Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

1. CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT NỘI DUNG: I. BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN) II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN III. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
2. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Khái niệm l Biểu diễn định lượng các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên (phép thử ngẫu nhiên) l X là biến ngẫu nhiên X(B) B
3. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Khái niệm Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục
4. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Khái niệm l BNN rời rạc: Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được l Ví dụ l Tung một con xúc sắc 2 lần Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận các giá trị 0, 1, hoặc 2. l Tung đồng xu 5 lần Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình. Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5
5. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Khái niệm l BNN liên tục: Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R. l Ví dụ - Chiều cao, cân nặng. - Thời gian để hoàn thành 1 công việc.
6. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc) l BNN rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, , xn. l Bảng phân phối xác suất của X: l Chú ý:
7. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc) Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình. 4 khả năng có thể xảy ra Phân phối xác suất S S x P(x) 0 1/4 = .25 S H 1 2/4 = .50 2 1/4 = .25 H S .50 .25 H H Xác suất 0 1 2 x
8. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục) l Hàm mật độ xác suất: f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu l Ví dụ: cho hàm mật độ xác suất của X Tìm c
9. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục) l Tìm P(a<X<b)? f(x) P (a ≤ x ≤ b) a b
10. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Hàm phân phối xác suất l Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như sau
11. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc) l Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1, x2, , xn (x1<x2< < xn) với các xác suất tương ứng p1, p2, , pn. Bảng phân phối xác suất của X X x1 x2 xn-1 xn P p1 p2 pn-1 pn Hàm phân phối xác suất:
12. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)
13. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục) l Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác suất của X
14. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục) l Ví dụ Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất l Tìm hàm phân phối F(x). l Tính P(1<X<3/2).
15. I. BIẾN NGẪU NHIÊN 4. Hàm phân phối xác suất l Tính chất 1) . 2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a) F(b). 3) 4) 5) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.
16. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 1. Kỳ vọng l Kỳ vọng: Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. l Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất
17. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 1. Kỳ vọng (BNN rời rạc) l BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất X x1 x2 xn-1 xn P p p p p 1 2 n-1 n Kỳ vọng của X: Kỳ vọng thường được ký hiệu là .
18. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 1. Kỳ vọng (BNN rời rạc) l Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình. Tính E(X). Bảng phân phối xác suất X 0 1 2 P 0.25 0.5 0.25 E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1
19. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 1. Kỳ vọng (BNN liên tục) l BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x). Kỳ vọng của X: Ví dụ: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ Tính E(X).
20. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 1. Kỳ vọng Tính chất của kỳ vọng: l E(a) = a, a: hằng số l E(aX) = aE(X) l E(X + Y)=E(X) + E(Y) l E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập
21. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 2. Phương sai l Phương sai: Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung bình. l Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E(X), phương sai của X l Phương sai thường được ký hiệu là 2.
22. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 2. Phương sai (BNN rời rạc) l Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc. hoặc
23. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 2. Phương sai (BNN rời rạc) l Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình. Tính Var(X). Bảng phân phối xác suất X 0 1 2 P 0.25 0.5 0.25 E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25 = 1 Var(X) = E(X2) – E(X)2 = = (02x0.25 + 12 x0.5 + 22x0.25) – 12 = 0.5
24. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 2. Phương sai (BNN liên tục) l Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x). hoặc
25. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 2. Phương sai (BNN liên tục) l Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất Tính E(X), Var(X).
26. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 2. Phương sai Tính chất của phương sai: l Var(a) = 0, a:hằng số l Var(aX) = a2Var(X) 3) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) (nếu X và Y độc lập)
27. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 3. Độ lệch chuẩn l Độ lệch chuẩn:Là căn bậc hai của phương sai.
28. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 4. Số mode (Giá trị tin chắc) l Số mode: Là giá trị của BNN có xác suất lớn nhất. l Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình. Bảng phân phối xác suất X 0 1 2 P 0.25 0.5 0.25 Mod(X) = 1 Vì P(X = 1) = 0.5
29. II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 5. Số trung vị l Số trung vị: Là giá trị của BNN chia phân phối xác suất thành 2 phần có xác suất bằng nhau.
30. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1. Phân phối nhị thức l BNN X có phân phối nhị thức, Ví dụ: Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trong 1 lô hàng là 3%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 100 sản phẩm ra để kiểm tra. Tính xác suất để: a) Có 3 sản phẩm bị lỗi. b) Có không quá 3 sản phẩm bị lỗi.
31. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1. Phân phối nhị thức l Nếu n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1 thì ta có công thức xấp xỉ sau: l Giá trị của hàm f(x) tra bảng phụ lục 1, f(- x) = f(x) l Giá trị của hàm φ(x) tra bảng phụ lục 2, φ(- x) = - φ(x)
32. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1. Phân phối nhị thức Ví dụ: Một nhà máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm loại A là 20%. Nếu lấy ngẫu nhiên 400 sản phẩm, tính xác suất để: a) Được 80 sản phẩm loại A. b) Được từ 60 đến 80 sản phẩm loại A.
33. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2. Phân phối possion l BNN X có phân phối possion, X P(λ) Ví dụ: Một nhà máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,2%. Tính xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt.
34. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2. Phân phối possion Mô hình Poisson : + Xét n phép thử Bernoulli. + Trong đó xác suất thành công là p. + Các phép thử độc lập với nhau. (Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết quả của các phép thử kia) + X – số lần xuất hiện thành công trong n phép thử. + Trong đó n lớn ( n 100) và p nhỏ (p 0,01 và np 20). Khi đó X ~ P(). Với  =np
35. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2. Phân phối possion l Ví dụ Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
36. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 3. Phân phối siêu bội l BNN X có phân phối siêu bội, X H(N, M, n) Ví dụ: Một lô hàng gồm có 10 sản phẩm, trong đó có 4 loại A. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng, tính xác suất để có 2 sản phẩm loại A
37. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 3. Phân phối siêu bội Nhận xét: Nếu n << N thì ,p = Suy ra: Khi n << N, thì H(N, M, n) B(n;p) , p =
38. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 4. Phân phối chuẩn l BNN X có phân phối chuẩn, X N(μ; σ2) l Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X bằng cách đặt l Khi đó E(Z) = 0 và Var(Z) = 1. Ta nói Z có phân phối chuẩn hóa. Ký hiệu X N(0; 12) l
39. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 4. Phân phối chuẩn Nhận xét: X N(μ; σ2)
40. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 4. Phân phối chuẩn l Ví dụ: Lãi suất đầu tư vào Công ty B là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn , biết xác suất để đạt được lãi suất trên 20%/ 1 năm là 0.2 và dưới 10%/ 1 năm là 0.1. a) Tìm kỳ vọng và phương sai . b) Tính xác suất để khi đầu tư vào công ty B đó được lãi suất ít nhất 14%/ 1 năm.
41. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 5. Phân phối mũ l BNN X có phân phối mũ, X Exp(λ) : số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian. x: số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp. e = 2.71828
42. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 5. Phân phối mũ Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là 15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao nhiêu. § Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó  = 15 § 3 phút = 0.05 giờ § T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy. § P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276 § Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.
43. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 6. Phân phối student l Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) và Y ~ 2(n); X và Y độc lập với nhau. l Đặt l Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student với n bậc tự do. l Ký hiệu: T ~ t(n)
44. III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 7. Phân phối chi bình phương l Xét Z1, Z2, , Zn là n biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa, tức là Zi ~ N(0,1) với i=1, ,n. Z1, Z2, , Zn độc lập với nhau. l Đặt l Biến ngẫu nhiên gọi là có phân phối Chi – bình phương với n bậc tự do. l Ký hiệu: