Bài tập tổng hợp về chứng minh tam giác

Nội dung text: Bài tập tổng hợp về chứng minh tam giác

1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ BÀI TẬP TỔNG HỢP
3. BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI TẬP LIấN QUAN 1. Cho cú . Lấy điểm D trờn cạnh AB, điểm E trờn cạnh AC sao cho . a. Chứng minh rằng: . b. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: . Xem lời giải tại: 2. Cho tam giỏc ABC, . Hai đường phõn giỏc BD và CE của tam giỏc cắt nhau tại O. Trờn cạnh BC lấy hai điểm I và K sao cho . Chứng minh rằng: a. b. BE + CD < BC Xem lời giải tại: 3. Cho khỏc gúc bẹt. Vẽ tia Ot, Oz trong (tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot). Biết rằng và cú cựng tia phõn giỏc Om. Trờn tia Ox lấy điểm A, trờn tia Oy lấy điểm A' sao cho OA = OA'. Trờn tia Oz lấy điểm B, trờn tia Ot lấy điểm B' sao cho OB = OB'. a. Chứng minh AB = A'B'; AB' = A'B b. Chứng minh rằng AB', A'B và Om đồng quy Xem lời giải tại: 4. Cho ABC. Ở miền ngoài của ABC, vẽ ABD và ACE vuụng tại A cú . Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A xuống BC, M là trung điểm của BC. Tia HA cắt DE tại K, tia MA cắt DE tại I. Chứng minh rằng: a. b. .
4. Xem lời giải tại: 5. Cho ABC vuụng tại A. Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC ở E. a. So sỏnh độ dài AE và DE. b. Tia phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tớnh gúc BAK. Xem lời giải tại: 6. Cho , AB = AC. Điểm D thuộc cạnh BC, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC tại M, N. Đường thẳng BC cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a. DM = EN. b. IM = IN. Xem lời giải tại: 7. Cho tam giỏc ABC, , đường phõn giỏc trong AD. Từ D hạ . a. Tam giỏc DEF là tam giỏc gỡ? b. Qua điểm C, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AB tại M. Cho biết tam giỏc ACM là tam giỏc gỡ? c. Cho . Tớnh AD ( ). Xem lời giải tại: 8. Cho hỡnh vẽ sau biết AE=AF, . a. Tớnh cỏc gúc
5. b. Tớnh cỏc gúc c. Tỡm những tam giỏc cõn trong hỡnh vẽ Xem lời giải tại: 9. Cho hỡnh vẽ sau. Biết rằng và . a. Tớnh cỏc gúc . b. Tớnh cỏc gúc c. Những tam giỏc nào là tam giỏc cõn? Tam giỏc nào là tam giỏc đều. d. Tớnh số đo cỏc gúc Xem lời giải tại: 10. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Từ B hạ (H thuộc AC). Lấy điểm M trờn cạnh BC từ M hạ (F thuộc AC) và (E thuộc AB). Trờn tia đối của tia MF lấy điểm I sao cho FI=BH. Chứng minh rằng: a. b. c. d. Xem lời giải tại: 11. Cho hai đường thẳng ; đường thẳng cắt và tại M và N. Lấy O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Qua O kẻ đường thẳng cắt đường tại E và cắt đường thẳng tại F.
6. a. Chứng minh rằng: O là trung điểm của EF và ME=NF b. Chứng minh rằng NE//MF c. Lấy điểm P bất kỳ thuộc đoạn thẳng EM. Nối PO, tia PO cắt tại Q. Chứng minh: EP=QF và EQ//PF. Xem lời giải tại: 12. Cho đoạn thẳng BC, trờn cựng nửa mặt phẳng bờ cú chứa đoạn BC vẽ tam giỏc cõn tại A và cú gúc ở đỏy bằng . Vẽ tam giỏc đều, trờn AB lấy điểm E sao cho AE=BC. Nối AM, tia AM cắt BC tại I. Chứng minh rằng: a. AI là tia phõn giỏc của gúc b. MI là tia phõn giỏc của gúc c. CE là tia phõn giỏc của gúc Xem lời giải tại: 13. Cho cõn tại A ( ). AI là tia phõn giỏc của gúc (I BC). Từ I hạ a. Chứng minh rằng là tam giỏc đều. b. Chứng minh: KH//BC c. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB. Chứng minh là tam giỏc đều. d. là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? Xem lời giải tại: 14. Cho , vẽ phớa ngoài tam giỏc tia Ax sao cho và lấy điểm E trờn tia Ax sao cho AE=AB (E và C ở 2 phớa AB). Kẻ và lấy điểm F trờn Ay sao cho AF=AC (F và B ở hai phớa của AC), lấy M là trung điểm của đoạn BC. Kộo dài AM cắt EF tại I. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho AM=MN. Chứng minh rằng: a. BN=AF b. c. d. vuụng tại I.
7. Xem lời giải tại: 15. Cho tam giỏc ABC (AB < AC), kẻ phõn giỏc AL của gúc A. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ đường thẳng vuụng gúc với AL, đường này cắt AC ở E và cắt AB ở D. a. Chứng minh AD=AE b. Kẻ BB’//ED (B' thuộc AC). Chứng minh rằng B’E=EC=BD c. Chứng minh cỏc hệ thức sau: d. Tớnh gúc theo cỏc gúc B, C. e. Tỡm trờn tia phõn giỏc AL một điểm N cỏch đều hai điểm B, C. Xem lời giải tại: 16. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, đường cao AH. Từ H kẻ và trờn tia đối của tia MH lấy điểm E sao cho MH=EM. Kẻ và trờn tia đối của tia NH lấy điểm D sao cho NH=ND. a. Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng b. Chứng minh MN//DE c. Chứng minh BD//CE d. Chứng minh tam giỏc DHE là tam giỏc vuụng. Xem lời giải tại: 17. Cho tam giỏc đều ABC. Trờn tia đối CB lấy điểm M sao cho CM=BC. Trờn tia đối AC lấy điểm N sao cho AN=AC và trờn tia đối BA lấy điểm P sao cho BP=AB. a. Chứng minh b. Chứng minh tam giỏc MNP là tam giỏc đều. c. Gọi O là điểm nằm trong tam giỏc ABC sao cho OA = OB = OC. Chứng minh OM=OP. d. Chứng minh Xem lời giải tại:
8. 18. Cho tam giỏc ABC cú . Gọi M là trung điểm của BC. a. Chứng minh rằng b. Từ C kẻ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh CN//AM. c. Tam giỏc là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? Xem lời giải tại: 19. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Về phớa ngoài của tam giỏc ABC vẽ cỏc tam giỏc vuụng ABM và tam giỏc vuụng CAN .Chứng minh rằng: a. b. Xem lời giải tại: 20. Cho tam giỏc ABC cú AB=AC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt cạnh BC tại H. Lấy điểm D bất kỳ trờn AH. Chứng minh rằng. a. b. DH là tia phõn giỏc của gúc c. Xem lời giải tại: 21. Cho tam giỏc , gọi M, N thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB. AC, trờn tia đối tia MC lấy điểm P sao cho MP=MC, trờn tia đối tia NB lấy điểm Q sao cho NQ=NB. Chứng minh rằng: a. Ba điểm A, P, Q thẳng hàng b. A là trung điểm của PQ Xem lời giải tại: 22. Cho tam giỏc ABC cú gúc B tự và kẻ AH, BK lần lượt vuụng gúc với BC và AC . Trờn tia đối AH lấy điểm D sao cho AD=BC. Trờn tia đối của tia BK lấy điểm E sao cho BE=AC. Chứng minh:
9. a. b. c. Xem lời giải tại: 23. Cho tam giỏc ABC cú AB=9cm, AC=12cm, BC =15cm. a. Chứng minh rằng tam giỏc ABC vuụng b. Kẻ phõn giỏc BD và CE hai phõn giỏc này cắt nhau tại F. Tớnh số đo của gúc Xem lời giải tại: 24. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Vẽ , kẻ HM và HN lần lượt vuụng gúc với AB, AC . Trờn tia đối tia MH lấy điểm E sao cho ME=MH, trờn tia đối của tia NH lấy điểm F sao cho NF=NH. a. Chứng minh AH=AE. b. Chứng minh tam giỏc cõn c. Giả sử . Hóy tớnh số đo gúc Xem lời giải tại: 25. Cho tam giỏc (AB < AC). Trờn tia BA lấy điểm D sao cho DB=CB. Nối DC, tia phõn giỏc của gúc ABC cắt AC và CD theo thứ tự tại E và H. a. Chứng minh rằng b. Chứng minh HC=HD c. Kẻ . Chứng minh rằng AK//BH. Xem lời giải tại: 26. Cho tam giỏc ABC cõn tại A và cú vẽ và a. Chứng minh rằng AH=AK b. Gọi P là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AP là tia phõn giỏc của gúc .
10. Xem lời giải tại: 27. Cho tam giỏc cõn tại A. Kẻ . a. Chứng minh rằng: b. Trờn tia đối của tia BH lấy điểm D, trờn tia đối của tia CH lấy điểm E sao cho BD=CE. Tam giỏc ADE là tam giỏc gỡ? vỡ sao? Xem lời giải tại: 28. Cho gúc xOy. Trờn tia Oz là phõn giỏc của gúc xOy ta lấy một điểm A. Qua trung điểm B của OA, ta kẻ đường thẳng vuụng gúc với Oz, đường này cắt cạnh Oy tại điểm C. a. Chứng minh AC//Ox b. Tớnh gúc để Xem lời giải tại: 29. Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn, về phớa ngoài của tam giỏc ta vẽ cỏc tam giỏc đều ADB và AEC. a. Chứng minh BE=CD. b. Tớnh gúc BIC trong đú I là giao điểm của BE và CD Xem lời giải tại: 30. Cho một đường thẳng d và ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thuộc d. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng d ta vẽ hai tam giỏc đều ABD và BEC. Gọi M, N theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng AE, CD. a. Chứng minh AE=CD b. Chứng minh c. Chứng minh tam giỏc MNB là tam giỏc đều. Xem lời giải tại: 31. Cho tam giỏc ABC, cú . Qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, đường này cắt BC tại D. Từ C kẻ đường vuụng gúc với cạnh BC, đường này cắt AB tại điểm E, ED cắt cạnh AC tại điểm N.
11. a. Chứng minh tam giỏc ADC, AEC là cỏc tam giỏc cõn. b. Chứng minh N là trung điểm của cạnh AC và c. Cho Tớnh cỏc gúc . Tam giỏc BAC là tam giỏc gỡ? Xem lời giải tại: 32. Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB, Qua C kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh rằng: a. BD=CD b. AD là trung trực của BC. Xem lời giải tại: 33. Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Trờn cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho . Đường thẳng kẻ từ D vuụng gúc với BC cắt AB tại M, đường thẳng kẻ từ E vuụng gúc với BC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a. DM=EN b. EM=DN c. Tam giỏc ADE là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại: 34. Cho tam giỏc cõn ABC cú AB=AC, trờn tia đối của cỏc tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD=CE. a. Chứng minh DE//BC. b. Từ D kẻ MD vuụng gúc với BC, từ E kẻ EN vuụng gúc với BC (M, N thuộc BC). Chứng minh rằng DM=EN. c. Chứng minh rằng tam giỏc AMN là tam giỏc cõn. d. Từ B và C kẻ cỏc đường vuụng gúc với AM và AN chỳng cắt nhau tại I. Chứng minh AI là tia phõn giỏc chung của hai gúc Xem lời giải tại: 35. Cho tam giỏc cõn ABC cú , AB=AC. Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường vuụng gúc với AC cắt đường thẳng BC ở M. Trờn tia đối của tia AM lấy
12. điểm N sao cho AN =BM. Chứng minh rằng: a. b. c. là tam giỏc vuụng cõn ở C. Xem lời giải tại: 36. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE, cỏc đường thẳng vuụng gúc kẻ từ A và E tới CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH tại I. Chứng minh rằng: a. b. c. BG=GH Xem lời giải tại: 37. Cho tam giỏc ABC cõn ở A, trờn cạnh BC lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Từ D kẻ đường vuụng gúc với BC cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuụng gúc với BC cắt AC tại N. a. Chứng minh MD=NE b. MN cắt DE ở I. Chứng minh I là trung điểm của DE. c. Từ C kẻ đường vuụng gúc với AC, từ B kẻ đường vuụng gúc với AB chỳng cắt nhau ở O, chứng minh AO là đường trung trực của BC. Xem lời giải tại: 38. Cho tam giỏc ABC, trờn tia đối của tia AB lấy điểm E, trờn tia đối của tia AC lấy điểm D, cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc và cắt nhau ở F, . Chứng minh rằng: a. b. c. . Xem lời giải tại:
13. 39. Cho tam giỏc ABC đường cao AH, gọi M là trung điểm của BC biết AH, AM chia gúc ở đỉnh A thành ba gúc bằng nhau. Kẻ . Từ E kẻ EI sao cho . a. Chứng minh rằng b. Chứng minh: IE=IM c. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC Xem lời giải tại: 40. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A, trờn tia AC lấy lần lượt hai điểm D và E sao cho AC=CD=DE. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho A là trung điểm của BH. Đường thẳng vuụng gúc với AB ở H, và đường thẳng vuụng gúc với AE ở C cắt nhau ở K. a. Chứng minh tam giỏc BKE vuụng cõn ở K. b. Chứng minh Xem lời giải tại: 41. Cho tam giỏc ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, trờn tia đối tia ED lấy điểm F sao cho EF=ED. Chứng minh rằng: a. BD=CF b. DE//BC và Xem lời giải tại: 42. Cho tam giỏc ABC trờn cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD=DE=EB, Vẽ DG và EF song song với BC . a. Chứng minh b. Giả sử DG=3cm, tớnh BC.
14. Xem lời giải tại: 43. Cho tam giỏc ABC cú tia phõn giỏc của gúc B và gúc C cắt cỏc cạnh đối diện ở D và E, BD và CE cắt nhau ở O, tia phõn giỏc của gúc BOC cắt BC ở F. Chứng minh rằng: a. OD=OE=OF b. Tam giỏc DEF là tam giỏc đều. Xem lời giải tại: 44. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A. Gọi D là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho . a. Chứng minh rằng tam giỏc ACD cõn b. Tớnh gúc của tam giỏc cõn đú. Xem lời giải tại: 45. Cho tam giỏc cõn ABC cú , gọi M là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho . Trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho CE=CB. a. Chứng minh tam giỏc BME là tam giỏc đều b. Tớnh Xem lời giải tại: 46. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho , trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho . Gọi F là giao điểm của BD và CE. a. Tớnh b. Tia phõn giỏc của cỏc gúc và cắt nhau ở I. Chứng minh tam giỏc DIE là tam giỏc cõn. Xem lời giải tại:
15. 47. Cho tam giỏc ABC cú , M là trung điểm của cạnh BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD =MA. a. Chứng minh AB//CD b. Chứng minh c. Giả sử AB=2cm, BC=5cm, tớnh AC Xem lời giải tại: 48. Cho tam giỏc ABC. Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua B song song với CA tại D. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a. AD=BC; BD=AC b. D,M,C thẳng hàng. Xem lời giải tại: 49. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, trờn cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD=CE (D nằm giữa B và E). Vẽ (H thuộc AB), vẽ . Chứng minh rằng: a. DH=EK b. HK//BC Xem lời giải tại: 50. Cho tam giỏc ABC cú điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M là trung điểm của AD. Trờn tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME=MB. Trờn tia đối của tia MC lấy điểm F sao cho MF=MC. Chứng minh: a. AE=BD b. AF//BD c. Ba điểm A, E, F thẳng hàng. Xem lời giải tại: 51. Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA=MD. a. Chứng minh rằng AB=DC
16. b. Chứng minh AC//BD c. Tam giỏc ABC cần cú thờm điều kiện gỡ để cú Xem lời giải tại: 52. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A, M là trung điểm của BC. Điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuụng gúc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng: a. BH=AK b. c. Tam giỏc MHK là tam giỏc vuụng cõn. Xem lời giải tại: 53. Cho tam giỏc ABC cõn ở A, phõn giỏc CD (D AB). Qua D kẻ DF vuụng gúc với DC và tia DE//BC . Gọi M là giao điểm của DE với phõn giỏc của gúc BAC, gọi giao điểm của FD với CA là K. Chứng minh rằng: a. D là trung điểm của KF b. CF=2BD c. Xem lời giải tại: 54. Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Trờn tia đối của cỏc tia BC, CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE. a. Chứng minh tam giỏc ADE là tam giỏc cõn b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phõn giỏc của gúc DAE. c. Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuụng gúc với AD và AE. Chứng minh BH=CK d. Chứng minh ba đường thẳng AM, BH và CK gặp nhau tại một điểm. Xem lời giải tại: 55. Cho đoạn thẳng BC, gọi I là trung điểm của BC, trờn đường trung trực của đoạn BC lấy điểm A ( A khỏc I). Kẻ IH vuụng gúc với AB, kẻ IK vuụng gúc với AC. Chứng minh rằng:
17. a. . b. Tam giỏc AHK là tam giỏc cõn. c. HK//BC. Xem lời giải tại: 56. Cho tam giỏc ABC cú , phõn giỏc AD (D thuộc BC). Kẻ DE vuụng gúc với AB, DF vuụng gúc với AC. Trờn cỏc đoạn thẳng BE và FC lần lượt lấy cỏc điểm K và I sao cho EK=FI. a. Chứng minh tam giỏc DEF là tam giỏc đều. b. Chứng minh tam giỏc DIK là tam giỏc cõn. c. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BA tại M. Chứng minh rằng tam giỏc AMC là tam giỏc đều. Xem lời giải tại: