Toán học - Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số

Nội dung text: Toán học - Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số

1. Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 1
2. 1 Đạo hàm của hàm số Định nghĩa Các công thức đạo hàm cơ bản Đạo hàm cấp cao 2 Vi phân của hàm số Khái niệm Vi phân cấp cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng 3 Các định lý về giá trị trung bình 4 Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor Quy tắc L’Hospital Sự biến thiên của hàm số Cực trị của hàm số 5 Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Độ co dãn (Elasticity) Tối ưu trong kinh tế 2
3. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận (a, b), x0 (a, b).Kí hiệu: ∈ ∆x = x x0: số gia của đối số (lượng thay đổi của x từ x0 đến x) − ∆y = ∆f(x0) = f(x) f(x0) = f(x0 + ∆x) f(x0): số gia của hàm số f(x) (lượng thay đổi của f−(x) khi x thay đổi lượng− ∆x) ∆y f(x0 + ∆x) f(x0) f(x) f(x0) = − = − ? ∆x ∆x x x0 ⇒ − ∆y lim ? ∆x 0 ∆x ⇒ → 3
4. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận (a, b), x0 (a, b). Nếu giới hạn ∈ ∆y f(x0 + ∆x) f(x0) f(x) f(x0) lim = lim − = lim − . ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x x x0 x x0 → → → − tồn tại thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0. Kí hiệu là f0(x0) hay y0(x0). 2 Ví dụ. Tính đạo hàm tại x0 = 2 của hàm số y = f(x) = x + 3x Giải: f(x) f(2) (x2 + 3x) (22 + 3.2) f0(2) = lim − = lim − x 2 x 2 x 2 x 2 → → x2 +−3x 10 − = lim − = lim(x + 5) = 7. x 2 x 2 x 2 → − → Vậy f0(2) = 7. 4
5. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa Định nghĩa Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm bên phải tại x0, kí hiệu f+0 (x0), nếu tồn tại giới hạn f(x0 + ∆x) f(x0) f(x) f(x0) f+0 (x0) = lim − = lim − ∆x 0+ ∆x x x+ x x0 → → 0 − Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm bên trái tại x0, kí hiệu f0 (x0), nếu tồn tại giới hạn − f(x0 + ∆x) f(x0) f(x) f(x0) f0 (x0) = lim − = lim − − ∆x 0− ∆x x x− x x0 → → 0 − 5
6. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa Định lý Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f+0 (x0) = f0 (x0) − Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x + 2 x + 1 tại x0 = 0. | | Giải. Ta có ( x3 + 2x + 1 nếu x > 0 f(x) = x3 2x + 1 nếu x 0 − ≤ 3 f(x) f(0) (x + 2x + 1) 1 2 f0+(0) = lim − = lim − = lim (x + 2) = 2 x 0+ x 0 x 0+ x x 0+ → − → → 3 f(x) f(0) (x 2x + 1) 1 2 f0 (0) = lim − = lim − − = lim (x 2) = 2 + − x 0 x 0 x 0− x x 0− − − → − → → Tại x0 = 0, đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau nên hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0. 6
7. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa Ví dụ Cho hàm số   ex+1 x 2  nếu x 1 f(x) =  − − ,  x + 1 −  a nếu x = 1 − i) Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1. − ii) Tìm đạo hàm f0( 1) ứng với a vừa tìm được trong câu i). − Giải. i) Ta có ex+1 x 2 ex+1 x 2 lim = lim = 0 và f( 1) = a + − − − − x 1 x + 1 x 1− x + 1 − →− →− Để hàm số liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi − ex+1 x 2 lim − − = f( 1) a = 0 x 1 x + 1 →− − ⇐⇒ 7
8. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa ii) Thay a = 0 thì   ex+1 x 2  nếu x 1 f(x) =  − − ,  x + 1 −  0 nếu x = 1 − Ta có, ex+1 x 2 − − 0 f(x) f( 1) x + 1 − f0( 1) = lim − − = lim x 1 x + 1 x 1 x + 1 − →− →− ex+1 x 2 1 = lim − − = x 1 (x + 1)2 2 →− 8
9. Đạo hàm của hàm số Các công thức đạo hàm cơ bản Các công thức đạo hàm của hàm sơ cấp 1 1) (k)0 = 0 , k là hằng số 8) (cotgx)0 = −sin2x α α 1 2) (x )0 = αx − 1 x x 9) (arcsinx)0 = 3) (e )0 = e √1 x2 1 −1 4) (lnx)0 = 10) (arccosx)0 = x − √1 x2 5) (cosx)0 = sinx − − 1 11) (arctanx)0 = 6) (sinx)0 = cosx 1 + x2 1 1 7) (tanx)0 = 12) (arccotgx)0 = cos2x −1 + x2 Tính chất 1) (ku)0 = ku0 2) (u v)0 = u0 v0 ± ± 3) (uv)0 = u0v + uv0   u 0 u0v uv0 4) = − với v , 0 v v2 5) Cho hai hàm số y = f(u), u = u(x) và tồn tại u0(x), y0(u), khi đó yx0 = fu0 (u).ux0 . 9
10. Đạo hàm của hàm số Các công thức đạo hàm cơ bản Các công thức đạo hàm của hàm hợp 1) (uα) = uα 1u 0 α − 0 5) (sinu)0 = u0cosu 2) (eu) = euu 1 0 0 6) (tanu) = u 1 0 cos2u 0 3) (lnu) = u 0 u 0 1 7) (cotgu)0 = 2 u0 4) (cosu)0 = u0sinu −sin u − Định lý 1 Giả sử f là một hàm số đơn điệu và f0(x0) , 0 . Khi đó, hàm ngượcf − khả vi 1 1 tại y0 = f(x0) và (f− )0(y0) = f0(x0) Các công thức đạo hàm của hàm ngược 1 1 1) (arcsin x)0 = , x , 1 3) (arc tan x)0 = √1 x2 ± 1 + x2 −1 1 2) (arccos x)0 = , x , 1 4) (arccotgx)0 = − √1 x2 ± −1 + x2 − 10
11. Đạo hàm của hàm số Các công thức đạo hàm cơ bản Ví dụ Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)y = 8x4 + ln x − b)y = sin(13 x x4) − − c)y = ln2x + √1 + cot 3x r 2 4 1 + x d)y = ln 1 x3 − x2 1 e)y = − ln x f)y = (x2 + 1)sin x 11
12. Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao Định nghĩa - Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x thì ta nói f(x) có đạo hàm cấp 1 tại x. Kí hiệu f0(x). - Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x. Kí hiệu f00(x). - Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n 1 của f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của f(x). Kí hiệu f(n)(x) − (n) (n 1) f (x) = (f − (x))0 Công thức Leibniz Giả sử các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tiếp đến cấp n. Khi đó, ta có n (n) X k (n k) (k) k n! (0) (0) (uv) = C u − .v , trong đó C = và u = u, v = v n n k!(n k)! k=0 − 12
13. Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao Một số công thức tính đạo hàm cấp cao  α(n) α n 1) (x + a) = α (α 1) (α n + 1) (x + a) − · − ··· −  1 (n) 1 2) = ( 1)nn! x + a − (x + a)n+1 3) (eax)(n) = an eax · (n) n 1 (n 1)! 4) (ln x) = ( 1) − − − · xn 5) (sin(ax))(n) = an sin(ax + n π ) · 2 π 6) (cos(ax))(n) = an cos(ax + n ) · 2 (n)  α α n n 7) (ax + b) = α (α 1) (α n + 1) (ax + b) − a · − ··· − · (n) n 1 (n 1)! n 8) (ln(ax + b)) = ( 1) − − a − · (ax + b)n · π 9) (sin(ax + b))(n) = an sin(ax + b + n ) · 2 π 10) (cos(ax + b))(n) = an cos(ax + b + n ) · 2 13
14. Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao Ví dụ Tính f(100)(1) của hàm số f(x) = (3x2 + 1) ln x. Giải. Ta có u = 3x2 + 1, v = ln x. Áp dụng công thức Leibniz (100) 0 (100) (0) 1 (99) (1) 98 (2) (98) 99 (1) (99) f (x) = C100u v + C100u v + + C100u v + C100u v 100 (0) (100) +C100u v Ta thấy f(k) = 0 khi k > 2. Vậy ∀ (100) 98 (2) (98) 99 (1) (99) 100 (0) (100) f (x) = C100u v + C100u v + C100u v Mà 97! 98! 99! (ln(x))(98) = ( 1)97 , (ln(x))(99) = ( 1)98 , (ln(x))(100) = ( 1)99 − x98 − x99 − x100 Suy ra 97! 98! 99! f(100)(x) = 6.4950. + 6x.100. (3x2 + 1). − x98 x99 − x100 = f(100)(1) = 6.4950.97! + 6.100.98! 4.99! = 9708.97! ⇒ − − − 14
15. Vi phân của hàm số Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) được gọi khả vi tại x0 Df nếu ∈ ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) f(x0) có thể biểu diễn dưới dạng − ∆f(x0) = A.∆x + 0(∆x) với A là hằng số và 0(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x khi ∆x 0. → Khi đó, A.∆x được gọi là vi phân (cấp 1) của hàm số y = f(x) tại x0. Ký hiệu df(x0) hay dy(x0). Định lý - Hàm số khả vi tại x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó, A = f0(x0). - Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì biểu thức vi phân của f(x) là df = f0(x0)dx Ví dụ 3 3 2 a) Với y = x thì dy = y0dx = (x )0dx = 3x dx x x x b) Với f(x) = e thì df(x) = f0(x)dx = (e )0dx = e dx 15
16. Vi phân của hàm số Khái niệm Tính chất (Vi phân của tổng, tích và thương) Từ công thức tính đạo hàm tổng, tích và thương của hai hàm số, ta có: 1)d (ku) = kdu 2)d (u + v) = du + dv 3)d (u.v) = udv + vdu u vdu udv 4) = − , v , 0 v v2 Ví dụ a)d (x3 + ex) = d(x3) + d(ex) = 3x2dx + exdx = (3x2 + ex)dx; b)d (x3ex) = exd(x3) + x3d(ex) = 3x2exdx + x3exdx = x2ex(x + 3)dx 16
17. Vi phân của hàm số Vi phân cấp cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng Định nghĩa (Vi phân cấp cao) Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n 1 của f(x), kí hiệu là dnf(x). − n n 1 d y = d(d − y) n n 1 (n) n d f(x) = d(d − f(x)) = f (x)dx Một số quy tắc tính vi phân cấp cao 1)d n(cu) = cdnu 2)d n(u + v) = dnu + dnv n n P k n k k 0 0 3)d (uv) = Cnd − u.d v (d u = u, d v = v) k=0 Nếu ∆x 0 thì f(x0 + ∆x) f(x0) và f0(x0)∆x là 2 VCB tương đương. Do đó, → − khi ∆x khá nhỏ, ta có công thức gần đúngf (x0 + ∆x) f(x0) + f0(x0)∆x | | 4 ≈ Ví dụ: Tính gần đúng √15, 8 4 Giải. Xét hàm số f(x) = √x và x0 = 16, ∆x = 0, 2. Ta có − f(x0 + ∆x) f(x0) + f0(x0)∆x = f(16) + f0(16)( 0, 2) = 1, 9938 ≈ − Suy ra, √4 15, 8 1, 9938 ≈ 17
18. Các định lý về giá trị trung bình Định lý Rolle Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f(a) = f(b) thì c (a, b): f0(c) = 0 ∃ ∈ Định lý Lagrange - Định lý giá trị trung bình Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) thì f(b) f(a) c (a, b): f0(c) = − , a , b ∃ ∈ b a − Định lý Cauchy Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g0(x) , 0, x (a, b) thì ∀ ∈ f(b) f(a) f0(c) c (a, b): − = ∃ ∈ g(b) g(a) g (c) − 0 18
19. Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor Định lý (Công thức khai triển Taylor tại x0) Giả f(x) xác định trong [a, b] và f(x) có đạo hàm cấp n + 1 trên (a, b). Khi đó, với mọi x0 (a; b) thì ta có thể khai triển f(x) dưới dạng sau: ∈ Xn f(k) (x ) f (x) = 0 (x x )k + R (x; x ) k! 0 n 0 k=0 − Rn(x; x0) được gọi là phần dư bậc n của khai triển Taylor Lưu ý. 1) Phần dư dạng Peano (khi không quan tâm đến sai số) n Rn(x; x0) = 0((x x0) ) − 2) Phần dư dạng Lagrange (khi cần đánh giá sai số) (n+1) f (c) n+1 Rn(x; x0) = (x x0) với c nằm giữa x và x0. (n + 1)! − 19
20. Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor Khai triển Taylor của hàm số tại x0 = 0 được gọi là khai triển Maclaurin. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano: Xn f(k) (0) f (x) = xk + 0(xn). k! k=0 Khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange: Xn f(k) (0) f(n+1) (c) f (x) = xk + xn+1 k! (n + 1)! k=0 Ví dụ Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = ex. x x (n)(x) x (n) Giải. Ta có f0(x) = e , f00(x) = e , , f = e = f (0) = 1, n 0 . Khi ⇒ ∀ ≥ đó,với θ (0, 1) ∈ (n) (n+1) f0(0) f00(0) f (0) f (c) f(x) = 1 + x + x2 + + xn + xn+1 1! 2! 20 n! (n + 1)! x x2 xn eθxxn+1 = 1 + + + + + 1! 2! n! (n + 1)!
21. Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor x2 xn eθxxn+1 hay ex = 1 + x + + + + 2! n! (n + 1)! Ví dụ Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = sin x.  π Giải. Ta có f(n)(x) = sin x + n 2 (  π 0 nếu n = 2k = f(n)(0) = sin n = ⇒ 2 ( 1)k nếu n = 2k + 1 − Khi đó,với θ (0, 1), ta có khai triển Maclaurin ∈ k k+1 x3 x5 x7 ( 1) x2k+1 ( 1) cos θx sin x = x + + + − + − x2k+3 − 3! 5! − 7! (2k + 1)! (2k + 3)! 21
22. Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp x2 x3 xn 1)e x = 1 + x + + + + + 0(xn) 2! 3! ··· n! 2 3 n x x n 1 x n+1 2) ln(1 + x) = x + + ( 1) − + 0(x ) − 2 3 − · · · − n x3 x5 x2n+1 3) sinx = x + + ( 1)n + 0(x2n+1) − 3! 5! − · · · − (2n + 1)! x2 x4 x2n 4) cosx = 1 + + ( 1)n + 0(x2n+2) − 2! 4! − · · · − (2n)! α (α 1) (α (n 1)) 5) (1 + x)α = 1 + αx + + − ··· − − xn + 0(xn) ··· n! 22
23. Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital 0 Khử dạng vô định và ∞ 0 ∞ (Quy tắc L’Hospital) Cho các hàm số f(x) và g(x) khả vi trong lân cận của điểm x0 và g0(x0) , 0. Nếu: f(x) 0 i) Giới hạn lim có dạng vô định hoặc ∞. x x0 g(x) 0 → ∞ f (x) ii) Giới hạn lim 0 tồn tại x x0 g (x) → 0 f(x) f (x) thì lim = lim 0 . x x0 g(x) x x0 g (x) → → 0 23
24. Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital Ví dụ Tính giới hạn của hàm số sau x x e e− 2 sin x lim − − x 0 x sin x → − Giải. Ta có x x x x x x e e− 2 sin x e + e− 2 cos x e e− + 2 sin x lim − − = lim − = lim − x 0 x sin x x 0 1 cos x x 0 sin x → → → − ex + e−x + 2 cos x = lim − = 4 x 0 cos x → Ví dụ Tính giới hạn của hàm số sau x sin x lim − x 0 x3 → Giải. Ta có x sin x 1 cos x sin x cos x 1 lim − = lim − = lim = lim = x 0 x3 x 0 3x2 24 x 0 6x x 0 6 6 → → → →
25. Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital 0 Khử dạng vô định 0. và : dùng phép biến đổi đưa về dạng hoặc ∞. ∞ ∞ − ∞ 0 ∞ Ví dụ Tính giới hạn lim xα ln x ; α > 0 x 0+ → Ví dụ  1  Tính giới hạn lim cot2 x x 0 x2 → − Giải. Ta có  1  sin2 x x2 cos2 x lim cot2 x = lim − x 0 x2 x 0 2 2 → − → x sin x (sin x + x cos x) (sin x x cos x) = lim . − x 0 x x3 → sin x x cos x = 2 lim − x 0 x3 → cos x cos x + x sin x sin x 2 = 2 lim − = 2 lim = x 0 3x2 x 0 3x 3 → → 25
26. Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital 0 0 Khử dạng vô định 0 ; 1∞; ∞ g(x) 0 0 g(x) k Nếu lim f(x) có dạng 0 , 1∞, và lim g(x) ln f(x) = k thì lim f(x) = e . x a x a x a → ∞ → → g(x) Đối với dạng 1∞: Nếu lim f(x) có dạng 1∞ và lim g(x) (f(x) 1) = k thì x a x a → → − lim f(x)g(x) = ek. x a → Ví dụ Tính giới hạn a) lim (sin x)x2 x 0+ → 2 b) lim (2x 1) x 1 x 1 − − → 2 c) lim (cot x) ln x x 0+ → 26
27. Ứng dụng của đạo hàm Sự biến thiên của hàm số Định lý (Điều kiện cần) Nếu hàm số f(x) không giảm trên (a; b) (không tăng trên (a; b)) và f(x) khả vi thì f0(x) 0 (f0(x) 0). ≥ ≤ Định lý (Điều kiện đủ) Cho hàm số f(x) khả vi trong khoảng (a; b). Nếu tại mọi x (a; b) mà đạo hàm: ∈ f0(x) > 0 thì f(x) tăng trong (a; b) f0(x) < 0 thì f(x) giảm trong (a; b) f0(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trong (a; b) 27
28. Ứng dụng của đạo hàm Cực trị của hàm số Định lý (Định lí Fermat - Điều kiện cần của cực trị) Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu f(x) đạt cực trị tại x0 (a; b) và có đạo hàm tại x0 thì f0(x0) = 0. ∈ Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất) Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số f(x) và hàm số có đạo hàm trong khoảng (x0 δ, x0), (x0, x0 + δ) với δ > 0. Khi đó: − i) Nếu đạo hàm f0(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) khi qua x0 thì f(x) đạt cực đại tại x0. ii) Nếu đạo hàm f0(x) đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) khi qua x0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. iii) Nếu đạo hàm f0(x) không đổi dấu khi qua x0 thì x0 không là điểm cực trị của f(x). 28
29. Ứng dụng của đạo hàm Cực trị của hàm số Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp cao) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp n(n 2) trong một khoảng chứa (n 1) (n) ≥ x0 và f0(x0) = f00(x0) = = f − (x0) = 0; f (x0) , 0. Khi đó, i) Nếu n là số chẵn thì (n) x0 là điểm cực đại nếu f (x0) 0. ii) Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị của x0. Trường hợp n = 2. Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp 2: ( f0(x0) = 0 x0 là điểm cực đại của f(x). f00(x0) 0 ⇒ 29
30. Ứng dụng của đạo hàm Cực trị của hàm số Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số: x2 2x + 1 a)y = − x2 + 1 b)y = (x 2) √3 x − Ví dụ Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a)y = x3 3x2 + 4 trên [ 1; 4] − − b)y = x2.lnx trên [1; e] 30
31. Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Định nghĩa Cho hàm số y = f(x). Giá trị biên tế của y theo x tại x0, kí hiệu là Mxy(x0), là lượng thay đổi tuyệt đối của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x thay đổi 1 đơn vị. ∆y = f(x0 + ∆x) f(x0) f0(x0)∆x − ≈ khi ∆x rất nhỏ, ∆y chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của y, ∆x chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của x. Khi ∆x rất nhỏ (∆x 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là → Mxy(x0) f0(x0) ≈ 31
32. Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu là MQ, là đại lượng đo sự thay đổi của sản lượng khi lao động hay vốn tăng thêm 1 đơn vị. Ví dụ: Hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = f(L) = 5 √L. Tìm MQ khi L = 100 , 5 5 MQ = (Q)L = MQ(100) = = 0, 25 2 √L ⇒ 2 √100 Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu là MC(Q), là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị. Ví dụ: Hàm chi phí sản xuất của một sản phẩm là TC = 0, 0001Q3 0, 02Q2 + 5Q + 100. Tìm MC khi Q = 50. − MC = (TC) , = 0, 0003Q 0, 04Q + 5 Q − MC = 3, 75 32
33. Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu là MR, là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q = 1000 14P. Tìm MR khi P = 30 và P = 40. Hàm doanh thu: − TR = PQ = P(1000 14P) = 1000P 14P2. MR = (TR) , = 1000− 28P MR(30−) = 160; MR(40) = 120 P − ⇒ − Hàm lợi nhuận: π = TR TC = PQ (FC + VC). Lợi nhuận biên là đại lượng− đo sự thay− đổi của lợi nhuận khi giá tăng thêm 1 đơn vị hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 2Q. − - Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200. Tìm Mπ khi sản lượng Q = 150. Giải. Ta có: TR = PQ = (600 2Q)Q = 600Q 2Q2. Hàm lợi nhuận: − − π = TR TC = 0, 2Q2 + 572Q 200 − − − Mπ = 0, 4Q + 572 Mπ(150) = 512 − ⇒ 33
34. Ứng dụng trong kinh tế Độ co dãn (Elasticity) Định nghĩa Cho hàm số y = f(x). Hệ số co dãn của y theo x được kí hiệu là εyx, là ∆y/y εyx = ∆x/x trong đó, ∆y/y chỉ lượng thay đổi tương đối của y, ∆x/x chỉ lượng thay đổi tương đối của x. Ý nghĩa: Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) của y khi x thay đổi 1%. Khi ∆x rất nhỏ (∆x 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là → dy/y x εyx = f0(x) ≈ dx/x y 34
35. Ứng dụng trong kinh tế Độ co dãn (Elasticity) Độ co dãn của cầu theo giá, kí hiệu là ED, là đại lượng đo sự thay đổi tương đối (%) của lượng cầu khi giá tăng 1%. % lượng thay đổi của lượng cầu ∆QD/QD ∆QD P ED = = = . % lượng thay đổi của giá ∆P/P ∆P QD P ED f0(P). với QD = f(P) ≈ QD Trong trường hợp hàm cầu, QD = f(P) = aP + b với a 0, thì P ED = a QD 2 Ví dụ: Hàm cầu của một sản phẩm là QD = f(P) = 30 4P P . P − −P Hệ số co dãn của cầu theo giá là ED = f0(P) = ( 4 2P) . QD − − QD 3 Tại mức giá P = 3, ta có: ED = ( 4 6) = 3, 33 − − 9 − Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 3, nếu tăng giá lên 1% thì lượng cầu giảm 3, 33%. 35
36. Ứng dụng trong kinh tế Độ co dãn (Elasticity) Độ co dãn của cung theo giá, kí hiệu là ES, là đại lượng đo sự thay đổi tương đối (%) của lượng cung khi giá tăng 1%. % lượng thay đổi của lượng cung ∆QS/QS ∆QS P ES = = = . % lượng thay đổi của giá ∆P/P ∆P QS P ES f0(P). với QS = f(P) ≈ QS Trong trường hợp hàm cầu, QS = f(P) = cP + d với c > 0, d > 0, thì P ES = c QS Ví dụ: Hàm cung của một sản phẩm là QS = f(P) = 100P 5. P 100P − Hệ số co dãn của cầu theo giá là ED = f0(P) = . QS 100P 5 100.0, 9 − Tại mức giá P = 0, 9, ta có: ED = = 1, 06 100.0, 9 5 Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 0, 9,− nếu tăng giá lên 1% thì lượng cung tăng 1, 06%. 36
37. Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế Các bài toán trong kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa một hàm mục tiêu y = f(x), tức là chọn x để y đạt giá trị lớn nhất hoặc đặt giá trị nhỏ nhất. Lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận π = TR TC đạt giá trị cực đại. − Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 2Q. − - Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200. a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu? b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi ấy lợi nhuận là bao nhiêu? Giải. a) Ta có: TR = PQ = (600 2Q)Q = 600Q 2Q2 − − Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 Hàm lợi nhuận: π = TR TC = 0, 2Q2 + 572Q 200 − − − π tối đa MR = MC 300 P = 0, 4Q + 28 Q = 130. ⇔ ⇔ − ⇔ Khi đó, giá bán P = 600 2.130 = 340; π = 36.980. − 37
38. Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế b) Ta có: TR = PQ = (600 2Q)Q = 600Q 2Q2 − − Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 + 22Q = 0, 2Q2 + 50Q + 200 Hàm lợi nhuận: π = TR TC = 0, 2Q2 + 594Q 200 + 22Q − − − π tối đa MR = MC 300 P = 0, 4Q + 50 Q = 125. ⇔ ⇔ − ⇔ Khi đó, giá bán P = 600 2.125 = 350; π = 34.175. − Nhận xét: Khi mỗi sản phẩm phải đóng thuế 22 đơn vị tiền tệ, thì giá tăng từ 340 đến 350 (tăng 3%), tức là người tiêu dùng phải chịu 10 còn nhà sản xuất chịu 12 và lợi nhuận giảm từ 36.980 xuống 34.175 (giảm 7, 6%) (Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất) Giá sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là QD = D(P), hàm tổng chi phí là C = C(Q). Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại. Ví dụ: Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa với 1 3 2 QD = 656 P và hàm chi phí C(Q) = Q 77Q + 1000Q + 100. Tìm mức − 2 − sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất. 38