›
›

Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 5: Các phân phối xác suất thông dụng

pdf 51 trang vanle 3030
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 5: Các phân phối xác suất thông dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfthong_ke_trong_kinh_doanh_va_kinh_te_chuong_5_cac_phan_phoi.pdf

Nội dung text: Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 5: Các phân phối xác suất thông dụng

  1. Chương 5 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 1
  2. Nội dung chính  Khái quát về biến ngẫu nhiên  Biến ngẫu nhiên rời rạc  Phân phối nhị thức  Biến ngẫu nhiên liên tục  Phân phối chuẩn 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 2
  3. Khái quát về biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên là một biến X mà trong đó cơ may để X nhận các giá trị của nó không nhất thiết giống nhau. • Chúng ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái in hoa X, Y, Z, 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 3
  4. Khái quát về biến ngẫu nhiên Ví dụ 1: Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp. Gọi X là số bi trắng có trong 4 bi lấy ra. Khi đó, X là một biến số ngẫu nhiên. Ví dụ 2: Tung một đồng xu cân đối đồng chất cho đến khi được mặt số thì dừng. Gọi X là số lần tung. Khi đó, X cũng là biến số ngẫu nhiên. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 4
  5. Khái quát về biến ngẫu nhiên Ví dụ 3: Gọi X là chiều cao của con người. Khi đó, X cũng là biến số ngẫu nhiên. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 5
  6. Khái quát về biến ngẫu nhiên Ta chia các biến ngẫu nhiên thành 2 loại:  X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) nếu nó chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị.  X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục (continuous random variable) nếu nó nhận bất kỳ giá trị nào trên một khoảng nào đó của trục số thực (nghĩa là, tập giá trị của X là vô hạn không đếm được). 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 6
  7. Biến ngẫu nhiên rời rạc Xét X {x 1 ,x 2 , ,x n }, với x1 x 2 x n . Ta đặt: pkk P(X x ),  k 1,2, , n. Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối (phân bố) xác suất của X: x x X x1 2 3 xn P p1 p2 p3 pn 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 7
  8. Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 4: Một hộp chứa 5 quả cầu giống nhau, được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên 2 quả. Gọi X là tổng hai số ghi trên hai quả lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 8
  9. Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8. Biết rằng nếu có một viên trúng mục tiêu hay hết đạn thì dừng. Gọi X là số lần xạ thủ bắn. Lập bảng PPXS của X. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 9
  10. Biến ngẫu nhiên rời rạc Cho BSNNRR X có bảng phân phối xác suất x x X x1 2 3 xn P p1 p2 p3 pn Ta có một số tính chất sau: 1. p1 p 2 p n 1. 2. x x1 ,x 2 , ,x n P X x 0. 3. P X D  pk , D  . k: xk D 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 10
  11. Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 6: Xét biến số ngẫu nhiên trong Ví dụ 5. Hãy tính P 1 X 3,PX 2,PX 4. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 11
  12. Biến ngẫu nhiên rời rạc • Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm phân phối tích lũy (cummulative distribution function) của X được xác định bởi F(x) P(X x),  x R. • Tính chất: 1) F là hàm tăng, theo nghĩa: a b F a F b . 2) lim F(x) 0, lim F(x) 1. xx 3) P(a X b) F(b) F(a). 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 12
  13. Biến ngẫu nhiên rời rạc 4) Hàm F là liên tục phải tại mọi số thực a, nghĩa là lim F x F a ,  a . xa Ví dụ 7: Tung 3 đồng xu cân đối đồng chất. Gọi X là số mặt hình nhận được. Lập biểu thức hàm phân phối tích lũy của X. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13
  14. Biến ngẫu nhiên rời rạc • Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm khối lượng xác suất (probability mass function-pmf) của X được xác định bởi pkk , x x , fx 0, x  xk , k. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 14
  15. Biến ngẫu nhiên rời rạc • Giả sử BNNRR X có bảng phân phối xác suất X x1 x2 xn P p1 p2 pn Kỳ vọng (Expectation) của X là n EX xp1 1 xp n n xp. k k k1 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 15
  16. Biến ngẫu nhiên rời rạc Phương sai (Variance) của X là n 2 Var X  xkk E X p . k1 Độ lệch chuẩn (Standard deviation) của X là  X Var X . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 16
  17. Biến ngẫu nhiên rời rạc • Mốt (Mode) của X, ký hiệu bởi Mod(X), là giá trị của X mà tại đó xác suất cao nhất. Mod X a P X a max p1 ,p 2 , ,p n . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 17
  18. Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 8: Cho X có bảng phân phối xác suất X 1 0 3 P 0,2 0,5 0,3 Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn và mốt của X. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 18
  19. Biến ngẫu nhiên rời rạc  Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến số ngẫu nhiên X.  Do X – E(X) là độ lệch giữa các giá trị của X so với trung bình của nó nên phương sai là trung bình của các bình phương độ lệch đó. Phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng E(X), nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán quanh kỳ vọng nhỏ nên độ tập trung lớn, và ngược lại. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 19
  20. Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 9: Ông A tham gia chơi một trò đỏ, đen như sau: Trong một hộp kín có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Ông A chọn ngẫu nhiên 2 bi: nếu cả 2 bi đều đỏ thì ông A nhận được 100 nghìn; nếu chỉ có 1 bi đỏ thì ông A nhận được 20 nghìn; nếu cả 2 bi đều đen thì ông A thua 50 nghìn. Hỏi bình quân số tiền mà ông A nhận được khi chơi trò chơi này là bao nhiêu? 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 20
  21. Biến ngẫu nhiên rời rạc Tính chất của kỳ vọng: 1. E(C) C, E(aX) aE(X) 2. E(X Y) E(X) E(Y) EX 1 X n EX 1 EX. n 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 21
  22. Biến ngẫu nhiên rời rạc Tính chất của phương sai: 1. Var C 0, Var(aX) a2 Var X 2. Var X a Var X 3. Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì Var(X Y) Var(X) Var(Y) Var(X Y) Var(X) Var(Y) 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 22
  23. Phân phối nhị thức Một dãy gồm n phép thử ngẫu nhiên được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu nó thỏa 3 điều kiện:  Các phép thử độc lập với nhau.  Ở mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến một biến cố A nào đó. Nếu A xảy ra, ta nói phép thử là “thành công”. Nếu A không xảy ra, ta nói phép thử “thất bại”.  Xác suất “thành công”, p = P(A), là không đổi qua n phép thử. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 23
  24. Phân phối nhị thức Ví dụ 12: Tung một đồng xu (gồm hai mặt là số và hình) cân đối, đồng chất 10 lần. Ở mỗi lần tung, ta xem biến cố A: “mặt số xuất hiện” có xảy ra hay không. Xác suất để A xảy ra ở mỗi lần tung là 0,5. Do đó, đây là dãy gồm 10 phép thử Bernoulli. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 24
  25. Phân phối nhị thức  Bài toán: Thực hiện liên tiếp n phép thử Bernoulli với xác suất “thành công” là p. Gọi X là số lần “thành công” trong n lần thử. Lập bảng phân phối xác suất của X. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 25
  26. Phân phối nhị thức Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức (binomial distribution) với hai tham số n và p nếu: X = {0,1,2, ,n} và k k n k PXk Cpq,n q1p. Ký hiệu: X ~ B(n; p). 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 26
  27. Phân phối nhị thức • Cho X ~ B(n,p). Khi đó kỳ vọng, phương sai và mốt của X được cho bởi: E X np, Var X npq, Mod X  np q; np q 1 . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 27
  28. Phân phối nhị thức Ví dụ 13: Một trường tiểu học có tỷ lệ học sinh bị cận thị là 17%. 1. Khám mắt ngẫu nhiên cho 50 học sinh. a) Tính xác suất để có 10 học sinh bị cận thị. b) Tìm giá trị tin chắc nhất của số học sinh bị cận thị. 2. Tìm số lượng học tối thiểu cần phải khám để xác suất có ít nhất một học sinh cận thị không dưới 95%. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 28
  29. Phân phối nhị thức Ví dụ 14: Ở một vùng dân cư, qua thống kê người ta biết được có 65% gia đình có máy giặt. Khảo sát ngẫu nhiên 20 gia đình ở vùng này. Tính xác suất để gặp được nhiều nhất 3 gia đình có máy giặt. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 29
  30. Biến ngẫu nhiên liên tục • Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại một hàm số f :  0, sao cho b Pa X b fxdx, a b. a thì f được gọi là hàm mật độ xác suất của X. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 30
  31. Biến ngẫu nhiên liên tục  Mệnh đề: Hàm u: là hàm mật độ xác suất của một b.n.n liên tục nào đó khi và chỉ khi: a) u x 0,  x ; b) u x dx 1. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 31
  32. Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 1: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất 2 k 1 x , x 0;1 , fx 0, x  0;1 . a) Tìm giá trị của k. b) Tính P 0,5 X 2 . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 32
  33. Biến ngẫu nhiên liên tục  Mệnh đề: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f . Khi đó, P X c 0,  c . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 33
  34. Biến ngẫu nhiên liên tục  Hệ quả: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f . Khi đó, P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b). 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 34
  35. Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 2: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ e x , x 0, fx 0, x 0. Tính P 0 X 1 , P 1 X 3 . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 35
  36. Biến ngẫu nhiên liên tục Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân phối xác suất của X được định nghĩa bởi x Fx PXx ftdt,x . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 36
  37. Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 3: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ 2e2x , x 0, fx 0, x 0. Tìm hàm phân phối xác suất của X. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 37
  38. Biến ngẫu nhiên liên tục  Mệnh đề: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f. Khi đó, với mọi x là điểm liên tục của F, ta có F x f x . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 38
  39. Biến ngẫu nhiên liên tục • Cho BNN liên tục X có hàm mật độ f. Kỳ vọng của X được định nghĩa là E X xf x dx. • Phương sai của X là đại lượng 2 Var X x E X f x dx. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 39
  40. Biến ngẫu nhiên liên tục • Độ lệch chuẩn:  X Var X • Mốt của X, ký hiệu bởi Mod(X), là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ f xác suất đạt giá trị lớn nhất. • Trung vị của X, ký hiệu là Med(X), là giá trị c mà tại đó F(c) = 0,5. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 40
  41. Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 4: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ 912 x , khi x 0; 2 , f(x) 40 5 0, khi x  0;2 . Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt và trung vị của X. Chú ý: Mod(X) không nhất thiết duy nhất. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 41
  42. Phân phối PhânGauss phối chuẩn tắc Định nghĩa: B.n.n liên tục Z được gọi là có phân phối Gauss nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng x2 1 f x e2 , x . 2 Ký hiệu: Z ~ N(0; 1). • Các số đặc trưng: Mod Z E Z 0; Var Z 1. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 42
  43. Phân phối PhânGauss phối chuẩn tắc 1 2 x2 1 ye 2 2 O x 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 43
  44. Phân phối Gauss • Hàm Laplace: xxt2 1 x f t dt  e2 dt, x R. 002 Các giá trị của hàm Laplace được cho ở bảng B. • Các tính chất của hàm Laplace: a) Hàm số tăng và là hàm lẻ. b) 0,5; 0,5. c) P a Z b b a . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 44
  45. Phân phối Gauss Ví dụ 5: Cho Z ~ N(0;1). Tính: a) P 1,24 Z 3,21 b) P 2,17 Z 2,48 c) P Z 1,34 d) P Z 1,27 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 45
  46. Phân phối Gauss • Cho 0 1. Giá trị t được gọi là phân vị mức của biến Z ~ N(0;1) nếu P t Z t 1 . 1 • Công thức xác định của là: t. 2 Ví dụ 6: Cho Z ~ N(0;1). Tìm phân vị mức 0,05. ĐS: 1,96. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 46
  47. Phân phối chuẩnPhân phối chuẩn Định nghĩa: B.n.n liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với hai tham số  , nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng 2 x  1 2 f x e2 , x R.  2 Ký hiệu: X ~ N  ;2 . • Các số đặc trưng: E X Mod X  ; Var X 2 . 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 47
  48. Phân phối chuẩnPhân phối chuẩn 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 48
  49. Phân phối chuẩn • Xác suất: Nếu X ~ N  ; 2 thì ba   P a X b .  X  • Nếu X ~ N  ; 2 thì Z ~ N 0,1 .  13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 49
  50. Phân phối chuẩn Ví dụ 7: Chiều cao nam giới ở nước ta được biết là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 165,14cm, độ lệch chuẩn là 5,61cm. Tính tỷ lệ nam giới có chiều cao: 1) trong khoảng từ 170cm đến 175cm; 2) trong khoảng từ 165cm đến 172cm. 3) trên 185cm. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 50
  51. Phân phối chuẩn Ví dụ 8: Cho b.n.n X có phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng là 10 và P(10<X<20) = 0,3. Tính P(5<X<15). Đáp số: 0,3256. 13/6/2016 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 51