = ∑ e − β E i + α N i ≡ ∑ i e − β H + α N i ≡ Sp (e −β H + α N ) (1.86) i Nh− vậy phép biến đổi Laplax đã biến mật độ trạng thái (1.79) sang tổng thống kê đầy đủ. Tất nhiên rằng phép biến đổi Laplax ng−ợc từ Q(β,α) sẽ cho mật độ trạng thái : 1 β' +i∞ α' +i∞ 1 β' +i∞ α' +i∞ ω N,E = dβ dαeβ E − α N Q β,α = dβ dα eS(β,α) () 2 ∫∫ () 2 ∫∫ (1.87) ()2πi β' −i∞ α' −i∞ ()2πi β' −i∞ α' −i∞ với S()β,α = β E − α N +lnQ(β,α ). (1.88) Hệ thức (1.87) đ−ợc coi là công thức xác định chính xác mật độ trạng thái ω(N,E) và bài toán tính ω(N,E) lại quay về tính tích phân (1.87). Tích phân trong (1.87) có thể tính đ−ợc bằng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Khi sử dụng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa đối với hàm nhiều biến phức thì xảy ra tr−ờng hợp t−ơng tự nh− tr−ờng hợp một chiều [11]. Trong vùng điểm yên ngựa với các toạ độ βO và αO, ta tách hàm S(β,α) thành chuỗi và giới hạn bằng hai số hạng không bị triệt tiêu: 2 2 2 1 ∂ S 2 ∂ S 1 ∂ S 2 S()β,α =S(β ,α )+ ()β−β + ()β−β (α−α )+ ()α−α (1.89) 0 0 2 ∂β2 0 ∂β∂α 0 0 2 ∂α2 0 ở đây đạo hàm bậc hai của S theo α và β đ−ợc tính ở điểm yên ngựa β0 và α0 mà tọa độ của chúng đ−ợc xác định từ ph−ơng trình: ∂S ∂β = 0 ; ∂S ∂α = 0 (1.90) hoặc là sử dụng (1.88): E = −∂ln Q ∂β ; N = ∂lnQ ∂α (1.91) 31
32. Thay (1.89) vào (1.87) và sử dụng phép đổi biến β = β0 + iy ; α =α0+ ix, ta thu đ−ợc: 1 ∞ ∞ ⎡ ⎛ 1 ∂ 2S ∂ 2S 1 ∂ 2S ⎞⎤ ω N,E = eS()β0 ,α0 dx dyexp − ⎜ x 2 + xy + y2 ⎟ () 2 ∫∫ ⎢ ⎜ 2 2 ⎟⎥ ()2π −∞ −∞ ⎣ ⎝ 2 ∂β ∂α∂β 2 ∂α ⎠⎦ (1.92) Tích phân trong (1.92) ở dạng chung có thể viết nh− sau: ∞ ∞ n ⎛ 1 ⎞ n 2 −1 2 ∫∫ exp⎜− ∑a i j x i x j ⎟dx1 , ,dx n = ()2π D (1.93) −∞ −∞ ⎝ 2 i, j ⎠ ở đây D - định thức của ma trận (aij). Điều này th−ờng đ−ợc chứng minh nhờ sự biến đổi trực giao ma trận (aịj) của các tích phân chuyển động sang dạng chéo sau khi thu đ−ợc tích phân bằng tích các tích phân Laplax một lớp (1.18). Sử dụng (1.93) với mật độ trạng thái ω ( N, E ) cuối cùng ta thu đ−ợc: exp[]S(β α ) ω()N,E = 0 0 (1.94) 2π D 1 2 ở đây ∂ 2 lnQ ∂ 2 lnQ ∂β2 ∂β ∂α D = (1.95) ∂ 2 lnQ ∂ 2 lnQ 2 ∂β ∂α ∂α α=α0 β=β0 và S là entrôpy của hệ: S(β0 ,α0 )= β0 E − α0 N + lnQ(β0 , α0 ). (1.96) Hệ thức (1.91) có thể viết lại ở dạng khác thuận tiện hơn khi đ−a vào toán tử trung bình theo tổng thống kê đầy đủ. Theo đó, trung bình toán tử thống kê Â có dạng [10]: Aˆ = Sp(Aˆ e−β ( Hˆ −λ Nˆ ) )/ Sp(e−β( Hˆ −λ Nˆ ) ) (1.97) 32
33. ở đây λ = α/β. Khi đó với toạ độ của điểm yên ngựa ta thu đ−ợc ph−ơng trình: ∂lnQ 1 ∂Q Sp{Hˆ exp[−β(Hˆ −λNˆ )]} E = − = − = = Hˆ (1.98a) ∂β Q ∂β Sp{}exp[]−β()Hˆ −λNˆ N = Nˆ (1.98b) Dựa vào việc xác định các giá trị trung bình thống kê (1.97) cho đạo hàm bậc hai trong (1.95) ta sẽ có: 2 2 2 2 ⎫ ∂ ln Q 1 ∂ ln Q 1 ⎛ ∂Q ⎞ ˆ 2 ˆ 2 = 2 − 2 ⎜ ⎟ = H − H ⎪ ∂β Q ∂β Q ⎝ ∂β ⎠ ⎪ 2 2 ⎪ ∂ ln Q ˆ 2 ˆ (1.99) 2 = N − N ⎬ ∂α ⎪ ∂ 2 ln Q = Hˆ Nˆ − Hˆ Nˆ ⎪ ∂β∂β ⎪ ⎭ Trong tr−ờng hợp chung, nếu cần tính mật độ trạng thái ở năng l−ợng E và có các tích phân chuyển động K1, Kτ , đối với hệ nh− vậy có thể viết tổng thống kê d−ới dạng nh− sau: ⎡ ⎛ ˆ τ ˆ ⎞ ⎤ Q()β,α1, ,α τ =Sp exp⎜ −βH + ∑ αi K i ⎟ (1.100) ⎣⎢ ⎝ i=1 ⎠ ⎦⎥ Các tọa độ của điểm yên ngựa β0, α01, , α0τ đ−ợc tìm ra bằng cách giải hệ ph−ơng trình: ˆ ˆ E = H ; K i = K i với i =1,2, ,τ (1.101) Mật độ trạng thái đ−ợc xác định bằng biểu thức sau : − ( τ +1 )/ 2 −1/ 2 ω()E,K1 , ,K τ = ()2π D exp[S(β0 ,α 01 , ,α 0τ )] (1.102) ở đây D - định thức ma trận đ−ợc tạo nên từ các đạo hàm bậc hai của lnQ theo β, α1 , ατ. đ−ợc tính tại điểm yên ngựa ; S - entrôpy của hệ. τ S ()β0 ,α01, ,α0τ =β0 E − ∑ α0i K i + lnQ()β0 ,α01, ,α0τ (1.103) i=1 33
34. Trong phần kết luận chúng ta sẽ nói về việc lựa chọn tích phân chuyển động. Các đại l−ợng vật lý bảo toàn theo thời gian đ−ợc gọi là các tích phân chuyển động. Từ định luật bảo toàn số khối, điện tích, năng l−ợng, mômen góc và độ chẵn lẻ đối với hệ kín suy ra rằng sự mô tả khả dĩ nhất của hệ đ−ợc giới hạn bằng bài toán số hạt proton Z và nơtron N, năng l−ợng toàn phần E, mômen góc J và độ chẵn lẻ π. Khi đó bài toán giá trị ba tích phân chuyển động đầu tiên - Z, N và E - là cần thiết để tính mật độ trạng thái ω(Z,N,E): Các giá trị N và Z cố định đã biết để tách hạt nhân cụ thể ra khỏi tập hợp các hạt nhân, năng l−ợng E xác định mức độ kích thích của hạt nhân đ−ợc khảo sát. Th−ờng thì ω(Z,N,E) đ−ợc gọi là mật độ trạng thái toàn phần của hạt nhân. Với một hạt nhân cụ thể, các đặc tính Z và N không đ−ợc nhắc tới, và thay vì năng l−ợng toàn phần E ng−ời ta th−ờng sử dụng năng l−ợng kích thích U bằng: U = E − E0 (1.104) ở đây E0 là năng l−ợng trạng thái cơ bản. Trong các phản ứng hạt nhân, sự giới hạn liên quan tới tính bảo toàn của mô men góc đóng vai trò lớn. Vì thế rất quan trọng nếu biết sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào mômen góc toàn phần J mà nó th−ờng đ−ợc gọi là sự phụ thuộc spin của mật độ trạng thái. Bởi vì mômen góc một hạt là vectơ, còn hình chiếu của nó đại l−ợng đại số nên th−ờng nghiên cứu sự phụ thuộc ω(Z, N, E, M) vào hình chiếu mômen góc M trên một trục cố định. Để tính mật độ trạng thái ω( Z,N, E, J ) theo các biểu thức đã biết với ω ( Z, N, E, M ) ng−ời ta sử dụng hệ thức: ∂ω(Z,N,E,M) ρ()Z,N,E,J =ω(Z,N,E,M=J )−ω(Z,N,E,M=J +1)≈− (1.105) ∂M M=J+1/2 xác định mật độ mức ρ(Z, N, E, J). Sự khác nhau ở các thuật ngữ “mật độ trạng thái” và “mật độ mức” liên quan tới việc tách các số l−ợng tử ví dụ theo mômen động l−ợng trong tr−ờng hợp đã cho. Công thức (1.105) cần đ−ợc lý giải. Các trạng thái có J’ ≥ J có đóng góp vào mật độ trạng thái ω(Z, N, E, M=J), còn các 34
35. trạng thái có J’≥ J+1 có đóng góp vào mật độ trạng thái ω(Z, N, E, M=J+1). Khi trừ nhau (theo 1.105) ta thu đ−ợc mật độ trạng thái với giá trị J cố định. Tuy nhiên vì mỗi trạng thái với J đã cho sẽ tách ra 2J + 1 lần theo hình chiếu mômen góc, nên đại l−ợng đ−ợc xác định theo (1.105) đ−ợc gọi là mật độ mức và ký hiệu là ρ(Z,N,E, J). Mật độ mức ρ(Z,N,E, J) liên quan với mật độ trạng thái theo hệ thức: ω ()Z,N,E,J = (2J + 1)ρ ( Z,N,E,J ) (1.106) còn với mật độ toàn phần ω(Z,N,E) liên quan với mật độ trạng thái theo hệ thức sau: ω()Z,N,E = ∑ (2J + 1)ρ( Z,N,E,J ) (1.107) J Trong ch−ơng 5 sẽ khảo sát mật độ trạng thái khi số giả hạt kích thích cố định. Từ các định luật bảo toàn không suy ra đ−ợc tích phân chuyển động nh− số giả hạt kích thích n. Song trong mẫu lớp và mẫu hạt nhân siêu chảy, có thể đ−a vào đại l−ợng vật lý đ−ợc xác định bằng số giả hạt kích thích và toán tử của nó liên hợp với hàm toán tử Hamilton. Theo quan điểm nh− vậy, đại l−ợng vật lý này là tích phân chuyển động và trong các mẫu đó có thể dẫn ra của các trạng thái theo số giả hạt kích thích. 35
36. Ch−ơng 2 các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân trong mẫu các hạt độc lập 2.1 Các hệ thức cơ bản : Chúng ta nghiên cứu mật độ trạng thái và các đặc tr−ng thống kê khác của hạt nhân nguyên tử trong các mẫu cụ thể. Việc nghiên cứu này đ−ợc bắt đầu từ việc khảo sát dạng t−ờng minh của ω(U) trong mẫu các hạt độc lập. Để đơn giản tr−ớc hết ta hãy tính cho hệ một thành phần và nó sẽ đ−ợc mở rộng ra với hạt nhân nh− hệ hai thành phần gồm proton và nơtron. Chúng ta khảo sát hệ gồm N hạt Fermi cùng loại chuyển động trong một tr−ờng thế trung bình. Hamilton H0 và toán tử số hạt N của hệ này trong biểu diễn số lấp đầy có dạng sau (xem các công thức (1.70) và (1.71)): ˆ + H o = ∑∑ε νa ν a ν = ε ν nˆ ν (2.1a) νν ˆ + N = ∑∑a ν a ν = nˆ ν (2.1b) νν + ở đây các toán tử a ν và aν tuân theo hệ thức giao hoán (1.60), εν là năng l−ợng của trạng thái một hạt thứ ν. Chúng ta tìm thấy tổng thống kê của hệ : ˆ ⎛ ⎞ Q()β,α = Sp[exp(− βH + αN)]= ∑ i exp⎜− β∑()ε ν − λ nˆ ν ⎟ i (2.2) i ⎝ ν ⎠ ở đây λ = α/β. Bởi vì các hàm sóng ⎢i > là các hàm riêng của toán tử ∧ ∧ Η = ∑ ()ε ν − λ n ν với các giá trị riêng là εi = ∑(εν − λ)n ν (i) nên Q(α,β) có thể ν ν viết lại nh− sau : ⎡ ⎤ Q()β,α = ∑exp − β∑(εν − λ)n ν (i) (2.3) i ⎣⎢ ν ⎦⎥ Với nν(i) bằng 0 và 1, tổng trong (2.3) đ−ợc tính cho tất cả các trạng thái khả dĩ của hệ. Điều đó có nghĩa rằng trong tổng phải tính là mỗi trạng thái một hạt thứ ν là bị chiếm khi nν(i)=1 hay tự do khi nν(i) = 0. Nh− vậy ta có: Q β,α = 1 + exp − β ε − λ ì 1 + exp − β ε − λ ì 1 + exp − β ε − λ = (){}[](1 ){}[](2 ){}[](ν ) = ∏{1 + exp[− β(ε 2 + α)]} ν (2.4) 36
37. ln Q()β, α = ∑ ln[1 + exp (− βε ν + α)] (2.5) ν Chúng ta đã thu đ−ợc kết quả rất quan trọng: chuyển từ tổng theo các trạng thái của hệ trong (2.2) sang tổng theo các trạng thái một hạt (2.5). Chúng ta tính giá trị trung bình của số lấp đầy các trạng thái một hạt thứ ν. Nhờ (1.97), dựa trên các hệ thức (2. 2) và (2.5) ta thu đ−ợc: ˆ ˆ Sp(nˆ exp[− β(H − λN )]) ∂ ln Q −1 n = nˆ = ν = − = {}1 + exp[]β()ε − λ ν ν ˆ ˆ ν Sp()exp[]− β()H − λN β∂()ε ν − λ (2.6) Các ph−ơng trình (1.91) để xác định toạ độ điểm yên ngựa β0, α0 có dạng: ε ∂ ln Q υ (2.7a) E = − = ∑∑= ε ν n ν νν ∂β 1 + exp []β ()ε ν − λ ∂ ln Q 1 (2.7b) N = = ∑∑= n ν ν ν ∂α 1 + exp [β (ε ν − λ )] và ta cũng dễ dàng thu đ−ợc biểu thức đối với entrôpy S và các đạo hàm bậc 2 của lnQ theo α và β: S =βE−αN + ∑ln[1+exp()−βεν +α ]= ∑[β(εν −λ)nν −ln()1− nν ] (2.8) νν ∂ 2 ln Q 2 (2.9a) 2 = ∑ ε ν n ν ()1 − n ν ∂β ν ∂ 2 lnQ = ∑εν n ν ()1− n ν (2.9b) ∂α∂β ν ∂ 2 lnQ 2 = ∑ n ν (1− n ν ) (2.9c) ∂α ν Các giá trị trên sẽ tính đ−ợc khi thu đ−ợc β và α từ nghiệm của hệ ph−ơng trình (2.7). Chúng ta đã tìm ra tất cả các hệ thức cần thiết để tính mật độ trạng thái của hệ ω(N,E). Từ trên suy ra rằng nếu với hệ có phổ các trạng thái một hạt đã biết, cần thiết để xác định ω(U) thì phải thực hiện các việc sau : 1. Với N và E đã cho, từ (2.7) tìm đ−ợc các toạ độ điểm yên ngựa β0 và α0 2. Nhờ β0 và α0 , theo các công thức (2.8) và (2.9) tính entrôpy S của hệ và các đạo hàm bậc hai lnQ theo β và α. 37
38. 3. Thay thế S và các đạo hàm bậc 2 vào (1.94), tính ω(N,E) - mật độ trạng thái của hệ gồm N hạt Fermi độc lập ở năng l−ợng toàn phần E đã cho. Ta nhận thấy rằng các tính chất thống kê của hệ mà từ đó biết đ−ợc sự phụ thuộc năng l−ợng của các đại l−ợng β, α, S và ω thực tế phụ thuộc vào phổ các trạng thái một hạt εν. 2.2 Mẫu khí Fermi Ta thu đ−ợc mật độ trạng thái ω(N,E) đối với hệ N hạt Fermi độc lập có năng l−ợng E khi giả thiết rằng phổ mật hạt của nó là không suy biến, phân bố cách đều và có mật độ g. Để tính các đặc tr−ng thống kê, chúng ta sẽ sử dụng gần đúng liên tiếp bằng cách thay tổng theo các trạng thái một hạt bằng tích phân theo các trạng thái một hạt tức là ∑ → g∫ dε . T−ơng ứng với (2.5), đối với ν logarit tổng thống kê lnQ(β,α) ta có: ∞ lnQ(β,α) = ∑ln[]1+ exp(−βεν + α) = g ∫ln[1+ exp(−βε + α)]dε (2.10) ν 0 Trong (2.10) điểm gốc năng l−ợng ε đ−ợc chọn sao cho các giá trị năng l−ợng một hạt luôn d−ơng (ε ≥ 0), tức là năng l−ợng bằng 0 ở đáy hố thế. Biểu thức (2.10) đ−ợc biến đổi thành: α./β α/β ∞ lnQ()β,α =g ∫∫(α−βε)dε+g ∫ln[]1+exp(βε−α)dε+g ln[]1+exp()−βε+α dε (2.11) oo α/β Tích phân thứ hai trong (2.11), khi đổi biến x = α - βε sẽ có dạng: α / β 1 α ∫ ln[]1+ exp()βε − α dε = ∫ ln()1+ e −x dx o β o giá trị tích phân này khi α→ ∞ sẽ tiến đến π2/12 [9], còn với tích phân thứ ba ∞ π2 chúng ta thu đ−ợc: ln[]1+ exp()α − βε dε = ∫ 12β α /β Nh− vậy ở gần đúng a >> 1 đối với lnQ(β,α) ta có: 2 2 2 ln Q(β, α) = gα /(2β) + π g /(6β0 ) (2.12) Hệ các ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa β0, α0 trong tr−ờng hợp này có dạng: 2 2 2 2 E0 = −∂ ln Q / ∂β = gα0 / (2β0 )+ π g / (6β0 ) (2.13a) 38
39. N = ∂ ln Q / ∂α = gα0 / β0 (2.13b) Chúng ta tìm mối liên hệ giữa β0 , α0 và năng l−ợng Fermi εF. Để làm điều đó ta sử dụng công thức tính số hạt N và năng l−ợng E0 ở trạng thái cơ bản của hệ: ε ε F F g ε 2 E = ε = g ε d ε = F (2.14a) 0 ∑ ν ∫ 2 ν ν ε ε F F N = 1 = g dε = gε ∑ ∫ F (2.14b) ν 0 Từ (2.13b) và (2.14b) ta thấy rằng α0= β0εF và ph−ơng trình (2.13a) có dạng: 2 2 U = (E − E0) = a / β0 = at (2.15) 2 -1 ở đây a = (π /6)g - thông số mật độ mức ; t = β0 - nhiệt độ của hệ. Ta thu đ−ợc ph−ơng trình trạng thái nổi tiếng của mẫu khí Fermi [10]. Ta tính Entrôpi S của hệ: S = β E − α N + ln Q (β, α) = βE − α N + gα2 / (2β)+ a / β Sử dụng hệ thức (2.13) và (2.15) ta thu đ−ợc: S = 2β0U = 2 aU (2.16) Các đạo hàm bậc hai của lnQ có dạng: ∂2 ln Q g α2 π2g ∂2 ln Q g ∂2 ln Q g α = + ; = ; = − ∂β2 β3 3β3 ∂α2 β ∂β ∂α β2 ∂2 lnQ ∂2 lnQ 2 ∂β∂α π2g2 12U2 và định thức D bằng: D = ∂β = = (2.17) 2 2 4 2 ∂ lnQ ∂ lnQ 3β0 π 2 ∂β∂α ∂α β=β0 α=α0 Thay các giá trị (2.16) và (2.17) vào (1.94) đối với mật độ trạng thái ω(N,E)= ω(U) ta sẽ có: ω(U) = exp(2 aU) /( 48 ì U) (2.18) 39
40. Công thức (2.18) đ−ợc viết d−ới dạng khác: ⎛ π2 ⎞ exp⎜2 gU ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ω(U) = g = g p(n) 48(gU) ở đây đã đ−a vào các số n = gU , p(n) = exp[ 2 (π 2 / 6) n ] / ( 48 n ) . Cách viết nh− vậy cho phép đ−a về dạng (2.18). Thừa số g đầu tiên chính là mật độ mức của hệ. Trong tr−ờng hợp đang khảo sát, nó trùng với mật độ các trạng thái một hạt. Điều tất yếu đó đ−ợc khảo sát khá kỹ ở trong mục $1.4 (công thức 1.84). Thừa số thứ hai là sự suy biến mức của hệ ở năng l−ợng kích thích bằng U. Ta nhận đ−ợc biểu thức đối với suy biến p(n) đầu tiên ở [23] khi giải quyết vấn đề thuần tuý toán học để xác định giá trị tiệm cận của tổ hợp P(n) của số nguyên n thành các số hạng nguyên độc lập với bậc của chúng. Bài toán này tỏ ra liên quan chặt chẽ tới sự xác định số trạng thái của hệ Fermi ở năng l−ợng kích thích đã cho U. Thực vậy, trong ví dụ đ−ợc nghiên cứu ở mục 1.4 đã thu đ−ợc rằng số trạng thái với phổ đã biết khi U = 4d là bằng 5. Khi đó dễ dạng coi tổng các số nguyên bằng số tổ hợp sau : 4 = 1+3 = 2+2 = 1+1+2 = 1+1+1+1 tức là số tổ hợp bằng 5 hay P(4) = 5. Trong các hệ quả của công thức (2.18) đã sử dụng gần đúng α0= εFβ0 >>1 mà nó -1 th−ờng đ−ợc gọi là sự gần đúng nhiệt độ thấp. Từ đó suy ra rằng t = β0 nhỏ hơn nhiều so với năng l−ợng Fermi. Bởi vì với hạt nhân, εF ≅ 35MeV nên bất đẳng thức t << εF luôn thoả mãn tốt ở vùng năng l−ợng kích thích rộng. Trong công thức (2.18) không có sự phụ thuộc rõ ràng của ω(U) vào số hạt N của hệ. Đó là vì hai gần đúng sau : Thứ nhất là trong các hệ quả đã sử dụng sự gần đúng nhiệt độ thấp. Thứ 2 - điều quan trọng nhất là chúng ta khảo sát hệ với phổ một hạt phân bố đều. Mật độ trạng thái một hạt g không phụ thuộc năng l−ợng là thông số duy nhất đặc tr−ng cho hệ. Nh− sẽ đ−ợc chứng minh trong $2.4, trong tr−ờng hợp hệ có phổ lớp vỏ không đồng nhất sẽ xuất hiện sự phụ thuộc rất mạnh của các đặc tr−ng thống kê vào N. Trên hình 2.1 đ−a ra sự phụ thuộc năng l−ợng của mật độ trạng thái của hệ có phổ phân bố đều. Rõ ràng là đối với tất cả các năng l−ợng kích thích U bắt đầu từ U = 5/g, công thức (2.18) đ−a lại giá trị chính xác cho mật độ trạng thái. Đồng thời nh− đã nêu trong Đ1.2 khi U → 0 mật độ trạng thái ω(U) đ−ợc tính theo ph−ơng pháp điểm yên ngựa sẽ tiến tới ∞ tức là trái ng−ợc rõ ràng với tính toán chính xác. 40
