Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động

227 trang vanle 4950

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động

Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 
MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng 1: ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3 Chƣơng 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 12 Chƣơng 3: ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 55 Chƣơng 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 71 Chƣơng 5: ĐÁNH GIÁ CHẤT LƢỢNG HỆ THỐNG 93 Chƣơng 6: THIẾT KẾ HỆ THỐNG LIÊN TỤC 104 Chƣơng 7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG RỜI RẠC 144 Chƣơng 8: THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 171 Chƣơng 9: HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN 206 Phụ lục Bảng biến đổi Laplace 224 i
LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điều khiển tự động là môn học dành cho sinh viên ngành Điện tử - Tự động. Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động gồm có chín chƣơng: Chƣơng 1: Đại cƣơng về hệ thống điều khiển tự động Chƣơng 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống điều khiển Chƣơng 3: Đặc tính động học của hệ thống tự động Chƣơng 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống tự động Chƣơng 5: Đánh giá chất lƣợng hệ thống điều khiển tự động Chƣơng 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Chƣơng 7: Mô tả toán học hệ thống rời rạc Chƣơng 8: Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc Chƣơng 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Đây là những nội dung tóm tắt giúp sinh viên tiếp thu đƣợc môn học một cách nhanh chóng. Lần đầu biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong nhận đƣợc sự những ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp. Bộ môn Điều khiển tự động Ths. Trần Thị Hoàng Oanh ii
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động Chƣơng 1 ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1.1. KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN Thí dụ 1: Lái xe với tốc độ 100km/h - Mắt quan sát đồng hồ đo tốc độ v thu thập thông tin - Bộ não điều khiển tăng tốc nếu v 100km/h - Tay giảm ga hoặc tăng ga tác động lên hệ thống Kết quả của quá trình điểu khiển trên: xe chạy với tốc độ “gần” bằng 100km/h Định nghĩa: Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống “gần” với mục đích định trƣớc. Khái niệm điều khiển trên là một khái niệm rất rộng, môn học này chỉ nghiên cứu lý thuyết điều khiển các hệ thống kỹ thuật Điều khiển tự động: là quá trình điều khiển không cần sự tác động của con ngƣời Tại sao cần phải điều khiển: vì - Con ngƣời không thỏa mãn với đáp ứng của hệ thống. TD: . Điều hoà nhiệt độ vì không thỏa mãn với nhiệt độ nóng quá hoặc lạnh quá. . Ổn áp vì không thoả mãn với việc điện áp thay đổi thất thƣờng . - Muốn tăng độ chính xác, hiệu quả kinh tế. Các thành phần cơ bản của hệ thống điều khiển: Hệ thống điều khiển gồm 3 thành phần cơ bản: - Đối tƣợng điều khiển - Cảm biến (hay thiết bị đo lƣờng) - Bộ điều khiển Sơ đồ khối hệ thống điều khiển thường gặp: 3
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động e(t) r(t) u(t) c(t) Bộ điều khiển Đối tƣợng cht(t) Cảm biến Các ký hiệu viết tắt: - r(t) (reference input): tín hiệu vào, tín hiệu chuẩn. - c(t) (controlled output): tín hiệu ra - cht(t): tín hiệu hồi tiếp - e(t) (error): sai số - u(t): tín hiệu điều khiển Câu hỏi: Các thành phần cơ bản trong hệ thống lái xe trong TD1 là gì? Thí dụ 2: Hãy xác định các thành phần cơ bản trong hệ thống điều khiển mực nƣớc đơn giản trong hình vẽ Các bài toán cơ bản trong lĩnh vực điều khiển tự động: Trong lĩnh vực điều khiển tự động có 3 vấn đề cần giải quyết là: Phân tích hệ thống: Cho hệ thống tự động đã biết cấu trúc và thông số. Bài toán đặt ra là tìm đáp ứng của hệ thống và đánh giá chất lƣợng. Thiết kế hệ thống: Biết cấu trúc và thông số của đối tƣợng điều khiển. Bài toán đặt ra là thiết kế bộ điều khiển để đƣợc hệ thống thỏa mãn các yêu cầu về chất lƣợng. Nhận dạng hệ thống: Chƣa biết cấu trúc và thông số của hệ thống. Vấn đề đặt ra là xác định cấu trúc và thông số của hệ thống. Trong môn học này chỉ giải quyết bài toán phân tích và thiết kế hệ thống. Bài toán nhận dạng hệ thống sẽ đƣợc nghiên cứu trong môn học khác. 1.2. CÁC NGUYÊN TẮC ĐIỀU KHIỂN Các nguyên tắc điều khiển có thể xem là kim chỉ nam để thiết kế hệ thống điều khiển đạt chất lƣợng cao và có hiệu quả kinh tế nhất. 4
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thông tin phản hồi Muốn quá trình điều khiển đạt chất lƣợng cao, trong hệ thống phải tồn tại hai dòng thông tin: 1 từ bộ điều khiển đến đối tƣợng và 1 từ đối tƣợng ngƣợc về bộ điều khiển (dòng thông tin ngƣợc gọi là hồi tiếp). Điều khiển không hồi tiếp (điều khiển vòng hở) không thề đạt chất lƣợng cao, nhất là khi có nhiễu. Các sơ đồ điều khiển dựa trên nguyên tắc thông tin phản hồi là: Điều khiển bù nhiễu: n(t) r(t) u(t) c(t) Bộ điều khiển Đối tƣợng Điều khiển san bằng sai lệch: c(t) r(t) e(t) u(t) + - Bộ điều khiển Đối tƣợng cht(t) Cảm biến Điều khiển phối hợp: n(t) c(t) r(t) e(t) u(t) + - Bộ điều khiển Đối tƣợng cht(t) Cảm biến Nguyên tắc 2: Nguyên tắc đa dạng tƣơng xứng Muốn quá trình điều khiển có chất lƣợng thì sự đa dạng của bộ điều khiển phải tƣơng xứng với sự đa dạng của đối tƣợng. Tính đa dạng của bộ điều khiển thể hiện ở khả năng thu thập thông tin, lƣu trữ thông tin, truyền tin, phân tích xử lý, chọn quyết định, Ý nghĩa: Cần thiết kế bộ điều khiển phù hợp với đối tƣợng. Thí dụ: Hãy so sánh yêu cầu chất lƣợng điều khiển và bộ điều khiển sử dụng trong các hệ thống sau: 5
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động - Điều khiển nhiệt độ bàn ủi (chấp nhận sai số lớn) và điều khiển nhiệt độ lò sấy (không chấp nhận sai số lớn). - Điều khiển mực nƣớc trong bồn chứa khách sạn (chỉ cần đảm bảo luôn có nƣớc trong bồn) với điều khiển mực chất lỏng trong các dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng cần giữ không đổi). Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngoài Một hệ thống luôn tồn tại và hoạt động môi trƣờng cụ thể và có tác động qua lại chặt chẽ với môi trƣờng đó. Nguyên tắc bổ sung ngoài thừa nhận có một đối tƣợng chƣa biết (hộp đen) tác động vào hệ thống và ta phải điều khiển cả hệ thống lẫn hộp đen. Ý nghĩa: Khi thiết kế hệ thống tự động, muốn hệ thống có chất lƣợng cao thì không thể bỏ qua nhiễu. Nguyên tắc 4: Nguyên tắc dự trữ Vì nguyên tắc 3 luôn coi thông tin chƣa đầy đủ phải đề phòng các bất trắc xảy ra và không đƣợc dùng toàn bộ lực lƣợng trong điều kiện bình thƣờng. Vốn dự trữ không sử dụng, nhƣng cần để đảm bảo cho hệ thống vận hành an toàn. Nguyên tắc 5: Nguyên tắc phân cấp Đối với một hệ thống điều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp điều khiển bổ sung cho trung tâm. Cấu trúc phân cấp thƣờng sử dụng là cấu trúc hình cây Thí dụ: - Hệ thống điều khiển giao thông đô thị hiện đại - Hệ thống điều khiển dây chuyền sản xuất Nguyên tắc 6: Nguyên tắc cân bằng nội Mỗi hệ thống cần xây dựng cơ chế cân bằng nội để có khả năng tự giải quyết những biến động xảy ra. 1.3. PHÂN LOẠI HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN Sự phân loại các hệ thống điều khiển chỉ mang tính qui ƣớc, có nhiều cách phân loại khác nhau 6
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động Phân loại theo đặc điểm của hệ thống: Hệ thống liên tục: tín hiệu vào, tín hiệu ra và tất cả tín hiệu trung gian truyền bên trong hệ thống là tín hiệu liên tục. Hệ thống liên tục đƣợc mô tả bằng phƣơng trình vi phân. Hệ thống rời rạc: trong hệ thống có một điểm nào đó mà tín hiệu là rời rạc. Hệ thống rời rạc đƣợc mô tả bằng phƣơng trình sai phân. Hệ thống tuyến tính: hệ thống đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân / sai phân tuyến tính. Hệ thống phi tuyến: hệ thống đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân / sai phân phi tuyến. Hệ thống một ngõ vào – một ngõ ra SISO (Single Input – Single Output) Hệ thống nhiều ngõ vào – nhiều ngõ ra MIMO (Multi Input – Multi Output) Hệ thống bất biến theo thời gian: hệ số của phƣơng trình vi phân / sai phân mô tả hệ thống không đổi Hệ thống biến đổi theo thời gian: hệ số của phƣơng trình vi phân / sai phân mô tả hệ thống thay đổi theo thời gian. Trong môn học này chỉ tập trung nghiên cứu hệ thống tự động liên tục/ rời rạc, một ngõ vào – một ngõ ra, tuyến tính, bất biến theo thời gian Phân loại theo chiến lược điều khiển: Mục tiêu điều khiển thƣờng gặp nhất là sai số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào chuẩn càng nhỏ càng tốt. Tuỳ theo dạng tín hiệu vào mà ta có các loại điều khiển sau: Điều khiển ổn định hoá: Nếu tín hiệu chuẩn r(t) = hằng số, ta gọi là điều khiển ổn định hoá. Điều khiển theo chƣơng trình: Tín hiệu vào r(t) là hàm thay đổi theo thời gian nhƣng đã biết trƣớc. Điều khiển theo dõi: Tín hiệu vào r(t) là hàm không biết trƣớc theo thời gian. Lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển: Điều khiển kinh điển: mô tả toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống là hàm truyền. - Quỹ đạo nghiệm số - Biểu đồ Nyquist, biểu đồ Bode - Điều khiển PID (Proportional – Integral – Derivative) 7
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động Đặc điểm: - Chỉ áp dụng đối với hệ tuyến tính bất biến một ngõ vào một ngõ ra - Kỹ thuật thiết kế trong miền tần số Điều khiển hiện đại: mô tả toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống là hệ phƣơng trình biến trạng thái. - Điều khiển tối ƣu - Lọc Kalman (ƣớc lƣợng trạng thái tối ƣu) - Điều khiển thích nghi - Điều khiển phi tuyến - Điều khiển bền vững Đặc điểm: - Áp dụng đƣợc với hệ thống nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra, hệ thống biến đổi theo thời gian. - Kỹ thuật trong miền thời gian. Điều khiển thông minh: về nguyên tắc không cần dùng mô hình toán học để thiết kế hệ thống. - Điều khiển dùng logic mờ - Điều khiển dùng mạng nơron - Điều khiển dùng thuật toán di truyền - - Mô phỏng/bắt chƣớc các hệ thống thông minh sinh học. - Thiết kế dựa vào kinh nghiệm (ĐK dùng logic mờ), thông số bộ điều khiển thay đổi thông qua quá trình học (ĐK dùng mạng nơron), 1.4. MỘT SỐ THÍ DỤ VỀ CÁC HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG Để hiểu đƣợc tƣờng tận và có thể thiết kế đƣợc các hệ thống điều khiển tự động, ngoài lý thuyết điều khiển tự động, cần phải có kiến thức liên quan đến một số môn học khác. Vì vậy, với mục đích cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hệ thống tự động, các thí dụ dƣới đây chỉ trình bày sơ đồ khối. 1.4.1. Điều khiển nhiệt độ - Nhiệt độ là đại lƣợng tham gia vào nhiều quá trình công nghệ sản xuất xi măng, gạch men, nhựa, cao su, hoá dầu, thực phẩm, 8
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động - Mục tiêu điều khiển thƣờng gặp là giữ cho nhiệt độ ổn định (điều khiển ổn định hóa) hay điều khiển nhiệt độ thay đổi theo đặc tính thời gian định trƣớc (điều khiển theo chƣơng trình) Thí dụ 1: Hệ thống điều khiển ổn định nhiệt độ Thí dụ 2: Hệ thống điều khiển nhiệt độ theo chƣơng trình 1.4.2. Điều khiển động cơ: - Động cơ là thiết bị truyền động đƣợc sử dụng rất phổ biến trong máy móc, dây chuyền sản xuất. - Có 3 bài toán điều khiển động cơ thƣờng gặp:  Điều khiển tốc độ  Điều khiển vị trí  Điều khiển moment 9
