Toán cao cấp D (bài giảng tóm tắt)

187 trang vanle 3030

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp D (bài giảng tóm tắt)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_cao_cap_d_bai_giang_tom_tat.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp D (bài giảng tóm tắt)

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP D (Baøi Giaûng Toùm Taét) Löu haønh noäi boä Y Ñaø Laït 2008 Z
Mục lục I. §¹i sè tuyÕn tÝnh 1. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 1 1.1 TËp hîp-TËp con- TËp hîp b»ng nhau 1 1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp 1 2. ¸nh x¹ 2 2.1 C¸c ®Þnh nghĩa 2 2.2 ¶nh vµ nghÞch ¶nh 3 2.3 §¬n ¸nh- Toµn ¸nh- Song ¸nh 4 2.4 C¸c phÐp to¸n trªn ¸nh x¹ 4 3. Quan hÖ trªn tËp hîp 6 3.1 Quan hÖ hai ng«i 6 3.2 Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng 6 3.3 Quan hÖ thø tù 7 4. Ma trËn 8 4.1 §Þnh nghÜa ma trËn 8 4.2 C¸c ma trËn ®Æc biÖt 9 4.3 C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn 10 4.4 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn ma trËn 13 5. §Þnh thøc 14 5.1 Ho¸n vÞ 14 5.2 NghÞch thÕ-Ký sè 14 5.3 §Þnh nghÜa ®Þnh thøc 16 5.4 TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc 17 5.5 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc 19 5.6 ¸p dông ®Þnh thøc tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o 23 5.7 H¹ng cña ma trËn 24 5.8 HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 25 II. Kh«ng gian vector 1. Kh«ng gian vector 31 1.1 §Þnh nghÜa vµ vÝ dô 31 1.2 Kh«ng gian vector con 33 1.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp 33 1.4 C¬ së- Sè chiÒu- Täa ®é 34 2. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 38 2.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 38 2.2 ¶nh vµ nh©n cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 40 2.3 §¼ng cÊu tuyÕn tÝnh 42
2.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn 42 3. PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa 45 3.1 §æi c¬ së - C«ng thøc ®æi täa ®é 45 3.2 Ma trËn ®ång d¹ng - ChÐo hãa 46 3.3 Gi¸ trÞ riªng - Vector riªng 46 3.4 Tiªu chuÈn chÐo hãa 47 3.5 ThuËt tãan chÐo hãa 48 3.6 ThuËt tãan chÐo hãa ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 48 4. D¹ng song tuyÕn tÝnh - D¹ng toµn ph−¬ng 48 4.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng 48 4.2 Ma trËn biÓu diÔn d¹ng song tuyÕn tÝnh 49 4.3 D¹ng toµn ph−¬ng 50 4.4 D¹ng chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph−¬ng 51 4.5 D¹ng x¸c ®Þnh 53 III. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm mét biÕn thùc 1. Sè thùc 55 1.1 Sè h÷u tØ 55 1.2 Sè thùc 56 1.3 C¸c phÐp tãan sè häc 57 1.4 CËn trªn và cËn d−íi 57 2. D·y sè thùc 58 2.1 Kh¸i niÖm d·y sè 58 2.2 D·y bÞ chÆn, d·y ®¬n ®iÖu 58 2.3 Giíi h¹n d·y sè 59 2.4 C¸c tÝnh chÊt vµ phÐp to¸n 60 2.5 C¸c ®iÒu kiÖn héi tô 61 2.6 Sè e vµ logarithm tù nhiªn 62 3. Hµm mét biÕn thùc 63 3.1 Kh¸i niÖm hµm sè 63 3.2 C¸c phÐp to¸n 63 3.3 C¸c lo¹i hµm sè víi tÝnh chÊt ®Æc biÖt 64 3.4 Hµm hîp, hµm ng−îc 65 3.5 C¸c hµm s¬ cÊp 66 4. Giíi h¹n hµm sè 67 4.1 Kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè 67 4.2 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh giíi h¹n 68 4.3 Giíi h¹n mét phÝa 71 4.4 Giíi h¹n v« cïng, giíi h¹n ë v« cïng 71 4.5 V« cïng bÐ, v« cïng lín 72 5. Hµm liªn tôc 73
5.1 Kh¸i niÖm hµm liªn tôc 74 5.2 Liªn tôc mét phÝa - §iÓm gi¸n ®o¹n 74 5.3 C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc trên đoạn 75 6. §¹o hµm 76 6.1 Kh¸i niÖm ®¹o hµm 76 6.2 ý nghÜa h×nh häc vµ c¬ häc cña ®¹o hµm 78 6.3 C¸c định lý vµ qui t¾c tÝnh ®¹o hµm 78 7. Vi ph©n 80 7.1 §Þnh nghĩa 80 7.2 øng dông cña vi ph©n 80 7.3 C¸c qui t¾c tÝnh vi ph©n 81 7.4 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao 81 8. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n 82 8.1 C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh 82 8.2 Khai triÓn Taylor 86 9. øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t hµm sè 87 9.1 TÝnh tăng giảm - Cùc trÞ 87 9.2 TÝnh låi lõm - ®iÓm uèn 89 IV. PhÐp tÝnh tÝch ph©n hµm mét biÕn 1. Nguyªn hµm - TÝch ph©n bÊt ®Þnh 91 1.1 Nguyªn hµm 91 1.2 B¶ng các tÝch ph©n c¸c hµm s¬ cÊp 92 1.3 C¸c tÝnh chÊt 93 1.4 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n 93 2. TÝch ph©n mét sè líp hµm th«ng dông 94 2.1 TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ 94 2.2 TÝch ph©n c¸c hµm v« tØ 97 2.3 TÝch ph©n c¸c hµm l−îng gi¸c 99 3. TÝch ph©n x¸c ®Þnh 100 3.1 Bµi to¸n diÖn tÝch h×nh thang cong 100 3.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh 100 3.3 C¸c líp hµm kh¶ tÝch 101 3.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh 102 3.5 C«ng thøc Newton-Leibnitz 103 3.6 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh 104 3.7 øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh 105 4. TÝch ph©n suy réng 107 4.1 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 107
4.2 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 cña các hµm kh«ng ©m 109 4.3 Héi tô tuyÖt ®èi 110 4.4 TÝch ph©n suy réng lo¹i 2 112 V. Lý thuyÕt chuçi 1. Chuçi sè 115 1.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô 115 1.2 Tiªu chuÈn héi tô 117 1.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi 117 2. Chuçi d−¬ng 118 2.1 Chuçi d−¬ng 118 2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d−¬ng 119 3. Chuçi víi dÊu bÊt kú 122 3.1 Chuçi ®an dÊu 122 3.2 Héi tô tuyÖt ®èi 122 4. Chuçi hµm 123 4.1 Kh¸i niÖm chuçi hµm - Sù héi tô vµ héi tô ®Òu 123 4.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu 124 5. Chuçi lü thõa 126 5.1 Kh¸i niÖm chuçi luü thõa, b¸n kÝnh héi tô 126 5.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa 127 5.3 Khai triÓn hµm thµnh chuçi lòy thõa 129 5.4 Khai triÓn thµnh chuçi lòy thõa mét sè hµm s¬ cÊp 129 VI. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm nhiÒu biÕn n 1. Kh«ng gian R 131 n 1.1 Kh«ng gian R 131 n 1.2 TÝch v« h−íng - ChuÈn - Kho¶ng c¸ch trong R 132 1.3 D·y trong Rn 132 n 1.4 C¸c tËp hîp trong R 134 2. Hµm nhiÒu biÕn 136 2.1 Hµm nhiÒu biÕn 136 2.2 Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn 137 2.3 TÝnh liªn tôc 141 3. §¹o hµm riªng 142 3.1 §¹o hµm riªng 142 3.2 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh ®¹o hµm riªng 143 4. §¹o hµm riªng cÊp cao - Céng thøc Taylor 144 4.1 §¹o hµm riªng cÊp cao 144
4.2 C«ng thøc Taylor 147 5. Cùc trÞ hµm nhiÒu biÕn 148 5.1 Cùc trÞ 148 5.2 Cùc trÞ víi ®iÒu kiÖn 151 VII. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n 1. Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n 155 1.1 Vµi m« h×nh dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh vi ph©n 155 1.2 C¸c kh¸i niÖm 156 1.3 Bµi to¸n Cauchy 157 2. Gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 158 2.1 Ph−¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly 158 2.2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt 160 2.3 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn 162 2.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 165 2.5 Ph−¬ng tr×nh Bernoully 167 2.6 Ph−¬ng tr×nh Clairaut 168 2.7 Ph−¬ng tr×nh Lagrange 169 3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 170 3.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 170 3.2 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 171 3.3 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt 173 3.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng 175 4. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n 178 4.1 C¸c kh¸i niÖm 178 4.2 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 hÖ sè h»ng 179
1 I. §¹i sè tuyÕn tÝnh 1 Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 1.1 TËp hîp - TËp con - TËp b»ng nhau TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thñy. TËp hîp ®−îc m« t¶ nh− mét toµn thÓ nµo ®ã bao gåm c¸c ®èi t−îng cã cïng mét dÊu hiÖu hay mét tÝnh chÊt nhÊt ®Þnh. C¸c ®èi t−îng lËp nªn tËp hîp gäi lµ phÇn tö. Cã hai c¸ch ®Ó x¸c ®Þnh mét tËp hîp. Mét lµ liÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã A = {a1,a2, ,an}, hai lµ m« t¶ ®Æc tÝnh cña c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp A = {a | a cã tÝnh chÊt E}. NÕu a lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a ∈ A. NÕu a kh«ng lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a/∈ A. TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu lµ ∅. NÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp A ®Òu lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X, th× ta nãi A lµ tËp con cña X, ký hiÖu A ⊂ X. Râ rµng ta cã ∅⊂X víi mäi tËp hîp X. C¸c tËp con cña X lËp thµnh mét tËp hîp , ký hiÖu 2X , vµ gäi lµ tËp hîp c¸c tËp con cña X. Hai tËp hîp A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B, nÕu A ⊆ B vµ B ⊆ A. NÕu A ⊆ B vµ A =6 B, th× ta nãi A lµ tËp con thùc sù cu¶ B, khi ®ã ta viÕt A ( B. 1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp §Þnh nghÜa 1. Hîp cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A ∪ B, lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B. Giao cña hai tËp hîp A vµ B, ký hiÖu A ∩ B, lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B. NÕu A ∩ B = ∅, th× ta nãi A vµ B rêi nhau.
2 HiÖu cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A \ B, lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc A nh−ng kh«ng thuéc B. NÕu A lµ tËp con cña X th× hiÖu X \ A gäi lµ phÇn bï cña A trong X. TÝch trùc tiÕp hay tÝch Descartes cña hai tËp hîp A vµ B, ký hiÖu A × B,lµ tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (x, y) víi x ∈ A vµ y ∈ B. MÖnh ®Ò 1. Cho A,B,C,X lµ c¸c tËp hîp bÊt kú. Khi ®ã 1) ∅⊂A, A ⊂ A. 2) NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ C, th× A ⊂ C. 3) (A ∩ B) = (B ∩ A), (A ∪ B) = (B ∪ A). 4) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 5) A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 6) Qui t¾c De Morgan X \ (A ∪ B)=(X \ A) ∩ (X \ B),X\ (A ∩ B)=(X \ A) ∪ (X \ B). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®−îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c«ng thøc De Morgan. ThËt vËy ta cã x ∈ X \ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ X vµ x/∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ X vµ (x/∈ A vµ x/∈ B) ⇐⇒ (x ∈ X vµ x/∈ A) vµ (x ∈ X vµ x/∈ B) ⇐⇒ x ∈ (X \ A) vµ x ∈ (X \ B) ⇐⇒ x ∈ (X \ A) ∪ (X \ B). 2 2 ¸nh x¹ 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2. Cho hai tËp hîp X vµ Y . Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét qui t¾c cho t−¬ng øng mçi phÇn tö x ∈ X víi duy nhÊt mét phÇn tö y ∈ Y . PhÇn tö y gäi lµ ¶nh cña x, ký hiÖu lµ f(x),vµx ®−îc gäi lµ t¹o ¶nh cña y. TËp hîp X ®−îc gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh, cßn tËp Y gäi lµ tËp ®Ých hay miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ f. Mét ¸nh x¹ th−êng ®−îc viÕt nh− sau f : X −→ Y x 7−→ y = f(x).
3 Hai ¸nh x¹ f vµ g gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu f = g, nÕu chóng cã cïng tËp nguån X vµ f(x)=g(x) víi mäi x ∈ X. √ VÝ dô. a) T−¬ng øng f : R −→ R, x 7−→ 3 x, lµ mét ¸nh x¹. b) T−¬ng øng IdX : X −→ X, x 7−→ x, lµ mét ¸nh x¹ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn X. c) Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X. Khi ®ã t−¬ng øng f |U :−→ Y x¸c ®Þnh bëi f |U (x)=f(x) víi mäi x ∈ U lµ mét ¸nh x¹, gäi lµ h¹n chÕ cña ¸nh x¹ f lªn bé phËn U. 2.2 ¶nh vµ NghÞch ¶nh §Þnh nghÜa 3. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X, V ⊂ Y lµ c¸c tËp con. Khi ®ã tËp hîp f(U)={f(x) | x ∈ U} gäi lµ ¶nh cña tËp U qua ¸nh x¹ f, vµ tËp hîp f −1(V )={x ∈ X | f(x) ∈ V } gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp V qua ¸nh x¹ f. NÕu V = {y}, th× ta viÕt f −1(y) thay cho f −1({y}). MÖnh ®Ò 2. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ A, B ⊂ X, U, V ⊂ Y . Khi ®ã 1) NÕu A ⊂ B, th× f(A) ⊂ f(B). 2) NÕu U ⊂ V , th× f −1(U) ⊂ f −1(V ). 3) f(A ∪ B)=f(A) ∪ f(B), f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). 4) f −1(U ∪ V )=f −1(U) ∪ f −1(V ), f −1(U ∩ V )=f −1(U) ∩ f −1(V ). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®−îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c¸c c«ng thøc thø hai trong 3) vµ 4). ThËt vËy, ta cã ∀y ∈ f(A ∩ B)=⇒∃x ∈ (A ∩ B):f(x)=y =⇒ (∃x ∈ A vµ ∃x ∈ B):f(x)=y =⇒ (∃x ∈ A : f(x)=y) vµ (∃x ∈ B : f(x)=y) =⇒ y ∈ f(A) vµ y ∈ f(B) =⇒ y ∈ f(A) ∩ f(B). Tõ ®ã suy ra f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). T−¬ng tù, ta cã ∀x ∈ f −1(U ∩ V ) ⇐⇒ f(x) ∈ U ∩ V ⇐⇒ f(x) ∈ U vµ f(x) ∈ V ⇐⇒ x ∈ f −1(U) vµ x ∈ f −1(V ) ⇐⇒ x ∈ f −1(U) ∩ f −1(V ).
4 VËy f −1(A ∩ B)=f −1(A) ∩ f −1(B). 2 NhËn xÐt. §¼ng thøc f(A ∩ B)=f(A) ∩ f(B) nãi chung kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n, víi ¸nh x¹ f : R → [−1, 1] , f(x) = sinx,vµA =[0,π/2], B =[π/4,π]. 2.3 §¬n ¸nh - Toµn ¸nh - Song ¸nh §Þnh nghÜa 4. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y . ¸nh x¹ f gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu víi mäi x1,x2 ∈ X sao cho f(x1)=f(x2), th× suy ra x1 = x2. Nh− vËy, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i kh«ng qu¸ mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f(x). ¸nh x¹ f gäi lµ toµn ¸nh nÕu f(X)=Y , tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i Ýt nhÊt mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f(x). ¸nh x¹ f gäi lµ song ¸nh nÕu f võa ®¬n ¸nh võa toµn ¸nh. Tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i ®óng mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f(x). f : R −→ R x 7−→ x3 VÝ dô. a) ¸nh x¹ , , lµ mét song√ ¸nh. ThËt vËy, víi mçi y ∈ R, ph−¬ng tr×nh y = x3 cã duy nhÊt nghiÖm x = 3 y. b) ¸nh x¹ f : R −→ R, x 7−→ x2, kh«ng ph¶i lµ ®¬n ¸nh, v× víi 1 ∈ R cã hai sè thùc 1, −1, lµ t¹o ¶nh cña 1. 2.4 C¸c phÐp to¸n trªn ¸nh x¹ 2.4.1 Hîp hai ¸nh x¹ §Þnh nghÜa 5. Cho hai ¸nh x¹ f : X → Y vµ g : Y → Z. Hîp cña f vµ g,ký hiÖu g ◦ f, lµ ¸nh x¹ tõ X vµo Z x¸c ®Þnh bëi g ◦ f(x)=g(f(x)). VÝ dô. Víi f : R → R, f(x)=x2 vµ g : R → R, g(x)=x +2, ta cã (g ◦ f)(x)=g(f(x)) = g(x2)=x2 +2, (f ◦ g)(x)=f(g(x)) = f(x +2)=(x +2)2. NhËn xÐt. Nãi chung g ◦ f =6 f ◦ g. MÖnh ®Ò 3. Cho c¸c ¸nh x¹ f : X → Y , f : Y → Z, h: Z → T . Khi ®ã 1) f ◦ IdX = IdY ◦ f = f, 2) h ◦ (g ◦ f)=(h ◦ g) ◦ f. Chøng minh. 1) lµ hiÓn nhiªn. 2) suy ra tõ h ◦ (g ◦ f)(x)=h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))) = (h ◦ g)(f(x)) = (h ◦ g) ◦ f(x). 2
5 2.4.2 ¸nh x¹ ng−îc §Þnh nghÜa 6. ¸nh x¹ f : X −→ Y gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ g : Y −→ X sao cho g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . ¸nh x¹ g khi ®ã gäi lµ ¸nh x¹ ng−îc cu¶ ¸nh x¹ f vµ ký hiÖu g = f −1. NhËn xÐt. ¸nh x¹ ng−îc cña f : X −→ Y nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö f cã hai ¸nh x¹ ng−îc lµ g,g0 : Y −→ X. Khi ®ã ta cã 0 g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . 0 0 0 0 Tõ ®ã suy ra g = g ◦ IdY = g ◦ (f ◦ g )=(g ◦ f) ◦ g = IdX ◦ g = g . MÖnh ®Ò 4. ¸nh x¹ f : X −→ Y kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi f lµ song ¸nh. Khi ®ã f −1 : Y −→ X ®−îc x¸c ®Þnh bëi x = f −1(y) ⇔ y = f(x). Chøng minh. Gi¶ sö f cã ¸nh x¹ ng−îc lµ f −1 : Y −→ X. f lµ ®¬n ¸nh v× víi mäi x, x0 ∈ X: f(x)=f(x0)=⇒ f −1(f(x)) = f −1(f(x0)) =⇒ (f −1 ◦ f)(x)=(f −1 ◦ f)(x0) 0 =⇒ IdX(x)=IdX (x ) =⇒ x = x0. B©y giê, gi¶ sö y lµ mét phÇn tö bÊt kú cu¶ Y . Khi ®ã tån t¹i x = f −1(y) sao cho f(x)=f(f −1(y)) = y. VËy f lµ toµn ¸nh. Suy ra f lµ song ¸nh. Ng−îc l¹i, nÕu f : X −→ Y lµ mét song ¸nh th× víi mçi y ∈ Y cã duy nhÊt x ∈ X sao cho y = f(x). §iÒu nµy cho phÐp ta x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ g : Y → X bëi x = g(y) ⇔ y = f(x). Ta dÔ dµng kiÓm tra r»ng (g ◦ f)=IdX vµ (f ◦ g)=IdY . VËy g lµ ¸nh x¹ ng−îc cu¶ f. 2 VÝ dô. a) ¸nh x¹ f :[−π/2,π/2] −→ [−1, 1], f(x)=sinx, lµ song ¸nh. ¸nh x¹ ng−îc cña f ®−îc ký hiÖu lµ f −1(x)=arcsinx, tøc lµ ta cã y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y. b) Ký hiÖu R>0 lµ tËp c¸c sè thùc d−¬ng. Khi ®ã ¸nh x¹ f : R −→ R>0, f(x)=ex, cã ¸nh x¹ ng−îc lµ f −1(x)=lnx. V× ta cã y =lnx ⇐⇒ x = ey.
6 MÖnh ®Ò 5. Cho f : X → Y , g : Y → Z, lµ c¸c song ¸nh. Khi ®ã f −1 vµ g ◦ f còng lµ song ¸nh vµ ta cã 1) (f −1)−1 = f. 2) (g ◦ f)−1 = f −1 ◦ g−1. Chøng minh. f −1 vµ g ◦ f lµ song ¸nh lµ dÔ dµng kiÓm tra. §¼ng thøc 1) lµ hiÓn nhiªn. §¼ng thøc 2) suy ra tõ −1 −1 −1 −1 −1 (g ◦ f) ◦ (f ◦ g )=g ◦ (f ◦ f ) ◦ g = g ◦ g = IdZ, −1 −1 −1 −1 −1 (f ◦ g ) ◦ (g ◦ f)=f ◦ (g ◦ g) ◦ f = f ◦ f = IdX . 2 3 Quan hÖ trªn mét tËp hîp 3.1 Quan hÖ hai ng«i §Þnh nghÜa 7. Quan hÖ (hai ng«i) trªn tËp X ®−îc ®Þnh nghÜa lµ mét tËp con R cña tÝch trùc tiÕp X × X. NÕu cÆp phÇn tö (x, y) ∈Rth× ta nãi x cã quan hÖ R víi y vµ ký hiÖu lµ xRy. VÝ dô. a) Trªn tËp X bÊt kú ta cã quan hÖ b»ng nhau R = {(x, y) ∈ X × X | x = y} = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X} b) Cho X lµ tËp bÊt kú. Trªn 2X ta cã quan hÖ bao hµm R = {(A, B) ∈ 2X × 2X | A ⊂ B} 3.2 Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng §Þnh nghÜa 8. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng nÕu vµ chØ nÕu nã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X. 2) §èi xøng: NÕu xRy th× yRx. 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ yRz th× xRz. Víi mçi x ∈ X tËp con [x]R := {y ∈ X | yRx} gäi lµ líp t−¬ng ®−¬ng cña x (theo quan hÖ t−¬ng ®−¬ng R). TËp tÊt c¶ c¸c líp t−¬ng ®−¬ng gäi lµ tËp th−¬ng cña X ®èi víi quan hÖ t−¬ng ®−¬ng R, ký hiÖu lµ X/R := {[x]R | x ∈ X}.
7 ¸nh x¹ X −→ X/R cho bëi x 7−→ [x]R lµ mét toµn ¸nh ®−îc gäi lµ toµn cÊu chÝnh t¾c. Ng−êi ta th−êng sö dông dÊu ∼ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X vµ x ∼ y ®äc lµ x t−¬ng ®−¬ng víi y. VÝ dô. a) XÐt ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã quan hÖ R(f)={(x, y) ∈ X × Y | f(x)=f(y)} lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X. §Æc biÖt víi Y = X vµ f = IdX , R(IdX) lµ quan hÖ b»ng nhau trªn tËp X. b) XÐt V lµ tËp hîp c¸c vector h×nh häc. Trªn V cho mét quan hÖ x¸c ®Þnh bëi xRy :⇐⇒ x = y. Khi ®ã R lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng vµ tËp th−¬ng X/R chÝnh lµ tËp c¸c vector tù do. c) Cho n lµ mét sè tù nhiªn. Trªn tËp c¸c sè nguyªn Z x¸c ®Þnh quan hÖ ®ång d− modulo n nh− sau x ≡ y mod n ⇐⇒ x − y chia hÕt cho n. DÔ kiÓm tra r»ng ®©y lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. Líp t−¬ng ®−¬ng cña m lµ tËp con [m]={m + nk | k ∈ Z}. TËp th−ong cña Z ®èi víi quan hÖ ®ång d− modulo n, th−êng ®−îc ký hiÖu lµ Zn hay Z/n, gåm n phÇn tö Z/n = {[0], [1], ,[n − 1]}. 3.3 Quan hÖ thø tù §Þnh nghÜa 9. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu vµ chØ nÕu nã tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X. 2) Ph¶n ®èi xø ng: NÕu xRy vµ yRx th× x = y . 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ yRz th× xRz.
8 Mét tËp hîp X mµ trªn ®ã cã trang bÞ mét quan hÖ thø tù R gäi lµ tËp s¾p thø tù hay tËp ®−îc s¾p. TËp ®−îc s¾p th−êng ®−îc viÕt lµ (X, R). Ng−êi ta th−êng sö dông dÊu ≤ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ thø tù trªn X. Khi ®ã x ≤ y ®−îc ®äc lµ x bÐ h¬n hoÆc b»ng y. NÕu x ≤ y vµ x =6 y th× ta viÕt x<y vµ ®äc lµ x bÐ h¬n y. VÝ dô. a) Quan hÖ bÐ h¬n hoÆc b»ng ≤ th«ng th−êng trªn tËp sè thùc lµ mét quan hÖ thø tù. b) Cho X lµ mét tËp hîp. Quan hÖ bao hµm ⊂ trªn tËp hîp 2X lµ mét quan hÖ thø tù. c) Quan hÖ chia hÕt x | y lµ mét quan hÖ thø tù trªn tËp sè tù nhiªn N. Trong vÝ dô a) hai phÇn tö x, y bÊt kú ta lu«n lu«n so s¸nh ®−îc, tøc lµ lu«n lu«n cã x ≤ y hoÆc y ≤ x. Mét quan hÖ thø tù trªn tËp X =6 ∅ mµ mäi cÆp phÇn tö cña X ®Òu so s¸nh ®−îc gäi lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn. Trong vÝ dô c) kh«ng ph¶i hai phÇn tö nµo còng so s¸nh ®−îc, ch¼ng h¹n 2 vµ 3, nÕu X cã nhiÒu h¬n mét phÇn tö th× ®iÒu nµy còng x¶y ra trong vÝ dô b). Mét quan hÖ thø tù kh«ng toµn phÇn gäi lµ quan hÖ thø tù bé phËn. 4 Ma trËn 4.1 §Þnh nghÜa ma trËn §Þnh nghÜa 10. Mét m × n−ma trËn hay ma trËn cÊp m × n trªn tr−êng sè thùc R lµ mét b¶ng gåm m × n sè aij ∈ R ®−îc s¾p xÕp thµnh m dßng vµ n cét nh− sau  a11 a12 a1n  a a a  21 22 2n  A =(aij)m×n :=  . . .   . . .    am1 am2 amn C¸c sè aij ∈ R gäi lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn A. PhÇn tö aij ®øng ë dßng thø i vµ cét thø j cña ma trËn A. Hai ma trËn A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B, nÕu chóng cã cïng cÊp vµ c¸c phÇn tö cïng vÞ trÝ b»ng nhau. Ta sÏ ký hiÖu tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn cÊp m × n trªn R lµ MatR(m, n).
9 4.2 C¸c ma trËn ®Æc biÖt 4.2.1 Ma trËn kh«ng Ma trËn kh«ng lµ ma trËn mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã ®Òu b»ng 0. Ma trËn kh«ng cÊp m × n ®−îc ký hiÖu lµ Om×n. 4.2.2 Ma trËn vu«ng Ma trËn vu«ng cÊp n lµ ma trËn cÊp n × n. Ta sÏ ký hiÖu tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn k lµ MatR(n). Ma trËn vu«ng A =(aij)n×n cã c¸c phÇn tö a11,a22, ,ann ë trªn mét ®−êng chÐo gäi lµ ®−êng chÐo chÝnh cña A, ®−êng chÐo cßn l¹i gäi lµ ®−êng chÐo phô. 4.2.3 Ma trËn chÐo Ma trËn chÐo cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö ë ngoµi ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0. Ma trËn chÐo cÊp n ®−îc ký hiÖu lµ a11 0 0  0 a 0  22  diag(a11,a22, ,ann)= . . .  ,aij =0, ∀i =6 j.  . . .    00 ann 4.2.4 Ma trËn ®¬n vÞ Ma trËn ®¬n vÞ cÊp n lµ ma trËn chÐo cÊp n mµ mäi phÇn tö ë trªn ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 1. Ma trËn ®¬n vÞ cÊp n ®−îc ký hiÖu lµ 10 0 01 0   In = . . . ,aii =1, ∀i vµ aij =0, ∀i =6 j. . . . 00 1 4.2.5 Ma trËn ®èi xøng Ma trËn ®èi xøng cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö ®èi xøng qua ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng nhau.
10 4.2.6 Ma trËn tam gi¸c Ma trËn tam gi¸c trªn (t.−. d−íi) cÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö ë d−íi (t.−. trªn) ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0. Nh− vËy, ma trËn tam gi¸c trªn cã d¹ng a11 a12 a1n 0 a a  22 2n A =  . . .  ,aij =0, ∀i>j.  . . .    00 ann 4.2.7 Ma trËn bËc thang Ma trËn bËc thang cÊp m × n lµ ma trËn cã tÝnh chÊt sau: NÕu mäi phÇn tö ë trªn dßng i vµ ®øng bªn tr¸i phÇn tö aij ®Òu b»ng 0, th× mäi phÇn tö ë cét j vµ ®øng bªn d−íi phÇn tö aij còng b»ng 0.   |a1j  1   |a2j   2   .   0 .  , (aik =0, ∀k i).    |akj   k      NhËn xÐt. Mét ma trËn vu«ng d¹ng bËc thang lµ ma trËn tam gi¸c trªn. 4.3 C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn 4.3.1 Céng ma trËn §Þnh nghÜa 11. Cho hai ma trËn A =(aij)m×n vµ B =(bij)m×n ∈ MatR(m, n). Tæng cña A vµ B, ký hiÖu A + B, ®−îc x¸c ®Þnh bëi A + B =(aij + bij)m×n. Tõ ®Þnh nghÜa phÐp céng ma trËn ta dÔ dµng kiÓm chøng c¸c tÝnh chÊt sau MÖnh ®Ò 6. Cho A, B, C ∈ MatR(m, n). Khi ®ã 1) A + B = B + A. 2) (A + B)+C = A +(B + C). 3) A + O = O + A = O, trong ®ã O lµ ma trËn kh«ng.
11 4.3.2 Nh©n ma trËn víi mét sè §Þnh nghÜa 12. Cho ma trËn A =(aij)m×n ∈ MatR(m, n) vµ α ∈ R . TÝch cña α víi A, ký hiÖu αA, ®−îc x¸c ®Þnh bëi αA =(αaij)m×n. Tõ ®Þnh nghÜa phÐp nh©n mét sè víi ma trËn suy ra MÖnh ®Ò 7. Cho A, B ∈ MatR(m, n) vµ α, β ∈ R. Khi ®ã 1) α(βA)=(αβ)A. 2) (α + β)A = αA + βA. 3) α(A + B)=αA + αB. 4.3.3 Nh©n hai ma trËn §Þnh nghÜa 13. Cho ma trËn A =(aij)m×n ∈ MatR(m, n) vµ B =(aij)n×p ∈ MatR(n, p). TÝch cña A víi B, ký hiÖu AB, ®−îc x¸c ®Þnh bëi AB =(cij)m×p ∈ MatR(m, p), trong ®ã, n cij = X aikbkj. k=1 NhËn xÐt. PhÇn tö cij cña ma trËn AB nhËn ®−îc b»ng c¸ch lÊy tæng cña c¸c tÝch tõng phÇn tö trªn dßng thø i cña ma trËn A víi phÇn tö t−¬ng øng ë cét thø j cña ma trËn B. S¬ ®å tÝnh phÇn tö cij nh− sau ®©y : b1j : b 2j ai1 ai2 ain . ai1b1j + ···+ ainbnj = cij H . = HHj bnj NhËn xÐt. PhÐp nh©n AB chØ ®−îc ®Þnh nghÜa cho tr−êng hîp sè cét cña ma trËn A b»ng sè dßng cña ma trËn B.
12 MÖnh ®Ò 8. 1) (AB)C = A(BC), víi mäi A ∈ MatR(m, n), B ∈ MatR(n, p), C ∈ MatR(p, q). 2) (A + B)C = AC + BC, víi mäi A, B ∈ MatR(m, n); C ∈ MatR(n, p). 3) A(B + C)=AB + AC, víi mäi A ∈ MatR(m, n); B,C ∈ MatR(n, p). 4) ImA = A, AIn = A, víi mäi A ∈ MatR(m, n). Chøng minh. 1) Gi¶ sö A =(aij) B =(bij), C =(cij). Khi ®ã n AB =(αij) víi αij = X aikbkj, k=1 p n p n (AB)C =(dij ) víi dij = X(X aikbkh)chj )=X X aikbkhchj . h=1 k=1 h=1 k=1 T−¬ng tù n BC =(βij) víi βij = X bihchj h=1 n p n p 0 0 A(BC)=(dij ) víi dij = X(aik X bkhchj )=X X aikbkhchj . k=1 h=1 k=1 h=1 0 Tõ ®ã dij = dij , víi mäi i, j. C¸c kh¼ng ®Þnh cßn l¹i dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa. 2 4.3.4 ChuyÓn vÞ ma trËn §Þnh nghÜa 14. Cho ma trËn A =(aij)m×n. Ma trËn chuyÓn vÞ cña A, ký hiÖu tA, lµ ma trËn ®−îc x¸c ®Þnh bëi t t t A =(aij)n×m ∈ MatR(n, m), trong ®ã aij = aji. DÔ dµng kiÓm chøng c¸c tÝnh chÊt sau MÖnh ®Ò 9. Cho A, B ∈ MatR(m, n), C ∈ MatR(n, p) α ∈ R. Khi ®ã 1) t(A + B) = tA + tB. 2) t(αA) = αtA. 3) t(AC) = tC tA.
13 4.3.5 NghÞch ®¶o ma trËn Ma trËn vu«ng A ∈ MatR(n) gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i B ∈ MatR(n) sao cho AB = BA = In. Ma trËn B, nÕu cã, lµ duy nhÊt, gäi lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A vµ ký hiÖu lµ A−1. Ta sÏ ký hiÖu GL(R,n) lµ tËp c¸c ma trËn vu«ng kh¶ nghÞch. MÖnh ®Ò 10. Cho A, B ∈ GL(R,n). Khi ®ã −1 1) A−1 = A. 2) (AB)−1 = B−1A−1. 3) t(A−1) = (tA)−1. −1 Chøng minh. 1) Theo ®Þnh nghÜa A.A−1 = I, suy ra A = A−1 . −1 −1 −1 −1 −1 −1 2) Suy ra t÷ (AB)(B A )=A(BB )A = AIA = AA = In. t t −1 t −1 t t −1 t 3) Suy ra tõ A (A ) = (A A) = In = In, vµ t−¬ng tù (A ) A = In. 2 4.4 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn ma trËn §Þnh nghÜa 15. C¸c phÐp biÕn ®æi trªn ma trËn sau ®©y gäi biÕn ®æi s¬ cÊp: (1) §æi chç dßng (cét) i víi dßng (cét) j, ký hiÖu di ↔ dj (ci ↔ cj). (2) Nh©n dßng (cét) i víi mét sè α =06 , ký hiÖu αdi (αci). (3) Céng dßng (cét) i víi α lÇn dßng (cét) j, ký hiÖu di + αdj (ci + αcj ). MÖnh ®Ò 11. Mäi ma trËn A =(aij) ∈ MatR(m.n) ®Òu cã thÓ ®−a vÒ d¹ng bËc thang bëi mét sè h÷u h¹n phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng. Chøng minh. (ThuËt to¸n Gauss) B−íc 1. T×m phÇn tö kh¸c 0 cã vÞ trÝ gÇn bªn tr¸i nhÊt. Gi¶ sö ®ã lµ phÇn tö aij. B−íc 2. Dïng phÐp biÕn ®æi d1 ↔ di, ®Ó cã ma trËn B =(bij) víi phÇn tö b1j =06 . B−íc 3. Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi di + αd1, i ≥ 2, lµm triÖt tiªu c¸c phÇn tö ë d−íi b1j ®Ó cã ma trËn C =(cij) víi c1j = bij =06 , ckj =0, ∀k>1. B−íc 4. LËp ma trËn A1 cã ®−îc tõ C b»ng c¸ch xãa dßng 1 vµ lËp l¹i c¸c b−íc 1, 2, 3 ®èi víi ma trËn A1. TÕp tôc qu¸ tr×nh trªn, sau mét sè h÷u h¹n (≤ m) b−íc ta nhËn ®−îc ma trËn d¹ng bËc thang. 2 VÝ dô. §−a ma trËn sau vÒ d¹ng bËc thang bëi c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng 0012220 0123123   A = 0157358   0224231 0034235
14 Thùc hiÖn c¸c b−íc trong thuËt to¸n Gauss 0123123 01 2 31 2 3 0012220 d3−d1 00 1 22 2 0 d1↔d2   d4−2d1   A −→ 0157358 −→ 00 3 42 3 5     0224231 00−2 −20−1 −5 0034235 00 3 42 3 5 0123123 012 3 1 23 d3−3d2 0012220d4+d3 001 2 2 20 d4+2d2   d5−d3   −→ 000−2 −4 −35 −→ 000−2 −4 −35 . d5−3d2     000243−5 000 0 0 00 000−2 −4 −35 000 0 0 00 5 §Þnh thøc 5.1 Ho¸n vÞ §Þnh nghÜa 16. Mét ho¸n vÞ cña Jn = {1, 2, ,n} lµ mét song ¸nh σ : Jn −→ Jn. TËp tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ cña Jn ®−îc ký hiÖu lµ Sn. Mét ho¸n vÞ th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng 12 n σ = hay ®¬n gi¶n σ = σ(1)σ(2) σ(n). σ(1) σ(2) σ(n) Ho¸n vÞ σ ∈ Sn ®−îc gäi lµ mét chuyÓn vÞ nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i i =6 j ∈ Jn sao cho σ(i)=j, σ(j)=i, σ(m)=m ∀m =6 i, j. ChuyÓn vÞ σ ®−îc ký hiÖu lµ σ =(ij). 5.2 NghÞch thÕ - Ký sè §Þnh nghÜa 17. Mét nghÞch thÕ trong ho¸n vÞ σ = σ(1)σ(2) σ(n) ∈ Sn lµ mét cÆp (σ(i),σ(j)) víi i σ(j), tøc lµ sè lín ®øng tr−íc sè nhá. Ký sè cña ho¸n vÞ σ, ký hiÖu (σ), ®−îc ®Þnh nghÜa bëi
15 (+1 nÕu sè nghÞch thÕ cña σ lµ ch½n (σ)= −1 nÕu sè nghÞch thÕ cña σ lµ lÎ. VÝ dô. Ho¸n vÞ σ = 312 ∈ S3 cã hai nghÞch thÕ lµ (3, 1) vµ (3, 2). Tõ ®ã (σ)=1. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã c«ng thøc σ(j) − σ(i) (σ)= Y . j − i 1≤i σ(γ(j))}, N2 =#{(i, j) | i γ(j),σ(γ(i)) γ(j),σ(γ(i)) >σ(γ(j))}. Khi ®ã, sè nghÞch thÕ cña σ = N1 + N2, sè nghÞch thÕ cña γ = N2 + N3, sè nghÞch thÕ cña σ ◦ γ = N1 + N3. Tõ ®ã, (σ ◦ γ)=(−1)N1+N3 =(−1)N1+N2 (−1)N2+N3 = (σ)(γ). 2
16 5.3 §Þnh nghÜa ®Þnh thøc §Þnh nghÜa 18. Cho ma trËn vu«ng A =(aij) ∈ MatR(n). §Þnh thøc cña A,ký hiÖu a a a 11 12 1n a a a 21 22 2n detA hay . . . , . . . am1 am2 amn lµ sè ®−îc ®Þnh nghÜa bëi detA = X (σ)a1σ(1)a2σ(2) ···anσ(n). σ∈Sn NhËn xÐt. Tæng X gåm n! sè h¹ng, mçi sè h¹ng lµ céng hoÆc trõ cña tÝch n σ∈Sn phÇn tö cña ma trËn A kh«ng cïng dßng, kh«ng cïng cét. VÝ dô. 1) §Þnh thøc cÊp 2 a11 a12 = a11a22 − a12a21. a21 a22 2) §Þnh thøc cÊp 3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 a31 a32 a33 +a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 3) §Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c a a ··· a 11 12 1n 0 a ··· a 22 2n . . . = a11a22 ···ann. . . ··· . 00··· ann Chó ý. §Ó tÝnh ®Þnh thøc cÊp 3, th−êng sö dông qui t¾c Sarius sau ®©y • C¸c sè h¹ng mang dÊu d−¬ng gåm: − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn ®−êng chÐo chÝnh. − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn c¸c ®Ønh cña tam gi¸c (chøa a22) cã mét c¹nh song
17 song víi ®−êng chÐo chÝnh vµ mét ®Ønh lµ mót cña ®−êng chÐo phô. • C¸c sè h¹ng mang dÊu ©m gåm: − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn ®−êng chÐo phô. − TÝch c¸c phÇn tö ë trªn c¸c ®Ønh cña tam gi¸c (chøa a22) cã mét c¹nh song song víi ®−êng chÐo phô vµ mét ®Ønh lµ mót cña ®−êng chÐo chÝnh. •••¨ •••H @ ¡@¨¨ ¡ A HH A @¡¨ @¡ A HA ¨ H •••¨ ¡@ ¡@¨ •••H A A H @¡ @¨¡ HA A ¨ H ¡¨@¨ ¡@ A HH A •••¨¡ @¡ @ ••• A HA (+) (−) 5.4 TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc MÖnh ®Ò 13. §Þnh thøc cña ma trËn kh«ng thay ®æi qua phÐp chuyÓn vÞ det(tA) = det A. Chøng minh. Tõ (σ)=(σ−1), ta cã t t t t det( A)=X (σ) a1σ(1) a2σ(2) ··· anσ(n) σ∈Sn = X (σ)aσ(1)1aσ(2)2 ···aσ(n)n σ∈Sn −1 = X (σ )a1σ−1(1)a2σ−1(2) ···anσ−1(n) = det A. −1 σ ∈Sn 2 Do MÖnh ®Ò trªn, c¸c tÝnh chÊt d−íi ®©y ph¸t biÓu cho c¸c dßng nh−ng nã còng ®óng víi c¸c cét. Cho A =(aij) ∈ MatR(n), gäi Ai lµ dßng thø i cña A. Khi ®ã, ký hiÖu det(A1, ,An) = det A. MÖnh ®Ò 14. NÕu ®æi chç hai dßng cu¶ mét ma trËn vu«ng, th× ®Þnh thøc ®æi dÊu det(A1, ,Ak, ,Al, An)=− det(A1, ,Al, ,Ak, An).
18 Chøng minh. Gi¶ sö A =(aij) vµ B =(bij) lµ ma trËn nhËn ®−îc tõ A b»ng c¸ch ®æi chç dßng k víi dßng l, tøc lµ aij nÕu i =6 k,l,  bij = alj nÕu i = k, akj nÕu i = l. Gäi τ =(kl) ∈ Sn. Khi ®ã, ¸nh x¹ σ ∈ Sn 7−→ γ = σ ◦ τ ∈ Sn, lµ mét song ¸nh, vµ (γ)=−(σ). Suy ra det A = X (σ)a1σ(1) ···akσ(k) ···alσ(l) ···anσ(n) σ∈Sn = − X (γ)a1γ(1) ···akγ(l) ···alγ(k) ···anγ(n) γ∈Sn = − X (γ)b1γ(1) ···blγ(l) ···bkγ(k) ···bnγ(n) = − det B. γ∈Sn 2 MÖnh ®Ò 15. Cho A ∈ MatR(n) vµ α ∈ R. Khi ®ã 0 0 1) det(A1, ,Ai+Ai, An) = det(A1, ,Ai, An)+det(A1, ,Ai, An). 2) det(A1, ,αAi, An)=α det(A1, ,Ai, An). Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ ®Þnh nghÜa ®Þnh thøc. 2 Tõ c¸c MÖnh ®Ò trªn, dÔ dµng suy ra hÖ qña sau ®©y HÖ qu¶ 1. Cho A ∈ MatR(n). 1) NÕu A cã mét dßng b»ng 0, th× det A =0. 2) NÕu A cã hai dßng b»ng nhau hoÆc tØ lÖ, th× det A =0. 3) NÕu thªm vµo mét dßng nµo ®ã cña A víi mét béi cña mét dßng kh¸c th× ®Þnh thøc kh«ng thay ®æi. MÖnh ®Ò 16. Cho A ∈ MatR(n). Khi ®ã 1) det AB = det A det B. 2) NÕu A kh¶ nghÞch, th× det(A−1) = (det A)−1. n Chøng minh. 1) Gi¶ sö A =(aij), B =(bij), AB =(cij ), cij = X aikbkj. Gäi k=1 Ci lµ dßng thø i cña AB vµ Bi lµ dßng thø i cña B. Khi ®ã n Ci = ai1B1 + ai2B2 + ···ainBn = X aikBk. k=1
19 Suy ra n n det AB = det(C1, ,Cn)=det X aik1 Bk1 , ,X aikn Bkn k1=1 kn=1 = X aik1 ···aikn det(Bk1 , ,Bkn ) (do MÖnh ®Ò 15) 1≤k1, ,kn≤n n = X aik1 ···aikn det(Bk1 , ,Bkn ) (do HÖ qña 1) 1≤k1, ,kn≤n ki=6 kj ,∀i=6 j = X a1σ(1) ···anσ(n) det(Bσ(1), ,Bσ(n)) σ∈Sn = X (σ)a1σ(1) ···anσ(n) det(B1, ,Bn) = det A det B. σ∈Sn −1 −1 2) Tõ 1) ta cã det A det A = det(A A) = det In =1. Suy ra 2). 2 5.5 C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc 5.5.1 C«ng thøc khai triÓn theo dßng, cét Cho A =(aij) ∈ MatR(n). §Æt I =(i1,i2, ,ik) vµ J =(j1,j2, ,jk) lµ c¸c bé chØ sè trong {1, 2, ,n} theo thø tù t¨ng dÇn. Gäi AIJ lµ ma trËn con cña A ˜ t¹o bëi giao cña k dßng i1,i2, ,ik vµ k cét j1,j2, ,jk vµ AIJ lµ ma trËn con cña A cã ®−îc b»ng c¸ch xãa ®i k dßng i1,i2, ,ik vµ k cét j1,j2, ,jk. Trong tr−êng hîp riªng, khi k =1, i = i1, j = j1, th× AIJ = aij vµ viÕt A˜IJ = A˜ij. MÖnh ®Ò 17. Cho A =(aij) ∈ MatR(n). Khi ®ã, ta cã n i+j 1) C«ng thøc khai triÓn theo dßng i: det A = X(−1) aij det A˜ij. j=1 n i+j ˜ 2) C«ng thøc khai triÓn theo cét j: det A = X(−1) aij det Aij. i=1 Chøng minh. Do MÖnh ®Ò 13, chØ cÇn chøng minh c«ng thøc khai triÓn theo dßng. Gäi ei =(0, ,1, 0) vµ ai lµ dßng thø i cña A. Khi ®ã det A = det(a1, ,ai−1,ai,ai+1, ,an) n = det(a1, ,ai−1, X aijej,ai+1, ,an) j=1 n = X aij det(a1, ,ai−1,ej,ai+1, ,an). j=1
20 0 §Ó ý r»ng, cã thÓ ®ång nhÊt Sn−1 víi Sn = {σ ∈ Sn | σ(n)=n}⊂Sn, b»ng c¸ch xem mçi ho¸n vÞ σ = σ(1)σ(2) σ(n − 1) ∈ Sn−1 lµ ho¸n vÞ γ = σ(1)σ(2) σ(n − 1)n ∈ Sn. H¬n n÷a, khi ®ång nhÊt nh− thÕ, ký sè cña ho¸n vÞ kh«ng thay ®æi. Tõ ®ã det(a1, ,ai, ,an−1,en)=X (γ)a1γ(1)a2γ(2) ···a(n−1)γ(n−1) 0 γ∈Sn ˜ = X (γ)a1γ(1)a2γ(2) ···a(n−1)γ(n−1) = det Ann. σ∈Sn−1 §Ó tÝnh det(a1, ,ai−1,ej,ai+1, ,an), ta chuyÒn dßng i vÒ dßng cuèi (tøc lµ ®æi chç hai dßng liªn tiÕp n − i lÇn), cét j vÒ cét cuèi (tøc lµ ®æi chç hai cét liªn tiÕp n − j lÇn), råi ¸p dông ®iÒu trªn ta cã (n−i)+(n−j) ˜ ij ˜ det(a1, ,ai−1,ej,ai+1, ,an)=(−1) det Aij =(−1) det Aij. Tõ ®ã, suy ra c«ng thøc cÇn chøng minh. 2 Ta nªu c«ng thøc Laplace sau ®©y lµ mét d¹ng tæng qu¸t cña c¸c c«ng thøc khai triÓn theo dßng, cét ë trªn, mµ kh«ng tr×nh bµy chøng minh. §Þnh lý 1. (Laplace) Cho A =(aij) ∈ MatR(n) vµ k ∈{1, 2 ,n}. Khi ®ã, N(I,J) det A = X (−1) det AIJ det A˜IJ I=(i1, ,ik) i1<···<ik N(I,J) ˜ = X (−1) det AIJ det AIJ, J=(j1, ,jk ) j1<···<jk trong ®ã, N(I,J)=(i1 + ···+ ik)+(j1 + ··· + jk), nÕu I =(i1, ,ik) vµ J =(j1, ,jk). VÝ dô. 1) TÝnh ®Þnh thøc cÊp 4 sau ®©y 1234 0043 D = . 3412 0032 C¸ch 1. Khai triÓn theo dßng 2 124 123 D = −4 342 +3341 . 002 003
21 Khai triÓn theo dßng 3 c¸c ®Þnh thøc cÊp 3 trong vÕ ph¶i ta cã 12 12 D =(−4)(2) + (3)(3) =(−4)(2)(−2) + (3)(3)(−2) = −2. 34 34 C¸ch 2. Khai triÓn theo cét 1 043 234 D = 412 +3043 . 032 032 Khai triÓn theo cét 1 c¸c ®Þnh thøc cÊp 3 trong vÕ ph¶i ta cã 43 43 D = −4 + (3)(2) =(−4)(−1) + (3)(2)(−1) = −2. 32 32 C¸ch 3. Sö dông c«ng thøc Laplace theo dßng 2 vµ 3 43 12 D =(−1)2+4+3+4 = −(−1)(−2) = −2. 32 34 2) Cho ma trËn vu«ng B d¹ng chia khèi   B1 ∗   B =  B2   0     B  k , trong ®ã, Bi lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp mi. ¸p dông c«ng thøc Laplace, tr−íc hÕt víi m1 cét ®Çu cña B ta cã   B2 ∗   det B = det B1  B3   0     B  k , råi sau ®ã qui n¹p ta ®−îc det B = det B1 det B2 ···det Bk.
22 5.5.2 Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc Nhê c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®Þnh thøc, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp, cã thÓ lµm ®Þnh thøc trë nªn dÔ tÝnh h¬n, ch¼ng h¹n lµm cho xuÊt hiÖn nhiÒu sè 0 ë mçi dßng hay cét råi sö dông c«ng thøc khai triÓn theo c¸c dßng hay cét ®ã. §Æc biÖt, nÕu ®−a ®−îc ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c, th× viÖc tÝnh ®Þnh thøc trë nªn rÊt ®¬n gi¶n. VÝ dô. 1) TÝnh ®Þnh thøc cÊp 4 sau ®©y xaaa axaa D = . aaxa aaax Céng dßng 1 víi c¸c dßng cßn l¹i x +3ax+3ax+3ax+3a 1111 axaa axaa D = =(x +3a) . aaxa aaxa aaax aaax Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi D2 − aD1, D3 − aD1, D4 − aD1 ta ®−îc 1111 0 x − a 00 D =(x +3a) =(x +3a)(x − a)3. 00x − a 0 00 0x − a 2) TÝnh ®Þnh thøc Vandermonde cÊp n 1 a a2 an 0 0 0 1 a a2 an 1 1 1 V (a0,a1 ,an)=. . . . . . . . . . . 2 n 1 an a a n n LÊy cét j +1trõ a0×( cét thø j víi), j =0, 1, ,n− 1, b¾t ®Çu tõ cét cuèi, ta ®−îc 10 0 0 1 a − a a (a − a ) an−1(a − a ) 1 0 1 1 0 1 1 0 V (a0,a1 ,an)=. . . . . . . . . . . n−1 1 an − a0 an(an − a0) an (an − a0)
23 Khai triÓn ®Þnh thøc ë vÕ ph¶i theo dßng 1, råi ®−a thõa sè chung cña mçi dßng ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc, ta ®−îc 2 n−1 1 a1 a1 a1 2 n−1 n 1 a2 a a − 2 2 V (a0,a1 ,an)=Q (aj a0) . . . . . j=1 . . . . . . 2 n−1 1 an an an n = Q (aj − a0)V (a1,a2, ,an) j=1 BiÕn ®æi t−¬ng tù cho V (a1,a2, ,an), vµ tiÕp tôc qu¸ tr×nh nµy, ta nhËn ®−îc V (a0,a1 ,an) Y (aj − ai). 0≤i<j≤n 5.6 ¸p dông ®Þnh thøc ®Ó tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o Cho A =(aij) ∈ MatR(n). Gäi Aij lµ ma trËn con cña A cã ®−îc b»ng c¸ch xãa i+j dßng i, cét j, vµ ®Æt a˜ij =(−1) det Aij, gäi lµ phÇn phô ®¹i sè cña phÇn tö aij. Ta gäi ma trËn t adj(A)= (˜aij), lµ ma trËn phô hîp cña A. MÖnh ®Ò 18. Ma trËn A =(aij) ∈ MatR(n) kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi det A =06 . Khi ®ã A−1 = (det A)−1adj(A). Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i A−1. Khi ®ã, det A =06 v× −1 −1 det A det A = det(AA )=detIn =1. n n Gi¶ sö det A =06 . Gäi Aadj(A)=(cij). Khi ®ã, cij = X aika˜jk = X aik det Ajk. k=1 k=1 NÕu i = j, th× cij lµ khai triÓn theo dßng j cña ®Þnh thøc cña A,tõ®ãcij = det A. NÕu i =6 j, th× cij lµ khai triÓn theo dßng j cña ®Þnh thøc lËp tõ A b»ng c¸ch thay dßng j bëi dßng i, tøc lµ, cã hai dßng gièng nhau, tõ ®ã nhËn gi¸ trÞ 0. VËy, Aadj(A) = det AIn. T−¬ng tù, còng cã adj(A)A = det AIn. Tõ ®ã, tån t¹i A−1 = (det A)−1adj(A). 2
24 121 VÝ dô. T×m ma trËn nghÞch ®¶o cu¶ A = 011 . 123 Ta cã, det A =3+2+0− (1 + 2 + 0) = 2. Tõ ®ã, A kh¶ nghÞch. Ta tÝnh c¸c a˜ij. 11 01 01 ˜a11 = =1˜a12 = − =1˜a13 = = −1 23 13 12 21 11 12 ˜a21 = − = −4˜a22 = =2˜a23 = − =0 23 13 12 21 11 12 ˜a31 = =1˜a32 = − = −1˜a33 = =1 11 01 01 Tõ ®ã, 1 −41 1   A−1 = 12−1 2 −101. 5.7 H¹ng cña ma trËn §Þnh nghÜa 19. Cho A ∈ MatR(m, n). H¹ng cña A, ký hiÖu rankA, ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau (1) NÕu A = O, th× rankA =0. (2) NÕu A =6 O, th× rankA lµ cÊp cao nhÊt cña c¸c ®Þnh thøc con kh¸c 0 cña A. NhËn xÐt. 1) 0 ≤ rankA ≤ min(m.n). §Æc biÖt, nÕu rankA = min(m, n), th× ta nãi A cã h¹ng cùc ®¹i. 2) NÕu A lµ ma trËn d¹ng bËc thang, th× rankA b»ng sè dßng kh¸c kh«ng cña nã. MÖnh ®Ò 19. H¹ng cña ma trËn kh«ng thay ®æi qua c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp. Chøng minh. Do tÝnh kh¸c kh«ng cña ®Þnh thøc kh«ng thay ®èi qua c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp. 2 NhËn xÐt. Do mÖnh ®Ò trªn, ®Ó tÝnh h¹ng cña ma trËn A ta th−êng dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng ®Ó ®−a A vÒ ma trËn d¹ng bËc thang.
25 12 3 123 3711589   VÝ dô. T×m h¹ng cña ma trËn A = 15 7 358.   22 4 231 03 4 235 Ta thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æ s¬ cÊp trªn dßng cña A. 12 312 3 123123 d2−2d1 01 222 0 d3−3d2 012220 d3−d1   d2+2d2   A −→ 03 423 5 −→ 00−2 −4 −35 d4−2d1   d4−3d2   0 −2 −20−1 −5 00243−5 03 423 5 00−2 −4 −35 12 3 1 2 3 d4+d3 01 2 2 2 0 d5−d3   −→ 00−2 −4 −35   00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 VËy, rankA =3. 5.8 HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 5.8.1 §Þnh nghÜa hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 20. HÖ gåm m ph−¬ng tr×nh, n Èn x1,x2, ,xn, d¹ng a11x1 + a12x2 + ···a1nxn = b1  a21x1 + a22x2 + ···a2nxn = b2  (1)  am1x1 + a12x2 + ···amnxn = bm, trong ®ã, aij,bi ∈ R, i =1, ,m, j =1, ,n lµ c¸c sè cho tr−íc, gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh trªn R.
26 5.8.2 D¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh NÕu ®Æt a11 a12 a1n  x1 b1  a a a x b  21 22 2n   2  2  A =  . . .  x =  .  b =  .  ,  . . .   .   .        am1 am2 amn xn bm th× hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã thÒ viÕt d−íi d¹ng Ax = b, gäi lµ d¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1). A ®−îc gäi lµ ma trËn hÖ sè cña hÖ. 5.8.3 Ph−¬ng ph¸p khö Gauss ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ph−¬ng ph¸p khö Gauss dùa trªn mÖnh ®Ò ®¬n gi¶n sau ®©y MÖnh ®Ò 20. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp sau ®©y trªn hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng (1) §æi chç hai ph−¬ng tr×nh. (2) Nh©n mét ph−¬ng tr×nh víi mét sè kh¸c kh«ng. (3) Céng mét ph−¬ng tr×nh víi mét béi cña mét ph−¬ng tr×nh kh¸c. NhËn xÐt. ViÖc thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn hÖ ph−¬ng tr×nh Ax = b, thùc chÊt lµ thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp theo dßng trªn ma trËn hÖ sè më réng (A|b). Ph−¬ng ph¸p khö Gauss ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b lµ ph−¬ng ph¸p dïng thuËt to¸n Gauss ®Ó ®−a ma trËn hÖ sè më réng (A|b) vÒ d¹ng (A0|b0), víi A0 cã d¹ng bËc thang, råi gi¶i hÖ A0x = b0 b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ.  x1 + x2 + x3 + x4 =10   x1 +2x2 − x3 + x4 =6 VÝ dô. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  2x1 +3x2 − 3x3 +2x4 =6  3x1 − x2 + x3 − x4 = −1 BiÕn dæi s¬ cÊp theo dßng ma trËn hÖ sè më réng  1111:10  1111:10 d2−d1 12−11:6 d3−2d1 01−20:−4 (A|b)=  −→    23−32:6 d4−3d1  01−50:−13  3 −11−1: −1   0 −4 −2 −4:−30
27  11 1 1:10  1111:10 d3−d2 (−1/3)d3 d4+4d2 01−20:−4 (−1/2)d4 01−20:−4 −→   −→    00−30:−9   0010:3  00−10 −4:−46  0052:23  1111:10 d4−5d3 01−20:−4 −→    0010:3  0002:8 VËy, hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi  x1 + x2 + x3 + x4 =10 x1 =1  x − 2x = −4 x =2  2 3 ⇐⇒  2 x3 =3 x3 =3    2x4 =8 x4 =4 5.8.4 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh Ax = b víi A cã d¹ng bËc thang Gi¶ sö (A|b) cã d¹ng (rankA = r).  b1  . . b2  .   . .   0 . .   . .   . . br   .   000 0 . br+1  . . . . . . .   . . . . . . .   .  000 0 . bm Tr−êng hîp 1: rankA =6 rank(A|b), hÖ v« nghiÖm. Tr−êng hîp 2: rankA = rank(A|b), hÖ cã nghiÖm. Tr−êng hîp 2.1: rankA = rank(A|b)=sè Èn, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Tr−êng hîp 2.2: rankA = rank(A|b) < sè Èn, hÖ cã v« sè nghiÖm. Trong tr−êng hîp hÖ cã v« sè nghiÖm, ®Ó m« t¶ râ d¹ng cña nghiÖm, ta lµm nh− sau: - X¸c ®Þnh r = rankA Èn chÝnh, ®ã lµ c¸c Èn mµ hÖ sè cña nã lËp thµnh ma trËn tam gi¸c trªn víi c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo kh¸c kh«ng.
