›
›

Toán cao cấp - Chương 4: Khônng gian véctơ (tt)

pdf 64 trang vanle 2220
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Chương 4: Khônng gian véctơ (tt)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_cao_cap_chuong_4_khonng_gian_vecto_tt.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp - Chương 4: Khônng gian véctơ (tt)

  1. CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 1 / 37
  2. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định nghĩa Cho K-kgv E, dim(E) = n, n ∈ N∗. Giả sử B = {e1, e2, , en} là một cơ sở của E. Như vậy n P ∀x ∈ E, ∃x1, x2, , xn ∈ K : x = xi ei . Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) được xác định duy nhất và được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở B. Kí   x1    x2  hiệu [x]B =  .   .  xn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 37
  3. 1 Tọa độ [x]B là duy nhất. 2 [αx]B = α[x]B, ∀α ∈ K. 3 [x + y]B = [x]B + [y]B, ∀x, y ∈ E. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E, B là một cơ sở của E thì TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37
  4. 2 [αx]B = α[x]B, ∀α ∈ K. 3 [x + y]B = [x]B + [y]B, ∀x, y ∈ E. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E, B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x]B là duy nhất. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37
  5. 3 [x + y]B = [x]B + [y]B, ∀x, y ∈ E. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E, B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x]B là duy nhất. 2 [αx]B = α[x]B, ∀α ∈ K. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37
  6. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E, B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x]B là duy nhất. 2 [αx]B = α[x]B, ∀α ∈ K. 3 [x + y]B = [x]B + [y]B, ∀x, y ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37
  7. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E, B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x]B là duy nhất. 2 [αx]B = α[x]B, ∀α ∈ K. 3 [x + y]B = [x]B + [y]B, ∀x, y ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37
  8. Tìm x1, x2, x3 để x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2)  x + 2x + x = 6  x = 3  1 2 3  1 ⇔ x1 + x2 = 5 ⇔ x2 = 2  3x2 + 2x3 = 4  x3 = −1 T Vậy [x]B = (3, 2, −1) . Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 37
  9. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) Tìm x1, x2, x3 để x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2)  x + 2x + x = 6  x = 3  1 2 3  1 ⇔ x1 + x2 = 5 ⇔ x2 = 2  3x2 + 2x3 = 4  x3 = −1 T Vậy [x]B = (3, 2, −1) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 37
  10. p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) 2 2 ⇔ x +7x −2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x +x)  λ = 1  λ = 2  3  1 ⇔ λ1 − λ2 + λ3 = 7 ⇔ λ2 = −4  λ1 + λ2 = −2  λ3 = 1 T Vậy [x]B = (2, −4, 1) . Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở 2 p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 − x, p3(x) = x + x. Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x2 + 7x − 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 37
  11. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở 2 p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 − x, p3(x) = x + x. Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x2 + 7x − 2 p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) 2 2 ⇔ x +7x −2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x +x)  λ = 1  λ = 2  3  1 ⇔ λ1 − λ2 + λ3 = 7 ⇔ λ2 = −4  λ1 + λ2 = −2  λ3 = 1 T Vậy [x]B = (2, −4, 1) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 37
  12. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Chuyển cơ sở Cho K-kgv E, B = {e1, e2, , en} và 0 0 0 0 B = {e1, e2, , en} là 2 cơ sở của E. Giả sử giữa B và B0 có mối liên hệ n 0 X ei = ski ek, i = 1, 2, n. k=1  e0 = s e + s e + + s e  1 11 1 21 2 n1 n ⇔  0 en = s1ne1 + s2ne2 + + snnen TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 37
  13. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Chuyển cơ sở Định nghĩa   s11 s12 s1n    s21 s22 s2n  Ta gọi ma trận S =   được   sn1 sn2 snn gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B0. Ký hiệu S = Pass(B, B0). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 37
  14. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau Cho K-kgv E, B = {e1, e2, , en} và 0 0 0 0 B = {e1, e2, , en} là 2 cơ sở của E. Giả sử x ∈ E ta có n P T x = xkek hay [x]B = (x1, x2, , xn) và k=1 n P 0 0 0 0 0 T x = xi ei hay [x]B0 = (x1, x2, , xn) i=1 Ta tìm mối liên hệ giữa [x]B và [x]B0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 37
  15. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau n X 0 0 x = xi ei i=1 0 0 0 0 0 0 = x1e1 + x2e2 + + xnen 0 0 = x1(s11e1 +s21e2 + +sn1en)+x2(s12e1 +s22e2 + 0 + sn2en) + + xn(s1ne1 + s2ne2 + + snnen) 0 0 0 0 0 = (s11x1 + s12x2 + + s1nxn)e1 + (s21x1 + s22x2 + 0 0 0 0 + s2nxn)e2 + + (sn1x1 + sn2x2 + + snnxn)en n X = xkek k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 37
  16. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau  0 0 0  x1 = s11x1 + s12x2 + + s1nxn  0 0 0  x2 = s21x1 + s22x2 + + s2nxn   0 0 0  xn = sn1x1 + sn2x2 + + snnxn      0  x1 s11 s12 s1n x1      0   x2   s21 s22 s2n   x2   .  =    .   .     .  0 xn sn1 sn2 snn xn −1 ⇒ [x]B = S[x]B0, [x]B0 = S [x]B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 37
  17. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho 2 cơ sở B = {2x2 + x, x2 + 3, 1}, B0 = {x2 + 1, x − 2, x + 3} và véctơ p(x) = 8x2 − 4x + 6. 1 Tìm ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B0. 0 2 Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 37
  18. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 2 0 0 Ta có e1 = x + 1, e2 = x − 2, e3 = x + 3 và 2 2 e1 = 2x + x, e2 = x + 3, e3 = 1. Ta sẽ tìm tọa 0 0 0 độ của e1, e2, e3 theo cơ sở B tức là  0 e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3  0 ⇔ e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3  0 e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 37
  19. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3 2 2 2 ⇔ s11(2x + x) + s21(x + 3) + s31.1 = x + 1  2s + s = 1  11 21 ⇔ s11 = 0  3s21 + s31 = 1 ⇔ s11 = 0, s21 = 1, s31 = −2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 37
  20. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3 2 2 ⇔ s12(2x + x) + s22(x + 3) + s32.1 = x − 2  2s + s = 0  12 22 ⇔ s12 = 1  3s22 + s32 = −2 ⇔ s12 = 1, s22 = −2, s32 = 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 37
  21. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 2 2 ⇔ s13(2x + x) + s23(x + 3) + s33.1 = x + 3  2s + s = 0  12 22 ⇔ s12 = 1  3s22 + s32 = 3 ⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = 9. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 37
  22. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Vậy ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B0 là  0 1 1   1 −2 −2  −2 4 9 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 37
  23. Tọa độ của p(x) trong cơ sở B0 là −1 T [p(x)]B0 = S .[p(x)]B = (8, −2, −2) Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B0. Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 2 2 2 ⇔ λ1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + 6  2λ + λ = 8  1 2 ⇔ λ1 = −4  3λ2 + λ3 = 6 ⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42. T ⇒ [p(x)]B = (−4, 16, −42) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 37
  24. Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B0. Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 2 2 2 ⇔ λ1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + 6  2λ + λ = 8  1 2 ⇔ λ1 = −4  3λ2 + λ3 = 6 ⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42. T ⇒ [p(x)]B = (−4, 16, −42) . Tọa độ của p(x) trong cơ sở B0 là −1 T [p(x)]B0 = S .[p(x)]B = (8, −2, −2) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 37
  25. Chứng minh. Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính của F đều có số phần tử 6 n. Gọi B = {x1, x2, , xk}(k 6 n) là 1 tập con độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ cần chứng minh B là tập sinh của F . Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hệ quả Cho E là một K-kgv, dim(E) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) 6 n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 37
  26. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hệ quả Cho E là một K-kgv, dim(E) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) 6 n. Chứng minh. Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính của F đều có số phần tử 6 n. Gọi B = {x1, x2, , xk}(k 6 n) là 1 tập con độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ cần chứng minh B là tập sinh của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 37
  27. Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + + λkxk + λk+1xk+1 = 0. Nếu λk+1 =6 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk (trái với giả thiết). Nếu λk+1 = 0 thì λ1x1 + λ2x2 + + λkxk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λk = 0 (vì x1, x2, , xk độc lập tuyến tính). Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 37
  28. Nếu λk+1 = 0 thì λ1x1 + λ2x2 + + λkxk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λk = 0 (vì x1, x2, , xk độc lập tuyến tính). Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + + λkxk + λk+1xk+1 = 0. Nếu λk+1 =6 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk (trái với giả thiết). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 37
  29. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + + λkxk + λk+1xk+1 = 0. Nếu λk+1 =6 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk (trái với giả thiết). Nếu λk+1 = 0 thì λ1x1 + λ2x2 + + λkxk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λk = 0 (vì x1, x2, , xk độc lập tuyến tính). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 37
  30. Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B ⇒ B là tập sinh  Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn nhất). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 37
  31. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn nhất). Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B ⇒ B là tập sinh  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 37
  32. ∀p(x) = ax2 + bx + c ∈ F , ta có p(1) = a + b + c = 0 và p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình  a + b + c = 0  a = −c ⇔ a − b + c = 0 b = 0 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x)\p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 37
  33. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x)\p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F . ∀p(x) = ax2 + bx + c ∈ F , ta có p(1) = a + b + c = 0 và p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình  a + b + c = 0  a = −c ⇔ a − b + c = 0 b = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 37
  34. Như vậy, −x2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Vậy p(x) = c(−x2 + 1). Do đó {−x2 + 1} là tập sinh của F . −x2 + 1 =6 0 nên luôn độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 37
  35. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Vậy p(x) = c(−x2 + 1). Do đó {−x2 + 1} là tập sinh của F . −x2 + 1 =6 0 nên luôn độc lập tuyến tính. Như vậy, −x2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 37
  36. Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình x1 + x2 + x3 = 0 ⇔ x1 = −x2 − x3. Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1). Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở của W . Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của R3 cho bởi W = {(x1, x2, x3)\x1 + x2 + x3 = 0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 37
  37. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của R3 cho bởi W = {(x1, x2, x3)\x1 + x2 + x3 = 0} Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình x1 + x2 + x3 = 0 ⇔ x1 = −x2 − x3. Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1). Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở của W . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 37
  38. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập tuyến tính. Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra W . Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ W thì x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1). Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W và số chiều dim(W ) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 37
  39. Định lý Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành không gian véctơ con của không gian K n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 37
  40. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành không gian véctơ con của không gian K n. Định lý Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 37
  41.     1 2 −1 1 h2→h2−2h1 1 2 −1 1 h3→h3−h1  2 4 −3 0  −−−−−−→  0 0 −1 −2  1 2 1 5 0 0 2 4 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm  x + 2x − x + x = 0  1 2 3 4 2x1 + 4x2 − 3x3 = 0  x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 37
  42. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm  x + 2x − x + x = 0  1 2 3 4 2x1 + 4x2 − 3x3 = 0  x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0     1 2 −1 1 h2→h2−2h1 1 2 −1 1 h3→h3−h1  2 4 −3 0  −−−−−−→  0 0 −1 −2  1 2 1 5 0 0 2 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 37
  43. T T Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0) và X2 = (−3, 0, −2, 1) là cơ sở của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm của hệ này là2. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ  1 2 −1 1  h3→h3+2h2 −−−−−−→  0 0 −1 −2  ⇒ x1, x3 là biến cơ 0 0 0 0 sở, x2, x4 là biến tự do. Đặt x2 = α, x4 = β         x1 −2α − 3β −2 −3  x2   α   1   0    =   = α   + β    x3   −2β   0   −2  x4 β 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 37
  44. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ  1 2 −1 1  h3→h3+2h2 −−−−−−→  0 0 −1 −2  ⇒ x1, x3 là biến cơ 0 0 0 0 sở, x2, x4 là biến tự do. Đặt x2 = α, x4 = β         x1 −2α − 3β −2 −3  x2   α   1   0    =   = α   + β    x3   −2β   0   −2  x4 β 0 1 T T Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0) và X2 = (−3, 0, −2, 1) là cơ sở của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm của hệ này là2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 37
  45. Định nghĩa Hạng của một hệ véctơ của một K-kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0. Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một K − kgv. Tập N = {xi1, xi2, , xir } được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 37
  46. Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0. Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một K − kgv. Tập N = {xi1, xi2, , xir } được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N. Định nghĩa Hạng của một hệ véctơ của một K-kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 37
  47. Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một K − kgv. Tập N = {xi1, xi2, , xir } được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N. Định nghĩa Hạng của một hệ véctơ của một K-kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 37
  48. p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0 2 ⇒ 3λ2x + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0. p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến tính của p1(x), p2(x) Nên hạng của H bằng2 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ 2 H = {p1(x) = 5x, p2(x) = x + 3x , p3(x) = 2 2 4x − 5x , p4(x) = x + 6x}. Tìm hạng của H. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 37
  49. Nên hạng của H bằng2 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ 2 H = {p1(x) = 5x, p2(x) = x + 3x , p3(x) = 2 2 4x − 5x , p4(x) = x + 6x}. Tìm hạng của H. p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0 2 ⇒ 3λ2x + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0. p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến tính của p1(x), p2(x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 37
  50. Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ 2 H = {p1(x) = 5x, p2(x) = x + 3x , p3(x) = 2 2 4x − 5x , p4(x) = x + 6x}. Tìm hạng của H. p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0 2 ⇒ 3λ2x + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0. p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến tính của p1(x), p2(x) Nên hạng của H bằng2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 37
  51. Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, xir } là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M. Chứng minh Mr sinh ra W . Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một K-kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37
  52. Chứng minh Mr sinh ra W . Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một K-kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r. Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, xir } là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37
  53. Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một K-kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r. Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, xir } là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M. Chứng minh Mr sinh ra W . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37
  54. Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một K-kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r. Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, xir } là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M. Chứng minh Mr sinh ra W . Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37
  55. ⇒ Mr là cơ sở của W ⇒ dim(W ) = r = rank(M). Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr . W = ⇒ W = . Mr độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 37
  56. Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr . W = ⇒ W = . Mr độc lập tuyến tính. ⇒ Mr là cơ sở của W ⇒ dim(W ) = r = rank(M). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 37
  57. Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E sinh bởi m véctơ x1, x2, , xm 1 Lấy một cơ sở B = {e1, e2, , en} bất kỳ của E. Tìm [x1]B, [x2]B, , [xm]B 2 Xét không gian cột của ma trận A = ([x1]B, [x2]B, , [xm]B) 3 Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định r(A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 32 / 37
  58. 2 Xét cơ sở chính tắc x , x, 1 của P2(x), vậy ma  1 2 0  trận các cột A là A =  2 1 4  1 −1 4 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = 2 2 x + 2x + 1, p2(x) = 2x + x − 1, p3(x) = 4x + 4. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 33 / 37
  59. Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = 2 2 x + 2x + 1, p2(x) = 2x + x − 1, p3(x) = 4x + 4. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên. 2 Xét cơ sở chính tắc x , x, 1 của P2(x), vậy ma  1 2 0  trận các cột A là A =  2 1 4  1 −1 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 33 / 37
  60. Hạng của một hệ véctơ Ví dụ   h2→h2−2h1 1 2 0 h3→h3−h1 h3→h3−h2 A −−−−−−→  0 −3 4  −−−−−→ 0 −3 4  1 2 0   0 −3 4  = B. Ma trận B có cột 1 và cột 2 0 0 0 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên là2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 34 / 37
  61. Hạng của một hệ véctơ Hệ các véctơ cột và hệ các véctơ hàng Định lý Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Khi đó nếu gọi rh và rc tương ứng là hạng của các véctơ hàng và các véctơ cột tương ứng của A thì rank(A) = rh = rc. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 35 / 37
  62.  1 2 4 0   1 2 4 0   3 2 1 2   0 −4 −11 2    BĐSC hàng    2 0 −1 4  −−−−−−−−→  0 0 2 2  ⇒      1 −2 −5 4   0 0 0 0  5 2 0 6 0 2 0 0 rA = 3 nên hạng của hệ các véctơ cũng bằng3. Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R4 tìm hạng của hệ các véctơ sau: x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2), x3 = (2, 0, −1, 4), x4 = (1, −2, −5, 4), x5 = (5, 2, 0, 6) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 36 / 37
  63. Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R4 tìm hạng của hệ các véctơ sau: x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2), x3 = (2, 0, −1, 4), x4 = (1, −2, −5, 4), x5 = (5, 2, 0, 6)  1 2 4 0   1 2 4 0   3 2 1 2   0 −4 −11 2    BĐSC hàng    2 0 −1 4  −−−−−−−−→  0 0 2 2  ⇒      1 −2 −5 4   0 0 0 0  5 2 0 6 0 2 0 0 rA = 3 nên hạng của hệ các véctơ cũng bằng3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 36 / 37
  64. Hạng của một hệ véctơ Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 37 / 37