10 Đề ôn tập cuối kỳ 1 môn Giải tích (Có đáp án)

Nội dung text: 10 Đề ôn tập cuối kỳ 1 môn Giải tích (Có đáp án)

1. Nội dung ôn tập I) Giới hạn và liên tục: Cách tìm giới hạn hàm, liên tục hàm số. II) Đạo hàm và vi phân: đạo hàm và vi phân của hàm y = f(x), hàm tham số, hàm ẩn. Công thức Taylor, Maclaurint. Ứng dụng đạo hàm: các bài toán liên quan, khảo sát vẽ. III) Tích phân: 1) Tích phân bất định, tích phân xác định Tích phân suy rộng loại một và hai: tính tphân, khảo sát hội tụ. Ứng dụng hình học của tích phân: có 4 ứng dụng đã học. IV) phương trình vi phân: 1) Phương trình vi phân cấp 1: chỉ có 4 loại đã học: Tách biến, tuyến tính, đẳng cấp, Bernoulli. 2) Phương trình vi phân cấp hai HỆ SỐ HẰNG. 3) Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng: Phương pháp khử, phương pháp trị riêng, véctơ riêng (trường hợp chéo được)
2. Chú ý: Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng Các em có thể giải theo cách Thầy trình bày trong bài giảng. Tuy nhiên đối với hệ thuần nhất, thì cách trình bày trong bài giảng dài dòng. Với hệ thuần nhất các em giải theo cách trình bày trong nhiều sách (Vdụ: Sách Thầy Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương) Với hệ không thuần nhất, giải theo cách trình bày trong bài giảng có vẻ dễ hiểu hơn. Tuy nhiên các em có thể giải theo cách trong sách. Đáp án các đề mẫu còn lại, Thầy sẽ cố gắng đưa lên mạng. Không hứa trước!!!! CHÚC MỪNG NĂM MỚI! С НОВЫМ ГОДОМ! HAPPY NEW YEAR!
3. Đề mẫu cuối kỳ 1 x cosh x earcsin x Câu 1. Tính lim x 0 tanx 3 1 3 x 2 cos x 1 Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong cho bởi ptrình tham số t 8 3 x , y t2 4 t ( t 2 4) dx Câu 3. Tính tích phân I 3 2 2 x 2 x x 2 Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. 1 coshx ln(1 x 2 ) 1 I dx 0 2 3 8 x3
4. Câu 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi y x arctan, x y x arctan,0 x x 1, x 1 quanh trục Ox. Câu 6. Giải phương trình vi phân y' y x y Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 3 y ' 2 y 3 x 5sin 2 x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' t x1 x 1 4 x 2 4 x 3 e ' x2 8 x 1 11 x 2 8 x 3 2 t ' x3 8 x 1 8 x 2 5 x 3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút.
5. Giải đề mẫu 1. x2 x3 Câu 1. coshx 1 ( x2 ) arcsinx x ( x3 ) 2 6 x2 x 3 x3 earcsinx 1 x ( x 3 ) tanx x ( x3 ) 2 3 3 5x3 3 1 3x 1 x x2 ( x 3 ) 3 x3/ 3 ( x 3 ) 1 I lim x 0 4x3 / 3 ( x 3 ) 4 limy ( t ) t 0 Câu 2. Tiệm cận đứng: x 2 là tiệm cận đứng. limx ( t ) 2 t 0 Không có tiệm cận ngang.
6. Tiệm cận xiên. limy ( t ) y( t ) 1 t 2 a lim t 2 limx ( t ) x( t ) 4 t 2 1 x 1 b lim y ( t ) a  x ( t ) y là tiệm cận xiên. t 2 8 4 8 limy ( t ) t 2 y( t ) 3 a lim limx ( t ) t 2 x( t ) 20 t 2 9 3x 9 b lim y ( t ) a  x ( t ) y là tiệm cận xiên. t 2 40 20 40 1 ABC Câu 3. (x 1)( x 1)( x 2) x 1 x 1 x 2 Để tìm A, nhân 2 vế cho x - 1 rồi thay x = 1 vào, tương tự cho B, C.
7. dx 1 1 1 I 3 2 ln|x 1| ln| x 1| ln| x 2| 2 x 2 x x 2 6 2 3 2 1/ 6 1/3 x 1 x 2 ln3 2ln 2 ln (x 1)1/ 2 2 3 2 2 2 x 2 x 0 x3 Câu 4. coshx ln(1 x )1 () x 2 3 8 x3 2 12 Hàm dưới dấu tích phân là hàm luôn âm. Xét tích phân hàm - f(x). coshx ln(1 x2 ) 1 12 x 2 12 1 f() x  3  3 2 3 2 2 2 8 x3 x x Tích phân hội tụ nếu 3 2 1 1
8. Câu 5. y1 x arctan x , y 2 x arctan x Ta có 0 y1 ( x ) y 2 ( x ),  x [0,1] 1 1 2 2 2 2 V0x y 2 y 1 dx (x arctan x ) ( x arctan x ) dx 0 0 1 2 V0x 4 x arctan xdx 2 0 Câu 6. Đây là phương trình Bernoulli với 1/ 2 y' y x y' y x y Đặt z y 2 y 2 2 z x z' z Ce x / 2 x 2 2 2 Nghiệm tổng quát của pt là y Ce x / 2 x 2
9. 2 Câu 7. Phương trình đặc trưng: k 3 k 2 0 k1 1  k 2 2 x2 x Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 C 1 e C 2 e Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: y y y r r1 r 2 3 9 Nghiệm riêng của y'' 3 y ' 2 y 3 x là y x r1 2 4 3 1 Nghiệm riêng của y'' 3 y ' 2 y 5sin 2 x: y cos2 x sin 2 x r2 4 4 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: 3 9 3 1 y C ex C e2 x x cos2 x sin 2 x tq 1 2 2 4 4 4
10. 1 4 4 1 1 1 1 0 0 A 8 11 8 P 2 0 1 D 0 3 0 Câu 8. 8 8 5 2 1 0 0 0 3 Đặt YPX 1 Ta có: Y' DY P 1 F() t ' t y1 1 0 0 y 1 1 4/3 4/3 e y' 030 y 8/3 3 8/32 t 2 2 ' y3 00 3 y 3 8/38/3 7/3 0 ' t t t y1 y 1 e 8 t / 3 y( t ) C e te 8 t /3 8/ 3 1 1 y' 3 y 8 et /3 6 t 3t t 2 2 y2( t ) C 2 e 2 e / 3 2 t 2/3 y' 3 y 8 et / 3 16 t / 3 3t t 3 3 y3( t ) C 3 e 2 e / 3 16 t / 9 16/ 27 Suy ra nghiệm tổng quát của hệ.
11. Đề mẫu cuối kỳ 2 sinh2 x ln(1 x ) Câu 1. Tính lim x 0 tan x x Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong cho bởi ptrình 4x4 1 y |x | 2 dx Câu 3. Tính tích phân I 1 x3 x2 2 x 1 Câu 4. Tính tất cả ,  để tích phân sau hội tụ. ln x I dx 3 2  1 2 x arctan x
12. Câu 5. Tìm diện tích bề mặt tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi x a( t sin), t y a (1cos),0 t t 2; a 0 quanh trục Oy. Câu 6. Giải phương trình vi phân y' x y 1 x y 1 Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 4 y ' 4 y e 2x cos x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử. ' 2 x1 4 x 1 2 x 2 5 x 3 t ' x2 6 x 1 x 2 6 x 3 2 t ' x3 8 x 1 3 x 2 9 x 3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút.
13. Giải đề mẫu cuối kỳ 2 x3 Câu 1. sinh2x ln(1 x ) x 3 ( x 3 ) tanx x ( x3 ) 3 sinh2x ln(1 x ) x 3 lim lim 3 x 0tan x x x 0 x3 /3 Câu 2. Tiệm cận đứng: x 0 f() x 4x4 1 2, x a lim lim x x x x| x | 2, x 4x4 1 a 2 b lim f ( x ) ax lim 2x 0 x x x a 2 b lim f ( x ) ax 0 x Có hai tiệm cận xiên: y 2 x , y 2 x
14. 1 2 dx 1 dt Câu 3. Đặt t I x 2 1 2 1 x 2 3 1/ 2 3 2t t x x 2 1 1 d( t 1) 1 d ( t 1)/ 2 t 1 3 I arcsin arcsin 2 2 1/ 2 4 (t 1) 1/ 2 1 (t 1)/ 2 2 1/ 2 2 4 ln xx x  ln x ln x Câu 4. f() x 2/ 3 2/3  3 2  1 x x x arctan x Nếu 2/3  1  1/3 , thì tích phân hội tụ với mọi Nếu 2/3  1  1/3 , thì tích phân phân kỳ với mọi Nếu 2/3  1  1/3 , thì tích phân hội tụ khi 1
15. Câu 5. x a( t sin), t y a (1 cos),0 t t 2 x' ( t ) a a cos t y' ( t ) a sin t 2 2 t x'( t ) y ' ( t ) 4 a 2 sin 2 2 2 ''2 2 S0 y 2 x ( t ) x ( t ) y ( t ) dt 0 2 2 2 2 t 2 t S0 y 2 a ( t sin t ) 4 a sin dt 4a ( t sin t )  sin dt 0 2 0 2 2 2 t t 2 2 S0 y 4 a t sin sin t sin dt 16 a 0 2 2
16. ' x y 1 Câu 6. y Đặt u x y 1 u'' 1 y x y 1 u 2 du u u 2 u u' 1 du dx u dx u u u 2 2 8 2u ln u 1 ln u 2 x C 3 3 2 8 x y1 ln x y 1 1 ln x y 1 2 x C 3 3 2t 2 t Câu 7. Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: y0 C 1 e C 2 te Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: y y y r r1 r 2 1 2 2x Nghiệm riêng của y'' 4 y ' 4 y e 2x : y x e r1 2
17. 3 4 Nghiệm riêng của y'' 4 y ' 4 y cos x : y cos x sin x r2 25 25 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: 1 3 4 y C e2x C xe 2 x x 2 e 2 x cos x sin x tq 1 2 2 25 25 ' 2 Câu 8. x1 4 x 1 2 x 2 5 x 3 t ' x2 6 x 1 x 2 6 x 3 2 t ' x3 8 x 1 3 x 2 9 x 3 Lấy pt đầu cộng với 2 lần pt thứ hai của hệ ' ' 2 x1 2 x 2 8 x 1 7 x 3 t 4 t (1) Lấy 3 lần pt đầu trừ 2 lần pt thứ ba của hệ ' ' 2 3x1 2 x 3 4 x 1 3 x 3 2 t (2)
18. 1 Đạo hàm hai vế pt thứ 3: x' x '' 8 x ' 9 x ' 23 3 1 3 '' ' ' 2 Thay vào (1): 2x3 19 x 1 18 x 3 24 x 1 21 x 3 3 t 12 t (3) '' ' ' 2 Khử x1 ở pt (2) và (3): 2x3 x 1 6 x 3 3 x 3 -9 t 12 t (4) ' '' ' 2 Khử x1 ở pt (2) và (3): 6x3 16 x 3 4 x 1 6 x 3 - 27 t 36 t (5) ''' ''' ' ' 2 Đạo hàm hai vế (5): 6x3 16 x 3 4 x 1 - 6 x 3 -54 t 36 (6) ' ''' '' ' 2 Rút x1 thay vào (4): x3 4 x 3 5 x 3 2 x 3 3 t 8 t 6 3t2 23 t 79 Giải pt này: x() t C et C e2 t C e 3 t 3 1 2 3 2 2 4 Thay vào (4) ta được x1() t Thay vào đầu của hệ ta được x2 () t
19. Đề mẫu cuối kỳ 3 e2 x cosh 2 x 2 x 4 Câu 1. Tính lim x 0 tan 2x 2 sin x 9 x3 2 x 2 Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x 3 dx 3 I Câu 3. Tính tích phân 2 2 x 1 x 2 4 Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. 2 arctan(x 1) 2 I dx 1 x x
20. Câu 5. Tìm độ dài cungr 2(1 sin ) 2 Câu 6. Giải phương trình 2ydx ( y2 6) x dy 0,(1)1. y Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 4 y ' 4 y sin x  cos2 x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' x1 3 x 1 x 2 x 3 sin t ' x2 x 1 x 2 x 3 ' x3 4 x 1 x 2 4 x 3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút.
21. Đề mẫu cuối kỳ 4 x 2 Câu 1. Tính lim arctan x x Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong cho bởi pt tham số t2 t 2 1 x(),() t y t t 2 1 t 2 ax Câu 3. Tính tích phân I esin bxdx , a 0 0 Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. 1 sin(arcsinx x3 ) x I dx 0 sin x
22. Câu 5. Tìm diện tích miền D giới hạn bởi đường cong trong toạ độ cực r asin5 , a 0 Câu 6. Giải phương trình y' ycos x e sin x . Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' y cos x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' x1 x 1 2 x 2 x 3 ' x2 x 1 x 2 x 3 ' x3 x 1 x 3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày gọn gàng), thời gian: 90phút.
23. Đề mẫu cuối kỳ 5 lim 2 arctan x x Câu 1. Tính x Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong cho trong toạ độ cực r 1 2cos 0 1/ x dx Câu 3. Tính tích phân I e 3 1 x Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. 4 / 3 x I xarctan dx 0 1 x
24. Câu 5. Tìm diện tích miền D giới hạn bởi đường cong tham số 1t (1 t 2 ) x , y 1 t2 1 t 2 Câu 6. Giải phương trình y' ycos x e sin x . Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 3 y ' 2 y 2 ex e 2 x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' t x1 2 x 1 x 2 e ' t x2 3 x 1 4 x 2 e
25. Đề mẫu cuối kỳ 6 Câu 1. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 6 của hàm y arcsin x Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong y ln(1 2 ex ) 1 x3 arcsin xdx Câu 3. Tính tích phân I 0 1 x2 Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. coshx 1 I dx x 4 0 (e 1)( x x )
26. Câu 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay tạo nên bởi miền D quay quanh Oy D: y sin x , x 0, y 1 (0 x / 2) Câu 6. Giải phương trình (x 2 y 3) dx (2 x y 3) dy 0 Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 4 y ' 4 y sinh 2 x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử. ' x1 x 1 4 x 2 sin t ' t x2 x 1 x 2 e
27. Đề mẫu cuối kỳ 7 Câu 1. Tìm f (10) (0), biết f( x ) ln(2 x2 ) Câu 2. Tìm đạo hàm trái, phải tại điểm x0 0 1/ x 1 e , x 0 y 3 4 1 x , x 0 1 x4 dx Câu 3. Tính tích phân I 1 (1 x2 ) 1 x 2 ln (ex x ) Câu 4. Tính để tích phân I dxhội tụ. 2 0 x x 1
28. Câu 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D quanh 0x D: x 2 t t2 , y 4 t t 3 Câu 6. Giải pt y' cos( x 2) y cos( x 2), y y (0) /4 Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' y sin 2 x 0, y ( ) y ' ( ) 1 Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' x1 x 1 x 2 x 3 t ' x2 x 1 x 2 x 3 2 t ' 2 x3 x 1 x 2 x 3 t
29. Đề mẫu cuối kỳ 8 x 1 Câu 1. Khảo sát điểm gián đoạn của hàm y arctan(1/x ) Câu 2. Tìm cực trị của đường cong cho bởi pt tham số t3 t 3 2 t 2 x , y t2 1 t 2 1 dx Câu 3. Tính tích phân I 0 (1 4x2 ) 1 x 2 Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. x tanh x I dx 0 x 2 x2 x
30. Câu 5. Tìm diện tích bề mặt tròn xoay khi quay miền D quanh 0x D: y2 4 x ,0 x 3. Câu 6. Giải phương trình y' ytan x y 2 cos x 0 Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 2 y ' ex x 2 x 3 Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử. ' x1 4 x 1 3 x 2 cos t ' x2 3 x 1 4 x 2 t
31. Đề mẫu cuối kỳ 9 arcsin x Câu 1. Khảo sát điểm gián đoạn của hàm y sin 2x Câu 2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm cho bởi pt tham số x t sin t , y 1 cos t , t (0,2 ) dx Câu 3. Tính tích phân I 0 ex e x Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. x I xln(arctan x e ) dx 0
32. Câu 5. Tìm độ dài cung (phần tự cắt) của đường cong tham số 2 1 2 x t, y t t 3 Câu 6. Giải phương trình (x y 1) dx (2 x 2 y 1) dy . Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 3 y ' 10 y xe 2x Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' x1 6 x 1 12 x 2 x 3 ' x2 x 1 3 x 2 x 3 ' x3 4 x 1 12 x 2 3 x 3
33. Đề mẫu cuối kỳ 10 Câu 1. Tìm tất cả ,  để hàm sau là một vô cùng bé khi x 0 1 y x arctan x  Câu 2. Tìm đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) cho bởi phương trình xy y2 x 2 sin( xy ) ln xdx Câu 3. Tính tích phân I 2 0 x 1 Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. 1 x 1/ x I e (1 x ) dx 0
34. Câu 5. Tìm diện tích miền D giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực r2 2 a 2 cos2 y Câu 6. Giải phương trình xy' yarctan x , y (1) 0. x Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 y'' 4 y sin 2 x 1, y (0) 1/ 4, y ' (0) 0. Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 2 x1 7 x 1 3 x 2 t ' x2 6 x 1 4 x 2 2 t