41. Hình 2.1. Sự phụ thuộc ω(U) đối với hệ hạt Fermi có phổ một hạt gián đoạn: Đ−ờng liên tục: Tính theo (2.18) ; Đ−ờng bậc thang: Tính theo số tổ hợp; Năng l−ợng kích thích U đ−ợc đo trong đơn vị d = g-1. Tuy nhiên các đặc tr−ng thống kê khác nh− entrôpy S và cả ph−ơng trình trạng thái (2.15) thể hiện mối quan hệ năng l−ợng của trạng thái với mật độ sẽ “tự đúng” khi U = 0. “Sự không đúng” tức là dạng mật độ trạng thái trái ng−ợc giữa lý thuyết và tính toán chính xác đ−ợc lý giải là do có thừa số tr−ớc hàm e mũ tỷ lệ với U-1 và nó sẽ tiến tới ∞ khi U → 0. Chúng ta tính số trạng thái trung bình n xuất hiện trong hệ ở năng l−ợng kích thích U bằng tổng số hạt và lỗ trống kích thích : ∞ ∞ dε n = 2g ∫ n(ε)dε = 2g ∫ = (2 6 ln 2 / π) gU ≈ 1.08 gU (2.19) ε Fε F1 + exp []β()ε − ε F Trong (2.19), tích phân đ−a lại giá trị trung bình của số hạt kích thích với năng l−ợng ε > εF và thừa số 2 thể hiện là cứ mỗi lần sinh ra một hạt sẽ t−ơng ứng sinh ra một lỗ trống với ε > εF. 2.3 Sự phụ thuộc spin của mật độ trạng thái hạt nhân. Chúng ta xem xét mẫu hạt nhân mà các hệ thức của nó hiện nay đ−ợc sử dụng rộng rãi để mô tả mật độ trạng thái. Trong mẫu này, hạt nhân nh− một hệ đ−ợc đặc tr−ng bằng số proton Z và số nơtron N, năng l−ợng toàn phần E và hình chiếu mô men quỹ đạo M trên trục cố định. Chúng ta cũng giả thiết rằng phổ của trạng thái một hạt là phân bố đều và có mật độ gZ và gN đối với các thành phần proton và nơtron t−ơng ứng. Ngoài ra còn giả thiết là các phổ một hạt sẽ suy biến bậc hai theo dấu của hình chiếu của mômen một hạt mZ và mN , giá trị của chúng không phụ thuộc vào chỉ số ν. Có thể thấy rằng phổ một hạt nh− vậy là quá “nhân tạo” và sẽ “tự nhiên” hơn nếu giả thiết mZ = mN = 1/2 tức là khảo sát phổ một hạt tách đôi theo spin. Tuy nhiên khi đó xuất hiện các hệ số bổ sung do có m = 1/2 và chính sự phụ thuộc đặc tr−ng thống kê vào hình chiếu mômen góc một hạt m bị triệt tiêu. Chúng ta l−u ý là trong tr−ờng hợp đ−ợc khảo sát, mật độ trạng thái một hạt g không bằng với mật độ mức một hạt ~ ~ Z,N gZ,N mà bằng gZ,N /2. 41
42. Trong mẫu này, hệ proton và nơtron độc lập - theo ý nghĩa là Hamilton của hạt nhân (1.70) là tổng các Hamilton của nhóm proton và nơtron. Khi đó lôgarit tổng thống kê của hạt nhân bằng tổng các lôgarit của tổng thống kê của các nhóm nói trên. Bởi vì toán tử hình chiếu mômen góc của hệ M có dạng: ∧ ∧ ∧ ∧ 0 M = ∑ m Z ν n Z ν + ∑ m Nν n Nν và giao hoán với H tức là hình chiếu mômen góc ν ν là tích phân chuyển động nên t−ơng tự với hệ quả của công thức (2.5) đối với lnQ của cả hệ thu đ−ợc: lnQ()β,αZ ,α N ,κ = ∑ln[1 + exp(− βε Z ν + αZ + κmZ ν )]+ ν + ∑ln[]1+ exp()− βε N ν + α N + κm N ν = ν ∞ ∞ g Z g Z = ∫ ln[]1+ exp()− βε + αZ + κmZ dε + ∫ ln[1 + exp(− βε + αZ − κmZ )]dε + 2 0 2 0 ∞ ∞ g N g N + ∫ ln[]1+ exp()− βε + α N + κm N dε+ ∫ ln[1+ exp(− βε + α N − κm N )]dε 2 0 2 0 (2.20) ở đây đã sử dụng phép gần đúng liên tiếp, khi cộng theo ν đã tách các tổng có hình chiếu mômen một hạt mZ và mN có giá trị d−ơng và âm ra. Trong số các tích phân trong (2.20) chúng ta hãy xét một ví dụ nh− tích phân đầu tiên có thể biến đổi ở dạng: ∞ (αZ +κm Z )/β I = ∫ ln[]1 + exp ()− βε + α Z + κm Z dε = ∫ (α Z + κm Z − βε )dε + 0 0 ()αZ +κm Z /β + ∫ ln[1 + exp( βε − α Z − κm Z )]dε + (2.21) 0 0 + ∫ ln[1 + exp( −βε + α Z + κm Z )]dε (αZ +κm Z )/β Khi tính tích phân trong (2.21), ta giả thiết rằng (α + kmZ) >> 1 tức là ta lại sử dụng gần đúng nhiệt độ thấp. Khi đó dễ dàng chứng tỏ rằng khi thay thế biến x = az + kmZ - βε và x = βε - αZ - kmZ , các tích phân thứ 2 và thứ 3 trong (2.21) đều bằng π2/(12β). Nh− vậy ta thu đ−ợc: 2 2 I = (αZ + kmZ) /(2β) + π /(6β) (2.22) Các giá trị của các tích phân còn lại trong (2.20) với độ chính xác đến dấu của km trùng với (2.22). Với lnQ chúng ta có: 42
43. π2g g ()α + κm 2 g ()α − κm 2 Z g ()α + κm 2 lnQ = Z Z Z + Z Z Z + + N N N + 4β 4β 6β 4β (2.23) π2g g ()α − κm 2 N g α2 g α2 α κ2gm2 + N N N + = = Z Z + N N + + 4β 6β 2β 2β β 2β ở đây đ−a vào các biểu diễn: 2 π 2 1 2 2 g = g + g ; a = g ; m = (m Z g + m g ). (2.24) Z N 6 g Z N N Hệ ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa có dạng: lnQ g α2 g α2 α κ2gm2 E = − = Z Z + N N + + (2.25a) ∂β 2β2 2β2 β2 2β2 Z = ∂ ln Q / ∂α Z = g Z α Z /β; (2.25b) (2.25c) N = ∂ ln Q / ∂α N = g N α N / β M = ∂ lnQ / ∂κ = κ g m2 / β; (2.25d) Khi sử dụng các hệ thức đối với trạng thái cơ bản của hệ: g ε2 g ε2 Z = g ε ; N = g ε ; E = Z FZ + N F N Z FZ N FN 0 2 2 và hệ thức K = Mβ/(gm2 ) mà nó đ−ợc suy ra từ (2.25g), không khó khăn gì chúng ta có thể thu đ−ợc ph−ơng trình trạng thái: U − M 2 (2gm2 )= a β2 = a t 2 (2.26) -1 ở đây t = β , U = E – E0 – năng l−ợng kích thích. Entrôpy của hệ có dạng: 2 2 S = βE − αZ Z − α N N − κM + ln Q = 2at = 2 a[U − M (2gm )]. (2.27) chúng ta đ−a vào biểu thức đối với đạo hàm bậc 2 của lnQ theo β, αZ, αN và K: 43
44. ∂ 2 ln Q g α2 g α2 κ2gm2 2a = Z Z + N N + + ∂β2 β3 β3 β3 β3; ∂ 2 ln Q g ∂ 2 ln Q g ∂ 2 ln Q gm2 = Z ; = N ; = ; ∂α2 β ∂β2 β ∂κ2 β 2 2 ∂ ln Q g Zα Z ∂ ln Q g Nα N = − 2 ; = − 2 ; ∂β ∂α Z β ∂β∂α N β ∂ 2 ln Q κ2gm2 ∂ 2 ln Q ∂ 2 ln Q ∂ 2 ln Q = − 2 ; = = = 0. ∂β∂κ β ∂α Z∂α N ∂α Z∂κ ∂α N∂κ Định thức ma trận của các đạo hàm bậc 2 tính tại điểm yên ngựa là: 2 6 D = 2 gg Z g N a m / β . th−ờng sử dụng gần đúng gZ = gN = g/2. Khi đó: 3 3 3 D = (6 π2 )a4 m2 /()2β6 = (6 π2 ) m2a[U− M2 /(2gm2 )] /2 (2.28) Thay (2.27) và (2.28) vào (1.102) đối với mật độ trạng thái ω( Z,N,E,M ) = = ω ( U, M) ta thu đ−ợc : ⎧ 2 2 ⎫ exp⎨ 2 a[U − M /(2gm )]⎬ ⎩ ⎭ ω()U,M = (2.29) 3 2 12 2gm2 [U − M2 /()2gm2 ] Biểu thức đối với mật độ trạng thái ở dạng (2.29) không phụ thuộc vào Z và N, và mọi đặc tr−ng của hệ trong ω chỉ thể hiện qua mật độ trạng thái một hạt tổng cộng g = gZ + gN và trung bình bình ph−ơng hình chiếu của mô men một 2 2 2 hạt m = (gZm Z + gNm N)/g. Kết quả này là do giả thiết về phổ một hạt phân -1 bố đều và gần đúng nhiệt độ thấp t = β << εFZ, t <<εFN . Trong hạt nhân nguyên tử, phổ các trạng thái một hạt không phải là phân bố đều. Trong gần đúng liên tiếp, mật độ trạng thái của hạt phụ thuộc vào năng l−ợng và hình chiếu mô men một hạt g(ε,m), đối với ω(Z,N,E,M) có thể thu đ−ợc biểu thức (2.29) [3]. Khi đó các thông số của hệ g và m2 đ−ợc xác định nh− sau: g = g Z + g N (2.30a) 2 2 2 m = (g Z m Z + g N m N ) g (2.30b) ở đây: 44
45. +∞ g τ = ∫ g τ ()ε Fτ , m τ dm τ (2.31a ) − ∞ +∞ 2 2 m τ = ∫ m τ g ()ε F τ , m τ dm τ / g τ (2.31b) − ∞ với τ = Z hoặc N. Nh− vậy mật độ trạng thái hạt nhân trong mẫu khí Fermi đ−ợc xác định bằng hai thông số : mật độ trạng thái một hạt g hoặc mật độ mức a = (π2/6)/g và trung bình của bình ph−ơng hình chiếu mô men một hạt m2 . Chúng ta sẽ tìm ra mối liên hệ của các đại l−ợng này với số nucleon [24, 25]. Điều này không khó thực hiện trong gần đúng giả hạt khi giả thiết rằng hạt nhân bao gồm các nucleon có khối l−ợng à chuyển động trong hố thế hình cầu có độ sâu vô hạn bán kính R = r0A1/3. Điều kiện l−ợng tử hoá đối với hạt không có spin liên quan tới số l−ợng tử chính n tức là số thứ tự của mức một hạt với mô men quỹ đạo l và năng l−ợng một hạt ε có dạng là [4]: ⎛ 1⎞ 1 R 2àε ()l+1/2 2 ⎜n+ ⎟π= ∫∫pdr= − dr (2.32) 2 2 2 ⎝ ⎠ h rmin h r ở đây rmin - giá trị bán kính trong đó xung l−ợng p tiến tới 0. Lấy tích phân trong (2.32) ta thu đ−ợc: ⎡ 2 2 ⎤ 1 1 2àεR ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ()l +1/ 2 ⎞ n + = ⎢ − ⎜l + ⎟ − ⎜l + ⎟arccos⎜ h ⎟⎥ (2.33) 2 π ⎢ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜ 2àε R ⎟⎥ ⎣ h ⎝ ⎠⎦ Mật độ trạng thái một hạt sẽ là: g ()ε, l = g S (2l + 1)dn / dε (2.34) Thừa số đầu tiên trong (2.34) đ−ợc xác định bằng biểu diễn của spin và spin đồng vị. Để đơn giản ta giả thiết rằng hạt nhân bao gồm số hạt proton và nơtron bằng nhau : Z = N = A/2. Vì thế gs = 4. Thừa số thứ hai dn/dε là mật độ mức một hạt, thừa số (2l+1) tính đến sự suy biến theo mô men quỹ đạo của mỗi mức một hạt. Khi đạo hàm (2.33) theo ε và thay vào (2.34) đối với g(ε, l) ta thu đ−ợc: 2 ⎛ 1⎞ ⎜l + ⎟ 4 ⎛ 1⎞ 2àε ⎝ 2⎠ g(ε,l)= ⎜l + ⎟R 2 − 2 (2.35) πε⎝ 2⎠ h R Chúng ta sẽ tìm ra đ−ợc mật độ trạng thái một hạt: 45
46. l 2 3 2 max 4 ε ⎛ 2à R ⎞ g ε = g ε, l dl = ⎜ ⎟ () ∫ ( ) ⎜ 2 ⎟ (2.36) 0 3π ⎝ h ⎠ Giới hạn trên lmax trong (2.36) đ−ợc chọn từ điều kiện là khi l = lmax thì xung l−ợng [ căn thức trong (2.35)] bằng 0. Số nucleon tổng cộng của hạt nhân trong trạng thái cơ bản bằng: 3 2 εF 8 ⎛ 2àε R2 ⎞ A = g()ε dε = ⎜ F ⎟ ∫ ⎜ 2 ⎟ (2.37) 0 9π ⎝ h ⎠ Từ đó, với năng l−ợng Fermi εF ta có: 2 2 3 h ⎛9πA⎞ εF = ⎜ ⎟ (2.38) 2àR2 ⎝ 8 ⎠ Thay (2.38) vào (2.36), đối với mật độ trạng thái một hạt ở năng l−ợng Fermi (εF) ta thu đ−ợc: 2 4àr0 g()εF = A (2.39) 2 1 2 2 ()3π h 2 4 3 2 π ⎛π⎞ 2àr 0 A a g A và thông số a sẽ là: = ()εF =⎜ ⎟ 2 = (2.40) 6 ⎝ 3⎠ h 13,5 ở đây a đ−ợc biểu thị trong đơn vị MeV-1. Ta thu đ−ợc đánh giá mới nhất trong (2.40) ở r0=1,2φm. Chúng ta đánh giá trung bình của bình ph−ơng hình chiếu của mô men một hạt m2 ở năng l−ợng Fermi. Do tính đối xứng cầu của hố thế : 1 1 l maxã m 2 = l 2 = l 2 g ε , l dl ∫ ()F (2.41) 3 3 g ()ε F 0 Thay (2.35) vào (2.41) và tích phân theo l ta thu đ−ợc 2 2 2 à l 0 5 / 3 ℑ TB m g()ε F = 2 A = 2 (2.42) 5 h h 2 5/3 ở đây ℑTB = (2/5)àr 0A - mô men quán tính của vật rắn hình cầu có khối 2 2 l−ợng m = àA và bán kính R = r0A1/3. Do vậy có thể coi đại l−ợng M /2g m ) trong công thức (2.26) nh− năng l−ợng quay, và m2 g theo đánh giá bán cổ điển (2.42) trùng với mômen quán tính của vật rắn hình cầu. Từ (2.42) hoàn toàn có thể thu đ−ợc : 46
47. 2 3 2 2 ()9π 2/3 m = A ≈0,31A 3 (2.43) 30 Khi mô tả mật độ trạng thái của hạt nhân th−ờng dùng các gần đúng của mômen nhỏ vào cỡ năng l−ợng quay M2/(2J) – nhỏ hơn nhiều năng l−ợng kích thích U[U<<M2/(2J)]. Trong gần đúng đó công thức (2.29) đối với ω(U,M) có dạng: exp (2 aU) ⎛ M2 ⎞ ω()U,M = exp⎜− ⎟ 1/4 5/4 ⎜ 2 ⎟ (2.44) 12 2 σa U ⎝ 2σ ⎠ ở đây σ2 – thông số phụ thuộc spin bằng: 2 2 2 σ =m gt =m g U/a (2.45) Vì các hệ thức của mẫu này đ−ợc sử dụng rộng rãi nên ta đ−a vào biểu thức đối với mật độ trạng thái toàn phần và cả mật độ mức ρ(U,j) và ρ(U). Mật độ trạng thái toàn phần ω(U) bằng: +∞ πexp2 aU ω U = ω U,M ≈ ω U,M dM= ( ) ()∑ ()∫ () 1/4 5/2 (2.46) M −∞ 12a U Công thức (2.44) có thể đổi sang dạng: exp[− M2 /(2σ2 )] ω()U,M = ω(U) (2.44a) 2πσ Sử dụng (1.105) và (2.44a) có thể tìm đ−ợc mật độ mức: ∂ω()U,M (2J +1)exp− (J +1/2)2 / 2σ2 ρ U,J ≈ − = [ ( )]ω U = () 3 () ∂M M=J+1/2 2 2π σ (2.47) ()2J +1 exp2 aU − ()J +1/2 2 /()2σ2 = []ω()U 24 2 σ3a1/4U5/4 Mật độ mức toàn phần ρ(U) bằng: ∞ exp(2 aU) ρ()U = ρ(U,J)≈ ρ(U,J)dJ = ∑ ∫ 1 / 4 5 / 4 (2.48) J 0 12 2 σa U Th−ờng các công thức (2.44) – (2.47) đ−ợc gọi là các hệ thức của mẫu khí Fermi. Lần đầu tiên chúng thu đ−ợc từ Bete [24] các hệ quả của những công thức này sẽ đ−ợc lặp lại trong một loạt công trình [2,3,26]. 2.4 ảnh h−ởng của cấu trúc lớp của phổ một hạt tới các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân. 47
48. Việc nghiên cứu các cộng h−ởng trong t−ơng tác của nơtron năng l−ợng En nhỏ với hạt nhân (En ≤ vài KeV) là nguồn thông tin chính về mật độ trạng thái hạt nhân ở năng l−ợng kích thích lớn. Khi ở năng l−ợng nhỏ do hàng rào thế xuyên tâm, các cộng h−ởng có l = 0 (cộng h−ởng s) xuất hiện mạnh hơn rất nhiều so với cộng h−ởng có l > 0. Từ điều kiện l = 0 suy ra rằng mô men góc Ir và độ chẵn lẻ πr của các trạng thái cộng h−ởng đ−ợc tính bằng công thức lọc lựa: Ir = I0 ± 1/2 ; πr = π0 (2.49) ở đây I0 và π0 – mômen góc và độ chẵn lẻ của trạng thái cơ bản của hạt nhân bia. Khoảng cách trung bình quan sát đ−ợc D giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s liên quan với mật độ mức hạt nhân ρ(U,J) bằng hệ thức: ⎧1 ⎡ ⎛ ∆E 1 ⎞ ⎛ ∆E 1 ⎞⎤ ⎪ ⎢ρ⎜U = Sn + ,I0 + ⎟ + ρ⎜U = Sn + ,I0 − ⎟⎥ khi I0 ≠ 0 2 ⎣ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎦ −1 ⎪ D = ⎨ (2.50) ⎪ 1 ⎛ ∆E 1 ⎞ ⎪ ρ⎜U = Sn + , ⎟ khi I0 = 0 ⎩ 2 ⎝ 2 2 ⎠ ở đây Sn – năng l−ợng liên kết của nơtron (với hạt nhân), ∆E – giới hạn khoảng năng l−ợng của nơtron mà D (∆E << Sn) đ−ợc xác định ở trong đó. Thừa số 1/2 t−ơng ứng với (2.49), các nơtron sóng s đ−ợc tách ra từ tập hợp chỉ những trạng thái có độ chẵn lẻ xác định (π0) mà khi đó cần bổ xung thêm là các trạng thái của hai loại chẵn lẻ có xác suất nh− nhau khi trạng thái kích thích của hạt nhân gần vùng năng l−ợng liên kết nơtron. Nếu trong (2.50) đối với mật độ mức ta sử dụng công thức (2.47) và theo giá trị D thực nghiệm ta tìm thông số a thì ta sẽ có sự khác biệt có hệ thống của các giá trị a đối với những hạt nhân lẻ – lẻ, lẻ và chẵn chẵn cạnh nhau. Điều này đ−ợc chỉ ra lần đầu tiên trong [27]. Hiệu ứng này đ−ợc quy cho là có sự tạo cặp trong hạt nhân [28], để kể đến chúng khi tính mật độ mức, trong các công thức (2.47) ; (2.48) ng−ời ta sử dụng năng l−ợng hiệu dụng U*: δp + δn với hạt nhân chẵn chẵn δp với hạt nhân chẵn lẻ U* = U - δn với hạt nhân lẻ chẵn (2.51) 0 với hạt nhân lẻ lẻ ở đây δp.n là các bổ chính do chẵn lẻ khác nhau tới năng l−ợng liên kết của hạt nhân. Các hiệu ứng chẵn lẻ này đ−ợc tìm thấy trong khối l−ợng hạt nhân và năng l−ợng liên kết của các nucleon và vì vậy sử dụng năng l−ợng tạo cặp trong công thức khối l−ợng bán thực nghiệm là điều tất yếu [29]. 48
49. Đối với phần lớn các hạt nhân, đã có thông tin hệ thống rộng rãi về các giá trị thực nghiệm đối với khoảng cách trung bình D giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s. Các số liệu thực nghiệm đối với D và năng l−ợng liên kết nơtron Sn và spin của hạt nhân bia đối với 6 hệ thống quen thuộc [26, 30 – 35] đ−ợc đ−a ra trong phụ lục. Các số liệu này cho cách nhìn cơ bản về các thông số mật độ mức của hạt nhân. Nếu lựa chọn hàm của trung bình bình ph−ơng hình chiếu của mômen một hạt m2 phụ thuộc vào số khối A thì dựa trên số liệu thực nghiệm của khoảng cách trung bình giữa các cộng h−ởng nơtron sóng s và nhờ hệ thức (2.47) và (2.50) có thể tính thông số mật độ mức aexp. Ng−ời ta th−ờng sử dụng biểu thức m2 = αA2/3 để mô tả sự phụ thuộc m2 = f(A), khi đó trong một số công trình khác [26, 31] ng−ời ta lựa chọn α = 0,146, còn trong các công trình khác nữa [33, 36, 37] ng−ời ta lựa chọn α=0,24 sử dụng mô men quán tính của một vật rắn. Các lựa chọn hệ số α khác nhau có liên quan tới giá trị tuyệt đối của thông số mật độ mức aexp, nh−ng sự phụ thuộc của thông số a vào số khối A luôn tuân theo hiệu ứng : giá trị thông số A ở hạt nhân magic, đặc biệt là loại hạt nhân hai lần magic nhỏ hơn rất nhiều ở các hạt nhân trung gian, không magic. Hiện t−ợng này thể hiện rõ ở hình 2.2. Sự thay đổi nh− vậy của thông số a tất nhiên liên quan tới cấu trúc lớp của phổ một hạt. Phổ một hạt của hạt nhân nguyên tử tất nhiên là không đồng nhất theo năng l−ợng suy biến của sinh mức cụ thể trên hình 1.5. Vì vậy rất cần thiết nghiên cứu sự ảnh h−ởng của cấu trúc lớp của phổ một hạt tới các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân. Các vấn đề này đ−ợc nghiên cứu tỉ mỉ trong [15, 38 – 42] ở đó đ−a ra sự khác biệt rất lớn các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân so với mẫu khí Fermi. Hình 2.2. Sự phụ thuộc thông số mật độ mức a vào số khối A [31]. Chúng ta hãy xét tr−ờng hợp đơn giản là hệ một thành phần. Để nhận đ−ợc ω(N,E) theo các công thức (1.94)-(1.96) cần bằng cách giải hệ ph−ơng trình (2.7) tìm đ−ợc toạ độ điểm yên ngựa β0 và α0 mà nhờ chúng, ta tính đ−ợc entrôpy S theo công thức (2.8) và định thức của ma trận các yếu tố đạo hàm bậc 49
50. hai theo công thức (2.9). Bài toán này đ−ợc giải ở [38] mà cụ thể đã nghiên cứu sự phụ thuộc năng l−ợng của nhiệt độ t, entrôpy S và thông số mật độ mức a đối với hệ proton có Z = 40 – 50 với phổ một hạt của thế Ninxơn [14]. Nghiên cứu hệ nh− vậy sẽ đ−a lại khả năng tìm hiểu khá kỹ ảnh h−ởng của mức độ lấp đầy của mức một hạt, trong tr−ờng đã cho là của mức 1g g/2 tới dạng đặc tr−ng thống kê của hệ. Nếu với hệ có phổ dãn cách đều, ý nghĩa vật lý của thông số g(a = (π2/6)g) là đã biết (đây là số trạng thái một hạt trong một khoảng năng l−ợng) thì đối với hệ có phổ cấu trúc lớp không đồng nhất, nói một cách chặt chẽ không thể chỉ ra đặc tr−ng nh− vậy. Tuy nhiên có thể đ−a một số đại l−ợng mà trong mẫu khí Fermi chúng trùng với thông số a vào ví dụ khảo sát. Ví dụ sau khi tính S và t phụ thuộc vào U có thể xác định a bằng một số cách : a’ = S2/(4U) ; a”=U/t2 ; a’’’ = S/(2t) (2.52) Nếu phổ một hạt của hệ là dãn cách đều thì a’ = a” = a”’ và các giá trị này không phụ thuộc U. Hình 2.3. Thông số a’(U) đối với hệ proton với độ lấp đầy mức1g9/2 khác nhau [38]. Trên hình 2.3 chỉ ra sự phụ thuộc năng l−ợng của thông số a’ tính theo công thức (2.52) đối với hệ proton có Z = 40 - 50 với phổ một hạt của thế Nilxon. Rất đáng l−u ý sự thay đổi của a’ ở vùng năng l−ợng kích thích thấp. Với sự giảm U khi Z bằng 42, 44, 46, 48, thông số a’ tăng còn Z bằng 40, 50 thì a’ lại giảm. Đặc tính nh− vậy đ−ợc giải thích rất đơn giản : Thông số a thực tế là xác định mức độ kích thích của hệ, khi cùng một giá trị năng l−ợng kích thích U, số trạng thái kích thích lớn sẽ t−ơng ứng với hệ có giá trị a lớn. Các hệ với Z bằng 40 và 50 t−ơng ứng với sự lấp đầy của các mức một hạt ở trạng thái cơ bản, khi mức 1g9/2 hoặc hoàn toàn trống (Z = 40), hoặc hoàn toàn bị lấp đầy (Z=50). ở vùng năng l−ợng kích thích nhỏ của hệ, ví dụ với Z = 50, các hạt cần phải có năng l−ợng khá lớn khoảng 3 MeV - để chiếm mức tự do 1g7/2 nằm gần mức 1g- 9/2 nhất. Trong tr−ờng hợp này hệ không dễ bị kích thích và nh− vậy thông số a bị giảm ở vùng năng l−ợng kích thích thấp. Đối với hệ có Z = 42 – 48, lớp vỏ không bị chiếm hoàn toàn và ở vùng năng l−ợng kích thích “vấn đề” nói trên không tồn tại : Hệ thống bị kích thích do các hạt từ mức một hạt 2p1/2 và 2p3/2 50
51. chuyển tới mức 1g9/2 gần nhất. Khi năng l−ợng kích thích lớn U>>3 MeV lúc bấy giờ có các mức một hạt khác tham dự vào, a’ của hệ với Z khác nhau phụ thuộc yếu vào U. Khi nghiên cứu đặc tr−ng thống kê của hạt nhân nh− một hệ hai thành phần proton và nơtron ng−ời ta th−ờng sử dụng gần đúng mômen nhỏ mà trong gần đúng đó, các hệ thức cần thiết để tính mật độ trạng thái trong mẫu các hạt độc lập có dạng: ω(Z, N,U) ⎛ M2 ⎞ ω Z, N,U,M = exp⎜− ⎟ () ⎜ 2 ⎟ (2.53) 2π σ ⎝ 2σ ⎠ ở đây mật độ toàn phần expS ω()Z,N,U = (2.54) ()2π 3/2 D1/2 Entrôpy S của hệ: ⎧ ⎫ S = ∑∑⎨ []β()ετν − λ τ nτν − ln()1 − nτν ⎬ (2.55) τν=Z,N ⎩ ⎭ σ2 – thông số phụ thuộc spin. 2 ⎡ 2 ⎤ σ = ∑∑m τν n τν (1− n τν ) (2.56) τν=Z,N ⎣⎢ ⎦⎥ Định thức D có dạng : D D D ββ βα Z βα N D = D D D βαZ αZαZ α α N Z (2.57) Dβα D D N α α α α N Z N N ở đây ⎡ 2 ⎤ Dββ = ∑∑⎢ ετνnτν()1−nτν ⎥ (2.58a) τ=Z,N ⎣ ν ⎦ D = ε n 1− n β αZ ∑ Zν Zν ()Zν (2.58b) ν D = n 1 − n αZαZ ∑ Zν ( Zν ) (2.58c) ν 51
52. D = 0 αZαN (2.58d) Các đại l−ợng DβαN và DαNαN thu đ−ợc từ (2.58b) và (2.58c) bằng cách thay đổi chỉ số Zν sang Nν. Trong các công thức (2.55) - (2.58) nτν là trung bình của số trạng thái một hạt bị lấp đầy. −1 n τν = {}1 + exp [β (ε τν − λ τ )] (2.59) đối với thành phần proton (τ = Z) và nơtron (τ = N), λτ = ατ/β. Entrôpy S và định thức D cần đ−ợc tính ở điểm yên ngựa β0, αZ0 và αN0 mà điểm này đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình: ⎛ ⎞ ⎫ U = ∑∑⎜ ∑ ε τν n τν − ε τν ⎟ ⎪ τε= Z , N ⎝ ν ε τυ < τF ⎠ ⎬ (2.60) Z = ∑∑n Z ν ; N = n N ν ⎪ ν ν ⎭ Trong tính toán mômen quán tính J, trung bình bình ph−ơng hình chiếu của mômen một hạt m2 và thông số a ng−ời ta th−ờng sử dụng các hệ thức [15]: J = σ2β = σ2t (2.61) 2 2 σ m = (2.62) ⎡ ⎤ ∑∑⎢ nτν()1− nτν ⎥ τ=Z,N ⎣ ν ⎦ π2 ⎡ ⎤ a = β ∑∑⎢ nτν()1−nτν ⎥ (2.63) 6 τ=Z,N⎣ ν ⎦ Dạng phụ thuộc năng l−ợng của thông số a đối với hạt nhân nh− hệ hai thành phần không phải luôn rõ ràng và không đơn giản nh− trong ví dụ đ−ợc khảo sát ở trên. Tuy nhiên với hạt nhân hai lần magic hầu nh− rõ ràng là a giảm khi năng l−ợng kích thích giảm, đối với hạt nhân không magic thì a tăng khi U giảm. Đối với hạt nhân biến dạng phổ một hạt của chúng gần với dạng phân bố đều, giá trị a hầu nh− là hằng số với U. Đặc tính nh− vậy của a’(U) đ−ợc tính theo (2.55) – (2.60) có thể thấy trên hình 2.4. 52
53. Trong mẫu khí Fermi trừ thông số a các đại l−ợng trung bình bình ph−ơng hình chiếu của mômen một hạt m2 và mô men quán tính J là hằng số không phụ thuộc vào năng l−ợng kích thích. Cấu trúc lớp của phổ một hạt thể hiện sự phụ thuộc năng l−ợng của các đại l−ợng nói trên trong đó sự phụ thuộc năng l−ợng thể hiện khá mạnh trong các đặc tr−ng của các hạt nhân hai lần magic. Trên hình 2.5 cho thấy các đặc tr−ng thống kê đ−ợc tính cho hạt nhân Pb208. Mặc dù giá trị tuyệt đối của các đại l−ợng đối với hai phổ một hạt khác nhau nh−ng trên hình vẽ cho thấy khá rõ dạng phụ thuộc năng l−ợng của a, m2 và J. Khi nghiên cứu các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân trong mẫu các hạt độc lập th−ờng sử dụng sự gần đúng của mô men nhỏ. Các kết quả của tính toán chính xác [43] các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân Pb208 chứng tỏ rằng có sự lệch khỏi gần đúng mômen nhỏ xuất hiện chỉ ở các giá trị mô men góc đủ lớn. Cũng nên l−u ý rằng sự phụ thuộc năng l−ợng của các thông số hiệu dụng a’ và f trong mẫu lớp tồn tại chỉ khi năng l−ợng kích thích U không lớn. Khi năng l−ợng kích thích cao khoảng 100 MeV, sự phụ thuộc này bị triệt tiêu và các thông số a và J nhận giá trị tiệm cận của mình với dạng phụ thuộc trơn vào số khối A (hình 2.6, 2.7). Từ các hình vẽ thấy rõ ràng là khi U = 7 MeV, trong dạng phụ thuộc của a và J vào A có cấu trúc lớp cụ thể là xuất hiện sự thay đổi lớn của thông số a trong vùng hạt nhân hai lần magic. Trong khi đó ở U = 100 MeV thì các đại l−ợng trên lại đơn điệu thay đổi theo A. Tuy nhiên chúng ta nhận thấy rằng giá trị tiệm cận của các thông số hiệu dụng phụ thuộc vào phổ 53
54. các trạng thái một hạt. Các tính toán [15] chứng tỏ rằng đối với phổ của thế Nilxon [14]: a = ()0.105 ± 0.005 A ⎫ 2 2 / 3 ⎪ m = ()0.290 ± 0.005 (1 − 2 / 3ε)A ⎬ (2.64) 5 / 3 2 ⎪ J = ()0.0185 ± 0.0005 (1 − 2 / 3ε)A h ⎭ và đối với phổ của thế Xacxon – Wud: a = ()0 .090 ± 0 .005 A ⎫ 2 2 / 3 ⎪ m = ()0 .263 ± 0 .005 (1 − 2 / 3ε ) A ⎬ (2.65) 5 / 3 2 ⎪ J = ()0 .0144 ± 0 .0005 (1 − 2 / 3ε ) A h ⎭ ở đây ε - thông số biến dạng tứ cực [14], các đại l−ợng a và J có đơn vị MeV-1. Hình 2.6. Sự phụ thuộc a vào số khối A tính trong mẫu các hạt độc lập. • Tính cho phổ một hạt của hạt nhân. o Tính cho hạt nhân biến dạng. 54
55. Hình 2.7. Sự phụ thuộc J vào A, ký hiệu • và o giống nh− ở hình 2.6. 55
56. Ch−ơng 3 mật độ trạng thái trong mẫu siêu chảy 3.1 Các hệ thức cơ bản: Chúng ta nghiên cứu ảnh h−ởng của t−ơng tác cặp d− lên các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân nguyên tử đối với hệ hạt Fermi độc lập cùng loại với Hamilton của mẫu siêu chảy dạng: Hˆ = ε a + a − G a + a + a a (3.1.) ∑ν νσ νσ ∑ν + ν − ν ' − ν ' + νσ νν ' ở đây εν - năng l−ợng của các trạng thái một hạt mà chúng suy biến bậc hai theo + dấu của hình chiếu của mômen góc tức là σ = ± ; a νσ và aνσ là các toán tử sinh và huỷ hạt ở các trạng thái ν, σ ; G - yếu tố ma trận của t−ơng tác cặp d− giữa các nucleon. Đối với toán tử số hạt toàn phần ta có: ˆ + N = ∑aνσ aνσ (3.2) νσ Có thể tính toán các đặc tr−ng thống kê của hệ nh− vậy nhờ công cụ toán học của lý thuyết siêu chảy [44, 45]. Để làm việc đó, cần chuyển từ Hamilton với t−ơng tác cặp (3.1) sang Hamilton của các giả hạt độc lập mà dạng t−ờng minh của chúng có thể tìm đ−ợc nhờ phép biến phân Khatri - Phốc - Bôgôliubôv [45]. Giải pháp nh− vậy đ−ợc sử dụng trong [38-42, 46-52] khi tính mật độ trạng thái. Chúng ta nhận thấy rằng trong bài toán về mật độ trạng thái có một loạt tính đặc biệt liên quan tới một loạt các b−ớc thực hiện của ph−ơng pháp biến phân và sự tính toán các tích phân t−ơng ứng trong (1.87). Vấn đề này đ−ợc khảo sát trong [52], mà công trình này đã chứng minh rằng để thu đ−ợc dạng chính xác của các đặc tr−ng thống kê của hệ cần tính các tích phân và sau đó mới chuyển hoàn toàn sang Hamilton chuẩn. Sử dụng đánh giá nh− vậy đối với bài toán của chúng ta, nhờ các hệ thức (1.94) – (1.99) đối với mật độ trạng thái ta có thể viết: ω(N, E) = (2π)−1 D −1/ 2 expS (3.3) ⎧ ⎫ ở đây S = β E − αN + ln Sp ⎨exp [− β (Hˆ − λ Nˆ )] ⎬ (3.4) ⎩ ⎭ 2 Hˆ 2 − Hˆ Hˆ Nˆ − Hˆ Nˆ D = 2 (3.5) Hˆ Nˆ − Hˆ Nˆ Nˆ 2 − Nˆ Các giá trị S và D cần đ−ợc tính theo β và α = λβ mà ta thu đ−ợc chúng từ nghiệm của các ph−ơng trình đối với điểm yên ngựa: E = Hˆ , N = Nˆ (3.6) 56
57. ở đây trung bình của các toán tử đ−ợc xác định theo tổng thống kê đầy đủ bằng hệ thức (1.97). Chúng ta chuyển tới biểu diễn các giả hạt [45] nhờ phép biến đổi chính tắc: + a νσ = uνα − + σvνανσ ⎫ ν σ ⎬ (3.7) a + = u α+ + σv α νσ ν ν −σ ν νσ ⎭ tức là chuyển từ toán tử hạt sang toán tử giả hạt. Các toán tử sinh và huỷ giả hạt + + α νσ và ανσ thoả mãn các hệ thức giao hoán nh− là các toán tử a νσ và aνσ : + + + {ανσ ,α ' ' }= ανσα ' ' + α ' ' ανσ = δ ' δ ' ⎫ ν σ ν σ ν σ νν σσ ⎬ (3.8) α ,α = α+ ,α+ = 0 {}νσ ν'σ' {}νσ ν'σ' ⎭ Từ hệ thức giao hoán (3.8) và (1.60) suy ra rằng: 2 2 u ν + v ν = 1 (3.9) trong đó uν và vν là số thực với số lấp đầy giả hạt hữu hạn. Nhờ (3.7) đối với toán tử Hamilton suy rộng (Hˆ −λNˆ ) có thể thu đ−ợc: Hˆ −λNˆ =∑()ε −λ u2 −v2 ()nˆ +nˆ +2v2 +2v u α α +α+ α+ −G∑Bˆ + Bˆ (3.10) ν [( ν ν ) ν+ ν− ν ν ν( ν+ ν− ν− ν+ )]ν ν' ν νν' + ở đây nˆ νσ = ανσανσ (3.11) là các toán tử giả hạt và: ˆ 2 + + 2 + Bν = u να ν −α ν + − v να ν + α ν − + u ν v ν (1 − nˆ ν + − nˆ ν − ) (3.12) 2 Các toán tử nˆ νσ thoả mãn ph−ơng trình nˆ νσ = nˆ νσ và do vậy các giá trị riêng của toán tử nˆ νσ bằng 0 hoặc bằng 1. ˆ Chúng ta xác định Hamilton chuẩn H0 bằng biểu thức: ˆ + H 0 = U 0 + ∑ E ν α ν σ α ν σ (3.13) ν σ và sẽ khảo sát trung bình thống kê theo Hamilton của mẫu: ˆ ˆ ˆ ˆ A = Sp[A exp (− βH 0 )]/ Sp[exp (− βH 0 )] (3.14) 0 Các giá trị U0 và Eν và cả uν và vν đều đ−ợc tìm thấy từ điều kiện mô tả tốt nhất ˆ ˆ ˆ H−λN . Hamilton H0 với độ chính xác đến phần không đổi U trùng với 0 0 Hamilton của mẫu các hạt độc lập (2.1a). Vì thế đối với lnQ có thể viết: ⎪⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎪⎫ ⎜ + ⎟ ln Q = lnSp⎨exp⎢− β⎜U 0 + ∑ E νανσαν σ ⎟⎥⎬ = −βU 0 + 2∑ln[]1+ exp()− βE ν (3.15) ⎩⎪ ⎣ ⎝ νσ ⎠⎦⎭⎪ ν 57
58. Chúng ta biến đổi Hamilton suy rộng (3.10) sau khi đ−a vào nó chỉ những + thành phần có số toán tử sinh α νσ và huỷ ανσ bằng nhau bởi vì chỉ chúng mới có đóng góp khác không vào giá trị trung bình của Hˆ −λNˆ : 0 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 4 4 ˆ ˆ 4 ˆ ˆ H−λN = ∑()εν −λ []uν (nν+ + nν− )+ vν (2−nν+ −nν− ) −G∑[(uν + vν )nν−nν+ + vν (1−nν− −nν+ )]− νν −G u v u ' v ' 1− nˆ + nˆ − nˆ ' + nˆ ' + nˆ + nˆ nˆ ' + nˆ ' ∑ ν ν ν ν []()ν+ ν− ()ν + ν − ()ν+ ν− ()ν + ν − νν' (3.16) Từ (3.16) thấy rằng để thu đ−ợc Hˆ −λNˆ cần thiết tính trung bình của các giá trị 0 0 , 0 và 0. Sử dụng (3.15) ta sẽ có: ˆ ˆ Sp[nˆ νσ exp(−βH0 )] 1 ∂lnSp[exp(−βH0 )] −1 nˆ = = − = []1+exp()βE = n νσ 0 ˆ ν ν Spexp()−βH0 2β ∂Eν (3.17) là trung bình số giả hạt lấp đầy. ˆ Chúng ta dễ dàng tính giá trị trung bình của 0 khi Hamilton H0 đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: ∧ ⎛ ∧ ∧ ⎞ H0 = U0 + ∑⎜Eν + nν + Eν − nν− ⎟ ν ⎝ ⎠ và sau khi thu đ−ợc giá trị trung bình ta làm phép cân bằng Eν+ = Eν- = Eν. Khi đó đối với lnQ ta sẽ có: lnQ = −βU0 +∑ln[]1+exp−(βEν+ _) +∑ln[1+exp(−βEν)] ν ν Khi tính các đạo hàm: 2 ˆ ˆ ˆ ∂ lnQ Sp[nˆ ν+ exp(−βH0 )] Sp[nˆ ν− exp(−βH0 )] Sp[nˆ ν+nˆ ν− exp(−βH0 )] = − + = 0 β2∂E ∂E ˆ 2 Spexp(−βHˆ ) ν+ ν− {}Sp[]exp(−βH0 ) []0 ta thu đ−ợc: 2 nˆ ν+nˆ ν− = nνσ (3.18) T−ơng tự đối với 0: ∂ 2 lnQ = − nˆ + + nˆ − nˆ '+ + nˆ '− + (nˆ + + nˆ − )(nˆ '+ + nˆ '− ) = 2 ν ν 0 ν ν 0 ν ν ν ν β ∂E ν∂E ν' 2 δ νν ' exp( β E ν ) = 2 = 2 δ νν ' n ν (1 − n ν ) []1 + exp( β E ν ) 58
59. Từ đó (nˆν+ +nˆν−)()nˆ ' +nˆ ' =4nνn ' +2δ 'nν(1−nν ) (3.19) ν + ν − 0 ν νν ∧ ∧ và đối với 0 ta dễ dàng thu đ−ợc: ˆ ˆ ⎡ ⎛ 2 2 ⎞⎤ ⎡ 4 2 2 4 2 ⎤ H−λN = 2 ()εν −λ ⎜uν nν + vν ()1−nν ⎟ − G uν nν +2uν vν nν (1−nν )+ vν ()1−nν − 0 ∑∑⎢ ⎥ ⎢ ⎥ νν⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ' ⎛ 2 2 ⎞⎤ 2 −G u v u v 1−2n ì 1−2n = 2 ε −λ ì u n + v 1−n − ∆ / G ∑ν ν ν' ν' ()ν (ν' )∑⎢()ν ⎜ ν ν ν ()ν ⎟⎥ νν' ν ⎣ ⎝ ⎠⎦ (3.20) Các mức năng l−ợng một hạt tái chuẩn hoá đã đ−ợc đ−a vào đẳng thức cuối cùng của (3.20): 2 2 εν'= εν −(G/ 2)[uν nν +vν(1−nν )] vàhàm t−ơng quan: ∆=G∑uνvν(1−2nν) (3.21) ν Trong phép tái chuẩn hoá tiếp theo, chúng ta sẽ bỏ qua các mức một hạt bởi vì khi xác định εν các hiệu ứng t−ơng quan cần phải bị loại trừ và vì thế thay cho ε'ν chúng ta lại sử dụng ký hiệu εν. Chúng ta xác định giá trị các hệ số uν và vν mà khi đó trung bình của Hˆ −λNˆ cực tiểu. Để làm vậy, ta cho đạo hàm biến 0 phân toàn phần bằng 0: ⎛ ˆ ⎞ δ⎜ H − λN − uνvν ⎟ = 0 (3.22) 0 ∑ ⎝ ν ⎠ 2 2 ở đây nν = u ν+v ν-1: điều kiện liên kết (3.9) tác động lên các hệ số uν và vν ; àν - các thừa số bất định Lagrăng. Khi tính đạo hàm biến phân theo uν và vν ta thu đ−ợc: 2(εν −λ)uν nν − vν (1− 2nν)∆ −àuν = 0 2(εν −λ)vν (1− nν) −uν(1− 2nν )∆ −àvν = 0 Từ đó suy ra ph−ơng trình thứ hai để xác định hệ số uν và vν: 2 2 2()εν − λ u ν vν = (u ν − vν )∆ (3.23) Hệ ph−ơng trình (3.9) và (3.23) có hai nghiệm. Nghiệm thứ nhất là uνv'ν=0 và ∆=0 t−ơng ứng với mẫu các hạt độc lập. Khi đó: u ν = 1 − Θ ()ε ν − λ ; v ν = Θ (ε ν − λ) (3.24) 1 , x > 0 ⎪⎧ ở đây Θ ()x = ⎨ (3.24a) 0 , x < 0 ⎩⎪ 59
60. Trong tr−ờng hợp nghiệm không tầm th−ờng khi uν, vν ≠ 0, với các hệ số uν và vν ta sẽ có: ⎛ ⎞ 2 1 ⎜ εν −λ ⎟ uν = 1+ (3.25a) 2 ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ ()εν −λ + ∆ ⎠ ⎛ ⎞ 2 1 ⎜ εν − λ ⎟ vν = 1 − (3.25b) 2 ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ ()εν − λ + ∆ ⎠ Thay thế (3.25) vào (3.21) ta thu đ−ợc ph−ơng trình đối với hàm t−ơng quan: 2 1− 2n = ν (3.26) ∑ 2 2 G ν ()εν − λ + ∆ Năng l−ợng của các trạng thái giả hạt Eν đ−ợc tìm ra từ điều kiện δ ˆ ˆ ˆ H−λN−H0 = 0. Trong biến phân, các hệ số uν và vν đ−ợc coi là hằng số. 0 δnν Từ (3.13) và (3.20) suy ra: δ Hˆ −λ Nˆ − Hˆ 0 2 2 = 2()εν −λ (u ν − v ν )+ 4u ν v ν ∆ −2E 0 = 0 δn ν Từ đó nhờ (3.25) ta có: 2 2 Eν = ()εν −λ +∆ (3.28) ∧ ∧ ∧ Dựa trên đẳng thức 0 = 0 ta có: ∆2 U0 = ∑[()εν −λ −Eν ]+ (3.29) ν G và kết quả là chúng ta thu đ−ợc: 2 ⎡ ⎤ 2 ˆ ˆ ∆ εν − λ ∆ H − λN = []()εν − λ − Eν ()1− 2nν + = (εν − λ) 1− (1− 2nν )− 0 ∑ ∑ ⎢ ⎥ ν G ν ⎣ Eν ⎦ G (3.30) ˆ Giá trị trung bình của toán tử số hạt 0 có dạng: ˆ + 2 2 ⎡ εν − λ ⎤ N = ∑a ν σa νσ = 2 ∑ []u ν nˆ ν + v ν ()1+ 2 n ν = ∑ ⎢1− ()1− 2n ν ⎥ (3.31) 0 E νσ 0 ν 0 ν ⎣ ν ⎦ Nh− vậy khi thực hiện đánh giá nói trên, chúng ta đã chuyển từ việc khảo sát hệ ˆ hạt Fermi t−ơng tác sang nghiên cứu hệ các giả hạt độc lập. Hamilton H 0 (3.13) về dạng trùng với Hamilton (2.1a) của mẫu các hạt độc lập đến độ chính xác tới 60
61. thành phần U0. Vì thế t−ơng ứng với trong mục Đ2.1, đối với entrôpy S của hệ có thể thu đ−ợc: S = 2∑ [βEνnν − ln(1− nν )] (3.32) ν Các ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa β0 và α0 = β0λ có dạng: ⎡ ⎤ 2 ˆ εν − λ ∆ E = H = εν 1− ()1− 2nν − (3.33a) 0 ∑ ⎢ ⎥ ν ⎣ Eν ⎦ G ⎡ ⎤ ˆ εν − λ N = N0 = ∑⎢1− ()1− 2nν ⎥ (3.33b) ν ⎣ Eν ⎦ −1 −1 ⎪⎧ ⎡ 2 2 ⎤ ⎪⎫ ở đây nν = []1+exp(βEν ) = ⎨1+exp⎢β ()εν −λ +∆ ⎥ ⎬ (3.34) ⎩⎪ ⎣ ⎦ ⎭⎪ là trung bình số lấp đầy các giả hạt. Bằng cách t−ơng tự ta tính đ−ợc các trung bình theo Hamilton chuẩn mà các giá trị trung bình này cần thiết cho việc tính định thức D (3.5): 2 ⎡ ⎤ ⎪⎧ ⎡ ∆ 2 ⎤⎪⎫ D = 4 E2n (1− n ) ì n 1− n + 1− 2n ⎢∑ ν ν ν ⎥ ⎨∑ ⎢ ν ()ν 2 ()ν ⎥⎬ (3.35) ⎣ ν ⎦ ⎩⎪ ν ⎣ 2Eν ⎦⎭⎪ Các hệ thức thu đ−ợc đủ để tính mật độ trạng thái ω(N,E). Để làm vậy cần tìm β, λ và ∆ ở N và E đã biết khi giải các ph−ơng trình (3.33) cùng với (3.26), sau đó theo các công thức (3.32) và (3.35) tính S và D rồi thay chúng vào (3.3) để thu đ−ợc mật độ trạng thái của hệ từ N hạt ở năng l−ợng E đã cho tr−ớc. Trong mẫu này ở gần đúng mô men nhỏ, biểu thức xác định mật độ trạng thái ω(N,E,M) có dạng giống nh− (2.44a) ở mẫu các hạt độc lập: ω()N, E ⎛ M 2 ⎞ ω N, E, M = exp⎜− ⎟ (3.36) () ⎜ 2 ⎟ 2πσ ⎝ 2σ ⎠ Thông số phụ thuộc spin σ2 và mômen quán tính đ−ợc xác định nh− sau: 2 −1 2 σ = β ; ℑ = 2∑mν nν (1− nν ) (3.37) ν Sự khác biệt với mẫu các hạt độc lập xuất hiện chỉ trong số trung bình các lấp đầy mà với chúng phải sử dụng công thức (3.34). 3.2 Hiệu ứng cặp gần trạng thái cơ bản: Chúng ta xem xét đặc tr−ng của hệ có sự t−ơng tác t−ơng quan gần trạng thái cơ bản. Để làm điều đó, ta cho nhiệt độ hạt nhân t = β-1 h−ớng tới không t−ơng ứng β→∞. Khi đó từ (3.34) suy ra rằng tất cả nν = 0 và các ph−ơng trình (3.33) và (3.26) có dạng : 61
62. 2 ⎡ ε − λ ⎤ ∆ 0 E = ε ⎢1 − ν 0 ⎥ − (3.38a) 0 ∑ ν 2 2 ν G ⎣⎢ (ε ν − λ 0 ) + ∆ 0 ⎦⎥ ⎡ ⎤ ε − λ N = ∑⎢1− ν 0 ⎥ (3.38b) ν ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ (εν −λ0 ) +∆0 ⎦ 2 1 = (3.38c) ∑ 2 2 G ν ()εv − λ0 + ∆ 0 Nghiệm các ph−ơng trình này cho phép xác định thế hoá học λ, hàm t−ơng quan ∆0 và năng l−ợng E0 của trạng thái cơ bản của hệ. Không cần thiết gán cho năng l−ợng E0 giá trị đặc biệt vì ở nó đ−ợc dùng chủ yếu để xác định năng l−ợng kích thích: ⎡ ⎤ 2 2 ε ()ε − λ ε (ε − λ )1− 2n v 0 ⎢ v v v v ( ) ⎥ ∆ − ∆ U = E − E 0 = ∑ − − + (3.39) ⎢ 2 2 2 2 ⎥ G ⎣ ()ε v − λ + ∆ 0 ()ε v − λ + ∆ 0 ⎦ Bởi vì lực t−ơng tác cặp là lực kéo, trạng thái siêu chảy của hệ có ∆0 ≠ 0 là trạng thái cơ bản của hệ. Điều này có nghĩa là ở trạng thái cơ bản, năng l−ợng của hệ có ∆0 ≠ 0 nhỏ hơn năng l−ợng của hệ hạt độc lập với ∆ = 0. Chúng ta chứng minh điều này: Chúng ta tính năng l−ợng tích tụ Ett bằng hiệu số năng l−ợng ở trạng thái cơ bản của hệ hạt độc lập với ∆= 0 và hệ hạt t−ơng tác có ∆0 ≠ 0 [47] : ˆ ˆ ˆ ˆ Ett = H − λN − H − λN = ∆0 =0 ∆0 ≠0 ⎛ ε − λ ⎞ ⎛ ε − λ ⎞ ∆2 (3.40) ⎜ ν 0 ⎟ ⎜ ν 0 ⎟ 0 = ()εν − λ0 1− − ()εν − λ0 1− + ∑ ⎜ ⎟ ∑ ⎜ 2 2 ⎟ ν εν − λ0 ν G ⎝ ⎠ ⎝ ()εν − λ + ∆ 0 ⎠ Để đánh giá Ett chúng ta giả định rằng phổ các trạng thái một hạt của hệ là rời rạc và có mật độ g. Trong gần đúng liên tiếp với Ett ta có: ∞ ⎡ 2 2 ⎤ g (εν − λ0 ) ∆0 Ett = ⎢ + − εν − λ0 ⎥dε (3.41) 2 ∫ ⎢ 2 2 2 2 ⎥ 0 ⎣ ()εν − λ0 + ∆0 2 ()εν − λ0 + ∆0 ⎦ Hàm d−ới dấu tích phân đối xứng đối với λ0 và đóng góp cơ bản vào tích phân (3.41) là do vùng năng l−ợng ⏐ε-λ0 ⏐ > ∆0 ta dễ dàng thu đ−ợc: γ ⎛ 2 2 ⎞ g ⎜ x ∆0 ⎟ 2 Ett = + − x dx = g∆0 / 4 (3.42) 2 ∫⎜ 2 2 2 2 ⎟ −γ ⎝ x + ∆0 2 x + ∆0 ⎠ 62
63. Nh− vậy năng l−ợng trạng thái cơ bản của hệ có t−ơng tác cặp nhỏ hơn 2 năng l−ợng trạng thái cơ bản của hệ hạt độc lập là Ett =g∆ 0/4. Chúng ta khảo sát trạng thái cơ bản kích thích đầu tiên của hệ chẵn. Chân không giả hạt là trạng thái cơ bản đầu tiên. Để kích thích hệ nh− vậy cần sinh ra một cặp giả hạt. Vì vậy năng l−ợng E1h của trạng thái kích thích đầu tiên sẽ gồm cả năng l−ợng của hai giả hạt (3.28). 2 2 2 2 E1 = ()ε1 − λ 0 + ∆ 0 + (ε2 − λ 0 ) + ∆ 0 ≥ 2∆ 0 (3.43) Do vậy trong phổ của hệ chẵn sẽ có suy biến năng l−ợng bậc 2∆0 khi đó là năng l−ợng liên kết cặp. Th−ờng thì hệ thức (3.43) đ−ợc nêu ra nh− một kết quả của việc tạo nên một trạng thái liên kết bởi các cặp hạt hút nhau. Vì vậy ng−ời ta th−ờng gọi năng l−ợng 2∆0 là năng l−ợng cặp là năng l−ợng cần thiết để phá vỡ chúng. Tuy nhiên ý nghĩa về các cặp liên kết không chỉ là câu chữ [10]. Phổ kích thích của hệ lẻ không có những tính chất trên vì trạng thái khi mà một hạt không liên kết nằm ở mức một hạt không lấp đầy thấp nhất là trạng thái cơ bản của hệ. Các trạng thái kích thích đầu tiên xuất hiện do dịch chuyển của hạt không liên kết mà hạt này có thể chiếm một trạng thái tự do bất kỳ. Vì vậy để kích thích hệ lẻ không cần "phá vỡ cặp " và sự suy biến trong các phổ của hệ lẻ không tồn tại. Đối với hệ lẻ, ph−ơng trình (3.38) có dạng [2]: ⎡ 2 ⎤ ε ν − λ 0 ∆ 0 E ol = εs + ε ν ⎢1− − ⎥ (3.44a) F ∑ 2 2 ν≠s ⎢ G ⎥ F ⎣ ()ε ν − λ 0 + ∆ 0 ⎦ ⎡ ε − λ ⎤ ⎢ ν 0 ⎥ N = 1+ ε ν 1− (3.44b) ∑ 2 2 ν≠s ⎢ ⎥ F ⎣ ()ε ν − λ 0 + ∆ 0 ⎦ 2 1 = ∑ (3.44c) G ν≠s 2 2 F ()εν − λ 0 + ∆ 0 ở đây εF - năng l−ợng Fermi. Để tính đặc tr−ng của các trạng thái cơ bản và kích thích của hạt nhân trong những mẫu này, ngoài phổ trạng thái một hạt còn cần biết các hằng số t−ơng tác t−ơng quan GN và GZ đối với hệ notron và proton t−ơng ứng. Ng−ời ta th−ờng thu đ−ợc hằng số GN từ sự so sánh năng l−ợng tạo cặp mà các giá trị này đ−ợc tính theo công thức [12] : PN (Z, N) = [3E c (Z, N −1) + E 0 (Z, N +1) − 3E 0 (Z, N) − E 0 (Z, N − 2)]/ 4 (3.45) với các giá trị PN(Z,N) tìm đ−ợc từ số liệu thực nghiệm qua sự khác nhau của khối l−ợng các hạt nhân [29]. 63
64. Hình 3.1. Các hàm t−ơng quan ∆0N và ∆0Z phụ thuộc số nơtron N và số proton Z. Đ−ờng liên nét : các kết quả của [12]. Đ−ờng đứt nét : theo công thức -1/2 ∆0 = 12A . T−ơng tự có thể tìm đ−ợc Gz. Trong công thức (3.45) đại l−ợng E0 - năng l−ợng của trạng thái cơ bản của hạt nhân. Khi đó với hệ chẵn thì cần tính Eo theo công thức (3.38a), còn hệ lẻ - theo (3.44a). Các tính toán GN và GZ nh− vậy đ−ợc tiến hành với cỡ lớn hạt nhân có 50 ≤ A ≤ 260 với phổ một hạt Xacxon - Wood. Các kết quả chính của những tính toán này có thể tìm trong [12, 21]. Giá trị các hằng số GN và GZ liên quan đơn trị với các hàm t−ơng quan ∆0N và ∆0Z đ−ợc biểu thị trên hình 3.1. Từ dạng phụ thuộc ∆0N và ∆0Z vào số hạt trong hệ rõ ràng cho thấy cấu trúc lớp. Khi số nơtron hoặc số proton bằng số magic thì ∆0N và ∆0Z bằng 0, khi Z và N khác số magic một - hai đơn vị thì ∆0N và ∆0Z rất nhỏ. Tuy nhiên ở các giá trị N và Z khác thì các hàm t−ơng quan đ−ợc -1/2 mô tả tốt bằng dạng phụ thuộc chẵn ∆0 = 12A . Bức tranh t−ơng tự có thể thấy đ−ợc khi quan sát quy luật của năng l−ợng tích tụ. Trên hình 3.2 cũng nh− ở hình 3.1 rõ ràng tồn tại sự phụ thuộc dạng lớp của Ett vào N và Z đối với cả hai hệ phổ một hạt. 64
65. Hình 3.2: Năng l−ợng tích tụ đối với hệ proton và nơtron chẵn (ο) và lẻ (•). a. Kết quả tính toán phổ một hạt của thế Nilxơn. b. Kết quả tính toán phổ một hạt với thế Xácxon – Wud. 3.3 Các đặc tr−ng thống kê của hệ trong mẫu các giả hạt độc lập. Chúng ta nghiên cứu các tính chất đặc tr−ng của quy luật thống kê của hệ có t−ơng tác cặp d− của các loại t−ơng quan. Tr−ớc hết chúng ta xem xét hệ một thành phần có phổ một hạt rời rạc suy biến bậc 2 theo hình chiếu mômen. Chúng ta sẽ sử dụng phép gần đúng liên tiếp bằng cách thay tổng bằng tích phân: g gm2 → dε; m2 → dε ∑ ∫∫∑ ν νν2 2 g - mật độ trạng thái một hạt, m2 là trung bình bình ph−ơng hình chiếu mô men một hạt. Ngoài ra chúng ta sẽ sử dụng gần đúng nhiệt độ thấp t >1. Bằng cách phân tích thành chuỗi, biểu thức d−ới dấu tích phân (3.46) và giới hạn ở số hạng đầu tiên ta có: ∞ ⎛ 2 ⎡ 2 ⎤ ⎞ −β∆⎜1+x / 2()β∆ ⎟ ) ∆0 ⎝ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎠ dx π −β∆ ln ≈ 2∫ e = 2 e ∆ 0 β∆ 2β∆ 65
66. ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2πt ⎞ ∆=∆ ⎜1− e−β∆0 ⎟ =∆ ⎜1− e−∆0 /t ⎟ Từ đó: 0⎜ ⎟ 0⎜ ⎟ (3.47) ⎝ β∆0 ⎠ ⎝ ∆0 ⎠ Do vậy khi nhiệt độ tăng, hàm t−ơng quan giảm (giá trị liên kết giảm). Chúng ta tìm giá trị t mà ở đó hàm t−ơng quan ∆ tiến tới 0. Để làm vậy ta nghiên cứu vùng β mà ∆β <<1. Rất thuận tiện biểu diễn tích phân I(β∆) d−ới dạng: I()β∆ = I1 +I2 (3.48) 1 ∞⎛ th(x/2)⎞ I = 1 − dx ở đây 1 ∫⎜ 2 2 ⎟ (3.48a) 2 0⎝ x +()β∆ x ⎠ ∞⎛ 2 2 ⎞ 1 ⎜th()x/2 th x +(β∆ )/2⎟ I2 = − dx ∫⎜ 2 ⎟ (3.48b) 2 ⎜ x 2 ⎟ 0 ⎝ x +()β∆ ⎠ Tích phân (3.48a) bằng [9]: 2I1 = ln [π/ ( γ β ∆ )] (3.49) ở đây lnγ = c = 0,577 - hằng số ơle. 2 Bởi vì khi ∆β = 0, tích phân I2 = 0 nên phân tích I2 thành chuỗi theo (∆β) và giới hạn ở số hạng đầu tiên ta thu đ−ợc: ' ()β∆ 2 ∞ dx⎛1 x⎞ I = − th 2 ∫ ⎜ ⎟ 4 0 x ⎝x 2⎠ x ∞ 1 sử dụng khai triển th = 4 x đối với I ta sẽ có: ∑ 2 2 2 2 2 n=0 π ()2n +1 + x ∞ ∞ 2 dx 2I 2=4(β∆) ∑ ∫ 2 2 2 2 n = 0 0 [π +(2n + 1) + x ] (β∆)2 ∞ 1 7(β∆)2 ξ(3) = 2 ∑ 2 = 2 (3.50) π n = 0 (2n +1) 8π ở đây ξ(3) là hàm Riman [9]. Nh− vậy đối với tr−ờng hợp ∆β <<1 ta thu đ−ợc: 2 ∆0 πt 7ζ(3)⎛∆⎞ ln =ln + ⎜ ⎟ ∆ γ∆ 8π2 ⎝ t ⎠ (3.51) Từ (3.51) thấy rằng hàm t−ơng quan tiến tới 0 khi: γ∆ t = 0 = 0.567∆ (3.52) th π 0 66
67. Nhiệt độ tth xác định điểm chuyển pha từ pha siêu chảy ∆≠0 sang pha bình th−ờng ∆ = 0. Khi t Uth các hệ thức của mẫu siêu chảy chuyển thành các hệ thức của mẫu khí Fermi có năng l−ợng kích thích hiệu dụng: g ∆2 U = U − 0 = U − E (3.58) hd 4 tt Nh− vậy hiệu ứng t−ơng tác d− của loại t−ơng quan xuất hiện trong tất cả các vùng năng l−ợng kích thích U : Trong pha siêu chảy khi U Uth các hệ thức này chuyển thành các ph−ơng trình của mẫu các hạt độc lập với năng l−ợng kích thích hiệu dụng Uhd. Khi đó ý nghĩa vật lý của Ett trở nên rõ ràng hơn: ở năng l−ợng cao U > Uth để kích thích hệ cần mất năng l−ợng bằng năng l−ợng tích tụ Eht để "bứt các hệ ra" và sau đó kích thích hệ nh− khi các hạt Fermi độc lập. Các biểu thức (3.53) – (3.55) đối với S, ℑ và U và thậm chí cả (3.46) đối với ∆/∆0 trong [53] đ−ợc phân tách thành chuỗi các hàm Macđonal và phụ thuộc vào t/tth. Các kết quả thu đ−ợc chỉ ra trên hình 3.3. 67
68. Hình 3.3. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đặc tr−ng thống kê của hệ có phổ một hạt rời rạc ở các biến không thứ nguyên (tth = 0,567∆0 ) [43]. Các đại l−ợng của mẫu khí Fermi t−ơng ứng với các đ−ờng đứt nét. Từ hình vẽ rõ ràng là có sự không liên tục (gẫy khúc) của các đại l−ợng khi t = tth - xuất hiện sự chuyển pha loại hai. Tại điểm chuyển pha khi t = tth hàm t−ơng quan bằng 0. Khi t > tth entropy S, năng l−ợng kích thích U và mômen quán tính ℑ phụ thuộc vào nhiệt độ nh− các đại l−ợng t−ơng ứng ở mẫu khí Ferni: S = at ; 2 2 2 U = at + g∆ 0/4, ℑ = m g . Từ hình vẽ cũng thấy rằng sự t−ơng tác của loại t−ơng quan sẽ dẫn đến sự giảm mạnh mômen quán tính ở vùng nhiệt độ thấp. Nh− vậy t−ơng tác d− của loại t−ơng quan tỏ ra có ảnh h−ởng đủ mạnh lên quy luật của các đặc tr−ng thống kê của hệ. Khi tính mật độ trạng thái hạt nhân nh− một hệ hai thành phần bao gồm proton và nơtron, th−ờng xuất phát từ điều kiện không có t−ơng tác t−ơng quan giữa nơtron và proton mà nó có dạng [12, 21]. λZ −λN >2∆0 (3.59) Tức là sự khác nhau về thế năng hoá học của hệ proton và nơtron phải v−ợt quá 2∆0. Trong các hạt nhân phức tạp thì điều kiện này luôn đ−ợc thoả mãn. Vấn đề về t−ơng quan nơtron – prôton trong các hạt nhân nhẹ ch−a đ−ợc giải quyết. Chúng ta giả thiết rằng điều kiện (2.59) đ−ợc thoả mãn. Khi đó Hamilton của hạt nhân có tính đến t−ơng tác cặp của loại t−ơng quan có dạng: ⎛ + + + + + ⎞ ˆ + − ' − ' + H = ∑∑⎜ ε τ va τ v σa τ v σ + G τ ∑a τ v a τ v a τ v a τ v ⎟ (3.60) τσ=Zv,N ⎝ vv' ⎠ Các hệ thức để tính mật độ trạng thái hạt nhân trong mẫu các giả hạt độc lập ở gần đúng momen nhỏ có dạng giống nh− ở mẫu các hạt độc lập. Chúng đ−ợc xác định bằng các hệ thức (2.53) và (2.54). Khi đó Entrôpy S, thông số phụ thuộc spin σ2 và các yếu tố của định thức D đ−ợc xác định nh− sau: S = 2 ∑∑{ [β E τ v n τ v − ln (1− n τ v )]} (3.61) τ=Zv,N 2 ⎡ 2 ⎤ σ = ∑∑⎢ m τ v nτ v ()1−n τ v ⎥ (3.62) τ=Zv,N ⎣ ⎦ 68