Bài tập Số học Lớp 11 - Chương I+II (Tập 1) - Năm học 2017-2018

pdf 164 trang Đức Chiến 03/01/2024 650
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Số học Lớp 11 - Chương I+II (Tập 1) - Năm học 2017-2018", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_so_hoc_lop_11_chuong_iii_tap_1_nam_hoc_2017_2018.pdf

Nội dung text: Bài tập Số học Lớp 11 - Chương I+II (Tập 1) - Năm học 2017-2018

  1. Giáo Viên Tr ường THPT Tuy Phong TOAÙN 11 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III TẬP 1 DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
  2. LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc gi ả, quý th ầy cô và các em h ọc sinh thân m ến! Nh ằm giúp các em h ọc sinh có tài li ệu t ự h ọc môn Toán, tôi biên so ạn cu ốn gi ải toán tr ọng tâm c ủa l ớp 11. ộ ủ ố ệ ươ ẩ N i dung c a cu n tài li u bám sát ch ng trình chu n và ch ươ ng trình nâng cao v ề môn Toán đã được B ộ Giáo d ục và Đào t ạo quy định. Nội dung g ồm 3 ph ần Ph ần 1. Ki ến th ức c ần n ắm Ph ần 2. D ạng bài t ập có h ướng d ẫn gi ải và bài t ập đề ngh ị ầ ầ ắ ệ đ Ph n 3. Ph n tr c nghi m có áp án. Cu ốn tài li ệu được xây d ựng s ẽ còn có nh ững khi ếm khuy ết. R ất mong nh ận được s ự góp ý, đóng góp c ủa quý đồng nghi ệp và các em học sinh. Mọi góp ý xin g ọi v ề s ố 01655.334.679 – 0916.620.899 Email: lsp0207@yahoo.com.vn lsp02071980@gmail.com Chân thành c ảm ơn. Tác gi ả Lư S ĩ Pháp Gv_Tr ường THPT Tuy Phong
  3. MỤC L ỤC CH ƯƠ NG I. HÀM S Ố L ƯỢNG GIÁC VÀ PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC ÔN T ẬP CÔNG TH ỨC L ƯỢNG GIÁC Trang 1 §1. HÀM S Ố L ƯỢNG GIÁC Trang 3 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC C Ơ B ẢN Trang 11 §3. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC ĐƠ N GI ẢN TH ƯỜNG G ẶP Trang 18 ÔN T ẬP CH ƯƠ NG I Trang 27 TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG I Trang 44 ĐÁP ÁN Trang 59 CH ƯƠ NG II. TỔ H ỢP – XÁC SU ẤT §1. HAI QUY T ẮC ĐẾM C Ơ BẢN Trang 60 §2. HOÁN V Ị - CH ỈNH H ỢP - TỔ H ỢP Trang 66 §3. NH Ị TH ỨC NIU-TƠN Trang 77 §4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Trang 83 §5. CÁC QUY T ẮC TÍNH XÁC SU ẤT Trang 86 ÔN T ẬP CH ƯƠ NG II Trang 93 TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG II Trang 103 ĐÁP ÁN Trang 116 Ch ươ ng III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1. PH ƯƠ NG PHÁP QUY N ẠP TOÁN H ỌC Trang 118 §2. DÃY S Ố Trang 125 §3. C ẤP S Ố C ỘNG Trang 134 §4. C ẤP S Ố NHÂN Trang 141 ÔN T ẬP CH ƯƠ NG III Trang 150 TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG III Trang 155 ĐÁP ÁN Trang 160
  4. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 0O0 ÔN T ẬP CÔNG TH ỨC L ƯỢNG GIÁC 1. Hằng đẳng th ức lượng giác c ơ bản sin α π  sin2α+ cos 2 α = 1  tanα= ; α ≠+k π , k ∈ ℤ cosα 2 cos α kπ  cotα= ; α ≠k π , k ∈ ℤ  tanα .cot α= 1; α ≠ , k ∈ ℤ sin α 2 1 π 1  1+ tan2 α = ; α ≠+∈k π , k ℤ  1cot+2 α = ; α ≠∈k π , k ℤ cos 2 α 2 sin 2 α 2. Các công th ức l ượng giác 2.1. Công th ức c ộng  cos(αβ±) = cos αβ cos∓ sin αβ sin  sin(αβ±) = sin αβ cos ± cos αβ sin tanα± tan β  tan ()α± β = , v ới m ọi α, β làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa. 1∓ tanα tan β 2.2. Công th ức nhân đôi  sin 2α= 2sin α cos α  cos2ααα= cos22 − sin = 2cos 2 α −=− 1 1 2sin 2 α 2 tan α π  tan2α= ;,2 αα ≠+∈k π , k ℤ 1− tan 2 α 2 2.3. Công th ức nhân ba  cos3α= 4cos3 α − 3cos α  sin3α= 3sin α − 4sin 3 α 2.4. Công th ức h ạ bậc 1+ cos2 α 1− cos2 α  cos 2 α =  sin 2 α = 2 2 1− cos2 α  tan 2 α = , v ới α làm cho bi ểu th ức có ngh ĩa. 1+ cos2 α 2.6. Công th ức bi ến đổi t ổng thành tích αβ+ αβ − αβ+ αβ −  cosα+ cos β = 2cos .cos  cosα− cos β = − 2sin .sin 2 2 2 2 αβ+ αβ − αβ+ αβ −  sinα+ sin β = 2sin .cos sinα− sin β = 2 cos .sin 2 2 2 2 , v ới m ọi α, β làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa. 2.7. Công th ức bi ến đổi tích thành t ổng 1 cos.cosαβ= cos()() αβ ++ cos αβ −  2   1 sinαβ .sin=− cos()() αβ +− cos αβ −  2   1 sinαβ .cos= sin()() αβ ++ sin αβ −  2   1 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  5. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2.8. Công th ức rút g ọn π  π  sinαα+= cos 2 sin α += 2 cos  α − 4  4 π  π  sinαα− cos = 2 sin α −=− 2 cos  α + 4  4 2  tanα+ cot α = , v ới α làm cho bi ểu th ức có ngh ĩa sin 2 α 3. Giá tr ị lượng giác c ủa các góc (cung) có liên quan đặt bi ệt 3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) (α làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa)  cos(−α ) = cos α  sin(−α ) = − sin α  tan(−α ) = − tan α  cot(−α ) = − cot α 3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)(α làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa)  sin(π− α ) = sin α  cos(π− α ) = − cos α  tan(π− α ) = − tan α  cot(π− α ) = − cot α 3.3. Hai góc ph ụ nhau ( cung ph ụ)(α làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa) π  π   sin−α  = cos α  cos−α  = sin α 2  2  π  π   tan−α  = cot α  cot−α  = tan α 2  2  3.4. Hai góc h ơn kém π (cung h ơn kém π ),(α làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa)  sin(π+ α ) = − sin α  cos(π+ α ) = − cos α  tan(π+ α ) = tan α  cot(π+ α ) = cot α π π 3.5. Hai góc h ơn kém (cung h ơn kém ),(α làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa) 2 2 π  π   sin+α  = cos α  cos+α  = − sin α 2  2  π  π   tan+α  = − cot α  cot+α  = − tan α 2  2  3.6. Cung b ội. ( k ∈ℤ , α làm cho các bi ểu th ức có ngh ĩa)  sin(α+k 2 π ) = sin α  cos(α+k 2 π ) = cos α  tan(α+k π ) = tan α  cot(α+k π ) = cot α 4. Bảng giá tr ị lượng giác các góc (cung) đặt bi ệt α 00 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 π π π π 2π 3π 5π π 0 HSLG 6 4 3 2 3 4 6 sin α 1 2 3 3 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 cos α 3 2 1 − 1 2 3 1 0 − − - 1 2 2 2 2 2 2 α tan 3 3 − 3 3 0 1 || - 1 − 0 3 3 α cot 3 3 3 − 3 || 1 0 − - 1 || 3 3 || : Không xác định 2 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  6. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §1. HÀM S Ố LƯỢNG GIÁC A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM Hàm s ố y= sin x Hàm s ố y= cos x • Có tập xác định là ℝ • Có tập xác định là ℝ • Có tập giá tr ị là −1;1  • Có tập giá tr ị là −1;1  • Là hàm s ố lẻ • Là hàm s ố ch ẵn • Là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu kì T = 2π • Là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu kì • Đồng bi ến trên m ỗi kho ảng T = 2π π π  • Đồng bi ến trên m ỗi kho ảng − +π + π k2 ; k 2  và ngh ịch bi ến trên −π + π π 2 2  ( k2 ; k 2 ) và ngh ịch bi ến trên π3 π  mỗi kho ảng (k2;π π+ k 2, π ) k ∈ ℤ mỗi kho ảng +k2;π + k 2, π  k ∈ ℤ 2 2  • Có đồ th ị là một đường hình sin • Có đồ th ị là một đường hình sin Hàm s ố y= tan x Hàm s ố y= cot x π  • Có tập xác định là D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } • =ℝ +π ∈ ℤ 2 Có tập xác định là D1 \ k , k  2  • Có tập giá tr ị là ℝ • Có tập giá tr ị là ℝ • Là hàm s ố lẻ • Là hàm s ố lẻ • Là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu kì là π • Là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu kì là π • Đồng bi ến trên m ỗi kho ảng • Ngh ịch bi ến trên m ỗi kho ảng π π  (kπ; π+ k π ) ; k ∈ ℤ −+kπ; + k π  ; k ∈ ℤ 2 2  • Có đồ th ị nhân m ỗi đường th ẳng • Có đồ th ị nhân m ỗi đường th ẳng π x= kπ; k ∈ ℤ làm m ột đường ti ệm c ận x= + kπ; k ∈ ℤ làm m ột đường ti ệm c ận 2 B. BÀI T ẬP Dạng 1. T ập xác định c ủa hàm s ố - Hàm s ố xác định v ới m ột điều ki ện - Hàm s ố xác định b ởi hai hay nhi ều điều ki ện - Hàm s ố y=sin xy ; = cos x có t ập xác định là ℝ - Hàm s ố y= tan x xác định khi và ch ỉ khi cosx ≠ 0 ; Hàm s ố y= cot x xác định khi và ch ỉ khi sinx ≠ 0 Lưu ý: 1 π π sinu=⇔ 1 u = + k 2 π sinu=−⇔ 1 u =− + k 2 π sinu= 0 ⇔ u = k π 2 2 2 π cosu= 1 ⇔ u = k 2 π cosu=−⇔ 1 u =π + k 2 π cosu= 0 ⇔ u = + k π 2 3 π π tanu=⇔ 1 u = + k π tanu=− 1 ⇔ u =− + k π tanu= 0 ⇔ u = k π 4 4 4 π π π cotu=⇔ 1 u = + k π cotu=− 1 ⇔ u =− + k π cotu= 0 ⇔ u = + k π 4 4 2 1 - Hàm s ố y = xác định khi và ch ỉ khi A ≠ 0 A - Hàm s ố y= A xác định khi và ch ỉ khi A ≥ 0 3 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  7. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 - Hàm s ố y = xác định khi và ch ỉ khi A > 0 A Bài 1.1. Tìm t ập xác định các hàm s ố sau: 1+ cos x 1+ sin x 1+ cos x a) y = b) y = c) y = d) y=3 − sin x sin x cos x 1− cos x HD Gi ải a) Hàm s ố xác định khi và ch ỉ khi sinx≠⇔≠ 0 xkkπ , ∈ ℤ . V ậy D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } π π  b) Hàm s ố xác định khi và ch ỉ khi cos0x≠⇔≠+ x kkπ , ∈ ℤ . V ậy D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  2 2  1+ cos x c) Hàm s ố xác định khi và ch ỉ khi ≥ 0 . Vì 1+ cosx ≥ 0 nên điều ki ện là 1− cosx > 0 hay 1− cos x 1cos−x ≠⇔ 0 cos x ≠⇔≠ 1 xkk 2,π ∈ ℤ . V ậy D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } d) Vì −1 ≤ sinx ≤ 1 nên 3− sinx ≥ 0, ∀∈ x ℝ . V ậy D = ℝ Bài 1.2. Tìm t ập xác định các hàm s ố sau: π  π  π  a) y=tan  x −  b) y=cot  x +  c) y=tan 2 x +  d) y=tan x + cot x 3  6  3  HD Gi ải π  ππ5 π a) Hàm s ố xác định khi và ch ỉ khi cosx−  ≠⇔−≠+ 0 x kxπ ⇔≠ + kk π , ∈ ℤ . 3  32 6 5π  Vậy D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  6  π  π π b) Hàm s ố xác định khi và ch ỉ khi sinx+  ≠⇔+≠ 0 xkxπ ⇔≠−+ kk π , ∈ ℤ . 6  6 6 π  Vậy D=ℝ\ −+ kπ , k ∈ ℤ  6  π  ππ ππk c) Hàm s ố xác định khi và ch ỉ khi cos2x+  ≠⇔+≠+ 0 x kxπ ⇔≠+ , k ∈ ℤ . 3  32 122 πk π  Vậy D=ℝ\ + , k ∈ ℤ  12 2  cosx ≠ 0 kπ d) Hàm s ố xác định khi và ch ỉ khi  ⇔sin2x ≠⇔≠ 0 x , k ∈ ℤ . sinx ≠ 0 2 kπ  Vậy D=ℝ\ , k ∈ ℤ  2  Bài 1.3. Tìm t ập xác định các hàm s ố sau: 2x x a) y = cos b) y = tan c) y = cot2 x x −1 3 1 2 d) y = sin e) y=cos x + 1 f) y = x2 −1 cosx− cos3 x 3 1− sin x 3sinx − 7 g) y = h) y = i) y = sin2x− cos 2 x 1+ cos x 2cosx − 5 HD Gi ải 2x 2x a) Ta có y = cos xác định trên ℝ khi và ch ỉ khi ∈ℝ ⇔x −≠1 0 ⇔ x ≠ 1 . x −1 x −1 4 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  8. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2x Vậy t ập xác định c ủa hàm s ố y = cos là D = ℝ \{ 1 } x −1 x x x π3 π b) Hàm s ố y = tan xác định khi và ch ỉ khi cos0≠⇔≠+kπ ⇔≠ x + kk 3, π ∈ ℤ . 3 3 32 2 3π  Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\ + k 3π , k ∈ ℤ  2  kπ  c) Tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\ , k ∈ ℤ  2  d) Tập xác định c ủa hàm s ố D =ℝ \{ − 1;1 } e) Ta có cosx+ 1 ≥ 0, ∀∈ x ℝ . V ậy tập xác định c ủa hàm s ố D = ℝ f) Ta có cosx− cos3 x =− 2sin2 xx sin( −= ) 4sin2 xx cos . kπ  Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\ , k ∈ ℤ  2  πk π  g) Ta có sin2x− cos 2 x = − cos2 x . V ậy tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\ + , k ∈ ℤ  4 2  h) Ta có 1− sinx ≥+ 0,1 cos x ≥ 0 . Do đó hàm s ố xác định ∀x ∈ ℝ khi cosx ≠ − 1 . V ậy tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\{π + k 2 π , k ∈ ℤ } 3sinx − 7 i) Ta có 3sinx− 0, ∀x ∈ ℝ . V ậy tập xác định c ủa hàm s ố D = ℝ 2cosx − 5 Bài 1.4. Tìm t ập xác định các hàm s ố sau: 1+ x 1− cos2 x a) y= cos x b) y = sin c) y = 1− x 1+ cos2 2 x cot x 2− cos x tanx+ cot x d) y = e) y = f) y = cosx − 1 π  1− sin 2 x 1+ tan x −  3  HD Gi ải a) Ta có y= cos x xác định trên ℝ khi và ch ỉ khi x∈ℝ ⇔ x ≥ 0 . Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D =[0; +∞ ) 1+ x 1+x 1 + x b) Ta có y = sin xác định trên ℝ khi và ch ỉ khi ∈ℝ ⇔ ≥⇔−≤<0 1x 1 . 1− x 1−x 1 − x Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D =[ − 1;1) c) Ta có 1− cos2x ≥+ 0,1 cos22 x ≥∀∈ 0, x ℝ . Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D = ℝ cot x sinx≠ 0  x ≠ k π d) Hàm s ố y = xác định ⇔ ⇔  ⇔≠∈x kπ; k ℤ . cosx − 1 cosx≠ 1  x ≠ k 2 π Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ }  π  − ≠  5π cosx  0 x≠ + k π 2− cos x 3   6 e) Hàm s ố y = xác định ⇔ ⇔  ;k ∈ ℤ . π  π  π 1+ tan x − − ≠  x≠ + k π   tanx  0  3   3   12 5π  π   Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\ +∪+ kπ  kk π  ; ∈ ℤ  6  12   5 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  9. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  ≠  kπ cosx 0 x ≠ tanx+ cot x   2 f) Hàm s ố y = xác định ⇔≠⇔sinx 0  ; k ∈ ℤ . 1− sin 2 x π sin 2x ≠ 1  x≠ + k π   4 kπ π   Vậy tập xác định c ủa hàm s ố D=ℝ\ ∪+ kπ  ; k ∈ ℤ  2 4   Dạng 2. Xét tính ch ẵn, l ẻ của hàm s ố Nh ắc l ại ki ến th ức: Về tính ch ẵn, lẻ của hàm s ố y= f( x ) Tìm t ập xác định D của hàm s ố, ki ểm ch ứng D là tập đối x ứng hay không, t ức là ∀xx, ∈ D⇒ − x ∈ D (1) Tính f(− x ) và so sánh f(− x ) với f( x ) :  Nếu f(− x ) = fx () thì f( x ) là hàm s ố ch ẵn (2)  Nếu f()− x = − fx () thì f( x ) là hàm s ố lẻ (3) Do v ậy  Nếu điều ki ện (1) không nghi ệm đúng thì f( x ) là hàm s ố không ch ẵn, không l ẻ trên D  Nếu điều ki ện (2) và (3) không nghi ệm đúng thì f( x ) là hàm s ố không ch ẵn, không l ẻ trên D Để kết lu ận f( x ) là hàm s ố không ch ẵn, không l ẻ trên D, ta ch ỉ cần tìm m ột điểm x0 sao − ≠ − ≠ − cho f( x0 ) fx () 0 và fx(0 ) fx () 0 Lưu ý: vận d ụng hai góc (cung) đối nhau c ủa HSLG Bài 1.5. Xác định tính ch ẵn, l ẻ của các hàm s ố sau: cos x a) y = b) y = x – sin x c) y=1 − cos x x 3π  d) y=1 + cos x .sin − 2 x  e) y = sin x.cos 2x + tan x f) y = sin x – cos x 2  tanx+ cot x g) y=sin3 x − tan x h) y = sin x HD Gi ải cos x a) Hàm s ố y= f( x ) = có tập xác định D = ℝ \{ 0 } . Ta có ∀xx, ∈ D⇒ − x ∈ D và x cos(−x ) cos x cos x fx()−= =− =− fx () . V ậy hàm s ố y= f( x ) = là hàm s ố lẻ. (−x ) x x b) Hàm s ố lẻ c) Là hàm s ố ch ẵn d) Là hàm s ố ch ẵn e) Là hàm s ố lẻ f) Hàm s ố yfx=( ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ . π π13  π 13 π  π  Lấy x = ta có : f=−; f  − =−− . Suy ra f≠ f  −  6 622  6 22 6  6  Vậy hàm s ố yfx=( ) = sin x − cos x là hàm s ố không ch ẵn, không l ẻ g) Là hàm s ố lẻ h) Là hàm s ố lẻ Dạng 3. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố. Định ngh ĩa: Cho hàm s ố y= f( x ) có tập xác định là D và hai h ằng s ố M và m. ∀ ∈ ≤ ∃ = = Nếu x Dfx, ( ) M và x0 sao cho f( x0 ) M thì M gọi là GTLN c ủa hàm s ố y f( x ) trên D và kí hi ệu Max y= M D ∀ ∈ ≥ ∃ = = Nếu x Dfx, ( ) m và x0 sao cho f( x0 ) m thì m gọi là GTNN c ủa hàm s ố y f( x ) trên D và kí 6 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  10. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp hi ệu Min y= m D Chú ý:  −≤1 sinx ≤∀∈ 1, x ℝ  0≤ sin2 x ≤∀∈ 1, x ℝ  0≤ sinx ≤∀∈ 1, x ℝ  −≤1 cosx ≤∀∈ 1, x ℝ  0≤ cos2 x ≤∀∈ 1, x ℝ  0≤ cosx ≤∀∈ 1, x ℝ Bài 1.6. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa m ỗi hàm s ố sau π  a) y=2 cos x + 1 b) y=3 − 2sin x c) y=2( 1 + cos x ) + 1 d) y=3sin x −  − 2 6  HD Gi ải cosx ≥ 0 a) y=2 cos x + 1 . Điều ki ện:  ⇔≤0 cosx ≤∀∈ 1, x ℝ −1 ≤ cosx ≤ 1 Ta có: 0≤ cosx ≤⇔≤ 1 0 2cos x ≤⇔≤ 2 12cos x ≤ 3 hay 1≤y ≤ 3 Vậy: Maxy=⇔3 cos x =⇔= 1 xk 2,π k ∈ ℤ ℝ π Miny=⇔1 cos x =⇔=+ 0 x kkπ , ∈ ℤ ℝ 2 b) y=3 − 2sin x . Tập xác định: D = ℝ Ta có: −≤1 sinxx ≤⇔≥− 1 2 2sin ≥−⇔+≥− 2 2 3 3 2sin x ≥−+⇔≥− 2 3 5 3 2sin x ≥ 1 hay 5≥y ≥ 1 π Vậy: Maxy=⇔5sin x =−⇔=−+ 1 x kk 2,π ∈ ℤ ℝ 2 π Miny=⇔1sin x =⇔=+ 1 x kk 2,π ∈ ℤ ℝ 2 c) y=2( 1 + cos x ) + 1 . Tập xác định: D = ℝ Ta có: −≤1cosx ≤⇔≤+ 1 01cos x ≤⇔≤ 2 0 21cos( + x ) ≤ 4 ⇔≤0 21cos( +x) ≤⇔≤ 2 1 21cos( + x ) +≤ 13 Vậy: Maxy=⇔ 3 cos x =⇔= 1 xk 2,π k ∈ ℤ ℝ Miny=⇔ 1cos1 x =−⇔=+ xπ kk 2, π ∈ ℤ ℝ Bài 1.7. Tìm giá tr ị lớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa m ỗi hàm s ố sau π  π  a) y=2cos + x  + 3 b) y=cos x + cos  x −  c) y=3 − 2 sin x 3  3  d) y=cos2 x + 2cos 2 x e) y=5 − 2 cos2 x .sin 2 x f) 2sin2 x− cos2 x HD Gi ải π  a) Hàm s ố y=2cos + x  + 3 có tập xác định là D = ℝ . 3  π  π  π Ta có: −≤1cos +≤⇔−≤x 1 22cos  +≤⇔−+≤ x 2 132cos  ++≤+ x 323 3  3  3 π  ⇔≤12cos ++≤x  35 hay 1 ≤≤ y 5 3  π  π Vậy: Max y = 5khi cos+x  =⇔=−+ 1 x kk 2,π ∈ ℤ ℝ 3  3 π  2 π Min y = − 1 khi cos+x  =−⇔= 1 x + kk 2,π ∈ ℤ ℝ 3  3 7 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  11. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π  b) Hàm s ố y=cos x + cos  x −  có tập xác định là D = ℝ . 3  π ππ  π Ta có cosxx+−= cos 2cos x − cos = 3cos  x − . 3 66  6 π  Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −≤3 3cosx −≤  3 hay −≤≤ 3 y 3 6  π  π Vậy: GTLN c ủa y là 3 , đạt đựơc khi cosx−  =⇔=+ 1 x kk 2;π ∈ ℤ 6  6 π  7 π GTNN c ủa y là − 3 , đạt được khi cosx−  =−⇔= 1 x + kk 2;π ∈ ℤ 6  6 c) Hàm s ố y=3 − 2 sin x có tập xác định là D = ℝ . Ta có 0≤ sinx ≤⇔−≤− 1 2 2 sin x ≤⇔≤− 0 1 3 2 sin x ≤ 3 hay 1 ≤≤ y 3 Vậy: GTLN c ủa y là 3, đạt được khi sinx=⇔= 0 xkkπ , ∈ ℤ π GTNN c ủa y là 1, đạt được khi sinx=±⇔ 1 x =± + kkπ , ∈ ℤ 2 d) Hàm s ố y=cos2 x + 2cos2 x có tập xác định là D = ℝ . 1cos2+x 15cos2 + x Ta có cos2 x+ 2cos2 x = + 2cos2 x = . 2 2 1+ 5cos2 x Với m ọi x ∈ℝ ta luôn có: −2 ≤ ≤ 3 . 2 Vậy: GTLN c ủa y là 3, đạt được khi cos2x=⇔= 1 xkkπ , ∈ ℤ π GTNN c ủa y là -2, đạt được khi cos2x=−⇔= 1 x + kkπ , ∈ ℤ 2 e) Hàm s ố y=5 − 2 cos2 x .sin 2 x có tập xác định là D = ℝ . 1 Ta có 5− 2 cos2x .sin 2 x = 5 − sin 2 2 x . 2 11 91 32 Vì 0≤ sin2 2x ≤ 1 nên −≤−sin22x ≤⇔≤− 0 5 sin2 2 x ≤ 5 hay ≤≤ y 5 . 22 22 2 Vậy: GTLN c ủa y là 5 , đạt được khi sin2 2x=⇔ 0 sin 2 x =⇔= 0 xkkπ , ∈ ℤ 3 2 πk π GTNN c ủa y là , đạt được khi sin2 2x=⇔ 1 sin 2 xx =±⇔=±+ 1 , k ∈ ℤ 2 4 2 f) Hàm s ố y=2sin2 xx − cos2 =− 1 2cos2 x có tập xác định là D = ℝ . Ta có −≤−1 1 2cos2x ≤ 3 π Vậy: GTLN c ủa y là 3, đạt được khi cos2x=−⇔= 1 x + kkπ , ∈ ℤ 2 GTNN c ủa y là -1, đạt được khi cos2x=⇔= 1 xkkπ , ∈ ℤ Bài 1.8. Tìm giá tr ị lớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa m ỗi hàm s ố sau: 2 a) y=3 + sin x cos x b) y=4 − 2cos 2 x c) y = 3+ cos x 3 d) y = e) y=1 − sin( x 2 ) − 1 f) y= 4sin x 5− sin 2 x HD Gi ải 8 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  12. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 7 π a) GTLN c ủa y là , đạt được khi x= + kπ , k ∈ ℤ 2 4 5 π GTNN c ủa y là , đạt được khi x=− + kπ , k ∈ ℤ 2 4 π b) GTLN c ủa y là 4, đạt được khi x= + kπ , k ∈ ℤ 2 GTNN c ủa y là 2, đạt được khi xk=2π ∨=+ x π kk 2 π , ∈ ℤ 2 c) Hàm s ố y = có tập xác định là D = ℝ . 3+ cos x 1 1 11 2 Ta có −≤1cos123cos4x ≤⇔≤+ x ≤⇔≤ ≤⇔≤ ≤ 1 4 3+ cosx 2 2 3cos + x GTLN c ủa y là 1, đạt được khi x=π + k2 π , k ∈ ℤ 1 GTNN c ủa y là , đạt được khi x= k2π , k ∈ ℤ 2 3 π d) GTLN c ủa y là , đạt được khi x= + kπ , k ∈ ℤ 4 2 3 GTNN c ủa y là , đạt đươ c khi x= kπ , k ∈ ℤ 5 e) Hàm s ố y=1 − sin( x 2 ) − 1 có tập xác định là D = ℝ . Với m ọi x ∈ ℝ ta luôn có: −≤−1 1sin( x2 ) −≤ 1 21 − . V ậy π GTLN c ủa y là 2− 1 , đạt được khi x2 =−+ k2π , k ≥ 1 2 π GTNN c ủa y là −1 , đạt được khi x2 = + k2π , k > 0 2 f) Hàm s ố y= 4sin x có tập xác định là D =0; +∞ ) . Trên D ta có: −4 ≤ 4sinx ≤ 4 . π Vậy: GTLN c ủa y là 4, đạt được khi x= + k2π , k ≥ 0 2 π GTNN c ủa y là −4 , đạt được khi x=−+ k2π , k ≥ 1 2 Bài 1.9. Tìm giá tr ị lớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa m ỗi hàm s ố sau: a) y=sin4 x − cos 4 x b) y=sin4 x + cos 4 x c) y=sin2 x + 2sin x + 6 d) y=cos4 x + 4cos 2 x + 5 HD Gi ải a) yxx=−=sin4 cos 4( sin 2 xxxx − cos 22)( sin + cos 2 ) =− cos2 x . Mặt khác: −1 ≤ cos2x ≤ 1 π GTLN c ủa y là 1, đạt được khi x= + kπ , k ∈ ℤ 2 GTNN c ủa y là −1, đạt được khi x= kπ , k ∈ ℤ 2 1 b) yxxxx=+=+sin4422 cos() sin cos − 2sin 22 xx cos =− 1 sin 2 2 x . 2 1 1 Mặt khác ≤1 − sin2 2x ≤ 1 2 2 kπ GTLN c ủa y là 1, đạt được khi x=, k ∈ ℤ 2 9 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  13. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 πk π GTNN c ủa y là , đạt được khi x= +, k ∈ ℤ 2 4 2 2 2 c) Ta có yx=sin2 + 2sin x += 6( sin x ++ 1) 5 . M ặt khác: 5≤( sinx + 1) +≤ 5 9 π GTLN c ủa y là 9, đạt được khi x= + k2π , k ∈ ℤ 2 π GTNN c ủa y là 5, đạt được khi x=−+ k2π , k ∈ ℤ 2 2 2 d) Ta có yx=cos4 + 4cos 2 x += 5( cos 2 x ++ 2) 1 . M ặt khác: 5≤( cos2 x + 2) +≤ 110 GTLN c ủa y là 10, đạt được khi x= kπ , k ∈ ℤ π GTNN c ủa y là 5, đạt được khi x= + kπ , k ∈ ℤ 2 C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 1.10. Tìm t ập xác định c ủa các hàm s ố sau tan x 1 3sinx + 1 sin x a) y = b) y = c) y = d) y = 1+ tan x + π  π  3cot2x 1 3− 3cos x +  1− cos x +  6  4  1+ cos9 x sin x tan 2x − 1 2− cot3 x e) y= + cot9 x f) y = g) y = h) y = 1+ cos9 x 2cosx + 2 1+ sinx + 1 1− 1 + sin3 x Bài 1.1 1. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ật c ủa các hàm s ố sau a) y=1 + cos2 x − 5 π  c) y=2 − 4 + 2sin 5 x 3 b) y=4 + 5cos 3 x +  d) y = + 1 3  cot2 x + 1 2 π  f) y=1 − 8sin 2 x g) y=9 − 9sin9 x h) y=sin 2 x − 5 e) y=1 − 3sin 2 x −  3  10 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  14. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §2. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC C Ơ B ẢN A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM 1. Ph ươ ng trình sin x= m (1)  Nếu m > 1: ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm  Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1), ngh ĩa là sin α = m x=α + k 2 π sinx= m ⇔ ; k ∈ ℤ x=π − α + k 2 π x=α + k 360 0  Nếu s ố đo c ủa α được cho b ằng độ thì: sinx= m ⇔ ; k ∈ ℤ x=1800 −α + k 360 0 Nh ận th ấy, trong m ột công th ức nghi ệm c ủa ph ươ ng trình l ượng giác không được dùng đồng th ời hai đơ n v ị độ và radian. Chú ý:  π π − ≤α ≤ i) Nếu s ố th ực α tho ả mãn điều ki ện:  2 2 thì ta vi ết α = arcsin m .  sin α = m x=arcsin m + k 2 π Khi đó: sinx= m ⇔ , k ∈ ℤ x=π −arcsin m + k 2 π ii) Các tr ường h ợp đặc bi ệt π • m = − 1 , ph ươ ng trình sinx = − 1 có nghi ệm là x=−+ k2π , k ∈ ℤ 2 • m = 0 , ph ươ ng trình sinx = 0 có nghi ệm là x= kπ; k ∈ ℤ π • m =1 , ph ươ ng trình sinx = 1 có nghi ệm là x= + k2π ; k ∈ ℤ 2 u= v + k 2π iii) Tổng quát: sinu= sin v ⇔ , k ∈ ℤ u=π − v + k 2 π 2. Ph ươ ng trình cos x= m (2)  Nếu m > 1: ph ươ ng trình (2) vô nghi ệm  Nếu m ≤ 1 : N ếu α là một nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (2), ngh ĩa là cos α = m x=α + k 2 π cosx= m ⇔ , k ∈ ℤ x= −α + k 2 π x=α + k 360 0  Nếu s ố đo c ủa α được cho b ằng độ thì: cosx= m ⇔ , k ∈ ℤ x= −α + k 360 0 Chú ý: i) Nếu α tho ả điều ki ện 0 ≤α ≤ π và cos α = m thì ta vi ết α = arccosm. Khi đó pt (2) có nghi ệm là : x=±arccos mkk + 2π ; ∈ ℤ ii) Các tr ường h ợp đặc bi ệt khi m ∈{0; ± 1 } π • cosx= 0 ⇔ x = + k π , k ∈ℤ 2 • cosx=−⇔ 1 x =π + k 2 π , k ∈ℤ • cosx= 1 ⇔ x = k 2 π , k ∈ℤ 11 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  15. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp u= v + k 2π iii) Tổng quát: coscosu= v ⇔ , k ∈ ℤ u= − v + k 2π π 3. Phươ ng trình tan x= m (3) Điều ki ện: x≠ + kπ , k ∈ ℤ 2 • Nếu α là một nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (3), ngh ĩa là tan α = m thì tanxm=⇔=+ xα kk π ; ∈ ℤ • Nếu s ố đo c ủa α được cho b ằng độ thì tanxmx=⇔=+α k 180;0 k ∈ ℤ π π • Nếu α th ảo mãn điều ki ện − <α < và tan α = m thì ta vi ết α = arctanm. Lúc đó nghi ệm 2 2 của ph ươ ng trình (3) là: x=arctan mkk +π , ∈ ℤ • Các tr ường h ợp đặc bi ệt bi ệt khi m ∈{0; ± 1 } tanx=⇔= 0 xkkπ , ∈ ℤ π tanx=− 1 ⇔ x =− + k π , k ∈ℤ 4 π tanx=⇔ 1 x = + k π , k ∈ℤ 4 • Tổng quát : tanu= tan v có nghi ệm: u= v + kπ , k ∈ ℤ 4. Phươ ng trình cot x= m (4) Điều ki ện: x≠ kπ , k ∈ ℤ • Nếu α là một nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (4), ngh ĩa là cot α = m thì cotxm=⇔=+ xα kk π , ∈ ℤ • Nếu s ố đo c ủa α được cho b ằng độ thì cotxmx=⇔=+α k 180;0 k ∈ ℤ • Nếu α thảo mãn điều ki ện 0 <α < π và cot α = m thì ta vi ết α = arccot m . Lúc đó nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (4) là: x=arccot mkk +π , ∈ ℤ • Tổng quát : cotu= cot v có nghi ệm: u= v + kπ , k ∈ ℤ Chú ý: Kể t ừ đây, ta qui ước r ằng n ếu trong m ột bi ểu th ức nghi ệm c ủa ph ươ ng trình l ươ ng giác có ch ứa k mà không gi ải thích gì thêm thì ta hi ểu r ằng k nh ận m ọi giá tr ị thu ộc ℤ Ghi nh ớ công th ức nghi ệm c ủa ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản Với u= ux( ), v = vx ( ) và u, v làm cho bi ểu th ức có ngh ĩa, k ∈ℤ u= v + k 2π u= v + k 2π 1/ sinu= sin v ⇔  2/cosu= cos v ⇔  u=π − v + k 2 π u= − v + k 2π 3 / tanu= tan v ⇔=+ uvk π 4/cotu= cot v ⇔=+ uvk π B. BÀI T ẬP Dạng 1. Gi ải ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản - Các công th ức nghi ệm c ủa b ốn ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản - Cung đối và cung bù Bài 2.1. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 1 3 2 π   π  a) sin x = b) sin x = − c) sin x = d) sin 2x−  = sin  + x  2 2 3 5   5  x  1 π  1 2x π  π  1 e) sin+ 10 0  = − f) sin 2 x +  = − g)sin−  = 0 h) sin 9 x −  = 2  2 6  2 3 3  3  2 HD Gi ải 1 π a) Ta có: sin300 = = sin . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng với: 2 6 π  π xk=+2π  xk =+ 2 π π 6 6 sinx =⇔ sin  ⇔  , k ∈ ℤ 6 π  5 π x=−+π k2 π x =+ k 2 π 6  6 12 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  16. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π5 π Vậy ph ươ ng trình có các nghi ệm là: x=+ kx2;π =+ kk 2, π ∈ ℤ 6 6 3 π π  b) Ta có: − =−sin = sin  −  (áp d ụng cung đối đư a d ấu tr ừ vào trong _ sin(−α ) = − sin α ) 2 3 3   π x= − + k 2π π  3 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng: ⇔=−⇔sinx sin   , k ∈ ℤ 3   4π x= + k 2π  3 2 2 2 c) Vì < 1 nên có số α để sinα= ⇒ α = arcsin . Do đó: 3 3 3  2 x=arcsin + k 2 π 2 x=α + k 2 π 3 sinx=⇔ sin x = sin α ⇔  hay  ,k ∈ℤ 3 x=π − α + k 2 π  2 x=π −arcsin + k 2 π  3  π π − = ++ π  2π 2x x k 2 x= + k 2π π   π  5 5 5 d) sin 2x−=+⇔  sin  x   ⇔ , k ∈ ℤ 5   5   π π   πk2 π 2x−=−π + x  + k 2 π x = +  5 5   3 3 e) x= −800 + k 720 0 và x=4000 + k 720; 0 k ∈ ℤ π π f) x= − + k π và x= + kπ; k ∈ ℤ 6 2 πk3 π g) x= +; k ∈ ℤ 2 2 πk2 π 7 π k 2 π h) x=+; x =+ , k ∈ ℤ 18 9 54 9 Bài 2.2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 2 1 4 π   π  a) cos x = b) cos x = − c) cos x = d) cos3x−  = cos  + x  2 2 5 6   3  3 3x π  1 3x π  π  3 e) cos() 3x − 45 0 = f) cos −  = − g) cos−  = − 1 h) cos 2 x −  = 2 2 4  2 2 6  3  2 HD Gi ải  π x= + k 2π 2 π π 4 a) Ta có: = cos . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: cosx= cos ⇔ , k ∈ ℤ 2 4 4 π x= − + k 2π  4 π Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm là x=±+ k2π , k ∈ ℤ 4 1π π  2 π b) Ta có: −=−cos = cosπ −  = cos (Áp d ụng cung bù_ cos(π− α ) = − cos α ) 2 3 3  3 2π 2 π Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: cosx= cos ⇔=±+ x kk 2,π ∈ ℤ 3 3 4 4 4 c) Vì < 1 nên có s ố α để cosα= ⇒ α = arccos . Do đó: 5 5 5 13 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  17. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  4 x=arccos + k 2 π 4 x=α + k 2 π 5 cosx=⇔ cos x = cos α ⇔  hay  ,k ∈ℤ 5 x= −α + k 2 π  4 x= −arc c os + k 2 π  5  π π − = ++ π  π 3x x k 2 x= + k π π   π  6 3 12 d) cos 3x−=+⇔  cos  x   ⇔ , k ∈ ℤ 6   3   π π   π 3x− =− + x  + k 2 π x= − + k π  6 3   24 3 3x−=+ 45000 30 k 360  xk =+ 25 00 120 e) cos3()x−=⇔−=⇔ 450 cos3() x 45 0 cos30 0  ⇔  , k ∈ ℤ 2 3x−=−+ 4500 30 k 360 0  xk =+ 5 0 120 0 3xππ 2  114 ππ k −=+k2π  x =+ 3xπ 13  x π 2 π 243 183 f) cos−=−⇔−=⇔ cos  cos  ⇔  , k ∈ ℤ 242  24 3 3xππ 2  54 ππ k −=− +k2π x =−+ 243  183 3xπ  3 x π 7 π g) cos−  =−⇔ 1 −=+πk 2 π ⇔= x + kk 4, π ∈ ℤ 26  26 9 3 h) Vì >1 nên ph ươ ng trình đã cho vô nghi ệm. 2 Bài 2.3. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 3 π  3 1 a) tanx = 3 b) tan x = − c) tan−x  = tan 2 x d) tan()x − 15 0 = e) tan 2 x = 3 4  3 2 HD Gi ải π π a) tanx=⇔ 3 tan x = tan ⇔=+ xkkπ , ∈ ℤ 3 3 3 π  π b) tanx=− ⇔ tan x = tan −  ⇔=−+ xkkπ , ∈ ℤ 3 6  6 π  π ππk c) tan−=x  tan 2 x ⇔−=+⇔=− xxkx 2π , k ∈ ℤ 4  4 123 3 d) tan()x−=⇔ 150 tan() x −= 15 00000 tan30 ⇔−=+ x 15 30 kxkk 180 ⇔=+ 45 00 180, ∈ ℤ 3 1 1 11 kπ e) tan 2xx=⇔= 2 arctan +⇔= kxπ arctan + , k ∈ ℤ 2 2 222 Bài 2.4. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 3 π  3 a) cot x = b) cotx = − 3 c) cot−x  = cot 2 x d) cot( x − 150 ) = 3 e) cot 3 x = 3 4  5 HD Gi ải 3 π π a) cotx=⇔ cot x = cot ⇔=+ xkkπ , ∈ ℤ 3 3 3 π  π b) cotx=−⇔ 3 cot x = cot −  ⇔=−+ xkkπ , ∈ ℤ 6  6 π  π ππk c) cot−=x  cot 2 x ⇔−=+⇔=− xxkx 2π , k ∈ ℤ 4  4 123 d) cot(x−=⇔ 150) 3 cot( x −= 15 00000) cot30 ⇔−=+ x 15 30 kxkk 180 ⇔=+ 45 00 180, ∈ ℤ 3 3 13 kπ e) cot 3xx=⇔= 3 arccot +⇔= kxπ arccot + , k ∈ ℤ 5 5 353 14 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  18. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 2.5. Gi ải các ph ươ ng trình sau: sin3 x 2π a) = 0 b) cot 3x = tan c) (sinx+ 1)( 2cos2 x − 2) = 0 cos3x − 1 5 π  2π  x  d) tan+ 12x  = − 3 e) sinx+  = cos3 x f) tan2()x + 450 tan180 0 −  = 1 12  3  2  HD Gi ải a) Điều ki ện : cos3x ≠ 1 . Ta có sin3x= 0 ⇔ 3 x = k π . π Do điều ki ện, các giá tr ị k=2 m , m ∈ ℤ bị lo ại, nên 3xm= (2 +⇔= 1)π xm (2 + 1) , m ∈ ℤ 3 π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x=(2 m + 1) , m ∈ ℤ 3 π π b) Nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x= + k, k ∈ ℤ 30 3 π π c) Nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x= − + k 2π và x=± + kπ , k ∈ ℤ 2 8 5πk π d) Nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x=− +, k ∈ ℤ 144 12 2π  π e) sinx+= cos3 x ⇔ cos3 xx − cos  += 0 . V ậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: 3  6 πk π π x=−+; x =+ kkπ , ∈ ℤ 24 2 12 x   x f) V ới ĐKX Đ c ủa ph ươ ng trình, ta có tan2( x+ 450) = cot( 45 0 − x ) và tan 1800 −  = tan  − nên 2   2 x  x tan2()x + 450 tan180 0 −=⇔ 1 cot45() 0 − 2x .tan  −= 1 2  2 x  ⇔−=tan  tan45()0 −⇔=+ 2xx 30 0 k 120, 0 k ∈ ℤ 2  Dạng 2. Tìm nghi ệm c ủa ph ươ ng trình trên m ột kho ảng, đoạn. - Gi ải ph ươ ng trình và tìm nghi ệm th ỏa kho ảng đề bài cho. Bài 2.6. Gi ải các ph ươ ng trình sau trong kho ảng đã cho: 1 3 a) sin 2 x = − với 0 <x < π b) cos(x − 5) = với −π <x < π 2 2 1 π c) tan2( x − 150 ) = 1 với −1800 <x < 90 0 d) cot 3 x = − với − <x < 0 3 2 HD Gi ải  π  π 2x= − + k 2 π x= − + k π 1   a) sin 2x =−⇔ 6 ⇔ 12 , k ∈ ℤ 2  7π 7 π 2x=+ k 2 π x =+ k π  6 12 Xét điều ki ện 0 <x < π , ta có π 1 1 11 π • 0<− +kπ <⇔ π << k + 1⇒ k = 1 ( Do k ∈ℤ ). Vì v ậy : x = 12 12 12 12 7π 7π • 0< +kπ < π ⇒ k = 0 . Vì v ậy: x = 12 12 15 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  19. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 11 π 7π Vậy: x = và x = 12 12 π  π x−=+5 k 2π x =++ 52 k π 3   b) cos(x −=⇔ 5) 6 ⇔  6 , k ∈ ℤ 2 π  π x−=−+5 kx 2π =−++ 52 k π 6  6 Xét điều ki ện −π <x < π , ta có: π 11 π • −<π ++5k 2 π < π ⇒ k = − 1 . Do v ậy, có x =5 − 6 6 π 13 π • −<−π ++5k 2 π < π ⇒ k = − 1 . Do v ậy, có x =5 − 6 6 11 π 13 π Vậy: x =5 − và x =5 − 6 6 c) tan2( x− 150) =⇔=++ 1 2 x 15 000 45 kxkk 180 ⇔=+ 30 00 90, ∈ ℤ Xét điều ki ện −1800 <x < 90 0 , ta có 1 • −1800 < 30 0 +k 90 0 < 90 0 ⇔−<+<⇔∈−− 2 k 1 k {} 2,1,0 3 Vậy các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x=−150,0 x =− 60 0 và x = 30 0 1 πk π π d) cot3x=− ⇔=−+ x , k ∈ ℤ . Xét điều ki ện − <x < 0 , ta có: 3 9 3 2 π πk π • − <− + <⇔∈−0k {} 1;0 2 9 3 4π π Vậy các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x = − và x = − 9 9 C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 2.7 . Gi ải các ph ươ ng trình sau: 2 π  2x π  1 1. sin() 2x − 30 0 = − 2. sin3x +  = − 1 3. sin −  = 2 6  3 4  2 2 π π = −  =2 −  π  3 4. sin 3 x 5. sin2x  sin 3 x  6. sin 2 x −  = − 3 4  3  6  2 0 1 x  1 2π  7. cos() 60− 3 x = − 8. cos+ 10 0  = − 9. cos 2x −  = 1 2 2  2 3  3 3π   π  12. cos4( x + 1250 ) = − 1 10. cos() 2x − 5 = 11. cos 3x−  = cos  x +  4 4   3  13. tan2( x + 600 ) = − 3 π  3 3 14. cot 5 x −  = − 15. cos() 3x − 135 0 = 9  3 2 π  17. sin(9o − 9x ) = 0 π  2 16. cot 2x −  = − 2 18. sin 3 x −  = − 3  3  2 Bài 2. 8. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 3 3 π  3 π π 1. sin x = với 0≤x ≤ 2 π 2. cos x = với 0≤x ≤ 2 π 3. cos x +  = với − ≤x ≤ 2 2 3  2 2 2 16 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  20. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π  5. 2cos( 450 −x) + 2 = 0 π  1 4. −2cosx ++=  3 0 6. sin x +  = với −π ≤x ≤ π     3 với x∈ 1800 ;340 0  2 2 π π   với − ≤x ≤ 2 2 π 37 π  8. 3sin5x + 3 = 0 với π  7. 3+ 3cos −=∈x  0, x  ;30  9. 2sin3x +  + 1 = 0 trên đoạn 4  4  x ∈−( 90 ° ;180 ° ] 6  [−2π ; π ] Bài 2. 9. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 1. sin3x− cos5 x = 0 2. tan3x .tan x = 1 cos3 x 3. = 0 sin3x − 1 4. sin3x+ sin 5 x = 0 5. cot2x .cot3 x = 1 π  6. sin 2x .tan x −  = 0 4  π  8. cos(50°+ 4x ) + sin3 x = 0 9. sin5x+ cos x = 0 7. cot 9x= − tan + 9 x  9  17 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  21. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §3. M ỘT S Ố D ẠNG PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC ĐƠ N GI ẢN TH ƯỜNG GẶP A. KI ẾN TH ỨC C ẦN N ẮM Ph ươ ng trình Cách gi ải Đặt ẩn ph ụ t= f( x ) và đặt điều ki ện cho ẩn ph ụ (n ếu có) r ồi gi ải ph ươ ng trình theo ẩn ph ụ này 1. Ph ươ ng trình b ậc nh ất, b ậc hai đối v ới m ột và t ừ đó suy ng ược l ại nghi ệm x. hàm s ố l ượng giác, trong đó f( x ) là m ột bi ểu Khi đặt t = sin x hay t = cos x, điều ki ện là t ≤ 1 th ức l ượng giác nào đó. Khi đặt t = tan x, t = cot x, c ần l ưu ý điều ki ện xác định c ủa tan x và cot x. Th ực hi ện các b ước sau: B1: Ki ểm tra 2. Ph ươ ng trình b ậc nh ất đối v ới sin x và cos x có • Nếu a2+ b 2 < c 2 thì ph ươ ng trình (2) vô dạng: asin xb+ cos xca = ,(2 +≠ b 2 0) ( 2 ) nghi ệm • Nếu a2+ b 2 ≥ c 2 , ta th ực hi ện ti ếp B2 B2. Chia hai v ế ph ươ ng trình (2) cho a2+ b 2 . Từ đó áp d ụng công th ức c ộng đư a ph ươ ng trình (2) về ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản d ạng: sinu= sin v hay cosu= cos v . B. BÀI T ẬP Dạng 1. Gi ải ph ươ ng trình b ậc nh ất đối v ới m ột hàm s ố l ượng giác - Ph ươ ng trình d ạng at+ b =0, a ≠ 0 - Một s ố ph ươ ng trình bi ến đổi đư a v ề ph ươ ng trình b ậc nh ất - Từ ph ươ ng trình đã cho đư a v ề ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản và gi ải Bài 3.1. Gi ải các ph ươ ng trình sau: π  a) 2cos3( x − 600 ) + 1 = 0 b) 2sin 2x −  + 3 = 0 6  x  π  c) 3tan+ 200  + 1 = 0 d) 3cotx −  + 30 = 4  3  HD Gi ải 1 a) 2cos3()()x− 600 +=⇔ 1 0 cos3 x − 600 =−⇔ cos3() x − 60 0 = cos120 0 2 3x−=+ 60000 120 k 360  xk =+ 90 00 120 ⇔ ⇔  ,k ∈ ℤ 3x−=−+ 600 120 00 kxk 360  =+ 20 00 120 π  π3  ππ b) 2sin 2x−+=⇔ 3 0 sin  2 x −=−⇔ sin  2 x −= sin − 6  62  63 π π π  − =− + π  2x k 2 x= − + k π 6 3 12 ⇔ ⇔ , k ∈ ℤ  π π3 π 2x−=++π kxk 2 π =+ π  6 3 4 x  x 1 x  c) 3tan+ 200 +=⇔ 1 0 tan  + 20 0 =− ⇔tan + 200  =− tan() 30 0 4  4 3 4  18 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  22. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x ⇔+20000 =−+ 30k 180 ⇔=− x 200 00 + kk 720, ∈ ℤ 4 π  π  ππ d) 3cotx−+=⇔ 30 cot  x −=−⇔ 3 cot  x −= cot − 3  3  36 π π π ⇔−=−+x kxπ ⇔=+ kk π , ∈ ℤ 3 6 6 Bài 3.2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) 3tan2x + 3 = 0 b) cos( x + 300) + 2cos15 2 0 = 1 c) 2cosx − 3 = 0 d) 8cos2x sin2 x cos4 x = 2 HD Gi ải π  πk π a) 3tan2x+=⇔ 3 0 tan2 x =−⇔ 3 tan2 x = tan  −  ⇔=−+ x 3  6 2 πk π (l ưu ý ĐK: cos2x ≠ 0 ). Vậy, nghi ệm c ủa phươ ng trình là: x=− +, k ∈ ℤ 6 2 b) cos( x++ 30020) 2cos15 =⇔ 1 cos( x +=− 30 0) 1 2cos15 20 ⇔ cos( x +=− 30 0) cos30 0 x=1200 + k 360 0 ⇔+=⇔cos()x 300 cos150 0  ; k ∈ ℤ x= −1800 + k 360 0 Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x=1200 + k 360 0 và x= −1800 + k 360 0 , k ∈ℤ 3 π c) 2cosx− 30cos =⇔ xxk = ⇔=±+ 2 π 2 6  πk π x = + 2  d) 8cos2sin2cos4xxx=⇔=⇔ 2 sin8 x 32 4 , k ∈ ℤ 2  3πk π x = +  32 4 πk π 3πk π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x = + và x = + , k ∈ℤ 32 4 32 4 Bài 3.3. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) cos2 x – sin x – 1 = 0 b) cos x.cos2 x = 1 + sin2 x.sin x c) 4sinx cos x cos2 x = − 1 d) tan x = 3cot x HD Gi ải a) cos2xx− sin −=⇔− 1 0 1 2sin2 xx − sin −= 1 0  x= k π sinx = 0    π ⇔sinxx (2sin +=⇔ 1) 01 ⇔=−+ xkk 2π , ∈ ℤ sin x =  6   2 7π x= + k 2π  6 π 7π Vậy, ph ươ ng trình có các nghi ệm là x= k π , x= − + k 2π và x= + k 2π với k ∈ℤ 6 6 b) cosxx cos2=+ 1 sin xx sin2 ⇔ cos xxxx cos2 − sin sin2 = 1 k2π k2π ⇔cos3x =⇔= 1 x , k ∈ ℤ . Vậy, ph ươ ng trình có nghi ệm là x=, k ∈ ℤ 3 3 πk π c) 4sincoscos2xxx=−⇔ 1 sin4 x =−⇔=−+ 1 x , k ∈ ℤ 8 2 19 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  23. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp kπ d) tanx= 3cot x . Điều ki ện sin 2x≠⇔≠ 0 x , k ∈ ℤ 2 3 π Ta có tanx= ⇔ tan2 x =⇔ 3 tan x =±⇔=±+ 3 xkkπ , ∈ ℤ tan x 3 π So v ới điều ki ện, ph ươ ng trình có nghi ệm là x=± + kπ , k ∈ ℤ 3 Dạng 2. Gi ải ph ươ ng trình b ậc hai đối v ới m ột hàm s ố l ượng giác - Ph ươ ng trình d ạng at2 + bt += c0, a ≠ 0 - Một s ố ph ươ ng trình bi ến đổi đư a v ề ph ươ ng trình b ậc hai - Từ ph ươ ng trình đã cho đư a v ề ph ươ ng trình l ượng giác c ơ b ản và gi ải - Lưu ý điều ki ện c ủa bài toán (n ếu có) Bài 3.4. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) 2sin2 x+ 5sin x − 3 = 0 b) cot32 x− cot3 x − 2 = 0 c) 4cos2 x−+ 21( 2cos) x += 2 0 d) 5tanx− 2cot x − 3 = 0 HD Gi ải 1 a) Đặt sin x = t ( v ới t ≤ 1(*)), ta được ph ươ ng trình 2530tt2 + −=⇔= tt , =− 3 (không th ỏa (*)) 12 2  π x= + k 2π 1 1  Với: t= ⇒ sin x= ⇔ 6 , k ∈ ℤ . 2 2  5π x= + k 2π  6 π 5π Vậy, ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm là: x= + k 2π và x= + k 2π , k ∈ℤ 6 6 b) Điều ki ện: sin 3x ≠ 0(*) Đặt t = cot3 x, ta được ph ươ ng trình tt2 −−2 = 0 ⇔=− tt 1, = 2 πk π Với t= − 1cot3⇒ xx=−⇔= 1 + , k ∈ ℤ 4 3 1 kπ Với t= 2⇒ cot3 x=⇔= 2 xarc cot2 + , k ∈ ℤ , k ∈ℤ 3 3 πk π 1 kπ So v ới (*),v ậy ph ươ ng trình đã cho cáo các nghi ệm x = + và x= arc cot 2 + , k ∈ℤ 4 3 3 3 1 2 c) Đặt t = cos x, ( v ới t ≤ 1), ta được ph ươ ng trình 4212t2 −+() t +=⇔= 20 tt , = 12 2 2  1  π cos x = x= ± + k 2π 2  Do đó: 4cos2 x−+ 21() 2cos x +=⇔ 2 0  ⇔  3 , k ∈ℤ  2  π cos x = x= ± + k 2π  2  4 π π Vậy, ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm là x= ± + k 2π và x= ± + k 2π , k ∈ℤ 3 4 d) Điều ki ện sin 2x ≠ 0 , khi đó ta có tanx ≠ 0 1 5tanxx− 2cot −=⇔ 3 0 5tan x − 2 −=⇔ 3 0 5tan2 xx − 3tan −= 2 0 tan x 20 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  24. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  π tanx = 1 x= + k π 4 ⇔ ⇔  , k ∈ℤ  2   tan x = −  = −2 + π  5 xarctan   k  5  π 2  So v ới ĐK, ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x= + k π và x=arctan  −  + k π , k ∈ℤ 4 5  Bài 3.5. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) 2cos2 x− 3cos x + 1 = 0 b) cos2 x+ sin x + 1 = 0 c) 3tan2 x−+( 1 3tan) x += 1 0 d) cos4( x+ 600) − 5cos2( x + 30 0 ) += 4 0 HD Gi ải π a) Ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm là x= k 2π và x= ± + k 2π , k ∈ℤ 3 π b) Ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm là x= − + k 2π , k ∈ℤ 2 π π c) Ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm là x= + k π và x= + k π , k ∈ℤ 4 6 d) cos4( xx+− 600) 5cos2( ++=⇔ 30 0) 4 0 2cos 20( 2 xx +− 30) 5cos2( ++= 30 0 ) 3 0 cos2( x + 300 ) = 1  ⇔ ⇔+=0 0 ⇔=−+ 00 ∈ℤ  3 2x 30 k 360 x 15 k 180 , k cos() 2x + 30 0 =  2 Dạng 3. Ph ươ ng trình b ậc nh ất đối v ới sin và cos - Ph ươ ng trình có d ạng asin xb+ cos xca = ,(2 +≠ b 2 0) - B1: Ki ểm tra • Nếu a2+ b 2 < c 2 thì ph ươ ng trình vô nghi ệm • Nếu a2+ b 2 ≥ c 2 , ta th ực hi ện ti ếp B2 - B2. Chia hai v ế ph ươ ng trình cho a2+ b 2 . T ừ đó áp d ụng công th ức c ộng đư a ph ươ ng trình về ph ươ ng trình l ượng giác c ơ bản d ạng: sinu= sin v hay cosu= cos v . Bài 3.6. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) 3 sinx− cos x = 1 b) 2sin3x+ 5cos3 x = − 3 c) 3cosx+ 4sin x = − 5 1 d) 5sin2x− 6cos2 x = 13 e) 2sin2x− 2cos2 x = 2 f) sin 2x+ sin 2 x = 2 HD Gi ải  π π  π 1 x= + k 2π a) 3 sinxx− cos =⇔ 1 2sin x −=⇔ 1 sin  x −=⇔ 3 , k ∈ℤ 6  6 2  x=π + k 2 π 2 5  2sin3+ 5cos3 =−⇔ 3 3 sin3 + cos3  =−⇔ 3 3sin()α sin3 + cos α cos3 =− 3 b) xx xx  xx . Trong 3 3  2 5 α+ πk π đó sinα= ;cos α = . Dó đó: cos3()x−α =−⇔= 1 x + , k ∈ℤ 3 3 3 3 3 4 c) x=π + α + k 2 π , k ∈ℤ trong đó α là s ố tho ả mãn cos α = và sin α = 5 5 d) 5sin2xx− 6cos2 =⇔ 13 5sin2 xx − 3cos2 = 16 , ph ươ ng trình vô nghi ệm. 21 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  25. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 5π 13 π e) x= + k π và x= + k π , k ∈ℤ 24 24 1 1 1 1 f) sin 2xx+ sin2 =⇔ 2sin 2 xx − cos2 = 0 , v ới cos2x ≠ 0 , ta có tan 2x=⇔= x arctan + k π , 2 2 2 2 k ∈ℤ Bài 3.7. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 1 1 2 a) sinx= 2 sin 5 x − cos x b) + = sin 2x cos2 x sin 4 x c) sin5x+ 3 cos5 x = 2sin 7 x d) 3cos5x− 2cos3 x + sin5 x = 0 HD Gi ải ax)sin= 2 sin 5 xxxx −⇔+= cos sin cos 2 sin 5 x  πk π x = + π  16 2 ⇔+=⇔sinx  sin 5 x ; k ∈ ℤ 4   πk π x = +  8 3 b) ĐKX Đ: sin 4x ≠ 0 , x= k π 1 1 2 ta có: + = ⇔sin 2x + cos2 x =⇔ 1  π , k ∈ℤ sin 2x cos2 x sin 4 x x= + k π  4 Cả hai nghi ệm đều không tho ả điều ki ện bài toán. V ậy, ph ươ ng trình đã cho vô nghi ệm.  π x= + k π π  16 c) sin 5xxxx+ 3 cos5 =⇔+=⇔ 2sin 7 sin 5  sin 7 x ; k ∈ ℤ 3   πk π x = +  18 6 d) 3cos5 xxx− 2cos3 +=⇔ sin5 0 3cos5 xxx += sin5 2cos3  π x= + k π π  12 ⇔ cos5x −=⇔  cos3 x , k ∈ ℤ 6   πk π x = +  48 4 Bài 3.8. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 9 a) 4sinx− 3cos x = 5 b) 3cosx+ 2 3 sin x = 2 c) 3sin2x+ 2cos2 x = 3 d) 2sin2x+ 3cos2 x = 13 sin14 x HD Gi ải π 3 4 a) x=α + + k 2 π , k ∈ℤ với α tho ả mãn sinα= ;cos α = 2 5 5 3 2 3 9 b) x=α ± β + k 2 π , k ∈ℤ trong đó cosα= ,sin α = và cos β = 21 21 2 21 π π 3 2 c) x=−+α kx π, =+ k π , k ∈ℤ trong đó cosα= ,sin α = 2 4 13 13 αk π πα− k π 2 3 d) x=+, x = + , k ∈ℤ trong đó cosα= ,sin α = 12 6 16 8 13 13 Bài 3.9. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) sin 2x sin 5 x= sin3 x sin 4 x b) cosxx sin5= cos2 x cos4 x c) cos5xx sin4= cos3 xx sin2 d) sin 2x+ sin 4 x = sin 6 x 22 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  26. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Gi ải 1 1 a) sin2xxxx sin5= sin3 sin4 ⇔() cos3 xx −=− cos7() cos xx cos7 2 2 x= k π  kπ ⇔cos3cosxx = ⇔kπ ⇔= xk , ∈ ℤ x = 2  2 x= k π  kπ b) cosxxxx sin5= cos2 cos4 ⇔=⇔ cos4 xx cos2 kπ ⇔= x , k ∈ℤ x = 3  3 kπ πk π c) Ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm là x = và x = + , k ∈ℤ 2 14 7 dxxx) sin2+=⇔ sin4 sin6 2sin3 xx cos = 2sin3 xx cos3  kπ x =  kπ 3 x = sin3x = 0  3 ⇔sin3xxx (cos −=⇔ cos3 ) 0  ⇔=⇔ xkπ  , k ∈ ℤ cosx= cos3 x  kπ kπ x = x =  2  2 Bài 3.10. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) sinx sin 7 x= sin3 x sin 5 x b) sin5x cos3 x= sin9 x cos7 x c) cosxx cos3− sin 2 xx sin 6 − sin 4 xx sin 6 = 0 d) sin 4x sin 5+ sin 4 xx sin3 − sin 2 xx sin = 0 HD Gi ải 1 1 a) sinxxxx sin7= sin3 sin5 ⇔() cos6 xx −= cos8() cos2 xx −⇔= cos8 cos6 xx cos2 2 2 kπ Vậy, nghi ệm của ph ươ ng trình đã cho là x = , k ∈ℤ 4 1 1 b) sin 5xxxx cos3= sin 9 cos7 ⇔() sin8 xx += sin 2() sin16 xx +⇔= sin 2 sin8 xx sin 16 2 2 kπ πk π Vậy, nghi ệm ph ươ ng trình đã cho là x = và x = + , k ∈ℤ 4 24 12 c) cosxx cos3− sin 2 xx sin 6 − sin 4 xx sin 6 = 0 1 ⇔(cos4x +−+−+ cos2 x cos4 xxx cos8 cos2 cos10 x ) = 0 2 π πk π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho là x= + k π và x = + , k ∈ℤ 2 18 9 d) sin 4x sin 5+ sin 4 xx sin3 − sin 2 xx sin = 0 1 ⇔sin4x sin5 +() cos xxxx −+−= cos7 cos3 cos 0 2 ⇔sin 4xxxx sin 5 + sin 5 sin 2 =⇔ 0 sin 5 xxx (sin 4 += sin 2 ) 0 kπ k π π Vậy, ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x=, x = và x= ± + k 2π , k ∈ℤ 2 5 3 Bài 3.11. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 3 a) sin2x+ sin 2 2 x + sin 2 3 x = b) sin2 3x+ sin 2 4 x = sin 2 5 x + sin 2 6 x 2 3 c) cos2x+ cos2 2 x + cos3 2 x + cos4 2 x = 2 d) cos2 3x+ cos 2 4 x + cos 2 5 x = 2 23 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  27. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp e) 8cos4 x= 1 + cos4 x f) 3cos22x− 3sin 2 x + cos 2 x = 0 HD Gi ải 3 1 a) Ta có sin2xxx+ sin2 2 + sin3 2 =−() cos2 xxx + cos4 + cos6 . Do đó ph ươ ng trình đã cho t ươ ng 2 2 đươ ng v ới cos2xxx++=⇔+ cos4 cos6 0 cos4 xxx 2cos4 cos2 =⇔ 0 cos4 x (1 + 2cos2) = 0 πk π π Vậy, ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x = + và x= ± + k π , k ∈ℤ 8 4 3 b) Dùng công th ức h ạ b ậc, rút g ọn ta được: cos6xx+=+⇔ cos8 cos10 x cos12 x 2cos7 xx cos = 2cos11 xx cos kπ k π Vậy, ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x=, x = , k ∈ℤ 2 9 π πk π πk π c) Ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x=+ kπ , x =+ và x = + , k ∈ℤ 2 4 2 10 5 πk π π d) Ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x = + và x= ± + k π , k ∈ℤ 16 8 3 e) S ử d ụng công th ức 2cos2 x= 1 + cos2 x và 1+ cos4x = 2cos2 2 x để bi ến đổi đư a v ề ph ươ ng trình b ậc π hai đối cos2x. V ậy, ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x= ± + k π , k ∈ℤ 3 π 1 f) Ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x= + k π và x= ±α + k π , k ∈ℤ , trong đó cos2 α = 2 3 Bài 3.12. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) 1+−− sinxx cos sin2 x + 2cos2 x = 0 b) cosx tan3 x= sin 5 x 1 1 3 1 c) sinx− = sin 2 x − d) + = 8sin x sin x sin 2 x cosx sin x HD Gi ải a) Ta có: 1−=− sin 2xxx (sin cos )2 ;2 cos2 x = 2( cos 2 xx −=−− sin 2 ) 2(sin xxxx cos )(sin + c os ) 1+−−+ sinxxx cos sin2 2cos2 x =⇔− 0 (sin xx cos )(1 −− sin xx 3cos ) = 0 sinx= cos x ⇔  3cosx+ sin x = 1 π 1 Vậy, ph ươ ng trình đã cho có các nghi ệm x= + k π và x=α ±arccos + k 2 π , k ∈ℤ 4 10 3 1 Trong đó cosα= ,sin α = 10 10 b) Điều ki ện cos3x ≠ 0 cosxx tan3= sin5 x ⇔ cos xx sin3 = cos3 xx sin5  kπ x = 1 1  , k ∈ℤ ⇔()sin 4xx += sin 2() sin8 xx +⇔=⇔ sin 2 sin8 xx sin 4  2 2 2  πk π x = +  12 6 kπ πk π So v ới điều ki ện, ngh ịêm c ủa ph ươ ng trình đã cho: x = và x = + , k ∈ℤ 2 12 6 c) Điều ki ện sinx ≠ 0 1 1 11  sinx−=−⇔− sin2 x() sin xx sin2 + −  = 0 sin x sin2 x sin 2 x sin x  24 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  28. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1− sin x sinx = 1 π ⇔sinx (1 −+ sin x ) = 0 ⇔−(1 sinxx )() sin3 +=⇔ 1 0 ⇔=±+ xk 2 π , k ∈ℤ sin 2 x sinx = − 1 2 π So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho: x= ± + k 2π , k ∈ℤ 2 d) Điều ki ện sin 2x ≠ 0 3 1 1− cos2 x +=⇔8sinx 3 sin xxxx += cos 8sin2 cos ⇔ 3 sin xx += cos 8. cos x cosx sin x 2 ⇔3sinxxx +=− cos 4cos 4cos2 xx cos ⇔ 3sin xx −=−+ 3cos 2(cos xx cos3) 1 3 π  ⇔−cosxx 3sin = 2cos3 xxx ⇔=− cos3 cos sin xxx ⇔=+ cos3 cos   2 2 3   π x= + k π ⇔ 6 ;k ∈ ℤ ( tho ả điều ki ện sin 2x ≠ 0 )  πk π x = − +  12 2 C. BÀI T ẬP ĐỀ NGH Ị Bài 3.1 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau 1. 3cot2x + 3 = 0 π  3. 2sin3x+ 2 sin 6 x = 0 2. tan+ 12x  + 30 = 12  4. 2sin3( x − 1200 ) + 3 = 0 x π  6. 3tan3( x − 450 ) + 1 = 0 5. 2 cos+  − 1 = 0 2 5  Bài 3.14 . Gi ải các ph ươ ng trình sau 2 1. 2cos2 x− 3cos x = − 1 2. 4sin 4x+ 3sin4 x − 1 = 0 3. 6sin2 2x−+( 8 3 3) sin2 x += 4 3 0 π  π  π   π  6. 2cos2 4x− 7cos4 x − 4 = 0 4. 2cos2  2x−−  cos 2 x −−=  3 0 5. 2sin2 x−−  3sin  x −+=  2 0 3  3  4   4  2 + − = π π 2 7. 2sin 4x 9sin4 x 5 0 2     9. 3tanx−+( 1 3) tan x += 1 0 8. tanx+−  4tan  x ++=  3 0 3   3  2 2 10. 4cos2 x−+ 2( 1 2) cos x += 2 0 11. 2sinx+ 7sin x − 4 = 0 12. 3cos 2x− 7cos2 x + 4 = 0 Bài 3.1 5. Gi ải các ph ươ ng trình sau 1. cos2x+ 2sin x − 1 = 0 2. cosx= 2 sin 7 x − sin x 3. 3 cos5x+ sin5 x = 2cos3 x 4. 2sin( x+− 100) 12cos( x += 10 0 ) 3 5. 3cos8x− 2sin4 xx cos4 =− sin2 x − cos 2 x x x 6. 3sin− 3 cos = − 3 2 2 7. 4cos3 x+ 3 2 sin 2 x = 8cos x x  x 9. 3sin7x− cos7 x = − 2 8. 33sin− 3cos  = 32 2  2 10. 3cos5x− sin5 x = 2 π   π  π   π  11. 3sin−− 2x  3cos  −= 2 x  6 12. 6cos−+ 3x  2sin  −=− 3 x  2 3   3  6   6  13. 3sin2x− cos2 x = 3 14. sin2x− 3cos2 x = 3 15. 3sin4x− cos4 x = − 3 Bài 3.1 6. Gi ải các ph ươ ng trình sau 1. (1+ sin2xx) cos +( 1 + cos 2 xx) sin 3. cos3x+ 2cos2 x = cos x + 2 sinx+ cos3 x − 3sin 2 xx cos − 4sin 3 x 2. =1 =0 1+ 2sinx cos x 2sinx− 1 25 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  29. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ( − ) + − 2cosx 1 sin4 x 1+2 = 1 cosx (cos x sin x ) 1 = 4. = 2sin 2 x 5. sin4x cos x 6. 2 0 cosx− sin x 2 2 cosx− cos x 7. 2sin2x+ 2cos x = 0 sin2x+ 4sin2 x + 2sin x (1 − cos x ) 9. 5sin8x− 2sin xx .sin3 − 2sin2 x += 1 0 8. =0 2cosx− 3 3x 12. cos3x+ 2sin2 xx .cos − 8sin2 xx −+ cos sin 2+ 2 − 2 − 9 cos 2x 6sin x cos x 2 10. 2 =1 2 4sin6x− 8sin5 xx .cos − 2cos x += 1 0 3x 11. =0 sin cos3x+ 1 2 13. cos2 3x+ cos 2 5 x = sin 2 4 x + sin 2 6 x (cosxx− sin )(1 + sin2 x ) −− cos xx sin (sinxx− cos )(1 + sin2 x ) ++ cos xx sin 14. =0 15. =0 tanx+ 1 cotx+ 1 26 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  30. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN T ẬP CH ƯƠ NG I Ph ần I. Áp d ụng công th ức l ượng giác Th ực hi ện tính, rút g ọn, ch ứng minh Bài Nội dung Bài Nội dung 1 Tính các giá tr ị l ượng giác c ủa góc α , bi ết: 2 Tính các giá tr ị l ượng giác c ủa góc α , bi ết: 2 3π 1 3π a) sin α = − và π< α < a) cos α = − và π< α < 5 2 4 2 3π 2 π b) cosα = 0,8 và <α < 2 π b) sin α = và <α < π 2 3 2 13 π 7 π c) tan α = và 0 <α < c) tan α = và 0 <α < 8 2 3 2 19 π 14 3π d) cot α = − và <α < π d) cot α = − và <α < 2 π 7 2 9 2 3 Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: 4 Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: 1 1 a) A=cos2ααα + 2sin + tan( ++ 150 ) 2cos6 α bi ết a) A=sin x + cos xx .tan , bi ết cos x = 2 2 α = 30 0 b) (sinx+ cos x)( sin x − cos x ) , bi ết b) B =2sin 600 + 3cos30 0 + tan 45 0 tanx = 2 c) C =cot300 + 2sin 60 0 − 2cos30 0 cot x 3 c) C = , bi ết sinx= ,(00 < x < 90 0 ) 2sin2 30 0 cotx− tan x 5 d) D = − 2 0 1+ tan a 1 2cos 30 d) D = , bi ết e) E=3sin9000 + 2cos0 − 3cos60 0 + 10cos180 0 1− tan a 3 cosa=− ,(900 << a 180 0 ) 5 1 1 e) E = , bi ết tan x = sin2x− sin xx cos + cos 2 x 4 5 Rút g ọn các bi ểu th ức sau: 6 Ch ứng minh các đẳng th ức sau: =( +) 2 ( − ) sina 1− cos a a) A1 sin xx tan 1 sin x a) = + =−( 2) 2 +− 2 1 cosa sin a b) B1 sin xx cot 1 cot x + sina+ 1cos a = 2 = −2 − 2 b) c) C1 sin x cos x 1+ cosa sin a sin a =2α + 2 α 2 α 2 d) D cos cos .cot sinxx+ cot  sin2 x + cot 2 x 2 2 c) = 1  1  +  + 2 2 e) E =tanα +  − tan α −  1 sinxx tan  1 sin xx tan tanα  tan α  2 α sin 2 2 2 2 2 d) +tanβα .cos = sin α + tan β 1− cosα 1 + cos α  cos 2 β f) F = −    2 1+ cosα 1 − cos α  + −  1 sinx− 1 sin x = 2 e)   4 tan x g) G=+(1 tan xx )cos2 ++ (1 cot xx )sin 2 1− sinx 1 + sin x  = +2 − − 2 2 + h) H()()tan xx cot tan xx cot 1= tanx 1 f) 2 2 2 sinx− cos x tan x − 1 27 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  31. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 7 Rút g ọn các bi ểu thức sau: 8 3 Cho tan α = , tính các giá tr ị c ủa bi ểu th ức a) A=+(1 cotαα) sin3 ++( 1 tan αα) cos 3 5 sin2a + 2cos 2 α − 1 sau: b) B = sinα+ cos α cot 2 α a) A = sinα− cos α sin2α− tan 2 α c) C = 2tan2α+ 12sin αα cos + cos 2 α cos2α− cot 2 α b) B = sin2α+ sin αα cos − 2cos 2 α α+ α 2 − ()sin cos 1 sinα cos α d) D = c) C = cotα− sin α cos α sin2α− cos 2 α 9 3 π 10 3π Bi ết sin α = và <α < π . Tính Bi ết tanα− 3cot α = 6 và π< α < . Tính 4 2 2 2tanα− 3cot α a) A =sinα + cos α a) A = α+ α 2sinα− tan α cos tan b) B = cos2α+ cot 2 α cosα+ cot α b) B = tanα − cot a 11 Cho tanα = 3 , tính các giá tr ị c ủa bi ểu th ức 12 Không dùng máy tính. Hãy tính: sau: 1 a) A = − 4sin 70 0 2sinα+ 3cos α 0 a) A = sin10 4sinα− 5cos α b) B =cos140 + cos134 0 + cos106 0 α− α = 3sin 2cos 1 1 b) B 3 3 c) C = − 5sinα+ 4cos α sin180 sin54 0 1 3 d) C = − sin100 cos10 0 13 Ch ứng minh các đẳng th ức sau: 14 Ch ứng minh r ẳng các bi ểu th ức sau không a) ()sinxx+ cos2 = 1 + 2sin xx .cos ph ụ thu ộc vào bi ến: a) A=cos4 x + sin 2 xx .cos 2 + sin 2 x b) ()sinxx− cos2 = 1 − 2sin xx .cos b) B=()()sin xx + cos2 − sin xx − cos 2 c) sin4x+ cos 4 x = 1 − 2sin 22 xx cos c) C=cos6 x + sin 6 x + 3sin 22 xx .cos d) sin6x+ cos 6 x = 1 − 3sin 22 xx cos d) D=2( cos66 xx + sin) − 3( sin 4 xx + cos 4 ) e) tan2x− sin 2 x = sin 2 xx .tan 2 2 f) cot2x− cos 2 x = cos 22 xx .cot e) e=2( cos4422 xxxx ++ sin sin .cos) −+( sin 8 xx cos 8 ) 15 Cho A, B, C là ba góc c ủa tam giác ABC . 16 Cho A, B, C là ba góc c ủa tam giác ABC . Ch ứng minh r ằng: Ch ứng minh r ằng: A+ B C A+ B C ( +) = a) sin= cos b) cos= sin a) sinA B sin C 2 2 2 2 b) cos( A+ B) = − cos C 17 Ch ứng minh r ằng n ếu A, B,C là ba góc c ủa 18 Cho A, B, C là ba góc c ủa tam giác ABC . một tam giác thì: Ch ứng minh r ằng: A B C 3A+ B + C a) sinA+ sin B + sin C = 4cos cos cos a) sinA = − cos 2 2 2 2 b) sin2A+ sin2 B + sin2 C = 4sin ABC sin sin A+ B + 3 C b) cosC = sin A B C c) cosA+ cos B + cos C =+ 1 4sin sin sin 2 2 2 2 c) cosC=− cos( ABC ++ 2 ) d) cos2A+ cos2 B + cos2 C =−− 1 4cos ABC cos cos A B+ C  d) tan .tan  = 1 2 2  28 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  32. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 19 Ch ứng minh r ằng n ếu A, B,C là ba góc c ủa 20 Ch ứng minh r ằng n ếu A, B,C là ba góc c ủa một tam giác thì: một tam giác thì: a) sin2A+ sin 2 B + sin 2 C =+ 2 2cos ABC cos cos a) tanA+ tan B + tan C = tan ABC .tan .tan 2 2 2 AB BC CA b) sin 2A+ sin 2 B + sin 2 C =− 2 2cos2 ABC cos2 cos2 b) tan tan+ tan tan + tan tan = 1 c) cos2A+ cos 2 B + cos 2 C =− 1 2cos ABC cos cos 22 22 22 c) cotAB cot+ cot BC cot + cot CA cot = 1 d) cos2 2A+ cos 2 2 B + cos 2 2 C =+ 1 2cos2 ABC cos2 cos2 A B C ABC d) cot+ cot + cot = cot .cot .cot 2 2 2 222 21 Ch ứng minh r ằng điều ki ện c ần và đủ đề tam 22 A Cho tanB+ tan C = 2cot . Ch ứng minh sin A giác ABC cân t ại A là = 2 2 sinB .cos C tam giác ABC cân. 23 cosB+ cos C 24 sinA cos B+ cos C Cho sin A = . Ch ứng minh tam Cho = . Ch ứng minh tam sinB+ sin C sinB cos C+ cos A giác ABC vuông giác ABC vuông ho ặc cân Th ực hi ện tính: Bài Nội dung Bài Nội dung 1 1 2 Cho α là góc mà tanα = 2 . Tính Bi ết sin ()π+ α = − . Tính sin α 3 P = cos( 2πα−) , tan( α − 7 π ) và sin3α+ 3cos 3 α 3π  sin −α  2  3 π  4 3π  9 Cho góc α∈; π  mà Cho góc α∈ π ;  mà cos α = − . Tính 2  2  41 α α 1 π  sin− cos = . Tính sin 2 α tan α +  2 2 2 4  5 1 6 π  1 Cho α là góc mà sin α = . Tính Cho góc α∈; π  mà sin α = . Tính 4 2  5 P =(sin 4α + 2sin 2 α) cos α π  sin α +  6  7 Cho α là góc mà 8 Cho a, b th ỏa mãn tan(a+ b ) = 3, tana .tan b = 2 . 7 π sinα+ cos α = ;0 << α . Tính sin 2 a 5 4 Tính P = cos()()ab+ cos ab − tan α 9 π 10 Cho α là góc mà cotα = 2 . Tính Cho 0 <α < và cos α 2 P = π  sin3α+ 3cos 3 α sinα+ 2sin − α  = 2 . 2  π  Tính tan α +  4  11 Cho tanα = 3 . Tính 12 1 Cho góc α th ỏa mãn cosα− sin α = . Tính 8cos3α+ 4sin 3 α + 3cos α P = 5 2cosα− 5sin 3 α A =tanα + cot2 α 13 1 14 2 Cho sinx+ cos x = . Tính Bi ết sin α = . Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức 2 3 A=2sin3 xx .cos − sin4 x P =(1 − 3cos 2α)( 2 + 3cos 2 α ), 29 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  33. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 15 Cho góc α th ỏa mãn h ệ th ức 16 2 Bi ết sin 2 α = . Tính P =sin4α + cos 4 α π 3 <α < π và sin α = . Tính 3 2 5 tan α A = 1+ tan 2 α 17 π 3π 18 π 1 Cho 0 <x < và x− y = . Tính Cho <α < π và sin α = . 4 4 2 3 P=(1 − tan x)( 1 + tan y ) Tính P =sin2α − cos2 α 19 1 20 =( +2)( + 2 ) Bi ết sin ()π+ α = − . Tính Tính P1 3sin x 1 4cos x , bi ết r ằng 3 2 ( πα−) ( α − π ) cos 2 x = − cos 2 , tan 7 và 3 3π  sin −α  2  21 3 1+ sin 2 α 22 4 π Cho tan α = . Tính A = Cho cos 2 α = − và <α < π . Tính 2 cos 2 α 5 2 π  P =()1 + tanα cos  − α  2  23 3 24 π Bi ết cos α = . Tính Cho 5sin2α− 6cos α = 0 và 0 <α < . Tính 5 2 P =5sinα .sin2 α + cos2 α π  A =cos −+α  sin2015()() πα −− cot2016 πα + 2  Ph ần II. Ph ươ ng trình l ượng giác Bài 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau x π  a) 3− 2sin2x = 0 b) 2cos+  − 30 = 3 4  2x  c) 2 tan− 200  + 3 = 0 d) 4sinx .cos x .cos2 x = 1 3  e) 2sinx− 2 sin 2 x = 0 f) tan 2xx .sin+ 3( sin x − 3 tan 2 x ) −= 3 3 0 2 3  g) ()()2sinx+− 1 2sin x + 1 sin x −=  0 h) 8cos3 x − 1 = 0 2  HD Gi ải  π x= + k π 3 π 6 a) 3− 2sin 2xxx =⇔=⇔=⇔ 0 sin 2 sin 2 sin ; k ∈ ℤ 2 3  π x= + k π  3  π x= − + k 6π xπ  x π3 π 4 b) 2cos+−=⇔ 30cos  +==⇔ cos ; k ∈ ℤ 34  342 6  5π x= − + k 6π  4 c) Điều ki ện : x≠1350 + k 270 0 2x  2 x 3 2tan− 200 +=⇔ 30 tan  − 200 =−=− tan(30) 0 ⇔=−+x 15 00 k 270, k ∈ ℤ 3  3 2 30 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  34. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp πk π d) 4sin.cos.cos2xxx=⇔ 1 sin4 xx =⇔=+ 1 , k ∈ ℤ 8 4 =  π sinx 0 x= + k 2π − =⇔ ⇔2 ∈ e) 2sinx 2 sin 2 x 0 2  , k ℤ cos x =  π  x= ± + k 2π 2  4 πk π f) Điều ki ện x ≠ + . 4 2 tan 2xxx .sin+ 3( sin − 3 tan 2 x) −=⇔− 3 3 0 (sin xx 3)(tan 2 += 3) 0 πk π ⇔tan 2x =− 3 ⇔=−+ x 6 2  π 2sinx + 1 = 0 x= − + k 2π 2 3   1 6 g) ()()2sinx+− 1 2sin x + 1 sin x −=  0 ⇔5 ⇔=−⇔sinx ; k ∈ ℤ 2  sinx + = 0 2  7π  2 x= + k 2π  6 2cosx − 1 = 0 1 π h) 8cos103 x−=⇔ ⇔ cos xxkk =⇔=±+ 2,π ∈ ℤ cos2 x+ cos x + 1 = 0 2 3 Bài 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau a) cosx .cos3 x= cos5 x .cos7 x b) sin3xx .cos7= sin13 x .cos17 x c) cos2x .cos5 x= cos7 x d) sin 4x .sin3 x= cos x 1 e) sin3xx sin 5= sin11 x .sin13 x f) sinxxx .sin 2 .sin3= sin 4 x 4 HD Gi ải Dùng công th ức bi ến đối tích thành t ổng và tìm ra nghi ệm c ủa ph ươ ng trình.  kπ x = a) cos.cos3xxxx= cos5.cos7 ⇔=⇔ cos4 x cos12 x 4 , k ∈ ℤ  kπ x =  8  kπ x = b) sin3.cos7xxxxxx= sin13.cos17 ⇔=⇔ sin10 sin30 10 , k ∈ ℤ  πk π x = +  40 20  kπ x = c) cos2.cos5xxx=⇔=⇔ cos7 cos3 xx cos7 2 , k ∈ ℤ  kπ x =  5  πk π x = + d) sin4.sin3xxx=⇔−=⇔ cos cos(π 7) xx cos 8 4 ; k ∈ ℤ  πk π x = +  6 3  kπ x = e) sin3xxxx sin5= sin11.sin13 ⇔=⇔ cos8 x cos24 x 8 , k ∈ ℤ  kπ x =  16 31 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  35. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  πk π x = + 1  f) sinxxxxxx .sin 2 .sin3=⇔ sin 4 sin 2 .cos4 =⇔ 0 8 2 ; k ∈ ℤ 4  kπ x =  2 Bài 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) 1+ 2cosx + cos2 x = 0 b) cosx+ cos2 x + cos3 x + cos4 x = 0 c) sinx+ sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = 0 d) sinxxx+ sin2 + sin3 =+ 1 cos x + cos2 x e) cos2x+ cos2 2 x + cos3 2 x + cos4 2 x = 2 f) 1++ sinx cos3 xx = cos + sin2 x + cos2 x HD Gi ải  π cosx = 0 x= + k π a) 12cos++=⇔x cos2 x 0 2cos(cos x x +=⇔ 1)0 ⇔2 , k ∈ ℤ cosx = − 1  x=π + k 2 π b) cosxxxx+++=⇔ cos2 cos3 cos4 0 2cos2.cos xx + 2cos3 xx cos = 0   π x= + k π cosx = 0 2   5x x 5xπ k 2 π ⇔2cosxxx (cos2 +=⇔ cos3 ) 0 2cos x .cos .cos = 0 ⇔cos =⇔=+ 0x , k ∈ ℤ 2 2  2 5 5   x x=π + k 2 π cos= 0   2   k2π x =  5  π c) Ph ươ ng trình có nghi ệm là x= + kπ , k ∈ ℤ  2  x= −π + k 2 π  dxxx)sin++=++⇔ sin2 sin3 1 cos xx cos2 2sin2 xxx cos += sin2 2cos2 xx += cos 0 ⇔cosx (2 cos x + 1)(2sin x −= 1) 0 π2 π π 5 π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình x=+ kxπ, =±+ kx 2, π =+ kx 2, π =+ kk 2, π ∈ ℤ 2 3 6 6 e) cos2xxxx+ cos2 2 + cos3 2 + cos4 2 =⇔ 2 cos2 xxxx +++= cos4 cos6 cos8 0 π ππk ππ k Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình xkx=+π , =+ , x =+ , k ∈ ℤ 2 42 105 f) 1++=++⇔ sinxxxxx cos3 cos sin 2 cos2 (2sin x + 1)(sin xx − sin 2 ) = 0 π7 π ππk 2 Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình x=−+ kx2,π =+ kxkx 2,2, π = π =+ , k ∈ ℤ 6 6 33 Bài 4. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) sin3x+ cos 3 x = cos x b) sin3xx cos3+ cos 3 xx sin3 = sin 3 4 x 1 c) sin3xx cos− cos 3 xx sin = d) 2 cos3 xxx+ sin cos += 1 2(sin xx + cos ) 4 e) cos3x− sin 3 x = sin x − cos x f) (2sinx+ 1)( 3cos4 xx +−+ 2sin 4) 4cos2 x = 3 HD Gi ải axxx) sin33+ cos =⇔+ cos sin 33 xxx cos −=⇔+ cos 0 sin 3 xxx cos(cos 2 −= 1) 0  = π  = x k 3 2 sinx 0  ⇔−sinx sin x cos x =⇔ 0 ⇔π ; k ∈ ℤ sinx− cos x = 0 x= + k π  4 32 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  36. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 b) Ta c ần chú ý: sin3αα= 3sin − 4sin3 α⇒ sin 3 α=() 3sin αα − sin3 4 1 cos3α= 4cos3 αα − 3cos⇒ cos 3 α=() cos3 αα − 3cos 4 3 Từ đó sin3xxxx cos3+ cos 33 sin3 =⇔ sin 4 x sin 4 x = sin 3 4 x 4 kπ ⇔3sin4x − 4sin43 x =⇔ 0 sin12 xx =⇔= 0 12 1 111 cxxxx) sin3 cos− cos 3 sin =⇔ sin xxxx cos() sin2 − cos 2 =⇔− sin 4 x = 4 444 πk π ⇔sin 4x =−⇔=−+ 1 x ; k ∈ ℤ 8 2 d) 2cos3 xxx+ sin cos += 1 2(sin xx +⇔ cos ) 2cos3 xxxx − 2cos + sin cos +−= 1 2si n x 0 ⇔2cosxx (cos2 −+ 1) sin xx cos +−=⇔− 1 2sin x 0 2cos xxxx sin2 + sin cos +−= 1 2sin x 0 ⇔sinxx cos (1 − 2sin x ) +−=⇔− 1 2sin x 0 (1 2sin xxx )(sin cos += 1) 0  π x= + k 2π 1− 2sinx = 0 1 6 ⇔ ⇔=⇔sinx ; k ∈ ℤ ( vì sinx cos x + 1 = 0 vô nghi ệm ) sinx cos x + 1 = 02  5 π x= + k 2π  6 1  π 1 e) cos3xxxx− sin 3 =−⇔ sin cos sin 2 x + 2  () sin xx − cos =⇔=+ 0 xk π (Vì sin 2x + 2 = 0 vô 2  4 2 nghi ệm) fx) (2sin+ 1)( 3cos4 xx +−+ 2sin 4) 4cos2 x = 3 ⇔()()2sinx + 1 3cos4 xx + 2sin −+− 4 4(1 sin2 x ) −= 3 0 ⇔()()2sinx + 1 3cos4 xx + 2sin −+− 4 1 4sin2 x = 0 ⇔()()2sinx + 1 3cos4 xx +−+− 2sin 4 (1 2sin xx )(1 + 2sin ) = 0 ⇔()2sinx + 1 3cos4 xx + 2sin −+− 4 1 2sin x  =⇔ 0()() 2sin x + 1 3cos4 x −= 3 0  π x= − + k 2π 6  1  sin x = −  7π ⇔2 ⇔=+x k2π ; k ∈ ℤ   6 cos4x = 1  kπ x =  2 Bài 5. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) 2sinx+ cot x = 2sin 2 x + 1 b) tan2x( 1− sin 3 x) + cos 3 x −= 1 0 1− cos2 x 5sin 4x cos x c) 1+ cot2 x = d) 6sinx− 2 cos 3 x = sin 2 x 2 cos2 x 1+ cos x 3 e) tan 2 x = f) 2 tan2 x + 3 = 1+ sin x cos x HD Gi ải a) V ới đều ki ện sinx ≠ 0 , ta có 2sinxx+= cot 2sin2 x +⇔ 1 2sin2 xx += cos 4sin 2 xxx cos + sin 2sinx − 1 = 0 (1) ⇔()()2sinx − 1 sin x −− cos x 2sin xx cos =⇔ 0  sinx− cos x − 2sin xx cos = 0 (2) 33 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  37. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  π x= + k 2π Gi ải (1): 2sinx−=⇔ 1 0 6 ; k ∈ ℤ  5π x= + k 2π  6 Gi ải (2): sinx− cos x − 2sin xx cos = 0 , đă t t=sin x − cos x⇒ − 2sin xxt cos =2 − 1 với t ≤ 2 −1 + 5 sinxxxx− cos − 2sin cos =⇔+−=⇔= 0 t2 t 1 0 t ( tho ả điều ki ện t ≤ 2 ) 2 −+15π  15 − π  15 −  sincos−= ⇔ cos += ⇔=−± arccos  + 2 π ∈ℤ Suy ra: xx x  x  k , k 2 4  22 4  22  b) Với điều ki ện cosx ≠ 0 , ta có tan233xxx( 1sin−) + cos −=⇔ 1 0 sin 2323 xxxx( 1sin −) + cos( cos −= 1) 0 ⇔−(1cos2x)( 1sin − 3 x) −−( 1sin 2 x)( 1cos − 3 x ) = 0 ⇔−(1 sin)(1xx − cos)() 1 + cos xxx() 1 ++ sin sin2 −+() 1 sin x() 1 ++ cos xx cos3  = 0   ⇔−− + −+ −= (1 sinx )(1 cos x )()()() sin xxxx cos sin cos sin xxxx cos sin cos 0 ⇔−−(1 sinx )(1 cos xxxx )(sin − cos )(sin ++ cos xxx sin cos ) = 0 1− sinx = 0 (1)  1− cosx = 0 (2) ⇔  sinx− cos x = 0 (3)  sinx+ cos x + sin xx cos = 0 (4) Ph ươ ng trình (1) không tho ả điều ki ện cosx ≠ 0 Gi ải ph ươ ng trình (4), ta đặt t=sin x + cos x với t ≤ 2 π π 2− 1 Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x=+ kxkxπ, = 2, π =±+ απ mkm 2;, ∈ ℤ với cos α = 4 4 2 1− cos2 x c) V ới điều ki ện sin 2x ≠ 0 , ta có 1+= cot2x ⇔+ sin22 xxx sin2cos2 =− 1 cos2 x sin 2 x ⇔−−−1 sin22 xxxx cos2 sin2 cos2 =⇔ 0 cos22 xxxx −− cos2 sin2 cos2 = 0 ⇔cos2x() cos2 x −−= sin2 x 1 0 πk π π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình x=+, x =−+ lklπ ; , ∈ ℤ (Chú ý lo ại nghi ệm không tho ả điều 4 2 4 ki ện) 5sin 4x cos x d) V ới điều ki ện cos2x ≠ 0 , ta có 6sinxx−= 2cos3 ⇔−= 6sin xxxx 2cos3 5sin2cos 2 cos2 x ⇔−=6sinx 2cos3 x 10sin xx cos 2 ⇔−− 3sin xxxx cos 3 5sin cos 2 = 0 Với cosx ≠ 0 , chia hai v ế cho cos 2 x ta được m ột phu ơng trình đối v ới tanx. Nh ưng các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình này đều không tho ả điều ki ện cos2x ≠ 0 . Vậy, ph ươ ng trình đã cho vô nghi ệm π 1− cos 2 x e) Các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình x=+π kx2 π , =+ kk π ; ∈ ℤ ( vi ết tan 2 x = ) 4 1− sin 2 x 1 f) Với điều ki ện cosx ≠ 0 , đặt t = , ta có 2t2 − 3 t + 10 = . V ậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình cos x x= kπ , k ∈ ℤ 34 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  38. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 6. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 1 3 a) 3sin3x− 3cos9 x = 1 + 4sin3 3 x b) + = 8sin x sinx cos x c) tanx− 3cot x = 4sin( x + 3cos x ) d) 2 2sin( xxx+ cos) cos = 3 + cos2 x π  1 1 e) 2 2 sin x +  = + f) sin3x+ cos 3 x = sin x − cos x 4  sinx cos x HD Gi ải a) 3sin3x− 3cos9 x =+ 1 4sin33 x ⇔( 3sin3 xx − 4sin3 3 ) − 3cos9 x = 1  πk2 π x = + 1 3 1 π  1 18 9 ⇔−sin9x 3 cos9 x =⇔ 1 sin9 x − cos9 x = ⇔sin 9x −=⇔   ; k ∈ ℤ 2 2 2 3  2  7πk 2 π x = +  54 9 1 3 b) Điều ki ện sin 2x ≠ 0 , ta có +=8sinx ⇔ 3 sin xx += cos 8sin2 xx cos sinx cos x 1− cos2 x ⇔+=3sinxx cos 8. cos x ⇔+=− 3sin xxxxx cos 4cos 4cos2cos 2 ⇔3sinxx − 3cos =− 2(cos xxx + cos3) ⇔− cos 3sin x = 2cos3 x  π x= + k π π  6 ⇔=+⇔cos3cosx x   ; k ∈ ℤ 3   πk π x = − +  12 2 c) Điều ki ện sin 2x ≠ 0 , tanxx−=+ 3cot 4sin( x 3cos x) ⇔−= sin2 x 3cos 2 xxxx 4sin cos( sin + 3cos x ) sinx+ 3 cos x = 0 (1) ⇔+()sinx 3 cos xx() sin − 3 cos x − 2sin2 x =⇔ 0  sinx− 3 cos x − 2sin2 x = 0 (2) π4 πk 2 π Gi ải (1) và (2), các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho x=−+ kπ , x = + 3 9 3 d) 22sin( xxx+ cos) cos =+ 3 cos2 x ⇔ 2sin2 x +−( 2 1cos2) x =− 3 22 2 2 2 Ph ươ ng trình này vô nghi ệm vì ( 2) +( 21 −) <−( 32 ) π  1 1 e) Điều ki ện sin 2x ≠ 0 , ta có 2 2 sinx+=+⇔+  2(sin xxxxxx cos )sin cos =+ sin cos 4  sinx cos x  π x= − + k π sinx+ cos x = 0 4 ⇔+(sinx cos x )(2sin x cos x −=⇔ 1) 0 ⇔ ; k ∈ ℤ (tho ả điều ki ện) 2sin 2x = 1  π x= − + k π  4 f) sin3xxxx+ cos 3 =−⇔ sin cos sin x (1 − sin2 xxx ) −− cos cos 3 = 0 ⇔cosxxx (sin cos −− 1 cos2 x ) = 0 cosx = 0 (1) ⇔  . sinx cos x− 1 − cos2 x = 0 (2) 35 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  39. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π Gi ải (1) và (2), ph ươ ng trình (2) vô nghi ệm. Nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x= + kπ , k ∈ ℤ 2 Bài 7. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2006 - 2007) 2 x x  a) sin+ cos  + 3cosx = 2 b) 2sin2 2x+ sin 7 x − 1 = sin x 2 2  2( cos6x+ sin 6 x) − sin xx cos c) (1+ sin2xx) cos ++( 1 cos 2 xx) sin =+ 1 sin2 x d) = 0 2− 2sin x x  e) cotx+ sin x 1 + tan x tan  = 4 f) cos3x+ cos2 x − cos x −= 1 0 2  HD Gi ải π  1 a) Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: 1++ sinx 3cos x =⇔ 2 cos  x −=  6  2 π π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x=+ kx2,π =−+ kk 2, π ∈ ℤ 2 6 b) Ph ươ ng trình đã cho t ưong đươ ng v ới sin7xx−+ sin 2sin22 x −=⇔ 1 0 cos4 xx( 2sin3 −= 1) 0 ππk π k2 π 5 ππ k 2 Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x=+, x =+ , x =+ , k ∈ ℤ 84 18 3 18 3 c) Ph ươ ngt trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới (sinxx+ cos )(1 + sin xxxx cos ) =+⇔+ (sin cos )2 (sin xx cos )(1 −−= sin x )( 1 cos x ) 0 π π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x=−+ kxπ, =+ kxkk 2, π = 2, π ∈ ℤ 4 2 2 d) Điều ki ện: sin x ≠ (*) ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: 2 3  1 2sin()6xxxx+ cos 6 − sincos =⇔− 0 21 sin22 x  − sin2 x = 0 4 2   π ⇔3sin2 2xx + sin 2 −=⇔ 4 0 sin 2 xxkk =⇔=+ 1π , ∈ ℤ 4 5π Do điều ki ện (*) nên nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x= +2 mπ , m ∈ ℤ 4 x e) Điều ki ện: sinx≠ 0,cos x ≠ 0,cos ≠ 0 (*) ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: 2 x x cosx cos+ sin x sin cosx cosx sin x 1 +sinx 2 2 =⇔+=⇔= 4 4 sin2 x sinx x sinx cos x 2 cosx cos 2 π5 π So v ới (*), nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x=+ kxπ, =+ kk π , ∈ ℤ 12 12 f) Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới −2sin 2xx sin − 2sin2 x =⇔ 0 sin xxx (sin 2 +=⇔ sin ) 0 sin2 xx (2 cos += 1) 0 2π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x=± + kxkk2π , = π , ∈ ℤ 3 Bài 8. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2008) 36 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  40. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 7 π  a) + =4sin  − x  b) sin3x− 3 cos 3 xxx = sin cos 2 − 3 sin 2 xx cos sinx 3π   4  sin x −  2  c) 2sinx( 1+ cos2 xx) + sin2 =+ 1 2cos x d) sin3x− 3cos3 x = 2sin2 x HD Gi ải 3π  a) Điều ki ện sinx ≠ 0 và sinx −  ≠ 0 . 2  Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: 1 1 1  +=−22sin()()xx +⇔+ cos sin xx cos += 22  0 sinx cos x sinx cos x  π π 5π So v ới điều ki ện, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x=− + kxπ, =− + k π và x= + kπ , k ∈ ℤ 4 8 8 b) Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: sinxxx( cos22−+ sin) 3cos xxx( cos 22 −=⇔ sin) 0 cos2 xx( sin + 3cos x ) = 0 πk π π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x=+, x =−+ kkπ , ∈ ℤ 4 2 3 c) Phươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: 4sinxxx cos2 + sin 2 =+ 1 2 cos x ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2 x −= 1) 0 2π π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x=± + kx2π , =+ kk π , ∈ ℤ 3 4 1 3 π  d) Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng d ươ ng v ới: sin3x− cos3 xx = sin2 ⇔ sin 3 x −=  sin2 x 2 2 3  2π 4 πk 2 π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x=+ kx2π , =+ , k ∈ ℤ 3 155 Bài 9. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2009) (1− 2sinx )cos x a) = 3 b) sinxxx+ cos sin2 + 3cos3 x = 2(cos4 xx + sin3 ) (1+ 2sinx )(1 − sin x ) c) (1+ 2sinxx )2 cos =++ 1 sin x cos x d) 3 cos5x− 2sin3 xx cos2 − sin x = 0 HD Gi ải 1 a) Điều ki ện sinx≠ 1,sin x ≠ − (*) 2 (1− 2sinx )cos x =⇔−3 (1 2sinxx )cos =+ 3(1 2sin x )(1 − sin x ) (1+ 2sinx )(1 − sin x )  π x= + k 2π π   π  2 ⇔−=+cosxxxxx 3sin sin2 3cos2 ⇔+=−⇔ cos  cos2  x   , k ∈ ℤ 3   6   πk2 π x = − +  18 3 πk2 π So v ới (*), nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x=− +, k ∈ ℤ 18 3 b) Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 37 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  41. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp (1− 2sin2 xxxx )sin + cos sin2 + 3cos3 x = 2cos4 x ⇔sinxxxx cos2 + cos sin2 + 3cos3 x = 2cos4 x  π x= − + k 2π π  6 ⇔+sin3xxxx 3cos3 =⇔−=⇔ 2cos4 cos3  cos4 x , k ∈ ℤ 6   πk2 π x = +  42 7 c) Ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng v ới (sinx+ 1)(2sin 2 x − 1) = 0 π π5 π Vậy, nghi ệm của ph ươ ng trình: x=−+ kx2,π =+ kx π , =+ kk π , ∈ ℤ 2 12 12 d) Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 3 1 3 cos5xxxx− (sin5 +−=⇔ sin ) sin 0 cos5 x − sin5 xx = sin 2 2  πk π x = + π  18 3 ⇔−=⇔sin 5x  sin x , k ∈ ℤ 3   πk π x = − +  6 2 Bài 10. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2010) π  ()1+ sinx + cos2 x sin  x +  4  1 a) = cos x b) (sin2x+ cos2 xx) cos + 2cos2 xx −= sin 0 1+ tan x 2 5x 3 x c) sin2x− cos2 x + 3sin x − cos x −= 1 0 d) 4cos cos+ 28sin()x − 1cos x = 5 2 2 HD Gi ải a) Điều ki ện cosx ≠ 0 và 1+ tanx ≠ 0 π  ()1+ sinx + cos2 x sin  x +  4  1 π  = cos x ⇔2sinx +++  ()() 1 sin xx cos2 =+ 1 tan xx cos 1+ tan x 2 4  sinx+ cos x ⇔+()()sinxxxx cos 1sin ++= cos2 cos xxx ⇔+= sin cos2 0 cos x 1 ⇔2sin2 x − sin x −=⇔ 1 0 sinx = 1 (lo ại) ho ặc sin x = − 2 π 7π ⇔x =− + k 2π ho ặc x= + k2π ; k ∈ ℤ 6 6 b) (sin2xxx+ cos2) cos +−=⇔ 2cos2 xx sin 0 2sin xxxxx cos2 −+ sin cos2 cos += 2co s2 x 0 ⇔cos2xxx sin ++ (cos 2)cos2 x =⇔ 0 cos2 xxx (sin ++= cos 2) 0 π π ⇔cos2x = 0 ⇔=+x k; k ∈ ℤ ( vì sinx+ cos x + 2 = 0 (vô nghi ệm)) 4 2 c) sin2xxxx− cos2 + 3sin −−=⇔ cos 1 0 2sin xxx cos −−− cos( 1 2sin2 xx) + 3sin −= 1 0 ⇔(2sinx − 1)(cos x ++= sin x 2) 0 2sinx − 1 = 0 ⇔  cosx+ sin x + 2 = 0  Ph ươ ng trình: sinx+ cos x + 2 = 0 vô nghi ệm 1 π 5π  Ph ươ ng trình: 2sinx − 1 = 0 ⇔sinx =⇔=+ x k 2 π ho ặc x= + k2π ; k ∈ ℤ 2 6 6 38 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  42. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 5x 3 x d) 4cos cos+ 28sin()x − 1cos x = 5 2 2 ⇔2cos4xx + 8sin2 −=⇔ 5 0 4sin2 2 xx − 8sin2 += 3 0 3 1 π 5π ⇔sin 2 x = ( vô nghi ệm) ho ặc sin 2 x= ⇔ x = + k π ho ặc x= + kπ; k ∈ ℤ 2 2 12 12 Bài 11. Gi ải các ph ươ ng trình sau: (Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2011) 1+ sin2x + cos2 x a) = 2 sinx sin 2 x b) sin2xxxx cos+ sin cos = cos2 xx ++ sin cos x 1+ cot 2 x sin 2x+ 2 cos x − sin x − 1 c) = 0 d) cos4x+ 12sin2 x − 1 = 0 tanx + 3 HD Gi ải a) Điều ki ện sinx ≠ 0 (*). Phươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: (1+ sin2x + cos2 xx) sin2 = 2 2sin 2 xx cos ⇔+1 sin2x + cos2 x = 2 2cos x cosx = 0 (1) ⇔cosx() cos x +−=⇔ sin x 2 0  cosx+ sin x − 2 = 0 (2) π Gi ải (1): cos0x=⇔=+ x kkπ , ∈ ℤ (tho ả mãn (*)) 2 π  π Gi ải (2): cosxx+ sin =⇔ 2 sin x +=⇔=+  1 xkk 2π , ∈ ℤ (tho ả mãn (*)) 4  4 π π Vậy, ph ươ ng trình có nghi ệm: x= + k π ; x= + k2π , k ∈ ℤ 2 4 b) sin2xxxx cos+ sin cos = cos2 xx ++ sin cos x ⇔sinx( 1 + cos2 xxx) + sin cos =++ cos2 xxx sin cos ⇔cos2xx()() sin −+ 1 cos xx sin −= 1 0 sinx − 1 = 0 (1) ⇔()()sinx − 1 cos2 x + cos x =⇔ 0  cos2x+ cos x = 0 (2) π Gi ải (1): sinx=⇔=+ 1 x kk 2π , ∈ ℤ 2 π2 π Gi ải (2): cos2x=− cos x = cos()π −⇔=+ xxkk , ∈ ℤ 3 3 π π2 π Vậy, ph ươ ng trình có nghi ệm: x= + k 2π ; x= + k, k ∈ ℤ 2 3 3 c) Điều ki ện cosx≠ 0,tan x ≠ 3 (*). sin 2x+ 2 cos x − sin x − 1 =⇔0 sin2x + 2cos x − sin x −= 1 0 tanx + 3 ⇔2cosxx( sin +− 1) ( sin x +=⇔ 1) 0( sin x + 12cos)( x −= 1) 0  π sinx = − 1 x= − + k 2π  2 ⇔1 ⇔ ;k ∈ ℤ cos x =  π  2 x= ± + k 2π  3 π So v ới (*). V ậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x= + k2π , k ∈ ℤ 3 39 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  43. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp d) cos4x+ 12sin2 x − 1 = 0 ⇔2cos22 x −+− 1 61( cos2 x) −=⇔ 1 0 cos22 xx − 3cos2 += 2 0 ⇔cos2x = 2 (vô nghi ệm) ho ặc cos2x=⇔= 1 xkkπ , ∈ ℤ Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x= kπ , k ∈ ℤ Bài 12. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2012) a) 3 sin 2x+ cos2 x = 2cos x − 1 b) 2cos( x+ 3sin xxx) cos =− cos 3sin x + 1 c) sin3x+ cos3 xxx − sin + cos = 2cos2 x d) 2 cos2x+ sin x = sin3 x HD Gi ải a) 3sin2xxx+ cos2 = 2cos −⇔ 1( 3sin xxx +− cos 1cos) = 0  π x= + k π 2 cosx = 0  ⇔ ⇔=x kπ ; k ∈ ℤ  3 sinx+ cos x − 1 = 0   2π x= + k 2π  3 π 2π Vậy nghiệm c ủa ph ươ ng trình đã cho là x= + k π , x= k π và x= + k 2π ( k ∈ℤ ) 2 3 b) 2cos( x+ 3sin xxx) cos =− cos 3sin x +⇔+ 1 cos2 x 3sin2 xx =− cos 3sin x  2π x= + k 2π π   π  3 ⇔cos2x −=+⇔  cos  x   ; k ∈ ℤ 3   3   2π x= k  3 2π 2π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho là x= + k 2π và x= k ( k ∈ℤ ) 3 3 c) sin3xxxx+−+= cos3 sin cos 2cos2 x ⇔+−( 2sin xx 2cos 2cos2) x = 0 πk π cos20x=⇔=+ x ( k ∈ ℤ ) 4 2 π  1 7 π π 2sin2cosx+ x −=⇔ 20cos x −=⇔=+  x k 2π hoaëc x =−+ k 2 π (k ∈ℤ ) . 42  12 12 πk π 7π π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho là x = + , x= + k 2π và x= − + k 2π (k ∈ℤ ) 4 2 12 12 d) 2cos2xxx+=⇔ sin sin3 2cos2 xxx +−=⇔ sin sin3 0 2cos2 x − 2cos2.sin xx = 0  π π x= + k cos2x = 0 4 2 ⇔2cos2(sin1)0x x −=⇔ ⇔ (k ∈ ℤ ) sinx = 1  π x= + k 2π  2 π π π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho là x= + k và x= + k 2π (k ∈ℤ ) 4 2 2 Bài 13. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2013) π  a) 1+ tanx = 2 2 sin  x +  b) sin5x+ 2cos2 x = 1 4  π  c) sin3x+ cos2 x − sin x = 0 d) cos−x  + sin2 x = 0 2  40 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  44. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Gi ải a) Điều ki ện cosx ≠ 0 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: sin x sinx+ cos x = 0 1+= 2sin()()()xx + cos ⇔+ sin xx cos 2cos x −=⇔ 10  cos x 2cosx − 1 = 0 π  sinx+ cos x =⇔=−+ 0 x kkπ , ∈ ℤ 4 π  2cosx−=⇔=±+ 10 x kk 2,π ∈ ℤ 3 π π So v ới điều ki ện, v ậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x= − + k π và x=±+ k2π , k ∈ ℤ . 4 3 π  b) sin5xx+ 2cos2 =⇔ 1 sin5 xx = cos2 ⇔ cos5 x +=  cos2 x 2   π  π2 π 5x+ = 2 x + k 2 π x= − + k ⇔ 2 ⇔ 6 3 ,k ∈ ℤ  π π2 π 5x+=−+ 2 xk 2 π x =−+ k  2 147 π2 π π2 π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x= − + k và x=− + k, k ∈ ℤ . 6 3 14 7 cos2x = 0 c) sin3xxx+ cos2 −=⇔ sin 0 2cos2 xxx sin + cos2 =⇔ 0 cos2 xx() 2sin +=⇔ 1 0  2sinx + 1 = 0 πk π  cos20x=⇔=+ x , k ∈ ℤ 4 2  π x= − + k 2π  2sinx+=⇔ 1 0 6 , k ∈ ℤ  7π x= + k 2π  6 πk π π 7π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x = + , x= − + k 2π và x= + k2π , k ∈ ℤ . 4 2 6 6  2π π  x= k d) cos−+xx  sin 2 =⇔ 0 sin 2 xxxx =−⇔ sin sin 2 =−⇔ sin( )3 , k ∈ ℤ 2   x=π + k 2 π k2π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x = và x=π + k2 π , k ∈ ℤ . 3 Bài 14. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( Đại h ọc – cao đẳng n ăm 2014) a) sinx+ 4 cos x = 2 + sin 2 x b) 2( sinx− 2 cos x) = 2 − sin 2 x HD Gi ải a) sinxx+ 4cos =+⇔+ 2 sin2 xxx sin 4cos =+ 2 2sin xxx cos ⇔−( sin 2)( 2cos x −= 1) 0  sinx−=⇔ 2 0 sin x = 2 : Ph ươ ng trình vô nghi ệm 1 π  2cos10x−=⇔ cos xx =⇔=±+ kk 2,π ∈ ℤ 2 3 π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho: x=±+ k2π , k ∈ ℤ 3 b) 2( sinxx− 2cos) =−⇔ 2 sin2 xxx 2sin cos − 2 2 cos xx + 2 sin −==− 2 0( sin x 2)( 2cos x += 2 ) 0 41 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  45. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  sinx − 2 = 0 : Ph ươ ng trình vô nghi ệm 2 3 π  2cosx+ 20cos =⇔ x =− ⇔=± xkk + 2,π ∈ ℤ 2 4 3π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho là x=± + k2π , k ∈ ℤ 4 Bài 15. Gi ải các ph ươ ng trình sau: (THPTQG 2015, 2016) π 3 tan α a) Cho góc α th ỏa mãn <α < π và sin α = . Tính A = 2 5 1+ tan 2 α 2 b) Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức P =(1 − 3cos 2α)( 2 + 3cos 2 α ), bi ết sin α = 3 c) Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2 x+ 7sin x − 4 = 0 HD Gi ải 3  2 16 π 4 a) Ta có: cos2α=− 1sin 2 α =− 1   = . Vì <α < π nên cos α = − 5  25 2 5 − 3 3 tanα 12 Khi đó suy ra: tan α = − . V ậy: A = =4 =− 4 1+ tan2 α 3  2 25 1+ −  4  2  2 1 b) Ta có: cos2α=− 1 2sin2 α =− 1 2.   = 3  9 1  1  14 Vậy: P =−()()1 3cos2α 2 + 3cos2 α =− 1 3.  2 += 3.  9  9  9 sinx = − 4 2  c) 2sinx+ 7sin x −=⇔ 4 0 1 sin x =  2  Với sinx = − 4 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệm  π x= + k 2π 1 6  Với sinx= ⇔ , k ∈ ℤ 2  5π x= + k 2π  6 Gi ải các ph ươ ng trình Bài Gi ải ph ươ ng trình Bài Gi ải ph ươ ng trình 1 π  2 3sin2x+ cos2 xx = sin + 3cos x cos3x− sin2 x −  = 0 4  3 π   π 4 1+ sin 2x = 2cos 2 x sinx++  3sin  −= x 1 3   6 5 22( − cosx) cos x = 3sin2 x 6 sin3x .cos3 x= sin2 x 7 2 8 π x x  − −  = 1− sin3x = sin − cos  sin3x cos2 x  0 2 2  4  9 π  10 2sinx− sin2 x = 2sin2 xx .cos sin2x++  cos x − sin x = 0 2  11 sin2x+ cos(π − x ) = 0 12 sin5x+ sin3 x = sin4 x 42 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  46. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 13 2π  14 π  sin 3x−  + cos3 x = 0 2cos4xx cos− cos + 3 x  = sin5 x 3  2  15 π  16 sin7xx cos3− cos2 x = cos7 xx sin3 cos+ 3x  − sin 2 x = 0 2  17 sinx+ 2sin2 2 x = sin 7 x + 1 18 π  2cos4xx cos− cos + 3 x  = sin5 x 2  sin+ 4cos = 2 + sin2 19 x x x 20 2( sinx− 2 cos x) = 2 − sin 2 x 2 + − = 21 sin5x+ 2cos x = 1 22 sin3x cos2 x sin x 0 23 π  24 π  cos−x  + sin2 x = 0 1+ tanx = 2 2 sin  x +  2  4  25 26 3 sin2x+ cos2 x = 2cos x − 1 2( cosx+ 3 sin xxx) cos =− cos 3 sin x + 1 + = 27 sin3x+ cos3 xxx − sin + cos = 2 cos2 x 28 2cos2x sin x sin3 x 29 cos4x+ 12sin2 x − 1 = 0 30 (sin2x+ cos2 xx) cos + 2cos2 xx −= sin 0 31 5x 3 x 32 sin2x− cos2 x + 3sin x − cos x −= 1 0 4cos cos+ 2() 8sinx − 1 cos x = 5 2 2 sin2xx cos+ sin xx cos = cos2 xx ++ sin cos x 33 34 3 cos5x− 2sin3 xx cos2 − sin x = 0 2 35 (1+ 2sinxx ) cos =++ 1 sin x cos x 36 sin3x− 3 cos3 x = 2sin2 x 37 2sinx( 1+ cos2 xx) + sin2 =+ 1 2cos x 38 cos3x+ cos2 x − cos x −= 1 0 39 2 40 2 x x  2sin 2x+ sin 7 x − 1 = sin x sin+ cos  + 3cosx = 2 2 2  41 cos3x+ cos2 x − cos x −= 1 0 42 cosx+ cos2 x + cos3 x + cos4 x = 0 sinx+ sin2 x + sin3 x + sin4 x = 0 3 43 44 3sin3x− 3 cos9 x = 1 + 4sin 3 x 45 2 2sin( xxx+ cos) cos = 3 + cos2 x 46 1 3 + = 8sin x sinx cos x 47 sin3x+ cos 3 x = sin x − cos x 48 9π   15 π  sin2x+  − 3cos  x −  =+ 12sin x 2   2  + + = 49 2sinx− 2sin2 x = 0 50 1 2cosx cos2 x 0 51 π  52 2cos5x .cos3 x+ sin x = cos8 x 3sin3x+ cos3 x = 2sin 2 x +  3  + =+ + 53 sin2x− 3cos x = 0 54 cosxx sin 1 sin2 x cos2 x 43 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  47. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN TRẮC NGHIỆM π7 π Câu 1: Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức P = cos cos . 12 12 3 1 3 1 A. P = . B. P = − . C. P = . D. P = . 4 4 2 4 Câu 2: Gi ải ph ươ ng trình 2( sinx− 2 cos x) = 2 − sin 2 x . 3π π A. x=± + k2π , k ∈ ℤ . B. x=± + kπ , k ∈ ℤ . 4 4 5π 3π C. x=± + k2π , k ∈ ℤ . D. x=± + kπ , k ∈ ℤ . 4 4 Câu 3: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y=6tan3 x − 4cot3 x . kπ  A. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . B. D =(0; +∞ ) . 6  C. D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } . D. D = ℝ. sin2x+ 3sin xx cos − 2cos 2 x + 3 Câu 4: Cho bi ết tanx = − 3. Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức K = . 1+ 4sin 2 x 2 11 9 14 A. K = − . B. K = . C. K = − . D. K = . 3 6 7 23 Câu 5: Tìm t ập nghi ệm S của ph ươ ng trình sinx− cos x = − 2. 3π  5π  A. S=− + k2π , k ∈ ℤ  . B. S= + k2π , k ∈ ℤ  . 4  4  π  π  C. S=−+ kπ , k ∈ ℤ  . D. S= + k2π , k ∈ ℤ  . 4  4  sin3 x Câu 6: Tìm s ố nghi ệm c ủa ph ươ ng trình = 0 có s ố nghi ệm thu ộc đoạn 2π ;4 π  . cosx + 1 A. 5. B. 6. C. 4. D. 2. π  1 Câu 7: Gi ải ph ươ ng trình sin 2x +  = . 6  2 π π π A. x= k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x= + k π ho ặc x=− + kπ , k ∈ ℤ . 2 3 2 π π C. x= + kπ , k ∈ ℤ . D. x= + k2π , k ∈ ℤ . 6 2 1 1 1 Câu 8: Gọi A, B , C là ba góc nh ọn c ủa m ột tam giác th ỏa tanA= ,tan B = ,tan C = . Tính t ổng 2 5 8 S= A + B + C . A. S = 300 . B. S = 600 . C. S = 450 . D. S =1200 . 2 Câu 9: Gi ải ph ươ ng trình cos() 3x − 600 = . 2 A. x=350 + k 120 0 ho ặc x=50 + k 120, 0 k ∈ ℤ . B. x=350 + k 60 0 ho ặc x=50 + k 60, 0 k ∈ ℤ . 44 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  48. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp C. x=350 + k 180 0 ho ặc x=50 + k 180, 0 k ∈ ℤ . D. x=350 + k 360 0 ho ặc x=50 + k 360, 0 k ∈ ℤ . Câu 10: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y=−1 sin x ++ 1 sin x . π  A. D = ℝ. B. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . 2  kπ  C. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . D. D = − 1;1  . 2  Câu 11: Kí hi ệu M là giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố: y=sin4 x + cos 4 x . Tìm M. 1 A. M = . B. M =1. C. M = 0. D. M = 2. 2 x Câu 12: Tìm chu kì tu ần hoàn T của hàm s ố y = cos2 . 2 π A. T = . B. T = 8π . C. T = 2π . D. T = 4π . 2 x x 1 Câu 13: Gi ải h ươ ng trình sin4− cos 4 = . 4 4 2 4π 4π A. x=± + kπ , k ∈ ℤ . B. x=± + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 4π 4π π C. x=± + k4π , k ∈ ℤ . D. x=± + k, k ∈ ℤ . 3 3 2 Câu 14: Gi ải ph ươ ng trình cos3x+ cos2 x − cos x −= 1 0. 2πk π 2π A. x=+ kxπ , = , k ∈ ℤ . B. x=± + kxkk2,π = π , ∈ ℤ . 3 2 3 2π π C. x=+ kxkk2,π = 2, π ∈ ℤ . D. x=+ kxkk2,π = 2, π ∈ ℤ . 3 3 π 3 tan α Câu 15: Cho góc α th ỏa mãn <α < π sin α = . Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức P = . 2 5 1+ tan 2 α 12 4 25 12 A. P = − . B. P = − . C. P = − . D. P = . 25 3 12 25 2 Câu 16: Cho góc α th ỏa mãn sin α = . Tính giá tr ị của bi ểu th ức P =(1 − 3cos2α)( 2 + 3cos2 α ) . 3 14 19 14 A. P = − 4. B. P = − . C. P = . D. P = . 9 4 9 Câu 17: Cho hai hàm s ố f( x )= sin2 x và g( x )= cos3 x . M ệnh đề nào d ưới đây đúng ? A. f( x ) và g( x ) là hàm s ố l ẻ. B. f( x ) là hàm s ố l ẻ, g( x ) là hàm s ố ch ẵn. C. f( x ) và g( x ) là hàm s ố ch ẵn. D. f( x ) là hàm s ố ch ẵn, g( x ) là hàm s ố l ẻ. 1 Câu 18: Cho góc α mà sin α = . Tính P =(sin4α + 2sin2 α) cos α . 4 225 10 128 225 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = − . 128 11 225 128 π  Câu 19: Tìm s ố nghi ệm c ủa ph ươ ng trình sinx +  = 1 thu ộc đoạn π;2 π  . 4  A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 45 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  49. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 20: Kí hi ệu m là giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố: y=sin x + 3cos x . Tìm m. A. m = − 2. B. m =1. C. m = − 3. D. m = − 2. 3tanx − 2 Câu 21: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . 1+ sin x A. D=ℝ\{π + k π , k ∈ ℤ } . B. D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } . π  π  C. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . D. D=ℝ\ −+ k 2,π k ∈ ℤ  . 2  2  x x Câu 22: Tìm chu kì tu ần hoàn T của hàm s ố y =cos + cos . 2 3 A. T = 8π . B. T = 4π . C. T =12π . D. T = 6π . 2π  Câu 23: Kí hi ệu m là giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố: y=sin x + sin x +  . Tìm m. 3  3 A. m = . B. m = − 1. C. m = − 2. D. m = 0. 2 π  Câu 24: Gi ải ph ươ ng trình cos−x  + sin2 x = 0. 2  π 2π kπ A. x= + k π ho ặc x=− + kπ , k ∈ ℤ . B. x = ho ặc x= k2π , k ∈ ℤ . 3 3 3 k2π kπ C. x = ho ặc x=π + k2 π , k ∈ ℤ . D. x = ho ặc x=π + k π , k ∈ ℤ . 3 3 1 Câu 25: Gi ải ph ươ ng trình cosx = − . 2 π π A. x=±+ k2π , k ∈ ℤ . B. x=± + kπ , k ∈ ℤ . 3 3 2π 2π C. x=± + kπ , k ∈ ℤ . D. x=± + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 π  Câu 26: Tìm chu kì tu ần hoàn T của hàm s ố y=cos5 x −  . 4  2π π A. T =10π . B. T = 5π . C. T = . D. T = . 5 5 Câu 27: Gi ải ph ươ ng trình tanx = 3. π π π π A. x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= + kπ , k ∈ ℤ . C. x=− + kπ , k ∈ ℤ . D. x= + kπ , k ∈ ℤ . 3 3 3 6 x π  Câu 28: Tìm t ất c ả giá tr ị c ủa x để hàm s ố y =2sin +  − 3 có giá tr ị nh ỏ nh ất b ằng −5. 2 5  13 π 13 π A. x= + k4π , k ∈ ℤ . B. x= + k2π , k ∈ ℤ . 5 5 π 13 π C. x= + k4π , k ∈ ℤ . D. x=− + k4π , k ∈ ℤ . 5 5 Câu 29: Gi ải ph ươ ng trình sin3x+ cos 3 x = cos x . 46 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  50. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp kπ3 π π A. x=, x =+ kkπ , ∈ ℤ . B. xkx=2,π =−+ kk π ,. ∈ ℤ 2 4 4 π π C. xkx=π, =+ kk π , ∈ ℤ . D. xkx=2,π =+ kk 2, π ∈ ℤ . 4 4 2cosx − 5 Câu 30: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . 3sinx − 4 4  kπ  A. D = ℝ \   B. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . 3  2  C. D = ℝ. D. D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } . cos x Câu 31: Cho hàm s ố y = . M ệnh đề nào d ưới đây đúng ? x A. Hàm s ố đã cho là hàm s ố ch ẵn. B. Hàm s ố đã cho v ừa ch ẵn, v ừa l ẻ. C. Hàm s ố đã cho không ch ẵn, không l ẻ. D. Hàm s ố đã cho là hàm s ố l ẻ. Câu 32: Gi ải ph ươ ng trình sinx+ 3 cos x = − 2. 5π π A. x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . 6 6 π 5π C. x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x=− + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 sin 2x+ 2 cos x − sin x − 1 Câu 33: Gi ải ph ươ ng trình = 0. tanx + 3 π 2π A. x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x= + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 π π C. x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . 3 3 Câu 34: Tìm chu kì tu ần hoàn T của hàm s ố y= sin3 x .cos4 x . A. T = π . B. T = 2π . C. T = 4π . D. T = 3π . cos4 x π  Câu 35: Tìm s ố nghi ệm c ủa ph ươ ng trình = tan 2 x có s ố nghi ệm thu ộc kho ảng 0;  . cos2 x 2  A. 2. B. 4. C. 5. D. 3. Câu 36: Mệnh đề nào d ưới đây sai ? A. Hàm s ố y= sin x và y= tan x là các hàm s ố l ẻ. B. Hàm s ố y= sin x và y= cos x có cùng t ập xác định. C. Hàm s ố y= tan x và y= cot x có cung chu kì là π. D. Hàm s ố y= cos x và y= cot x là các hàm s ố ch ẵn. 1cos+x x3 − sin x Câu 37: Cho các hàm s ố fx()= ,() gx = . Mệnh đề nào d ưới đây đúng ? 1− cosx cos 2 x A. f( x ) là hàm s ố l ẻ và g( x ) là hàm s ố ch ẵn. B. f( x ) là hàm s ố ch ẵn và g( x ) là hàm s ố l ẻ. C. f( x ) và g( x ) là các hàm s ố l ẻ. D. f( x ) và g( x ) là các hàm s ố ch ẵn. x π  Câu 38: Trên kho ảng (π;8 π ) . Ph ươ ng trình cos+  = 0 có bao nhiêu nghi ệm ? 2 4  A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Câu 39: Gi ải ph ươ ng trình sinx+ 4cos x = 2 + sin2 x . 47 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  51. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π π A. x=±+ k2π , k ∈ ℤ . B. x=±+ k2π , k ∈ ℤ . 3 4 2π π C. x=± + k2π , k ∈ ℤ . D. x=±+ k2π , k ∈ ℤ . 3 6 sin α Câu 40: Cho góc α th ảo mãn tanα = 2 . Tính E = . sin3α+ 3cos 3 α 10 10 11 11 A. E = . B. E = − . C. E = − . D. E = . 11 11 10 10 2 x x  Câu 41: Gi ải ph ươ ng trình sin+ cos  + 3cosx = 2. 2 2  π π π π A. x=+ kxπ, =−+ kk π , ∈ ℤ . B. x=+ kx2,π =−+ kk 2, π ∈ ℤ . 2 6 2 6 π π π π C. x=−+ kxπ, =+ kk π , ∈ ℤ . D. x=+ kx2,π =−+ kk 2, π ∈ ℤ . 2 6 4 3 Câu 42: Gi ải ph ươ ng trình 2sin2 x+ 7sin x − 4 = 0. π 7π π 5π A. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 12 6 6 6 π 5π π 5π C. x= − + k 2π ho ặc x=− + k2π , k ∈ ℤ . D. x= + k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . 6 6 6 6 4+ sin 2 α Câu 43: Cho góc α th ỏa mãn tanα = 2 . Tính giá tr ị c ủa E = . 5cos2 α 8 4 8 4 A. E = − . B. E = − . C. E = . D. E = . 5 5 5 5 Câu 44: Hàm s ố y= sin x đồng bi ến trên kho ảng nào d ưới đây ? 19 π  7π  15 π  A. ;10π  . B. (−6;5π − π ) . C. −; − 3π  . D. 7π ;  . 2  2  2  Câu 45: Gi ải ph ươ ng trình 2sinx( 1+ cos2 xx) + sin2 =+ 1 2cos x . 2π π π π A. x=± + kxπ, =+ kk 2, π ∈ ℤ . B. x=±+ kx2,π =+ kk π , ∈ ℤ . 3 4 3 2 2π π 2π π C. x=± + kx2,π =+ kk π , ∈ ℤ . D. x= + kx2,π =−+ kk π ,. ∈ ℤ 3 4 3 4 π  Câu 46: Trên kho ảng − ;π  . Ph ươ ng trình 2tanx− 2cot x − 3 = 0 có bao nhiêu nghi ệm ? 2  A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 47: Gi ải ph ươ ng trình cos4x+ 12sin2 x − 1 = 0. kπ π A. x= k2π , k ∈ ℤ . B. x=, k ∈ ℤ . C. x= + kπ , k ∈ ℤ . D. x= kπ , k ∈ ℤ . 3 2 Câu 48: Gi ải ph ươ ng trình 2sin2 x+ 5sin x − 3 = 0. π 5π π 4π A. x= + k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 3 3 π 5π π 5π C. x= + k 2π hoặc x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x= − + k 2π ho ặc x=− + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 6 6 48 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  52. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2π  Câu 49: Gi ải ph ươ ng trình sinx+  = cos3 x . 3  πk π π π π A. x = + ho ặc x=− + kπ , k ∈ ℤ . B. x= + k π ho ặc x=− + kπ , k ∈ ℤ . 24 2 12 12 4 πk π π π πk π C. x = − + ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . D. x= − + k π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . 24 2 12 24 12 2 cos2 x sinx− cos3 x Câu 50: Cho hai hàm s ố f( x ) = và g( x ) = . M ệnh đề nào d ưới đây đúng ? 1+ sin2 3 x 2+ tan 2 x A. f( x ) và g( x ) là hàm s ố l ẻ. B. f( x ) và g( x ) là hàm s ố ch ẵn. C. f( x ) là hàm s ố ch ẵn, g( x ) là hàm s ố l ẻ. D. f( x ) là hàm s ố l ẻ, g( x ) là hàm s ố ch ẵn. Câu 51: Cặp hàm s ố nào sau đây có cùng t ập xác định ? A. y= tan x và y= sin x . B. y= cos x và y= cot x . 2+ sin x C. y= tan x và y = . D. y= tan x và y= cot x . cos x 2x  Câu 52: Gi ải ph ươ ng trình 2tan− 200  + 3 = 0. 3  A. x=−150 + k 270, 0 k ∈ ℤ . B. x=150 + k 270, 0 k ∈ ℤ . C. x=−450 + k 270, 0 k ∈ ℤ . D. x=−350 + k 270, 0 k ∈ ℤ . π  Câu 53: Tìm t ất c ả giá tr ị c ủa x để hàm s ố y=2cos + x  + 3 có giá tr ị l ớn nh ất b ằng 5. 3  π 2π A. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . B. x=− + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 2π π C. x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x= + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 Câu 54: Nếu xét trên kho ảng (0;2 π ) . Trên nh ững kho ảng nào thì hàm y= sin x và y= cos x cùng ngh ịch bi ến ? 3π  3π  π  A. 0;  . B. ;2π  . C. ;π  . D. (π;2 π ) . 2  2  2  Câu 55: Gi ải ph ươ ng trình 8cos3 x − 1 = 0. π 2π A. x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x=± + kπ , k ∈ ℤ . 3 3 π πk π C. x=±+ k2π , k ∈ ℤ . D. x=± +, k ∈ ℤ . 3 3 2 Câu 56: Gọi m và M là giá tr ị nh ỏ nh ất và giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y=sin2 x + 2sin x + 6 . Tính S= m + M . A. S = 5. B. S = 9. C. S = − 3. D. S =14. 3sinx − 7 Câu 57: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . 2cosx − 5 5  A. D = ℝ \  . B. D = ℝ. 2  kπ  C. D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } . D. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . 2  49 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  53. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 58: Gi ải ph ươ ng trình sin3x+ cos 3 x = sin x − cos x . 3π π π π A. x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= + kπ , k ∈ ℤ . C. x=− + kπ , k ∈ ℤ . D. x= + k2π , k ∈ ℤ . 2 2 2 2 Câu 59: Tìm chu kì tu ần hoàn T của hàm s ố y=cos x + cos3 x . 2π A. T = π . B. T = 4π . C. T = 2π . D. T = . 3 Câu 60: Tìm chu kì tu ần hoàn T của hàm s ố y= tan3π x . π 1 A. T = . B. T = 3π . C. T = π . D. T = . 3 3 π  π  Câu 61: Kí hi ệu m là giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố: y=cos2 x +−  cos2 x −  . Tìm m. 4  4  A. m = − 2. B. m = − 4. C. m = 3 2. D. m = − 2. cosx+ cot 2 x Câu 62: Cho hai hàm s ố fx( )= sin3 x − tan x và g( x ) = . M ệnh đề nào d ưới đây đúng ? sin x A. f( x ) là hàm s ố l ẻ, g( x ) là hàm s ố ch ẵn. B. f( x ) và g( x ) là hàm s ố l ẻ. C. f( x ) và g( x ) là hàm s ố ch ẵn. D. f( x ) là hàm s ố l ẻ, g( x ) là hàm s ố l ẻ. 2− cos x Câu 63: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . π  1+ tan x −  3  5π  π   A. D=ℝ\ +∪+ kπ  kk π  ; ∈ ℤ  . B. D =ℝ \{ − 1} . 6  12   π  5π  C. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . D. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . 12  6  Câu 64: Kí hi ệu M là giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố: y=sin4 x − cos 4 x . Tìm M. A. M =1. B. M = 2. C. M = − 1. D. M = 2. π  Câu 65: Tìm s ố nghi ệm c ủa ph ươ ng trình sin 2x +  = − 1 thu ộc đoạn 0;π  . 4  A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Câu 66: Với giá tr ị nào c ủa h ằng s ố A và c ủa h ằng s ố α thì hàm s ố y= Asin( x + α ) là 1 hàm s ố l ẻ. kπ kπ A. A≠0,α = , k ∈ ℤ . B. A>0,α = , k ∈ ℤ . 2 2 π C. A≠0,α = k π , k ∈ ℤ . D. A≠0,α =+ k π , k ∈ ℤ . 2 3 Câu 67: Gi ải ph ươ ng trình cotx = − . 3 π π π π A. x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x=− + kπ , k ∈ ℤ . C. x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x=− + kπ , k ∈ ℤ . 6 6 3 3 π α α 1 Câu 68: Cho góc α th ỏa mãn <α < π sin− cos = . Tính sin2α . 2 2 2 2 3 7 3 3 7 8 3 A. sin 2α = − . B. sin 2α = − . C. sin2α = . D. sin2α = − . 8 8 8 7 50 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  54. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 69: Tìm t ất c ả giá tr ị c ủa x để hàm s ố y=3 + cos 2 x có giá tr ị l ớn nh ất b ằng 2. kπ A. x= k2π , k ∈ ℤ . B. x=, k ∈ ℤ . 2 π C. x= kπ , k ∈ ℤ . D. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . 2 1 2+ cos x Câu 70: Cho bi ết cotx = . Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức M = . 2 sin2x− sin xx .cos − cos 2 x + 3 61 19 11 121 A. M = . B. M = − . C. M = . D. M = . 79 8 16 16 2+ cos x Câu 71: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . 1+ sin x A. D = ℝ. B. D =(0; +∞ ) . π  C. D=ℝ\ −+ k 2,π k ∈ ℤ  . D. D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } . 2  Câu 72: Tìm t ập nghi ệm S của ph ươ ng trình sinx+ cos x = − 2. 3π  π  A. S=− + k2π , k ∈ ℤ  . B. S= + kπ , k ∈ ℤ  . 4  4  π  5π  C. S=−+ kπ , k ∈ ℤ  . D. S= + k2π , k ∈ ℤ  . 4  4  3+ 4cot2 x Câu 73: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . cos2x − 1 1  A. D = ℝ \  . B. D = ℝ \{ 1} . 2  kπ  C. D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ } . D. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . 2  Câu 74: Tìm hàm s ố l ẻ trong các hàm s ố d ưới đây. tan 4 x A. fx( )= sin3 x .sin4 x . B. f( x )= . 2+ cos 2 x sin x π  C. f( x )= . D. fx()= 2cos x ++  sin(π − 2). x 3+ cot 2 x 2  π  Câu 75: Cho hai hàm s ố f( x )= tan4 x và g( x )= sin  x +  . M ệnh đề nào d ưới đây đúng ? 2  A. f( x ) và g( x ) là hàm s ố ch ẵn. B. f( x ) là hàm s ố ch ẵn, g( x ) là hàm s ố l ẻ. C. f( x ) là hàm s ố l ẻ, g( x ) là hàm s ố ch ẵn. D. f( x ) và g( x ) là hàm s ố l ẻ. 2π  Câu 76: Gi ải ph ươ ng trình tan 4x −  = 3. 3  A. x=450 + k 180, 0 k ∈ ℤ . B. x=1800 + k 180, 0 k ∈ ℤ . C. x=600 + k 180, 0 k ∈ ℤ . D. x=450 + k 45, 0 k ∈ ℤ . Câu 77: Gi ải ph ươ ng trình sin2x− 3 cos2 x = 2sin3 x . π 4πk 2 π π 4π A. x= − − k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . B. x= − + k π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 3 15 5 3 15 51 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  55. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π 4πk 2 π π 4πk 2 π C. x= − k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . D. x= − k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . 3 5 5 6 15 3 Câu 78: Tìm t ất c ả giá tr ị c ủa x để hàm s ố y=cos4 x + 4cos 2 x + 5 có giá tr ị l ớn nh ất b ằng 10. kπ π A. x=, k ∈ ℤ . B. x= + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 π C. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . D. x= kπ , k ∈ ℤ . 2 1 1 Câu 79: Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức E = + . sin180 sin54 0 A. E = − 2. B. E = 2. C. E = − 1. D. E =1. 1+ x Câu 80: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = sin . 1− x A. D = ℝ \{ 1} . B. D = − 1;1) . C. D = ℝ. D. D = − 1;1  . Câu 81: Hàm s ố nào sau đây là hàm s ố không ch ẵn, không l ẻ ? A. y=2cos x + 1. B. y=2sin x + x . C. y=sin x + 2. D. y=2cos x − 2 x 2 . 1 Câu 82: Cho sinα+ cos α = . Tính sin2α . 2 3 3 3 1 A. sin 2α = . B. sin 2α = − . C. sin 2α = . D. sin 2α = . 4 4 8 4 π  Câu 83: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y=tan 2 x +  . 3  π  πk π  A. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . B. D=ℝ\ + , k ∈ ℤ  . 6  12 2  kπ  C. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . D. D = ℝ. 2  Câu 84: Mệnh đề nào d ưới đây đúng ? π  A. Hàm s ố y=2sin x + tan x là hàm s ố l ẻ trên kho ảng 0;  . 2  B. Hàm s ố y=cos xx + sin x có đồ th ị nh ận g ốc t ọa độ O làm tâm đối x ứng. π  C. Hàm s ố y=2cos x + cos  x +  là hàm s ố ch ẵn. 3  cos x D. Hàm s ố y = có đồ th ị nh ận tr ục tung làm tr ục đối x ứng. 4+ cos 2 x Câu 85: Kí hi ệu M là giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố: y=cos2 x − sin x . Tìm M. 1 5 3 4 A. M = . B. M = . C. M = . D. M = . 4 4 4 5 Câu 86: Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức E =tan90 − tan27 0 − tan63 0 + tan81 0 . A. E = 2. B. E = − 4. C. E = 4. D. E = − 2. 1 Câu 87: Gi ải ph ươ ng trình sinx = . 2 5π 5π π π A. x= + k π ho ặc x=− + k2π , k ∈ ℤ . B. x= − + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 6 6 52 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  56. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π 5π π 5π C. x= + k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . D. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 6 6 Câu 88: Gi ải ph ươ ng trình 3 cos5x− 2cos3 x + sin5 x = 0. π πk π π πk π A. x= + k π ho ặc x=− +, k ∈ ℤ . B. x= + k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . 6 48 4 12 48 8 π πk π π πk π C. x= + k π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . D. x= + k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . 12 48 4 8 48 2 Câu 89: Hàm s ố y= cos x ngh ịch bi ến trên kho ảng nào d ưới đây ? 19 π  3π π  11 π  11 π  A. ;10π  . B. − ;  . C. ;7π  . D. −; − 5π  . 2  2 2  2  2  Câu 90: Nếu xét trên kho ảng (0;2 π ) . Trên nh ững kho ảng nào thì hàm y= sin x và y= cos x cùng đồng bi ến ? π  3π  3π  A. ;π  . B. 0;  . C. ;2π  . D. (π;2 π ) . 2  2  2  Câu 91: Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất và giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y=21( + cos x ) + 1. A. Min y = 1 và Max y = 3. B. Min y = 2 và Max y = 3. ℝ ℝ ℝ ℝ C. Min y = − 3 và Max y = 1. D. Min y = − 1 và Max y = 3. ℝ ℝ ℝ ℝ π  Câu 92: Tìm t ất c ả giá tr ị c ủa x để hàm s ố y=2cos + x  + 3 có giá tr ị nh ỏ nhất b ằng −1. 3  π 2π A. x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 π 2π C. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . D. x=− + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 Câu 93: Tìm nghi ệm âm l ớn nh ất c ủa ph ươ ng trình 2tan2 x+ 5tan x + 3 = 0. 3π 5π π π A. x = − . B. x = − . C. x = − . D. x = − . 4 6 3 4 1 sinx+ 2cos3 x − 3sin 3 x Câu 94: Cho bi ết tanx = . Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức P = . 3 4sinx+ 5sin xx cos2 − 6sin 3 x 4 14 79 61 A. P = − . B. P = . C. P = . D. P = . 5 23 61 79 Câu 95: Gi ải ph ươ ng trình 3tan2 x−+( 1 3tan) x += 1 0. π π π π A. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= + k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . 4 6 4 6 π π π π C. x= + k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . D. x= − + k π ho ặc x=− + kπ , k ∈ ℤ . 3 6 4 6 Câu 96: Kí hi ệu m là giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố: y=sin4 x − cos 4 x . Tìm m. A. m = − 3. B. m = − 1. C. m = 4. D. m = − 2. Câu 97: Giải ph ươ ng trình sin3x= cos x . π πk π π A. x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x = + ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . 4 8 2 4 53 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  57. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π π π π C. x= + k 2π ho ặc x=− + kπ , k ∈ ℤ . D. x= + k π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 8 4 8 4 sinx+ 3 cos x Câu 98: Gi ải ph ươ ng trình = 0. π sinx − cos 4 π π A. x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . 3 3 2π π C. x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x=− + kπ , k ∈ ℤ . 3 3 Câu 99: Gi ải ph ươ ng trình sin3x= sin x . π πk π A. x= + k π ho ặc x= k2π , k ∈ ℤ . B. x= k π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . 2 4 2 π π π C. x= + k π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x= + k2π , k ∈ ℤ . 8 4 4 3π 9 π  Câu 100: Cho góc α th ỏa mãn π< α < cos α = − . Tính P =tanα +  . 2 41 4  49 31 12 49 A. P = − . B. P = − . C. P = . D. P = . 31 49 5 31 Câu 101: Tìm nghi ệm d ươ ng nh ỏ nh ất c ủa ph ươ ng trình sinx+ sin2 x = cos x + 2cos2 x . π π π π A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 6 4 2 3 Câu 102: Tìm t ập nghi ệm S của ph ươ ng trình sinx− cos x = 2. π  π  A. S= + k2π , k ∈ ℤ  . B. S=−+ kπ , k ∈ ℤ  . 4  4  3π  3π  C. S= + kπ , k ∈ ℤ  . D. S=− + k2π , k ∈ ℤ  . 4  4  5x 3 x Câu 103: Gi ải ph ươ ng trình 4cos cos+ 28sin()x − 1cos x = 5. 2 2 π 5π π 5π A. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= − + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 12 12 12 12 5πk 2 π 5πk π π 5π C. x = + ho ặc x= +, k ∈ ℤ . D. x= + k π ho ặc x= + kπ; k ∈ ℤ . 6 3 12 3 12 12 xπ   π x  Câu 104: Tìm chu kì tu ần hoàn T của hàm s ố y =tan −+  cot  −  . 24   43  A. T = 8π B. T = 4π C. T = 2π D. T = 6π Câu 105: Gi ải ph ươ ng trình sin5x+ 2cos2 x = 1. π2 π π2 π πk π πk π A. x= + k ho ặc x= + k, k ∈ ℤ . B. x = + ho ặc x=− +, k ∈ ℤ . 6 3 14 7 3 3 3 3 π2 π π2 π πk π πk2 π C. x= − + k ho ặc x=− + k, k ∈ ℤ . D. x = + ho ặc x=−+, k ∈ ℤ . 6 3 14 7 6 3 7 7 Câu 106: Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất và giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y=3 − 2sin x . A. Min y = − 1 và Max y = 5. B. Min y = − 5 và Max y = 1. ℝ ℝ ℝ ℝ 54 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  58. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp C. Min y = 1 và Max y = 5. D. Min y = − 5 và Max y = − 1. ℝ ℝ ℝ ℝ Câu 107: Gi ải ph ươ ng trình 8cos2x sin2 x cos4 x = 2. πk π 3πk π πk π 3πk π A. x = + ho ặc x= +, k ∈ ℤ . B. x = − + ho ặc x= +, k ∈ ℤ . 32 4 32 4 32 4 32 2 π 3π πk π 3π C. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x = + ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . 32 32 32 2 32 Câu 108: Gi ải ph ươ ng trình sinx+ 3 cos x = 2sin2 x . π 2πk 2 π π π A. x= − k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . B. x= + k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . 3 9 3 3 6 π πk2 π π 2πk π C. x= − − k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . D. x= − k 2π ho ặc x= +, k ∈ ℤ . 3 9 3 6 3 3 3 Câu 109: Gọi m và M là giá tr ị nh ỏ nh ất và giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y = . Tính P= m. M 5− sin 2 x 9 3 A. P = 20. B. P = . C. P = . D. P = 4. 20 4 π  Câu 110: Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất và giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y=3sin x −  − 2. 6  A. Min y = − 5 và Max y = 1. B. Min y = − 1 và Max y = 1. ℝ ℝ ℝ ℝ C. Min y = − 5 và Max y = 2. D. Min y = 1 và Max y = 5. ℝ ℝ ℝ ℝ 2 Câu 111: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . cosx− cos3 x kπ  kπ  A. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . B. D=ℝ\ , k ∈ ℤ  . 2  3  π  π  C. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . D. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . 4  2  Câu 112: Tìm s ố nghi ệm c ủa ph ươ ng trình sinx= cos x có s ố nghi ệm thu ộc đoạn −π; π  . A. 6. B. 4. C. 5. D. 2. π  Câu 113: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y=tan 2 x +  . 5  3πk π  3π  A. D=ℝ\ + , k ∈ ℤ  . B. D=ℝ\ + k 2,π k ∈ ℤ  . 20 2  2  3π  πk π  C. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . D. D=ℝ\ −+ , k ∈ ℤ  . 5  20 2  Câu 114: Gi ải ph ươ ng trình 3sin2x+ cos2 x = 2cos x − 1. π π π 2π A. x= − + k 2π , xkx=π, =+ k 2, π k ∈ ℤ . B. x= + k π , xkx=π, =+ kk 2, π ∈ ℤ . 2 3 2 3 π 2π π 2π C. x= + k π , xkx=2,π =−+ kk π ,. ∈ ℤ D. x= + k 2π , xkx=2,π =+ kk π ,. ∈ ℤ 2 3 2 3 3 1 Câu 115: Cho a, b là góc nh ọn và cota= ,cot b = . Tính t ổng S= a + b . 4 7 55 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  59. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π 5π π 3π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 4 14 6 4 Câu 116: Gi ải ph ươ ng trình 2cos2x+ sin x = sin3 x . π π π π π A. x= + k ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= + k 2π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . 4 2 2 4 2 πk π π πk π π C. x = − + ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x = + ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . 4 2 3 4 4 2 1+ sin2x + cos2 x Câu 117: Gi ải ph ươ ng trình = 2 sinx sin 2 x . 1+ cot 2 x 3π 3 π π π A. x=+ kxπ, =+ kk 2, π ∈ ℤ . B. x=−+ kx2,π =+ kk π , ∈ ℤ . 2 4 2 3 π π π π C. x=+ kx2,π =+ kk π , ∈ ℤ . D. x=+ kxπ, =+ kk 2, π ∈ ℤ . 2 4 2 4 Câu 118: Gi ải ph ươ ng trình sin3x− 3 cos3 x = 2sin2 x . 2π πk 2 π 2π 4 πk π A. x=−+ kx2,π =+ ,. k ∈ ℤ B. x=+ kxπ , =+ , k ∈ ℤ . 3 155 3 155 π4 πk 2 π 2π 4 πk 2 π C. xkx=+2,π =+ ,. k ∈ ℤ D. x=+ kx2,π =+ ,. k ∈ ℤ 3 5 5 3 155 Câu 119: Gi ải ph ươ ng trình 3 sinx+ cos x = 2. π π A. x= + kπ , k ∈ ℤ . B. x= + k2π , k ∈ ℤ . 3 3 π π C. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . D. x= + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 1 tanx+ cot x Câu 120: Cho bi ết sinx = . Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức H = . 3 tanx− cot x 7 14 61 9 A. H = − . B. H = . C. H = . D. H = − . 9 23 79 7 3π  Câu 121: Cho hai hàm s ố fx()= x − sin x và gx()= 1 + cos.sin x − 2 x  . M ệnh đề nào d ưới đây đúng 2  ? A. f( x ) và g( x ) là hàm s ố l ẻ. B. f( x ) và g( x ) là hàm s ố ch ẵn. C. f( x ) là hàm s ố l ẻ, g( x ) là hàm s ố ch ẵn. D. f( x ) là hàm s ố ch ẵn, g( x ) là hàm s ố l ẻ. Câu 122: Chu kì tu ần hoàn c ủa hàm s ố y= sin3 x .cos3 x là: π A. T = 6π . B. T = . C. T = 3π . D. T = 2π . 3 2 Câu 123: Gi ải ph ươ ng trình sinx = . 2 π 5π π 3π A. x= − + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . B. x= + k 2π ho ặc x=− + k2π , k ∈ ℤ . 4 4 4 4 π 3π π 3π C. x= + k π ho ặc x= + kπ , k ∈ ℤ . D. x= + k 2π ho ặc x= + k2π , k ∈ ℤ . 4 4 4 4 56 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG
  60. Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x  Câu 124: Gọi X là t ập nghi ệm c ủa ph ươ ng trình cos+ 150  = sin x . M ệnh đề nào d ưới đây đúng? 2  A. 2900 ∈ X . B. 2200 ∈ X . C. 2400 ∈ X . D. 2000 ∈ X . tanx+ cot x Câu 125: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . 1− sin2 x 1  π  A. D = ℝ \  . B. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . 2  4  kπ π   C. D=ℝ\ ∪+ kπ  ; k ∈ ℤ  . D. D = ℝ \{ 1 } 2 4   Câu 126: Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất và giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y=2 cos x + 1. A. Min y = − 3 và Max y = 1. B. Min y = − 3 và Max y = 3. ℝ ℝ ℝ ℝ C. Min y = − 1 và Max y = 3. D. Min y = 1 và Max y = 3. ℝ ℝ ℝ ℝ 3sinx − 5 Câu 127: Tìm t ập xác định c ủa hàm s ố y = . cos x π  A. D = ℝ \{ 0} . B. D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . 2  C. D=ℝ\{π + k π , k ∈ ℤ } . D. D=ℝ\2,{ kπ k ∈ ℤ } . Câu 128: Tìm t ất c ả giá tr ị c ủa x để hàm s ố y=cos4 x + 4cos 2 x + 5 có giá tr ị nh ỏ nh ất b ằng 5. π π A. x=− + kπ , k ∈ ℤ . B. x= + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 π π C. x= + k2π , k ∈ ℤ . D. x=−+ k2π , k ∈ ℤ . 2 2 Câu 129: Tìm t ập nghi ệm S của ph ươ ng trình sinx+ cos x = 2. 5π  π  A. S= + kπ , k ∈ ℤ  . B. S=−+ kπ , k ∈ ℤ  . 4  4  3π  π  C. S=− + k2π , k ∈ ℤ  . D. S= + kπ , k ∈ ℤ  . 4  4  π 1 π  Câu 130: Cho góc α th ỏa mãn <α < π sin α = . Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức P =sinα +  . 2 5 6  15 2− 3 5 3− 2 A. P = . B. P = . C. P = − . D. P = . 10 2 5 5 2 5 Câu 131: Kí hi ệu M là giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y=sin x + cos x . Tìm M. A. M = 2. B. M = 2 2. C. M = 1. D. M = − 2. 3 Câu 132: Gi ải ph ươ ng trình cosx = − . 2 5π π A. x=± + kπ , k ∈ ℤ . B. x=± + kπ , k ∈ ℤ . 6 6 5π π C. x=± + k2π , k ∈ ℤ . D. x=±+ k2π , k ∈ ℤ . 6 6 57 Đại số và giải tích 11 Chương I. HSLG & PTLG