Chuyên đề Bất đẳng thức

451 trang Đức Chiến 03/01/2024 450

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_bat_dang_thuc.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Bất đẳng thức

TRѬӠNG THPT CHUYÊN LÝ TӴ TRӐNG 7Ә TOÁN - TIN HӐC Chuyên ÿӅ BBҨҨTT ĈĈҶҶNNGG TTHHӬӬCC Th͹c hi͏n: Võ Quӕc Bá Cҭn +ӑc sinh chuyên Toán, niên khóa 2004 - 2006 TPCT - 2006
/ͥi nói ÿ̯u oOo %ҩt ÿҷng thӭc là mӝt trong nhӳng vҩn ÿӅ hay và khó nhҩt cӫa chѭѫng trình toán phә thông bӣi nó có mһt trên hҫu khҳp các lƭnh vӵc cӫa toán hӑc và nó ÿòi hӓi chúng ta phҧi có mӝt vӕn kiӃn thӭc tѭѫng ÿӕi vӳng vàng trên tҩt cҧ các lƭnh vӵc. 0ӛi ngѭӡi chúng ta, ÿһc biӋt là các bҥn yêu toán, dù ít dù nhiӅu thì cǊng ÿã tӯng ÿau ÿҫu trѭӟc mӝt bҩt ÿҷng thӭc khó và cǊng ÿã tӯng có ÿѭӧc mӝt cҧm giác tӵ hào khi mà mình chӭng minh ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc ÿó. Nhҵm “kích hoҥt” niӅm say mê Eҩt ÿҷng thӭc trong các bҥn, tôi xin giӟi thiӋu vӟi vӟi các bҥn cuӕn sách “chuyên ÿӅ Eҩt ÿҷng thӭc”. Sách gӗm các phѭѫng pháp chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc mӟi mà hiӋn nay chѭa ÿѭӧc phә biӃn cho lҳm. Ngoài ra, trong sách gӗm mӝt sӕ lѭӧng lӟn bҩt ÿҷng thӭc do tôi Wӵ sáng tác, còn lҥi là do tôi lҩy ÿӅ toán trên internet nhѭng chѭa có lӡi giҧi hoһc có Oӡi giҧi nhѭng là lӡi giҧi hay, lҥ, ÿҽp mҳt. Phҫn lӟn các bài tұp trong sách ÿӅu do tôi Wӵ giҧi nên không thӇ nào tránh khӓi nhӳng ngӝ nhұn, sai lҫm, mong các bҥn thông Fҧm. Hy vӑng rҵng cuӕn sách sӁ giúp cho các bҥn mӝt cái nhìn khác vӅ bҩt ÿҷng thӭc và mong rҵng qua viӋc giҧi các bài toán trong sách sӁ giúp các bҥn có thӇ tìm ra phѭѫng pháp cӫa riêng mình, nâng cao ÿѭӧc tѭ duy sáng tҥo. Tôi không biӃt các Eҥn nghƭ sao nhѭng theo quan ÿLӇm cӫa bҧn thân tôi thì nӃu ta hӑc tӕt vӅ bҩt ÿҷng thӭc thì cǊng có thӇ hӑc tӕt các lƭnh vӵc khác cӫa toán hӑc vì nhѭÿã nói ӣ trên bҩt ÿҷng thӭc ÿòi hӓi chúng ta phҧi có mӝt kiӃn thӭc tәng hӧp tѭѫng ÿӕi vӳng vàng. Tôi không nói suông ÿâu, chҳc hҷn bҥn cǊng biӃt ÿӃn anh Phҥm Kim Hùng, sinh viên hӋ CNTN khoa toán, trѭӡng ĈHKHTN, ĈHQG Hà Nӝi, ngѭӡi ÿã ÿѭӧc tham Gӵ hai kǤ thi IMO và ÿӅu ÿRҥt kӃt quҧ cao nhҩt trong ÿӝi tuyӇn VN. Bҥn biӃt không? Trong thӡi hӑc phә thông, anh ҩy chӍ chuyên tâm rèn luyӋn bҩt ÿҷng thӭc thôi. (Các bҥn lѭu ý là tôi không khuyӃn khích bҥn làm nhѭ tôi và anh ҩy ÿâu nhé!) 1
0һc dù ÿã cӕ gҳng biên soҥn mӝt cách thұt cҭn thұn, nhѭng do trình ÿӝ có hҥn nên không thӇ tránh khӓi nhӳng sai sót, mong các bҥn thông cҧm và góp ý cho tôi ÿӇ cuӕn sách ngày càng ÿѭӧc hoàn thiӋn hѫn. Chân thành cҧm ѫn. 0ӑi ÿóng góp xin gӱi vӅ mӝt trong các ÿӏa chӍ sau: + Võ Quӕc Bá Cҭn, C65 khu dân cѭ Phú An, phѭӡng Phú Thӭ, quұn Cái Răng, thành phӕ Cҫn Thѫ. (071.916044 + Email. babylearnmath@yahoo.com Kính tһng các thҫy Ĉһng Bҧo Hòa, Phan Ĉҥi Nhѫn, Trҫn DiӋu Minh, HuǤnh Bӱu Tính, cô Tҥ Thanh Thӫy Tiên và toàn thӇ các thҫy cô giáo trong tә Toán Tin, thân Wһng các bҥn cùng lӟp. 2
0ӜT SӔ BҨT ĈҶNG THӬC THÔNG DӨNG 1. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. 1Ӄu aaa12, , , n là các sӕ thӵc không âm thì n 1 n .å ain³ aaa12 n i=1 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi aaa12= == n . 2. Bҩt ÿҷng thӭc AM-HM. 1Ӄu aaa12, , , n là các sӕ thӵc dѭѫng thì 11n . a ³ n å i 11n i=1 .å nai=1 i Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi aaa12= == n . 3. Bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki. Cho 2n sӕ thӵc aaa12, , , n và bbb12, , , n . Khi ÿó, ta có 2222222 (a1+ a 2 ++ an )( b 1 + b 2 ++ b n ) ³ ( ab 11 + ab 22 ++ ab nn ) aa a Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 12= == n bbb12 n 4. Bҩt ÿҷng thӭc Minkowski. Cho 2n sӕ thӵc dѭѫng aaa12, , , n và bbb12, , , n . Khi ÿó vӟi mӑi r ³1, ta có 1 11 nr nn rr ær öæöæö rr çå()ababiiii+£+ ÷ç÷ç÷ åå èi=1 øèøèø ii == 11 5. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM mӣ rӝng. 1Ӄu aaa12, , , n là các sӕ thӵc không âm và bbb12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng 1 thì bb12 bn bb11a 22 a b+++³nnn a aaa 12 6. Bҩt ÿҷng thӭc Chebyshev. Cho 2n sӕ thӵc aaa12£ ££ n và bbb12, , , n . Khi ÿó a) NӃu bbb12£ ££ n thì næöæö nn nabab.åiiii³ ç÷ç÷ åå i=1èøèø ii == 11 a) NӃu bbb12³ ³³ n thì næöæö nn nabab.åiiii£ ç÷ç÷ åå i=1èøèø ii == 11 3
éaaa12= == n Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ê ëbbb12= == n 7. Bҩt ÿҷng thӭc Holder. Cho 2n sӕ thӵc không âm aaa12, , , n và bbb12, , , n . Khi ÿó vӟi mӑi pq,1> thӓa 11 +=1, ta có pq 11 n nnpq æöæöpq åååababiiii£ ç÷ç÷ iii===111èøèø 8. Bҩt ÿҷng thӭc Schur. 9ӟi mӑi bӝ ba sӕ không âm abc,, và r ³ 0, ta luôn có bҩt ÿҷng thӭc aabacrrr( + + ³ )( ) bbcba ( )( ) ccacb ( )( ) 0 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc== hoһc a== bc,0 và các hoán vӏ. 9. Bҩt ÿҷng thӭc Jensen. Giҧ sӱ fx() là mӝt hàm lӗi trên [,]ab. Khi ÿó, vӟi mӑi x12, x , , xn Î [ ab , ] và aa12, , , a³n 0 thӓa aa12 1 a+++=n ta có bҩt ÿҷng thӭc æönn fç÷ååaaii x³ ii fx() èøii==11 10. Bҩt ÿҷng thӭc sҳp xӃp lҥi. Cho 2 dãy ÿѫn ÿLӋu cùng tăng aaa12£ ££ n và bbb12£ ££ n . Khi ÿó, vӟi iii12, , , n là mӝt hoán vӏ bҩt kì cӫa 1,2, , n ta có ab+ ab ++ ab ³ ab + ab ++ ab ³ ab + ab ++ ab 1122nniiiiiinnn11 22 nn 1211- 11. Bҩt ÿҷng thӭc Bernulli. 9ӟi x >-1, ta có + 1Ӄu rr³Ú£10 thì (1)1+xr ³+ rx + 1Ӄu 10>>r thì (1)1+xr £+ rx 4
%ҨT ĈҶNG THӬC THUҪN NHҨT 1. Mӣÿҫu. +ҫu hӃt các bҩt ÿҷng thӭc cәÿLӇn (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowsky, Chebyshev ) ÿӅu là các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. ĈLӅu này hoàn toàn không ngүu nhiên. VӅ logíc, có thӇ nói rҵng, chӍ có các ÿҥi lѭӧng cùng bұc mӟi có thӇ so sánh Yӟi nhau mӝt cách toàn cөc ÿѭӧc. Chính vì thӃ, bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt chiӃm mӝt tӹ lӋ rҩt cao trong các bài toán bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ (khi các hàm sӕ là hàm ÿҥi sӕ, có bұc Kӳu hҥn). Ĉӕi vӟi các hàm giҧi tích (mǊ, lѭӧng giác, logarith), các bҩt ÿҷng thӭc FǊng ÿѭӧc coi là thuҫn nhҩt vì các hàm sӕ có bұc ¥ (theo công thӭc Taylor). Trong bài này, chúng ta sӁÿӅ cұp tӟi các phѭѫng pháp cѫ bҧn ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt, cǊng nhѭ cách chuyӇn tӯ mӝt bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt YӅ mӝt bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Nҳm vӳng và vұn dөng nhuҫn nhuyӉn các phѭѫng pháp này, chúng ta có thӇ chӭng minh ÿѭӧc hҫu hӃt các bҩt ÿҷng thӭc sѫ cҩp. 2. Bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Hàm sӕ fxxx(12 , , ,n ) cӫa các biӃn sӕ thӵc xxx12, , , n ÿѭӧc là hàm thuҫn nhҩt bұc a nӃu vӟi mӑi sӕ thӵc t ta có a f(, tx1 tx 2 , ,) txnn= t f (,, ,) x 12 x x %ҩt ÿҷng thӭc dҥng fxxx(,, ,)012 n ³ Yӟi f là mӝt hàm thuҫn nhҩt ÿѭӧc gӑi là bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt (bұc a ). Ví dө các bҩt ÿҷng thӭc AM-GM, bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki, bҩt ÿҷng thӭc Chebyshev là các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Bҩt ÿҷng thӭc Bernoulli, bҩt ÿҷng thӭc sin xx 0 là các bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt. 5
3. Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. 3.1. Phѭѫng pháp dӗn biӃn. Ĉһc ÿLӇm cӫa nhiӅu bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là các bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ là dҩu bҵng [ҧy ra khi tҩt cҧ hoһc mӝt vài biӃn sӕ bҵng nhau (xuҩt phát tӯ bҩt ÿҷng thӭc cѫ bҧn x2 ³ 0!). Phѭѫng pháp dӗn biӃn dӵa vào ÿһc ÿLӇm này ÿӇ làm giҧm sӕ biӃn sӕ cӫa Eҩt ÿҷng thӭc, ÿѭa bҩt ÿҷng thӭc vӅ dҥng ÿѫn giҧn hѫn có thӇ chӭng minh trӵc tiӃp Eҵng cách khҧo sát hàm mӝt biӃn hoһc chӭng minh bҵng quy nҥp. ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc fxxx(12 , , ,n )³ 0 (1) Ta có thӇ thӱ chӭng minh æöxxxx1212++ fxxxfx(12 , , ,nn )³ ç÷ , , , (2) èø22 hoһc f( x1 , x 2 , , xnn )³ f() xx 12 , xx 12 , , x (3) Sau ÿó chuyӇn viӋc chӭng minh (1) vӅ viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc fxxx(113 , , , , xnn )=³ gxx ( 13 , , , x ) 0 (4) Wӭc là mӝt bҩt ÿҷng thӭc có sӕ biӃn ít hѫn. Dƭ nhiên, các bҩt ÿҷng thӭc (2), (3) có thӇ không ÿúng hoһc chӍÿúng trong mӝt sӕÿLӅu kiӋn nào ÿó. Vì ta chӍ thay ÿәi 2 biӃn sӕ nên thông thѭӡng thì tính ÿúng ÿҳn cӫa bҩt ÿҷng thӭc này có thӇ kiӇm tra ÿѭӧc dӉ dàng. Ví dө 1. Cho abc,,0> . Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc a333+++³+++++ b c3 abc a 222 b b c c a ab 222 bc ca Chͱng minh. Xét hàm sӕ f(,,)3() a b c=+++- a333 b c abc a 222 b +++++ b c c a ab 222 bc ca Ta có æbcbc++ öæö5 a 2 f(,,), abc- fç a , ÷ç÷ =+ b c () b c è224 øèø 6
Do ÿó, nӃu a= min{ abc , , } (ÿLӅu này luôn có thӇ giҧ sӱ) thì ta có æöbcbc++ f(,,),, abc³ fç÷ a èø22 Nhѭ vұy, ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿҫu bài, ta chӍ cҫn chӭng minh f(,,)0 abb ³ Nhѭng bҩt ÿҷng thӭc này tѭѫng ÿѭѫng vӟi a33++2 b 3 ab 2222323 - ( ab +++++³ ab ba b ba b )0 Û+-³a322 ab20 ab Ûaab( -³ )02 Ví dө 2. (Vietnam TST 1996) Cho abc,, là các sӕ thӵc bҩt kǤ. Chӭng minh rҵng 4 Fabcab(,,)(=+++++- )4 ( bc ) 4 ( ca ) 4 .( abc 444 ++³ )0 7 /ͥi gi̫i. Ta có æöbcbc++ Fabc(,,)-= Faç÷ , , èø22 4 =+++++-(ab )(4 bc )( 4 ca ) 4 .( abc 444 ++- ) 7 44 æbc++ ö4 æö æö bc -+-+++2a ().2 bca44ç÷ ç ÷ç÷ ç÷ è2 ø 72èø èø 4 4 4 4æöbc++4()æö bc 44 =+(ab )( ++ ca )2 -ç÷ a + + .ç÷ bc èø2 78èø 4 33 3 222 23æö 44 ()bc+ =ab(4 + 4 c -+ ( bc ) ) + 3 a (2 b + 2 c -+ ( bc))+ç÷bc +- 78èø 3 =3()()3()()(7710)abcbc + -+22 abc -+ 2 bc - 222 b ++ c bc 56 3 =3(aabcbc ++-+ )()()(7710)2 bc - 222 b ++ c bc 56 7
3 6ӕ hҥng (b- c )(77222 b ++ c 10) bc luôn không âm. NӃu abc,, cùng dҩu thì bҩt 56 ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh là hiӇn nhiên. NӃu abc,, không cùng dҩu thì phҧi có ít nhҩt 1 trong ba sӕ abc,, cùng dҩu vӟi abc++. Không mҩt tính tәng quát, giҧ sӱ ÿó là a . æöbcbc++ 7ӯ ÿҷng thӭc trên suy ra Fabc(,,)³ Faç÷ , , . Nhѭ vұy ta chӍ còn cҫn èø22 chӭng minh Fabb(,,)0,³"Î ab R 4 Û2(a + b )4 + (2 b ) 4 - .( a 44 + 2 b ) ³"Î 0 ab , R 7 1Ӄu b = 0 thì bҩt ÿҷng thӭc là hiӇn nhiên. NӃu b ¹ 0 , chia hai vӃ cӫa bҩt ÿҷng thӭc a cho b4 rӗi ÿһt x = thì ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿѭѫng b 4 2(xx+ 1)44 +- 16 .( +³ 2) 0 7 %ҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng có thӇ chӭng minh nhѭ sau 4 Xét fxxx( )=++-+ 2( 1)44 16 .( 2) 7 Ta có 16 fxxx/()8(1).= +- 33 7 2 fx/ ( )= 0 Û x + 1 =3 . xx Û =- 2.9294 7 ffmin =-=>( 2.9294) 0.4924 0 (Các phҫn tính toán cuӕi ÿѭӧc tính vӟi ÿӝ chính xác tӟi 4 chӳ sӕ sau dҩu phҭy. Do fmin tính ÿѭӧc là 0.4924 nên nӃu tính cҧ sai sӕ tuyӋt ÿӕi thì giá trӏ chính xác cӫa fmin vүn là mӝt sӕ dѭѫng. Vì ÿây là mӝt bҩt ÿҷng thӭc rҩt chһt nên không thӇ tránh 8
4 16 ÿѭӧc các tính toán vӟi sӕ lҿ trên ÿây. Chҷng hҥn nӃu thay bҵng ÿӇ x =-3 7 27 min 4 thì f * có giá trӏ âm! Ӣÿây fxxx*( )=++-+ 2( 1) 44 16 .( 2).) min 7 3.2. Phѭѫng pháp chuҭn hóa. 'ҥng thѭӡng gһp cӫa bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt là fxxxgxxx(12 , , ,nn )³ ( 12 , , , ) trong ÿó f và g là hai hàm thuҫn nhҩt cùng bұc. Do tính chҩt cӫa hàm thuҫn nhҩt, ta có thӇ chuyӇn viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc trên vӅ viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc fxxxA(12 , , ,n ) ³ vӟi mӑi xxx12, , , n thӓa mãn ÿLӅu kiӋn gxxxA(12 , , ,n ) = . Chuҭn hóa mӝt cách thích hӧp, ta có thӇ làm ÿѫn giҧn các biӇu thӭc cӫa bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh, tұn dөng ÿѭӧc mӝt sӕ tính chҩt ÿһc biӋt cӫa các hҵng sӕ. Ví dө 3. (Bҩt ÿҷng thӭc vӅ trung bình lǊy thӯa) Cho bӝ n sӕ thӵc dѭѫng ()(,, ,)xxxx= 12 n . Vӟi mӛi sӕ thӵc r ta ÿһt 1 rrrr æöxxx12+ ++ n Mxr ()= ç÷ èøn Chӭng minh rҵng vӟi mӑi rs>>0 ta có Mxrs()³ Mx (). /ͥi gi̫i. Vì Mrr( tx )= tM () x vӟi mӑi t > 0 nên ta chӍ cҫn chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿúng cho các sӕ thӵc dѭѫng xxx12, , , n thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn Mxs ()1= , tӭc là cҫn chӭng minh Mxr ()1³ vӟi mӑi xxx12, , , n thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn Mxs ()1= . ĈLӅu này có thӇ viӃt ÿѫn giҧn lҥi là rrr sss Chӭng minh xx12+++³ xnn vӟi xx12+++= xnn . ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng, ta áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Bernoulli rrr xrsss=( x )ss = (1 + ( x - 1)) ³ 1 + .( x - 1) "= in 1, iiiis &ӝng các bҩt ÿҷng thӭc trên lҥi, ta ÿѭӧc ÿLӅu phҧi chӭng minh. 9
Ví dө 4. (VMO 2002) Chӭng minh rҵng vӟi xyz,, là các sӕ thӵc bҩt kǤ ta có bҩt ÿҷng thӭc 3 6(xyzxyz++ )(222 ++ ) £ 27 xyzxyz + 10( 222 ++ ) 2 /ͥi gi̫i. %ҩt ÿҷng thӭc này rҩt cӗng kӅnh. NӃu thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi trӵc tiӃp sӁ rҩt khó khăn (ví dө thӱ bình phѭѫng ÿӇ khӱ căn). Ta thӵc hiӋn phép chuҭn hóa ÿӇÿѫn giҧn hóa bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho. NӃu xyz222++=0 , thì xyz===0 , bҩt ÿҷng thӭc trӣ thành ÿҷng thӭc. NӃu xyz222++>0 , do bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho là thuҫn nhҩt, ta có thӇ giҧ sӱ xyz222++=9. Ta cҫn chӭng minh 2(x++£+ y z ) xyz 10 vӟi ÿLӅu kiӋn xyz222++=9. ĈӇ chӭng minh ÿLӅu này, ta chӍ cҫn chӭng minh [2(x++-£ y z ) xyz ]2 100 Không mҩt tính tәng quát, có thӇ giҧ sӱ xyz££. Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxky, ta có [2()x++- y z xyz ]22 = [2( x ++- y ) z (2 xy )] £[(x + y )222 + z ][4 +- (2 xy ) ] =+(9 2xy )(8 -+ 4 xy x22 y ) =-++72 20xy xy22 2 xy 33 =++-100 (xy 2)2 (2 xy 7) 7ӯ xyz££Þ³Þ£+£ z23 2 xyxy 22 6, tӭc là (xy+ 2)2 (2 xy -£ 7) 0. Tӯÿây, NӃt hӧp vӟi ÿánh giá trên ÿây ta ÿѭӧc ÿLӅu cҫn chӭng minh. ì xyz+ ï = 'ҩu bҵng xҧy ra khi và chӍ khi í 22- xy . ï îxy +=20 7ӯÿây giҧi ra ÿѭӧc x=-==1,2,2 yz. .ƭ thuұt chuҭn hóa cho phép chúng ta biӃn mӝt bҩt ÿҷng thӭc phӭc tҥp thành mӝt Eҩt ÿҷng thӭc có dҥng ÿѫn giҧn hѫn. ĈLӅu này giúp ta có thӇ áp dөng các biӃn ÿәi ÿҥi sӕ mӝt cách dӉ dàng hѫn, thay vì phҧi làm viӋc vӟi các biӇu thӭc cӗng kӅnh ban 10
ÿҫu. Ĉһc biӋt, sau khi chuҭn hóa xong, ta vүn có thӇ áp dөng phѭѫng pháp dӗn biӃn ÿӇ giҧi. Ta ÿѭa ra lӡi giҧi thӭ hai cho bài toán trên Ĉһt f(,,)2() x y z= x ++- y z xyz . Ta cҫn chӭng minh f( xyz , , )£ 10 vӟi xyz222++=9. Xét æöyz22++- yz 22 xyz() 2 fxç, , ÷- fxyz (,,)22() = y22 + z yz ç÷222( ) èø æö2 x = ()yz2 ç÷ ç÷22 2 èø2()y+ z ++ yz + NӃu xyz,,0> , ta xét hai trѭӡng hӧp *1£££xyz. Khi ÿó 2(x+ y + z ) - xyz £ 2 3( x2 + y 22 + z ) -= 1 6 3 - , suy ra gxg( )£= (1) 10 . 9 - x2 + NӃu trong 3 sӕ xyz,, có mӝt sӕ âm, không mҩt tính tәng quát, ta có thӇ giҧ sӱ là æöyz22++ yz 22 x < 0 . Khi ÿó fç÷ x, ,³ f (,,) xyz, nên ta chӍ cҫn chӭng minh ç÷22 èø æöyz22++ yz 22 fxç÷, ,£ 10 ç÷22 èø xx(9)- 2 Û+ £2xx 2 2(92 ) 10 2 Ûhxxxx( ) =-+32 5 4 2(9 -£ ) 20 42x Ta có hxx/2()35= . 9 - x2 11
Giҧi phѭѫng trình hx/ ()0= (vӟi x < 0 ), ta ÿѭӧc x =-1. Ĉây là ÿLӇm cӵc ÿҥi cӫa h, do ÿó hxh( )£-= ( 1) 20. %ҵng cách chuҭn hóa, ta có thӇÿѭa mӝt bài toán bҩt ÿҷng thӭc vӅ bài toán tìm giá trӏ lӟn nhҩt hay nhӓ nhҩt cӫa mӝt hàm sӕ trên mӝt miӅn (chҷng hҥn trên hình cҫu xyz222++=9 nhѭӣ ví dө 4). ĈLӅu này cho phép chúng ta vұn dөng ÿѭӧc mӝt sӕ Nӻ thuұt tìm giá trӏ lӟn nhҩt, giá trӏ nhӓ nhҩt (ví dө nhѭ bҩt ÿҷng thӭc Jensen, hàm Oӗi, ). Ví dө 5. Cho abc,, là các sӕ thӵc dѭѫng. Chӭng minh rҵng ()()()3bca+-222 cab +- abc +- ++³ a222222++() bc b ++ () ca c ++ () ab 5 /ͥi gi̫i. Ta chӍ cҫn chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc cho các sӕ dѭѫng abc,, thoҧ abc++=1. Khi ÿó bҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi thành (12) abc222 (12) (12) 3 ++³ 2aabbcc222-+ 2 12 -+ 2 12 -+ 2 15 1 1 1 27 Û ++£ 2aa222-+ 2 12 bb -+ 2 12 cc -+ 2 1 5 27 Û++£fa( ) fb ( ) fc ( ) (5.1) 5 1 Trong ÿó fx()= 2xx2 -+ 21 271æö ĈӇ ý rҵng = 3 f ç÷, ta thҩy (5.1) có dҥng bҩt ÿҷng thӭc Jensen. Tuy nhiên, tính 53èø ÿҥo hàm cҩp hai cӫa fx(), ta có 4(6xx2 -+ 6 1) fx// ()= ( 2xx23-+ 2 1) 12
æö3333-+ hàm chӍ lӗi trên khoҧng ç÷, nên không thӇ áp dөng bҩt ÿҷng thӭc èø66 27 Jensen mӝt cách trӵc tiӃp. Ta chӭng minh fa()()()++£ fb fc bҵng các nhұn 5 xét bә sung sau æö1 ffmax ==ç÷2 èø2 æö1 æö1 fx() tăng trên ç÷0, và giҧm trên ç÷,1 èø2 èø2 æöæö3-+ 3 3 3 12 ffç÷ç÷== èøèø6 67 æö3333-+ 1Ӄu có ít nhҩt 2 trong 3 sӕ abc,, nҵm trong khoҧng ç÷, , chҷng hҥn là èø66 a, b thì áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Jensen ta có æabc+- ö æö14 fafbff()()22+£==ç ÷ ç÷2 è22 ø èøc +1 Nhѭ vұy trong trѭӡng hӧp này, ta chӍ cҫn chӭng minh 1 4 27 +£ 2211ccc22-++5 Quy ÿӗng mүu sӕ và rút gӑn ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿѭѫng 27c4- 27 c 32 + 18 cc - 7 +³ 1 0 Û(3c - 1)22 (3 cc -+³ 1) 0 (ñuùng) Nhѭ vұy, ta chӍ còn cҫn xét trѭӡng hӧp có ít nhҩt hai sӕ nҵm ngoài khoҧng æö3333-+ 33+ 33- ç÷, . NӃu chҷng hҥn a ³ thì rõ ràng bc, £ và nhѭ vұy, èø66 6 6 36 27 do nhұn xét trên fa()()()++£< fb fc . 75 33- Ta chӍ còn duy nhҩt mӝt trѭӡng hӧp cҫn xét là có hai sӕ, chҷng hҥn ab, £ . 6 13
3 31 Lúc này, do ab+ £-1 nên c ³>. 3 32 Theo các nhұn xét trên, ta có æ3-+ 3 öæö 3 24 15 6 3 27 fa()()()2++£ fb fc fç ÷ç÷ + f =+ < . è6 øèø 37135 Ghi chú. Bài toán trên có mӝt cách giҧi ngҳn gӑn và ÿӝc ÿáo hѫn nhѭ sau %ҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi thành ab()+++ c bc () a ca ()6 b ++£ a222222++() bc b ++ () ca c ++ () ab 5 Không mҩt tính tәng quát, có thӇ giҧ sӱ abc++=1. Khi ÿó, bҩt ÿҷng thӭc viӃt lҥi thành aabbcc(1 ) (1 ) (1 ) 6 ++£ 2aabbcc222-+ 212 -+ 212 -+ 215 (a + 1) 2 (1)(1)(3)a+2 -+ aa Ta có 2(1)aa-£ . Do ÿó 1221-+³-=aa2 . Tӯÿó 4 44 aaaaa(1)(1)4 £= 2aa2 -+ 21(1-+aa )(3 ) 3 + a 4 7ѭѫng tӵ bbb(1)4- £ 2bb2 -+ 213+ b ccc(1)4- £ . 2cc2 -+ 213 + c Và ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿҫu bài, ta chӍ cҫn chӭng minh 4abc 4 46 ++£ 3335+++abc 1 1 19 %ҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng này tѭѫng ÿѭѫng vӟi ++³ là hiӇn 3+++abc 3 3 10 nhiên (Áp dөng BĈT AM-GM). 14
Chuҭn hóa là mӝt kӻ thuұt cѫ bҧn. Tuy nhiên, kӻ thuұt ÿó cǊng ÿòi hӓi nhӳng kinh nghiӋm và ÿӝ tinh tӃ nhҩt ÿӏnh. Trong ví dө trên, tҥi sao ta lҥi chuҭn hóa xyz222++=9 mà không phҧi là xyz222++=1 (tӵ nhiên hѫn)? Và ta có ÿҥt ÿѭӧc nhӳng hiӋu quҧ mong muӕn không nӃu nhѭ chuҭn hóa xyz++=1? Ĉó là nhӳng vҩn ÿӅ mà chúng ta phҧi suy nghƭ trѭӟc khi thӵc hiӋn bѭӟc chuҭn hóa. 3.3. Phѭѫng pháp trӑng sӕ. %ҩt ÿҷng thӭc AM-GM và bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki là nhӳng bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Vì thӃ, chúng rҩt hӳu hiӋu trong viӋc chӭng minh các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Tuy nhiên, do ÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng cӫa các bҩt ÿҷng thӭc này rҩt nghiêm ngһt nên viӋc áp dөng mӝt cách trӵc tiӃp và máy móc ÿôi khi khó ÿem lҥi NӃt quҧ. ĈӇ áp dөng tӕt các bҩt ÿҷng thӭc này, chúng ta phҧi nghiên cӭu kӻÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng và áp dөng phѭѫng pháp trӑng sӕ. Ví dө 6. Chӭng minh rҵng nӃu xyz,, là các sӕ thӵc không âm thì 3 6(-++xyzxyz )(222 ++ ) + 27 xyzxyz £ 10( 2 ++ 22 ) 2 /ͥi gi̫i. 6ӱ dөng nguyên lý cѫ bҧn «Gҩu bҵng xҧy ra khi mӝt cһp biӃn sӕ nào ÿó bҵng nhau», ta có thӇ tìm ta ÿѭӧc dҩu bҵng cӫa bҩt ÿҷng thӭc trên xҧy ra khi yzx==2 . ĈLӅu này cho phép chúng ta mҥnh dҥn ÿánh giá nhѭ sau 3 10(xyz2++ 22 )2 ++ 6( xyzxyz )( 222 ++ ) = æö1 =(xyz2 ++ 22 ) 10( xyz 2 ++ 22 )2 ++ 6( xyz ) ç÷ èø æö10 11 =().()(122)6()xyz2 + 22 + xyz 222 + +22 222 + + ++ xyz ç÷ èø3 2 22æö10 ³(x + y + z ).(22)6()ç÷ x + y + z ++ xyz èø3 (xyz2++ 22 )(28 xyz ++ 2 2 ) = (6.1) 3 15
Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM, ta có 44 æöy2 æö z 2 æöæö y 2 z 2 xyz 2 88 222229 9 xyzxx++=+4499ç÷ + ç÷ ³ ç÷ç÷ = 8 èø4 èø 4 èøèø 44 4 28xyz++= 2 2 7.4 xyz ++³ 2 2 999 (4 x )7 (2 yz )(2 ) = 9 4 87 xyz Nhân hai bҩt ÿҷng thӭc trên vӃ theo vӃ, ta ÿѭӧc xyz2 88 (x2++++³= y 2 z 2 )(28 x 2 y 2 z ) 99 .99 4 87 x yz 81 xyz (6.2) 48 7ӯ (6.1) và (6.2) ta suy ra bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh. Trong ví dө trên, chúng ta ÿã sӱ dөng cҧ bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki và bҩt ÿҷng thӭc AM-GM có trӑng sӕ. Lӡi giҧi rҩt hiӋu quҧ và ҩn tѭӧng. Tuy nhiên, sӵ thành công cӫa lӡi giҧi trên nҵm ӣ hai dòng ngҳn ngӫi ӣÿҫu. Không có ÿѭӧc «Gӵÿoán» ÿó, khó có thӇ thu ÿѭӧc kӃt quҧ mong muӕn. Dѭӟi ÿây ta sӁ xét mӝt ví dө vӅ viӋc chӑn các trӑng sӕ thích hӧp bҵng phѭѫng pháp hӋ sӕ bҩt ÿӏnh ÿӇ các ÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng ÿѭӧc thoҧ mãn. Ví dө 7. Chӭng minh rҵng nӅu 0 ££xy thì ta có bҩt ÿҷng thӭc 11 13xyx (22222-+ )22 9 xyx ( +£ ) 16 y /ͥi gi̫i. Ta sӁ áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM cho các tích ӣ vӃ trái. Tuy nhiên, nӃu áp dөng Pӝt cách trӵc tiӃp thì ta ÿѭӧc 13(xyx222+- ) 9( xyx 222 ++ ) VT£ + =+9 xy22 11 (7.1) 22 Ĉây không phҧi là ÿLӅu mà ta cҫn (Tӯÿây chӍ có thӇ suy ra VTy£ 20 2 ). Sӣ dƭ ta không thu ÿѭӧc ÿánh giá cҫn thiӃt là vì dҩu bҵng không thӇÿӗng thӡi xҧy ra ӣ hai Oҫn áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. ĈӇÿLӅu chӍnh, ta ÿѭa vào các hӋ sӕ dѭѫng ab, nhѭ sau 16
11 13(ax )( y22-+ x )22 9( by )( y 22 x ) VT =+ ab 13(axyx2222+- ) 9( bxyx 2222 ++ ) £+ (7.2) 22ab Ĉánh giá trên ÿúng vӟi mӑi ab,0> (chҷng hҥn vӟi ab==1 ta ÿѭӧc (7.1)) và ta sӁ phҧi chӑn ab, sao cho a) VӃ phҧi không phө thuӝc vào x b) Dҩu bҵng có thӇÿӗng thӡi xҧy ra ӣ hai bҩt ÿҷng thӭc Yêu cҫu này tѭѫng ÿѭѫng vӟi hӋ ì13(ab22-+ 1) 9( 1) ï +=0 ï 22ab í 2222 ïìaxyx=- ï$xy,:í ï 2222 î îïbxyx=+ ì13(ab22-+ 1) 9( 1) ï +=0 7ӭc là có hӋ í 22ab. ï 22 îab+=-11 ì 1 a = ï 2 Giҧi hӋ ra, ta ÿѭӧc í . Thay hai giá trӏ này vào (7.2) ta ÿѭӧc 3 ïb = îï 2 22 æöæöxx229 222 VTyx£13ç÷ç÷ +- + 3 ++ yxy = 16 èøèø44 Ghi chú. Trong ví dө trên, thӵc chҩt ta ÿã cӕÿӏnh y và tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa vӃ trái khi x thay ÿәi trong ÿRҥn [0,]y . 4. Bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng. Khi gһp các bҩt ÿҷng thӭc dҥng ÿa thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng, ngoài các phѭѫng pháp trên, ta còn có thӇ sӱ dөng phѭѫng pháp khai triӇn trӵc tiӃp và dөng ÿӏnh lý vӅ nhóm các sӕ hҥng. Phѭѫng pháp này cӗng kӅnh, không thұt ÿҽp nhѭng ÿôi lúc tӓ ra 17
khá hiӋu quҧ. Khi sӱ dөng bҵng phѭѫng pháp này, chúng ta thѭӡng dùng các ký hiӋu quy ѭӟc sau ÿӇÿѫn giҧn hóa cách viӃt ååQxxxQxxx(1 , 2 , ,nn )= (sss (1) , (2) , , ( ) ) sym s trong ÿó, s chҥy qua tҩt cҧ các hoán vӏ cӫa {1,2, ,n }. Ví dө vӟi n = 3 và ba biӃn sӕ xyz,, thì å xxyz3=++222 3 33 sym å xy2222222=+++++ xy yz zx xz zy yx sym å xyz= 6 xyz sym Ĉӕi vӟi các biӇu thӭc không hoàn toàn ÿӕi xӭng, ta có thӇ sӱ dөng ký hiӋu hoán vӏ vòng quanh nhѭ sau å xy22=++ xy yz 22 zx cyc Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên tính so sánh ÿѭӧc cӫa mӝt sӕ tәng ÿӕi [ӭng cùng bұc - ÿӏnh lý vӅ nhóm các sӕ hҥng (hӋ quҧ cӫa bҩt ÿҷng thӭc Karamata) mà chúng ta sӁ phát biӇu và chӭng minh dѭӟi ÿây. Trong trѭӡng hӧp 3 biӃn, ta còn có ÿҷng thӭc Schur. 1Ӄu ssss= (12 , , ,n ) và tttt= (12 , , ,n ) là hai dãy sӕ không tăng. Ta nói rҵng s là ïìss1+ 2 ++ snn =+++ tt 12 t trӝi cӫa t nӃu í . îïss1+ 2 + + sttii ³ 12 + + + tin "= 1, Ĉӏnh lý Muirhead. («Nhóm») 1Ӄu s và t là các dãy sӕ thӵc không âm sao cho s là trӝi cӫa t thì ss1 2stnn tt 12 ååxxx1 2 nn³ xxx 12 sym sym Chͱng minh. 18
Ĉҫu tiên ta chӭng minh rҵng nӃu s là trӝi cӫa t thì tӗn tҥi các hҵng sӕ không âm ks , vӟi s chҥy qua tұp hӧp tҩt cҧ các hoán vӏ cӫa {1,2, ,n }, có tәng bҵng 1 sao cho å kssssss((1) , (2) , , s (nn ) )= ( ttt 1 , 2 , , ) s Sau ÿó, áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM nhѭ sau ssss(1) s (2) s ()n ss st ((1)) st ((2)) s st (()) nn ttt s (1) s (2) s () åååxxx12 n=³ kxxt 1 2 x nn xxx 12 ssts, Ví dө, vӟi s = (5,2,1) và t = (3,3,2) , ta có 3311 (3,3,2)=+++ .(5,2,1) . .(2,1,5) .(1,2,5) 8888 Và ta có ÿánh giá 33xyz5 2+ xyz 25 ++ xyz 2 5 xyz 25 ³ xyz3 32 8 &ӝng bҩt ÿҷng thӭc trên và các bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng tӵ, ta thu ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc ååxyz5 2³ xyz 332 sym sym Ví dө 8. Chӭng minh rҵng vӟi mӑi sӕ thӵc dѭѫng abc,, ta có 1111 ++£ a33++ b abc b 33 ++ c abc c 33 ++ a abc abc /ͥi gi̫i. Quy ÿӗng mүu sӕ và nhân hai vӃ cho 2, ta có å()()a33++++£ b abc b 33 c abc abc sym £2(a33 ++ b abc )( b 33 ++ c abc )( c 33 ++ a abc ) Ûå(34)abc7 +++£ abc 44 abc 522 abc 333 sym £å(232)abc333 ++++ ab 63 abc 44 5 bc 22 abc 7 sym Ûå(2ab63 -³ 2 abc 522 )0 sym %ҩt ÿҷng thӭc này ÿúng theo ÿӏnh lý nhóm. 19
Trong ví dө trên, chúng ta ÿã gһp may vì sau khi thӵc hiӋn các phép biӃn ÿәi ÿҥi sӕ, ta thu ÿѭӧc mӝt bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿӕi ÿѫn giҧn, có thӇ áp dөng trӵc tiӃp ÿӏnh lý nhóm. Tuy nhiên, không phҧi trѭӡng hӧp nào ÿӏnh lý này cǊng ÿӫÿӇ giҧi quyӃt vҩn ÿӅ. Trong trѭӡng hӧp 3 biӃn sӕ, ta có mӝt kӃt quҧ rҩt ÿҽp khác là ÿӏnh lý Schur. Ĉӏnh lý. (Schur) Cho xyz,, là các sӕ thӵc không âm. Khi ÿó vӟi mӑi r > 0 xxyxzrrr(- )( -+ ) yyzyx ( - )( -+ ) zzxzy ( - )( -³ ) 0 'ҩu bҵng xҧy ra khi và chӍ khi xyz== hay khi hai trong ba sӕ xyz,, bҵng nhau còn sӕ thӭ ba bҵng 0. Chͱng minh. Vì bҩt ÿҷng thӭc hoàn toàn ÿӕi xӭng ÿӕi vӟi ba biӃn sӕ, không mҩt tính tәng quát, ta có thӇ giҧ sӱ xyz³³. Khi ÿó bҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi dѭӟi dҥng (x- yxx )(rrr ( z ) yy ( - z )) + zx ( - zy )( -³ z ) 0 và mӛi mӝt thӯa sӕӣ vӃ trái ÿӇu hiӇn nhiên không âm. Trѭӡng hӧp hay ÿѭӧc sӱ dөng nhҩt cӫa bҩt ÿҷng thӭc Schur là khi r = 1. Bҩt ÿҷng thӭc này có thӇ viӃt lҥi dѭӟi dҥng å(x22- 2 x y +³ xyz )0 sym Ĉây chính là bҩt ÿҷng thӭc ӣ ví dө 1. Ví dө 9. Cho abc,, là các sӕ dѭѫng. Chӭng minh rҵng æö1 1 19 ()ab++++³ bc ca ç÷222 èø()()()ab+++ bc ca 4 /ͥi gi̫i. Quy ÿӗng mүu sӕ, khai triӇn và rút gӑn, ta ÿѭӧc å(4ab5 +-+³ ab 42 3 ab 33 abc 4 2 abc 32 abc 222 ) 0 (9.1) sym Dùng bҩt ÿҷng thӭc Schur xxyxz(- )( -+ ) yyzyx ( - )( -+ ) zzxzy ( - )( -³ ) 0 20
Nhân hai vӃ vӟi 2xyz rӗi cӝng lҥi, ta ÿѭӧc å(abc4-+³ 2 abc 32 abc 222 ) 0 (9.2) sym Ngoài ra, áp dөng ÿӏnh lý nhóm (hay nói cách khác - bҩt ÿҷng thӭc AM-GM có trӑng sӕ) ta có å(4ab54233 ³ ab 3 ab ) 0 (9.3) sym 7ӯ (9.2), (9.3) suy ra (9.1) và ÿó chính là ÿLӅu phҧi chӭng minh. Nói ÿӃn bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng, không thӇ không nói ÿӃn các hàm sӕ n ÿӕi xӭng cѫ bҧn. Ĉó là các biӇu thӭc S1===åå xSi, 2 xxS ijnn , , xxx 12 . i=11 £<£ i jn 9ӟi các bҩt ÿҷng thӭc liên quan ÿӃn các hàm ÿӕi xӭng này, có mӝt thӫ thuұt rҩt hӳu hiӋu ÿѭӧc gӑi là «thӫ thuұt giҧm biӃn sӕ bҵng ÿӏnh lý Rolle». Chúng ta trình bày ý Wѭӣng cӫa thӫ thuұt này thông qua ví dө sau Ví dө 10. Cho abcd,,, là các sӕ thӵc dѭѫng. Chӭng minh rҵng 11 æab+++++ ac ad bc bd cd öæö23 abc +++ abd acd bcd ç ÷ç÷³ è64 øèø /ͥi gi̫i. Ĉһt S23=+++++ ab ac ad bc bd cd, S =+++ abc abd acd bcd . Xét ÿa thӭc 4 32 P( x )= ( x a )( x b )( x - c )( x -=-++++ d ) x ( a b c d ) x S23 x -+ S x abcd Px() có 4 nghiӋm thӵc abcd,,, (nӃu có các nghiӋm trùng nhau thì ÿó là nghiӋm Eӝi). Theo ÿӏnh lý Rolle, Px/ () cǊng có 3 nghiӋm (ÿӅu dѭѫng) uvw,, . Do Px/ () có hӋ sӕ cao nhҩt bҵng 4 nên Px/( )= =-+++++- 4( xuxvxw )( )( ) 4 x 32 4( uvwx ) 4( uvvwwuxuvw ) 4 0һt khác /32 Px()43()=-++++- x abcdxSxS23 21
suy ra S23=++=2( uv vw wu ), S 4 uvw và bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh ӣÿҫu bài có thӇ viӃt lҥi theo ngôn ngӳ uvw,, là 1 1 æöuv++ vw wu 2 ç÷³ ()uvw 3 èø3 %ҩt ÿҷng thӭc này hiӇn nhiên ÿúng theo bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. 5. Thuҫn nhҩt hóa bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt. Trong các phҫn trên, chúng ta ÿã trình bày các phѭѫng pháp cѫ bҧn ÿӇ chӭng minh Pӝt bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Ĉó không phҧi là tҩt cҧ các phѭѫng pháp (và dƭ nhiên không bao giӡ có thӇ tìm ÿѭӧc tҩt cҧ!), tuy vұy có thӇ giúp chúng ta ÿӏnh hѭӟng tӕt khi gһp các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Nhѭng nӃu gһp bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt thì sao nhӍ? Có thӇ bҷng cách nào ÿó ÿӇÿѭa các bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt vӅ các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt và áp dөng các phѭѫng pháp nói trên ÿѭӧc không? Câu trҧ lӡi là có. Trong hҫu hӃt các trѭӡng hӧp, các bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt có thӇÿѭa vӅ bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt bҵng mӝt quá trình mà ta gӑi là thuҫn nhҩt hóa. Chúng ta không thӇ “chӭng minh” mӝt “ÿӏnh lý” ÿѭӧc phát biӇu kiӇu nhѭ thӃ, nhѭng có hai lý do ÿӇ tin vào nó: thӭ nhҩt, thӵc ra chӍ có các ÿҥi Oѭӧng cùng bұc mӟi có thӇ so sánh ÿѭӧc, còn các ÿҥi lѭӧng khác bұc chӍ so sánh ÿѭӧc trong các ràng buӝc nào ÿó. Thӭ hai, nhiӅu bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt ÿã ÿѭӧc “tҥo ra” bҵng cách chuҭn hóa hoһc thay các biӃn sӕ bҵng các hҵng sӕ. ChӍ cҫn chúng ta ÿi ngѭӧc lҥi quá trình trên là sӁ tìm ÿѭӧc nguyên dҥng ban ÿҫu. 0ӝt ví dө rҩt ÿѫn giҧn cho lý luұn nêu trên là tӯ bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt x333222++³++ y z xy yz zx, bҵng cách cho z = 1, ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt xy33++³++1 xyyx 22 Ví dө 11. (England 1999) Cho pqr,, là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧÿLӅu kiӋn pqr++=1. Chӭng minh 7(p++ q r ) £+ 29 pqr 22
Ví dө 12. (IMO 2000) Cho abc,, là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn abc =1. Chӭng minh æ111 öæ öæ ö çabc-+1 ÷ç -+ 1 ÷ç -+ 11 ÷ £ èbca øè øè ø +˱ͣng d̳n. xyz Ĉһt abc===,,! yzx Ví dө 13. (IMO, 1983) Chӭng minh rҵng nӃu abc,, là ba cҥnh cӫa mӝt tam giác thì aba2(-+ b ) bcb 22 ( -+ c ) cac ( -³ a )0 +˱ͣng d̳n. Ĉһt ayzbzxcxy=+=+=+,, ! 23
Bài tұp Bài 1. Cho xyz,,0> . Chӭng minh rҵng xyzxzyxyzyzzxxy33333 32 22 +++++³+++++ yzxzyx333333yz zx xy xyz 222 Bài 2. Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc sau vӟi mӑi sӕ thӵc dѭѫng xyz,, 92xyz ³++³ 4(xyz++ ) ( xyxz + )( + ) ( yzyx + )( + ) ( zxzy + )( + ) xyz ++ Bài 3. Cho xyz,, là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn 2472x++= y z xyz . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Pxyz=++ Bài 4. Cho abc,, là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧ abcabc222+++=4. Chӭng minh rҵng abc++£3 Bài 5. (IMO 1984) Cho xyz,, là các sӕ thӵc không âm thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn xyz++=1. Chӭng minh Uҵng 7 02£++-£xy yz zx xyz 27 Bài 6. (Iran, 1996) Cho abc,,0> . Chӭng minh rҵng æö1 1 19 ()ab++++³ bc ca ç÷222 èø()()()ab+++ bc ca 4 24
Bài 7. (VMO 1996) Cho abcd,,, là các sӕ thӵc không âm thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn 2(ab+++++++++= ac ad bc bd cd ) abc abd acd bcd 16 Chӭng minh rҵng 3()2()a+++³ b c d ab +++++ ac ad bc bd cd Bài 8. (Poland 1996) Cho abc,, là các sӕ thӵc thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn abc++=1. Chӭng minh rҵng abc9 ++£ abc222+++11110 Bài 9. (Poland 1991) Cho xyz,, là các sӕ thӵc thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn xyz222++=2 . Chӭng minh rҵng x++£+ y z2 xyz Bài 10. (IMO 2001) Cho abc,,0> . Chӭng minh rҵng abc ++³1 a222+++888 bc b ca c ab 25
PHѬѪNG PHÁP DӖN BIӂN I. Mӣÿҫu. Ĉһc ÿLӇm chung cӫa nhiӅu bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là các bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ là dҩu Eҵng xҧy ra khi tҩt cҧ hoһc mӝt vài biӃn sӕ bҵng nhau. Có mӝt phѭѫng pháp ÿánh giá trung gian cho phép ta giҧm biӃn sӕ cӫa bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh. Phѭѫng pháp dӗn biӃn dӵa vào ÿһc ÿLӇm này ÿӇ làm giҧm sӕ biӃn sӕ cӫa bҩt ÿҷng thӭc, ÿѭa Eҩt ÿҷng thӭc vӅ dҥng ÿѫn giҧn hѫn có thӇ chӭng minh trӵc tiӃp bҵng cách khҧo sát hàm mӝt biӃn. ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc dҥng fxxx(12 , , ,n )³ 0, ta chӭng minh fxxx(12 , , ,nn )³ fttx ( , , , ) Trong ÿó t là lѭӧng trung bình cӫa xx12, , chҷng hҥn nhѭ trung bình nhân hoһc trung bình cӝng. NӃu ÿѭӧc nhѭ vұy thì tiӃp tөc sang bѭӟc thӭ hai cӫa phép chӭng minh là chӍ ra rҵng fttx(,, ,)0n ³ 7ҩt nhiên, bҩt ÿҷng thӭc này ÿã giҧm sӕ biӃn sӕÿi mӝt và thѭӡng là dӉ chӭng minh Kѫn bҩt ÿҷng thӭc ban ÿҫu. ViӋc lӵa chӑn lѭӧng trung bình nào ÿӇ dӗn biӃn tùy thuӝc vào ÿһc thù cӫa bài toán, và ÿôi khi lѭӧng t khá ÿһc biӋt. Thѭӡng thì, bѭӟc thӭ nhҩt trong 2 bѭӟc chính ӣ trên là khó hѫn cҧ vì thӵc chҩt ta Yүn phҧi làm viӋc vӟi các ѭӟc lѭӧng có ít nhҩt là ba biӃn sӕ. Sau ÿây là mӝt vài Gҥng dӗn biӃn thѭӡng gһp. II. Phѭѫng pháp dӗn biӃn trong ÿҥi sӕ. 1. Dӗn biӃn ba biӃn sӕ. Ĉây là phҫn ÿѫn giҧn nhҩt cӫa phѭѫng pháp dӗn biӃn. Và ngѭӧc lҥi cǊng có thӇ nói phѭѫng pháp dӗn biӃn hiӋu quҧ nhҩt trong trѭӡng hӧp này. 26
Ví dө 1.1. Cho abc,,0³ thӓa mãn abc222++=3 . Chӭng minh rҵng a++³++ b c ab22 bc 22 ca 22 /ͥi gi̫i. Ĉһt fabcabcabbcca(,,)=++ 22 22 22 Giҧ sӱ a= min{ abc , , } thì dӉ thҩy a£1,22 b22 + c ³Þ+³ bc Xét hiӋu æöb22+++ c b 22 cæö()1 bc 2 f(,,), abc- fç÷ a , = () b c2 ç÷ ç÷224ç÷22 èøèøbc+++2() bc 2 æö21 ³ ³()0bcç÷ èø4 22+ Do ÿó æöbc22++ bc 22 f(,,),, abc³ fç÷ a ç÷22 èø ()bc2+ 22 =+a2()() bc22 +- abc 222 +- 4 (3)- a22 =+ a2(3 aaa222 ) (3 ) 4 æö3(1)3a + 2 = (a 1) 2 ç÷ ç÷4 2 èø2(3-aa ) +- 3 2 æö33 ³-(1)0a ç÷ -= èø44 Þ³f(,,) abc 0 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc===1. Ví dө 1.2. Cho abc,,0³ thӓa mãn abc++=3. Chӭng minh rҵng fabcaabbcc( , , )= (2 ++ 1)( 22 ++ 1)( ++£ 1) 27 /ͥi gi̫i. Giҧ sӱ abca£, Þ £ 1, bc +³ 2. Xét hiӋu 27
æöbcbc++ f(,,),, abc-= fç÷ a èø22 (a2++ a 1)()(4()()4) bc - 22 -+ bc -+- bc bc =£0 16 æöbcbc++ Þ£f(,,) abc fç÷ a , , èø22 2 2 æöæöbc++ bc =++(1)1aa2 ++ ç÷ç÷ èøèø22 (aaaaaa- 1)22 ( ( - 1)( -+ 12 48) 37 71) =+27 16 £ 27 Þ£f(,,) abc 27 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc===1. Ví dө 1.3. Cho abc,,Î R . Chӭng minh rҵng f(,,)0 a b c=++ ³ a222 b c ab bc ca /ͥi gi̫i. Xét hiӋu æöbcbc++ 3 2 f(,,) abc- fç÷ a , , = .()0 b -³ c èø224 22 æbcbc++ ö2 æöæö bc ++ bc Þf(,,) abc ³ fç a , , ÷ =-++=-³ a ab ( c ) ç÷ç÷ a 0 è22 ø èøèø 22 Þ³f(,,) abc 0 Nhұn xét. Chҳc ai cǊng cҧm thҩy ÿây là mӝt bҩt ÿҷng thӭc quá dӉ, quá cѫ bҧn và tôi nghƭ chҳc FǊng có ngѭӡi không hiӇu nәi tҥi sao tôi lҥi ÿѭa ví dө này vào. Nhѭng hãy chú ý Uҵng nhӳng cái hay trong nhӳng bài toán ÿѫn giҧn không phҧi là không có và bây giӡ tôi sӁ trình bày ý tѭӣng mà tôi cҧm thҩy thích thú nhҩt trong bài này mà mình phát hiӋn ÿѭӧc (có thӇ không chӍ mình tôi). Vì f(,,) abc là hàm ÿӕi xӭng vӟi các biӃn abc,, nên theo trên, ta có 28
æöbcbc++ f() abc,,,,³ fç÷ a èø22 æöbc++ bc = faç÷,, èø22 æöbc+22 abc ++ abc ++ ³ f ç÷,, èø244 =³ Và ý tѭӣng dãy sӕ bҳt ÿҫu xuҩt hiӋn. Xét các dãy sӕ (abcnnn ),( ),( )ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi a000=== ab,, bc c bc+ aabcn=,, = =22nn "ÎN 21nnnn+ 2 21 ++ 21 2 ac+ abbcn=,, = =21nn++ 21 "ÎN 22nnnn++++ 21 22 22 2 'Ӊ thҩy abc++ limabctnnn=== lim lim nnn®+¥ ®+¥ ®+¥ 3 Và fabc( , , )³ fa (nnn , bc , ), "Î n N Do hàm f(,,) abc liên tөc nên f( abc , , )³ f ( lim annn , lim b , lim c ) == f ( ttt , , ) 0 nnn®+¥ ®+¥ ®+¥ Þ³f(,,) abc 0 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc==. Cách là trên là mӝt ý tѭӣng có thӇ nói là khá ÿӝc ÿáo và là cѫ sӣ hình thành nên cách thӭc dӗn biӃn bӕn biӃn sӕ mà chúng ta sӁ xét ngay bây giӡ. 2. Dӗn biӃn bӕn biӃn sӕ. Khác vӟi ba biӃn sӕ dӗn biӃn bӕn biӃn sӕ khó khăn và phӭc tҥp hѫn nhiӅu. Trong trѭӡng hӧp này kiӇu dӗn biӃn thông thѭӡng mà chúng ta vүn làm vӟi ba biӃn vô tác Gөng. Và ví dө 1.3 chính là tiӅn ÿӅÿӇ xây dӵng nên ÿѭӡng lӕi tәng quát ÿӇ giҧi quyӃt các bài bҩt ÿҷng thӭc có thӇ giҧi bҵng dӗn biӃn kӃt hӧp dãy sӕ. 29
Ví dө 2.1. (Dӵ tuyӇn IMO 1993) Cho abcd,,,0³ thӓa mãn abcd+++=1. Chӭng minh rҵng 1 176 abc+++£+ abd acd bcd. abcd 27 27 /ͥi gi̫i. Ĉһt 176 f(,,, a b c d )=+++- abc abd acd bcd . abcd 27 æö176 =bc(). a + d + adç÷ b +- c bc èø27 æö176 =ad(). b + c + bcç÷ a +- d ad èø27 Vӟi mӑi bӝ bӕn sӕ (,,,)abcd thӓa mãn abcd+++=1, nӃu tӗn tҥi hai sӕ trong 176 Eӕn sӕ này, chҷng hҥn bc, thӓa mãn b+-£ c.0 bc thì 27 æö176 f(,,, a b c d )= bc ( a + d ) + adç÷ b +- c . bc èø27 £+bcad() 3 æöbcad+++ £ ç÷ èø3 1 = 27 Do ÿó, không mҩt tính tәng quát có thӇ giҧ sӱ vӟi mӑi bӝ bӕn sӕ (,,,)abcd thӓa mãn abcd+++=1 thì hai sӕ bҩt kǤ trong bӝ bӕn sӕ này, chҷng hҥn ad,,ÿӅu thӓa 176 mãn a+-³ d.0 ad 27 Khi ÿó, ta có æö176 f(,,, a b c d )= ad ( b + c ) + bcç÷ a +- d . ad èø27 2 æöæöbc+ 176 £ad(). b + c +ç÷ç÷ a +- d ad èøèø2 27 30
æöbcbc++ = fadç÷,,, èø22 Xét các dãy (),(),()bcdnnnÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi bbccdd000===,, bc+ bdcdn=,, = =22nn "ÎN 21nnnn+ 2 21 ++ 21 2 bc+ bccdn=,, = =21nn++ 21 "ÎN 22nnnn++++ 21 22 22 2 ìabcdn+ + + =1 "ÎN ï nnn Khi ÿó, dӉ thҩy í 1- a ï limbcdnnn=== lim lim înnn®+¥ ®+¥ ®+¥ 3 7ӯ cách ÿһt, ta có f(,,, abcd )£ f (, abnnn , c , d ), "Î n N Do f liên tөc nên fabcd( , , , )£ fa ( , lim bnnn , lim c , lim d ) nnn®+¥ ®+¥ ®+¥ æö111 aaa = faç÷,,, èø333 233 æöæö1 aaa 1 1761 æö =3.aaç÷ç÷ +- ç÷ èøèø3 3 273 èø aaa(4 1)2 (11 14) 1 =+ 729 27 1 £ 27 Þ ÿpcm. æ1111 öæö 111 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi (,,,)abcd = ç ,,, ÷ç÷ , ,,,0. è4444 øèø 333 Ngoài cách trên ta có thӇ làm ÿѫn giҧn nhѭ sau æöad++ ad Ta có thӇ giҧ sӱ f(,,, abcd )£ fç÷ ,,, bc vӟi mӑi abcd,,,0³ thӓa mãn èø22 ÿLӅu kiӋn abcd+++=1 (vì trong trѭӡng hӧp ngѭӧc lҥi bài toán ÿѭӧc giҧi quyӃt). Vì tính ÿӕi xӭng cӫa hàm f(,,, abcd ) ta có 31
æöæöad+ ad + adbcbcad ++++ f(,,, abcd )££ fç÷ç÷ ,,, bc f , , , èøèø2 2 2222 æöadbc++11 £ f ç÷, ,, èø2 2 44 æö1111 1 £=f ç÷,,, èø4444 27 Cách làm trên khá hay nhѭng chӍ có thӇ áp dөng ÿѭӧc vӟi mӝt sӕ ít bài toán dҥng này. Ví dө 2.2. Cho abcd,,,0³ thӓa mãn abcd+++=1. Chӭng minh rҵng 148 1 f(,,,) abcd=++++³ a4444 b c d abcd 27 27 /ͥi gi̫i. Xét hiӋu æöæöabab++ 227 37 D= fabcd(,,, ) - fç÷ç÷ , ,, cd =- ( ab ) .( ab -+- ) 3 ab . cd èøèø2 2 8 27 æöabab++ 7ӯÿó, nӃu có ab³Þ³Þ³ cd D0 f (,,, abcd ) fç÷ , ,, cd èø22 Giҧ sӱ abcd³³³. Xét các dãy sӕ (abcnnn ),( ),( )ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi aabbcc000===,, ac+ abbcn=, = =21nn 21 "ÎN* 22122nnnn- 2 ab+ ab= =22nn, ccn = "ÎN 2121nn+++2 212 nn ì ïabcdn+ + + =1 "ÎN ï nnn 'Ӊ thҩy íabcdnnnn³ "ÎN ï abcd++-1 ï limabcnnn=== lim lim = înnn®+¥ ®+¥ ®+¥ 33 Và 32
fabcd(,,,)³ fa (,,,)nnn bc d "Î n N Do f liên tөc nên f( abcd , , , )£ f ( lim annn , lim b , lim c , d ) n®+¥ nn ®+¥ ®+¥ æö111 ddd = fdç÷,,, èø333 43 æö1 dd4 148 æö 1 =3ç÷ ++dd ç÷ èø3 273 èø ddd(4-+ 1)2 (19 20) 1 =+ 729 27 1 ³ 27 Þ ÿpcm. æ1111 öæö 111 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi (,,,)abcd = ç ,,, ÷ç÷ , ,,,0. è4444 øèø 333 Ví dө 2.3. Cho abcd,,,0³ thӓa mãn abcd+++=4. Chӭng minh rҵng 1623()+abcd ³ ab +++++ ac ad bc bd cd /ͥi gi̫i. Ta có 1623()+abcd ³ ab +++++ ac ad bc bd cd Û++++³3(a2222 b c d ) 4 abcd 16 Ĉһt f(,,,)3( a b c d= a2222 ++++ b c d )4 abcd Xét hiӋu æcdcd++ ö2 æö3 D= f(,,,) abcd - fç ab ,, , ÷ = ( c d ) ç÷ ab è222 ø èø æöcdcd++ 7ӯÿó nhұn thҩy nӃu 32³Þ³Þ³ab D 0(,,,),,, f abcd fç÷ ab èø22 ĈӃn ÿây có thӇ sӱ dөng dãy sӕ nhѭ bài trѭӟc hoһc có thӇ làm nhѭ sau Giҧ sӱ abcd£££Þ£ ab1 33
æöcdcd++ Þ³f(,,, abcd ) fç÷ ab ,, , èø22 3 =+++++3().()()a2222 b cd abcd 2 3 =((4 ab )2 - 6) abab + 3( + ) 22 + (4 ab ) 2 9 =-++(xxyxx22 8 10) . -+ 12 24 2 = gxy(,) Trong ÿó xabyab=+=, . Ta có 2yx££ 2. Xét các trѭӡng hӧp 2 229 94æö + NӃu xxgxyxxx-+³Þ8 10 0 ( , ) ³ . - 12 += 24 .ç÷ - +³ 16 16 2 23èø + NӃu xx2 -+ thӓa mãn xy ³1 thì 34
112 222+³ (1)(1)++xy()1+ xy 7ӯÿó ta có nӃu ab ³1 thì f(,,, abcd )³ f() ab , abcd ,, Giҧ sӱ abcd³³³ và xét các dãy sӕ (abcnnn ),( ),( )ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi a000=== ab,, bc c a21nn+++= b 21 = abccn 2 nnnn 2,, 21 = 2 "ÎN ab222221212221nn++= = accbn nnnn ++++,, = "ÎN ì ï abcdnnnn =1 "ÎN ï 'Ӊ thҩy íabnnn³1 "ÎN ï 3 1 ï limannn=== lim b lim c abc îïn®+¥ nn ®+¥ ®+¥ 3 d 7ӯÿó fabcdfabcdn(,,,)³ (,,,),nnn "ÎN Þ³f( abcd , , , ) f ( lim annn , lim b , lim c , d ) n®+¥ nn ®+¥ ®+¥ æö111 = fdç÷,,, èø333ddd 313 d 2 =+22 ()3 d +1 (1)+ d 2 3dd2()33-122( 33 dddd 42 ++++ 43) =+2 1 ()3 dd++1(1)2 ³ 1 Þ³f(,,,)1 abcd 9ұy BәÿӅÿѭӧc chӭng minh. Trӣ lҥi bài toán, ta có a2222+++=ÞÎ b c d1 abcd , , , [0,1] 1Ӄu abcd = 0 thì (1-a )(1 - b )(1 - c )(1 -³ d ) abcd . 1Ӄu abcd > 0 . 35
1-a 1 - b 11 cd Ĉһt x===Þ>, y , z , t xyzt ,,,0 a b cd 1111 Giҧ thiӃt abcd2222+++=Û+11 ++= (1++++xyzt )2 (1 ) 2 (1 ) 22 (1 ) Và bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh tѭѫng ÿѭѫng vӟi xyzt ³ 1 1 Giҧ sӱ ngѭӧc lҥi xyzt < 1. Khi ÿó, ÿһt t / = thì xyzt / = 1 và tt< / . xyz Áp dөng BәÿӅ, ta ÿѭӧc 1111 1£+++ (1++++xyzt )2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 /2 ) 1111 < + ++=1 (1++++xyzt )2 (1 ) 2 (1 ) 22 (1 ) 9ұy ÿLӅu giҧ sӱ sai. Þ³xyzt 1 Þ ÿpcm. 1 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abcd===. 2 Nhұn xét. Ĉây là mӝt bài toán hay và lӡi giҧi vӯa rӗi ÿã sӱ dөng hai công cө là ÿәi biӃn và Gӗn biӃn (vӟi các biӃn mӟi). Ngoài ra có thӇ dӗn biӃn trӵc tiӃp vӟi các biӃn ban ÿҫu (dành cho mӑi ngѭӡi). 3. Dӗn biӃn vӟi nhiӅu biӃn sӕ hѫn. Ví dө 3.1. Cho abcde,,,,0³ thӓa mãn abcde++++=5. Chӭng minh rҵng f( a , b , c , d , e )=+++++³ 4( a222 b c d 22 e ) 5 abcde 25 /ͥi gi̫i. Xét hiӋu ædede++ öæö2 5 D= f(,,, abcde ,) - fç abc ,,, , ÷ç÷ = ( d e ) 2 . abc è224 øèø 36
8 æödede++ 7ӯÿó, ta có nӃu abc£Þ³Þ³ D0 f (,,, abcde ,) fç÷ abc ,,, , . 5èø 22 Giҧ sӱ abcde££££ và xét các dãy sӕ (cden ),( nn ),( ) ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi ccddee000===,, de+ ccden=,, = =22nn 22 "ÎN* 21nnnn 22 21 21 2 ce+ cdden=,, = =21nn 21 "ÎN* 2n 2122 n- nn 2 'Ӊ thҩy abcden+ +n + nn + =1 "Î 8 abcdenabcn£ £min{, ,} "Î Þ £ "Î nnnn5 Và cde++5 ab limcden=== lim nn lim nnn®+¥ ®+¥ ®+¥ 33 7ӯÿó, ta có f(,,, abcde ,)³ f (,, abcn , d nn , e ) "Î n N Suy ra f( abcde , , , , )³ f ( ab , , lim cn , lim d nn , lim e ) nnn®+¥ ®+¥ ®+¥ æö555 ab ab ab = fç÷ ab,,,, èø333 4 5(5)abab 3 =4(a222 ++ b ) .(5 + ab ) 3 27 4 5(5)abab 3 =4(ababa + )2 - 8 + .(5 b)2 + 3 27 5yx232 (5- ) 16 xx -+ 40 100 = -+8y 273 = gy() Trong ÿó xabyab=+=, . Ta có 10yx (5- )3 gy/ ()8=- 27 37
10yx (5- )3 + NӃu -³80 thì 27 2 16xx2 -+ 40 100 16æö 5 gygx( )³ (0) = = .ç÷ - +³ 25 25 3 34èø 10yx (5- )3 + NӃu -<80 thì 27 æöx2 gyg()³ ç÷ èø4 2 æöæöx 3 ç÷5ç÷ (5)- x 4 xxx2216-+ 40 100 =ç÷èø -+8. ç÷2743 ç÷ èø (x +-+ 2)232 ( 5 xxx 55 135 225) =+25 108 'Ӊ dàng chӭng minh -5xxxx32 + 55 - 135 + 225 ³ 0 "Î [0,2] Do ÿó gy( )³ 25 Þ ÿpcm. æö5555 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi (abcde , , , , )= (1,1,1,1,1),ç÷ , , , , 0 . èø4444 Ví dө 3.2. Cho xxx12, , ,n ³ 0 thӓa mãn xxx12+++= 1n . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc fxxx(12 , , ,n )=+å xxxx ijij ( ) 1£<£i jn /ͥi gi̫i. nnæö Ta có fxxx( , , , )= xxxxx2222 + = .ç÷ x =- xx .(1 ) 12 nåij j å i ååå iç÷ j ii 1111£<£i jn £<£ i jn i =èø ji ¹ i = Xét hiӋu 38
fxxx(11 , ,ij+ , ,0, xfxxx n ) - ( , , i , , j , , x n ) = 2 xxxx ij (2 -+ 3( ij )) Do ÿó, nӃu 3(xxij+£ )2, thì fxxx(11 , ,ijn , , , , x )£+ fxxx ( , , ijn , ,0, x ) . Xét tҩt cҧ các bӝ sӕ (xxx12 , , ,n ) sao cho fxxx(12 , , ,n )ÿҥt max f . Trong ÿó, chӑn ra bӝ sӕ (aaa12 , , ,n ) sao cho sӕ phҫn tӱ dѭѫng trong bӝ sӕÿó là ít nhҩt (luôn có thӇ chӑn ÿѭӧc vì sӕ sӕ dѭѫng là hӳu hҥn). Giҧ sӱ aaaaaa12³ ³³ kkkn >= 0++ 12 = == . 1Ӄu k ³ 3 thì ta có aa+ 3 1=+++³aa a23 ++= aa .()3()2 aa + Þ aa + £ 12n 22 23 23 23 Do ÿó faaafaaaafaaaaf(12 , , ,nnn )£+Þ+= ( 12 , 3 ,0, , ) ( 12 , 3 ,0, , ) max ĈLӅu này vô lý do bӝ sӕ (aaaa123 ,+ ,0, ,n ) có sӕ sӕ dѭѫng ít hѫn bӝ sӕ (aaa12 , , ,n ) . 9ұy k £ 2 . Do ÿó 1 faaaaaaaaa( , , , )= ( + ) = (1 -£ ) 12n 121 2 1 1 4 Do ÿó 1 fxxx( , , , ) £ 12 n 4 1 Ĉҷng thӭc xҧy ra chҷng hҥn khi xxxxx==, === . 122 34 n 4. Các kiӇu dӗn biӃn khác. Trong môt sӕ trѭӡng hӧp, các kiӇu dӗn biӃn thông thѭӡng (ÿã nói ӣ phҫn mӣÿҫu) vô tác dөng (thѭӡng do dҩu bҵng không phҧi xҧy ra khi tҩt cҧ các biӃn bҵng nhau). Vì vұy, xuҩt hiӋn mӝt sӕ kiӇu dӗn biӃn khác. Ví dө 4.1. Cho xyz,,0³ thӓa mãn xy++= yz zx 1. Tìm min cӫa 111 f(,,) xyz =++ xy+ yz ++ zx /ͥi gi̫i. 39
Khác vӟi nhӳng ví dө trѭӟc, ӣ ví dө này có hai ÿLӅu khiӃn viӋc dӗn biӃn khó khăn Kѫn là cӵc trӏÿҥt ÿѭӧc không phҧi khi cҧ ba biӃn bҵng nhau và biӇu thӭc ÿLӅu kiӋn Fӫa biӃn hӃt sӭc khó chӏu. Sau ÿây là mӝt trong nhӳng lӡi giҧi cho bài này. Giҧ sӱ x³ yz, và ÿһt ayz=+ thì ax £1 và 2xa³ . Xét hiӋu æö1(1)(2)-ax x -+ a ax2 fxyzfa(,,)0,,0-=³ç÷ èøa (1)(1)++xa22 æö1 (a- 1)(222 aa -+ 2)55 Þfxyzfa(,,) ³ç÷ 0,, =2 +³ èøa 2(1)aa+ 22 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi (xyz , , )= (1,1, 0). 9ұy 5 min(,,)f xyz = 2 Ví dө 4.2. Cho abc,,0³ thӓa mãn abc++=1. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc fabcaabbcc( , , )= (3 ++ 7)( 33 ++ 7)( ++ 7) /ͥi gi̫i. %ҵng tính toán trӵc tiӃp (hoһc giҧ sӱ có bc= ), ta dӵÿoán ÿѭӧc maxf = 441ÿҥt ÿѭӧc chҷng hҥn khi a=1, bc == 0. Tӯÿó, dүn ÿӃn lӡi giҧi nhѭ sau 2 Giҧ sӱ abcbc£, Þ+³ . 3 0һt khác, do 0,,1£a b c £Þ+£+££ b22 c b c 1,1 bc . Xét hiӋu f( abc , , )- f ( ab , +=++ c ,0) ( a3 a 7) bcbc ( 2222 +++-+ 7( b c ) 1 21( b c )) 3 æö2 £(a + a + 7) bcç÷ 1 + 7 +- 1 21. èø3 £ 0 Þf(,,) abc £+ f (, ab c ,0) =7(aaaa33 ++ 7)((1 - ) +-+ 1 7) =7aa ( - 1)((1 - a )(2 -+++£ aa23 ) 19) 441 441 40
Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi (abc , , )= (1,0,0). 9ұy maxf = 441. III. Dӗn biӃn trong tam giác. 1. Dӗn biӃn lѭӧng giác trong tam giác. Trong tam giác phѭѫng pháp dӗn biӃn ÿѭa bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho ӣ trѭӡng hӧp tam giác thѭӡng vӅ trѭӡng hӧp tam giác cân. Ví dө 5.1. Cho tam giác ABC không tù. Cgӭng minh rҵng sinBC .sin sin C .sin A sin AB .sin 5 f(,,) ABC =++³ sinABC sin sin 2 /ͥi gi̫i. pp Giҧ sӱ ABCA³, Þ ³³. 23 Xét hiӋu BCA- æö sin2 4sin 22A .sin æöBCBC++ 22ç÷ fABCfA(,,),,.1-=-ç÷ç÷ èø2 2 sinAç÷ sin BC .sin èø BC- sin2 2 æö2 A ³-.ç÷ 4sin 1 sinA èø 2 ³ 0 BC+ sin2 æöBCBC++ 2 1 A ÞfABCfAAA( , , ) ³ç÷ , , =+ 2sin =+ 2sin cotg èø2 2 sinA 22 A Ĉһt tt=cotg Þ³1. 2 Và 1A 4 t 1 (1)(45)55 ttt-2 -+ 2sinAt+.cotg = + . = +³ 2 2tt22++1 2 2( 1) 22 5 Þ³f(,,) ABC 2 41
Þ ÿpcm. pp Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi A=, BC == và các hoán vӏ tѭѫng ӭng. 24 Nhұn xét. Ĉây là dҥng lѭӧng giác cӫa ví dө 4.1. DӉ thҩy rҵng dӗn biӃn ӣ bài này dӉ chӏu và dӉ nghƭ hѫn bài kia rҩt nhiӅu. Ví dө 5.2. (VMO 1993) Cho tam giác ABC . Tìm min cӫa fABCABC( , , )=+++ (1 cos222 )(1 cos )(1 cos ) /ͥi gi̫i. + Cách 1. p 1 Giҧ sӱ ABCAA£Þ£Þ³, cos 32 Xét hiӋu æöBCBC++ fABCfA(,,),,-=ç÷ èø22 BC-6cos A - cos( BC ) 1 =+(1 cos22A ).sin . 22 BC-311 ³+(1 cos22A ).sin . 22 ³ 0 æöBCBC++ Þ³f(,,),, ABC fç÷ A èø22 2 22æöBC+ =++(1 cosA )ç÷ 1 cos èø2 (1+- cos2 AA )() 3 cos 2 = 4 (2cosA- 1)2 (4(1 - cos AA )(4 -+ cos ) 3) 125 = + 64 64 125 ³ 64 42
p Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ABC===. 3 125 9ұy min(,,).f ABC = 64 + Cách 2. p C 3 Giҧ sӱ ABCC³³Þ£Þcos ³ 3 22 Ta có (1+ cos2222A )(1 + cos B ) = (cos A + cos B ) +- (1 cos AB cos ) 2 2222C AB æö AB C =4sin .cos +ç÷ cos 1 cos 2222èø æö2 AB- = f ç÷cos èø2 Ta có /2222æöæöABCABC f ç÷ç÷cos= 4sin + 2 cos 1 cos èøèø2222 æö22ABC- =2ç÷ cos +- 1 3cos èø22 £ 0 Do ÿó 2 æ2 ABC- öæö2 ffçcos ÷ç÷³ (1) =+ 1 sin è22 øèø æöABAB++ Þ³fABCfC(,,)ç÷ ,, èø22 125 ĈӃn ÿây, lұp luұn hoàn toàn tѭѫng tӵ nhѭ cách 1, ta có min(,,).f ABC = 64 Ví dө 5.3. Cho tam giác ABC . Chӭng minh rҵng AB BC CA 2 cos+ cos + cos ³ .(sinABC ++ sin sin ) 2223 /ͥi gi̫i. 43
p Giҧ sӱ ABCA£, Þ£. Bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh tѭѫng ÿѭѫng 3 BC BCp 324 A A BC cos+ 2cos .cos ³ .sinA .cos .cos 0 2 4 433 22 æö4ABCBCAæö2 - p 32 Û-ç÷1 .cos .ç÷ 2cos -+ 1 2cos .cos -³ .sinA 0 èø332èø 4 44 æö4AA2 p- 32 Xét hàm sӕ fxxxA( )= +-ç÷ 1 .cos .(2 1) 2 .cos sin èø3324 BC- æù2 9ӟi xx=cos ÞÎç ,1ú 42èû Ta có / æö43AAp - fxx( )=-+ 4ç÷ 1 .cos 2cos èø3 24 æö43pp- A £-+4xç÷ 1 .cos 2cos èø3 64 p - 3A =-+4x 2cos 4 23p - A <-+4. 2cos 24 < 0 4AAp - 32 Þ³=-+f( x ) f (1) 1 .cos 2cos -= .sin A gA ( ) 3324 Ta có 2 2AA 33p - gAA/ ( )=-++ .cos .sin .sin 33224 æöæöæöAA Aæö2 AA 32 =+ç÷ç÷ç÷sin cos 2sin - 1ç÷ . sin +- cos èøèøèø44 2èø3 444 p £0(0)do <£A 3 æöp Þ³=gAg()0ç÷ èø3 Þ³f (1) 0 44
Þ³fx()0 Þ ñpcm. Nhұn xét. ViӋc sӱ dөng công cөÿҥo hàm trong phѭѫng pháp dӗn biӃn rҩt có lӧi khi viӋc biӃn ÿәi tѭѫng ÿѭѫng phӭc tҥp. 2. Dӗn biӃn theo các cҥnh. Ví dө. Cho tam giác ABC thӓa mãn a³ bc, . Chӭng minh rҵng 3 l+ m + m £.() abc ++ abc2 /ͥi gi̫i. Ta coù bc 1 lmm+ + =.().2222 bca +22 -+ a 222 + bc -+ ab 222 -+ c abcbc+ 2 ( ) = f(,,) abc Tröôùc heát, ta chöùng minh 2 2222222æöbc+ 2abcabca+-+-+£+ 2 2 2 2 2ç÷ (1) èø2 Thaät vaäy (1) Û-(bc )(2 abcbca ++ )( +-³ )0 (hieån nhieân ñuùng) Maët khaùc, ta laïi coù bc 1 .()bca+-£22 .() bca +- 22 (2) bc+ 2 Töø (1) vaø (2), ta coù 2 1 222æöbc+ f(,,).()2 abc£ b +-++ c a a ç÷ 22èø æöbcbc++ = faç÷, , (3) èø22 Ta seõ chöùng minh 45
æöbcbc++ 3 faç÷, ,£ .( abc ++ ) (4) èø222 Thaät vaäy 2 13222æöbc+ (4)Û . (bc + ) - a + 2 a +ç÷ £ .( abc ++ ) 2èø 22 22 æöæöæöbc+ bc ++ bc Ûç÷ç÷ç÷ -++1 8 £+ 31 èøèøèøa aa bc+ Ûx22 -+1 8 + xx £ 3(1 + ) (trong ñoù xx = ÞÎ (1,2]) a Û-(xx 2)3 ( +£ 2) 0 (hieån nhieân ñuùng) Keát hôïp (3) vaø (4), ta suy ra ñpcm. Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi abc==. Tuy ÿã rҩt cӕ gҳng nhѭng bài viӃt này cǊng không thӇ vét hӃt các kiӇu và dҥng bài Wұp dӗn biӃn cǊng nhѭ nói vӅ tѭ duy và cách thӭc hình thành phѭѫng pháp. Nhѭng tôi nghƭ nó cǊng ÿã ÿӫÿӇ các bҥn hình thành nên phѭѫng pháp này trong ÿҫu, tӯÿó các bҥn sӁ tӵ cҧm nhұn ÿѭӧc cái hay cӫa phѭѫng pháp này cǊng nhѭ các kiӇu dӗn biӃn khác mà bài viӃt này chѭa ÿӅ cұp ÿӃn. Chú ý rҵng các lӡi giҧi trên là ÿӇ phù Kӧp vӟi bài viӃt này nên cǊng có thӇ có nhӳng cách khác hay hѫn. VI. Bài tұp. Bài 1. (Vietnam TST 1996) Choabc,,Î R .Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc 4 Pab=+()()().()4 ++ bc 4 ++ ca 4 - abc 444 ++ 7 Bài 2. (China TST 2004) Cho a,,,0 b c d>= thoûa maõn abcd 1. Chöùng minh raèng 1111 P =+++³1 (1)(1)(1)(1)++++abcd2222 46
Bài 3. Cho abc,,01³ thoûa maõn abc ++= . Chöùng minh raèng 151 a333+++³ b c. abc 44 Bài 4. Cho abcd,,,04³ thoûa maõn a +++= b c d . Chöùng minh raèng abc+++++++£ abd acd bcd a222 b c a 222 b d a 222 c d b 222 c d 8 Bài 5. (Phҥm Kim Hùng) Cho abc,,03³ thoûa maõn abc ++= . Chöùng minh raèng (abbcca2+ )( 22 + )( +£+ ) 13 abc Bài 6. Cho abcd,,,04³ thoûa maõn a +++= b c d . a) Chӭng minh rҵng 24()a+++³++++ b c d abc abd acd bcd b) Tìm min cӫa P=7() a +++-+++ b c d abc abd acd bcd Bài 7. Cho tam giác nhӑn ABC . Chӭng minh rҵng 222 æsinBCCAAB .sin öæ sin .sin öæ sin .sin ö 9 ç ÷ç++³ ÷ç ÷ èsinABC øè sin øè sin ø 4 Bài 8. Cho tam giác ABC . Chӭng minh rҵng pRr£+-2() 334 Bài 9. Cho abcde,,,,0³ thӓa mãn abcde++++=1. Chӭng minh rҵng 1845 1 a555+++ b c d 55 ++ e. abcde ³ 256 256 47
Bài 10. Cho abc,,03³ thoûa maõn a ++= b c . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt và giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Paa=()2 ++333() bb 22 ++() cc ++ Bài 11. (Phҥm Kim Hùng) Cho abc,,0> thӓa mãn abc =1. Chӭng minh rҵng abc+++333 ++³3 (abc+++ 1)222 ( 1) ( 1) Bài 12. Cho xyz,,0³ thӓa mãn xy++= yz zx 1. Chӭng minh rҵng 1111 + + ³+2 yz+++ zx xy 2 Bài 13. Cho abc,,01³ thoûa maõn a ++= b c Chӭng minh rҵng 1112 abc ++£+1 111+++abc3 Bài 14. Cho abcd,,,0³ . Chӭng minh rҵng 3()4()()a444+++ b c d 4 + abcd ³+++ a b c d a 333 +++ b c d 3 Bài 15. (Phҥm Kim Hùng) Cho abc,,03³ thoûa maõn a ++= b c . Chӭng minh rҵng 36(ab++ bc ca ) ³ ( a333333333 b + b c + c a )( a ++ b c ) Bài 16. (Võ Quӕc Bá Cҭn) Cho abc,,01³ thoûa maõn a ++= b c . Tìm min ab++ bc ca P = (abbccaabc444444444+ + )() ++ 48
'ӖN BIӂN KHÔNG XÁC ĈӎNH I. Dӗn biӃn không xác ÿӏnh. Cái tên nghe có vҿ lҥ nhӍ? ĈӇ tìm hiӇu phѭѫng pháp mӟi mҿ này chúng ta hãy cùng bàn ÿӃn hai bài toán quen thuӝc sau Bài toán 1. Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , n là các sӕ thӵc thuӝc ÿRҥn [,]pq vӟi pq, là hai sӕ thӵc cho trѭӟc. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc fxxx(12 , ,n ) Bài toán 2. Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và là xxx12, , n các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc fxxx(12 , ,n ) Ӣ cҧ hai bài trên thì fxxx(12 , ,n ) ÿӅu là các biӇu thӭc ÿӕi xӭng cӫa xxx12, , n ) Thông thѭӡng ÿӕi vӟi các Bài toán 1 chúng ta thѭӡng sҳp thӭ tӵ các biӃn và dӗn giá trӏ cӫa biӃn vӅ hai biên ÿӇ so sánh trӵc tiӃp chúng. Chҷng hҥn so sánh fxxx(12 , ,n ) vӟi fpxx( ,2 ,n ) vӟi mөc ÿích là ÿѭa bài toán vӅ trѭӡng hӧp ÿѫn giҧn vӟi sӕ lѭӧng biӃn ít hѫn. Còn vӟi Bài toán 2 chҳc chҳn các bҥn sӁ nghƭ ngay æöxxxx1212++ ÿӃn ÿánh giá fxxxfx(12 , ,nn )³ ç÷ , , , hoһc hi hӳu lҳm thì chúng èø22 ta có ÿánh giá fxxxfxxx(12 , ,nn )³+ (0, 12 , , ) . Có thӇ thҩy nhӳng suy nghƭ nhѭ trên là vô cùng tӵ nhiên nhѭng nói chung là khó thӵc hiӋn vì nhӳng bài có thӇ giҧi trӵc tiӃp là tѭѫng ÿӕi ÿѫn giҧn. Vì vұy chúng ta cҫn mӝt bѭӟc phát triӇn hѫn cho phѭѫng pháp này ÿó là dӗn biӃn không xác ÿӏnh. Vұy dӗn biӃn không xác ÿӏnh là gì? Tôi có thӇ giӟi thiӋu luôn tѭ tѭӣng chính cӫa phѭѫng pháp này là “Dӗn các biӃn Wӵ do vӅ mӝt trong nhӳng ÿLӇm ÿһc biӋt mà ta chѭa thӇ xác ÿӏnh rõ sӁ dӗn cө thӇ vӅ ÿLӇm ÿһc biӋt nào”. Có vҿ hѫi khó hiӇu phҧi không? Chúng ta sӁ cùng quay trӣ lҥi Yӟi 2 bài toán trên 49
(i) Vӟi Bài toán 1, thay vì chӭng minh fxxxfpxx(122 , ,nn )£ ( , , , ) chúng ta sӁ chӭng minh f( x1222 , x , xn )£ max { f ( px , , , x nn ), f ( qx , , , x )} (ii) Vӟi Bài toán 2, thay vì ÿánh giá ÿã nói ӣ trên chúng ta sӁ chӍ ra ÿѭӧc ìüæöxxxx1212++ fxxx(12 , ,n )³+ miníý fç÷ , , , xfxxx nn , (0, 12 , , ) îþèø22 Ĉӑc ÿӃn ÿây bҥn ÿӯng vӝi cѭӡi vì nó chӍ tiӃn bӝ hѫn phѭѫng pháp ban ÿҫu mӝt chút khi ÿLӅu kiӋn dӗn biӃn ÿѭӧc nӟi lӓng mà trông lҥi có vҿ phӭc tҥp vӟi max, min Oҵng nhҵng! Bҥn hãy xem thӱ sӭc mҥnh cӫa tѭ tѭӣng này thông qua ví dө quen thuӝc sau ÿây nhѭng trѭӟc hӃt chúng ta hãy ÿӃn vӟi BәÿӅ cѫ bҧn %әÿӅ 1. Cho abc,, là các sӕ thӵc thӓa mãn bc³ . Khi ÿó ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng (i) ac³ (ii) ab£ Chͱng minh. Giҧ sӱ cҧ hai bҩt ÿҷng thӭc trên ÿӅu sai ta suy ra cabc>>³ (Mâu thuүn). +Ӌ quҧ 1. Cho ab, là các sӕ thӵc. Khi ÿó ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng (i) ab³ (ii) ab£ Các bҥn ÿӯng nên xem thѭӡng BәÿӅ 1, tuy ÿây là mӝt BәÿӅÿѫn giҧn theo ÿúng nghƭa cӫa nó nhѭng lҥi là mӝt BәÿӅ cӵc kǤ hiӋu quҧÿҩy. Sau ÿây là mӝt ví dө cho thҩy ÿLӅu ÿó Ví dө 1. Cho pq, là hai sӕ thӵc dѭѫng, n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc thuӝc ÿRҥn [,]pq vӟi pq, là hai sӕ thӵc dѭѫng cho trѭӟc. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 50
æö111 fxxxxxx(12 , , ,nn )= ( 12 + ++ )ç÷ + ++ èøxxx12 n /ͥi gi̫i. 111 Ĉһt S= x23 + x ++ xTn , = + ++ xxx23 n fxxxfpxx(122 , , ,nn )£ ( , , , ) æö11æö Û++£++(xSTpST1 )ç÷ ()ç÷ èøxp1 èø æöS Û £()0x1 pTç÷ èøpx1 S Û£T (1) px1 fxxxfqxx(122 , , ,nn )£ ( , , , ) æö11æö Û++£++(xSTqST1 )ç÷ ()ç÷ èøxq1 èø æöS Û £()0x1 qTç÷ èøqx1 S Û³T (2) qx1 SS Do ³ nên theo BәÿӅ 1 sӁ có ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (1), (2) px11 qx ÿúng. Suy ra f( x1222 , x , xn )£ max { f ( px , , , x nn ), f ( qx , , , x )} Hoàn toàn tѭѫng tӵ ta nhұn ÿѭӧc kӃt quҧ sau 7ӗn tҥi y12, y , , yn Î { pq , } sao cho fxxxfyyy(12 , , ,nn )£ ( 12 , , , ) Bài toán ÿѭa vӅ tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa fyyy(12 , , ,n ) vӟi y12, y , , yn Î { pq , }. Không quá khó khăn chúng ta tìm ÿѭӧc 51
npq22()+ n +=maxfyyy ( , , , ) vӟi n chҹn khi trong tұp {yyy , , , }có sӕ 12 n 4pq 12 n 2 n Eҵng p và sӕ còn lҥi bҵng q . 2 (1)()n22-+ pq +maxfyyy ( , , , ) =+ 1 vӟi n lҿ khi trong tұp {yyy , , , } có 12 n 4pq 12 n n -1 n +1 sӕ bҵng p và sӕ còn lҥi bҵng q hoһc ngѭӧc lҥi. 2 2 7ӯÿây chúng ta ÿi ÿӃn kӃt luұn cho bài toán. Chҳc hҷn các bҥn ÿã tӯng giҧi quyӃt bài toán này bҵng cách sӱ dөng phѭѫng pháp hàm lӗi cǊng rҩt nhanh gӑn nhѭng có lӁ chúng ta phҧi công nhұn vӟi nhau rҵng cách giҧi bҵng tѭ tѭӣng dӗn biӃn không xác ÿӏnh trên rҩt ÿҽp và phù hӧp vӟi trình ÿӝ cӫa cҧ các bҥn Trung hӑc cѫ sӣ. Bҵng phép chӭng minh tѭѫng tӵ, chúng ta có thӇ giҧi ÿѭӧc bài toán sau Ví dө 2. Cho pq, là hai sӕ thӵc dѭѫng, n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc thuӝc ÿRҥn [,]pq. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc nnn xxx12+ ++ n fxxx(12 , , ,n ) = xxx12 n &ҧ hai ví dө trên ÿӅu ÿã có trên tҥp chí Toán Hӑc Và Tuәi Trҿ cùng vӟi trѭӡng hӧp n=3,1,2 pq == tuy nhiên cách chӭng minh theo tôi ÿѭӧc biӃt rҩt thiӃu tӵ nhiên và khó có khҧ năng giҧi tәng quát. Nhѭ vұy là ÿӕi vӟi các bài toán bҩt ÿҷng thӭc có biên rõ ràng nhѭ Bài toán 1 thì chúng ta ÿã có mӝt lӡi giҧi hӧp lý còn vӟi Bài toán 2 thì sao? Dù các biӃn không Qҵm trong mӝt giӟi hҥn rõ ràng nhѭng chúng ta có thӇ tҥm hiӇu ÿѭӧc rҵng vӟi hai biӃn xx12, thì chúng luôn nҵm trong [0,]xx12+ và có nhӳng cһp ÿLӇm ÿһc biӋt cҫn æöxxxx1212++ chú ý là (0,xx12+ ) và ç÷, . ĈӇ giҧi quyӃt triӋt ÿӇ Bài toán 2 chúng ta èø22 VӁ cө thӇ hóa tѭ tѭӣng dӗn biӃn không xác ÿӏnh bҵng ÿӏnh lý sau 52
II. Ĉӏnh lý dӗn biӃn không xác ÿӏnh U.M.V (Undefined Mixing Variables). Ĉӏnh lý U.M.V. Cho xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng là mӝt hҵng sӕ Gѭѫng cho trѭӟc. fxxx(12 , , ,n ) là mӝt hàm liên tөc, ÿӕi xӭng cӫa (xxx12 , , ,n ) thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ìüæöxxxx1212++ fxxx(12 , , ,n )³+ miníý fç÷ , , , xfxxx nn , (0, 12 , ) îþèø22 Yӟi mӑi (xxx12 , , ,n ) thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ÿã cho. Khi ÿó, giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa fxxx(12 , , ,n ) là giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa Ctnt (=- 0,1,2, , 1) trong ÿó Ctnt (=- 0,1,2, , 1) là giá trӏ cӫa fxxx(12 , , ,n ) khi trong (xxx12 , , ,n ) có t sӕ bҵng 0 và nt- sӕ còn lҥi bҵng nhau. Chͱng minh. Trѭӟc hӃt, ta chӭng minh BәÿӅ sau %әÿӅ 2. Cho mӝt bӝ sӕ thӵc không âm (xxxn12 , , ,n ) (³ 2) thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi D nhѭ sau Chӑn xin= max( xxx12 , , , ) và xjn= min( xxx12 , , , ) . xx+ Gán xx, bӣi ij nhѭng vүn giӳ nguyên vӏ trí cӫa chúng trong (xxx , , , ) . ij 2 12 n xxx+ ++ Khi ÿó sau vô hҥn lҫn thӵc hiӋn ta ÿѭӧc xxx=== 12 n . 12 n n Chͱng minh. 111 Ký hiӋu dãy ban ÿҫu là (xxx12 , , ,n ) . Ta chӭng minh bҵng quy nҥp. 9ӟi n = 2 thì BәÿӅ hiӇn nhiên ÿúng. Giҧ sӱ bәÿӅÿúng vӟi nn:1=- ta chӭng minh nó ÿúng vӟi nn:= . Thұt vұy, giҧ sӱӣ lҫn thӭ k nào ÿó thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi D ta sӁ nhұn ÿѭӧc bӝ kkk (xxx12 , , ,n ) . kkk kkk *ӑi mknkn==min{ xxxM12 , , , },max { xxx 12 , , , }. 53
'Ӊ thҩy {}mk là dãy không giҧm bӏ chһn trên bӣi M1 nên $=lim mmk , còn {}M k k®¥ là dãy không tăng bӏ chһn dѭӟi bӣi m1 nên $=lim MMk . k®¥ k k 1Ӄu ӣ bѭӟc thӭ k nào ÿó thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi D mà xm1 = k hoһc xM1 = k thì x1 ÿѭӧc gӑi là có tham gia vào phép biӃn ÿәi D ӣ bѭӟc thӭ k . *ӑi uuu12 0 ÿӫ nhӓ kk®¥ ®¥ thì $n1 sao cho vӟi mӑi Nn> 1 thì mmN - 2 thì MMN - 1 3 thì mmMM-<-<ee, uuii 11 54
mMuu 11+ Mm+ mà xui = ii nên xui - 0 . æöxxxxijij++ TiӃn hành so sánh fxx(,)ij vӟi f ç÷, và f(0, xxij+ ). èø22 æöxxxxijij++ *) NӃu fxx(,)(0,)ij<+ f xx ij thì fxxf(,),ij³ ç÷. Khi ÿó áp dөng èø22 thuұt toán D cho {xxxttn++12 , , , }. NӃu trong mӝt bѭӟc nào ÿó lҥi có 55
fxx(,)(0,)ij³+ f xx ij thì chuyӇn sang thuұt toán bt+1 . NӃu không có thì phép ¥¥¥ biӃn ÿәi D sӁÿѭӧc thӵc hiӋn vô hҥn lҫn nên xxxttn++12= == . ) NӃu fxx(,)(0,)ij³+ f xx ij ta chuyӇn trӵc tiӃp sang thuұt toán bt+1 . Rõ ràng thuұt toán bn-1 ÿã là thuұt toán hҵng và ÿó là kӃt quҧ cӕÿӏnh. Vì vұy ÿӏnh lý ÿã ÿѭӧc chӭng minh hoàn chӍnh. Trong Ĉӏnh lý U.M.V ta có thӇ thay thӃÿLӅu kiӋn tәng các biӃn bҵng các ÿLӅu kiӋn khác nhѭ tәng bình phѭѫng, tәng lұp phѭѫng và có cách dӗn biӃn tѭѫng ӭng thì ÿӏnh lý vүn ÿúng và cách chӭng minh không có gì khác. +Ӌ quҧ. Cho xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng là mӝt hҵng sӕ dѭѫng cho trѭӟc. fxxx(12 , , ,n ) là mӝt hàm liên tөc, ÿӕi xӭng cӫa (xxx12 , , ,n ) thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ì ìüæöxxxx1212++ ï fxxx(12 , ,n )³+ miníý fç÷ , , , xfxxx nn , (0, 12 , ) ï îþèø22 ï í fxxx(0,23 , , ,n )³ 0 ï æöxxxxxxxxx12++ nnn 12 ++ 12 ++ ï f ç÷, , ,³ 0 îï èønnn vӟi mӑi (xxx12 , , ,n ) thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ÿã cho thì fxxx(,, ,)012 n ³ . III. Mӝt sӕӭng dөng cӫa phѭѫng pháp dӗn biӃn không xác ÿӏnh. ĈӇ sӱ dөng phѭѫng pháp dӗn biӃn không xác ÿӏnh rõ ràng ta phҧi thӵc hiӋn theo trình tӵ hai bѭӟc %ѭӟc 1. Xác lұp ÿLӅu kiӋn dӗn biӃn. %ѭӟc 2. Giҧi quyӃt bài toán vӟi ÿLӅu kiӋn ÿã xác lұp bên trên. +ҷn nhiên Bѭӟc 2 chính là nӝi dung cӫa Ĉӏnh lý U.M.V và ÿã ÿѭӧc giҧi quyӃt mӝt cách hoàn toàn triӋt ÿӇ. Do ÿó, phҫn quan trӑng nhҩt cӫa chúng ta cҫn phҧi làm ÿó là thӵc hiӋn ÿѭӧc Bѭӟc 1. Mӝt ÿLӅu kì lҥ là bѭӟc này thѭӡng ÿѭӧc xӱ lý rҩt gӑn nhҽ Eҵng cách sӱ dөng BәÿӅ 1, mӝt bәÿӅ gҫn nhѭ hiӇn nhiên dӵa trên quan hӋ thӭ tӵ Fӫa các sӕ trên trөc sӕ thӵc. Chúng ta hãy tìm hiӇu rõ hѫn qua các ví dөÿһc trѭng sau 56
Ví dө 3. (Phát triӇn tӯ mӝt bài IMO) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n. Tìm sӕ thӵc dѭѫng kn tӕt nhҩt ÿӇ bҩt ÿҷng thӭc sau luôn ÿúng n (1+++£+-x1 )(1 x 2 ) (1 xn ) 2 kxxx nn .( 12 1) /ͥi gi̫i. n Ĉһt fxx(1 , 2 , , xn )=+++ (1 x 1 )(1 x 2 ) (1 x n ) 2 kxxx nn .( 12 1) Sxxx=+++(134 )(1 ) (1n ) Txxx= 34 n æöxxxx1212++ fxxxfx(12 , , ,nn )£ ç÷ , , , (3.1) èø22 22 æxx12++ öæö xx 12 Û++ ++£(1)(1)10xxSkxxTSkT1 2nn 12 ç ÷ç÷ è22 øèø 2 æöxx12- Ûç÷(kTSn -£ )0 èø2 Û£kTSn (3.2) fxxxfxxx((12 , , ,nn ) )(£+ (0, 12 , , ) ) (3.3) Û++-(1x1 )(1 xS 2 ) kxxTn 12 -++£ (1 x 12 xS ) 0 Û³kTSn (3.4) 7ӯ (3.2), (3.4) ta có ngay ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (3.1), (3.3) ÿúng suy ra ìüæöxxxx1212++ fxxx(12 , ,n )£+max íý fç÷ , , , xfxxx nn , (0, 12 , ) îþèø22 Theo Ĉӏnh lý U.M.V ta có maxfxxxCtn (12 , , ,nt )= max ( =- 0,1, , 1) = max{CC01 , } ìün-1 ïïæö21n - n =maxíý 0,ç÷ -+ 2 kn îþïïèøn -1 Vì vұy ÿӇ bҩt ÿҷng thӭc ӣÿӅ bài thӓa mãn thì 57
n-1 æö21n - n ç÷-+£20kn èøn -1 n-1 n æö21n - Û£-kn 2 ç÷ èøn -1 n-1 n æö21n - Do ÿó giá trӏ tӕt nhҩt cӫa kn thӓa mãn ÿӅ bài là kn =-2 ç÷ èøn -1 Ví dө 3 thӵc sӵ là mӝt bài toán rҩt khó ÿã tӯng có mһt ӣ dҥng này hay dҥng khác trong các ÿӅ thi vô ÿӏch. Chҳc chҳn các bҥn ÿã tӯng cҧm nhұn ÿѭӧc biӇu thӭc ÿҥt giá trӏ tӕt nhҩt ngoài trѭӡng hӧp n biӃn bҵng nhau thì còn mӝt trѭӡng hӧp mӝt biӃn Eҵng 0 nhѭng vүn vô cùng tӭc tӕi vì không có cách nào ép nó vӅÿѭӧc 0. Giӡÿây U.M.V ÿã cho bҥn mӝt hѭӟng ÿi khá sáng sӫa. Ví dө 4. (Ĉinh Ngӑc An) Cho pn£ là các sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng Eҵng n. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc fxxx( , , , )= ( xxx )k 12 nå iii12 p 1£££££ii12 inp Trong ÿó k là sӕ thӵc không nhӓ hѫn 2. /ͥi gi̫i. Ĉһt A= ( xxx )k å iii122p- 3£££££iiin122 p- B= ( xxx )k å iii121p- 3£££££iiin121 p- C= ( xxx )k å iii12 p 3£££££ii12 inp Ta sӁ chӭng minh ìüæöxxxx1212++ fxxx(12 , ,n )£+max íý fç÷ , , , xfxxx nn , (0, 12 , ) îþèø22 Thұt vұy 58
æöxxxx1212++ fxxxfx(12 , ,nn )£ ç÷ , , , (4.1) èø22 2kk kkkk æöxx12++ æö xx 12 Û++ £xxAxxBAB1212()20ç÷ ç÷ èø22 èø 2k æöxx+ 12 - xxkk ç÷2 12 B Û³èø k A kkæöxx12+ xx12+-2ç÷ èø2 fxxxfxxx(12 , ,nn )£+ (0, 12 , ) (4.2) kkkkk Û++-+£xxAx12( 1 xBxxB 2 )()0 12 kk B xx12 Û³ kkk A ()xx12+ xx 12 ĈӇ ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (4.1), (4.2) chҳc chҳn ÿúng thì 2k æöxx12+ kk ç÷- xx12 kk èø2 xx12 k³ kkk kkæöxx12+ ()xx12+ xx 12 xx12+-2ç÷ èø2 2kk æöxx12++kkkk æö xx 12 ç÷-xxxx1212 +-2 ç÷ èø22 èø Û³kk kkk xx12() xx 12+ xx 12 2kk æöxx12++k æö xx 12 ç÷(xx12+- )2 ç÷ èø22 èø Û³kk kkk xx12() xx 12+ xx 12 21kkk- (xx1 + 2) (21)()-+xx 12 Û 21kkkk³ - kkk 22(())xx12 xx 12+ xx 12 k kkk21 kkkk+ Û+(x1 x 2 )(( x 1 + ³- x 2 ) x 1 x 2 )(22) xx 12 ĈLӅu này hiӇn nhiên do k kk 2 (x1+³ x 2 )2() xx 12 (theo bÿt AM-GM) k kkk k 2 (x1+ x 2 ) ³- x 1 x 2 (2 2)( xx 12 ) vӟi k ³ 2 59
9ұy ta có ìüæöxxxx1212++ fxxx(12 , ,n )£+max íý fç÷ , , , xfxxx nn , (0, 12 , ) îþèø22 Vì thӃ theo Ĉӏnh lý U.M.V ta có maxfxxxCtn (12 , , ,nt )= max ( =- 0,1, , 1) kp p æön =maxCnt- .ç÷ ( tn =- 0,1, , 1) èønt- ìükp ïïppæön = max,.íýCCnn-1 ç÷ îþïïèøn -1 9ӟi n = 3 ta có bài toán quen thuӝc Cho abck,,,0³ thӓa mãn abc++=3. Chӭng minh rҵng ìü2k kkk ïïæö3 ()()()ab++£ bc ca maxíý 3,ç÷ îþïïèø2 %ҥn thҩy có ÿLӅu gì kì lҥ không? Hình nhѭ U.M.V này chҷng thèm quan tâm ÿӃn sӕ biӃn n = 3 hay n bҩt kì thì cǊng thӃ. Ví dө 5. (tәng quát tӯ bÿt Turkervici) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx122, , , n là các sӕ thӵc không âm. Chӭng minh Uҵng 222n n n nn (n-++++³ 1)( x1 x 2 x 2n ) nxx 122 x nå xx ij 12£<£ijn /ͥi gi̫i. %ҩt ÿҷng thӭc ÿã cho tѭѫng ÿѭѫng vӟi 2n 2 222nnnnæö (2nxxxnxxxx-++++³ 1)(1 2 2n ) 2 122 niç÷å èøi=1 Ĉһt 2n 2 222nnnnæö fxxxnxxxnxxxx(12 , , , 2n )=-++++- (2 1)( 1 2 2 n ) 2 122 niç÷å èøi=1 60
s= xx12 xxnn+ t=n 12 ³= xxs 2 12 Ta có æöxxnn++ xx nn fxxx( , , , )³ fç÷nn12 , 12 , xx , , (5.1) 122nnç÷22 32 èø 222nnn Û-++++-(2n 1)( x1 x 2 x 2nn ) 2 nxxx 122 2 2 æöæönnæö nn xx12++22nnn xx 12 +++-³(2n 1)ç÷ 2ç÷ x3 x 2nn 2 nç÷ xx 32 0 ç÷22ç÷ èøèø èø nn2 ()xx12- æönxx32 n Û ³ç÷(21)0n nnn 121 2 èøttss+ ++ 21n - Û.(tnnn 121 +++³ ts s ) xx n 32n fxxx( , , , )³+ f 0,n xxxxnn , , , (5.2) 122nn( 1232) 222nnn nnn 22 Û(2nxxxnxxxnxxx - 1)(122122122 + ++ nnn ) + 2 - (2 - 1)(( + ) ++ ) ³ 0 æö21n - nn 11 Û-³xxxx1232ç÷ 0n xx 12 èøn 21n - Û³xx xxnn 11 32n n 12 21n- 21 nn 21 Vì .(tn-1+++³ ts n - 2 s n - 1 ) . s n - 1 = xx nn 11 nên theo BәÿӅ 1 thì n nn12 có ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (5.1), (5.2) ÿúng. 9ұy ìüæönn nn ïïxx++ xx nn fxxx( , , , )³+ miníý fç÷nn12 , 12 , xxf , , , 0,n xxxx , , , 122nç÷22 32 nn( 1232) îþïïèø Theo Bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki thì 2222nnnnnn (2nxxxxxx- 1)(232232 + ++ nn ) ³ ( + ++ ) nên fxxx(0,232 , , ,n )³ 0 . 61
0һt khác fttt(,, ,)123 = 0 nên theo HӋ quҧ cӫa ÿӏnh lý U.M.V, ta có ÿLӅu phҧi chӭng 2nt soá minh. Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi xxx122= == n hoһc xxxx1232=0, = == n và các hoán vӏ. Ví dө 5 là bài toán tәng quát cӫa Bҩt ÿҷng thӭc Turkervici (n = 4) . Trên thӵc tӃ vӟi trѭӡng hӧp riêng này, bài toán ÿã rҩt khó và vӟi trѭӡng hӧp tәng quát nó ÿã thӇ hiӋn ÿѭӧc gҫn nhѭ toàn bӝ vҿÿҽp cӫa phѭѫng pháp này Bҥn thҩy không? Nó cǊng “dӉ thѭѫng” ÿҩy chӭ? 62
Bài tұp ӭng dөng Bài 1. (Ĉinh Ngӑc An) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc thuӝc [1,2] . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 2 æö111 fxxxxxx(12 , , ,nn )= ( 12 + ++ )ç÷ + ++ èøxxx12 n Bài 2. (Ĉinh Ngӑc An) Cho abc,, là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng 3, km, là các sӕ thӵc thӓa mãn km³³1,0. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc f(,,) a b c=+++ a222kkk b c m [()()()] ab kkk ++ bc ca Bài 3. (Ĉinh Ngӑc An) Cho pn£ là các sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng Eҵng n. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc fxxx( , , , )= ( xxx )k 12 nå iii12 p 1£££££ii12 inp Trong ÿó k là sӕ thӵc bҩt kì. Bài 5. (Phҥm Kim Hùng) Cho abcd,,, là các sӕ thӵc không âm thӓa mãn abcd+++=4 . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc f( abcd , , , )=++++ (2 a2222 )(2 b )(2 c )(2 d ) Bài 6. (Ĉinh Ngӑc An) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n. Tìm sӕ thӵc m tӕt nhҩt sao cho bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng vӟi mӑi bӝ (xxx12 , , ,n ) thӓa mãn ÿӅ bài mmm xx1+ 2 ++ xxxxnnn + 12 ³+ 1 63
Bài 7. (IMO Shortlist 1993) Cho abcd,,,0³ thӓa mãn abcd+++=1. Chӭng minh rҵng 1 176 abc+ abd + acd + bcd £+ . abcd 27 27 Bài 8. (Crux mathematicorum) Cho abc,,0³ . Chӭng minh rҵng 48abc 48 48 1+++++³ 1 1 15 bc+++ ca ab Bài 9. (Ĉinh Ngӑc An) Tìm thӵc k tӕt nhҩt ÿӇ bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng vӟi mӑi abc,,0³ k() ab++ bc ca 2()abc333++ + +³ 13() abc 222 ++ abc++ Bài 10. (Phҥm Kim Hùng) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 222 æö111 fxxx(1 , 2 , ,n )= xx 1 + 2 ++ xxxx nn + 12 ç÷ + ++ èøxxx12 n Bài 11. (VǊĈình Quý) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và xxx12, , , n là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n. Tìm giá trӏ tӕt nhҩt cӫa sӕ thӵc k sao cho bҩt ÿҷng thӭc sau luôn ÿúng 111 ++++£+ kxxxk12 n 1 nxnxnx-+11112 -+ -+n 64
PHÖÔNG PHAÙP THAM SOÁ HOÙA 1. Ĉһt vҩn ÿӅ. Ĉӕi vӟi phҫn lӟn các bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ không ÿӕi xӭng vӟi các biӃn thì dҩu bҵng trong các bҩt ÿҷng thӭc này xҧy ra khi các giá trӏ các biӃn không bҵng nhau. Trong chѭѫg trình phә thông thì các bҩt ÿҷng thӭc cәÿLӇn nhѭ Cauchy, Bunhiacopski lҥi ÿѭӧc phát biӇu dѭӟi dҥng ÿӕi xӭng, dҩu ÿҷng thӭc xҧy ra khi các biӃn bҵng nhau hoһc tӍ lӋ. ViӋc áp dөng các bҩt ÿҷng thӭc cәÿLӇn trên ÿӇ giҧi các bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng cҫn ÿѭӧc quan tâm mӝt cách thích ÿáng. Qua bài viӃt này, tôi muӕn nêu mӝt phѭѫng pháp giҧi bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng bҵng cách sӱ dөng các Eҩt ÿҷng thӭc cәÿLӇn thông dөng gӑi là phѭѫng pháp tham sӕ hóa. 1ӝi dung chӫ yӃu cӫa phѭѫng pháp này nhѭ sau: tӯ viӋc phân tích tính không ÿӕi [ӭng cӫa các biӃn có trong bài toán cӵc trӏ, thѭӡng ÿѭӧc cho dѭӟi các dҥng: 'ҥng 1. HӋ sӕ các biӃn trong biӇu thӭc cҫn tìm cӵc trӏ là không bҵng nhau. 'ҥng 2. Các biӃn thuӝc các miӅn khác nhau cӫa tұp sӕ thӵc. 'ҥng 3. ĈLӅu kiӋn ràng buӝc cӫa các biӃn trong giҧ thiӃt bài toán là không ÿӕi xӭng vӟi các biӃn. Ta ÿѭa thêm bào các tham sӕ phө cҫn thiӃt thѭӡng là các hӋ sӕ hoһc lǊy thӯa cӫa các biӃn có trong các ÿánh giá trung gian, sau ÿó chӑn các tham sӕ phөÿӇ tҩt cҧ các Gҩu ÿҷng thӭc xҧy ra, tӯÿó nhұn ÿѭӧc 1 hӋ phѭѫng trình mà ҭn là các biӃn và các tham sӕ phө, tham sӕ phөÿѭӧc chӑn hӧp lí chӍ khi hӋ phѭѫng trình tѭѫng ӭng có nghiӋm. Trong bài viӃt này tôi nêu mӝt lӟp bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng thѭӡng Jһp, tác giҧ nghƭ rҵng nhӳng mô hình cө thӇ này thұt có ý nghƭa vì vӟi kӃt quҧ cӫa các bài toán này sӁ cho ta mӝt lӟp bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng cө thӇ miӉn là xây dӵng ÿѭӧc bӝ biӃn thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ràng buӝc tѭѫng ӭng. 2. Mӝt sӕ bài toán ÿLӇn hình. Bài toán 1. Cho xyz,, là các sӕ thӵc dѭѫng thay ÿәi thӓa mãn ÿLӅu kiӋn xy++= yz zx 1 và cho a là sӕ thӵc dѭѫng không ÿәi. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 65
Paxyz=(222 ++ ). /ͥi gi̫i. Phân tích. ĈLӅu kiӋn ràng buӝc ÿӕi xӭng vӟi xyz,,. BiӇu thӭc P ÿӕi xӭng vӟi xy,, vai trò cӫa z trong biӇu thӭc P là không ÿӕi xӭng Yӟi xy, . z2 Do vұy, ta có thӇ nghƭ rҵng ÿLӇm cӵc trӏ sӁÿҥt ÿѭӧc khi xy= , và ==aaxy22. 2 7ӯ phân tích trên, ta có thӇ trình bày lӡi giҧi cӫa bài toán nhѭ sau 9ӟi a>0 (chӑn sau), áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM cho 2 sӕ dѭѫng, ta có z2 a a x2 +³2 xz 22 z2 a a y2 +³2 yz 22 aa x22+³ y2 xy 22() &ӝng vӃ các bҩt ÿҷng thӭc trên ta nhұn ÿѭӧc æöa aa ç÷a +(x222 + y ) +³ z 2 ( xy ++ yz zx )2 = èø2 22 a Chӑn a sao cho a +=a. 2 hay a -++1 18a = 24 ì 1 2 xy== ì z 22ï 4 ï ==aaxy ï 18+ a 'ҩu ÿҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi í 2 hay í ï ï -++1 18a îxy++= yz zx 1 z = îï 2184 + a .Ӄt luұn -++1 18a min.P = 2 66
Bài toán 2. Cho abc,, là các sӕ thӵc dѭѫng thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ab++= bc ca 1 và uv, là các Vӕ dѭѫng cӕÿӏnh. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Puavbc=++2 22. /ͥi gi̫i. 0ӝt cách tӵ nhiên tӯ lӡi giҧi cӫa Bài toán 1, ta phân tích u=+ xyvzt, =+=+ ,1 mn trong ÿó xyztmn,,,,, là các sӕ dѭѫng sӁ chӑn sau. Áp dөng bҩt ÿҷng AM-GM cho 2 sӕ dѭѫng, ta có xa22+³ tb2, xtab ya22+³ nc2, ynca zb22+³ mc2. zmbc &ӝng vӃ các bҩt ÿҷng thӭc trên, ta nhұn ÿѭӧc P³++2 xtab 2 ynca 2. zmbc ìxa22= tb ï 22 'ҩu ÿҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi íya= nc ï 22 îïzb= mc hay ì xb2 ï = 2 ï t a ï na2 í =Þ=2 xzn ytm. (1) ï y c ï zc2 ï = îm b2 Chӑn xyztmn,,,,, sao cho xt=== yn zm k 2 thӓa mãn (1). Ta có (1)Û+ (x y )( z + t )( m += n ) uv 67
Û(xz +++ xt yz yt )() m += n uv Ûxzm ++ xtm yzm + ytm ++++= xzn xtn yzn ytn uv Û++++++=(x y m n z t )2 k2 xzn uv Û+++=()u v12 k2 xzn uv Mà ()()xzn utm= k 6 nên xzn= k 3. Do ÿó 2k32+++ ( u v 1) k -= uv 0 (2) Rõ ràng (2) có nghiӋm dѭѫng duy nhҩt k0 . 9ұy min2Pk= 0 vӟi k0 là nghiӋm dѭѫng duy nhҩt cӫa phѭѫng trình (2). Nhұn xét. Bài toán 1 và Bài toán 2 thӵc sӵ có ý nghƭa khi ta chӑn xyz,,hoһc abc,, là các biӃn ÿһc biӋt, miӉn là ÿLӅu kiӋn ràng buӝc cӫa các biӃn ÿѭӧc thӓa mãn. Chҷng hҥn, khi ta chӑn mô hình là tam giác ABC . ABC 1Ӄu ÿһt xyz===tg , tg , tg , ta sӁ có xy++= yz zx 1, áp dөng vào mô hình 222 Bài toán 1 hoһc Bài toán 2 ta sӁ thu ÿѭӧc mӝt lӟp các bài toán cӵc trӏ dҥng không ÿӕi xӭng trong tam giác. Hoһc là xAyBzC===cotg , cotg , cotg , ta cǊng sӁ có ràng buӝc xy++= yz zx 1, Wѭѫng tӵ ta cǊng sӁ có mӝt lӟp các bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng khác ÿӕi vӟi tam giác. Nói chung, tѭ tѭӣng chính cӫa Bài toán 1 và Bài toán 2 là muӕn xây dӵng mӝt lӟp các bài toán mӟi ta chӍ cҫn xây dӵng mӝt lӟp các biӃn ÿҥi sӕ, hoһc lѭӧng giác thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ràng buӝc tѭѫng ӭng. ThiӃt nghƭ rҵng tӯ tѭ tѭӣng này có thӇ xây Gӵng ÿѭӧc rҩt nhiӅu lӟp bài toán nhѭ thӃ. Bài toán 3. Cho xxx12, , , n là các sӕ thӵc thӓa mãn ÿLӅu kiӋn xxx12+++= 0n và xxx12+++= 1n . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc P=-Õ xxij. 1£<£i jn 68
/ͥi gi̫i. + Trѭӡng hӧp 1. n = 2 là trѭӡng hӧp tҫm thѭӡng vì lúc này P = 1 không ÿәi, + Trѭӡng hӧp 2. n = 3, không mҩt tính tәng quát ta giҧ sӱ xxx123££. Áp dөng bҩt ÿҷngthӭc AM-GM cho 3 sӕ không âm, ta có P æöxx31- = ()xx21ç÷ () xx 32 22èø 3 æöæöxx- ()xx-+31 +- () xx ç÷21ç÷2 32 £ ç÷èø ç÷3 ç÷ èø 3 æöxx31- = ç÷ èø2 1 £ 8 1 Do ÿó P £ 4 ì ì 1 ï x1 =- xxx123++=0 ï 2 ï ï Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ííxxxxxx31123-=++=Û=10 2 . ïï xx31- 1 ïïxx-= =-³ xx0 x3 = î 212 32 î 2 9ұy 1 maxP = . 4 + Trѭӡng hӧp 3. n = 4 , mӝt cách tӵ nhiên ta dӵÿoán rҵng max P ÿҥt ÿѭӧc khi ìxx14=- í îxx23=- 9ӟi giҧ thiӃt xxxx1234£££. Nhѭ vұy thì xxxx2143-=-. 1Ӄu xem hiӋu xxxx2143-=- là ÿѫn vӏ và ÿһt xxa32-=, thì ta sӁ có bӝ biӃn mà biӇu thӭc Pÿҥt max cҫn thӓa mãn ÿLӅu kiӋn 69
xx xx xx xx xxxx-=-===31 32 42 41 2143 a+1 aaa ++ 12 7ӯ cách phân tích trên, lӡi giҧi cӫa bài toán trong trѭӡng hӧp n = 4 sӁ nhѭ sau 9ӟi giҧ thiӃt xxxx1234£££, ta có P= ( x2 xx 13 )( xx 14 )( xx 13 )( xx 24 )( - xx 24 )( - x 3 ) Do ÿó P = aaa(++ 2)( 1) 2 ()xx ()xx () xx () xx = () xx3141 . 32 . 42 .() xx 21a+++121 a aa 43 6 æö()xx ()xx () xx () xx ()xx-+31 +41 + 32 + 42 +- () xx ç÷21a+++121 a aa 43 £ ç÷ ç÷6 èø 6 æöæ1 1 öæö 11 ()1xx41-+++-++-ç ÷ç÷ 1 () xx 32 ç a+++121 a aa ÷ = ç è øèø÷ ç 6 ÷ ç ÷ èø Ta chӑn a > 0 sao cho 1 1 11 11+ + =-++ a+++121 a aa hay a =-2 1. Khi ÿó, 1 1 1 1 32 11++ =-++= a+++1 a 2 aa 12 và ta thu ÿѭӧc 6 æö32 ç÷.() ++xxxx P 2 1234 1 29£ç ÷£ ç÷6 2 ()21212-+()() ç÷ èø 1 hay P £ 28 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 70
ì ï xxxx1234+++=0 ï í ++=+++=xxxxxxxx123412341 ï xxxxxxxx ï 32 31 42 41 xxxx21-=-===³ 43 0 îï 21-+ 2 2 21 ì 22- ïxx41=-= ï 4 Giҧi hӋ phѭѫng trình này ta nhұn ÿѭӧc í 2 ïxx=-= îï 324 .Ӄt luұn 1 maxP = . 28 + Trѭӡng hӧp 4. n = 5. Phân tích. 9ӟi giҧ thiӃt xxxxx12345££££, tӯ lӡi giҧi cӫa các trѭӡng hӧp 2 và 3, mӝt cách Wӵ nhiên, ta nghƭ ngay rҵng bӝ sӕÿӇ P ÿҥt max là x5=- xx 14, =- xx 23 ,0 = . Do vұy xxxxxxxx54-=- 213243,, -=- tӯÿó ta có thӇÿoán nhұn rҵng nӃu xem hiӋu xx21- bҵng ÿѫn vӏ và xx32- bҵng a thì bӝ sӕÿӇ P ÿҥt max cҫn phҧi thӓa ÿLӅu kiӋn xx- xx xx xx xx 21===43 32 31 53 1aaaa++ 11 xx xx- xx xx xx =42 ===52 41 51 54 2aaaa 2121221+ ++ 7ӯ cách phân tích trên, lӡi giҧi cӫa bài toán trong trѭӡng hӧp n = 5 sӁ nhѭ sau Không mҩt tính tәng quát, ta giҧ sӱ xxxxx12345££££, tӯÿó suy ra P= ( x2 xx 13 )( xx 14 )( xx 15 )( xx 13 )( x 2 )x x(xxxxxxxxxx4252435354 )( )( )( )( ) Xét biӇu thӭc P Q = 4aaa232 (++ 1) (2 1) 71
ViӃt Q dѭӟi dҥng ()xx ()xx- () xx ()() xx xx Q = 21 31 41 51 32 x 1aaaa+ 1 2122 ++ ()xx- (xx )( xx )( xx )( xx ) x42 52 43 53 54 2aa 21++ aa 11 Áp dөng bҩt ÿҷngthӭc AM-GM cho 10 sӕ không âm, ta có 1()æ xx21 ()xx31- () xx 41 ()() xx 51 xx 32 Q £ç +++++ 1010 è 1aaaa+ 1 21 ++ 22 10 ()xx42- (xx52 )( xx 43 )( xx 53 )( xx 54 )ö +++++÷ 2aa 21++ aa 11ø 10 1æöæö 1 3æö 13 =10 ç÷(xx51 -++ )1ç÷ + ++ ( xx 42 )1ç÷ 10 èøèø2a+++ 12(1) aèø 2 aa 12 Chӑn a > 0 sao cho 1 3 13 11++ =-++ 2a+++ 12(1) a 2 aa 12 1 hay a = . Khi ÿó, 2 ì 1 3 1 35 11++ =-++= ï 2a+++ 12(1) a 2 aa 12 2 í 4P ïQ = îï 27 7ӯÿây, ta thu ÿѭӧc 10 151æö Q£10 ()ç÷ ++£ xxxx1245 20 102èø2 27 Do ÿó P £ 222 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 72
ìxxxxx12345++++=0 ï ï ++=xxxxxxxxx124512345 + + + + =1 ï 2()xx xx- xx íxx-=31 =41 = 51 =2() xx -= ï 213 23 32 ï xx 2() xx ï=-=xx52 =2()0 xx - = 53 =-³ xx î 4223 43 54 ì 3 xx=- =- ï 158 ï ï 1 Giҧi hӋ phѭѫng trình này ta nhұn ÿѭӧc íxx24=- =- . ï 8 ïx3 = 0 ï î .Ӄt luұn 27 maxP = . 222 Nhұn xét. %ҵng phѭѫng pháp tѭѫng tӵ sӁ tìm ÿѭӧc lӡi giҧi cӫa bài toán vӟi n 6. Bài toán 4. (Võ Quӕc Bá Cҭn) Cho mnp,, là ÿӝ dài ba cҥnh cӫa mӝt tam giác cho trѭӟc và tam giác ABC nhӑn. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc P= tgmnp ABC .tg .tg . /ͥi gi̫i. Xét biӇu thӭc 1 Q==cotgmnp ABC .cotg .cotg . P Bài toán ÿã cho tѭѫng ÿѭѫng vӟi tìm max cӫa Q . Khi nhìn thҩy biӇu thӭc Q , ít nhiӅu ta cǊng nghƭÿӃn ÿҷng thӭc quen thuӝc cotgAB .cotg++= cotg BC .cotg cotg CA .cotg 1 Và tӯÿây, ta nghƭ ngay rҵng bài này có thӇ dùng bҩt ÿҷng AM-GM suy rӝng, do ÿó ta ÿѭa vào các tham sӕ dѭѫng xyz,, (chӑn sau) sao cho 73
Q= (cotg AB .cotg )xyz .(cotg BC .cotg ) .(cotg CA .cotg ) = (cotgABC )xz+++ .(cotg ) xy .(cotg ) yz . Ta phҧi chӑn xyz,, sao cho ì 1 x=.() mnp +- ï 2 ìxzm+= ï ïï1 ííxyn+=Û=-++ y.() mnp. 2 ïïyzp+= î ï 1 ïz=.() mnp -+ î 2 7ӯÿây, ta có xzy Qæöcotg AB .cotgæö cotg BC .cotg æö cotg CA .cotg x yz= ç÷ ç÷ ç÷ xyz èøxyzèø èø Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Cauchy suy rӝng, ta có Q £ xyzx yz xyz++ 1æöæö cotgAB .cotgæö cotg BC .cotg æö cotg CA .cotg £xyz++ .ç÷xyzç÷ ++ç÷ ç÷ ()xyz++ èøèøxyzèø èø 1 = ()xyz++ xyz++ xyzx yz Do ÿó Q £ ()xyz++ xyz++ Suy ra ()xyz++xyz++ () mnp ++ mnp ++ P ³= xyzx y z(-++ mn p )()()- mnp ++ mn -+ p mnp -+ mnp +- mnp +- Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi cotgAB .cotg cotg BC .cotg cotg CA .cotg ==. xyz Hay 74
ì xz()() mnpmnp-+ +- ïcotgA == ï yxyz()()()++ -++ mnpmnp ++ ï xy(-++ mnpmnp )() +- ícotgB == ï zxyz()()()++ mn -+ pmnp ++ ï yz()() mnp-+ -++ mnp ïcotgC == îï xxyz()()()++ mnpmnp +- ++ .Ӄt luұn ()mnp++ mnp++ minP = . (-++mn p )()()-mn ++ p mn -+ p mn -+ p mn +- p mnp +- Bài toán 5. (Vietnam TST 2001) Cho abc,,0> và 21ab++£ 2 bc 8 ca 12 . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 123 P =++. abc /ͥi gi̫i. 1 23 Phân tích. ĈӇÿѫn giҧn, ta sӁÿһt xyz===,, thì ta nhұn ÿѭӧc mӝt bài toán abc Wѭѫng ÿѭѫng nhѭ sau “ xyz,,0> và 6x++£ 12 y 21 z 6 xyz . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Pxyz=++.” Nhұn thҩy tӯ giҧ thiӃt 6x++£ 12 y 21 z 6 xyz , ta có thӇ suy ra ÿѭӧc xmnp yz³> k( mnp , , 0) Do ÿó ta nghƭ ngay rҵng bài này có thӇ sӱ dөng bҩt ÿҷng AM-GM suy rӝng ÿѭӧc. Thұt vұy xyz Pmnp= ++ mnp 1 mn p æöæx öæö yzæömnp++ ³(mnp ++ )ç÷ç ÷ç÷ ç÷ ç÷mnp èøè øèøèø 75
1 æök mnp++ ³()mnp ++ ç÷mnp èømnp Nhѭ vұy, nhiӋm vө cӫa ta bây giӡ chӍ là phҧi tìm mnp,, nӳa thôi. Rõ ràng, ta chӍ cҫn xét mnp++=1 là ÿӫ. Khi ÿó, ta có 6xyzxyz³++ 6 12 21 xyz =++6mnp . 12 . 21 . mnp 1 6mn 12 21p æöæxyz ö æö æö 6mnp++ 12 21 ³(6mnp ++ 12 21 )ç÷ç ÷ . ç÷ . ç÷mnpç÷ èøè ø èø èø ì 6m 1-=km ï 6mnp++ 12 21 ï ï 12n ï1-=kn ĈӇ tìm mnp,, ta cҫn phҧi giҧi hӋ sau í 6mnp++ 12 21 ï 21p ï-=1 kp ï 6mnp++ 12 21 ï îmnp++=1 Hay ì 6m 12-=m ï 6mnp++ 12 21 ï ï 12n ìm= 1 np ï12-=n ï 2 íí6mnp++ 12 21 Û410652n + npnp +-= ïï21p 2 ï-=12p î5p+ 2 npnp -+= 31 ï 6mnp++ 12 21 ï îmnp++=1 2 ìï410652n+ npnp +-= Xét hӋ (*) í 2 îï5p+ 2 npnp -+= 31 2 ïì(2t+ 5) p +-= (3 tp ) 1 (1) Ĉһt n=> tpt( 0) , hӋ (*) trӣ thành í 22 îï(4t+ 10 tptp ) +-= (6 5) 2 (2) /ҩy (2)- 2x (1) , ta ÿѭӧc 76
pt((42 +- 6 t 10) pt +-= 8 11) 0 1Ӄu t =1 thì hӋ (*) vô nghiӋm, do ÿó t ¹ 1. 118- t Þ=p (3) 4tt2 +- 6 10 11 Do pt>>0,0 nên 1<<t . Thay (3) vào (1) và thu gӑn, ta ÿѭӧc 8 16tt432- 12 - 146 tt ++= 30 175 0 Û(4tttt - 5)(2 + 5)(22 = 4 7) 0 5 11 Û=tt(do 1 << ) 48 ì 2 m = ï 5 ï ï 1 7ӯÿó, ta có ín = . Thӱ lҥi, ta thҩy thӓa. ï 3 ï 4 ï p = î 15 Ĉҷng thӭc ӣ trên xҧy ra khi và chӍ khi ì xyz ï == ímnp ï î6x++= 12 y 21 z 5 xyz ì5xz 15 ï ==3y Û í 24 îï6xyzxyz++= 12 21 5 ìx = 3 ï ï 5 Û=íy ï 2 îïz = 2 ì 1 a = ï 3 ï ï 4 Þ=íb ï 5 ï 3 ïc = î 2 77
7ӯ các phân tích và chӑn tham sӕ trên, ta ÿi ÿӃn mӝt lӡi giҧi cӵc kǤÿѫn giҧn nhѭ sau 143 Ĉһt abc===,,, bài toán chuyӇn vӅ 352xyz “ xyz,,0> và 3x+ 5 y +£ 7 z 15 xyz . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 1 P=.(6 xyz ++ 5 4 ).” 2 Áp dөng bҩt ÿҷng AM-GM cho 15 sӕ dѭѫng, ta có 15xyz³++³ 3 x 5 y 7 z 1515 x357 y z Þ³15 xyz12 10 8 1 Û³15 xyz6 54 1 /ҥi áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM cho 15 sӕ dѭѫng, ta có 1 15 15 P=++³³.(654). x y z15 xyz6 54 2 22 ì 1 a = ï 3 ï ìxyz== ï 4 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ííÛ===Û=xyzb1. î15357xyzxyz=++ ï 5 ï 3 ïc = î 2 .Ӄt luұn 15 min.P = 2 Bài toán 6. Cho xyz,,0³ và xyz++=3. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Pxyz=++423 44 /ͥi gi̫i. 9ӟi mӑi sӕ dѭѫng abc,, , theo bҩt ÿҷng thӭc Holder, ta có Pa(4++³++ 2 b 44333 3)( c ax 2 by 3) cz 34 78
Chӑn abc,, sao cho a3===23, b 3 ck 33 khi ÿó, ta có kxyzk12(++ ) 4 (3) 34 P ³= (abc4++ 2 4 3) 43 ( abc 4 ++ 2 4 3) 43 ĈӇÿҷng thӭc xҧy ra thì ta phҧi có x y z xyz++ ===1 a b c abc++ Do vұy, ta có ìabc++=3 í 3 3 33 îa===23 b ck ìak= ï 3 ïbk= 2 ï Û íck= 3 3 ï 3 ïk = îï 123++33 7ӯÿây, ta dӉ dàng suy ra kӃt quҧ cӫa bài toán. Bài toán 7. Chӭng minh rҵng vӟi mӑi sӕ dѭѫng aaa12, , , n ta luôn có 12n æö 111 + ++ < 4ç÷ + ++ a1 aa 12+ aa 12 + ++ annèø a 1 a 2 a Chͱng minh. Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki, ta có 22 2 æöxx12 xk 2 (aaa12+ ++ kk )ç÷ + ++ ³ ( xxx 12 + ++ ) èøaaa12 k 22 2 k kæö xx12 xk Þ £2 .ç÷ + ++ aaa12+ ++ kk(xxx12+ ++ )k èø aaa 12 &ӕÿӏnh các sӕ xxx12, , , n và cho k chҥy tӯ 1 ÿӃn n, rӗi lҩy tәng, ta ÿѭӧc 12 n cc c + ++ £12 + ++ n a112 aa+ aa 12 + ++ ann a 12 a a Trong ÿó 79
2 22 kxk( k+ 1) x kk nx ck =222 + ++ (xxxxxx12+ ++ kkn ) ( 12 + ++ + 1 ) ( xxx 12 + ++ ) Ta có thӇ chӑn xkknk = "=1,, khi ÿó 2 æökkn+1 ckk =ç÷2 + 22 ++ èø(1+++ 2 kkn ) (1 ++++ 2 ( 1)) (1 +++ 2 ) 2 æökkn+1 =4k ç÷22 + 2 2 ++ 22 èøkk(1)(1)(2)++++ k k nn (1) 2 æö111 =4k ç÷2 + 22 ++ èøkk(++++ 1) ( k 1)( k 2) nn ( 1) 2 æö111111æöæö111æö =4 k ç÷ç÷ç÷ -+ -+ +-ç÷ èøkkkk+1èøèø + 1 +++ 212 kk n++11èø nn 2 æö11111 =4k ç÷ - -222 - èøkn+1 (kkn+++ 1) ( 2) ( 1) 2 æö11111 <4k ç÷ - - - èøknkk+1 ( ++ 1)( 2) ( k + 2)( k + 3) ( nn ++ 1)( 2) 2 æö111 =4k ç÷ èøkkn++11 2 æö11 <-4k ç÷ èøkk+1 4k < k +1 < 4 %ҩt ÿҷng thӭc ÿѭӧc chӭng minh hoàn toàn. Bài toán 8. Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc sau vӟi mӑi sӕ thӵc xxx12, , , n 2 2 2æöxx12+ æöxxx12+ ++ n 222 x1+ç÷ç÷ ++ £ 4( xxx 12 + ++ n ) èøèø2 n Chͱng minh. 9ӟi mӑi sӕ dѭѫng ccc12, , , n tùy ý, ta có 80
22 2 æöxx12 xk 2 ç÷+ ++ (cccxxx12 + ++ kk ) ³ ( 12 + ++ ) èøccc12 k Do ÿó 2 æöxxxcccccc12+ ++ kkk 12 + ++ 22 12 + ++ ç÷£++22 xx12 èøk kc1 kck ccc12+ ++ k 2 ++ 2 xk kck Cho k chҥy tӯ 1 ÿӃn n, rӗi lҩy tәng, ta ÿѭӧc 2 2 2æöxx12+ æöxxx12+ ++ n 222 x1+ç÷ç÷ ++ £aaa 11 xxx + 22 ++ nn èøèø2 n Trong ÿó cccccc12+ ++ kkn 12 + ++ + 1 ccc 12 + ++ ak =2 + 22 + + "=kn 1, kck( k+ 1) c kk nc Ta chӑn ckkkk= - -Þ+++=1 ccck12 1111æö Þ=++ak .ç÷32 32 32 ck èøkkn(+ 1) Chú ý rҵng 11 kk+ 11 -=22 11æöæö11 kk-+ç÷ç÷kk-+ 22èøèø22 1 = æö1 1æöæö 11 ç÷k++ + kç÷ç÷ kk èø2 2èøèø 22 1 ³ 2k 32 111111 Þ ³ - ³ + ++ 11122(1)2kkn32+ 32 32 kkn + 222 81
2 21()kk+- Þ£=£a 4 k 11 ckk k 22 %ҩt ÿҷng thӭc ÿѭӧc chӭng minh hoàn toàn. 3. Bài tұp ÿӅ nghӏ. Bài 1. (Vietnam TST 1994) 1 Cho abcd,,, là các sӕ thӵc thӓa mãn ÿLӅu kiӋn £+++£abcd22221. Tìm giá trӏ 2 nhӓ nhҩt và giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc Pabc=-(2 + )(22 +- bcd + )(2)(2) 222 +- ba +- cd Bài 2. Cho xy,0> và xy+³4. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 6 10 Pxy=23 + ++ xy Bài 3. Cho abc,,0> và abc++³2 3 20. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 394 P=+++++ abc a2 bc Bài 4. Cho abc,,0> và abc++=3. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc P=++243 ab bc ca Bài 5. (Toán Hӑc Tuәi Trҿ 2005) a) Cho tam giác ABC . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc P= sin ABC .sin23 .sin b) Cho tam giác ABC , mnp,, là các sӕ thӵc dѭѫng cho trѭӟc. Tìm giá trӏ Oӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc P= sinmnp ABC .sin .sin 82
Bài 6. (VMEO 2004) Cho tam giác nhӑn ABC. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc P=++ tgA25 tgB tgC Bài 7. (VMEO 2005) Cho abc,, là các sӕ thӵc dѭѫng cho trѭӟc và xyz,, là các sӕ thӵc dѭѫng thӓa mãn ax++= by cz xyz . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Pxyz=++ Bài 8. Cho aaa12, , , n là n sӕ thӵc dѭѫng cho trѭӟc và xxx12, , , n là n sӕ thӵc dѭѫng n n thӓa mãn å axxiii= Õ . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc i==1 i 1 n Px= å i i=1 Bài 9. ĈӅ chӑn ÿӝi tuyӇn ĈHSP Hà Nӝi 2005) Cho xyz,, là các sӕ thӵc dѭѫng thӓa mãn xy++= yz zx7 xyz . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt Fӫa biӇu thӭc 8x4+ 1 108 yz 56 ++ 1 16 1 P =++ xyz222 Bài 10. (Toán Hӑc Tuәi Trҿ 2005) Cho xyz, ,Î [0,1] . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc P=( xyyzzxxyz - )( - )( - )( ++ ) Bài 11. Chӭng minh rҵng vӟi mӑi dãy sӕ dѭѫng aaa12, , , n ta có 11 1æö 111 + ++ < 2ç÷ + ++ a1 aa 12+ aa 12 + ++ annèø a 1 a 2 a 83
PHÖÔNG PHAÙP HEÄ SOÁ BAÁT ÑÒNH Trong thôøi caáp 2, khi ñoïc lôøi giaûi cuûa khaù nhieàu baøi toaùn ñaëc bieät laø baát ñaúng thöùc, toâi khoâng theå hieåu noåi taïi sao ngöôøi ta laïi nghó ra ñöôïc lôøi giaûi ñoù vaø toâi caûm thaáy ñoù laø moät lôøi giaûi thieáu töï nhieân nhöng toâi cuõng caûm thaáy voâ cuøng thaùn phuïc ngöôøi ñaõ nghó ra lôøi giaûi ñoù. Nhöng baây giôø khi ñaõ ñöôïc laøm quen vôùi taát caû caùc kieán thöùc toaùn sô caáp, toâi môùi hieåu ñöôïc ñaáy khoâng phaûi laø moät caùi gì môùi laï caû maø noù ñaõ coù moät phöông phaùp haún hoi. Trong baøi naøy, toâi xin giôùi thieäu vôùi caùc baïn moät trong nhöõng phöông phaùp ñoù: “Phöông phaùp heä soá baát ñònh”. Phöông phaùp naøy tuy coù moät soá haïn cheá nhöng noù vaãn laø moät phöông phaùp hay vaø khaù maïnh. Caùc baïn neân chuù yù ñeán noù vì ngoaøi vieäc giuùp ta chöùng minh moät baát ñaúng thöùc khoù thì noù coøn laø 1 “lieàu thuoác boå “ cho moät phöông phaùp chöùng minh baát ñaúng thöùc cöïc maïnh: “Phöông phaùp phaân tích bình phöông S.O.S” vì noù giuùp ta ñöa moät baát ñaúng thöùc veà daïng S.O.S nhanh choùng hôn caùc kieåu bieán ñoåi thoâng thöôøng. Sau ñaây laø moät soá ví duï Ví duï 1. (USAMO 2003) Cho abc,,0> . Chöùng minh raèng (2)(2)(2)abc++222 bca ++ cab ++ ++£8 2abcbcacab222222++ ( )2 ++ ( )2 ++ ( ) Nhaùp. Nhaän xeùt raèng daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi abc==. Do caû hai veá cuûa baát ñaúng thöùc ñaõ cho ñoàng baäc neân ta coù theå chuaån hoùa cho abc++=3. Khi ñoù, baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh trôû thaønh 84
(abc+++ 3)222 ( 3) ( 3) ++£8 2aabbcc222222+- (3 ) 2 +- (3 ) 2 +- (3 ) Ta seõ tìm soá thöïc a sao cho baát ñaúng thöùc cho moïi a Î(0,3) (3)8a + 2 £a(a -+ 1) 2(3)3aa22+- Ûfaaaa( ) = 3aaaa32 +- (7 9 ) + (15 - 22) +-³ 15 9 0 Ta caàn tìm a sao cho faa()³"Î 0 (0,3) vaø faa () =Û= 0 1.Ñeå coù ñöôïc ñieàu naøy, ta caàn coù 4 f / (1)=Û 0 9aaaa + 2(7 - 9 ) + 15 - 22 =Û 0 = 3 Vaäy nhieäm vuï cuûa ta baây giôø laø xeùt xem baát ñaúng thöùc sau coù ñuùng hay khoâng (3)44a + 2 £+.a 2(3)33aa22+- Vôùi nhöõng laäp luaän nhö treân, ta ñi ñeán moät lôøi giaûi khoâng maáy töï nhieân nhö sau Lôøi giaûi. Khoâng maát tính toång quaùt, coù theå giaû söû abc++=3. Khi ñoù, baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh trôû thaønh (abc+++ 3)222 ( 3) ( 3) ++£8 2aabbcc222222+- (3 ) 2 +- (3 ) 2 +- (3 ) Ta seõ chöùng minh (3)44a + 2 £+.a (*) 2(3)33aa22+- Thaät vaäy (*)(Ûaa - 1)(43)02 +³ (ñuùng) Vaäy (*) ñuùng. Töông töï, ta coù 85
(3)44b + 2 £+.b 2(3)33bb22+- (3)44c + 2 £+.c 2(3)33cc22+- Do ñoù (abc+++ 3)222 ( 3) ( 3) 4 + + £.(abc ++ )48 += 2aabbcc222222+- (3 ) 2 +- (3 ) 2 +- (3 ) 3 Þ ñpcm. Rieâng ñoái vôùi baøi toaùn treân coøn coù moät caùch tìm a cöïc nhanh laø (3)1a+2 86 aa ++ 1864 4 =+ £+ =.a + 2(3)33(1)636aaa222+- -+ 33 Nhöng vôùi ñöôøng loái naøy thì ta khoù maø laøm maïnh baát ñaúng thöùc hôn ñöôïc. Thaät vaäy, toâi ñaõ coá gaéng raát nhieàu ñeå duøng ñöôøng loái naøy ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc sau nhöng vaãn baát löïc (abc+++ 3)222 ( 3) ( 3) ++£6 4aabbcc222222+- (3 ) 4 +- (3 ) 4 +- (3 ) Vôùi abc,,0> thoûa abc++=3. Coù theå thaáy caùch tìm a ban ñaàu laø caùch tìm hay nhaát, nhöng noù ñoøi hoûi khaù nhieàu tính toaùn raát baát lôïi cho nhöõng baïn tính toaùn khoâng ñöôïc toát cho laém, vaø ñoâi khi bieåu thöùc ñeà baøi cho quaù phöùc taïp (chaúng haïn nhö quaù nhieàu caên thöùc). Vì nhöõng lí do ñoù, toâi xin ñöôïc giôùi thieäu vôùi caùc baïn moät caùch tìm a khaù hieäu quaû döïa treân baát ñaúng thöùc AM-GM, cuï theå laø ñoái vôùi baøi toaùn treân Ta seõ tìm ab, sao cho baát ñaúng thöùc sau ñuùng cho moïi soá döông abc,, (2)abc++2 abb a ++ b c £ 2()a22+ bc + abc ++ AÙp duïng baát ñaúng thöùc AM-GM (xin ñöôïc löu yù vôùi caùc baïn laø trong caùch tìm naøy, ta khoâng caàn ñeå yù ñeán chieàu baát ñaúng thöùc, toâi xin ñöôïc kyù hieäu ® ñeå thay 86
cho daáu baát ñaúng thöùc vaø ta cuõng khoâng caàn ñeå yù ñeán ab, aâm hay döông vì ñaây chæ laø nhaùp thoâi), ta coù 11 (2)8abc++ 2 - ® ()a36 bc 2()3a22++ bc ab11 abbabc+++ ab2 ® .aab++23 .() bc ab 23 abc++ 3 ì ï ab+=28 ì 16 ï a = ï a 11 ï 3 Ta choïn ab, sao cho í -= . Giaûi heä naøy, ta ñöôïc í . ab+ 2 33 4 ï ïb = ï b 11 îï 3 ï - =- îab+ 236 Vaäy nhieäm vuï cuûa chuùng ta baây giôø laø xeùt tính ñuùng ñaén cuûa baát ñaúng thöùc (2abc++ )2 1644 a ++ b c £ 2()3()a22+ bc + abc ++ Ta coù theå chuaån hoùa cho abc++=3 roài chöùng minh töông töï nhö treân, hoaëc bieán ñoåi töông ñöông. Ví duï 2. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng abc333 ++³1 a333333++() bc b ++ () ca c ++ () ab Nhaùp. Ñaây laø moät baøi toaùn hay, töông ñoái khoù. Ta coù theå giaûi baèng caùch laøm töông töï nhö treân, xin daønh cho caùc baïn. ÔÛ ñaây, toâi xin giôùi thieäu moät caùch giaûi khaùc nhö sau Nhaän xeùt raèng daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi abc==. Ta seõ tìm p sao cho baát ñaúng thöùc sau ñuùng 87
aa3 p ³ a33++() bcabcppp ++ Chuùng ta coù 2 caùch choïn p söû duïng ñaïo haøm hoaëc döïa vaøo baát ñaúng thöùc AM- GM, veà phía toâi, toâi raát ngaïi tính toaùn neân chæ xin ñöôïc trình baøy caùch döïa vaøo baát ñaúng thöùc AM-GM, mong caùc baïn thoâng caûm. AÙp duïng baát ñaúng thöùc AM-GM, ta coù 42 a3 1 - ® ()a33 bc a33++()3 bc 2 pp a p 1 - ® .a33 .() bc abcppp++ 3 Töø ñaây, baèng caùch ñoàng nhaát heä soá, ta suy ra ñöôïc p = 2. Vaäy nhieäm vuï cuûa chuùng ta baây giôø laø kieåm tra tính ñuùng ñaén cuûa baát ñaúng thöùc aa32 ³ a3++() bc 3 abc 222 ++ Vôùi nhöõng laäp luaän nhö treân, ta ñi ñeán lôøi giaûi nhö sau Lôøi giaûi. Ta seõ chöùng minh aa32 ³ (*) a3++() bc 3 abc 222 ++ Thaät vaäy: 1 a (*) Û³222 a33++() bc abc++ Û(abc222233 ++ ) ³ aabc ( ++ ( )) Û2()()()abc222 +++ bc 222 ³+ abc 3 Û+(bc22 )(( ab 22 +++ ) ( ac 22 )) ³+ abc ( ) 3 Û+(b22 c )(( ab -+-+ ) 2 ( ac ) 2 ) 2( b 22 + cabcabc ) ( +³+ ) ( ) 3 Û+(b22222 c )(( ab -+-++ ) ( ac ) ) abcbc ( )( -³ ) 0 (ñuùng) 88
Vaäy (*) ñuùng. Töông töï, ta coù bb32 ³ b3++() ca 3 abc 222 ++ cc32 ³ c3++() ab 3 abc 222 ++ Do ñoù a333222 b c abc++ + + ³=1 a3++() bc 3 b 3 ++ () ca 3 c 3 ++ () ab 3 abc 222 ++ Þ ñpcm. Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi abc==. * Nhaän xeùt 1. Caû hai ví duï treân ñeàu söû duïng ñaúng thöùc appp+ b + c1()()ab abc ++ + abc ++ 1.== abcppp+ +ab + abc ++ Moät caâu hoûi ñaët ra cho ta laø khi naøo thì ta phaûi tìm p vaø khi naøo thì ta phaûi tìm ab, ? Coù leõ caùc baïn seõ hôi luùng tuùng ôû choã naøy nhöng thaät ra thì ta chæ caàn nhìn bieåu thöùc ôû ñeà baøi laø bieát ngay thoâi, chaúng haïn nhö ôû ví duï 1, xeùt baát ñaúng thöùc (2)8abc++ 2 ap £ 2()a22++ bcabcppp ++ Khi cho a®0,1 bc == thì ta coù VT®®1,0 VP neân baát ñaúng thöùc naøy khoâng theå ñuùng vôùi moïi soá döông abc,,. Ví duï 3. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng a333 b c abc++ ++³ ab22+++ bc 2222 ca 2 Nhaùp. 89
Nhaän xeùt raèng daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi abc==. Ta seõ tìm a sao cho baát ñaúng thöùc sau ñuùng 2a3 ³aaab +-(1) ab22+ AÙp duïng baát ñaúng thöùc AM-GM, ta coù 2a3 ® ab21- ab22+ aaa+-®(1) b abaa1- Töø ñaây, baèng caùch ñoàng nhaát heä soá, ta coù a=2 . Vaäy nhieäm vuï cuûa ta baây giôø laø kieåm chöùng tính ñuùng ñaén cuûa baát ñaúng thöùc 2a3 ³-2ab ab22+ Ta ñi ñeán lôøi giaûi nhö sau Lôøi giaûi. Ta coù 2a3 ³-2ab (*) ab22+ Thaät vaäy (*)(Ûbab -³ )02 (ñuùng) Vaäy (*) ñuùng. 22bc33 Töông töï, ta coù ³-2,2bc ³- ca bc22++ ca 22 Do ñoù 222abc333 + + ³++abc (ñpcm) ab22+++ bc 2222 ca Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi abc==. * Nhaän xeùt 2. 90
Baèng kinh nghieäm baûn thaân, toâi cho raèng ñieàu kieän caàn ñeå söû duïng phöông phaùp naøy vôùi caùc baát ñaúng thöùc thuaàn nhaát laø 1) Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi caùc bieán soá baèng caùc giaù trò trong moät taäp höõu haïn naøo ñoù (thöôøng taäp naøy chæ goàm coù 1 giaù trò, toái ña laø 2 giaù trò). 2) Baát ñaúng thöùc ñeà baøi cho laø toång cuûa moät daõy caùc bieåu thöùc ñoãi xöùng nhau vaø toàn taïi moät caùch chuaån hoùa ñeå moãi bieåu thöùc chæ coøn phuï thuoäc vaøo moät bieán soá hoaëc caùc bieåu thöùc laø hoaùn vò lieân tieáp cuûa nhau. Baây giôø ta seõ xeùt moät soá ví duï veà baát ñaúng thöùc coù ñieàu kieän Ví duï 4. Cho abc,,0> thoûa abc222++=3. Chöùng minh raèng 1114 +++.(abc ++³ )7 abc3 Nhaùp. Nhaän xeùt raèng ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi abc===1. Ta coù a222++=ÞÎ b c3 abc ,,() 0,3. Ta seõ tìm a sao cho baát ñaúng thöùc sau ñuùng vôùi moïi a Î()0,3 147 +.aa ³a (2 -+ 1) (*) a 33 Ta coù (*)Û=-+ £faaaa ()3aa32 4 (73) 30 Ta caàn tìm a sao cho faa( )£"Î 0() 0, 3 vaø faa ( ) =Û= 0 1. Ñeå coù ñöôïc ñieàu naøy ta caàn coù 1 f / (1)0=Û 9a -+- 873 aa =Û= 0 6 Baây giôø ta chæ coøn phaûi xeùt tính ñuùng ñaén cuûa baát ñaúng thöùc 91
1417 +.aa ³ .(2 -+ 1) a 363 Ta ñi ñeán lôøi giaûi nhö sau Lôøi giaûi. Ta coù a222++=ÞÎ b c3 abc ,,() 0,3. Ta seõ chöùng minh 1417 +.aa ³ .(2 -+ 1) ( ) a 363 Thaät vaäy ( )Û (aaa - 1)2 (6 - ) ³ 0 (ñuùng do 3 >> 0) Vaäy ( ) ñuùng. Töông töï, ta coù 1417 +.bb ³ .(2 -+ 1) b 363 1417 +.cc ³ .(2 -+ 1) c 363 Do ñoù 11141 + + +.(abc + + ) ³ .( a222 + b + c - 3) += 7 abc36 Þ ñpcm. Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi abc===1. Xin ñöôïc löu yù vôùi caùc baïn raèng khoâng phaûi luùc naøo ta cuõng löïa choïn haøm laø nhöõng haøm tuyeán tính hoaëc haøm luõy thöøa khoâng thoâi, maø ñoâi luùc ta caàn phaûi löïa choïn haøm phaân thöùc, haøm caên, Ví duï sau seõ cho chuùng ta thaáy roõ ñieàu ñoù Ví duï 5.(APMO 2005) Cho a, b , c>= 0 thoûa abc 8. Chöùng minh raèng abc2224 ++³ (1++ab33 )(1 ) (1 ++ bc 33 )(1 ) (1 ++ ca 33 )(1 ) 3 92
Lôøi giaûi. Ta coù 12 ³2 ">x 0 (*) 1+ x3 2 + x Thaät vaäy, ta coù (*)Û+ (2xx223 ) ³+ 4(1 ) Ûxx22(2)0 -³ (ñuùng) Vaäy (*) ñuùng. Do ñoù a224 a 2(,,)2 Sabc ³ == åå33 22 36 cyc(1++ab )(1 ) cyc (2+++a )(2 b ) 36 Sabc ( , , ) 1+ Sabc(,,) trong ñoù Sabcabc(,,)2()=+++++222 abbcca 222222 Theo baát ñaúng thöùc AM-GM, ta coù a2222++³= b c33 ( abc ) 12 ab2222224++³= bc ca33 ( abc ) 48 Þ³Sabc(,,) 72 Do ñoù a2 2 24 ³ ³ =Þñpcm. å 33 36 36 cyc (1++ab )(1 ) 11++3 Sabc(,,) 72 Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi abc===2. 93
BAØI TAÄP. Baøi 1. (IMO 2001) Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng abc222 ++³1 a222+++888 bc b ca c ab Baøi 2. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng a333 b c abc++ ++³ a222222++ ab b b ++ bc c c ++ ca a 3 Baøi 3. Cho abcd, , ,> 0. Chöùng minh raèng a4444 b c d abcd+++ +++³ (ababbcbccdcd22++ )()( 22 ++ )()( 2 ++ 2 )()( dada 22 ++ )() 4 Baøi 4. Cho abcd, , ,> 0 thoûa abcd +++= 1. Chöùng minh raèng 1 6()abcd333+++ 3 ³+++ abcd 222 2 + 8 Baøi 5. (Voõ Quoác Baù Caån) Cho abc,,0> . Chöùng minh raèng ()()()3()bca+-2 cab +- 2 abc +- 2 a 222 ++ b c ++³ 2()2()2()a2222222+ bc + b + ca + c + ab + 2() abc ++ Baøi 6. Cho abc,,02> thoûa abc ++= . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc 11ba33 11 cb 33 11 ac 33 P =++ ab+++444 b222 bc c ca a 94
Baøi 7. Cho abcd, , ,> 0. Chöùng minh raèng abcc +++³1 3333a3333++++63 bcd b 63 cda c 63 dab c 63 abc Baøi 8. Cho abc, ,> 0 thoûa abc333 ++= 3. Chöùng minh raèng 1 1 1 5 27 +++.()abc222 ++³ abc44 Baøi 9. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng (abc+- 3)(3)(3)1222 bca +- cab +- ++³ (abcbcacab++ )222 ( ++ )2 22 ( ++ )2 22 2 Baøi 10. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng (3abc++ )333 (3 bca ++ ) (3 cab ++ ) 375 ++£ (bcacababc++ )333 ( ++ )3 33 ( ++ )3 33 11 Baøi 11. Cho abc,, laø ñoä daøi ba caïnh cuûa moät tam giaùc. Chöùng minh raèng 1119æö 111 +++³4ç÷ ++ a b c abc+++++èø abbc ca Baøi 12. Cho xyz,,01> thoûa xyz ++= . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc xyz P =++ xyz2+++111 22 95
Baøi 13. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng 333 æöæöæöabc3 ç÷ç÷ç÷++³ èøèøèøbc+++ ca ab 8 Baøi 14. (Moldova 2005) Cho abc, ,> 0 thoûa abc444 ++= 3. Chöùng minh raèng 111 ++£1 444 ab bc ca Baøi 15. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng (abc+- )(2 bca +- )( 2 cab +- )9() 2 a 222 ++ b c ++³ (ab+ )32222222 + c ( bc + )3 + a ( ca + )3 + b 7( abc ++ ) Baøi 16. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng ()()()abc+-222222 bca +- cab +- a ++ b c ++³ 7(ab+ )2222222 + 17 c 7( bc + ) + 17 a 7( ca + ) + 17 b 5( abc ++ ) Baøi 17. Cho a,,01 b c>= thoûa abc . Chöùng minh raèng abc222+++111 ++£++abc 222 Baøi 18. Cho abc,,03> thoûa abc ++= . Chöùng minh raèng 1 1 13 ++³ 333abc777+++7772 96
Baøi 19. (Vasile Cirtoaje) Cho abcd,,,04³ thoûa abcd +++= . Chöùng minh raèng 1111 +++³2 abcd2222++++1111 Baøi 20. Cho abcd,,,04³ thoûa abcd +++= . Chöùng minh raèng abcd1 +++£ 53++++abcd2222 53 53 53 2 Baøi 21. (Olympic 30 - 4 - 2006) Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng abc444 ++£1 a4+++333( abac 6 6 )( 3 32 ) b 4 +++ ( bcba 6 6 )( 3 32 ) c 4 +++ ( cacb 6 6 )( 3 32 ) Baøi 22. (Japan 1997) Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng abc2223 ++³ abcbcacab222222++( ) ++ ( ) ++ ( )5 Baøi 23. (Phaïm Vaên Thuaän) Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng abc3331 ++³ a333333++( bc ) b ++ ( ca ) c ++ ( ab )3 Baøi 22. Cho abc, ,> 0. Chöùng minh raèng abc ++³1 a222222++2( bc ) b ++ 2( ca ) c ++ 2( ab ) Baøi 23. (Phaïm Kim Huøng, Voõ Quoác Baù Caån) Cho abcd, , ,³ 0 thoûa abcd +++=³ 4 vaø k 2. Chöùng minh raèng (ak++++1111+ 1)( b k + 1)( c k + 1)( d k +³++++ 1) ( abcd kkkk 1)( 1)( 1)( 1) 97
Baøi 24. Cho abc,,01> thoûa abc ++= . Chöùng minh raèng abc+++1 1 1 36 ++³ cbacba(2 ) (2 ) (2 ) 5 Baøi 25. (Romania 2005) Cho abc,,03> thoûa abc ++= . Chöùng minh raèng 111 ++³++abc222 abc222 Baøi 26. (Phaïm Vaên Thuaän) Cho abc,,03³ thoûa abc ++³ . Chöùng minh raèng 111 ++£1 a222++ bc b ++ ca c ++ ab 98
PHѬѪNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHѬѪNG S.O.S A. NӜI DUNG PHѬѪNG PHÁP. I. Bài toán mӣÿҫu và ÿӏnh lý. Thông thѭӡng, khi ÿӭng trѭӟc mӝt bài toán quen biӃt, cách chúng ta thѭӡng bҳt ÿҫu ÿӇ giҧi quyӃt không phҧi là thӱ mò mүm các bҩt ÿҷng thӭc ÿã biӃt, không phҧi là tìm ngay mӝt cách dӗn biӃn nào ÿó mà thông thѭӡng nhҩt là ÿѭa vӅ các dҥng bình phѭѫng. ĈLӅu này dӵa trên tính chҩt cѫ bҧn nhҩt cӫa sӕ thӵc “ xx2 ³0, "ÎR ”. Có Uҩt nhiӅu bài toán, cho dù bҥn chӫÿӝng hay vô tình, ÿӅu ÿã sӱ dөng phѭѫng pháp này trong chӭng minh. Tuy nhiên, rҩt có thӇ nhӳng ÿLӅu bҥn sҳp ÿӑc ÿѭӧc trong Pөc này sӁ làm bҥn thӵc sӵ ngҥc nhiên Chúng ta sӁ mӣÿҫu vӟi bҩt ÿҷng thӭc AM-GM, ÿây có thӇ coi là bҩt ÿҷng thӭc cѫ Eҧn nhҩt trong nhӳng bҩt ÿҷng thӭc cѫ bҧn. Nhѭng chúng ta chӍ tìm hiӇu bҩt ÿҷng thӭc này trong trѭӡng hӧp n rҩt nhӓ. Vӟi n = 2 chҷng hҥn, ta có bҩt ÿҷng thӭc Ví dө 1. 9ӟi mӑi ab,0³ , ta có bҩt ÿҷng thӭc a22+³ b2. ab 6Ӂ không có nhiӅu ÿLӅu cҫn phҧi bàn tӟi ӣ bҩt ÿҷng thӭc trên, ngay khi các bҥn hӑc YӅ sӕ thӵc thì viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿó quá dӉ. Bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿѭѫng Yӟi (ab-³ )02 mӝt ÿLӅu quá hiӇn nhiên. Bây giӡ, chúng ta xét tiӃp khi n = 3 và bҩt ÿҷng thӭc sau ÿây Ví dө 2. 9ӟi mӑi abc,,0³ , ta có bҩt ÿҷng thӭc a333++³ b c3. abc Khi hӓi vӅ mӝt cách chӭng minh thұt cө thӇ cho bҩt ÿҷng thӭc này, chúng ta sӁ cҧm thҩy có mӝt chút bӕi rӕi! Tҩt nhiên, bҩt ÿҷng thӭc trên không khó, lӡi giҧi chӍ trong duy nhҩt mӝt dòng 1 VTVP- =.( abcab ++ )(( - )222 +- ( bc ) +- ( ca ) ) 2 Và chҳc chҳn ÿây là cách làm thông minh nhҩt, vì chúng ta không phҧi qua mӝt Eѭӟc trung gian nào cҧ. Cҧ hai ví dө trên ÿӅu ÿѭӧc chӭng minh bҵng phѭѫng pháp 99
phân tích bình phѭѫng nhѭng theo mӝt nghƭa tѭѫng ÿӕi hҽp. Thuұn lӧi rҩt lӟn trong Oӡi giҧi bài toán bҵng cách này là viӋc sӱ dөng rҩt ít kiӃn thӭc “cao cҩp”, thұm chí Eҥn không cҫn biӃt bҩt kǤ mӝt ÿӏnh lý nào vӅ bҩt ÿҷng thӭc cҧ. Ngoài ra, nó còn là Pӝt phѭѫng pháp rҩt tӵ nhiên theo suy nghƭ cӫa chúng ta. 1Ӄu ÿӑc kƭ các bài toán ӣ chѭѫng trѭӟc, các bҥn ÿã gһp không ít nhӳng bài toán sӱ Gөng phѭѫng pháp này trong chӭng minh. Còn bây giӡ, chúng ta sӁ khái quát hóa cách sӱ dөng và ÿi tìm bҧn chҭt cӫa mӝt phѭѫng pháp cӵc kǤ hiӋu quҧ. Bài toán quan trӑng mà chúng ta phҧi xét ÿӃn trong mөc này là mӝt bҩt ÿҷng thӭc Qәi tiӃng ÿã ÿѭӧc giӟi thiӋu ӣ chѭѫng trѭӟc, bҩt ÿҷng thӭc Iran 96. Bài toán 1. (Iran 96) 9ӟi mӑi sӕ thӵc abc,, không âm, ta có æö1 1 19 ()ab++++³ bc ca ç÷222 èø()()()ab+++ bc ca 4 Ĉây cǊng là bài toán có hình thӭc phát biӇu rҩt ÿѫn giҧn và ÿҽp mҳt. Ngoài ra, nó còn là mӝt bҩt ÿҷng thӭc rҩt khó khi bҥn chѭa ÿѭӧc tiӃp cұn trѭӟc ÿó. Nhѭng trѭӟc tiên, chúng ta hãy xem lҥi bҩt ÿҷng thӭc trong kǤ thi IMO 2005 và tìm mӝt chӭng minh thұt tӵ nhiên cho nó. Ví dө 3. (IMO 2005) xyz,, là các sӕ thӵc dѭѫng thӓa xyz ³ 1. Chӭng minh xxyyzz52 5 2 52 ++³0 xyz522++ yzx 522 ++ zxy 522 ++ Chͱng minh. Không mҩt tính tәng quát ta chӍ cҫn xét trѭӡng hӧp xyz = 1 là ÿӫ (các bҥn hãy tӵ tìm hiӇu lý do tҥi sao nhé!). Khi ÿó, ta có x52- x x 52 - x. xyz x 42 - x yz 2() x 4222 -+ x y z = =³ xyz522++x5++() y 22 z xyz x 4 ++()2() yzyzx 22 4 ++ yz 222 Ĉһt axbycz===2,, 22. Khi ÿó, ta chӍ cҫn chӭng minh 100
2a2 -+ abc () å 22³ 0 cyc 2()a++ bc æöab Û ³å()0abç÷2222 cyc èø2()2()abcbca++ ++ 2 22 2 c++++- ac bc a b ab Û-³å().0ab 2222(ñuùng) cyc (2abcbca++ ( ))(2 ++ ( )) Þ ÿpcm. Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc==Û=== x yz1. Chӭng minh trên không phҧi là cách duy nhҩt, có thӇ còn nhiӅu chӭng minh ÿӝc ÿáo hѫn. Nhѭng nӃu xem xét khách quan thì chӭng minh trên hoàn toàn rҩt tӵ nhiên và cѫ bҧn. Nói khái quát, khi ÿӭng trѭӟc mӝt bҩt ÿҷng thӭc bҩt kǤ ba biӃn abc,, ta VӁ tìm cách ÿѭa chúng vӅ dҥng tәng các bình phѭѫng ký hiӋu 222 Sbcabc()()()0-+ Sc -+ a Sab -³ Phҫn ÿѭa vӅ dҥng chính tҳc trên là bѭӟc ÿҫu tiên trong cách sӱ dөng phѭѫng pháp S.O.S. NӃu bҥn ÿã khá quen vӟi bҩt ÿҷng thӭc thì viӋc lұp công thӭc trên là tѭѫng ÿӕi ÿѫn giҧn, chӍ cҫn biӃt qua mӝt sӕ phép biӃn ÿәi và hҵng ÿҷng thӭc, còn nӃu bҥn chѭa quen, thì các thҳc mҳc sӁ ÿѭӧc giҧi quyӃt trong mөc “BiӇu diӉn cѫ sӣ cӫa phѭѫng pháp S.O.S và mӝt sӕ kӻ thuұt phân tích”. 7ҩt nhiên, nӃu trong biӇu diӉn cѫ sӣÿó, các hӋ sӕ SSSabc,,ÿӅu không âm thì bài toán ÿѭӧc chӭng minh. Tӯ trѭӟc tӟi nay, ÿây vүn là cách bҥn thѭӡng làm nhѭng ÿây chӍ là trѭӡng hӧp ÿѫn giҧn nhҩt trong kӻ thuұt chӭng minh cӫa phѭѫng pháp S.O.S. ĈLӅu quan trӑng hѫn, S.O.S giúp chúng ta giҧi quyӃt các trѭӡng hӧp mà theo quan niӋm cǊ là không thӇ áp dөng ÿѭӧc “có mӝt hӋ sӕ trong SSSabc,, không Gѭѫng”. Thông thѭӡng, trong các bài toán ÿӕi xӭng ta có thӇ giҧ sӱ abc³³. Vӟi các bài toán hoán vӏ thì phҧi xét thêm trѭӡng hӧp abc££. Trong trѭӡng hӧp abc³³, ta có các nhұn xét sau 2 22 1. NӃu Sb ³ 0, do ()()()ac-³-+- ab bc nên 101