28 - C¸c Èn cßn l¹i gäi lµ Èn tù do. Sè l−îng Èn tù do gäi lµ bËc tù do cña hÖ. - Cho c¸c Èn tù do nhËn gi¸ trÞ tuú ý trªn R, vµ gi¶i c¸c Èn chÝnh theo c¸c Èn tù do.  x1 + x2 + x3 + x4 =1   x1 +2x2 − x3 + x4 =2 VÝ dô. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  2x1 +3x2 +2x3 +3x4 =3  3x1 +4x2 +3x3 +4x4 =4 BiÕn dæi s¬ cÊp theo dßng ma trËn hÖ sè më réng 1111:1 1111:1 1111:1 d2−d1 d3−d2 1212:2 d3−2d1 0101:1 d4−d2 0101:1 (A|b)=  −→   −→   2323:3 d4−3d1 0101:1 d4−3d1 0000:0 3434:4 0101:1 0000:0 V× rankA = rank(A|b)=2< 4=sè Èn, nªn hÖ cã v« sè nghiÖm. HÖ ®· cho, khi ®ã, t−¬ng ®−¬ng víi x1 = −t1 (x + x + x + x =1 (x + x =1− x − x x =1− t 1 2 3 4 ⇐⇒ 1 2 3 4 ⇐⇒  2 2 x2 + x4 =1 x2 =1− x4 x3 = t1  x4 = t2 5.8.5 T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Cho A ∈ MatR(n). Ta t×m ma trËn X tháa hÖ AX = I. Tøc lµ, gi¶i ®ång thêi n hÖ ph−¬ng tr×nh, n Èn. Sö dông ph−¬ng ph¸p khö Gauss trªn (A|I) ®Ó ®−a A vÒ d¹ng bËc thang. Ta cã biÖn luËn sau NÕu rankA<n, tøc lµ, ma trËn bËc thang cã Ýt nhÊt mét dßng b»ng kh«ng, th× A kh«ng kh¶ nghÞch. NÕu rankA = n, th× dïng phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp dßng ®Ó ®−a (A|I) vÒ d¹ng (I|B). Khi ®ã A kh¶ nghÞch vµ A−1 = B. 121 VÝ dô. T×m ma trËn nghÞch ®¶o cu¶ A = 011 . 123
29 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn dßng cña ma trËn (A|I) 121:100 121: 1 0 0 − (A|I)= 011:010 d−→3 d1 011: 0 1 0 . 123:001 002:−101 3 1 120: 0 −  2 2 1 121: 1 0 0   d3   d2−d3   2 011: 0 1 0 d1−d3  1 1 −→ −→ 010: 1 −   1 1  2 2 001:− 0    2 2    1 1 001:− 0  2 2 1 1 1 1 100: −2 −   −2 −  2 2 2 2         d1−2d2  1 1 −  1 1 −→ 010: 1 −  =⇒ A 1 =  1 −   2 2  2 2          1 1  1 1 001:− 0  − 0  2 2 2 2 5.8.6 HÖ Cramer §Þnh nghÜa 21. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b, gäi lµ hÖ Cramer nÕu vµ chØ nÕu A lµ ma trËn vu«ng vµ det A =06 . MÖnh ®Ò 21. HÖ Cramer Ax = b, A ∈ MatR(n), cã nghiÖm duy nhÊt. C¸c thµnh phÇn cña nghiÖm ®−îc cho bëi c«ng thøc det A x = i ,i=1, 2, ,n, i det A trong ®ã Ai lµ ma trËn cã ®−îc tõ A b»ng c¸ch thay cét i bëi cét b. Chøng minh. Râ rµng hÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt 1 x = A−1b = Adj(A) · b. det A Suy ra n n k+i xi det A = X ˜akibk = X(−1) det Akibk. k=1 k=1
30 Tæng cuèi trong ®»ng thøc trªn chÝnh lµ c«ng thøc khai triÓn det Ai theo cét i.2 VÝ dô. T×m ®a thøc bËc hai P (x)=a + bx + cx2, biÕt r»ng P (1) = 1, P (2) = 3, P (3) = 7. §iÒu kiÖn ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi  a + b + c =1   a +2b +4c =3  a +3b +9c =7 §©y lµ hÖ Cramer v× ®Þnh thøc cña ma trËn hÖ sè lµ ®Þnh thøc Vandermonde 11 1 1222 =(2− 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2 =06 . 1332 Tõ ®ã, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 111 111 111 1 1 1 a = 324 =1,b= 134 = −1,c= 123 =1. 2 2 2 739 179 137 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ P (x)=1− x + x2.
31 II. Kh«ng gian vector 1 Kh«ng gian vector 1.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô §Þnh nghÜa 1. Cho R lµ tr−êng sè thùc, V lµ tËp hîp kh¸c ∅ vµ hai phÐp to¸n trªn V phÐp céng +:V × V −→ V (x, y) 7−→ x + y phÐp nh©n víi sè · : R × V −→ V (α, x) 7−→ αx Bé ba (V,+, ·) gäi lµ mét kh«ng gian vector (thùc) hay kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R nÕu c¸c phÐp to¸n tháa c¸c tiªn ®Ò sau víi mäi x, y, z ∈ V , α, β ∈ R (V 1) x + y = y + x (tÝnh giao ho¸n) (V 2) (x + y)+z = x +(y + z)(tÝnh kÕt hîp) (V 3) ∃ O ∈ V : x + O = x (O gäi lµ vector kh«ng) (V 4) ∃−x ∈ V : −x + x = O (−x gäi lµ vector ®èi cña x) (V 5) (α + β)x = αx + βx (V 6) α(x + y)=αx + αy (V 7) (αβ)x = α(βx) (V 8) 1x = x Mçi phÇn tö x ∈ V gäi lµ vector. Ta gäi x + y lµ tæng cña x vµ y.Do(V 2) ta cã thÓ ®Þnh nghÜa tæng cña k vector: k X xi = x1 + x2 + ···+ xk =(x1 + x2 + ···+ xk−1)+xk. i=1 Tæng nµy kh«ng phô thuéc vµo thø tù c¸c h¹ng tö do (V 1). Tæng x +(−y) cßn ®−îc viÕt lµ x − y vµ gäi lµ hiÖu cña x vµ y. VÝ dô. 1) TËp hîp c¸c vector tù do trong kh«ng gian víi phÐp céng c¸c vector vµ phÐp nh©n vector víi sè thùc lµ mét kh«ng gian vector thùc. 2) Kh«ng gian vector MatR(m, n) víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n ma trËn víi mét sè. 3) Kh«ng gian n R = {x =(x1,x2, ,xn) | xi ∈ R,i=1, ,n},
32 víi phÐp céng vµ phÐp nh©n víi sè ®−îc ®Þnh nghÜa nh− d−íi ®©y víi mäi x = n (x1,x2, ,xn),y =(y1,y2, ,yn) ∈ R ,vµα ∈ R: x + y =(x1 + y1,x2 + y2, ,xn + yn), αx =(αx1,αx2, ,αxn). 4) Kh«ng gian c¸c ®a thøc hÖ sè trªn R, ký hiÖu R[x], víi phÐp céng hai ®a thøc vµ phÐp nh©n ®a thøc víi sè. MÖnh ®Ò 1. Cho V lµ mét kh«ng gian vector trªn R. Khi ®ã 1) Vector kh«ng O lµ duy nhÊt. 2) Vecor ®èi lµ duy nhÊt. 3) Trong V cã luËt gi¶n −íc: a + b = a + c =⇒ b = c. 4) αx = O ⇐⇒ α =0hoÆc x = O. 5) −(αx)=(−α)x = α(−x). Chøng minh. 1) Gi¶ sö cã hai vector kh«ng O1 vµ O2. Khi ®ã (V 3) (V 3) O1 = O1 + O2 = O2. 2) Gi¶ sö vector x cã hai vector ®èi x0 vµ x00. Khi ®ã (V 3) (V 4) (V 2) (V 4) (V 3) x0 = x0 + O = x0 +(x + x00) =(x0 + x)+x00 = O + x00 = x00. 3) a + b = a + c =⇒−a +(a + b)=−a +(a + c) (V 2) =⇒ (−a + a)+b =(−a + a)+c (V 4) (V 3) =⇒ O + b = O + c =⇒ b = c. 4) ” ⇐ ” (V 6) (3) αO = α(O + O) = αO + αO =⇒ αO = O. (V 5) (3) 0x = (0 + 0)x =0x +0x =⇒ 0x = O. ” ⇒ ” Gi¶ sö αx = O vµ α =06 . Khi ®ã (V 8) (V 3) (V 7) x =1· x =(α−1α)x = α−1(αx)=α−1O = O. 5) Suy ra tõ (V 5) (4) αx +(−α)x =(α +(−α))x =0x = O (V 6) (4) αx + α(−x) = α(x +(−x)) = αO = O. 2
33 1.2 Kh«ng gian vector con §Þnh nghÜa 2. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R. Mét tËp hîp con kh¸c rçng W cña V ®−îc gäi lµ kh«ng gian vector con cña V nÕu (1) x + y ∈ W , víi mäi x, y ∈ W . (2) αx ∈ W , víi mäi α ∈ R, x ∈ W . NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (1) vµ (2) t−¬ng ®−¬ng víi ∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ W =⇒ αx + βy ∈ W. 2) Mäi kh«ng gian vector con ®Òu chøa vector O. VÝ dô. 1) Mäi kh«ng gian vector V ®Òu chøa hai kh«ng gian vector con tÇm th−êng lµ {O} vµ V . 2) TËp con Rn[x]={P ∈ R[x] | deg P ≤ n} lµ kh«ng gian vector con cña R[x]. 3) TËp nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh Ax =0, A ∈ MatR(m, n), lµ kh«ng gian vector con cña Rn. MÖnh ®Ò 2. Giao cña mét hä kh«ng gian vevctor con lµ kh«ng gian vector con Chøng minh. Gi¶ sö {Wi}i∈I lµ mét hä c¸c kh«ng gian vector con cña V . XÐt mäi α, β ∈ R,vµx, y ∈∩Wi. Khi ®ã, αx + βy ∈ Wi, ∀i ∈ I. Tøc lµ, i∈I αx + βy ∈∩Wi. 2 i∈I NhËn xÐt. Hîp hai kh«ng gian vector con nãi chung kh«ng lµ kh«ng gian vector con. VÝ dô, W1 = {(x, 0) | x ∈ R}, W2 = {(0,y) | y ∈ R} lµ hai kh«ng gian 2 vector con cña R . Nh−ng W1 ∪ W2 = {(0,x), (y,0) | x, y ∈ R} kh«ng lµ kh«ng gian vector con cña R2. 1.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp §Þnh nghÜa 3. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V . Kh«ng gian con L(A) cña V ®−îc x¸c ®Þnh bëi L(A):=\{W | W lµ kh«ng gian con cña V chøa A} gäi lµ lµ kh«ng gian con cña V sinh bëi tËp A. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa cña L(A) ta thÊy ngay r»ng a) A ⊆ L(A) vµ b) L(A) ⊆ W , víi mäi kh«ng gian con W chøa A. Nh− vËy L(A) lµ kh«ng gian con nhá nhÊt cña V chøa A.
34 MÖnh ®Ò 3. NÕu V lµ kh«ng gian vector trªn R vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V , th× L(A)= X xiai | xi ∈ R vµ chØ cã h÷u h¹n xi =06 . ai∈A §Æc biÖt, nÕu A = {a1,a2, ,an}, th× n L(A)=L(a1,a2, ,an)= X xiai | xi ∈ R . i=1 Chøng minh. Gäi H lµ vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn. NÕu x, y ∈ H vµ α, β ∈ R, th× râ rµng αx + βy ∈ H. VËy H lµ kh«ng gian con cña V .V×H hiÓn nhiªn chøa A nªn theo nhËn xÐt ë trªn ta cã L(A) ⊆ H. Ng−îc l¹i, nÕu x ∈ H, th× x = X xiai, víi h÷u h¹n xi =06 . Tõ ®ã, x thuéc mäi ai∈A kh«ng gian vector con cña V chøa A, tøc lµ, x ∈ L(A). VËy, H ⊆ L(A). 2 1.4 C¬ së- Sè chiÒu- Täa ®é Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R vµ A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña V . NÕu V = L(A) th× ta nãi kh«ng gian V ®−îc sinh bëi A hay A lµ hÖ sinh cña V . Kh«ng gian V gäi lµ h÷u h¹n chiÒu nÕu nã cã hÖ sinh h÷u h¹n. Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i gäi lµ v« h¹n chiÒu. tõ ®©y trë vÒ sau, ta chØ h¹n chÕ xÐt c¸c kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu. 1.4.1 §éc lËp tuyÕn tÝnh-Phô thuéc tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 4. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R. Vector x ∈ V gäi lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh hay biÓu diÔn tuyÕn tÝnh cña hÖ vector a1,a2, ,an, nÕu x cã d¹ng x = x1a1 + x2a2 + ···+ xnan, trong ®ã x1, ,xn ∈ R. HÖ vector a1,a2, ,an ∈ V gäi lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu tån t¹i c¸c sè x1,x2 ,xn ∈ R kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho x1a1 + x2a2 + ···+ xnan = O. HÖ vector a1,a2, ,an ∈ V gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu nã kh«ng phô thuéc tuyÕn tÝnh, tøc lµ x1a1 + x2a2 + ···+ xnan = O =⇒ x1 = x2 = = xn =0.
35 n NhËn xÐt. 1) Cho a1, ,an,x∈ R . Khi ®ã, x lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña a1, ,an ⇐⇒ HÖ x1a1 + ···+ xnan = x cã nghiÖm. HÖ a1, ,an phô thuéc tuyÕn tÝnh ⇐⇒ HÖ x1a1 + ···+ xnan = O cã nghiÖm kh¸c kh«ng ⇐⇒ det(a1 a2 an)=0. HÖ a1, ,an déc lËp tuyÕn tÝnh ⇐⇒ HÖ x1a1 + ···+ xnan = O chØ cã nghiÖm kh«ng ⇐⇒ det(a1,a2, ,an) =06 . 2) HÖ a1, ,an phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi trong hÖ cã mét vector lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vector cßn l¹i. 3) Mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh kh«ng thÓ chøa vector O. 4) Mét hÖ con cña mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 1.4.2 C¬ së §Þnh nghÜa 5. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R. TËp B⊂V gäi lµ c¬ së cña V nÕu (1) B lµ hÖ sinh cña V , tøc lµ V = L(B). (2) B lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. VÝ dô. 1) Rn cã c¬ së e1 =(1, 0, 0, ,0),e2 =(0, 1, 0, ,0), , en =(0, 0, ,0, 1), gäi lµ c¬ së chÝnh t¾c cña R. 2 n 2) Rn[x] cã c¬ së lµ hÖ c¸c ®¬n thøc {1,x,x , ,x }. 3) MatR(m, n) cã c¬ së chÝnh t¾c {Eij ,i=1, 2, ,m; j =1, 2, ,n}, trong ®ã Eij lµ m × n−ma trËn mµ phÇn tö ë dßng i cét j b»ng 1, c¸c phÇn tö kh¸c b»ng 0. §Þnh lý 1. Cho V =6 {O} lµ kh«ng gian vector trªn R. Khi ®ã 1) Tån t¹i mét c¬ së cña V . 2) Mäi c¬ së cña V ®Òu cã cïng sè l−îng vector. Chøng minh. 1) Gi¶ sö V cã hÖ sinh h÷u h¹n A = {a1,a2, ,an}. NÕu A ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× A lµ c¬ së. NÕu A kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× tån t¹i ai lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vector cßn l¹i trong A. §Æt A1 = A \{ai}, khi ®ã, A1 lµ hÖ sinh cña V . LËp l¹i lý luËn trªn cho A1. Sau mét sè h÷u h¹n (<n) b−íc, ta cã c¬ së B⊂A. 2) ViÖc chøng minh 2) suy ra tõ bæ ®Ò sau
36 Bæ ®Ò 1. NÕu B = {e1,e2, ,en} lµ c¬ së cña V vµ f1,f2, ,fm lµ mét hÖ vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh, th× m ≤ n. Chøng minh Bæ ®Ò 1.Dof1 ∈ L(e1,e2, ,en), f1 = x1e1 + x2e2 + ···+ xnen. V× f1 =6 O, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ thiÕt x1 =06 . Khi ®ã 1 x2 xn e1 = f1 − e2 −···− en. x1 x1 x1 Suy ra, L(e1,e2, ,en)=L(f1,e2, ,en). Do f2 ∈ L(f1,e2, ,en), f2 = y1f1 + y2e2 + ···+ ynen.V×f1, f2 ®éc lËp tuyÕn tÝnh, nªn tån t¹i i ≥ 2 sao cho yi =06 . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gØa thiÕt y2 =06 . Khi ®ã 1 y1 y3 yn e2 = f2 − f1 − e2 −···− en. y2 y2 y2 y2 Suy ra, L(e1,e2, ,en)=L(f1,f2,e3, ,en). TiÕp tôc lËp luËn t−¬ng tù, ë b−íc thø k ta sÏ thay thÕ ®−îc f1, ,fk vµo B ®Ó ®−îc kÕt qu¶ L(e1,e2, ,en)=L(f1, ,fk,ek+1, ,en). Ta ph¶i cã m ≤ n, v× nÕu kh«ng, ë b−íc thø n, ta nhËn ®−îc V = L(e1,e2, ,en)=L(f1,f2, ,fn) vµ fn+1 ∈ L(f1,f2, ,fn). §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña f1,f2, ,fm. 2 §Þnh nghÜa 6. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R. Sè chiÒu cña V , ký hiÖu dimRV , ®−îc x¸c ®Þnh bëi (sè vector trong mét c¬ së cña V nÕu V =6 {O}, dimRV = 0 nÕu V = {O}. n VÝ dô. 1) dimRR = n. 2) dimRMatR(m, n)=m × n. 3) dimRRn[x]=n +1. 4) dimRC =2(víi c¬ së {1,i}). MÖnh ®Ò 4. Cho V lµ kh«ng gian vector n chiÒu trªn R. Khi ®ã 1) Mäi hÖ trong V gåm nhiÒu h¬n n vector ®Òu phô thuéc tuyÕn tÝnh. 2) Mäi hÖ trong V gåm n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh ®Òu lµ c¬ së. 3) Mäi hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V gåm Ýt h¬n n vector ®Òu cã thÓ bæ sung thµnh mét c¬ së. 4) NÕu W lµ kh«ng gian vector con cña V , th× dimW ≤ dimV , vµ dÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi W = V .
37 Chøng minh. 1) Suy ra tõ Bæ ®Ò 1 trong chøng minh cña MÖnh ®Ò 1. 2) Gi¶ sö B = {e1,e2, ,en} lµ mét hÖ n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V . Ta chØ 0 ra B lµ hÖ sinh cña V . ThËt vËy, víi mäi vector x ∈ V ,hÖB = {e1,e2, ,en,x} gåm n +1 vector nªn phô thuéc tuyÕn tÝnh. Do e1, ,en ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn x biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B. 3) Gi¶ sö B0 = {e1,e2, ,em} lµ mét hÖ m vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V , m<n.V×B0 kh«ng lµ hÖ sinh cña V nªn ph¶i cã Ýt nhÊt mét vector em+1 =6 O trong V kh«ng biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B0. Khi ®ã, nhËn ®−îc hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh B1 = {e1,e2, ,em,em+1}. NÕu n = m +1, th× theo 2), B1 lµ c¬ së. NÕu m +1<n, tu¬ng tù trªn, cã mét vector em+2 =6 O trong V kh«ng biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua B1 vµ nhËn ®−îc hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh B2 = {e1,e2, ,em,em+1,em+2}. TiÕp tôc lËp luËn nh− trªn, sau n − m b−íc, ta nhËn ®−îc c¬ së Bn−m cña V chøa B0. 4) Gi¶ sö dimW = m, tøc lµ, W cã c¬ së lµ mét hÖ gåm m vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong W ⊂ V . Tõ Bæ ®Ò 1 trong chøng minh cña MÖnh ®Ò 1, suy ra m ≤ n = dimV . NÕu dimW = dimV , th× mét c¬ së B cña W còng lµ c¬ së cña V . Tõ ®ã, W = L(B)=V . 2 MÖnh ®Ò 5. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R vµ B = {e1,e2, ,en} lµ mét hÖ vector trong V . Khi ®ã, hai ®iÒu sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng 1) B lµ c¬ së cña V . 2) Mäi vector x ∈ V ®Òu cã biÓu diÔn duy nhÊt x = x1e1 + x2e2 + ···+ xnen. Chøng minh. 1) ⇒ 2). ViÖc x lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña e1,e2, ,en lµ do B lµ hÖ sinh. TÝnh duy nhÊt cña x1,x2, ,xn lµ do B ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 2) ⇒ 1. HiÓn nhiªn, B lµ hÖ sinh cña V . Gi¶ sö x1e1 + x2e2 + ···+ xnen = O. MÆt kh¸c, 0e1 +0e2 + ···+0en = O.DoO ∈ V cã biÔu diÔn duy nhÊt, suy ra x1 = x2 = = xn =0VËy, hÖ B ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 2 1.4.3 Täa ®é §Þnh nghÜa 7. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R vµ B =(e1,e2, ,en) lµ c¬ së ®−îc s¾p thø tù cña V . Khi ®ã, theo MÖnh ®Ò 5, víi mäi x ∈ V , tån t¹i n duy nhÊt (x1,x2, ,xn) ∈ R sao cho x = x1e1 + x2e2 + ···+ xnen. Ký hiÖu, n xB =(x1,x2, ,xn) ∈ R , vµ gäi lµ täa ®é cña vector x theo c¬ së B.
38 Ta còng th−êng viÕt xB d−íi d¹ng ma trËn dßng hoÆc cét x1 x  2 xB = x1 x2 xn =  .  .  .    xn MÖnh ®Ò 6. Cho V lµ kh«ng gian vector trªn R vµ B =(e1,e2, ,en) lµ c¬ së V . Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ V , α ∈ R, ta cã (x + y)B = xB + yB vµ (αx)B = αxB. Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ ®Þnh nghÜa. 2 NhËn xÐt. Khi cè ®Þnh mét c¬ së B cña mét kh«ng gian vector n chiÒu V trªn R, ta cã t−¬ng øng 1 − 1: V −→ R, x 7−→ xB. Bëi MÖnh ®Ò trªn, phÐp t−¬ng øng nµy cho phÐp ®−a viÖc tÝnh to¸n trªn V vÒ tÝnh to¸n trªn Rn. 2 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 2.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 8. Cho V ,V 0 lµ hai kh«ng gian vector trªn tr−êng sè R. ¸nh x¹ f : V −→ V 0 gäi lµ R- tuyÕn tÝnh nÕu víi mäi x, y ∈ V,α ∈ R ta cã (L1) f(x + y)=f(x)+f(y), (L2) f(αx)=αf(x). 0 0 Ta ký hiÖu LR(V,V ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ V vµo V vµ ®Æt LR(V )=LR(V,V ). NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (L1) vµ (L2) t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiÖn sau (L) f(αx + βy)=αf(x)+βf(y), ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ R. 0 2) LR(V,V ) còng cã cÊu tróc kh«ng gian vector trªn R, víi phÐp c«ng ¸nh x¹ vµ phÐp nh©n anh x¹ víi sè th«ng th−êng 0 (f + g)(x)=f(x)+g(x) vµ (αf)(x)=αf(x), ∀f,g ∈LR(V,V ),α∈ R. 0 VÝ dô. 1) ¸nh x¹ kh«ng O : V −→ V , O(x)=O vµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt idV lµ c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.
39 n m 2) Víi A ∈ MatR(m, n), ¸nh x¹ LA : R −→ R , LA(x)=Ax, lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. §Æc biÖt λ1 0 A = =⇒ LA lµ phÐp co d·n c¸c trôc. 0 λ2 10 A = =⇒ L lµ phÐp ®èi xøng qua trôc Ox . 0 −1 A 1 −10 A = =⇒ L lµ phÐp ®èi xøng qua trôc Ox . 01 A 2 −10 A = =⇒ L lµ phÐp ®èi xøng gèc O. 0 −1 A 0 00 0 MÖnh ®Ò 7. Cho V ,V , V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ f ∈LR(V,V ), 0 00 g ∈LR(V ,V ). Khi ®ã 0 1) f(OV )=OV 0 , trong ®ã OV , OV 0 lµ c¸c vector kh«ng cña V ,V . n n 2) f(X αixi)=X αif(xi), ∀xi ∈ V , αi ∈ R, i =1, ,n. i=1 i=1 00 3) g ◦ f ∈LR(V,V ). Chøng minh. 1) Suy ra tõ (L2): f(OV )=f(0 · OV )=0· f(OV )=OV 0 . 2) Víi n =2lµ hiÓn nhiªn, sau ®ã, quy n¹p theo n. 3) Víi mäi x, y ∈ V vµ α, β ∈ R ta cã (g ◦ f)(αx + βy)=g[f(αx + βy)] = g(αf(x)+βf(y)) . = αg(f(x)) + βg(f(y)) = α(g ◦ f)(x)+β(g ◦ f)(y) Do ®ã, g ◦ f lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. 2 MÖnh ®Ò 8. Gi¶ sö {e1, ,en} lµ c¬ së cña V vµ f1, ,fn lµ c¸c vector bÊt kú 0 0 cña V . Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt f ∈LR(V,V ) sao cho f(ei)=fi, i =1, ,n. Chøng minh. DÔ dµng kiÓm chøng ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cÇn t×m lµ n n f(x)=f(X xiei)=X xifi. i=1 i=1 0 §Ó chøng minh tÝnh duy nhÊt, gi¶ sö tån t¹i g ∈LR(V,V ) sao cho g(ei)=fi, n i =1, ,n. Khi ®ã, víi mäi x = X xiei ∈ V ta cã i=1 n n n n f(x)=f(X xiei)=X xif(ei)=X xig(ei)=g(X xiei)=g(x). i=1 i=1 i=1 i=1
40 2 3 VÝ dô. Trong R xÐt c¬ së chÝnh t¾c e1 =(1, 0, 0), e2 =(0, 1, 0), e3 =(0, 0, 1). 3 2 T×m ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : R −→ R sao cho f(e1)=(1, 1), f(e2)=(2, 3), f(e3)=(4, 5). 3 Víi mçi x =(x1,x2,x3) ∈ R ta cã x = x1e1 + x2e2 + x3e3. Suy ra 1 2 4 x1 +2x2 +4x3 f(x)=f(x1e1 +x2e2 +x3e3)=x1 +x2 +x3 = 1 3 5 x1 +3x2 +5x3 0 0 MÖnh ®Ò 9. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ f ∈LR(V,V ). 1) NÕu W lµ kh«ng gian con cña V , th× f(W ) lµ kh«ng gian con cña V 0. 2) NÕu W 0 lµ kh«ng gian con cña V 0, th× f −1(W 0) lµ kh«ng gian con cña V . Chøng minh. 1) Gi¶ sö y1,y2 lµ hai phÇn tö bÊt kú cña f(W ). Khi ®ã, tån t¹i x1,x2 ∈ W sao cho y1 = f(x1), y2 = f(x2). Víi mäi α, β ∈ R Ta cã αy1 + βy2 = αf(x1)+βf(x2)=f(αx1 + βx2). V× W lµ kh«ng gian con nªn αx1 + βx2 ∈ W . Tõ ®ã αy1 + βy2 ∈ f(W ). Suy ra f(W ) lµ kh«ng gian con cña V 0. −1 0 0 2) Gi¶ sö x1,x2 lµ hai phÇn tö bÊt kú cña f (W ). Khi ®ã, f(x1),f(x2) ∈ W . Do W 0 lµ kh«ng gian con nªn víi mäi α, β ∈ R ta cã 0 f(αx1 + βx2)=αf(x1)+βf(x2) ∈ W . −1 0 −1 0 Tõ ®ã αx1 + βx2 ∈ f (W ). VËy f (W ) lµ kh«ng gian con. 2 2.2 ¶nh-Nh©n cña x¹ tuyÕn tÝnh 0 0 §Þnh nghÜa 9. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ f ∈LR(V,V ). Khi ®ã 1) Kerf = f −1(O)={x ∈ V | f(x)=O} lµ mét kh«ng gian con cña V gäi lµ nh©n cña f vµ dimKerf gäi lµ sè khuyÕt cña f. 2) Imf = f(V )={f(x) | x ∈ V } lµ mét kh«ng gian con cña V gäi lµ ¶nh cña f vµ dimImf gäi lµ h¹ng cña f. 0 0 MÖnh ®Ò 10. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ f ∈LR(V,V ). Khi ®ã c¸c ®iÒu sau lµ t−¬ng ®−¬ng 1) f lµ ®¬n ¸nh. 2) Kerf = {O}. 3) NÕu hÖ {e1, ,es} lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V , th× hÖ {f(e1), ,f(es)} ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong V 0.
41 Chøng minh. 1) ⇒ 2). Gi¶ sö f lµ ®¬n ¸nh. XÐt bÊt kú x ∈ Kerf, ta cã f(x)=O = f(O).Dof ®¬n ¸nh nªn suy ra x = O. VËy Kerf = {O}. s s 2) ⇒ 3). Gi¶ sö cã ®¼ng thøc X λif(ei)=O. Suy ra f(X λiei)=O. Do ®ã, i=1 i=1 s s X λiei ∈ Kerf = {O}. Tøc lµ, X λiei = O. Tõ tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña i=1 i=1 {e1, ,es} suy ra λ1 = = λs =0. n 3) ⇒ 1). XÐt B = {u1,u2, un} lµ mét c¬ së cña V vµ x = X xiui, y = i=1 n X yiui lµ hai vector trong V .Tacã i=1 n n f(x)=f(y)=⇒ f(X xiui)=f(X yiui) i=1 i=1 n n n =⇒ X xif(ui)=X yif(ui)=⇒ X(xi − yi)f(ui)=O i=1 i=1 i=1 =⇒ xi − yi =0,i=1, ,n (do c¸c f(ui) ®éc lËp tuyÕn tÝnh) =⇒ xi = yi,i=1, ,n=⇒ x = y. VËy, f lµ ®¬n ¸nh. 2 0 0 MÖnh ®Ò 11. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ f ∈LR(V,V ). Khi ®ã c¸c ®iÒu sau lµ t−¬ng ®−¬ng 1) f lµ toµn ¸nh. 2) Imf = V 0. 0 3) NÕu V = L(e1, ,es), th× V = L(f(e1), ,f(es)). Chøng minh. DÔ dµng suy ra rõ ®Þnh nghÜa toµn ¸nh vµ hÖ sinh. 2 0 0 §Þnh lý 2. Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ f ∈LR(V,V ). Khi ®ã dimImf + dimKerf = dimV. Chøng minh. Gi¶ sö Kerf cã c¬ së lµ {e1, ,es}. Bæ sung vµo c¬ së nµy ®Ó {e1, ,es,es+1, ,en} lµ c¬ së cña V . §Ó cã c«ng thøc trªn, ta chØ cÇn chøng minh {f(es+1), ,f(en)} lµ c¬ së cña Imf. HÖ sinh. Mäi y ∈ Imf, tån t¹i x = x1e1 + ···+ xses + xs+1es+1 + ···+ xnen ∈ V sao cho y = f(x)=f(x1e1, ,xses)+f(xs+1es+1, ,xnen) | ∈Ker{z f } = f(xs+1es+1 + ···+ xnen)=xs+1f(es+1)+···+ xnf(en).
42 VËy, y ∈ L(es+1), ,f(en). Tõ ®ã, Imf = L(es+1), ,f(en). n n §éc lËp tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö X xif(ei)=O. Khi ®ã, f( X xiei)=O. Tøc i=s+1 i=s+1 n n s 0 lµ, X xiei ∈ Kerf = L(e1, ,es). VËy, X xiei = X xiei. Tõ tÝnh ®éc lËp i=s+1 i=s+1 i=1 tuyÕn tÝnh cña {e1, ,en} suy ra xs+1 = = xn =0. 2 2.3 §¼ng cÊu tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 10. Cho V ,V 0 lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R. ¸nh x¹ f : V −→ V 0 gäi lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh nÕu f lµ song ¸nh vµ f,f−1 lµ c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Hai kh«ng gian V ,V 0 gäi lµ ®¼ng cÊu nÕu tån t¹i mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh gi÷a chóng. Mét ®¼ng cÊu tõ V lªn chÝnh nã gäi lµ tù ®¼ng cÊu hay phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh. NhËn xÐt. f : V −→ V 0 song ¸nh vµ tuyÕn tÝnh, th× f −1 : V 0 −→ V tuyÕn tÝnh. 0 ThËt vËy, xÐt mäi y1,y2 ∈ V , α, β ∈ R. Gäi x1,x2 ∈ V sao cho f(x1)=y1, f(x2)=y2. Khi ®ã −1 −1 −1 f (αy1 + βy2)=f (αf(x1)+βf(x2)=f f(αx1 + βx2) −1 −1 = αx1 + βx2 = αf (y1)+βf (y2). §Þnh lý 3. Hai kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu trªn cïng tr−êng R ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi chóng cïng chiÒu. §Æc biÖt: Mäi kh«ng gian vector n chiÒu V trªn R ®Òu ®¼ng cÊu víi Rn Chøng minh. Gi¶ sö V vµ V 0 ®¼ng cÊu. Bëi MÖnh ®Ò 10, 11, c¬ së cña V chuyÓn thµnh c¬ së cña V 0 qua phÐp ®¼ng cÊu. Tõ ®ã, dimV = dimV 0. Ng−îc l¹i, gi¶ sö dimV = dimV 0 = n. Cè ®Þnh mét c¬ së B cña V . Khi ®ã ta cã n ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh f : V −→ R ,x7−→ xB. 2 NhËn xÐt. §Þnh lý trªn cho phÐp ta khi nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vÒ cÊu tróc tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian vecor n chiÒu V , chØ cÇn lµm viÖc trªn Rn, råi phiªn dÞch c¸c kÕt qña sang V . 2.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn 2.4.1 Ma trËn biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 0 0 Cho V ,V lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ f ∈LR(V,V ). Gi¶ sö B = 0 0 {e1, ,en}, B = {f1, ,fm} lµ c¸c c¬ së cña V , V t−¬ng øng. Ta muèn t×m
43 mét biÓu thøc täa ®é cña f trong c¬ së B, B0, tøc lµ khi y = f(x), h·y t×m qui luËt gi÷a c¸c täa ®é xB vµ yB. Tr−íc hÕt, ta ®· biÕt r»ng mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi gi¸ trÞ cña nã trªn c¬ së (MÖnh ®Ò 8). V× vËy, ta cÇn kh¶o 0 s¸t täa ®é cña c¸c vector f(ei),i=1, ,n theo c¬ së B . §Þnh nghÜa 11. Ta gäi ma trËn ®Þnh nghÜa sau ®©y B0 MB (f)=f(e1)B0 f(e2)B0 ··· f(en)B0 = ma trËn víi cét thø i lµ to¹ ®é f(ei)B0 lµ ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B, B0. 0 B0 MÖnh ®Ò 12. Cho f ∈LR(V,V ) vµ MB (f) lµ ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B, B0 cña V,V 0. Khi ®ã B0 y = f(x) ⇐⇒ yB0 = MB (f)xB. m a1j  . Chøng minh. Gi¶ sö f(ej)=X aijfi, tøc lµ f(ej)B0 =  . , j =1, ,n. i=1   amj n x1 m y1 . . . 0 . Cho x = X xjej, tøc lµ xB =  .  vµ y = X yifi, tøc lµ yB =  . . j=1   i=1   xn yn Khi ®ã ta cã m n n n m y = f(x) ⇐⇒ X yifi = f X xjej = X xjf(ej)=X X aijxjfi. i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 m ⇐⇒ yi = X aijxj,i=1, ,m. j=1 y1 a11 a12 a1n  x1 y a a a x  2  21 22 2n   2 B0 ⇐⇒  .  =  . . .   .  ⇐⇒ yB0 = MB (f)xB  .   . . .   .        yn am1 am2 amn xn 2
44 2.4.2 Quan hÖ gi÷a ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn MÖnh ®Ò 13. Cho V , V 0, V 00 lµ c¸c kh«ng gian vector trªn R vµ B, B0, B00 lµ c¸c 0 0 00 c¬ së t−¬ng øng. Gi¶ sö f,g ∈LR(V,V ) vµ h ∈LR(V ,V ) vµ α ∈ R. Khi ®ã B0 B0 B0 MB (f + g)=MB (f)+MB (g) B0 B0 MB (αf)=αMB (f) B0 B00 B0 MB (h ◦ f)=MB0 (h)MB (f) 0 0 0 00 00 00 Chøng minh. Gi¶ sö B = {e1, ,en}, B = {e1, ,em}, B = {e1, ,ep}. Khi ®ã hai ®¼ng thøc ®Çu suy ra tõ 0 0 0 0 0 (f + g)(ej)B = f(ej )+g(ej)B0 = f(ej)B + g(ej)B vµ (αf)(ej)B = αf(ej )B . m p p 0 0 00 00 Gi¶ sö f(ej)=X bkjek, h(ek)=X aikei vµ h ◦ f(ej)=X cijei . Khi ®ã k=1 i=1 i=1 m m p m 0 0 00 h ◦ f(ej )=h X bkjek = X bkjh(ek)=X X aikbkjei . k=1 k=1 i=1 k=1 m VËy, cij = X aikbkj. Suy ra ®¼ng thøc cuèi. 2 k=1 §Þnh lý 4. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn R víi c¬ së B vµ V 0 lµ kh«ng gian m chiÒu trªn R víi c¬ së B0. Khi ®ã ¸nh x¹ 0 B0 M: LR(V,V ) −→ MatR(m, n),f7−→ M(f)=MB (f), lµ mét ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh. Chøng minh. TÝnh tuyÕn tÝnh suy ra tõ MÖnh ®Ò 13, cßn tÝnh song ¸nh suy ra tõ MÖnh ®Ò 8. 2 NhËn xÐt. §inh lý trªn cho phÐp qui c¸c tÝnh to¸n trªn ¸nh x¹ tuyÕn vÒ c¸c tÝnh to¸n trªn ma trËn cña nã. TÊt nhiªn, nÕu ma trËn cµng ®¬n gi¶n th× viÖc tÝnh to¸n cµng dÔ dµng. Do vËy, ta muèn t×m mét c¬ së tèt ®Ó mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cã ma trËn biÓu diÔn d¹ng ®¬n gi¶n, ch¼ng h¹n nh− d¹ng ®−êng chÐo. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ, ®èi víi mçi phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, liÖu cã t×m ®−îc mét c¬ së ®Ó ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së ®ã cã d¹ng ®−êng chÐo? T×m c¬ së ®ã nh− thÕ nµo? Môc tiÕp theo sÏ nghiªn cøu lêi gi¶i.
45 3 PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa 3.1 §æi c¬ së- C«ng thøc ®æi täa ®é Cho B =(e1, ,en), C =(f1, ,fn) lµ c¸c c¬ së cña kh«ng gian vector V vµ x ∈ V . Chóng ta muèn t×m quan hÖ gi÷a xB vµ xC. 3.1.1 Ma trËn chuyÓn c¬ së §Þnh nghÜa 12. Ma trËn chuyÓn c¬ së B sang C ®−îc ký hiÖu vµ ®Þnh nghÜa bëi MB→C = (f1)B (fn)B = Ma trËn víi cét i lµ täa ®é cña fi ®èi víi c¬ së B. NhËn xÐt. 1) NÕu viÕt B nh− lµ ma trËn víi cét i lµ vector ei, vµ t−¬ng tù ®èi víi C, th× ta cã (f1 fn)=(e1 en)MB→C hay C = BMB→C. B 2) MB→C = MC (idV ). C B C 3) Do MB (idV )MC (idV )=MC (idV )=I, nªn MB→C lµ ma trËn kh¶ nghÞch vµ −1 (MB→C) = MC→B. n 4) NÕu V = R , th× cã thÓ t×m MB→C bëi c¸c phÐp biÕn ®æ s¬ cÊp trªn ma trËn (e1 ···en | f1 ···fn) −→ (I | MB→C). 3.1.2 C«ng thøc ®æi täa ®é MÖnh ®Ò 14. Cho B, C lµ hai c¬ së trªn kh«ng gian vector V vµ x ∈ V . Khi ®ã xB = MB→C · xC B Chøng minh. Suy ra tõ xB =(idV (x))B = MC (idV )xC. 2 3.1.3 Ma trËn biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trong c¸c c¬ së kh¸c nhau 0 0 0 MÖnh ®Ò 15. Cho f ∈LR(V,V ). Gäi B, C lµ hai c¬ së cña V vµ B , C lµ hai c¬ së cña V 0. Khi ®ã C0 −1 B0 MC (f)=(MB0→C0 ) MB (f)MB→C Chøng minh. Tõ quan hÖ gi÷a hîp ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ tÝch ma trËn ta cã C0 C0 B0 B −1 B0 MC (idV 0 ◦ f ◦ idV )=MB0 (idV 0 )MB (f)MC (idV )=(MB0→C0 ) MB (f)MB→C. 2
46 3.2 Ma trËn ®ång d¹ng- ChÐo hãa §Þnh nghÜa 13. Hai ma trËn A, B ∈ MatR(n) gäi lµ ®ång d¹ng nÕu tån t¹i ma trËn kh¶ nghÞch P sao cho B = P −1AP . Ma trËn A ∈ MatR(n) gäi lµ chÐo ho¸ ®−îc nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét ma trËn kh¶ nghÞch P sap cho P −1AP cã d¹ng chÐo. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn R. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : V −→ V gäi lµ chÐo ho¸ ®−îc trªn R nÕu tån t¹i c¬ së B cña V sao cho ma trËn biÓu diÔn f trong c¬ së B cã d¹ng chÐo. 3.3 Gi¸ trÞ riªng-Vector riªng §Þnh nghÜa 14. Cho V lµ kh«ng gian n chiÒu trªn R, f ∈LR(V,V ) vµ A ∈ MatR(n). Sè λ ∈ R gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña f nÕu tån t¹i x ∈ V , x =06 , sao cho f(x)=λx. Sè λ ∈ R gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña A nÕu tån t¹i x ∈ Rn, x =06 , sao cho Ax = λx. Khi ®ã x gäi lµ vector riªng øng víi gi¸ trÞ riªng λ. MÖnh ®Ò 16. Cho A ∈ MatR(n). Khi ®ã 1) λ ∈ R lµ gi¸ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi det(A − λI)=0. 2) x ∈ Rn lµ vector riªng øng víi gi¸ trÞ riªng λ khi vµ chØ khi x lµ nghiÖm kh¸c kh«ng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (A − λI)x =0. Chøng minh. λ ∈ R lµ gi¸ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi hÖ (A − λI)x =0cã nghiÖm kh¸c kh«ng. §iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi det(A − λI)=0. 2 PA(λ) = det(A − λI) gäi lµ ®a thøc ®Æc tr−ng vµ det(A − λI)=0gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña ma trËn A. NhËn xÐt. 1) NÕu A ®ång d¹ng víi B, th× PA(λ)=PB(λ). ThËt vËy, Gi¶ sö B = P −1AP , víi P kh¶ nghÞch. Khi ®ã −1 −1 PB(λ) = det(P AP − λI) = det(P (A − λI)P ) −1 . = det P det(A − λI) det P = det(A − λI)=PA(λ) 2) Víi mäi λ ∈ R, E(λ)={x ∈ Rn | (A − λI)x =0} lµ kh«ng gian vector con cña Rn cã chiÒu b»ng n−rank(A−λI), c¬ së cña kh«ng gian ®ã lµ hÖ nghiÖm c¬ së, tøc lµ hÖ c¸c nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh, cña hÖ ph−¬ng tr×nh (A − λI)x =0.
47 3.4 Tiªu chuÈn chÐo ho¸ §Þnh lý 5. Ma trËn A ∈ MatR(n) chÐo ho¸ ®−îc trªn R khi vµ chØ khi hai ®iÒu kiÖn sau ®−îc tháa (1) Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng det(A−λI)=0cã s nghiÖm kh¸c nhau λ1,λ2, ,λs ∈ R víi béi n1,n2, ,ns t−¬ng øng sao cho n1 + n2, ···+ ns = n. (2) Víi mçi i ∈{1, ,s}, ph−¬ng tr×nh (A − λiI)x =0cã ni nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong Rn (gäi lµ nghiÖm c¬ së). Chøng minh. Ta cÇn bæ ®Ò sau Bæ ®Ò 2. NÕu λ1,λ2, ,λs ∈ R lµ c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña A, th× c¸c hÖ c¸c vector riªng e1,e2, ,es ∈ Rn øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng ®ã lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Chøng minh bæ ®Ò. Ta chøng minh b»ng qui n¹p theo s. Víi s =1, bæ ®Ò hiÓn nhiªn ®óng v× mäi vector riªng ®Òu kh¸c O. Gi¶ sö bæ ®Ò ®óng víi s − 1. 1 2 s Gi¶ sö αi ∈ R,sao cho: α1e + α2e + ···+ αse = O. (A) 1 2 s Nh©n A vµo hai vÕ cña (A): α1λ1e + α2λ2e + ···αsλse = O, (B) 1 2 s−1 Thùc hiÖn λs(A)−(B): α1(λs−λ1)e +α2(λs−λ2)e +···+αs−1(λsλs−1e = O. Bëi gi¶ thiÕt qui n¹p vµ λs =6 λi, suy ra α1 = = αs−1 = O (C). 1 2 s Tõ (A) vµ (C) suy ra αs =0. VËy, e ,e , ,e ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Chøng minh ®Þnh lý. Gi¶ sö tån t¹i P kh¶ nghÞch sao cho −1 P AP = D = diag(λ1, ,λ1, ,λs, ,λs). | {zn1 } | {zns } s n ni Khi ®ã, PA(λ)=PD(λ)=(−1) Q(λ − λi) . Suy ra kh¼ng ®Þnh 1). i=1 Tõ AP = PD suy ra Ap1 Ap2 Apn = λ1p1 λ1pn1 λspn , trong ®ã, pi lµ cét thø i cña ma trËn P . Tøc lµ, mçi cét cña P lµ lµ mét vector riªng cña A.Dodet P =06 , c¸c cét cña P lµ c¸c vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Nãi riªng, cã ni c¸c vector riªng ®éc lÊp tuyÕn tÝnh øng víi gi¸ trÞ riªng λi. Ng−îc l¹i, tõ 1) suy ra A cã c¸c gi¸ trÞ riªng λ1, ,λs kh¸c nhau. Tõ 2) suy i i ra mçi gi¸ trÞ riªng λi cã ni vector riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh: e1, ,eni . Theo e1, ,e1 , ,es, ,es bæ ®Ò, hÖ 1 n1 1 ns ®éc lËp tuyÕn tÝnh, h¬n n÷a, theo 2) hÖ gåm ··· n 1 s n1 +n2, +ns = n vector, nªn nã lµ mét c¬ së cña R . §Æt P = e1 ens. Khi ®ã P kh¶ nghÞch vµ AP = P diag(λ1, ,λ1, ,λs, ,λs). | {zn1 } | {zns } Tøc lµ P −1AP lµ ma trËn chÐo. 2
48 HÖ qu¶ 1. NÕu mäi gi¸ trÞ riªng cña ma trËn A ∈ MatR(n) thuéc R vµ kh¸c nhau tõng ®«i mét, th× A chÐo ho¸ ®−îc. 3.5 ThuËt to¸n chÐo ho¸ ma trËn A ∈ MatR(n) B−íc 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng det(A − λI)=0, ®Ó t×m gi¸ trÞ riªng - NÕu kh«ng ®ñ n nghiÖm (kÓ c¶ béi) thuéc R, th× kh«ng chÐo ho¸ ®−îc. - NÕu ®ñ n nghiÖm λ1,λ2, ,λs ∈ R víi béi n1,n2, ,ns, th× qua b−íc 2. B−íc 2. Víi mçi i =1, ,s, gi¶i hÖ (A − λiI)x =0, ®Ó t×m vector riªng. - NÕu tån t¹i i sao cho rank(A − λiI) =6 n − ni, th× kh«ng chÐo ho¸ ®−îc. - NÕu víi mäi i sao cho rank(A − λiI)=n − ni, th× x¸c ®Þnh ni vector ®éc lËp i i tuyÕn tÝnh e1, ,eni . 1 s B−íc 3. §Æt P = e1 ens . Khi ®ã P kh¶ nghÞch vµ AP = P diag(λ1, ,λ1, ,λs, ,λs). | {zn1 } | {zns } 3.6 ThuËt to¸n chÐo ho¸ ¸nh x¹ R-tuyÕn tÝnh f : V −→ V B B−íc 1. Cè ®Þnh mét c¬ së B cña V vµ x¸c ®Þnh A = MB (f). B−íc 2. ChÐo hãa A, tøc lµ t×m P sao cho P −1AP = D lµ ma trËn chÐo. C B−íc 3. Khi ®ã c¬ së C = BP tháa MC (f)=D. ThËt vËy, ta cã BP −1 B0 MBP (f)=(MB→BP ) MB (f)MB→BP MÆt kh¸c, do BP = B·MB→BP vµ B kh¶ nghÞch, suy ra P = MB→BP . 4 D¹ng song tuyÕn tÝnh - D¹ng toµn ph−¬ng 4.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng §Þnh nghÜa 15. Cho V lµ mét kh«ng gian vector trªn R. Mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn V lµ ¸nh x¹ q : V × V −→ R, nÕu q tuyÕn tÝnh theo tõng biÕn, tøc lµ cã tÝnh chÊt sau ®©y víi mäi x, x0,y,y0 ∈ V vµ α, β ∈ R (B1) q(x + x0,y)=q(x, y)+q(x0,y) q(αx, y)=αq(x, y) (B2) q(x, y + y0)=q(x, y)+q(x, y0) q(x, αy)=αq(x, y).
49 D¹ng q gäi lµ ®èi xøng nÕu q(x, y)=q(y,x), ∀x, y ∈ V . D¹ng q gäi lµ ph¶n xøng nÕu q(x, y)=−q(y,x), ∀x, y ∈ V . 2 2 VÝ dô. 1) §Þnh thøc det: R × R −→ R, (a1,a2) 7−→ det(a1 a2) lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng. n n t 2) TÝch v« h−íng h, i: R × R −→ R, hx, yi = xy = x1y1 + ···+ xnyn, trong n ®ã, x =(x1, ,xn), y =(y1, ,yn) ∈ R , lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng. 4.2 Ma trËn biÓu diÔn d¹ng song tuyÕn tÝnh 4.2.1 Ma trËn biÓu diÔn trong mét c¬ së Gi¶ sö B = {e1, ,en} lµ c¬ së cña V vµ q lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn V . Khi n n ®ã, víi mäi x = X xiei, X yjej ∈ V ,tacã i=1 j=1 n n n q(x, y)=q X xiei, X yjej = X q(ei,ej)xiyj . i=1 j=1 i,j=1 Ma trËn A =(aij)=q(ei,ej) ∈ MatR(n) gäi lµ ma trËn biÓu diÔn cña q trong c¬ së B. NhËn xÐt. q lµ ®èi xøng khi vµ chØ khi A lµ ma trËn ®èi xøng. VÝ dô. D¹ng song tuyÕn tÝnh sinh bëi ma trËn A =(aij) ∈ MatR(n) n n n t qA : R × R −→ R,qA(x, y)= xAy = X aijxixj, i,j=1 cã ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së chÝnh t¾c lµ A. 4.2.2 Ma trËn biÓu diÔn trong c¸c c¬ së kh¸c nhau Cho q lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn V . Gi¶ sö A lµ ma trËn biÓu diÔn q trong c¬ së B vµ A0 lµ ma trËn biÓu diÔn q trong c¬ së C. Khi ®ã, ta cã 0 t A = MB→C · A · MB→C. ThËt vËy, víi x, y ∈ V ta cã xB = MB→CxC vµ yB = MB→CyC. Tõ dã t t t q(x, y)= xB · A · yB = xC MB→C · A · MB→C · yC. Suy ra mèi quan hÖ gi÷a A vµ A0.
50 §Þnh nghÜa 16. H¹ng cña d¹ng song tuyÕn tÝnh q trªn V , ký hiÖu rank(q), lµ h¹ng cña ma trËn biÓu diÔn A cña q trong mét c¬ së nµo ®ã. Ta nãi q kh«ng suy biÕn nÕu rank(q)=dimV . 4.3 D¹ng toµn ph−¬ng §Þnh nghÜa 17. Cho q lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn R-kh«ng gian vector V . D¹ng toµn ph−¬ng sinh bëi q lµ ¸nh x¹ Q: V −→ R, Q(x)=q(x, x). NhËn xÐt. Cã thÓ cã nhiÒu d¹ng song tuyÕn tÝnh sinh ra cïng mét d¹ng toµn ph−¬ng. VÝ dô, c¸c d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn R2, q(x1,x2; y1,y2)=x1y1 + ax1y2 + bx2y1 + x2y2, víi a + b =1, 2 2 cïng sinh ra mét d¹ng toµn ph−¬ng Q(x1,x2)=q(x1,x2; x1,x2)=x1 +x1x2 +x2. MÖnh ®Ò 17. Mäi d¹ng toµn ph−¬ng Q ®Òu cã duy nhÊt mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng sinh ra Q. Tøc lµ, cã mét song ¸nh gi÷a d¹ng toµn ph−¬ng vµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng. Chøng minh. Gi¶ sö d¹ng toµn ph−¬ng Q ®−îc sinh bëi q. §Æt 1 q˜(x, y)= q(x, y)+q(y,x). 2 Khi ®ã, q˜ lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng sinh ra Q.Tõq˜ ®èi xøng, ta cã q˜(x + y,x + y)=˜q(x, x)+˜q(y,y)+2˜q(x, y) Suy ra, q˜ ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi c«ng thøc 1 q˜(x, y)= Q(x + y) − Q(x) − Q(y) 2 2 Ta gäi d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng cña q˜ sinh ra d¹ng toµn ph−¬ng Q lµ d¹ng cùc cña cña Q. Ma trËn biÓu diÔn d¹ng toµn ph−¬ng Q trong mét c¬ së lµ ma trËn biÓu diÔn cña q˜ trong c¬ së ®ã. Nh− vËy, nÕu V lµ kh«ng gian vector víi c¬ së B = {e1, ,en}, th× d¹ng toµn ph−¬ng Q cã biÓu thøc to¹ ®é lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc 2: n n n Q(x)=Q(X xiei)= X q˜(ei,ej)xixj = X aijxixj, i=1 i,j=1 i,j=1 víi ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së B lµ ma trËn ®èi xøng A =(aij).
51 4.4 D¹ng chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph−¬ng Còng nh− ®èi víi phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, ta muèn t×m mét c¬ së tèt B ®Ó mét d¹ng toµn ph−¬ng Q trªn kh«ng gian vector n chiÒu V cã ma trËn biÓu diÔn d¹ng ®¬n gi¶n, ch¼ng h¹n nh− d¹ng ®−êng chÐo. Khi ®ã, biÓu thøc täa ®é cña nã cã d¹ng tæng b×nh ph−¬ng 2 2 Q(x)=a1x1 + ···+ anxn, víi mäi x ∈ V vµ xB =(x1, xn). §Þnh nghÜa 18. Cho Q lµ d¹ng toµn ph−¬ng V . C¬ së B = {e1, ,en} cña V gäi lµ c¬ së Q-chÝnh t¾c nÕu vµ chØ nÕu ma trËn biÓu diÔn Q trong c¬ së B cã d¹ng chÐo, tøc lµ biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së ®ã cã d¹ng chÝnh t¾c 2 2 Q(x)=λ1x1 + ···+ λnxn. NhËn xÐt. Gi¶ sö d¹ng toµn ph−¬ng Q trªn V cã ma trËn biÓu diÔn trong c¬ n së B lµ A =(aij). Tøc lµ, biÓu thøc to¹ ®é cña Q cã d¹ng Q = X aijxixj, i,j=1 trong ®ã xB =(x1, ,xn). ViÖc t×m d¹ng chÝnh t¾c cña Q, tøc lµ t×m mét c¬ së Q-chÝnh t¾c C t−¬ng ®−¬ng víi viÖc t×m ma trËn chuyÓn c¬ së MB→C sao 0 t cho A = MB→C · A · MB→C cã d¹ng chÐo. Khi ®ã víi phÐp biÕn ®æi täa ®é xB = MB→C · xC, biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së C cã d¹ng chÝnh t¾c 2 2 Q = λ1y1 + ···+ λnyn, trong ®ã, xC =(y1, ,yn). 4.4.1 Ph−¬ng ph¸p Lagrange t×m d¹ng chÝnh t¾c §Þnh lý 6. Mäi d¹ng toµn ph−¬ng Q trªn V ®Òu cã thÓ ®−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c, Chøng minh. (ThuËt to¸n Lagrange) Gi¶ sö trong c¬ së B = {e1, ,en} d¹ng n toµn ph−¬ng Q cã d¹ng Q(x)= X aijxixj, víi xB =(x1, ,xn). i,j=1 Ta chØ cÇn chøng minh tr−êng hîp tån t¹i i ®Ó aii =06 . V× nÕu kh«ng, th× ph¶i cã
52 i =6 j sao cho aij =06 . Khi ®ã, ®Æt 10 0 0 0 . . . . . . . . . .    xi = ui + uj 00 1 1 0  . . . . .  xj = ui − uj vµ P = . . . . .  . . . . .  00 −1 1 0 xk = uk ∀k =6 i, j   . . . . .  . . . . .    00 0 0 1 Khi ®ã, det P =06 . §Æt C = BT , ta cã P = MB→BP . Trong c¬ së C , biÓu thøc 2 täa ®é cña Q cã d¹ng Q =2aijui + Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, cã thÓ gi¶ thiÕt a11 =06 . Khi ®ã, Q ®−îc viÕt l¹i nh− sau n 2 a12 a1n Q = a11(x1 +2 x1x2 + ···+2 x1xn)+ X aijxixj a11 a11 i,j=2 n a12 a1n 2 a12 a1n 2 = a11x1 + x2 + ···+ xn + X aij xixj − a11 x2 + ···+ xn a11 a11 a11 a11 i,j=2 | R(x2{z, ,xn) }  0 a12 a1n  0 a12 0 a1n 0 x1 = x1 + x2 + ···+ xn x1 = x1 + x2 + ···+ xn §Æt  a11 a11 ⇐⇒  a11 a11 x0 = x , ∀i =2, ,n. x = x0, ∀i =2, ,n.  i i  i i XÐt ma trËn a a 1 − 12 − 1n  a11 a11 01 0  T =   . . .  . . .  00 1  0 0 Khi ®ã, det T =06 . §Æt B = BT , ta cã T = MB→BT . Trong c¬ së B , biÓu thøc täa ®é cña Q cã d¹ng 02 0 0 Q = a11x1 + R(x2, ,xn). 0 0 002 00 00 LËp luËn t−¬ng tù, ®−a R(x2, ,xn) vÒ d¹ng R = a2x2 + S((x2, ,xn). TiÕp tôc qu¸ tr×nh trªn, sau mét sè h÷u h¹n b−íc, ta ®−îc d¹ng chÝnh t¾c. 2
53 4.4.2 Ph−¬ng ph¸p Jacobi t×m d¹ng chÝnh t¾c Cho ma trËn A =(aij)1≤i,j≤n ∈ MatR(n). Gäi Dk = det(aij)1≤i,j≤k, ®Þnh thøc t¹o thµnh tõ k dßng, k cét ®Çu tiªn cña A,lµ®Þnh thøc con chÝnh cÊp k cña A. §Þnh lý 7. Cho d¹ng toµn ph−¬ng Q trªn V cã ma trËn biÓu diÔn trong c¬ së B = {e1, ,en} lµ A =(aij) ∈ MatR(n). Gi¶ sö, c¸c ®Þnh thøc con chÝnh Dk cña A, k =1, ,n − 1, ®Òu kh¸c 0. Khi ®ã tån t¹i mét c¬ së Q-chÝnh t¾c C = {u1, ,un} sao cho biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së ®ã cã d¹ng chÝnh t¾c 2 D2 2 Dn 2 Q = D1y1 + y2 + ···+ yn, D1 Dn−1 trong ®ã, xC =(y1, ,yn). Chøng minh. Gäi q lµ d¹ng cùc cña Q. Víi mçi k =2, 3, ,n, xÐt hÖ  k−1 X a α + a =0  ij jk ik j=1 i =1, 2, ,k− 1.  §©y lµ hÖ Cramer v× ma trËn hÖ sè cña nã cã ®Þnh thøc lµ Dk−1 =06 . Tõ ®ã, hÖ ˜aki cã nghiÖm αik = , i =1, ,k− 1, trong ®ã, a˜ki lµ phÇn bï ®¹i sè cña aki Dk−1 trong Dk. k−1 §Æt u1 = e1 vµ uk = X αjkej + ek, k =2, ,n. Khi ®ã, C = {u1, ,uk} lµ j=1 c¬ së tháa D1 nÕu i = j =1,  Di q(ui,uj)= nÕu 2 ≤ i = j ≤ n, Di−1  0 nÕu i =6 j. Nh− vËy, C lµ c¬ së Q-chÝnh t¾c vµ cã biÓu thøc täa ®é cña Q trong c¬ së C nh− ®· nªu. 2 4.5 D¹ng x¸c ®Þnh §Þnh nghÜa 19. Cho d¹ng toµn ph−¬ng Q trªn kh«ng gian vector thùc V . Khi ®ã Q gäi lµ x¸c ®Þnh d−¬ng, ký hiÖu Q>0, nÕu Q(x) > 0 víi mäi x =6 O.
55 III. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm mét biÕn thùc 1 Sè thùc XuÊt ph¸t tõ sè tù nhiªn N, do c¸c nhu cÇu kh¸c nhau, ng−êi ta më réng thµnh tËp sè nguyªn Z vµ tËp sè h÷u tØ Q. Trong phÇn nµy ta x©y dùng tËp sè thùc R, b»ng c¸ch bæ sung vµo Q c¸c sè v« tØ. 1.1 Sè h÷u tØ Nh¾c l¹i: N = {1, 2, 3, } vµ Z = {0, ±1, ±2, }. Ng−êi ta ®Þnh nghÜa sè h÷u tØ p Q = { | q ∈ Z,q ∈ N}. q VËy mçi sè h÷u tØ lµ tØ sè cña hai sè nguyªn, vµ cã nhiÒu biÔu diÔn kh¸c nhau. −9 −6 −3 Ch¼ng h¹n, vµ cïng biÓu diÔn sè . Ta l−u ý r»ng mçi sè h÷u tØ ®Òu 12 8 4 cã thÓ viÕt d−íi d¹ng thËp ph©n: ±a0,a1a2a3 , trong ®ã, a0 lµ mét sè nguyªn kh«ng ©m, cßn a1,a2,a3, lµ c¸c ch÷ sè tõ 0 ®Õn 9. NÕu chØ cã h÷u h¹n c¸c ak kh¸c kh«ng, th× ta nãi sè thËp ph©n ®ã lµ h÷u h¹n. C¸c sè h÷u tØ mµ mÉu sè cña nã chØ chøa thõa sè 2 hoÆc 5 ®Òu cã biÓu diÔn lµ sè thËp ph©n h÷u h¹n. BiÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè h÷u tØ cã thÓ v« h¹n nh−ng tuÇn hoµn (v× phÐp chia cho mét sè q>1 chØ cã thÓ cã q sè d− kh¸c nhau). PhÇn thËp ph©n lËp l¹i nµy gäi lµ chu kú, th−êng viÕt gän trong ngoÆc ®¬n. VÝ dô. 23 =1, 50000 20 19 =0, 8636363 =0, 8(63). 22 8 =1, 888 =0, (8). 9 Mçi sè thËp ph©n h÷u h¹n hay v« h¹n tuÇn hoµn ®Òu biÓu diÔn mét sè h÷u tØ. §Ó t×m sè h÷u tØ cã biÓu diÔn thËp ph©n h÷u h¹n cho tr−íc ta chØ viÖc nh©n vµ chia mét lòy 1254 thõa thÝch hîp cña 10. Ch¼ng h¹n 1, 254 = . Víi c¸c sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn 1000 hoµn ta xÐt riªng phÇn tuÇn hoµn. Ch¼ng h¹n t×m sè h÷u tØ cã biÓu diÔn thËp ph©n
56 lµ 2, 2(81). §Æt x =0, 0(81), suy ra 1000x =81, (81) = 81 + 0, (81) = 81 + 10x. 81 9 Tõ ®ã, x = = . VËy, 990 110 22 9 251 2, 2(81) = 2, 2+0, 0(81) = + = . 10 110 110 1.2 Sè thùc Sè v« tØ: Ta l−u ý r»ng tËp sè h÷u tØ kh«ng ®ñ ®Ó biÔu diÔn c¸c ®¹i l−îng thùc tÕ. Ch¼ng h¹n, xÐt h×nh vu«ng c¹nh 1. Theo ®Þnh lý Pythagore, ®é dµi x cña ®−êng chÐo tháa x2 =2. Nh−ng, MÖnh ®Ò 1. Kh«ng cã sè h÷u tØ nµo mµ x2 =2. p Chøng minh. ThËt vËy, gi¶ sö cã , víi p, q nguyªn tè cïng nhau, tháa x2 =2. q Ta cã p2 =2q2 nªn p lµ ch½n, tøc lµ p =2k. Nh−ng khi ®ã 2q2 =4k2 nªn q còng ch½n. §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn. 2 √ √ √ NÕu ta ®−a vµo sè 2 sao cho ( 2)2 =2, th× 2 kh«ng thÓ biÓu diÔn thµnh sè thËp ph©n h÷u h¹n hoÆc v« h¹n tuÇn hoµn. §Þnh nghÜa 1. Ta gäi tÊt c¶ c¸c sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn lµ c¸c sè v« tØ. TËp R gåm tÊt c¶ c¸c sè h÷u tØ vµ v« tØ gäi lµ sè thùc. Tõ ®Þnh nghÜa, , mçi sè thùc cã d¹ng ±a0,a1a2a3 , víi a0 lµ mét sè nguyªn kh«ng ©m, cßn a1,a2,a3, lµ c¸c ch÷ sè tõ 0 ®Õn 9. Sè kh«ng lµ sè mµ biÓu diÔn thËp ph©n chØ chøa ch÷ sè 0; sè d−¬ng lµ c¸c sè øng víi dÊu +, sè ©m øng víi dÊu −. Hai sè chØ kh¸c nhau phÇn dÊu ± gäi lµ ®èi nhau. Trªn tËp sè thùc R ta x©y dùng quan hÖ thø tù nh− sau: Víi hai sè thùc d−¬ng a, b ta nãi a<bnÕu trong biÔu diÔn thËp ph©n cña chóng, t¹i vÞ trÝ cã ch÷ sè kh¸c nhau ®Çu tiªn, ch÷ sè cña a nhá h¬n cña b. Ch¼ng h¹n, 1, 23187 <1, 23206 Víi a, b ©m, ta nãi a<bnÕu −b<−a, trong ®ã −a, −b ký hiÖu sè ®èi cña a, b t−¬ng øng. NÕu a ©m, b d−¬ng ta qui −íc a<0, 0 <b. Ngoµi ra ta nãi a ≤ b nÕu a<bhoÆc a = b. §Þnh nghÜa nµy cho mét quan hÖ thø tù trªn R tháa c¸c tÝnh chÊt: §Þnh lý 1. (a) Víi a, b ∈ R, chØ x¶y ra mét trong c¸c kh¶ n¨ng sau a<b hoÆc a = b hoÆc b<a.
57 (b) (B¾c cÇu) Cho a, b, c ∈ R, khi ®ã (a<b =⇒ a<c. b<c (c) (Trï mËt) Cho a, b ∈ R víi a<b. Khi ®ã tån t¹i mét sè h÷u tØ x vµ mét sè v« tØ y sao cho a<x,y<b. 1.3 C¸c phÐp to¸n sè häc Ta c«ng nhËn r»ng cã thÓ thùc hiÖn hai phÐp to¸n céng vµ nh©n c¸c sè thùc d−íi d¹ng thËp ph©n sao cho khi c¸c biÓu diÔn nµy h÷u h¹n hoÆc v« h¹n tuÇn hoµn th× c¸c phÐp to¸n ®ã trïng víi c¸c phÐp to¸n trªn tËp c¸c sè h÷u tØ ®· biÕt. Hai phÐp to¸n ®ã cÇn c¸c tÝnh chÊt sau ®©y víi mäi a, b, c ∈ R , mµ còng lµ c¸c tiªn ®Ò khi x©y dùng tËp sè thùc b»ng tiªn ®Ò: PhÐp céng: PhÐp nh©n: C1:a + b ∈ R.N1:ab ∈ R. C2:(a + b)+c = a +(b + c).N2:(ab)c = a(bc). C3:a + b = b + a. N3:ab = ba. C4:a +0=a. N4:1· a = a. C4:∃−a ∈ R : a +(−a)=0.N5:∃a−1 ∈ R : aa−1 =1. P :(a + b)c = ac + bc. 1.4 CËn trªn vµ cËn d−íi Cho tËp ∅6= E ⊂ R. Sè thùc M gäi lµ cËn trªn cña E nÕu ∀x ∈ E =⇒ x ≤ M. Mét tËp cã cËn trªn gäi lµ bÞ chÆn trªn. Sè thùc m gäi lµ cËn d−íi cña E nÕu ∀x ∈ E =⇒ x ≥ m. Mét tËp cã cËn trªn gäi lµ bÞ chÆn d−íi. TËp E gäi lµ bÞ chÆn nÕu nã võa bÞ chÆn trªn võa bÞ chÆn d−íi. Râ rµng, nÕu mét tËp cã cËn trªn (hoÆc cËn d−íi), th× sÏ cã v« sè cËn trªn (hoÆc cËn d−íi). Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa: Gi¶ sö E bÞ chÆn trªn, ta gäi cËn trªn nhá nhÊt trong tÊt c¶ c¸c cËn trªn cña E lµ cËn trªn ®óng hay supremum cña E, ký hiÖu: sup E. NÕu sup E ∈ E, th× ta nãi E cã gi¸ trÞ lín nhÊt vµ ký hiÖu max E thay cho sup E. Gi¶ sö E bÞ chÆn d−íi, ta gäi cËn d−íi lín nhÊt trong tÊt c¶ c¸c cËn d−íi cña E
58 lµ cËn d−íi ®óng hay infimum cña E, ký hiÖu: inf E. NÕu inf E ∈ E, th× ta nãi E cã gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ ký hiÖu min E thay cho inf E. §Þnh lý 2. (TÝnh ®Çy ®ñ cña R) Mäi tËp con E kh¸c rçng cña tËp sè thùc R bÞ chÆn trªn ( d−íi) ®Òu cã cËn trªn ®óng (cËn d−íi ®óng). Víi tËp E kh«ng bÞ chÆn trªn ta qui −íc sup E =+∞, cßn nÕu E kh«ng bÞ chÆn d−íi, th× inf E = −∞. 2 D·y sè thùc 2.1 Kh¸i niÖm d·y sè Mçi ¸nh x¹ f : N −→ R,n 7−→ f(n) gäi lµ mét d·y sè. Ta th−êng ký hiÖu an = f(n), khi ®ã d·y sè th−êng ®−îc viÕt gän lµ {an} hoÆc liÖt kª c¸c phÇn tö cña d·y a1,a2, ,an, PhÇn tö an gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y. Râ rµng mét d·y hoµn toµn x¸c 1 ®Þnh nÕu biÕt sè h¹ng tæng qu¸t cña nã. Ch¼ng h¹n d·y { } lµ n 1 1 1 1, , , , , 2 3 n Cho d·y sè thùc {an}. Víi mçi d·y c¸c sè tù nhiªn t¨ng dÇn n1 0 sao cho |an|≤K, víi mäi n ( tøc lµ võa bÞ chÆn trªn võa bÞ ch©n d−íi).
59 VÝ dô. a) D·y {(−1)n} bÞ chÆn. 1 b) D·y {n sin } bÞ chÆn v× ta lu«n cã | sin x|≤|x|. n c) D·y {(−1)nn} kh«ng bÞ chÆn. §Þnh nghÜa 3. Ta nãi d·y sè {an} lµ • ®¬n ®iÖu t¨ng nÕu an ≤ an+1, víi mäi n. • ®¬n ®iÖu gi¶m nÕu an ≥ an+1, víi mäi n. D·y ®¬n ®iÖu t¨ng hay ®¬n ®iÖu gi¶m gäi chung lµ ®¬n ®iÖu. n VÝ dô. a) D·y { } ®¬n ®iÖu t¨ng. n +1 (−1)n b) D·y { } kh«ng ®¬n ®iÖu t¨ng còng kh«ng ®¬n ®iÖu gi¶m. C¸c sè h¹ng n cña nã dao ®éng hai phÝa cña 0. 2.3 Giíi h¹n d·y sè §Þnh nghÜa 4. Ta nãi d·y {an} héi tô ®Õn sè L khi n dÇn ®Õn ∞ nÕu ∀>0, ∃N ∈ N : |an − L| N. Sè L gäi lµ giíi h¹n cña d·y {an} , vµ ký hiÖu lim an = L hoÆc an → L (n →∞). n→∞ D·y tiÕn ra v« cïng: Ký hiÖu lim an =+∞ nÕu ∀E>0, ∃N ∈ N : n>N=⇒ an >E. n→∞ Ký hiÖu lim an = −∞ nÕu ∀E>0, ∃N ∈ N : n>N=⇒ an 0 cho n→∞ n +1 n +1 tr−íc ta cã 1 1 |a − 1| = . n n +1 1) D·y {(−1)n} kh«ng cã giíi h¹n. ThËt vËy, nÕu d·y dã cã giíi h¹n L, th× víi n ®ñ lín ta cã |(−1)n − L| < 1. Cho n nhËn c¸c gi¸ trÞ ch½n lÎ kh¸c nhau ta cã |1 − L| < 1 vµ |−1 − L| < 1. §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn v× 2=|1 − L − (−1 − L)|≤|1 − L| + |−1 − L| < 2.
60 3) D·y c¸c h»ng sè an = C, víi mäi n héi tô vÒ chÝnh h»ng sè ®ã. 4) lim 2n =+∞. ThËt vËy, víi mäi E>0 cho tr−íc ta cã n→∞ n |an| =2 >E nÕu chän n>log2 E. 2.4 C¸c tÝnh chÊt vµ phÐp to¸n MÖnh ®Ò 2. Giíi h¹n cña d·y sè (nÕu cã) lµ duy nhÊt. Chøng minh. Gi¶ sö d·y {an} cã hai giíi h¹n L1 =6 L2. NÕu ®Æt = |L1 − L2|, th× víi n ®ñ lín ta cã |(an − L1| N ta cã |an − L1| < 1. Suy ra |an| = |an − L + L|≤|an − L| + |L| < 1+|L|. §Æt K = max{|a1|, |aN+1|, 1+|L|}. Suy ra |an|≤K, víi mäi n. 2 NhËn xÐt. §iÒu ng−îc l¹i kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n xÐt d·y {(−1)n}. MÖnh ®Ò 4. NÕu mét d·y héi tô th× mäi d·y con cña nã còng héi tô vµ cã cïng giíi h¹n víi d·y ®ã. Chøng minh. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa. 2 §Þnh lý 3. Gi¶ sö {an}, {bn} lµ hai d·y héi tô (cã giíi h¹n h÷u h¹n). Khi ®ã tæng, hiÖu, tÝch th−¬ng (víi mÉu kh¸c 0) còng héi tô vµ 1) lim (an + bn) = lim an + lim bn. n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim (anbn) = lim an lim bn. n→∞ n→∞ n→∞ lim an an n→∞ 3) lim = lim (víi gi¶ thiÕt lim bn =06 ). n→∞ bn n→∞ lim bn n→∞ n→∞
61 MÖnh ®Ò 5. Gi¶ sö {an}, {bn} lµ hai d·y héi tô vµ an ≤ bn, ∀n. Khi ®ã lim an ≤ lim bn. n→∞ n→∞ MÖnh ®Ò 6. NÕu ba d·y {an}, {bn}, {cn} tháa an ≤ bn ≤ cn, ∀n vµ lim an = lim cn = L, n→∞ n→∞ th× tån t¹i lim bn = L. n→∞ MÖnh ®Ò 7. 1) NÕu d·y {an} héi tô vÒ L, th× d·y {|an|} héi tô vÒ |L|. 2) NÕu d·y {|an|} héi tô vÒ 0, th× d·y {an} héi tô vÒ 0. 2.5 C¸c ®iÒu kiÖn héi tô §Þnh lý 4. Mäi d·y ®¬n ®iÖu vµ bÞ chÆn th× héi tô. §Þnh lý kh¼ng ®Þnh sù tån t¹i nh−ng kh«ng chØ ra giíi h¹n b»ng bao nhiªu. Thùc ra, • NÕu mét d·y ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn, th× lim an = sup{an}. n→∞ • NÕu mét d·y ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d−íi, th× lim an = inf{an}. n→∞ Ta nãi d·y c¸c ®o¹n ∆n =[an,bn] lµ lång nhau nÕu ∆n+1 ⊂ ∆n, vµ gäi lµ th¾t l¹i nÕu lim (bn − an)=0. n→∞ Bæ ®Ò 1. Mäi d·y lång nhau vµ th¾t l¹i ®Òu tån t¹i duy nhÊt mét ®iÓm chung. Chøng minh. Gäi d·y ®o¹n ®ã lµ [an,bn], khi ®ã d·y sè {an} ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn, cßn d·y sè {an} ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d−íi nªn chóng héi tô. Do tÝnh th¾t l¹i, hai giíi h¹n nµy b»ng nhau vµ lµ ®iÓm chung thuéc mäi ®o¹n.2 Ta l−u ý r»ng mäi d·y bÞ chÆn cã thÓ kh«ng héi tô, nh−ng: §Þnh lý 5. (Bolzano- Weierstrass) Mäi d·y bÞ chÆn cã chøa Ýt nhÊt mét d·y con héi tô. n VÝ dô. D·y {(−1) } bÞ chÆn cã c¸c d·y con {an =1}, {an = −1} héi tô. §Þnh lý 6. (Tiªu chuÈn Cauchy) D·y {an} héi tô khi vµ chØ khi {an} lµ d·y Cauchy, tøc lµ ∀>0, ∃N ∈ N sao cho ∀m, n > N =⇒|am − an| <.
62 §iÒu kiÖn Cauchy cã thÓ ph¸t biÓu mét c¸ch t−¬ng ®−¬ng nh− sau ∀>0, ∃N ∈ N sao cho ∀n>N,∀p ∈ N =⇒|an − an+p| 0 tuú ý víi mäi p nªn d·y ®· cho lµ d·y Cauchy. cos 1 cos 2 cos n 2) D·y víi sè h¹ng a = + + ··· lµ ph©n kú. ThËt vËy, ta cã n 12 22 n2 1 1 1 1 |a − a | = + ··· ≥ n · = . n+n n n +1 2n 2n 2 1 VÕ ph¶i kh«ng thÓ lµm cho nhá h¬n = . 4 2.6 Sè e vµ logarithm tù nhiªn n 1 XÐt d·y 1+ , n ≤ 1. Sö dông khai triÓn nhÞ thøc Newton, ta cã n 1 1 ···n(n − 1) ···1 1 a =(1+ )n =1+n · + · n n n n! nn 1 1 1 1 n − 1 =2+ 1 − + ···+ 1 − ···1 − . 2! n n! n n Tõ ®ã ta cã 1 1 1 1 a < 2+ + ··· < 2+ + ··· + ···=3. n 2! n! 2 2n−1 VËy, d·y {an} bÞ chÆn trªn. Ngoµi ra ta cã 1 1 1 1 n − 1 a =2+ 1 − + ···+ 1 − ···1 − n+1 2! n +1 n! n +1 n +1 1 1 n + 1 − ···1 − . (n + 1)! n +1 n +1
63 B»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè h¹ng trong an vµ an+1, suy ra an <an+1. VËy, d·y {an} lµ d·y t¨ng. Tõ ®ã, d·y {an} héi tô. Ký hiÖu 1 n e = lim 1+ . n→∞ n Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng e lµ sè v« tØ, e =2, 71828 Logarithm c¬ sè e cña x gäi lµ logarithm Nepe cña x, ký hiÖu lµ ln x. 3 Hµm mét biÕn thùc Trong môc nµy ta nh¾c l¹i vµ bæ tóc mét sè kh¸i niÖm vÒ hµm sè mét biÕn sè thùc. 3.1 Kh¸i niÖm hµm sè Cho tËp ∅6= D ⊂ R, mçi ¸nh x¹ f : D −→ R gäi lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn D. TËp D gäi lµ tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè f, x gäi lµ biÕn sè ®éc lËp, gi¸ trÞ y = f(x) gäi lµ gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x. TËp hîp: f(D):={y ∈ R |∃x ∈ D : y = f(x)}, ®−îc gäi lµ tËp gi¸ trÞ cña hµm sè f trªn D. TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm M(x, f(x)), víi x ∈ D, ®−îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm sè f. Nãi chung, ®©y lµ mét ®−êng cong trong mÆt ph¼ng Oxy. NhËn xÐt. §Ó x¸c ®Þnh mét hµm sè ta ph¶i chØ ra tËp x¸c ®Þnh vµ qui t¾c x¸c ®Þnh hµm sè ®ã. Th«ng th−êng, ng−êi ta cho hµm sè b»ng biÓu thøc gi¶i tÝch vµ ch−a chØ ra miÒn x¸c ®Þnh. Khi ®ã ta hiÓu miÒn x¸c ®Þnh lµ tËp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña biÕn sè x mµ f(x) tån t¹i. 3.2 C¸c phÐp to¸n Cho hai hµm sè f vµ g, ta nãi hai hµm sè nµy b»ng nhau, viÕt lµ f = g, nÕu chóng cã cïng miÒn x¸c ®Þnh D vµ víi mäi x ∈ D ta cã f(x)=g(x). Ng−îc l¹i ta nãi chóng kh¸c nhau vµ ký hiÖu f =6 g.
64 VÝ dô. 1) Hai hµm sè f(x)=2ln|x| vµ g(x)=lnx2 lµ b»ng nhau. − q x+1 − 2) Hai hµm sè f(x)=(x 1) x−1 vµ g(x)=p(x 1)(x +1)lµ kh¸c nhau. Ta nãi hµm sè f lín h¬n g trªn tËp D, ký hiÖu lµ f>g, nÕu f(x) >g(x) víi mäi x ∈ D. Cho hai hµm sè f vµ g víi miÒn x¸c ®Þnh t−¬ng øng lµ D1 vµ D2. §Æt D := D1 ∩ D2 =6 ∅. Khi ®ã ta cã thÓ ®Þnh nghÜa tæng, hiÖu, tÝch vµ th−¬ng cña chóng nh− sau: (f ± g)(x)=f(x) ± g(x) (f.g)(x)=f(x).g(x) f f(x) ( )(x)= g g(x) trong ®ã tæng, hiÖu, tÝch cña f vµ g x¸c ®Þnh trªn D, th−¬ng f/g x¸c ®Þnh trªn D \{x | g(x)=0}. 3.3 C¸c lo¹i hµm sè víi tÝnh chÊt ®Æc biÖt 1) Hµm bÞ chÆn: Ta nãi hµm sè f: • bÞ chÆn trªn trªn D, nÕu ∃M sao cho: f(x) ≤ M,∀x ∈ D. • bÞ chÆn d−íi trªn D, nÕu ∃m sao cho: f(x) ≥ m, ∀x ∈ D. • bÞ chÆn trªn D, nÕu ∃K>0 sao cho: |f(x)|≤K, ∀x ∈ D (tøc lµ võa bÞ chÆn trªn, võa bÞ chÆn d−íi). VÝ dô. a) Hµm sè f(x)=sinx bÞ chÆn trªn R. b) Hµm sè y = x2 bÞ chÆn d−íi trªn R, nh−ng kh«ng bÞ chÆn trªn, do ®ã kh«ng bÞ chÆn trªn R. 2) Hµm ®¬n ®iÖu: Cho hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng D. Ta nãi hµm sè f lµ • ®¬n ®iÖu t¨ng nÕu: x1 f(x2).
65 §¬n ®iÖu t¨ng hay gi¶m gäi chung lµ ®¬n ®iÖu. VÝ dô. a)Hµm f(x)=x3 t¨ng (nghiªm ngÆt) trªn R. b) Hµm Dirichlet (1 nÕu x h÷u tû D(x)= 0 nÕu x v« tû kh«ng ®¬n ®iÖu trªn bÊt kú kho¶ng nµo. 3) Hµm ch½n, hµm lÎ: TËp con D ⊂ R ®−îc gäi lµ ®èi xøng nÕu ∀x ∈ D ⇒−x ∈ D. Cho hµm sè f(x) cã miÒn x¸c ®Þnh lµ D. Ta nãi: • f lµ hµm ch½n nÕu D ®èi xøng vµ f(−x)=f(x), ∀x ∈ D. • f lµ hµm lÎ nÕu D ®èi xøng vµ f(−x)=−f(x), ∀x ∈ D. 2 VÝ dô. a)Hµm f√(x)=x lµ hµm ch½n. b) Hµm g(x)= x +3kh«ng ch½n, kh«ng lÎ. c) Hµm h»ng f(x) ≡ 0 võa ch½n, võa lÎ. MÖnh ®Ò 8. Tæng cña hai hµm cïng ch½n lµ mét hµm ch½n, tæng cña hai hµm cïng lÎ lµ mét hµm lÎ. TÝch cña hai hµm cïng ch½n hoÆc cïng lÎ lµ mét hµm ch½n, tÝch cña mét hµm ch½n vµ mét hµm lÎ lµ mét hµm lÎ. NhËn xÐt. §å thÞ cña hµm ch½n nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng; ®å thÞ cña hµm lÎ nhËn gèc to¹ ®é lµm t©m ®èi xøng. 4) Hµm tuÇn hoµn: Cho hµm sè f x¸c ®Þnh trªn D ⊂ R. Ta nãi f lµ hµm tuÇn hoµn nÕu: (∃T =06 sao cho: ∀x ∈ D ⇒ x + T ∈ D f(x + T )=f(x), ∀x ∈ D Sè T0 > 0, bÐ nhÊt trong c¸c sè T tho¶ ®iÒu kiÖn trªn ®−îc gäi lµ chu kú cña hµm tuÇn hoµn f. Ch¼ng h¹n hµm f(x)=cosx tuÇn hoµn chu kú T0 =2π. Hµm Dirichlet tuÇn hoµn nh−ng kh«ng cã chu kú. 3.4 Hµm hîp - Hµm ng−îc a) Hµm hîp: XÐt c¸c tËp sè X,Y,Z ⊂ R vµ c¸c hµm sè f : X 7−→ Y , g : Y 7−→ Z. Khi ®ã, hµm sè h : X −→ Z x 7−→ h(x):=g(f(x))
66 ®−îc gäi lµ hµm hîp cña hai hµm f vµ g, ký hiÖu h = g ◦ f. √ VÝ dô. Cho hai hµm f(x)=x2 vµ g(x)= 1+x. Khi ®ã √ (g ◦ f)(x)=g(f(x)) = g(x2)= 1+x2, √ (f ◦ g)(x)=f(g(x)) = f( 1+x)=1+x. NhËn xÐt. Nãi chung g ◦ f =6 f ◦ g, tøc lµ phÐp hîp hai hµm kh«ng giao ho¸n. Tuy nhiªn nã cã tÝnh kÕt hîp. b) Hµm ng−îc: XÐt hµm sè f : X 7−→ Y . Gi¶ sö f (víi t− c¸ch lµ ¸nh x¹ tõ X vµo Y ) lµ mét song ¸nh. Khi ®ã tån t¹i hµm sè f −1 : Y 7−→ X x¸c ®Þnh nh− sau: víi mçi y ∈ Y ta cho t−¬ng øng víi gi¸ trÞ (duy nhÊt) x ∈ X mµ f(x)=y. Hµm sè f −1 x¸c ®Þnh nh− trªn ®−îc gäi lµ hµm ng−îc cña f vµ: y = f(x) ⇐⇒ x = f −1(y) NhËn xÐt. Cho hai hµm sè f : X 7−→ Y vµ g : Y 7−→ X. Khi ®ã ((g ◦ f)(x)=x, ∀x ∈ X, f,g lµ hµm ng−îc cña nhau ⇐⇒ (f ◦ g)(y)=x, ∀y ∈ Y. VÒ mÆt h×nh häc, ®å thÞ cña hai hµm ng−îc nhau ®èi xøng qua ®−êng ph©n gi¸c cña gãc phÇn t− thø nhÊt. MÖnh ®Ò 9 (§iÒu kiÖn tån t¹i hµm ng−îc). Gi¶ sö hµm sè f : D 7−→ R t¨ng (gi¶m) nghiªm ngÆt trªn D. Khi ®ã ¸nh x¹ f : D 7−→ f(D) lµ mét song ¸nh vµ tån t¹i hµm ng−îc cña f còng t¨ng (gi¶m) nghiªm ngÆt trªn f(D). 3.5 C¸c hµm s¬ cÊp Ta gäi hµm s¬ cÊp c¬ b¶n lµ hµm thuéc mét trong c¸c líp hµm sau: 1) Hµm luü thõa: y = xα MiÒn x¸c ®Þnh cña hµm luü thõa tuú thuéc vµo sè thùc α. NÕu α ∈ N th× MX§ lµ R, nÕu α v« tû th× MX§ qui −íc lµ (0, +∞). 2) Hµm mò: y = ax (a>0) Hµm mò cã MX§ lµ R vµ tËp gi¸ trÞ lµ (0, +∞). NÕu a>1 th× hµm mò y = ax t¨ng nghiªm ngÆt; nÕu 0 <a<1 th× hµm mò y = ax gi¶m nghiªm ngÆt trªn R. 3) Hµm logarithm: y = loga x (0 <a=16 )
67 x Hµm logarithm y = loga x lµ hµm ng−îc cña hµm mò y = a , nã cã MX§ lµ (0, +∞) vµ tËp gi¸ trÞ lµ R. T−¬ng tù hµm mò, hµm logarithm t¨ng nghiªm ngÆt nÕu a>1 vµ gi¶m nghiªm ngÆt nÕu 0 <a<1. 4) C¸c hµm l−îng gi¸c c¬ b¶n: C¸c hµm y = cos x, y = sin x x¸c ®Þnh trªn toµn R, cã tËp gi¸ trÞ lµ [−1, 1] vµ tuÇn hoµn chu kú 2π. sin x Hµm y =tgx = x¸c ®Þnh víi x =6 π + kπ, tËp gi¸ trÞ lµ R, tuÇn hoµn chu cos x 2 kú π. cos x Hµm y = cotgx = x¸c ®Þnh víi x =6 kπ, tËp gi¸ trÞ lµ R, tuÇn hoµn chu kú sin x π. 5) C¸c hµm l−îng gi¸c ng−îc: Ta xÐt hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [−π/2,π/2]. Trªn ®o¹n nµy hµm sin x ®¬n ®iÖu t¨ng thùc sù tõ −1 −→ 1 nªn tån t¹i hµm ng−îc, ký hiÖu lµ y = arcsin x. Hµm y = arcsin x cã miÒn x¸c ®Þnh lµ [−1, 1], miÒn gi¸ trÞ lµ [−π/2,π/2], ®¬n ®iÖu t¨ng (xem h×nh ??). T−¬ng tù, hµm sè y = cos x trªn ®o¹n [0,π] ®¬n ®iÖu gi¶m tõ 1 ®Õn −1, do ®ã tån t¹i hµm ng−îc y = arccos x x¸c ®Þnh trªn [−1, 1] víi tËp gi¸ trÞ [0,π] vµ còng ®¬n ®iÖu gi¶m. Hµm tgx cã hµm ng−îc lµ y = arctgx, x¸c ®Þnh trªn R víi miÒn gi¸ trÞ (−π/2,π/2), vµ ®¬n ®iÖu t¨ng. Hµm cotgx cã hµm ng−îc lµ y = arccotgx, x¸c ®Þnh trªn R víi miÒn gi¸ trÞ (0,π), vµ ®¬n ®iÖu t¨ng. 4 Giíi h¹n hµm sè Trong ch−¬ng tr−íc ta ®· nghiªn cøu giíi h¹n cña d·y sè thùc mµ thùc chÊt lµ hµm x¸c ®Þnh trªn tËp rêi r¹c N. Mét c¸ch tù nhiªn, ta më réng kh¸i niÖm ®ã cho hµm víi ®èi sè thùc, x¸c ®Þnh trªn mét kho¶ng nµo ®ã cña tËp sè thùc R. 4.1 Kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè Gi¶ sö D ⊂ R lµ mét l©n cËn cña ®iÓm a vµ f(x) lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn D (cã thÓ kh«ng cÇn x¸c ®Þnh t¹i a). §Þnh nghÜa 5. Ta nãi f(x) dÇn ®Õn giíi h¹n l khi x dÇn ®Õn a nÕu víi mäi d·y {xn}⊂D \{a} sao cho xn → a th× f(xn) → l. (1) Khi ®ã ta ký hiÖu lim f(x)=l, hoÆc f(x) → l khi x → a. x→a
68 x2 − 1 VÝ dô. 1)Cho hµm sè f(x)= (x =16 ). Khi ®ã víi mäi d·y {x } dÇn ®Õn x − 1 n 1 nh−ng xn =16 ,tacã f(xn)=xn +1→ 2. Do ®ã lim f(x)=2. x→1 1 2) Hµm sè f(x) = sin kh«ng cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn 0. ThËt vËy, víi c¸c x 0 d·y {xn} vµ {xn} chän nh− d−íi ®©y, ta cã 1 x := → 0 th× f(x )=sinnπ =0→ 0 n nπ n 1 x0 := → 0 th× f(x0 ) = sin(2nπ + π/2)=1→ 1. n 2nπ + π/2 n §Þnh nghÜa 6. (Ng«n ng÷ ε − δ) Ta nãi sè l lµ giíi h¹n cña f(x) khi x dÇn ®Õn a nÕu: ∀ε>0, ∃δ>0 sao cho: ∀x ∈ D mµ 0 0. MÖnh ®Ò 10. Hai ®Þnh nghÜa (5) vµ (6) lµ t−¬ng ®−¬ng. 4.2 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh giíi h¹n Giíi h¹n hµm sè cã c¸c tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− giíi h¹n d·y sè. MÖnh ®Ò 11. Giíi h¹n cña hµm sè (nÕu tån t¹i) lµ duy nhÊt. Chøng minh. Gi¶ sö khi x → af(x) cã hai giíi h¹n l1 0 sao cho: 2 1 2 0 < |x − a| <δ1 =⇒|f(x) − l1| <ε, 0 < |x − a| <δ2 =⇒|f(x) − l2| <ε. Chän δ := min{δ1,δ2}, khi ®ã víi 0 < |x − a| <δ, ta cã |l2 − 1|≤|f(x) − l1| + |l2 − f(x)| < 2ε. §iÒu nµy v« lý. 2 Ta ph¸t biÓu mét tiªu chuÈn tån t¹i giíi h¹n, ®−îc gäi lµ tiªu chuÈn Cauchy:
69 §Þnh lý 7. Gi¶ sö f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn D cña ®iÓm a (cã thÓ trõ t¹i ®iÓm a). Khi ®ã, ∃ lim f(x) khi vµ chØ khi x→a 0 0, ∃δ>0:∀x, x0 ∈ D : =⇒|f(x) − f(x0)| 0, tån t¹i δ1,δ2 > 0 sao cho: |f(x) − A| B. Khi ®ã víi ε = > 0, tån t¹i 2 δ1,δ2 > 0 sao cho: A − ε<f(x) <A+ ε, víi mäix tho¶ 0 < |x − a| <δ1, vµ B − ε<g(x) <B+ ε, víi mäi x tho¶ 0 < |x − a| <δ2.
70 Khi x tho¶ 0 0 tuú ý, tån t¹i δ1,δ2 > 0 sao cho: l − ε 0 ®ñ bÐ ta cã x→0 x dt(4OAB) < dt(h×nh qu¹t OAB) < dt(4OAT), Hay sin x x tgx < < . 2 2 x Tõ ®ã suy ra: sin x cos x< < 1. x BÊt ®¼ng thøc nµy còng ®óng khi x<0. Cho x → 0 vµ ¸p dông ®Þnh lý 10 ta cã kÕt luËn. HÖ qu¶ 2. a) NÕu lim f(x)=l th× lim |f(x)| = |l|. x→a x→a b) NÕu lim |f(x)| =0th× lim f(x)=0. x→a x→a Chøng minh. Suy tõ ®Þnh lý 10. 2
71 4.3 Giíi h¹n mét phÝa. √ NhiÒu hµm sè chØ x¸c ®Þnh mét phÝa ®èi víi ®iÓm a nµo ®ã (ch¼ng h¹n f(x)= x) vµ nh− vËy giíi h¹n mét phÝa cña hµm sè cÇn ®−îc xÐt ®Õn. §Þnh nghÜa 7. Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng D =(a, b) (t.−. D =(c, a)). Ta nãi f(x) cã giíi h¹n ph¶i (t.−. giíi h¹n tr¸i) lµ l khi x dÇn ®Õn a nÕu: ∀ε>0, ∃δ>0 sao cho: ∀x ∈ D mµ 0 0, ∃δ>0 sao cho: ∀x ∈ D mµ 0 0, ∃δ>0 sao cho: 0 M. Hµm f(x) cã giíi h¹n lµ −∞ khi x dÇn ®Õn a, ký hiÖu lim f(x)=−∞, nÕu: x→a ∀M>0, ∃δ>0 sao cho: 0 0, ∃∆ > 0 sao cho: x>∆ ⇒|f(x) − l| <.
72 C¸c giíi h¹n v« cïng kh¸c ®−îc ®Þnh nghÜa t−¬ng tù. 1 VÝ dô. 1)lim = ∞. x→0 x2 1 1 2) lim = −∞, trong khi lim − 3 = ∞ x→1+ 1 − x3 x→1− 1 x VÝ dô. 1) lim x =1= lim x . x→∞ x+1 x→−∞ x+1 x x 2) Ta dÔ kiÓm tra r»ng lim √ =1, trong khi lim √ = −1. x→+∞ x2 +1 x→−∞ x2 +1 4.5 V« cïng bÐ - V« cïng lín §Þnh nghÜa 9. §¹i l−îng α(x) ®−îc gäi lµ v« cïng bÐ (viÕt t¾t VCB) khi x → a nÕu lim f(x)=0. x→a §¹i l−îng α(x) ®−îc gäi lµ v« cïng lín (viÕt t¾t VCL) khi x → a nÕu lim |f(x)| = x→a ∞. NhËn xÐt. Mét sè ®¹i l−îng cã thÓ lµ VCB hoÆc VCL khi x → a nh−ng cã thÓ ®iÒu ®ã kh«ng ®óng khi x → b, víi b =6 a. V× thÕ ta ph¶i ®Þnh râ mét ®¹i l−îng lµ VCB hay VCL ®èi víi qu¸ tr×nh nµo. 1 VÝ dô. α(x)=x sin lµ VCB khi x → 0 nh−ng kh«ng lµ VCB khi x → 1. x MÖnh ®Ò 13. C¸c tÝnh chÊt sau ®©y suy tõ c¸c phÐp to¸n giíi h¹n (c¸c ®¹i l−îng ®Ò cËp ®Õn trong cïng qu¸ tr×nh): a) Tæng, hiÖu, tÝch cña hai VCB lµ mét VCB. b) TÝch (tæng) cña hai VCL (cïng dÊu) lµ mét VCL. c) NghÞch ®¶o cña VCL lµ VCB; ng−îc l¹i nghÞch ®¶o cña VCB kh¸c 0 lµ VCL. d) TÝch cña mét ®¹i l−îng bÞ chÆn vµ mét VCB lµ VCB; tæng cña mét ®¹i l−îng bÞ chÆn vµ mét VCL lµ VCL. C¸c tr−êng hîp kh¸c cña c¸c phÐp to¸n dÉn ®Õn c¸c tr−êng hîp sau, ®−îc gäi lµ c¸c d¹ng v« ®Þnh: 0 ∞ ; 0.∞; ∞−∞. 0 ∞ Thªm vµo ®ã ta cã c¸c d¹ng v« ®Þnh kh¸c sinh ra do ®Þnh nghÜa hµm mò: 00, 1∞, ∞0. §Ó tÝnh giíi h¹n khi gÆp d¹ng v« ®Þnh ta t×m c¸ch khö d¹ng v«