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động Thí dụ: Hệ thống điều khiển tốc độ động cơ DC 1.4.3. Hệ thống điều khiển mực chất lỏng: 1.4.4. Hệ thống điều khiển máy công cụ bằng máy tính: 10
Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động 11
Chương 2: Mô tả toán học Chương 2 MÔ TẢ TOÁN HỌC PHẦN TỬ& HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC Đối tƣợng điều khiển rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau, nhƣ động cơ, lò nhiệt, máy bay, phản ứng hoá học cần có cơ sở để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau. Cơ sở đó chính là toán học. Có 2 phƣơng pháp để mô tả toán học hệ thống tự động đó là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp biến trạng thái. 2.1. PHƢƠNG PHÁP HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.1.1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Định nghĩa: Cho hàm f(t) là hàm xác định với mọi t 0 , biến đổi Laplace của f(t) là: L[ f (t)] F(s) f (t).e stdt 0 Trong đó: s: biến phức (biến Laplace) s  j  : phần thực  : phần ảo L : toán tử Laplace F(s): biến đổi Laplace của hàm f(t) Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa trên hội tụ. Biến đổi Laplace dùng để chuyển phƣơng trình vi phân → phƣơng trình đại số với biến s. Tính chất của phép biến đổi Laplace: a. Tính tuyến tính: Cho f1(t) và f2(t)là hai hàm theo thời gian. Giả sử: L[ f1 (t)] F1 (s) L[ f 2 (t)] F2 (s) Thì L[af1 (t) bf 2 (t)] aF1 (s) bF2 (s) b. Định lý chậm trễ: 12
Chương 2: Mô tả toán học Nếu f(t) đƣợc làm trễ một khoảng thời gian T, ta có hàm f(t-T). Khi đó: L[ f (t T) e sT L[ f (t)] e sT .F(s) c. Ảnh của đạo hàm: Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L[ f (t)] F(s) thì: df (t) L sF(s) f (0 ) dt Trong đó f (0 ) gọi là điều kiện đầu. Nếu = 0 thì: df (t) L sF(s) dt d. Ảnh của tích phân: Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L[ f (t)] F(s) thì: F(s) L f (t)dt 0 s e. Định lý giá trị cuối: Cho hàm f(t) có biến đổi Laplace là thì: Thì lim f (t) lim sF(s) t s 0 Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản: a. Hàm bậc thang đơn vị: (hàm nấc đơn vị) u(t) 1 t 0 u(t) 1 0 t 0 Ta có : L u(t) u(t).e stdt (theo định nghĩa) 0 e st .dt (do biểu thức của u(t)) 0 e st e s e 0 0 s s s 13
Chương 2: Mô tả toán học 1 L u(t) s b. Hàm dirac: (hàm xung đơn vị) 0 t 0  (t) t 0  (t)  (t).dt 1 Ta có: L (t) (t).e stdt (theo định nghĩa) 0 0 =  (t).e stdt 0 0  (t).e 0dt 1 0 Vậy L (t) 1 c. Hàm dốc đơn vị: (RAMP) f(t) t t 0 r(t) t.u (t) 1 0 t 0 t 1 Cách 1: dùng định nghĩa L  f (t) f (t).e st dt t.e st dt 0 0 t.e st e st 1 2 2 s s 0 s 1 Vậy: L t.u(t) s 2 Cách 2: dùng tính chất ảnh của tích phân Ta có: r(t) t.u(t) u(t)dt 0 1 Mặt khác: L u(t) s Nên theo tính chất của tích phân ta có: 14
Chương 2: Mô tả toán học t L u(t) 1 r(t) u(t)dt L   L 2 0 s s Dùng tính chất ảnh của tích phân có thể dễ dàng chứng minh đƣợc: n! L t nu(t) s n 1 d. Hàm mũ: f(t) at at e t 0 f (t) e .u (t) 1 0 t 0 t Ta có: L e at.u(t) e at.e st .dt ( theo định nghĩa) 0 (s a)t (s a)t e 1 e .dt 0 s a 0 s a 1 Vậy: L e at.u(t) s a e. Hàm sin: f(t) 1 sint t 0 f (t) (sint).u (t) t 0 t 0 Áp dụng công thức Euler: e jt e jt sint 2 j e jt e jt 1 1 1  Ta có: (sin t)u(t) .e st .dt L   2 2 0 2 j 2 j s j s j s   Vậy: L (sin t)u(t) s 2 2 2.1.2. HÀM TRUYỀN ĐẠT 15
Chương 2: Mô tả toán học Định nghĩa: c(t) r(t) Hệ thống tự động Ngõ vào Ngõ ra Quan hệ ngõ vào – ngõ ra của mọi hệ thống tuyến tính liên tục đều có thể mô tả bởi phƣơng trình vi phân: d nc(t) d n 1c(t) dc(t) a0 n a1 n 1 an 1 anc(t) dt dt dt (2.1) d m r(t) d m 1r(t) dr(t) b b b b r(t) 0 dt m 1 dt m 1 1m 1 dt m n m, n gọi là bậc của hệ thống Nhận xét: Khảo sát hệ thống dựa vào phƣơng trình vi phân (2.1) rất là khó khăn. Một thí dụ đơn giản là giả sử ta biết tất cả các thông số của hệ thống và biết tín hiệu vào, muốn tìm đáp ứng của hệ thống ta phải giải phƣơng trình vi phân cấp n, một công việc không dễ dàng chút nào. Cần một biểu diễn toán học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống tự động dễ dàng hơn. Nhờ phép biến đổi Laplace, ta có thể thực hiện đƣợc điều này. Giả sử điều kiện đầu bằng 0, để ý rằng: - L c(t) C(s) dc(t) - L sC(s) ( tính chất ảnh của đạo hàm) dt 2 d c(t) d dc(t) 2 - L 2 L 2 ssC(s) s C(s) dt dt dt n d c(t) n - L n s C(s) dt Đối với r(t) ta cũng có các biểu thức tƣơng tự Biến đổi Laplace hai vế phƣơng trình (2.1) ta đƣợc: d nc(t) d n 1c(t) dc(t) L a0 n a1 n 1 an 1 anc(t) dt dt dt d m r(t) d m 1r(t) dr(t) L b0 m b1 m 1 b1m 1 bm r(t) dt dt dt Áp dụng tính chất tuyến tính và nhận xét ở trên ta đƣợc: a s nC(s) a s n 1C(s) a sC(s) a C(s) 0 1 n 1 n m m 1 b0 s R(s) b1s R(s) bm 1sR(s) bm R(s) a s n a s n 1 a s a C(s) 0 1 n 1 n m m 1 b0 s b1s bm 1s bm R(s) 16
Chương 2: Mô tả toán học m m 1 C(s) b0 s b1s bm 1s bm Lập tỉ số: n 1 R(s) a0 sn a1s an 1s an m m 1 C(s) b0 s b1s bm 1s bm Đặt: G(s) n 1 (2.2) R(s) a0 sn a1s an 1s an G(s) gọi là hàm truyền (transfer function) của hệ thống. Định nghĩa: Hàm truyền của một hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0. Chú ý: - Mặc dù hàm truyền đƣợc định nghĩa là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào nhƣng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống (để ý vế phải của biểu thức (2.2) chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống). - Vì hàm truyền chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống nên rõ ràng ta có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống. Nói cách khác chỉ dựa vào hàm truyền ta có thể đánh giá đƣợc đặc tính động của hệ thống. - Việc nghiên cứu hệ thống tự động dựa vào hàm truyền (phân thức đại số, biểu thức (2.2) dễ dàng hơn dựa vào phƣơng trình vi phân (2.1) Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh thụ động a. Mạch tích phân bậc 1 R Áp dụng công thức phân áp ta có: ZC V0 (s) Vi (S) R ZC C 1 Lập tỉ số và chú ý Z C , ta đƣợc: vi vo Cs V (s) 1/ Cs 1 G(s) 0 Vi (s) R 1/ Cs RCs 1 b. Mạch vi phân bậc 1 C Áp dụng công thức phân áp ta có: R V0 (s) Vi(S) R R ZC vi vo Lập tỉ số và chú ý , ta đƣợc: V (s) R RCs G(s) 0 Vi (s) R 1/ Cs RCs 1 c. Khâu hiệu chỉnh sớm pha 17
Chương 2: Mô tả toán học Áp dụng công thức phân áp ta có: R2 C V0 (s) Vi (S) Z R2 V (s) R G(s) o 2 Vi(s) Z R R 2 1 1 vi vo R R2 1 R Mà: Z R //(1/ Cs) Cs 1 1 1 R Cs R 1 1 Cs R R (R Cs 1) R (R Cs 1) G(s) 2 2 1 2 1 R1 R1 R2 (R1Cs 1) R1 R2 R2 R1Cs R1Cs R2 R R Cs 1 G(s) 2 1 R R R R C 1 2 2 1 s 1 R1 R2 R2 R2 R1C R1 R2 Đặt KC ; T ; ( 1) R1 R2 R1 R2 R2 T R1C Thay vào biểu thức trên ta đƣợc: Ts 1 G(s) K C Ts 1 Khâu hiệu chỉnh trên có hàm truyền có dạng trên với >1 đƣợc gọi là khâu hiệu chỉnh sớm pha. d. Khâu hiệu chỉnh trễ pha Áp dụng công thức phân áp ta có: Z Z V0 (s) Vi (S) R1 R1 Z vi vo V (s) Z G(s) o Vi(s) R1 Z C Mà : 1 R2Cs 1 Z R2 Cs Cs Nên: 18
Chương 2: Mô tả toán học R2Cs 1 R Cs 1 R Cs 1 G(s) Cs 2 2 R Cs 1 R Cs R Cs 1 (R R )Cs 1 R 2 1 2 1 2 1 Cs R2 Đặt: T (R1 R2 )C ; ( 1) R1 R2 T R2C Thay vào biểu thức trên, ta đƣợc: Ts 1 G(s) Ts 1 Khâu hiệu chỉnh có hàm truyền trên hay có dạng tổng quát hơn là: Ts 1 G(s) K C Ts 1 Với 1 đƣợc gọi là khâu hiệu chỉnh trễ pha Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh tích cực a. Khâu tỉ lệ P: (Proportional) Dễ thấy: R2 V (s) R G(s) o 2 Vi(s) R1 - Đặt: R R1 K 2 vi P R vo 1 + Ta đƣợc hàm truyền: G(s) K P Tại sao gọi là khâu tỉ lệ? Ta có: Vo (s) K P Vo (s) K PVi (s) vo (t) K Pvi (t) Vi (s) Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu chỉnh trên đƣợc gọi là khâu tỉ lệ. b. Khâu tích phân tỉ lệ PI: (Proportional Integral) 19
Chương 2: Mô tả toán học Ta có: Z 1 R R C V (s) Z 2 2 G(s) o Cs Vi(s) R1 R1 R2 1 - G(s) R1 R1Cs R1 R2 1 vi vo Đặt: K P K I R R C + 1 1 Ta đƣợc hàm truyền: K I G(s) K P s Tại sao gọi là khâu tích phân tỉ lệ? V0 (s) K I Ta có: G(s) K P Vi (s) s V (s) V (s) K V (s) K i o P i I s t V (t) K V (t) K v (t)dt o P i I i 0 Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào và tỉ lệ với tích phân của tín hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu chỉnh trên đƣợc gọi là khâu tích phân tỉ lệ. c. Khâu tích phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative) R Ta có: 2 V (s) R G(s) o 2 Vi(s) Z R1 1 R1 Cs R1 - Z 1 R1Cs 1 R1 vi Cs vo R (R Cs 1) R G(s) 2 1 2 R Cs Z C + 2 R1 R1 Đặt: K D R2C Ta đƣợc hàm truyền: G(s) K P K D s Tại sao gọi là khâu vi phân tỉ lệ? Ta có: 20
Chương 2: Mô tả toán học V0 (s) G(s) K P K D s Vi (s) Vo (s) K PVi (s) K D sVi (s) dv (t) v (t) K v (t) K i o P i D dt Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào và tỉ lệ với vi phân của tín hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu chỉnh trên đƣợc gọi là khâu vi phân tỉ lệ. d. Khâu tích phân tỉ lệ PID: (Proportional Integral Derivative) Ta có: R Z2 2 C2 V (s) Z G(s) o 2 Vi(s) Z1 1 R1 R Z1 1 R - Z Cs 1 - 1 1 R Cs 1 R 1 1 Cs vi v 1 R C s 1 o - Z R 2 2 + 2 2 C1 Cs C2 s (R C s 1)(R C s 1) G(s) 1 1 2 2 R1C2 s R1C1 R2C2 1 G(s) R2C1s R1C2 R1C2 s R1C1 R2C2 1 Đặt: K P ; K I K D R2C1 R1C2 R1C2 Ta đƣợc hàm truyền: K G(s) K I K s P s D Ta có: V0 (s) K I G(s) K P K D s Vi (s) s Vi(s) V (s) K V (s) K K sV (s) o P i I s D i 21
Chương 2: Mô tả toán học t dv (t) v (t) K v (t) K vi(t)dt K i o P i I D 0 dt Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, tỉ lệ với tích phân và vi phân của tín hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu chỉnh trên đƣợc gọi là khâu vi tích phân tỉ lệ. Hàm truyền đạt của một số đối tƣợng điều khiển: a. Động cơ DC - Lư: điện cảm phần ứng -  : tốc độ động cơ - Rư: điện trở phần ứng - Mt: moment tải - Uư: điện áp phần ứng - J: moment quán tính - Eư: sức phản điện động Theo định luật Kirchoff ta có: di Uư(t) = i ư(t). Rư + Lư (t) + Eư(t) (1) dt Trong đó: Eư(t) = K (t) (2) K: hệ số  : từ thông kích từ Phƣơng trình cân bằng moment trên trục động cơ: d(t) M (t) M (t) B(t) J (3) t dt Trong đó: M(t) K i ư(t) : moment của động cơ (4) Biến đổi Laplace (1), (2), (3), (4) ta đƣợc: Uư(s) = Iư(s). Rư + Lư s Iư(s) + Eư(s) (5) Eư(s) = K (s) (6) 22
Chương 2: Mô tả toán học M(s) M t (s) B(s) Js(s) (7) M(s) K I ư(s) (8) Lu Ta đặt: Tu là hằng số thời gian điện từ của động cơ Ru J T là hằng số thời gian điện cơ của động cơ C B Ta có thể viết lại (5) và (7) nhƣ sau: (5) Uƣ(s) – Eƣ(s)= Rƣu(1+Tus)Iƣ(s) U u (s) Eu (s) Iƣ = (5’) Ru (1 Tu s) (7) M(s) – Mt(s) = B(1+TCs) (s) M (s) M (s)  (s) = t (7’) B(1 TC s) Từ (5’), (6), (7’), và (8) ta có thể biểu diễn động cơ DC bằng sơ đồ khối: Hàm truyền của động cơ: Uƣ(s) Mt(s) 1/ R 1/ B  (s) u K 1 sTu 1 sTC Eƣ(s) Hàm truyền động cơ: (s) U u (s) b. Lò nhiệt 0 Công suất P Nhiệt độ t Lò nhiệt Hàm truyền của lò nhiệt được xác định bằng phương pháp thực nghiệm 23
Chương 2: Mô tả toán học Cấp nhiệt tối đa cho lò (công suất vào P = 100%) nhiệt độ lò tăng dần. Sau một thời gian nhiệt độ lò đạt đến giá trị bão hoà. Đặc tính theo thời gian có thể biểu diễn nhƣ hình vẽ. 0C 0C K t (sec) t (sec) T1 T2 T1 T2 K Đặc tính chính xác của lò nhiệt Đặc tính gần đúng của lò nhiệt Ta xác định hàm truyền gần đúng của lò nhiệt dùng định nghĩa: C(s) G(s) R(s) Tín hiệu vào là nấc đơn vị ( P = 100%) 1 biến đổi Laplace của tín hiệu vào là: R(s) s Tín hiệu ra gần đúng (hình vẽ bên phải) chính là hàm: c(t) f (t T1 ) Trong đó: f (t) K(1 e t /T2 ) K Dễ dàng chứng minh đƣợc: F(s) s(1 T2 s) Ke T1 Nên áp dụng định lý chậm trễ ta đƣợc: C(s) s(1 T2 s) Ke T1s Suy ra: G(s) 1 T2 s 2.3. SƠ ĐỒ KHỐI 24
Chương 2: Mô tả toán học 2.3.1. Khái niệm sơ đồ khối Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. Các thành phần của sơ đồ khối: 3 thành phần Khối chức năng: R(s) C(s) G(s) C(s) = R(s).G(s) Tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền. Điểm rẽ nhánh: x x -x Tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau Bộ tổng: x-y x + - y Tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối: hai sơ đồ khối đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra nhƣ nhau 2.3.2. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối a. Hệ thống nối tiếp: C (s) C (s) R(s) R2(s) 2 G1(s) G2(s) Gn(s) Cn(s) Rn(s) C1(s) R 1 (s) Hàm truyền của hệ thống nối tiếp: 25
Chương 2: Mô tả toán học C(s) C (s) C (s).C (s) C (s) C (s).C (s) G(s) n 1 n G (s). n G (s). 2 n R(s) R (s) R (s).C (s) 1 R (s) 1 R (s).C (s) 1 1 1 2 2 2 Cn (s) G1 (s).G2 (s) G1 (s).G2 (s) Gn (s) R3 (s) n Vậy: G(s) Gi (s) i b. Hệ thống song song: R (s) 1 C1(s) G1(s) R (s) C2(s) C (s) R2(s) G2(s) Rn(s) Cn(s) Gn(s) Hàm truyền của hệ thống song: C(s) C (s) C (s) C (s) C (s) C (s) C (s) G(s) 1 2 n 1 2 n R(s) R(s) R1 (s) R2 (s) Rn (s) n Vậy: G(s) Gi (s) i 1 Chú ý: Trong công thức tổng là tổng đại số c. Hệ hồi tiếp 1 vòng: Hệ hồi tiếp âm: R(s) E(s) C(s) + - G (s) Cht(s) H(s) Hàm truyền hệ thống hồi tiếp (hệ thống kín) 26
Chương 2: Mô tả toán học C(s) G (s) k R(s) Ta có: - C(s) = E(s).G(s) - R(s) = E(s) + Cht(s) (do E(s)=R(s) - Cht(s)) = E(s) + C(s).H(s) (do Ch (s) = C(s).H(s)) = E(s) + E(s).G(s).H(s) (do C(s) = E(s).G(s)) Lập tỉ số giữa C(s) và R(s) ta đƣợc: G(s) G (s) k 1 G(s).H(s) Hệ thống hồi tiếp âm đơn vị (H(s) = 1) G(s) R(s) Gk (s) E(s) C(s) 1 G(s) + - G (s) Cht(s) Hệ hồi tiếp dƣơng: chứng minh tƣơng tự, dễ dàng suy ra: G(s) Gk (s) 1 G(s).H(s) R(s) E(s) C(s) + G (s) + Cht(s) H(s) d. Hệ hồi tiếp nhiều vòng: - Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực hiện các phép biến đổi sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp 1 vòng) và tính hàm truyền tƣơng đƣơng theo thứ tự từ trong ra ngoài. Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và ra như nhau. 27
Chương 2: Mô tả toán học - Các phép biến đổi sơ đồ khối thƣờng dùng là: Chuyển điểm rẽ nhánh từ trước ra phía sau 1 khối: x 1 x G(s) 3 x1 x3 G(s) x2 x2 1/G(s) x2 = x1 x3 = x1G x3 = x1G x2 = x3.(1/G) = x1G.(1/G) = x1 Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước 1 khối: x1 x1 x3 x3 G(s) G(s) x2 x2 G(s) x3 = x1G x3 = x1G x2 = x3 = x1G x2 = x1G Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau 1 khối: x1 x2 x2 + G(s) G(s) + - x1 - x3 x3 G(s) x2 = ( x1 - x3).G x2 = x1G – x3G = (x1 – x3) G Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước 1 khối: 28
Chương 2: Mô tả toán học x1 x2 x2 G(s) + + G(s) - x1 - x x 3 3 1/G(s) x2 = x1.G - x3 x2 = [x1 – x3(1/G)].G = x1 G – x3 Chuyển vị trí hai bộ tổng: x1 x4 x4 + + + + - + x1 + + x x3 x x2 2 3 x4 = ( x1 – x2) + x3 x4 = ( x1 + x3) – x2 Tách 1 tổng thành 2 bộ tổng: x3 x3 x1 x1 x4 x4 ++ + + + + - x2 x2 x4 = x1 – x2 + x3 x4 = ( x1 – x2 ) + x3 Chú ý: Khi thực hiện phép biến đổi sơ đồ khối để tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống, sinh viên thƣờng mắc các sai sót sau: Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng: Chuyển vị trí hai bộ tổng khi giữa h.ai bộ tổng đó có điểm rẽ nhánh 2.3.3. Một số thí dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống: Thí dụ 1: Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau: 29
Chương 2: Mô tả toán học Giải: Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối nhƣ sau: - Chuyển vị trí hai bộ tổng  và , GA(s)=[G3(s)//G4(s)]: - GB(s)[G1(s)//hàm truyền đơn vị], - GC(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), GA(s)]: Ta có: - GA(s) = G3(s) – G4(s) - GB(s) = 1+ G1(s) G (s) G (s) G (s) 2 2 C 1 G (s).G (s) 1 G (s).[G (s) G (s)] - 2 A 2 3 4 Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống: G(s) GB (s).GC (s) [1 G1 (s)].G2 (s) GC (s) 1 G2 (s).[G3 (s) G4 (s)] Thí dụ 2: Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau: 30
Chương 2: Mô tả toán học Giải: Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối nhƣ sau: - Chuyển vị trí hai bộ tổng  và  Chuyển điểm rẽ nhánh  ra sau G2(s) - GB(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), H2(s)] GC(s) = [GA(s)// hàm truyền đơn vị] - GD(s) = [GB(s) nối tiếp GC(s) nối tiếp G3(s)] - GE(s) = vòng hồi tiếp [ GD(s). H3(s)] Ta có: H1 - G1 G2 G2 - GB 1 G2 H 2 H1 G2 H1 - GC 1 GA 1 G2 G2 G G H G G G H 2 2 1 2 3 3 1 - GD GB .GC .G3 G3 1 G2 H 2 G2 1 G2 H 2 G2G3 G3 H1 GD 1 G2 H 2 - GE 1 GD H 3 G2G3 G3 H1 1 H 3 1 G2 H 2 G2G3 G3 H1 GE 1 G2 H 2 G2G3 H 3 G3 H1H 3 31
Chương 2: Mô tả toán học Vậy hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống là: G G G H G . 2 3 3 1 G G 1 1 G H G G H G H H G 1 E 2 2 2 3 3 3 1 3 1 G1GE G2G3 G3 H1 1 G1. 1 G2 H 2 G2 H 3G3 H 3 G3 H1 G G G G G H G 1 2 3 1 3 1 1 G2 H 2 G2G3 H 3 G3 H1H 3 G1G2G3 G1G3 H1 Thí dụ 3: Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau: Gợi ý: Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối nhƣ sau: - Chuyển bộ tổng  ra trƣớc G1(s), sau đó đổi vị trí 2 bộ tổng  và . Chuyển điểm rẽ nhánh  ra sau G2(s) 2.4. GRAPH TÍN HIỆU Để biểu diễn hệ thống tự động, ngoài phƣơng pháp sử dụng sơ đồ khối, ta còn có thể sử dụng phƣơng pháp graph tín hiệu. Hãy so sánh hai hình vẽ dƣới đây: R(s) + E(s) C(s) R(s) 1 E(s) G(s) C(s) - G (s) -H(s) H(s)  Định nghĩa: Graph tín hiệu là một mạng gồm các nút và các nhánh. - Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống. 32
Chương 2: Mô tả toán học - Nhánh: là đƣờng nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở 2 nút. - Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hƣớng ra. - Nút đích: là nhánh chỉ có các nhánh hƣớng vào. - Nút hỗn hợp: là nút có cả nhánh ra và các nhánh vào. Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng tổng đại số của tín hiệu vào. - Đường tiến: là đƣờng gồm các nhánh liên tiếp có cùng hƣớng các tín hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần. Độ lợi của một đƣờng tiến là tích của các hàm truyền của các nhánh trên đƣờng tiến đó. - Vòng kín: là một đƣờng khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng hƣớng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần. Độ lợi của một vòng kín: là tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín đó.  Công thức Mason: Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống tự động biểu diễn bằng graph tín hiệu có thể đƣợc tính theo công thức: 1 G  k Pk k Trong công thức trên: Pk: là độ lợi của đƣờng tiến thứ k. : là định thức của graph tín hiệu. đƣợc tính bằng công thức sau: 1 Li Li L j Li L j Lm i i, j i, j,m *  Li : tổng các độ lợi vòng của các vòng kín trong graph tín hiệu. i *  Li L j : tổng các tích độ lợi vòng của 2 vòng rời nhau. i, j *  Li L j Lm : tổng các tích độ lợi vòng của 3 vòng rời nhau. i, j,m k: là định thức con của graph tín hiệu. k đƣợc tính suy ra từ bằng cách bỏ đi các vòng kín có dính tới đƣờng tiến Pk. Chú ý: * rời nhau” = không có nút nào chung. * dính” = có ít nhất nút chung. Trong trƣờng hợp hệ thống đƣợc cho dƣới dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng công thức Mason, trƣớc tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang dạng graph tín hiệu. Khi chuyển từ sơ đồ khối sang graph tín hiệu cần chú ý: - Có thể góp 2 bộ tổng liền nhau thành 1 nút. - Có thể góp 1 bộ tổng và 1 điểm rẽ nhánh liền sau nó thành một nút. 33
Chương 2: Mô tả toán học - Không thể gộp 1 điểm rẽ nhánh và 1 bộ tổng liền sau nó thành 1 nút.  Một số thí dụ tính hàm truyền tƣơng đƣơng dùng phƣơng pháp graph tín hiệu: Thí dụ 1: Cho hệ thống mô tả bởi graph tín hiệu nhƣ sau: G7(s) G6(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) 1 -H1 1 -H 2 Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống. Giải: - Các đƣờng tiến: P1 = G1G2G3G4G5 P2 = G1G6G4G5 P3 = G1G2G7 - Các vòng kín: L1 = -G4H1 L2 = -G2G7H2 L3 = -G6G4G5H2 L4 = -G2G3G4G5H2 - Định thức của graph: = 1- (L1+L2+L3+L4)+L1L2 - Các định thức con: 1= 1 2= 1 3= 1-L1 Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ là: 1 G (P P P ) 1 1 2 2 3 3 G G G G G G G G G G G G (1 G H ) G 1 2 3 4 5 1 6 4 5 1 2 7 4 1 1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4 H1G2G7 H 2 Thí dụ 2: Cho hệ thống sơ đồ khối nhƣ sau (sơ đồ khối ở thí dụ 2, mục 3.1) 34
Chương 2: Mô tả toán học H1(S) 1 6 C(S) R(S) 2 3 5 + 7 + G1(S) + + G (S) + - 2 G3(S) - - 4 H2(S) H3(S) Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống. Giải: Graph tín hiệu tƣơng đƣơng: ////////////////////////////////////////////////////// 35
Chương 2: Mô tả toán học - Các đƣờng tiến: P1 = G1G2G3 P2 = G1H1G3 - Các vòng kín: L1 = -G2H2 L2 = -G2G3H3 L3 = - G1G2G3 L4 = - G3H1H3 L5 = - G1G3H1 - Định thức của graph: = 1- (L1+L2+L3+L4+L4+L5) - Các định thức con: 1= 1 2= 1 Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ là: 1 G (P1 1 P2 2 ) - G G G G G H + G 1 2 35 1 3 1 1 G2 H 2 G2G3 H 3 G1G2G3 G3 H1H 3 G1G3 H1 2.4. PHƢƠNG PHÁP BIẾN TRẠNG THÁI 2.4.1. Khái niệm Trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là một tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm to và các tín hiệu vào ở các thời điểm t > to ta hoàn toàn có thể xác định đƣợc đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0 . Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hoặc không phải là biến vật lý. Thí dụ: Động cơ DC là hệ bậc 2, có hai biến trạng thái có thể chọn là tốc độ động cơ và dòng điện phần ứng (biến vật lý). Tuy nhiên ta cũng có thể chọn 2 biến trạng thái khác. Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột, ký hiệu T x [x1 x2 xn ] gọi là vector trạng thái sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phƣơng trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành n phƣơng trình vi phân bậc nhất. Phƣơng pháp mô tả hệ thống bằng cách sử dụng các biến trạng thái gọi là phƣơng pháp biến trạng thái. 36
Chương 2: Mô tả toán học Tại sao lại sử dụng phương pháp biến trạng thái? - Quan hệ ngõ vào ngõ ra của hệ thống có thể mô tả bằng phƣơng trình vi phân bậc n. Nghiên cứu hệ thống dựa trên phƣơng trình vi phân bậc n rất khó khăn cần mô tả toán học khác giúp nghiên cứu hệ thống dễ dàng hơn. - PP hàm truyền chuyển quan hệ phƣơng trình vi phân cấp n thành phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace. Nghiên cứu hệ thống mô tả bằng hàm truyền thuận lợi hơn, tuy nhiên hàm truyền có một khuyết điểm: * Chỉ áp dụng đƣợc khi điều kiện đầu bằng 0. * Chỉ áp dụng cho hệ tuyến tính bất biến một ngõ vào, một ngõ ra. * Nghiên cứu hệ thống trong miền tần số. - PP biến trạng thái chuyển phƣơng trình vi phân bậc n thành n phƣơng trình vi phân bậc 1 bằng cách đặt n biến trạng thái. PP biến trạng thái khắc phục đƣợc các khuyết điểm của PP hàm truyền. Hệ phƣơng trình biến trạng thái có dạng nhƣ sau: x1 (t) a11 a12  a1n x1 (t) b1 x (t) a a  a x (t) b 2 21 22 2n 2 2 r(t)       xn (t) an1 an2  ann xn (t) bn x1 (t) x (t) 2 c(t) d1 d 2  d n   xn (t) Đặt: a11 a12  a1n b1 a a  a b A 21 22 2n B 2 D d d  d      1 2 n an1 an2  anm bn Ta có thể viết lại hệ phƣơng trình biến trạng thái dƣới dạng: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Dx(t) Chú ý: Nếu A là ma trận thƣờng, ta gọi là (*) là hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng thƣờng. Nếu A là ma trận chéo, ta gọi (*) là hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng chính tắc. 2.5.2. Cách thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái ở dạng thƣờng 37
Chương 2: Mô tả toán học A. Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào: Cho hệ thống mô tả bởi phƣơng trình vi phân; d nc(t) d n 1c(t) dc(t) a a a a c(t) b r(t) (*) 0 dt n 1 dt n 1 n 1 dt n n 0 Đặt n biến trạng thái nhƣ sau: x1 (t) c(t) x2 (t) x1 (t) x2 (t) c(t) x3 (t) x2 (t) x3 (t) c(t)  d n 1c(t) d nc(t) x (t) x (t) x (t) x (t) n n 1 n dt n 1 n dt n Cách đặt biến trạng thái: - Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra: x1 (t) c(t) Từ biến trạng thái x2 (t) đến xn (t) đặt theo qui tắc: biến sau bằng đạo hàm của biến ___ trƣớc: xi (t) xi 1 (t), (i 2,n) Thay các biến trạng thái vào phƣơng trình (*) ta đƣợc: a0 xn (t) a1xn (t) an 1x2 (t) an x1 (t) b0r(t) Kết hợp phƣơng trình với quan hệ của các biến trạng thái ta đƣợc hệ phƣơng trình sau: x (t) x (t) 1 2 x2 (t) x3 (t)  x (t) x (t) n 1 n a a a a b  n n 1 2 1 0 xn (t) x1 (t) x1 (t) xn 1 (t) xn (t) r(t) a0 a0 a0 a0 a0 0 1 0  0 0  x1 x1 0 0 1  0 0 x x2 2      Viết lại dƣới dạng ma trận:   0 0 0  1 0 xn 1 x a a a a n 1 b x n n 1 n 2  1 0 n xn a0 a0 a0 a0 a0 38
Chương 2: Mô tả toán học x1 x 2 Đáp ứng của hệ thống: c(t) x1 (t) 1 0  0 0  xn 1 xn Vậy hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống là: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Dx(t) Với: 0 1 0  0 0 x 1 x 0 0 1  0 0 2 x  A     B =  D = 1 0  0 0 x 0 0 0  1 0 n 1 a a a a b n n 1 n 2  1 0 xn a0 a0 a0 a0 a0 Thí dụ 1: Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào – tín hiệu ra mô tả bởi phƣơng trình vi phân sau: 2c(t) 5c(t) 6c(t) 10c(t) r(t) (1) Hãy viết hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống. Giải: Đặt các biến trạng thái nhƣ sau: x1 (t) c(t) (2) x2 (t) x1 (t) (3) x2 (t) c(t) (5) x3 (t) x2 (t) (4) x3 (t) c(t) (6) x3 (t) c(t) (7) Thay (2), (5), (6), (7) vào phƣơng trình (1) ta đƣợc: 2x3 5x3 6x2 10x1 r(t) (8) Kết hợp (3), (4) và (8) ta đƣợc hệ phƣơng trình: x1(t ) x2 (t ) x2 ( t ) x3( t ) x3( t ) 5x2 ( t ) 3x2 ( t ) 2.5x2 ( t ) 0.5r( t ) Đáp ứng của hệ thống: c(t) x1 (t) 39
Chương 2: Mô tả toán học Viết lại dƣới dạng ma trận: x1 0 1 0 x1 0 x1 x 0 0 1 x 0 r c(t) 1 0 0 x 2 2   2 x3 5 3 2.5 x3 0.5 x3 Thí dụ 2: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối: R(s) C(s) 10 + - s(s 1)(s 3) Hãy thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống. Giải: Hàm truyền của hệ thống kín: 10 G(s) s(s 1)(s 3) 10 Gk(s) 1 G(s) 10 s(s 1)(s 3) 10 1 s(s 1)(s 3) C(s) 10 10 R(s) s(s 1)(s 3) 10 s 3 4s 2 3s 10 (s 3 4s 2 3s 10)C(s) 10R(s) Phƣơng trình vi phân mô tả hệ thống: c(t) 4c(t) 3c(t) 10c(t) 10r(t) Đặt các biến trạng thái nhƣ sau: x1 (t) c(t) x2 (t) x1 (t) x3 (t) x2 (t) Theo lý thuyết, hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng: x1 0 1 0 x1 0 x 0 0 1 x 0 r 2 2 a3 a2 a1 b0 x3 x3 a0 a0 a0 a0 Thay thông số của hệ vào phƣơng trình trên, ta đƣợc: 40
Chương 2: Mô tả toán học x1 0 1 0 x1 0 x 0 0 1 x 0 r 2 2 x3 10 3 4 x3 10 - Đáp ứng của hệ thống x1 c(t) x (t) 1 0 0 x 1   2 x3 B. Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào: Cho hệ bậc 3 có phƣơng trình vi phân nhƣ sau: d 3c(t) d 2c(t) dc(t) d 2r(t) dr(t) a a a a c(t) b b b r(t) (*) 0 dt 3 1 dt 2 2 dt n 3 0 dt 2 1 dt 2 Đặt các biến trạng thái nhƣ sau: x1 (t) c(t) (1) x2 (t) x1 (t) 1r(t) c(t) 1r(t) (2) x (t) x (t)  r(t) c(t)  r(t)  r(t) 3 2 2 1 2 (3) Với cách đặt biến trạng thái nhƣ trên, ta có: (2) c(t) x2 (t) 1r(t) (4) (3) c(t) x3 (t) 1r(t)  2 r(t) (5) (4) c(t) x (t)  r(t)  r(t) 3 1 2 (6) Thay (1),(4),(5),(6) vào phƣơng trình (*) ta đƣợc: a [x (t)  r(t)  r(t)] a [x (t)  r(t)  r(t)] 0 3 1 2 1 3 1 2 a2[x2 (t) 1r(t)] a3 x1 (t) b0r(t) b1r(t) b2r(t) a0 x3 (t) a0 1r(t) a0  2 r(t) a1 x3 (t) a11r(t) a1 2 r(t) a2 x2 (t) a2 1r(t) a3 x1 (t) b0r(t) b1r(t) b2 r(t) a3 a2 a1 b0 a0 1 x3 (t) x1 (t) x2 (t) x3 (t) r(t) a0 a0 a0 a0 b a  a  b a  a  1 0 2 1 1 r(t) 2 1 2 2 1 r(t) (7) a0 a0 Chọn 1 ,  2 sao cho đạo hàm của tín hiệu vào trong biểu thức (7) bị triệt tiêu: 41
Chương 2: Mô tả toán học b0 a0 1 0 b1 a0  2 a11 0 b2 a1 2 a2 1 Đặt: 3 a0 Thay vào (7) ta đƣợc: a3 a2 a1 x3 (t) x1 (t) x1 (t) x3 (t) 3r(t) (8) a0 a0 a0 Kết hợp (2),(3),và (8) ta đƣợc hệ phƣơng trình: x ( t ) x ( t )  r( t ) 1 2 1 x2 ( t ) x3 ( t ) 2 r( t ) a3 a2 a1 x3 ( t ) x1( t ) x1( t ) x1( t ) 3r( t ) a0 a0 a0 Vậy hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống là: x1 0 1 0 x1 1 x 0 0 1 x  r 2 2 2 a3 a2 a1 x3 x3 3 a0 a0 a0 b0 1 a 0 b1 a11 Trong đó: 1 a0 b2 a1 2 a2 1 1 a0 x1 Đáp ứng ra của hệ thống: c(t) x (t) 1 0 0 x 1   2 x3 Thí dụ 1: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối: 42
Chương 2: Mô tả toán học R(s) C(s) 10 + - s(s 3) 10 (s 2) Hãy thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống. Giải: Hàm truyền của hệ thống kín: 10 G( s ) s( s 3) 10( s 2 ) G ( s ) k 1 G( s )H( s ) 10. 1 s( s 3)( s 2 ) 10 1 s( s 3)( s 2 ) C(s) 10(s 2) 10(s 2) R(s) s(s 3)(s 2) 10 s 3 5s 2 6s 10 (s 3 5s 2 6s 10)C(s) 10(s 2)R(s) Phƣơng trình vi phân mô tả hệ thống: c(t) 5c(t) 6c(t) 10c(t) 10r(t) 20r(t) Đặt các biến trạng thái nhƣ sau: x1 (t) c(t) x2 (t) x1 (t) 1r(t) x3 (t) x2 (t)  2 r(t) Theo lý thuyết, hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng: x1 0 1 0 x1 1 x 0 0 1 x  r 2 2 2 a3 a2 a1 x3 x3 3 a0 a0 a0 Trong đó: 43
Chương 2: Mô tả toán học b0 0 1 0 a 1 0 b1 a11 10 5 0 1 10 a0 1 b2 a1 2 a2 1 20 5 10 6 0 1 30 a0 1 Thay thông số của hệ vào phƣơng trình trên, ta đƣợc: x1 0 1 0 x1 0 x 0 0 1 x 10 r 2 2 x3 10 6 5 x3 30 x1 Đáp ứng của hệ thống: c(t) x (t) 1 0 0 x - 1   2 x3 Thí dụ 2: Cho hệ thống tự động có hàm truyền: C(s) 3s 10 G(s) R(s) s 2 3s 2 Hãy thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống. Giải: Từ hàm truyền suy ra: (s2+3s+2)C(s) = (3s+10)R(s) Phƣơng trình vi phân mô tả hệ thống: c(t) 3c(t) 2c(t) 3r(t) 10r(t) (1) Đặt biến trạng thái nhƣ sau: x1 (t) c(t) (2) x2 (t) x1(t) 1r(t) (3) x2 (t) c(t) 1r(t) c(t) x2 (t) 1r(t) Thay vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc: [x2 (t) 1r(t)] 3[x2 (t) 1r(t)] 2x1 (t) 3r(t) 10r(t) x2 (t) 1r(t) 3x2 (t) 31r(t) 2x1 (t) 3r(t) 10r(t) x2 (t) 2x1 (t) 3x2 (t) (3 1 )r(t) (10 31 )r(t) (4) Chọn 1 sao cho đạo hàm của tín hiệu vào trong biểu thức (4) bị triệt tiêu: 3- 1 = 0 1 = 3 Thay vào (4) ta đƣợc: 44
Chương 2: Mô tả toán học x2 (t) 2x1 (t) 3x2 (t) r(t) (5) Kết hợp (3) và (5), để ý 1 = 3, ta đƣợc hệ phƣơng trình sau: x1 (t) x2 (t) 3r(t) x2 (t) 2x1 (t) 3x2 (t) r(t) x1 (t) 0 1 x1 (t) 3 r(t) x2 (t) 2 3 x2 (t) 1 Đáp ứng của hệ thống: x1 (t) c(t) x1 (t) [1 0] x2 (t) 2.5.3 Cách thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái ở dạng chính tắc Để thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta thực hiện theo các bƣớc sau đây: 1. Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái ở dạng thƣờng: x(t) Ax(t) Br(t) (1) c(t) Dx(t) 2. Thực hiện phép biến đổi trạng thái: x(t) My(t) Thay vào phƣơng trình trên ta đƣợc: My(t) AMy(t) Br(t) c(t) DMy(t) y(t) M 1 AMy(t) M 1Br(t) c(t) DMy(t) y(t) Ay(t) Br(t) (2) c(t) Dy(t) Trong đó: 1 1 A = M AM B = M B D = DM Hệ phƣơng trình biến trạng thái (2) tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình (1). Để (2) có dạng chính tắc, phải chọn M sao cho ma trận M 1 AM chỉ có đƣờng chéo khác 0. Theo lý thuyết đại số tuyến tinh, ma trận chuyển đổi M đƣợc chọn nhƣ sau: 45
Chương 2: Mô tả toán học 1 1 1  1      1 2 3 n 2 2 2 2 M 1 2 3  n     n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 3  n ___ Trong đó i , (i 1,n) là nghiệm của phƣơng trình: det(sI-A) = 0 Thí dụ: Cho hệ thống có hàm truyền: C(s) 3s 10 G(s) R(s) s 2 3s 2 Hãy thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng chính tắc mô tả hệ thống. Giải: Bước 1: Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng thƣờng (xem thí dụ 2, mục 2.5.2) x1 (t) 0 1 x1 (t) 3 r(t) x2 (t) 2 3 x2 (t) 1 Đáp ứng của hệ thống: x1 (t) c(t) x1 (t) [1 0] x2 (t) x(t) Ax(t) Br(t) Hay c(t) Dx(t) 0 1 3 Với: A B D 1 0 2 3 1 Bước 2: Thực hiện phép biến đổi: x(t) = My(t) Ma trận M đƣợc xác định nhƣ sau: Tìm nghiệm của phƣơng trình: det(sI-A) = 0 1 0 0 1 s 1 det s 0 det 0 0 1 2 3 2 s 3 s(s+3)+2 = 0 s2+ 3s+2 = 0 1 1 2 2 Suy ra: 1 1 1 1 2 1 2 1 M M 1 2 1 ( 2) ( 1) 1 1 1 1 1 46
Chương 2: Mô tả toán học Với cách biến đổi trên, ta đƣợc hệ phƣơng trình biến trạng thái có dạng: y(t) Ay(t) Br(t) c(t) Dy(t) Trong đó: 1 2 1 0 1 1 1 1 0 A = M AM = 1 1 2 3 1 2 0 2 1 2 1 3 7 B = M B = 1 1 1 4 2 1 D = DM = 1 0 2 1 1 1 Vậy hệ phƣơng trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là: y1 (t) 1 0 y1 (t) 7 r(t) y 2 (t) 0 2 y2 (t) 4 y1 (t) c(t) [2 1] y2 (t) 2.6. TÍNH HÀM TRUYỀN TỪ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BIẾN TRẠNG THÁI: Cho hệ thống mô tả bởi hệ phƣơng trình: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Dx(t) Biến đổi Laplace hai vế phƣơng trình trên (giả sử điều kiện đầu bằng 0): sX(s) AX (s) BR(s) (1) C(s) DX(s) (2) (1) (sI-A)X(s) = BR(s) X(s) = (sI-A)-1BR(s) DX(s) = D(sI-A)-1BR(s) C(s) = D(sI-A)-1BR(s) C(s) G(s) D(sI A) 1 B R(s) Thí dụ: Cho hệ thống có hệ phƣơng trình biến trạng thái là: x1 (t) 0 1 x1 (t) 3 r(t) x2 (t) 2 3 x2 (t) 1 47
Chương 2: Mô tả toán học Đáp ứng của hệ thống: x1 (t) c(t) x1 (t) [1 0] x2 (t) Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống. Giải: Các ma trận trạng thái: 0 1 3 Với: A B D 1 0 2 3 1 Hàm truyền của hệ thống là: G(s) = D(sI-A)-1B 1 0 0 1 s 1 (sI-A) = s 0 1 2 3 2 s 3 1 -1 s 1 1 s 3 1 (sI-A) = 2 s 3 s(s 3) 2( 1) 2 s -1 1 s 3 1 1 D(sI-A) = 2 1 0 2 s 3 1 s 3s 2 2 s s 3s 2 -1 1 3 3(s 3) 1 D(sI-A) B = 2 s 3 1 2 s 3s 2 1 s 3s 2 3s 10 Vậy : G(s) s 2 3s 2 2.7. NGHIỆM CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH BIẾN TRẠNG THÁI: Cho hệ thống có phƣơng trình biến trạng thái nhƣ sau: x(t) Ax(t) Br(t) (1) Hỏi x(t) = ? Biến đổi Laplace 2 vế phƣơng trình (1) ta đƣợc: sX(s) – x(0+) = AX(s) + BR(s) (sI-A)X(s) = x(0+) + BR(s) X(s) = (sI-A)-1 x(0+) + (sI-A)-1BR(s) (2) Đặt (s) (sI-A)-1 Thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc: 48
Chương 2: Mô tả toán học X(s) (s)x(0 ) (s)BR(s) Biến đổi Laplace ngƣợc hai vế phƣơng trình (3), ta đƣợc: t x(t) (t)x(0 ) (t  )BR( )d 0 Trong đó: (t) L 1[(s)] L 1[(sI A) 1 ] ma trận quá độ Tóm lại: Để tính nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái ta thực hiện các bƣớc sau đây: 1. Tính (s) (sI A) 1 2. Tính ma trận quá độ: (t) L 1[(s)] 3. Tính nghiệm của phƣơng trình biến trạng thái: t x(t) (t)x(0 ) (t  )BR( )d 0 Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì: t x(t) (t  )BR( )d 0 Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phƣơng pháp biến trạng thái, trƣớc tiên tìm nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái, sau đó tính: c(t) = Dx(t) Chú ý: Đáp ứng của hệ thống có thể tính từ hàm truyền: c(t) L 1[C(s)] L 1[R(s).G(s)] Hai công thức nghịch đảo của ma trận: 1 a11 a12 1 a22 a12 a21 a22 a11.a22 a12a21 a21 a11 a 22 a 32 a12 a 32 a 21 a 31 1 a 23 a 33 a13 a 33 a 22 a 32 a11 a12 a13 1 a 21 a 31 a11 a 31 a11 a 21 a 21 a 22 a 23 a a a a a a det A 23 33 13 33 13 23 a 31 a 32 a 33 a 21 a 31 a11 a 31 a11 a 21 a 22 a 32 a12 a 32 a12 a 22 49
Chương 2: Mô tả toán học detA = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 – a33 a21 a12 Thí dụ: Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền sau: s G(s) (s 1)(s 2) 1. Viết hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống trên. 2. Tính ma trận quá độ. 3. Tính đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (giả sử điều kiện đầu bằng 0). Giải: 1. Phƣơng trình vi phân mô tả hệ thống: C(s) s R(s) (s 1)(s 2) (s 2 3s 2)C(s) sR(s) c(t) 3c(t) 2c(t) r(t) (1) Đặt các biến trạng thái nhƣ sau: x (t) c(t) 1 x2 (t) x1 (t) 1r(t) c(t) 1r(t) c(t) x2 (t) 1r(t) Thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc: x 2 (t) 1r(t) 3x 2 (t) 1r(t) 2x1 (t) r(t) x 2 (t) 1r(t) 3x 2 (t) 31r(t) 2x1 (t) r(t) x 2 (t) 2x1 (t) 3x 2 (t) (1 1 )r(t) 31r(t) Chọn 1 1để đạo hàm cuả tín hiệu vào trong biểu thức trên bị triệt tiêu: x 2 (t) 2x1 (t) 3x2 (t) 3r(t) Kết hợp với biểu thức đặt biến trạng thái ta có hệ phƣơng trình sau; x1 (t) x2 (t) r(t) x2 (t) 2x1 (t) 3x2 (t) 3r(t) Viết lại dƣới dạng ma trận: x1 (t) 0 1 x1 (t) 1 r(t) x2 (t) 2 3 x2 (t) 3 Đáp ứng của hệ thống: 50
Chương 2: Mô tả toán học x1 (t) c(t) x1 (t) 1 0 x2 (t) 2. Tính ma trận quá độ: (t) L 1(s) L 1(sI A) 1  Ta có: 1 0 0 1 s 1 sI A s 0 1 2 3 2 s 3 1 1 s 3 1 1 s 3 1 (s) (sI A) 2 s 3s 2 2 s (s 1)(s 2) 2 s s 3 1 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) (t) L 1(s) L 1 2 s (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 1 s 3  1 1  L  L  (s 1)(s 2) (s 1)(s 2)   1 2  1 s  L  L  (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 1 2 1  1 1 1  L  L  s 1 s 2 s 1 s 2   1 2 2  1 1 2  L  L  s 1 s 2 s 1 s 2 (2e t 2e 2t ) (e t e 2t ) (t) t 2t t 2t ( 2e 2e ) ( e 2e ) 3. Đáp ứng của hệ thống: Trƣớc tiên ta tìm nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái. Với điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phƣơng trình trạng thái là: t x(t) (t )BR()d 0 (t ) 2(t ) (t ) 2(t ) t 2e e e e 1 (t ) 2(t ) (t ) 2(t ) d 0 2e 2e e 2e 3 t (t ) 2(t ) (t ) 2(t ) t e 2e e e (t ) 2(t ) d (t ) 2(t ) 0 e 4e e 2e 0 51
Chương 2: Mô tả toán học x (t) e t e 2t 1 t 2t x2 (t) 1 e 2e Đáp ứng của hệ thống là: x1 (t) t 2t c(t) 1 0 x1 (t) e e x2 (t) Có thể kiểm tra lại kết quả tính toán bằng phƣơng pháp hàm truyền nhƣ sau: Đáp ứng của hệ thống: C(s) = G(s)R(s) 1 Mà R(s) (tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị) s s G(s) (s 1)(s 2) 1 s 1 1 1 Nên: C(s) s (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) 1 1 1 1  t 2t Suy ra: c(t) L C(s) L  e e s 1 s 2 Chú ý: Tính ma trận quá độ bằng công thức: (t) L 1[(s)] L 1[(sI A) 1 ] tƣơng đối khó khăn về mặt tính toán. Phƣơng pháp sau đây cho phép tính ma trận quá độ dễ dàng hơn. Đối với hệ thống bậc n, ngƣời ta chứng minh đƣợc: At 2 n 1 (t) e C0 I C1[A] C2[A] C n 1[A] (*) ___ Thay A =  vào phƣơng trình (*), ta sẽ tính đƣợc các hệ số Ci ,(i 0,n 1) trong đó λ là ma trận chéo: 1 0  0 0   0  2    0 0   n và λi là nghiệm của phƣơng trình (λi đƣợc gọi là các trị riêng của hệ) det(I A) 0 52
Chương 2: Mô tả toán học Thí dụ: Tính lại ma trận quá độ trong thí dụ trên. Ta đã viết đƣợc phƣơng trình trạng thái của hệ là: x1 (t) 0 1 x1 (t) 1 r(t) x2 (t) 2 3 x2 (t) 3 Theo công thức (*), ma trận quá độ cho hệ bậc 2 là: At (t) e C0 I C1[A] Các trị riêng của hệ là nghiệm của phƣơng trình: det(I A) 0 1 0 0 1 det  0 0 1 2 3  1 det 0 2  3 ( 3) 2 0 1 1 1 2 1 0 Vậy  0 2 Thay A = λ vào phƣơng trình (1), ta đƣợc: e t 0 1 0 2 1 C C 2t 0 1 0 e 0 1 0 3 t e C0 2C1 2t e C0 3C1 t 2t C0 2e e t 2t C1 e e Thay C0 và C1 vào phƣơng trình (1), ta đƣợc: (t) C0 I C1[A] t 2t 1 0 t 2t 0 1 (2e e ) (e e ) 0 1 2 3 2e t e 2t e t e 2t (t) t 2t t 2t 2e e e 2e 53
Chương 2: Mô tả toán học 54
Chương 3: Đặc tính động học Chương 3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC 3.1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC Đặc tính động của hệ thống mô tả sự thay đổi của tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo thời gian khi có tác động của đầu vào. Trong thực tế các hệ thống điều khiển rất đa dạng, tuy nhiên những hệ thống đƣợc mô tả bằng mô hình toán học có dạng nhƣ nhau sẽ có đặc tính động học nhƣ nhau. Để khảo sát đặc tính động của hệ thống tín hiệu vào thƣờng là tín hiệu cơ bản nhƣ hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hòa. Tuỳ theo dạng của tín hiệu vào thử mà đặc tính động thu đƣợc là đặc tính thời gian hay đặc tính tần số. 3.1.1. Đặc tính thời gian Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi của tín hiệu ở đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị. r(t) c(t) Hệ thống R(s) C(s) Nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vị r(t)  (t)thì đáp ứng của hệ thống là: C(s) = R(s).G(s) = G(s) (do R(s) = 1) c(t) L 1 C(s) L 1 G(s) g(t) (1) g(t) đƣợc gọi là đáp ứng xung hay còn gọi là hàm trọng lƣợng của hệ thống. Vậy đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị. Theo biểu thức (1) đáp ứng xung chính là biến đổi Laplace ngƣợc của hàm truyền. Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị r(t) = 1(t)thì đáp ứng của hệ thống là: G(s) 1 C(s) R(s).G(s) (do R(s)= ) s s t 1 1 G(s) c(t) L C(s) L  g( )d (2) s  0 Biểu thức (2) có đƣợc do tính chất ảnh của tích phân của phép biến đổi Laplace. Đặt: 55
Chương 3: Đặc tính động học t h(t) g( )d (3) 0 h(t) đƣợc gọi là đáp ứng nấc hay còn gọi là hàm quá độ của hệ thống. Vậy đáp ứng nấc là hàm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị. Theo biểu thức (3) đáp ứng nấc chính là tích phân của đáp ứng xung. Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền là: s 1 G(s) s(s 5) Xác định hàm trọng lƣợng và hàm quá độ của hệ thống. Giải: Hàm trọng lƣợng: 1 1 s 1  1 1 4  g(t) L G(s) L  L  s(s 5) 5s 5(s 5) 1 4 g(t) e 5t 5 5 Hàm quá độ: t t t 1 4 5t 1 4 5t Cách 1: h(t) g( ) e d  e 0 0 5 5 5 25 0 1 4 4 h(t) t e 5t 5 25 25 G(s) s 1  Cách 2: h(t) 1 1 1 L L 2  s s (s 5) Thực hiện phép biến đổi Laplace ngƣợc ta đƣợc kết quả nhƣ trên. Nhận xét: Ta có thể dùng hàm trọng lƣợng hay hàm quá độ thì sẽ suy ra đƣợc hàm truyền dễ dàng bằng các công thức sau đây: G(s) L g(t) Ví dụ 2: Cho hệ thống có đáp ứng nấc đơn vị là: h(t) 1 3 2t 2e 3t Xác định hàm truyền của hệ thống. Giải: Theo đề bài, ta có: dh(t) 2t 3t 6 6 6 G(s) L  L 6e 6e ) dt  s 2 s 3 (s 2)(s 3) 3.1.2. Đặc tính tần số Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu dao động điều hoà tác động ở đầu vào của hệ thống. Xét hệ tuyến tính liên tục có hàm truyền là G(s), giả sử tín hiệu vào là tín hiệu hình sin: R r(t) R sint R(s) m m s 2  2 56
Chương 3: Đặc tính động học Tín hiệu ra của hệ thống là: Rm C(s) R(s).G(s) G(s) s 2  2 Giả sử G(s) có n cực pi phân biệt thỏa pi j , ta có thể phân tích C(s) dƣới dạng: n  C(s)  i s j s j i 1 s pi Biến đổi Laplace ngƣợc biểu thức trên, ta đƣợc: n jt jt c(t) e e i pit i 1 Nếu hệ thống ổn định thì tất cả các cực pi đều có phần thực âm. Khi đó: n lim i epit 0 t  i 1 jt jt Do đó: cxl (t) e e (6) Nếu G(s) có cực bội thì ta cũng có thể chứng minh đƣợc đáp ứng xác lập của hệ thống có dạng (6). Các hệ số và xác định bởi công thức: R R G( j) G(s) m (s j) m s 2  2 s j 2 j (7) R R G( j) G(s) m (s j) m (8) s 2  2 s j 2 j Thay (7) và (8) vào (6), rút gọn biểu thức ta đƣợc: cxl (t) Rm G( j) sin(t G( j)) (9) Biểu thức (9) cho thấy ở trạng thái xác lập tín hiệu ra của hệ thống là tín hiệu hình sin, cùng tần số với tín hiệu vào, biên độ tỉ lệ với biên độ vào (hệ số tỉ lệ là G( j) và lệch pha so với tín hiệu vào (độ lệch pha là G( j) ) Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin. C( j) Đặc tính tần số = (10) R( j) Từ định nghĩa (10) và biểu thức (9) ra rút ra: Đặc tính tần số = G(s) s j G( j) Ví dụ 3: Nếu hệ thống có hàm truyền là: 10(s 3) G(s) s(s 1) thì đặc tính tần số của hệ thống là: 10( j 3) G( j) j( j 1) 57
Chương 3: Đặc tính động học Tổng quát đặc tính tần số G( j) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dƣới dạng đại số hoặc dạng cực: j () G( j) P() jQ() M()e Trong đó: P() là phần thực Q() là phần ảo M () là đáp ứng biên độ, () là đáp ứng pha Quan hệ giữa hai cách biểu diễn G( j) nhƣ sau: M () G( j) P2 () Q2 () 1 Q() () G( j) tg P() P() M()cos () Q() M()sin () Để biểu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể dùng đồ thị. Có hai dạng đồ thị thƣờng sử dụng: Biểu đồ Bode là hình vẽ gồm 2 thành phần: 1. Biểu đồ Bode biên độ: đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarithm của đáp ứng biên độ L() theo tần số  . L() 20lg M() L() - là đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB (decibel) 2. Biểu đồ Bode pha: đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha () theo tần số  . Cả hai đồ thị trên đều đƣợc vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với trục hoành  chia theo thang logarithm cơ số 10. Khoảng cách giữa hai tần số hơn kém nhau 10 lần gọi là một decade. Biểu đồ Nyquist: (đƣờng cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G( j) trong hệ toạ độ cực khi thay đổi từ 0 . Nói cách khác đƣờng cong Nyquist là tập hợp tất cả các điểm ngọn của vectơ biểu diễn số phức (biên độ vectơ là góc của vectơ là khi thay đổi từ . Mặc dù biểu diễn dƣới dạng hai đồ thị khác nhau nhƣng thông số có đƣợc từ hệ thống từ biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist là nhƣ nhau. Tử biểu đồ Bode ta có thể suy ra đƣợc biểu đồ Nyquist và ngƣợc lại. Đặc tính tần số của hệ thống có các thông số quan trọng sau đây: Đỉnh cộng hƣởng (Mp): đỉnh cộng hƣởng là giá trị cực đại của Tần số cộng hƣởng ( p ): là tần số tại đó có đỉnh cộng hƣởng Tần số cắt biên (c ): là tần số tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (= 0dB) M ( ) 1 c L(c ) 0 Tần số cắt pha ( ): tần số tại đó pha của đặc tính tần số bằng (hay bằng 1800) 58
Chương 3: Đặc tính động học 0 ( ) 180 Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin) 1 GM M ( ) Hay GM L( ) (dB) (công thức này đƣợc sử dung nhiều hơn) Độ dự trữ pha ( M -Phase Margin) 0 . M 180 (c ) Độ dự trữ biên và độ dự trữ pha cho biết hệ thống có ổn định không. a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.1. Đồ thị biểu diễn đặc tính của tần số 3.2. CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.1 Khâu tỉ lệ Hàm truyền: G(s) = K Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = KR(s) c(t) = Kr(t) Đặc tính tần số: G(jω) = K Biên độ: M(ω) = K L(ω) = 20lgK Pha: φ(ω) = 0 59
Chương 3: Đặc tính động học g(t) h(t) K K t t b) Hàm quá độ a) Hàm trọng lượng Hình 3.2. Đặc tính thời gian của khâu tỉ lệ L( ) [dB] 20logK jQ( ) -1 0 1 lg 10-1 100 101 G(j ) P( ) ( ) [độ] K +900 -1 0 1 lg 10-1 100 101 -900 a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.3. Đặc tính tần số của khâu tỉ lệ 3.2.2.Khâu tích phân lý tƣởng 1 Hàm truyền: G(s) = s R(s) Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = s 1 1 1 Hàm trọng lƣợng: g(t) L G(s) L  1(t) s 1 G(s) 1 1  Hàm quá độ: h(t) L  L  t.1(t) s  s 2  60
Chương 3: Đặc tính động học 1 1 Đặc tính tần số: G(jω) = j j  1 1 Biên độ: M(ω) = L(ω) = 20lgM( )=20lg =-20lg   Pha: φ(ω) = -900 g(t) h(t) K 1 t t 1 a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ Hình 3.4. Đặc tính thời gian của khâu tích phân lý tưởng L( ) [dB] -20dB/dec 20 jQ( ) -1 0 1 lg -1 0 10 10 101 -20 P( ) ( ) [độ] +900 -1 0 1 lg = 0 -1 10 100 101 -900 a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.5. Đặc tính tần số của khâu tích phân lý tưởng 3.2.3. Khâu vi phân lý tƣởng Hàm truyền: G(s) = s 61
Chương 3: Đặc tính động học Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = sR(s) d Hàm trọng lƣợng: g(t) h(t)  (t) dt 1 G(s) 1 Hàm quá độ: h(t) L  L 1  (t) s  Đặc tính tần số: G(jω) = jω Biên độ: M(ω) = ω L(ω) = 20lgM( )=20lgω Pha: φ(ω) = 900 h(t) 1 t Hình 3.6. Hàm quá độ của khâu vi phân lý tưởng L( ) [dB] +20dB/dec 20 jQ( ) -1 0 1 lg -1 0 10 10 101 -20 = 0 P( ) ( ) [độ] +900 -1 0 1 lg -1 10 100 101 -900 a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.7. Đặc tính tần số của khâu vi phân lý tưởng 62
Chương 3: Đặc tính động học 3.2.4. Khâu quán tính bậc nhất 1 Hàm truyền: G(s) = Ts 1 R(s) Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = Ts 1 t 1 1  1 Hàm trọng lƣợng: g(t) L  e T 1(t) Ts 1 T t 1 1  Hàm quá độ: h(t) L  (1 e T )1(t) s(Ts 1) h(t) g(t) 1/T1 1 1/T2 0.63 t t 0 0 T1 T2 a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ Hình 3.8. Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc nhất 1 1 Tj Đặc tính tần số: G(jω) = Tj 1 1 T 2 2 1 Phần thực: P() 1 T 2 2 T Phần ảo: Q() 1 T 2 2 Biên độ: M () P2 () Q2 () 2 2 1 T 1 2 2 2 2 1 T  1 T  1 T 2 2 L(ω) = 20lgM( )=-20lg 1 T 2 2 1 Q() 1 Pha: φ(ω) =tg tg (T) P() Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 + Nếu  : đƣờng thẳng nằm ngang trùng trục hoành T 1 + Nếu  : đƣờng thẳng có độ dốc −20dB/dec T 63
Chương 3: Đặc tính động học L( ) [dB] 20 jQ( ) -1 0 1/T 1 lg 101 10-1 100 -20dB/dec -20 1 P( ) =0 G(j ) ( ) [độ] -1 0 1 lg -1 0 1 10 10 10 -450 -900 a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.9. Đặc tính tần số của khâu quán tính bậc nhất 3.2.5. Khâu vi phân bậc nhất Hàm truyền: G(s) = Ts+1 Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = R(s)(Ts+1) h(t) Đặc tính tần số: G( j) Tj 1 Biên độ: 2 2 2 2 1 M() 1 T  L  20lg 1 T  1 Pha:  tg T t Hình 3.10. Hàm quá độ của khâu Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: vi phân bậc nhất 1 + Nếu  : đƣờng thẳng nằm ngang trùng trục hoành T 1 + Nếu  : đƣờng thẳng có độ dốc +20dB/dec T 64
Chương 3: Đặc tính động học L( ) [dB] jQ( ) 20 -1 0 1/T 1 lg 101 G(j ) 10-1 100 -20dB/dec =0 P( ) 1 ( ) [độ] 900 450 -1 0 1 lg 10-1 100 101 a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.11. Đặc tính tần số của khâu vi phân bậc nhất 3.2.6. Khâu dao động bậc hai 1 - Hàm truyền: G(s) 0  1 T 2 s 2 2Ts 1 g(t) h(t) t t 0 0 a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ Hình 3.12. Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc nhất 1 - Đặc tính tần số: G( j) T 2 2 2Tj 1 65
Chương 3: Đặc tính động học 1 - Biên độ: M  2 1 T 2 2 4 2 T 2 2 2 L  20lg M () 20lg 1 T 2 2 4 2T 2 2 2T - Pha:  tg 1 1 T 2 2 Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 + Nếu  : đƣờng thẳng nằm ngang trùng trục hoành T 1 + Nếu  : đƣờng thẳng có độ dốc -40dB/dec T a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.13. Đặc tính tần số của khâu vi phân bậc nhất 3.2.7. Khâu trì hoãn (khâu trễ) Đặc điểm của khâu trễ là tín hiệu ra trễ hơn tín hiệu vào một khoảng thời gian là T. - Hàm truyền: G(s) e Ts g(t) h(t) 1 1 t t T T a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ Hình 3.14. Đặc tính thời gian của khâu trễ 66
Chương 3: Đặc tính động học - Đặc tính tần số: G( j) e Tj - Biên độ: M  1 L  0 - Pha:  T Biểu đồ Bode biên độ: là đƣờng thẳng nằm ngang trùng với trục hoành. jQ( ) L( ) [dB] -1 0 1 lg j 101 10-1 100 P( ) -1 1 ( ) [độ] -1 0 1 lg -j G(j ) -1 0 1 10 10 10 -900 -1800 a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist Hình 3.15. Đặc tính tần số của khâu trễ 3.3. ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1. Đặc tính thời gian của hệ thống Xét hệ thống có hảm truyền: m m 1 b0 s b1s bm 1s bm G(s) n n 1 a0 s a1s an 1s an Biến đổi Laplace của hàm quá độ là: G(s) 1 b s m b s m 1 b s b H(s) 0 1 m 1 m n n 1 s s a0 s a1s an 1s an Tuỳ theo đặc điểm của hệ thống mà đặc tính thời gian của hệ thống có thể khác nhau. Tuy nhiên chúng ta có thể rút ra kết luận sau đây: Nếu G(s) không có khâu tích phân, vi phân lý tƣởng thì hàm trọng lƣợng suy giảm về 0, hàm quá độ có giá trị xác lập ≠ 0. b s m b s m 1 b s b g( ) lim sG(s) lim s 0 1 m 1 m s 0 s 0 n n 1 a0 s a1s an 1s an 67
Chương 3: Đặc tính động học 1 b s m b s m 1 b s b b h( ) lim sH(s) lim s 0 1 m 1 m m 0 s 0 s 0 n n 1 s a0 s a1s an 1s an an Nếu G(s) có khâu tích phân lý tƣởng (an=0) thì hàm trọng lƣợng có giá trị xác lập ≠ 0, hàm quá độ tăng đến ∞. b s m b s m 1 b s b b g( ) lim sG(s) lim s 0 1 m 1 m m 0 s 0 s 0 n n 1 a0 s a1s an 1s an 1 1 b s m b s m 1 b s b h( ) lim sH(s) lim s 0 1 m 1 m s 0 s 0 n n 1 s a0 s a1s an 1s Nếu G(s) có vi phân lý tƣởng (bm=0) thì hàm quá độ suy giảm về 0. 1 b s m b s m 1 b s h( ) lim sH(s) lim s 0 1 m 1 0 s 0 s 0 n n 1 s a0 s a1s an 1s an Dựa vào đặc tính của hệ thống chúng ta có thể chọn phƣơng pháp phân tích, thiết kế hệ thống cho phù hợp. 3.3.2. Đặc tính tần số của hệ thống Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s). G(s) có thể phân tích thành tích các hàm truyền cơ bản sau: l G(s) Gi (s) i 1 Đặc tính tần số của hệ thống: l G( j) Gi ( j) i 1 l l - Biên độ: M () M i () L()  Li  i 1 i 1 l - Pha: ()  i  i 1 Biểu đồ Bode của hệ thống (gồm nhiều khâu ghép nối tiếp) bằng tổng biểu đồ Bode của các khâu thành phần. Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đƣờng tiệm cận. Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng: G(s) Ks G1 (s)G2 (s)G3 (s) 0: hệ thống có khâu vi phân lý tƣởng 0: hệ thống có khâu tích phân lý tƣởng Bƣớc 1: Xác định các tần số gãy i 1/Ti và sắp xếp theo thứ tự tăng dần 1 2 3  Bƣớc 2: Biểu đồ Bode gần đúng đi ngang qua điểm A có toạ độ:  0 L  20lg K 20lg0 ω0 là tần số thoả mãn 0 1 . Nếu ω1 > 1 thì có thể chọn ω0 = 1. 68
Chương 3: Đặc tính động học Bƣớc 3: Qua điểm A vẽ đƣờng thẳng có độ dốc: 20dB / dec nếu G(s) có α khâu tích phân lý tƣởng 20dB / dec nếu G(s) có α khâu vi phân lý tƣởng Đƣờng thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. 1 Bƣớc 4: Tại tần số gãy i độ dốc của đƣờng tiệm cận đƣợc cộng thêm một lƣợng: Ti 20dB / dec i nếu i là tần số gãy của khâu quán tính bậc 1 20dB / dec i nếu i là tần số gãy của khâu vi phân bậc 1 40dB / dec i nếu là tần số gãy của khâu dao động bậc 2 40dB / dec i nếu là tần số gãy của khâu vi phân bậc 2 Đƣờng thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp Bƣớc 5: Lập lại bƣớc 4 cho đến khi vẽ xong đƣờng tiệm cận tại tần số gãy cuối cùng. Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền là: 100(0,1s 1) G(s) s(0,01s 1) Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống. Giải: Các tần số gãy: 1 1 1 1 1 10(rad / sec) 2 100(rad / sec) T1 0,1 T2 0,01 Biểu đồ Bode qua điểm A có toạ độ:  1 L  20lg K 20lg100 40 Biểu đồ Bode có biên độ gần đúng nhƣ sau: Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103rad/sec. 69
Chương 3: Đặc tính động học Thí dụ 2: Xác định hàm truyền của hệ thống có biểu đồ Bode biên độ gần đúng nhƣ sau: 54 26 - Độ dốc đoạn CD: 40(dB / dec) 2 1.301 - Các tần số gãy: 40 26 lg  0 0.7  100.7 5(rad / sec) g1 20 g1 1.301 lg g 2 1.301 g 2 10 20(rad / sec) 2 lg g3 2 g3 10 100(rad / sec) - Hàm truyền cần tìm có dạng: 2 K T1s 1 T2 s 1 G(s) 2 s T3s 1 20lg K 40 K 100 1 1 1 1 1 1 T1 0.2 T2 0.05 T3 0.01 g1 5 g 2 20  g3 100 70
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Chương 4 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 4.1. KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Định nghĩa: ổn định BIBO Hệ thống đƣợc gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn. Mối liên hệ giữa tính ổn định và hàm truyền mô tả hệ thống: Cực và zero Cho hệ thống tự động có hàm truyền: m m 1 C(s) b0 s b1s  bm 1s bm G(s) n n 1 R(s) a0 s a1s  an 1s an n n 1 Đặt: A(s) a0s a1s  an 1s an : mẫu số hàm truyền m m 1 B(s) b0 s b1s  bm 1s bm : tử số hàm truyền Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phƣơng trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên có hệ thống có m zero ký hiệu là zi, i=1, 2, , m. Cực: là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phƣơng trình A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n ký hiệu là pi, i =1, 2, , n. Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức. Giản đồ cực - zero Điều kiện ổn định 71
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực. - Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định. - Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định. - Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dƣơng (có ít nhất một cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định. Phƣơng trình đặc trƣng (PTĐT) - Phƣơng trình đặc trƣng: phƣơng trình A(s) = 0 - Đa thức đặc trƣng: đa thức A(s) Chú ý: Hệ thống hồi tiếp: Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống: G(s) G (s) k 1 G(s)H(s) Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống hồi tiếp là: 1+G(s)H(s) = 0 Hệ thống đƣợc mô tả bởi hệ PTTT: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Dx(t) Hàm truyền của hệ thống là: G(s) D(sI A) 1 B Phƣơng trình đặc trƣng của hệ: det(sI − A) = 0 4.2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4.2.1. Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phƣơng trình đặc trƣng phải khác 0 và cùng dấu. Thí dụ: Hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng: 3 2 s 3s 2s 1=0 không ổn định 4 2 s 2s 5s 3 0 không ổn định 4 3 2 s 4s 5s 2s 1 0 chƣa kết luận đƣợc 4.2.2. Tiêu chuẩn ổn định đại số Cho hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng: 72
Chương 4: Khảo sát tính ổn định a s n a s n 1  a s a 0 0 1 n 1 n Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trƣớc tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: - Bảng Routh có n+1 hàng. - Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn. - Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ. - Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) đƣợc tính theo công thức: cij ci 2, j 1 ici 1, j 1 ci 2,1 Với: i ci 1,1 n c c a c a 6 s 11 a0 12 2 13 4 c14 a n 1 7 s c21 a1 c22 a3 c23 a c24 a n 2 s c31 c12 3c22 c32 c13 3c23 c33 c14 3c24 c34 c15 3c25 c11 3 c21 c s n 3 c c c c c c c c c c c c 21 41 22 4 32 42 23 4 33 43 24 4 34 44 25 4 35 4 c31 0 cn 2.1 s cxl cn 2.2 ncn 1.2 n cn 1.1 Phát biểu tiêu chuẩn Routh: Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng nằm bên phải mặt phẳng phức. Thí dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng là: s 4 4s3 5s 2 2s 1 0 Giải: Bảng Routh s 4 1 5 1 s 3 4 2 0 1 2 1 9 1 s 5 .2 3 4 4 2 8 s1 8 10 0 2 .1 4 9 9 9 81 1 5 20 73
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Vì tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dƣơng nên tất cả các nghiệm của phƣơng trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định. Thí dụ 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống tự động có sơ đồ khối nhƣ sau: 50 1 G(s) H(s) s(s 3)(s 2 s 5) s 2 Giải: Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống là: 1 G(s)H(s) 0 50 1 1 . 0 s(s 3)(s2 s 5) (s 2) s(s 3)(s2 s 5)(s 2) 50 0 s5 6s4 16s3 31s2 30s 50 0 Bảng Routh: s 5 1 16 30 s 4 6 31 50 1 3 1 1 0 s 16 .31 10.83 30 .50 21.67 3 6 6 6 8 2 6 50 s 31 21.67 18.99 4 9 10.83 10.83 1 10.83 0 s 21.67 50 6.84 5 18.99 18.99 s 0 50 Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phƣơng trình đặc tính đều có 2 nghiệm nằm bêm phải mặt phăng phức, do đó hệ thống không ổn định. Thí dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau: K G(s) s(s 2 s 1)(s 2) Xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định: 74
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Giải: Phƣơng trình đặc tính: 1 G(s) 0 K 1 0 s(s 2 s 1)(s 2) s 4 3s 3 3s 2 2s K 0 Bảng Routh: s 4 1 3 K s 3 3 2 0 1 2 1 7 K s 3 .2 3 3 3 3 9 1 9 0 s 2 .K 4 7 7 s 0 K Điều kiện để hệ thống ổn định: 9 2 K 0 14 7 0 K 9 K 0 Các trƣờng hợp đặc biệt: Trƣờng hợp đặc biệt 1: Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số ε dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán đƣợc tiếp tục. Thí dụ: Xét tính ổn định của hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng là: s 4 2s3 4s 2 8s 3 0 Giải: Bảng Routh: 1 4 3 2 8 0 1 1 3 4 .8 0 3 2 2  0 3 0 K Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định . Trƣờng hợp đặc biệt 1: Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0: - Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trƣớc hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s). 75
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục. Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng. Thí dụ: Xét tính ổn định của hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng: s5 4s4 8s3 8s 2 7s 4 0 Xác định số nghiệm của phƣơng trình đặc tính nằm bên trái, bên phải hay trên trục ảo của mặt phẳng phức. Giải: Bảng Routh: s 5 1 8 7 s 4 4 8 4 1 3 1 1 0 s 8 8 6 7 4 6 3 4 4 4 4 2 4 4 s 8 6 4 4 6 16 6 1 6 0 s 6 4 0 5 14 4 8 4 0 4 s 4 0 4 6 8 8 dA (s) Đa thức phụ: A (s) 4s 2 4 0 8s 0 0 ds Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng): 2 A0 (s) 4s 4 s j Kết luận: - Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phƣơng trình đặc trƣng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. - Phƣơng trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo. - Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 4-2=2 Hệ thống ở biên giới ổn định. 4.2.3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz: Cho hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng: n n 1 a0 s a1s  an 1s an 0 Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trƣớc tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: - Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n x n. - Đƣờng chéo của ma trận Hurwitz gồm các hệ số từ a1 đến an. - Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đƣờng chéo và giảm dần nếu ở bên trái đƣờng chéo. 76
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đƣờng chéo và giảm dần nếu ở bên trái đƣờng chéo. a1 a3 a5 a7  0 a a a a  0 0 2 4 6 0 a1 a3 a5  0 0 a0 a2 a4  0       0     an Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đƣờng chéo của ma trận Hurwitz đều dƣơng. Thí du: Cho hệ thống tự động có phƣơng trình đặc trƣng là: s3 4s 2 3s 2 0 Hỏi hệ thống có ổn định không ? Giải: Ma trận Hurwitz: a1 a3 0 4 2 0 a a 0 1 3 0 0 2 0 a1 a3 0 4 2 Các định thức: 1 a1 1 a1 a3 4 2 2 4 3 1 2 10 a0 a2 1 3 a1 a3 0 a1 a3 4 2 3 a0 a2 0 a3 2 2 10 20 a0 a2 1 3 0 a1 a3 Vì tất cả các định thức con chứa đƣờng chéo của ma trận Hurwitz đều dƣơng nên hệ thống ổn định. Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz Hệ bậc 2 ổn định nếu phƣơng trình đặc trƣng thỏa mãn điều kiện: ___ ai 0, i 0,2 Hệ bậc 3 ổn định nếu phƣơng trình đặc trƣng thỏa mãn điều kiện: ___ a 0, i 0,3 i a1a2 a0a3 0 Hệ bậc 4 ổn định nếu phƣơng trình đặc trƣng thỏa mãn điều kiện: 77
Chương 4: Khảo sát tính ổn định ___ ai 0, i 0,4 a1a2 a0 a3 0 3 2 a a a a a a a 0 1 2 3 0 3 1 4 4.3. PHƢƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ 4.3.1. Khái niệm - Xét hệ thống có phƣơng trình đặc tính: s 2 4s K 0 (1) - Nghiệm của phƣơng trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K. Vẽ các nghiệm của phƣơng trình (1) tƣơng ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +∞, tập hợp tất cả các nghiệm của phƣơng trình (1) tạo thành những đƣờng đậm nét nhƣ trên hình vẽ. Đƣờng đậm nét trên hình vẽ đƣợc gọi là quỹ đạo nghiệm số. Định nghĩa: Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞. 4.3.2. Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số Xét hệ thống điều khiển: Phƣơng trình đặc tính của hệ: 1+G(s)H(s) = 0 Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trƣớc tiên ta phải biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình đặc trƣng về dạng: N(s) 1 K 0 (2) D(s) 78
Chương 4: Khảo sát tính ổn định N(s) Đặt: G (s) K 0 D(s) Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của Go(s). (2) 1 G0 (s) 0 G0 (s) 1 Điều kiện biên độ Điều kiện pha G0 (s) (2l 1) Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống có phƣơng trình đặc tính có dạng (2): Qui tắc vẽ QĐNS Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phƣơng trình đặc tính = số cực của G0(s) = n. Qui tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s). Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6. Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực. Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ. Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đƣờng tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi : (2l 1) l 1, 1, 2 n m Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi: n m p z cuc zero  i  i OA   i 1 i 1 n m n m Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phƣơng trình: dK 0 ds Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay s=jω vào phƣơng trình đặc trƣng (2), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm đƣợc giao điểm với trục ảo và giá trị K. Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj đƣợc xác định bởi: m n 0  j 180 arg pi zi arg p j zi i 1 i 1 i j Dạng hình học của công thức trên là: 0  j 180  góc từ các zero đến cực pj ) − (  góc từ các cực còn lại đến cực p j ) 79
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0→∞. Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ: N(s) K 1 D(s) Thí dụ: Cho hệ thống có sơ đồ khối sau: K G(s) s(s 2)(s 3) Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K=0→∞. Giải: Phƣơng trình đặc tính của hệ thống: K 1 G(s) 0 1 0 s(s 2)(s 3) Các cực: 3 cực p1 0 p2 2 p3 3 Các zero: không có QĐNS gồm có 3 nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0. Khi K→∞, 3 nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực: l 0 1 3 2l 1 2l 1 2 l 1 n m 3 0 3 3 l 1 - Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực: cuc zero 0 ( 2) ( 3) 0 5 OA   n m 3 0 3 dK - Điểm tách nhập là nghiệm của phƣơng trình đặc tính: 0 ds Ta có: 1 K s(s 2)(s 3) s 3 5s 2 6s dK 3s 2 10s 6 ds dK s1 2.549 0 ds s2 0.785 80
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể đƣợc xác định bằng 1 trong 2 sau đây: Cách 1: Áp dụng tiêu chuẩn Routh: 1 s3 5s 2 6s K 0 (2) Bảng Routh s3 1 6 s2 5 K 1 s1 1 0 6- xK=0 3 5 5 s0 K Điều kiện để hệ thống ổn định 1 6 K 0 5 0 K 30 K 0 Vậy hệ số khuếch đaị giới hạn là Kgh = 0 Thay giá trị Kgh = 30 vào phƣơng trình (2) , giải phƣơng trình ta đƣợc giao điểm của QĐNS của trục ảo. 1 s3 5s 2 6s 30 0 s1 5 s2 j 6 s3 j 6 dK Do đó: 0 3s 2 16s 20 0 ds s1 3.33 s2 2.00 Vậy QĐNS có 2 điểm tách nhập. Giao điểm của QĐNS với trục ảo đƣợc xác định bằng cách thay s j vào phƣơng trình đặc tính. - j 3 5 j 2 6 j K 0 j3 52 6 j K 0  0 3 j 6 j 0 K 0 2 5 K 0  6 K 30 81
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Thí dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là: K G(s) s s 2 8s 20 Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→∞. Giải: Phƣơng trình đặc tính của hệ thống: K 1 G(s) 0 1 0 (1) s(s 2 8s 3) Các cực: 3 cực p1 0 p2,3 4 j2 Các zero: không có QĐNS gồm 2 nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0. Khi K →∞, 3 nhánh tiến đến vộ cùng theo tiệm cận xác định bởi: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực: l 0 1 3 2l 1 2l 1 2 l 1 n m 3 0 3 3 l 1 82
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực: cuc zero 0 ( 4 j2) ( 4 j2) 0 8 OA   n m 3 0 3 dK - Điểm tách nhập là nghiệm của phƣơng trình: 0 ds Ta có: 1 K s 3 8s 2 20s dK 3s 2 16s 20 ds dK 2 s1 3.33 Do 0 3s 16s 20 ds s2 2.00 Vậy QĐNS có 2 điểm tách nhập. - Giao điểm của QĐNS với trục ảo - (1) s3 8s 2 20s K 0 Thay s j ta đƣợc: 1 s3 8s 2 20s K 0 j 3 8 j 2 20 j K 0 j 3 8 j 2 20 j K 0  0 3 8 j K 0 K 0 3  20 0  20 K 160 0  2 180 arg p2 p1 arg p2 p3  1800 arg 4 j2 0 arg 4 j2 4 j2  2  1800 tg 1 90 1  1800 153.5 90 0  2 63.5 K(s 1) G(s) s(s 3) s 2 8s 20 K(s 1) 1 G(s) 0 1 0 s(s 3) s 2 8s 20 p1 0 p2 3 p3,4 4 j2 z1 1 83
Chương 4: Khảo sát tính ổn định l 0 1 3 2l 1 2l 1 2 l 1 n m 4 1 3 3 l 1 cuc zero 0 ( 3) ( 4 j2) 4 j2  1 10 OA   n m 4 1 3 s(s 3) s 2 8s 20 dK 3s 4 36s 3 77s 2 88s 60 1 K (s 1) ds s 1 2 dK s1,2 3.67 j1.05 0 ds s3,4 0.66 j0.97 1 s 4 11s3 44s 2 60 K s K 0 (2)  4 11j 3 44 2 60 K j K 0  0 K 0  4 44 j 2 K 0  5.893 V 3 2 11 44 60 K  K 322  j1.314 K 61.7 Vậy giao điểm cần tìm là: s j5.893 Hệ số khuếch đại giới hạn là: K gh 322 - Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3: 3 180 1  2 3  4 180 146,3 (153,4 116,6 90) 0 3 33.7 Thí dụ 4: Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối nhƣ sau: 10 G(s) s 2 9s 3 K G (s) K I C P s 84
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Cho KI = 2,7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K P 0 . Biết rằng dK P / ds 0 có 3 nghiệm là: -3, -3, 1.5. - Khi K P 270, K I 2.7, hệ thống có ổn định không? Giải: - Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống: 1 GC (s)G(s) 0 2.7 10 1 K P 0 s s 2 9s 3 10K s 1 P 0 (s 9)(s 2 3) - Các cực: p1 9 p2 j 3 p3 j 3 - Các zero: z1=0 - Tiệm cận: 2l 1 2l 1 / 2 (l 0 n m 3 1 / 2 l 1 cuc zero 9 ( j 3) ( j 3) 0 9 OA     n m 3 1 2 s1 3 dK P - Điểm tách nhập 0 s2 3 ds s3 1.5 QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tại -3. Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2. 0  2 180 arg p2 z1 arg p2 z1 arg p2 p3  1800 arg j 3 0 arg j 3 9 arg j 3 j 3  3  0 1 180 90 tg 90 9  0  2 169 85
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Khi K I 2.7, QĐNS của hệ thống nằm hoàn toàn bên trái mặt phẳng phức khi K P 0 , do đó hệ thống ổn định khi , K P 270. 4.4. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.1. Khái niệm về đặc tính tần số: Xét hệ thống tuyến tính khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở trạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số với tín hiệu vào, khác biên độ và pha. r(t)=Rmsin(jω) c(t)=Cmsin(jω+φ) HT R(jω) C(jω) Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin. C j Đặc tính tần số R( j) Ngƣời ta chứng minh đƣợc: G(s) G( j) Đặc tính tần số s j 10(s 3) Thí dụ: Nếu hệ thống có hàm truyền là G(s) thì đặc tính tần số của hệ thống là s(s 1) 10( j 3) G( j) j( j 1) Tổng quátG( j) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dƣới dạng đại số hoặc dạng cực: G( j) P() jQ() M().e j () Trong đó: M  G j P2  Q2  : đáp ứng biên độ 86
Chương 4: Khảo sát tính ổn định 1 Q   G j tg : đáp ứng pha P  Đặt: L  20lg M  : đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB(decibel). Ý nghĩa vật lý: - Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. - Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần: 1. Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω. 2. Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa pha φ(ω) theo tần số ω. Cả hai đồ thị trên đều đƣợc vẽ trong hệ toạ độ vuông góc với trục hoành ω đƣợc chia theo thang logarith (cơ số 10). Biểu đồ Nyquist: (đƣờng cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(jω) trong hệ toạ độ cực khi ω thay đổi từ 0→∞. Đặc tính tần số của hệ thống có các thông số quan trọng sau đây: - Đỉnh cộng hƣởng (Mp): đỉnh cộng hƣởng là giá trị cực trị đại của M(ω) - Tần số cộng hƣởng (ωp): là tần số tại đó có đỉnh cộng hƣởng. - Tần số cắt biên (ωc): là tần số tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng 0dB) M(ωc) = 1 Lωc) = 0 - Tần số cắt pha (ω-π): là tần số tại đó pha của đặc tính tần số bằng -π (hay bằng -1800) 0  180  rad - Độ dự trữ biên (GM-Gain Margin) 1 GM GM L  [dB] M  - Độ dự trữ pha (ФM-Phase Margin) 0 - M 180 c 87
Chương 4: Khảo sát tính ổn định a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist 4.4.2. Tiêu chuẩn ổn định Bode: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). Tiêu chuẩn Bode: hệ thống kín Gk (s)ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dƣơng: GM 0 Hệ thống ổn định M 0 Thí dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode nhƣ hình vẽ. xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống hở. Hỏi hệ kín có ổn định không? 88
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Theo biểu đồ Bode: c 5  2 L  35dB 0 c 270 GM 35dB M 1800 2700 900 Do GM 0 và M 0 Nên hệ thống kín ổn định. 4.4.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối: Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đƣờng cong Nyquist của hệ hở bao l điểm (-1, j0) vòng theo chiều dƣơng (ngƣợc chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 2 0→+∞, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải của mặt phẳng phức. Thí dụ 1: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đƣờng cong Nyquist nhƣ hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn địnhcủa hệ thống kín. Giải: Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đƣờng cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0) - Trƣờng hợp 1: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định. - Trƣờng hợp 2: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định. 89
Chương 4: Khảo sát tính ổn định - Trƣờng hợp 3: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định. Thí dụ 2: Hãy đánh giá tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hàm truyền hệ hở G(s) là: K G(s) s(T1s 1)(T2 s 1)(T3s 1) Giải: Biểu đồ Nyquist: Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đƣờng cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0) - Trƣờng hợp 1: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định. - Trƣờng hợp 2: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định; - Trƣờng hợp 3: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định Thí dụ 3: Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số nhƣ các hình vẽ dƣới đây. Hỏi trƣờng hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Không ổn định Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số nhƣ các hình vẽ dƣới đây. Hỏi trƣờng hợp nào hệ kín ổn định. 90
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Không ổn định Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số nhƣ các hình vẽ dƣới đây. Hỏi trƣờng hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Không ổn định K Thí dụ 4: Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là: G(s) K 0,T 0,n 2 (Ts 1)n Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiêp âm đơn vị) ổn định. Giải: K Đặc tính tần số của hệ thống là: G( j) (Tj 1)n K - Biên độ: M  n T 2 2 1 - Pha:  ntg 1 T Biểu đồ Nyquist: 91
Chương 4: Khảo sát tính ổn định Điều kiện ổn định: đƣờng cong Nyquist không bao điểm (-1, j0). Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi: M  1 1 Ta có:  ntg T 1 tg T T tg n n 1  tg T n K Do đó: M  1 n 1 2 2 1 T tg 1 T n n K tg 2 1 n 92
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Chương 5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 5.1. CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƢỢNG 5.1.1. Sai số xác lập Xét hệ thống hồi tiếp có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ: Sai số: là sai lệch giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp. Sai số hệ thống là: e(t) r(t) cht (t) E(s) R(s) Cht (s) - Sai số xác lập: là sai số của hệ thống khi thời gian tiến đến vô cùng. exl lim e(t) exl lim sE(s) t 0 s 0 - Sai số xác lập không những phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào. Đáp ứng quá độ: Độ vọt lố - Hiện tƣợng vọt lố: là hiện tƣợng đáp ứng của hệ thống vƣợt quá giá trị xác lập của nó. - Độ vọt lố: (Percent of Overshoot – POT) là đại lƣợng đánh giá mức độ vọt lố của hệ thống, độ vọt lố đƣợc tính bằng công thức: c c POT max xl 100% cxl 93
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển - Thời gian quá độ (tqđ): là thời gian cần thiết để sai lệch giữa đáp ứng của hệ thống và giá trị xác lập của nó không vƣợt quá ε%. ε% thƣờng chọn là 2% (0.02) hoặc 5% (0.05) - Thời gian lên (tr): là thời gian cần thiết để đáp ứng của hệ thống tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập của nó. Biều thức sai số xác lập R(s) Ta có: E(s) 1 R(s)H(s) sR(s) exl lim sE(s) lim Suy ra: s 0 s 0 1 R(s)H(s) Nhận xét: sai số xác lập không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào. 1 a. Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị: R(s) (hệ số vị trí) s 94
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển 1 exl với K P lim G(s)H(s) s 0 1 K P 1 b. Tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị: R(s) (hệ số vận tốc) s 2 1 exl KV lim G(s)H(s) s 0 KV 1 c. Tín hiệu vào là hàm parabol: R(s) (hệ số gia tốc) s 3 1 exl Ka lim G(s)H(s) s 0 K a Mối liên hệ giữa số khâu tích phân trong G(s)H(s) và sai số xác lập - Tùy theo số khâu tích phân lý tƣởng có trong hàm truyền G(s)H(s) mà các hệ số Kp, Kv, Ka có giá trị nhƣ sau: Số khâu tích phân Hệ số vị trí Hệ số vận tốc Hệ số gia tốc trong G(s)H(s) K P KV K a 0 3 Nhận xét: - Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0 thì hàm truyền G(s)H(s) phải có ít nhất 1 khâu tích phân lý tƣởng. - Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm dốc bằng 0 thì hàm truyền G(s)H(s) phải có ít nhất 2 khâu tích phân lý tƣởng. - Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm parabol bằng 0 thì hàm truyền G(s)H(s) phải có ít nhất 3 khâu tích phân lý tƣởng. Đáp ứng quá độ: Hệ quán tính bậc 1: K Hàm truyền hệ quán tính bậc 1: G(s) Ts 1 1 Hệ quán tính bậc 1 có một cực thực: p 1 T 1 K C(s) R(s)G(s) . Đáp ứng quá độ: s Ts 1 c(t) K 1 e t / T 95
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu quán tính bậc 1 của khâu quán tính bậc 1 Nhận xét về hệ quán tính bậc 1: - Hệ quán tính bậc 1 chỉ có 1 cực thực (−1/T), đáp ứng quá độ không có vọt lố. - Thời hằng T: là thời điểm đáp ứng của khâu quán tính bậc 1 đạt 63% giá trị xác lập. - Cực thực (−1/T) càng nằm xa trục ảo thì thời hằng T càng nhỏ, hệ thống đáp ứng càng nhanh. - Thời gian quá độ của hệ quán tính bậc 1 là: 1 tqd T ln  với ε = 0.02 (tiêu chuẩn 2%) hoặ ε = 0.05 (tiêu chuẩn 5%). Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ quán tính bậc 1 - Cực nằm càng xa trục ảo đáp ứng của hệ quán tính bậc 1 càng nhanh, thời gian quá độ càng ngắn. Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu quán tính bậc 1 của khâu quán tính bậc 1 Hệ dao động bậc 2: Hàm truyền hệ dao động bậc 2: 96
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển 2 K Kn 1 G(s) 2 2 2 2 n ,0  1 T s 2Ts 1 s 2 n s n T 2 Hệ dao động bậc 2 có cực phức: p1,2  n jn 1  2 1 Kn C(s) R(s)G(s) . 2 2 s s 2 n s n Đáp ứng quá độ:  nt  e 2 c(t) K 1 sin n 1  t   cos  2 1   Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc 2 của khâu dao động bậc 2 Nhận xét về hệ dao động bậc 2: Hệ quán tính bậc 1 Nhận xét về hệ quán tính bậc 1 - Hệ quán tính bậc 1 chỉ có 1 cực thực (−1/T), đáp ứng quá độ không có vọt lố. - Thời hằng T: là thời điểm đáp ứng của khâu quán tính bậc 1 đạt 63% giá trị xác lập. - Cực thực (−1/T) càng nằm xa trục ảo thì thời hằng T càng nhỏ, hệ thống đáp ứng càng nhanh. - Thời gian quá độ của hệ quán tính bậc 1 là: 1 tqd T ln  với ε = 0.02 (tiêu chuẩn 2%) hoặc ε = 0.05 (tiêu chuẩn 5%) Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ quán tính bậc 1. 97
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển - Cực nằm càng xa trục ảo đáp ứng của hệ quán tính bậc 1 càng nhanh, thời gian quá độ càng ngắn. Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu quán tính bậc 1 của khâu quán tính bậc 1 Hệ dao động bậc 2 Hàm truyền hệ dao động bậc 2: 2 K Kn 1 G(s) 2 2 2 2 n ,0  1 T s 2Ts 1 s 2 n s n T p  j 1  2 - Hệ dao động bậc 2 có cặp cực phức: 1,2 n n - Đáp ứng quá độ: 2 1 Kn C(s) R(s)G(s) . 2 2 s s 2 n s n  nt  e 2 c(t) K 1 sin n 1  t   cos  1  2  98
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc 2 của khâu dao động bậc 2 Nhận xét về hệ dao động bậc 2 - Hệ dao động bậc 2 có cặp cực phức, đáp ứng quá độ có dạng dao động với biên độ giảm dần. - Nếu ξ = 0, đáp ứng của hệ là dao động không suy giảm với tần số ωn ⇒ ωn gọi là tần số dao động tự nhiên. - Nếu 0< ξ <1, đáp ứng của hệ là dao động với biên độ giảm dần ⇒ ξ gọi là hệ số tắt (hay hệ số suy giảm), ξ càng lớn (cực càng nằm gần trục thực) dao động suy giảm càng nhanh. - Nhận xét về hệ dao động bậc 2 - Đáp ứng quá độ của hệ dao động bậc 2 có vột lố:  POT exp .100% 1  2 Độ vọt lố: 99
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển ξ càng lớn (cặp cực càng nằm gần trục thực) POT càng nhỏ. ξ càng nhỏ (cặp cực phức càng nằm gần trục ảo) POT càng lớn. Thời gian quá độ: 3 Tiêu chuẩn 5%: tqd  n 4 Tiêu chuẩn 2%: tqd  n Quan hệ giữa hệ số tắt và độ vọt lố Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ dao động bậc 2. Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm trên cùng 1 tia xuất phát từ góc tọa độ thì có hệ số tắt bằng nhau, do đó có độ vọt lố bằng nhau. Hệ nào nằm xa gốc tọa độ hơn thì có tần số dao động tự nhiên lớn hơn, do đó thời gian quá độ ngắn hơn. Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc 2 của khâu dao động bậc 2 Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm cách gốc tọa độ một khoảng bằng nhau thì có cùng tần số dao động tự nhiên, hệ nào có cực nằm gần trục ảo hơn thì có hệ số tắt nhỏ hơn, do đó độ vọt lố cao hơn, thời gian quá độ dài hơn. 100
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc 2 của khâu dao động bậc 2 Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ dao động bậc 2. Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm cách trục ảo một khoảng bằng nhau thì có ξωn bằng nhau, do đó thời gian quá độ bằng nhau. Hệ nào có cực nằm xa trục thực hơn thì có hệ số tắt nhỏ hơn, do đó độ vọt lố cao hơn. Giản đồ cực – zero Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc 2 của khâu dao động bậc 2 Hệ bậc cao Hệ bậc cao có nhiều hơn 2 cực Nếu hệ bậc cao có 1 cặp cực phức nằm gần trục ảo hơn so với các cực còn lại thì có thể xấp xỉ hệ bậc cao về hệ bậc 2. Cặp cực phức nằm gần trục ảo nhất gọi là cặp cực quyết định của hệ bậc cao. 101
Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Hệ bậc cao có nhiều hơn 2 cực Hệ bậc cao có thể xấp xỉ về hệ bậc 2 với cặp cực quyết định Cácc tiêu chuẩn tối ƣu hóa đáp ứng quá độ Tiêu chuẩn IAE (Integral of the Absolute Magnitude of the Error ) J e(t)dt IAE 0 Tiêu chuẩn ISE (Integral of the Square of the Error) J e2 (t)dt ISE 0 Tiêu chuẩn ITAE (Integral of Time multiplied by the Absolute Value of the Error) J t e(t)dt ITAE 0 Hệ bậc 2: J IAE min  0.707 J ISE min  0.5 J ITAE min  0.707 Đáp ứng của hệ bậc 2 Tiêu chuẩn ITAE đƣợc sử dụng phổ biến nhất - Để đáp ứng quá độ của hệ thống bậc n là tối ƣu theo chuẩn ITAE thì mẫu số hàm truyền kín hệ bậc n phải có dạng. Bậc Mẫu số hàm truyền 102