Tam giác đồng dạng - Tài liệu nâng cao

Nội dung text: Tam giác đồng dạng - Tài liệu nâng cao

1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ
3. TÀI LIỆU NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG BÀI TẬP LIấN QUAN 1. Cho tam giỏc ABC, dựng hỡnh chữ nhật nội tiếp trong tam giỏc (hai đỉnh nằm trờn một cạnh, hai đỉnh cũn lại nằm trờn hai cạnh kia của tam giỏc). Xỏc định dạng của hỡnh chữ nhật khi diện tớch đạt giỏ trị lớn nhất. Xem lời giải tại: 2. Cho gúc nhọn xAy, B và C lần lượt là điểm cố định trờn Ax và Ay sao cho AB < AC, M là điểm di động sao cho MA: AB = 1: 2. Xỏc định vị trớ điểm M để MB + 2MC đạt giỏ trị nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 3. Cho tứ giỏc ABCD cú diện tớch S, điểm O nằm trong tứ giỏc. Chứng minh rằng: OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ≥ 2S, đẳng thức xảy ra khi nào? Xem lời giải tại: 4. Cho gúc nhọn xOy và điểm M cố định nằm trong gúc đú. A và B là hai điểm lần lượt di động trờn cỏc tia Ox và Oy sao cho 2OA = 3OB. Xỏc định vị trớ của A và B để tổng 2MA + 3MB là nhỏ nhất. Xem lời giải tại: 5. Cho tam giỏc ABC cú diện tớch S và đường trung tuyến AM. D là điểm trờn AB, E là điểm trờn AC, từ D và E kẻ cỏc đường thẳng song song với AM cắt BC lần lượt tại Q và P.
4. 1 Chứng minh rằng: S ≤ S. DEPQ 2 Xem lời giải tại: 6. Cho ba điểm phõn biệt và thẳng hàng A, B, C. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A là trung điểm của BC là: (A, B, C) = (A, C, B). Xem lời giải tại: 7. Cho ba điểm phõn biệt và thẳng hàng A, B, C với (A, B, C) = k. Hóy tớnh cỏc tỉ số (B, CA), (C, A, B) Xem lời giải tại: 8. Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và AB'C'D' trong đú ba điểm A, B, B' thẳng hàng, ba điểm A, D, D' thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của BD' và B'D. Chứng minh rằng I, C, C' thẳng hàng. Xem lời giải tại: 9. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt nằm trờn hai cạnh BC và CD sao cho MC = 2MB, DN = 2NC. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng MA, AN và MN. Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DJ và CK đồng quy. Xem lời giải tại: 10. Cho tứ giỏc ABCD, hai điểm phõn biệt P và Q nằm trờn đường thẳng BD nhưng khụng trựng với điểm B và điểm D. Một đường thẳng d đi qua P cắt cỏc đường thẳng AB, AQ và AD lần lượt tại cỏc điểm I, J, K. Một đường thẳng d' đi qua P cắt cỏc đường thẳng CB, CQ, CD lần lượt tại cỏc điểm I', J', K'. Chứng minh rằng ba đường thẳng II', JJ', KK' đồng quy hoặc song song.
5. Xem lời giải tại: 11. Cho tam giỏc ABC cú diện tớch S. Cỏc điểm M, N, P lần lượt thuộc cỏc cạnh BC, MB NC PA CA, AB sao cho = = = k (0 < k ≠ 1). Gọi H, I, K lần lượt là giao điểm MC NA PB của BN với CP, CP với AM, AM với BN. Tớnh diện tớch tam giỏc HIK theo S và k. Xem lời giải tại: 12. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, cạnh AB cố định, cạnh CD chuyển động trờn đường thẳng d song song với AB. Gọi I là trung điểm của CD. Tia AI cắt BC tại N. Tỡm quỹ tớch điểm N. Xem lời giải tại: 13. Cho tam giỏc ABC cõn tại A và điểm M chuyển động trờn cạnh AB, điểm N trờn tia đối của tia CA sao cho NC = MB. Vẽ hỡnh bỡnh hành BMNP. Tỡm tập hợp điểm P khi điểm M chuyển động trờn cạnh AB. Xem lời giải tại: 14. Cho đoạn thẳng AB và điểm I di chuyển trờn đoạn thẳng đú. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AICD, BIEF. Gọi O và O' lần lượt là tõm của hai hỡnh vuụng đú. Khi I di chuyển trờn đoạn thẳng AB thỡ trung điểm M của đoạn OO' chuyển động trờn đường nào? Xem lời giải tại: 15. Cho gúc vuụng xOy và điểm A cố định thuộc cạnh Ox (A khỏc O), điểm C chuyển động trờn cạnh Oy. Vẽ tam giỏc đều ACB nằm trong gúc xOy. Tỡm tập hợp cỏc đỉnh B của tam giỏc ACB. Xem lời giải tại:
6. 16. Cho gúc xOy, hai điểm A, B lần lượt di động trờn hai tia Ox và Oy sao cho 1 1 1 + = , với m là một độ dài cho trước. Chứng minh rằng đường thẳng OA OB m AB luụn đi qua một điểm cố định. Xem lời giải tại: 17. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO, AO. Lấy điểm F trờn cạnh AB sao cho tia FM cắt BC tại E và tia FN cắt AD tại K. Chứng minh rằng: BA BC a. + = 4 BF BE b. BE + AK ≥ BC Xem lời giải tại: 18. Cho tứ giỏc ABCD gọi O là trung điểm của cạnh BC và E là điểm đối xứng của D qua O. Một điểm M di động trờn cạnh AD, đường thẳng EM cắt OA tại I. Từ I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại K và H. Chứng minh rằng AB AC AD biểu thức: + − cú giỏ trị khụng đổi. AK AH AM Xem lời giải tại: 19. Cho ΔABC, M, N, P lần lượt là cỏc điểm trờn cạnh BC, CA, AB. AM cắt BN và CP lần lượt tại I và K, BN cắt CP tại J. Chứng minh rằng: Nếu SAIN = SBJP = SCKM = SIJK thỡ SAPIJ = SBMKJ = SCNIK Xem lời giải tại: 20. Lấy một điểm O trong ΔABC, cỏc tia OA, OB, OC cắt BC, AC, AB lần lượt tại P,
7. OA OB OC Q, R. Chứng minh rằng + + = 2 AP BQ CR Xem lời giải tại: 21. Cho A’, B’, C’ lần lượt nằm trờn cạnh BC, AC, AB của ΔABC biết rằng AM AB ′ AC ′ AA ′ , BB ′ , CC ′ đồng quy tại M. Chứng minh rằng = + A ′ M CB ′ BC ′ Xem lời giải tại: 22. Cho ΔABC gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giỏc, A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của AM với BC, BM với AC, và CM với AB thỡ ta cụng nhận hệ MA ′ MB ′ MC ′ thức + + = 1. Đường thẳng qua M và trọng tõm G của tam giỏc AA ′ BB ′ CC ′ MA1 MB1 MC1 cắt BC, CA, AB lần lượt tại A1; B1; C1. Tớnh + + ? GA1 GB1 GC1 Xem lời giải tại: 23. Cho ΔABC, lấy cỏc điểm D và M sao cho D ∈ BC; M ∈ AD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng IK//EF Xem lời giải tại: 24. Cho ΔABC cõn tại A cú AB = AC = b; BC = a. Đường phõn giỏc BD của ΔABC 1 1 b cú độ dài bằng cạnh bờn AB của ΔABC. Chứng minh rằng − = b a (a + b)2 Xem lời giải tại:
8. 25. Cho ΔABD cú Aˆ = 900. Vẽ đường cao AH. Gọi M là điểm đối xứng với A qua H. Trờn đoạn thẳng MH lấy điểm E bất kỳ, qua điểm D kẻ đường thẳng vuụng gúc với tia BE tại C và cắt AH tại F. a. Chứng minh rằng: AH2 = BH. HD = HE. HF AF MF b. Chứng minh rằng: = AE ME Xem lời giải tại: 26. Từ điểm M nằm trong ΔABC lần lượt vẽ cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC, CA, AB tại D, E, F. Trờn cỏc tia MD, ME, MF lần lượt lấy cỏc điểm A ′ , B ′ , C ′ sao MA ′ MB ′ MC ′ cho = = . Chứng minh rằng M là trọng tõm của ΔA ′ B ′ C ′ BC CA AB Xem lời giải tại: 27. Cho ΔABC khụng cõn, M là điểm nằm trong ΔABC sao cho ^ ^ MB AB AMB − Cˆ = AMC − Bˆ . Chứng minh rằng = MC AC Xem lời giải tại: 28. Cho ΔABC(AB = c; AC = b; BC = a). I là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc IA2 IB2 IC2 trong của ΔABC. Chứng minh rằng + + = 1 bc ca ab Xem lời giải tại: 29. Cho ΔABC. Gọi AM và AD lần lượt là đường trung tuyến và đường phõn giỏc của ΔABC. Đường thẳng đối xứng với AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh rằng BN AB2 = . CN AC2
9. Xem lời giải tại: 30. Cho ΔABC cõn, cú Aˆ = 200; AB = AC = b; BC = a. Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 Xem lời giải tại: 31. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD và điểm M nằm trong hỡnh hỡnh bỡnh hành. Giả sử ^ ^ ^ ^ MAB = MCB. Chứng minh rằng MDC = MBC. Xem lời giải tại: ^ ^ ^ ^ 32. Cho tứ giỏc ABCD trong đú cú ABC = ADC; ABC + BCD < 1800. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB, CD. Chứng minh rằng AC2 = CD. CE − AB. AE Xem lời giải tại: 33. Cho ΔABC, một đường thẳng d khụng đi qua cỏc đỉnh của tam giỏc, cắt cỏc đường thẳng BC, AC, AB thứ tự ở A’, B’, C’. Chứng minh rằng B ′ A A ′ C C ′ B . . = 1 B ′ C A ′ B C ′ A Xem lời giải tại: 34. Cho ΔABC, cỏc điểm A’, B’, C’ theo thứ tự thuộc cỏc cạnh BC, AC, AB sao cho B ′ A A ′ C C ′ B AA’, BB’, CC’ đồng quy ở O. Chứng minh rằng: . . = 1 B ′ C A ′ B C ′ A
10. Xem lời giải tại: 35. Cho ΔABC, M là điểm bất kỳ trong tam giỏc, cỏc đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt cỏc cạnh BC, CA, AB tại N, P, Q. Gọi R là giao điểm của PQ và BC. NB RB Chứng minh rằng = . NC RC Xem lời giải tại: 36. Cho ΔABC, I là điểm nằm trong tam giỏc. Cỏc tia AI, BI, CI lần lượt cắt BC, AC, AB tại A’, B’, C’. Xỏc định vị trớ I để tớch AB ′ . CA ′ . BC ′ cú giỏ trị lớn nhất. Xem lời giải tại: