›
›

Toán cao cấp - Chương 04: Không gian véctơ

pdf 53 trang vanle 3540
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán cao cấp - Chương 04: Không gian véctơ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_cao_cap_chuong_04_khong_gian_vecto.pdf

Nội dung text: Toán cao cấp - Chương 04: Không gian véctơ

  1. CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 1 / 33
  2. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33
  3. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33
  4. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33
  5. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33
  6. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33
  7. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n 1 tập là tập sinh của E thì đều không là tập sinh của E. số véctơ > n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33
  8. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n 1 tập là tập sinh của E thì đều không là tập sinh của E. số véctơ > n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33
  9. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33
  10. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33
  11. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33
  12. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33
  13. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. M = {x1, x2, , xk } (k 6 n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33
  14. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. M = {x1, x2, , xk } (k 6 n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT Nếu M = {x1, x2, , xm} (m > n) là tập sinh của E, xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta 0 được M = M\{xi } là tập sinh của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33
  15. Tổng và giao không gian con Giao của các không gian con Định nghĩa Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, thế thì T F = Fi = {x ∈ E\x ∈ Fi , ∀i} được gọi là giao i∈I của các không gian con Fi . Định lý T Giao của các không gian con Fi Fi là một i∈I không gian véctơ con của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 33
  16. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. Tổng và giao không gian con Tổng của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 33
  17. Tổng và giao không gian con Tổng của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 33
  18. Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có T F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K-kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực T tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 33
  19. Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K-kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực T tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có T F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 33
  20. Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định lý Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 33
  21. Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con T F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E được gọi là bù nhau trong E  F1 + F2 = E ⇔ T ⇔ F1 ⊕ F2 = E. F1 F2 = {0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 33
  22. Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E được gọi là bù nhau trong E  F1 + F2 = E ⇔ T ⇔ F1 ⊕ F2 = E. F1 F2 = {0} Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con T F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 33
  23. 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, dim(E) = n, F là một không gian véctơ con của E, dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33
  24. 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, dim(E) = n, F là một không gian véctơ con của E, dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33
  25. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, dim(E) = n, F là một không gian véctơ con của E, dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33
  26. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, dim(E) = n, F là một không gian véctơ con của E, dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33
  27. Giả sử B = {e1, e2, , en} là một cơ sở của E. C = {f1, f2, , fp} là 1 cơ sở của F ⇒ C là 1 tập độc lập tuyến tính, giả sử ta bổ sung vào C n − p véctơ của B để được 1 cơ sở 0 B = {f1, f2, , fp, eip+1, , ein} của E Đặt G = Vect(eip+1, , ein) = . Ta sẽ chứng minh G là 1 phần bù của F trong E. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 1. F có ít nhất một phần bù trong E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 33
  28. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 1. F có ít nhất một phần bù trong E Giả sử B = {e1, e2, , en} là một cơ sở của E. C = {f1, f2, , fp} là 1 cơ sở của F ⇒ C là 1 tập độc lập tuyến tính, giả sử ta bổ sung vào C n − p véctơ của B để được 1 cơ sở 0 B = {f1, f2, , fp, eip+1, , ein} của E Đặt G = Vect(eip+1, , ein) = . Ta sẽ chứng minh G là 1 phần bù của F trong E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 33
  29. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh F + G = E. Thật vậy, ta có F + G ⊂ E. Ta sẽ chứng minh E ⊂ F + G. n ∀x ∈ E, ∃(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ K : p n X X x = λi fi + λj eij . i=1 j=p+1 p n P P Trong đó λi fi ∈ F , còn λj eij ∈ G nên i=1 j=p+1 x ∈ F + G ⇒ E ⊂ F + G. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 33
  30. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh F ∩ G = {0}. Cho x ∈ F ∩ G thì x ∈ F và x ∈ G. Khi đó p n P ∃(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ K : x = λi fi và i=1 n P x = λj eij j=p+1 p n X X ⇒ λi fi − λj eij = 0 i=1 j=p+1 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λn = 0 (do B độc lập tuyến tính) ⇒ x = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 33
  31. Giả sử H là một phần bù bất kỳ của F trong E,  F + H = E tức là F ∩ H = {0} Giả sử C = {f1, f2, , fp} là 1 cơ sở của F và D = {hp+1, , hq} là 1 cơ sở của H. Ta sẽ chứng minh C ∪ D là 1 cơ sở của E. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 2. Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 33
  32. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 2. Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. Giả sử H là một phần bù bất kỳ của F trong E,  F + H = E tức là F ∩ H = {0} Giả sử C = {f1, f2, , fp} là 1 cơ sở của F và D = {hp+1, , hq} là 1 cơ sở của H. Ta sẽ chứng minh C ∪ D là 1 cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 33
  33. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh C ∪ D độc lập tuyến tính. Thật vậy, từ p q X X λi fi + λi hi = 0 i=1 i=p+1 p q P P ⇒ λi fi = − λi hi ∈ F ∩ H = {0} i=1 j=p+1 p q P P ⇒ λi fi = 0 và λi hi = 0 i=1 i=p+1 ⇒ λ1 = = λp = λp+1 = = λq = 0 (do C, D độc lập tuyến tính). Vậy C ∪ D ĐLTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 33
  34. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh C ∪ D là tập sinh của E. Thật vậy, ∀x ∈ E = F + H ⇒ x = f + h với f ∈ F , h ∈ H. p q X X x = f + h = λi fi + λi hi i=1 i=p+1 Vậy C ∪ D là cơ sở của E. Số véctơ trong C ∪ D là p + q mà C ∪ D cũng là 1 cơ sở của E nên p + q = n ⇒ q = n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 33
  35. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó dim(F ⊕ G) = dim(F ) + dim(G). Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của E ⇒ dim(H) = p 6 n. Mặt khác H = F ⊕ G nên G là phần bù của F trong H ⇒ dim(G) = p − dim(F ), ⇒ dim(F ) + dim(G) = p = dim(F ⊕ G). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 33
  36. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F1, F2, , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó m X dim(F1 ⊕ F2 ⊕ ⊕ Fm) = dim(Fi ). i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 33
  37. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F1, F2, , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó m X dim(F1 ⊕ F2 ⊕ ⊕ Fm) = dim(Fi ). i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 33
  38. Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E. Nếu  F ⊂ G ⇒ F = G. dim(F ) = dim(G) Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G và dim(H) = dim(G) − dim(F ) ⇒ dim(H) = 0 ⇒ H = {0}. Vậy G = F + H = F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 33
  39. Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E. Khi đó dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 33
  40. Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Giả sử dim(F ) = r, dim(G) = s, H = F ∩ G và dim(H) = t. Giả sử B = {x1, x2, , xt} là 1 cơ sở của H. H ⊂ F nên có thể bổ sung thêm r − t véctơ để 0 được 1 cơ sở B = {x1, x2, , xt, yt+1, , yr } của F . Tương tự, H ⊂ G nên có thể bổ sung s − t véctơ để được 1 cơ sở 00 B = {x1, x2, , xt, zt+1, , zs} của G. Xét C = {x1, x2, , xt, yt+1, , yr , zt+1, , zs}. Ta sẽ chứng minh C là 1 cơ sở của F + G TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 33
  41. Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Chứng minh C là tập sinh của F + G. Thật vây, ∀u ∈ F + G thì ∃y ∈ F , z ∈ G sao cho u = y + z = t r t s P P P P λi xi + λi yi + γi xi + γi zi = i=1 i=t+1 i=1 i=t+1 t r s P P P (λi + γi )xi + λi yi + γi zi . i=1 i=t+1 i=t+1 Vậy C là tập sinh của F + G. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 33
  42. Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Chứng minh C độc lập tuyến tính. Từ α1x1 + α2x2 + + αtxt + βt+1yt+1 + + βr yr + γt+1zt+1 + + γszs = 0 ⇒ α1x1 + α2x2 + + αtxt + βt+1yt+1 + + βr yr = v (1) = −(γt+1zt+1 + + γszs) = v (2) Rõ ràng v ∈ F và v ∈ G nên v ∈ H = F ∩ G ⇒ v = µ1x1 + µ2x2 + + µtxt (3). Từ (1) và (3) suy ra (α1 − µ1)x1 + + (αt − µt)xt + βt+1yt+1 + + βr yr = 0 0 ⇒ βt+1 = = βr = 0 (do B ĐLTT) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 33
  43. Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Từ (2) suy ra α1x1 +α2x2 + +αtxt +γt+1zt+1 + +γszs = 0 ⇒ α1 = = αt = γt+1 = = γs = 0. Vậy C là cơ sở của F + G. dim(F + G) = r + s − t = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 33
  44. Tổng và giao không gian con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U = và V = . Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 33
  45. Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của U     1 3 4 8 1 3 4 8      2 6 8 16   0 0 0 0    →    1 5 6 12   0 2 2 4  1 7 8 16 0 0 0 0 Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 33
  46. Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của V     1 2 3 6 1 3 4 8      3 5 8 16   0 −1 −1 −2    →    3 5 8 16   0 0 0 0  3 6 9 18 0 0 0 0 Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 0, 0, 0), (3, −1, 0, 0)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 33
  47. Tổng và giao không gian con Ví dụ Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3, −1, 0, 0)}. Tìm cơ sở của U + V   1 3 3    0 0 −1  A =   ⇒ r(A) = 3.  0 2 0  0 0 0 Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3, −1, 0, 0)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 33
  48. Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . u ∈ U ∩ V ⇔  u = α (1, 0, 0, 0) + α (3, 0, 2, 0) 1 2 ⇔ u = u = α3(1, 0, 0, 0) + α4(3, −1, 0, 0) α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0), và α1(1, 0, 0, 0) + α (3, 0, 2, 0) = α (1, 0, 0, 0) + α (3, −1, 0, 0) ⇔ 2 3 4  u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0)   α1 + 3α2 = α3 + 3α4  α2 = 0   α4 = 0 ⇒ u = α1(1, 0, 0, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 0, 0, 0) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 33
  49. Tổng và giao không gian con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4)\x1 + x2 − 2x3 = 0 ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} và V = {(x1, x2, x3, x4)\x1 = x2 = x3}. Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 33
  50. Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của U  1 1 −2 0   1 1 −2 0  → 1 −1 0 −2 0 −2 2 −2 Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)} Tìm cơ sở của V . Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1) Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 33
  51. Tổng và giao không gian con Ví dụ Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. Tìm cơ sở của U + V     1 1 0 1 1 0      1 −1 0   0 −2 0  A =   →   ⇒ r(A) = 3.  1 0 0   0 0 0  0 1 1 0 0 1 Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 33
  52. Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . x ∈ U ∩ V ⇔  x1 + x2 − 2x3 = 0   x1 = x2 = x3 = α x1 − x2 − 2x4 = 0 ⇔ x4 = 0  x1 = x2 = x3 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 1, 1, 0) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 32 / 33
  53. Tổng và giao không gian con Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 33 / 33