Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương I+II (Tập 1) - Năm học 2017-2018

pdf 95 trang Đức Chiến 03/01/2024 210
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương I+II (Tập 1) - Năm học 2017-2018", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_hinh_hoc_lop_11_chuong_iii_tap_1_nam_hoc_2017_2018.pdf

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương I+II (Tập 1) - Năm học 2017-2018

  1. Giáo Viên Tr ường THPT Tuy Phong TOÁN 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG TẬP 1 CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG
  2. LỜI NĨI ĐẦU Quý đọc gi ả, quý th ầy cơ và các em h ọc sinh thân m ến! Nh ằm giúp các em h ọc sinh cĩ tài li ệu t ự h ọc mơn Tốn, tơi biên so ạn cu ốn gi ải tốn tr ọng tâm c ủa l ớp 11. ộ ủ ố ệ ươ ẩ N i dung c a cu n tài li u bám sát ch ng trình chu n và ch ươ ng trình nâng cao v ề mơn Tốn đã được B ộ Giáo d ục và Đào t ạo quy định. Nội dung g ồm 3 ph ần Ph ần 1. Ki ến th ức c ần n ắm Ph ần 2. D ạng bài t ập cĩ h ướng d ẫn gi ải và bài t ập đề ngh ị ầ ầ ắ ệ đ Ph n 3. Ph n tr c nghi m cĩ áp án. Cu ốn tài li ệu được xây d ựng s ẽ cịn cĩ nh ững khi ếm khuy ết. R ất mong nh ận được s ự gĩp ý, đĩng gĩp c ủa quý đồng nghi ệp và các em học sinh. Mọi gĩp ý xin g ọi v ề s ố 01655.334.679 – 0916.620.899 Email: lsp0207@yahoo.com.vn lsp02071980@gmail.com Chân thành c ảm ơn. Tác gi ả Lư S ĩ Pháp Gv_Tr ường THPT Tuy Phong
  3. MỤC L ỤC CH ƯƠ NG I. PHÉP D ỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG D ẠNG TRONG M ẶT PH ẲNG §1. PHÉP BI ẾN HÌNH Trang 1 §2. PHÉP T ỊNH TI ẾN Trang 1 §3. PHÉP ĐỐI X ỨNG TR ỤC Trang 5 §4. PHÉP ĐỐI X ỨNG TÂM Trang 10 §5. PHÉP QUAY Trang 13 §6. KHÁI NI ỆM V Ề PHÉP D ỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH B ẰNG NHAU Trang 18 §7. PHÉP VỊ T Ự Trang 20 §8. PHÉP ĐỒNG D ẠNG Trang 25 ƠN T ẬP CH ƯƠ NG I Trang 29 TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG I Trang 33 ĐÁP ÁN Trang 39 CH ƯƠ NG II. ĐƯỜNG TH ẲNG VÀ M ẶT PH ẲNG TRONG KHƠNG GIAN QUAN H Ệ SONG SONG §1. ĐẠI C ƯƠ NG V Ề ĐƯỜNG TH ẲNG VÀ M ẶT PH ẲNG Trang 40 §2. HAI ĐƯỜNG TH ẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG TH ẲNG SONG SONG Trang 50 §3. ĐƯỜNG TH ẲNG VÀ M ẶT PH ẲNG SONG SONG Trang 57 §4. HAI M ẶT PH ẲNG SONG SONG Trang 64 §5. PHÉP CHI ẾU SONG SONG. HÌNH BI ỂU DI ỄN C ỦA M ỘT HÌNH TRONG KHƠNG GIAN Trang 70 ƠN T ẬP CH ƯƠ NG II Trang 73 TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG II Trang 83 ĐÁP ÁN Trang 91
  4. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp CH ƯƠ NG I PHÉP D ỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG D ẠNG TRONG M ẶT PH ẲNG o0o § 1. PHÉP BI ẾN HÌNH KI ỀN TH ỨC C ẦN N ẮM - Quy t ắc đặt t ươ ng ứng m ỗi điểm M c ủa m ặt ph ẳng v ới m ột điểm xác định duy nh ất M’ c ủa m ặt ph ẳng đĩ được g ọi là phép bi ến hình trong m ặt ph ẳng. - Ta th ường kí hi ệu phép bi ến hình là F và vi ết F(M) = M’ hay M’ = F(M), khi đĩ M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép bi ến hình F. - Phép bi ến hình bi ến mỗi điểm c ủa m ặt ph ẳng thành chính nĩ được g ọi là phép đồng nh ất. - Nếu H là m ột hình nào đĩ trong m ặt ph ẳng thì ta kí hi ệu H’ = F(H) là t ập các điểm M’ = F(M), với m ọi điểm M thu ộc H. Khi đĩ ta nĩi F bi ến hình H thành H’ hay H’ là ảnh c ủa H qua phép bi ến hình F. - Để ch ứng minh hình H’ là ảnh c ủa hình H qua phép bi ến hình F, ta cĩ th ể ch ứng minh: V ới điểm M tu ỳ ý MH∈⇔ M' = FM ( ') ∈ H ' - Với m ỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng v ới M thì ta c ũng được m ột phép bi ến hình. Phép bi ến hình đĩ g ọi là phép đồng nh ất. § 2. PHÉP T ỊNH TI ẾN VÀ PHÉP D ỜI HÌNH A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẰM I. Phép t ịnh ti ến 1. Định ngh ĩa phép tinh ti ến - Trong m ặt ph ẳng cho vect ơ v . Phép bi ến hình biến m ỗi điểm M thành điểm M’ sao cho = MM' v được g ọi là phép t ịnh ti ến theo vect ơ v . - Phép t ịnh ti ến theo vect ơ v thường được kí hi ệu là T . Nh ư v ậy TM ()= M ' ⇔ MM ' = v v v - Phép t ịnh ti ến theo vect ơ_khơng được g ọi là phép đồng nh ất. 2. Bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép t ịnh ti ến - Trong m ặt ph ẳng to ạ độ O xy , cho điểm Mxy(;); v= (;) ab . G ọi M'= TM ( ) = (';') xy . v x' = x + a - Khi đĩ  gọi là bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép t ịnh ti ến theo vect ơ v . y' = y + b - Vận d ụng: Mxy'(';')= Mxy (;) + vab (;) 3. Các tính ch ất c ủa phép t ịnh ti ến Phép t ịnh ti ến: - Bảo tồn kho ảng cách giữa hai điểm b ất kì; - Bi ến ba điểm th ẳng hàng thành ba điểm th ẳng hàng và khơng làm thay đổi th ứ ba điểm đĩ; - Bi ến m ột đường th ẳng thành đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới đường th ẳng đã cho; - Bi ến m ột đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng b ằng đoạn th ẳng đã cho; - Biến m ột tam giác thành tam giác b ằng tam giác đã cho; - Bi ến m ột đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính; - Bi ến gĩc thành gĩc b ằng gĩc đã cho. II. Phép d ời hình 1. Định ngh ĩa - Phép d ời hình là m ột phép bi ến hình b ảo tồn kho ảng cách gi ữa hai điểm b ất kì - Các phép t ịnh ti ến, đối x ứng tr ục, đối x ứng tâm và phép quay đều là nh ững phép d ời hình - Nếu th ực hi ện liên ti ếp hai phép d ời hình, ta được m ột phép d ời hình. 1 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  5. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2. Tính ch ất Phép d ời hình - Bi ến ba điểm th ẳng hàng thành ba điểm th ẳng hàng và b ảo toan th ứ t ự ba điểm ấy; - Bi ến đường th ẳng thành đường th ẳng, bi ến tia thành tia, bi ến đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng b ằng nĩ; - Bi ến m ột tam giác thành tam giác b ằng đã cho, bi ến m ột gĩc thành gĩc b ằng gĩc đã cho; - Biến đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính. 3. Tích c ủa hai phép bi ến hình Cho hai phép bi ến hình F và G, gi ả s ử M là m ột điểm b ất kì, phép bi ến hình F(M) = M’ và phép bi ến hình G(M’ ) = M”. Khi đĩ phép bi ến hình bi ến điểm M thành điểm M” đươ c g ọi là h ợp thành c ủa phép F và G, kí hi ệu F G B. BÀI T ẬP Bài 2.1. Cho hai đường th ẳng song song a và a' . Tìm t ất c ả nh ững phép t ịnh ti ến bi ến a thành a' . HD Gi ải Lấy điểm A trên a thì v ới m ỗi điểm A’ trên a' , phép t ịnh ti ến theo vect ơ AA ' bi ến a thành a' . Đĩ là t ất cả nh ững phép t ịnh ti ến c ần tìm. Bài 2.2. Cho hai phép t ịnh ti ến T và T . V ới điểm M bất kì, T bi ến điểm M thành M’, T bi ến điểm u v u v M’ thành M”. Ch ứng t ỏ r ằng phép bi ến hình bi ến điểm M thành M” là m ột phép t ịnh ti ến. HD Gi ải Ta cĩ MM"= MM ' + MM ' '' =+ u v nên phép bi ến điểm M thành M” là phép t ịnh ti ến theo vect ơ u+ v Bài 2.3. Cho đường trịn ( O) và hai điểm A, B . M ột điểm M thay đổi trên đường trịn ( O). Tìm qu ỹ tích điểm M’ sao cho MB= MA + MM ' . HD Gi ải Ta g ọi O và R là tâm và bán kính c ủa đường trịn ( O), Ta cĩ O' M' MM' = MB − MA = AB nên phép t ịnh ti ến theo vect ơ AB bi ến điểm M thành M’ . Điểm M ch ạy trên đường trịn ( O) thì qu ỹ tích B của điểm M’ là đường trịn (O’ ) cĩ tâm O’ và bán kính R là ảnh M của đường trịn ( O) qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ AB . O A Bài 2.4. Cho hai điểm B và C cố định trên đường trịn (O) tâm O, điểm A di động trên đường trịn ( O). Ch ứng minh r ằng khi A di động trên đường trịn ( O) thì tr ực tâm c ủa tam giác ABC di động trên m ột đường trịn. HD Gi ải Gọi H là tr ực tâm c ủa tam giác ABC và M là trung điểm c ủa BC . Tia OB cắt đường trịn ngo ại ti ếp tam giác ABC tại D. Vì A = 0 BCD 90 nên DC // AH , t ươ ng t ự ta cĩ AD // CH D Do đĩ t ứ giác ADCH là hình bình hành . T ừ đĩ suy ra AH= DC = 2 OM . Ta th ấy r ằng OM khơng đổi, nên H là ảnh O của A qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ 2 OM . Do v ậy khi điểm A di động trên đường trịn ( O) thì H di động H trên đường trịn ( O’ ) là ảnh c ủa ( O) qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ B M C 2OM . Bài 2.5. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ O xy , cho v(− 2;3) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 3x− 5 y + 30 = . Vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d’ là ảnh của d qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v . 2 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  6. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Gi ải Cách 1. xx'=− 2  xx =+ '2 Gọi Mxy(;)∈ dM , ' = TM ( ) = (';') xy . Khi đĩ ⇒  v yy'=+ 3  yy =− '3 Ta cĩ Mdx∈⇔3('2)5('3)3 +− y −+=⇔ 0 3'5'24 xy −+=⇔ 0 Md ' ∈ ' Vậy d':3 x− 5 y + 24 = 0 Cách 2. Lấy m ột điểm thu ộc d, ch ẳng h ạn M(-1; 0). Khi đĩ M'= T ( M ) = ( − 3;3) thu ộc d’ . v Vì d’ song song ho ặc trung v ới d nên d’ : 3 x – 5y + c = 0. Do M'∈ d ' nên 3(-3) – 5.3 + c = 0 suy ra c = 24. V ậy d':3 x− 5 y + 24 = 0 Cách 3. Ta c ũng cĩ th ể l ấy hai điểm phân bi ệt M, N trên d, tìm to ạ độ các ảnh M’ , N’ tươ ng ứng c ủa chúng qua T . Khi đĩ d’ là đường th ẳng M’N’ v Bài 2.6. Trong m ặt ph ẳng O xy , cho đường trịn ( C) cĩ ph ươ ng trình x2+ y 2 −2 x + 4 y −= 40 . Tìm ảnh c ủa ( C) qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v(− 2;3) . HD Gi ải Cách 1. Ph ươ ng trình đường trịn ( C) cĩ tâm I(1; -2), bán kính R = 3. G ọi I'= T ( I ) = ( − 1;1) và ( C’ ) là ảnh c ủa v (C) qua T thì ( C’) là đường trịn tâm I’ , bàn kính R = 3. Do đĩ ( C’ ): (x+ 1)2 + ( y − 1) 2 = 9 v Cách 2. Gọi I(x; y) là tâm c ủa đường trịn ( C) và I'= TI () = (';') xy . Khi đĩ bi ểu th ức to ạ độ c ủa T là v v xx'=− 2  xx =+ '2 ⇒  thay vào ( C), ta được yy'=+ 3  yy =− '3 ('2)xyxy+2 +− ('3) 2 − 2('2) ++ 4('3) −−=⇔++−= 4 0 ( xy 1)2 ( 1) 2 9 Vậy ( C’ ): (x+ 1)2 + ( y − 1) 2 = 9 Bài 2.7. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ O xy , cho điểm A(-3;3), B(1;3) và đường trịn ( C) cĩ tâm I(3;1), bán kính R = 1. Đường th ẳng d: x + y – 1 = 0. Tìm trên d một điểm M và trên ( C) điểm M’ sao cho MM' = AB . HD Gi ải Ta cĩ AB = (4;0) , T : Mxy (,)→ Mxy '(',') , nên ta cĩ bi ểu th ức to ạ độ theo T : AB AB xx'=+ 4  xx =− '4 ⇔  . T : d→ d ' , ph ươ ng trình đường th ẳng d’: x + y – 5 = 0. yy'=  yy = ' AB Ta cĩ Md∈ ⇒ M'∈ d ' và M'∈ ( C ) , nên to ạ độ c ủa điểm M’ là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình : x+ y −5 = 0 x=3, y = 2  ⇔  (x− 3)2 +− ( y 1) 2 = 1 x=4, y = 1 Vậy M1’(3, 2) thì M1(-1,2) và M2’(4,1) thì M2(0,1). 3 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  7. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 2.8 .Trong m ặt ph ẳng to ạ độ O xy , cho điểm A(-3, 3) và B(-1, 6). a) Tìm to ạ độ điểm M’ là ảnh c ủa M(4, -5) qua phép t ịnh ti ến T ; AB x=4 + 2 t b) Xác định ph ươ ng trình c ủa đường th ẳng d’ là ảnh c ủa đường th ẳng d:  qua phép t ịnh y= −7 + 3 t ti ến T ; AB c) Xác định ph ươ ng trình đường trịn ( C’ ) là ảnh c ủa đường trịn ( C): x2 + y2 – 4x + 8 y – 5 = 0 qua phép t ịnh ti ến T . AB Bài 2.9. Trong m ặt ph ẳng O xy , cho vect ơ u(− 1;2) , hai điểm A(3;5), B(-1;1) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x – 2y + 3 = 0. a) Tìm to ạ độ c ủa các điểm A’, B’ theo th ứ t ự là ảnh c ủa A, B qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ u ; b) Tìm to ạ độ điểm C sao cho A là ảnh c ủa C qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ u ; c) Tìm ph ươ ng trình c ủa đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ u . Bài 2.10 . Cho đoạn th ẳng AB và đường trịn ( C) tâm O, bán kính R nằm v ề m ột phía đối v ới đường th ằng AB . L ấy điểm M trên ( C), r ối d ựng hình bình hành ABMM’ . Tìm t ập h ợp các điểm M’ khi M di động trên (C) Bài 2.11. Cho hình bình hành ABCD . D ựng ảnh c ủa tam giác ABC qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ AD . Bài 2.12. Cho tam giác ABC cĩ G là tr ọng tâm. Xác định ảnh c ủa tam giác ABC qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ AG . Xác định điểm D sao cho phép t ịnh ti ến theo vect ơ AG bi ến D thành A. 4 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  8. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §3. PHÉP ĐỐI X ỨNG TR ỤC A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Định ngh ĩa Phép đối x ứng qua đường th ẳng d là phép bi ến hình bi ến m ỗi điểm M thành điểm M’ đối x ứng v ới M qua d. - Kí hi ệu: Đd (Đường th ẳng d gọi là tr ục đối x ứng) ∈ ≡ - Nếu M d thì Đd(M) = M' M ∉ ⇔ = − - Nếu M' d thì d là đường trung tr ực c ủa đoạn MM’ . Nh ư v ậy M’ = Đd(M) MM0' MM 0 , với M0 là hình chi ếu c ủa M trên d - M’ = Đd(M) ⇔ M = Đd(M’ ) 2. Tr ục đối x ứng c ủa m ột hình Đường th ẳng d gọi là tr ục đối x ứng c ủa hình H nều Đd bi ến H thành chính nĩ. Khi đĩ H được g ọi là hình cĩ tr ục đối x ứng. 3. Bi ểu th ức to ạ độ Trong m ặt ph ẳng h ệ tr ục to ạ độ vuơng gĩc O xy , v ới m ỗi điểm M(x; y). Gọi M’ = Đd(M) = ( x’; y’ ) x' = x • Nếu ch ọn d là tr ục O x ngh ĩa là ĐOx (M) = M’ khi đĩ ta cĩ:  y' = − y x' = − x • Nếu ch ọn d là tr ục O y ngh ĩa ĐOy (M) = M’ khi đĩ ta cĩ:  y' = y • Nếu ch ọn d là đường th ẳng cĩ ph ươ ng trình Ax + By + C = 0 v ới A2+ B 2 ≠ 0 .  2A ( Ax+ By + C ) x' = x −  A2+ B 2 Đd(M) = M’ , khi đĩ ta cĩ  2B ( Ax+ By + C ) y' = y −  A2+ B 2 4. Tính ch ất Phép đối x ứng tr ục - Bảo tồn kho ảng cách gi ữa hai điểm b ất kì; - Bi ến đường th ẳng thành đường th ẳng; - Bi ến đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng b ằng nĩ; - Bi ến tam giác thành tam giác b ằng nĩ; - Bi ến đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính. B. BÀI T ẬP Bài 3.1. Trong m ặt ph ẳng O xy , cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh c ủa A, B và đường th ẳng AB qua phép đối x ứng tr ục O x. HD Gi ải x' = x Gọi A’, B’ lần l ượt là ảnh c ủa A, B qua phép đối x ứng tr ục O x, ta cĩ bi ểu th ức to ạ độ  y' = − y Do đĩ ĐOx (A) = A’(1;2), ĐOx (B) = B’ (3;-1) và ĐOx (AB ) = A’B’ : 3 x + 2 y – 7 = 0. Bài 3.2. Trong m ặt ph ẳng O xy , cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 3 x – y + 2 = 0. Vi ết ph ươ ng trình c ủa đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d qua phép đối x ứng tr ục O y. HD Gi ải x'=− x  x =− x ' Cách 1. Lấy điểm b ất kì Mxy( ; ) ∈ d . G ọi M’ = Đd(M) = ( x’; y’ ). Khi đĩ ⇒  yy'=  yy = ' 5 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  9. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Ta cĩ Md∈ ⇔−3' xy − '2 + = 0 ⇔ M’ thu ộc đường th ẳng d’ cĩ ph ươ ng trình 3 x’ + y’ – 2 = 0. Vậy d’ : 3 x + y – 2 = 0. Cách 2. Lấy hai điểm A(0;2) và B(-1;-1) thu ộc d. G ọi A’ = Đd(A) = (0;2) và B’ = Đd(B) = (1;-1) Khi đĩ d’ = ĐOy(d) thì d’ qua hai điểm A’ và B’ . Vậy d’ : 3 x + y – 2 = 0. Bài 3.3. Trong m ặt ph ẳng O xy , cho điểm M(1;5), đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x – 2y + 4 = 0 và đường trịn ( C): x2+ y 2 −2 x + 4 y −= 40 a) Tìm ảnh c ủa M, d và ( C) qua phép đối x ứng tr ục O x. b) Tìm ảnh c ủa M qua phép đối x ứng tr ục d. HD Gi ải a) Gọi M’ , d’ và ( C’ ) theo th ứ t ự là ảnh c ủa M, d và ( C) qua phép đối x ứng tr ục O x. Khi đĩ M’ (1;-5). d’ : x + 2 y + 4 = 0 Đường trịn ( C) cĩ tâm I(1;-2) và bán kính R = 3. G ọi I’ = ĐOx(I) = (1;2). Do đĩ ( C’ ) là đường trịn cĩ tâm I’ và bán kính b ằng 3. V ậy ( C’ ): (x− 1)2 +− ( y 2) 2 = 9 b) Cách 1. Ta cĩ M∉ d . G ọi M” = Đd(M) = ( x’; y’ )  2A ( Ax+ By + C )  2.1(1− 2.5 + 4) x' = x − x '= 1 − = 3 2+ 2  12+ ( − 2) 2 Bi ểu th ức to ạ độ đối x ứng qua tr ục d: A B ⇒  . 2(B Ax++ By C ) 2.(2)(12.54) −−+ y'=− y  y '5 =− = 1 A22+ B  1 22 + ( − 2) Vậy M’’ (3;1) Cách 2. (V ận d ụng ND ĐN) Ta cĩ M∉ d . G ọi d1 là đường th ẳng qua M và vuơng gĩc v ới d. V ậy d1: 2 x + y – 7 = 0 x−+=240 y  x = 2 Gọi giao điểm c ủa d và d1 là M0 cĩ to ạ độ tho ả mãn h ệ ph ươ ng trình ⇔  2x+−= y 70  y = 3 ⇔ = − Vậy M0(2;3). G ọi M” = Đd(M) = ( x’; y’ ) MM0'' MM 0 . T ừ đĩ suy ra M” (3; 1) Bài 3.4. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc O xy cho đường th ẳng d: 2 x – y – 3 = 0. a) Tìm ảnh điểm M’ của điểm M(4; -1) qua phép đối x ứng tr ục Đd. b) Vi ếi phươ ng trình đường th ẳng d1’ là ảnh c ủa d1: x – 3y + 11 = 0 qua phép Đd. 2 2 c) Vi ết ph ươ ng trình ( C’ ) là ảnh c ủa đường trịn ( C): x + y – 10 x – 4y + 27 = 0 qua phép Đd. HD Gi ải Bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép đối x ứng tr ục Đd: 4(2x− y − 3)  3 4 12 xx'=−  xxy ' =−++ 5  555 ⇔  2(2x− y − 3) 4 3 6 yy'=+  yxy ' =+− 5  555 4 7  a) Đd:M(4; -1) → M’ (x’; y’ ). Suy ra M '− ;  5 5  ∈ ∈ → ∈ ' b) Lấy điểm tu ỳ ý Mxy( ; ) d 1 . Đd: Mxy(;) d1 Mxy '(';') d 1 và ng ược, nên ta cĩ 3 412  3 4 12 x'=−++ xy  xxy =− ' + ' + 555  555 ⇒  436 436 yxy'=+−  yxy =+− ' ' 555  555 Thay vào d1 ta cĩ được ph ươ ng trình đường d1’: 3 x + y – 17 = 0. c) Ph ươ ng trình đường trịn ( C) cĩ tâm I(5; 2) và bán kính R = 2 . Do đĩ Đd: I(5; 2) → I’ (1; 4) Khi đĩ Đd: ( C) → (C’ ) cĩ tâm I’ và bán kính R = 2 Vậy ( C’ ): (x – 1) 2 + ( y – 4) 2 = 2 6 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  10. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 3.5. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc O xy cho điểm M(3; -5), đường th ẳng ∆ : 3 x – 2y – 6 = 0 và đường trịn ( C): x2 + y2 – 2x + 4 y – 4 = 0. Tìm ảnh c ủa M, đường th ẳng ∆ và đường trịn ( C) qua phép đối x ứng tr ục d: a) d là tr ục hồnh b) d là tr ục tung c) d là đường th ẳng x – y + 1 = 0. HD Gi ải x' = x a) Khi d là tr ục hồnh, nên bi ểu th ức to ạ độ c ủa Đd:  y' = − y Đd :M → M’ nên M’ (3; 5) Đd: ∆ → ∆ ' nên cĩ ph ươ ng trình: 3 x + 2 y – 6 = 0 2 2 Đd: ( C) → (C’ ) nên cĩ ph ươ ng trình: x + y – 2x – 4y – 4 = 0. x' = − x b) Khi d là tr ục tung, nên bi ểu th ức to ạ độ c ủa Đd:  y' = y Đd :M → M’ nên M’ (-3; -5) Đd: ∆ → ∆ ' nên cĩ ph ươ ng trình: 3 x + 2 y + 6 = 0 2 2 Đd: ( C) → (C’ ) nên cĩ ph ươ ng trình: x + y + 2 x + 4 y – 4 = 0. x'= y − 1 c) Khi d là đường th ẳng x – y + 1 = 0 nên cĩ bi ểu th ức to ạ độ c ủa Đd:  y'= x + 1 Đd :M → M’ nên M’ (-6; 4) Đd: ∆ → ∆ ' nên cĩ ph ươ ng trình: 2x – 3y + 11 = 0 Đường trịn (C) cĩ tâm I(1; -2) và bán kính R = 3. Do đĩ Đd :I → I’ nên I’ (-3; 2) 2 2 Đd: ( C) → (C’ ) cĩ t ậm I’ và bán kính b ằng 3.V ậy ( C’ ): x + y + 6 x – 4y + 4 = 0. Bài 3.6. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc O xy cho hai đường th ẳng d 1: x – 5y + 7 = 0 và d 2: 5 x – y – 13 = 0. Tìm phép đối x ứng tr ục bi ến đường th ẳng d1 thành đường th ẳng d2. HD Gi ải Ph ươ ng trình đường th ẳng d1: x – 5 y + 7 = 0 và d2: 5 x – y – 13 = 0. Suy ra d1 và d2 cắt nhau nên phép đối xứng tr ục bi ến đường th ẳng d 1 thành đường th ẳng d2 cĩ tr ục là đường phân giác c ủa gĩc t ạo b ởi d1 và d2. Ph ưong trình đường phân giác c ủa gĩc t ạo b ởi d1 và d2 là: xy−+5 7 5 xy −− 13 xy−+5 7 5 xy −− 13 x+ y −5 = 0 = ⇔ =± ⇔  125+ 251 + 26 26 x− y −1 = 0 x'= − y + 5 Khi d cĩ ph ươ ng trình x + y – 5 = 0 ta cĩ bi ểu th ức to ạ độ Đd:  y'= − x + 5 x'= y + 1 Khi d cĩ ph ươ ng trình x – y – 1 = 0 ta cĩ bi ểu th ức to ạ độ Đd:  y'= x − 1 Bài 3.8. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc O xy cho hai đường th ẳng d1: x + 3 y – 6 = 0 và d2: 3 x + y + 2 = 0. Tìm phép đối x ứng tr ục bi ến đường th ẳng d1 thành đường th ẳng d2. HD Gi ải Tr ục đối x ứng bi ến đường th ẳng d1 thành đường th ẳng d2 là tr ục d: Đường phân giác c ủa gĩc t ạo b ởi d1 và xy+−363 xy ++ 2 xy+−36 3 xy ++ 2 x− y +4 = 0 d2 : = ⇔ =± ⇔  19+ 91 + 10 10 x+ y −1 = 0 Bài 3.9. Cho đường th ẳng a và hai điểm A, B. Hãy tìm điểm M∈ a sao cho: MA + MB đạt giá tr ị nh ỏ nh ất khi A và B nằm cùng m ột phía đối v ới a. HD Gi ải 7 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  11. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Gọi A’ là ảnh c ủa A qua phép đối x ứng tr ục Đa. M là điểm b ất kì A thu ộc a ta cĩ: MA'= MA⇒ MA+ MB = MA ' + MB ≥ AB ' Do đĩ MA + MB đạt B giá tr ị nh ỏ nh ất khi b ằng A’B I Điều này x ảy ra ki và ch ỉ khi A’, M, B th ẳng hàng ngh ĩa là M là a M M' giao điểm c ủa A’B với a. Vậy: MA + MB đạt giá tr ị nh ỏ nh ất khi M trùng v ới M’ là giao điểm c ủa A’B và đường th ẳng a. A' Bài 3.10. Trong m ặt ph ẳng h ệ tr ụa to ạ độ O xy , cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4), Tìm điểm M trên tr ục hồnh sao cho MA + MB bé nh ất. HD Gi ải Ta cĩ yA.y B > 0 nên A, B nằm cùng phía đối v ới O x. Gọi A’ là ảnh c ủa A qua phép đối x ứng tr ục O x và M(x; 0). Suy ra A’(1; -2) Ta cĩ MA + MB = MA ’ + MB ≥ A' B Vậy ( MA + MB ) nh ỏ nh ất ⇔ (MA ’ + MB ) nh ỏ nh ất ⇔MA' + MB = AB ' Dấu b ằng xảy ra khi và ch ỉ khi A’ , M, B th ẳng hàng. (1) Ta l ại cĩ: AB'= (2;6), AM ' = ( x − 1;2) 5 5  Do (1) ⇔ A' B cùng ph ươ ng A' M ⇔2.2 − 6(x −=⇔= 1) 0 x . V ậy M ;0  3 3  Bài 3.11. Cho gĩc nh ọn xOy và m ột điểm A nằm trong gĩc đĩ. Hãy xác định điểm B trên O x và điểm C trên O y sao cho tam giác ABC cĩ chu vi nh ỏ nh ất. HD Gi ải Xét tam giác b ất kì ABC cĩ B và C lần l ượt n ằm O trên hai tia O x và O y. G ọi A’ và A’’là các điểm đối xứng c ủa A qua các đường th ẳng O x, O y. G ọi 2p là chu vi c ủa tam giác ABC A'' B Ta cĩ A' C 2p=++= AB BC CA A ' B ++ BC CA "'" ≥ A A . Dấu b ằng x ảy ra khi b ốn điểm A’, B, C, A” th ẳng hàng. Suy ra chu vi c ủa tam giác ABC bé nh ất ph ải l ấy B A và C lần l ượt là giao điểm c ủa đoạn th ẳng A’A” với hai tia O x, O y.(các giao điểm này t ồn được vì gĩc xOy nh ọn) Bài 3.12. Cho hai điểm B và C cố định trên đường trịn ( O) tâm O, điểm A di động trên đường trịn ( O). Ch ứng minh r ằng khi A di động trên đường trịn ( O) thì tr ực tâm c ủa tam giác ABC di động trên m ột đường trịn. HD Gi ải Gọi I, H’ theo th ứ t ự là giao c ủa tia AH v ới BC và đường trịn A (O). Ta cĩ BAH= HCB (gĩc cĩ c ạnh t ươ ng ứng vuơng gĩc) BAH= BCH ' (cùng ch ắn m ột cung) O Vậy tam giác CHH’ cân t ại C, suy ra H đối x ứng v ới H’ qua H đường th ẳng BC. Khi A ch ạy trên đường trịn (O) thì H’ c ũng ch ạy trên đường B C trịn (O). Do đĩ H ph ải ch ạy trên đường trịn (O’) là ảnh c ủa (O) H' qua phép đối x ứng qua đường th ẳng BC. O' 8 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  12. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 3.13. Cho đường th ẳng d qua hai điểm phân bi ệt P, Q và hai điểm A, B nằm cùng phía đối v ới d. Hãy xác định trên d hai điểm M và N sao cho MN= PQ và AM + BN bé nh ất. HD Gi ải Gi ả s ử hai điểm M và N n ằm trên d sao cho MN= PQ . L ấy điểm A’ sao cho AA' = PQ thì A’ hồn tồn xác định và AMNA ’ là hình bình hành nên AM = A’N Vậy AM + BN = A’N + AN , nh ư th ế bài tốn tr ở v ề bài 3.9. Khi điểm N xác định được thì điểm M cũng xác định được v ới điều ki ện MN= PQ B A A' P Q d M N Bài 3.14. Cho tam giác ABC. Gọi d là đường phân giác ngồi t ại đỉnh A của tam giác ABC và M là m ột điểm b ất kì thu ộc d. Ch ứng minh r ằng tam giác MBC cĩ chu vi khơng nh ỏ h ơn chu vi tam giác ABC . HD Gi ải Gọi C’ là ảnh c ủa C đối x ứng qua tr ục d. Khi đĩ C' hi ển nhiên A nắm gi ữa B và C’. Với m ọi M∈ d , ta cĩ MC = MC ’ và MB+ MC = MB + MC' ≥ BC ' d Mà BC'= AB + AC ' = AB + AC M Vậy MB+ MC + BC ≥ AB + AC + BC . Điều này A ch ứng t ỏ r ằng, tam giác ABC cĩ chu vi nh ỏ nh ất. B C C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 2.15. Trong m ặt ph ẳng O xy , cho các đường trịn ( C1) và ( C2) l ần l ượt cĩ ph ươ ng trình: 2 2 2 2 (C1): x + y – 4x + 5 y + 1 = 0; (C2): x + y + 10 y – 5 = 0. Vi ết ph ươ g trình ảnh c ủa m ỗi đường trịn trên qua phép đối x ứng tr ục O y. Bài 2.16. Cho hai đường th ẳng c, d và hai điểm A, B khơng thu ộc hai đường th ẳng đĩ. Hãy d ựng điểm C trên c, điểm D trên d sao cho t ứ giác ABCD là hình thang cân nh ận AB là m ột c ạnh đáy (khơng c ần bi ện lu ận) 9 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  13. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §4. PHÉP ĐỐI X ỨNG TÂM A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Định ngh ĩa - Cho điểm I. Phép bi ến hình bi ến điểm I thành chính nĩ, bi ến m ỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm c ủa MM’ được g ọi là phép đối x ứng tâm I. - Kí hi ệu : ĐI - Từ định ngh ĩa suy ra: ĐI(M) = M’ ⇔IM' = − IM - Từ đĩ suy ra:  Nếu M≡ I thì M' ≡ I  Nếu M khơng trùng v ới I thì ĐI(M) = M’ ⇔ I là trung điểm c ủa MM’  ĐI(M) = M’ ⇔ ĐI(M’ ) = M 2. Tâm đối x ứng c ủa m ột hình Điểm I được g ọi là tâm đối x ứng c ủa hình H nếu phép đối x ứng tâm I bi ến hình H thành chính nĩ. Khi đĩ H được g ọi là hình cĩ tâm đối x ứng. 3. Bi ểu th ức to ạ độ Trong m ặt ph ẳng O xy , Cho điểm I = ( a; b ). G ọi M = ( x;y ) và M’= ĐI(M) = ( x’; y’ ) Tr ường h ợp 1: Khi tâm đối x ứng I trùng v ới g ốc to ạ độ O(0; 0) x' = − x ĐO :Mxy (,)→ Mxy '(',') khi đĩ :  y' = − y Tr ường h ợp 2: Khi tâm đối x ứng I( a, b ) x'= 2 a − x ĐI :Mxy (,)→ Mxy '(',') khi đĩ :  y'= 2 b − y 4. Các tính ch ất Phép đối x ứng tâm - Bảo tồn kho ảng cách gi ữa hai điểm b ất kì; - Bi ến m ột đường th ẳng thành đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới đường th ẳng đã cho; - Bi ến m ột đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng bằng đoạn th ẳng đã cho; - Bi ến m ột tam giác thành tam giác b ằng tam giác đã cho; - Bi ến m ột đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính. B. BÀI T ẬP Bài 4.1. Gi ả s ử phép đối x ứng tâm ĐO bi ến đường th ẳng d thành đường th ẳng d’. Ch ứng minh a) N ếu d khơng đi qua tâm đối x ứng O thì d’ song song v ới d, O cách đều d và d’ b) Hai đường th ẳng d và d’ trùng nhau khi và ch ỉ khi d đi qua O. HD Gi ải a) Kẻ OH⊥ d ( H ∈ d ) thì vì d khơng đi qua d' d O nên H khơng trùng v ới O. Phép ĐO(H) = H’ thì O là trung điểm c ủa HH’ và bi ến đường th ẳng d thành đường th ẳng d’ H' O H vuơng gĩc v ới OH’ t ại H’. Suy ra d và d’ song song, cách đều điểm O. b) Nếu d khơng qua O thì theo câu a), d’ // d nên d’ khơng trùng d. N ếu d đi qua O thì m ọi điểm M∈ d bi ến thành M'∈ d . V ậy d’ trùng v ới d. Bài 4.2. Ch ỉ ra tâm đối x ứng c ủa các hình sau dây: a) Hình g ốm hai đường th ẳng c ắt nhau 10 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  14. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) Hình g ồm hai đường th ẳng song song c) Hình g ồm hai đường trịn b ằng nhau d) Đường elip e) Đường hypebol HD Gi ải a) Tâm đối xứng là giao điểm c ủa hai đường th ẳng. b) Tâm đối x ứng là nh ững điểm cách đều hai đường th ẳng c) Tâm đối x ứng là trung điểm c ủa đoạn th ẳng n ối hai tâm đường trịn d) Tâm đối x ứng là trung điểm n ối hai tiêu điểm c ủa elip. e) Tâm đối x ứng là trung điểm n ối hai tiêu điểm của hypebol. Bài 4.3. Trong m ặt ph ẳng O xy , cho điểm A(-1; 3) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x – 2y + 3 =0 . Tìm ảnh c ủa A và d qua phép đối x ứng tâm O. HD Gi ải x' = − x Gọi A’ = ĐO(A) = ( x’; y’). Theo bi ểu th ức to ạ độ, ta cĩ  . V ậy A’(1; -3) y' = − y Gọi d’ = ĐO(d) Cách 1. Lấy m ột điểm tu ỳ ý Mxy( ; ) ∈ d . Khi đĩ ta cĩ M’ = ĐO(M) = ( x’; y’), nên thay x = - x’, y = - y’ vào ph ươ ng trình c ủa d. Ta cĩ ảnh c ủa d qua phép đối x ứng tâm O là d’: x – 2y – 3 = 0. Cách 2. Lấy điểm B(− 3;0) ∈ d . Khi đĩ B’ = ĐO(B) = (3;0) thu ộc d’ d’ là ảnh c ủa d qua phép đối x ứng tâm O nên d’ song song ho ặc trùng v ới d. Do đĩ d’: x – 2y + c = 0 B'∈ d ' suy ra c = - 3. V ậy d’: x – 2y – 3 = 0. Cách 3. Lấy hai điểm phân bi ệt M, N thu ộc d và xác định ảnh c ủa nĩ qua phép đối x ứng tâm O, khi đĩ đường th ẳng d’ qua hai điểm M’ và N’. Bài 4.4. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục to ạ độ vuơng gĩc O xy , cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 3 x – y + 9 = 0 và đường trịn (C): x2 + y2 + 2 x – 6y + 6 = 0. Hãy xác định to ạ độ điểm M’, ph ươ ng trình đường th ẳng d’ và đường trịn (C’) theo th ứ t ự là ảnh c ủa M, d, (C) qua: a) Phép đối x ứng qua g ốc to ạ độ b) Phép đối x ứng qua tâm I HD Gi ải a) Gọi M’, d’, (C’) theo th ứ t ự là ảnh c ủa M, d và (C) qua phép đối x ứng qua O. Dùng bi ểu th ức to ạ độ của phép đối x ứng qua g ốc to ạ độ O ta cĩ: M’(2; -3), ph ươ ng trình c ủa d’: 3 x – y – 9 = 0, ph ươ ng trình đường trịn (C’): x2 + y2 - 2x + 6 y + 6 = 0 b) Gọi M’, d’, (C’) theo th ứ t ự là ảnh c ủa M, d và (C) qua phép đối x ứng tâm I. Dùng bi ểu th ức to ạ độ của phép đối x ứng qua tâm I ta cĩ: M’(4; 1) Vì d’ song song v ới d nên d’: 3 x – y + c = 0, l ấy điểm N(0; 9) thu ộc d. Khi đĩ ảnh c ủa N qua phép đối xứng tâm I là N’(2; -5) thu ộc d’. T ừ đĩ suy ra c = -11 Vậy d’: 3 x – y – 11 = 0. Đường trịn (C) cĩ tâm J(-1; 3) và bán kính R = 2. Ảnh J qua phép đối x ứng tâm I là J’(3; 1). V ậy ph ươ ng trình (C’): ( x – 3) 2 + ( y – 1) 2 = 4 Bài 4.5. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x – 2y + 2 = 0 và d’ cĩ ph ươ ng trình x – 2y – 8 = 0. Tìm phép đối x ứng tâm bi ến d thành d’ và bi ến tr ục Ox thành chính nĩ. HD Gi ải Giao điểm c ủa d và d’ v ới Ox là A(-2; 0) và A’(8; 0). G ọi I(a; b) là tâm c ủa phép đối x ứng xax'2=−  822 =+ a  a = 3 Ta cĩ ĐI :Axy (,)→ Axy '(',') khi đĩ : ⇔ ⇒  yby'2=−  020 =+ b  b = 0 Vậy phép đối x ứng qua tâm I(3; 0) là phép c ần tìm. Bài 4.6. Cho đườ ng trịn (O,R) và hai điểm A, B c ố định. V ới m ỗi điểm M, ta xác định điểm M’ sao cho MM' = MA + MB . Tìm qu ỹ tích điểm M’ khi M ch ạy trên (O,R). HD Gi ả i Gọi I là trung điểm c ủa AB thì I c ố định và MA+ MB = 2 MI . 11 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  15. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bởi v ậy, MM'= MA + MB ⇔ MM ' = 2 MI ngh ĩa là I là trung điểm c ủa MM’ hay ĐI(M) = M’ Vậy khi M ch ạy trên đường trịn (O,R) thì qu ỹ tích M’ là ảnh c ủa đường trịn đĩ qua ĐI Nếu ta g ọi O’ điểm đối c ứng c ủa O qua điểm I thì qu ỹ tích c ủa M’ là đường trịn (O’,R). M O A I B O' M' Bài 4.7. Cho hai điểm B, C c ố định trên đường trịn (O, R) và m ột điểm A thay đổi trên đường trịn đĩ. Hãy dùng phép đối x ứng tâm để ch ứng minh r ằng tr ực tâm H c ủa tam giác ABC n ằm trên m ột đường trịn cố định. HD Gi ải Ta v ẽ đường kính AM c ủa đường trịn. Khi đĩ A BH // MC ( vì cùng vuơng gĩc v ới AC), và CH // BM (vì cùng vuơng gĩc v ới AB) hay BHCM là hình bình hành Nếu g ọi I là trung điểm c ủa BC thì I c ũng là trung điểm c ủa MH. H O Vậy phép đối x ứng qua điểm I bi ến M thành H Khi A ch ạy trên (O, R) thì M ch ạy trên đường I C trịn (O; R). Do đĩ, H n ằm trên đường trịn là B ảnh c ủa đường trịn (O, R) qua phép đối x ứng tâm I. M C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 4.8. Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ng ũ giác đều, l ục gíc đều, hình nào cĩ tâm đối xứng ? Bài 4.9. Tìm m ột hình cĩ vơ s ố tâm đối x ứng Bài 4.10. Cho t ứ giác ABCD. D ựng ảnh c ủa tam giác ABC qua phép đối x ứng tâm D. Bài 4.11. Ch ứng minh r ằng trong phép đối x ứng tâm I n ếu điểm M bi ến thành chính nĩ thì M ph ải trùng với I. Bài 4.12. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho điểm I(2; -3) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 3x + 2y – 1 = 0. Tìm to ạ độ điểm I’ và ph ươ ng trình c ủa đường th ẳng d’ l ần l ượt là ảnh c ủa I và đường th ẳng d qua phép đối x ứng tâm O. Bài 4.13. Cho đường trịn (O;R), đường th ẳng ∆ và điểm I. Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên ∆ sao cho I là trung điểm c ủa đoạn th ẳng AB. 12 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  16. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §5. PHÉP QUAY A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Định ngh ĩa - Trong m ặt cho m ột điểm O cố định và gĩc l ượng giác ϕ khơng đổi. Phép bi ến hình bi ến điểm O thành chính nĩ, bi ến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và gĩc l ượng (OM , OM ') = ϕ được g ọi là phép quay tâm O gĩc quay ϕ . - Điểm O g ọi là tâm quay, ϕ gọi là gĩc quay. ϕ - Kí hi ệu: Q()O,ϕ ho ặc Q0 - Chi ều d ươ ng c ủa phép quay Q()O,ϕ theo chi ều d ươ ng c ủa đường trịn l ượng giác. Ng ược l ại là chi ều âm và cịn kí hi ệu Q()O,−ϕ Nh ận xét:  Phép quay tâm O, gĩc quay ϕ= π +k2 π , k ∈ ℤ chính là phép đối x ứng tâm O  Phép quay tâm O, gĩc quay ϕ=k2 π , k ∈ ℤ , chính là phép đồng nh ất. 2. Tính ch ất Phép quay - Bảo tồn kho ảng cách gi ữa hai điểm b ất kì; - Bi ến m ột đường th ẳng thành đường th ẳng; - Bi ến m ột đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng b ằng đoạn th ẳng đã cho; - Bi ến m ột tam giác thành tam giác b ằng tam giác đã cho; - Bi ến m ột đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính; Chú ý: Gi ả s ử phép quay tâm I gĩc quay ϕ bi ến đường th ẳng d thành d’. Khi đĩ: π  Nếu 0 <ϕ ≤ thì gĩc gi ữa d và d’ b ằng ϕ 2 π  Nếu <ϕ < π thì gĩc gi ữa d và d’ b ằng π− ϕ 2 3. Bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép quay. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc Oxy, xét phép quay Q()I ,ϕ Tr ường h ợp 1: Khi tâm quay I trùng v ới g ốc to ạ độ O:  '= cosϕ − sin ϕ → x x y Q()ϕ : Mxy (,) Mxy '(',') khi đĩ :  O, y'= x sinϕ + y cos ϕ ( ) Tr ường h ợp 2: Khi tâm quay I x0, y 0 xx'−=− ( xx )cosϕ −− ( yy )sin ϕ Q: Mxy (,)→ Mxy '(',') khi đĩ :  0 0 0 ()I ,ϕ −=−ϕ +− ϕ yy'0 ( xx 0 )sin ( yy 0 )cos B. BÀI T ẬP Bài 5.1. Cho hình vuơng ABCD tâm O. a) Tìm ảnh c ủa điểm C qua phép quay tâm A gĩc 90 0. b) Tìm ảnh c ủa đường th ẳng BC qua phép quay tâm O gĩc 90 0. HD Gi ải a) Gọi E là điểm đối x ứng v ới C qua tâm D. gĩc 90 0 là đường th ẳng CD. Khi đĩ Q( C ) = E ()A,90 0 b) Q() BCQ= , () CD = . V ậy ảnh ()()O,900 O ,90 0 của đường th ẳng BC qua phép quay tâm O 13 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  17. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp E D C O A B Bài 5.2. Cho phép quay Q tâm O v ới gĩc quay ϕ và cho đường th ẳng d. Hãy nêu cách d ựng ảnh d’ c ủa d qua phép quay Q . HD Gi ải Ảnh c ủa đường th ẳng d qua phép quay Q()O,ϕ cĩ th ể d ựng nh ư sau: Cách 1. Lấy hai điểm A, B phân bi ệt trên d, r ối d ựng ảnh A’, B’ c ủa chúng. Đường th ẳng d’ là đường th ẳng đi qua A’ và B’. Cách 2. Trong tr ường h ợp d khơng đi qua O. g ọi H là hình chi ếu vuơng gĩc c ủa O trên d, d ựng H’ là ảnh của H. Đường th ẳng vuơng gĩc v ới OH’ t ại H’ chính là ảnh d’ c ủa d. π Từ cách d ựng trên, ta suy ra: Phép quay v ới gĩc quay ± bi ến đường th ẳng d thành đường th ẳng d’ 2 vuơng gĩc v ới d. Bài 5.3. Cho hình vuơng ABCD tâm O. G ọi M, N l ần l ượt là trung điểm c ủa AB, OA. Tìm ảnh c ủa tam giác AMN qua phép quay tâm O, gĩc quay 90 0. HD Gi ải Xét phép quay A M B Q: A→ DM , → M ' ⇒ Q: N→ N ' . N (O ,900 ) (O ,900 ) là trung điểm c ủa OA thì N’ là trung điểm c ủa N OD. Suy ra: Q:∆ AMN → ∆ DMN ' ' và M' (O ,900 ) O ∆AMN = ∆ DM' N ' N' D C Bài 5.4. Cho hai tam giác vuơng cân OAB và OA’B’ cĩ chung đỉnh O sao cho O n ằm trên đoạn th ẳng AB’ và n ằm ngồi đường th ẳng A’B. G ọi G và G’ l ần l ượt là tr ọng tâm c ủa tam giác OAA’ và OBB’. Ch ứng minh GOG’ là tâm giác vuơng cân. HD Gi ải π Gọi Q là phép quay tâm O, gĩc quay ( b ằng B 2 gĩc l ượng giác (OA,OB)). = = Khi đĩ Qπ() ABQ ,  π (') A B ' . Do đĩ A' O,  O , 2  2 = Qπ  ( OAA ') OBB ' . O,  2  G' G = Bởi v ậy, Qπ  ( G ) G ' . Suy ra OG = OG’ và O,  2  B' O A π GOG ' = 2 Vậy GOG’ là tam giác vuơng cân t ại đỉnh O. Bài 5.5. Cho ba điểm th ẳng hàng A, B, C, điểm B n ằm gi ữa hai điểm A và C. D ựng v ề m ột phía c ủa đường th ẳng AC các tam giác đều ABE và BCF. a) Ch ứng minh r ằng AF = EC và gĩc gi ữa hai đường th ẳng AF và EC b ằng 60 0 b) Gọi M và N l ần l ượt là trung điểm c ủa AF và EC. Ch ứng minh tam giác BMN đều. HD Gi ải 14 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  18. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) Xét phép quay Q , khi đĩ : (B ,600 ) F Q: E→ AC , → F (B ,600 ) ⇒ Q: EC→ AF . Suy ra EC = AF và E (O ,600 ) M (EC,AF) = 60 0. N b) Ta cĩ Q: N→ M , N là trung điểm (B ,600 ) của EC và M là trung điểm c ủa AF. C Nên BN = BM và NBM = 60 0 . Do đĩ BMN là A B tam giác đều. Bài 5.6. Cho l ục giác đều ABCDEF, O là tâm đối x ứng c ủa nĩ, I là trung điểm c ủa AB. a) Tìm ảnh c ủa tam giác AIF qua phép quay tâm O gĩc 120 0 b) Tìm ảnh c ủa tam giác AOF qua phép quay tâm E gĩc 60 0 HD Gi ải a) A Q:,, FBACBDQ→ → → ⇒ : IJ→ F ()O,1200 ()O ,120 0 với J là trung điểm c ủa CD. I Vậy Q: ∆ AIF → ∆ CJB ()O,120 0 O 0 B E b) Phép quay tâm E gĩc 60 bi ến A, O, F l ần l ượt thành C, D, O. V ậy Q: ∆ AOF → ∆ CDO ()E,60 0 C J D Bài 5.7. Cho tam giác ABC. D ựng v ề phía ngồi c ủa tam giác các hình vuơng BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q l ần l ượt là tâm đối x ứng c ủa chúng. a) Gọi D là trung điểm c ủa AB. Ch ứng minh r ằng DOP là tam giác vuơng cân đỉnh D b) Ch ứng minh AO vuơng gĩc v ới PQ và AO = PQ. HD Gi ải a) Xét phép quay Q: M→ AB , → I . Do đĩ MB b ằng và vuơng gĩc v ới AI ()C,90 0 Trong tam giác ABM, cĩ DP song song và b ằng n ửa BM và trong tam giác BAI cĩ DO song song và bằng n ửa AI. T ừ đĩ suy ra DP b ằng và vuơng gĩc v ới DO. Hay tam giác DOP vuơng cân t ại D. b) Xét phép quay Q: O→ PA , → Q . Do đĩ OA b ằng và vuơng gĩc v ới PQ. ()D,90 0 N F A P M Q D E B C O J I Bài 5.8. Cho tam giác ABC. D ựng v ề phía ngồi tam c ủa tam giác đĩ các tam giác BAE và CAF vuơng cân t ại A. G ọi I, M và J theo th ứ t ự là trung điểm c ủa EB, BC và CF. Ch ứng minh r ằng tam giác IJM là tam giác vuơng cân. HD Gi ải Xét phép quay tam A gĩc quay 90 0. 15 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  19. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Q: E→ BC , → F .T ừ đĩ suy EC = BF và ()A,90 0 F EC⊥ BF E Vì IM là trung bình c ủa tam giác BEC nên IM // 1 EC và IM= EC J 2 I 1 A Tươ ng t ự, ta cĩ MJ // BF và MJ= BF . T ừ đĩ 2 suy ra IM = MJ và IM⊥ MJ B M C Vậy tam giác IMJ là tam giác vuơng cân t ại M. Bài 5.9. Cho n ửa đường trịn tâm O đường kính BC. Điểm A ch ạy trên n ửa đường trịn đĩ. D ựng v ề phía ngồi c ủa tam giác ABC hình vuơng ABEF. Ch ứng minh r ằng E ch ạy trên m ột n ửa đường trịn c ố định. HD Gi ải 0 Xét phép quay tâm B gĩc quay 90 . Khi đĩ F Q( A ) = E . Khi A ch ạy trên n ửa đường trịn ()B,90 0 O' A (O), E ch ạy trên n ửa đường trịn (O’) là ảnh c ủa nửa đường trịn (O) qua phép quay tâm B, gĩc E quay 90 0. B O C Bài 5.10. Cho tam giác ABC. D ựng v ề phía ngồi c ủa tam giác đĩ các hình vuơng ABEF và ACIK. G ọi 1 M là trung điểm c ủa BC. Ch ứng minh rằng AM vuơng gĩc v ới FK và AM= FK . 2 HD Gi ải Gọi D là ảnh c ủa B qua phép đối x ứng tâm A. Khi D đĩ AD = AB = AF và AD⊥ AF K Xét Q: D→ FC , → K . Do đĩ DC = FK và ()A,90 0 F DC⊥ FK A Vì AM là đường trung bình c ủa tam giác BCD nên I 1 AM // CD và AM= CD 2 E 1 Vậy AM vuơng gĩc v ới FK và AM= FK B M C 2 Bài 5.11. π Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục to ạ độ vuơng gĩc Oxy, cho phép quay tâm O gĩc quay . 4 Tìm ảnh qua phép quay Qπ  của: O,  4  a) Điểm A(2, 2) b) Đường trịn (C): (x – 1) 2 + y 2 = 4 HD Gi ải → Bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép quay Qπ  : Mxy (,) Mxy '(',') là: O,  4   π π  2 xx'=− cos y sin x ' =−() xy x'= x cosϕ − y sin ϕ 4 4  2 ⇔  ⇔  y'= x sinϕϕ + y cos  ππ  2 y'= x sin + y cos y' =() x + y  4 4  2 16 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  20. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp  2 x '=() 2 − 2  x '= 0 a) Q: A (2,2)→ Axy '( ', ') thì 2 ⇔ . V ậy A(0,2 2 ) π    O,   2 y'= 2 2 4  y '=() 2 + 2  2 b) Đường trịn (C) cĩ tâm I(1, 0) và bán kính R = 2. → → Qπ :(1,0) I IxyQ '(', '); π :( C ) ( C ') O, O , 4 4 2 2 2 2  2  2  ' ,  −  +−  = 4 với (C’) là đường trịn tâm I   và cĩ bàn kính R’ = 2. V ậy (C’): x  y  2 2  2  2  Bài 5.12. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục to ạ độ vuơng gĩc Oxy, cho phép quay Qπ  . O,  4  a) Vi ết bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép quay đĩ. b) Vi ết ph ươ ng trình c ủa đường trịn (C’) là ảnh c ủa đường trịn (C): x 2 + y 2 – 6x + 6y + 14 = 0 qua phép quay Qπ  . O,  4  c) Vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d: x + y – 2 = 0 qua phép quay Qπ  O,  4  HD Gi ải → a) Bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép quay Qπ  : Mxy (,) Mxy '(',') là: O,  4   π π  2 xx'=− cos y sin x ' =−() xy x'= x cosϕ − y sin ϕ 4 4  2 ⇔  ⇔  y'= x sinϕϕ + y cos  ππ  2 y'= x sin + y cos y' =() x + y  4 4  2 − → b) đường trịn (C) cĩ tâm I(3, -3) và bán kính R = 2, nên Qπ  : I (3, 3) Ixy '( ', ') O,  4  Do đĩ I '( 3 2,0 ) . V ậy: Q: ( C )→ ( C ') , v ới (C’) cĩ tâm I’ và bán kính R’ = 2 là: π  O,  4  2 Vậy (C’): ( x−3 2) + y 2 = 4 c) Lấy điểm M(1;1) ∈ d và OM⊥ d . G ọi M’ là ảnh c ủa M quay phép quay Q thì M '( 0; 2 ) π  O,  4  Từ đĩ suy ra d’ ph ải qua M’ và vuơng gĩc v ới OM’. Vậy ph ươ ng trình c ủa d’: y = 2 C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 5.13. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x + y – 2 = 0. Tìm ảnh c ủa A và d qua phép quay tâm O gĩc 90 0. Bài 5.14. Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ cĩ chung đỉnh O. G ọi C và D l ần l ượt là trung điểm c ủa các đoạn th ẳng AA’ và BB’. Ch ứng minh rằng OCD là tam giác đều. Bài 5.15. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường th ẳng d 1: x + y – 2 = 0, d 2: x + y – 8 = 0. Tìm to ạ độ các điểm B và C l ần l ượt thu ộc d 1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuơng cân t ại A. 17 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  21. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §6. KHÁI NI ỆM V Ề PHÉP D ỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH B ẰNG NHAU A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Định ngh ĩa - Phép d ời hình là phép bi ến hình b ảo tồn kho ảng cách gi ữa hai điểm b ất kì. - Nh ận xét:  Các phép đồng nh ất, t ịnh ti ến, đối x ứng tr ục, đối x ứng tâm và phép quay đều là nh ững phép dời hình  Phép bi ến hình cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp hai phép d ời hình c ũng là m ột phép d ời hình. 2. Tính ch ất Phép d ời hình: - Bi ến ba điểm th ằng hàng thành ba điểm th ẳng hàng và b ảo tồn th ứ t ự gi ữa các điểm đĩ; - Bi ến đường th ẳng thành đường th ẳng, bi ến tia thành tia, bi ến đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng b ằng nĩ; - Bi ến tam giác thành tam giác b ằng nĩ, bi ến gĩc thành gĩc b ằng nĩ; - Bi ến đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính. 3. Hai hình b ằng nhau Hai hình được g ọi là b ằng nhau n ếu cĩ m ột phép d ời hình bi ến hình này thành hình kia. B. BÀI T ẬP Bài 6.1. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3). a) Ch ứng minh r ằng các điểm A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) theo th ứ t ự là ảnh c ủa A, B và C qua phép quay tâm O gĩc -90 0. b) Gọi tam giác A 1B1C1 là ảnh c ủa tam giác ABC qua phép d ời hình cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên 0 ti ếp phép quay tâm O gĩc -90 và phép đối x ứng qua tr ục Ox. Tìm to ạ độ các đỉnh c ủa tam giác A 1B1C1. HD  Gi ải a) Ta cĩ OA=( − 3;2), OA ' = (2;3) và OA. OA '= 0 . T ừ đĩ suy ra gĩc l ượng giác (OA; OA’) = - 90 0 . Mặt khác ta cĩ OA= OA ' = 13 . Do đĩ phép quay tâm O gĩc 90 0 bi ến A thành A’. Các tr ường hợp khác t ươ ng t ự. b) Gọi A 1B1C1 là ảnh c ủa tam giác A’B’C’ qua phép đối x ứng tr ục Ox. Khi đĩ A 1(2; -3), B 1(5; -4), C1(3; -1). Bài 6.2. Cho hình ch ữ nh ật ABCD. G ọi E, F, H, K, O, I, J l ần l ượt là trung điểm các c ạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Ch ứng minh r ằng hình thang AEJK và FOIC b ằng nhau. HD Gi ải Gọi G là trung điểm OF. Phép đối x ứng qua AEJK và FOIC b ằng nhau. đường th ẳng EH bi ến hình thang AEJK thành hình E B A thang BEGF. Phép t ịnh ti ến theo vect ơ EO bi ến hình thang FOIC thành hình thang FOIC. Nên hai hình thang K F J O G C D H I Bài 6.3. Ch ứng minh r ằng: N ếu m ột phép d ời hình bi ến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nĩ c ũng bi ến tr ọng tâm c ủa tam giác ABC t ươ ng ứng thành tr ọng tâm c ủa tam giác A’B’C’. HD Gi ải Gọi M, N l ần l ượt là trung điểm các đoạn th ẳng AB, BC và G, G’ l ần l ượt là tr ọng tâm c ủa hai tam giác ABC và A’B’C’. Gọi phép dời hình đĩ là F. Ta cĩ F(AB) = A’B’, F(BC) = B’C’. Khi đĩ FM()= M ' ∈ ABFN '',() ∈ BC '' Vậy F bi ến trung tuy ến AM, CN c ủa tam giác ABC t ươ ng ứng thành các trung tuy ến A’M’, C’N’ c ủa tam 18 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  22. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp giác A’B’C’. Từ đĩ suy ra F bi ến tr ọng tâm G c ủa tam giác ABC thành tr ọng tâm G’ c ủa tam giác A’B’C’ là giao điểm của A’M’ và C’N’. Bài 6.4. Ch ứng t ỏ r ằng hai hình ch ữ nh ật cùng kích th ước ( cùng chi ều dài và chi ều r ộng) thì b ằng nhau. HD Gi ải Gi ả s ử hai hình ch ữ nh ật ABCD và A’B’C’D’ cĩ AB = CD = A’B’ = C’D’, AD = BC = A’D’ = B’C’. Khi đĩ ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuơng b ằng nhau, do đĩ cĩ phép d ời hình F:∆ ABC → ∆ ABC ''' và F bi ến trung điểm O c ủa AC thành trung điểm O’ c ủa A’C’. Nh ưng vì O và O’ l ần l ượt là trung điểm của BD và B’D’ nên F c ũng bi ến D thành D’. Vậy F bi ến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định ngh ĩa, hai hình ch ữ nh ật đĩ b ằng nhau. Bài 6.5. Cho hai hình bình hành. Hãy v ẽ m ột đường th ẳng chia m ỗi hình bình hành đĩ thành hai hình bằng nhau. HD Gi ải Một đường th ẳng đi qua tâm O c ủa hình bình hành Suy ra: Đường th ẳng OO’ chia m ỗi hình bình thì chia hình bình hành đĩ thành hai ph ần b ằng hành ABCD và A’B’C’D’ thành hai hình b ằng nhau, vì phép đối x ứng qua tâm O s ẽ bi ến ph ần nhau. này thành ph ần kia. A C Ta xét hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ l ần lượt cĩ tâm O, O’. O A' D' Ta cĩ O, O’ l ần l ượt là tâm đối x ứng c ủa hình O' bình hành ABCD và A’B’C’D’ nên đường th ẳng B D bất kì qua tâm thì chia hình bình hành đĩ thành hai B' C' hình b ằng nhau. C. BÀI T Ậ P ĐỀ NGH Ị Bài 6.6. Trong m ặt ph ẳng h ệ tr ục to ạ độ Oxy, cho v(2;0) và điểm M (1; 1). a) Tìm to ạ độ điểm M’ là ảnh c ủa điểm M qua phép d ời hình cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép đối x ứng tr ục Oy và phép t ịnh ti ến theo vect ơ v . b) Tìm to ạ độ điểm M’’ là ảnh c ủa điểm M qua phép d ời hình cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép t ịnh ti ến theo vect ơ v và phép đối x ứng tr ục Oy. Bài 6.7. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho vect ơ v(3;1) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 2x – y = 0. Tìm ảnh 0 của d qua phép d ời hình cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép quay tâm O gĩc 90 và phép t ịnh ti ến theo vect ơ v . 19 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  23. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §7. PHÉP V Ị T Ự A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Định ngh ĩa ≠ Cho m ột điểm O cố định và m ột s ố k khơng đổi, k 0 . Phép bi ến hình bi ến m ỗi điểm M thành = điểm M’ sao cho OM' kOM đựơc g ọi là phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k. → ⇔ = Kí hi ệu: V(O , k ) . Nh ư v ậy V(O , k ) : M M ' OM ' kOM Nh ận xét - Phép v ị t ự bi ến tâm v ị t ự thành chính nĩ. - Khi k > 0, M và M’ n ằm cùng phìa đối v ới O. - Khi k < 0, M và M’ n ằm khác phía đối v ới O. - Khi k = - 1, M và M’ đối x ứng v ới nhau qua tâm O nên V(O ,− 1) = ĐO - Khi k = 1, thì M≡ M ' nên phép v ị t ự là phép đồng nh ất = ⇔ = - V(,)O k ( MM ) ' V 1 ( M ') M (O , ) k 2. Các tính ch ất c ủa phép v ị t ự a. Định lí 1. N ếu phép v ị t ự t ỉ s ố k bi ến hai điểm M và N lần l ượt thành hai điểm M’ và N’ thì: M' N ' = kMN và MN= k MN b. Phép v ị t ự t ỉ s ố k: - Bi ến ba điểm th ẳng hàng thành ba điểm th ẳng hàng và b ảo tồn th ứ t ự gi ữa các điểm ấy; - Bi ến m ột đường th ẳng thành m ột đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới đường th ẳng đã cho, bi ến tia thành tia, bi ến đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng mà độ dài nhân lên v ới k ; - Bi ến tam giác thành tam giác đồng d ạng v ới tam giác đã cho và t ỉ s ố đồng d ạng là k , bi ến gĩc thành gĩc b ằng nĩ; - Bi ến m ột đường trịn cĩ bán kính R thành đường trịn cĩ bán kính k .R. 3. Bi ểu th ức to ạ độ. ( ) Trong m ặt ph ẳng h ệ tr ục to ạ độ Oxy, cho phép v ị t ự V(I , k ) với I x0, y 0 x'= kx + (1 − kx ) Ta cĩ: V: Mxy (,)→ Mxy '(',') ⇔=⇔ IM ' kIM  0 (I , k ) = + − y' ky (1 k ) y 0 x' = kx Khi I≡ O thì  y' = ky B. BÀI T ẬP Bài 7.1. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 2x + y – 4 = 0. a) Hãy vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d 1 là ảnh c ủa d qua phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = 3. b) Hãy vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d 2 là ảnh c ủa d qua phép v ị t ự tâm I(-1;2) t ỉ s ố k = − 2 HD Gi ải a) Lấy hai điểm A(0; 4) và B(2; 0) thu ộc d. G ọi A’, B’ theo th ứ t ự là ảnh c ủa A và B qua phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = 3. Khi đĩ A’(0; 12) và B’(6; 0). d1 chính là đường th ẳng qua hai điểm A’ và B’ nên cĩ ph ươ ng trình 2x + y – 12 = 0. '= ( ) b) Vì d 2 // d: 2x + y – 4 = 0 nên d 2: 2x + y + c = 0. L ấy điểm A(4; 0) thu ộc d và g ọi A V()I ,− 2 A . − − ∈ Khi đĩ ta cĩ A'( 3; 2) d 2 nên suy ra c = 8. V ậy d 2: 2x + y + 8 = 0. Bài 7.2. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho phép vị t ự tâm I(1; 3), t ỉ s ố k = − 2 . Tìm ảnh c ủa các đường sau qua phép v ị t ự V(I , k ) a) Đường th ẳng d: 2x + y – 1 = 0 b) Đường trịn (C): (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = 3 20 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  24. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp c) Parabol (P): y = x 2 – 3x + 2 HD Gi ải  −x ' + 3 x = x'= − 2 x + 3  2 V: Mxy (,)→ Mxy '(',') cĩ bi ểu th ức to ạ độ: ⇒  (*) (I , k ) y'29=−+ y −+ y '9 y =  2 ∈ → ∈ a) V(I , k ) : Mxy (,) d Mxy '(',') d ' . Thay (*) vào ph ươ ng trình c ủa d, ta cĩ:2x’ + y’ – 13 = 0 Vậy ph ươ ng trình c ủa đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d qua V(I , k ) là: 2x + y – 13 = 0. ∈ ∈ → ∈ Cách khác: L ấy điểm M(0,1) d , VM(I , k ) : (0,1) dM '(3,7) d ' Vì phép v ị t ự bi ến đường th ẳng d thành d’ song song ho ặc trùng v ới d nên d’: 2x + y + c = 0 và M'∈ d nên ta cĩ c – 13. V ậy d’: 2x + y – 13 = 0. ∈ → ∈ b) V(I , k ) : Mxy (,) () C Mxy '(',') (') C . Thay (*) vào ph ươ ng trình đường trịn (C) ta cĩ: (x’ + 1) 2 + (y’ – 11) 2 = 12 Vậy ph ươ ng trình đường trịn (C’): (x + 1) 2 + (y – 11) 2 = 12 Cách khác: Tâm và bán kính c ủa (C): J(2, - 1), R = 3 ∈ → ∈ ⇒ − = V(I , k ) : JxyC (,) ( ) Jxy '(', ') ( C ') J '(1,11), R ' 23 Vậy ph ươ ng trình đường trịn (C’): (x + 1) 2 + (y – 11) 2 = 12 1 19 c) V: Mxy (,)∈ () P → Mxy '(',') ∈ (') P . Thay (*) vào ph ươ ng trình (P), ta cĩ : y'= − (') x 2 + (I , k ) 2 2 1 19 Vậy ph ươ ng trình (P’): y= − x 2 + 2 2 2 2 Bài 7.3. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường trịn (C) cĩ ph ươ ng trình ( x−3) +( y + 1) = 9 . Hãy vi ết ph ươ ng trình c ủa đường trịn (C’) là ảnh c ủa (C) qua phép v ị t ự tâm I(1; 2) t ỉ s ố k = - 2. HD Gi ải '= ( ) Đường trịn (C) cĩ tâm J(3; -1) và bán kính R = 3. G ọi J V()I ,− 2 J nên J’(-3; 8). Do v ậy đường trịn (C’) cĩ tâm là J’ và bán kính R'= − 2.3 = 6 . 2 2 Vậy (C’): ( x+3) +−( y 8) = 36 Bài 7.4. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho hai đường trịn (C): x 2 + y 2 – 10x – 8y + 14 = 0 và (C’): x 2 + y 2 + 2y – 11 = 0. Xác định phép v ị t ự bi ến đường trịn (C) thành đường trịn (C’). HD Gi ải = Ph ươ ng trình đường trịn (C) cĩ tâm và bán kính: I 1(5, 4), R1 3 3 và đường trịn (C’): I 2(0, - 1), = R2 2 3 . x'= kx + (1 − kx ) Xét V: Mxy (,)∈ () C → Mxy '(',') ∈ (') C cĩ bi ểu th ức to ạ độ là  0 (I , k ) = + − y' ky (1 ky ) 0 2 Trong đĩ I(x 0, y 0) là tâm v ị t ự. Ta cĩ R= kR⇒ k = ± 2 1 3  2 1 x' = x + x 2  3 3 0 • Khi k = thì ta cĩ:  và VI: (5;4)∈ ( CI ) → (0,1) ∈ ( C ') 3 2 1 (,)1I k 2 y' = y + y  3 3 0 2 Nên ta cĩ: x=−10, y =− 11 . V ậy phép v ị t ự cĩ I(-10, -11) và k = bi ến (C) thành (C’). 0 0 3 21 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  25. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp  2 5 x' = − x + x 2  3 3 0 • Khi k = − thì ta cĩ:  và V VI: (5;4)∈ ( CI ) → (0,1) ∈ ( C ') 3 2 5 (I , k ) (,)1I k 2 y' = y + y  −3 3 0 2 Nên ta cĩ: x=2, y = 1 . V ậy phép v ị t ự V cĩ I(2, 1) và k = − bi ến (C) thành (C’). 0 0 (I , k ) 3 Bài 7.5. Trong m ặt ph ẳng h ệ tr ục to ạ độ Oxy, cho hai đường trịn (C): (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 1 và (C’): (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 4. Xác định phép v ị t ự bi ến đường trịn (C) thành đường trịn (C’). HD Gi ải Phép v ị t ự bi ến đường trịn (C) thành đường trịn (C’) là: • Tâm v ị t ự I(-2, 3) và t ỉ s ố v ị t ự k = 2 • Tâm v ị t ự I(2, 3) và t ỉ s ố v ị t ự k = - 2 Bài 7.6. Cho tam giác ABC. G ọi M, N, P l ần l ượt là trung điểm c ủa các c ạnh BC, AC và AB. Ch ứng minh r ằng cĩ một phép v ị t ự bi ến tam giác ABC thành tam giác MNP. HDGi ải 1 1 1 Gọi G là tr ọng tâm tam giác ABC, khi đĩ: GM=− GA, GN =− GB , GP =− GC . Suy ra, phép v ị t ự 2 2 2 1 tâm G, t ỉ s ố k = − bi ến tam giác ABC thành tam giác MNP. 2 A N P G B M C Bài 7.7. Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nh ọn và H là tr ực tâm. Tìm ảnh c ủa tam giác ABC qua phép v ị t ự 1 tâm H, t ỉ s ố k = . 2 HD Gi ải A Ảnh c ủa tam giác A, B, C qua phép v ị t ự V1  là H ,  2  A’, B’ và C’ lần l ượt là trung điểm các c ạnh HA, A' (∆) → ∆ H HB, HC. Vậy V1  : ABC A ''' B C H ,  2  B B' C' C Bài 7.8. Tam giác ABC cĩ hai đỉnh B,C c ố định cịn A ch ạy trên đường trịn (O,R) c ố định khơng cĩ điểm chung v ới đường th ẳng BC. Tìm qu ỹ tích tr ọng tâm G c ủa tam giác ABC. HD Gi ải 1 Gọi I là trung điểm BC thì I c ố định. Điểm G là tr ọng tâm c ủa tam giác ABC khi và ch ỉ khi IG= IA . 3 1 Nh ư v ậy, phép v ị t ự tâm I t ỉ s ố bi ến điểm A thành điểm G 3 Từ đĩ, suy ra khi A ch ạy trên đường trịn (O,R) thì qu ỹ tích G là ảnh c ủa đường 22 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  26. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 trịn đĩ qua phép v ị t ự V, t ức là đường trịn (O’,R’) mà IO' = IO và R' = R 3 3 A B G O O' I C Bài 7.9. Cho tam giác ABC v ới tr ọng tâm G, tr ực tâm H và tâm đường trịn ngo ại ti ếp O. Ch ứng minh rằng GH= − 2 GO ( nh ư v ậy khi ba điểm G, H, O khơng trùng nhau thì chúng cùng n ằm trên m ột đường th ằng, được g ọi là đường th ẳng Ơ-le). HD Gi ải Gọi A’, B’ và C’ l ần l ượt là trung điểm c ủa các A cạnh BC, CA, AB c ủa tam giác ABC. Ta cĩ OA' ⊥ BC mà BC // B’C’ nên OA'⊥ BC ' ' . Tươ ng t ự, ta c ũng cĩ OB'⊥ AC ' ' . V ậy O là tr ực tâm c ủa tam giác A’B’C’. C' B' Vì G là tr ọng tâm c ủa tam giác ABC nên O H GA=−2 GA ', GB =− 2 GB ' và GC= − 2 GC ' . B ởi G ∆ → ∆ vậy phép v ị t ự V− : A ''' B C ABC C ()G, 2 B A' Điểm O là tr ực tâm c ủa tam giác A’B’C’ nên :→ ⇒ = − 2 V()G,− 2 O H GH GO . Điểu này ch ứng tỏ ba điểm G, H, O th ẳng hàng. Bài 7. 10. Cho tam giác ABC và điểm M thu ộc c ạnh AB. Qua M v ẽ các đường th ẳng song song v ới trung tuy ến AA 1 và BB 1 cắt BC, CA t ại P và Q. Tìm qu ỹ tích các điểm S sao cho t ứ giác MPSQ là hình bình hành. HD Gi ải Gọi E, F l ần l ượt là giao điểm c ủa MQ, MP v ới Khi M thu ộc c ạnh AB thì S thuơc đoạn A 1B1 là AA 1 và BB 1, G là tr ọng tâm tam giác ABC. Khi nảh c ủa AB qua V1  G,−  đĩ: 2  ME MQ ME BG 2 2 ậ ỹ đ ạ ẳ = ⇒ = = ⇒ ME= MQ V y qu tích S là o n th ng A 1B1. 3 3 BG BB1 MQ BB 1 A 2 Q Tươ ng t ự: MF= MP E 3 M 2 2 2 B Ta cĩ : MG=+= ME EG MQ + MP = MS . 1 3 3 3 G 1 F Suy ra: GS= − GM S 2 B Do đĩ: S là ảnh c ủa M qua phép v ị t ự tâm G, t ỉ s ố P A1 C 1 k = − 2 23 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  27. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 7.11 .Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường th ẳng d: x + 2y + 4 = 0. a) Hãy vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d 1 là ảnh c ủa d qua phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = - 3 1 b) Hãy vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d 2 là ảnh c ủa d qua phép vị t ự tâm I(1;2) t ỉ s ố k = − 2 2 2 Bài 7.12. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường trịn (C) cĩ ph ươ ng trình ( x−2) ++( y 3) = 16 . Hãy vi ết ph ươ ng trình c ủa đường trịn (C’) là ảnh c ủa (C) qua phép v ị t ự tâm I(1; 2) t ỉ s ố k = - 2. 24 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  28. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp §8. PHÉP ĐỒNG D ẠNG A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Định ngh ĩa Phép bi ến hình F g ọi là phép đồng d ạng t ỉ s ố k (k > 0) n ếu v ới hai điểm b ất kì M, N và ảnh M’, N’ tươ ng ứng c ủa chúng, ta luơn cĩ M’N’ = k.MN Nh ận xét: - Phép d ời hình là phép đồng dn ạg t ỉ s ố 1. - Phép v ị t ự t ỉ s ố k là phép đồng d ạng t ỉ s ố k - Nếu th ực hi ện liên ti ếp hai phép đồng d ạng thì được m ột phép đồng d ạng. - Mọi phép đồng d ạng F t ỉ s ố k đều là h ọp thành c ủa m ột phép v ị t ự V t ỉ s ố k và m ột phép d ời hình D. 2. Tính ch ất Phép đồng d ạng t ỉ s ố k: - Bi ến ba điểm th ẳng hàng thành ba điểm th ẳng hàng và b ảo tồn th ứ t ự gi ữa các điểm ấy; - Bi ến m ột đường th ẳng thành m ột đường th ẳng, bi ến tia thành tia, bi ến đoạn th ẳng thành đoạn th ẳng; - Bi ến tam giác thành tam giác đồng d ạng v ới tam giác đã cho và , bi ến gĩc thành gĩc b ằng nĩ; - Bi ến m ột đường trịn cĩ bán kính R thành đường trịn cĩ bán kính k.R. Đặt bi ệt: Phép đồng d ạng cĩ m ột điểm kép O duy nh ất là tích giao hốn c ủa m ột phép v ị t ự và m ột phép =. = . quay cĩ cùng tâm O. khi đĩ, kí hi ệu: Z()()()()()Ok,,ϕ QV O , ϕ Ok , VQ Ok , O , ϕ , O được g ọi là tâm đồng d ạng. 3. Hình đồng d ạng Hai hình g ọi là đồng d ạng v ới nhau n ếu cĩ phép đồng d ạng bi ến hình này thành hình kia 4. Bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép đồng d ạng Z()I, k , ϕ Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc Oxy, cho phép đồng d ạng Z()I, k , ϕ và M(x; y) '(';')= ( ) Gọi Mxy Z()I, k , ϕ M xkx'=( cosϕ − y sin ϕ )  Khi tâm I trùng v ới g ốc to ạ độ O, to ạ độ điểm M’ là  =ϕ + ϕ ykx'() sin y cos  −= −ϕ −− ϕ  xxkxx'0 ( 0 )cos ( yy 0 )sin   Khi tâm I( x, y ) , to ạ độ điểm M’ là  0 0 '−= ( − )sinϕ +− ( )cos ϕ  yykxx0 0 yy 0   B. BÀI T ẬP Bài 8.1. Cho hình ch ữ nh ật ABCD, AC và BD c ắt nhau t ại I. G ọi H, K, L, và J l ần l ượt là trung điểm cùa AD, BC, KC, và IC. Ch ứng minh r ằng: a) Hai hình thang JLKI và IHAB đồng d ạng v ới nhau. b) Hai hình thang JLKI và IHDC đồng d ạng v ới nhau. HD Gi ải a) Gọi M là trung điểm AB. Phép v ị t ự tâm đồng d ạng v ới nhau. C, t ỉ s ố 2 bi ến hình thang JLKI thành b) Tươ ng t ự: Phép đối x ứng tâm I bi ến hình thang IKBA. Phép đối x ứng qua hình thang IHDC thành hình thang đường th ẳng IM bi ến hình thang IKBA 1 IKBA. Phép v ị t ự tâm C t ỉ s ố bi ến thành hình thang IHAB. Do đĩ phép 2 đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện hình thang IKBA thành hình thang liên ti ếp hai phép bi ến hình trên bi ến JLKI. Do đĩ hai hình thang JLKI và hình thang JLKI thành hình thang IHAB. IHDC đồng d ạng v ới nhau. Từ đĩ suy hai hình thang JLKI và IHAB 25 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  29. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp H A D M I J B K L C Bài 8.2. Cho tam giác ABC. Xác định ảnh c ủa nĩ qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên 1 ti ếp phép v ị t ự tâm B t ỉ s ố và phép đối x ứng qua đường trung tr ực c ủa BC. 2 HD Gi ải Gọi A’, C’ t ươ ng ứng là trung điểm c ủa AB và 1 A d BC. Phép v ị t ự tâm B, t ỉ s ố bi ến tam giác ABC 2 thành tam giác A’BC’. Phép đối xứng qua đường A' A'' trung tr ực c ạnh BC bi ến tam giác A’BC’ thành tam giác A’’CC’. V ậy ảnh của tam giác ABC qua B C' C phép đồng đĩ là tam giác A”CC’. Bài 8.3. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x + y – 2 = 0. Vi ế ph ươ ng trình đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm I(- 1 1, -1) t ỉ s ố k = và phép quay tâm O gĩc -45 0. 2 HD Gi ải 1 Gọi d 1 là ảnh c ủa d qua phép v ị t ự tâm I(-1, -1) t ỉ s ố k = . Vì d 1 song song ho ặc tr ủng v ới d nên ph ươ ng 2 trình c ủa nĩ cĩ d ạng: x + y + c = 0 :→ ' ≡ ∈ Lấy điểm M(1, 1) thu ộc d, V1  M MOd 1 I ,  2  Vậy ph ươ ng trình c ủa d 1: x + y = 0. 0 Ảnh c ủa d 1 qua phép quay tâm O gĩc -45 là đường th ẳng Oy. Vậy ph ươ ng trình c ủa d’: x = 0 Bài 8.4. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình: x = 2 2 . Hãy vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O 1 tỉ s ố k = và phép quay tâm O gĩc quay 45 0. 2 HD Gi ải 1 Gọi d 1 là ảnh c ủa d qua phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = thì ph ươ ng trình c ủa d 1: x = 2 2 0 Gọi d’ là ảnh c ủa d 1 qua phép quay tâm O gĩc quay 45 . L ấy A( 2,0 ) và B( 2,− 2 ) thu ộc d 1 thì ảnh của nĩ qua phép quay nĩi trên là A’(1,1) và B’(2,0) thu ộc d’. Vậy ph ươ ng trình d’: x + y – 2 = 0. Bài 8.5. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường trịn (C): (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 4. Hãy vi ết ph ươ ng trình đường trịn (C’) là ảnh c ủa (C) qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = -2 và phép đối x ứng tr ục Ox. HD Gi ải Dễ th ấy bán kính c ủa (C’) là R’ = 4. Tâm I’ c ủa (C’) là ảnh c ủa tâm I(1,2) c ủa (C) qua phép đồng d ạng : (1,2)→ ( − 2, − 4) (−− 2, 4) → '( − 2,4) nĩi trên. V()O,− 2 I I 1 và ĐOx : I1 I Vậy ph ươ ng trình đường trịn (C’): (x + 2) 2 + (y – 4) 2 = 16 Bài 8.6. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc Oxy, cho ϕ = 45 0 và k = 2. 26 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  30. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) Vi ết bi ểu th ức to ạ độ c ủa phép đồng d ạng Z()O, k , ϕ b) Vi ết ph ươ ng trình đường trịn (C’) là ảnh c ủa đường trịn (C): x 2 + y 2 – 2x – 3 = 0 qua phép đồng d ạng Z()O, k , ϕ . HD Gi ải a) Phép đồng d ạng Z= Z: Mxy (;) → Mxy '(';') ()O, k , ϕ ()O,2,45 0  0 0  x'= 2( x cos45 − y sin45 )  x'= 2 () x − y M’ cĩ to ạ độ là ⇔  (*) =0 + 0 = + y' 2() x sin45 y cos45 y' 2 () x y  2 x=() x′ + y ′  4 b) Z: Mxy (;)∈ () C → Mxy '(';') ∈ (') C . T ừ (*) ta cĩ  thay vào ph ươ ng trình ()O,2,45 0  2 y=() x′ − y ′  4 2 2 đường trịn (C), ta cĩ được: ( xy') +( ') − 22'22'120 x − y −= Vậy ph ươ ng trình đường trịn (C’): xy2+− 2 22 x − 22 y −= 12 0 Cách khác: Tâm và bán kính đường trịn (C) là I(1; 0), R = 2 Khi đĩ, ta cĩ Z:(1;0) I∈ () CIxyC → '('; ') ∈ ( ')⇒ I '( 2; 2 ) và R’ = 2R = 4 ()O,2,45 0 2 2 Vậy ph ươ ng trình đường trịn (C’): ( x−2) +−( y 2) = 16 Bài 8.7. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ tr ục to ạ độ vuơng gĩc Oxy, cho điểm I(1; 1) và đường trịn tâm I bán kính 2. Vi ết ph ươ ng trình c ủa đường trịn là ảnh c ủa đường trịn trên qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng 0 cách th ực h ọên liên ti ếp phép quay tâm O, gĩc 45 và phép v ị t ự tâm O, t ỉ s ố 2 . HD Gi ải Phép đồng d ạng Z= Z: I (1;1) → Ixy '( '; ') ()O, k , ϕ ()O, 2 ,45 0  =0 − 0 x' 2( x cos45 y sin45 ) x' = x − y I’ cĩ to ạ độ là ⇔  ⇒ I '(0;2) =0 + 0 y' = x + y y' 2() x sin45 y cos45 Vậy ph ươ ng trình c ủa đường trịn tâm I bán kính 2 là ph ươ ng trình đường trịn tâm I’(0; 2) bán kính 2 2 . Ph ươ ng trình đĩ là: x 2 + (y – 2) 2 = 8. Bài 8.8. Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ vuơng gĩc Oxy, xét phép bi ến hình F bi ến m ỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(2x – 1; – 2y + 3). Ch ứng minh F là m ột phép đồng d ạng. HD Gi ải Lấy điểm N(x 1; y 1), thì điểm N’(2x 1 – 1; -2y 1 + 3) = F(N). Ta cĩ 2 2 2 2 2 2 M’N’ = (2x 1 – 2x) + (–2y 1 + 2y) = 4[(x 1 – 2) + (y 1 – y) ] = 4MN Từ đĩ suy ra v ới hai điểm M, N tu ỳ ý và M’, N’ l ần l ượt là ảnh c ủa chúng qua F ta cĩ M’N’ = 2MN. Vậy F là m ột phép đồng d ạng v ới t ỉ s ố đồng d ạng là 2. Bài 8.9. Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2 R. M là m ột điểm b ất kì trên (O). D ựng hình vuơng AMNP cĩ các đỉnh theo chi ều d ươ ng. Tìm qu ỹ tích các điểm N. HD Gi ải V: M ' → N ()A, 2 Ta cĩ AN= 2 AM và gĩc (AM,AN) = 45 0 Suy ra: Z= V Q: MN → Phép quay Q: M→ M ' và phép v ị t ự ()A,2,450 () A ,2 ()A,45 0 ()A,45 0 Vậy M thu ộc đường trịn (O), đường kính AB = 27 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  31. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2R nên N thu ộc đường trịn (O’) là ảnh c ủa (O) điểm c ủa cung AB và bán kính R'= 2 R qua phép đồng d ạng Z cĩ tâm O’ là trung ()A, 2,45 0 N M' M O' P A O B Bài 8.10. Ch ứng t ỏ r ằng phép đồng d ạng F bi ến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì tr ọng tâm, tr ực tâm, tâm đường trịn ngo ại ti ếp c ủa tam giác ABC l ần l ượt thành tr ọng tâm, tr ực tâm, tâm đường trịn ngo ại ti ếp tam giác A’B’C’. HD Gi ải - Gọi D là trung điểm c ủa BC thì phép đồng d ạng F bi ến điểm D thành điểm D’ c ủa đoạn th ẳng B’C’và vì th ế trung tuy ến AD c ủa tam giác ABC bi ến thành trung tuy ến A’D’ c ủa tam giác A’B’C’. Đối v ới hai trung tuy ến cịn l ại c ũng th ế. Vì tr ọng tâm tam giác là giao điểm c ủa các đường trung tuy ến nên tr ọng tâm G c ủa tam giác ABC bi ến thành tr ọng tâm G’ c ủa A’B’C’. - Gọi Ah là đường cao c ủa tam giác ABC (H∈ BC ) . Khi đĩ phép đồng d ạng F bi ến đường th ẳng AH thành đường th ẳng A’H’. Vì AH⊥ BC nên AH''⊥ BC '' . Nĩi cách khác A’H’ là đường cao c ủa tam giác A’B’C’. Đối v ới hai đường cao cịn l ại ta c ũng làm nh ư th ế. Vì tr ực tâm là giao điểm c ủa các đường cao nên tr ực tâm c ủa tam giác ABC thành tr ực tâm c ủa tam giác A’B’C’. - Gọi O là tâm đường trịn ngo ại ti ếp tam giác ABC thì OA = OB = OC nên n ếu điểm O bi ến thành O’ thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC. Do đĩ O’ là tâm đường trịn ngo ại ti ếp tam giác A’B’C’. C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 8.12. Trong m ặt ph ẳng Oxy, cho đường trịn (C): (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 4. Hãy vi ết ph ươ ng trình đường trịn (C’) là ảnh c ủa (C) qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = 2 và phép đối x ứng tr ục Oy. Bài 8.13. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho đường trịn tâm I(1; -3) bán kính 2. Vi ết ph ươ ng trình ảnh c ủa đường trịn tâm (I; 2) qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hiên liên ti ếp phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố 3 và phép đối x ứng qua tr ục Ox. Bài 8.14. Cho tam giác ABC vuơng t ại A, AH là đường cao k ẻ t ừ A. Tìm m ột phép đồng d ạng bi ến tam giác HBA thành tam giác ABC. 28 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  32. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp ƠN T ẬP CH ƯƠ NG I Bài 1. Cho l ục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh c ủa tam giác AOF a) Qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ AB b) Qua phép đối x ứng qua đường th ẳng BE c) Qua phép quay tâm O gĩc 120 0. HD Gi ải a) Phép t ịnh ti ến theo vect ơ AB bi ến tam A F giác AOF thành tam giác BCO b) Phép đối x ứng qua đường th ẳng BE bi ến tam giác AOF thành tam giác DOC 0 O c) Phép quay tâm O gĩc 120 bi ến tam giác B E AOF thành tam giác COB. C D Bài 2. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường th ẳng d: 3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh c ủa A và d a) Qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v(2;1) b) Qua phép đối x ứng trục Oy c) Qua phép đối x ứng qua g ốc to ạ độ d) Qua phép quay tâm O gĩc 90 0 HD Gi ải Gọi A’, d’ l ần l ượt là ảnh c ủa A và d qua các phép bi ến hình trên a) A’(1; 3) và d’: 3x + y – 6 = 0 b) A’(1; 2) và d’: 3x – y – 1 = 0 c) A’(1; -2) và d’: 3x + y – 1 = 0 d) A’(-2; -1) và d’: x – 3y – 1 = 0. Bài 3. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho đường trịn tâm I(3; -2) và bán kính R = 3 a) Vi ết ph ươ ng trình c ủa đường trịn đĩ. b) Vi ết ph ươ ng trình ảnh c ủa đường trịn (I; 3) qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v(− 2;1) . c) Vi ết ph ươ ng trình ảnh c ủa đường trịn (I; 3) qua phép đối x ứng tr ục Ox. d) Vi ết ph ươ ng trình ảnh c ủa đường trịn (I; 3) qua phép đối x ứng g ốc to ạ độ. HD Gi ải a) Ph ươ ng trình đường trịn (C): (x – 3) 2 + (y + 2) 2 = 9. G ọi (C’) ảnh c ủa đường trịn qua các phép bi ến hình trên. b) T () C→ ( C ') suy ra (C’): (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 9. v 2 2 c) ĐOx (C) → (C’), suy ra (C’): (x – 3) + (y – 2) = 9. 2 2 d) ĐO (C) → (C’), suy ra (C’): (x + 3) + (y – 2 ) = 9. Bài 4. Cho hình ch ữ nh ậ ABCD. G ọi O là tâm đối x ứng c ủa nĩ. G ọi I, F, J, E l ần l ượt là trung điểm c ủa các c ạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh c ủa tam giác AEO qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép đối x ứng qua đường th ẳng IJ và phép v ị t ự tâm B, t ỉ s ố 2. HD Gi ải Phép đối x ứng qua đường th ẳng IJ bi ến tam giác phép đồng d ạng trên bi ến tam giác AEO thành AEO thành tam giác BFO. Phép v ị t ự tâm B t ỉ s ố 2 tam giác BCD. bi ến tam giác BFO thành tam giác BCD. V ậy 29 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  33. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp I A B E F O D J C Bài 5. Cho hai điểm A, B và đường trịn tâm O khơng cĩ điểm chung v ới đường th ẳng AB. Qua m ỗi điểm M ch ạy trên đường trịn (O) d ựng hình bình hành MABN. a) Ch ứng minh r ằng điểm N thu ộc m ột đường trịn xác định. b) Tìm qu ỹ tích tr ọng G c ủa tam giác ABM. HD Gi ải a) Vì MN= AB khơng đổi, nên cĩ th ể xem N là ảnh c ủa điểm M qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ AB . Do đĩ khi M ch ạy trên đường O' trịn (O) thì N ch ạy trên đường trịn (O’) là N ảnh c ủa (O) qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ B AB . b) Gọi I là trung điểm của AB và G là tr ọng O M I 1 G tâm c ủa tam giác ABC thì IG= IM 3 A 1  Vậy V I ,  bi ến điểm M thành điểm G. T ừ 3  đĩ suy ra qu ỹ tích điểm G là đường trịn ảnh 1  của (O; R) qua phép v ị t ự V I ,  . 3  Bài 6. Cho hai điểm phân bi ệt A, B và đường th ẳng d song song v ới đường th ẳng AB. Điểm C ch ạy trên đường th ẳng d. Tìm t ập h ợp các tr ọng tâm c ủa tam giác ABC. HD Gi ải Gọi I là trung điểm c ủa AB, khi đĩ I c ố định và tr ọng tâm G c ủa tam giác ABC thu ộc đường th ẳng CI sao 1 1  cho IG= IC . Do đĩ G là ảnh c ủa C qua V I ,  3 3  1  Vậy khi C ch ạy trên đường th ẳng d thì G ch ạy trên đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d qua phép V I ,  3  C d d' G A I B Bài 7. Cho đường trịn (O) và điểm I khơng n ằm trên đường trịn đĩ. V ới m ỗi điểm A thay đổi trên đường trịn, d ựng hình vuơng ABCD cĩ tâm I. a) Tìm qu ỹ tích điểm C b) Tìm qu ỹ tích m ỗi điểm B và D c) Khi điểm I trùng v ới O, cĩ nh ận xét gi v ề ba qu ỹ tích trên ? HD Gi ải a) Phép đối x ứng tâm ĐI bi ến điểm A thành trịn (O 1) là ảnh c ủa đường trịn (O) qua điểm C. Vậy qu ỹ tích điểm C là đường phép đối x ứng đĩ. 30 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  34. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp π b) Phép quay Q tâm I gĩc quay bi ến điểm 2 A thành điểm B và phép quay Q’ tâm I gĩc O π 2 O quay − bi ến điểm A thành điểm D. Suy B A 2 ra qu ỹ tích B và D l ần l ượt là đường trịn I (O 2), (O3) là ảnh c ủa đường trịn (O) qua phép quay Q và Q’. c) Khi I trùng v ới O thì O 1, O 2, O 3 cũng trùng C D với O nên ba qu ỹ tích nĩi trên đều là đường trịn (O). O O 1 3 Bài 8. Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P l ần l ượt là trung điểm các c ạnh BC, CA và AB. a) Xét b ốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm m ột phép d ời hình bi ến tam giác APN l ần l ượt thành ba tam giác cịn l ại. b) Phép v ị t ự nào bi ến tam giác ABC thành tam giác MNP ? HD Gi ải a) Phép t ịnh ti ến theo T bi ến tam giác APN 1 AP = − bi ến tam giác ABC thành tam giác thành tam giác PBM. 2 Phép t ịnh ti ến theo T bi ến tam giác APN MNP. AN thành tam giác NMC. A Gọi J là trung điểm c ủa PN. Phép đối x ứng tâm ĐJ bi ến tam giác APN thành tam giác P J N MNP b) Gọi G là tr ọng tâm c ủa tam giác ABC G 1 1 Ta cĩ GM=− GA, GN =− GB và B M C 2 2 1 GP= − GC . V ậy phép v ị t ự tâm G, t ỉ s ố k 2 Bài 9. Cho đường (O; R) và điểm A c ố định. M ột dây cung BC thay đổi c ủa (O; R) cĩ độ dài khơng đổi BC = m. Tìm qu ỹ tích điểm G sao cho GA+ GB + GC = 0 . HD Gi ải Gọi I là trung điểm c ủa BC. ta cĩ B 2 GA+ GB + GC = 0 khi và ch ỉ khi AG= AI , t ức 3 I 2 là phép v ị t ự tâm A t ỉ s ố bi ến điểm I thành 3 G C điểm G. A Trong tam giác OIB, ta cĩ O 2 m  OI= OBIB2 −=− 2 R 2   = R ' 2  Nên qu ỹ tích điểm I là đường trịn (O; R’) ho ặc là O (n ếu l ấy m = 2R). Do đĩ qu ỹ tích điểm G là ảnh của điểm I qua phép v ị t ự đĩ. Bài 10. Cho đường th ẳng d và điểm G khơng nằm trên d. V ới hai điểm A, B thay đổi trên d, ta l ấy điểm C sao cho G là tr ọng tâm tam giác ABC . Tìm qu ỹ tích điểm C. 31 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  35. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Gi ải Gọi M là trung điểm c ủa AB thì phép v ị t ự V tâm G t ỉ s ố k = - 2 bi ến điểm M thành điểm C. Vì M di chuy ển trên d nên qu ỹ tích c ủa C là ảnh c ủa d qua phép v ị t ự V. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 11. Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy, cho các điểm A(1;1), B(0;3), C(2;4). Xác định ảnh c ủa tam giác ABC qua các phép bi ến hình sau: a) Phép t ịnh ti ến theo vect ơ u = (2;1) b) Phép quay tâm O gĩc 90 0 c) Phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = - 2 và phép t ịnh ti ến theo vect ơ v = (1;2) . d) . Bài 12. Cho hình vuơng ABCD, tâm O. V ẽ hình vuơng AOBE. a) Tìm ảnh c ủa hình vuơng AOBE qua phép quay tâm A, gĩc (AO,AD) b) Tìm phép bi ến hình bi ến hình vuơng AOBE thành hình vuơng ADCB Bài 13. Trong m ặt ph ẳng Oxy. Cho v =(2; − 1) , đường th ẳng (d): 2x -3y + 3 = 0 và (d 1): 2x – 3y – 5 = 0. a) Vi ết ph ươ ng trình c ủa đường th ẳng (d’) là ảnh c ủa (d) qua T . v b) Tìm to ạ độ c ủa vect ơ w cĩ giá vuơng gĩc v ới đường th ẳng (d) để (d ) là ảnh c ủa (d) qua T . 1 w Bài 14. Cho đường trịn tâm O, bán kính R. L ấy m ột điểm M trên đường trịn. G ọi M’ là ảnh c ủa M qua phép tâm O gĩc quay 30 0 và M” là ảnh c ủa M’qua phép đối x ứng qua đường th ẳng OM. Ch ứng minh rằng OM’M” là tam giác đều. Bài 15. Cho hình vuơng ABCD tâm O. M, N l ần l ượt là trung điểm c ủa AB và AO. Tìm ảnh c ủa tam giác AMN qua phép quay tâm O gĩc quay 90 0. Bài 16. Trong mp Oxy cho đường th ẳng d: x + y – 2 = 0. Vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d’ là ảnh c ủa d 1 qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm I(-1; -1) t ỉ s ố k = và phép 2 quay tâm O gĩc -45 0. Bài 17. Trong mp Oxy, cho đường trịn (C): (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 4. Hãy vi ết ph ươ ng trình đường trịn (C’) là ảnh c ủa (C) qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = -2 và phép T với v v =(2; − 1) . Bài 18. Trong mp Oxy, cho điểm I(1; 1) và đường trịn tâm I bán kính 2. Vi ết ph ươ ng trình c ủa đường trịn là ảnh c ủa đường trịn trên qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép quay tâm O gĩc 45 0 và phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = 2 . Bài 19. Cho hình bình hành ABCD tâm O v ới B, D là 2 điểm c ố định, điểm A di động trên đường th ẳng vuơng gĩc v ới BC. Tìm qu ĩ tích điểm C. 32 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  36. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các hình d ưới đây, hình nào cĩ vơ s ố tâm đối x ứng ? A. Đường elip. B. Hình l ục giác đều. C. Hai đường th ẳng song song. D. Hai đường th ẳng c ắt nhau. Câu 2: Cho hai đường th ẳng song song d và d′. Cĩ bao nhiêu phép t ịnh ti ến bi ến d thành d′? A. Vơ s ố. B. Một. C. Khơng cĩ. D. Hai. Câu 3: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 2x− y − 30. = Vi ết ph ươ ng trình (C′ ) là ảnh c ủa đường trịn ():Cxy2+− 2 10 x − 4 y + 270 = qua phép phép đối x ứng tr ục d. 2 2 2 2 A. ( x+1) ++( y 4) = 2. B. ( x−1) +−( y 4) = 2. 2 2 2 2 C. ( x−5) +−( y 2) = 16. D. ( x−2) +−( y 3) = 4.  Câu 4: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho v = (2;1 ) và điểm M (4;5) . Trong các điểm d ưới đây, M là ảnh c ủa  điểm nào d ưới đây qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v. ( ) ( ) ( ) ( ) A. M4 3;3 . B. M3 2;6 . C. M1 2;4 . D. M2 6;6 . Câu 5: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm I (1;1 ) và đường trịn tâm I bán kính 2. Vi ết ph ươ ng trình c ủa đường trịn là ảnh c ủa đường trịn trên qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực h ọên liên ti ếp phép 0 quay tâm O, gĩc 45 và phép v ị t ự tâm O, t ỉ s ố 2. 2 2 2 2 A. ( x−1) +( y − 1) = 4. B. ( x+1) +( y − 2) = 8. 2 2 C. ( x−2) + y 2 = 8. D. x2 +( y −2) = 8. Câu 6: Hình g ồm hai đường trịn cĩ tâm và bán kính khác nhau cĩ bao nhiêu tr ục đối x ứng ? A. Một. B. Vơ s ố. C. Hai. D. Khơng cĩ. Câu 7: Cho hình ch ữ nh ật cĩ O là tâm đối x ứng. H ỏi cĩ bao nhiêu phép quay tâm O gĩc α,0≤ α ≤ 2, π bi ến hình ch ữ nh ật trên thành chính nĩ ? A. Khơng cĩ. B. Bốn. C. Hai. D. Ba. Câu 8: Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy , cho điểm M( x; y ) . Tìm t ọa độ ảnh c ủa M qua phép đối x ứng tr ục Ox . A. (x;− y ) . B. (y;− x ) . C. (−x; y ) . D. (−y; − x ) . Câu 9: Trong các hình d ưới đây, hình nào khơng cĩ tâm đối x ứng ? A. Hình g ồm m ột đường trịn và m ột tam giác đều n ội ti ếp. B. Hình l ục giác đều. C. Hình g ồm m ột hình vuơng và đường trịn n ội ti ếp. D. Hình g ồm một đường trịn và m ột hình ch ữ nh ật n ội ti ếp. Câu 10: Mệnh đề nào d ưới đây đúng ? A. Phép đối x ứng tâm cĩ đúng m ột điểm bi ến thành chính nĩ. B. Phép đối x ứng tâm cĩ hai điểm bi ến thành chính nĩ. C. Phép đối x ứng tâm khơng cĩ điểm nào bi ến thành chính nĩ. D. Phép đối x ứng tâm cĩ vơ s ố điểm bi ến thành chính nĩ. Câu 11: Hình g ồm hai đường trịn phân bi ệt cĩ cùng bán kính cĩ bao nhiêu tâm đối x ứng ? A. Vơ s ố. B. Khơng cĩ. C. Một. D. Hai. Câu 12: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (2;3) . Trong các điểm d ưới đây, M là ảnh c ủa điểm nào dưới đây qua phép đối x ứng tr ục Oy . (− ) ( − ) ( ) ( − ) A. M4 2;3 . B. M3 3; 2 . C. M2 3;2 . D. M4 2; 3 . 33 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  37. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 13: Mệnh đề nào d ưới đây sai ? A. Hai hình ch ữ nh ật b ất kì luơn đồng d ạng. B. Hai đường trịn b ất kì luơn đồng d ạng. C. Hai đường th ẳng b ất kì luơn đồng d ạng. D. Hai hình vuơng b ất kì luơn đồng d ạng. Câu 14: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (1;5 ) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x−2 y + 4 = 0. Tìm tọa độ ảnh c ủa M qua phép đối x ứng tr ục d. A. (2;1) . B. (1;3) . C. (3;2) . D. (3;1) . Câu 15: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng ∆:x = 2. Trong b ốn đường th ẳng cho b ởi các ph ươ ng trình sau đường th ẳng nào là ảnh c ủa ∆ qua phép đối x ứng tâm O ? A. x = 2. B. y = 2. C. y = − 2. D. x = − 2. Câu 16: Hình vuơng cĩ m ấy tr ục đối x ứng ? A. 2. B. 1. C. Vơ s ố. D. 4. Câu 17: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (−2;4) . Hỏi phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k = − 2 bi ến điểm M thành điểm nào trong các điểm d ưới đây ? A. H (−8;4) . B. I (4;− 8) . C. H (4;8) . D. J (−4; − 8) . Câu 18: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x+ y −2 = 0. Vi ế ph ươ ng trình đường th ẳng d′là ảnh c ủa d qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm 1 I (−1; − 1 ) tỉ s ố k = và phép quay tâm O gĩc 450 . 2 A. x+2 y − 1 = 0. B. y = 0. C. x+ y = 0. D. x = 0.  Câu 19: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho v = (1;2 ) và điểm M (2;5) . Trong các điểm d ưới đây, điểm nào là  ảnh của điểm M qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v. ( ) ( ) ( ) ( ) A. M3 1;6 . B. M2 4;7 . C. M4 3;1 . D. M1 3;7 . Câu 20: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (2;3) . Trong các điểm d ưới đây, điểm nào là ảnh c ủa điểm M qua phép đối x ứng qua đường th ẳng x− y = 0. A. P (2;− 3) . B. Q(3;− 2) . C. K (−2;3) . D. N (3;2) . Câu 21: Trong m ặt ph ẳng toạ độ Oxy , cho điểm M( x; y ) . Tìm t ọa độ ảnh c ủa M qua phép đối x ứng tr ục Oy . A. (y; x ) . B. (−x; − y ) . C. (−x; y ) . D. (y;− x ) . Câu 22: Mệnh đề nào d ưới đây sai? A. Phép d ời hình là m ột phép đồng d ạng. B. Phép đồng d ạng là m ột phép d ời hình. C. Phép v ị t ự là m ột phép đồng d ạng. D. Cĩ phép v ị t ự khơng ph ải là phép d ời hình. Câu 23: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng d:3 x− 2 y − 1 = 0. Tìm ảnh c ủa đường th ẳng d qua phép đối x ứng tâm O. + − = − + = + + = − − = A. d3 :3 x 2 y 1 0. B. d1 :3 x 2 y 1 0. C. d4 :3 x 2 y 1 0. D. d2 :3 x 2 y 1 0. Câu 24: Cĩ bao nhiêu điểm bi ến thành chính nĩ qua phép quay tâm O gĩc α≠ k2 π , k là m ột s ố nguyên ? A. Một. B. Vơ s ố. C. Khơng cĩ. D. Hai. Câu 25: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình x = 2 2 . Hãy vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d′ là ảnh c ủa d qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O 1 tỉ s ố k = và phép quay tâm O gĩc quay 450 . 2 A. x+ y +2 = 0. B. y −2 = 0. C. x+ y −2 = 0. D. x+2 y − 3 = 0. Câu 26: Mệnh đề nào d ưới đây đúng ? A. Đường trịn là hình cĩ vơ s ố tr ục đối x ứng. 34 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  38. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp B. Một hình cĩ vơ s ố tr ục đối x ứng thì hình đĩ ph ải là hình g ồm hai đường th ẳng vuơng gĩc. C. Một hình cĩ vơ s ố tr ục đối x ứng thì hình đĩ ph ải là đường trịn. D. Một hình cĩ vơ s ố tr ục đối x ứng thì hình đĩ ph ải là hình g ồm nh ững đường trịn đồng tâm. Câu 27: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng ∆:x −+ y 40. = Hỏi trong b ốn đường th ẳng cho b ởi các ph ươ ng trình sau đường th ẳng nào cĩ th ể bi ến thành ∆ qua m ột phép đối x ứng tâm ? A. 2x+ 2 y − 3 = 0. B. 2x+ y − 40. = C. x+ y −1 = 0. D. 2x− 2 y + 1 = 0. Câu 28: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (2;5) . Trong các điểm d ưới đây, điểm nào là ảnh c ủa điểm M qua phép đối x ứng tr ục Ox . (− ) ( − ) ( − ) ( ) A. M3 2;3 . B. M4 3; 2 . C. M2 2; 3 . D. M1 3;2 . Câu 29: Cho tam giác đều tâm O. H ỏi cĩ bao nhiêu phép quay tâm O gĩc α,0≤ α ≤ 2, π bi ến tam giác trên thành chính nĩ ? A. Hai. B. Bốn. C. Ba. D. Một. 2 2 Câu 30: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn ():C( x− 1) ++( y 2) = 4. Hỏi phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = − 2 bi ến ( C) thành đường trịn nào trong các đường trịn cĩ ph ươ ng trình d ưới đây ? 2 2 2 2 A. ( x+2) ++( y 4) = 16. B. ( x−4) +−( y 2) = 16. 2 2 2 2 C. ( x−2) +−( y 4) = 16. D. ( x−4) +−( y 2) = 4. Câu 31: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn d: x+ y − 20. = Hỏi phép d ời hình cĩ được b ằng cách  th ực hi ện liên ti ếp phép đối x ứng tâm O và phép t ịnh ti ến theo vect ơ v = (3;2 ) bi ến d thành đường th ẳng nào trong các đường th ẳng cĩ ph ươ ng trình d ưới đây ? A. 3x+ 3 y − 2 = 0. B. x+ y −3 = 0. C. x+ y +2 = 0. D. x− y +2 = 0. Câu 32: Mệnh đề nào d ưới đây sai ? A. Phép đối x ứng tâm bi ến đường th ẳng thành đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới nĩ. B. Phép t ịnh ti ến tr ục bi ến đường th ẳng thành đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới nĩ. C. Phép đối x ứng tr ục bi ến đường th ẳng thành đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới nĩ. D. Phép v ị t ự bi ến đường th ẳng thành đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới nĩ. Câu 33: Phép d ời hình nào d ưới đâyvkhơng cĩ tính ch ất “Bi ến m ột đường th ẳng thành đường th ẳng song song ho ặc trùng v ới nĩ ? A. Phép t ịnh ti ến. B. Phép đối x ứng tr ục. C. Phép đối x ứng tâm. D. Phép v ị t ự. Câu 34: Cĩ bao nhiêu phép t ịnh ti ến bi ến m ột đường trịn cho tr ước thành chính nĩ ? A. Vơ s ố. B. Một. C. Hai. D. Khơng cĩ. Câu 35: Mệnh đề nào d ưới đây đúng ? A. Th ực hi ện liên ti ếp hai phép đối x ứng tr ục s ẽ được m ột phép đối x ứng tr ục. B. Th ực hi ện liên ti ếp hai phép t ịnh ti ến s ẽ được m ột phép t ịnh ti ến. C. Th ực hi ện liên ti ếp phép quay và phép t ịnh ti ến s ẽ được m ột phép t ịnh ti ến. D. Th ực hi ện liên ti ếp phép đối x ứng qua tâm và phép đối x ứng qua tr ục s ẽ được m ột phép đối x ứng qua tâm. Câu 36: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn d:2 x+ y − 3 = 0. Hỏi phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k = 2 bi ến d thành đường th ẳng nào trong các đường th ẳng cĩ ph ươ ng trình d ưới đây ? A. 2x+ y − 30. = B. 4x+ 2 y − 5 = 0. C. 2x+ y − 60. = D. 4x− y − 30. = Câu 37: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn d: x+ y − 20. = Hỏi phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k = − 2 bi ến d thành đường th ẳng nào trong các đường th ẳng cĩ ph ươ ng trình d ưới đây ? A. x+ y +4 = 0. B. 2x+ 2 y = 0. C. x+ y −4 = 0. D. x+ y −4 = 0. Câu 38: Cho hai đường th ẳng c ắt nhau d và d′. Cĩ bao nhiêu phép đối x ứng tr ục bi ến d thành d′? A. Một. B. Hai. C. Vơ s ố. D. Khơng cĩ. Câu 39: Cho l ục giác đều ABCDEF tâm O, g ọi I, J lần l ượt là trung điểm c ủa AB và CD cĩ hình v ẽ bên. Tìm m ột phép d ời hình bi ến tam giác AIF thành tam giác CJB . 35 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  39. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp  A F A. Phép t ịnh ti ến theo vect ơ AC . 0 I B. Phép quay tâm B gĩc 120 . O C. Phép quay tâm O gĩc 1200 . B E D. Phép đối x ứng qua tr ục BO . C J D Câu 40: Trong các phép bi ến hình sau, phép nào khơng ph ải là phép d ời hình ? A. Phép đối x ứng tr ục. B. Phép đồng nh ất. C. Phép v ị t ự t ỉ s ố −1. D. Phép chi ếu vuơng gĩc lên m ột đường th ẳng. 2 2 Câu 41: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn ():C( x− 2) +−( y 2) = 4. Hỏi phép đồng cĩ được b ằng 1 cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k = và phép quay tâm O gĩc 90 0 bi ến ( C) thành đường 2 trịn nào trong các đường trịn cĩ ph ươ ng trình d ưới đây ? 2 2 2 2 A. ( x−1) +( y − 1) = 1. B. ( x−2) +−( y 2) = 4. 2 2 2 2 C. ( x+2) +−( y 1) = 4. D. ( x+1) +( y − 1) = 1.  Câu 42: Trong m ặt ph ẳng to ạ độ Oxy , cho v =( − 2;3) và đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 3x− 5 y + 30 = .  Vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d′là ảnh c ủa d qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v . A. 3x− 5 y + 24 = 0. B. 3x− 5 y + 16 = 0. C. x+ y +2 = 0. D. 3x+ 5 y − 24 = 0. Câu 43: Cho hình vuơng ABCD tâm O. Xét phép quay Q cĩ tâm quay O gĩc quay ϕ . V ới giá tr ị nào dưới đây c ủa ϕ , phép quay Q bi ến hình vuơng ABCD thành chính nĩ ? π π π π A. ϕ = . B. ϕ = . C. ϕ = . D. ϕ = . 6 3 4 2 Câu 44: Trong mặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (2;4) . Hỏi phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện 1 liên ti ếp phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k = và phép đối x ứng qua tr ục Oy bi ến điểm M thành điểm nào trong các 2 điểm d ưới đây ? A. N (1;2) . B. M (−1;2) . C. P (−2;4) . D. Q(1;− 2) . Câu 45: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng d cĩ ph ươ ng trình 2x− y − 30. = Vi ếi ph ươ ng trình đường th ẳng ∆′ là ảnh c ủa ∆:x − 3 y + 11 = 0 qua phép đối x ứng tr ục d. A. 3x− y − 70. = B. 3x+ y − 17 = 0. C. 3x+ y + 17 = 0. D. 3x+ 2 y − 15 = 0. Câu 46: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (1;1) . Trong b ốn điểm sau điểm nào là ảnh c ủa M qua phép quay tâm O, gĩc 45 0 ? A. Q(1;0) . B. N (0; 2) . C. K (−1;1) . D. P ( 2;0) . Câu 47: Cho tam giác hình tâm O. H ỏi cĩ bao nhiêu phép quay tâm O gĩc α,0≤ α ≤ 2, π bi ến hình vuơng trên thành chính nĩ ? A. Bốn. B. Hai. C. Ba. D. Một. Câu 48: Mệnh đề nào d ưới đây sai ? A. Cĩ m ột phép t ịnh ti ến bi ến m ọi điểm thành chính nĩ. 36 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  40. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp B. Cĩ m ột phép v ị t ự bi ến m ọi điểm thành chính nĩ. C. Cĩ m ột phép đối x ứng tr ục bi ến m ọi điểm thành chính nĩ. D. Cĩ m ột phép quay bi ến m ọi điểm thành chính nĩ. Câu 49: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho các điểm A(−3;2) , B ( − 4;5 ) và C (−1;3) . Gọi tam giác A′ B ′ C ′ là ảnh c ủa tam giác ABC qua phép d ời hình cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép quay tâm O gĩc 90 0 và phép đối x ứng qua tr ục Ox . Tìm to ạ độ các đỉnh c ủa tam giác A′ B ′ C ′ . A. A′(2;− 3) , B ′( 5; − 4) , C ′ ( 3; − 1) . B. A′(2;− 3) , B ′( 4;5) , C ′ ( − 1;3) . C. A′(−2;3) , B ′( 5;4) , C ′ ( 3; − 1) . D. A′(2;3) , B ′( 5;4) , C ′ (− 3;1) . Câu 50: Trong các hình d ưới đây, hình nào cĩ b ốn tr ục đối x ứng ? A. Hình vuơng. B. Hình ch ữ nh ật. C. Hình bình hành. D. Hình thoi. Câu 51: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn d:2 x− y = 0. Hỏi phép đồng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k = − 2 và phép đối x ứng qua tr ục Oy bi ến d thành đường th ẳng nào trong các đường th ẳng cĩ ph ươ ng trình d ưới đây ? A. 2x+ y − 20. = B. 2x− y = 0. C. 4x− y = 0. D. 2x+ y = 0. Câu 52: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm M (1;1) . Hỏi phép d ời hình cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên  ti ếp phép đối x ứng tâm O và phép t ịnh ti ến theo vect ơ v = (2;3 ) bi ến M thành điểm nào trong các điểm dưới đây ? A. P (2;0) . B. H (4;4) . C. K (1;3) . D. Q(0;2) . Câu 53: Trong m ặt phẳng Oxy , cho đường th ẳng d:3 x− 2 y + 1 = 0. Tìm ảnh c ủa đường th ẳng d qua phép đối x ứng tr ục Ox . + − = − − = − + −= + + = A. d2 :3 x 2 y 1 0. B. d4 :3 x 2 y 1 0. C. d3 :3 x 2 y 1 0. D. d1 :3 x 2 y 1 0.  Câu 54: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho v =(2; − 1 ) và điểm M (−3;2) . Trong các điểm d ưới đây, điểm nào  là ảnh c ủa điểm M qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v. (− ) ( ) ( ) ( − ) A. M1 1;1 . B. M2 5;3 . C. M3 1;1 . D. M4 1; 1 .  Câu 55: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường th ẳng d:2 x− y + 10. = Tìm t ọa độ c ủa vect ơ v để phép t ịnh  ti ến theo v bi ến d thành chính nĩ.     A. v = (2;1) . B. v =(2; − 1) . C. v = (1;2) . D. v =( − 1;2) . 2 2 Câu 56: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn (C): ( x−1) +( y − 2) = 4. Hãy vi ết ph ươ ng trình đường trịn ( C’) là ảnh c ủa ( C) qua phép đồng d ạng cĩ được b ằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép v ị t ự tâm O tỉ s ố k = − 2 và phép đối x ứng tr ục Ox . 2 2 2 2 A. ( x−1) +−( y 2) = 16. B. ( x−2) ++( y 4) = 16. 2 2 2 2 C. ( x−2) +−( y 4) = 16. D. ( x+2) +−( y 4) = 16. Câu 57: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho điểm I (1;2 ) và M (2;3) . Trong b ốn điểm sau điểm nào là ảnh c ủa M qua phép đối x ứng tâm I ? A. P (5;− 4) . B. J (−1;3) . C. H (−1;5) . D. K (2;1) . Câu 58: Cho hình vuơng ABCD tâm O. Tìm ảnh c ủa đường th ẳng BC qua phép quay tâm O gĩc 900 . A. CD . B. AC . C. BA . D. AD . Câu 59: Cĩ bao nhiêu phép t ịnh ti ến bi ến m ột hình vuơng thành chính nĩ ? A. Bốn. B. Một. C. Hai. D. Vơ s ố. Câu 60: Cĩ bao nhiêu phép t ịnh ti ến bi ến m ột đường th ẳng cho tr ước thành chính nĩ ? A. Khơng cĩ. B. Vơ s ố. C. Ch ỉ cĩ hai. D. Ch ỉ cĩ m ột. 37 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  41. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 61: Trong m ặt ph ẳng O xy , cho đường trịn ( C) cĩ ph ươ ng trình x2+ y 2 −2 x + 4 y −= 40 . Tìm ảnh  của ( C) qua phép t ịnh ti ến theo vect ơ v =( − 2;3). A. (x− 1)2 + ( y + 1) 2 = 9. B. (x+ 1)2 + ( y − 1) 2 = 9. C. (x− 1)2 + ( y − 1) 2 = 9. D. (x+ 2)2 +− ( y 1) 2 = 9. 2 2 Câu 62: Trong m ặt ph ẳng Oxy , cho đường trịn ():C( x− 1) ++( y 2) = 4. Hỏi phép d ời hình cĩ được  bằng cách th ực hi ện liên ti ếp phép đối x ứng qua tr ục Oy và phép t ịnh ti ến theo vect ơ v = (2;3 ) bi ến ( C) thành đường trịn nào trong các đường trịn cĩ ph ươ ng trình d ưới đây ? 2 2 2 2 A. ( x−2) +−( y 3) = 4. B. ( x−2) +−( y 6) = 4. 2 2 C. ( x−1) +( y − 1) = 4. D. x2+ y 2 = 4. 38 Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
  42. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D 61 62 A B C D 39 Hình h ọc 11 Chương I. PDH & PĐD trong m ặt phẳng
  43. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp CH ƯƠ NG II ĐƯỜNG TH ẲNG VÀ MẶT PH ẲNG TRONG KHƠNG GIAN QUAN H Ệ SONG SONG §1. ĐẠI C ƯƠ NG V Ề ĐƯỜNG TH ẲNG VÀ M ẶT PH ẲNG A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM I. Các tính ch ất th ừa nh ận Tính ch ất 1. Cĩ m ột và ch ỉ m ột đường th ẳng đi qua hai điểm phân bi ệt . Tính ch ất 2. Cĩ m ột và ch ỉ m ột m ặt ph ẳng đi qua ba điểm khơng th ẳng hàng. Tính ch ất 3. Nếu đường th ẳng cĩ hai điểm phân bi ệt thu ộc m ột m ặt ph ẳng thì m ọi điểm c ủa đường th ẳng đều thu ộc m ặt ph ẳng đĩ. Lưu ý: Đường th ẳng d nằm trong mp (α ) ta kí hi ệu: d⊂(α ) hay ( α ) ⊃ d Tính ch ất 4. Tồn t ại b ốn điểm khơng cùng thu ộc m ột m ặt ph ẳng. Tính ch ất 5. N ếu hai m ặt ph ẳng phân bi ệt cĩ m ột điểm chung thì chúng cịn cĩ m ột điểm chung khác n ữa. Nh ư vậy: N ếu hai m ặt ph ẳng phân bi ệt cĩ m ột điểm chung thì chúng cĩ m ột đường th ẳng chung đi qua điểm chung ấy và đường th ẳng đĩ g ọi là giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng. Tính ch ất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. II. Cách xác định mặt phẳng. Một mặt phẳng hồn tồn xác định khi biết: 1. Nĩ đi qua ba điểm khơng thẳng hàng 2. Nĩ đi qua một điểm và chứa một đường thẳng khơng đi qua điểm đĩ 3. Nĩ chứa hai đường thẳng cắt nhau Kí hi ệu - (ABC ) bi ểu th ị m ặt ph ẳng xác định b ởi ba điểm phân bi ệt khơng th ẳng hàng A, B, C. - (M, d) bi ểu th ị m ặt ph ẳng xác định b ởi đường th ẳng d và điểm M khơng n ằm trên d. - (d1, d 2) bi ểu th ị m ặt ph ẳng xác định b ởi hai đường th ẳng c ắt nhau d1 và d2. III. Hình chĩp và hình t ứ di ện 1. Hình chĩp α α Trong m ặt ph ẳng ( ) cho đa giác l ồi A1 A 2 A n . Điểm S nằm ngồi ( ) . L ần l ượt n ối S với các đỉnh A1, A 2 , , A n ta được n tam giác SA12 A, SA 23 A , , SAn A 1 . Hình g ồm cĩ đa giác A1 A 2 A n và n tam giác SA12 A, SA 23 A , , SAn A 1 được g ọi là hình chĩp , kí hi ệu SAA.1 2 A n 2. Hình t ứ di ện Cho b ốn điểm A, B, C, D khơng đồng ph ẳng. Hình g ồm b ốn tam giác ABC , ABD , ACD và BCD được gọi là hình t ứ di ện , kí hi ệu ABCD . B. BÀI T ẬP Vấn đề 1. Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng Ph ươ ng pháp: Ta đi tìm hai điểm chung phân b ệt của hai m ặt ph ẳng đĩ. Giao tuy ến c ủa chúng là đường th ẳng đi qua hai điểm đĩ. α∩ β = M  Ngh ĩa là: αβ∩ = N⇒ αβ∩ = MN  M≡ N 40 HÌNH HỌC 11 Chương II. ĐT & MP Trong KG. QHSS
  44. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 1.1. Cho b ốn điểm khơng đồng ph ẳng A, B, C và D. Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao AM AN cho =1; = 2 . Hãy xác định giao tuy ến c ủa m ặt ph ẳng ( DMN ) v ới các m ặt ( ABD ), ( ACD ), ( ABC ) BM NC và ( BCD ) . HD Gi ải  (DMN )(∩ ADB )? = .  (DMN )(∩ ABC ) = MN Ta cĩ D∈( DMN )( ∩ ADB )  (DMN )(∩ BCD )? = M∈( DMN )  AM AN  Trong mp(ABC) cĩ ≠ , nên M∈ AB ⊂ () ABD⇒ M∈ () ABD  BM NC MN∩ BC = E ⇒ M∈( DMN )( ∩ ABD ) Tươ ng t ự: (DMN )(∩ BCD ) = DE Vậy : DM=( DMN )( ∩ ABD )  (DMN )(∩ ACD ) = DN A M D N Hình 1.1 B C E Bài 1.2. Cho S là m ột điểm khơng thu ộc m ặt ph ẳng hình bình hành ABCD . Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng ( SAC ) và ( SBD ). HD Gi ải Gọi O là giao điểm c ủa AC và BD . Ta cĩ S S∈( SAC )( ∩ SBD ) O∈ AC ⊂ ( SAC )   ⇒ O∈( SAC )( ∩ SBD ) O∈ BD ⊂ ( SBD )  A nên SO=( SAC )( ∩ SBD ) D Vậy giao tuy ến hai m ặt ph ẳng ( SAC ) và ( SBD ) là O đường th ẳng SO B Hình 1.2 C Bài 1.3. Cho S là m ột điểm khơng thu ộc m ặt ph ẳnh hình thang ABCD (AB // CD và AB > CD ). Tìm giao tuy ến hai m ặt ph ẳng ( SAD ) và ( SBC ). HD Gi ải Gọi I là giao điểm AD và BC . Ta cĩ S và I là hai S điểm chung c ủa ( SAD ) và ( SBC ), nên SI=( SAD )( ∩ SBC ) Vậy giao tuy ến hai m ặt ph ẳng ( SAD ) và ( SBC ) là A đường th ẳng SI . D I C Hình 1.3 B Bài 1.4. Cho b ốn điểm A,B,C,D khơng đồng ph ẳng. G ọi I, K lần l ượt là trung điểm của hai đoạn th ẳng AD và BC . a) Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng ( IBC ) và ( KAD ) b) Gọi M và N là hai điểm l ần l ượt trên hai đường th ẳng AB và AC . Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng (IBC ) và ( DMN ). HD Gi ải 41 HÌNH HỌC 11 Chương II. ĐT & MP Trong KG. QHSS
  45. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) (IBC )(∩ KAD ) = KI . trong mp(ACD) , g ọi F= ND ∩ CI Vậy giao tuy ến hai m ặt ph ẳng (IBC) và Ta cĩ: (IBC )(∩ DMN ) = EF (KAD) là đường th ẳng KI. Vậy giao tuy ến hai m ặt ph ẳng (IBC) và b) Trong mp (ABD), g ọi E= MD ∩ BI , (DMN) là đường th ẳng EF. A I M E N F D B Hình 1.4 K C Vấn đề 2. Tìm giao điểm c ủa đường th ẳng d và m ặt ph ẳng (α ) Ph ươ ng pháp: Để tìm giao điểm c ủa m ột đường th ẳng d và m ột m ặt ph ẳng (α ) , ta cĩ th ể đư a v ề vi ệc tìm giao điểm c ủa đường th ẳng d với m ột đường th ẳng d / nằm trong m ặt ph ẳng (α ) mp phụ(β ) ⊃ d   Ngh ĩa là: ()()β∩ α = d/  ⇒ d∩ () α = I /  d∩ d = I  Bài 1.5. Cho tam giác BCD và điểm A khơng thu ộc m ặt ph ẳng ( BCD ). Gọi K là trung điểm c ủa đoạn AD và G là tr ọng tâm c ủa tam giác ABC . Tìm giao điểm c ủa đường th ẳng GK với m ặt ph ẳng ( BCD ). HD Gi ải Gọi J là giao điểm c ủa AG và BC. Trong m ặt A AG2 AK 1 ph ẳng (AJD), ta cĩ =; = nên GK và AJ3 AD 2 K JD c ắt nhau. G ọi L là giao điểm c ủa GK và JD . Ta cĩ L∈ GK G B D L∈ JD  ⇒ L∈( BCD ) I JD⊂ ( BCD ) Hình 1.5  L C Vậy L là giao điểm c ủa GK và ( BCD ) Bài 1.6. Cho t ứ di ện ABCD . G ọi M, N lần l ượt là trung điểm các c ạnh AB và CD , trên AD lấy điểm P khơng trùng v ới trung điểm AD. a) Gọi E là giao điểm c ủa đường th ẳng MP và BD . Tìm giao tuy ến c ủa hai mp ( PMN ) và ( BCD ) b) Tìm giao điểm c ủa hai mp ( PMN ) và BC . HD Gi ải a ) (MNP )(∩ BCD ) = EN A P b) Trong mp (BCD), g ọi Q= EN ∩ BC M Ta cĩ : BC∩( MNP ) = Q E B D Hình 1.6 Q N C 1 Bài 1.7. Cho t ứ di ện ABCD . G ọi I, J là các điểm l ần l ượt n ằm trên các c ạnh AB , AD với AI= IB và 2 2 AJ= JD . Tìm giao điểm c ủa đường th ẳng IJ với m ặt ph ẳng ( BCD ). 3 HD Gi ải 42 HÌNH HỌC 11 Chương II. ĐT & MP Trong KG. QHSS
  46. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp  1 AI= IB  Do  2 nên IJ kéo dài c ắt BD , g ọi giao điểm là K. Khi đĩ K= IJ ∩ ( BCD ) 2 AJ= JD  3 A I J B D K Hình 1.7 C Bài 1.8. Cho t ứ di ện ABCD và điểm M thu ộc mi ền trong c ủa tam giác ACD . G ọi I và J lần l ựơt là hai điểm trên c ạnh BC và BD sao cho IJ khơng song song v ới CD . a) Hãy xác định giao tuy ến hai m ặt ph ẳng ( IJM ) và ( ACD ) b) Lấy điểm N thu ộc mi ền trong tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuy ến c ủa hai mp (MNJ ) và ( ABC ). HD Gi ải P a) Trong mp( BCD ) cĩ IJ khơng song song v ới CD A nên: K= IJ ∩ CD Q M là điểm chung th ứ nh ất c ủa ( ACD ) và ( IJM ) L K là điểm chung th ứ hai c ủa ( ACD ) và ( IJM ) Vậy: (IJM )(∩ ACD ) = MK N b) Với L= JN ∩ AB , L là giao điểm th ứ nh ất c ủa hai mp( MNJ ) và J M (ABC ) B D Trong mp( ABD ), g ọi P=∩ JL AD, Q = PM ∩ AC đ ể ứ ủ I Ta cĩ Q là giao i m th hai c a hai mp( MNJ ) và Hình 1.8 (ABC ) Vậy: (MNJ )(∩ ABC ) = LQ C K Bài 1.9. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là t ứ giác ABCD cĩ hai c ạnh đối di ện khơng song song. L ấy điểm M thuơc mi ền trong c ủa tam giác SCD . Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng: a) (SBM ) và ( SCD ) b) ( ABM ) và( SCD ) c) ( ABM ) và ( SAC ) HD Gi ải a) Ta cĩ ngay: (SBM )(∩ SCD ) = SM S b) Ta cĩ: M∈( ABM )( ∩ SCD ) Trong mp ( ABCD ) g ọi I= AB ∩ CD Suy ra : MI=( ABM )( ∩ SCD ) M c) Ta cĩ: A∈( ABM )( ∩ SAC ) . A D J Trong mp (SCD), g ọi J= IM ∩ SC Suy ra: J∈( ABM )( ∩ SAC ) B Hình C 1.9 Vậy: AJ=( ABM )( ∩ SAC ) I Bài 1.10. Cho t ứ di ện ABCD. Trên AB l ấy điểm I và l ấy các điểm J, K l ần l ượt là điểm thu ộc mi ền trong các tam giác BCD và ACD. G ọi L là giao điểm c ủa JK v ới mp (ABC). a) Hãy xác định L b) Tìm giao tuy ến c ủa mp(IJK) v ới các m ặt c ủa t ứ di ện ABCD. HD Gi ải a) Trong mp (ACD), g ọi N∈ DK ∩ AC Trong mp (BCD), g ọi M= DJ ∩ BC 43 HÌNH HỌC 11 Chương II. ĐT & MP Trong KG. QHSS
  47. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Ta cĩ MN=()() DJK ∩ ABC⇒ MN⊂ () ABC A = ∩ Vì L( ABC ) JK nên d ễ th ấy L L= JK ∩ MN b) Ta cĩ: I∈( ABC )( ∩ IJK ) E = ∩ I Hình và L JK MN 1.10 Nên cĩ IM=( ABC )( ∩ IJK ) Trong mp(ABC) và (ACD) g ọi E= IL ∩ AC = ∩ và F EK CD N Suy ra: EF=( ACD )( ∩ IJK ) K B Trong mp (BCA), n ối FJ c ắt BD t ại P. P D Suy ra: PF=( BCD )( ∩ IJK ) và M J PI=( ABD )( ∩ IJK ) F C Bài 1.11. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là tứ giác, M và N tươ ng ứng là các điểm thu ộc các c ạnh SC và BC . Tìm giao điểm c ủa đường th ẳng SD với m ặt ph ẳng ( AMN ). HD Gi ải Gọi O= AC ∩ BD .Trong mp(SAC), g ọi S K= SO ∩ AM P Trong mp(ABCD), g ọi L= BD ∩ AN Ch ọn m ặt ph ẳng ph ụ (SBD) ch ứa SD. M Và ta cĩ: LK=( SBD )( ∩ AMN ) K Mà trong mp (SBD), cĩ LK∩ SD = P D Vậy: P= SD ∩ ( AMN ) A O C N B Hình 1.11 Vấn đề 3. Ch ứng minh ba điểm th ẳng hàng Ph ươ ng pháp: Để ch ứng ba điểm th ẳng hàng, ta cĩ th ể ch ứng minh chúng cùng thu ộc hai m ặt ph ẳng riêng bi ệt. Bài 1.12. Cho t ứ di ện SABC . Trên SA, SB, SC lần l ượt l ấy các điểm D, E và F sao cho c ắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Ch ứng minh r ằng ba điểm I, J, K th ẳng hàng. HD Gi ải I∈ DE  S Ta cĩ:  ⇒ I∈( DEF ) F ⊂ DE( DEF )  D I∈ AB  Và  ⇒ I∈( ABC ) E AB⊂ ( ABC )  K A C Suy ra: J∈( MNK )( ∩ BCD ) Hình 1.12 Lí lu ận t ươ ng t ự ta cĩ: B J J, K cũng là điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng ( DEF) và ( ABC ) Vậy I, J, K thu ộc v ề giao tuy ến c ủa hai I mặt ph ẳng ( DEF ) và ( ABC ) nên I, J, K th ẳng hàng. Bài 1.13. Cho ba điểm A, B, C khơng thu ộc m ặt ph ẳng (Q) và các đường th ẳng BC, CA, AB c ắt (Q) l ần lượt t ại M, N, P. Ch ứng minh r ằng M, N, P th ẳng hàng. HD Gi ải 44 HÌNH HỌC 11 Chương II. ĐT & MP Trong KG. QHSS
  48. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp Ta cĩ M, N, P lần l ượt thu ộc v ề hai m ặt ph ẳng ( Q) và ( ABC ), nên M, N, P thu ộc v ề giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng ( Q) và ( ABC ). V ậy M, N, P th ẳng hàng. A Hình B 1.13 C M N P Q Bài 1.14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là t ứ giác. AC cắt BD tại O. M ặt ph ẳng (α ) cắt SA, SB , SC và SD lần l ượt t ại A1, B 1, C 1 và D1. Gọi I là giao điểm c ủa A1C1 và B1D1. Ch ứng minh ba điểm S, I, O th ẳng hàng. ả HD Gi i S Ta cĩ I= AC ∩ BD O∈ AC ⊂ ( SAC )  (1) O∈ BD ⊂ ( SBD ) A D 1 1  ∈ ⊂  ∈ I I A1 C 1 ( SAC ) S( SAC ) (2);  (3) B1 ∈ ⊂ ∈ C1 I B1 D 1 () SBD S () SBD A D Từ đĩ suy. S, I, O là ba điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng (SAC) và (SBD). Nên S, I, O thu ộc v ề giao O tuy ến hai m ặt ph ẳng (SAC) và (SBD). B Vậy S, I, O thẳng hàng. Hình 1.14 C Bài 1.15. Cho hai m ặt ph ẳng (α ) và (β ) cắt nhau theo m ột giao tuy ến d. Trong (α ) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là m ột điểm n ằm ngồi (α ) và (β ) sao cho OA và OB cắt (β ) tại A’ và B’ . a) Chúng minh ba điểm I, A’, B’ th ẳng hàng b) Trong (α ) lấy điểm C sao cho A, B, C khơng th ẳng hàng. Gi ả s ử OC cắt (β ) tại C’ , BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Ch ứng minh ba điểm I, J, K th ẳng hàng HD Gi ải a) I, A’, B’ là ba điểm chung c ủa hai mặt ph ẳng ( OAB ) và (β ) nên chúng th ẳng hàng C' b) I, J, K là ba điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng (ABC ) và ( A’B’C’ ) nên chúng th ẳng hàng C I B B' O A A' K Hình 1.15 Bài 1.16. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ AB và CD khơng song song. G ọi M là m ột điểm thu ộc mi ền trong của tam giác SCD . a) Tìm giao điểm N của đường th ẳng CD và m ặt ph ẳng ( SBM ) b) Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng ( SBM ) và (SAC ) c) Tìm giao điểm I của đường th ẳng BM và mp( SAC ) d) Tìm giao điểm P của SC và mp( ABM ), t ừ đĩ suy ra giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng ( SCD ) và ( ABM ). HD Gi ải a) G ọi N= SM ∩ CD . Ta cĩ N= CD ∩ ( SBM ) c) G ọi I= SO ∩ BM b) G ọi O= AC ∩ BN .Ta cĩ: (SBM )(∩ SAC ) = SO Ta cĩ I= BM ∩ ( SAC ) 45 HÌNH HỌC 11 Chương II. ĐT & MP Trong KG. QHSS
  49. Tốn 11 GV. Lư Sĩ Pháp = ∩ = ∩ d) G ọi R AB CD , P MR SC S Ta cĩ P= SC ∩ ( ABM ) ⇒ PM=( SCD )( ∩ ABM ) M D P I A N O B Hình C 1.16 R Bài 1.17. Cho hình chĩp S.ABCD. M, N l ần l ượt là trung điểm các c ạnh SA, SD, G là tr ọng tâm c ủa tam giác SCD. Tìm giao điểm c ủa: a) MG và mp(ABCD) b) BN và mp(SAG) HD Gi ải K∈ BN  ⇒ = ∩ SM 1  K BN( SAG ) a) Do M là trung điểm SA nên = (1) K∈ SI ⊂ ( SAG )  SA 2 S Tronh mp(SCD), cĩ E= SG ∩ CD SG 2 G là tr ọng tâm tam giác SDC nên = (2) N SE 3 M SM SG Từ (1) và (2) suy ra: ≠ nên K G SA SE D F= MG ∩ AE . Vậy ta cĩ A F∈ MG  I  ⇒ F= MG ∩ ( ABCD ) E F∈ AE ⊂ ( ABCD ) B Hình 1.17  F b) Trong mp (ABCD) cĩ I= AE ∩ BD và trong C mp(SBD) cĩ K= BN ∩ SI Ta cĩ Bài 1.18. Cho hình chĩp S.ABCD. G ọi M là m ột điểm n ằm trong tam giác SCD. a) Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng (SBM) và (SAC) b) Tìm giao điểm c ủa đường th ẳng BM và mp(SAC) c) Xác định thi ết di ện c ủa hình chĩp khi c ắt b ởi m ặt ph ẳng (ABM) HD Gi ải a) G ọi N = SM ∩CD, O = AC ∩BN. Khi đĩ SO = S (SAC) ∩ (SBM). b) Trong mp(SBM), đường th ẳng BM c ắt SO t ại I. Ta cĩ I=BM ∩(SAC). Q c) Trong mp(SAC), đường th ẳng AI c ắt SC t ại P. M Ta cĩ P và M là hai điểm chung c ủa mp(ABM) và mp(SCD). ∩ A D vậy (ABM) (SCD) = PM. Đường th ẳng PM c ắt I P SD t ại Q. thi ết di ện c ủa hình chĩp khi c ắt b ởi N mp(ABM) là t ứ giác ABPQ. B O C Hình 1.18 Bài 1.19. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCD (AB//CD, AB > CD). G ọi 46 HÌNH HỌC 11 Chương II. ĐT & MP Trong KG. QHSS