Các bài tập tổng hợp và nâng cao biểu thức đại số

pdf 18 trang Đức Chiến 03/01/2024 230
Bạn đang xem tài liệu "Các bài tập tổng hợp và nâng cao biểu thức đại số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcac_bai_tap_tong_hop_va_nang_cao_bieu_thuc_dai_so.pdf

Nội dung text: Các bài tập tổng hợp và nâng cao biểu thức đại số

  1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
  2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ BÀI TẬP TỔNG HỢP
  3. BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI TẬP ễN TẬP TỔNG HỢP 1. Đặt thừa số chung để viết cỏc tổng sau thành tớch: a. ab + bd − ac − cd b. ax + by − ay − bx c. x2 − xy − xy + y2 Xem lời giải tại: 2. Chứng minh rằng: 2 2 a. x + x + 3 > 0 ∀x b. −2x + 3x − 8 < 0 ∀x Xem lời giải tại: 3. Tớnh giỏ trị của biểu thức: a. A = (x − y)2 (x2 + y2) tại x = − 2; y = 2 b. B = x2 − 2xy + 2y3 tại |x| = 1; |y| = 2 c. C = (x2 − 1)(x2 − 2). . . (x2 − 2015) tại x = 5 Xem lời giải tại: 4. Tớnh giỏ trị của biểu thức: 4m − 2n m 1 a. A = với = 4m + 5n n 5 2x + 7 2y − 7 b. B = + với x − y = 7 3x − y 3y − x c. C = (a + b)(a + 1)(b + 1) biết a + b = 3; ab = − 5 d. D = x10 − 2014x9 − 2014x8 − . . . − 2014x − 1 với x = 2015 Xem lời giải tại:
  4. 5. Tỡm điều kiện để cỏc biểu thức sau xỏc định: 2 + 3x2 + 2y2 5x2 + 2x + 1 a. A = b. B = (x + 5)(2y − 1) x2 + y2 x2 + 2x + 3 x − 1 d. D = c. C = 2 x2 − 5x + 6 x + 1 Xem lời giải tại: 6. Cho f(x) = ax3 + 4x(x2 − 1) + 8 g(x) = x3 − 4x(bx + 1) + c − 3 Trong đú a; b; c là cỏc hằng số. Xỏc định a; b; c để f(x) = g(x). Xem lời giải tại: 2n 2n − 1 2 7. Cho f(x) = x − x + . . . + x − x + 1 (x ∈ N) 2n + 1 2n 2n − 1 2 g(x) = − x + x − x + . . . + x − x + 1 (x ∈ N) 1 Tớnh giỏ trị của hiệu f(x) − g(x) tại x = . 10 Xem lời giải tại: 8. Cho biểu thức A = 3x − 2 − |4x + 5| a. Thu gọn biểu thức A. b. Tớnh giỏ trị của A tại x = − 2; x = 2. c. Với giỏ trị nào của x thỡ A = − 10 Xem lời giải tại: 9. Cho cỏc đa thức: M = 2x2y2 − 3xy2 − 2xy + 1
  5. N = 2xy2 + 3 + xy − x2y2 3 P = xy + + xy2 + 3x2y2 2 a. Tớnh M − N + P; M − N − P b. Chứng minh M + N + P > 0 ∀x; y Xem lời giải tại: 1 2 1 10. Cho hai biểu thức của biến x: f(x) = x − 1 và g(x) = x2 − 4x + 4 (2 ) 4 ( ) a. So sỏnh: f( − 1) với g( − 1); f(0) với g(0); f(1) với g(1). b. Chứng minh f(x) = g(x) ∀x ∈ R. Xem lời giải tại: 11. Cho f(x) = 2x2 + ax + 4 g(x) = x2 − 5x − b f(1) = g(2) Trong đú a; b là cỏc hằng số. Xỏc định a; b để { f( − 1) = g(5) Xem lời giải tại: 12. Cho hai đa thức: 1 P(x) = ax4 − x + x3 − 2x + 10 (a là hằng số) 5 Q(x) = 3x4 − x + x3 − x2 + 5 a. Tỡm P(x) + Q(x); P(x) − Q(x). b. Tỡm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)cú bậc là 4. c. Tỡm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)cú bậc khỏc 4. Xem lời giải tại:
  6. 13. A(y) = 4y4 − 5y2 + 3y3 − 2y + 3 − 3y4 + 7y3 − 1 B(y) = √3y4 + 5y − 2y2 − √3y4 + 7y + 2y3 + 1 1 1 C(y) = y3 + 0, 25y2 + 3y − y3 − 3y + 0, 75y2 − 2 3 √ 3 √ a. Thu gọn cỏc đa thức trờn. b. Tớnh A(y) + B(y) + C(y). c. Tớnh A(y) − B(y) − C(y). Xem lời giải tại: 14. Xột đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng: c a. Nếu a + b + c = 0 thỡ x = 1; x = là hai nghiệm của P(x). a c b. Nếu a − b + c = 0 thỡ x = − 1; x = − là hai nghiệm của P(x). a c. Áp dụng tỡm hai nghiệm đa thức A(x) = (√5 − 1)x2 − √5x + 1 d. Áp dụng tỡm hai nghiệm đa thức B(x) = (1 + √3)x2 + x − √3 Xem lời giải tại: 15. Tỡm nghiệm của mỗi đa thức sau: a. (6x + 3) − (2x + 1) b. (x2 − 5x + 5) − (5x + 5) c. (2x2 − 3x + 1) + (3x2 + 3x − 6) d. x(2x + 1) Xem lời giải tại: 16. Cho hai đa thức:
  7. P(x) = 10x5 + 2x + 1 − 8x4 − 4x2 + 6x3 Q(x) = 10 − 8x − 10x5 + 2x4 + 6x2 − 4x3 a. Sắp xếp P(x); Q(x) theo thứ tự tăng dần của cỏc số mũ. b. Tỡm cỏc đa thức f(x) = P(x) + Q(x); g(x) = P(x) − Q(x). c. Cho biết bậc của f(x); g(x). Xem lời giải tại: 17. Cho cỏc đa thức: g(x) = 4x2 + 3x + 1 h(x) = 3x2 − 2x − 3 a. Tớnh f(x) = g(x) − h(x). b. Chứng tỏ x = − 4 là nghiệm của f(x). c. Tỡm tập hợp nghiệm của f(x). Xem lời giải tại: 18. Cho đa thức P = 2x(x + y − 1) + y2 + 1 a. Tớnh giỏ trị của P với x = − 5; y = 3. b. Chứng minh rằng P ≥ 0 ∀x; y. Xem lời giải tại: 19. Chứng minh rằng mỗi đa thức sau khụng cú nghiệm: a. x2 − x + 1 b. x4 + 2x2 + 1 c. x8 − x5 + x2 − x + 1 Xem lời giải tại: 20. Tỡm nghiệm của mỗi đa thức sau: a. x3 − 8x b. x3 + 64
  8. c. x2 − 5x + 4 Xem lời giải tại: 21. Cho đa thức: n n − 1 f(x) = anx + an − 1x + . . . + a1x + a0 (a0; a1; . . . an ∈ Z) a. Chứng minh nếu f(x) cú nghiệm x = x0 ∈ Z thỡ a0 ⋮ x0. b. Áp dụng chứng tỏ đa thức g(x) = − 4x4 + 2x3 − 3x2 + x + 1 khụng cú nghiệm nguyờn. Xem lời giải tại: xy2 + y2(y2 − x) + 1 22. Cho biểu thức A = x2y4 + 2y4 + x2 + 2 a. Rỳt gọn biểu thức A. b. Tỡm giỏ trị của cỏc biến để A đạt giỏ trị lớn nhất. Xem lời giải tại: 23. Tỡm x biết: a. |5x + 4| + 7 = 26 b. 3|9 − 2x| − 17 = 16 c. 3 − 4|5 − 6x| = 7 d. ||x + 5| − 4| = 3 Xem lời giải tại: 24. Tỡm x biết: a. |9 − 7x| = 5x − 3 b. 8x − |4x + 1| = x + 2 c. |17x − 5| − |17x + 5| = 0 d. |3x + 4| = 2|2x − 9| Xem lời giải tại: 25. Tỡm x biết: a. |10x + 7| < 37
  9. b. |3 − 8x| ≤ 19 c. |15x − 1| > 31 d. |2x − 5| + 4 ≥ 25 Xem lời giải tại: 26. Tớnh giỏ trị biểu thức: a. A = x5 − 2010x4 + 2010x3 − 2010x2 + 2010x − 2020 tại x = 2009 b. B = (x + y)(y + z)(x + z) biết x + y + z = 0; xyz = 2010 c. C = 3x7 − 5y6 + 1 biết (x + 1)2010 + (y − 1)2000 = 0 Xem lời giải tại: 27. Tớnh giỏ trị biểu thức: a. A = 5x3 − 3x2 + 6x − 7 với x2 = 1 b. B = 3x4 − 5x3y + 6x2 − 10xy + 2010 với 3x − 5y = 0 2a + 3b a 10 c. C = với = a + 3b b 3 Xem lời giải tại: 28. Tỡm cỏc giỏ trị của cỏc đa thức sau: a. A = x15 + 3x14 + 5 biết x + 3 = 0 2007 b. B = (x2007 + 3x2006 + 1) biết x = − 3 c. C = 21x4 + 12x3 − 3x2 + 24x + 15 biết 7x3 + 4x2 − x + 8 = 0 d. D = − 16x5 − 28x4 + 16x3 − 20x2 + 32x + 2007 biết −4x4 − 7x3 + 4x2 − 5x + 8 = 0 Xem lời giải tại: 29. Chứng minh rằng cỏc đa thức sau cú nghiệm: a. f(x) = mx2 + 7n với 4m + 7n = 0
  10. b. g(x) = ax2 + bx + c với 4a − 2b + c = 0 c. h(x) = ax3 + bx2 + cx + d với −8a + 4b − 2c + d = 0 d. k(x) = m2x3 − 2mx2 + 4mx − 8m2 Xem lời giải tại: 30. Tỡm x biết: a. |x + 2| + |x − 5| = 7 b. |x + 3| − 2x = |x − 4| Xem lời giải tại: 31. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của mỗi biểu thức sau: a. A = (x + 10)2 + (y − 10)2 + 2015 b. B = (3x − y)2 + (2x − 1)2 + 7 c. C = − 2(x + 3)2 + √2 4 d. D = (x + 3)2 + 20 Xem lời giải tại: 32. Chứng minh hai đa thức A và B khụng đồng thời cú giỏ trị dương. a. A = 5x4 − 7x2 + 4xy + y2 và B = − 9x4 − 4xy − 7y2 b. A = − 3x4 + 5x2 − 6xy + 2y2 và B = − 6x2 + 6xy − 8y2 1 1 c. A = x3 + 5x2 − 7xy + y2 và B = − x4 − x3 − 5x2 + 7xy − 3y2 2 2 Xem lời giải tại: 33. Chứng minh hai đa thức A và B khụng đồng thời cú giỏ trị õm. a. A = 5x2 − 12xy + 2y2 và B = − 4x2 + 12xy − y2 7 7 b. A = 10x2 − xy + y2 và B = x2 + xy + 2y2 3 3
  11. c. A = − 15x2 + 17xy + 4y2 và B = 15x2 − 17xy + 8y2 Xem lời giải tại: 34. Cho đa thức Q(x) = ax2 + bx + c a. Biết 5a + b + 2c = 0. Chứng minh Q(2). Q( − 1) ≤ 0 b. Biết Q(x) = 0 ∀x. Chứng minh a = b = c = 0 Xem lời giải tại: 35. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Chứng minh rằng: a. Nếu a + b + c + d = 0 thỡ đa thức f(x) cú một nghiệm là x = 1. Áp dụng: Tỡm một nghiệm của đa thức: A(x) = − 17x3 + 8x2 − 3x + 12. b. Nếu a − b + c − d = 0 thỡ đa thức f(x) cú một nghiệm là x = − 1. Áp dụng: Tỡm một nghiệm của đa thức: B(x) = 11x3 + 5x2 + 4x + 10. Xem lời giải tại: 36. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức: 5 a. A = cú giỏ trị lớn nhất. 4 − x 8 − x b. B = cú giỏ trị nhỏ nhất. x − 3 9x + 5 c. C = cú giỏ trị lớn nhất. 3x − 1 Xem lời giải tại: 37. Chứng minh rằng với n ∈ N ∗ : a. 8.2n + 2n + 1 cú chữ số tận cựng là 0. n + 3 n n + 5 n b. 3 − 2.3 + 2 − 7.2 ⋮ 25 n + 3 n + 2 n + 1 n c. 4 + 4 − 4 − 4 ⋮ 300
  12. Xem lời giải tại: 38. Rỳt gọn cỏc biểu thức: 219.273 + 15.49.94 a. A = 69.210 + 1210 x24 + x20 + x16 + . . . + x4 + 1 b. B = x26 + x24 + x22 + . . . + x2 + 1 Xem lời giải tại: 39. Cho đa thức với a; b; c đụi một khỏc nhau: (x − a)(x − b) (x − a)(x − c) (x − b)(x − c) P(x) = + + − 1 (c − a)(c − b) (b − a)(b − c) (a − b)(a − c) a. Chứng tỏ đa thức P(x) cú ớt nhất ba nghiệm. b. Từ đú suy ra kết luận về giỏ trị của đa thức P(x). Xem lời giải tại: 40. Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b với a ≠ 0 a. Tỡm cỏc giỏ trị của a; b để với hai giỏ trị bất kỡ x1; x2 ta cú: f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2). b. Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 thỡ f(x) = ax + b cú một nghiệm và chỉ cú một nghiệm. c. Cho nhị thức g(x) = cx + d. Tỡm sự liờn hệ của a; b; c; d để f(x) = g(x). Xem lời giải tại: 3 3 3 41. Cho F = x + y + z + mxyz, (x, y, z ∈ N). Tỡm m để F chia hết cho (x + y + z). Xem lời giải tại: 42. Tồn tại hay khụng đa thức f(x) cú tất cả cỏc hệ số nguyờn mà
  13. f(8!) = 2012, f(9!) = 2072. Xem lời giải tại: 43. Cho ba đa thức: P(x) = 4x2 − 7x + 5; Q(x) = 2x2 + 4x − 3; R(x) = − 5x2 + 3x − 2. Chứng minh rằng trong 3 đa thức trờn cú ớt nhất một đa thức cú giỏ trị khụng õm. Xem lời giải tại: 44. Tỡm hai đa thức f(x), g(x) thỏa món cả hai điều kiện sau: f(x) + g(x) = 2x4 + 5x2 − 3x; (1) f(x) − g(x) = x4 − x2 + 2x. (2) Xem lời giải tại: BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
  14. BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TẬP HAY,KHể 45. Cho biểu thức: 1 1 1 A = 1 + 1 + . . . 1 + ( 1.3 )( 2.4 ) ( 99.101 ) Chứng minh A khụng phải là một số nguyờn. Xem lời giải tại: 46. Cho biểu thức: a b c B = + + với a; b; c N ∗ a + b b + c c + a ∈ Chứng minh B khụng phải là một số nguyờn. Xem lời giải tại: 47. Xỏc định đa thức: a. Biết đa thức P(x) cú bậc 4 biết P( − 1) = 0 và P(x) − P(x − 1) = x(x + 1)(2x + 1) ∀x ∈ R. b. Áp dụng tớnh tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + . . . + n(n + 1)(2n + 1). Xem lời giải tại: 48. Cho đa thức P(x) thỏa món: 1 1 P(1) = 1; P = P(x) ∀x ≠ 0 ( x ) x2 P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) ∀x1; x2 ∈ R 5 Tớnh P . (7 )
  15. Xem lời giải tại: 49. Xỏc định đa thức: a. Biết đa thức P(x) cú bậc là 2 biết P(x) − P(x − 1) = x ∀x ∈ R. b. Áp dụng tớnh tổng: S = 1 + 2 + 3 + . . . + n. Xem lời giải tại: 50. Tỡm ba chữ số đầu tiờn bờn trỏi của số A biết A = 1 + 22 + 33 + 44 + . . . + 999999 + 10001000 Xem lời giải tại: 3 8 15 9999 51. So sỏnh giỏ trị của biểu thức A = + + + . . . + với cỏc số 98 và 4 9 16 10000 99. Xem lời giải tại: 52. Chứng minh rằng: 1 4 1 a. Ba đơn thức − x3y4, − x4y3, xy khụng thể cựng cú giỏ trị õm. 4 5 2 b. Cỏc đơn thức ad, − bc, − ac, − bd khụng thể cựng cú giỏ trị õm hoặc cựng dương. Xem lời giải tại: 53. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là cỏc số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) cú giỏ trị nguyờn. Chứng minh rằng: a. 2a và 2b cú giỏ trị nguyờn b. Với mọi giỏ trị của n ∈ Z thỡ f(n) ∈ Z
  16. Xem lời giải tại: 54. Tớnh giỏ trị của biểu thức A = (12 + 22 + . . . + 20162)(a + b)(a + 2b). . . (a + 2015b)(a + 2016b). 3 Với a = ; b = − 0, 2 5 Xem lời giải tại: 55. Chứng minh rằng: a. Tổng của ba số nguyờn liờn tiếp thỡ chia hết cho 3. b. Tổng của 5 số nguyờn liờn tiếp thỡ chia hết cho 5 c. Tổng của 2k + 1 số tự nhiờn liờn tiếp thỡ chia hết cho 2k + 1 Xem lời giải tại: ¯ ¯ ¯ ¯ 56. Cho số tự nhiờn abc(a > b > c) sao cho abc + bca + cab = 666 . Tỡm ba số tự nhiờn a, b, c đú. Xem lời giải tại: A 57. Tớnh (kết quả ở dạng phõn số tối giản) biết: B 1 1 1 1 A = + + . . . + + . . . + 2.32 3.33 n(n + 30) 1979.2009 1 1 1 1 B = + + . . . + + . . . + 2.1980 3.1981 n(n + 1978) 31.2009 Xem lời giải tại:
  17. 58. Cho đa thức P(x) = a. x2 + b. x + c trong đú cỏc hệ số a, b, c là cỏc số nguyờn. Biết giỏ trị của đa thức luụn chia hết cho 3 với mọi giỏ trị x nguyờn. Chứng minh rằng cỏc hệ số a, b, c cũng chia hết cho 3. Xem lời giải tại: 59. Chứng minh rằng đa thức a. x2 − x√a + 2015 khụng cú nghiệm với a là tham số và a > 0 Xem lời giải tại: 60. Tỡm nghiệm nguyờn của đa thứcsau: 2x6 + y2 − 2x3y = 320 Xem lời giải tại: 61. Tỡm nghiệm nguyờn của đa thức sau: 19x2 + 28y2 = 729 . Xem lời giải tại: 2 3 3 62. Tỡm x, y ∈ Z biết 1 + x + x + x = y Xem lời giải tại: 1 10 63. Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y z sao cho x + = . 1 7 y + z Xem lời giải tại:
  18. yz xz xy 64. Tỡm nghiệm nguyờn của đa thức + + = 3 . x y z Xem lời giải tại: