Bài tập tổng hợp Tam giác đồng dạng

Nội dung text: Bài tập tổng hợp Tam giác đồng dạng

1. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
2. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trờn tay cuốn sỏch tương tỏc được phỏt triển bởi Tiladođ. Cuốn sỏch này là phiờn bản in của sỏch điện tử tại Để cú thể sử dụng hiệu quả cuốn sỏch, bạn cần cú tài khoản sử dụng tại Tiladođ. Trong trường hợp bạn chưa cú tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nỳt "Đăng ký" ở gúc phải trờn màn hỡnh để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thụng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viờn hiện ra. Chỳ ý những chỗ cú dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hũm mail của bạn. Trong email đú, cú 1 đường dẫn xỏc nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đú là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn cú thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đó cú tài khoản, bạn cú thể kết hợp việc sử dụng sỏch điện tử với sỏch in cựng nhau. Sỏch bao gồm nhiều cõu hỏi, dưới mỗi cõu hỏi cú 1 đường dẫn tương ứng với cõu hỏi trờn phiờn bản điện tử như hỡnh ở dưới. Nhập đường dẫn vào trỡnh duyệt sẽ giỳp bạn kiểm tra đỏp ỏn hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, cú thể sử dụng QRCode đi kốm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đó sử dụng sản phẩm của Tiladođ Tiladođ
3. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG BÀI TẬP LIấN QUAN 1. Cho tứ giỏc ABCD cú hai gúc vuụng tại đỉnh A và C, hai đường chộo AC và BD ^ ^ cắt nhau tại O và BAC = BDC. Chứng minh rằng: a. ΔABO ∼ ΔDCO b. ΔBCO ∼ ΔADO Xem lời giải tại: 2. Cho hỡnh chữ nhật ABCD, cú AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A xuống BD. a. Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCD b. Tớnh độ dài đoạn thẳng AH c. Tớnh diện tớch ΔAHB Xem lời giải tại: ^ ^ 3. Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại O, ABD = ACD. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng: a. ΔAOB ∼ ΔDOC b. ΔAOD ∼ ΔBOC c. EA. ED = EB. EC Xem lời giải tại: 4. Cho ΔABC vuụng tại A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phõn giỏc BD. a. Tớnh độ dài AD b. Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn BC, tớnh độ dài HA, HB.
4. c. I là giao của AH và BD. Chứng minh rằng ΔAID cõn. Xem lời giải tại: 5. Cho ΔABC vuụng tại A, AB = 36 cm; AC = 48 cm. Đường phõn giỏc AK. Tia phõn giỏc của Bˆ cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. a. Tớnh độ dài BK AI b. Tớnh tỉ số AK c. Tớnh độ dài DE. Xem lời giải tại: 6. Cho ΔABC vuụng tại A, AB = a; AC = 3a, trờn cạnh AC lấy cỏc điểm DE sao cho AD = DE = EC. DB DC a. Tớnh cỏc tỉ số ; DE DB b. Chứng minh rằng ΔBDE ∼ ΔCDB ^ ^ c. Tớnh tổng AEB + ACB d. Tớnh chu vi ΔBDE Xem lời giải tại: 7. Cho ΔABC, cỏc đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc cạnh BC, vẽ OM // CE, ON // BD (M ∈ AB; N ∈ AC), MN cắt BD, CE theo thứ tự ở I, K. MH a. Gọi H là giao điểm của OM và BD. Tớnh tỷ số MO 1 b. Chứng minh rằng MI = MN 3 c. Chứng minh rằng MI = IK = KN Xem lời giải tại:
5. 8. Cho ΔABC, cú trực tõm H, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm của cỏc đường trung trực của ΔABC. a. Chứng minh rằng ΔOMN ∼ ΔHAB OM b. Tớnh tỉ số AH c. Gọi G là trọng tõm của ΔABC. Chứng minh rằng ΔHAG ∼ ΔOMG d. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO Xem lời giải tại: 9. Cho ΔABC cõn tại A, vẽ cỏc đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB) a. Chứng minh BK = CH b. Chứng minh KH // BC c. Biết BC = a; AB = AC = b. Tớnh độ dài đoạn thẳng HK. Xem lời giải tại: 10. Cho ΔABC cú ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH. DH = BH. EH = CH. FH Xem lời giải tại: 11. Hai điểm M, K thứ tự nằm trờn cỏc cạnh AB, BC của ΔABC. Hai đoạn thẳng AK, CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2PK; CP = 2PM. Chứng minh rằng AK và CM là cỏc trung tuyến của ΔABC. Xem lời giải tại: 12. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ A kẻ AM⊥BC; AN⊥CD(M ∈ BC; N ∈ CD). Chứng minh rằng ΔMAN ∼ ΔABC Xem lời giải tại:
6. 13. Cho ΔABC vuụng tại A, đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm. a. Chứng minh rằng CA2 = CH. CB ^ b. Kẻ AD là tia phõn giỏc của BAC(D ∈ BC). Tớnh HD. c. Trờn tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK⊥BI tại K. Chứng minh rằng ΔBHK ∼ ΔBIC d. Cho AI = 8cm. Tớnh diện tớch ΔBHK. Xem lời giải tại: 14. Cho ΔABC vuụng tại A, (AB AD và AD = 5cm. Trờn DC lấy điểm M sao ^ cho DM = 2cm. Biết AMB = 900 a. Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tớnh độ dài MC. ^ b. Tia phõn giỏc của AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằng EA=EK. c. Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phõn giỏc gúc ^ BMH Xem lời giải tại: 16. Cho ΔABC vuụng tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H ∈ BC). a. Chứng minh ΔABH ∼ ΔCBA b. Trờn tia HC, lấy D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH
7. cắt AC tại E. Chứng minh CE. CA = CD. CB c. Chứng minh AE = AB d. Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh AH. BM = AB. HM + AM. HB Xem lời giải tại: 17. Cho ΔABC nhọn, cỏc điểm D, E, F lần lượt nằm trờn AB, AC, BC. Chứng minh rằng: SADE AD. AE a. = SABC AB. AC b. Trong ba tam giỏc ΔADE; ΔBDF; ΔCEF tồn tại một tam giỏc cú diện tớch 1 1 khụng quỏ S . Khi nào thỡ S = S = S = S 4 ABC ADE BDF CEF 4 ABC Xem lời giải tại: 18. Cho ΔABC vuụng tại A (AB > AC) kẻ đường cao AH. AB2 AC2 a. Chứng minh rằng: = BH CH ^ b. Kẻ AD là tia phõn giỏc của BAH(D ∈ BH). Chứng minh ΔACD cõn và DH. DC = BD. HC 2 2 c. Tớnh độ dài AH trong trường hợp SABH = 15, 36(cm ); SACH = 8, 64(cm ) d. Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH. Chứng minh rằng: CE/ /AD. Xem lời giải tại: 19. Cho ΔABC, AD là đường phõn giỏc ngoài. Chứng minh rằng AD2 = DB. DC − AB. AC Xem lời giải tại:
8. 20. Cho tứ giỏc ABCD. Chứng minh rằng AB. CD + BC. AD ≥ AC. BD Xem lời giải tại: 21. Cho tứ giỏc ABCD, điểm E ∈ AB, qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC ở F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại G. Qua G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD ở H. a. Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? b. Để EFGH là hỡnh chữ nhật thỡ tứ giỏc ABCD phải cú điều kiện gỡ? c. Nếu EFGH là hỡnh chữ nhật thỡ tớnh diện tớch cỏc tứ giỏc ABCD, EFGH biết BE 1 AC = 45(cm); BD = 30(cm); = BA 2 Xem lời giải tại: 22. Hỡnh thang ABCD cú AB // CD, đường cao bằng 12cm, AC⊥BD, BD = 15(cm). a. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tớnh độ dài DE b. Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD. Xem lời giải tại: 23. Cho ΔABC vuụng tại A (AB < AC), phõn giỏc BD. Trờn tia đối của tia AB lấy ^ ^ điểm F sao cho ACF = ABD . Gọi E là giao điểm của CF và BD. a. Chứng minh: ΔBEF ∼ ΔCAF b. Chứng minh: ΔBCF cõn c. Đường thẳng qua E, song song với AC cắt BF tại K. Chứng minh: AC2 = 4KF. BK Xem lời giải tại: 24. Cho ΔABC nhọn, cỏc đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi K là hỡnh chiếu của H lờn BC. Chứng minh rằng: a. BH. BD = BK. BC b. CH. CE = CK. CB
9. c. BH. BD + CH. CE = BC2 d. Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng. Xem lời giải tại: 25. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú (Aˆ < Bˆ ). Gọi E là hỡnh chiếu của C trờn AB, K là hỡnh chiếu của C trờn AD, H là hỡnh chiếu của B trờn AC. Chứng minh rằng: a. AB. AE = AC. AH b. BC. AK = AC. HC c. AB. AE + AD. AK = AC2 Xem lời giải tại: 26. Cho ΔABC vuụng tại A, đường cao AH, BC = 20(cm); AH = 8(cm). Gọi D là hỡnh chiếu của H trờn AC, E là hỡnh chiếu của H trờn AB. a. Tứ giỏc ADHE là hỡnh gỡ? b. Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC c. Tớnh diện tớch ΔADE. Xem lời giải tại: 27. Cho ΔABC cú BC = 15cm; AH = 10cm. Một đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB, AC lần lượt ở D và E. Tớnh độ dài DE. Biết rằng độ dài DE bằng khoảng cỏch từ D tới BC. Xem lời giải tại: 28. Cho điểm B nằm trờn đoạn AC, AB = 6cm; BC = 24cm, vẽ về một phớa của AC cỏc tia Ax và Cy vuụng gúc với AC. Trờn tia Ax lấy điểm E sao cho EB = 10cm, ^ trờn tia Cy lấy điểm D sao cho BD = 30cm. Tớnh EBD. Xem lời giải tại:
10. 29. Cho ΔABC cú (AB < AC). Đường phõn giỏc AD. Trờn cạnh AC lấy điểm E sao ^ ^ cho CDE = BAC = 760. a. Chứng minh rằng ΔCDE ∼ ΔCAB. ^ b. Chứng minh rằng ΔDBE cõn, tớnh số đo DEB. Xem lời giải tại: 30. Cho ΔABC vuụng tại A và cú đường cao AH. a. Chứng minh rằng: ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC b. Chứng minh rằng: AB2 = BH. BC, AC2 = CH. BC 2 c. Biết AB=3, AC=4, SHAC = 32cm . Tớnh diện tớch của ΔHBA Xem lời giải tại: 31. Cho ΔABC vuụng tại A, AB = 6cm; AC = 8cm; đường cao AH. a. Chứng minh AB2 = BC. BH b. Tớnh AH ^ c. Tia phõn giỏc của AHC cắt cạnh AC tại D. Tớnh diện tớch ΔDHC Xem lời giải tại: 32. Cho ΔABC và một điểm D trờn cạnh AB. Đường thẳng đi qua D và song song với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. Nối BG cắt AC tại H; qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh rằng: a. DA. EG = DB. DE b. HC2 = HE. HA 1 1 1 c. = + HI BA CG Xem lời giải tại: 33. Cho hỡnh vuụng ABCD và một điểm E bất kỳ trờn cạnh BC. Kẻ tia Ax vuụng
11. gúc với AE cắt CD tại F. Kẻ trung tuyến AI của ΔAEF và kộo dài cắt CD tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng: a. AE = AF b. Tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi. c. ΔFIK ∼ ΔFCE d. EK = BE + DK. Khi E chuyển động trờn BC thỡ chu vi ΔECK khụng đổi. Xem lời giải tại: 34. Cho ΔABC cú cỏc đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Cỏc đường thẳng kẻ từ B vuụng gúc với AB và kẻ từ C vuụng gúc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng: a. BHCD là hỡnh bỡnh hành. b. AI.AB = AK.AC c. ΔAIK và ΔACB đồng dạng. d. ΔABC cần cú thờm điều kiện gỡ để đường thẳng DH đi qua A. Khi đú tứ giỏc BHCD là hỡnh gỡ? Xem lời giải tại: 35. Cho tứ giỏc ABCD cú AB = 4cm; BC = 20cm; CD = 25cm; DA = 8cm, đường chộo BD = 10cm. a. Cỏc tam giỏc ABD và BDC cú đồng dạng với nhau khụng ? Vỡ sao ? b. Chứng minh tứ giỏc ABCD là hỡnh thang. c. Tớnh diện tớch tứ giỏc ABCD Xem lời giải tại: 36. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo lớn là AC. Từ C hạ cỏc đường vuụng gúc CE và CF lần lượt xuống cỏc tia AB, AD. Chứng minh rằng AD. AF + AB. AE = AC2 Xem lời giải tại: 37. Cho ΔABC vuụng tại A, cú AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phõn giỏc gúc A cắt BC
12. tại D, từ D kẻ DE ⊥ AC (E ∈ AC) a. Tớnh độ dài BC b. Tớnh độ dài BD và CD c. Chứng minh: ΔABC ∼ ΔEDC SABD d. Tớnh DE. Tớnh tỉ số SADC Xem lời giải tại: ^ 38. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú BAD nhọn. Kẻ BH, CM, CN, DI lần lượt vuụng gúc với AC, AB, AD và AC. a. Chứng minh rằng: AH = CI b. Tứ giỏc BIDH là hỡnh gỡ? c. Chứng minh rằng: AB.CM = CN.AD d. Chứng minh rằng: AD. AN + AM. AB = AC2 Xem lời giải tại: 39. Cho hỡnh thang vuụng ABCD cú AB // CD (Aˆ = Dˆ = 900), AB = 2cm; AD = CD = 8cm. Gọi O là trung điểm của AD. a. Tớnh BC ^ b. Chứng minh: BOC = 900 c. ΔAOB ∼ ΔDCO; ΔABO ∼ ΔOBC Xem lời giải tại: ^ 40. Cho ΔABC đều, qua trung điểm O của BC vẽ xOy = 600. Cỏc tia Ox, Oy cắt cỏc cạnh AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng: a. ΔBOM ∼ ΔCNO b. 4BM. CN = BC2 ^ c. ΔBOM ∼ ΔONM, OM là phõn giỏc của BMN.
13. d. ON2 = CN. NM Xem lời giải tại: 41. Cho ΔABC(AB < AC), đường phõn giỏc AD. Qua điểm M là trung điểm của BC kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và K. Chứng minh rằng: a. AE = AK b. BE = CK c. CA. MK = BE. AD Xem lời giải tại: 42. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng đi qua giao điểm O của hai đường chộo và song song với hai đỏy, cắt BC ở I. Chứng minh rằng 1 1 1 + = . AB CD OI Xem lời giải tại: 43. Cho ΔABC cõn ở A, đường phõn giỏc BD. Cú BC = 5cm; AC = 20cm. a. Tớnh độ dài AD, DC b. Tớnh độ dài BD. Xem lời giải tại: 44. Cho ΔABC cõn ở A, cú gúc đỏy bằng α. Trờn cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy cỏc ^ điểm D, M, E sao cho DME = α. Chứng minh rằng ΔBDM ∼ ΔCME. Xem lời giải tại: 45. Cho hỡnh thang vuụng ABCD(Aˆ = Dˆ = 900), M là trung điểm của AD và
14. ^ BMC = 900. Biết AD = 2a. Chứng minh rằng: a. AB. CD = a2 b. ΔMAB ∼ ΔCMB ^ c. BM là tia phõn giỏc của ABC Xem lời giải tại: 46. Cho ΔABC cú AB = 15cm; AC = 21cm. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 7cm. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm. Chứng minh rằng: a. ΔABD ∼ ΔACE b. ΔIBE ∼ ΔICD. Trong đú I là giao điểm của BD và CE c. IB. ID = IC. IE Xem lời giải tại: 47. Cho ΔABC cõn tại A, M là trung điểm của BC. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn ^ cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phõn giỏc của gúc BDE. Chứng minh rằng: ^ a. EM là tia phõn giỏc của CED b. ΔBDM ∼ ΔCME c. BD. CE = MB2 Xem lời giải tại: