Bài tập cơ bản về các đường trong tam giác

Nội dung text: Bài tập cơ bản về các đường trong tam giác

1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GểC, ĐƯỜNG
3. QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GểC, ĐƯỜNG VUễNG GểC VÀ ĐƯỜNG XIấN QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GểC TRONG TAM GIÁC 1. Cho vuụng tại A và độ dài cạnh a. Hóy tớnh số độ dài cạnh BC. b. So sỏnh số đo của và Xem lời giải tại: 2. Cho , cú . a. Tớnh số đo . b. So sỏnh độ dài cỏc cạnh AB, AC và BC. Xem lời giải tại: 3. Cho cú cỏc cạnh AB=2cm, BC=4cm, AC=5cm. Hóy so sỏnh cỏc gúc trong . Xem lời giải tại: 4. Cho vuụng tại A, cú , . Hóy tớnh diện tớch của . Xem lời giải tại: 5. Cho , AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng: a. b. Tia phõn giỏc của cắt BC tại một điểm nằm giữa B và M.
4. Xem lời giải tại: 6. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú , . Lấy điểm E nằm trờn đoạn AB sao cho . Hóy tớnh độ dài cỏc đoạn DE và EC. Xem lời giải tại: 7. Cho hỡnh chữ nhật ABCD trờn AB lấy điểm E sao cho . Biết , . Hóy tớnh diện tớch hỡnh thang AECD. Xem lời giải tại: 8. Cho cú . Tia phõn giỏc của gúc A cắt BC tại D. So sỏnh độ dài của BD và CD. Xem lời giải tại: 9. Cho vuụng tại B, trờn tia đối của tia CB lấy điểm D. Biết , . Hóy tớnh số đo của cỏc gúc: ; ; . Xem lời giải tại: 10. Cho cú . Kẻ tia phõn giỏc BN của ( ), CM là tia phõn giỏc của ( ). BN và CM cắt nhau tại I. Hóy so sỏnh độ dài đoạn IC và đoạn IB. Xem lời giải tại: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUễNG GểC, ĐƯỜNG XIấN VÀ HèNH CHIẾU
5. HèNH CHIẾU 11. Cho ABC cõn tại A. Kẻ BE AC. Biết AE = 3 cm; BE = 4 cm. a. Tớnh độ dài EC theo cm. b. So sỏnh AC và BC. Xem lời giải tại: 12. Cho cú , đường cao AH. Lấy điểm M bất kỡ trờn AH. Chứng minh: CM < BM. Xem lời giải tại: 13. Cho ABC nhọn, kẻ BD và CE lần lượt là cỏc đường vuụng gúc với AC và AB ( ). Chứng minh rằng: BD + CE < AC + AB. Xem lời giải tại: 14. Cho vuụng tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ A và C đến BM. Chứng minh rằng : . Xem lời giải tại: 15. Cho O là điểm nằm trong . Biết AO = AC. CMR: khụng thể cõn tại A. Xem lời giải tại: 16. Cho , cỏc gúc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C. Gọi d là tổng khoảng cỏch từ B và C đến đường thẳng AM. a. Chứng minh rằng . b. Xỏc định vị trớ điểm M trờn BC sao cho d cú giỏ trị lớn nhất.
6. Xem lời giải tại: 17. Cho , M là điểm nằm trong tam giỏc. Gọi E, D, F lần lượt là cỏc chõn đường vuụng gúc kẻ từ M tới AB, BC, AC. Chứng minh rằng: AM + BM + CM > ME + MF + MD. Xem lời giải tại: 18. Cho , điểm D nằm giữa A và C ( BD khụng vuụng gúc với AC ). Gọi E và F là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sỏnh AC với tổng AE và CF Xem lời giải tại: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 19. Cú thể tồn tại tam giỏc nào mà độ dài ba cạnh như sau hay khụng: a. 5 cm; 10 cm; 12 cm? b. 1 m; 2 m; 3,3 m? c. 1,2 m; 1 m; 2,2 m? Xem lời giải tại: 20. Tớnh chu vi tam giỏc cõn ABC theo cm, biết: a. AB = 8 cm; AC = 5 cm. b. AB = 25 cm; AC = 12 cm. Xem lời giải tại: 21. Cho tam giỏc ABC và D nằm trờn cạnh BC. Chứng minh rằng: AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giỏc ABC. Xem lời giải tại:
7. 22. Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giỏc, trong đú . a. Nếu đặt ở B mỏy phỏt súng truyền hỡnh cú bỏn kớnh hoạt động bằng 40 km thỡ ở C cú nhận được tớn hiệu khụng? vỡ sao? b. Nếu đặt ở B mỏy phỏt súng truyền hỡnh cú bỏn kớnh hoạt động bằng 120 km thỡ ở C cú nhận được tớn hiệu khụng? vỡ sao? Xem lời giải tại: 23. Cho hai điểm A và B nằm về 2 phớa của đường thẳng d. Tỡm điểm C thuộc d sao cho AC + BC là nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 24. Cho hỡnh vẽ, chứng minh rằng: . Xem lời giải tại: 25. Trong tam giỏc ABC, điểm M nằm bờn trong tam giỏc. Chứng minh: Xem lời giải tại: 26. Độ dài hai cạnh của một tam giỏc bằng 7 cm và 2 cm. Tớnh độ dài cạnh cũn lại của tam giỏc biết rằng số đo của nú theo cm là một số tự nhiờn lẻ. Xem lời giải tại: TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM
8. TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN 27. Cho ABC vuụng tại A, AB = 5, AC = 12. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF gặp nhau tại G. Hóy so sỏnh GA, GB, GC. Xem lời giải tại: 28. Cho ABC, cỏc đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Cho biết . Chứng minh rằng . Xem lời giải tại: 29. Cho ABC cõn tại A, đường trung tuyến AH. Trờn tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Đường thẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE. Xem lời giải tại: 30. Cho ABC cú trọng tõm G và đường trung tuyến AD. Kộo dài GD thờm một đoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M là trọng tõm của ABI. Xem lời giải tại: 31. Cho ABC cú M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng Xem lời giải tại:
9. 32. Cho , cỏc đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: a. . b. Xem lời giải tại: 33. Chứng minh rằng nếu một tam giỏc cú hai trung tuyến bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 34. Cho ABC. Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho . Trờn tia AD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của AE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, E thẳng hàng. Xem lời giải tại: 35. Cho , hai đường trung tuyến AM và BN vuụng gúc với nhau tại G. Cho . Chứng minh rằng: Xem lời giải tại: 36. cú ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng: Xem lời giải tại:
10. TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 37. Cho ABC, , đường phõn giỏc AD. Tia phõn giỏc của gúc ADC cắt AC tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Chứng minh rằng: a. Tia BI là tia phõn giỏc của gúc B. b. Tia CK là tia phõn giỏc của gúc ACx. Xem lời giải tại: 38. Cho ABC cõn tại A, đường phõn giỏc CF. Trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho . Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy. Xem lời giải tại: 39. Cho ABC vuụng tại A. Kẻ ( H BC ). Cỏc tia phõn giỏc của cỏc và cắt nhau ở I. Tia phõn giỏc của cắt BC ở D. Chứng minh rằng: CI đi qua trung điểm của AD. Xem lời giải tại: 40. Cho ABC. Gọi I là giao điểm hai phõn giỏc của hai và . Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng: . Xem lời giải tại: 41. Cho ABC cõn tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phõn giỏc của cắt đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng: a. Đường thẳng AM là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh A của ABC. b. Đường thẳng CM là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh C của ABC. Xem lời giải tại:
11. 42. Cho ABC vuụng tại A. Vẽ MBC vuụng cõn ở M sao cho M và A thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau. Chứng minh rằng: a. Điểm M cỏch đều hai cạnh AB và AC. b. Tia AM là tia phõn giỏc của gúc A. Xem lời giải tại: 43. Cho ABC, . Vẽ đường phõn giỏc AM của tam giỏc đú. a. Tớnh số đo của gúc AMB. b. Vẽ đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh A của tam giỏc ABC cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng AM = AN. Xem lời giải tại: 44. Cho vuụng tại A. I là điểm nằm trong tam giỏc và cỏch đều ba cạnh của tam giỏc. Gọi là khoảng cỏch từ I đến ba cạnh của . Chứng minh rằng: . Xem lời giải tại: TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO 45. Cho và điểm A nằm trong gúc đú. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC. a. Chứng minh BOC cõn ở O. b. Tớnh số đo gúc BOC. Xem lời giải tại: 46. Cho ABC vuụng cõn tại B. Trờn cạnh AB lấy điểm H, trờn tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BH. Chứng minh rằng: a. . b. . Xem lời giải tại:
12. 47. Chứng minh trong một tam giỏc vuụng giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh chớnh là trung điểm của cạnh huyền. Xem lời giải tại: 48. Cho gúc nhọn aOb và một điểm M nằm trong gúc ấy. Từ M kẻ MA Oa và MB Ob. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM và P là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh CP là trung trực của cạnh AB của tam giỏc ACB. Xem lời giải tại: 49. Cho ABC nhọn, AB < AC và đường cao AH. a. Chứng minh . b. Trờn đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM: ABD là tam giỏc cõn. c. Từ D kẻ , từ C kẻ . CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cựng đi qua một điểm. Xem lời giải tại: 50. Cho ABC, , hai đường cao BH, CK ( ). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh: a. BEH và CKF là cỏc tam giỏc đều. b. . Xem lời giải tại: 51. Cho ABC cú . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của AB và d. Trờn tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE. Xem lời giải tại: 52. Cho vuụng tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:
13. Xem lời giải tại: 53. Cho . Hai điểm M và N theo thứ tự di chuyển trờn hai tia BA và CA sao cho . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luụn đi qua một điểm cố định. Xem lời giải tại: 54. Chứng minh rằng trong một tam giỏc thỡ trực tõm, trọng tõm và giao điểm của cỏc đường trung trực của một tam giỏc cựng nằm trờn một đường thẳng. Xem lời giải tại: 55. Cho tam giỏc nhọn ABC, trực tõm H. Chứng minh rằng: . Xem lời giải tại: 56. Cho điểm A nằm trong gúc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trờn Ox và Oy. Tỡm vị trớ của B và C để chu vi tam giỏc ABC là nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 57. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ a. Chứng minh rằng b. Chứng minh IK=AH c. Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH d. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh Xem lời giải tại:
14. 58. Cho tam giỏc ABC, AB < BC; AC < BC. Trờn cạnh BC cú hai điểm D, E sao cho BD=AB; CE=AC, kẻ , BK cắt AE ở điểm N, kẻ , CP cắt AD ở điểm F. a. BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phõn giỏc của gúc BAC. b. Chứng minh c. Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hóy tớnh độ dài KP theo (cm). Xem lời giải tại: 59. Cho tam giỏc ABC, trờn nửa mặt phẳng bờ AB, khụng chứa điểm C vẽ tia và lấy trờn đú một điểm E sao cho AE=AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AC, khụng chứa điểm B, vẽ tia và lấy trờn đú một điểm F sao cho AF=AC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trờn tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho A’D=AD a. Chứng minh rằng b. Chứng minh EF=2AD c. Chứng minh d. Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I, trung điểm K của EF thẳng hàng. Xem lời giải tại: 60. Từ cỏc trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giỏc ABC, ta kẻ cỏc đường trung trực, và trờn cỏc đường trung trực ấy, về phớa ngoài của tam giỏc theo thứ tự ta lấy cỏc điểm M, N, P sao cho . a. Chứng minh MK=KP và b. Chứng minh MC=NP c. Chứng minh d. Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
15. Xem lời giải tại: 61. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, phõn giỏc trong tại đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuụng gúc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt nhau tại điểm F. a. So sỏnh DA và DC b. Chứng minh c. Chứng minh BC=BF d. Chứng minh AE//FC Xem lời giải tại: 62. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm. a. Tớnh BC b. Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng c. Tờn tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giỏc BCE vuụng. Suy ra FD là phõn giỏc của d. Chứng minh rằng . Xem lời giải tại: 63. Cho tam giỏc ABC; AD và AH theo thứ tự là phõn giỏc và đường cao kẻ từ đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thỡ a. b. c. Điểm H nằm trờn tia DC Xem lời giải tại: 64. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao BH, trờn đỏy BC lấy điểm M, vẽ . a. Chứng minh rằng ME=FH b. Chứng minh tam giỏc
16. c. Chứng minh khi M chạy trờn BC thỡ tổng MD+ME cú giỏ trị khụng đổi d. Trờn tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung điểm của KD nằm trờn cạnh BC Xem lời giải tại: 65. Cho cú ; , đường cao BH . a. So sỏnh cỏc gúc b. Tớnh ? c. Vẽ AD là phõn giỏc của gúc A ( ), vẽ tại I. Chứng minh rằng . d. Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh đều. e. Chứng minh . Xem lời giải tại: 66. Cho tam giỏc đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a. b. c. AH là đường trung trực của BC. d. Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. Chứng minh rằng cõn. Xem lời giải tại: 67. Cho vuụng tại A. Đường phõn giỏc của gúc cắt AC tại D. Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho . a. Chứng minh b. Từ C vẽ đường thẳng vuụng gúc với AC cắt BD tại K. Chứng minh tam giỏc BCK cõn tại C. c. Vẽ CH vuụng gúc với BK. Chứng minh . Xem lời giải tại:
17. 68. Cho tam giỏc ABC, cõn tại A . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại I. a. Chứng minh rằng: b. Chứng minh I là trung điểm của BC. c. Từ C kẻ đường thẳng d vuụng gúc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng CB là tia phõn giỏc của . d. Giả sử và . Tớnh khoảng cỏch từ B đến đường thẳng CF. Xem lời giải tại: