Toán học - Bài 2: Tích phân đường loại 2 - Cách tính

Nội dung text: Toán học - Bài 2: Tích phân đường loại 2 - Cách tính

1. §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung AB trong mp Oxy Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, An=B, Ak(xk,yk) Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 lấy 1 điểm Mk bất kỳ, đặt Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk là độ dài cung Lập tổng An B Mk Δyk A1 Ak Ak+1 A 0A Δxk
2. §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Cho max Δlk → 0, nếu Sn có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc cách chia cung AB và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tp đường loại 2 của các hàm P(x,y) và Q(x,y) dọc cung AB và kí hiệu là Điều kiện tồn tại: Nếu các hàm P, Q liên tục trong miền mở chứa cung AB trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P, Q dọc cung AB
3. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Tính chất : Tích phân đường loại 2 đổi dấu nếu hướng đi trên cung AB thay đổi Trường hợp đường lấy tp là đường cong kín C, ta quy ước hướng dương trên C là hướng mà khi đi dọc C thì miền giới hạn bởi C nằm về bên trái. Hướng dương Hướng dương Hướng âm là hướng ngược với hướng dương
4. §2: Tích phân đường loại 2– Cách tính Cách tính tích phân đường loại 2 Nếu cung AB có phương trình y=y(x), đi từ A(x1,y(x1)) đến B(x2,y(x2)) thì Nếu cung AB có phương trình tham số x=x(t), y=y(t) đi từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì Nếu AB là đường cong không gian, ta có cách tính tương tự khi có pt tham số của đường cong
5. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 1: Tính tích phân I1 đi từ A(0,0) đến B(1,1) của 2 hàm P=x2 và Q=xy theo các đường 1.Đường thẳng 2.Parabol y=x2 3.Đường tròn x2+y2=2x 1. AB là đoạn thẳng y=x, x từ 0 đến 1 1 1
6. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính 2. AB là phần parabol y=x2 với x 1 từ 0 đến 1, y’=2x 1 3. AB là phần đường tròn x2+y2=2x Ta viết pt tham số của AB bằng cách viết lại pt (x-1)2+y2=1 và đặt x=1+cost thì y=sint với t đi từ π π đến /2
7. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 2: Tính tp đường loại 2 của 2 hàm P=x2+2y và Q=y2 trên đường cong C : y=1-|1-x| với x đi từ 0 đến 2 Ta viết lại pt đường cong C: 1 Vậy : 1 2
8. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 3: Tính với C là giao tuyến của 2 mặt y=x2 và x=z đi từ O(0,0,0) đến A(1,1,1) Ta viết pt tham số của C bằng cách đặt x=t thì ta được : y=t2, z=t, t đi từ 0 đến 1 Vậy :
9. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green CÔNG THỨC GREEN: Mối liên hệ giữa tích phân kép và tích phân đường loại 2 Định lý Green : Cho D là miền đóng, bị chặn trong mp Oxy với biên C trơn từng khúc. Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa D. Khi ấy ta có công thức Green Trong đó, tp kép lấy dấu “+” nếu hướng đi trên đường cong kín C là hướng dương và dấu “-” nếu ngược lại
10. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Chu tuyến kín C có thể bao gồm nhiều chu tuyến C1, C2, Miền D được gọi là miền đơn liên nếu mỗi chu tuyến kín đó có thể co vào 1 điểm thuộc D, khi đó trong D không có “lỗ thủng” .P1 C3 C1 .P2 D C2
11. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 4: Cho Với C chu tuyến dương của hình tròn (x -1)2+(y+1)2=4. Tính tp trên bằng 2 cách: trực tiếp và dùng công thức Green 1.Tính trực tiếp: Ta tính bằng cách viết pt tham số đường tròn đi ngược chiều kim đồng hồ x=1+2cost, y=-1+2sint, t đi từ 0 đến 2π Suy ra :
12. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green =0 2. Dùng CT Green với C là biên dương của miền D: (x-1)2+(y+1)2≤4 và P=4x-2y, Q=-(2x+3y) tức là Q’x-P’y = -2-(-2) = 0 Vậy: =0
13. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 6: Tính Với C là chu tuyến ΔABC, A(2,1), B(6,1), C(4,3) ngược chiều kim đồng hồ bằng 2 cách : Trực tiếp và dùng CT Green 1. Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số 3 cạnh Pt AB đi qua A(2,1) và vecto chỉ phương C x=2+4t, y=1, t từ 0 đến 1 pt BC: x=6-2t, y=1+2t, t từ 0 đến 1 pt CA: x=4-2t, y=3-2t, t từ 0 đến 1 A B
14. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Vậy:
15. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2. Dùng CT Green: Miền lấy tp kép D: ΔABC, dấu tp kép: +, hàm dưới dấu tp kép : Q’x-P’y=2x-2y Vậy: C A B
16. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 6: Tính Với C là phần đường tròn x2+y2=2y, x≥0, đi từ (0,2) đến (0,0) Không thể tích trực tiếp tích phân này. Ta sẽ tính bằng cách áp dụng CT Green. Tuy nhiên C là đường cong không kín, nên ta phải “bù” thêm đường cong đi từ (0,0) đến (2,0) để được đường cong kín.
17. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Đường cong bù thêm còn phải được chọn sao cho việc tính tp đường loại 2 của 2 hàm đã cho trên đó là dễ nhất tức là ta sẽ chọn đt song song với các trục tọa độ Với ví dụ này, ta chọn C1 là phần đt x=0 từ (0,0) đến (2,0) Như vậy, đường cong kín CUC1 là biên âm của miền D: x2+y2≤2y, x≥0 Áp dụng CT Green, ta được :
18. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
19. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 7: Cho 2 hàm Tính với C là chu tuyến kín, dương 1.Của hình vuông |x|+|y|=1 2.Của hình tròn x2+y2=1 3.Không bao quanh gốc tọa độ Nhận xét : Ta có Q’x=P’y và 2 hàm P, Q đều không xác định tại gốc tạo độ O(0,0) tức là nếu đường cong C bất kỳ bao kín miền D chứa O thì ta sẽ không áp dụng được CT Green
20. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 1. Hình vuông |x|+|y|=1 chứa O. Để áp dụng CT Green, ta sẽ “khoét” đi phần chứa O. Cụ thể, ta gọi C1 là đường tròn x2+y2=r2, với r đủ nhỏ lấy cùng chiều kim đồng hồ Áp dụng CT Green trên CUC1 là biên dương của miền D: |x|+|y|≤1, x2+y2≥r2, ta được
21. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Đặt x=rcost, y=rsint ta được I7 = 2π
22. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2. C là chu tuyến dương của đường tròn x2+y2=1 nên ta thay vào 2 hàm P, Q để được Ta áp dụng được CT Green để được I7 = 2π
23. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Chú ý: Cách làm ở câu 1. không chỉ đúng cho khi C là chu tuyến dương của hình vuông mà còn được làm tương tự khi C là đường cong bất kỳ bao gốc tọa độ. Tức là với mọi chu tuyến dương bao kín miền D chứa gốc tọa độ ta luôn có I7 = 2π 3. Do C không bao quanh gốc tọa độ nên ta áp dụng được CT Green. Vì Q’x=P’y nên ta có I7=0
24. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở, đơn liên D. 4 mệnh đề sau tương đương 1.Q’x = P’y 2. không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc nối từ A đến B trong D 3. Với mọi chu tuyến C kín, trơn từng khúc trong D 4. Tồn tại hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy
25. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Cách làm: 1. Thông thường, ta sẽ kiểm tra điều kiện 1. hoặc 4. (nếu là hàm đã cho sẵn) 2. Nếu điều kiện 4. thỏa, ta sẽ có cách 1 để tính tp: Tìm hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy tức là ta đi giải hệ U’x=P, U’y=Q và thay vào tích phân (A là điểm đầu, B là điểm cuối)
26. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Cách 2: Kiểm tra điều kiện 1. đúng thì ta sẽ chọn đường nối từ A đến B nằm hoàn toàn trong D là đường gấp khúc theo các đt song song với các trục tọa độ Khi đó : Hoặc B A
27. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ví dụ 8: Tính Cách 1: Tìm hàm U sao cho U’x=y, U’y=x Ta được U(x,y)=xy. Nên I8 = 4.2-2.1 = 6 Cách 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, vì P=y, Q=x
28. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ví dụ 9: Tính các tích phân theo đường cong không cắt trục Oy 9. Tìm hàm U sao cho : Ta được
29. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi 10. Ta tìm hàm U(x,y,z) sao cho dU=Pdx+Qdy+Rdz 2 2 Suy ra U’x=2xy, U’y=x -z , U’z=-2yz Đạo hàm theo x của U là 2xy thì nguyên hàm chắc chắn có số hạng x2y Đạo hàm theo y của U có x2-z2 thì chắc chắn nguyên hàm có số hạng x2y-yz2 Đạo hàm theo z của U là -2yz thì chắc chắn nguyên hàm có số hạng –yz2 Tổng hợp từ 3 kết quả trên ta được hàm U(x,y,z)=x2y-yz2+C Vậy I10 = U(1,2,3)-U(0,0,0) = (1.2-2.9+C)-(C) = -16
30. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ví dụ 10: Tìm hàm h(y) thỏa h(1)=1 sao cho tp Là tp không phụ thuộc đường đi. Sau đó tính tp với A(1,1), B(3,2) Để I11 là tp không phụ thuộc đường đi ta phải có 2 Q’x=P’y ↔ [(2xy+3).h(y)]’x=[-y .h(y)]’y ↔ 2y.h = - 2y.h – y2.h’ ↔ 4y.h = -y2.h’ Như vậy, ta được pt vi phân cấp 1 với hàm là h, biến là y
31. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ta sẽ viết lại pt trên thành pt tách biến ↔ -4lny+lnC=lnh Thay điều kiện h(1)=1 vào, ta được C=1. Khi đó, ta có tp không phụ thuộc đường đi Tìm hàm U(x,y) sao cho U’y=Q, U’x=P
32. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Từ đh của U theo x, suy ra U có chứa Thay vào pt dưới, ta suy ra Vậy