Kiến thức cơ bản&nâng cao về tam giác bằng nhau

Nội dung text: Kiến thức cơ bản&nâng cao về tam giác bằng nhau

1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ
3. KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ TAM GIÁC BẰNG NHAU HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 1. Cho ΔABC = ΔDEF. Tớnh chu vi mỗi tam giỏc biết AB = 4 cm; BC = 6 cm; DF = 5 cm. Xem lời giải tại: 2. Cho ΔABC = ΔDEF. Biết Bˆ = 500; Dˆ = 700. Tớnh cỏc gúc cũn lại của mỗi tam giỏc. Xem lời giải tại: 3. Cho ΔABC = ΔA ′ B ′ C ′ . Biết BC = 10 cm; AB: AC = 4: 3 và AB + AC = 14 cm. Tớnh cỏc cạnh của ΔA ′ B ′ C ′ . Xem lời giải tại: 4. Cho ΔABC = ΔA ′ B ′ C ′ . Biết Aˆ : Bˆ : Cˆ = 3: 4: 5. Tớnh cỏc gúc của ΔA ′ B ′ C ′ . Xem lời giải tại: 5. Cho ΔABC = ΔA ′ B ′ C ′ . Biết A ′ B ′ : A ′ C ′ : B ′ C ′ = 2: 3: 4 và chu vi ΔA ′ B ′ C ′ bằng 36 cm. Tớnh cỏc cạnh của ΔABC. Xem lời giải tại: 6. Cho △ABC = △DEF, △DEF = △GHI.
4. Chứng minh rằng : AB = GH, AC = GI, BC = HI. Xem lời giải tại: 7. Cho hai tam giỏc bằng nhau ABC và DEG. Biết Aˆ = 200, Eˆ = 600, tớnh cỏc gúc cũn lại của mỗi tam giỏc. Xem lời giải tại: 8. Cho hai tam giỏc: ΔABC = ΔDHK, Bˆ = 350, Kˆ = 1000. Tớnh cỏc gúc cũn lại của hai tam giỏc. Xem lời giải tại: 9. Cho △ABC = △DEI. Tớnh chu vi mỗi tam giỏc trờn biết rằng AB = 5cm, AC = 6cm, EI = 8cm. Xem lời giải tại: 10. Cho △ABC = △DEF, △DEF = △MNP. Tớnh chu vi của tam giỏc ABC biết AB = 4cm, DF = 5cm, NP = 6cm. Xem lời giải tại: 1 1 11. Cho ABC = MNP. Biết rằng Aˆ = Nˆ , Bˆ = Pˆ . Tớnh cỏc gúc của tam giỏc △ △ 3 2 ABC. Xem lời giải tại:
5. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC: CẠNH ‐ CẠNH ‐ CẠNH 12. Cho cỏc hỡnh vẽ. Hóy kể tờn cỏc tam giỏc bằng nhau. Xem lời giải tại: 13. Cho ΔABC cú AB = AC. Trờn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC lấy điểm ^ ^ D (D khỏc phớa với điểm A) sao cho DB = DC. Chứng minh BDA = CDA Xem lời giải tại: ^ 14. Cho gúc nhọn xOy. Vẽ cung trũn tõm O cắt Ox; Oy tại A và B. Vẽ cỏc cung trũn ^ tõm A và tõm B cú cựng bỏn kớnh sao cho chỳng cắt nhau ở C nằm trong xOy. Nối ^ O với C. Chứng minh OC là tia phõn giỏc của xOy. Xem lời giải tại: 15. Cho ΔABC cú AB = AC, M là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuụng gúc với BC. Xem lời giải tại:
6. 16. Cho đoạn thẳng AB = 4 cm. Vẽ đường trũn tõm A bỏn kớnh 2 cm và đường trũn tõm B bỏn kớnh 3 cm, chỳng cắt nhau ở C và D. Chứng minh rằng AB là tia ^ phõn giỏc của CAD. Xem lời giải tại: 17. Cho ΔABC. Trờn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC lấy điểm D (D khỏc phớa với điểm B) sao cho AD = BC và AB = CD. Chứng minh AD//BC. Xem lời giải tại: 18. Cho đoạn thẳng BC. Gọi M là trung điểm của BC. Trờn đường trung trực của đoạn thẳng BC lấy điểm A (A khỏc M). Chứng minh ΔAMB = ΔAMC Xem lời giải tại: 19. Cho ΔABC (AC > AB), trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AB = AD. Gọi M là trung điểm của BD. ^ a. Chứng minh AM là tia phõn giỏc của BAC. b. Đường thẳng AM cắt BC tại N. So sỏnh hai đoạn thẳng NB và ND. Xem lời giải tại: 20. Cho hai đường trũn tõm H và tõm K cú cựng bỏn kớnh, chỳng cắt nhau tại A và B. Lấy C nằm trờn đường trũn tõm H sao cho AC = AB. ^ ^ ^ Chứng minh CHA = AHB = AKB. Xem lời giải tại: TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC: CẠNH ‐ GểC ‐ CẠNH
7. 21. Cho cỏc hỡnh vẽ. Hóy kể tờn cỏc tam giỏc bằng nhau. Xem lời giải tại: 22. Chỉ ra cỏc tam giỏc bằng nhau trong cỏc hỡnh sau. Xem lời giải tại: 23. Cho ΔABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng AB//CE. Xem lời giải tại: ^ 24. Cho xAy. Trờn tia Ax lấy điểm B; trờn tia Ay lấy điểm D sao cho AB = AD. Trờn tia Bx lấy điểm E; trờn tia Dy lấy điểm C sao cho BE = DC. Chứng minh rằng ΔABC = ΔADE. Xem lời giải tại: 25. Cho ΔABC cú Aˆ = 900. Trờn tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA.
8. ^ Trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Tớnh số đo CDE. Xem lời giải tại: 26. Cho ΔABC cú Aˆ = 900. Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phõn giỏc của Bˆ cắt AC ở D. Chứng minh rằng: a. DA = DE. b. AE⊥BD Xem lời giải tại: 27. Cho ΔAOB cú OA = OB. Tia phõn giỏc của Oˆ cắt AB tại D. Chứng minh rằng: a. DA = DB. b. OD⊥AB. Xem lời giải tại: 28. Cho ΔABC cú ba gúc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD sao cho AD⊥AB và AD = AB ( D khỏc phớa C đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AE sao cho AE⊥AC và AE = AC ( E khỏc phớa B đối với AC). Chứng minh rằng: a. DC = BE. b. DC⊥BE. Xem lời giải tại: 29. Cho ΔABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trờn tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trờn tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. Xem lời giải tại: 30. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của gúc B cắt cạnh AC tại D. Trờn cạnh BC lấy điểm H sao cho BH = BA.
9. a. Chứng minh DH ⊥ BC ^ ^ b. Biết ADH = 1100, tớnh ABD. Xem lời giải tại: 31. Cho tam giỏc ABC cú Aˆ = 900, AB < AC. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC. a. Chứng minh rằng DE ⊥ BC. ^ b. Cho biết 4Bˆ = 5Cˆ , tớnh AED. Xem lời giải tại: 32. Cho tam giỏc ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Chứng 1 minh DE // BC và DE = BC. 2 Xem lời giải tại: TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC: GểC ‐ CẠNH ‐ GểC ^ ^ 33. Cho hỡnh vẽ, biết OA = OB; OAC = OBD. Chứng minh AC = BD. Xem lời giải tại: 34. Cho hỡnh vẽ. Chứng minh ΔABC = ΔFDE
10. Xem lời giải tại: 35. Chỉ ra cỏc tam giỏc bằng nhau trong hỡnh vẽ. Vỡ sao? Xem lời giải tại: 36. Cho ΔABC (AB ≠ AC), tia Ax đi qua trung điểm M của cạnh BC. Kẻ BE; CF vuụng gúc với Ax (E ∈ Ax; F ∈ Ax). Chứng minh BE = CF. Xem lời giải tại: 37. Cho ΔABC. Cỏc tia phõn giỏc của Bˆ và Cˆ cắt nhau tại I. Vẽ ID⊥AB (D ∈ AB), IE⊥BC (E ∈ BC), IF⊥AC (F ∈ AC). Chứng minh rằng: ID = IE = IF. Xem lời giải tại: 38. Cho hỡnh vẽ, biết AB/ /CD; AC/ /BD . Chứng minh AB = CD; AC = BD .
11. Xem lời giải tại: 39. Cho ΔABC cú Bˆ = Cˆ . Tia phõn giỏc của Aˆ cắt BC ở D. Chứng minh rằng: a. AB = AC. b. AD⊥BC Xem lời giải tại: ^ 40. Cho xOy khỏc gúc bẹt, Ot là tia phõn giỏc của gúc đú. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường thẳng vuụng gúc với Ot, nú cắt Ox và Oy theo thứ tự tại A và B. a. Chứng minh OA = OB. ^ ^ b. Lấy điểm C thuộc tia Ot. Chứng minh CA = CB và OAC = OBC. Xem lời giải tại: 41. Cho ΔABC cú AB = AC. Lấy điểm D trờn cạnh AB, điểm E trờn cạnh AC sao cho AD = AE. a. Chứng minh rằng: CD = BE. b. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: ΔBOD = ΔCOE . Xem lời giải tại: 42. Cho ΔABC cú Aˆ = 600. Cỏc tia phõn giỏc của Bˆ và Cˆ cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự tại D, E. Chứng minh rằng ID = IE. Xem lời giải tại: 43. Cho tam giỏc ABC. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trờn tia đối của AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt cỏc đoạn thẳng DE và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng AM = AN.
12. Xem lời giải tại: 44. Cho tam giỏc ABC cú Aˆ = 600, cỏc tia phõn giỏc BM và CN cắt nhau ở I. Biết rằng BC = 4 cm. Tớnh tổng BN + CM. Xem lời giải tại: 45. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, và AB = AC. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Cỏc đường vuụng gúc với CD vẽ từ A và E lần lượt cắt BC ở G và H. Chứng minh rằng BG = GH. Xem lời giải tại: 46. Cho tam giỏc ABC, Aˆ = 1200. Hai đường phõn giỏc BD và CE của tam giỏc cắt ^ ^ nhau tại O. Trờn cạnh BC lấy hai điểm I và K sao cho IOB = KOC = 300. Chứng minh rằng: a. OI ⊥ OK b. BE + CD < BC Xem lời giải tại: ^ ^ 47. Cho xOy khỏc gúc bẹt. Vẽ tia Ot, Oz trong xOy (tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot). ^ ^ Biết rằng zOt và xOy cú cựng tia phõn giỏc Om. Trờn tia Ox lấy điểm A, trờn tia Oy lấy điểm A' sao cho OA = OA'. Trờn tia Oz lấy điểm B, trờn tia Ot lấy điểm B' sao cho OB = OB'. a. Chứng minh AB = A'B'; AB' = A'B b. Chứng minh rằng AB', A'B và Om đồng quy Xem lời giải tại: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUễNG
13. 48. Cho ΔABC cõn tại A. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Chứng minh rằng: a. HB = HC. ^ ^ b. BAH = CAH. Xem lời giải tại: 49. Cho ΔABC cõn tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC, chỳng cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD là tia phõn giỏc của gúc A. Xem lời giải tại: 50. Cho ΔABC cú M là trung điểm của BC, AM là tia phõn giỏc của gúc A. Kẻ MH⊥AB (H ∈ AB), MK⊥AC (K ∈ AC). Chứng minh rằng: a. MH = MK b. Bˆ = Cˆ . Xem lời giải tại: 51. Hai đoạn thẳng AB và CD vuụng gúc với nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Chứng minh rằng AC/ /BD và AC = BD. Xem lời giải tại: 52. Cho ΔABC cõn tại A. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH ⊥ AD (H ∈ AD), kẻ CK ⊥ AE (K ∈ AE). Chứng minh rằng: BH = CK. Xem lời giải tại: 53. Cho ΔABC cú AB < AC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH ⊥ AB (H ∈ AB), kẻ IK ⊥ AC (K ∈ AC). Chứng minh rằng BH = CK.
14. Xem lời giải tại: 54. Cho ΔABC vuụng ở A. Từ A kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK ⊥ AC (K ∈ AC). Chứng minh AK = AH. Xem lời giải tại: 55. Cho ΔABC cõn tại A. Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ AC), kẻ CE ⊥ AB (E ∈ AB). Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AK là tia phõn giỏc của gúc A. Xem lời giải tại: 56. Cho ΔABC. Cỏc tia phõn giỏc của Bˆ và Cˆ cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phõn giỏc của gúc A. Xem lời giải tại: 57. Cho ΔABC, AB = AC. Điểm D thuộc cạnh BC, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC tại M, N. Đường thẳng BC cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a. DM = EN. b. IM = IN. Xem lời giải tại: 58. Cho Δ ABC vuụng cõn tại A. M là trung điểm của BC, E là điểm nằm giữa B và C nhưng khụng trựng với M. Kẻ BH, CK vuụng gúc với AE (H và K thuộc AE). Hỏi Δ MHK cú đặc điểm gỡ? Vỡ sao? Xem lời giải tại: 59. Cho Δ ABC vuụng cõn tại A. Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Vẽ BD, CE cựng vuụng gúc với d (D, E thuộc D).
15. a. Chứng minh rằng DE = BD + CE. b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh Δ DME vuụng cõn tại M. Xem lời giải tại: 0 60. Cho Δ ABC cõn tại A, cú Aˆ < 90 . Vẽ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB, AK ⊥ BC. Chứng minh AK, BD, CE cựng đi qua một điểm. Xem lời giải tại: 61. Cho Δ ABC cõn tại A. Trờn tia đối của cỏc tia BC và CB tương ứng lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M là trung điểm của BC. Từ B và C kẻ BH vuụng gúc với AD, CK vuụng gúc với AE ( H thuộc AD, K thuộc AE). Chứng minh rằng ba đường thẳng BH, CK, AM đồng quy. Xem lời giải tại: 62. Cho Δ ABC vuụng tại A. Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC ở E. a. So sỏnh độ dài AE và DE. b. Tia phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tớnh gúc BAK. Xem lời giải tại: 63. Cho Δ ABC vuụng tại A. Ở miền ngoài Δ ABC vẽ Δ ABD vuụng cõn tại B, Δ ACF vuụng cõn tại C. a. Chứng minh: D, A, F thẳng hàng. b. Từ D và F hạ cỏc đường vuụng gúc DD', FF'xuống đường thẳng BC. Chứng minh: DD ′ + FF ′ = BC. Xem lời giải tại: ^ 64. Cho tam giỏc ABC, BAC = 1200, đường phõn giỏc trong AD. Từ D hạ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC.
16. a. Tam giỏc DEF là tam giỏc gỡ? b. Qua điểm C, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AB tại M. Cho biết tam giỏc ACM là tam giỏc gỡ? c. Cho CM = a, CF = b. Tớnh AD (a > b). Xem lời giải tại: BÀI TẬP TỔNG HỢP ^ ^ ^ 65. Cho hỡnh vẽ sau biết AE=AF, ABC = EAF = FAC = 360. ^ ^ a. Tớnh cỏc gúc E2, F2 ^ ^ ^ ^ b. Tớnh cỏc gúc E1, F1, A1, C1 c. Tỡm những tam giỏc cõn trong hỡnh vẽ Xem lời giải tại: ^ ^ ^ ^ 66. Cho hỡnh vẽ sau. Biết rằng BAC = 200; CAD = 600; ADB = 500 và BDC = 100 . ^ ^ a. Tớnh cỏc gúc ACD; ABD.
17. ^ ^ b. Tớnh cỏc gúc DBC; BCA c. Những tam giỏc nào là tam giỏc cõn? Tam giỏc nào là tam giỏc đều. ^ ^ ^ ^ d. Tớnh số đo cỏc gúc O1; O2; O3; O4 Xem lời giải tại: 67. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Từ B hạ BH⊥AC (H thuộc AC). Lấy điểm M trờn cạnh BC từ M hạ MF⊥AC (F thuộc AC) và ME⊥AB (E thuộc AB). Trờn tia đối của tia MF lấy điểm I sao cho FI=BH. Chứng minh rằng: ^ ^ a. HBF = BFI ^ b. BIF = 900 ^ ^ c. EBM = IBM d. ME + MF = BH Xem lời giải tại: 68. Cho hai đường thẳng d1 / /d2; đường thẳng d3 cắt d1 và d2 tại M và N. Lấy O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Qua O kẻ đường thẳng d4 cắt đường d1 tại E và cắt đường thẳng d2 tại F. a. Chứng minh rằng: O là trung điểm của EF và ME=NF b. Chứng minh rằng NE//MF c. Lấy điểm P bất kỳ thuộc đoạn thẳng EM. Nối PO, tia PO cắt d2 tại Q. Chứng minh: EP=QF và EQ//PF. Xem lời giải tại: 69. Cho đoạn thẳng BC, trờn cựng nửa mặt phẳng bờ cú chứa đoạn BC vẽ tam giỏc ΔABC cõn tại A và cú gúc ở đỏy bằng 800 . Vẽ tam giỏc ΔBMC đều, trờn AB lấy điểm E sao cho AE=BC. Nối AM, tia AM cắt BC tại I. Chứng minh rằng: ^ a. AI là tia phõn giỏc của gúc BAC
18. ^ b. MI là tia phõn giỏc của gúc BMC ^ c. CE là tia phõn giỏc của gúc ACM Xem lời giải tại: 0 70. Cho ΔABC cõn tại A (Aˆ = 120 ). AI là tia phõn giỏc của gúc Aˆ (I ∈ BC). Từ I hạ HI⊥AB(H ∈ AB); IK⊥AC(K ∈ AC) a. Chứng minh rằng ΔIHK là tam giỏc đều. b. Chứng minh: KH//BC c. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB. Chứng minh ΔACD là tam giỏc đều. d. ΔBCD là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? Xem lời giải tại: 71. Cho ΔABC, vẽ phớa ngoài tam giỏc tia Ax sao cho Ax⊥AB và lấy điểm E trờn tia Ax sao cho AE=AB (E và C ở 2 phớa AB). Kẻ Ay⊥AC và lấy điểm F trờn Ay sao cho AF=AC (F và B ở hai phớa của AC), lấy M là trung điểm của đoạn BC. Kộo dài AM cắt EF tại I. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho AM=MN. Chứng minh rằng: a. BN=AF 1 b. AM = EF 2 ^ ^ c. NAC = EFA d. ΔIAF vuụng tại I. Xem lời giải tại: 72. Cho tam giỏc ABC (AB < AC), kẻ phõn giỏc AL của gúc A. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ đường thẳng vuụng gúc với AL, đường này cắt AC ở E và cắt AB ở D. a. Chứng minh AD=AE b. Kẻ BB’//ED (B' thuộc AC). Chứng minh rằng B’E=EC=BD
19. c. Chứng minh cỏc hệ thức sau: 2AD = AC + AB 2EC = AC − AB ^ d. Tớnh gúc BMD theo cỏc gúc B, C. e. Tỡm trờn tia phõn giỏc AL một điểm N cỏch đều hai điểm B, C. Xem lời giải tại: 73. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, đường cao AH. Từ H kẻ HM⊥AC và trờn tia đối của tia MH lấy điểm E sao cho MH=EM. Kẻ HN⊥AB và trờn tia đối của tia NH lấy điểm D sao cho NH=ND. a. Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng b. Chứng minh MN//DE c. Chứng minh BD//CE d. Chứng minh tam giỏc DHE là tam giỏc vuụng. Xem lời giải tại: 74. Cho tam giỏc đều ABC. Trờn tia đối CB lấy điểm M sao cho CM=BC. Trờn tia đối AC lấy điểm N sao cho AN=AC và trờn tia đối BA lấy điểm P sao cho BP=AB. a. Chứng minh AM⊥AP b. Chứng minh tam giỏc MNP là tam giỏc đều. c. Gọi O là điểm nằm trong tam giỏc ABC sao cho OA = OB = OC. Chứng minh OM=OP. d. Chứng minh ON⊥MP Xem lời giải tại: 75. Cho tam giỏc ABC cú Aˆ = 900, Bˆ = 450 . Gọi M là trung điểm của BC. a. Chứng minh rằng ΔAMB = ΔAMC; AM⊥BC b. Từ C kẻ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh CN//AM. c. Tam giỏc ΔBCN là tam giỏc gỡ? Vỡ sao?
20. Xem lời giải tại: 76. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Về phớa ngoài của tam giỏc ABC vẽ cỏc tam ^ giỏc vuụng ABM (BAM = 900, AM = AB) và tam giỏc vuụng CAN ^ (CAN = 900, AN = AC).Chứng minh rằng: a. ΔAMC = ΔABN b. MC⊥BN Xem lời giải tại: 77. Cho tam giỏc ABC cú AB=AC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt cạnh BC tại H. Lấy điểm D bất kỳ trờn AH. Chứng minh rằng. a. ΔADB = ΔADC ^ b. DH là tia phõn giỏc của gúc BDC c. AH⊥BC Xem lời giải tại: 78. Cho tam giỏc ΔABC , gọi M, N thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB. AC, trờn tia đối tia MC lấy điểm P sao cho MP=MC, trờn tia đối tia NB lấy điểm Q sao cho NQ=NB. Chứng minh rằng: a. Ba điểm A, P, Q thẳng hàng b. A là trung điểm của PQ Xem lời giải tại: 79. Cho tam giỏc ABC cú gúc B tự và kẻ AH, BK lần lượt vuụng gúc với BC và AC (H ∈ BC; K ∈ AC). Trờn tia đối AH lấy điểm D sao cho AD=BC. Trờn tia đối của tia BK lấy điểm E sao cho BE=AC. Chứng minh:
21. ^ ^ a. HAC = KBC b. ΔCBE = ΔDAC c. DC⊥EC Xem lời giải tại: 80. Cho tam giỏc ABC cú AB=9cm, AC=12cm, BC =15cm. a. Chứng minh rằng tam giỏc ABC vuụng b. Kẻ phõn giỏc BD và CE (D ∈ AC; E ∈ AB) hai phõn giỏc này cắt nhau tại F. ^ Tớnh số đo của gúc BFC? Xem lời giải tại: 81. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Vẽ AH⊥BC(H ∈ BC), kẻ HM và HN lần lượt vuụng gúc với AB, AC (M ∈ AB, N ∈ AC). Trờn tia đối tia MH lấy điểm E sao cho ME=MH, trờn tia đối của tia NH lấy điểm F sao cho NF=NH. a. Chứng minh AH=AE. b. Chứng minh tam giỏc ΔAEF cõn ^ ^ c. Giả sử BAC = 600 . Hóy tớnh số đo gúc EAF Xem lời giải tại: 82. Cho tam giỏc ΔABC (AB < AC). Trờn tia BA lấy điểm D sao cho DB=CB. Nối DC, tia phõn giỏc của gúc ABC cắt AC và CD theo thứ tự tại E và H. a. Chứng minh rằng ΔBDE = ΔBCE b. Chứng minh HC=HD c. Kẻ AK⊥DC(K ∈ DC). Chứng minh rằng AK//BH. Xem lời giải tại: 0 83. Cho tam giỏc ABC cõn tại A và cú Aˆ < 90 vẽ BH⊥AC(H ∈ AC) và CK⊥AB(K ∈ AB) a. Chứng minh rằng AH=AK
22. b. Gọi P là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AP là tia phõn giỏc của gúc Aˆ . Xem lời giải tại: 84. Cho tam giỏc ΔABC cõn tại A. Kẻ AH⊥BC(H ∈ BC) . a. Chứng minh rằng: ΔAHB = ΔAHC b. Trờn tia đối của tia BH lấy điểm D, trờn tia đối của tia CH lấy điểm E sao cho BD=CE. Tam giỏc ADE là tam giỏc gỡ? vỡ sao? Xem lời giải tại: 85. Cho gúc xOy. Trờn tia Oz là phõn giỏc của gúc xOy ta lấy một điểm A. Qua trung điểm B của OA, ta kẻ đường thẳng vuụng gúc với Oz, đường này cắt cạnh Oy tại điểm C. a. Chứng minh AC//Ox ^ ^ b. Tớnh gúc xOy để ACO = 1300 Xem lời giải tại: 86. Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn, về phớa ngoài của tam giỏc ta vẽ cỏc tam giỏc đều ADB và AEC. a. Chứng minh BE=CD. b. Tớnh gúc BIC trong đú I là giao điểm của BE và CD Xem lời giải tại: 87. Cho một đường thẳng d và ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thuộc d. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng d ta vẽ hai tam giỏc đều ABD và BEC. Gọi M, N theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng AE, CD. a. Chứng minh AE=CD b. Chứng minh ΔAMB = ΔDNB c. Chứng minh tam giỏc MNB là tam giỏc đều. Xem lời giải tại:
23. 88. Cho tam giỏc ABC, cú Aˆ = 900 + Cˆ . Qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, đường này cắt BC tại D. Từ C kẻ đường vuụng gúc với cạnh BC, đường này cắt AB tại điểm E, ED cắt cạnh AC tại điểm N. a. Chứng minh tam giỏc ADC, AEC là cỏc tam giỏc cõn. b. Chứng minh N là trung điểm của cạnh AC và DE⊥AC ^ ^ c. Cho Bˆ = 300 Tớnh cỏc gúc BAC, ACB . Tam giỏc BAC là tam giỏc gỡ? Xem lời giải tại: 89. Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, Qua C kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh rằng: a. BD=CD b. AD là trung trực của BC. Xem lời giải tại: 90. Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Trờn cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BC BD = CE < . Đường thẳng kẻ từ D vuụng gúc với BC cắt AB tại M, đường 2 thẳng kẻ từ E vuụng gúc với BC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a. DM=EN b. EM=DN c. Tam giỏc ADE là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 91. Cho tam giỏc cõn ABC cú AB=AC, trờn tia đối của cỏc tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD=CE. a. Chứng minh DE//BC. b. Từ D kẻ MD vuụng gúc với BC, từ E kẻ EN vuụng gúc với BC (M, N thuộc BC). Chứng minh rằng DM=EN. c. Chứng minh rằng tam giỏc AMN là tam giỏc cõn. d. Từ B và C kẻ cỏc đường vuụng gúc với AM và AN chỳng cắt nhau tại I. Chứng
24. ^ ^ minh AI là tia phõn giỏc chung của hai gúc BAC; MAN Xem lời giải tại: 92. Cho tam giỏc cõn ABC cú Aˆ = 450 , AB=AC. Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường vuụng gúc với AC cắt đường thẳng BC ở M. Trờn tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN =BM. Chứng minh rằng: ^ ^ a. AMC = ABC b. ΔABM = ΔCAN c. ΔMNC là tam giỏc vuụng cõn ở C. Xem lời giải tại: 93. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE, cỏc đường thẳng vuụng gúc kẻ từ A và E tới CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH tại I. Chứng minh rằng: a. ΔACD = ΔAME b. ΔAGB = ΔMIA c. BG=GH Xem lời giải tại: 94. Cho tam giỏc ABC cõn ở A, trờn cạnh BC lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Từ D kẻ đường vuụng gúc với BC cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuụng gúc với BC cắt AC tại N. a. Chứng minh MD=NE b. MN cắt DE ở I. Chứng minh I là trung điểm của DE. c. Từ C kẻ đường vuụng gúc với AC, từ B kẻ đường vuụng gúc với AB chỳng cắt nhau ở O, chứng minh AO là đường trung trực của BC. Xem lời giải tại: 95. Cho tam giỏc ABC, trờn tia đối của tia AB lấy điểm E, trờn tia đối của tia AC
25. ^ ^ lấy điểm D, cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc ACB và AED cắt nhau ở F, ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ BCM = C1; MCA = C2; AEN = E1; NED = E2 . Chứng minh rằng: ^ ^ ˆ ˆ a. B + C1 = F + E1 ^ ^ ˆ ˆ b. D + E2 = F + C2 ^ ^ ^ ABD + ADE c. EFC = . 2 Xem lời giải tại: 96. Cho tam giỏc ABC đường cao AH, gọi M là trung điểm của BC biết AH, AM chia gúc ở đỉnh A thành ba gúc bằng nhau. Kẻ ME⊥AC(E ∈ AC). Từ E kẻ EI ^ (I ∈ MC) sao cho IEC = Cˆ . 1 a. Chứng minh rằng ME = MC 2 b. Chứng minh: IE=IM c. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC Xem lời giải tại: 97. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A, trờn tia AC lấy lần lượt hai điểm D và E sao cho AC=CD=DE. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho A là trung điểm của BH. Đường thẳng vuụng gúc với AB ở H, và đường thẳng vuụng gúc với AE ở C cắt nhau ở K. a. Chứng minh tam giỏc BKE vuụng cõn ở K. ^ ^ b. Chứng minh ADB + AEB = 450 Xem lời giải tại: 98. Cho tam giỏc ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, trờn tia
26. đối tia ED lấy điểm F sao cho EF=ED. Chứng minh rằng: a. BD=CF 1 b. DE//BC và DE = BC 2 Xem lời giải tại: 99. Cho tam giỏc ABC trờn cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD=DE=EB, Vẽ DG và EF song song với BC (F, G ∈ AC) . a. Chứng minh AG = GF = FC b. Giả sử DG=3cm, tớnh BC. Xem lời giải tại: 100. Cho tam giỏc ABC cú Aˆ = 600 tia phõn giỏc của gúc B và gúc C cắt cỏc cạnh đối diện ở D và E, BD và CE cắt nhau ở O, tia phõn giỏc của gúc BOC cắt BC ở F. Chứng minh rằng: a. OD=OE=OF b. Tam giỏc DEF là tam giỏc đều. Xem lời giải tại: 101. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A. Gọi D là một điểm nằm trong tam giỏc sao ^ ^ cho DBC = DCA = 300. a. Chứng minh rằng tam giỏc ACD cõn b. Tớnh gúc của tam giỏc cõn đú. Xem lời giải tại: 102. Cho tam giỏc cõn ABC cú Aˆ = 1000, gọi M là một điểm nằm trong tam giỏc ^ ^ sao cho MBC = 100, MCB = 200. Trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho CE=CB. a. Chứng minh tam giỏc BME là tam giỏc đều
27. ^ b. Tớnh AMB Xem lời giải tại: 103. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho ^ 1 ^ ^ 1 ^ ABD = ABC , trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho ACE = ACB. Gọi F là giao điểm 3 3 của BD và CE. ^ a. Tớnh BFC ^ ^ b. Tia phõn giỏc của cỏc gúc BFC và FBC cắt nhau ở I. Chứng minh tam giỏc DIE là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 104. Cho tam giỏc ABC cú Aˆ = 900, M là trung điểm của cạnh BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD =MA. a. Chứng minh AB//CD 1 b. Chứng minh AM = BC 2 c. Giả sử AB=2cm, BC=5cm, tớnh AC Xem lời giải tại: 105. Cho tam giỏc ABC. Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua B song song với CA tại D. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a. AD=BC; BD=AC b. D,M,C thẳng hàng. Xem lời giải tại: 106. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, trờn cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD=CE (D nằm giữa B và E). Vẽ DH⊥AB (H thuộc AB), vẽ EK⊥AC(K ∈ AC). Chứng minh rằng:
28. a. DH=EK b. HK//BC Xem lời giải tại: 107. Cho tam giỏc ABC cú điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M là trung điểm của AD. Trờn tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME=MB. Trờn tia đối của tia MC lấy điểm F sao cho MF=MC. Chứng minh: a. AE=BD b. AF//BD c. Ba điểm A, E, F thẳng hàng. Xem lời giải tại: 108. Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA=MD. a. Chứng minh rằng AB=DC b. Chứng minh AC//BD c. Tam giỏc ABC cần cú thờm điều kiện gỡ để cú DC⊥AC Xem lời giải tại: 109. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A, M là trung điểm của BC. Điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuụng gúc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng: a. BH=AK b. ΔMBH = ΔMAK c. Tam giỏc MHK là tam giỏc vuụng cõn. Xem lời giải tại: 110. Cho tam giỏc ABC cõn ở A, phõn giỏc CD (D ∈ AB). Qua D kẻ DF vuụng gúc với DC và tia DE//BC (F ∈ BC; E ∈ AC) . Gọi M là giao điểm của DE với phõn giỏc của gúc BAC, gọi giao điểm của FD với CA là K. Chứng minh rằng: a. D là trung điểm của KF b. CF=2BD
29. 1 c. DM = CF 4 Xem lời giải tại: 111. Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Trờn tia đối của cỏc tia BC, CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE. a. Chứng minh tam giỏc ADE là tam giỏc cõn b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phõn giỏc của gúc DAE. c. Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuụng gúc với AD và AE. Chứng minh BH=CK d. Chứng minh ba đường thẳng AM, BH và CK gặp nhau tại một điểm. Xem lời giải tại: 112. Cho đoạn thẳng BC, gọi I là trung điểm của BC, trờn đường trung trực của đoạn BC lấy điểm A ( A khỏc I). Kẻ IH vuụng gúc với AB, kẻ IK vuụng gúc với AC. Chứng minh rằng: a. ΔAIB = ΔAIC. b. Tam giỏc AHK là tam giỏc cõn. c. HK//BC. Xem lời giải tại: 113. Cho tam giỏc ABC cú Aˆ = 1200 , phõn giỏc AD (D thuộc BC). Kẻ DE vuụng gúc với AB, DF vuụng gúc với AC. Trờn cỏc đoạn thẳng BE và FC lần lượt lấy cỏc điểm K và I sao cho EK=FI. a. Chứng minh tam giỏc DEF là tam giỏc đều. b. Chứng minh tam giỏc DIK là tam giỏc cõn. c. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BA tại M. Chứng minh rằng tam giỏc AMC là tam giỏc đều. Xem lời giải tại: BÀI TẬP NÂNG CAO 114. Trong tam giỏc ABC cú AC = BC, lấy điểm P trờn cạnh AB ( P ≠ B và A ) sao
30. ^ ^ cho PB < PA và ACP = 300 . Mặt khỏc, ta xỏc định điểm Q sao cho CPQ = 780 và C, Q nằm về hai phớa đối với đường thẳng AB. Nếu cỏc gúc trong tam giỏc ABC và BQP đều cú giỏ trị nguyờn thỡ gúc BQP phải cú giỏ trị bằng bao nhiờu? Xem lời giải tại: 115. Cho Δ ABC vuụng gúc tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh AC, kẻ DE ⊥ BC (E 2 2 2 ∈ BC). Chứng minh: EB − EC = AB . Xem lời giải tại: 116. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ đường cao AH. 1 1 1 a. Chứng minh hệ thức: = + AH2 AB2 AC2 b. Biết BC = 15 cm; AC = 12 cm. Tớnh AH. Xem lời giải tại: 0 117. Cho Δ ABC cú Aˆ = 90 . Kẻ AH ⊥ BC. Tia phõn giỏc của gúc HAC cắt cạnh BC ở D và tia phõn giỏc của gúc HAB cắt cạnh BC tại E. Chứng minh hệ thức: AB + AC = BC + DE . Xem lời giải tại: 118. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Cỏc tia phõn giỏc của gúc ACD và ^ 1 ^ ^ ABD cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: BKC = CAE + BDE . 2 ( ) Xem lời giải tại:
31. 119. Cho Δ ABC và điểm M nằm trong tam giỏc ^ ^ ^ a. Chứng minh : BMC = Aˆ + ABM + ACM ^ ^ Aˆ b. Biết số đo : ABM + ACM = 900 − và tia BM là tia phõn giỏc của gúc B. 2 Chứng minh tia CM cũng là tia phõn giỏc của gúc C. Xem lời giải tại: ^ 120. Tam giỏc ABC cõn tại B, cú ABC = 800 . I là một điểm nằm trong tam giỏc, ^ ^ biết IAC = 100; ICA = 300 . Tớnh gúc AIB. Xem lời giải tại: 121. Tam giỏc ABC cú AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A, cắt tia phõn giỏc tại H, cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng : a. BE = CF. AB + AC AB − AC b. AE = ; BE = 2 2 ^ ^ ACB − Bˆ c. BME = 2 Xem lời giải tại: 122. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cỏc điểm A(5 ; 4), B(2 ; 3), C(6 ; 1). Tớnh cỏc gúc của Δ ABC. Xem lời giải tại: 123. Mặt phẳng được tụ kớn bởi hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng: tồn tại 2 điểm cựng màu cỏch nhau đỳng một đơn vị.
32. Xem lời giải tại: 124. Cho tam giỏc ABC, lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng khụng chứa C bờ AB, sao cho DA ⊥ DB và AD = AB. Lấy điểm E thuộc nửa mặt phẳng khụng chứa B bờ AC sao cho AE ⊥ AC và AE = AC. So sỏnh diện tớch 2 tam giỏc ADE và ABC. Xem lời giải tại: ^ 125. Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú BAC = 200. Trờn nửa mặt phẳng khụng chứa ^ B cú bờ AC vẽ tia Cx sao cho ACx = 600, trờn tia ấy lấy điểm D sao cho BC = CD. ^ Tớnh ADC. Xem lời giải tại: 126. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Điểm E nằm trong tam giỏc sao cho tam ^ giỏc EAC cõn tại E và cú gúc ở đỏy 150. Tớnh gúc BEA. Xem lời giải tại: 127. Điểm M nằm bờn trong tam giỏc ABC vuụng cõn tại B sao cho ^ MA : MB : MC = 1: 2: 3 . Tớnh AMB . Xem lời giải tại: