›
›

Công thức Toán học sơ cấp

pdf 96 trang Đức Chiến 03/01/2024 430
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công thức Toán học sơ cấp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcong_thuc_toan_hoc_so_cap.pdf

Nội dung text: Công thức Toán học sơ cấp

  1. 2008 Công Thức Toán Học Sơ Cấp Handbook of Primary Mathematics Tóm tắt các định lý, tính chất và công thức toán cơ bản nhất, dễ hiểu nhất. Deltaduong TND® Corp. 12/10/2008
  2. Mục lục I. SỐ HỌC 8 1. Các dấu hiệu chia hết 8 2. Các giá trị trung bình 8 II. GIẢI TÍCH KẾT HỢP 9 A. CÁC LOẠI KẾT HỢP 9 1. Hoán vị (không lặp) 9 2. Hoán vị lặp 9 3. Chỉnh hợp (không lặp) 10 4. Chỉnh hợp lặp 10 5. Tổ hợp (không lặp) 11 6. Tổ hợp lặp 11 B. NHỊ THỨC NEWTON 12 III. ĐẠI SỐ 14 1. Các phép toán trên các biểu thức đại số 14 2. Tỷ lệ thức 17 3. Số phức 18 4. Phương trình 19 5. Bất đẳng thức và bất phương trình 24 6. Cấp số; một số tổng hữu hạn 29 7. Logarith 30 IV. HÌNH HỌC 31 A. CÁC HÌNH PHẲNG 31 ii
  3. 1. Tam giác 31 2. Đa giác 35 3. Hình tròn 37 4. Phương tích 39 B. THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH 41 1. Hình lăng trụ 41 2. Hình chóp đều 41 3. Hình chóp cụt đều 41 4. Hình trụ 42 5. Hình nón 42 6. Hình nón cụt 42 7. Hình cầu 43 V. LƯỢNG GIÁC 44 1. Hàm số lượng giác và dấu của nó 44 2. Hàm số lượng giác của một số góc đặc biệt 45 3. Một số công thức đổi góc 46 4. Các công thức cơ bản 46 5. Hàm số lượng giác của góc bội 47 6. Công thức hạ bậc 48 7. Hàm số lượng giác của tổng và hiệu các góc 48 8. Biến đổi tổng và hiệu của hai hàm số lượng giác 49 9. Biến đổi tích của hai hàm số lượng giác 50 10. Công thức góc chia đôi 51 iii
  4. 11. Một số công thức đối với các góc trong một tam giác (  là các góc trong một tam giác) 52 12. Một số công thức khác 52 13. Công thức liên hệ giữa các hàm số lượng giác 55 VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG 56 1. Điểm 56 2. Phép đổi trục tọa độ (Hình 20) 56 3. Tọa độ cực (Hình 21) 57 4. Phép quay các trục tọa độ 57 5. Phương trình đường thẳng 58 6. Hai đường thẳng 58 7. Đường thẳng và điểm 59 8. Diện tích tam giác 60 9. Phương trình đường tròn 61 10. Ellipse (Hình 23) 61 11. Hyperbola (Hình 24) 63 12. Parabola(Hình 25) 65 VII. ĐẠI SỐ VECTOR 67 1. Các phép toán tuyến tính trên các vector 67 2. Phép chiếu vector lên trục hoặc vector () 68 3. Các thành phần và tọa độ của vector (Hình 34) 69 4. Các phép toán tuyến tính trên các vector được cho nhờ các tọa độ 69 5. Tích vô hướng của hai vector 69 iv
  5. 6. Tích vector của hai vector 71 7. Tích hỗn hợp của ba vector 72 VIII. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 73 1. Giới hạn 73 2. Đạo hàm và vi phân 74 3. Ứng dụng hình học của đạo hàm 77 4. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 77 IX. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 84 A. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 84 1. Định nghĩa 84 2. Các tính chất đơn giản nhất 84 3. Tích phân các hàm hữu tỷ 85 4. Tích phân các hàm vô tỷ 87 5. Tích phân của hàm lượng giác 90 B. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 92 1. Định nghĩa 92 2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 92 3. Một số ứng dụng của tích phân xác định 92 v
  6. MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC = Bằng a=b  Đồng nhất bằng a b Không bằng (khác) a b Xấp xỉ bẳng a b Lớn hơn a>b Nhỏ hơn hoặc bằng a b Lớn hơn hoăc bằng a b Tương đương Mệnh đề A mệnh đề B | | Giá trị tuyệt đối của một số |a| + Cộng a+b - Trừ a-b . (hoặc ) Nhân a.b hoặc a b : (hoặc __) Chia a a:b hoặc b am a lũy thừa m 242 Căn bậc hai 42 n Căn bậc n 3 32 2 i Đơn vị ảo i2 1 loga b Logarith cơ số a của b log3 9 2 lga Logarith thập phân của a log10=1 lna Logarith tự nhiên (cơ số e) của a n! n giai thừa 4!=1.2.3.4=24  Tam giác ABC Góc phẳng ABC  Cung AB AB, AB Đoạn thẳng AB  AB Vector AB  Vuông góc  Song song 6
  7. # Song song và bằng Đồng dạng     Song song và cùng chiều AB DC     Song song và ngược chiều AB CD ñoä  ' phuùt goùc phaúng hoaëc cung 1310'35'' '' giaây  7
  8. I. SỐ HỌC 1. Các dấu hiệu chia hết Cho 2: Số (và chỉ số đó) có chữ số tận cùng chẵn hoặc bằng không. Cho 4: Số (và chỉ số đó) có hai chữ số tận cùng bằng không hoặc làm thành một số chia hết cho 4 (quy ước 4=04; 8=08). Cho 8: Số (và chỉ số đó) có ba chữ số tận cùng bằng không hoặc làm thành một số chia hết cho 8 (quy ước 8=008; 16=016). Cho 3: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số chia hết cho 3. Cho 9: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số chia hết cho 9. Cho 6: Số (và chỉ số đó) đồng thời chia hết cho 2 và 3. Cho 5: Số (và chỉ số đó) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Cho 25: Số (và chỉ số đó) có hai chữ số tận cùng là 0 hoặc làm thành một số chia hết cho 25. Cho 11: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số ở vị trí chẵn và tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng nhau hoặc hiệu của chúng là một số chia hết cho 11. 2. Các giá trị trung bình n a12 a an 1 Trung bình cộng: Ma1  i nni 1 n Trung bình nhân: M0 a 1. a 2 an 8
  9. n Trung bình điều hòa: M 1 1 1 1 a12 a an a2 a 2 a 2 Trung bình bình phương: M 12 n 2 n II. GIẢI TÍCH KẾT HỢP A. CÁC LOẠI KẾT HỢP 1. Hoán vị (không lặp) Một hoán vị của n phần tử là một dãy có thứ tự của n phần tử đó, mỗi phần tử có mặt trong dãy đúng một lần. Số hoán vị khác nhau được tạo thành của n phần tử ký hiệu là Pn. Số này bằng tích tất cả các số nguyên liên tiếp từ 1 cho đến n, nghĩa là bằng n! Pn=1.2.3 n=n! (n giai thừa) Quy ước 1!=1 và 0!=1. 2. Hoán vị lặp Cho n phần tử, trong đó có n1 phần tử giống nhau thuộc loại 1, n2 phần tử giống nhau thuộc loại 2, nk phần tử giống nhau thuộc loại k, (n1+n2+ +nk=n). Sắp xếp n phần tử đã cho thành mọi dãy (cùng độ dài) có thể có. Mỗi dãy thu được như vậy gọi là một hoán vị lặp của n phần tử đã cho. 9
  10. Số lượng Pnk n12, n , , n hoán vị lặp bằng: n Pnk n12, n , , n n12! n ! nk ! n12 n nk n , k laø soá loaïi 3. Chỉnh hợp (không lặp) Cho n phần tử khác nhau, kn . Ta gọi một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một dãy có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, mỗi phần tử có mặt trong dãy không quá một lần. Số chỉnh hợp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng: k An n n 1 n 2 n k 1 n n 1 n 2 n k 1 n! Hay Ak n nk ! k Đặc biệt khi k=n, ta có Ann n! P 4. Chỉnh hợp lặp Cho n phần tử khác nhau, có k là một số tự nhiên bất kỳ ( kn ). Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu ở mục 3 nếu ta cho phép mỗi phần tử có thể có mặt trên một lần thì ta có định nghĩa của chỉnh hợp lặp chập k. Số lượng chỉnh hợp lặp chập k có thể tạo thành tử n phần tử: 10
  11. kk Ann 5. Tổ hợp (không lặp) Từ n phần tử khác nhau ta tạo nên những nhóm gồm k phần tử khác nhau không để ý đến thứ tự của các phần tử trong nhóm tạo thành. Mỗi nhóm thu được theo cách đó gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho ( kn ). Số lượng tổ hợp chập k có thể thành lập từ n phần tử bằng: Ak n n 1 n k 1 Ck n n kk!! Hay: n! C k (quy ước C0 1) n k!! n k n k Các tính chất của Cn : k n k; CCnn (0.1) k k 1 k CCCn 1 n n ; (0.2) k Cnn P k;. n k 6. Tổ hợp lặp Nếu trong định nghĩa của tổ hợp ở mục 5 ta cho phép mỗi phần tử được có mặt nhiều lần thì mỗi nhóm thu được gọi là tổ hợp lặp chập k của n phần tử đã cho. Số các tổ hợp lặp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng: 11
  12. nk 1! CCkk n n k 1 kn! 1 ! Hay: k Cn P n k 1 k;1 n B. NHỊ THỨC NEWTON Nhị thức Newton1 là công thức biểu diễn biểu thức (a+b)n, với n nguyên dương, dưới dạng đa thức theo các ẩn số a và b: n nn 1 a b an na n 1 b a n 2 b 2 2! n n 1 n k 1 an k b k b n k! Hay là: n n n1 n 1 2 n 2 2 knkk n knkk ab aCabCab n n Cab n b  Cab n k 0 Các hệ số: n n 1 n n 1 n k 1 1,n , , , , 0 k n 2!k ! Gọi là các hệ số của nhị thức. 1 Sir Isaac Newton, FRS (4 January 1643 – 31 March 1727) was an English physicist, mathematician, astronomer, natural philosopher, alchemist, theologian and one of the most influential men[5] in human history. More 12
  13. Tính chất của các hệ số: Các hệ số ở các số hạng cách đều hai mút bằng nhau; k 1 k n Biết các hệ số Cn và Cn của khai triển ab ta tìm được k n 1 các hệ số Cn 1 của khai triển ab theo công thức (1.2) mục 5. Dựa vào các tính chất này,người ta lập ra tam giác số cho các hệ số của khai triển, gọi là tam giác Pascal: 1 11 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Dòng thứ n(n=0,1,2, ) trong bảng trên liệt kê các hệ số của khai triển (a+b)n. Công thức nhị thức Newton có thể tổng quát cho trường hợp lũy thừa bậc n nguyên dương của tổng k số hạng: n n! nn12 nk a1 a 2 akk a 1 a 2 a n12! n ! nk ! 2 Blaise Pascal (June 19, 1623 – August 19, 1662) was a French mathematician, physicist, and religious philosopher. More 13
  14. Trong đó lấy tổng (  ) được lấy theo mọi số hạng có thể có dạng: n! nn12 nk a12 a ak n12! n ! nk ! Với 0 nni và n12 n nk n . III. ĐẠI SỐ 1. Các phép toán trên các biểu thức đại số Giá trị tuyệt đối của một số |a|=a nếu a 0, |a|=-a nếu a<0 Quy tắc về dấu khi nhân và chia:               Các phép toán trên các đa thức a b c x ax bx cx; abcmn amn bmn cmn am an bm bn cm cn; a b c a b c x x x x Các phép toán trên các phân thức 14
  15. a c ad cd ; b d bd a c ac .; b d bd a c ad :. b d bc Một số đồng nhất thức: a b 2  a22 2; ab b a b 3  a3 3 a 2 b 3 ab 2 b 3 ; a22 b  a b a b ; a3 b 3  a b a 2 ab b 2 ; a3 b 3  a b a 2 ab b 2 ; am b m  a b a m 1 a m 2 b ab m 2 b m 1 ; 2 a4 b 4  a 2 b 2 2 a 2 b 2 a2 2 ab b 2 a 2 2 ab b 2 ; a b c 2  a2 b 2 c 2 2 ab 2 ac 2 bc ; a b c 2  a22 b c2 2 ab 2 ac 2 bc ; a b c 2  a2 b 2 c 2 2 ab 2 ac 2 bc ; a b c 3  a3 b 3 c 3 6 abc 3; a2 b ab 2 b 2 c bc 2 c 2 a ca 2 2 2 2 2 aa1 2 an  aa 1 2 a n 2 aaaa 1 2 1 3 aa n 1 n ; am b m  a b a m 1 a m 2 b a m 3 b 2 b m 1 . 15
  16. (nếu m là số tự nhiên lẻ) Các phép toán với lũy thừa m a a . a a m laàn am amn ; an am.; a n a m n a.; b m amm b n aam m. n ; m aam m b 0; bb aa0 1, 0 ; 1 aa m , 0 ; am m aan n m . Các phép toán với căn số (nếu căn có nghĩa) 16
  17. n aam np. m. p ; na ; b n a n b aan n , b 0 ; b n b m n aam n ; m naa m. n ; m n aa n m ; x xn an 1 , a 0 ; n a a x x a b ,. ab ab ab 2. Tỷ lệ thức ac Định nghĩa: bd Tính chất cơ bản: ad=bc bc ad Tìm các số hạng của tỷ lệ thức: ab ; dc Các dẫn xuất: 17
  18. a b d c d b a b c d ;;;; c d b a c a b d a b c d a b c d ;; a b c d a c a c b d ;. a b c d a b c d 3. Số phức Các phép toán trên số phức i 1 i2 1, iiiiiiiii 3 2 . , 4 3 . . 1, , i 4n 1, i4n 1 i, i 4 n 2 1, i 4 n 3 i ; a bi a''''; b i a a b b i a bi a''''''; b i aa bb ab ba i a bi a bi a22 b ; a bi aa'''' bb ba ab . a'''''' b i a2 b 2 a 2 b 2 Biểu diễn hình học số phức Hình 1 18
  19. Điểm M(a,b) biểu diễn số phức a+bi (Hình 1) 22 r OM a bi a b là module của số phức. xOM là argument của số phức, b a b tan ;cos ;sin a a2 b 2 a 2 b 2 Dạng lượng giác của số phức: a bi r cos i sin Công thức Moivre3: n n r cos i sin r cos n i sin n 4. Phương trình a) Phương trình tương đương Nếu biểu thức C(x) có nghĩa trong miền xác định của phương trình A(x)=B(x), thì: Ax Bx Ax Cx Bx Cx 3 Abraham de Moivre (1667-1754) was a French mathematician famous for de Moivre's formula, which links complex numbers and trigonometry, and for his work on the normal distribution and probability theory. He was elected a Fellow of the Royal Society in 1697, and was a friend of Isaac Newton, Edmund Halley, and James Stirling. Among his fellow Huguenot exiles in England, he was a colleague of the editor and translator Pierre des Maizeaux. More 19
  20. Nếu biểu thức C(x) có nghĩa và khác không trong miền xác định của phương trình A(x)=B(x), thì: Ax Bx AxCx BxCx Nếu n là số tự nhiên (n=1,2,3, ) thì: 2nn 1 2 1 A x B x A x B x b) Một số phương trình đại số Phương trình bậc nhất b ax+b=0, a 0; nghiệm x a  Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a1 x b 1 y c 1 a2 x b 2 y c 2 ab Nếu 11 hệ có nghiệm duy nhất: ab22 cb11 cb c b c b x 22 1 2 2 1 ab11a b a b 1 2 2 1 ab22 ac11 ac a c a c y 22 1 2 2 1 ab11a1 b 2 a 2 b 1 ab22 20
  21. a b c Nếu 111 thì hệ vô định: a222 b c x tuøy yù c b x yb 11 0 1 b1 y tuøy yù c b y xa 11 0 1 a1 a b c Nếu 1 1 1 hệ vô nghiệm. a2 b 2 c 2  Phương trình bậc hai ax2 bx c 0, a 0 b b2 4 ac Nghiệm x 2a Nếu b2-4ac>0: Hai nghiệm thực và khác nhau; Nếu b2-4ac=0: Hai nghiệm thực và bằng nhau (nghiệm kép); Nếu b2-4ac<0: Hai nghiệm là cặp số phức liên hợp. Tính chất của nghiệm (công thức viết) b xx ; 12 a c xx 12 a 21
  22.  Phương trình bậc ba Dạng tổng quát: ax32 bx cx d 0, a 0 b Dạng chính tắc với xy 3a y3 py q 0 b23 c2 b bc d Trong đó pq 23 ; 3a a 27 a 3 a2 a Công thức Cardano4 q q2 p 3 q q 2 p 3 y 33 2 4 27 2 4 27 Tính chất các nghiệm b x x x ; 1 2 3 a c x x x x x x ; 1 2 2 3 3 1 a d x x x 1 2 3 a 4 Gerolamo Cardano or Girolamo Cardano (French Jerome Cardan, Latin Hieronymus Cardanus; September 24, 1501 — September 21, 1576) was an Italian Renaissance mathematician, physician, astrologer and gambler. More 22
  23. c) Phương trình mũ và phương trình logarith cơ bản Phương trình mũ ax c,0 a Với c>0, a 1 có duy nhất nghiệm xc loga ; c=1, a=1 vô số nghiệm; c 1, a=1 vô nghiệm; c 0 vô nghiệm  Phương trình logarith loga x c , a 0, a 1 Với mọi c phương trình có nghiệm duy nhất x=ac. d) Phương trình lượng giác cơ bản cos xm m 1 có vô số nghiệm x 2 k , arccos m ,0 ; |m|>1 vô nghiệm sin xm m 1 có vô số nghiệm 23
  24. xk11 2 xk 2 22 arcsinm , 22 |m|>1 vô nghiệm tan xm Với mọi m thực có vô số nghiệm: xk arctanm , 22 cot tan xm Với mọi m thực có vô số nghiệm xk arccot tan m ,0 5. Bất đẳng thức và bất phương trình a) Bất đẳng thức Định nghĩa: a b a b a b 00 Các tính chất cơ bản: Nếu a>b thì b a. Nếu a>b và b>c thì a>c. Cũng như vậy, nếu a<b và b<c thì a<c. 24
  25. Nếu a>b thì a+c>b+c Nếu a>b bà c>d thì a+c>b+d Nếu a>b bà c b-d ab Nếu a>b và m>0 thì am bm. mm Nếu a>b và m b>0 và c>d>0 thì ac>bd b) Bất phương trình Bất phương trình tương đương ABBA ABCABC (với C có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình AB ). Nếu C có nghĩa và >0 trong miền xác định của bất phương trình A>B, thì: ABACBC Nếu C có nghĩa và B, thì: ABACBC Nếu B 0 trong miền xác định thì: A 0 AB . 0 B 25
  26.  Bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối Giả sử 0 , khi đó: FF ; F F F B x A x B x A x B x Bx 0 Bx 0 A x B x A x B x Bx 0 A x B x Bx 0 22 A x B x A x B x  Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax b,0 a b b Nếu a>0 thì x ; nếu a<0 thì x a a 26
  27.  Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 bx c 0 2 b 40 ac nghieäm ñuùng vôùi moïi x ; b a 0, b2 4 ac 0 nghieäm ñuùng vôùi moïi x 2a 2 xx 1 b 40 ac nghieäm ñuùng vôùi moïi xx 2 b2 40 ac vo ânghieäm a 0, 2 b 40 ac nghieäm ñuùng vôùi x12 x x ; Ở đây x1, x2 là hai nghiệm thực của tam thức bậc hai ax2 bx c .  Bất phương trình mũ và logarith cơ bản Bất phương trình mũ aaA x B x với a>1 sẽ tương đương với bất phương trình A(x)>B(x); với 0 1 sẽ tương đương với hệ: Bx 0 A x B x Với 0<a<1 sẽ tương đương với hệ: 27
  28. Ax 0 A x B x  Bất phương trình lượng giác cơ bản cos xm Vôùi mx 1; nghieäm ñuùng vôùi moïi Vôùi m 1 vo ânghieäm; Vôùi m 1 nghieäm ñuùng vôùi 2 k x 2 k , trong ño ù arccosm ,0 sin xm Vôùi mx 1; nghieäm ñuùng vôùi moïi Vôùi m 1 vo ânghieäm; Vôùi m 1 nghieäm ñuùng vôùi 2 k x 2 k , trong ño ù arcsinm , 22 tan xm vôùi moïi m nghieäm ñuùng vôùi k x 2 k 1 , 2 trong ño ù arctanm , . 22 cot tan xm vôùi moïi m nghieäm ñuùng vôùi k x k , trong ño ù arccottanm ,0 . 28
  29. 6. Cấp số; một số tổng hữu hạn Cấp số cộng a, a , , a , a , 1 2nn 1 a2 a 1 d, a 3 a 1 2 d , , an a 1 n 1 d Trong đó an là số hạng thứ n của cấp số cộng, d là công sai. a a n 21a1 n d n S 1 n n 22 Trong đó Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số (tổng riêng thứ n).  Cấp số nhân a, a , a , , a , a , 1 2 3nn 1 21n a2 a 1 q, a 3 a 1 q , , an a 1 q Trong đó an là số hạng thứ n của cấp số nhân, q là công bội. Tổng riêng thứ n: qn 1 S a a a a . , q 1 nn1 2 1 q 1 Sn na1,1 q Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn q 1 29
  30. a S 1 1 q  Một số tổng hữu hạn nn 1 1 2 3 nn 1 2 q p q p 1 p p 1 q 1 q 2 1 3 5 2n 3 2 n 1 n2 2 4 6 2n 2 2 n n n 1 2 n n 1 2 n 1 12 2 2 3 2 nn 1 2 6 2 2 3 nn 1 13 2 3 3 3 nn 1 3 4 2 2 22nn 1 12 3 2 5 2 2nn 3 2 1 4 13 3 3 5 3 2n 3 3 2n 1 3 n22 2 n 1 2 4 n n 1 2 n 1 3 n 3 n 1 14 2 4 3 4 nn 1 4 30 7. Logarith Định nghĩa: Cho N>0, 0<b, b 1 x logb N x b N Tính chât 30
  31. logb NNNNNN1 2 log b 1 log b 2 , 1 2 0 ; N1 logb log bNNNN1 log b 2 , 1 2 0 ; N2 logbbNNN log , 0 ; 1 log NNN log , 0 ; bb logbN log b a .log a N , a 0, a 1, N 0 ; 1 logb a , a 0, a 1 loga b Logarith thập phân: lgN x 10x N cô soá b 10 Logarith tự nhiên ln N x ex N n 1 trong ño ùbe lim 1 2,718281828 n n IV. HÌNH HỌC A. CÁC HÌNH PHẲNG 1. Tam giác a) Tam giác đều a là cạnh, h là đường cao, S là diện tích. 31
  32. 2 a 3 h 1,566 h ; 3 3 h a0,866 a ; 2 a2 3 Sa 0,4332 ; 4 h2 3 Sh 0,5782 . 3 b) Tam giác vuông Hình 2 b và c là cạnh góc vuông; a là cạnh huyền; và  là các góc nhọn; S là diện tích; h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền; b’, c’ là hình chiếu của b và c lên cạnh huyền. 32
  33.  90 ; a2 b 2 c 2 ; b asin a cos  c cot tan  c tan ; 1 S bc; 2 c2 c' a '; b2 b'; a h2 c' b '; 1 1 1 . h2 b 2 c 2 c) Tam giác thường a, b, c là các cạnh;  là các góc đối tương ứng với các cạnh; r, R là bán kính vòng tròn nội tiếp, ngoại tiếp; p là nửa chu vi; S là diện tích. Hình 3 33
  34. a b c 2;R sin sin  sin  a2 b 2 c 2 2 bc cos ; b2 a 2 c 2 2 ac cos ; c2 a 2 b 2 2 ab cos ;   tan cot tan ab 22;   ab tan tan 22  cos ab 2 ;  c sin 2  sin ab 2 ;  c cos 2 abc S p p a p b p c pr 4R 1 1 1 absin ac sin  bc sin ; 2 2 2   rp a tan p b tan p c tan ; 2 2 2 Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A: 1 m 2 b2 2 c 2 a 2 ; a 2 Độ dài đường cao hạ từ đỉnh A: 34
  35. 2 p p a p b p c h ; a a Độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A: 2 g bcp p a ; a bc Tính chất của đưởng phân giác (AI là phân giác trong của góc A): BI IC ; AB AC Trong một tam giác, giao điểm ba đường phân giác là tâm vòng tròn nội tiếp, giao điểm ba đường trung trực là tâm vòng tròn ngoại tiếp. 2. Đa giác a) Hình vuông a là cạnh; d là đường chéo; S là diện tích. 2 a d0,707 d ; 2 d 2 a 1,414 a ; 1 S d22 a . a b) Hình chữ nhật và hình bình hành a là cạnh đáy; h là đường cao; S là diện tích S=ah. 35
  36. c) Hình thoi a là cạnh đáy; d là đường chéo lớn; d’ là đường chéo nhỏ; S là diện tích: 1 S dd '; 2 Nếu góc nhọn hình thoi bằng 60 thì a=d’ và: 1 S a223 0,866 a ; 2 d) Hình thang a và b là cạnh đáy; b là đường cao; S là diện tích 1 S a b h. 2 e) Tứ giác lồi bất kỳ d1, d2 là độ dài hai đường chéo; là góc giữa chúng; S là diện tích. 1 S d d sin . 2 12 f) Đa giác đều n cạnh n là số cạnh; a là cạnh; là góc trong của đa giác;  là góc ở tâm; r và R là bán kính vòng tròn nội tiếp, ngoại tiếp; S là diện tích. 36
  37. Hình 4 1 180 1 S na2 cot tan arn ; 42n a 180 r cot tan ; 2 n a 180 R cossec ; 180 2 n 2sin n  a 2 r tan 2 R sin ; 22 n 2 .180 ; n 360  . n 3. Hình tròn a) Hình tròn r là bán kính; C là độ dài vòng tròn; S là diện tích 37
  38. C 2 r 6,283 r ; CSS 2 3,545 ; S r223,142 r ; Cr S . 2 b) Hình quạt tròn r là bán kính vòng tròn; l là độ dài cung; n là số đo góc ở tâm; S là diện tích Hình 5 2 rn l 0,1745 rn ; 360 rn2 S 0,00872 r2 n . 360 c) Hình viên phân r là bán kính vòng tròn; l là độ dài cung; a là độ dài dây cung; là số đo góc ở tâm; h là độ cao của viên phân; S là diện tích 38
  39. Hình 6 n ar 2 sin ; 2 n a n hr 1 cos tan ; 2 2 4 n l r0,01795 rn ; 180 2 rn Sn sin . 2 180 4. Phương tích a) Phương tích Phương tích của điểm I đối với vòng tròn tâm O, bán kính r là đại lượng dr22 , trong đó d là khoảng cách OI. Nếu I nằm ngoài hình tròn thì phương tích dương, I nằm trong đường tròn thì phương tích âm, I nằm trên đường tròn thì phương tích bằng 0. 39
  40. Hình 7 Ký hiệu giá trị tuyệt đối của phương tích là p2, thì p2 d 2 r 2 ; p22 IA IB IT b) Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương Trục đẳng phương của hai vòng tròn O1 và O2 (OO12 ) là quỹ tích các điểm M có phương tích bằng nhau đối với hai vòng tròn đã cho. Trục đẳng phương vuông góc với đường nối hai tâm tại điểm N, mà: d rr22 ON 12 1 22d Hoặc d rr22 NO 21 2 22d Trong đó d là độ dài đường nối tâm; r1 và r2 là các bán kính của hai vòng tròn. 40
  41. Đặc biệt nếu hai vòng tròn cắt nhau tại hai điểm thì trục đẳng phương đi qua hai điểm ấy; nếu hai vòng tròn tiếp xúc nhau thì trục đẳng phương là tiếp tuyến chung tại tiếp điểm. Tâm đẳng phương của ba vòng tròn là giao điểm của ba trục đẳng phương của từng cặp các vòng tròn đó. B. THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH Ký hiệu chung: h là đường cao; p là chu vi đáy; S là diện tích đáy; Sxq là diện tích xung quanh; V là thể tích. 1. Hình lăng trụ V Sh; Sxq ph. 2. Hình chóp đều (Nhớ rằng chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy, đáy là đa giác đều). Hình 8: Hình lăng trụ a là trung đoạn của hình chóp đều: 1 V Sh; 3 1 S pa. xq 2 3. Hình chóp cụt đều Hình 9: Hình chóp đều a là trung đoạn của hình chóp cụt đều; S1 và S2 là các diện tích đáy; p1 và p2 là các chu vi đáy. 41
  42. 1 V h S1 S 2 S 1 S 2 ; 3 1 S p p a. xq 2 12 4. Hình trụ r là bán kính vòng tròn đáy. Hình 10: Hình chóp cụt đều V Sh r2 h; Sxq 2. rh 5. Hình nón r là bán kính vòng tròn đáy; l là đường sinh. Hình 11: Hình trụ 11 V Sh r2 h; 33 Sxq rl. 6. Hình nón cụt R và r là các bán kính vòng tròn đáy dưới và đáy trên; h là đường cao nón cụt; H là đường cao hình nón; l là đường sinh nón Hình 12: Hình nón cụt. 1 V h R22 r Rr ; 3 Sxp R r l; hr Hh . Rr Hình 13: Hình nón cụt 42
  43. 7. Hình cầu a) Hình cầu R là bán kính; V là thể tích; S là diện tích mặt cầu. 4 VR 3; 3 Hình 14: Hình cầu SR 4. 2 b) Hình chỏm cầu R là bán kính cầu; r là bán kính vòng tròn đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V là thể tích; S là diện tích mặt chỏm cầu. 2 11 2 2 V h R h h h 3; r 36 S 2. Rh r22 h Hình 15: Chỏm cầu c) Hình đới cầu R là bán kính hình cầu; r1 và r2 là các bán kính vòng tròn đáy đới cầu; h là đường cao đới cầu; V là thể tích; S là diện tích xung quanh đới cầu. 113 2 2 Hình 16: Hình đới cầu V h r12 r h; 62 S 2. Rh d) Hình quạt cầu 43
  44. R là bán kính cầu; r là bán kính vòng tròn đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V là thể tích; S là diện tích mặt quạt cầu. 2 V R2 h; 3 S R r2. h Hình 17: Hình quạt cầu V. LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số lượng giác và dấu của nó a) Hàm số lượng giác của các góc nhọn c b sin ; cos ; a a c b tan ; cot tan ; b c a a sec ; cossec . b c Hình 19 Hình 18 b) Dấu của hàm số lượng giác của một góc bất kỳ Góc phần sin cos tan cottan sec cossec tư I       44
  45. II       III       IV       2. Hàm số lượng giác của một số góc đặc biệt  0 30 45 60 90 120 180 270 360 1 2 3 sin 0 1 0 -1 0 2 2 2 1 cos 1 0 2 -1 0 1 1 tan 0 1 3 3 0 0 3 1 cottan 1 0 3 0 2 sec 1 3 2 2 -2 -1 1 cossec 2 1 -1 45
  46. 3. Một số công thức đổi góc sin sin tan 360 tan cos cos cot tan 360 cot tan tan tan sin 90 cos cot tan cot tan cos 90 sin sin 180 sin tan 90 cot tan cos 180 cos cot tan 90 tan tan 180 tan sin 270 cos cot tan 180 cot tan cos 270 sin sin 360 sin tan 270 cot tan cos 360 cos cot tan 270 tan 4. Các công thức cơ bản sin22 cos 1; tan .cot tan 1; sin 1 tan ; cos cot tan cos 1 cot tan ; sin tan 1 1 tan22 sec ; cos2 1 1 cot tan22 cossec . sin2 46
  47. 5. Hàm số lượng giác của góc bội sin 2 2sin cos ; cos 2 2cos2 1 1 2sin 2 cos 2 sin 2 ; 2 tan tan 2 ; 1 tan2 cot tan2 1 cot tan tan cot tan 2 ; 2cot tan 2 sin 3 3sin 4sin3 ; cos3 4cos3 3cos ; 3tan tan3 tan 3 ; 1 3tan2 cot tan3 3cot tan cot tan 3 ; 3cot tan2 1 sinn 2sin n 1 cos sin n 2 ; cosna 2cos n 1 cos cos n 2 . 47
  48. 6. Công thức hạ bậc 1 sin2 1 cos 2 ; 2 1 cos2 1 cos 2 ; 2 1 sin3 3sin sin 3 ; 4 1 cos3 3cos cos3 ; 4 4 16 sin cos 4 4cos 2 ; 82 4 16 cos cos 4 4cos 2 ; 82 1 sin5 sin 5 5sin 3 10sin ; 16 1 cos5 cos5 5cos3 10cos . 16 7. Hàm số lượng giác của tổng và hiệu các góc sin  sin cos  cos sin  ; cos  cos cos  sin sin  ; tan  tan tan  ; 1 tan  tan cot tan  cot tan 1 cot tan  . cot tan cot tan 48
  49. 8. Biến đổi tổng và hiệu của hai hàm số lượng giác   sin  sin 2sin cos ; 22   sin  sin 2cos sin ; 22   cos  cos 2cos cos ; 22   cos  cos 2sin sin ; 22 sin cos 2 sin 2 cos ; 44 sin cos 2 sin 2 cos ; 44 sin  tan  tan ; cos  cos sin  tan  tan ; cos  cos sin  cot tan  cot tan ; sin  sin sin  cot tan  cot tan ; sin  sin tan cot tan 2cossec 2 ; tan cot tan 2cot tan 2 . 49
  50. 9. Biến đổi tích của hai hàm số lượng giác 1 sin sin  cos  cos  ; 2 1 cos cos  cos  cos  ; 2 1 sin cos  sin  sin  ; 2 tan tan  tan tan  tan  tan ; cot tan cot tan  cot tan cot tan  cot tan cot tan  cot tan cot tan  cot tan  cot tan ; tan  tan tan  tan cot tan tan  cot tan tan  cot tan  tan . tan cot tan  tan cot tan  50
  51. 10. Công thức góc chia đôi 1 cos sin ; 22 1 cos cos ; 22 sin 1 cos 1 cos tan ; 2 1 cos sin 1 cos sin 1 cos 1 cos cot tan ; 2 1 cos sin 1 cos 2 tan sin 2 ; 1 tan2 2 1 tan2 cos 2 ; 1 tan2 2 2 tan tan 2 ; 1 tan2 2 cot tan2 1 cos 2 ; 2cot tan 2 cos sin 1 sin 2 . 51
  52. 11. Một số công thức đối với các góc trong một tam giác (  là các góc trong một tam giác)   sin sin  sin  4cos cos cos ; 2 2 2   cos cos  cos  4sin sin sin 1; 2 2 2   sin sin  sin  4sin sin cos ; 2 2 2   cos cos  cos  4cos cos sin 1; 2 2 2 sin2 sin 2  sin 2  2cos cos  cos  2; sin2 sin 2  sin 2  2sin sin  cos  ; sin 2 sin 2  sin 2  4sin sin  sin  ; sin 2 sin 2  sin 2  4cos cos  sin  ; tan tan  tan  tan tan  tan  ;     cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan ; 2 2 2 2 2 2 cot tan cot tan  cot tan cot tan  cot tan  cot tan  1. 12. Một số công thức khác 52
  53. 1 cos 2cos2 ; 2 1 cos 2sin2 ; 2 2 2 1 sin sin cos 2cos ; 2 2 4 2 2 2 1 sin sin cos 2sin ; 2 2 4 2 sin 2 sin 44 1 tan ; cos cos cos 4 2 sin 4 1 cot tan ; sin 21n cos cos sin sin 2 sin 3 sinn 22 ; 2sin 2 21n sin sin cos cos 2 cos3 cosn 22 ; 2sin 2 asin x b cos x a2 b 2 sin x a 2 b 2 cos x 53
  54. trong ñoù a cos , ab22 b sin ; ab22 a sin , ab22 b cos . ab22 54
  55. 13. Công thức liên hệ giữa các hàm số lượng giác Hàm sin cos tan cottan sec cossec tan 1 2 2 sec 1 1 sin 1 cos 2 2 1 tan 1 cot tan sec cossec 1 cot tan cossec2 1 2 1 cos 1 sin 2 2 1 tan 1 cot tan sec cossec sin 2 1 1 cos 1 2 sec 1 2 tan 2 cossec 1 1 sin cos cot tan 2 cos 1 cottan= 1 sin 1 2 2 2 cossec 1 sin 1 cos tan sec 1 1 2 cossec 1 2 1 cot tan 1 tan 2 sec 2 cossec 1 1 sin cos cot tan 1 2 sec cossec 1 1 tan 2 2 1 cot tan 2 sin 1 cos tan sec 1 55
  56. VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG 1. Điểm Khoảng cách giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2): 22 d x2 x 1 y 2 y 1 Khoảng cách từ một điểm (x, y) đến gốc tọa độ: d x22 y Dạng tổng quát của khoảng cách giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2) trong hệ tọa độ xiên góc  22 d x2 x 1 y 2 y 1 2 x 2 x 1 y 2 y 1 cos Tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỷ lệ m/n nx mx x 12; mn ny my y 12. mn 2. Phép đổi trục tọa độ (Hình 20) x a x11 x x a hoaëc y b y11 y y b 56
  57. Hình 20 3. Tọa độ cực (Hình 21) Ox: Trục cực; O: Cực; r: Bán kính vector; : Góc cực. xr cos ; yr sin ; Hình 21 r x22 y . M 4. Phép quay các trục tọa độ y x,y: Tọa độ cũ của điểm M; x1, y1: Tọa độ mới của điểm M. x 0 : Góc quay. x x11cos y sin ; Hình 22 y x11sin y cos . 57
  58. 5. Phương trình đường thẳng Phương trình tổng quát Ax+By+C=0. Phương trình chính tắc y=kx+b Phương trình theo các đoạn chắn trên các trục tọa độ xy 1 ab Phương trình pháp dạng xcos y sin p 0 1 Hệ số pháp dạng M (dấu được chọn sao cho AB22 ngược dấu với dầu của C). 6. Hai đường thẳng Các phương trình ở dạng tổng quát A x B y C C 1 1 1 A2 x B 2 y C 2 0 Góc giữa hai đường thẳng đã cho (với hệ số góc k1, k2) k k A B A B tan 2 1 1 2 2 1 1 k1 k 2 A 1 A 2 B 1 B 2 Điều kiện để hai đường thẳng song song AB11 kk12 hoặc AB22 Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc 58
  59. kk12 1 hoặc AABB1 2 1 2 0 Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng CBCB1 2 2 1 x BABA1 2 2 1 CBCA y 2 1 1 2 BABA1 2 2 1 Đường thẳng thứ ba A3 x B 3 y C 3 0 đi qua giao điểm của hai đường thẳng trên nếu: ABC1 1 1 ABC2 2 2 0 ABC3 3 3 7. Đường thẳng và điểm Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước M x00, y theo một hướng đã cho: y y00 k x x k tan ( là góc lập bởi đường thẳng với chiều dương trục hoành) Khoảng cách từ điểm xy11, tới một đường thẳng d x11cos y sin p (a là góc lập bởi đường thẳng với Ax By C chiều dương trục hoành) hoặc d 11 (dấu được AB22 chọn ngược dấu với C). 59
  60. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho A x0,,, y 0 B x 2 y 2 : y y x x 11 y2 y 1 x 2 x 1 Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0 x 0, y 0 và song song với đường thẳng y=ax+b y y00 a x x Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x11, y và vuông góc với đường thẳng y=ax+b 1 y y x x 11a 8. Diện tích tam giác Tam giác có một đỉnh ở gốc tọa độ 11xy11 S x1 y 2 y 1 x 2 22xy22 Tam giác có vị trí bất kỳ A x1,,,,, y 1 B x 2 y 2 C x 3 y 3 60
  61. 1 x x y y S 2 1 2 1 2 x3 x 1 y 3 y 1 1 x x y y x x y y 2 2 1 3 1 3 1 2 1 1 x y y x y y x y y 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 9. Phương trình đường tròn Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính r x2 y 2 r 2 Đường tròn với tâm có tọa độ (a,b) bán kính r x a 22 y b r2 Phương trình tham số của đường tròn x rcos t 02 t y rsin t 10. Ellipse (Hình 23) O: Tâm; AA1=2a: Trục lớn; BB1=2b: Trục nhỏ; F, F1: Các tiêu điểm; FM, F1M: Các bán kính vector; FF1=2c: Tiêu cự; 61
  62. y BF=BF1=AO=a; M B r1 y r FM+F1M=AA1=2a; A F 0 F1 A1 x a2-c2=b2. c B1 c Phương trình chính tắc của 2a Ellipse: xy22 Hình 23: Hình Ellipse 1 ab22 Tâm sai của Ellipse: c a22 b  1 aa Bán kính vector của điểm M(x, y) của Ellipse r a x Diện tích của Ellipse S= ab Phương trình tiếp tuyến với Ellipse tại điểm M1 x 1, y 1 x x y y 11 1 ab22 Phương trình pháp tuyến với Ellipse tại điểm M0 x 0, y 0 2 ay0 y y00 2 x x bx0 62
  63. Tham số tiêu của Ellipse b2 p a Phương trình các đường chuẩn của Ellipse a2 a x hoặc x c  Phương trình đường kính của Ellipse b2 yx ak2 Trong đó k là hệ số góc của đường kính liên hợp. Phương trình tham số của Ellipse: x acos t y bsin t 11. Hyperbola (Hình 24) O: Tâm; y F, F1: Các tiêu điểm; M r1 r FM, F1M: Các bán kính vector; A A1 F F1 0 x 2a FM-F1M=AA1-2a; 2c Hình 24: Hyperbola 63
  64. FF1=2c; c2-a2=b2. Phương trình chính tắc của Hyperbola xy22 1 ab22 Tâm sai của Hyperbola c a22 b  1 aa Bán kính vector của điểm thuộc Hyperbola c r x a  x a a c r x a  x a 1 a Phương trình các đường tiệm cận của Hyperbola b yx a Phương trình tiếp tuyến tại điểm M1 x 1, y 1 x x y y 11 1 ab22 Phương trình pháp tuyến tại điểm M0 x 0, y 0 64
  65. 2 ay0 y y00 2 x x bx0 Hoặc a22 x b y c2 xy00 b2 Tham số tiêu của Hyperbola p a Phương trình đường kính của Hyperbola b2 yx ak2 Trong đó k là hệ số góc của đường kính liên hợp. Phương trình của Hyperbola cân a2 k xy hoặc y 2 x 12. Parabola(Hình 25) y K M N AN: Đường chuẩn r l O: Đỉnh A 0 F F1 x c F: Tiêu điểm p AF=p: Tham số của Parabola Hình 25: Parabola 65
  66. S: Diện tích Phương trình chính tắc của parabola y2=2px Diện tích của parabola 2 S lc 3 FM Tâm sai của parabola  1 MK Bán kính vector của parabola p rx 2 Phương trình đường chuẩn của parabola p x 2 Phương trình tiếp tuyến của parabola yy11 p x x Hoặc y1 y y11 x x y0 Phương trình pháp tuyến của parabola 66
  67. y y y 1 x x 11p Hoặc y1 x x 1 p y y 1 0 VII. ĐẠI SỐ VECTOR 1. Các phép toán tuyến tính trên các vector  Vector A là một đoạn thẳng có độ dài xác định và hướng xác định.  AA là độ dài hoặc module của vector . Các vector bằng nhau (Hình 26)  A   AB AB    AB B Hình 26 Cộng các vector (các hình 27, 28, 29)    ABC ;      ABCDE C B B C A A D A C B E Hình 27 Hình 28 Hình 29 Vector đối (Hình 30) 67
  68.     AA 1 AA1   AA 1 Trừ các vector (Hình 32, 31)      ABABC 1   A C    A A C AA B1 B 1  Hình 31 B Hình 30   Hình 32 Trong đó BB1 Nhân vector với một số   k A B  Vector B luôn thỏa mãn các điều kiện:   B k A   BA , neáu k > 0   BA , neáu k < 0   Nếu k=0 hoặc A 0 , thì B 0 2. Phép chiếu vector lên trục hoặc vector (Hình 33)     hcAhcAMN  Acos A cos AB , x B 68
  69. A M1 N1 O M B N x Hình 33 3. Các thành phần và tọa độ của vector (Hình 34)     A OM1 OM 2 OM 3  Hoặc A Xi Y j Zk z M 3  OM1 X i  A Trong đó OM2 Y j là các thành   k OM Z k 3  y phần của vector; O j M2 XAYAZA cos , cos  , cos  i là các tọa độ của vector (chiếu x M 1 vector này lên các trục tọa độ). Hình 34 4. Các phép toán tuyến tính trên các vector được cho nhờ các tọa độ    Nếu AAA 12 thì XXXYYYZZZ 1 2,,. 1 2 1 2   Nếu AA21  thì XXYYZZ2  1,,. 2  1 2  1 5. Tích vô hướng của hai vector Định nghĩa 69
  70.         A, B AB AB cos A , B Ach B Bhc  A AB Các tính chất của tích vô hướng     AB BA (tính giao hoaùn)     mA B m AB        A B C AC BC (tính phaân phoái) Tích vô hướng của các vector dưới dạng tọa độ   AB X1 X 2 YY 1 2 Z 1 Z 2. Bình phương vô hướng của vector  2   A AA AAcos0 A2 Bình phương module của vector  2 AAXYZ2 2 2 2 Module (độ dài) của vector  AAXYZ2 2 2 2   Điều kiện để hai vector trực giao AB   AB X1 X 2 YY 1 2 Z 1 Z 2 0   Góc giữa hai vector AXYZ 1,, 1 1 và BXYZ 2,, 2 2 70
  71.   AB XXYYZZ cos   1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 AB XYZXYZ1 1 1 2 2 2  Các cosin chỉ phương của vector AXYZ ,, X cos XYZ2 2 2 Y cos  XYZ2 2 2 Z cos XYZ2 2 2 6. Tích vector của hai vector Định nghĩa       Tích vector của hai vector AB, (ký hiệu AB hoặc AB, ) là  vector C thỏa mãn các điều kiện sau:        C ABsin A , B , C  A , C  B    Và các vector ABC,, lập thành bộ ba vector thuận (nghịch) nếu hệ tọa độ là thuận (nghịch). Các tính chất của tích vector 71
  72.     ABBA     mA B m A B     A nB n A B        ABCACBC        CABCACB Tích vector dưới dạng tọa độ i j k   ABXYZ 1 1 1 XYZ2 2 2 YZ1221 YZi ZX 12 ZX 21 j XY 12 XYk 21 . Góc giữa vector     AB sin AB ,   AB YZYZZXZXXYXY 2 2 2 1221 12 21 12 21 2 2 2 2 2 2 XYZXYZ1 1 1 2 2 2 7. Tích hỗn hợp của ba vector Định nghĩa       ABC A B C Các tính chất của tích hỗn hợp 72
  73.                   ABC BCA CAB BAC ACB CBA           A B CD ACD BCD       mA BC m ABC Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp    ABC bằng thể tích của hình hộp có ba cạnh là ba vector ấy.    Điều kiện đồng phẳng của ba vector ABC 0 Tích hỗn hợp dưới dạng tọa độ XYZ    1 1 1 ABC X Y Z 2 2 2 XYZ3 3 3 XYZZYYZXZXZXYXY123 23 123 32 123 32 . VIII. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. Giới hạn lim(x+y-z)=limx+limy-limz (nếu các giới hạn ở vế phải tồn tại) lim(xyz)=limx limy limz (nếu giới hạn ở vế phải tồn tại) xxlim lim neáu toàn taïi limxy vaø lim 0 yylim 73
  74. sin x lim 1; x 0 x 1 a lim 1 a e , e 2.718281828 ; a an lim 0; a n! tan x lim 1; x 0 x x x lim 1 ne ; n n lima x 1; x 0 n! lim 2 . n nnn e n 2. Đạo hàm và vi phân Các đạo hàm đơn giản 74
  75. Cu ' Cu '; u v w ' u ' v ' w '; uvw ''''; u vw v uw w uv ' u u'' v v u 2 ; vv ' f u x f''; u u x C ' 0; x ' 1; xnn '; nx 1 , 11 2 ; xx 1 x '; 2 x 75
  76. 1 lnx ' ; x 1 lgxe ' lg ; x eexx '; axx ' a ln a ; sinxx ' cos ; cosxx ' sin ; 1 tanx ' ; cos2 x 1 cot tanx ' ; sin2 x 1 arcsinx ' ; 1 x2 1 arccosx ' ; 1 x2 1 arctanx ' ; 1 x2 1 arccottanx ' ; 1 x2 uv ' vu v 1 u ' u v ln u v '. Vi phân của hàm và các tính chất đơn giản; dy=y’dx 76
  77. d Cu Cdu; d u v w du dv dw; d uvw vw du uw dv uv dw; u vdu udv d 2 . vv 3. Ứng dụng hình học của đạo hàm Phương trình tiếp tuyến với đường cong y=y(x) tại điểm (x0, y0) y y0 y' x 0 x x 0 Phương trình tiếp tuyến với đường cong và đi qua một điểm cho trước bất kỳ M1 x 1, y 1 y y1 y' x 0 x x 1 Trong đó x0 là nghiệm kép của phương trình 1 y y00 x x yx' 0 4. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y=f(x) được gọi là chẵn nếu f(x)=f(-x) được gọi là lẻ nếu f(x)=-f(x) 77
  78. Hàm số tuần hoàn Hàm số y=f(x) được gọi là tuần hoàn nếu có số dương l sao cho fx fxl fxl 2 fxkl Số dương p nhỏ nhất có tính chất trên được gọi là chu kỳ của hàm số. Hàm số đơn điệu Hàm số y=f(x) được gọi là đơn điệu tăng thật sự (đồng biến) nếu từ x1 f(x2); Nếu ở trên tất cả các dấu ) được thay bởi dấu thì hàm được gọi là đơn điệu tăng (giảm) theo nghĩa rộng; Điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu tăng (giảm) trong khoảng xác định là f' x 0 f ' x 0 trong khoảng xác định. Hàm liên tục Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x=a nếu lim f x f a xa Cực đại, cực tiểu của một hàm số Hàm số y=f(x) có cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 nếu có một số a dương sao cho f x f x00 f x f x với x00 a x x a 78
  79. Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình: fx'0 0 fx'' 0 0 Thì x0 là hoành độ điểm cực đại; Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình: fx'0 0 fx'' 0 0 Thì x0 là hoành độ điểm cực tiểu; Hàm lồi Hàm số y=f(x) gọi là lồi nếu với ,0 1 thì f ax1 1 x 2 af x 1 1 f x 2 ; Hàm số y=f(x) lồi khi và chỉ khi đạo hàm f’(x) tăng theo nghĩa rộng (hoặc tương đương đạo hàm bậc hai f’’(x) 0) Điểm uốn Điểm x0 là điểm uốn của đồ thị hàm số y=f(x) nếu f’’(x0)=0 và f’’(x) đổi dấu khi đi qua x0. Các đường tiệm cận Hình 35: Tiệm cận ngang 79
  80. Tiệm cận ngang (Hình 35): Đường cong y=f(x) có tiệm cận ngang y=b nếu lim f x b x Tiệm cận xiên (Hình 36): Đường cong y=f(x) có tiệm cận xiên y=ax+b nếu lim f x ax b 0 x Cách tìm tiện cận xiên y=ax+b: fx a lim ; Hình 36: Tiệm cận xiên x x b lim f x ax x Tiệm cận đứng (Hình 37): Đường cong y=f(x) có tiệm cận đứng x=x0 nếu lim fx xx 0 Trục và tâm đối xứng: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng x= làm trục đối xứng khi và chỉ khi f2 x f x Đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I , làm tâm đối xứng khi và chỉ khi f 22  x f x Hình 37: Tiệm cận đứng Khảo sát hàm số y ax32 bx cx d a 0 y' 3 ax2 2 bx c ; y'' 6 ax 2 b . 80
  81. a 0 Nếu thì hàm số luôn đồng biến; 2 b 30 ac a 0 Nếu thì hàm số luôn nghịch biến. 2 b 30 ac 2 b 3 ac 0, y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hàm số có cực đại và cực tiểu. Các giao điểm với trục hoành: Phương trình y ax32 bx cx d luôn có nghiệm thực. b2 30 ac Nếu b2 30 ac hoặc thì phương trình có và chỉ yycd ct 0 có một nghiệm và đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm. b2 30 ac Nếu thì phương trình có một nghiệm đơn và một yycd ct 0 nghiệm kép; đồ thị cắt và tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. b2 30 ac Nếu thì phương trình có ba nghiệm phân biệt; đồ yycd ct 0 thị cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau. bb Điểm uốn , y là tâm đối xứng của đồ thị. 33aa Hàm số y ax42 bx c a 0 81
  82. y' 4 ax3 2 bx ; y'' 12 ax2 2 b . Trong trường hợp ab 0 hàm số chỉ có một điểm cực trị là (0,c) (cực đại nếu b 0). Trường hợp ab 0 hàm số có cực tiểu (0,c) và hai điểm cực đại . bb Trong trường hợp này các điểm , y là các 66aa điểm uốn. ax b Hàm số y , a ', b ' 0 a'' x b b ' Hàm số xác định với x ; a ' ab'' a b y ', a'' x b 2 82
  83. a ab’-a’b=0, hàm số không đổi y ; a ' ab’-a’b>0 hàm số đồng biến; ab’-a’b<0 hàm số nghịch biến; a Tiệm cận ngang: y ; a ' b' Tiệm cận đứng: x ; a ' ba' Tâm đối xứng là giao điểm A , của hai đường tiệm aa'' cận. ax2 bx c Hàm số y a'' x b a a'' b ab Tiệm cận xiên: yx ; aa'' b' Tiệm cận đứng x . a ' Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận. 83
  84. IX. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN A. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 1. Định nghĩa f x dx F x C Trong đó F’(x)=f(x), C là hằng số tùy ý. 2. Các tính chất đơn giản nhất dx x C; kf x dx k f x dx, k laø haèng soá; u v w dx udx vdx wdx uv''; dx uv vu dx udv uv vdu. 84
  85. 3. Tích phân các hàm hữu tỷ xm 1 xm dx C, m 1 ; m 1 dx lnxC ; x n 1 n ax b ax b dx C, n 1 ; an 1 dx 1 lnax b C ; ax b a ax b a bc ad dx x ln cx d C ; cx d c c2 dx1 x b ln C , a b x a x b a b x a dx1 x d lnC ; x22 a2 a x a xdx 1 aln x a b ln x b C , a b ; x a x b a b xdx 1 lnx22 a C ; xa22 2 dx1 x arctanC ; x22 a a a xdx 1 22 22 ln x a C ; xa 2 85
  86. dx11 x x arctan C ; 2 2 2 2 3 xa22 22a x a a a xdx 11 C; 2 22 xa22 2 xa dx1 xb b x ln arctan C ; 22 22 22 x a x b a b xa a a xdx1 x xb arctan bC ln ; 22 22 22 x a x b a b a xa dx1 2 ax b b2 4 ac ln C; 2 22 ax bx c b 4 ac 2 ax b b 4 ac dx12 ax b arctan C , b2 4 ac 0 ; 2 22 ax bx c 44ac b ac b xdx1 b dx lnax2 bx c . ax22 bx c22 a a ax bx c 86
  87. 4. Tích phân các hàm vô tỷ dx 2 ax b C; ax b a 3 2 2 ax bdx ax b C; 3a xdx 22 ax b ax b C; ax b 3a2 2 2 3ax 2 b 3 x ax bdx ax b C; 15a2 dx1 ax b b ac ln C , b ac 0 ; x c ax b b ac ax b b ac dx1 ax b arctan , b ac 0 ; x c ax b ac b ac b ax b 1 dx ax b cx d cx d c ad bc ln aaxb aaxb Cac , 0 ; c ac ax b 1 dx ax b cx d cx d c ad bc a cx d arctan C , c 0; a 0 ; c ac c ax b 87
  88. 2 2a 3 bx a bx 3 x a bxdx C; 15b2 2 8a22 12 abx 15 b a bx 3 x2 a bxdx C; 105b3 xdx 22 a bx a bx C; a bx 3b2 2 2 2 x2 dx 2 8a 4 abx 3 b x a bx C; a bx 15b3 dx1 a bx a ln Ca , 0 ; x a bx a a bx a dx2 a bx arctan Ca , 0 ; x a bx a a dx a bx b dx ; x2 a bx ax2 a x a bx a bxdx dx 2;a bx a x x a bx 88
  89. 3 xm 12 2 ax x 2 21ma xmm2 ax x2 dx x 1 2 ax x 2 dx ; mm 1 xm dx x m 12 ax x 2 21ma x m 1 dx ; 22 22ax xmm ax x 3 2 2ax x22 2ax x 2 m 3 2 ax x dx dx; xm 2 m 3 ax m 2 m 3 a x m 1 dx2 ax x2 C. 2 x2 ax x ax 89
  90. 5. Tích phân của hàm lượng giác sinxdx cos x C ; cosxdx sin x C ; x 1 sin2 xdx sin 2 x C ; 24 x 1 cos2 xdx sin 2 x C ; 24 1 sin33xdx cos x cos x C ; 2 1 cos33xdx sin x sin x C ; 3 11n sinnxdx sin n 12 x cos x sin n xdx ; nn 11n cosnxdx cos n 12 x sin x cos n xdx ; nn dx x cossecxdx ln tan C ; sinx 2 dx x secxdx ln tan C ; cosx 2 4 90
  91. dx cot tanxC ; sin2 x dx tanxC ; cos2 x 1 sinx cos xdx cos 2 x C ; 4 1 sin23x cos xdx sin x C ; 3 1 sinx cos23 xdx cos x C ; 3 11 sin22x cos xdx x sin 4 x C ; 8 32 sin m n x sin m n x sinmx sin nxdx C , m22 n ; 22 m n m n cos m n x cos m n x sinmx cos nxdx C , m22 n ; 22 m n m n sin m n x sin m n x cosmx cos nxdx C , m22 n ; 22 m n m n dx1 a sin x b arcsin C , a22 b ; 22 a bsin xab a b sin x dx1 b a sin x b22 a cos x ln C , b22 a ; 22 a bsin xba a b sin x dx1 a cos x b arcsin C , a 0, b 0 ; 22 a bcosba a b cos x dx1 b a cos x b22 a sin x ln C , a b ; 22 a bcosba a b cos x 91
  92. dx1 b sin x a cos x a22 b lnC . 22 asin x b cos xab a sin x b cos x B. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH y 1. Định nghĩa B y=f(x) b b f x dx F x F b F a A a a Trong đó F’(x)=f(x) O a b x Hình 38 2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định (Hình 38) b g x dx S aABb a 3. Một số ứng dụng của tích phân xác định a) Tính diện tích hình phẳng Diện tích của hình giới hạn bởi đường cong y=f(x) và các đường y=0, x=a, x=b, trong đó y có cùng một dấu với mọi giá trị của x trong khoảng (a, b) là: b S f x dx (xem Hình 38) a b) Tính độ dài cung Độ dài (s) của một cung của đường cong phẳng f(x,y)=0 từ điểm (a,c) đến điểm (b,d) là: 92
  93. 2 2 bd dy dx s 11 dx dy ac dx dy Nếu phương trình của đường cong x=f(t), y=g(t) thì độ dài của cung từ t=a đến t=b là: 22 b dx dy s dt a dt dt c) Tính thể tích khối tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra do phần đường cong y=f(x) trong khoảng x=a và x=b chuyển động quay xung quanh b o Trục x là V y2 dx a d o Trục y là V x2 dy c Trong đó c và d là các giá trị của y tương ứng với các giá trị của a và b của x. d) Thể tích tạo bởi tiết y diện song song B A y=f(x) Nếu mặt phẳng vuông góc với trục x tại điểm (x,0,0) cắt vật thể theo một tiết diện có diện tích là x a b x S(x) thì thể tích của phần vật thể trong khoảng x=a và x=b là: Hình 39 93
  94. b V S x dx a e) Diện tích mặt của khối tròn xoay Diện tích mặt của vật thể được sinh ra bởi phần đường cong y=f(x) trong khoảng x=a và x=b chuyển động quay 2 b dy o Đối với trục x là S 2 y 1 dx ; a dx 2 d dx o Đối với trục y là S 2 x 1 dy . c dy Trong đó c và d là các giá trị của y tương ứng với các giá trị a và b của x. 94
  95. CHỈ MỤC Điểm uốn · 79 C Đồng biến · 78 Hàm liện tục · 78 Cấp số Hàm lồi · 79 Cấp số cộng · 29 Hàm số chẵn · 77 Cấp số nhân · 29 Hàm số lẻ · 77 Cấp số nhân lùi vô hạn · 30 Hàm tuần hoàn · 78 Công bội · 29 Nghịch biến · 78 Công sai · 29 Tâm đối xứng · 80 Tổng hữu hạn · 30 Tiệm cận đứng · 80 Tiệm cận ngang · 79 Tiệm cận xiên · 80 D Trục đối xứng · 80 Hình học phẳng Đại số Phương tích · 39 Căn số · 16 Quạt tròn · 38 Đa thức · 13 Tâm đẳng phương · 40 Đẳng thức (đồng nhất thức) · 14 Trục đẳng phương · 40 Lũy thừa · 15 Viên phân · 38 Phân thức · 13 Số e · 74 L G Lượng giác Góc bội · 47 Giải tích kết hợp Góc trong tam giác · 52 Giai thừa · 8 Nhị thức Newton · 11 Tam giác Pascal · 12 S Số phức H Argument · 19 Biểu diễn hình học · 18 Hàm số Module · 19 Cực đại · 79 Cực tiểu · 79 95
  96. V Tích hỗn hợp · 72 Tích vô hướng · 70 Tọa độ · 69 Vector Vector đối · 67 Chiếu vector · 68 Góc giữa hai vector · 71 96